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PROYECTO FIN DE CARRERA Modelización por Elementos Finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. Realizado por: Sofía González de la Cruz Dirigido por: Amaya Pérez del Palomar Aldea Convocatoria: Diciembre 2010 Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Departamento de Ingeniería Mecánica Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Zaragoza Universidad de Zaragoza Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 2 La finalización de este proyecto supone un logro personal que no podría haber llevado a cabo sin el apoyo incondicional de mi familia. Mi agradecimiento también a las personas que de un modo u otro me han acompañado y ayudado durante todo mi recorrido universitario hasta este momento, gracias por vuestro tiempo, por vuestra ayuda y vuestra paciencia. Y también a las personas que me han animado a continuar adelante, muchas gracias. Y mención especial a Amaya Pérez del Palomar Aldea, por su tiempo, su dedicación y paciencia en el transcurso de éste proyecto. Zaragoza, Diciembre de 2010. Sofía González de la Cruz. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 3 ÍNDICE Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 4 1. MOTIVACIÓN……………………………………………………………………03 1.1 Descripción del proyecto…………………………………………………...06 2. ANATOMÍA DEL CORZO……………………………………………………...09 2.1 Distribución…………………………………………………………………..12 2.2 Variación geográfica………………………………………………………..13 2.3 La cuerna…………………………………………………………………….14 2.4 Hábitos alimentarios………………………………………………………...16 3. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS…………………………………..17 3.1 Introducción al MEF………………………………………………………….17 3.1.1 Evolución histórica…………………………………………………..18 3.1.2 El MEF en la Bioingeniería…………………………………………19 3.1.3 Principios básicos en el MEF……………………………………….19 3.2 Formulación en el método de los Elementos Finitos……………………..20 3.3 Características del MEF. Concepto de nodo y elemento………………...24 3.4 Condiciones de convergencia……………………………………………….26 3.4.1 Condiciones necesarias……………………………………………..27 3.4.2 Condiciones deseables……………………………………………...27 3.4.3 Condiciones generales………………………………………………28 3.5 Refinamiento de la malla……………………………………………………..28 3.6 Estructura de un programa de Elementos Finitos…………………………29 3.6.1 Preprocesador………………………………………………………..29 3.6.2 Módulo de análisis…………………………………………………...29 4. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DEL CRÁNEO DEL CORZO HEMBRA…………………………………………………………………………..31 4.1 Esquema de obtención del modelo computacional………………………32 4.2 Segmentación………………………………………………………………..33 4.3 Construcción de la malla…………………………………………………….37 Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 5 4.4 Conjunto, materiales y propiedades……………………………………….39 4.5 Condiciones de contorno……………………………………………………42 4.6 Cargas que actúan en el modelo…………………………………………..43 5. RESULTADOS…………………………………………………………………...45 5.1 Resultados preliminares…………………………………………………….45 5.2 Simulación de la masticación del corzo…………………………………...48 5.2.1 Masticación concéntrica completa………………………………...48 5.2.2 Masticación lateral completa……………………………………....50 5.2.3 Masticación completa del músculo masetero……………………52 5.2.4 Masticación completa del músculo temporal…………………….53 5.2.5 Masticación completa del músculo pterigoideo………………….55 5.3 Tablas resumen de resultados……………………………………………..57 6. CONCLUSIONES Y DESARROLLO FUTURO……………………………....58 6.1 Conclusiones…………………………………………………………………58 6.2 Desarrollo futuro……………………………………………………………..59 GLOSARIO……………………………………………………………………………61 BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………….64 Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 6 1. MOTIVACIÓN Este proyecto se encuadra dentro de una línea de investigación en Biomecánica, que se desarrolla en el área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras del Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Zaragoza. La Biomecánica es la Mecánica aplicada a la Biología, es decir, la disciplina que intenta predecir la mecánica en los sistemas vivos. Esta ciencia ayuda a entender el funcionamiento habitual de los organismos, a caracterizar el comportamiento de tejidos y órganos vivos desde el punto de vista mecánico, a predecir los cambios que sufren debido a las alteraciones y a proponer métodos de intervención artificial. Por ello, la diagnosis, la cirugía y el diseño de prótesis se encuentran directamente relacionados con ella. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 7 La Biomecánica, como la mayoría de las disciplinas, desarrolla actualmente sus investigaciones en tres campos fundamentalmente: teórico, experimental y computacional. Una de las mayores dificultades con las que se encuentra la Biomecánica es la reconstrucción, en la mayoría de las ocasiones compleja, de la geometría del órgano a estudio de una forma automatizada. Para ello se están utilizando potentes herramientas de visualización gráfica y representación geométrica. La diagnosis por tratamiento de imágenes permite con ayuda de sofisticados algoritmos de segmentación discernir qué parte de la información de partida de la imagen corresponde a un determinado tejido y a partir de ello diagnosticar posibles enfermedades. El desarrollo de implantes personalizados mediante prototipazo rápido o la generación de modelos físicos que permiten a un equipo médico el entrenamiento y la elección de una estrategia que facilite una intervención quirúrgica complicada son también aplicaciones de gran relevancia. Otro campo de especial importancia es la denominada Biomecánica de Impacto, que pretende un mejor conocimiento del impacto en las principales zonas anatómicas, de las circunstancias bajo las cuales el trauma se ha generado y de la frecuencia. Tiene una aplicación directa en uno de los principales motivos de accidentes traumáticos, como son los accidentes de tráfico. Otro ámbito de aplicación donde la Biomecánica está permitiendo un gran avance es en el ámbito deportivo, por ejemplo, en la mejora del rendimiento, desarrollando técnicas de entrenamiento individualizadas, diseñando complementos materiales y equipamientos de altas prestaciones, etc. La mejora de las técnicas deportivas en los Centros de Alto Rendimiento mediante el estudio y mejora de la cinetodinámica de atletas, nadadores o ciclistas, el diseño de nuevas bicicletas adaptadas a las características anatómicas y de desarrollo motriz de un deportista concreto están de actualidad. La Biomecánica proporciona herramientas de gran utilidad para la rehabilitación de los pacientes que sufren alguna anomalía física. Es muy frecuente en el mundo de la rehabilitación estudiar un movimiento como la marcha humana, estableciendo patrones que afectan al mecanismo de traslación del cuerpo y su centro de gravedad. Mediante la instrumentación técnica es posible tipificar las anormalidades de la marcha y establecer los déficits de forma reproducible, para prevenir o minimizar trastornos, establecer programas terapéuticos personalizados y evaluarlos a lo largo del tiempo. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 8 Fig. 1.0.1 Biomecánica de la marcha. Otro de los problemas esenciales en Biomecánica es la compatibilidad entre los materiales artificiales que se incorporan con los tejidos biológicos. Los biomateriales han de poseer una serie de propiedades químicas, físicas y biológicas que les permitan mantenerse en un medio extremadamente hostil y ser además biocompatibles en función de varios factores: interacción entre el material y los tejidos, reacción resultante de la degradación del material, factores mecánicos, etc. La irrupción y posterior generalización de técnicas de cálculo numérico y el incremento de las prestaciones de los ordenadores, que ha tenido lugar en los últimos veinte o treinta años, han permitido simular numéricamente muchos de los fenómenos, tanto en cantidad como en variedad, que esta disciplina estudia. Las simulaciones por ordenador del comportamiento de tejidos, mediante el desarrollo de las oportunas formulaciones matemáticas de las leyes que rigen esos comportamientos, permiten obtener resultados cuantitativos en procesos de gran complejidad. En este proyecto se pretende reproducir la geometría de un cráneo y una mandíbula animal, en concreto de un corzo hembra y estudiar las tensiones a las que están sometidas en condiciones distintas de carga que simulan la masticación. El proyecto se centra en la modelización por elementos finitos del cráneo y la mandíbula de un corzo hembra, para observar las tensiones que experimentan ambos durante la masticación. Se simulará la masticación mediante la aplicación de unas cargas a los músculos que unirán el cráneo y la mandíbula y se estudiará el comportamiento óseo. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 9 El amplio rango de lugares de alimentación refleja la diversidad morfológica en los aparatos de alimentación. El grado en el cual la forma del cráneo del mamífero refleja las tensiones generadas por la alimentación es desconocido. Además del aparato alimenticio, el cráneo acomoda las necesidades estructurales de los sistemas sensoriales y el cerebro. Los modelos biomecánicos como los modelos “in Vitro”, “in Vivo”, así como los modelos de Elementos Finitos ofertan eficacia y entendimiento y mejoran los diagnósticos y la prevención de daños. Dentro de estos modelos, el modelo de EF es extensamente sólido en dar estimaciones de parámetros que no se podrían obtener si los analizáramos “in Vitro” ó “in Vivo”. El análisis por EF se clasifica en dos categorías: Análisis Dinámico Específico (concreto) y Análisis Estático con diferentes modelos para estos estudios respectivamente. Los modelos desarrollados en los estudios estáticos, son generalmente mas detallados en la representación de los materiales y la geometría. Estos modelos pronostican las tensiones internas y las respuestas biomecánicas bajo condiciones de cargas complejas. Y en este tipo de modelos se va a enfocar el siguiente proyecto. El principal objetivo de este proyecto es estudiar la tensión soportada por el cráneo y la mandíbula del corzo objeto de estudio durante la alimentación. Tendremos en cuenta distintas situaciones, imitando a distintos tipos de mordida. 1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO En este proyecto fin de carrera se realiza un análisis por elementos finitos del comportamiento del cráneo y la mandíbula de un corzo hembra bajo la aplicación de unas cargas que simulan la alimentación de dicho animal, analizando los mapas de tensiones. En el presente proyecto, se han seguido los siguientes pasos para su desarrollo: Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 16 En Cataluña y en el País Vasco se han efectuado repoblaciones con corzos procedentes de Francia. Fig. 2.1 Gráfico de distribución de la población del corzo en España 2.2. VARIACIÓN GEOGRÁFICA La amplitud del área de distribución y la diversidad de biotopos que coloniza la especie determinan la existencia de una alta variabilidad morfológica y ecológica, lo que propicia la aparición de ecotipos o formas locales. A principios del siglo XX la gran variación fenotípica de esta especie condujo a la descripción de multitud de subespecies, pero tras la revisión de Corbet (1978), todas las subespecies quedaron englobadas en una única especie: C.c capreolus para todo el continente europeo. Se ha descrito un ecotipo de corzo andaluz, propio de las sierras de Cádiz y Málaga, típico del ambiente mediterráneo xerofítico4, caracterizado por una coloración invariablemente gris a lo largo de todo el año, ausencia de babero blanco en el cuello, pequeño tamaño, dimorfismo5 sexual mas acentuado, y cráneos mas cortos y anchos. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 17 2.3. LA CUERNA La cuerna, presente solo en machos, es ósea y se origina en los pedúnculos, que son unas protuberancias situadas en el hueso frontal. Su asta central no suele superar los 25 cm de longitud (Mateos-Quesada, 2005). Además de esta rama central (punta superior) suele presentar una punta situada en la mitad anterior (delantera o luchadera), y una tercera punta (punta posterior o garceta), que suele estar ubicada en el tercio superior de la cuerna y que está dirigida hacia atrás (Goss, 1983; Montulet, 1984; Braza et al., 1994). De delante hacia atrás, también se las denomina 1ª, 2ª y 3ª punta. En ejemplares adultos no es difícil encontrar puntas adicionales o formas diferentes a la descrita (Mateos-Quesada, 2005). La base de la cuerna esta formada por una roseta o corona, que es un ensanchamiento de desarrollo variable por el que se inserta la cuerna en los pedúnculos. Fig. 2.3.1. Partes de la cuerna del corzo. Se denomina perlado a las protuberancias que normalmente se sitúan en la base de la cuerna pero que pueden llegar a cubrir casi toda la cuerna. Las funciones de este perlado no están del todo claras (Mateos-Quesada, 2005). El color de la cuerna es variable, aunque generalmente es marrón sobre fondo de marfil (Braza et al., 1994). Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 18 Fig. 2.3.2. Detalle del perlado en la cuerna del corzo. Los machos pierden la cuerna (desmogue) entre noviembre y diciembre, y a partir de este momento se creará una nueva cuyo tamaño y perlado están relacionados con la edad, las condiciones ambientales, el estado físico del individuo o estrés (Mateos-Quesada, 2005). Finalmente, la cuerna está completamente mineralizada entre marzo y mayo. Para el corzo andaluz el desmogue comienza un poco antes, desde principios octubre hasta mediados de noviembre (Braza et al., 1994), y la cuerna estará limpia a finales de febrero, un mes antes que en el norte de la Península Ibérica y resto de Europa. Mateos-Quesada (2005) señala que aún no ha sido explicado el hecho de que el corzo desarrolle la cuerna en el periodo que más escasea el alimento. Es cuando se requiere un mayor aporte energético para el mantenimiento de su metabolismo (finales del otoño), y está lejos de los meses con más alimento (primavera), elegidos por otras especies como el ciervo. Vanpé et al. (2007) han encontrado diferencias en el tamaño de las cuernas en función de las clases de edad: observaron un crecimiento hasta el séptimo año de vida y una disminución del tamaño a partir de dicha edad (senescencia). Además, observaron que el tamaño de las cuernas aumentaba alométricamente con la masa corporal. Este incremento era particularmente elevado en el caso de los machos senescentes6. Esto parece sugerir el desarrollo de dos tácticas reproductivas diferentes: los machos viejos de más peso invierten en el crecimiento de los cuernos lo que, potencialmente, les permitiría competir por los territorios; mientras que los machos viejos de menos peso desarrollan cuernos más pequeños, Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 19 abandonando probablemente la defensa de los territorios. El tamaño de los cuernos en el corzo, por lo tanto, podría proporcionar una señal honesta de la calidad fenotípica7 de los machos. 2.4. HÁBITOS ALIMENTARIOS El grupo más importante de los mamíferos herbívoros lo forman los rumiantes, aquellos animales que digieren los alimentos en dos etapas, primero los consumen y luego realizan la rumia. Ésta consiste en regurgitar el material semidigerido y volverlo a masticar para deshacerlo y agregarle saliva. Su mandíbula les permite hacer movimientos laterales para poder triturar y ensalivar los alimentos. Sus molares son muy planos, y permiten machacar los alimentos hasta formar una pasta. Su saliva da reacción alcalina, lo que permite digerir mejor los carbohidratos. La flora intestinal juega un papel muy importante en la digestión de materiales vegetales. El corzo en particular, muestra un comportamiento alimentario muy selectivo, consumiendo preferentemente materia vegetal de alto valor nutritivo con bajo contenido en fibra. Sin embargo, en muchos lugares de Europa la dieta fundamental de la especie está constituida por grano de origen agrícola. Combinan el pastoreo de herbáceas con el ramoneo de brotes tiernos. Las gramíneas son claves en su dieta. El corzo es un animal predominantemente forestal, que sale a campo abierto en contadas ocasiones durante el verano para añadir algunas hierbas a su dieta, basada en el consumo de hojas de arbustos y árboles bajos, así como bayas y brotes tiernos. Sus hábitos son crepusculares, viéndosele rara vez durante el día, que suele pasar escondido entre la espesa vegetación. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 20 3. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS En este capítulo se hace una breve introducción al Método de elementos finitos (MEF) describiendo las características y partes de cálculo. 3.1. INTRODUCCIÓN AL MEF El método de los elementos finitos (MEF) es un método numérico para la resolución de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. La resolución de un problema diferencial sobre un dominio mediante el método de los elementos finitos se puede dividir en dos etapas: Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 21 1- Establecimiento de la formulación variacional, integral o débil del problema. 2- Búsqueda de una solución aproximada mediante la discretización del dominio en un número finito de subdominios en los que se establece la aproximación de la función incógnita. Mediante la aplicación de estos conceptos, el problema diferencial original se transforma en un problema algebraico dando lugar a un sistema de ecuaciones, que serán lineales o no dependiendo del problema inicial, cuyas incógnitas son los valores de la función en una serie de puntos de cada uno de los subdominios en los que se ha discretizado el dominio inicial y que es fácil de resolver por métodos numéricos. Los subdominios en los que se divide el dominio del problema se denominan elementos y los puntos que los delimitan y en los que se calcula el valor de la solución, se denominan nodos. El MEF permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más fácil y económico de modificar que un prototipo. Sin embargo no deja de ser un método aproximado de cálculo debido a las hipótesis básicas del método. Los prototipos, por lo tanto, siguen siendo necesarios, pero en menor número, ya que el primero puede acercarse bastante más al diseño óptimo. 3.1.1 EVOLUCIÓN HISTÓRICA. Su desarrollo desde los años cincuenta hasta la actualidad ha sido constante y actualmente puede considerarse como el método de análisis numérico más extendido en la mayoría de los ámbitos de la ingeniería. Comenzó a desarrollarse partiendo de ideas energéticas, con el fin de resolver problemas complejos de geometría y carga. En los años 60 se establecieron las bases matemáticas del método y deja de estar limitado a problemas estáticos lineales y s aplica en problemas no lineales y dinámicos. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 22 En los años 70, permite su aplicación en campos tan amplios como la mecánica de fluidos, transmisión de calor, electricidad, etc. y aparecen en el mercado los grandes programas de elementos finitos. Finalmente, el gran desarrollo de los pre y post procesadores gráficos así como la aplicación en microordenadores, ha permitido su expansión en la pequeña y mediana empresa. En la actualidad, el MEF se ha consolidado como la principal herramienta e cálculo tanto en análisis estructural como en cualquier otro ámbito de la industria y la ingeniería. 3.1.2. EL MEF EN LA BIOINGENIERÍA. El método de los elementos finitos es uno de los más utilizados para la resolución de problemas tenso-deformadores en articulaciones. Esto se debe a que es posible predecir las distribuciones de tensiones y los desplazamientos que se producen en dichas zonas al aplicar unos casos de carga, sin recurrir a modelos reales. Las variables de entrada para este tipo de modelos son las siguientes: - Las propiedades mecánicas de los materiales. En el caso de la mandíbula y el cráneo de nuestro proyecto las propiedades de los materiales son iguales en todas las direcciones, comportamiento de un material isótropo. - Las distribuciones de carga sobre unos puntos del cráneo y mandíbula determinados. - La geometría real. Se utilizan elementos tridimensionales y bidimensionales. Con todo esto, se pretende una mejor aproximación a la situación real de las hipótesis planteadas en el modelo, lo que supone siempre un mejor ajuste de los resultados obtenidos y una mayor utilidad en los mismos. 3.1.3 PRINCIPIOS BÁSICOS EN EL MEF. La resolución de un problema diferencial sobre un dominio mediante el método de los elementos finitos se puede dividir en las siguientes etapas: Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 23 - Concretar el contorno. Dividir el contorno en elementos. - Seleccionar las funciones de interpolación. Asignar nodos a cada elemento y después elegir el tipo de función de interpolación que represente la variación en el campo sobre los elementos. El campo variable puede ser un escalar, un vector, etc. A menudo se usan funciones polinómicas ya que son fáciles de integrar y derivar. El número de funciones polinómicas depende del número de nodos asignados a cada elemento, la naturaleza y el número de incógnitas en cada nodo. Por supuesto, son necesarias unas condiciones de continuidad impuestas en los nodos y en los elementos. - Indicar las propiedades de los elementos. Una vez el modelo de elementos finitos ha sido establecido, se puede expresar una matriz de ecuaciones (matriz de rigidez) que indican las propiedades individuales de cada elemento. - Ensamblaje de la matriz. Combinar las matrices de rigidez de los elementos para formar la matriz de rigidez en la región o contorno. Esta matriz es del mismo tipo que la de los elementos individuales excepto en que tienen mas términos porque incluye todos los nodos. - Resolver el sistema de ecuaciones. Una vez han sido introducidas las condiciones de contorno en la matriz final ya ensamblada, se resuelve el sistema de ecuaciones para la obtención de las incógnitas en los nodos. 3.2 FORMULACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS El problema diferencial original se puede transformar en un problema algebraico dando lugar a un sistema de ecuaciones, que serán lineales o no dependiendo del problema inicial. Los subdominios en los que se divide el dominio del problema se denominan elementos y los puntos que los delimitan, y en los que se calcula el valor de la solución, se denominan nodos. Un problema diferencial cualquiera se puede expresar en notación matricial según: Au = f en Ω Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 24 Y sus condiciones de contorno vienen dadas por: Cu = g en δΩ Donde A es un operador diferencial que en mecánica de sólidos habitualmente es del orden 2k (par), u es un vector que contiene las funciones incógnitas y f es el vector de términos independientes; Ω es el dominio en el que está definido el problema y δΩ su contorno. Para llegar hasta esta formulación se parte de las ecuaciones cinemáticas que relacionan deformaciones y desplazamientos, y que podemos expresar como: ε= Hu H = [gra d (.)]sym = ½ [gra d (.) + gra dT(.)] en el caso de la elasticidad tridimensional. Introduciendo las leyes de comportamiento tenemos que: σ= Dε = DHu = Su Por último, las ecuaciones de equilibrio interno del sólido nos permiten llegar a la formulación expuesta anteriormente: f= -Qσ = -QSu = Au Donde nuevamente para el problema tridimensional, Q es el operador divergencia. Los operadores H y Q son diferenciales de primer orden, mientras que D es el tensor de comportamiento del material, y será constante para materiales homogéneos, por lo tanto el orden del operador final, A, será 2(2k = 2). En cuanto a las condiciones de contorno, podemos separar las esenciales (en desplazamientos) de las naturales ( en tensiones), con lo que quedará: ñ= Fu en ∂ Ωu Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 25 − t= Gσ en ∂ Ωt Donde ñ y − t son los valores conocidos de desplazamiento y tensiones de contorno, y δΩu y δΩt las regiones del contorno donde se especifican los desplazamientos y las tensiones, respectivamente. Para obtener la formulación débil de un problema diferencial cualquiera, el procedimiento a seguir consiste en multiplicar escalarmente la ecuación de partida por una función vectorial cualquiera η, que se denomina función de ponderación (o funciones, cuando se hable de sus componentes), e integrar sobre el dominio por partes k veces la expresión resultante, es decir: Ω=Ω ∫∫ ΩΩ fdAud TT ηη En el caso del problema elástico lineal, la integración por partes lleva a: Ω=Γ−Ω ∫∫∫ ΩΩ∂Ω fddGSuFdSuH T T T ηηη )()()()( Si se exige a las funciones de ponderación (sobre las que, hasta ahora, no se había impuesto ninguna condición, por lo que se podían escoger arbitrariamente) que cumplan las condiciones de contorno esenciales (en desplazamientos) homogéneas, es decir: 0 = η F en u Ω∂ La integral de superficie será conocida, dado que sólo se extenderá a t Ω∂ , región de la frontera donde el producto σ GGSu = es dado por las condiciones de contorno naturales (en tensiones). Reordenando la ecuación de forma que todos los términos conocidos queden a la derecha: Ω+Γ=Ω ∫∫∫ Ω − Ω∂Ω fddtFdSuH TT t ηηη )()()( Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 32 3.6 ESTRUCTURA DE UN PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS. Un programa de cálculo por elementos finitos consta de tres módulos bien diferenciados: el preprocesador, el módulo de análisis y el postprocesador. 3.6.1 PREPROCESADOR. En este módulo de la aplicación se introducen los datos que definen el tipo (o tipos) de elemento que se va a utilizar y la discretización (malla de elementos finitos) realizada para resolver el problema. Estos datos son, esencialmente: - La geometría del problema. Se debe definir por medio de puntos, curvas, superficies y volúmenes la geometría del sólido analizado. - El tipo y las características geométricas de los elementos. El tipo de elemento vendrá dado por el modelo analítico utilizado para plantear el problema: elasticidad tridimensional, deformación o tensión plana, barras, etc. - Las propiedades físicas del material que definen las ecuaciones de comportamiento. - La malla de elementos finitos utilizada en la partición del dominio del problema, que debe adaptarse a las características de éste, intentando realizar mallas más densas allí donde se espere que la solución varíe más rápidamente. - Las cargas a las que está sometido el sólido y las condiciones de apoyo que impiden su movimiento como un sólido rígido. 3.6.2 MÓDULO DE ANÁLISIS. A continuación, una vez introducidos todos los datos del problema, se resuelve éste mediante el proceso de cálculo expuesto con anterioridad: Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 33 - Ensamblaje de la matriz de rigidez K a partir de las matrices de rigidez elementales K e. - Ensamblaje del vector de cargas F a partir de los vectores de cargas elementales F e. - Imposición de las condiciones de apoyo. Resolución del sistema de ecuaciones resultante: FKuFuK ⋅=⇒=⋅ −1 Cálculo de tensiones y deformaciones en los elementos a partir del campo de desplazamientos obtenido interpolando las soluciones nodales ( ) uH= ε , ε σ D = Con ayuda de este módulo se pueden visualizar los resultados del problema. Se pueden representar los desplazamientos de los nodos, los mapas de tensiones y deformaciones, la configuración deformada del sólido, gráficas de evolución de cualquiera de las variables analizadas, etc. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 34 4. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DEL CRÁNEO DEL CORZO HEMBRA En este capitulo se describe la metodología desarrollada para la simulación computacional del cráneo del corzo hembra sometido a diferentes cargas de masticación. En primer lugar, se describe la creación del modelo geométrico del cráneo y de la mandíbula del corzo hembra partiendo de las imágenes proporcionadas por el Departamento de Paleontología de la Universidad de Zaragoza. Estas imágenes serán tratadas con software de segmentación y creación de modelos numéricos para su análisis posterior. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 35 4.1 ESQUEMA DE OBTENCIÓN DEL MODELO COMPUTACIONAL. En primer lugar, se describe la creación del modelo geométrico del cráneo y de la mandíbula del corzo hembra partiendo de las imágenes proporcionadas por el Departamento de Paleontología de la Universidad de Zaragoza. Estas imágenes serán tratadas con un software de segmentación y creación de modelos numéricos para su análisis posterior. Las imágenes en formato FLT, las utilizaremos para la construcción de un modelo geométrico en 3D con el programa MIMICS. Una vez obtenido el modelo geométrico del cráneo y de la mandíbula del corzo, creamos con este mismo programa un fichero de extensión STL que nos servirá para poder importarlo en otro programa, y crear una malla tridimensional. El programa utilizado para ello es el HARPOON. Una vez obtenida la malla, se hacen unos cálculos iniciales en ABAQUS, con unas cargas y unas condiciones de contorno especiales y se estudian las tensiones observando especialmente si existe algún nodo suelto o alguna irregularidad en la malla que directamente se elimina en el archivo INP. Una vez que están listos los modelos geométricos por separado se unen utilizando el programa I-DEAS y se añaden los músculos que unirán mandíbula y cráneo y Imágenes en FLT Modelo en 3D STL Malla inicial MIMICS HARPOON MALLA Im p ortamos el archivo STL A rchivo .INP UNION DEL CONJUNTO EN I-DEAS CALCULOS ABAQUS Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 36 donde se ejercerá la fuerza que provoque la tensión, imitando a una situación de masticación. Ya dibujados los músculos, se exporta de nuevo el fichero con el conjunto nuevo y completo a ABAQUS para realizar los cálculos definitivos. Se exporta un fichero INP donde están definidos, los nodos, los elementos y los grupos que componen el conjunto y la malla de éste. En el archivo INP se modifican las cargas y las propiedades si es necesario, y se especifican materiales, condiciones de contorno. Después de ello se realiza el cálculo. Una vez calculado, en ABAQUS también, se obtienen los gráficos de tensiones máxima, mínima y desplazamientos. 4.2 SEGMENTACIÓN El modelo geométrico se obtiene a partir de imágenes de tomografías computerizadas (TAC), en formato FLT. La Tomografía Axial Computerizada (TAC) permite distinguir las partes óseas por escala de grises, es una tecnología sanitaria de exploración de rayos X que produce imágenes detalladas de cortes axiales del cuerpo. En lugar de obtener una imagen como la radiografía convencional, la TAC obtiene múltiples imágenes al rotar alrededor del cuerpo. Una computadora combina todas estas imágenes en una imagen final que representa un corte del cuerpo como si fuera una rodaja. Esta máquina crea múltiples imágenes en rodajas (cortes) de la parte del cuerpo que está siendo estudiada. Una ventaja importante de la TAC es su capacidad de obtener imágenes de huesos, tejidos blandos y vasos sanguíneos al mismo tiempo. En este proyecto se estaba interesados en reconstruir partes óseas, por tanto las imágenes que la TAC nos proporciona son muy detalladas y adecuadas para poder utilizarlas en la creación del modelo 3D. Para poder realizar un modelo computacional, primero hay que definir el volumen del sólido que se quiere construir. Para realizar dicho modelo es necesario desarrollar la “segmentación”. La segmentación es la detección de los diferentes contornos en este caso en función de la escala de grises. Este proceso se desarrolla importando las imágenes provenientes del TAC con el programa Mimics. El software de MIMICS permite procesar y editar los datos de imagen en 2D (en formato FLT procedente de las imágenes del TAC) para construir modelos en 3D con la máxima precisión. El primer paso es decidir la orientación; derecha, izquierda, arriba, abajo, anterior y posterior. Una vez decidida Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 37 la orientación de las caras se importan las imágenes FLT y se crea el modelo en 3D del cráneo y de la mandíbula. Una vez obtenido el modelo en 3D, se utiliza también éste programa para la obtención de los modelos en 3D del cráneo y de la mandíbula en formato STL. Este tipo de archivos STL permiten realizar una malla superficial a base de triángulos que describe el contorno de los sólidos. STL es un formato de archivo nativo del software CAD de la estereolitografía (stereolithography) creado por 3D Systems . Este formato de archivo es el apoyo de muchos otros paquetes de software, es ampliamente utilizado para la creación rápida de prototipos y fabricación asistida por ordenador. Los archivos STL sólo describen la geometría de la superficie de un objeto tridimensional sin ningún tipo de representación del color, textura u otros atributos comunes en el modelo CAD. Fig. 4.2.1 Imágenes FLT de la mandíbula del corzo. En la figura 4.2.1 se muestra un ejemplo de las imágenes en formato FLT que han sido proporcionadas por el Departamento de Paleontología, éstas pertenecen a la mandíbula del corzo hembra y son parte del conjunto obtenido en la realización de las tomografías. La unión de todas ellas, dado que es una secuencia, es lo que se realiza con el software mimics y nos permite la creación del modelo en 3D. A continuación se muestran imágenes de las distintas vistas del cráneo y de la mandíbula, después de haber seleccionado la orientación y del modelo en 3D ya formado. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 38 Fig. 4.2.2 Vistas del cráneo de un corzo hembra a partir de imágenes segmentadas en FLT. Fig. 4.2.3 Vistas de la mandíbula de un corzo hembra a partir de imágenes segmentadas en FLT. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 39 Cuando se cree el modelo en 3D, se debe elegir la densidad y la calidad óptima para que no exista ningún agujero en la superficie del mismo. La densidad también es proporcional al tamaño del archivo, por lo que se debe elegir la mayor densidad posible dentro de un límite para que los cálculos no queden bloqueados. Un apunte con respecto al modelo 3D de la mandíbula es que faltan los incisivos, esto es debido a que no aparecían en las imágenes en formato FLT. Fig. 4.2.4 Modelo 3D del cráneo de un corzo hembra a partir de imágenes segmentadas en FLT. Fig. 4.2.5 Modelo 3D de la mandíbula de un corzo hembra a partir de imágenes segmentadas en FLT. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 40 Una vez obtenido el modelo en 3D el siguiente paso es la obtención del modelo en formato STL. Y la obtención de una primera malla. 4.3 CONSTRUCCIÓN DE LA MALLA Mediante la utilización del software Harpoon importamos el archivo STL y en la función de mesh seleccionamos determinados valores; internal, hex dominant, remove hanging. De la base dependerá la densidad de la malla, en un principio se realiza una de gran densidad pero debido a los problemas que surgieron para trabajar con estas densidades, se tuvo que realizar una malla de menor densidad para realizar los cálculos del conjunto completo del cráneo, la mandíbula y los músculos. La base con la que se han realizado todos los cálculos ha sido la de 4,5. Fig. 4.3.1 Valores determinados para realizar la malla de nuestros modelos. A continuación, en las figuras 4.3.2 y 4.3.3. se muestran las mallas que han resultado de mallar los modelos con una densidad elevada. Fig. 4.3.2 Malla de elevada densidad del cráneo del corzo. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 41 Fig. 4.3.3 Malla de elevada densidad de la mandíbula del corzo. Una vez mallado por separado el cráneo y la mandíbula, el trabajo con el software Harpoon ha concluido y se pueden realizar unos cálculos previos. Para ello se dispondrán unas condiciones de contorno y unas cargas específicas que se detallarán en el capítulo siguiente de este proyecto. Así pues, el siguiente paso consiste en unir los modelos que tenemos por separado creando un modelo conjunto. Ahora utilizamos el software I-deas. Fig. 4.3.4 Conjunto creado en I-deas a partir de los modelos del cráneo y la mandíbula. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 48 5. RESULTADOS En este capítulo del proyecto se muestran los principales resultados obtenidos. 5.1. RESULTADOS PRELIMINARES El objetivo de la realización de esos cálculos preliminares fue el de determinar el grado de convergencia del modelo y la consistencia de la malla de elementos finitos realizada. Como luego se describirá, este modelo fue sustituido por otro con menor densidad de elementos que convergía a la misma solución, con la finalidad de obtener un tiempo de cálculo inferior. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 49 Para el chequeo del modelo, el cráneo fue fijado por la parte posterior y se impusieron dos cargas en la parte delantera. Del mismo modo se realizó una simulación con el modelo de elementos finitos de la mandíbula para chequear la malla. Fig.5.1.1 Tensión máxima del estudio previo. Las condiciones de contorno y de cargas para el cráneo son las siguientes, al igual que el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson, que en los cálculos iniciales se tomaron de forma aproximada. Fig.5.1.2 Puntos donde el movimiento está restringido y puntos de aplicación de las cargas en el cráneo. *BOUNDARY, TYPE=DISPLACEMENT 335978,1,6,0 217648,1,6,0 219956,1,6,0 265622,1,6,0 42327,1,6,0 25010,1,6,0 *STEP *STATIC 0.1, 1 *CLOAD 234452, 1, 1 210575 , 1 , 1 Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 50 Fig.5.1.3 Propiedades del material para los cálculos previos del cráneo. Fig.5.1.4 Tensión máxima del estudio previo de la mandíbula. Fig.5.1.5 Puntos donde el movimiento está restringido y puntos de aplicación de las cargas en la mandíbula. *SOLID SECTION, ELSET=ALL, MATERIAL=STEEL 1.963E-5, *MATERIAL, NAME=STEEL *ELASTIC 200.E9, 0.3 *BOUNDARY, TYPE=DISPLACEMENT 161412,1,6,0 161413,1,6,0 227302,1,6,0 236658,1,6,0 236956,1,6,0 160623,1,6,0 162912,1,6,0 190189,1,6,0 191621,1,6,0 218248,1,6,0 220047,1,6,0 236789,1,6,0 *STEP *STATIC 0.1, 1 *CLOAD 143288, 1, 1 196285, 1, 1 Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 51 Fig.5.1.6 Propiedades del material para los cálculos previos de la mandíbula. 5.2. SIMULACIÓN DE LA MASTICACIÓN DEL CORZO El proceso de cálculo se realizó con el programa Abaqus. Como se observa en la figura 5.1.4. en los primeros cálculos la malla tenía algunas irregularidades. Todas ellas fueron eliminadas en el archivo INP antes de formarse el conjunto. Una vez formado el conjunto con el cráneo y mandíbula definitivos y después de añadirse los músculos, se exportó desde I-deas de nuevo el modelo para obtener el fichero INP para Abaqus en el que quedaban ya definidos los nodos, los elementos y los distintos grupos que componen la malla. Las cargas se asignaron como señala el capítulo anterior, se definieron los materiales y sus propiedades en el archivo INP y se realizaron los cálculos. 5.2.1. MASTICACIÓN CONCÉNTRICA COMPLETA Para el caso general donde trabajan todos los músculos de ambos lados del cráneo del corzo se han obtenido los siguientes resultados tras el cálculo en Abaqus y los representamos en las imágenes que aparecen a continuación. Son imágenes que nos muestran los resultados de la tensión máxima a la que está sometido el modelo, de la tensión mínima (compresión) y de los desplazamientos que éste experimenta: *SOLID SECTION, ELSET=ALL, MATERIAL=STEEL 1.963E-5, *MATERIAL, NAME=STEEL *ELASTIC 200.E9, 0.3 Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 52 Fig.5.2.1.1 Tensión máxima cuando actúan todos los músculos sobre el conjunto. Fig.5.2.1.2 Tensión mínima cuando actúan todos los músculos sobre el conjunto. El valor de la tensión máxima para el caso en el que actúan todos los músculos, es decir el masetero, el músculo temporal y el músculo pterigoideo de ambos lados de la cabeza del corzo es de 6,48 e+1 MPa. Y el valor de la tensión mínima (de compresión) para este mismo caso es de -4,69 e+1 MPa. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 53 Fig.5.2.1.3 Desplazamientos cuando actúan todos los músculos sobre el conjunto. El valor del desplazamiento máximo es de 1,14 e+1 mm cuando actúan sobre el modelo creado todos los músculos. A partir de aquí, calculamos las mismas tensiones para los distintos casos, estudiamos el caso en el que sólo actúan los músculos del lado izquierdo del conjunto, y después los casos en los que sólo trabaja un músculo a la vez. 5.2.2. MASTICACIÓN LATERAL COMPLETA Fig.5.2.2.1 Tensión máxima cuando sólo actúan los músculos de la parte izquierda. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 54 En este caso, sólo se tienen en cuenta los músculos de la parte izquierda del corzo. Los de la derecha no trabajan, y tratan de imitar la mordida característica de los rumiantes. El valor obtenido para la tensión máxima (tracción) es de 7,40 e+1 MPa. Fig.5.2.2.2 Tensión mínima cuando sólo actúan los músculos del lado izquierdo. Fig.5.2.2.3 Desplazamientos cuando sólo actúan los músculos del lado izquierdo. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 55 Los valores máximos obtenidos en este caso para la tensión mínima (de compresión) son de -4,05 MPa y el valor de desplazamiento máximo se localiza en el cóndilo de la mandíbula y tiene un valor de 1,14 e+1 mm. 5.2.3. MASTICACIÓN COMPLETA MÚSCULO MASETERO Fig.5.2.3.1 Tensión máxima cuando sólo actúa el músculo masetero. Las tensiones máximas obtenidas cuando actúa sólo el músculo masetero de los dos lados es de 1,40 e+1 MPa y el valor de la tensión mínima (compresión) para el caso de estudio actual es de -9,77 MPa. Fig.5.2.3.2 Tensión mínima cuando sólo actúa el músculo masetero. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 56 Fig.5.2.3.3 Desplazamientos cuando sólo actúa el músculo masetero. Los desplazamientos máximos que tienen lugar en este caso son de 5,02 e-1 mm. Estos desplazamientos están localizados en la parte posterior de la mandíbula. 5.2.4. MASTICACIÓN COMPLETA MÚSCULO TEMPORAL El siguiente caso de estudio es aquel donde sólo trabaja el músculo temporal. El músculo trabaja a ambos lados del cráneo del corzo y el valor máximo de la tensión máxima (tracción) es de 5,76 e+1 MPa. Fig.5.2.4.1 Tensión máxima cuando sólo actúa el músculo temporal. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 57 La tensión mínima del conjunto cuando está sometido sólo a la fuerza del músculo temporal es de -4,69 e+1 MPa Fig.5.2.4.2 Tensión mínima cuando sólo actúa el músculo temporal. Fig.5.2.4.3 Desplazamientos cuando sólo actúa el músculo temporal. En el caso en el que sólo trabaja el músculo temporal en ambos lados el desplazamiento que sufre es de 1,15 e+1 mm Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 64 GLOSARIO Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 65 1. ARTIODÁCTILO. (Del gr. ἄρτιος, par, y -dáctilo). 1. adj. Zool. Se dice del mamífero ungulado cuyas extremidades terminan en un número par de dedos, de los cuales apoyan en el suelo por lo menos dos, que son simétricos. U. t. c. s. 2. m. pl. Zool. Taxón de estos animales, que comprende los Paquidermos y los Rumiantes 2. CÉRVIDO. (Del lat. cervus, ciervo, y el gr. εἶδος, forma). 1. adj. Zool. Se dice de los mamíferos artiodáctilos rumiantes cuyos machos tienen cuernos ramificados que caen y se renuevan periódicamente; p. ej., el ciervo y el reno. U. t. c. s. 2. m. pl. Zool. Taxón de estos animales. Real academia de la lengua Española. 3. UNGULADO. (Del lat. ungulātus). 1. adj. Zool. Se dice del mamífero que tiene casco o pezuña. U. t. c. s. 2. m. pl. Zool. Grupo de estos animales, que comprende los Perisodáctilos y los Artiodáctilos. 4. XEROFÍTICO. (De xero- y -fito). 1. adj. Xerófilo, pero, con mayor precisión, se dice de los vegetales adaptados por su estructura a los medios secos, por su temperatura u otras causas. 5. DIMORFISMO. 1. m. Biol. Condición de las especies animales o vegetales que presentan dos formas o dos aspectos anatómicos diferentes. 6. SENESCENTE. (Del lat. senescens, -entis). 1. adj. Que empieza a envejecer. 7. FENOTÍPICO/CA. 1. adj. Biol. Perteneciente o relativo al fenotipo*. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 66 *FENOTIPO. (Del gr. φαίνειν, mostrar, aparecer, y τύπος, tipo). 1. m. Biol. Manifestación visible del genotipo en un determinado ambiente. Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 67 BIBLIOGRAFÍA Modelización por elementos finitos del cráneo de un corzo hembra. Estudio de la tensión generada durante la masticación. 68 Geist (1999). Gortázar, C., Herrero, J., Villafuerte, R. y Marco, J. 2000. “Historical examination of the status of large mammals in Aragón, Spain”. Mammalia 64 (4):411-422. Sáez-Royuela, C. y Tellería J.L. 1991. “Roe deer (Capreolus capreolus) distribution in central Spain”. Costa, L. 1992. Ecología del corzo en las montañas cantábricas. Modelo de gestión. Danilkin, A. 1996. Behavioural Ecology of Siberian and European Roe Deer. San José, C. 1997. “Corzo Capreolus capreolus (Linnaeus, 1758)”. Galemys, Boletín SECEM, 9:3-8 San José, C. 2001. “Métodos para la evaluación de poblaciones de corzo en el sur de España”. Boletín de la Asociación del Corzo Español, 1:16-19. San José, C. y F. 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