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UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA CENTRO POLITECNICO SUPERIOR INGENIERIA INDUSTRIAL PROYECTO FIN DE CARRERA 1/3 MEMORIA PROGRAMA PARA EL CALCULO DE LA ESTRUCTURA Y ELEMENTOS DE GRUAS TORRE SIN PINÁCULO. AUTOR: DIEGO PEREZ GARCIA DIRECTOR: LUIS CASTEJON DEPARTAMENTO: INGENIERIA MECANICA I.I.T. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 2 de 143 PROGRAMA PARA EL CALCULO DE LA ESTRUCTURA Y ELEMENTOS DE GRUAS TORRE SIN PINÁCULO. RESUMEN Tal y como se indica en su título, el presente proyecto consiste en la realización de un programa informático para el cálculo de una gama de grúas torre sin pináculo de características variables: Altura, longitud y carga en punta de pluma. Para su realización se emplearán dos lenguajes de programación: Visual Basic y MatLab. El primero de ellos se usará para el cálculo y dimensionamiento de todos los elementos necesarios para el funcionamiento de la grúa: Gancho, poleas, cable, tambor, motor… de los mecanismos de elevación, traslación y orientación. Una vez definidos esos elementos, se utilizará MatLab para la realización del cálculo estructural de la grúa y su deformada, aplicando para ello las teorías del cálculo matricial, gracias a la gran potencia de MatLab para realizar operaciones con vectores y matrices. También se utilizará Visual Basic para la programación del interfaz de usuario del programa. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 3 de 143 ÍNDICE Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 4 de 143 MEMORIA 1. INTRODUCCION...................................................................................................... 10 1.1 OBJETO DEL PROYECTO ................................................................................ 10 1.2 DESCRIPCION DEL PROYECTO..................................................................... 10 1.2.1 Mecanismos................................................................................................... 10 1.2.2 Estructura....................................................................................................... 11 1.2.3 Características................................................................................................ 11 1.2.4 Ventajas......................................................................................................... 12 2. CÁLCULO MATRICIAL.......................................................................................... 13 2.1 INTRODUCCION................................................................................................ 13 2.2 FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO MATRICIAL............................................ 13 2.2.1 Modelo monodimensional de barras ............................................................. 13 2.2.2 Método directo de rigidez.............................................................................. 14 2.2.3 Vectores de desplazamientos y de fuerzas .................................................... 15 2.2.4 Matriz de rigidez de una barra en locales...................................................... 16 2.2.5 Transformación de coordenadas.................................................................... 18 2.2.6 Matriz de rigidez de una barra en globales.................................................... 18 2.2.7 Síntesis de la matriz de la estructura ............................................................. 19 2.2.8 Desplazamientos y reacciones....................................................................... 20 2.2.9 Esfuerzos en las barras .................................................................................. 21 2.3 RESUMEN Y CONSIDERACIONES FINALES ............................................... 21 3. CONFIGURACION DE LA ESTRUCTURA........................................................... 22 3.1 INTRODUCCION................................................................................................ 22 3.2 CONFIGURACION DE LA PLUMA Y CONTRAPLUMA.............................. 22 3.2.1 Descripción de la estructura .......................................................................... 22 3.2.2 Módulo 0 ....................................................................................................... 22 3.2.3 Módulo 1 ....................................................................................................... 25 3.2.4 Módulo 2 ....................................................................................................... 27 3.2.5 Módulo 3 ....................................................................................................... 29 3.2.6 Módulo 4 ....................................................................................................... 31 3.2.7 Módulo 5 ....................................................................................................... 33 3.2.7 Módulo 6 ....................................................................................................... 35 3.3 CONFIGURACION DE LA TORRE .................................................................. 37 3.3.1 Descripción de la estructura .......................................................................... 37 3.3.2 Módulo 7 ....................................................................................................... 37 3.4 CONSIDERACIONES FINALES ....................................................................... 39 3.4.1 Cálculo mediante Matlab............................................................................... 39 3.4.2 Comprobación mediante Microsoft Excel..................................................... 39 4. CÁLCULO DE LAS HIPOTESIS DE CARGA........................................................ 40 4.1 DEFINICION DE LAS CARGAS DE LA GRUA.............................................. 40 4.1.1 Clasificación de la grúa................................................................................. 40 4.1.2 Tipos de cargas.............................................................................................. 40 4.2 CÁLCULO DE LAS CARGAS........................................................................... 41 4.2.1 Solicitaciones a considerar ............................................................................ 41 4.2.2 Caso I: Aparato en servicio sin viento........................................................... 41 4.2.3 Caso II: Aparato en servicio con viento ........................................................ 42 4.2.4 Caso III: Aparato sometido a solicitaciones excepcionales........................... 42 4.3 CARGAS DE LAS SOLICITACIONES PRINCIPALES................................... 43 4.3.1 Peso propio de la grúa ................................................................................... 43 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 5 de 143 4.3.2 Peso de la carga de servicio........................................................................... 43 4.3.3 Peso del lastre................................................................................................ 43 4.4 CARGAS DEL VIENTO ..................................................................................... 44 4.4.1 Condiciones del viento.................................................................................. 44 4.4.2 Coeficiente de forma ..................................................................................... 44 4.4.3 Coeficiente de efecto de pantalla................................................................... 45 4.4.4 Cargas producidas por el viento de servicio.................................................. 46 4.4.5 Cargas producidas por el viento fuera de servicio......................................... 47 4.5 HIPOTESIS ADOPTADAS................................................................................. 48 5. PROGRAMA EN MATLAB..................................................................................... 49 5.1 INTRODUCCION................................................................................................ 49 5.1.1 Matlab............................................................................................................ 49 5.1.2 Origen del Matlab.......................................................................................... 49 5.2 DESARROLLO DEL PROGRAMA................................................................... 50 5.2.1 Introducción................................................................................................... 50 5.2.2 Consideraciones iniciales .............................................................................. 50 5.2.3 Definición de una barra ................................................................................. 50 5.2.4 Matriz de rigidez de una barra en globales.................................................... 51 5.2.5 Definición de un módulo............................................................................... 51 5.2.6 Matriz de rigidez de cada módulo ................................................................. 51 5.2.7 Matriz de rigidez de la pluma........................................................................ 53 5.2.8 Valores variables de los perfiles de la pluma................................................ 54 5.2.9 Cálculo de libertades y reacciones de la pluma............................................. 56 5.2.10 Cálculo del vector de cargas para la hipótesis I de la pluma....................... 56 5.2.11 Cálculo del vector de cargas para la hipótesis II de la pluma...................... 57 5.2.12 Cálculo del vector de cargas para la hipótesis III de la pluma.................... 57 5.2.13 Cálculo de los desplazamientos y las reacciones de la pluma..................... 58 5.2.14 Cálculo de los esfuerzos en las barras de la pluma...................................... 58 5.2.15 Cálculo resistente de las barras de la pluma................................................ 58 5.2.16 Matriz de rigidez de la torre ........................................................................ 59 5.2.17 Valores de los perfiles, libertades y reacciones de la torre.......................... 60 5.2.18 Cálculo del vector de cargas para la hipótesis I de la torre ......................... 60 5.2.19 Cálculo del vector de cargas para la hipótesis II de la torre........................ 60 5.2.20 Cálculo del vector de cargas para la hipótesis III de la torre....................... 60 5.2.21 Desplazamientos, reacciones y esfuerzos en las barras de la torre.............. 61 5.2.23 Cálculo resistente de las barras de la torre .................................................. 61 5.2.24 Dibujo de la deformada de la grúa............................................................... 61 5.2.25 Pasos finales ................................................................................................ 62 5.3 FUNCIONES DESARROLLADAS .................................................................... 62 5.3.1 Árbol genealógico del programa ................................................................... 62 5.3.2 function [Result] = grua(a,P,Q,H,T,G,def1,def2,def3); ................................ 64 5.3.3 function [p,d,R,Lastre,PP,PCP,t,z] = pluma(a,P,Q,G);................................. 64 5.3.4 function [ch,cm,cu] = perfiles(p);.................................................................. 65 5.3.5 function [p] = perfilesch(d,e);........................................................................ 65 5.3.6 function [p] = perfilescm(d);......................................................................... 65 5.3.7 function [p] = perfilescu(L,e);....................................................................... 65 5.3.8 function [K,n] = matrizglobal(a,ch,cm,cu,union);......................................... 65 5.3.9 function [n] = barras(a);................................................................................. 65 5.3.10 function [n] = barras_X;.............................................................................. 65 5.3.11 function [K] = composicion3d(n,ch,cm,cu); ............................................... 65 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 6 de 143 5.3.12 function [K] = matrizg3d(n,ch,cm,cu);........................................................ 65 5.3.13 function [K] = matrizl3d(n,ch,cm,cu); ........................................................ 65 5.3.14 function [R0] = cambio3d(n);...................................................................... 65 5.3.15 function [K] = componer3d(K,k,a,b);.......................................................... 65 5.3.16 function [K] = unionK(K1,K2,union); ........................................................ 65 5.3.17 function [n] = unionN(n1,n2);..................................................................... 65 5.3.18 function [v,d,R,r,l] = hipoI(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,G,z);................................. 65 5.3.19 function [PV,Lastre,PP,PCP] = cargaselementos(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,z,G)65 5.3.20 function [S] = esfuerzos(n,d,ch,cm,cu); ...................................................... 65 5.3.21 function [v] = vonmisses(n,S,ch,cm,cu,z);.................................................. 65 5.3.22 function [w] = pandeo(L);........................................................................... 65 5.3.23 function [v,d,R] = hipoII(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,G,r,l,z); ............................... 65 5.3.24 function [Pviento] = cargasviento(K,n,a,ch,cm,cu,p,v);.............................. 65 5.3.25 function [Pviento] = viento_X(n,ch,cm,cu,p,v,Pviento); ............................ 65 5.3.26 function [v,d,Lastre,PP,PCP,R] = hipoIII(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,r,l,z); ......... 65 5.3.27 function [p,d,PT,a] = torre(H,R,t,G);........................................................... 65 5.3.28 function [v,d] = hipotorreI(K,n,a,ch,cm,cu,P,G);........................................ 65 5.3.29 function [PV,PT] = cargastorre(K,n,ch,cm,cu,P,G);................................... 65 5.3.30 function [v,d] = hipotorreII(K,n,a,ch,cm,cu,P,G);....................................... 65 5.3.31 function [v,d,PT] = hipotorreIII(K,n,a,ch,cm,cu,P); ................................... 65 5.3.32 function [Result] = modificar(p,p2,d,d2,R,Lastre,PP,PCP,PT); ................. 65 5.3.33 function [h] = deformada(a,a2,d,d2,z,color); .............................................. 65 5.3.34 function [h] = deformada_X(t,pX,pY,X,Y,Z,color);................................... 65 6. CÁLCULO DE LOS MECANISMOS....................................................................... 65 6.1 INTRODUCCION................................................................................................ 65 6.1.1 Generalidades................................................................................................ 65 6.1.2 Clasificación.................................................................................................. 65 6.2 MECANISMO DE ELEVACION ....................................................................... 65 6.2.1 Gancho........................................................................................................... 65 6.2.2 Aparejo.......................................................................................................... 65 6.2.3 Cable.............................................................................................................. 65 6.2.4 Poleas............................................................................................................. 65 6.2.5 Tambor .......................................................................................................... 65 6.2.6 Motor............................................................................................................. 65 6.2.7 Freno.............................................................................................................. 65 6.2.8 Reductor ........................................................................................................ 65 6.2.9 Acoplamiento ................................................................................................ 65 6.3 MECANISMO DE TRASLACION..................................................................... 65 6.3.1 Motor............................................................................................................. 65 6.3.2 Freno.............................................................................................................. 65 6.3.4 Acoplamiento ................................................................................................ 65 6.4 MECANISMO DE ORIENTACION................................................................... 65 6.4.1 Corona de orientación.................................................................................... 65 6.4.2 Motor............................................................................................................. 65 6.4.3 Freno.............................................................................................................. 65 6.4.4 Acoplamiento ................................................................................................ 65 7. PROGRAMA EN VISUAL BASIC........................................................................... 65 7.1 INTRODUCCION................................................................................................ 65 7.1.1 Visual Basic................................................................................................... 65 7.1.2 Introducción al Visual Basic.......................................................................... 65 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 7 de 143 7.2 DESARROLLO DEL PROGRAMA................................................................... 65 7.2.1 Introducción................................................................................................... 65 7.2.2 Cálculos realizados........................................................................................ 65 7.2.2 Formulario 8 - Llamada a Matlab.................................................................. 65 7.2.3 Formulario 9 - Generar el código para el dibujo de la deformada ................ 65 7.2.4 Formulario 11 - Generar un documento de Word al final del cálculo........... 65 7.2.5 Documentación adjunta al programa............................................................. 65 7.3 PROCEDIMIENTOS FINALES.......................................................................... 65 7.3.1 Programa de instalación................................................................................. 65 7.3.2 Reproducción automática.............................................................................. 65 8. EJEMPLO DE CALCULO ........................................................................................ 65 8.1 GENERALIDADES............................................................................................. 65 8.1.1 Introducción................................................................................................... 65 8.1.2 Clasificación de aparatos y mecanismos....................................................... 65 8.2 MECANISMO DE ELEVACION ....................................................................... 65 8.2.1 Gancho........................................................................................................... 65 8.2.2 Aparejo.......................................................................................................... 65 8.2.3 Cable.............................................................................................................. 65 8.2.4 Poleas............................................................................................................. 65 8.2.5 Tambor .......................................................................................................... 65 8.2.6 Motor............................................................................................................. 65 8.2.7 Freno.............................................................................................................. 65 8.2.8 Reductor ........................................................................................................ 65 8.2.9 Acoplamiento ................................................................................................ 65 8.3 MECANISMO DE TRASLACCION .................................................................. 65 8.3.1 Motor............................................................................................................. 65 8.3.2 Freno.............................................................................................................. 65 8.3.3 Acoplamiento ................................................................................................ 65 8.4 CALCULO DE LA ESTRUCTURA DE LA GRUA .......................................... 65 8.5 MECANISMO DE ORIENTACION................................................................... 65 8.5.1 Corona de orientación.................................................................................... 65 8.5.2 Motor............................................................................................................. 65 8.3.2 Freno.............................................................................................................. 65 8.3.3 Acoplamiento ................................................................................................ 65 8.6 RESULTADOS DEL PROGRAMA DE VISUAL BASIC................................. 65 PLIEGO DE CONDICIONES 1. CONDICIONES GENERALES................................................................................. 65 1.1 INTRODUCCION................................................................................................ 65 1.2 CONDICIONES DE DESARROLLO ................................................................. 65 1.3 PROPIEDAD INTELECTUAL ........................................................................... 65 2. CONDICIONES DE MATERIALES Y EQUIPOS................................................... 65 2.1 RECURSOS HARDWARE ................................................................................. 65 2.2 RECURSOS SOFTWARE................................................................................... 65 3. CONDICIONES DE MONTAJE Y EJECUCION .................................................... 65 3.1 REQUERIMIENTOS MINIMOS ........................................................................ 65 3.2 INSTALACION................................................................................................... 65 4. CONDICIONES ECONOMICAS.............................................................................. 65 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 8 de 143 PRESUPUESTO 1. MEDICIONES ........................................................................................................... 65 1.1 EQUIPOS - CANTIDAD..................................................................................... 65 1.2 PROGRAMACION.............................................................................................. 65 1.2.1 Programación en Matlab................................................................................ 65 1.2.2 Programación en Visual Basic....................................................................... 65 2. Cuadros de precios ................................................................................................. 65 2.1 Equipos - Precios.................................................................................................. 65 2.2 Programación.................................................................................................. 65 2.2.1 Programación en Matlab......................................................................... 65 2.2.2 Programación en Visual Basic................................................................ 65 3. Presupuestos........................................................................................................... 65 3.1 Equipos........................................................................................................... 65 3.2 Programación.................................................................................................. 65 3.3 PRESUPUESTO TOTAL .............................................................................. 65 NORMATIVA NORMATIVA................................................................................................................ 65 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA............................................................................................................ 65 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 9 de 143 MEMORIA Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 16 de 143 Un nudo rígido puede experimentar un desplazamiento longitudinal δ y un desplazamiento angular o giro θ. Los desplazamientos positivos de las componentes del desplazamiento coinciden con el sentido positivo de los ejes. El sentido positivo del giro es el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del eje. Los desplazamientos del extremo de una barra se representan mediante: [ ]                     = Z Y Z Y G A θ θ δ δ ∆ d ϕ Ecuación (2.1) El sentido positivo de las fuerzas que actúan sobre el extremo de barra corresponde a la dirección de los ejes globales. El sentido positivo del momento corresponde al sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del eje. Las fuerzas externas que actúan sobre un nudo se representan mediante: [ ]                     = Z Y T Z Y G A M M M T T N P Ecuación (2.2) 2.2.4 Matriz de rigidez de una barra en locales Una barra espacial de nudos rígidos posee 12 grados de libertad (posibilidades de movimiento), 6 por cada nudo (3 traslaciones y 3 giros en cada uno de ellos). Considerando una barra de sección constante cuyos extremos experimentan desplazamientos, estos desplazamientos originan en los extremos de la barra las solicitaciones descritas anteriormente. Según la ley de Hooke y el principio de superposición, entre los desplazamientos y las solicitaciones se puede establecer la siguiente relación: 1212122212111212 121222221122 121212211111 δkδkδkS δkδkδkS δkδkδkS −−− −−− −−− +⋅⋅⋅++= +⋅⋅⋅++= + ⋅ ⋅ ⋅ + + = MM Ecuación (2.3) El coeficiente de proporcionalidad k i-j , o coeficiente de rigidez de la barra, representa la solicitación S i originada por un desplazamiento δ j unitario. Estas expresiones pueden escribirse en forma matricial: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 17 de 143 L 12 2 1 L 1212212112 1222212 1212111 L 12 2 1 δ δ δ kkk kkk kkk S S S             ⋅             =             −−− −−− −−− M L MOMM L L M Ecuación (2.4) O, para simplificar: [ ] [ ] [ ] LLL dKS ⋅= Ecuación (2.5) Para determinar los 144 (12·12) elementos de la matriz K se provocan aisladamente desplazamientos unitarios dirigidos según δ 1 , δ 2 , etc… y se compone la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales: L IE4 000 L IE6 0 L IE2 000 L IE6 0 0 L IE4 0 L IE6 000 L IE2 0 L IE6 00 00 L IG 00000 L IG 000 0 L IE6 0 L IE12 000 L IE6 0 L IE12 00 L IE6 000 L IE12 0 L IE6 000 L IE12 0 00000 L AE 00000 L AE L IE2 000 L IE6 0 L IE4 000 L IE6 0 0 L IE2 0 L IE6 000 L IE4 0 L IE6 00 00 L IG 00000 L IG 000 0 L IE6 0 L IE12 000 L IE6 0 L IE12 00 L IE6 000 L IE12 0 L IE6 000 L IE12 0 00000 L AE 00000 L AE Z 2 ZZ 2 Z Y 2 YY 2 Y tt 2 Y 3 Y 2 Y 3 Y 2 Z 3 Z 2 Z 3 Z Z 2 ZZ 2 Z Y 2 YY 2 Y tt 2 Y 3 Y 2 Y 3 Y 2 Z 3 Z 2 Z 3 Z                                                               ⋅⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅⋅ ⋅ − ⋅ Ecuación (2.6) Siendo: · E el módulo de elasticidad longitudinal del material. · A el área del perfil, sección transversal de la barra. · L la longitud de la barra. · Ix, Iy, Iz los momentos de inercia de la barra según los ejes X, Y, Z. · It el módulo de torsión. La matriz de rigidez K L tiene las siguientes propiedades: · Es una matriz cuadrada de orden 12. · Los elementos de la diagonal principal son positivos y no nulos. · El elemento k i-j representa la solicitación de orden i originada por el desplazamiento unitario de orden j. · Es una matriz simétrica. Se puede demostrar mediante el teorema de Maxwell. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 18 de 143 2.2.5 Transformación de coordenadas Centrándose en el caso espacial, un nudo tiene 6 grados de libertad. Agrupando sus variables en el sistema de coordenadas XYZ, denominado sistema global, se obtienen las ecuaciones 2.1 y 2.2 ya vistas. Si se define el nudo desde otro sistema de coordenadas X’Y’Z’, denominado sistema local, deberá existir una relación entre los vectores de fuerzas y desplazamientos expresados en ambos sistemas de coordenadas, según: [ ] [ ] [ ] LG VRV ⋅= Ecuación (2.7) [ ] [ ] [ ] G T L VRV ⋅= Ecuación (2.8) La matriz de rotación [R] está definida según: [ ]           = 321 321 321 cosγcosγcosγ cosβcosβcosβ cosαcosαcosα R Ecuación (2.9) Donde: · α 1 , β 1 y γ 1 , son los ángulos que forma el eje local X L con los ejes globales X, Y y Z. · α 2 , β 2 y γ 2 , son los ángulos que forma el eje local Y L con los ejes globales X, Y y Z. · α 3 , β 3 y γ 3 , son los ángulos que forma el eje local Z L con los ejes globales X, Y y Z. 2.2.6 Matriz de rigidez de una barra en globales Teniendo en cuenta las particiones matriciales, la ecuación (2.5) se puede expresar de la forma: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] L B L BB L A L BA L AB L B L AB L A L AA L AB dKdKS dKdKS += + = Ecuación (2.10) Designando por [R 0 ] y [R 0 ] T a: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]       =R0 0R R O [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]       = T T T O R0 0R R Ecuación (2.11) Al premultiplicar por [R0] la expresión (2.10) resulta: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] L B L BB0 L A L BA0 L AB0 L B L AB0 L A L AA0 L AB0 dKRdKRSR dKRdKRSR += + = Ecuación (2.12) Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 19 de 143 Y tenemos que: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] G AB L ABO G A T O L A SSR dRd = = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] G BA L BAO G B T O L B SSR dRd = = Ecuación (2.13) Sustituyendo, se obtiene: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] G B T O L BBO G A T O L BAO G BA G B T O L ABO G A T O L AAO G AB dRKRdRKRS dRKRdRKRS += += Ecuación (2.14) Definiendo las submatrices de rigidez de las barras en coordenadas globales por: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T O L BAO G BA T O L AAO G AA RKRK RKRK = = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T O L BBO G BB T O L ABO G AB RKRK RKRK = = Ecuación (2.15) Sustituyendo esos valores, las ecuaciones (2.14) se reducen a: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] G B G BB G A G BA G BA G B G AB G A G AA G AB dKdKS dKdKS += + = Ecuación (2.16) De forma simplificada: [ ] [ ] [ ] GGG dKS = Ecuación (2.17) En donde: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]       = BBBA ABAA G KK KK K Ecuación (2.18) La matriz [K]G es cuadrada y de orden 12, ya que una barra tiene 12 grados de libertad. 2.2.7 Síntesis de la matriz de la estructura Siguiendo el procedimiento, se restablece el equilibrio y la continuidad de los nudos ensamblando las submatrices de rigidez de las barras en coordenadas globales. De esta forma se obtiene la matriz de rigidez completa de la estructura [K0] que satisface la ecuación matricial: [ ] [ ] [ ] G O G dKP = Ecuación (2.19) Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 20 de 143 La matriz de rigidez [K 0 ] es una matriz cuadrada de orden 6n, siendo n el número de nudos de la estructura. Esta matriz es una matriz singular, ya que, al no haber impuesto ninguna condición de contorno, apoyos y/o empotramientos, se trata de un mecanismo y tiene infinitas soluciones. 2.2.8 Desplazamientos y reacciones Al imponer las condiciones de apoyo, eliminando las columnas correspondientes a los desplazamientos conocidos (en los apoyos y/o empotramientos varios desplazamientos son 0) y las filas correspondientes a las cargas desconocidas (las reacciones en los apoyos), la ecuación (2.19) se reduce a la siguiente ecuación matricial, de donde podemos despejar los desplazamientos de la estructura: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] G a 1 G 1 G 1 G a PKddKP − =⇒= Ecuación (2.20) Donde [K] es la matriz de rigidez de la estructura que considera únicamente los nudos libres. Su orden es igual al grado de indeterminación cinemática de la estructura. Para hacer un cálculo más general, se puede proceder dividiendo la matriz de rigidez de la estructura y los vectores de cargas y desplazamientos de la siguiente manera: [ ]       = LLRL LRLL 0 KK KK K Ecuación (2.21a) [ ]       = R L G d d d Ecuación (2.21b) [ ]       = R L G P P P Ecuación (2.21c) Denominando con el subíndice R a las variables relacionadas con las reacciones y con el subíndice L a las variables relacionadas con las libertades. Así, el sistema de ecuaciones quedaría:       ⋅       =       R L LLRL LRLL R L d d KK KK P P Ecuación (2.22) Donde las incógnitas son d L (desplazamientos de los nudos libres) y P R (reacciones en los apoyos). Despejando en el primer grupo de ecuaciones, obtenemos los desplazamientos de la estructura: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 21 de 143 ( ) RLRL 1 LLLRLRLLLL dKPKddKdKP ⋅−⋅=⇒⋅+⋅= − Ecuación (2.23) Se puede observar cómo en el caso de que los desplazamientos conocidos (d R ) sean 0, que es lo habitual en este tipo de cálculos, esta ecuación es equivalente a la ecuación (2.20). En caso de que no sean nulos, no existe ninguna dificultad en el cálculo de los desplazamientos de los nudos libres (d L ). Una vez obtenidos los desplazamientos y usando el segundo grupo de ecuaciones de la ecuación (2.22), calculamos las reacciones en los apoyos: RRRLRLR dKdKP ⋅+⋅= Ecuación (2.24) 2.2.9 Esfuerzos en las barras Para realizar el cálculo de resistencia en una barra es necesario expresar los esfuerzos a los que está sometida respecto de sus ejes locales. Para ello, y aplicando la matriz de rotación descrita anteriormente, calculamos los desplazamientos de los nudos de la barra en locales: [ ] [ ] [ ] G T 0 L dRd ⋅= Ecuación (2.25) Sustituyendo en la ecuación de comportamiento del elemento barra, obtenemos los esfuerzos en la barra: [ ] [ ] [ ] LL dKS L = Ecuación (2.26) 2.3 RESUMEN Y CONSIDERACIONES FINALES 1. Definición de la estructura: Nudos, barras, apoyos, elementos, materiales… 2. Matriz de rigidez de cada barra en locales. 3. Matriz de rotación para cada barra. 4. Matriz de rigidez de cada barra en globales. 5. Composición de la matriz de rigidez total de la estructura. 6. División de la ecuación de comportamiento según nudos libres y reacciones. 7. Calculo de los desplazamientos en globales. 8. Calculo de las reacciones en globales. 9. Calculo de los desplazamientos en locales. 10. Calculo de los esfuerzos en los extremos de las barras. Queda por comentar que la teoría del cálculo matricial abarca mucho más y es mucho más compleja que lo expuesto anteriormente. En este apartado de la memoria se ha intentado hacer un resumen, lo más sencillo y escueto posible, del cálculo matricial que será usado en nuestro programa. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 22 de 143 3. CONFIGURACION DE LA ESTRUCTURA 3.1 INTRODUCCION La estructura de la grúa torre se encuentra compuesta por las siguientes subestructuras: · Pluma · Contrapluma · Torre Estas partes son las subestructuras objeto de cálculo. Cada una de ellas está formada por una combinación organizada de barras que, conectadas entre sí, determinan una celosía. Cada celosía tiene una serie de particularidades, de carácter geométrico, que las hace distintas entre sí. Tales diferencias están relacionadas con las distintas funciones que cada una de estas partes desempeña en el conjunto global de la estructura, así como con las solicitaciones a las que van a estar sometidas. Cada una de las subestructuras de la grúa están formados por una serie de módulos que van a ser descritos en los apartados siguientes. 3.2 CONFIGURACION DE LA PLUMA Y CONTRAPLUMA 3.2.1 Descripción de la estructura La pluma y la contrapluma son los elementos que sostienen a los elementos de elevación, la carga y el lastre. Están formadas por una serie de módulos que se van añadiendo a medida que se desea aumentar su longitud. Para nuestro proyecto hemos definido 7 módulos diferentes, del 0 al 6, que pasamos a describir a continuación. 3.2.2 Módulo 0 Este módulo es el que sirve de unión a la pluma (por delante), contrapluma (por detrás) y torre (por debajo). Tiene una altura de 3.2 metros, la máxima que permitimos en este proyecto, y una longitud y anchura de 1 metro. Está formado por dos barras cuadradas huecas inferiores y una barra circular maciza superior, el resto de barras, las que forman las pirámides y las que sirven de unión a las cuadradas huecas, son barras circulares huecas. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 23 de 143 Figura 3.1: Módulo 0 Este módulo esta formado por 7 nudos y 14 barras, para su numeración y estudio utilizaremos el siguiente esquema que simplifica la estructura anterior: Figura 3.2: Esquema del módulo 0 Rosa: Barras esquemáticas del módulo 0 Azul: Ejes globales Amarillo: Ejes Y y Z locales de alguna de las barras Números: Nudos del módulo 0 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 24 de 143 Para las barras que tienen dibujados sus ejes locales en la figura 3.2 sólo se han dibujado los ejes Y y Z. Esto se debe a que el eje X coincide con el esquema rosa de la barra y se dificultaría todavía más la diferenciación de los diversos elementos. DEFINICION DE LOS NUDOS La numeración de los nudos presente en el esquema del módulo 0, responde a la futura necesidad de composición de la matriz de rigidez total a partir de las matrices de rigidez de los diversos módulos. Estos se unen por los tres nudos presentes en cada extremo. Así, llamando a los tres nudos más a la izquierda 1, 2 y 3 y a los nudos más a la derecha con los tres últimos números necesarios, en este caso 5, 6 y 7, se simplifica mucho la unión de las matrices como ya se verá. La tabla siguiente muestra las coordenadas en metros de cada uno de los nudos respecto al sistema global: Nudo 1 2 3 4 5 6 7 Coord. X -0.5 -0.5 -0.5 0 0.5 0.5 0.5 Coord. Y 3.2 0 0 3.2 3.2 0 0 Coord. Z 0 0.5 -0.5 0 0 0.5 -0.5 DEFINICION DE LAS BARRAS Las definiciones de las barras de cada uno de los módulos, por ser unas tablas muy extensas, las incluiremos en un anexo del presente proyecto. A continuación incluimos una explicación de cómo se han realizado las mediciones necesarias. Para la medida de la longitud y los diferentes ángulos de cada barra se ha usado una herramienta de medición (de elementos y de ángulos) incluida en el programa Solid Edge, el mismo programa utilizado para el dibujo de los diferentes módulos y sus esquemas. Esta herramienta es capaz de dar resultados hasta con 7 cifras decimales, precisión suficiente para nuestros propósitos. Su utilización consiste en seleccionar con el ratón el elemento que queremos medir, o los dos elementos que forman el ángulo que queremos medir, y el programa nos da la magnitud deseada en un cuadro de texto. A continuación se incluyen unas pantallas mostrando el uso de esta herramienta: Figura 3.3: Selección de la herramienta de medición Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 25 de 143 Figura 3.4: Uso de la herramienta de medición de ángulos Figura 3.5: Uso de la herramienta de medición de elementos 3.2.3 Módulo 1 Figura 3.6: Módulo 1 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 32 de 143 Tiene una longitud de 10 metros, una altura de 3.2 metros y una anchura de 1 metro en su extremo derecho, donde empieza a aumentar durante un metro hasta 1.5 metros, longitud que se mantiene en el resto del módulo. Está formado por dos barras cuadradas huecas inferiores, cuatro en la zona del lastre, y una barra circular maciza superior. El resto de barras, las que forman las pirámides y las que sirven de unión a las cuadradas huecas, son barras circulares huecas salvo las que están en la zona del lastre, que son cuadradas huecas. Este módulo esta formado por 18 nudos y 33 barras. Para su numeración y estudio utilizaremos el esquema dibujado a continuación que simplifica la estructura arriba dibujada. Figura 3.13: Esquema del módulo 4 Rosa: Barras esquemáticas del módulo 4 Azul: Ejes globales Números: Nudos del módulo 4 Como ya se han visto los ejes locales de las barras y su uso en la medición de los ángulos en el apartado 3.2.2, se ha optado por no dibujarlos en la figura siguiente, de manera que ésta quede lo más clara posible. DEFINICION DE LOS NUDOS La numeración de los nudos presente en el esquema del módulo 4, responde a la futura necesidad de composición de la matriz de rigidez total a partir de las matrices de rigidez de los diversos módulos. Este módulo al encontrarse en un extremo de la pluma solo se une por los tres nudos presentes en el extremo derecho. Así, llamando a esos tres nudos 16, 17 y 18 se simplifica mucho la unión de las matrices. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 33 de 143 La tabla siguiente muestra las coordenadas en metros de cada uno de los nudos respecto al sistema global: Nudo 1 2 3 4 5 6 Coord. X 0 0 3 3 6 0 Coord. Y 0 0 0 0 3.2 0 Coord. Z 0.4 -0.4 0.4 -0.4 0 0.75 Nudo 7 8 9 10 11 12 Coord. X 0 3 3 5 5 7 Coord. Y 0 0 0 0 0 0 Coord. Z -0.75 0.75 -0.75 0.75 -0.75 0.75 Nudo 13 14 15 16 17 18 Coord. X 7 9 9 10 10 10 Coord. Y 0 0 0 3.2 0 0 Coord. Z -0.75 0.75 -0.75 0 0.5 -0.5 DEFINICION DE LAS BARRAS Las tablas que contienen los datos obtenidos para las barras del módulo 4 pueden verse es los anexos de éste proyecto. 3.2.7 Módulo 5 Figura 3.14: Módulo 5 Este módulo se sitúa en el extremo de la pluma para aumentar la rigidez y la sujeción de las barras del final del último módulo, en caso de que éste sea un módulo 1. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 34 de 143 Tiene una longitud de 1 metro, una altura de 3.2 metros, y una anchura de 1 metro. Está formado por dos barras cuadradas huecas inferiores en ángulo y una barra circular maciza superior. Este módulo está formado por 4 nudos y 3 barras. Para su numeración y estudio utilizaremos el siguiente esquema que simplifica la estructura anterior: Figura 3.15: Esquema del módulo 5 Rosa: Barras esquemáticas del módulo 5 Azul: Ejes globales Amarillo: Ejes Y y Z locales de alguna de las barras Números: Nudos del módulo 2 Para las barras que tienen dibujados sus ejes locales en la figura 3.15 sólo se han dibujado los ejes Y y Z. Esto se debe a que el eje X coincide con el esquema rosa de la barra y se dificultaría todavía más la diferenciación de los diversos elementos. DEFINICION DE LOS NUDOS La numeración de los nudos presente en el esquema del módulo 5, responde a la futura necesidad de composición de la matriz de rigidez total a partir de las matrices de rigidez de los diversos módulos. Este módulo, al encontrarse en un extremo de la pluma sólo se une por los tres nudos presentes en el extremo izquierdo. Así, llamando a esos tres nudos 1, 2 y 3 se simplifica mucho la unión de las matrices. La tabla siguiente muestra las coordenadas en metros de cada uno de los nudos respecto al sistema global: Nudo 1 2 3 4 Coord. X 0 0 0 1 Coord. Y 3.2 0 0 0 Coord. Z 0 0.5 -0.5 0 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 35 de 143 DEFINICION DE LAS BARRAS Para la medida de la longitud y los diferentes ángulos de cada barra se ha usado una herramienta de medición presente en el programa Solid Edge, el mismo programa utilizado para el dibujo de los diferentes módulos y sus esquemas. Incluimos a continuación, además de en los anexos, por ser solamente tres barras, los datos obtenidos para las barras del módulo 5: Barra 1: 1-4 Longitud = 3.3526109 α 1 = 72.6459754 β 1 = 162.6459754 γ 1 = 90 α 2 = 17.3540246 β 2 = 72.6459754 γ 2 = 90 α 3 = 90 β 3 = 90 γ 3 = 0 Barra 2: 2-4 Longitud = 1.1180340 α 1 = 26.5650512 β 1 = 90 γ 1 = 116.5650512 α 2 = 90 β 2 = 0 γ 2 = 90 α 3 = 63.4349488 β 3 = 90 γ 3 = 26.5650512 Barra 3: 3-4 Longitud = 1.1180340 α 1 = 26.5650512 β 1 = 90 γ 1 = 63.4349488 α 2 = 90 β 2 = 0 γ 2 = 90 α 3 = 116.5650512 β 3 = 90 γ 3 = 26.5650512 3.2.7 Módulo 6 Figura 3.16: Módulo 6 Este módulo está formado por 4 nudos y 3 barras. Para su numeración y estudio utilizaremos el esquema dibujado a continuación que simplifica la estructura anterior: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 36 de 143 Figura 3.17: Esquema del módulo 6 Rosa: Barras esquemáticas del módulo 6 Azul: Ejes globales Amarillo: Ejes Y y Z locales de alguna de las barras Números: Nudos del módulo 6 Para las barras que tienen dibujados sus ejes locales en la figura 3.17 sólo se han dibujado los ejes Y y Z. Esto se debe a que el eje X coincide con el esquema Rosa de la barra y se dificultaría todavía más la diferenciación de los diversos elementos. DEFINICION DE LOS NUDOS La numeración de los nudos presente en el esquema del módulo 6, responde a la futura necesidad de composición de la matriz de rigidez total a partir de las matrices de rigidez de los diversos módulos. Este módulo, al encontrarse en un extremo de la pluma sólo se une por los tres nudos presentes en el extremo izquierdo. Así, llamando a esos tres nudos 1, 2 y 3 se simplifica mucho la unión de las matrices. La tabla siguiente muestra las coordenadas en metros de cada uno de los nudos respecto al sistema global: Nudo 1 2 3 4 Coord. X 0 0 0 1 Coord. Y 2.4 0 0 0 Coord. Z 0 0.5 -0.5 0 DEFINICION DE LAS BARRAS Para la medida de la longitud y los diferentes ángulos de cada barra se ha usado una herramienta de medición presente en el programa Solid Edge, el mismo programa utilizado para el dibujo de los diferentes módulos y sus esquemas. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 37 de 143 Incluimos a continuación, además de en los anexos, por ser solamente tres barras, los datos obtenidos para las barras del módulo 6: Barra 1: 1-4 Longitud = 2.6 α 1 = 67.3801351 β 1 = 157.3801351 γ 1 = 90 α 2 = 22.6198649 β 2 = 67.3801351 γ 2 = 90 α 3 = 90 β 3 = 90 γ 3 = 0 Barra 2: 2-4 Longitud = 1.1180340 α 1 = 26.5650512 β 1 = 90 γ 1 = 116.5650512 α 2 = 90 β 2 = 0 γ 2 = 90 α 3 = 63.4349488 β 3 = 90 γ 3 = 26.5650512 Barra 3: 3-4 Longitud = 1.1180340 α 1 = 26.5650512 β 1 = 90 γ 1 = 63.4349488 α 2 = 90 β 2 = 0 γ 2 = 90 α 3 = 116.5650512 β 3 = 90 γ 3 = 26.5650512 3.3 CONFIGURACION DE LA TORRE 3.3.1 Descripción de la estructura La torre es el elemento estructural sobre el cual se apoyan los demás elementos (actúa como soporte). Tiene una posición vertical respecto al eje de abscisas u horizontal. Además, en su base se instalarán los equipos de elevación y traslacción. Está formada por una serie de módulos que se van añadiendo a medida que se desea aumentar su altura. El módulo que queda en la parte superior será el que se una a la pluma y la contrapluma y el módulo que quede en la parte inferior será el que se empotre en el suelo para fijar la grúa. Para la torre de nuestro proyecto hemos definido un módulo, el 7, que pasamos a describir a continuación. 3.3.2 Módulo 7 La altura de cada módulo es de 2 metros, y tiene una base cuadrada de 1 metro de lado. Se colocarán los módulos necesarios para proporcionar a la torre la altura deseada. Está formado por cuatro barras cuadradas huecas verticales. El resto de barras, que sirven de unión a las cuadradas huecas, son barras circulares huecas. Este módulo está formado por 8 nudos y 12 barras. Para su numeración y estudio utilizaremos el esquema dibujado en la figura 3.19, que simplifica la estructura dibujada en la figura 3.18. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 38 de 143 Figura 3.18: Módulo 7 Figura 3.19: Esquema del módulo 7 Rosa: Barras esquemáticas del módulo 7 Azul: Ejes globales Números: Nudos del módulo 7 Como ya se han visto los ejes locales de las barras y su uso en la medición de los ángulos en el apartado 3.2.2, se ha optado por no dibujarlos en la figura anterior de manera que ésta quede lo más clara posible. Además, en la vista del esquema de este módulo, figura 3.19, se ha variado un poco la vista isométrica con un pequeño giro respecto al eje Y, de manera que las barras 1-5 y 3-7 no coincidan una encima de otra. DEFINICION DE LOS NUDOS La numeración de los nudos presente en el esquema del módulo 7, responde a la futura necesidad de composición de la matriz de rigidez total a partir de las matrices de rigidez de los diversos módulos. Estos se unen por los cuatro nudos presentes en cada extremo. Así, llamando a los cuatro números inferiores 1, 2, 3 y 4 y a los nudos superiores 5, 6, 7 y 8, se simplifica mucho la unión de las matrices. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 39 de 143 La tabla siguiente muestra las coordenadas en metros de cada uno de los nudos respecto al sistema global: Nudo 1 2 3 4 5 6 7 8 Coord. X 0.5 -0.5 -0.5 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0.5 Coord. Y 0 0 0 0 2 2 2 2 Coord. Z 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0.5 0.5 -0.5 -0.5 DEFINICION DE LAS BARRAS Para la medida de la longitud y los diferentes ángulos de cada barra se ha usado una herramienta de medición presente en el programa Solid Edge, el mismo programa utilizado para el dibujo de los diferentes módulos y sus esquemas. Esta herramienta es capaz de dar resultados hasta con 7 cifras decimales, precisión suficiente para nuestros propósitos. Como en el apartado 3.2.2.2 ya se explicó el método de medición de las longitudes y los ángulos de las barras, no se vuelve a comentar aquí. Las tablas presentes en los anexos de éste proyecto contienen los datos obtenidos para las barras de éste módulo. 3.4 CONSIDERACIONES FINALES 3.4.1 Cálculo mediante Matlab Para hacer una comprobación de la veracidad de estos datos se ha procedido a empotrar cada uno de los módulos por un extremo y cargarlos en el otro, obteniendo los resultados mediante Matlab y comprobando que las deformaciones sean y correctas. 3.4.2 Comprobación mediante Microsoft Excel Mediante Microsoft Excel, se realizó la resolución del mismo estado de cargas que el estudiado mediante Matlab con algunos de los módulos. Se contrastaron ambos resultados, no obteniendo ninguna anomalidad de consideración y dando por buenas las configuraciones de los diferentes módulos. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 40 de 143 4. CÁLCULO DE LAS HIPOTESIS DE CARGA 4.1 DEFINICION DE LAS CARGAS DE LA GRUA 4.1.1 Clasificación de la grúa Antes de proceder a definir las cargas que solicitan la grúa, haremos un inciso para explicar los grupos de clasificación del aparato. Hacemos esto ya que es necesario conocer el grupo de aparato para calcular un coeficiente que aparecerá más adelante. Para poder calcular el grupo de clasificación del mecanismo es necesario plantearse que vida estimada tendrá y saber cuánto y cómo trabajará. Con estos datos definidos y usando la tabla siguiente, obtendremos su grupo. Tabla 4.1: Grupos de clasificación de mecanismos Vida en horas de funcionamiento real del mecanismo Estado de carga K m 800 1600 3200 6300 12500 25000 50000 Ligero (frecuencia muy reducida) 0,125 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 Moderado (frecuencia reducida) 0,25 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 Pesado (frecuencia aproximada) 0,5 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 8 Muy pesado (frecuencia elevada) 1,0 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 8 M 8 Una vez definidos el grupo de clasificación del aparato, pasamos a estudiar los tipos y el cálculo de las diferentes cargas que solicitan la grúa. 4.1.2 Tipos de cargas La estructura a dimensionar puede estar solicitada por una o más acciones: · Cargas permanentes: Se consideran como este tipo de cargas las cargas del peso propio de la estructura, el peso de los diferentes elementos del mecanismo de elevación (gancho, poleas …) o el lastre. · Acción del viento: Producida por la presión dinámica que genera el viento al incidir sobre la estructura. Esta presión se multiplica por diversos coeficientes que modifican el valor inicial en función de la altura de la grúa, el ángulo de incidencia del viento... Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 41 de 143 · Cargas variables: La carga de trabajo o carga a elevar y trasladar. Esta carga puede variar tanto en su punto de aplicación, como en su magnitud, manteniéndose constante únicamente el sentido de aplicación de la carga. · Otras cargas: Su incidencia se considerará mediante los coeficientes de seguridad necesarios. Inicialmente se asignan unos valores mínimos a las áreas e inercias de los perfiles de las barras de la grúa. Tales valores serán insuficientes para soportar las cargas, por lo que se procederá a un cálculo iterativo hasta dar con los perfiles necesarios. 4.2 CÁLCULO DE LAS CARGAS 4.2.1 Solicitaciones a considerar Una vez asignados los perfiles a cada clase de barra se procederá al cálculo de las solicitaciones que afecten al sistema. Las solicitaciones a considerar son: · Solicitaciones principales actuando sobre la estructura: * Solicitaciones debidas a los pesos propios de los elementos (S G ) * Solicitaciones debidas a la carga de servicio (S L ) · Solicitaciones debidas a los movimientos verticales: * Solicitaciones debidas a la elevación de la carga de servicio (S L ) · Solicitaciones debidas al viento: * Efecto del viento (S W ) * Efecto del viento fuera de servicio (S Wmax ) En los siguientes apartados será necesario el uso de un coeficiente dinámico de elevación ψ, que mayora la carga de servicio por la solicitación que produce su elevación. Su valor viene definido por la siguiente expresión: L vξ1ψ⋅+= Ecuación (4.1) Donde: · v L es la velocidad de elevación de la carga en m/s. · ξ es un coeficiente experimental. Para grúas torre se usa 0.3. 4.2.2 Caso I: Aparato en servicio sin viento Se consideran las solicitaciones estáticas debidas al peso propio de los elementos S G , las solicitaciones debidas a la carga de servicio S L , multiplicada por el coeficiente dinámico ψ para tener en cuenta el movimiento vertical, y los efectos horizontales más desfavorables, con exclusión de los efectos de choque S H . El conjunto de solicitaciones se multiplicará por el coeficiente de mayoración γ C especificado en la tabla siguiente: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 48 de 143 ( ) ( ) ( ) ( )        ⋅⋅= ⋅⋅= ⇒      ⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅= − − − − − − F 1n MAX nWmax F 1n Wn FMAX 1n nWmax F 1n Wn CAη p S CAη p S CpAηS CpAηS Ecuación (4.15) Como todos los coeficientes tienen los mismos valores podemos igualar las dos ecuaciones y despejando obtenemos la formula para la fuerza del viento fuera de servicio en el marco n-simo: Wn MAX nWmax MAX nWmaxWn S p p S p S p S⋅=⇒= − − Ecuación (4.16) Así, si ya hemos calculado la fuerza del viento en servicio de una estructura determinada, el cálculo de la fuerza del viento fuera de servicio, para la misma estructura, es casi inmediato. 4.5 HIPOTESIS ADOPTADAS En el programa realizado en Matlab se consideraran las siguientes hipótesis de carga: · Hipótesis I. Caso I: El aparato en servicio sin viento y con la máxima carga permitida en la punta de la pluma. · Hipótesis II. Caso II: El aparato en servicio con viento de servicio y con la máxima carga permitida en la punta de la pluma. · Hipótesis III. Caso III: El aparato fuera de servicio con viento fuera de servicio. Para cada una de las anteriores hipótesis se calculará el vector de cargas, que se introducirá en el programa de cálculo. Con los resultados obtenidos para cada hipótesis se calculará la estructura. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 49 de 143 5. PROGRAMA EN MATLAB 5.1 INTRODUCCION 5.1.1 Matlab Matlab es un entorno de cálculo técnico, que se ha convertido en estándar de la industria, con capacidades no superadas en computación y visualización numérica, de forma coherente y sin ningún tipo de fisuras. Este sistema integra los requisitos claves de un sistema de computación técnico: · Cálculo numérico. · Gráficos. · Herramientas para aplicaciones específicas · Capacidad de ejecución en múltiples plataformas. Matlab dispone también en la actualidad de un amplio abanico de programas de apoyo especializados, denominados Toolbox (cajas de herramientas), los cuales extienden significativamente el número de funciones incorporadas en el programa principal. Estos Toolbox cubren en la actualidad prácticamente casi todas las áreas principales en el mundo de la Ingeniería y la Simulación, destacando entre ellos el Toolbox de proceso de imágenes, señal, control robusto, estadística, análisis financiero, matemáticas simbólicas, redes neurales, lógica difusa, identificación de sistemas, simulación de sistemas dinámicos, etc. Esta familia de productos proporciona al usuario un medio de carácter único, para resolver los problemas más complejos y difíciles. 5.1.2 Origen del Matlab Matlab nace como una solución a la necesidad de mejores y más poderosas herramientas de cálculo para resolver problemas de complejos en los que es necesario aprovechar las amplias capacidades de proceso de datos de grandes computadores. El nombre Matlab viene de "MATrix LABoratory" (laboratorio matricial). Matlab fue originalmente escrito para proveer acceso fácil al software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos representan el software para computación matricial. Hoy en día, Matlab es usado en una variedad de áreas de aplicación, incluyendo procesamiento de señales e imágenes, diseño de sistemas de control, ingeniería financiera e investigación médica. La arquitectura abierta facilita usar Matlab y los productos que lo acompañan para explorar datos y crear herramientas personalizadas que proveen visiones profundas y ventajas competitivas. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 50 de 143 5.2 DESARROLLO DEL PROGRAMA 5.2.1 Introducción El funcionamiento del programa desarrollado es igual para cualquiera de las estructuras posibles, diferenciándose únicamente en los datos de entrada: Cantidad de barras, longitudes y ángulos de cada una, altura de la torre, longitud de la pluma, carga a elevar, peso de los mecanismos necesarios, etc. El programa de cálculo matricial se ha desarrollado por el método de las subfunciones o método de la familia. Este método consiste en que cada función puede ser una función “padre” que va llamando a otras funciones, denominadas “hijas”. Esto agiliza el proceso de cálculo, ya que la programación es más sencilla. El problema total se divide en problemas más sencillos con cada sub-función. Además, la gran ventaja que presenta este método es que las sub-funciones programadas son reutilizables, pudiéndose usar la misma para resolver un mismo problema en dos situaciones diferentes. 5.2.2 Consideraciones iniciales Hay que indicar que separaremos el cálculo de la estructura de la grúa en dos pasos. Se hace esta simplificación, porque facilita enormemente el ensamblaje de las matrices de cada módulo para formar la matriz total de la estructura. Primer paso: Realizaremos el cálculo de la estructura pluma-contrapluma, tomando los puntos de unión con la torre como empotramientos. Sobre esta estructura aplicaremos las condiciones de cada una de las hipótesis elegidas y obtendremos como resultado los perfiles necesarios para su construcción. Segundo paso: Realizaremos el cálculo de la torre, colocando en los puntos de unión con la pluma las reacciones obtenidas en los empotramientos del paso anterior. Sobre esta estructura también aplicaremos las condiciones de cada una de las hipótesis elegidas y obtendremos como resultado los perfiles necesarios para su construcción. Así, nos quedan dos estructuras “lineales”. La pluma, que se forma añadiendo nuevos módulos a la derecha de los anteriores, y la torre, añadiendo módulos en la parte superior de los anteriores. Esto hace que el ensamblaje de las matrices sea más sencillo. 5.2.3 Definición de una barra Para la definición de una barra usaremos una matriz fila y en sus columnas indicaremos los valores necesarios para la composición de su matriz de rigidez: Barra = (A, E, G, I X , I Y , J, L, α 1 , β 1 , γ 1 , α 2 , β 2 , γ 2 , α 3 , β 3 , γ 3 , n 1 , n 2 ); Ecuación (5.1) Estos valores, más adelante veremos qué son, pueden dividirse en dos tipos: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 51 de 143 · Definidos por el tipo de perfil: A, I X , I Y y J · Definidos por la barra: E, G, L, α 1 , β 1 , γ 1 , α 2 , β 2 , γ 2 , α 3 , β 3 , γ 3 , n 1 y n 2 Para continuar la programación, usaremos unos valores definidos por el tipo de perfil fijos, más adelante ya crearemos la manera de modificarlos según necesidad. Los datos de los valores definidos por la barra podemos verlos en el apartado 3 de este proyecto. Además, faltan de añadir otros valores necesarios para el cálculo resistente: S, W X , W Y , W Z , i, peso. Cuando hagan falta, ya veremos la manera de añadirlos. 5.2.4 Matriz de rigidez de una barra en globales Creamos una función que nos genere la matriz de rigidez de la barra en coordenadas globales. Para esto llamaremos a dos funciones: La primera función tomara los datos necesarios de la matriz fila que define la barra y nos generara la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales. Esto se consigue usando la ecuación (2.6) vista en el apartado de cálculo matricial. La segunda función tomara los datos de los ángulos de la matriz fila que define la barra y nos generara la matriz de cambio de coordenadas. Esto se consigue usando las ecuaciones (2.9) y (2.11) vistas en el apartado de cálculo matricial. Con la matriz en locales y la matriz de cambio calculamos la matriz en globales mediante la ecuación (2.15). 5.2.5 Definición de un módulo Para definir un módulo de la grúa usaremos una matriz, siendo cada fila una de sus barras:               = N 2 1 Barra Barra Barra Modulo M Ecuación (5.2) Para cada uno de los módulos crearemos una matriz de barras, y las generaremos mediante una función que las pida a partir de un número. Este número, que podrá ir del 0 al 7, se corresponde con la numeración de los módulos vista en el apartado 3 de este proyecto. 5.2.6 Matriz de rigidez de cada módulo Una vez obtenida la matriz de barras de un módulo, lo primero que hacemos, es un barrido por las dos últimas columnas para obtener el número total de nudos. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 52 de 143 Multiplicamos ese valor por 6, los grados de libertad de cada nudo, y creamos una matriz de ceros cuadrada con el tamaño del número de grados de libertad obtenidos. Tras esto, tomamos la primera barra, la primera fila de la matriz de barras, y calculamos su matriz de rigidez en coordenadas globales. Esta matriz se divide en las cuatro sub-matrices que la forman. Ahora es donde entran en juego la numeración de los dos nudos de la barra. Estos valores nos indican la posición en la que se han de insertar las sub-matrices de rigidez de la barra en la matriz de rigidez del módulo. Así, si una barra une los nudos 3 y 5, calculamos los grados de libertad iniciales de las sub-matrices multiplicando por 6 y restando 5. Nos quedan 13 y 25, las submatrices se incluirán entre los siguientes grados de libertad: · Sub-matriz 1: (13,13;18,18) · Sub-matriz 2: (13,25;18,30) · Sub-matriz 3: (25,13;30,18) · Sub-matriz 4: (25,25;30,30) Para entenderlo mejor, puede verse un dibujo explicativo en la figura 5.1. Realizando este proceso con todas las barras obtendremos la matriz de rigidez del módulo. Figura 5.1: Composición de la matriz de un módulo Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 53 de 143 5.2.7 Matriz de rigidez de la pluma Como ya se explicó en el apartado 3 de este proyecto, la numeración de los módulos se realizaba de manera que, los tres primeros nudos fueran los de la izquierda y los tres últimos los de la derecha. La unión entre módulos se realiza mediante esos seis nudos, que pasan a ser solamente tres en la estructura total. De manera que hay que para unir las matrices de rigidez hay sumar los valores de esos 18 grados de libertad, 3 nudos, que se unen. Como los valores que hay que sumar están en las esquinas de cada matriz de rigidez, debido a la numeraron empleada, bastara con solapar las matrices y dejar el resto de valores en 0. La figura siguiente indica este solapamiento: Figura 5.2: Composición de la matriz de rigidez de la pluma Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 54 de 143 Al programa se le proporcionara como uno de los datos iniciales una matriz fila que llevará de una manera ordenada los números de los módulos que se han de usar, a partir de esa matriz se procederá como sigue. Pluma = (4, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 6); Ecuación (5.3) Se toma el primer número, se pide su matriz de barras y se calcula su matriz de rigidez. Se hace lo mismo con el segundo número y se solapan las dos matrices. Además de solapar las matrices de rigidez, también uniremos las matrices de barras, para que al final tengamos una única matriz con todas las barras de la pluma. Para poder realizar esto correctamente tendremos que tener dos variables, una que controle el número de nudos y otra el número de barras que llevamos. Usando estas variables podremos renombrar el valor de los nudos y las barras para conseguir el solapamiento y la unión explicados arriba: TOSOLAPAMIEN TOSOLAPAMIEN 41-1 nudos 97-1 barras 41-34 nudos7-1 nudos 97-84 barras14-1 barras 0 modulo 36-1 nudos 83-1 barras 36-16 nudos20-1 nudos 83-34 barras50-1 barras 1 modulo 18-1 nudos18-1 nudos 33-1 barras33-1 barras 4 modulo               → →           → →    → → Ecuación (5.4) Se continúa calculando la matriz de rigidez del tercer número, renombrando sus valores, solapándola con la obtenida a partir del primer y segundo número y añadiendo sus barras a la matriz total de barras. Se continúa hasta solapar y unir las matrices de todos los números de la matriz fila introducida como dato de partida. 5.2.8 Valores variables de los perfiles de la pluma Antes de pasar a la programación de las diferentes hipótesis, explicaremos unos cambios introducidos en la definición de las barras y la aparición de nuevas variable para controlar las características de los perfiles. Como las características inicialmente incluidas en las barras, van a ir cambiando según el perfil que se use, decidimos que, en las definiciones de las barras, se incluyan solamente las características fijas, las que no varíen con el perfil usado. Para las demás características utilizaremos una nueva variable, que variara según el perfil que se este utilizando. Además, a esta última variable, añadiremos las características resistentes que se nos había olvidado incluir en la definición inicial de la barra (S, W X , W Y , W Z , i y peso). La definición de la barra nos quedará de la siguiente manera: Barra = (p, E, G, L, α 1 , β 1 , γ 1 , α 2 , β 2 , γ 2 , α 3 , β 3 , γ 3 , n 1 , n 2 ); Ecuación (5.5) Donde: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 55 de 143 · p: Es un número que nos indicara el tipo de perfil de la barra: 1: Perfil circular hueco. 2: Perfil circular macizo. 3: Perfil cuadrado hueco. · E: Módulo de elasticidad, para este proyecto vale 2.1·10 5 kg/cm 2 . · G: Módulo de elasticidad a torsión, vale 8.05·10 5 kg/cm 2 . · L: Longitud de la barra en m. · α 1 , β 1 , γ 1 : Ángulos que forma el eje X L con los ejes globales en grados. · α 2 , β 2 , γ 2 : Ángulos que forma el eje Y L con los ejes globales en grados. · α 3 , β 3 , γ 3 : Ángulos que forma el eje Z L con los ejes globales en grados. · n 1 , n 2 : Nudos de inicio y final de la barra A la hora de construir la matriz de rigidez de la barra, es la propia función, que creamos en Matlab, la que se encargará de convertir la longitud de la barra a cm y los ángulos a radianes. Para cada uno de los tres tipos de perfiles usados, crearemos una matriz en la que cada línea será un perfil de mayor área cada vez y las columnas serán las características necesarias: Perfil = (A, S, I Z , I Y , W Z , W Y , i, I X , W X , P, d, e, p); Ecuación (5.6) Donde: · A: Área del perfil en cm 2 . · S: Momento estático del perfil para media sección en cm 3 . · I Y , I Z : Momentos de inercia del perfil respecto a los ejes Y y Z en cm 4 . · W Y , W Z : Momentos de inercia del perfil respecto a Y y Z en cm 3 . · i: Radio de giro del perfil en cm. · I X : Momento de inercia del perfil respecto a X en cm 4 . · W X : Momento estático del perfil respecto a X en cm 3 . · P: Peso por metro de perfil en kg/m. · d: Diámetro o lado del perfil, según el tipo en cm. · e: Espesor del perfil en cm (no se incluye en los círculos macizos). · p: Designación del perfil.               = N 2 1 Perfil Perfil Perfil ilesTabla_Perf M Ecuación (5.7) La ordenación de los perfiles se hace de menor a mayor área porque cuando el primer perfil no sea válido, tomaremos el inmediatamente siguiente. Y así obtendremos la estructura menos pesada y más económica que pueda soportar los esfuerzos a los que estará sometida. Para controlar los perfiles usaremos una matriz fila de tres columnas, una para cada tipo de perfil. Cada una de ellas contendrá un número. Este número será la fila de la tabla del perfil en la que estamos actualmente. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 56 de 143 Cuando un perfil no cumpla las solicitaciones a las que está sometido, aumentaremos una unidad el número del perfil que corresponda en esta variable para, en el siguiente bucle, aumentar ese tipo de perfil. Aparte de esta variable de control, necesitaremos otras variables que contengan las características del perfil tomadas de su tabla, para realizar los cálculos y comprobaciones necesarias. Al introducir estos cambios, deberemos modificar parte de las funciones realizadas con anterioridad. Esto no tiene ninguna complejidad y las funciones continúan teniendo los mismos finen que antes. 5.2.9 Cálculo de libertades y reacciones de la pluma Como ya hemos dicho anteriormente, la pluma está empotrada en los nudos en los que se une con la torre. Los grados de libertad de esos nudos serán las reacciones y el resto de grados de libertad serán las libertades. En principio podría parecer que esos valores fueran fijos, pero no es así. Si la pluma tiene más de 50 metros, la contrapluma tiene 20 en lugar de 10. Solucionamos esto con una variable que pueda tomar los valores de 0, para plumas de 50 o menos metros, y 1, para plumas de más de 50 metros. Según el valor de la anterior variable asignaremos unos u otros valores a las reacciones y libertades de la pluma, que así, quedaran definidas para el resto del programa. 5.2.10 Cálculo del vector de cargas para la hipótesis I de la pluma Crearemos una función que haga los siguientes pasos con las cargas: Colocamos la mitad de la carga de servicio con signo negativo en el segundo grado de libertad, en la dirección del eje Y G , de los 2 penúltimos nudos de la estructura. El último nudo es la punta del módulo 5 o 6 y allí no llega el carro. Esta carga hay que mayorarla con el coeficiente dinámico de elevación que obtendremos en el programa de Visual Basic. La carga del equipo de elevación, valor que obtendremos en el programa de Visual Basic, la repartiremos con signo negativo en el segundo grado de libertad de los nudos 10, 11, 12 y 13 de la estructura, bajo la pirámide del módulo 4. Para calcular el peso propio de la pluma, usaremos la matriz de barras de la estructura total. Iremos tomando cada una de las filas, multiplicando la longitud de la barra por el peso por metro del perfil que corresponda, y repartiendo el resultado entre los segundos grados de libertad de los dos nudos que tenga esa barra. Aparte de esto último, tendremos dos variables que nos irán sumando los pesos para obtener el peso total de la pluma y el peso total de la contrapluma. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 57 de 143 Calculamos el lastre mediante la ecuación 4.9 y se reparte por igual entre los nudos 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 y 9 de la estructura, la parte plana del módulo 4. Una vez obtenido el vector completo, le aplicaremos el coeficiente de mayoración γ C que nos vendrá dado por el programa de Visual Basic. 5.2.11 Cálculo del vector de cargas para la hipótesis II de la pluma La primera parte del vector de cargas se calcula exactamente igual que el anterior. A esto hay que añadirle las cargas que genera el viento. Estas las calcularemos con una función aparte y luego sumaremos los dos vectores obtenidos. La función viento va llamando a cada uno de los módulos de la grúa por separado y calcula los esfuerzos que genera el viento en cada uno de sus marcos, como se indica en el apartado 4.4 de este proyecto. A partir de los datos de los perfiles, de los datos de las barras y la presión y la velocidad del viento, se calcula los diversos coeficientes y finalmente el valor del esfuerzo que genera el viento en toda la longitud de la barra. La función programada calcula los esfuerzos en todas las barras y los reparte entre los terceros grados de libertad, en la dirección del eje Z G , de los dos nudos que unen. Al no ser una estructura simétrica, esto se ve sobre todo en la zona de la contrapluma, se realizo un cálculo añadiendo estos esfuerzos con signo negativo y otro con signo positivo. Obtuvimos que el signo positivo generaba unos desplazamientos mayores y por tanto tensiones más grandes, por lo que, al ser más desfavorable, mantuvimos este sentido del viento. Una vez calculado el vector de cargas que produce el viento, se le suma el vector de cargas producidas por los elementos. Esta suma ha de hacerse después de la aplicación del coeficiente γ C . 5.2.12 Cálculo del vector de cargas para la hipótesis III de la pluma El vector de cargas producidas por los elementos se calculará igual que en los anteriores casos, pero con dos pequeñas modificaciones: La carga de servicio no se debe incluir y no se debe de usar el coeficiente de mayoración γ C . Para no tener que crear funciones nuevas, añadimos una variable de valor 1 en las dos primeras hipótesis y 0 en la tercera, de manera que las dos operaciones expuestas arriba solo se realicen cuando esta variable sea distinta de 0. El cálculo del vector de cargas producidas por el viento se realizará igual que en el caso de la segunda hipótesis, pero los valores de la presión y la velocidad del viento se tomarán mayores, tal como indica la normativa. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 64 de 143 5.3.2 function [Result] = grua(a,P,Q,H,T,G,def1,def2,def3); Función a la que llama el programa en Visual Basic. Aplica el coeficiente dinámico de elevación a la carga útil, llama a la funciones que calculan de dos estructuras, a la función que dibuja la deformada y a la función que prepara los datos de salida. VALORES DE ENTRADA a: Vector que recoge el número y tipo de módulos que configuran la estructura. P: Peso de la carga útil en punta de pluma. Q: Peso del equipo de elevación. H: Altura de la torre. T: Coeficiente dinámico de elevación ψ. G: Coeficiente de mayoración γ c . def1, def2, def3: Indican de que hipótesis se dibujara la deformada. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [p,d,R,Lastre,PP,PCP,t,z] = pluma(a,P,Q,G); Ver apartado 5.3.3 [p2,d2,PT,a2] = torre(H,R,t,G); Ver apartado 5.3.27 [Result] = modificar(p,p2,d,d2,R,Lastre,PP,PCP,PT); Ver apartado 5.3.32 [h] = deformada(a,a2,d,d2,z,'color'); Ver apartado 5.3.33 VALORES DE SALIDA Result: Matriz fila con los datos que necesita el programa en Visual Basic. Esta matriz incluye: Tipos de perfiles necesarios en la pluma y en la torre, desplazamientos máximos de la punta de la pluma, los distintos pesos calculados a lo largo del programa y el esfuerzo cortante y momento flector en la parte superior de la torre. 5.3.3 function [p,d,R,Lastre,PP,PCP,t,z] = pluma(a,P,Q,G); Esta función asigna los perfiles iniciales de la pluma y realiza los bucles de las hipótesis necesarios para el cálculo de los perfiles finales de la estructura. VALORES DE ENTRADA a: Vector que recoge el número y tipo de módulos que configuran la estructura. P: Peso de la carga útil en punta de pluma aplicado ya el coeficiente ψ. Q: Peso del equipo de elevación. G: Coeficiente de mayoración γ c . LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [ch,cm,cu] = perfiles(p); Ver apartado 5.3.4 [K,n] = matrizglobal(a,ch,cm,cu,3); Ver apartado 5.3.8 [v,d,R,r,l] = hipoI(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,G,z); Ver apartado 5.3.18 [v,d,R] = hipoII(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,G,r,l,z); Ver apartado 5.3.23 [v,d,Lastre,PP,PCP,R] = hipoIII(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,r,l,z); Ver apartado 5.3.26 VALORES DE SALIDA p: Variable que recoge la fila de la tabla en la que se encuentran los perfiles. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 65 de 143 d: Matriz con los desplazamientos obtenidos en las tres hipótesis. R: Matriz con las reacciones obtenidas en las tres hipótesis. Lastre: Peso del lastre. PP: Peso de la pluma. PCP: Peso de la contrapluma. t: Variable que usaremos para definir los perfiles iniciales de la torre. z: Variable que define si la contrapluma mide 10 o 20 metros. 5.3.4 function [ch,cm,cu] = perfiles(p); Esta función se encarga de asignar a unas variables las características geométricas de cada uno de los tres perfiles distintos que usamos. Estos valores están agrupados por filas en matrices y ordenados de menor a mayor área. VALORES DE ENTRADA p: Variable que recoge la fila de la tabla en la que se encuentran los perfiles. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [p] = perfilesch(d,e); Ver apartado 5.3.5 [p] = perfilescm(d); Ver apartado 5.3.6 [p] = perfilescu(L,e); Ver apartado 5.3.7 Para el cálculo de los valores de las matrices se ha realizado una función para cada uno de los perfiles, de manera que, introduciendo diámetros o lados y espesores devuelva todos los valores necesarios. Estas funciones se comentan a continuación aunque no pertenecen al programa propiamente dicho y se comentan en esta sección aunque no sean llamadas desde el programa por la función “perfiles”. VALORES DE SALIDA ch: Vector con las características del perfil circular hueco. cm: Vector con las características del perfil circular macizo. cu: Vector con las características del perfil cuadrado hueco. 5.3.5 function [p] = perfilesch(d,e); Calcula las características de un perfil circular hueco. VALORES DE ENTRADA d: Diámetro del perfil. e: espesor del perfil. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA p: Vector con las características del perfil introducido. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 66 de 143 5.3.6 function [p] = perfilescm(d); Calcula las características de un perfil circular macizo. VALORES DE ENTRADA d: Diámetro del perfil. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA p: Vector con las características del perfil introducido. 5.3.7 function [p] = perfilescu(L,e); Calcula las características de un perfil cuadrado hueco. VALORES DE ENTRADA L: Lado del perfil. e: espesor del perfil. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA p: Vector con las características del perfil introducido. 5.3.8 function [K,n] = matrizglobal(a,ch,cm,cu,union); Por medio de diversas sub-funciones se calculan las barras y la matriz de rigidez de cada módulo de la pluma y contrapluma y se unen todos en una única matriz de barras y una única matriz de rigidez total. VALORES DE ENTRADA a: Vector que recoge el número y tipo de módulos que configuran la estructura. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. union: Variable que indica el número de nudos que se solaparan. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [n] = barras(a); Ver apartado 5.3.9 [K1] = composicion3d(n1,ch,cm,cu); Ver apartado 5.3.11 [K1] = unionK(K1,K2,union); Ver apartado 5.3.16 [n] = unionN(n1, n2); Ver apartado 5.3.17 VALORES DE SALIDA K: Matriz de rigidez total de la estructura. n: Matriz con las características de todas las barras de la estructura. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 67 de 143 5.3.9 function [n] = barras(a); Hace una llamada a la función que obtiene los valores de las barras para el módulo concreto que se pide. VALORES DE ENTRADA a: Número que indica el tipo de módulo que se pide. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [n] = barras_X; Ver apartado 5.3.10 Siendo X un número, del 0 al 7, según el tipo de módulo al que se llame. VALORES DE SALIDA n: Matriz con las características de todas las barras del módulo que se pide. 5.3.10 function [n] = barras_X; X es un número, del 0 al 7, que define el tipo de módulo que se va a calcular. La función obtiene los valores de las barras para el módulo de ese tipo. VALORES DE ENTRADA Ninguno. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA n: Matriz con las características de todas las barras del módulo X. 5.3.11 function [K] = composicion3d(n,ch,cm,cu); Crea la matriz de rigidez de un módulo. VALORES DE ENTRADA n: Características de todas las barras del módulo que se están calculando. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [k] = matrizg3d(n,ch,cm,cu); Ver apartado 5.3.12 [K] = componer3d(K,k,x,y); Ver apartado 5.3.15 VALORES DE SALIDA K: Matriz de rigidez del módulo del que se ha pedido el cálculo. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 68 de 143 5.3.12 function [K] = matrizg3d(n,ch,cm,cu); Calcula la matriz de rigidez de una barra respecto a los ejes globales. VALORES DE ENTRADA n: Características la barra que se está calculando. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [k] = matrizl3d (n,ch,cm,cu); Ver apartado 5.3.13 [R0] = cambio3d(n); Ver apartado 5.3.14 VALORES DE SALIDA K: Matriz de rigidez de la barra de la que se ha pedido el cálculo en globales. 5.3.13 function [K] = matrizl3d(n,ch,cm,cu); Calcula la matriz de rigidez de una barra respecto a los ejes locales. VALORES DE ENTRADA n: Características la barra que se esta calculando. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA K: Matriz de rigidez de la barra de la que se ha pedido el cálculo en locales. 5.3.14 function [R0] = cambio3d(n); Calcula la matriz de cambio de una barra. VALORES DE ENTRADA n: Características la barras que se esta calculando. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA R0: Matriz de cambio de la barra de la que se ha pedido el cálculo. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 69 de 143 5.3.15 function [K] = componer3d(K,k,a,b); Introduce la matriz de rigidez de una barra dentro de la matriz total del módulo según los nudos de los que forme parte. VALORES DE ENTRADA K: Matriz total del módulo, incompleta hasta el cálculo de la ultima barra. k: Matriz de rigidez de la barra. a: Posición del primer grado de libertad del primer nudo de la barra. b: Posición del primer grado de libertad del segundo nudo de la barra. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA K: Matriz total del módulo con la matriz de la barra introducida. 5.3.16 function [K] = unionK(K1,K2,union); Une las matrices de dos módulos diferentes, haciendo coincidir los grados de libertad de los últimos nudos que se indiquen de la primera matriz con los grados de libertad de los primeros nudos que se indiquen de la segunda. VALORES DE ENTRADA K1: Matriz de rigidez del primer módulo. K2: Matriz de rigidez del primer módulo. union: Variable que indica el número de nudos que se solaparán. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA K: Matriz total de la estructura, incompleta hasta la unión del último módulo. 5.3.17 function [n] = unionN(n1,n2); Une las matrices de barras de dos módulos diferentes, colocando las barras del segundo módulo a continuación de las barras del primero. VALORES DE ENTRADA n1: Matriz de barras del primer módulo. n2: Matriz de barra del primer módulo. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA n: Matriz de barras total de la estructura, incompleta hasta el último módulo. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 70 de 143 5.3.18 function [v,d,R,r,l] = hipoI(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,G,z); Calcula las libertades y reacciones y realiza las operaciones y llamaradas necesarias para que la pluma y la contrapluma aguanten la primera hipótesis. VALORES DE ENTRADA K: Matriz de rigidez total de la estructura. n: Matriz de barras total de la estructura. a: Vector que recoge el número y tipo de módulos que configuran la estructura. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. P: Peso de la carga útil en punta de pluma aplicado ya el coeficiente ψ. Q: Peso del equipo de elevación. G: Coeficiente de mayoracion de cargas. z: Variable que define si la contrapluma mide 10 o 20 metros. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [PV,Lastre,PP,PCP] = cargaselementos(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,z,G); Ver apartado 5.3.19 [S] = esfuerzos (n,d,ch,cm,cu); Ver apartado 5.3.20 [v] = vonmisses(n,S,ch,cm,cu,z); Ver apartado 5.3.21 VALORES DE SALIDA v: Vector que nos indica si los perfiles de entrada han aguantado o no. d: Vector de desplazamientos de la primera hipótesis. R: Reacciones en los empotramientos. r: Reacciones de la estructura. l: Libertades de la estructura. 5.3.19 function [PV,Lastre,PP,PCP] = cargaselementos(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,z,G); Calcula el vector de cargas de la estructura. Se tienen en cuenta cuando sea necesario: La carga útil y su coeficiente dinámico de elevación, el peso del equipo de elevación, el peso propio de los perfiles y el peso del lastre. Todo este vector es mayorado con el correspondiente coeficiente. VALORES DE ENTRADA K: Matriz de rigidez total de la estructura. n: Matriz de barras total de la estructura. a: Vector que recoge el número y tipo de módulos que configuran la estructura. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. P: Peso de la carga útil en punta de pluma aplicado ya el coeficiente ψ. Q: Peso del equipo de elevación. z: Variable que define si la contrapluma mide 10 o 20 metros. G: Coeficiente de mayoracion de cargas. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 71 de 143 VALORES DE SALIDA PV: Vector de cargas mayoradas. Lastre: Peso del lastre. PP: Peso de la pluma. PCP: Peso de la contrapluma. 5.3.20 function [S] = esfuerzos(n,d,ch,cm,cu); Calcula los esfuerzos en locales en los dos extremos de cada barra. VALORES DE ENTRADA n: Matriz de barras total de la estructura. d: Vector de desplazamientos de la estructura. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [K] = matrizl3d(n,ch,cm,cu); Ver apartado 5.3.13 [R0] = cambio3d(n); Ver apartado 5.3.14 VALORES DE SALIDA S: Matriz con los esfuerzos de los nudos de todas las barras. 5.3.21 function [v] = vonmisses(n,S,ch,cm,cu,z); Realiza el cálculo resistente de todas las barras, realizando bucles para comprobar cada barra en sus dos nudos VALORES DE ENTRADA n: Matriz de barras total de la estructura. S: Matriz con los esfuerzos de los nudos de todas las barras. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. z: Variable que define si la contrapluma mide 10 o 20 metros. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [w] = pandeo(L); Ver apartado 5.3.22 VALORES DE SALIDA v: Vector que define que perfiles aguantan. 5.3.22 function [w] = pandeo(L); Devuelve el coeficiente ω de pandeo para una determinada λ. VALORES DE ENTRADA L: Variable con el valor de λ para la barra en estudio. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 72 de 143 LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA ω: Coeficiente de pandeo para la barra en estudio. 5.3.23 function [v,d,R] = hipoII(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,G,r,l,z); Realiza las operaciones y llamadas necesarias para la resolución de la estructura y que la pluma y la contrapluma aguanten satisfactoriamente la segunda hipótesis. VALORES DE ENTRADA K: Matriz de rigidez total de la estructura. n: Matriz de barras total de la estructura. a: Vector que recoge el número y tipo de módulos que configuran la estructura. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. P: Peso de la carga útil en punta de pluma aplicado ya el coeficiente ψ. Q: Peso del equipo de elevación. G: Coeficiente de mayoracion de cargas. r: Reacciones de la estructura. l: Libertades de la estructura. z: Variable que define si la contrapluma mide 10 o 20 metros. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [PV,Lastre,PP,PCP] = cargaselementos(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,z,G); Ver apartado 5.3.19 [Pviento] = cargasviento(K,n,a,ch,cm,cu,p,v); Ver apartado 5.3.24 [S] = esfuerzos (n,d,ch,cm,cu); Ver apartado 5.3.20 [v] = vonmisses(n,S,ch,cm,cu,z); Ver apartado 5.3.21 VALORES DE SALIDA v: Vector que nos indica si los perfiles de entrada han aguantado o no. d: Vector de desplazamientos de la segunda hipótesis. R: Reacciones en los empotramientos. 5.3.24 function [Pviento] = cargasviento(K,n,a,ch,cm,cu,p,v); Hace una llamada a la función que obtiene el vector de cargas por efecto del viento para el módulo concreto que se pide. VALORES DE ENTRADA K: Matriz de rigidez total de la estructura. n: Matriz de barras total de la estructura. a: Vector que recoge el número y tipo de módulos que configuran la estructura. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. p: Presión del viento de servicio. v: Velocidad del viento de servicio. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 73 de 143 LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES [Pviento] = viento_X(n,ch,cm,cu,p,v,Pviento); Ver apartado 5.3.25 Siendo X un número, del 0 al 7, según el tipo de módulo al que se llame. VALORES DE SALIDA Pviento: Vector de cargas producidas por el viento de servicio. 5.3.25 function [Pviento] = viento_X(n,ch,cm,cu,p,v,Pviento); X es un número del, 0 al 7, que define el tipo de módulo que se va a calcular. La función obtiene el vector de cargas producidas por el viento para el módulo de ese tipo. VALORES DE ENTRADA n: Matriz de barras del módulo en estudio. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. p: Presión del viento de servicio. v: Velocidad del viento de servicio. Pviento: Vector de cargas por el viento, incompleto hasta el último módulo. LLAMADAS A OTRAS FUNCIONES Ninguna. VALORES DE SALIDA Pviento: Nuevo vector de cargas por el viento, con el módulo estudiado añadido. 5.3.26 function [v,d,Lastre,PP,PCP,R] = hipoIII(K,n,a,ch,cm,cu,P,Q,r,l,z); Realiza las operaciones y llamadas necesarias para la resolución de la estructura y que la pluma y la contrapluma aguanten satisfactoriamente la tercera hipótesis. En esta hipótesis no se debe usar el coeficiente de mayoración G, le daremos el valor 0 y así, la función “cargaselementos” ni lo aplicará, ni usará el valor de la carga de servicio. La carga de servicio si que se incluye, porque es necesaria para el cálculo del lastre. VALORES DE ENTRADA K: Matriz de rigidez total de la estructura. n: Matriz de barras total de la estructura. a: Vector que recoge el número y tipo de módulos que configuran la estructura. ch, cm y cu: Vectores con las características de los distintos perfiles. P: Peso de la carga útil en punta de pluma, aplicado ya el coeficiente ψ. Q: Peso del equipo de elevación. r: Reacciones de la estructura. l: Libertades de la estructura. z: Variable que define si la contrapluma mide 10 o 20 metros. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 80 de 143 Figura 6.1: Tipos de gancho D y E Tabla 6.1: Dimensiones de ganchos según DIN 15401 y 15402 Nº de gancho 2.5 4 5 6 Tipo E E E D a 1 63 71 80 90 b 1 80 90 100 125 b 3 22,5 25 27,5 30 b 4 17 19 22 24 C 8 8 8 10 d 3 M36 M42 M45 Rd50 U 1 64 71 80 - U 3 - - - 95 V 170 190 210 240 Rodamiento 51.108 51.110 51.112 51.214 Peso (kg.) 9 14 20 29 Referencia 011.2.5 001.4 001.5 001.6 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 81 de 143 Una vez definido el gancho se elige su suspensión, compuesta de: Traviesa, tuerca y pieza de aseguramiento (sólo para ganchos 6 o mayores). Éstas vienen definidas para cada número de gancho por las normas DIN 15412, 15413 y 15414 respectivamente. Figura 6.2: Suspensión del gancho A continuación se incluye las imágenes y tablas de valores de los elementos necesarios para nuestro proyecto: Figura 6.3: Traviesa del gancho Tabla 6.2: Dimensiones de traviesas de ganchos según DIN 15412 Nº de gancho b 1 b 2 b 3 b 4 C d 2 d 4 (j6) d 5 (h9) d 6 2,5 60 125 22.5 17 8 37 40 30 19 4 90 140 25 19 8 43 50 35 23 5 100 155 27,5 22 8 46 60 40 27 6 125 185 30 24 10 51 70 45 32 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 82 de 143 Nº de gancho h 1 h 2 h 3 (h11) r 1 (max) r 2 s 1 s 2 t 1 t 2 2,5 40 21,5 37 0,6 1,6 0,5 1,2 2 2 4 45 24 42 0,6 1,6 0,5 1,2 3 2 5 50 27,5 45 1 1,6 0,5 1,2 3 2 6 55 30 50 1 1,2 0,5 1,2 4 2,5 Figura 6.4: Tuerca del gancho Figura 6.5: Pieza de aseguramiento del gancho Tabla 6.3: Dimensiones de tuercas de ganchos según DIN 15413 Nº de gancho d 1 métrica d 1 redonda d 3 (c11) d 7 d 8 (E9) d 9 d 10 h 2,5 M36 - - 70 50 63 - 44 4 M42 - - 80 70 73 - 49 5 M45 - - 95 85 88 - 56 6 - Rd 50x6 50,6 115 105 - 68 - Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 83 de 143 Nº de gancho m r 4 r 5 t 11 t 12 t 13 t 14 t 15 2,5 32 0,6 - 4 12 8 - - 4 36 0,6 - 5 13 9 - - 5 40 1 - 5 16 9 - - 6 55 1,6 4 8 20 - 15 22 Tabla 6.4: Dimensiones de piezas de aseguramiento de ganchos según DIN 15414 Nº de gancho f (± 0.5) g (h11) t 2 c d 13 6 75 25 6 100 11,5 6.2.2 Aparejo Este tipo de grúas usan un tipo especial de aparejos, denominados aligerados, que maximizan su capacidad en función del su peso. Es importante resaltar que, según el número de ramales de cable, el aparejo aligerado deberá estar capacitado para su unión al gancho, por el inferior, y a 1 o 2 poleas, por su parte superior. 6.2.3 Cable La norma UNE 58-120-91/1 establece las reglas para el dimensionamiento de los cables. Su diámetro mínimo se determina mediante la siguiente formula: SKd Cmin ⋅= Ecuación (6.1) Donde: · d min es el diámetro mínimo del cable en mm. · K C es un coeficiente obtenido de la tabla 6.6. · S es la solicitación del cable en kg. La solicitación del cable se calcula a partir de la siguiente expresión: µn P Smax ⋅ = Ecuación (6.5) En donde: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 84 de 143 · P max es la carga máxima a elevar en kg. (carga útil + peso del gancho). · n es el número de ramales de la grúa. · µ es el coeficiente de rendimiento de las poleas obtenido de la tabla 6.5. Y así la ecuación para hallar el diámetro mínimo del cable quedará: µ ·n P Kd max Cmin ⋅= Ecuación (6.7) Tabla 6.5: Coeficiente de rendimiento de poleas Nº de ramales 1 2 3 4 5 6 Rendimiento µ de las poleas 0,99 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 El coeficiente K C se puede obtener de la siguiente tabla, que la normativa UNE que seguimos toma de las normas DIN, sabiendo que para este proyecto usaremos cables con una tensión máxima de rotura de 180 kg/mm 2 : Tabla 6.6: Coeficiente K C según normas DIN Grupo Carga peligrosa y cable antigiratorio M3 0,265 M4 0,280 M5 0,315 M6 0,335 M7 0,375 M8 0,425 Por otra parte, la norma UNE 58-120-91/1 también determina un coeficiente de seguridad a aplicar a la carga, para hallar la tensión de rotura efectiva que este debe de poder soportar: SZσ P0 ⋅= Ecuación (6.8) Donde: · σ 0 es la carga de rotura efectiva que debe soportar el cable en kg/mm 2 . · S es la solicitación del cable en kg. · Z P es un coeficiente de seguridad. El coeficiente Z P se obtiene de la siguiente tabla, que la normativa UNE que seguimos toma de las normas FEM: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 85 de 143 Tabla 6.7: Coeficiente Z P según normas FEM Grupo Carga peligrosa y cable antigiratorio M3 4 M4 4,5 M5 6,6 M6 7,1 M7 9 M8 11,2 Como nuestra grúa torre elevará las cargas a alturas considerables, elegiremos un cable del tipo antigiratorio. Debemos escoger en la tabla 6.8, un cable con mayor diámetro práctico y mayor carga de rotura efectiva que los obtenidos mediante las ecuaciones anteriores. Tabla 6.8: Cables antigiratorios 17x7 (1+6) +1 d comercial (mm) d practico (mm) d hilo (mm) Sección (mm 2 ) Peso (kg/m) Carga de rotura efectiva (kg/mm 2 ) 10,0 11,0 11,5 12,5 10,33 11,07 11,80 12,54 0,70 0,75 0,80 0,85 46,81 52,54 59,84 67,50 0,420 0,485 0,550 0,620 6.900 7.900 9.000 10.200 13,0 14,0 14,5 15,5 16,0 13,28 14,02 14,75 15,49 16,23 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 76,73 84,33 93,50 103,03 113,13 0,696 0,775 0,860 0,948 1,040 11.500 12.800 14.100 15.600 17.100 17,0 17,5 18,5 19,0 20,0 16,97 17,70 18,45 19,18 19,92 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 123,60 134,64 146,04 158,01 170,35 1,136 1,238 1,343 1,455 1,566 18.700 20.400 22.100 23.900 25.800 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 86 de 143 d comercial (mm) d practico (mm) d hilo (mm) Sección (mm 2 ) Peso (kg/m) Carga de rotura efectiva (kg/mm 2 ) 20,50 21,50 22,00 23,50 25,00 20,66 21,40 22,14 23,60 25,08 1,40 1,45 1,50 1,60 1,70 183,26 196,53 210,37 239,36 270,21 1,685 1,807 1,935 2,200 2,485 27.700 29.700 31.800 36.200 40.900 El cable escogido de esta manera, cumple la normativa, pero también debemos comprobar que es capaz de aguantar una vida aceptable en función de su uso. El cable debe cumplir: 000.150 40σ b 9 d D bb10 n 170.000 W 2 e 1 21 >             + − ⋅⋅⋅⋅= Ecuación (6.9) Donde: · W es la vida del cable en número de flexiones. · n es un coeficiente de valor 1 para flexión siempre en el mismo sentido. · D es el diámetro de la polea en mm. · d es el diámetro del cable en mm. · b 1 es un coeficiente de valor 1 para un radio de garganta r = 0,54 · d. · b 2 es un coeficiente de valor 1,04 para cable cruzado. · σ e es la tensión de extensión del cable en MPa. Aplicando los valores de coeficientes conocidos nos queda: 150.000 40σ 1 9 d D 1,04110 1 170.000 W 2 e >             + − ⋅⋅⋅⋅= Ecuación (6.10) Y despejando de la formula anterior, nos queda la vida del cable: 000.150 40σ 9 d D 18.387.200W 2 e >             + − ⋅= Ecuación (6.11) La tensión de extensión del cable en MPa, se calcula mediante la siguiente formula: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 87 de 143 n · d · π P 4· n · 4 d · π P n ·A P σ 2 maxN 2 maxNmaxN e === Ecuación (6.12) Donde: · σ e es la tensión de extensión del cable en MPa. · P max es la carga máxima a elevar en N. (carga útil + peso del gancho). · A es la sección aparente del cable en mm. . n es el número de ramales. · d es el diámetro del cable. Como en la ecuación de la vida del cable esta presente el diámetro de la polea, esta comprobación se realizará después de cálculo de estas. No es habitual, pero si se da el caso de que el cable no cumple esta ecuación, se deberán tomar unas poleas de mayor diámetro. 6.2.4 Poleas Según la configuración del aparejo y el número de ramales de nuestra grúa, 2 o 4, harán falta 4 o 6 poleas: Figura 6.6: Configuraciones de poleas Figura 6.7: Polea de acero con rodamientos de bolas Como todo el conjunto de cable y poleas trabaja en el mismo plano y con cargas transversales nulas, usaremos poleas de acero con rodamientos de bolas. A continuación incluimos una imagen de este tipo de poleas y las tablas de valores para su selección. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 88 de 143 Tabla 6.12: Dimensiones de las poleas de acero con rodamientos de bolas D 1 d cable r d 2 b d 3 E9 d 4 H7 d 5 d 6 l 4 Peso (kg.) Ref. 225 6-10 4 5 255 260 30 32 45 50 60 60 85 85 120 120 65 65 10 11 017.22.09 017.22.10 250 7-12 5,6 6,3 285 290 34 38 50 60 60 70 85 100 120 135 65 75 12 14 017.25.10 017.25.12 280 9-14 5,6 6,3 7 315 320 325 34 38 44 50 55 60 60 70 70 85 100 100 135 135 145 65 75 75 15 17 18 017.28.10 017.28.11 017.28.12 315 10-15 6,3 7 8 355 360 360 38 38 40 50 60 70 60 70 80 85 100 110 120 135 145 65 75 75 18 20 22 017.31.10 017.31.12 017.31.14 355 12-17 8 9 400 411 40 48 70 80 80 100 110 140 145 180 75 95 22 26 017.35.14 017.35.16 400 13-21 8 9 10 11 445 448 456 475 40 44 50 60 70 75 80 90 80 90 100 110 110 125 140 150 145 165 180 190 75 85 95 95 26 27 28 32 017.40.14 017.40.15 017.40.16 017.40.18 450 15-24 9 10 11 506 506 525 48 50 60 70 80 90 80 110 110 110 140 150 145 180 190 75 95 95 36 40 41 017.45.14 017.45.16 017.45.18 500 16-26 10 11 14 556 575 570 50 60 60 70 80 100 80 100 120 110 140 165 145 180 220 75 95 105 38 40 45 017.50.14 017.50.16 017.50.20 560 18-31 11 14 16 635 630 640 60 60 70 80 100 120 100 120 140 140 165 190 180 220 240 95 105 115 52 56 60 017.56.16 017.56.20 017.56.24 630 20-34 14 16 18 700 710 730 60 70 80 90 110 150 110 130 170 150 180 215 190 230 265 95 105 115 63 66 70 017.63.18 017.63.22 017.63.30 710 23-38 14 16 18 20 780 790 810 810 60 70 80 83 100 120 140 170 120 140 160 190 165 190 200 240 220 240 250 300 95 105 115 115 82 86 92 100 017.71.20 017.71.24 017.71.28 017.71.34 800 25-43 16 18 20 880 900 900 70 80 83 110 130 150 130 150 170 180 190 215 230 240 265 105 105 115 113 120 125 017.80.22 017.80.26 017.80.30 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 89 de 143 El diámetro mínimo de la polea se calcula mediante la siguiente fórmula: D polea = d cable · h 1 · h 2 Ecuación (6.13) Donde: · d cable es el diámetro del cable seleccionado. · h 1 y h 2 son dos coeficientes determinados por la normativa. En las tablas siguientes se exponen los valores de los coeficientes h 1 y h 2 : Tabla 6.9: Valores del coeficiente h 1 Cable antigiratorio Grupo Polea Tambor M3 14 16 M4 16 18 M5 16 20 M6 18 22,4 M7 18 25 M8 20 28 Tabla 6.10: Valores del coeficiente h 2 Tambores y poleas compensadoras h 2 1 W total ≤ 5 6 a 10 > 10 Poleas de cable h 2 1 1,12 1,25 Para las poleas de cable, los valores de h 2 dependen del número de poleas por las que pasa el cable y del número de inversiones del sentido de enrollamiento. Así, contaremos: · W = 0 para poleas compensadoras. · W = 1 para tambores. · W = 2 para poleas de cable sin inversión del sentido de enrollamiento. · W = 4 para poleas de cable con inversión del sentido de enrollamiento. El valor W total necesario para obtener el coeficiente h 2 , se obtiene sumando todos los W correspondientes a los diversos elementos de la grúa. Para las configuraciónes usadas en nuestro proyecto, que puede verse en la figura 6.6, este valor es: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 96 de 143 T 4 Ti 4 T T 4 Ti 4 T t T t D16 )D(Dπ 2 D 32 )D(Dπ W 2 D S2M ⋅ −⋅ = ⋅ −⋅ = ⋅⋅= Ecuación (6.35) Siendo: · S es la solicitación del cable en mm. · D T es el diámetro exterior del tambor en mm. · D Ti es el diámetro interior del tambor en mm. * Cálculo a flexión: Suponiendo la carga total en el centro del tambor, la tensión creada por el momento flector será: 2 f f f kg/mm 16 W M σ<= Ecuación (6.36) En donde: T 4 Ti 4 T t f total f D32 )D(Dπ 2 W W 2 L S2M ⋅ −⋅ == ⋅⋅= Ecuación (6.37) Siendo: · S es la solicitación del cable en mm. · L total es la longitud total del tambor en mm. · D T es el diámetro exterior del tambor en mm. · D Ti es el diámetro interior del tambor en mm. * Cálculo a compresión: La tensión de compresión es igual a: 2 c kg/mm 16 s h S2 0.85σ< ⋅ ⋅ = Ecuación (6.38) Siendo: · S es la solicitación del cable en kg. · h es el espesor del tambor en mm. · s es la separación entre las ranuras del tambor en mm. * Cálculo teniendo en cuenta el esfuerzo equivalente: El valor del esfuerzo equivalente es igual a: 222 c 2 feq kg/mm 16τ3σσσ <⋅++= Ecuación (6.39) Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 97 de 143 Si el valor obtenido en cualquiera de los cuatro cálculos es mayor que los 16 kg/mm 2 que puede soportar nuestro material, habrá que aumentar las medidas del tambor, incluso saliéndonos de la tabla 6.12, o escoger un material con mayor tensión de rotura. 6.2.6 Motor Tabla 6.13: Motores eléctricos sin levanta-escobillas Velocidad nominal de todos los motores de la tabla en r.p.m.: 1500 HP (CV) Velocidad de funcionamiento (r.p.m.) Rendimiento Par nominal (Nm) Par Máximo (Nm) Momento deInercia (kgm 2 ) Peso (kg) Tipo 5,5 1.410 0,77 27 75,6 0,03 75 1LS1- 133 7,5 1.410 0,82 37 99,9 0,035 80 1LS1- 135 10 1.425 0,85 50 150 0,068 110 1LS1- 163 15 1.440 0,87 74 251,6 0,09 125 1LS1- 166 20 1.445 0,88 101 404 0,23 215 1LS2- 136 25 1.450 0,89 124 471,2 0,39 285 1LS2- 155 30 1.450 0,90 148 592 0,43 305 1LS2- 156 40 1.455 0,905 201 783,9 0,76 400 1LS2- 176 50 1.460 0,905 247 938,6 1,02 555 1LS2- 185 60 1.465 0,915 300 1260 1,16 595 1LS2- 186 82 1.470 0,925 392 1568 1,9 745 1LS2- 204 100 1.475 0,93 497 1988 2,17 820 1LS2- 206 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 98 de 143 Como nuestro motor esta destinado a una grúa torre al aire libre, lo dotaremos de una protección IP 55, que según DIN 4050, CEI 144 y CEI 525 es una protección absoluta contra contactos, acumulación de polvo y chorros de agua. La potencia teórica necesitada en el tambor, en CV, es: η · 4500 v· G HP elevacion2 = Ecuación (6.40) Donde: · G 2 es el peso de la carga útil y los elementos de suspensión en daN. · v elevacion es la velocidad que estimemos en m/min. · η es un coeficiente de rendimiento mecánico, que estimaremos en 0,9. · 4500 es el factor de conversión de las unidades usadas a CV. Con el valor de la potencia obtenido entraremos en la tabla anterior y escogeremos el motor necesario para nuestra grúa, el que produzca una potencia mayor que la obtenida. Una vez escogido el motor, aplicamos otra vez la ecuación 6.44 con el nuevo valor del rendimiento del motor obtenido en la tabla anterior. Así, comprobamos si la potencia del motor escogido es realmente superior a la exigida por nuestra grúa, en caso negativo deberemos tomar un motor más potente. Además de la potencia de funcionamiento, nuestro motor debe de poder proporcionar un par mayor que el par de arranque necesario. A continuación calcularemos el par de arranque de la grúa, y si el motor previamente elegido no es capaz de proporcionarlo, deberemos tomar un motor de mayor potencia. M a = M w + M b Ecuación (6.41) Donde: · M a es el par de arranque. · M w es el par resistente. · M b es el par de aceleración. Y por partes: 1 wn 716 · HP M= Ecuación (6.42) Donde: · HP es la potencia del motor en CV. · n 1 es la velocidad nominal del motor en rpm. · 4500 es el factor de conversión para las unidades usadas. · M w es el par resistente en daNm. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 99 de 143 a 1 2 i b t· 375 n · GD M ∑ = Ecuación (6.43) Donde: · ΣGD i2 es la suma de los momentos de inercia referidos al eje del motor. · n 1 es la velocidad nominal del motor en rpm. · t a es el tiempo de aceleración, se tomará de 2 segundos para elevación. Y los momentos de inercia se calculan:              = = = += ∑ 2 1 2 2 2 2 rotor 1 r 2 2 masas 2 rotor 2 masas 2 i n n · 4 GD · 4GD n · π n · v d η d ·G GD GDGD GD Ecuación (6.44) Donde: · G es el peso de la carga útil y los elementos de suspensión en daN. · η es el rendimiento mecánico del motor. · v es la velocidad de elevación que hayamos estimado en m/min. · nr es el número de ramales de la grúa. · n1 es la velocidad nominal del motor en rpm. · n2 es la velocidad de funcionamiento del motor en rpm. · GD2/4 es el momento de inercia del motor. Si el par máximo del motor escogido no es suficiente para vencer al par de arranque calculado, deberemos tomar un motor con un par máximo mayor, que ya nos cumplirá con todas las especificaciones. 6.2.7 Freno Para calcular el par necesario en el freno, deberemos tener en cuenta el par máximo que es capaz de ejercer el motor seleccionado. Además, hay que seleccionar un coeficiente de seguridad K, de valor 2 o 2.5, en función de si se usara el mecanismo de elevación para elevar personas o no. Como con las grúas de nuestro proyecto nunca se elevarán personas, se tomará K de valor 2, con lo que la fórmula para la selección del freno quedará: M M F M2MKM ⋅=⋅= Ecuación (6.45) Entrando en la tabla siguiente elegiremos el freno según su par necesario: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 100 de 143 Tabla 6.14: Frenos tipo NDT según DIN 16.435 Tipo Par mínimo (Nm) Par máximo (Nm) Peso (kg) 160-255 50 100 23 200-255 90 180 29 250-255 110 210 34 200-356 140 280 35 250-256 190 370 40 315-356 240 480 59 315-506 380 750 62 315-806 650 1.300 63 400-506 380 750 85 400-806 660 1.320 87 400-1306 1.000 2.000 107 500-806 700 1.400 125 500-1306 1.100 2.200 145 6.2.8 Reductor Calculamos la relación de transmisión, que nos determinará el reductor a escoger, mediante la siguiente fórmula: relevacion T2T nv nnDπ i⋅ ⋅⋅⋅ = Ecuación (6.46) En donde: · i es la relación de transmisión. · D T es el diámetro exterior del tambor en m. · n 2 es la velocidad que nos proporciona el motor escogido en rpm. · n T es el número de salidas de cable del tambor. · v elevación es la velocidad de elevación escogida en m/min. · n r es el número de ramales en el aparejo. En la tabla siguiente seleccionaremos un reductor que tenga una relación de transmisión mayor a la obtenida en la ecuación anterior. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 101 de 143 Tabla 6.15: Reductores de la serie TH-18 de 3 etapas i nominal i real n entrada n salida Par 25/1 24,02 60 10.600 28/1 29,30 54 11.100 31.5/1 32,52 48 9.900 36.5/1 34,27 42 10.200 40/1 38,03 38 10.200 45/1 43,21 33 9.000 50/1 48,59 30 11.000 56/1 56,82 27 10.400 63/1 60,84 24 10.000 71/1 70,04 21 9.000 80/1 80,57 19 10.300 90/1 94,22 17 10.900 100/1 100,90 15 10.500 112/1 116,75 13 9.300 125/1 128,20 1.500 12 8.600 6.2.9 Acoplamiento En el mecanismo de elevación será necesario colocar un acoplamiento entre el motor y el reductor, sobre este acoplamiento actuará el freno. Para el acoplamiento motor-freno-reductor la fórmula a usar será: MMFR TKT ⋅= Ecuación (6.47) Donde: · T MFR es el par que ha de soportar el acoplamiento motor-freno-reductor. · K es un factor de servicio que estimaremos en 2. · T M es el par máximo del motor calculado. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 102 de 143 Tabla 6.16: Acoplamientos flexibles de dientes abombados Número Par (Nm) Peso (kg) 5 115 0,4 10 200 0,9 20 340 1,2 35 600 2 40 900 3 50 1.700 6 60 2.800 10 70 3.800 15 85 6.600 21 100 9.200 30 120 12.750 38 135 17.600 50 150 24.500 66 165 38.000 100 180 47.000 135 195 63.000 170 210 83.000 260 230 112.000 350 6.3 MECANISMO DE TRASLACION 6.3.1 Motor Igual que al motor del equipo elevación, lo dotaremos de una protección IP 55, que según DIN 4050, CEI 144 y CEI 525 es una protección absoluta contra contactos, acumulación de polvo y chorros de agua. La potencia teórica necesitada en el tambor, en CV, es: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 103 de 143 η · 4500 v· w · )G(G HP traslacion21 + = Ecuación (6.49) Donde: · G 1 es el peso muerto del carro en daN. · G 2 es el peso de la carga útil y los elementos de suspensión en daN. · v traslacion es la velocidad que estimemos en m/min. · w es el coeficiente de rozamiento, aplicaremos el valor de 0,07. · η es un coeficiente de rendimiento mecánico, que estimaremos en 0,9. · 4500 es el factor de conversión de las unidades usadas a CV. Con el valor de la potencia obtenido entraremos en la tabla 6.13 y escogeremos el motor necesario para nuestra grúa. Una vez escogido el motor, aplicamos otra vez la ecuación 6.49 con el nuevo valor del rendimiento del motor obtenido en la tabla anterior. Así, comprobamos si la potencia del motor escogido es realmente superior a la exigida por nuestra grúa, en caso negativo deberemos tomar un motor más potente. Además de la potencia de funcionamiento, nuestro motor debe de poder proporcionar un par mayor que el par de arranque necesario. A continuación calcularemos el par de arranque de la grúa, y si el motor previamente elegido o es capaz de proporcionarlo, deberemos tomar un motor de mayor potencia. M a = M w + M b Ecuación (6.50) Donde: · M a es el par de arranque. · M w es el par resistente. · M b es el par de aceleración. Y por partes: 1 w n 716 · HP M = Ecuación (6.51) Donde: · HP es la potencia del motor en CV. · n 1 es la velocidad nominal del motor en rpm. · 4500 es el factor de conversión para las unidades usadas. · M w es el par resistente en daNm. a 1 2 i b t· 375 n · GD M ∑ = Ecuación (6.52) Donde: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 104 de 143 · ΣGD i2 es la suma de los momentos de inercia referidos al eje del motor. · n 1 es la velocidad nominal del motor en r.p.m. · t a es el tiempo de aceleración, se tomará de 4 segundos para traslación. Y los momentos de inercia se calculan:              = = = += ∑ 2 1 2 2 2 2 rotor 1 2 2 masas 2 rotor 2 masas 2 i n n · 4 GD · 4GD n · π v d η d ·G GD GDGD GD Ecuación (6.53) Donde: · G es el peso de la carga útil, elementos de suspensión y carro en daN. · η es el rendimiento mecánico del motor. · v es la velocidad de traslación que hayamos estimado en m/min. · n1 es la velocidad nominal del motor en rpm. · n2 es la velocidad de funcionamiento del motor en rpm. · GD2/4 es el momento de inercia del motor. Si el par máximo del motor escogido no es suficiente para vencer al par de arranque calculado, deberemos tomar un motor con un par máximo mayor, que ya nos cumplirá con todas las especificaciones. 6.3.2 Freno Para calcular el par necesario en el freno, deberemos tener en cuenta el par máximo que es capaz de ejercer el motor seleccionado. Además, hay que seleccionar un coeficiente de seguridad K, de valor 2 o 2.5, en función de si se usara el mecanismo de elevación para elevar personas o no. Como con las grúas de nuestro proyecto nunca se elevarán personas, se tomará K de valor 2, con lo que la fórmula para la selección del freno quedará: M M F M2MKM ⋅=⋅= Ecuación (6.54) Entrando en la tabla 6.14 elegiremos el freno según su par necesario. 6.3.4 Acoplamiento En el mecanismo de elevación será necesario colocar un acoplamiento a la salida del motor, sobre este acoplamiento actuará el freno. La fórmula a usar será: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 105 de 143 M MF TKT ⋅= Ecuación (6.55) Donde: · T MF es el par que ha de soportar el acoplamiento motor-freno. · K es un factor de servicio que estimaremos en 2. · T M es el par máximo del motor calculado. En la tabla 6.16 elegiremos el acoplamiento que pueda soportar un par mayor a T MF . 6.4 MECANISMO DE ORIENTACION 6.4.1 Corona de orientación Para el cálculo de la corona de orientación habrá que tener en cuenta la carga axial y el momento de vuelco que ha de soportar. La carga axial será la resultante de la suma de todas las fuerzas de dirección vertical que existen en la pluma y la contrapluma, en total: PlumaServicioCPlumaLastreAXIAL SSS SS +++= Ecuación (6.56) Para calcular el momento de vuelco más desfavorable que producen esas cargas se realizará la suma de los momentos que generan respecto del eje de la torre. Como el lastre se calculó para contrarrestar al resto de las fuerzas, tomando la carga de punta de pluma a medio camino, el momento de vuelco que se originara en la corona en el caso más desfavorable será: 2 E SM ServicioV ⋅= Ecuación (6.57) En la figura 4.1 puede verse una representación de la carga y la distancia usadas arriba. Con estos dos datos ya calculados, se entraría en grupos de tablas como la de la figura 6.11 y se seleccionaría una corona que resistiera esos esfuerzos. Además, deberemos tener en cuenta que el diámetro de la corona no deberá exceder de 1 metro. Ya que esta es la medida del lateral de la torre, la corona irá colocada en la parte superior de ésta, y por medidas de seguridad los elementos de la corona no pueden sobresalir. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 112 de 143 7.2.4 Formulario 11 - Generar un documento de Word al final del cálculo En el último formulario del cálculo, y para obtener todos los datos calculados por el programa, generaremos un documento de Word. Para ello nos valemos de las siguientes líneas de código: · Dim MSWord As Object: Dimensionamos una variable como un objeto. · Set MSWord = CreateObject("Word.Basic"): Creamos la variable objeto como un documento de Word desde Visual Basic. · FileNewDefault: Abrimos un archivo nuevo. · FontSize xx: Cambiamos el tamaño de letra a xx. · Insert "texto": Escribimos texto en la línea actual del documento. · Insert vbCrLf: Insertamos un salto de carro en la línea actual. · AppMaximize: Maximizamos la ventana con el documento creado. · FileClose: Cerramos el documento creado. Automáticamente, se nos abrirá un cuadro de texto desde el que podremos guardar el nuevo documento en cualquier lugar del disco duro. 7.2.5 Documentación adjunta al programa La segunda parte del programa permite que Windows abra cualquier tipo de archivo, siempre que éste tenga algún programa asignado como predeterminado. Para ello nos valemos de una llamada a las propias rutinas DLL de Windows (Dynamic Link Library) mediante el comando siguiente: Shell ("rundll32.exe url.dll,FileProtocolHandler " & ("path")) Donde path indica la dirección del disco duro en la que se encuentra el archivo a abrir. Este comando permite abrir incluso archivos ejecutables, carpetas de archivos y paginas web. Si el archivo al que se llama no se encuentra en la dirección disponible, o éste no tiene un programa predeterminado por Windows, nos aparecerá una ventana de error que nos avisará del mismo, y nos permitirá continuar usando el programa sin problemas. Hemos dividido esta sección en cuatro partes. En cada una de ellas encontramos los siguientes documentos y formatos para visualizar: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 113 de 143 MANUALES Y CODIGO FUENTE (en formato .doc y .pdf): · Manual del programa realizado que se incluye en este proyecto. · Carpeta con el código fuente de Visual Basic. · Carpeta con el código fuente de Matlab. TABLAS Y FORMULARIOS (en formato .doc y .pdf): · Tablas usadas en los cálculos de este programa. · Tablas de los perfiles usados en este programa. · Definiciones de los módulos usados en este programa. · Fórmulas usadas en el cálculo de las cargas de la grúa. · Fórmulas usadas en el cálculo matricial de la grúa. · Fórmulas usadas en el cálculo de los mecanismos PLANOS (en formato .dft, .dgn .dwg y .pdf): · Planos de los diversos módulos de la grúa. · Plano del conjunto de la grúa. · Plano con vista explosionada del conjunto de la grúa. PIEZAS EN 3D (en formato .par y .asm): · Dibujos en 3D de los diversos módulos de la grúa. · Dibujos en 3D del conjunto de la grúa 7.3 PROCEDIMIENTOS FINALES 7.3.1 Programa de instalación Para realizar la instalación del programa se ha utilizado el Install Maker Pro. Este programa permite crear instaladores para cualquier tipo de aplicación. Install Maker Pro comprime la aplicación y crea un archivo ejecutable el cual se encarga de descomprimir e instalar automáticamente cualquier aplicación. Además este programa tiene muchas opciones seleccionables, como: · Crear iconos en el escritorio y el menú inicio. · Permitir ejecutar el programa al acabar la instalación. · Mostrar un archivo al acabar la instalación. · Guardar registros del path de instalación. · Instalar archivos necesarios en los directorios de sistema de Windows. · Mostrar o no imágenes. · Mostrar textos de información. · Crear un archivo para la desinstalación. El problema que me encontré al buscar este programa fue encontrar solamente dos versiones: Una shareware en español y otra completa en francés. La versión shareware mostraba al final de la instalación una pantalla de texto, lo que hacía que quedara muy poco profesional. De manera que tomé la versión completa en francés y creé un parche para que el programa de instalación aparezca completamente en español. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 114 de 143 7.3.2 Reproducción automática Además del programa de instalación, también hemos creado el siguiente archivo: arranque.inf Este archivo sirve para hacer que el programa de instalación realizado se ejecute directamente al introducir el CD en el lector en los ordenadores que tengan activada la reproducción automática. El comando que se incluye en este archivo es el siguiente: [AutoRun] OPEN = VULCANO_Setup.exe Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 115 de 143 8. EJEMPLO DE CALCULO 8.1 GENERALIDADES 8.1.1 Introducción En este apartado de la memoria se realizara un ejemplo de cálculo manual de los mecanismos de una grúa torre. De esta forma, podremos comparar y comprobar que los datos proporcionados por el programa realizado en Visual Basic son correctos. Para ello utilizaremos los siguientes datos iniciales: · Altura de la torre: 30 m. · Longitud de la pluma: 50 m. · Carga máxima en la punta de la pluma: 1.000 kg. · Vida de funcionamiento real: 40.000 horas · Tipo de trabajo: Moderado 8.1.2 Clasificación de aparatos y mecanismos Con un estado de carga Moderado, los coeficientes nominales del espectro de cargas valen: K m = 0,25 Con estos valores entramos a la tabla 4.1 y obtenemos la siguiente clasificación: Clase de utilización del aparato: T 8 Grupo de clasificación del aparato: M 8 8.2 MECANISMO DE ELEVACION 8.2.1 Gancho La carga máxima que deberá elevar nuestra grúa es 2.000 kg. Con este dato seleccionamos el gancho y su suspensión de las tablas 6.1 a 6.4: Elegiremos un gancho simple de número 2,5 con pestillo de seguridad. Usaremos un rodamiento 51.108. El número de la traviesa será 2.5 y su diámetro 40 mm. La rosca de la tuerca será métrica M36. No será necesario el uso de pieza de aseguramiento. 8.2.2 Aparejo Como siempre en este tipo de gruas, usaremos un aparejo aligerado. Más adelante decidiremos si usar uno de 2 o 4 ramales. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 116 de 143 8.2.3 Cable Para este ejemplo, supondremos que utilizaremos un aparejo de 4 ramales. Calculamos el valor de la solicitación del cable a partir de la carga máxima, el coeficiente de rozamiento y el número de ramales. Usaremos 4 ramales y el coeficiente de rozamiento lo obtenemos de la tabla 6.5 entrando con 6 poleas (ver figura 6.6). Obtenemos: kg. 68,852 0,954 2.009 S= ⋅ = Obteniendo K C de la tabla 6.6 calculamos el diámetro mínimo del cable: mm. 77,9528,68425,0d min =⋅= Obteniendo Z P de la tabla 6.7 calculamos la tensión de rotura efectiva que éste debe de soportar: .kg/mm 5921,216 528,682,11σ 2 0 =⋅= Elegiremos el primer cable que nos cumpla las dos condiciones anteriores de la tabla 6.8 (cables antigiratorios 17x7 (1+6) +1) y calcularemos los esfuerzos a los que esta sometido. Las características del cable elegido son las siguientes: Diámetro del cable: 10,0 mm. Diámetro del mayor hilo del cable: 0,7 mm. Sección total del cable: 45,81 mm 2 . Carga de rotura efectiva del cable: 6900 kg/mm 2 . Calculamos la tensión de extensión: .kg/mm 69,12 45,81 528,68 1,1σ 2 extension =⋅= La longitud de cable necesaria será: L = (5 · 30 + 50) · 1.000 = 200000 mm. 8.2.4 Poleas Debido a la configuración del aparejo, harán falta 6 poleas. Demos tomar un diámetro de polea mayor que el diámetro mínimo calculado mediante la ecuación 6.13: D polea = 10 · 20 · 1,25 = 250 mm. Tomamos, de la tabla 6.12, poleas de las siguientes características: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 117 de 143 Diámetro de las poleas: 250 mm. Diámetro del cubo de las poleas: 120 mm. Anchura del cubo de las poleas: 65 mm. Anchura de la garganta de las poleas: 34 mm. Realizando los cálculos de garganta y radios para diferentes configuraciones, obviados aquí por su extensión, optamos por los valores siguientes: Espesor de la llanta: 5 mm. Número de radios: 4 Área de los radios: 6 x 35 mm. Que nos aporta unos coeficientes de seguridad de más de 3,5 para radios y llanta. Una vez seleccionadas las poleas podemos calcular la vida del cable mediante la fórmula de Niemman: ( ) ciclos 165190 409,8169,12 1 9 10 250 04,1110 1,5 170.000 V 2 =             +⋅ − ⋅⋅⋅⋅= 8.2.5 Tambor Se empleará un tambor de una salida. De la tabla 6.11 se obtienen los valores de las dimensiones que intervienen en el ranurado: s = 12 r = 5,5 a = 1 El diámetro mínimo del tambor se calculará aplicando la ecuación 6.13, en la que el valor h 2 vale 1 y obtendremos el valor de h 1 de la tabla 6.9: D T = 10 · 1 · 28 = 280 mm. Entramos en la tabla 6.14, para material de tensión admisible de 16 kg/mm 2 , y elegimos el diámetro y espesor del tambor: D = 300 mm. e = 40 mm. La longitud de cable a enrollar en el tambor será: L e = 30.000 · 4 + 50.000 + 3 · π · 300 = 173000 mm. Por lo que el número de espiras que necesitara el tambor serán: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 118 de 143 184 300 π 173000 n espiras = ⋅ = Y por tanto, la longitud útil del tambor, aplicando el factor s y teniendo en cuenta el tramo en ambos extremos sin mecanizar y el espesor de las dos paredes en el extremo del tambor, será: mm. 236850230221184L util =⋅+⋅+⋅= 389,7 300 2368 >= Según la normativa vigente, la longitud total del tambor partido del diámetro del mismo ha de ser menor de 3 para evitar el pandeo. Como esta condición no se cumple, habrá que aumentar el diámetro del tambor hasta que sea necesario. Esto nos ocurrirá varias veces. Aquí no incluiremos los cálculos repetitivos y pasaremos directamente al resultado final: D = 500 mm. e = 60 mm. La longitud de cable a enrollar en el tambor será: L e = 30.000 · 4 + 50.000 + 3 · π · 500 = 175000 mm. Por lo que el número de espiras que necesitara el tambor serán: 111 00 5 π 175000 n espiras = ⋅ = Y por tanto, la longitud útil del tambor, aplicando el factor s y teniendo en cuenta el tramo en ambos extremos sin mecanizar y el espesor de las dos paredes en el extremo del tambor, será: .mm 150050230221112L util =⋅+⋅+⋅= 33 500 1500 == Se cumple la normativa vigente. Pasamos a comprobar las tensiones a las que esta sometido el tambor: · Calculamos los momentos que se generan y los módulos resistentes del tambor: kgmm. 026450 2 1.200 2052M t =⋅⋅= Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 119 de 143 .kgmm 078450 2 1500 2952M f =⋅⋅= .mm 16355382 2 500 32 )380(500π W 3 44 t = ⋅ −⋅ = .mm 8177691 2 40888455 W 3 f == · Cálculo a torsión: .kg/mm 1601617,0 16355382 264500 τ 2 <== · Cálculo a flexión: .kg/mm 16096,0 8177691 784500 σ 2 f <== · Cálculo a compresión: 2 c kg/mm 16249,1 12 60 2952 0,85 σ <= ⋅ ⋅ ⋅= · Cálculo teniendo en cuenta el esfuerzo equivalente .kg/mm 16253,10,016173249,1096,0σ 2222 eq <=⋅++= Como el valor obtenido en los cuatro cálculos es menor que los 16 kg/mm 2 que puede soportar nuestro material, el tambor estará correctamente seleccionado. Calculamos el peso del tambor y el cable enrollado, tomando la densidad del acero ρ = 7,8 kg/m 3 : ( ) kg. 8,138550,62,432.69,096,00,055)(0,692,111Peso 22 =⋅+⋅−+⋅⋅= 8.2.6 Motor Como nuestro motor está destinado a una grúa torre al aire libre, lo dotaremos de una protección IP 55, que según DIN 4050, CEI 144 y CEI 525 es una protección absoluta contra contactos, acumulación de polvo y chorros de agua. Determinamos una velocidad de elevación máxima de 30m/min, con este dato calculamos la potencia necesaria en el motor: Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 120 de 143 CV. 8,14 0.9 4500 302009 HP = ⋅ ⋅ = Seleccionaremos el siguiente motor de la tabla 6.13: Tipo de motor: 1LS1 - 166 Potencia del motor: 15 CV. Velocidad de giro del motor: 1440 rpm. Par máximo del motor: 251,6 Nm. Una vez seleccionado el motor, y tomando todos los datos necesarios de esa misma tabla, comprobamos que ese motor tiene un par de arranque suficiente: 16,7 1500 716 · 15 M w == 097,15 1440 1500 · 0,09 · 4 0,87 1500 · π 4 · 30 ·9,81 2009 GD 2 2 2 2 i =+       ⋅ = ∑ 194,30 2 · 375 1500097,15 M b = ⋅ = M a = 7,16 + 30,194 = 37,354 daN = 373,54 N El motor elegido no es capaz de proporcionar el par necesario, por lo que deberemos tomar uno mayor y repetir los cálculos hasta obtener aquel que los cumpla. Obtenemos un resultado satisfactorio para el motor siguiente: Tipo de motor: 1LS2 - 155 Potencia del motor: 25 CV. Velocidad de giro del motor: 1450 rpm. Par máximo del motor: 471,2 Nm. 8.2.7 Freno Tomando un factor de seguridad de 2 y el par máximo del motor, .Nm 4,9422,4712T F =⋅= Entrando en la tabla 6.14 elegimos el siguiente freno según el par calculado: Tipo de freno: 315-806 Par mínimo del freno: 650 Nm. Par máximo del freno: 1300 Nm. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 121 de 143 8.2.8 Reductor Calculamos la relación de transmisión, que nos determinará el reductor a escoger, mediante la ecuación 6.46: 98,18 4 0 3 45015,0π i= ⋅ ⋅ ⋅ = En la tabla 6.15a y b seleccionaremos un reductor que tenga una relación de transmisión mayor a la obtenida en la ecuación anterior. Las características del reductor elegido son: Relación de transmisión del reductor: 25/1 Velocidad de giro de salida: 1450 / 25 = 58 rpm. 8.2.9 Acoplamiento Tomando un factor de seguridad de 2 y el par máximo del motor, .Nm 4,9422,4712T MFR =⋅= Entrando en la tabla 6.16 elegimos el siguiente acoplamiento según el par calculado: Tipo de acoplamiento: 50 Par: 1700 Nm. 8.3 MECANISMO DE TRASLACCION 8.3.1 Motor Igual que al motor de elevación, lo dotaremos de una protección IP 55, que es una protección absoluta contra contactos, acumulación de polvo y chorros de agua. Determinamos una velocidad de elevación máxima de 40 m/min, y suponemos que el peso del carro es un 20% del peso máximo a elevar. Con estos datos calculamos la potencia necesaria en el motor: CV. 6,1 0.9 4500 4007,020092,1 HP = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = Seleccionaremos el siguiente motor de la tabla 6.13: Tipo de motor: 1LS1 - 133 Potencia del motor: 5,5 CV. Velocidad de giro del motor: 1410 rpm. Par máximo del motor: 75,6 Nm. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 128 de 143 EQUIPO DE ELEVACION - POLEAS: Coeficiente h1: 20 Coeficiente h2: 1,25 Número de poleas necesarias: 6 Diámetro de las poleas: 250 mm Diámetro exterior de las poleas: 285 mm Diámetro del cubo de las poleas: 120 mm Anchura del cubo de las poleas: 65 mm Anchura de la garganta de las poleas: 34 mm Espesor de la garganta: 5 mm Número de radios: 4 Área de los radios: 6 mm x 35 mm Coeficiente de seguridad de la garganta: 3,64 Coeficiente de seguridad de los radios: 3,54 EQUIPO DE ELEVACION - TAMBOR: Coeficiente h1 del tambor: 28 Coeficiente h2 del tambor: 1 Diámetro del tambor: 500 mm Longitud del tambor: 1500 mm Espesor del tambor: 60 mm Número de espiras: 111 Separación entre ranuras: 12 mm Radio de las ranuras: 5,5 mm Separación entre el eje del cable y la superficie del tambor: 1 mm Tensión cortante soportada: 0,016 kg/mm^2 Tensión de compresión soportada: 1,248 kg/mm^2 Tensión de flexión soportada: 0,097 kg/mm^2 Tensión compuesta soportada: 1,252 kg/mm^2 Longitud de cable a enrollar: 174400 mm Coeficiente de seguridad mínimo del tambor: 12,78 EQUIPO DE ELEVACION - MOTOR: Velocidad máxima de elevación: 30 m/min Número de motor: 1LS2 - 155 Potencia del motor: 25 CV Velocidad de trabajo del motor: 1450 rpm Par nominal del motor: 124 Nm Par máximo del motor: 471,2 Nm EQUIPO DE ELEVACION - FRENO: Número de freno: 315 - 806 Par mínimo del freno: 650 Nm Par máximo del freno: 1300 Nm EQUIPO DE ELEVACION - REDUCTOR: Relación de transmisión del reductor: 25/1 Velocidad de giro de salida: 58 rpm Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 129 de 143 EQUIPO DE ELEVACION - ACOPLAMIENTO: Número de acoplamiento: 50 Par soportable por el acoplamiento: 1700 Nm EQUIPO DE TRASLACION - ACCIONAMIENTOS: Velocidad máxima de traslación: 40 m/min Número de motor: 1LS1 - 133 Potencia del motor: 5,5 CV Velocidad de trabajo del motor: 1410 rpm Par nominal del motor: 27 Nm Par máximo del motor: 75,6 Nm Número de freno: 200 - 255 Par mínimo del freno: 90 Nm Par máximo del freno: 180 Nm Número de acoplamiento: 10 Par soportable por el acoplamiento: 200 Nm ESTRUCTURA - MODULOS USADOS: Número de módulos del tipo 4: 1 Número de módulos del tipo 1(contrapluma): 0 Número de módulos del tipo 0: 1 Número de módulos del tipo 1(pluma): 2 Número de módulos del tipo 2: 1 Número de módulos del tipo 3: 2 Número de módulos del tipo 5(punta de la pluma): 0 Número de módulos del tipo 6(punta de la pluma): 1 Longitud total de todos los módulos usados en la pluma: 50 ESTRUCTURA - RESULTADOS DEL CALCULO MATRICIAL: Coeficiente dinámico de elevación: 1,15 Coeficiente de mayoración de cargas: 1,2 Perfil circular hueco usado en la pluma: o 225. 8 Perfil circular macizo usado en la pluma: o 50 Perfil cuadrado hueco usado en la pluma: # 200. 7 Perfil circular hueco usado en la torre: o 275. 9 Perfil cuadrado hueco usado en la torre: # 80. 6 Desplazamiento máximo de la punta de la pluma en el eje X: 14 mm Desplazamiento máximo de la punta de la pluma en el eje Y: 1192 mm Desplazamiento máximo de la punta de la pluma en el eje Z: 273 mm Peso del lastre necesario: 52000 kg Peso total de la pluma: 17700 kg Peso total de la contrapluma: 3000 kg Peso total de la torre: 10000 kg EQUIPO DE ORIENTACION - CORONA: Carga axial que debe soportar: 74700 kg Momento que debe soportar: 2500000 kgcm Diámetro exterior: 1000 mm Número de dientes: 125 dientes Módulo: 8 Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 130 de 143 EQUIPO DE ORIENTACION - ACCIONAMIENTOS: Velocidad máxima de rotación: 1 m/min Número de motor: 1LS1 - 166 Potencia del motor: 15 CV Velocidad de trabajo del motor: 1440 rpm Par nominal del motor: 74 Nm Par máximo del motor: 251,6 Nm Número de freno: 315 - 506 Par mínimo del freno: 380 Nm Par máximo del freno: 750 Nm Número de acoplamiento: 35 Par soportable por el acoplamiento: 600 Nm Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 131 de 143 PLIEGO DE CONDICIONES Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 132 de 143 1. CONDICIONES GENERALES 1.1 INTRODUCCION La realización del presente proyecto titulado “Calculo de la estructura de una gama de grúas torre sin pináculo con una capacidad de carga de 3 toneladas, alcance de 70 metros y altura de la pluma de hasta 3.20 metros mediante un programa de cálculo matricial en 3D y elaboración de otro para la elección de su mecanismo principal”, se enmarca bajo la designación de proyecto fin de carrera y tiene como propósito culminar con éxito los estudios de Ingeniería Industrial especialidad en Mecánica. El autor del presente proyecto ha cursado estos estudios en la Universidad de La Rioja, cumpliendo en su elaboración las directrices especificadas por dicho centro en la normativa del Proyecto Fin de Carrera. 1.2 CONDICIONES DE DESARROLLO El proyecto desarrollado presenta una parte importante de trabajo en aspectos concretos de la realización e implementación de aplicaciones informáticas para el cálculo de la estructura y mecanismos de un tipo concreto de grúas torre. Así como la comunicación para el intercambio de información entre diferentes aplicaciones informáticas, como son Matlab y Visual Basic. Actualmente no existe una normativa específica para la elaboración de programas por ordenador, así que resulta imposible referirse a condiciones legales o administrativas. Sin embargo, todo software debe ofrecer al usuario las condiciones mínimas que se expondrán a continuación: · La instalación del software no debe alterar el normal funcionamiento del sistema operativo ni del resto de los programas instalados. Durante la programación se ha de prestar especial atención a no modificar, ni durante la instalación ni durante la ejecución, ningún aspecto de la configuración del sistema. · Siempre se debe buscar la máxima compatibilidad posible: El software ha de poder ser utilizado por el mayor número de usuarios posibles. Los requerimientos mínimos del sistema para el software desarrollado se detallarán en el apartado 3 del presente pliego de condiciones. · En el momento en el que el usuario abandone la aplicación, el programa debe liberar automáticamente todos los recursos de memoria utilizada durante su ejecución. En el desarrollo del software se ha de tener en cuenta que las versiones utilizadas de los distintos programas han sido: · Matlab 6.5. · Visual Basic 6.0. · Install Maker Pro 1.3h (con un parche para la traducción al español) Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 133 de 143 Es conveniente la utilización por lo menos de estas versiones o superiores, para poder estar seguro de que todas las funciones y aplicaciones utilizadas por los distintos programas puedan ser localizadas. 1.3 PROPIEDAD INTELECTUAL La propiedad intelectual del autor y el director del proyecto fin de carrera se rige por la normativa sobre propiedad intelectual de trabajos docentes realizados por alumnos. Esta normativa ha sido aprobada por la Junta de Gobierno así como por el Real Decreto legislativo 1/1996 del 12 de abril. 2. CONDICIONES DE MATERIALES Y EQUIPOS Para cumplir los objetivos inicialmente planteados en el presente proyecto se han utilizado diversos recursos hardware y software. En este apartado se detallan las especificaciones de los materiales y equipos incluidos en cada uno de estos apartados. Los recursos descritos a continuación son los utilizados para la solución final y se consideran los más apropiados para el cumplimiento con éxito del presente proyecto en el momento de su realización. Esta afirmación no implica que sean las más adecuadas para la realización de las tareas. Son los que se han considerado mejores entre todos los disponibles durante la realización del presente proyecto, y en algunos casos, la ausencia física de los mismos se ha subsanado del mejor modo posible. 2.1 RECURSOS HARDWARE La presente aplicación, dado su grado de complejidad y volumen de cálculo, precisa de unos requerimientos hardware para desarrollar sus funciones de forma rápida y adecuada. Dado que el programa no requiere más que potencia de cálculo, para la realización de las operaciones, la memoria y capacidad del ordenador únicamente ahorrará tiempo en la presentación de los resultados. Siendo necesario, como mínimo para que el programa funcione correctamente, el siguiente equipo: · Pentium II a 400MHz. · 64 Mb de memoria RAM. · 50 Mb de espacio en el disco duro. · Lector CD-ROM 8x. · Monitor con capacidad para una resolución mínima de 800x600. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 134 de 143 Para un funcionamiento más dinámico del programa sería aconsejable el siguiente ordenador: · Pentium IV o AMD a 1 GHz. · 256 Mb de memoria RAM. · 50 Mb de espacio en el disco duro. · Lector CD-ROM 8x. · Monitor con capacidad para una resolución de 1024x768. 2.2 RECURSOS SOFTWARE Debido a las características intrínsecas de programas como Visual Basic, se hace imprescindible la utilización como sistema operativo para el ordenador Windows 95 o superior. Además, debe tenerse instalado en el ordenador Matlab 6.5 o superior. 3. CONDICIONES DE MONTAJE Y EJECUCION 3.1 REQUERIMIENTOS MINIMOS Los requerimientos mínimos para la ejecución de la aplicación son los siguientes: · Pentium II a 400MHz. · 64 Mb de memoria RAM. · 50 Mb de espacio en el disco duro. · Lector CD-ROM 8x. · Monitor con capacidad para una resolución mínima de 800x600. · Windows 98. · Matlab 6.5 El sistema mínimo detallado mediante la enumeración anterior, representa la configuración mínima necesaria para que el sistema sea capaz de iniciar el programa. En ningún momento se garantiza que esta configuración pueda ejecutar de forma satisfactoria para el usuario la presente aplicación. 3.2 INSTALACION La instalación adecuada de la presente aplicación en el sistema se detalla en el Manual de Usuario. Dicho manual se recoge en el Anexo de la memoria del presente documento. Para la instalación adecuada de la presente aplicación se remite al usuario a la documentación citada. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 135 de 143 4. CONDICIONES ECONOMICAS En el presente proyecto se prescinde de establecer condiciones económicas contractuales al no estar sujeto a un contrato de ejecución. Puesto que la aplicación desarrollada no tiene un fin comercial, no se ha elaborado el presupuesto pensando en el precio final de una licencia. El precio se ha estimado conforme a las horas de trabajo empleadas y a todos los materiales y equipos utilizados. El precio final hace referencia, por tanto, al coste global que supondría desarrollar este proyecto en su totalidad. Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 136 de 143 PRESUPUESTO Proyecto Fin de Carrera Diego Pérez García 137 de 143 1. MEDICIONES 1.1 EQUIPOS - CANTIDAD PC COMPATIBLE 1 Unidad · MICROPROCESADOR AMD K8 ATHLON 64 3400+ SK754 · PLACA K8 AOPEN AK89MAX NFORCE 3 · DISCO 300 GB SATA SEAGATE 7200 · 2x512 KINGOSTON HYPERX DDR400 · SVGA 256MB ATI RADEON 9600 XT – SOUND BLASTER LIVE 24-BIT · MONITOR 19'' LG 900P FLATRON USB · REGRABADORA 52x24x52x + DVD16X LG 1.2 PROGRAMACION 1.2.1 Programación en Matlab Requisitos 150 h. Diseño 250 h. Codificación 600 h. Depuración 500 h. Recepción con usuario 10 h. TOTAL 1510 h. Software y licencia Matlab 6.5 1 Unidad 1.2.2 Programación en Visual Basic Requisitos 100 h. Diseño 150 h. Codificación 300 h. Depuración 250 h. Recepción con usuario 10 h. TOTAL 810 h. Software y licencia Visual Basic 6.0 1 Unidad