Repositorio Institucional de Documentos

   PROYECTOFINDECARRERA  Modeladonuméricodeunfiltro antitrombo             ÁreadeMecánicadeMediosContinuosyTeoríadeEstructuras DepartamentodeIngenieríaMecánica  EscueladeIngenieríayArquitectura.UniversidaddeZaragoza IngenieríaIndustrial  Autor:BeatrizLuceaSanz Director:MauroMalvè Ponente:EstefaníaPeñaBaquedano Zaragoza,Agosto2011  Dedicado a mi familia y a Oscar. Gracias por vuestro apoyo. Agradecimientos Quiero aprovechar estas l´ıneas para mostrar mi m´as sincera gratitud a todas las personas que me han ayudado y apoyado durante la realizaci´on de este Proyecto. En primer lugar y de forma muy especial a Mauro Malv`e, director de este proyecto, por la confianza que deposit´o en m´ı desde el primer d´ıa, por su amabilidad, inter´es, por su permanente disposici´on a la hora de ayudarme y por su labor de direcci´on a lo largo del mismo. Del mismo modo, querr´ıa dar las gracias al resto de componentes del ´ Area de Mec´anica de Medios Continuos y Teor´ıa de Estructuras, en especial a Estefan´ıa Pe˜na y a Miguel Angel Mart´ınez por su ayuda, inter´es y amabilidad. No quisiera terminar sin dedicar unas palabras de agradecimiento a Oscar, por su apoyo incondicional durante estos a˜nos y porque sin su ayuda no lo hubiera conseguido. Por ´ultimo a mis padres y a mi hermano, por sus consejos, su cari˜no, por su gran paciencia y por su comprensi´on. A todos ellos, gracias. ´ Indice general 1. Introducci´on 7 1.1. Objeto del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Alcance del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Justificaci´on del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. El sistema cardiovascular 11 2.1. Latrombosis ........................... 11 2.2. Filtro de vena cava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. El sistema cardiovascular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Vasos sangu´ıneos, propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5. El flujo sangu´ıneo, propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Modelado geom´etrico y proceso de c´alculo 23 3.1. Modelado de los filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Modelado de la vena cava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3. Discretizaci´on espacial del modelo: mallado . . . . . . . . . . . 28 3.4. Casosaestudio .......................... 30 3.4.1. Filtro de G¨unther-Tulip de 4 patas . . . . . . . . . . . 31 3.4.2. Filtro de G¨unther-Tulip de 12 patas . . . . . . . . . . . 35 3.5. Modelo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6. Proceso de c´alculo y condiciones de contorno . . . . . . . . . . 42 3.7. Resultados a obtener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. An´alisis de los resultados 45 4.1. Filtro G¨unther-Tulip de 4 patas . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2. Filtro G¨unther-Tulip de 12 patas . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5. Conclusiones y l´ıneas futuras 59 5.1. Conclusiones............................ 59 5.2. L´ıneasfuturas........................... 60 5 12 El sistema cardiovascular La TVP es potencialmente peligrosa ya que una parte o todo el trombo se puede desprender, desplazarse por el torrente sangu´ıneo, fijarse en una arteria pulmonar y en consecuencia obstruir el flujo sangu´ıneo. A un trombo en movimiento se le denomina ´embolo [16]. Su incidencia es de un 30 % en pacientes que son intervenidos quir´urgicamente y hasta un 50 % en pacientes que son sometidos a pr´otesis de cadera o rodilla. La incidencia de la TVP en la poblaci´on se ha estimado en 1 por cada 1.000 habitantes por a˜no [1]. El tromboembolismo pulmonar (TEP) es el resultado de la obstrucci´on de la circulaci´on arterial pulmonar debido a un ´embolo (Ver figura 2.2). La gravedad de la embolia pulmonar depende del tama˜no y la cantidad de ´embolos. Un ´embolo pulmonar grande puede obstruir toda o casi toda la sangre que va desde el lado derecho del coraz´on a los pulmones y, por lo tanto, puede causar r´apidamente la muerte. Se trata por lo tanto de una enfermedad potencialmente mortal cuyo diagn´ostico no es f´acil. Hoy en d´ıa el TEP es un problema de salud muy importante ya que es la tercera causa de muerte en hospitales, tiene una incidencia de 10 casos por cada 100.000 habitantes y sin un tratamiento adecuado tiene una mortalidad del 30 % [2]. M´as del 70 % de los pacientes con TEP presentan TVP. Algunas de las principales causas que contribuyen al desarrollo de la TVP son entre otras: fracturas en la pelvis o las piernas, hipercoagulabilidad asociada con algunas formas de c´ancer, retardo del flujo sangu´ıneo debido a un reposo prolongado Figura 2.2: Tromboembolismo pulmonar 2.1 La trombosis 13 en cama, cirug´ıas recientes, sobre todo de cadera o de rodilla y producci´on excesiva de gl´obulos rojos en la m´edula ´osea, lo que hace que la sangre est´e m´as espesa y m´as lenta de lo normal [16], [17]. El principal tratamiento de la TEP consiste en suministrar anticoagulantes. Fundamentalmente se utilizan heparinas de bajo peso molecular ya que tienen una vida media m´as larga, provocan menos hemorragias, tienen una relaci´on dosis respuesta m´as predecible y una mayor seguridad y eficacia. En casos graves de TEP masivos y hemodin´amicamente inestables el tratamien- to consiste en la fibrinolisis. Estos f´armacos disuelven los co´agulos con mayor rapidez que las heparinas de bajo peso molecular, pero por el contrario, el riesgo de hemorragia es mayor y el coste econ´omico es m´as elevado [1]. No obstante, existen circunstancias en las que los tratamientos citados no son eficaces, por lo que en estos casos, se recurre a la implantaci´on de un filtro de vena cava inferior. Las principales circunstancias en las cuales son indicados dichos filtros es cuando se presentan TEP recurrentes por fallo en la anticoagulaci´on, cuando hay contraindicaci´on absoluta en el uso de anticoagulantes, cuando se producen hemorragias debido al uso de los anticoagulantes o en caso de TEP masivos con gran repercusi´on hemodin´amica y shock [1]. Tradicionalmente, antes de la aparici´on de los filtros, se recurr´ıa a la interrupci´on del flujo sangu´ıneo en la vena cava inferior mediante la ligadura de este vaso. Posteriormente se reemplaz´o este tratamiento por el de la interrupci´on parcial del flujo mediante clips externos. Finalmente, siguiendo con la idea de la interrupci´on parcial del flujo, se introdujeron en el mercado los filtros de vena cava, los cuales se insertaban inicialmente mediante t´ecnicas quir´urgicas y posteriormente percut´aneamente mediante t´ecnicas m´ınimamente invasivas. Estos filtros han demostrado ser seguros y efectivos para la prevenci´on y el tratamiento de la TEP cuando el tratamiento mediante anticoagulantes est´a contraindicado o ha fallado [10]. 14 El sistema cardiovascular 2.2. Filtro de vena cava Este proyecto va a estar centrado en el tratamiento mediante filtros. Un filtro de vena cava es un dispositivo, que una vez colocado en el vaso, evita la migraci´on de ´embolos. Pueden ser colocados en la vena cava inferior o superior para atrapar los ´embolos e interrumpir su curso antes de alcanzar el coraz´on y los pulmones. Existen varios dise˜nos de filtros en el mercado como pueden ser, entre otros, el filtro Greenfield, el Vena Tech, el Simon-Nitinol y el G¨unther-Tulip [18]. La mayor parte de estos filtros tienen forma c´onica, lo que les permite establecer un balance entre la captura de co´agulos y el paso del flujo sangu´ıneo a trav´es, antes y despu´es de la captura. De este modo consiguen evitar que un ´embolo formado en la pelvis o en las extremidades inferiores llegue al pulm´on. A finales de los a˜nos 60 aparece el primer filtro, el filtro de Mobin-Uddin. Debido a las graves complicaciones que este filtro ocasionaba en los pacientes fue retirado del mercado. Fue en 1972 cuando aparece el filtro Greenfield, el cual se sigue utilizando hoy en d´ıa. Estos filtros han sido modificados, permitiendo en la actualidad su inserci´on mediante t´ecnicas m´ınimamente invasivas. La colocaci´on de estos filtros se realiza mediante gu´ıa por imagen a trav´es de las venas yugulares, subclavias o femorales ayud´andose de un cat´eter. Mediante el cat´eter se hace avanzar el filtro hasta la vena cava inferior donde, una vez colocado, se abre y se adhiere a las paredes del vaso. Al abrirse y adherirse a las paredes del vaso, las patas del filtro chocan contra el vaso pudiendo da˜narlo [22]. Existen dos tipos de filtros, permanentes y temporales o recuperables. Los filtros temporales han ido sustituyendo a los filtros permanentes, ya que evitan las complicaciones a largo plazo que presentan los dispositivos permanentes y su eficacia a la hora de prevenir la embolia pulmonar es similar a la de estos. Los filtros temporales son extra´ıdos mediante un cat´eter especial que se hace avanzar hasta el sitio donde se encuentra el filtro. Estos filtros disponen de un peque˜no gancho o bulbo en un extremo, el cual permite cogerlo mediante el cat´eter y extraerlo del cuerpo. Seg´un las recomendaciones de los fabricantes deben extraerse tras un tiempo m´aximo de permanencia de 14 d´ıas. Despu´es de diversos estudios a cerca del tiempo de permanencia m´aximo de un filtro en el cuerpo humano se ha observado que pueden llegar a permanecer 90 d´ıas pudiendo extraerse sin gran dificultad, aunque, estos 2.2 Filtro de vena cava 15 estudios siguen sin ser concluyentes [10]. Algunas de las ventajas que presentan los filtros de vena cava son las siguientes [22]: - No se necesita incisi´on quir´urgica, s´olo un peque˜no corte en la piel que no necesita suturas para cerrarse. - Permite evitar los efectos secundarios de los anticoagulantes. Por el contrario, algunas de las desventajas que presenta la utilizaci´on de este tipo de dispositivos son las siguientes [22]: - Cualquier procedimiento en el cual se penetra la piel conlleva un riesgo de infecci´on. - Existe un muy bajo riesgo de reacci´on al´ergica. - Cualquier procedimiento que implique la colocaci´on de un cat´eter en un vaso sangu´ıneo conlleva ciertos riesgos como pueden ser da˜no del vaso, hematoma o sangrado e infecci´on. - Existe una posibilidad de que el filtro pueda alojarse en un sitio incorrecto, cambiar de posici´on o lesionar un ´organo cercano. - El filtro puede separarse y pasar hasta el coraz´on o los pulmones causando lesi´on o muerte. - Muy raramente los filtros se llenan tanto de co´agulos que impiden el paso de todo el flujo sangu´ıneo en el vaso causando hinchaz´on en las piernas. - En algunos casos, los filtros recuperables no pueden extraerse. 16 El sistema cardiovascular 2.3. El sistema cardiovascular El sistema cardiovascular est´a formado por el coraz´on y los vasos sangu´ıneos (arterias, capilares y venas). Su funci´on consiste en distribuir los nutrientes y el ox´ıgeno a las c´elulas y recoger los desechos metab´olicos que se han de eliminar despu´es por los ri˜nones, en la orina, y por el aire exhalado en los pulmones, rico en di´oxido de carbono. De toda esta labor se encarga la sangre, que est´a circulando constantemente [20]. El coraz´on es un ´organo que posee paredes musculares y cuya funci´on consiste en bombear la sangre por todo el cuerpo. Se encuentra situado en el espacio que queda entre los pulmones, el estern´on, la columna vertebral y el diafragma, donde apoya. Figura 2.3: Representaci´on de la estructura del coraz´on Posee cuatro cavidades, dos aur´ıculas (derecha e izquierda) y dos ventr´ıculos (derecho e izquierdo). Los ventr´ıculos est´an separados por un tabique llamado septum o tabique interventricular y las aur´ıculas est´an separadas por otro tabique m´as delgado que se llama septum interauricular o tabique interauricular. Las aur´ıculas est´an separadas de los ventr´ıculos por unas v´alvulas. Entre la aur´ıcula derecha (AD) y el ventr´ıculo derecho (VD) se encuentra la v´alvula tric´uspide y entre la aur´ıcula izquierda (AI) y el ventr´ıculo izquierdo (VI) se encuentra la v´alvula mitral [19]. En la imagen 2.3 se pueden ver cada una de las cavidades por las que est´a constituida el coraz´on. 2.3 El sistema cardiovascular 17 La sangre rica en CO2es recogida de todo el organismo por la vena cava inferior y la vena cava superior, que desembocan en la AD. De la AD la sangre pasa al VD por la v´alvula tric´uspide y luego se dirige a la arteria pulmonar, que se divide en dos ramas para llevar la sangre desoxigenada a los pulmones, donde se oxigenar´a y saldr´a por las venas pulmonares hacia la AI. La sangre rica en ox´ıgeno pasa de la AI al VI por la v´alvula mitral, y sale del coraz´on por la arteria aorta para irrigar y oxigenar todo el cuerpo, comenzando as´ı un nuevo ciclo [19]. Los vasos sangu´ıneos (arterias, capilares y venas) son conductos musculares el´asticos que se encargan de distribuir y recoger la sangre de todos los rincones del cuerpo (Ver figura 2.4) [26]. Se denominan arterias a aquellos vasos que llevan la sangre desde el coraz´on hasta los distintos ´organos. Las grandes arterias que salen desde los ventr´ıculos del coraz´on se van ramificando y haci´endose cada vez m´as finas hasta que se convierten en capilares. Los capilares son vasos tan finos que en ellos se realiza el intercambio gaseoso y de sustancias entre la sangre y los tejidos. Una vez que se ha realizado el intercambio a trav´es de la red capilar, los capilares se van uniendo en las v´enulas y venas mediante las cuales la sangre regresa a las aur´ıculas del coraz´on [20]. Figura 2.4: Representaci´on de la estructura de los vasos sangu´ıneos Existen dos tipos de circulaci´on sangu´ınea, la circulaci´on mayor o sist´emica, y la circulaci´on menor o pulmonar. 18 El sistema cardiovascular La circulaci´on mayor se encarga de distribuir la sangre oxigenada por todo el organismo. Se inicia con el paso de la sangre oxigenada, proveniente de los pulmones, a la aur´ıcula izquierda a trav´es de las venas pulmonares. Desde all´ı, mediante la v´alvula mitral, pasa al ventr´ıculo izquierdo y luego a la arteria aorta desde donde llega a cada uno de los rincones del cuerpo humano mediante las sucesivas ramificaciones. La circulaci´on menor presenta un menor recorrido que la circulaci´on mayor y se encarga de distribuir la sangre rica en CO2por los pulmones para ser oxigenada. Se inicia con la llegada de la sangre procedente de todo el organismo a la aur´ıcula derecha a trav´es de la vena cava superior y de la vena cava inferior. Cuando la aur´ıcula se contrae impulsa la sangre a trav´es de la v´alvula tric´uspide hacia el ventr´ıculo derecho. Por ´ultimo, la contracci´on de este ventr´ıculo conduce la sangre hacia los pulmones donde es oxigenada de nuevo. El ciclo card´ıaco comprende un per´ıodo de contracci´on denominado s´ısto- Figura 2.5: Sistema cardiovascular 2.4 Vasos sangu´ıneos, propiedades 19 le, durante el cual el coraz´on se vac´ıa de sangre, seguido de un per´ıodo de dilataci´on denominado di´astole, durante el cual el coraz´on se llena de sangre. La v´alvulas de las que dispone evitan que la circulaci´on de la sangre se produzca en sentido contrario [26]. El coraz´on junto con los vasos sangu´ıneos constituyen el sistema cardiovascular. El sistema cardiovascular junto con la sangre constituye el aparato circulatorio. Todas las partes que componen el sistema cardiovascular se pueden ver en la figura 2.5. 2.4. Vasos sangu´ıneos, propiedades Hay tres tipos de vasos sangu´ıneos, las arterias, las venas y los capilares sangu´ıneos [21]. Las arterias son todos los vasos que salen del coraz´on y que transportan sangre oxigenada, a excepci´on de las arterias pulmonares. Las arterias est´an formadas por tres capas, una interna o endotelial (intima), una media formada por fibras musculares y el´asticas y una externa (adventicia) (Ver figura 2.6). La capa muscular est´a muy desarrollada y permite el control del flujo y la presi´on. Son muy el´asticas, lo cual les permite convertir el flujo a impulsos del coraz´on en un flujo continuo. Adem´as, en los primeros tramos, son bastante gruesas para poder soportar la presi´on. La arteria principal es la aorta, ´esta sale del ventr´ıculo izquierdo en forma de arco, del cual se originan Figura 2.6: Estructura de las arterias y venas 20 El sistema cardiovascular las arterias que van al cuello, cabeza y miembros superiores. Posteriormente desciende a lo largo de la columna vertebral por la cavidad tor´acica y el abdomen terminando en las dos arterias il´ıacas que van a los miembros inferiores. Al pasar por cada cavidad del cuerpo se subdivide para llegar a los distintos ´organos [26]. Las venas son todos los vasos que entran en el coraz´on transportando la sangre rica en di´oxido de carbono, a excepci´on de las venas pulmonares. Son de menor espesor que las arterias. Las venas m´as grandes son las venas cavas que son el resultado de la uni´on del resto de las venas. A diferencia de las arterias, est´an formadas por dos capas, una interna o endotelial (intima) y otra externa (adventicia) formada por fibras musculares el´asticas (Ver figura 2.6). Son menos el´asticas que las arterias pero m´as distensibles. Adem´as, la capa muscular no es tan fuerte como la de las arterias ya que la sangre que retorna al coraz´on no lleva tanta presi´on. Est´an provistas de v´alvulas que permiten el flujo de la sangre hacia el coraz´on pero no en direcci´on opuesta [21], [26]. Los capilares son vasos muy delgados en los que se dividen las arterias y penetran por todos los ´organos del cuerpo. Al unirse de nuevo forman las venas. Est´an formados por una sola capa de c´elulas endoteliales que permite el intercambio de sustancias entre la sangre y el plasma. En ellos la sangre que llega est´a oxigenada y la que sale es rica en di´oxido de carbono, excepto en los pulmones [21]. Las venas cavas son las dos venas mayores del cuerpo y ambas desembocan en la aur´ıcula derecha del coraz´on. La vena cava superior o descendente es la encargada de recibir la sangre de la mitad superior del cuerpo mientras que la vena cava inferior o ascendente se encarga de recoger la sangre de los ´organos situados por debajo del diafragma [20]. 2.5. El flujo sangu´ıneo, propiedades La sangre es el fluido fundamental del aparato circulatorio. Circula por las venas y las arterias del cuerpo humano. Este movimiento de circulaci´on se debe a la actividad coordinada del coraz´on, los pulmones y las paredes de los vasos sangu´ıneos [26]. Est´a compuesta por una disoluci´on compleja dentro de la cual se encuen- 2.5 El flujo sangu´ıneo, propiedades 21 tran elementos de naturaleza celular como son los gl´obulos blancos, gl´obulos rojos y plaquetas que fluyen gracias al plasma. M´as del 99 % de las c´elulas que componen la sangre son gl´obulos rojos. El volumen de sangre en un var´on adulto es de unos 5 litros y un poco menos en la mujer. Al ser una mezcla bif´asica su densidad es superior a la del agua [23]. El plasma est´a compuesto en un 90 % por agua y el resto por diversas sustancias disueltas como sales minerales, prote´ınas, az´ucares, grasas, etc facilitando la circulaci´on de muchos factores indispensables que forman la sangre. Las principales funciones de la sangre consisten en el transporte de ox´ıgeno, indispensable para todas las c´elulas del organismo, desde los pulmones hasta cada uno de los elementos celulares, el transporte de las sustancias alimenticias desde los ´organos de la digesti´on o de reserva hasta todos los tejidos con necesidades energ´eticas, el transporte de sales minerales y de vitaminas, la conducci´on de las hormonas desde sus gl´andulas de origen hasta sus centros de reacci´on, el suministro de agua a todas las c´elulas, la creaci´on y transporte de los anticuerpos, la eliminaci´on del di´oxido de carbono y otros productos t´oxicos y el mantenimiento de la temperatura corporal a un nivel ´optimo para la vida [23]. La sangre no es bombeada en un sistema r´ıgido y cerrado. Los vasos var´ıan constantemente de volumen y una parte de ellos tiene fugas, las arterias y las venas pueden dilatarse y encogerse y las entradas y salidas de las redes venosas se abren y cierran. El di´ametro de los vasos sangu´ıneos aumenta al elevarse la presi´on interna ya que estos son distensibles. La distensibilidad vascular es lo que aumenta el volumen cuando se produce un aumento de presi´on de 1 mm Hg [27]. Adem´as, para circular con rapidez a trav´es de los capilares, la sangre ha de bombearse a una cierta presi´on. La presi´on sangu´ınea se debe a la fuerza de los latidos del coraz´on y a la resistencia de las arterias. La sangre circula desde los lugares de mayor presi´on hasta los lugares de menor presi´on. Las part´ıculas suspendidas que forman parte de la sangre, al rozar entre ellas durante su movimiento, van a dar lugar a la aparici´on de una resistencia al avance del flujo produciendo disipaci´on de energ´ıa. A esta resistencia se le denomina viscosidad [28]. El hematocrito es el porcentaje de la sangre que est´a constituido por 28 Modelado geom´etrico y proceso de c´alculo medio de 20 ±1,06 mm [6], [10]. Aunque el 3 % de los pacientes tienen un tama˜no medio de 28 mm siendo considerada como megacava [36]. La longitud de la vena cava es otro factor importante a tener en cuenta ya que el flujo sangu´ıneo es afectado por la presencia del filtro, por lo que a la entrada se puede suponer que el flujo intravascular se encuentra totalmente desarrollado pero a la salida del filtro, como se ver´a posteriormente, el flujo se encuentra perturbado sobretodo por la cabeza del dispositivo. Para poder analizar el efecto del filtro e imponer la condici´on de flujo desarrollado, durante el proceso de mallado se crear´an extensiones de la vena cava con la longitud suficiente. La longitud de la vena cava usada va a ser de 60 mm y comprende ´unicamente el filtro. La distancia entre la cabeza del filtro y la salida del flujo es de 2 mm y la distancia entre la base del filtro y la entrada del flujo es de 7 mm (Ver figura 3.5). Esta ´ultima distancia es mayor para permitir que la malla se desarrolle perfectamente en la zona de contacto de las patas con la pared del vaso. Figura 3.5: Distancias del filtro a la entrada y salida del flujo 3.3. Discretizaci´on espacial del modelo: mallado Una vez modelada la geometr´ıa en 3D se va a proceder al dise˜no de diversas mallas de elementos finitos mediante el programa ANSYS ICEM CFD que permite crear y editar mallas para su posterior c´alculo. 3.3 Discretizaci´on espacial del modelo: mallado 29 Se van a crear 4 mallas diferentes para cada una de las geometr´ıas. Esto nos permite analizar la influencia del tipo de discretizaci´on en los resultados num´ericos y as´ı poder seleccionar una malla que permita obtener resultados que sean independientes del n´umero de elementos de la malla. Las mallas han sido creadas con elementos tetra´edricos ya que ANSYS ICEM CFD permite crearlos de manera autom´atica a partir de las superficies de la geometr´ıa y posteriormente permite su refinamiento. Debido a la complejidad de la geometr´ıa es m´as sencillo mallar con este tipo de elementos que con elementos hexa´edricos ya que para ello es necesario crear bloques y posteriormente ajustarlos a la geometr´ıa dada. Este procedimiento resulta sencillo y preciso para geometr´ıas m´as simples [35]. Adem´as, al realizar un an´alisis fluido los elementos tetra´edricos proporcionan buenos resultados, mientras que si se realizase un an´alisis de s´olido ser´ıa conveniente utilizar elementos hexa´edricos. Todas las mallas se han realizado de manera similar. En los lugares en los que se necesita mayor precisi´on de c´alculo o en los que se prev´e que el c´alculo puede ser m´as dificultoso, como puede ser la zona de contacto de las patas con la pared del vaso, la malla tiene una mayor densidad de elementos. Por el contrario, en las zonas que son menos relevantes para el c´alculo, como pueden ser las zonas de entrada y salida del flujo, la densidad de elementos es menor agilizando as´ı el proceso de c´alculo. Para poder obtener una mayor o menor densidad de elementos se ha dividido la geometr´ıa en diversas curvas y superficies a las que se han asignado diferentes tama˜nos de elementos en funci´on de la precisi´on que se requiera en ellos. Las superficies por las que est´a compuesta el filtro de 4 patas son el inlet, superficie de entrada del flujo, outlet, superficie de salida del flujo, el cilindro que compone la vena cava y el filtro. En cuanto a las curvas por las que est´a formado cabe destacar las curvas de la intersecci´on de las patas con con la pared del vaso. En la figura 3.6 se pueden ver las superficies en las que ha sido dividida la geometr´ıa siendo: - 1: Outlet o superficie de salida - 2: Cilindro que forma la vena cava - 3: Filtro 30 Modelado geom´etrico y proceso de c´alculo - 4: Inlet o superficie de entrada Figura 3.6: Superficies que componen la geometr´ıa del filtro Como se ha dicho anteriormente, la longitud de la vena cava que forma parte de la geometr´ıa comprende ´unicamente el filtro. En la entrada, se ha supuesto que el flujo se encuentra completamente desarrollado, para ello es necesario crear una extensi´on de la vena. En la salida, tambi´en es necesario crear otra extensi´on debido a que sino, la condici´on de contorno impuesta fuerza la zona de inter´es. Para realizar estas extensiones se ha extruido la malla creada una longitud de 5 veces el di´ametro en la zona de la entrada, es decir, 100 mm y una longitud de 10 veces el di´ametro en la zona de salida, es decir, 200 mm. Estas extensiones tambi´en se pueden ver en la figura 3.6. 3.4. Casos a estudio En este apartado se pueden ver las im´agenes de las diversas mallas de elementos finitos que se van a utilizar para realizar un an´alisis de sensibilidad. En ambas geometr´ıas se ha procedido del mismo modo, se ha partido de una malla gruesa que se adapta bien a la geometr´ıa y se ha ido refinando obteniendo al final una malla con una gran densidad de elementos. El refinamiento de la malla se ha realizado variando el tama˜no m´aximo de los elementos pero no de manera aleatoria, sino que siempre se ha variado en las mismas superficies y en el mismo orden de magnitud. De esta manera se ha ido controlando el n´umero total de elementos evitando que ´este fuera excesivo ya que dar´ıa lugar a un c´alculo muy pesado. Esto nos permite obtener mallas proporcionales cada vez m´as finas y llegar a un equilibrio entre el n´umero de elementos y el tiempo de c´alculo. 3.4 Casos a estudio 31 3.4.1. Filtro de G¨unther-Tulip de 4 patas En esta serie de mallas las superficies m´as relevantes, es decir, las que m´as influyen en el total de elementos, son tanto el cilindro como el filtro por lo que estas ser´an las variables que se ir´an variando para obtener un mayor refinamiento de la malla. -Malla de 918.000 elementos Para realizar la primera malla se ha utilizado un tama˜no m´aximo de elemento de 2 mm para la superficie del cilindro y de 0,3 mm para el filtro, este valor permite que la malla se ajuste bastante bien a la geometr´ıa del dispositivo. En la figura 3.7 se puede ver el mallado del filtro, en ´el se observa que el tama˜no de los elementos reproduce bastante bien a la geometr´ıa. Figura 3.7: Detalle del mallado del filtro en la malla de 918.000 elementos Tambi´en se ha utilizado un tama˜no m´aximo de elemento de 1 mm tanto en el inlet como en el outlet ya que la precisi´on requerida ah´ı es menor y de 0,05 mm para las curvas de intersecci´on de las patas con el cilindro en las que la precisi´on requerida es mayor. El detalle de la zona de la intersecci´on se muestra m´as detalladamente en la figura 3.8 donde se observa que el tama˜no 32 Modelado geom´etrico y proceso de c´alculo Figura 3.8: Ampliaci´on de la zona de contacto de las patas con la pared del vaso de los elementos es menor en la zona pr´oxima a la curva de intersecci´on y poco a poco se va produciendo un incremento del tama˜no. Con todo ello se obtiene una malla de 918.206 elementos y 274.050 nodos como se puede ver en la figura 3.9. Figura 3.9: Malla de 918.000 elementos 3.4 Casos a estudio 33 -Malla de 2.000.000 elementos Como se ha dicho anteriormente, las superficies que m´as influyen en el tama˜no de la malla son tanto el cilindro como el filtro por lo que ser´an estas en las que se var´ıe el tama˜no m´aximo del elemento. Para realizar esta segunda malla se va a utilizar un tama˜no m´aximo de 1,25 mm para la superficie del cilindro y uno de 0,15 mm para el filtro dando lugar a una malla de 2.028.506 elementos y 498.231 nodos. -Malla de 4.900.000 elementos En la tercera malla el tama˜no m´aximo de la superficie del cilindro es de 1,1 mm y el del filtro de 0,1 mm. Para que la reducci´on sea proporcional y aumente la densidad de los elementos en la pared del cilindro, se ha reducido el tama˜no del elemento en el inlet y en el outlet. Se ha pasado de un valor de 1 mm a un valor de 0,8 mm ya que manteniendo el valor de 1 mm se produc´ıa una reducci´on de los elementos en todo el volumen del cilindro concentr´andose estos entorno al filtro e incluso dando lugar a un n´umero excesivo de elementos. Mediante estos tama˜nos de elementos se obtiene una malla de 4.921.938 elementos y 1.240.471 nodos. -Malla de 9.200.000 elementos Figura 3.10: Malla de 9.200.000 elementos 34 Modelado geom´etrico y proceso de c´alculo Por ´ultimo, se va a utilizar un tama˜no m´aximo de elemento en el cilindro de 0,3 mm y de 0,06 mm en el filtro. Al igual que en el caso anterior tambi´en es necesario reducir el tama˜no del elemento en el inlet y en el outlet por lo que se va a usar un tama˜no de 0,4 mm. Todo esto da lugar a la malla m´as fina de todas que contiene 9.276.165 elementos y 2.790.786 nodos. En la figura 3.10 se pueden observar las caracter´ısticas de esta malla. Como se puede ver, la densidad de elementos de esta malla es bastante mayor que la de la malla inicial por lo que es de esperar que con ella ya no se observen cambios en los resultados. La segunda y tercera malla tienen densidades de elementos intermedias. En la figura 3.11 se puede ver en detalle el mallado del filtro, el cual tiene una mayor densidad de elementos dando lugar a que la malla se ajuste perfectamente a la geometr´ıa. Figura 3.11: Detalle del mallado del filtro en la malla de 9.200.000 elementos Adem´as, para poder observar mejor las caracter´ısticas de cada malla se ha realizado un corte en el mismo punto en cada una de ellas. En la figura 3.12 se pueden ver los cortes realizados en las distintas mallas. En ellos se puede observar que la densidad de elementos es cada vez mayor, concentr´andose estos entorno a la pared del cilindro y entorno a las patas del filtro que son los lugares en los que se prev´en dificultades en el c´alculo. De este modo se han obtenido 4 mallas proporcionales sin un n´umero excesivo de elementos que dificulte su c´alculo. Cabe esperar que cuanto mayor sea 3.4 Casos a estudio 35 918.000 elementos 2.000.000 elementos 4.900.000 elementos 9.200.000 elementos Figura 3.12: Cortes de las distintas mallas el n´umero de elementos mejor ser´a la aproximaci´on de los resultados y m´as r´apida se producir´a la convergencia, aunque por contrapartida el tiempo de c´alculo aumente notablemente. Tambi´en se ha de tener en cuenta que existe un n´umero de elementos l´ımite. No siempre un mayor n´umero de elementos proporciona mejores resultados, ya que llega un momento en que el tama˜no de los elementos es tan peque˜no que empiezan a aparecer errores num´ericos. 3.4.2. Filtro de G¨unther-Tulip de 12 patas En esta serie de mallas, al igual que pasaba con las del filtro de 4 patas, las superficies m´as relevantes son tanto el cilindro como el filtro. Pero en este caso, al ser las patas secundarias bastante m´as delgadas que las principales ser´a necesario un elemento de menor tama˜no en ellas que en las patas principales para que la malla reproduzca bien la geometr´ıa. Debido a ello, se va a crear una nueva superficie que comprender´a las patas secundarias y 36 Modelado geom´etrico y proceso de c´alculo tambi´en ser´a una superficie relevante en la que se ir´a variando el tama˜no de los elementos para obtener mallas cada vez m´as finas. -Malla de 2.700.000 elementos Para crear la primera malla se va a utilizar un tama˜no m´aximo de 2 mm en la superficie del cilindro, de 0,25 mm en el filtro, de 0,1 mm en las patas secundarias y de 1 mm tanto en el inlet como en el outlet. Esto dar´a lugar a una malla de 2.780.806 elementos y 701.764 nodos. En la figura 3.13 se pueden ver las caracter´ısticas de esta malla. Figura 3.13: Malla de 2.700.000 elementos del filtro de 12 patas Esta malla es bastante m´as fina que la primera malla creada para el filtro de 4 patas aunque el tama˜no de los elementos sea similar. Esto es debido a la superficie de las patas secundarias, ya que al ser muy delgadas requieren un tama˜no inicial de elemento muy bajo dando lugar a un aumento notable del n´umero de elementos. En la figura 3.14 se puede ver el detalle del mallado del filtro. 3.4 Casos a estudio 37 Figura 3.14: Detalle del mallado del filtro de 12 patas en la malla de 2.700.000 elementos -Malla de 3.900.000 elementos Para realizar esta segunda malla se ha utilizado un tama˜no m´aximo de 1,5 mm para el cilindro, de 0,15 mm para el filtro y de 0,07 mm para las patas secundarias dando lugar a una malla de 3.964.045 elementos y 806.168 nodos. -Malla de 7.200.000 elementos En la tercera malla se ha usado un tama˜no m´aximo de 1,2 mm para el cilindro, de 0,15 mm para el filtro y de 0,03 mm para las patas secundarias. Al no variar el tama˜no del filtro, ya que los elementos ya son suficientemente peque˜nos, es necesario reducir el tama˜no del inlet y outlet hasta 0,8 mm y as´ı se obtendr´a una malla proporcional a las anteriores de 7.240.550 elementos y de 1.632.934 nodos. 44 Modelado geom´etrico y proceso de c´alculo dad de las diferentes discretizaciones. Para ello se van a extraer los perfiles de velocidad a lo largo de dos l´ıneas significativas de una secci´on y se van a graficar cada uno de ellos de manera superpuesta observando las diferencias existentes entre cada uno de ellos. Una vez realizado el an´alisis de sensibilidad se seleccionar´a una discretizaci´on con la que se garantice que los resultados son independientes del tama˜no del elemento. Mediante dicha malla de elementos finitos se proceder´a a la representaci´on de las variables fluido-din´amicas de mayor relevancia. Se van a representar las l´ıneas de flujo a lo largo de la vena cava para poder ver c´omo la presencia del dispositivo en el interior del vaso perturba el flujo sangu´ıneo. Por ´ultimo se va a visualizar la tensi´on tangencial a lo largo de la pared del vaso para poder ver que zonas son las m´as afectadas por la presencia del filtro. Cap´ıtulo 4 An´alisis de los resultados 4.1. Filtro G¨unther-Tulip de 4 patas Se va realizar un estudio de sensibilidad de los resultados en funci´on del tama˜no de los elementos de las diferentes mallas. Para ello, como se ha dicho anteriormente, se van a representar los perfiles de velocidad de las diferentes discretizaciones a lo largo de dos l´ıneas. La primera l´ınea pasa por las patas y la segunda l´ınea pasa entre ellas, como se puede ver en la figura 4.1. Figura 4.1: Posici´on de las l´ıneas de estudio de los perfiles de velocidad En la figura 4.2 se encuentran graficados los perfiles de velocidad para las diferentes mallas a lo largo de la l´ınea 1. Se observa que la velocidad es nula en los extremos y poco a poco va aumentando hasta alcanzar un valor de aproximadamente 0,24 m/s. A partir de ah´ı va disminuyendo haci´endose cero en las patas y volviendo de nuevo a aumentar alcanzando el m´aximo en el centro del perfil con un valor aproximado de 0,4 m/s. 45 46 An´alisis de los resultados Figura 4.2: Filtro 4 patas: Perfiles de velocidad a lo largo de la l´ınea 1 Figura 4.3: Filtro 4 patas: Perfiles de velocidad a lo largo de la l´ınea 2 4.1 Filtro G¨unther-Tulip de 4 patas 47 En la figura 4.3 se encuentran representados los perfiles de velocidad de las diferentes mallas a lo largo de la l´ınea 2. Tanto estos perfiles como los anteriores, debido a la presencia del filtro, presentan una zona plana en el centro de la secci´on como demuestra el estudio realizado por Swaminathan, Hu y Patel [6]. Para poder observar mejor las caracter´ısticas que adopta el perfil de velocidad en la zona plana del centro de la secci´on se ha realizado una ampliaci´on de estos como se muestra en la figura 4.4. Figura 4.4: Filtro 4 patas: Perfiles de velocidad en la zona central de la secci´on Se observa que los perfiles de velocidad en verdad no son planos en la zona central, sino que presentan una ligera curvatura hacia el interior. Es decir, se alcanza un m´aximo de velocidad en los extremos y poco a poco esta velocidad va disminuyendo. Este comportamiento es debido a la presencia del filtro, ya que el flujo intravascular al encontrar un obst´aculo en su recorrido tiende a disminuir su velocidad en esa zona y a fluir a su alrededor. En la ampliaci´on tambi´en se puede ver que, la malla con la que se obtiene un mayor valor de velocidad en el centro es con la malla m´as fina. Adem´as, tambi´en se puede observar que con la malla de 2.000.000 de elementos se alcanza un valor de velocidad en el centro mayor que con la de 4.900.000 elementos. Esto es debido a que los elementos centrales son de menor tama˜no en la primera malla, mientras que en la segunda, los elementos se han concen- 48 An´alisis de los resultados trado m´as en la pared y en las patas haciendo que los centrales sean de mayor tama˜no. Se han sacrificado los elementos centrales en favor de los perimetrales, ya que una malla con elementos peque˜nos tanto en el per´ımetro como en el centro, dar´ıa lugar a un gran n´umero de elementos y en ella el c´alculo ser´ıa excesivamente pesado, como ocurre con la malla de 9.200.000 elementos. En el perfil de velocidad obtenido con la malla m´as fina, 9.200.000 elementos, se observa que a penas hay diferencias con respecto a los anteriores. Debido a ello esta discretizaci´on no aporta nada m´as que tiempo de c´alculo m´as elevado. Se van a tomar estos resultados como base para calcular las diferencias porcentuales entre los perfiles de velocidad obtenidos con las restantes mallas. Por el contrario, la malla de 918.000 elementos no tiene un coste computacional elevado pero, como se observa en los perfiles de velocidad, no se puede afirmar que los resultados que se obtienen mediante dicha malla sean independientes del tama˜no de los elementos ya que se observan peque˜nas diferencias con respecto a las discretizaciones restantes. El error relativo que se comete usando esta discretizaci´on respecto de la m´as fina es de un 4,32 %. Tomando como base un error m´aximo entre un 1 % y un 2 % esta malla queda descartada del estudio. La malla de 4.900.000 elementos tiene un error relativo respecto de la m´as fina es de un 2,39 % por lo que tambi´en queda descartada del estudio. Seg´un lo dicho anteriormente, la discretizaci´on que se va a elegir como base para el c´alculo num´erico es la de 2.000.000 de elementos ya que con ella se llega a un ´optimo entre el tiempo de c´alculo y la independencia de los resultados. El error relativo que se comete usando esta malla respecto de la m´as fina es de un 1,05 %, por lo que se puede decir que con ella se obtienen resultados independientes del tama˜no del elemento sin llegar a tener un coste computacional elevado. 4.1 Filtro G¨unther-Tulip de 4 patas 49 Una vez elegida la malla de c´alculo se va a representar la magnitud de la velocidad en 4 secciones diferentes a lo largo del filtro para ver como se desarrolla el flujo en su paso a trav´es. Se van a estudiar 4 secciones representativas, una a la entrada del filtro, 2 secciones intermedias y una en la salida. Las 4 secciones de estudio se pueden ver en la figura 4.5. Figura 4.5: Magnitudes de velocidad a lo largo de diferentes secciones En la imagen 4.6 se pueden ver m´as en detalle cada una de las secciones. Como se puede observar, la velocidad es nula tanto en la pared del vaso como en el per´ımetro del dispositivo debido a la imposici´on de la condici´on de contorno de pared no deslizante. En la primera secci´on apenas se nota la influencia de ´este ya que corresponde a la secci´on de entrada donde las patas del filtro, en las que la velocidad es nula, se encuentran pr´oximas a la pared del vaso. En la segunda y tercera secci´on ya se puede apreciar m´as el efecto de la presencia del dispositivo. En la tercera secci´on se puede ver como el flujo sangu´ıneo empieza a fluir entre las patas del filtro. Por el contrario, en la cuarta secci´on, correspondiente a la salida del flujo, se observa como las 4 regiones de velocidad m´as elevada, zona naranja en las figuras 4.5 y 4.6, se 50 An´alisis de los resultados unen dando lugar a que el m´aximo de velocidad no se produzca en el centro de la secci´on, como ocurr´ıa en las secciones anteriores, sino que se produzca en las zonas de uni´on. (Ver figura 4.6) Figura 4.6: Magnitudes de velocidad en las diferentes secciones Seg´un lo comentado anteriormente y observando las diferentes secciones, la zona en la que m´as afecta la presencia del dispositivo es en la zona de la cabeza. En esta zona se produce la m´axima velocidad llegando incluso a ser ´esta mayor que la alcanzada en la zona de entrada. Al igual que se ha hecho con las magnitudes de velocidad, se han representado las isol´ıneas en las mismas 4 secciones, como se puede ver en la figura 4.7. En la imagen 4.8 se pueden observar las l´ıneas del flujo sangu´ıneo a lo largo de todo el dispositivo. Se puede ver que a la entrada, las l´ıneas de flujo apenas var´ıan su trayectoria debido a la presencia del filtro. Por el contrario, a medida que el flujo intravascular va avanzando a lo largo de la vaso, se van produciendo peque˜nas desviaciones, siendo estas m´as acentuadas en la zona de la cabeza del filtro y en la zona de curvatura de las patas. 4.1 Filtro G¨unther-Tulip de 4 patas 51 Figura 4.7: Isol´ıneas en las diferentes secciones Figura 4.8: L´ıneas de flujo en 3D a lo largo del filtro 52 An´alisis de los resultados Figura 4.9: Tensi´on tangencial a lo largo de la pared del vaso Por ´ultimo se ha visualizado la tensi´on tangencial a lo largo de la pared del vaso, esta se muestra en la figura 4.9. Como se puede ver, el efecto m´as importante a tener en cuenta es que en la zona de contacto del dispositivo con la pared de la vena se alcanzan elevados valores de tensi´on tangencial. Esto es debido a que tiene lugar tanto una concentraci´on de tensiones como unos elevados gradientes de velocidad. Es esta zona la que m´as perjudicada se encuentra debido a la presencia del filtro. Tambi´en se puede observar que la tensi´on tangencial es elevada en la superficie del filtro debido a los elevados gradientes de velocidad que tienen lugar en esa regi´on. 4.2. Filtro G¨unther-Tulip de 12 patas En este caso se ha procedido de igual modo que con el caso anterior. Primero se han representado los perfiles de velocidad en las mismas dos l´ıneas que antes para seleccionar una malla independiente del n´umero de elementos. En las figuras 4.10 y 4.11 se encuentran representados los perfiles de velocidad de las distintas mallas para las l´ıneas 1 y 2 respectivamente. 4.2 Filtro G¨unther-Tulip de 12 patas 53 Figura 4.10: Filtro 12 patas: Perfiles de velocidad a lo largo de la l´ınea 1 Figura 4.11: Filtro 12 patas: Perfiles de velocidad a lo largo de la l´ınea 2 60 Conclusiones y l´ıneas futuras geometr´ıa presenta curvas m´as pronunciadas. La principal consecuencia debido a la presencia del filtro es el efecto que ´este causa sobre la pared del vaso. Este efecto es m´as acentuado en el caso del filtro de 12 patas, ya que debido a la proximidad de las patas secundarias a la pared, en estas zonas tambi´en se ve afectado el vaso. La tensi´on tangencial en la zona de uni´on de las patas con la vena, en el filtro de 4 patas es de aproximadamente 1,2 Pa mientras que en el filtro de 12 patas es de 1,4 Pa. Adem´as, el filtro de 12 patas da lugar a una tensi´on tangencial de aproximadamente 0,9 Pa en la zona de las patas secundarias. En cuanto a la velocidad del flujo, con el filtro de 4 patas se produce un aumento de la velocidad en la entrada de aproximadamente el 33,8 % mientras que con el filtro de 12 patas este aumento es del 34,6 %. Adem´as, en la salida del filtro, al unirse las distintas zonas de velocidad m´axima, se produce tambi´en un aumento de velocidad para el filtro de 4 patas. A la salida, en este filtro la velocidad ha aumentado un 34,57 %. Por el contrario, analizando la misma secci´on para el filtro de 12 patas la velocidad ha aumentado un 32 %. El programa comercial ANSYS CFX ha demostrado ser v´alido para la realizaci´on del c´alculo fluido-din´amico del problema. 5.2. L´ıneas futuras Tr´as la realizaci´on de este proyecto se puede decir que la investigaci´on sobre los filtros recuperables de vena cava debe continuar mediante la aplicaci´on de mejoras. Este proyecto se caracteriza por ser uno de los primeros estudios que se llevan a cabo en este campo de investigaci´on. Adem´as, como se ha dicho anteriormente, se ha basado en partir desde cero y realizar unos primeros c´alculos fluido-din´amicos sobre el tema. Una vez llegado a este punto del estudio se deber´ıa proseguir realizando un an´alisis tanto de la interacci´on fluido-estructura como de s´olido. En un estudio previo [37] se simularon los procesos de colocaci´on y de extracci´on analizando los diferentes estados tensionales que se produc´ıan sobre la vena cava. Por lo que una de las posibles l´ıneas futuras consistir´ıa en simular la apertura del filtro en el interior del vaso y estudiar el choque de las patas del 5.2 L´ıneas futuras 61 dispositivo contra la pared de la vena cava. Adem´as, todo esto corresponden a modelos te´oricos, por lo que otra de las posibles l´ıneas de investigaci´on consistir´ıa en realizar un an´alisis CFD de ambos dispositivos en el interior de venas cavas reales. Para ello se necesitar´ıa disponer de datos cl´ınicos de pacientes espec´ıficos para poder modelar diferentes geometr´ıas de venas cavas. Bibliograf´ıa [1] Tromboembolismo pulmonar: http://www.fisterra.com/guias2/tep.asp [2] Art´ıculo trombosis venosa profunda: http://www.fisterra.com/guias2/tvp.asp [3] Ryo Torii, Nigel B. Wood, Nearchos Hadjiloizou, Andrew W. Dowsey, Andrew R. 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Proyecto fin de carrera, 2010. [29] Manuel M.Sanchez Nieto. Mec´anica de fluidos general. Ed, Universidad Polit´ecnica de Cartagena. Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Industrial, 2007. [30] ANSYS CFX INTRODUCTION. User Manual [31] ANSYS CFX-Solver Theory Guide. User Manual [32] J.H.Ferziger, M.Peric. Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer, 2002. [33] O.C.Zienkiewicz, R.L.Taylor. El m´etodo de los elementos finitos. Volumen 1: Formulaci´on b´asica y problemas lineales. McGraw-Hill, 1994. [34] Juan Tom´as Celig¨ueta Lizarza. M´etodo de los Elementos Finitos para An´alisis Estructural. Ed: UNICOPIA.C.B, 2008. [35] ANSYS ICEM CFD/AI Enviroment 10.0 User Manual. [36] Jos´e Luis R´ıos Reina, Carlos Alberto Vargas Gonz´alez. Filtros en vena cava inferior. ACTA M´ EDICA GRUPO ´ ANGELES. Volumen 4, No. 2, abril-junio 2006. [37] Santiago Lerga Mart´ınez. Simulaci´on num´erica del comportamiento de dispositivos intravasculares antitrombos para vena cava. Proyecto fin de carrera, 2009. Ap´endices Ap´endice A Bases biol´ogicas A.1. Introducci´on Inicialmente, en la d´ecada de los a˜nos 1930-1940, el tratamiento de la TEP consist´ıa en la interrupci´on del flujo sangu´ıneo en la vena cava inferior mediante la ligadura de este vaso. Este m´etodo se us´o en paralelo con la terapia mediante heparinas, la cual se empez´o a utilizar en 1935. El principal inconveniente de este procedimiento era su alta incidencia de edema en las extremidades inferiores. Adem´as presentaba un riesgo de mortalidad operatoria del 14 % y ocurr´ıa embolia pulmonar todav´ıa en un 6 % (debido al desarrollo de una gran circulaci´on colateral) con embolia mortal en un 2 % [8]. En la d´ecada de los a˜nos 60 aparecen varios m´etodos para llevar a cabo la interrupci´on parcial del flujo sangu´ıneo en la vena cava inferior. Estos m´etodos pretend´ıan atrapar los ´embolos sin llegar a bloquear el flujo sangu´ıneo dentro del vaso. Estos procedimientos inclu´ıan la sutura parcial y la colocaci´on de clips externos. Con estos m´etodos se logro disminuir la mortalidad y la incidencia del TEP recurrente, sin embargo, se produc´ıan lesiones y como consecuencia obstrucci´on venosa en el 30, 40 % de los pacientes. Adem´as su colocaci´on requer´ıa la realizaci´on de una laparotom´ıa, procedimiento de alto riesgo [36]. A finales de los a˜nos 60 aparece el filtro de Mobin-Uddin. Este dispositivo en forma de paraguas ven´ıa a reemplazar los procedimientos quir´urgicos citados anteriormente mediante la obstrucci´on parcial del vaso, evitando as´ı el paso del ´embolo hacia el pulm´on y permitiendo el paso del flujo sangu´ıneo a trav´es de ´el. Algunos de los problemas que present´o este filtro es tanto la obstrucci´on de la vena cava inferior como el desplazamiento proximal de este 69 76 Bases biol´ogicas A.5. La sangre como fluido El flujo sangu´ıneo es el volumen de sangre que pasa por un punto determinado de la circulaci´on durante un tiempo fijo. El flujo sangu´ıneo global en un adulto en reposo es de unos 5 l/minuto. ´ Este es, adem´as, el denominado gasto card´ıaco ya que constituye el volumen de sangre impulsado por cada ventr´ıculo en una unidad de tiempo [24]. El flujo a trav´es de un vaso sangu´ıneo depende de dos factores, la diferencia de presi´on entre los dos extremos del vaso, que es la fuerza que empuja la sangre por el mismo y la dificultad de la circulaci´on a trav´es del vaso, conocida como resistencia vascular. El flujo a trav´es del vaso se puede calcular mediante la ley de Ohm, que indica que el flujo sangu´ıneo es directamente proporcional a la diferencia de presi´on e inversamente proporcional a la resistencia (Ecuaci´on A.1). Por lo tanto, para determinar el flujo sangu´ıneo no es importante conocer el valor total de las presiones, pero es fundamental conocer la diferencia entre ´estas ya que ser´a la encargada de empujar el flujo desde el lugar de mayor presi´on hasta el lugar de menor presi´on: Q=4P R(A.1) Siendo 4Pla diferencia de presi´on entre los dos extremos del vaso, Qel flujo y Rla resistencia ofrecida por las paredes del vaso. La velocidad media de un flujo es inversamente proporcional al ´area de la secci´on transversal en el punto considerado y se puede expresar seg´un la ecuaci´on A.2. Por lo tanto, la velocidad media del flujo sangu´ıneo es elevada en la aorta, aproximadamente de 0,2m/s [13], declina paulatinamente en los vasos menores y es m´ınima en los capilares. Q=A·v(A.2) Siendo Q el flujo sangu´ıneo, A el ´area del vaso sangu´ıneo y v la velocidad del flujo intravascular. El flujo de la sangre en los vasos, como el de los l´ıquidos en los tubos r´ıgidos y estrechos, normalmente es laminar. Dentro de un vaso sangu´ıneo, una capa infinitamente delgada de sangre, en contacto con la pared del vaso, A.5 La sangre como fluido 77 no se mueve, la siguiente capa hacia adentro tiene una velocidad peque˜na, la siguiente una velocidad mayor, etc. hasta que la velocidad es m´axima en el centro de la corriente. A este fen´omeno se le denomina flujo laminar, en el que las velocidades del flujo ser´an casi nulas en las capas m´as cercanas a las paredes de los vasos debido al efecto de la viscosidad, mientras que las capas m´as alejadas de las paredes alcanzar´an una velocidad mayor que el resto de las capas produciendo un perfil parab´olico de velocidades como se puede ver en la figura A.4. Figura A.4: R´egimen laminar Por el contrario, cuando el flujo supera una determinada velocidad, se considera flujo turbulento, en el que se producen generalmente remolinos denominados corrientes par´asitas. Las situaciones en las que se produce el flujo turbulento es cuando la rapidez del flujo sangu´ıneo es muy intensa, cuando se produce una obstrucci´on de un vaso, cuando hay un giro brusco o cuando el flujo pasa por encima de una superficie m´as rugosa. En estas situaciones la sangre circula contra una resistencia mucho mayor que la que existe en r´egimen laminar ya que los remolinos hacen que aumente la fricci´on en el interior del vaso. Este perfil de velocidades se puede ver en la figura A.5. Para poder determinar si un flujo es laminar o turbulento se utiliza el n´umero de Reynolds. El n´umero de Reynolds compara la fuerzas convectivas con las fuerzas viscosas seg´un la ecuaci´on A.3. Re =ρ·v·D µ(A.3) Siendo ρla densidad del flujo sangu´ıneo, vla velocidad del flujo sangu´ıneo 78 Bases biol´ogicas Figura A.5: R´egimen turbulento en el vaso, Del di´ametro del vaso y µla viscosidad del flujo intravascular. N´umeros de Reynolds altos indican que las fuerzas de inercia son dominantes en el flujo por lo que el flujo se encontrar´a en r´egimen turbulento. Por el contrario, para n´umeros de Reynolds bajos las fuerzas viscosas ser´an dominantes por lo que el flujo ser´a laminar. En la aorta y en la arteria pulmonar el n´umero de Reynolds puede elevarse durante la fase de vaciamiento de los ventr´ıculos dando lugar a una intensa turbulencia. Sin embargo, en los vasos peque˜nos, el n´umero de Reynolds casi nunca llega a tener el valor suficiente para causar turbulencia [24]. Se ha demostrado en numerosos experimentos que la transici´on de flujo laminar a flujo turbulento tiene lugar para aproximadamente el mismo n´umero de Reynolds. El valor num´erico del n´umero de Reynolds cr´ıtico en el que ocurre la transici´on es 2300. Por lo que, para flujos en los que Re < Recritico son flujos laminares y para flujos en los que Re > Recritico son flujos turbulentos [7]. Una primera clasificaci´on de los fluidos es en funci´on de la viscosidad. En ocasiones es ´util suponer que el fluido no tiene viscosidad, en estos casos se denomina fluido ideal. Por el contrario, hay flujos en los que la viscosidad es el efecto dominante, a estos se les denomina flujos viscosos. Como se ha explicado anteriormente, el factor que en mayor medida afecta a la viscosidad de la sangre es la concentraci´on de gl´obulos rojos, hematocri- to, y muy secundariamente el contenido en prote´ınas. Como se puede ver en A.5 La sangre como fluido 79 Figura A.6: Relaci´on entre viscosidad y hematocrito la figura A.6 si aumenta el hematocrito, aumenta la capacidad de transporte de ox´ıgeno pero tambi´en aumenta la viscosidad del flujo por lo que disminuye el flujo dando lugar a un aumento de la presi´on y del gasto card´ıaco. Los fluidos tambi´en se pueden clasificar en funci´on de su comportamiento reol´ogico, es decir, de la curva esfuerzo frente a velocidad de deformaci´on. En la figura A.7 se muestran las curvas de esfuerzo frente a velocidad de deformaci´on representativas de varios fluidos tipos. Estos fluidos reciben sus nombres en funci´on de su curva. Figura A.7: Reograma: relaci´on entre esfuerzo y velocidad de deformaci´on 80 Bases biol´ogicas Los fluidos newtonianos son aquellos que tienen una relaci´on constante entre el esfuerzo y la velocidad de deformaci´on, sus curvas son por tanto rectas. Adem´as, empiezan a deformarse en cuanto sufren un esfuerzo, por lo que la recta pasa por el origen. La pendiente de la recta es la viscosidad, seg´un la ecuaci´on A.4: τ=µ·du dy (A.4) En los fluidos newtonianos la viscosidad puede considerarse constante con el tiempo. Todos los fluidos que no muestran este comportamiento lineal se llaman fluidos no-newtonianos. En los fluidos no-newtonianos la viscosidad var´ıa con la temperatura y con el esfuerzo que se aplica, por lo que ´estos no tienen un valor definido de viscosidad. Los fluidos pseudopl´asticos se caracterizan porque el esfuerzo necesario para deformarlos no aumenta proporcionalmente con la velocidad de deformaci´on, sino que aumenta m´as lentamente. La sangre, al ser una mezcla bif´asica, tiene un comportamiento pseudopl´astico, mientras que el plasma, al ser mayormente agua, tiene un comportamiento newtoniano. A.6. Modelizaci´on del flujo sangu´ıneo en vasos Se van a modelar las ecuaciones que rigen el comportamiento del flujo sangu´ıneo considerando, seg´un lo expuesto anteriormente, que es un fluido laminar, newtoniano, incompresible y unidireccional. Los principios f´ısicos y las ecuaciones aplicables a la descripci´on del comportamiento de los l´ıquidos en los tubos r´ıgidos tambi´en pueden ser usadas para explicar el comportamiento de la sangre en los vasos [29]. La caracter´ıstica b´asica de un flujo unidireccional es que el campo de velocidad puede expresarse mediante una sola componente. En este dominio, es uno de los pocos en los que es posible obtener soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes. Se va a considerar un fluido unidireccional en el eje x, por lo tanto las componenes vywde la velocidad son nulas. Seg´un esta hip´otesis, la ecuaci´on de continuidad se reduce a: A.6 Modelizaci´on del flujo sangu´ıneo en vasos 81 ∇·u= 0 =⇒∂u ∂x = 0 (A.5) Las ecuaciones de cantidad de movimiento tambi´en se simplifican considerablemente. En la direcci´on x, la ecuaci´on de cantidad de movimiento es la siguiente: ρ∂u ∂t +u·∂u ∂x +v·∂u ∂y +w·∂u ∂z  =Fx−∂p ∂x +µ·∂2u ∂x2+∂2u ∂y2+∂2u ∂z2(A.6) Introduciendo las condiciones de contorno que implica el flujo unidireccional, la ecuaci´on de cantidad de movimiento en el eje x se puede expresar de la siguiente manera: ρ·∂u ∂t =−∂p ∂x +µ·∂2u ∂y2+∂2u ∂z2(A.7) Mientras que las ecuaciones de cantidad de movimiento en las restantes direcciones, al ser v=w= 0, se reducen a: 0 = ∂p ∂y (A.8) 0 = ∂p ∂z (A.9) Las ecuaciones A.8 y A.9 expresan que la presi´on motriz es constante en las direcciones perpendiculares al flujo cuando se da flujo unidireccional. Adem´as, tambi´en se puede observar que el gradiente de p en la direcci´on del flujo no depende ni de y ni de z. Mientras que de las ecuaciones A.5 y A.7 se deduce que el gradiente de p tampoco depende de x, por lo que al no ser funci´on de ninguna de las coordenadas espaciales, s´olo es funci´on del tiempo, lo cual permite calcularlo en cada instante como un simple cociente incremental: PL(t) = −dp dx =p1−p2 L(A.10) 82 Bases biol´ogicas Donde p1 y p2 son las presiones motrices en dos puntos separados una distancia L en la direcci´on del flujo. Por lo tanto, el campo de velocidad queda definido mediante una sola ecuaci´on, correspondiente a la conservaci´on de cantidad de movimiento a lo largo del conducto: ρ·∂u ∂t =PL+µ·∂2u ∂y2+∂2u ∂z2(A.11) Se va a particularizar la ecuaci´on A.11 para el caso de Hagen-Poiseuille, en el que se considera un flujo estacionario en un conducto recto de secci´on circular en el que existe un gradiente de presi´on motriz entre los extremos. Al ser un flujo estacionario la ecuaci´on A.11 se reduce a: PL+µ·∂2u ∂y2+∂2u ∂z2= 0 (A.12) Considerando que en un tubo circular el movimiento presentar´a simetr´ıa axial, las variables del flujo solo dependen de la distancia al eje del tubo, R. Para analizar el flujo se van a utilizar coordenadas cil´ındrico-polares, siendo x la coordenada axial y r la coordenada radial. La ecuaci´on A.12 de cantidad de movimiento en direcci´on x y en coordenadas cil´ındrico-polares queda: PL+µ r d dr rdu dr = 0 (A.13) Que integrando una vez queda: rdu dr =−PL µ r2 2+C1 La primera condici´on de contorno a emplear consiste en considerar, que por simetr´ıa, la velocidad alcanza su m´aximo en el eje, es decir, en r = 0, por lo que su derivada primera deber´a ser nula, du/dr = 0. Esto da lugar a que C1= 0. Integrando de nuevo se obtiene el siguiente perfil de velocidades: u(r) = −PL 2µ r2 2+C2 A.6 Modelizaci´on del flujo sangu´ıneo en vasos 83 La segunda condici´on de contorno implica que en la pared, r = R, la velocidad es nula, u= 0, por lo que C2=PLR2/4µ. Esto da lugar a que el perfil de velocidades en el conducto sea: u(r) = PL 4µR2−r2(A.14) La expresi´on A.14 recibe el nombre de corriente de Hagen-Poiseuille y se caracteriza por tener un perfil de velocidades parab´olico que alcanza su m´aximo en el centro del tubo (r = 0), donde la velocidad vale: umax =R2 4µPL(A.15) El flujo se puede obtener integrando el perfil de velocidades sobre la secci´on del tubo: Q=ZAc uds =ZR 0 u2πrdr =πPLR4 8µ(A.16) Como se observa, el flujo es proporcional al gradiente de presi´on por unidad de longitud y al radio de la tuber´ıa a la cuarta. Adem´as, tambi´en puede escribirse como: Q=PL K=⇒K=8µ πR4 Siendo K la resistencia del flujo. La velocidad media en la secci´on se obtiene dividiendo el flujo por el ´area: umed =Q Ac =Q πR2=PLR2 8µ=umax 2(A.17) Estas ecuaciones de Hagen-Poiseuille s´olo son v´alidas para flujo laminar en el interior de una tuber´ıa. Cuando la velocidad del fluido aumenta, se observa que no se cumple la ecuaci´on de Hagen-Poiseuille ya que el flujo pasa de estar en r´egimen laminar a r´egimen turbulento, por lo que las part´ıculas en lugar de desplazarse en l´aminas conc´entricas, se desplazan formando torbellinos. Esto da lugar a que aumente la resistencia al paso del flujo y a que se modifique la forma de la curva del perfil de velocidad que se aplana por el frente de avance. 84 Bases biol´ogicas A.7. Modelo reol´ogico para el flujo sangu´ıneo La sangre est´a compuesta de elementos formes, como son los gl´obulos rojos, gl´obulos blancos y las plaquetas, suspendidos en plasma. La mayor parte de los elementos formes son gl´obulos rojos por lo que estos influyen notablemente en las caracter´ısticas del flujo sangu´ıneo. Debido a esto, la sangre no se comporta como un fluido newtoniano, sino que se comporta como un fluido pseudopl´astico en el que la viscosidad aumenta conforme disminuye la velocidad de deformaci´on. Conforme aumenta la viscosidad se generan mayores fuerzas de fricci´on entre las part´ıculas. Estas dan lugar a que aparezcan tensiones tangenciales en el vaso sangu´ıneo. Se define la tasa de corte o gradiente de deformaci´on ˙γcomo la tasa de cambio de deformaci´on y la relaci´on entre la tensi´on tangencial y el gradiente de deformaci´on es la viscosidad. ˙γ=dγ dt (A.18) Existen muchas ecuaciones emp´ıricas para definir las propiedades de la viscosidad de la sangre. En general, estos modelos se pueden dividir entre modelos newtonianos y modelos no-newtonianos. Entre los modelos nonewtonianos existen diferentes variantes, como pueden ser la Ley de la Potencia, el modelo de Casson y el modelo de Carreau, estos son los m´as usados y proporcionan un valor variable de viscosidad. Para un fluido newtoniano se cumple la siguiente expresi´on: τ=µ·˙γ(A.19) Los tres principales factores que influyen en las propiedades de la viscosidad de la sangre son el plasma, el hematocrito y la agregaci´on de los gl´obulos rojos. Los dos ´ultimos contribuyen fundamentalmente al comportamiento nonewtoniano de la sangre. El plasma es el l´ıquido en el que se encuentran suspendidos los elementos formes que constituyen la sangre. Est´a compuesto mayoritariamente por agua, por lo que su comportamiento es claramente newtoniano. Su comportamiento afecta a la viscosidad de la sangre principalmente para elevadas tasas de corte. En la figura A.8 se puede ver el comportamiento newtoniano A.7 Modelo reol´ogico para el flujo sangu´ıneo 85 Figura A.8: Comparaci´on entre el comportamiento newtoniano del plasma y el no-newtoniano de la sangre del plasma frente al comportamiento pseudopl´astico de la sangre. El hematocrito, como se ha dicho anteriormente, constituye el porcentaje de volumen ocupado por los gl´obulos rojos. Estos son los elementos formes mayoritarios que forman parte de la sangre, por lo que este indicador es el que m´as influye en la viscosidad del flujo sangu´ıneo. Figura A.9: Relaci´on entre la viscosidad y la formaci´on de agregados La agregaci´on de los gl´obulos rojos es el principal factor que da lugar al comportamiento pseudopl´astico de la sangre. Debido a que los gl´obulos rojos carecen de n´ucleo, cuando se encuentran juntos y a bajas tasas de corte, estos se agregan formando rouleaux. En la figura A.9 se muestra la relaci´on entre 92 Ecuaciones fundamentales de la din´amica de fluidos Figura B.2: Flujos de momentos en un elemento diferencial de volumen dV ρuu+∂(ρuu) ∂x dxdy dz En las restantes direcciones se obtienen expresiones an´alogas tomando como superficies dx dz para el eje y, dx dy para el eje z y tomando las componentes de velocidad adecuadas,vyzrespectivamente. En la figura B.2 se pueden observar los tres flujos de momentos que se obtienen en cada una de las superficies del elemento diferencial de volumen. En este caso, los flujos de momento que entran o salen del elemento diferencial de volumen no son las ´unicas causas que ocasionan la variaci´on de momento en el interior del elemento diferencial. Considerando que la resultante de las fuerzas aplicadas en cada porci´on de fluido no es nula y seg´un la segunda Ley de Newton podemos obtener lo siguiente: X i Fi=d dt Zx=V ρvdV Siendo Filas fuerzas que pueden actuar sobre un sistema fluido. Estas fuerzas pueden ser fuerzas de volumen o fuerzas de superficie, es decir: X i Fi=Fs+Fv B.1 Ecuaciones fundamentales 93 En primer lugar se estudian las fuerzas de superficie. Dichas fuerzas son ejercidas por la materia que est´a en contacto directo con la superficie considerada. La fuerza de superficie total que act´ua sobre un volumen de fluido V limitado por una superficie cerrada S se obtiene como la suma de todas las fuerzas diferenciales que act´uan sobre todos los elementos de ´area que envuelven el fluido. FS=ZS dFS La fuerza elemental se calcula como el producto de la fuerza por unidad de superficie fspor el ´area ds sobre la cual act´ua. En el caso m´as general, la fuerza por unidad de superficie depende del punto del fluido, del tiempo y de la direcci´on de la normal nde la superficie, es decir, de la orientaci´on que tenga el elemento diferencial de ´area. dFS=fS·ds Mediante la figura B.3 se van a calcular las fuerzas por unidad de superficie que act´uan sobre un volumen fluido. Estas fuerzas se pueden desglosar Figura B.3: Fuerzas sobre un tetraedro diferencial de fluido aislado de su entorno 94 Ecuaciones fundamentales de la din´amica de fluidos en tres ecuaciones escalares teniendo en cuenta que la fuerza sobre cada cara proyectada puede expresarse como la suma de los esfuerzos elementales seg´un las direcciones de referencia, es decir: fS(ni) = τi1n1+τi2n2+τi3n3 Siendo el primer sub´ındice la direcci´on normal a la supericie de apoyo y el segundo sub´ındice la direcci´on del esfuerzo considerado. El sistema de ecuaciones escalares se puede escribir en notaci´on vectorial de la siguiente forma: fS=τ·n(B.5) Donde τes un tensor de segundo orden denominado tensor de esfuerzos y dado por:   τxx τxy τxz τyx τyy τyz τzx τzy τzz  (B.6) Las componentes de la diagonal principal representan fuerzas de tracci´on o compresi´on, en funci´on de su signo. El resto de componentes representan esfuerzos cortantes. A dem´as, el tensor de esfuerzos es sim´etrico por lo que τij =τji. Figura B.4: Tensiones normales y tangenciales en un elemento diferencial de volumen dV B.1 Ecuaciones fundamentales 95 Al igual que ocurre con el flujo de momento, las tensiones cambian su valor a lo largo de cada una de las direcciones como se puede observar en la figura B.4. En cuanto a las fuerzas de volumen, la fuerza de gravedad es la m´as importante, aunque tambi´en se encuentran entre ellas las fuerzas el´ectricas y las fuerzas magn´eticas, entre otras. La fuerza de volumen total que act´ua sobre un volumen de fluido V limitado por una superficie cerrada S se obtiene como suma de todas las fuerzas elementales que act´uan sobre todas las part´ıculas fluidas seg´un la expresi´on: FV=ZV dFV En general se puede decir que: Variaci´on de momento en un volumen fluido =Pflujos momento entrantes al volumen fluido -Pflujos momento salientes del volumen fluido +Ptensiones normales y tangenciales sobre el elemento de volumen +Pfuerzas de volumen sobre la masa del elemento de volumen Por lo que formulando queda: Eje x: ∂(ρ·u) ∂t ·dx ·dy ·dz =ρ·u·u−(ρ·u·u+∂(ρ·u·u) ∂x ·dx)·dy ·dz +ρ·u·v−(ρ·u·v+∂(ρ·u·v) ∂y ·dy)·dx ·dz +ρ·u·w−(ρ·u·w+∂(ρ·u·w) ∂z ·dz)·dx ·dy +Fx·dx ·dy ·dz +−τxx + (τxx +∂(τxx) ∂x ·dx)·dy ·dz +−τyx + (τyx +∂(τyx) ∂y ·dy)·dx ·dz +−τzx + (τzx +∂(τzx ) ∂z ·dz)·dx ·dy (B.7) 96 Ecuaciones fundamentales de la din´amica de fluidos Simplificando la ecuaci´on B.7 queda: Eje x: ∂(ρ·u) ∂t +∂(ρ·u·u) ∂x +∂(ρ·u·v) ∂y +∂(ρ·u·w) ∂z =Fx+∂τxx ∂x +∂τyx ∂y +∂τzx ∂z (B.8) En el resto de los ejes se obtienen expresiones similares: Eje y: ∂(ρ·v) ∂t +∂(ρ·v·u) ∂x +∂(ρ·v·v) ∂y +∂(ρ·v·w) ∂z =Fx+∂τxy ∂x +∂τyy ∂y +∂τzy ∂z (B.9) Eje z: ∂(ρ·w) ∂t +∂(ρ·w·u) ∂x +∂(ρ·w·v) ∂y +∂(ρ·w·w) ∂z =Fx+∂τxz ∂x +∂τyz ∂y +∂τzz ∂z (B.10) Las ecuaciones B.8, B.9, B.10 son las ecuaciones de consevaci´on de la cantidad de movimiento. En forma diferencial se pueden expresar del siguiente modo: ∇·τ+FV=∂(ρ·v) ∂t +∇·(ρ·vv) (B.11) B.2. Ecuaciones de Navier-Stokes Como se ha dicho anteriormente, las ecuaciones de Navier-Stokes est´an constituidas por el conjunto de leyes de conservaci´on de las magnitudes fluidas y todas las relaciones constitutivas necesarias para cerrar el problema. B.2 Ecuaciones de Navier-Stokes 97 Dichas ecuaciones forman un sistema cerrado que permite determinar los valores de todas las magnitudes fluidas. Se van a obtener estas ecuaciones partiendo de la ley de conservaci´on de la cantidad de movimiento a la cual se le va a a˜nadir el efecto de la viscosidad del fluido [7], [29]. El efecto de la viscosidad queda presente en el tensor de esfuerzos por lo que inicialmente se va a analizar la variaci´on del tensor de esfuerzos debido a los efectos de la viscosidad. Un fluido no admite esfuerzos cortantes sin deformarse continuamente por lo que la deformaci´on continua implica movimiento. De esto se deduce que si un fluido esta en reposo no puede haber esfuerzos cortantes, por lo que los t´erminos del tensor de esfuerzos que se encuentran fuera de la diagonal principal ser´an nulos τij = 0 si i6=j. Adem´as, por convenci´on, en la mayor parte de los casos un fluido est´atico soporta esfuerzos de compresi´on, por lo que se suele escribir: τij =−p·δij (B.12) Siendo δij el tensor delta de Kroncecker cuyo valor es uno cuando los sub´ındices son iguales y cero cuando son distintos. En notaci´on matricial el tensor delta de Kronecker coincide con la matriz unitaria. Escribiendo el tensor completo queda:  −p0 0 0−p0 0 0 −p  (B.13) Adem´as, la presi´on se puede escribir como la media de los tres esfuerzos normales con signo negativo, el cual indica que la presi´on act´ua en el sentido opuesto a la tensi´on normal: p=−τxx +τyy +τzz 3(B.14) En cambio, en un fluido en movimiento s´ı que aparecen esfuerzos cortantes de manera que el tensor de esfuerzos puede tener sus 6 componentes distintas de cero. Por simplicidad, el tensor de esfuerzos din´amico se construye a partir del t´ermino est´atico, debido a la presi´on, sum´andole un t´ermino din´amico τ0 denominado tensor de esfuerzos viscosos, el cual representa la contribuci´on debida al movimiento del fluido, es decir: 98 Ecuaciones fundamentales de la din´amica de fluidos τ=−p·I+τ0(B.15) Las tensiones normales τxx, τyy yτzz pueden dividirse en dos partes, la parte debida a la presi´on y la contribuci´on debida a la fricci´on del fluido σxx, σyy yσzz: τxx =σxx −p τyy =σyy −p τzz =σzz −p(B.16) Insertando la ecuaci´on B.16 en las ecuaciones de conservaci´on de la cantidad de movimiento, B.8, B.9, B.10 se obtiene: ∂(ρ·u) ∂t +∂(ρ·u2) ∂x +∂(ρ·u·v) ∂y +∂(ρ·u·w) ∂z =Fx−∂p ∂x +∂σxx ∂x +∂τyx ∂y +∂τzx ∂z (B.17) ∂(ρ·v) ∂t +∂(ρ·v·u) ∂x +∂(ρ·v2) ∂y +∂(ρ·v·w) ∂z =Fy−∂p ∂y +∂τxy ∂x +∂σyy ∂y +∂τzy ∂z (B.18) ∂(ρ·w) ∂t +∂(ρ·w·u) ∂x +∂(ρ·w·v) ∂y +∂(ρ·w2) ∂z =Fz−∂p ∂z +∂τxz ∂x +∂τyz ∂y +∂σzz ∂z (B.19) Adem´as, los fluidos, como consecuencia de las d´ebiles interacciones entre sus part´ıculas presentan un comportamiento especial ante esfuerzos tangenciales. En los fluidos las fuerzas internas se reducen a la fricci´on, cuya acci´on es disipadora de energ´ıa. Ante una fuerza de cizalla impuesta externamente las part´ıculas fluidas se ponen en movimiento unas respecto a otras gener´andose una fricci´on creciente con la velocidad de deformaci´on hasta igualar a la tensi´on cortante externa. La relaci´on entre la tensi´on cortante y la velocidad de deformaci´on para un fluido Newtoniano viene dada por la Ley de Viscosidad de Newton. τik =µ·∂ui ∂xk +∂uk ∂xi(B.20) B.2 Ecuaciones de Navier-Stokes 99 Siendo µla constante de proporcionalidad. Dicha constante es una propiedad f´ısica exclusiva de los fluidos que recibe el nombre de viscosidad din´amica. Adem´as, para un fluido Newtoniano tambi´en se cumple: σxx = 2 ·µ·∂u ∂x −2 3·µ·∂u ∂x +∂v ∂y +∂w ∂z (B.21) σyy = 2 ·µ·∂v ∂y −2 3·µ·∂u ∂x +∂v ∂y +∂w ∂z (B.22) σzz = 2 ·µ·∂w ∂z −2 3·µ·∂u ∂x +∂v ∂y +∂w ∂z (B.23) Introduciendo las ecuaciones B.20, B.21, B.22, B.23, junto con la condici´on de simetr´ıa, en las ecuaciones obtenidas a partir de la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento B.17, B.18, B.19 se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes: ∂(ρ·u) ∂t +∂(ρ·u2) ∂x +∂(ρ·u·v) ∂y +∂(ρ·u·w) ∂z =Fx−∂p ∂x +∂ ∂x µ·2·∂u ∂x −2 3·(∇·v) +∂ ∂y hµ·∂u ∂y +∂v ∂x i+∂ ∂z µ·∂w ∂x +∂u ∂z  ∂(ρ·v) ∂t +∂(ρ·v·u) ∂x +∂(ρ·v2) ∂y +∂(ρ·v·w) ∂z =Fy−∂p ∂y +∂ ∂x hµ·∂u ∂y +∂v ∂x i (B.24) +∂ ∂y hµ·2·∂v ∂y −2 3·(∇·v)i+∂ ∂z hµ·∂v ∂z +∂w ∂y i ∂(ρ·w) ∂t +∂(ρ·w·u) ∂x +∂(ρ·w·v) ∂y +∂(ρ·w2) ∂z =Fz−∂p ∂z +∂ ∂x µ·∂w ∂x +∂u ∂z  +∂ ∂y hµ·∂v ∂z +∂w ∂y i+∂ ∂z µ·2·∂w ∂z −2 3·(∇·v) 100 Ecuaciones fundamentales de la din´amica de fluidos Para un fluido incompresible, como se ha dicho anteriormente, se cumple la ecuaci´on B.4, ∇·v= 0, la cual simplifica las ecuaciones de Navier-Stokes: ρ∂u ∂t +∂(u·u) ∂x +∂(v·u) ∂y +∂(w·u) ∂z  =Fx−∂p ∂x +∂ ∂x 2·µ∂u ∂x  +∂ ∂y hµ·∂u ∂y +∂v ∂x i+∂ ∂z µ·∂w ∂x +∂u ∂z  ρ∂v ∂t +∂(u·v) ∂x +∂(v·v) ∂y +∂(w·v) ∂z  =Fy−∂p ∂y +∂ ∂x hµ·∂u ∂y +∂v ∂x i (B.25) +∂ ∂y h2·µ·∂v ∂y i+∂ ∂z hµ·∂v ∂z +∂w ∂y i ρ∂w ∂t +∂(u·w) ∂x +∂(v·w) ∂y +∂(w·w) ∂z  =Fz−∂p ∂z +∂ ∂x µ·∂w ∂x +∂u ∂z  +∂ ∂y hµ·∂v ∂z +∂w ∂y i+∂ ∂z 2·µ∂w ∂z  Para un fluido incompresible y asumiendo que la viscosidad es constante las ecuaciones se pueden expresar de la siguiente manera: ρ∂u ∂t +u·∂u ∂x +v·∂u ∂y +w·∂u ∂z  =Fx−∂p ∂x +µ·∂2u ∂x2+∂2u ∂y2+∂2u ∂z2(B.26) ρ∂v ∂t +u·∂v ∂x +v·∂v ∂y +w·∂v ∂z  =Fy−∂p ∂y +µ·∂2v ∂x2+∂2v ∂y2+∂2v ∂z2(B.27) ρ∂w ∂t +u·∂w ∂x +v·∂w ∂y +w·∂w ∂z  =Fz−∂p ∂z +µ·∂2w ∂x2+∂2w ∂y2+∂2w ∂z2(B.28) B.2 Ecuaciones de Navier-Stokes 101 Las ecuaciones de Navier-Stokes en forma diferencial quedan: ρ·∂v ∂t + (v·∇)v=F−∇p+µ·4v(B.29) Siendo ∇pel gradiente de p, (v·∇) el producto escalar del vector velocidad y el operador matem´atico nabla y 4vel operador matem´atico de Laplace aplicado sobre el vector velocidad. ∇p=∂p ∂x,∂p ∂y,∂p ∂zT v·∇ =u·∂ ∂x +v·∂ ∂y +w·∂ ∂z 4v=∂2v ∂x2+∂2v ∂y2+∂2v ∂z2 La ecuaci´on de continuidad, B.2, junto con las ecuaciones de Navier- Stokes, B.26, B.27, B.28, forman un sistema diferencial, no lineal de segundo orden con 4 ecuaciones y 4 inc´ognitas, u,v,w,p. El sistema puede ser resuelto aplicando las condiciones de contorno adecuadas para cada tipo de problema. Si se utiliza un fluido compresible, la densidad pasa a ser una nueva inc´ognita por lo que es necesario a˜nadir una ecuaci´on adicional que es la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa. 108 Ecuaciones que rigen el proceso de c´alculo (MEF) - C´alculo de propiedades elementales. - Ensamblaje de vectores y matrices elementales. - Imposici´on de las condiciones de contorno. - Soluci´on del sistema de ecuaciones y obtenci´on de los valores de los grados de libertad en los nudos. - C´alculo de variables auxiliares. La principal dificultad del m´etodo es decidir qu´e elemento elegir para cada caso en concreto. En la pr´actica, los elementos m´as utilizados son os tri´angulos CST y LST y los cuadril´ateros bilineal y Serendip. En la figura C.1 se puede ver un elemento triangular con una de sus funciones de interpolaci´on y en la figura C.2 se puede ver un elemento cuadril´atero de Serendip [34]. Figura C.1: Tri´angulo LST y funci´on de interpolaci´on en el nodo 2 Figura C.2: Cuadril´atero de Serendip y funci´on de interpolaci´on en un nodo central La elecci´on del tipo de elemento depende de cada caso en particular, los elementos cuadril´ateros son preferibles a los tri´angulos, en el caso de an´alisis de s´olidos, ya que mejoran la convergencia para el mismo n´umero de grados de libertad, sin embargo, son menos flexibles para reproducir contornos complicados [34]. C.3 Discretizaci´on mediante vol´umenes finitos 109 C.3. Discretizaci´on mediante vol´umenes finitos Como se ha dicho anteriormente, las ecuaciones de Navier-Stokes, que rigen el comportamiento fluido, s´olo tienen soluci´on anal´ıtica para fluidos simples bajo condiciones ideales. Si se quiere obtener una soluci´on de estas ecuaciones para un fluido real se deben adoptar aproximaciones num´ericas que transformen las ecuaciones diferenciales en un conjunto de ecuaciones algebraicas para posteriormente ser resueltas mediante m´etodos num´ericos. En este proyecto se ha usado el programa ANSYS CFX para resolver el problema fluido. Este programa utiliza como m´etodo num´erico una discretizaci´on mediante vol´umenes finitos. El m´etodo de vol´umenes finitos se basa en usar la forma integral de las ecuaciones de conservaci´on, en dividir el dominio en un n´umero finito de vol´umenes de control y en aplicar las ecuaciones de conservaci´on en cada uno de los vol´umenes de control [32]. En el centro de cada volumen de control se encuentra un nodo sobre el que se van a calcular los valores de las variables. Adem´as las integrales de superficie y de volumen van a ser aproximadas dando lugar a una ecuaci´on algebraica por cada volumen de control. Este m´etodo puede ser usado para cualquier tipo de malla, por lo que es apropiado para geometr´ıas complejas. Figura C.3: Definici´on del volumen de control 110 Ecuaciones que rigen el proceso de c´alculo (MEF) La discretizaci´on num´erica, basada en el m´etodo de vol´umenes finitos, llevada a cabo por el programa ANSYS CFX se va a explicar a continuaci´on [31]. En primer lugar, una vez que el dominio se ha discretizado mediante una malla tridimensional, esta va a ser usada por el programa para crear vol´umenes finitos. En la figura C.3 se puede ver la definici´on de un volumen de control en un caso sencillo en 2D. Todas las variables y las propiedades del fluido se encuentran almacenadas en los nodos, es decir, en los v´ertices de la malla, alrededor de los cuales se va a crear un volumen de control. Las ecuaciones de Navier-Stokes expresadas en manera diferencial pueden ser transformadas en ecuaciones en forma integral mediante el teorema de la divergencia de Gauss. Es con las ecuaciones en forma integral con las que se va a trabajar dicretizando previamente las integrales de volumen y de superficie. Figura C.4: Elemento de la malla En la figura C.4 se puede ver uno de los elementos de la malla. Las ecuaciones de volumen van a ser discretizadas en el interior de cada sector del elemento de volumen mientras que las ecuaciones de superficie van a ser discretizadas en los puntos de integraci´on, localizados en el centro de cada segmento de superficie. La funci´on inc´ognita se encuentra almacenada en cada uno de los nodos. Para poder evaluar todos los t´erminos de ´esta se realiza una aproximaci´on de la funci´on inc´ognita en los puntos de integraci´on. ANSYS CFX utiliza para ello funciones de forma de elementos finitos. Las funciones de forma se expresan de la siguiente manera: C.3 Discretizaci´on mediante vol´umenes finitos 111 φ= N nodes X i=1 Niφi(C.3) Donde Nies la funci´on de forma para el nodo i y φies el valor de la variable en el nodo i. La principal propiedad de las funciones de forma es: N nodes X i=1 Ni= 1 (C.4) Siendo en el nodo j: Ni= 1 si i =j(C.5) Ni= 0 si i 6=j Para discretizar el dominio se pueden usar diferentes elementos, como pueden ser tetraedros o hexaedros. En este caso se van a usar tetraedros. En la figura C.5 se puede ver un elemento tetra´edrico. Figura C.5: Elemento tetra´edrico Las funciones de forma para cada uno de los nodos son las siguientes: 112 Ecuaciones que rigen el proceso de c´alculo (MEF) N1(s, t, u)=1−s−t−u N2(s, t, u) = s(C.6) N3(s, t, u) = t N4(s, t, u) = u Ap´endice D Ampliaci´on de los resultados D.1. Filtro G¨unther-Tulip de 4 patas En la figura D.1 se puede ver la magnitud de la velocidad a lo largo de todo el dominio estudiado. En la imagen se observa que la secci´on donde la influencia del filtro es mayor es en la zona de la cabeza del dispositivo. Esto es debido a que en ella se produce la uni´on de las distintas velocidades del flujo sangu´ıneo. Figura D.1: Magnitud de velocidad a lo largo de todo el dominio 113 114 Ampliaci´on de los resultados Al igual que con la magnitud de velocidad, en la figura D.2 se pueden ver las l´ıneas de flujo 3D a lo largo de todo el dominio. Figura D.2: L´ıneas de flujo en 3D a lo largo de todo el dominio Para resolver el problema, se ha utilizado el c´odigo comercial ANSYS CFX, el cual sigue un proceso de c´alculo iterativo para obtener una soluci´on del problema fluido. Este proceso iterativo, al imponer condiciones de contorno de velocidad, consiste en suponer un valor inicial de presi´on y mediante ´el calcular las ecuaciones que rigen el comportamiento fluido. Debido a esto, el valor de presi´on que se obtiene mediante el programa bajo estas condiciones de contorno no es correcto. Por el contrario, la ca´ıda de presi´on proporcionada por el programa s´ı que es calculada correctamente. Por ello se ha realizado, para la malla seleccionada, una simulaci´on aplicando como condici´on de contorno una presi´on a la salida de 13.300 Pa. Se pueden ver en las figuras D.3 y D.4 el campo de presi´on en la zona del filtro y a lo largo de todo el dominio, respectivamente. D.1 Filtro G¨unther-Tulip de 4 patas 115 Se observa que la presi´on a la entrada es mayor y poco a poco ´esta va disminuyendo, en el sentido en que avanza el flujo sangu´ıneo, produci´endose una variaci´on de presi´on de 80 Pa. Con esta condici´on de contorno tambi´en se aprecia como tanto la presi´on intravascular como la variaci´on de presi´on son calculadas de forma correcta por el c´odigo comercial usado. Figura D.3: Campo de presi´on a lo largo del filtro 116 Ampliaci´on de los resultados Figura D.4: Campo de presi´on a lo largo del dominio -Comparativa entre la malla m´as fina y la malla m´as gruesa Se va a realizar una comparativa de los resultados obtenidos con la malla m´as gruesa, 918.000 elementos, y con la malla m´as fina, 9.200.000 elementos. En la figura D.5 se encuentran las magnitudes de velocidad calculadas mediante ambas mallas. S´olo se han representado las dos secciones en las que la presencia del filtro ocasiona una mayor influencia en el flujo sangu´ıneo. Estas son las correspondientes a la zona de salida. D.1 Filtro G¨unther-Tulip de 4 patas 117 Plano 3 malla 1 Plano 4 malla 1 Plano 3 malla 4 Plano 4 malla 4 Figura D.5: Magnitudes de velocidad en las mallas de 918.000 elementos y de 9.200.000 elementos Como se puede ver, las diferencias son notables, los valores de velocidad que se obtienen con cada una de las mallas son diferentes. Este efecto sobretodo ocurre en la pared del vaso y en el centro de la secci´on. La pared de la vena era una de las superficies relevantes donde se ha ido bajando el n´umero de elementos para obtener una mayor precisi´on en los c´alculos. En la malla m´as gruesa, los elementos de la periferia son m´as grandes que en la malla m´as fina, donde los elementos de la periferia son notablemente m´as peque˜nos. Lo mismo ocurre con la zona central. Debido a esto, se puede ver que con la malla m´as gruesa la zona de velocidad nula en la pared del vaso es mayor y la velocidad m´axima alcanzada es menor que con la malla m´as fina. 124 Ampliaci´on de los resultados -Comparativa entre las dos geometr´ıas de filtro Por ´ultimo se ha realizado una comparaci´on entre las dos geometr´ıas del filtro recuperable de G¨unther-Tulip. Esta comparativa se ha realizado con las discretizaciones elegidas para el estudio (2.000.000 elementos para el dispositivo de 4 patas y 3.900.000 para el dispositivo de 12 patas). En la figura D.12 se pueden ver las magnitudes de velocidad en las secciones de salida para ambos dispositivos. La principal diferencia observada es que mediante el filtro de 12 patas se alcanzan velocidades mayores en el centro de la secci´on que mediante el de 4 patas. Adem´as el mayor n´umero de patas da lugar a que el flujo intravascular se divida en un mayor n´umero de corrientes. Filtro 4 patas: Plano 3 Filtro 4 patas: Plano 4 Filtro 12 patas: Plano 3 Filtro 12 patas: Plano 4 Figura D.12: Magnitudes de velocidad para ambas geometr´ıas de filtro En la figura D.13 se puede ver la comparativa realizada entre las dos geometr´ıas mediante las isol´ıneas. D.2 Filtro G¨unther-Tulip de 12 patas 125 Filtro 4 patas: Plano 3 Filtro 4 patas: Plano 4 Filtro 12 patas: Plano 3 Filtro 12 patas: Plano 4 Figura D.13: Isol´ıneas para ambas geometr´ıas de filtro Tambi´en se ha representado una comparaci´on realizada mediante la ten- si´on tangencial a lo largo de la pared del vaso, como se puede observar en la figura D.14. Como era de esperar, el filtro de 12 patas afecta m´as a la pared de la vena que el filtro de 4 patas. La pared del vaso se ve principalmente afectada, en ambas geometr´ıas, en la zona de uni´on del dispositivo con la vena cava, pero en el caso del filtro de 12 patas, el vaso tambi´en se ve afectado en la regi´on correspondiente a las patas secundarias. Esto es debido a que estas se encuentran muy pr´oximas a la pared dando lugar a que se produzca un incremento de las tensiones. En el caso del dispositivo de 4 patas se alcanzan tensiones tangenciales de 1,2 Pa en las zonas de contacto del filtro con el vaso, mientras que en el caso del dispositivo de 12 patas se alcanzan tensiones tangenciales de 1,4 Pa. Adem´as, en el caso del filtro de 12 patas se alcanza un valor de tensi´on tangencial en la zona de las patas secundarias de 0,9 Pa. Tensi´on tangencial en el filtro de 4 patas Tensi´on tangencial en el filtro de 12 patas Figura D.14: Tensi´on tangencial para ambas geometr´ıas de filtro