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Proyecto Fin de Carrera 2 UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Zaragoza Proyecto Fin de Carrera Evaluación de la velocidad de viento para parques offshore con telemetría y métodos de previsión estadísticos JUAN LUIS SÁNCHEZ SARASA, JUNIO 2011  3 UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Zaragoza Proyecto Fin de Carrera Evaluación de la velocidad de viento para parques offshore con telemetría y métodos de previsión estadísticos AUTOR: JUAN LUIS SÁNCHEZ SARASA DIRECTORES: JOSÉ ANTONIO DOMÍNGUEZ NAVARRO MARÍA JESÚS VELILLA MARCO  Proyecto Fin de Carrera 4 ÍNDICE Í NDICE DE FIGURAS I Í NDICE DE T ABLAS VII R ESUMEN DEL P ROYECTO VIII CAPÍTULO 1 1 1.1 I NTRODUCCIÓN 1 1.2 M ISIÓN DEL S EAWINDS DENTRO DEL Q UIK SCAT 3 1.3 T HE PO.DAAC O CEAN ESIP T OOL (POET) 8 1.4 R EVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 10 CAPÍTULO 2 13 2.1 S OFTWARE 13 2.2 M ÉTODO ARIMA 15 2.3 S ERIES T EMPORALES 33 2.4 S ERIES E SPACIO -T EMPORALES 37 CAPÍTULO 3 40 3.1 O BTENCIÓN DE DATOS Y ZONA DE TRABAJO 40 3.2 A NÁLISIS DE DATOS 46 3.3 A PLICACIÓN DE LOS MÉTODOS ARIMA 50 3.4 D ESARROLLO DEL CÓDIGO EN R LANGUAGE 163 CAPÍTULO 4 169 4.1 A NÁLISIS Y D ISCUSIÓN DE DATOS 169 4.2 E STUDIO TEMPORAL 173 4.3 E STUDIO ESPACIO - TEMPORAL 180 CAPÍTULO 5 182 5.1 C ONCLUSIONES 182 5.2 R EFERENCIAS 184 5 Índice de figuras Figura 1 Imagen artificial del satélite QuikSCAT Figura 2 Señales del satélite QuikSCAT atravesando nubes Figura 3 Ejemplo de una órbita polar y otra geoestacionaria Figura 4 Ejemplo de selección de parámetro de la herramienta “POET” Figura 5 Ejemplo de Selección de la franja horaria deseada de la herramienta “POET” Figura 6 Ejemplo de selección de la zona geográfica de la herramienta “POET” Figura 7 Selección de parámetro de la herramienta “POET” Figura 8 Selección de la franja horaria deseada de la herramienta “POET” Figura 9 Selección de la zona geográfica de la herramienta mediante dibujo de zona Figura 10 Selección de la zona geográfica de la herramienta mediante inserción de coordenadas Figura 11 Selección de formato de salida de datos Figura 12 Formato de visualización Figura13 Pantalla de toma de datos Figura 14 Mapa de los puntos a estudio Figura 16 y 22 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (1). Figura 17 y 23 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (1) I Proyecto Fin de Carrera 6 Figura 18 y 24 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (1) Figura 19 y 25 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (1) + PREDICT Figura 20 y 26 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (1).+ PREDICT Figura 21 y 27 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (1) + PREDICT Figura 28 y 34 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (2). Figura 29 y 35 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (2) Figura 30 y 36 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (2) Figura 31 y 37 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (1) + PREDICT Figura 32 y 38 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (2).+ PREDICT Figura 33 y 39 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (2) + PREDICT Figura 40 y 46 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (5). Figura 41 y 47 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (5) Figura 42 y 48 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (5) Figura 43 y 49 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (5) + PREDICT Figura 44 y 50 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (5).+ PREDICT Figura 45 y 51 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (5) + PREDICT Figura 52 y 58 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (10). Figura 53 y 59 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (10) Figura 54 y 60 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (10) Figura 55 y 61 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (10) + PREDICT II 7 Figura 56 y 62 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (10).+ PREDICT Figura 57 y 63 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (10) + PREDICT Figura 64 y 70 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (1). Figura 65 y 71 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (1) Figura 66 y 72 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (1) Figura 67 y 73 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (1) + PREDICT Figura 68 y 74 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (1).+ PREDICT Figura 69 y 75 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (1) + PREDICT Figura 76 y 82 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (2). Figura 77 y 83 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (2) Figura 78 y 84 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (2) Figura 79 y 85 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (2) + PREDICT Figura 80 y 86 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (2).+ PREDICT Figura 81 y 87 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (2) + PREDICT Figura 88 y 94 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (5). Figura 89 y 95 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (10) Figura 90 y 96 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (10) Figura 91 y 97 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (10) + PREDICT Figura 92 y 98 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (10).+ PREDICT Figura 93 y 99 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (10) + PREDICT III Proyecto Fin de Carrera 8 Figura 113 y 119 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1) Figura 114 y 120 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1) Figura 115 y 121 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,1) Figura 116 y 122 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1) + PREDICT Figura 117 y 123 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1).+ PREDICT Figura 118 y 124 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,1) + PREDICT Figura 125 y 131 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,2). Figura 126 y 132 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,2) Figura 127 y 133 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,2) Figura 128 y 134 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,2) + PREDICT Figura 129 y 135 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,2).+ PREDICT Figura 130 y 136 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,2) + PREDICT Figura 137 y 143 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5). Figura 138 y 144 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5) Figura 139 y 145 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,5) Figura 140 y 146 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5) + PREDICT Figura 141 y 147 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5).+ PREDICT IV Proyecto Fin de Carrera 2 Trabajar con las observaciones obtenidas como la información oceanográfica no es nada sencillo. Son una gran cantidad de datos en cada fichero proporcionado por la NASA y es necesario apoyarse en unas herramientas para el correcto uso que determine las áreas de selección o consulta. Estas herramientas se constituyen en visualizadores, que ayudan al usuario a realizar operaciones de consulta y selección de una forma ágil. En los siguientes capítulos detallaremos la base teórica y las diferentes operaciones realizadas para obtener las soluciones de este proyecto 3 1.2 Misión del Seawinds dentro del QuikSCAT El satélite QuikSCAT (contracción de Quick Scatterometer) se ha encargado durante más de una década en recolectar datos meteorológicos marinos. El proyecto se llevó a cabo con el trabajo colaborativo de la NASA y la NOAA (Administración Nacional Oceánica y Atmosférica, National Oceanic & Atmospheric Administration). Los objetivos de la misión se pueden generalizar en dos clases: científicos y operativos. En los objetivos científicos se destaca que los datos obtenidos se usan para combinar los datos de viento con las mediciones de los instrumentos científicos de otras disciplinas que ayuden a entender mejor los mecanismos del cambio climático: • Estudio de los cambios anuales y semestrales de la lluvia. • Estudio de los cambios diario/estacional del hielo del mar Ártico y el movimiento de los glaciares. • Determinar la fuerza atmosférica, la respuesta de los océanos, y los mecanismos de interacción aire-mar en varias escalas espaciales y temporales. Como objetivos operativos los datos obtenidos del satélite QuikSCAT ayudan a mejorar el pronóstico del tiempo cerca de las costas mediante el uso de los datos numéricos del viento en la intemperie y modelos de predicción de olas. También ayudan a mejorar el pronóstico de tormenta y en la vigilancia de su evolución. Proyecto Fin de Carrera 4 Figura 1. Imagen artificial del satélite QuikSCAT El corazón de QuikSCAT es un instrumento especialmente diseñado llamado Scatterometer. Es un radar que opera a una frecuencia de microondas que penetra las nubes. Esto, unido a la órbita polar del satélite, hace que los sistemas de vientos sobre los océanos sean visibles para QuikSCAT en el mundo entero. Las mediciones dan una información detallada acerca de los vientos de los océanos, las olas, corrientes, características polares de hielo y otros fenómenos, en beneficio de meteorólogos, climatólogos, oceanógrafos y marinos. 5 Los haces del radar no son parados por las nubes, sin embargo, la observación queda alterada por todo fenómeno que destruya las ondas: la lluvia, los vientos muy débiles o los vientos fuertes (Figura 2). Figura 2. Señales del satélite QuikSCAT atravesando nubes, obtenida de Técnicamente el instrumento usado en el QuikSCAT es un radar de alta frecuencia de microondas (de 13,4 GHz) diseñado específicamente para medir la velocidad y la dirección del viento próximas a la superficie del océano. El radar está montado en un plato giratorio de 1 metro de diámetro que produce dos haces de cobertura, barriendo en forma circular. Este instrumento explora una andana de 1.800 kilómetros de ancho y realiza aproximadamente 400.000 medidas, cubriendo el 90% de la superficie de la tierra en un día, y proporcionándonos dos tipos de resoluciones: cada 25 km la más gruesa, y cada 12,5 km la fina. Proyecto Fin de Carrera 6 El satélite QuikSCAT fue lanzado el 19 de junio del 1999 desde la base de la fuerza aérea Vandenberg, EE.UU., montado en un cohete Titán II. Dieciocho días después del lanzamiento la instrumentación del satélite empezó a recoger datos. La duración de la misión estaba estimada en 2 o 3 años pero la misión se alargó hasta el 2009 (10 años). El 23 de noviembre del 2009 una de las antenas del satélite cuya función era recoger las señales en tiempo real dejó de girar debido al desgaste de los rodamientos. Las piezas tenían una vida de alrededor de 5 años. Esta avería provocó el final de la misión. Figura 3 Ejemplo de una órbita polar y otra geoestacionaria El satélite realizaba 14 orbitas polares (ver figura 3) diarias alrededor del planeta. Cada órbita queda registrada en un fichero. Los datos están organizados por un tipo de ficheros llamados HDF, Hierarchical Data Format (HDF, 2010). La principal ventaja de estos ficheros es que son capaces de almacenar una gran cantidad de datos numéricos referidos a multitud de variables. La versión de los ficheros que utiliza es la HDF4 (HDF4, 2010), la cual puede soportar diferentes modelos de datos incluyendo matrices multidimensionales, imágenes raster y tablas. 7 El formato HDF es auto descriptivo, lo que permite que una aplicación pueda interpretar los datos sin ningún tipo de información externa. Los datos recogidos se guardan en los servidores del PO.DAAC (Physical Oceanography DAAC) agrupados en diferentes resoluciones. Ésta información se encuentra disponible para todo el que esté interesado. La Tabla 1 muestra dónde pueden obtenerse los distintos conjuntos de datos, en todas sus versiones, producidos en la misión QuikSCAT. Tabla 1. Disponibilidad de los datos QuikSCAT Proyecto Fin de Carrera 8 1.3 The PO.DAAC Ocean ESIP Tool (POET) Existe otra herramienta llamada The PO.DAAC Ocean ESIP Tool (POET) la cual se ha utilizado para obtener los datos necesarios de este proyecto. POET también permite la visualización de los datos obtenidos por el satélite QuikSCAT, pudiendo elegir el parámetro de búsqueda (temperatura, viento…) en una zona determinada y en un periodo de tiempo concreto Esta herramienta es más práctica si no se desean grandes cantidades de datos, ya que no es necesaria ninguna otra aplicación para la comprensión de estos. Las tres siguientes imágenes muestran la interfaz gráfica de la herramienta POET. Figura 4. Ejemplo de selección de parámetro de la herramienta “POET” Figura 5. Ejemplo de selección de la franja horaria deseada de la herramienta “POET” 9 Figura 6. Ejemplo de selección de la zona geográfica de la herramienta “POET” Una vez seleccionados todos los indicadores, podremos elegir en que formato nos devuelve los datos (ASCII, HDF, Binario…) The PO.DAAC Ocean ESIP Tool (POET) puede encontrarse en: http://poet.jpl.nasa.gov/ Proyecto Fin de Carrera 10 1.4 Revisión bibliográfica Este proyecto no es el primero que se basa en la predicción de viento, los métodos para realizar pronósticos deben estar en constante desarrollo utilizando técnicas innovadoras para intentar aproximarse lo más posible a la realidad. Como hemos mencionado anteriormente, el QuikSCAT empezó a trabajar en el año 1999. Durante estos primeros años se realizaron varios estudios, donde los datos obtenidos fueron evaluados para certificar su validez, o bien fueron utilizados para apoyarse en otro tipo de métodos de predicción para un mayor rendimiento. En el periodo comprendido entre los años 2002 y 2004 se realizaron comparaciones entre modelos operativos de predicción meteorológica y los datos obtenidos del satélite QuikSCAT en la costa Gallega. En este estudio se añadieron como complemento las mediciones tomadas de varias boyas meteorológicas situadas en alta mar, este trabajo se centró en un análisis estadístico basado en errores medios y correlación de datos. Los modelos utilizados para la predicción fueron los sistemas ARPS y MM5.Una vez vistos los resultados se dedujo que las estimaciones por satélite de viento mostraban un comportamiento dentro de los límites de confianza, por lo que podrían ser utilizados para fines futuros [E. Penabad , 06] Continuando con el mismo propósito, fue otro el trabajo realizado durante los años 2000-2006 en el Mar Mediterráneo. A la hora de predicción de vientos, siempre han existido problemas en los límites martierra, pues bien, estos estudios se apoyaron los datos QuikSCAT para optimizar resultados, los cuales mejoraron cuantiosamente. [A. Birol Kara, 07] Nombrar también una comparativa realizada entre datos QuikSCAT y datos obtenidos por una boya situada en el Mar de Ligure (Golfo de Génova) ya que como hemos nombrado anteriormente se producen varios problemas a la hora de conocer vientos en los límites martierra. En este caso los datos del satélite cumplieron los requisitos para velocidades altas pero su habilidad no fue satisfactoria en el caso de pronosticar direcciones para velocidades inferiores a los 3 m/s [ Sara Pensieri, 09] 11 Estos tres estudios se basaron en la comprobación de los datos vía satélite pero no fue hasta el año 2007 cuando en Brasil se empezó a plantear la utilización de estos en plataformas offshore. En el estudio, los datos obtenidos por el satélite sirvieron como complemento de estaciones meteorológicas ya que estas carecían de capacidad para poder abarcar toda la costa brasileña. Las conclusiones fueron que los datos obtenidos vía satélite son un buen complemento de las estaciones meteorológicas para el aprovechamiento de la energía eólica en alta mar. Por consecuencia, se decidió impulsar este tipo de energía para un futuro a medio plazo, debido al gran potencial eólico del que dispone este país. [Felipe Pimienta, 07] Mientras unos se planteaban la posibilidad de utilizar datos de satélites otros daban un paso más e intentaban realizar métodos de predicción que daban como óptimos los resultados obtenidos por telemetría. Como en este proyecto, los trabajos a continuación expuestos buscaron diversas técnicas para aproximarse al valor real de velocidades del viento como por ejemplo, predecir velocidades de viento y altitud de olas a partir de datos obtenidos por el satélite TOPEX, usando redes neuronales. Se demostró la complejidad de realizar estos estudios debido a la rápida variación de magnitudes. [Ruchi Kalra, 03] Aunque sabiendo la complejidad de la predicción mediante redes neuronales, muchos proyectos siguieron adelante manejando algoritmos BPTT y estructuras LF-DFNN obteniendo resultados bastante aceptables, con el único inconveniente del error estándar obtenido.[T.G. Barbounis, 05] Como hemos indicado al principio del apartado, los métodos están en continuo desarrollo y mejora. Durante el año 2008 se desarrollaron algoritmos evolutivos en Alemania, pronosticando el viento de diez granjas eólicas, las conclusiones a las que se llegó fueron que utilizando este tipo de algoritmos se reducían el error en relación con el método de redes neuronales.[ René Jursa, 08] Proyecto Fin de Carrera 18 Tomando la esperanza condicionada al conjunto de información, se obtiene: Dado que: La perturbación a t es la innovación en el momento t. Si, dado el conjunto de información I T , se conoce el verdadero valor de Y t , como la parte sistemática se puede predecir mediante el modelo, la perturbación a t ≈ Y t -PS t (PS t Parte sistemática o comportamiento regular de la variable) está determinada, es fija. Si, dado I T , no se conoce el verdadero valor de Y t , entonces la innovación at no está determinada por el conjunto de información, con lo que su media condicionada será la misma que su media no condicionada, es decir, cero. Los errores de predicción (e T ) son: 19 Los errores de predicción son una combinación lineal de las perturbaciones futuras a T+l , l= 1, 2… con valor medio cero: La varianza del error (V T ) de predicción o Error Cuadrático Medio de Predicción viene dado por: Como se puede observar la varianza del error de predicción va creciendo conforme nos alejamos en el futuro. Ahora bien, si el proceso es estacionario se cumple que: Por lo que esta varianza no crece indefinidamente, sino que tiene una cota máxima finita. Se puede observar que la perturbación o innovación a t y su varianza ө 2 tienen una nueva interpretación: Es el error de predicción un periodo hacia adelante. Es la varianza del error de predicción un periodo hacia adelante Proyecto Fin de Carrera 20 Si el proceso ruido blanco sigue una distribución normal, se tiene que: Por lo que el intervalo de predicción de probabilidad (1 –α) es: 21 Predicción con modelos MA (q) Comencemos por un modelo de medias móviles sencillo, por ejemplo, el MA (2) de media cero: La función de predicción es: Por lo tanto, la función de predicción de un MA (2), depende del conjunto de información, I T , para l = 1, 2 . A partir de l > 2, la predicción óptima viene dada por la media del proceso. Estos resultados se pueden generalizar fácilmente para el modelo MA(q): Proyecto Fin de Carrera 22 La función de predicción es: Como el modelo MA(2) está escrito directamente en forma medias móviles, se obtiene la varianza del error de predicción aplicando la expresión I t = {Y t , Y t-1 , Y t-2 ,…} con Aunque la varianza del error de predicción es una función creciente de l, el horizonte de predicción, tiene una cota máxima que viene dada por la varianza no condicionada del proceso y que se alcanza para l = q. Se puede concluir que para un modelo MA(q) las predicciones para los q primeros horizontes de predicción, l = 1, 2……. q , dependen del conjunto de información a través de los errores de predicción un periodo hacia adelante a T , a T-1 …. ,a T+1-q , con lo que se mejora la predicción respecto de la media no condicionada del proceso porque se predice con una varianza del error de predicción menor que la varianza no condicionada 23 del proceso. A partir de l = q , el conjunto de información no aporta nada a la predicción porque las predicciones optimas son la media no condicionada del proceso y la varianza del error de predicción es la varianza no condicionada del proceso. Esto significa que, condicionando al conjunto de información, se obtienen los mismos resultados que sin condicionar, luego a partir de l = q, I T ya no es informativo. La predicción por intervalo viene dada por: La amplitud de los intervalos de predicción va creciendo con l, con el límite impuesto por: Proyecto Fin de Carrera 24 Predicción con modelos AR (p) Consideremos el modelo autorregresivo más sencillo, el AR(1). La función de predicción es: De forma que la función de predicción es: Dado que : 25 La función de predicción I T (l)= I T (l) recoge una regla de cadena para obtener las predicciones de un proceso autorregresivo unas en función de las otras hasta un futuro indefinido. La trayectoria de la función de predicción depende de la estructura de la parte autorregresivo Como el proceso autorregresivo es estacionario, | | < 1, y por lo tanto cuando nos alejamos en el futuro la función de predicción tiende hacia la media no condicionada del proceso. Para construir los intervalos de predicción, se ha de obtener la varianza del error de predicción. Para ello es preciso partir del modelo escrito en forma medias móviles. En el caso del AR(1): Proyecto Fin de Carrera 26 Por lo que la varianza del error de predicción se obtiene aplicando la fórmula general: Con La varianza del error de predicción es monótonamente creciente conforme nos alejamos en el futuro. Como el proceso es estacionario, esta varianza no crece indefinidamente sino que tiene una cota superior dada por la varianza no condicionada del proceso: 27 La predicción por intervalo es: La amplitud de los intervalos de predicción va creciendo con l, con el límite impuesto por: Los resultados obtenidos para el modelo AR(1) se pueden extender para el modelo AR(p). En general, las funciones de predicción de procesos autorregresivo puros, se obtendrán a partir de reglas de cadena: La función de predicción de un proceso AR(1) utiliza la última observación Y T para obtener la predicción un periodo hacia adelante y luego, a partir de esta, se obtienen el resto de las predicciones. En el caso de un autorregresivo de orden p autorregresivo de orden p, se utilizaran las p últimas observaciones para obtener las predicciones para l = 1, 2…. p, y el resto se obtienen a partir de las p primeras. Proyecto Fin de Carrera 34 b) Si existe influencia de ciertos periodos de cualquier unidad de tiempo (estacionalidad). c) Si aparecen outliers (observaciones extrañas o discordantes), esto también nos afecta, ya que a la hora de recopilar datos con el satélite aparecen datos “muertos” 2. Predicción Cuando se observan los valores de una serie, se pretende normalmente no sólo explicar el pasado, sino también predecir el futuro. Componentes de una serie temporal El estudio descriptivo de series temporales se basa en la idea de descomponer la variación de una serie en varias componentes básicas. Este enfoque no siempre resulta ser el más adecuado, pero es interesante cuando en la serie se observa cierta tendencia o cierta periodicidad. Hay que resaltar que esta descomposición no es en general única. Este enfoque descriptivo consiste en encontrar componentes que correspondan a una tendencia a largo plazo, un comportamiento estacional y una parte aleatoria. Las componentes o fuentes de variación que se consideran habitualmente son las siguientes: 1. Tendencia: Se puede definir como un cambio a largo plazo que se produce en relación al nivel medio, o el cambio a largo plazo de la media. La tendencia se identifica con un movimiento suave de la serie a largo plazo. 35 2. Efecto Estacional: Muchas series temporales presentan cierta periodicidad o dicho de otro modo, variación de cierto periodo (anual, mensual...). Por ejemplo, el paro laboral aumenta en general en invierno y disminuye en verano. Estos tipos de efectos son fáciles de entender y se pueden medir explícitamente o incluso se pueden eliminar del conjunto de los datos, desestacionalizando la serie original. 3. Componente Aleatoria: Una vez identificados los componentes anteriores y después de haberlos eliminado, persisten unos valores que son aleatorios. Se pretende estudiar qué tipo de comportamiento aleatorio presentan estos residuos, utilizando algún tipo de modelo probabilístico que los describa. De las tres componentes reseñadas, las dos primeras son componentes determinísticas, mientras que la última es aleatoria. Así, se puede denotar que: X t = T t + E t + I t Donde T t es la tendencia y Et es la componente estacional, que constituyen la señal o parte determinística, e I t es el ruido o parte aleatoria. Es necesario aislar de alguna manera la componente aleatoria, en nuestro caso el mismo programa las aísla y estudiar qué modelo probabilístico es el más adecuado. Conocido éste, podremos conocer el comportamiento de la serie a largo plazo. Esto será motivo de estudio en Inferencia Estadística. Proyecto Fin de Carrera 36 Este aislamiento de la componente aleatoria se suele abordar de dos maneras: 1. Enfoque descriptivo: Se estima T t y E t y se obtiene I t como 2. Enfoque de Box-Jenkins: Se elimina de X t la tendencia y la parte estacional (mediante transformaciones o filtros) y queda sólo la parte probabilística. A esta última parte se le ajustan modelos paramétricos. 37 2.4 Series Espacio-Temporales En la actualidad, existe un gran interés en la modelización geoestadística de dependencias espacio-temporales que considere las interacciones de ambos argumentos, espacio y tiempo, con la finalidad de incrementar la capacidad predictiva de los procedimientos de krigeado y cokrigeado. El procedimiento krigeado es el que se utilizará a la hora de realizar predicciones espaciotemporales en la última parte del proyecto, este procedimiento nos los permite utilizar el programa R language Dichas dependencias, incorporadas en las funciones de covarianza o variogramas no separables, exigen de la disposición de un elenco suficientemente amplio de modelos teóricos covariográficos o variográficos válidos La estadística espacial reconoce y aprovecha la ubicación espacial de los datos a la hora de diseñar, recopilar, gestionar, analizar y mostrar las observaciones. Éstas son generalmente dependientes, si bien existen modelos espaciales a disposición del investigador que permiten tratar con dicha dependencia espacial a la hora de llevar a cabo labores de predicción. La estadística espacio-temporal incorpora, además, el tiempo y su interacción con el espacio como argumento de ayuda en tales labores predictivas. En los últimos 10 años ha habido una creciente toma de conciencia de esta necesidad, habiéndose realizado un gran esfuerzo por buscar herramientas adecuadas y útiles a tales efectos. Y todo ello porque utilizar modelos espaciales o espacio-temporales para caracterizar y explotar la dependencia espacial de un conjunto de observaciones el cual tiene importantes ventajas: Proyecto Fin de Carrera 38 • Modelos más generales, ya que, en la mayoría de los casos, los modelos clásicos que no tienen en consideración la dimensión espacial o la interacción de las dimensiones espacial y temporal son un caso particular de un modelo espacial o espacio-temporal • Estimaciones más eficientes: de la tendencia, de los efectos de las variables explicativas, de promedios regionales,... • Mejora de las predicciones: más eficientes, con propiedades de extrapolación más estables,... • La variación espacial no explicada en la estructura de la media debe ser absorbida por la estructura del error, por lo que un modelo que incorpore la dependencia espacial puede decirse que está protegido frente a una mala especificación de este tipo. Esto, en muchos casos, tiene como resultado una simplificación en la especificación de la tendencia; en general, los modelos con dependencia espacial suelen tener una descripción más parsimoniosa (en ocasiones con muchos menos parámetros) que los clásicos modelos de superficie de tendencia. Conceptos básicos de funciones covariográficas espacio-temporales Esta sección es meramente expositiva y lo que contiene es el instrumental básico relacionado con la definición de covarianza espaciotemporal, puesto que la principal dificultad del análisis de las funciones aleatorias espacio-temporales será seleccionar aquel modelo de función de covarianza que mejor se ajuste a las observaciones, entre aquellas que son válidas. Sea un conjunto de duplas espacio-temporales denotadas por Z(s,t)i , i = 1, 2,...n. Sea Z(s,t), una función aleatoria espacio-temporal Gaussiana con media m(s,t) y con varianza constante y finita. Entonces, la function (s 1 ,s 2 ,t 1 ,t 2 )a C st (s 1 ,s 2 ,t 1 ,t 2 ) 39 Se denomina función de covarianza espacio-temporal de la función aleatoria en cuestión y, si no se consideran nuevas hipótesis, depende únicamente de las coordenadas espacio-temporales (s 1 , s 2 , t 1 , t 2 )  Proyecto Fin de Carrera 40 Capítulo 3 En este apartado vamos a ir describiendo cada uno de los pasos realizados durante el proyecto: toma de datos, operaciones y código de programación Mas adelante, en el capítulo cuatro analizaremos la viabilidad de los datos 3.1 Obtención de datos y zona de trabajo CAPTURA DE DATOS Como ya indicamos en el apartado 1.3 los datos han sido obtenidos a partir de la herramienta POET (The PO.DAAC Ocean ESIP Tool). Las acciones necesarias para poder disponer de estos datos son las siguientes: La primera opción de la herramienta es elegir el parámetro con el que queremos trabajar, en nuestro caso será el viento,a continuación, otra de las posibilidades que presenta la herramienta, es el satélite con el que queremos trabajar, se ha elegido el satélite QuikSCAT dada su importancia en la previsión de fenómenos meteorológicos marinos en la última década. Por último en esta primera selección, POET nos permite elegir la resolución espacio-temporal, aunque en nuestro caso, al trabajar con QuikSCAT, los parámetros están ya fijados por la propia herramienta, impidiendo modificarlos. Todo lo anterior descrito queda reflejado en la siguiente imagen. Figura 7. Selección de parámetro de la herramienta “POET” 41 Una vez seleccionadas todas las variables de búsqueda, el siguiente paso es el de seleccionar el intervalo de tiempo con el cual vamos a trabajar, en nuestro caso, no hay ninguna preferencia, podríamos haber elegido cualquier intervalo, nos hemos decantado por los primeros veintiocho días del año 2000. Figura 8. Selección de la franja horaria deseada de la herramienta “POET” El tercer paso, es seleccionar la zona geográfica con la que vamos a trabajar, al igual que en el intervalo de tiempo, esta elección también es irrelevante, nos hemos decantado por una zona de nuestro país, siendo esta una zona del mar Cantábrico situada entre Asturias y Cantabria. Figura 9. Selección de la zona geográfica de la herramienta “POET” mediante dibujo de zona Proyecto Fin de Carrera 42 . Figura 9. Selección de la zona geográfica de la herramienta “POET” mediante inserción de coordenadas El último paso es el de elegir el formato de salida, podemos elegir diferentes formatos: desde imágenes hasta archivos en formato HDF. Nuestra selección es la de dato tipo ASCII debido a su facilidad de lectura. Figura 11 Selección de formato de salida de datos Una posibilidad de la aplicación es la de ver la búsqueda on-line o descargar los datos. Figura 12 Formato de visualización 49 PUNTO G G Mín. 0.600 1º Qu 4.400 Medana 5.595 Media 6.064 3º Qu 7.043 Máx 13.260 Vacios 6 PUNTO H H Mín. 1.560 1º Qu 4.168 Medana 5.540 Media 5.884 3º Qu 6.580 Máx 13.490 Vacios 6 Proyecto Fin de Carrera 50 3.3 Aplicación de los métodos ARIMA Con cada uno de los métodos mostrados en la siguiente lista, vamos a realizar un estudio en los ocho puntos mostrados, tomando como valores de viento los obtenidos con la herramienta POET. La elección de estos métodos no es casual, como se indica en el apartado 2.2, los resultados pueden ser de lo más diversos modificando el orden (p,d,q) por lo que tomaremos valores pequeños de p y q como por ejemplo 1 y 2 para después dar a estos parámetros valores más elevados como 5 ó 10 y ver como varían los resultados. Métodos utilizados • RA (1) • RA (2) • RA (5) • RA (10) • MA (1) • MA (2) • MA (5) • MA (10) • ARMA (1,1) • ARMA (1,2) • ARMA (1,5) • ARMA (1,10) • ARIMA (0,1,0) • ARIMA (1,1,1) • ARIMA (1,2,1) Mencionar que se han realizado estudios preliminares de otros métodos, pero al realizar las primeras predicciones se han desechado por carecer sus resultados de significado alguno. 51 Descripción de las operaciones realizadas Disponiendo de los datos de viento desde el día D-24 hasta el día D- 1 se han realizado predicciones para los días D y D+1, siendo estos dos últimos los días 25 y 26 de Enero del año 2000. Para cada día se han realizado predicciones con el método ARIMA, variando el orden del método, proporcionándonos una predicción (pre) y un error estándar (se), además de este método se realizado una predicción con una función proporcionada por R language llamada PREDICT, la cual genera predicciones a partir de un modelo lineal ARIMA. Las predicciones de PREDICT (pred) son muy próximas a las obtenidas por ARIMA, incluso las mejora, el inconveniente es que su error estándar (sed) suele ser mayor. El esquema con el cual se ha realizado el estudio de todos los métodos es el siguiente: 1º Apoyándonos en los datos anteriores (D-24 hasta D-1) se realiza una predicción para el día D. Una vez hecha se adjuntan gráficas donde se muestra la diferencia con los datos reales. 2º Se realiza la misma acción que en 1º pero esta vez añadiendo la función PREDICT volviendo a mostrar las gráficas correspondientes. Una vez realizada la predicción para el día D, añadimos los datos REALES de viento a la base de datos para predecir la velocidad del viento del día D+1, por lo que a la hora de realizar la segunda predicción contaremos con las velocidades de viento desde el día D-24 hasta el día D. Los siguientes dos pasos son semejantes a los realizados en 1º y 2º 3º Predicción D +1 4º Predicción D+1 utilizando la función PREDICT. Proyecto Fin de Carrera 52 ESTUDIO MODELO AR (1) Los datos reales son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D 6,68 8,83 7,99 8,38 7,74 7,79 Como podemos ver en los puntos A y H aparecen datos muertos, lo cuales surgen como ya se ha comentado a causa de lluvias y existencia de nubes en el momento que se realizó la lectura. Aunque no dispongamos de estos datos, trabajaremos con los datos disponibles y averiguaremos que modelo se aproxima más a la realidad. Realizando predicciones con el Modelo AR (1) los datos obtenidos con su error estándar han sido: DIA D PRE 6,67 6,20 6,33 6,03 5,50 8,97 6,05 5,75 SE 0,76 0,88 0,89 0,92 1,00 1,77 0,80 0,79 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos se puede ver en la siguiente gráfica. Figura 16 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (1). -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 1 2 3 4 5 6 7 8 53 Para ver el gráfico de valores reales y datos obtenidos, tenemos las siguientes imágenes, en la primera simplemente representamos en dato real y el dato obtenido por AR (1) y en la segunda añadimos el error estándar de los datos generados, creándose un MAX1 y un MIN1. Figura 17 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (1) Figura 18 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12345678 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 PRE MAX MIN Proyecto Fin de Carrera 54 Estudiado AR(1), haremos una ampliación AR(1) + PREDICT, los resultados han sido: DIA D PRED 6,52 6,15 6,57 5,95 5,03 10,29 5,90 5,78 SED 2,62 0,81 2,60 3,00 1,73 5,97 2,64 2,71 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos es: Figura 16 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (1). El gráfico de valores reales y datos obtenidos, tenemos las siguientes gráficas, en la primera, al igual que en las anteriores se representa el dato real y el dato obtenido por AR (1) + la función PREDICT y en la segunda se representan de nuevo el dato real, pero esta vez se añaden los posibles errores siendo estos MAX2 y MIN2, lo indicamos con esta nomenclatura para situarnos en el acto en el tipo de gráfica que se está observando. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 55 Figura 19 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (1) + PREDICT Figura 20 y26 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (1).+ PREDICT 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX MIN Proyecto Fin de Carrera 56 Una vez realizado los cambios mencionados al inicio del apartado, los datos para el día D+1 son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D+1 10.07 9,92 9.09 10.91 9.83 10.81 10.53 Los datos obtenidos: DÍA D +1 PRE 6,67 10,24 10,23 9,36 7,17 9,54 8,59 5,75 SE 0,76 1,59 1,32 1,22 1,44 1,88 1,61 0,59 La representación de los datos es la siguiente: Figura 22 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (1). -1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 57 Figura 23 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (1) Figura 24 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (1) 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX1 MIN2 Proyecto Fin de Carrera 58 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son los siguientes Figura 25 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (1) + PREDICT Figura 26 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (1).+ PREDICT -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 14 12345678 REAL PRED 65 Figura 35Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (2) Figura 36 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (2) 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX1 MIN1 Proyecto Fin de Carrera 66 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son: Figura 37 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (1) + PREDICT Figura 38 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (2).+ PREDICT -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 12345678 0 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED 67 Figura 39 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (2) + PREDICT 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX2 MIN2 Proyecto Fin de Carrera 68 ESTUDIO MODELO AR (5) Los datos reales son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D 6,68 8,83 7,99 8,38 7,74 7,79 Realizando predicciones con el Modelo AR (5) los datos obtenidos con su error estándar han sido: DIA D PRE 6,27 5,95 6,15 5,66 5,19 8,96 5,97 5,56 SE 1,29 1,26 1,23 1,34 1,02 1,78 1,00 0,80 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos son los expuestos en siguiente gráfica. Figura 40 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (5). -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 12345678 69 Gráficos de valores reales y datos obtenidos: Figura 41 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (5) Figura42 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (5) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX1 MIN1 Proyecto Fin de Carrera 70 Una vez estudiado AR(5), haremos una ampliación AR(5) + PREDICT, los resultados son: DIA D PRE 7,9 7,46 7,18 5,92 4,71 8,32 7,30 5,11 SE 2,19 2,33 2,51 2,82 1,47 5,54 2,28 2,75 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos se puede ver en la siguiente gráfica. Figura 43 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (5) + PREDICT En las siguientes gráficas se representa el dato real y el dato obtenido por AR (5) + la función PREDICT y por otro lado el dato real, pero esta vez se añaden los posibles errores al valor predicho -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 12345678 71 Figura 44 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (5).+ PREDICT Figura45 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (5) + PREDICT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12345678 REAL PRED 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX2 MIN2 Proyecto Fin de Carrera 72 Los datos para el día D+1 son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D+1 10,07 9,92 9,09 10,91 9,83 10,81 10,53 Los datos obtenidos: DIA D PRE 6,27 10,06 10,21 9,27 7,13 9,67 8,08 5,56 SE 1,29 1,71 1,58 0,67 0,91 2,55 3,18 0,80 La representación de los datos para el día D+1 es la siguiente: Figura 46 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (5). 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 73 Figura 47 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (5) Figura 48 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (5) 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX1 MIN1 Proyecto Fin de Carrera 74 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son: Figura 49 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (5) + PREDICT Figura 50 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (5).+ PREDICT 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 12345678 REAL PRED 81 Figura 60Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (10) Añadiendo la función PREDICT al día d+1 los resultados son los siguientes Figura 61Diferencia DATOS-PREDICCIÓN AR (10) + PREDICT 0 2 4 6 8 10 12 12345678 REAL MAX1 MIN1 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 Proyecto Fin de Carrera 82 Figura 62Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (10).+ PREDICT Figura 63 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR AR (10) +PREDICT 0 2 4 6 8 10 12 12345678 REAL PRED 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX2 MIN2 83 ESTUDIO MODELO MA (1) Los datos reales son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL 25 6,68 8,83 7,99 8,38 7,74 7,79 Realizando predicciones con el Modelo MA(1) los datos obtenidos con su error estándar han sido: DIA D PRE 6,72 6,17 6,45 6,00 5,54 8,92 6,05 5,68 SE 0,65 0,76 0,64 0,91 0,66 2,10 0,80 2,06 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos es: Figura 64 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (1). -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 1 2 3 4 5 6 7 8 Proyecto Fin de Carrera 84 Para ver el gráfico de valores reales y datos obtenidos, tenemos las siguientes gráficas: Figura 65 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (1) Figura 66 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12345678 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX1 MIN1 85 Una vez estudiado MA(1), haremos una ampliación MA(1) + PREDICT, los resultados han sido: DIA D PRE 6,66 6,07 6,45 5,91 5,23 4,99 5,80 5,68 SE 2,65 2,61 2,60 2,99 2,02 5,36 2,54 2,75 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos se puede ver en la siguiente gráfica. Figura 67 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (1) + PREDICT 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 1 2 3 4 5 6 7 8 Proyecto Fin de Carrera 86 Las gráficas de MA (1) + la función PREDICT son: Figura 68 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (1).+ PREDICT Figura 69 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (1) + PREDICT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED -2 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX2 MIN2 87 Al igual que para el día D, los datos para el día D+1 son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D+1 10,07 9,92 9,09 10,91 9,83 10,81 10,53 Los datos obtenidos: DIA D+1 PRE 6,72 10,26 10,23 9,29 7,20 9,66 8,61 5,68 SE 0,65 1,71 1,33 0,93 1,57 1,84 1,52 2,06 Al igual que hemos realizado en el día anterior, la representación de los datos es la siguiente Figura 70 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (1). -1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 Proyecto Fin de Carrera 88 Figura 71 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (1) Figura 72 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (1) 0 2 4 6 8 10 12 12345678 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX1 MIN1 89 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son los siguientes: Figura 73Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (1) + PREDICT Figura 74 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN AR (1).+ PREDICT -6 -4 -2 0 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED Proyecto Fin de Carrera 90 Figura 75 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (1) +PREDICT -5 0 5 10 15 20 25 12345678 REAL MAX2 MIN2 97 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son los siguientes Figura 85Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (2) + PREDICT Figura 86 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (2).+ PREDICT -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 12345678 REAL PRED Proyecto Fin de Carrera 98 Figura 87 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (2) + PREDICT 0 5 10 15 20 25 30 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX2 MIN2 99 ESTUDIO MODELO MA(5) Los datos reales son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D 6,68 8,83 7,99 8,38 7,74 7,79 Realizando predicciones con el Modelo MA(5) los datos obtenidos con su error estándar han sido: DIA D PRE 6,37 6,23 6,29 5,98 5,32 9,40 6,00 6,02 SE 0,91 0,88 0,91 0,99 0,83 3,00 0,78 0,38 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos se puede ver en la siguiente gráfica. Figura 88 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (5). -2 -1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 Proyecto Fin de Carrera 100 Las gráficas correspondientes a MA(5) son: Figura 89 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (5) Figura 90 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (5) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 14 12345678 REAL MAX1 MIN1 101 Estudiado MA(5), haremos una ampliación MA(5) + PREDICT, los resultados han sido: DIA D PRE 7,12 6,31 6,00 6,51 4,79 8,68 5,89 7,03 SE 2 2,59 2,52 3,23 1,54 4,77 2,08 6,54 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos se puede ver en la siguiente gráfica. Figura 91 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (5) + PREDICT -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 1 2 3 4 5 6 7 8 Proyecto Fin de Carrera 102 Las gráficas MA(5) + la función PREDICT con sus errores son: Figura 92 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (5).+ PREDICT Figura 93 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (5) + PREDICT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 12345678 REAL MAX2 MIN2 103 Al igual que para el día D, los datos para el día D+1 son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D+1 10,07 9,92 9,09 10,91 9,83 10,81 10,53 Los datos obtenidos: DIA D+1 PRE 6,37 10,11 10,33 9,37 6,86 10,20 8,68 6,02 SE 0,91 1,50 1,45 0,29 1,27 2,70 2,00 0,38 Al igual que hemos realizado en el día anterior, la representación de los datos es la siguiente Figura 94 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (5). -1 0 1 2 3 4 5 12345678 Proyecto Fin de Carrera 104 Figura 95 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (5) Figura 96 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (5) 0 2 4 6 8 10 12 12345678 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 14 12345678 REAL MAX1 MIN1 105 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son los siguientes Figura 97 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (5) + PREDICT Figura 98 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (5).+ PREDICT -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED Proyecto Fin de Carrera 106 Figura 99 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA (5) + PREDICT -5 0 5 10 15 20 25 12345678 REAL MAX2 MIN2 113 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son los siguientes Figura 110 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN MA (10) + PREDICT Figura 111 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN MA (10).+ PREDICT -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 0 5 10 15 20 25 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED Proyecto Fin de Carrera 114 Figura 112 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR MA(10)+PREDICT -5 0 5 10 15 20 25 30 12345678 REAL MAX2 MIN2 115 ESTUDIO MODELO ARMA (1,1) Los datos reales son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D 6,68 8,83 7,99 8,38 7,74 7,79 Realizando predicciones con el Modelo ARMA (1,1) los datos obtenidos con su error estándar han sido: DIA 25 PRE 6,51 6,19 6,41 6,05 5,42 6,15 5,05 5,69 SE 0,94 0,85 0,81 0,82 1,18 0,78 0,76 0,62 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos se puede ver en la siguiente gráfica. Figura 113 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1). 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 12345678 Proyecto Fin de Carrera 116 Los gráficos de valores reales y datos obtenidos del modelo ARMA (1,1) son: Figura 114 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1) Figura 115Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12345678 REAL PRE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX1 MIN1 117 Una vez estudiado ARMA (1,1), haremos una ampliación ARMA (1,1) + PREDICT, los resultados han sido: DIA D+1 PRE 6,45 6 6,57 5,89 5,12 5,87 5,83 5,67 SE 2,58 2,58 2,64 3,03 1,78 2,96 2,53 2,74 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos se puede ver en la siguiente gráfica. Figura 116 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 12345678 Proyecto Fin de Carrera 118 Gráficas de los datos y errores del modelo ARMA (1,1) + función PREDICT Figura 117 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1) Figura 118 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,1)+ PREDICT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX2 MIN2 119 Los datos para el día D+1 son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D+1 10,07 9,92 9,09 10,91 9,83 10,81 10,53 Los datos obtenidos: DIA D+1 PRE 6,51 6,22 6,58 6,15 5,77 6,2 6,18 5,69 SE 0,96 0,82 0,78 0,79 1,21 0,74 0,73 0,62 Al igual que hemos realizado en el día anterior, la representación de los datos es la siguiente Figura 119 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1). 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 Proyecto Fin de Carrera 120 Figura 120 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1) Figura 121 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,1) 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 12345678 REAL MAX1 MIN1 121 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son los siguientes Figura 122 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1) + PREDICT Figura 123Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,1).+ PREDICT 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 12345678 REAL PRED Proyecto Fin de Carrera 122 Figura 124 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,1) + PREDICT 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX2 MIN2 129 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son: Figura 134 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,2) + PREDICT Figura 135 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,2).+ PREDICT -1 0 1 2 3 4 5 6 12345678 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED Proyecto Fin de Carrera 130 Figura 136 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA(1,2) + PREDICT 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 12345678 REAL MAX2 MIN2 131 ESTUDIO MODELO ARMA (1,5) Los datos reales son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D 6,68 8,83 7,99 8,38 7,74 7,79 Realizando predicciones con el Modelo ARMA (1,5) los datos obtenidos con su error estándar han sido: DIA D PRE 6,06 6,13 5,79 5,47 5,04 9,23 5,99 5,73 SE 1,15 1,15 1,13 1,39 1,02 2,40 0,87 0,72 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos se puede ver en la siguiente gráfica. Figura 137 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5). -2 -1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 Proyecto Fin de Carrera 132 Las gráficas del modelo ARMA (1,5) y sus errores son: Figura 138 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5) Figura139 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,5) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 PRE REAL 0 2 4 6 8 10 12 14 12345678 REAL MAX1 MIN1 133 Realizando ARMA (1,5) + PREDICT, los resultados han sido: DIA D PRE 6,3 5,89 5,88 6,14 4,40 10,43 5,86 5,09 SE 1,96 2,50 2,39 2,37 1,36 4,78 2,06 2,64 La diferencia de los datos reales con los datos obtenidos se puede ver en la siguiente gráfica. Figura 140 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5) + PREDICT -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 12345678 Proyecto Fin de Carrera 134 Gráficas ARIMA (1,5) + la función PREDICT: Figura 141 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5).+ PREDICT Figura142 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,5) +PREDICT 0 2 4 6 8 10 12 12345678 REAL PRED 0 2 4 6 8 10 12 14 16 12345678 REAL MAX2 MIN2 135 Los datos reales para el día D+1 son los siguientes: PUNTO A B C D E F G H REAL D+1 10,07 9,92 9,09 10,91 9,83 10,81 10,53 Los datos obtenidos: DIA D+1 PRE 6,06 9,84 10,60 9,37 6,86 9,95 8,75 5,73 SE 1,15 2,43 0,86 0,30 1,29 2,46 1,92 0,40 La representación de los datos del día D+1 es: Figura 143 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5). -1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 Proyecto Fin de Carrera 136 Figura 144Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5) Figura 145 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,5) 0 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRE 0 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX1 MIN1 137 Añadiendo la función PREDICT al día D+1 los resultados son los siguientes Figura 146 Diferencia DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5) + PREDICT Figura 147 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ARMA (1,5).+ PREDICT -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL PRED Proyecto Fin de Carrera 138 Figura 148 Gráfica DATOS-PREDICCIÓN ± ERROR ARMA (1,5)PREDICT -5 0 5 10 15 20 25 1 2 3 4 5 6 7 8 REAL MAX2 MIN2