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ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL DE ZARAGOZA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA PROYECTO FIN DE CARRERA SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO. Autor: Borja Diego Sáenz-López Director: Jorge Grasa Orús Especialidad: Mecánica Zaragoza, Septiembre de 2011 2 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 3 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Agradecimientos En primer lugar, agradecer a D. Jorge Grasa Orús, director de este proyecto, su paciencia y tiempo dedicado a lo largo del último año. Sin él, me hubiese sido imposible la realización del mismo. A mis amigos y compañeros de carrera, por hacerme el camino más fácil. A mis amigos de Jaca, por estar a mi lado, por ser como son. A toda mi familia, en especial a mis padres y hermano, porque siempre confiaron en mí y me animaron a continuar adelante. A mi abuela, por su constante preocupación. A todos ellos, GRACIAS. 4 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 5 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO INDICE 1- INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 7 1.1- Objetivo .............................................................................................................................. 7 1.2- Trabajo previo .................................................................................................................... 7 1.3- Tejido muscular .................................................................................................................. 8 1.3.1. Músculo Liso .............................................................................................................. 10 1.3.2. Músculo Cardíaco ...................................................................................................... 10 1.3.3. Músculo Esquelético ................................................................................................. 11 1.4 Unidad músculo-tendón del tibial anterior de rata .......................................................... 12 1.4.1 Músculo ...................................................................................................................... 12 1.4.2 Tendón ....................................................................................................................... 13 1.4.3 Modelo de comportamiento ...................................................................................... 13 2- MODELO DE ELEMENTOS FINITOS ...................................................................................... 21 2.1. Introducción ..................................................................................................................... 21 2.2. Geometría idealizada ....................................................................................................... 22 2.2.1. Malla .......................................................................................................................... 22 2.2.2. Condiciones de contorno .......................................................................................... 23 2.2.3. Material ..................................................................................................................... 24 2.3. Músculo ............................................................................................................................ 24 2.3.1. Comportamiento pasivo ............................................................................................ 24 2.3.2. Comportamiento activo ............................................................................................ 29 3- RESULTADOS ....................................................................................................................... 35 3.1 Geometría idealizada. Comportamiento pasivo ............................................................... 35 3.1.1 Músculo ...................................................................................................................... 35 3.1.2 Tendón ....................................................................................................................... 41 3.2 Músculo. Comportamiento pasivo .................................................................................... 47 3.3 Músculo. Comportamiento activo .................................................................................... 54 4- CONCLUSIONES Y LINEAS FUTURAS .................................................................................... 61 4.1 CONCLUSIONES ................................................................................................................. 61 4.2 LINEAS FUTURAS ............................................................................................................... 62 5- BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................... 63 6 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 7 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 1- INTRODUCCIÓN 1.1- Objetivo El presente Proyecto Fin de Carrera ha sido desarrollado en el Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras, en el departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Zaragoza. Parte de la idea de llevar a cabo dos objetivos principales. • El primero de ellos, es el estudio del comportamiento de un modelo de elementos finitos del músculo tibial anterior de rata frente a la variación de los parámetros del material. En este caso se ha simulado el comportamiento pasivo del material, utilizando tanto geometrías idealizadas del músculo y del tendón, como una malla de elementos finitos que reproduce la unidad músculo-tendón. Para ello se han utilizado tanto los valores de la media y la desviación obtenidos mediante ensayos experimentales en laboratorios, como valores aleatorios generados a partir de los mismos. • En el segundo objetivo, se ha llevado a cabo la simulación del comportamiento activo frente a contracciones isotónicas concéntricas. En este modelo se distinguen dos orientaciones diferentes de las fibras musculares. En la primera de ellas, todas las fibras están orientadas a lo largo de la dirección longitudinal, y la otra simulación sigue la geometría fusiforme del músculo. 1.2- Trabajo previo Previamente a este proyecto, se llevaron a cabo ensayos experimentales en el laboratorio de caracterización de tejidos del Instituto de Investigación en Ingeniería de Aragón (I3A) de la Universidad de Zaragoza. Estos ensayos se realizaron sobre el músculo tibial anterior de rata Wistar, y se obtuvieron una serie de propiedades de este tipo de tejido. Además, se realizó una resonancia magnética de la pata de la rata para obtener la geometría del músculo tibial anterior. De esta forma, se pudo crear una malla de elementos finitos, a la cual se le introdujeron las propiedades del material obtenidas mediante ensayos. Este modelo de elementos finitos ha permitido simular el comportamiento del músculo en el programa ABAQUS, pudiendo de esta forma cambiar los parámetros del material, reproduciendo otras posibles situaciones. 8 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 1.3- Tejido muscular El tejido muscular es el órgano del cuerpo formado por un conjunto de fibras musculares, las cuales a su vez están formadas por numerosas miofibrillas de 1 a 2 µm de diámetro. Las fibras son contráctiles (son capaces de acortarse) y elásticas (son capaces de estirarse). La fibra muscular puede ser de dos tipos: tónica o fásica. Las fibras tónicas, de color más rojo, son de contracción lenta, y resistentes a la fatiga; las fibras fásicas, blancas, son de contracción rápida, pero se fatigan rápidamente. Los músculos tienen distinta proporción de cada tipo de fibras. El tejido muscular se especializa en producir movimientos, tanto del cuerpo en conjunto, como de sus partes entre sí. Las células musculares muestran gran desarrollo de la función de contractilidad, y en menor grado, de la conductividad. Esta especialización incluye el alargamiento de las células en el eje de contracción, y a causa de esto las células se llaman a menudo fibras musculares. La contracción muscular es la consecuencia mecánica de un proceso bioquímico que se inicia con la liberación de iones Ca++ desde el retículo sarcoplásmico de la fibra provocado por la llegada de un impulso eléctrico. Una contracción normal de la fibra implica tres procesos físicos: el eléctrico (excitación de la membrana), la transformación mecánica de la energía (proceso de contracción) y el bioquímico (obtención energética). En el tejido muscular, las células o fibras musculares suelen agruparse en haces, pero el tejido muscular no sólo consta de fibras musculares. Las fibras musculares, por realizar trabajo mecánico, necesitan una red abundante de capilares sanguíneos que les proporcionen materiales alimenticios y oxígeno, y eliminen los productos tóxicos de desecho. Los vasos sanguíneos son conducidos por el tejido fibroconectivo, que también sirve para mantener unidas las fibras musculares y para proporcionarles el sostén necesario para que puedan ejercer su tracción con utilidad. Los nervios también cursan en el tejido conectivo. Partes del músculo El músculo está recubierto por una membrana llamada epimisio y está formado por fascículos (Figura 1.3.1). Los fascículos a su vez, están recubiertos por una membrana llamada perimisio y están formados por fibras musculares. 9 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 1.3.1 Partes que forman el músculo. La fibra muscular está recubierta por una membrana llamada endomisio y está compuesto por miofibrillas. La fibra muscular es una célula con varios núcleos y tiene la estructura similar a la de cualquier otra (Figura 1.3.2). Figura 1.3.2 Partes que forman la fibra muscular. 16 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Las pruebas se dieron por finalizadas cuando el músculo perdía parcialmente su capacidad de resistencia, definida como una caída del 40% en la fuerza obtenida. Los resultados de los cinco ensayos de tracción realizados a la unidad músculo-tendón quedan reflejados en las curvas que se muestran en la Figura 1.4.8. La curva TMR mean es la curva media de todos los ensayos realizados. Figura 1.4.8 Curvas de los ensayos realizados. La Figura 1.4.8 (a) muestra la fuerza que ejerce la máquina conforme se estira el músculo, mientras que la Figura 1.4.8 (b) refleja la tensión en relación con el alargamiento. Tras haber realizado la caracterización tanto in vitro como in vivo de ambos materiales y de su unidad conjunta se pasa a la formulación propiamente dicha que se describe a continuación. Formulación En la Figura 1.4.8 (a y b) se observa que tanto el músculo como el tendón presentan un comportamiento en grandes deformaciones. La mejor forma de describir este comportamiento es mediante el uso de una función energía de deformación que depende de la dirección de un conjunto de fibras representadas por un vector unitario m 0 (Spencer, 1954). Cada una de las fibras de las que se supone constituye el material, se desplazan junto con los puntos del material, de esta forma, el alargamiento de las mismas puede expresarse como: λ   m  Cm  Donde m 0 es el vector unitario en la dirección de las fibras en la configuración inicial,   ⁄ y    son el gradiente de deformación y tensor de Cauchy-Green por la derecha respectivamente. 17 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Para establecer la condición de incompresibilidad, es necesario realizar una descomposición multiplicativa de estos tensores como   / y   / (Simo y Taylor, 1991). La función energía de deformación, tras esta descomposición queda expresada como: ψ(C,M)=ψ vol (J)+ψ  , ψ vol (J)+ψ I  ,I  ,I   donde ψ vol (J) y ψ  son funciones de J,  ,  ! , respectivamente, que describen las parte volumétricas e isocóricas del material (Holzapfel, 2000). I 1 y I 2 son el primer y segundo invariante del tensor modificado de Cauchy-Green C  (teniendo en cuenta que I 3 =J y I 3 ≈1). Finalmente, I 4 es el cuarto invariante que caracteriza la respuesta en la dirección de las fibras (Spencer, 1954): I  C:Mλ     siendo %& la extensión de las fibras. El segundo tensor de Piola-Kirchhoff puede obtenerse como: S2∂ψC,M ∂C S *+, -S JpC 0 -S  donde 123 456 7 27 ⁄ es la presión hidrostática. El tensor de tensiones de Cauchy σ es 1/J veces el “empuje” de S (87 0 9  :) σp-2 J<=∂ψ  ∂I&  -I&  ∂ψ  ∂I&  >b @∂ψ  ∂I&  b   -I&  ∂ψ  ∂I&  ! @1 3=∂ψ  ∂I&  I&  -2∂ψ  ∂I&  I&  -∂ψ  ∂I&  I&  >C siendo 1 un tensor identidad de segundo orden y D&      el tensor de Cauchy-Green por la izquierda. Los datos experimentales mostraron varios rasgos relevantes de tejidos de tendón y el músculo. En primer lugar, se observa que los tejidos experimentan grandes deformaciones para pequeñas cargas, para posteriormente pasar a un marcado comportamiento no lineal de la curva. Finalmente se obtiene de nuevo un tramo lineal cuando, se supone, todas las fibras se alinean en la dirección de la carga. Además, el tejido fue asumido como incompresible, esto es I 3 = J 2 = 1 (Ogden, 2001). 18 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO La función de energía de deformación utilizada para la formación del modelo está basada en aquella propuesta por Weiss (Weiss, 1996). ψ c  I&  @3-ψ  F ψ  F 0,I&  HI&  I ψ  F c J c  Kexp N O PQ& O 0Q& OI R @c  PI&  @I&  I R@1S, I&  TI&  I y I&  HI&  VWX ψ  F c Y ZI&  - 1 2c [ lnI&  -c ^ , I&  TI&  VWX siendo I&  el primer invariante del tensor modificado de Cauchy-Green. I&  TI&  I caracteriza la respuesta mecánica en la dirección de las fibras, al igual que I&  VWX lo hace con la extensión en la cual las fibras de colágeno comienzan a estar alineadas en la dirección de la carga. Después de haber realizado la formulación correspondiente al modelo de comportamiento de la unidad músculo-tendón, se ha obtenido una serie de parámetros de ajuste para cada material y cada ensayo, obteniendo unos valores medios indicados en la fila Mean de las tablas de cada material (Calvo et al., 2010). Las constantes correspondientes al material músculo quedan recogidas en la Tabla 1.4.9, así como las gráficas (Figura 1.4.10) que comparan los resultados analíticos con los experimentales relacionando la tensión en MPa con la extensión que se produce. Tabla 1.4.9 Parámetros obtenidos para el músculo en la prueba in vitro. 19 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 1.4.10 Gráficas del comportamiento del músculo. Por otro lado, las constantes correspondientes al material tendón quedan recogidas en la Tabla 1.4.11, así como las gráficas (Figura 1.4.12) que comparan los resultados analíticos con los experimentales relacionando la tensión en MPa con la extensión que se produce. Tabla 1.4.11 Parámetros obtenidos para el tendón en la prueba in vitro. 20 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 1.4.12 Gráficas del comportamiento del tendón. 21 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 2- MODELO DE ELEMENTOS FINITOS 2.1. Introducción La geometría estudiada y analizada fue reconstruida a través de una resonancia magnética, y pertenecía al tibial anterior de una rata Wistar de masa corporal 215 ± 15 g. Para ello, la rata fue anestesiada con una inyección intraperitoneal de pentobarbital sódico. El experimento fue aprobado por el Comité Ético de la Universidad Autónoma de Barcelona para el uso de animales en experimentación. Las imágenes fueron tomadas de los cóndilos femorales hasta el metatarso. La rata fue colocada en posición supina con la extremidad derecha extendida (Figura 2.1.1). Se obtuvieron treinta imágenes de 512 x 512 píxeles a lo largo de toda la longitud del músculo con una resolución de 0.06 mm/píxel. Figura 2.1.1 Colocación de la rata en la plataforma para realizar la resonancia magnética. Las imágenes fueron utilizadas para lograr una reconstrucción detallada del tibial anterior de rata. (Figura 2.1.2). En cada imagen se obtenía el contorno del músculo, y se generó una superficie en tres dimensiones utilizando el programa Mimics. (a) (b) Figura 2.1.2 (a) Imágenes de la resonancia magnética. (b) Segmentación con el programa Mimics. 22 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO A partir de las imágenes obtenidas mediante resonancia magnética, se crearon las mallas de elementos finitos del músculo y del tendón con elementos hexaédricos, utilizando el programa ABAQUS. La Figura 2.1.3 (a) muestra el modelo en tres dimensiones de la malla de elementos finitos del tibial anterior. También se generaron dos representaciones de la geometría de las fibras: en primer lugar, las fibras fueron definidas en dirección longitudinal (eje z), y en segundo lugar, la geometría del músculo se ajustó a la orientación de las fibras, como se muestra en la Figura 2.1.3 (b). Figura 2.1.3 Representación de la geometría del tibial anterior. Es importante destacar que las imágenes tomadas por resonancia magnética fueron obtenidas in vivo. Por este motivo, el tejido muscular está sometido a una de tensión inicial, _  que es considerada en el modelo numérico. Además, no se tuvo en cuenta la fascia, ya que en los modelos experimentales fue eliminada por completo. 2.2. Geometría idealizada 2.2.1. Malla Para generar el modelo de elementos finitos de la geometría idealizada se creó en el programa ABAQUS 1/8 de la probeta. El tamaño total elegido para diseñar el octavo de probeta fue 10x10x100, orientado de forma longitudinal en el eje Z, con un tamaño de los elementos de 1x1x1 (Figura 2.2.1). Las medidas de la probeta fueron elegidas de tal forma que se obtuviera una dimensión mucho mayor que las otras dos, con el fin de que reprodujera lo más fielmente posible el comportamiento real de las probetas de músculo. 23 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 2.2.1 Modelo mallado de 1/8 de la probeta. 2.2.2. Condiciones de contorno Las condiciones de contorno aplicadas al modelo fueron principalmente dos. La primera de ellas para crear la simetría de la pieza, y la segunda, para imponer un desplazamiento de 50 mm a lo largo del eje Z. Se aplicaron condiciones de simetría seleccionando las caras situadas en los planos XY, YZ y XZ, impidiendo cualquier desplazamiento en la dirección normal a dichos planos de simetría. Figura 2.2.2 Representación completa de la geometría idealizada. 24 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 2.2.3. Material Las propiedades y los parámetros del material hiperelástico introducidos en el programa ABAQUS fueron los obtenidos mediante los ensayos descritos en el apartado 1.4.3 (Modelo de comportamiento). La subrutina necesaria para definir el comportamiento del tejido fue realizada previamente por investigadores del Instituto de Investigación en Ingeniería de Aragón (I3A) de la Universidad de Zaragoza. La subrutina programada se denomina UMAT. Todas las propiedades del comportamiento del material fueron introducidas en el programa ABAQUS modificando el fichero de entrada (*.inp). Se generaron diez valores aleatorios de los parámetros del músculo, y otros diez de los del tendón, utilizando como valor medio los valores de los parámetros obtenidos mediante ensayos (definidos en el apartado 1.4.3). En el archivo de entrada (*.inp) sólo se modificaron las constantes C1, C3, C4, I&  I , I&  VWX , ya que el resto de parámetros del material son funciones de las mismas. La última fila corresponde a la orientación, que en este caso es únicamente a lo largo del eje longitudinal. La localización de las constantes en el archivo de entrada es la siguiente: 6.0, 0.01, C1, 0.0, 0.0, 0.0 , 0.0, C3 C4, 0.0, 0.0, I40, I4ref, 0., 0., 0. fibras, x1, x2, x3, 0., 0., 0., 0. teniendo que modificar únicamente las marcadas en rojo. Finalmente se crearon, para el músculo y para el tendón, diez ficheros con los valores aleatorios generados, y uno adicional con los parámetros de la media obtenidos en los ensayos, con el fin de comparar, mediante superposición de gráficas, dichos resultados con los obtenidos mediante valores aleatorios. 2.3. Músculo 2.3.1. Comportamiento pasivo 2.3.1.1. Malla La malla de elementos finitos de este modelo de músculo se obtuvo como se ha descrito anteriormente y está formada por tres grupos de nodos y otros tres grupos de elementos. 25 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Uno de los grupos de elementos será aquél que reúna todos los elementos cuyas propiedades correspondan al músculo, otro al tendón, y el tercero de ellos al extremo del tendón. El motivo por el cual se distinguen estos tres grupos es que las tres partes mencionadas anteriormente tienen propiedades diferentes. Referente a los nodos, también se deben realizar tres grupos. El primero de ellos corresponde a los nodos de la inserción del músculo en el hueso (GRUPONODOSINSER), el segundo de ellos a la inserción del tendón en el hueso (GRUPONODOSTENDON), y finalmente, el tercero, corresponde a un único nodo de la inserción del extremo del tendón en el hueso (NODOTENDON). Este último grupo (que consta de un único nodo y no pertenece al segundo de los grupos anteriormente mencionados), se aplica simplemente para que la suma de las fuerzas que se generan en el conjunto de los nodos de la inserción del extremo del tendón en el hueso se concentren en dicho nodo. Esto se hace para que se puedan ver mejor los resultados y generar una gráfica que relaciona el desplazamiento con la fuerza total ejercida para estirar el músculo los 10 mm que se pretenden imponer. Figura 2.3.1 Grupo de elementos del tendón. 32 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 2.3.5 Relación Fuerza-Voltaje. Media de la fuerza del músculo a 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 V con un estímulo de 90 Hz durante 1s, con la longitud optima. La corriente estimuladora que fluye desde el electrodo a lo largo de todos los axones en el nervio ciático es la misma. Incrementando el voltaje de la señal de excitación se produce inicialmente un aumento de la fuerza muscular hasta que se alcanza el umbral, lo que indica que todas las motoneuronas han sido reclutadas. Así la relación propuesta entre fuerza y voltaje es: f a = 1 – e (a-V)/d , V≥2 donde a es el punto de corte con el eje, y d controla la curvatura. Con el fin de adaptarse mejor a los datos experimentales (Figura 2.3.6), estos parámetros se fijaron en a= 1,609 y d= 1,4737. Figura 2.3.6 Relación Fuerza-Voltaje a la longitud óptima y 90 Hz. 33 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO En la siguiente tabla (Tabla 2.3.7) se muestran los parámetros obtenidos de los experimentos “in vivo”. σ  (MPa) λ +bc β T´(s) P´(N) t e r c 0.8 1 0.83616 0.04 0.11 0.01667 1.0535 1.1245 Tabla 2.3.7 Parámetros obtenidos de los experimentos “in vivo”. Para definir el comportamiento del músculo de este nuevo modelo, se utiliza la misma subrutina que las utilizadas en el caso de las geometrías idealizadas y del comportamiento pasivo de la unidad músculo-tendón, denominada UMAT. En este nuevo modelo, se le comunica al programa de cálculo que ahora el músculo se debe contraer. Esto se consigue modificando el archivo de texto “param_umat.txt” y en el parámetro ACTIV_FLAG se iguala a 1. Además se debe introducir el número exacto de nodos (3196) y de elementos (2484). A continuación, se deben introducir las propiedades de los distintos materiales que componen la unidad músculo-tendón. Para ello se modifica el archivo de entrada de extensión .inp del programa ABAQUS. La forma de proceder es la misma que con el modelo del comportamiento pasivo del músculo. Los parámetros introducidos son los de la medía y la desviación del músculo y del tendón obtenidos en los ensayos experimentales, modificando únicamente los valores correspondientes a las constantes C1, C3, C4, I&  I , I&  VWX , ya que el resto de parámetros del material son funciones de las mismas. En el caso del material músculo también se modificó el primer parámetro, y se introdujo el valor 7.0. De esta forma se consiguió que el músculo se contrajera. En este modelo de comportamiento se distinguen dos orientaciones diferentes de las fibras musculares. En el primer caso, todas las fibras están orientadas a lo largo del eje longitudinal, así que la última fila de los parámetros del material se deja igual que en el resto de los casos. En el segundo caso, la contracción concéntrica sigue la geometría del músculo. Para conseguir dicha simulación, además de introducir el fichero con la orientación de las fibras, se debe modificar la última fila de los parámetros del material. El primer valor de la última fila debe ser un valor superior a 1. Además, se debe modificar también “param_umat.txt”. En este fichero se debe indicar al programa de cálculo que la orientación ya no es en los ejes x1, x2 y x3. Esto se consigue igualando el parámetro FIB_FICHERO a 1. 34 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO De esta forma el archivo de entrada .inp del modelo de contracción concéntrica a lo largo del eje longitudinal queda de la siguiente forma: *Material, name=MATERIAL1 *USER MATERIAL, CONSTANTS= 24 6.0, 0.01, 0.081, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.045038 7.570983, 6, 532.526, 1.0, 1.445060, 0.0, 0.0, 0.0 1.0, 0.,0.156434465,-0.9876883, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0 *DEPVAR 8 *Material, name=MATERIAL2 *Elastic 1400000., 0.3 *MATERIAL,NAME=MATERIAL3 *USER MATERIAL, CONSTANTS= 24 7.0, 0.01, 0.008837, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.009877 2.237879, 0.0, 0.0, 1.256385, 2.4726, 0.5, 1.0, 0.0 1.0, 0.,0.156434465,-0.9876883, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0 *DEPVAR 8 Y el archivo de entrada .inp de la contracción concéntrica siguiendo la geometría del músculo queda de la siguiente manera: *Material, name=MATERIAL1 *USER MATERIAL, CONSTANTS= 24 6.0, 0.01, 0.081, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.045038 7.570983, 6, 532.526, 1.0, 1.445060, 0.0, 0.0, 0.0 5.0, 0.,0.156434465,-0.9876883, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0 *DEPVAR 8 *Material, name=MATERIAL2 *Elastic 1400000., 0.3 *MATERIAL,NAME=MATERIAL3 *USER MATERIAL, CONSTANTS= 24 7.0, 0.01, 0.008837, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.009877 2.237879, 0.0, 0.0, 1.256385, 2.4726, 0.5, 1.0, 0.0 5.0, 0.,0.156434465,-0.9876883, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0 *DEPVAR 8 35 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 3- RESULTADOS En esta sección se presentan los resultados obtenidos de las diferentes simulaciones computacionales, tanto de la geometría idealizada como de la unidad músculo-tendón del tibial anterior, analizando en este último caso tanto el comportamiento pasivo como el comportamiento activo. Una vez obtenidos los resultados computacionales se analizarán y se compararán gráficamente con los resultados obtenidos en los ensayos experimentales en el laboratorio, y de esta forma se determinará la sensibilidad del modelo. 3.1 Geometría idealizada. Comportamiento pasivo 3.1.1 Músculo En primer lugar se comparará la gráfica obtenida de los datos de los ensayos experimentales y la gráfica obtenida de los datos resultantes de la simulación hecha en ABAQUS con los parámetros de los valores medios del material (Figura 3.1.1). (a) (b) Figura 3.1.1 Geometría idealizada del músculo. (a) Curva media de los datos experimentales. (b) Curva media de la simulación computacional. A continuación, se muestra la gráfica de la geometría idealizada del músculo, en la que se representan de forma superpuesta la curva experimental y la curva de la simulación computacional (Figura 3.1.2). 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 1,2 1,4 1,6 σz (MPa) λ Musculo_media 36 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 3.1.2 Geometría idealizada del músculo. Curvas medias superpuestas. Se puede observar que la curva característica realizada mediante los resultados obtenidos de la simulación computacional guarda la misma forma característica que la realizada con los valores obtenidos mediante ensayos experimentales. Además de guardar la misma forma, para los mismos valores de λ se obtienen valores similares de las tensiones. En nuestra simulación se impuso un desplazamiento de 50mm, por lo que la λ máxima es 1.5, ya que %1- fg , I , siendo Uz= 50mm y l  =100mm. Para un valor de λ=1.5 se obtiene una tensión de 0.3929 MPa. Con un λ superior a 1.5 se observa que la gráfica de los resultados experimentales tiene un comportamiento lineal con una pronunciada pendiente, lo que permite deducir que a partir de un desplazamiento superior a la mitad del músculo, las tensiones aumentan de forma significativa en comparación con las tensiones producidas en los instantes iniciales. A continuación se muestran las diez gráficas obtenidas con los resultados de los cálculos realizados con los valores aleatorios de los modelos computacionales del músculo (Figura 3.1.3). 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1 1,2 1,4 1,6 Simulación computacional Ensayos experimentales σz (MPa) λ 37 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 38 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 3.1.3 Geometría idealizada del músculo. Graficas obtenidas con valores aleatorios. Todas ellas muestran una curva característica cuya forma es similar a la de la gráfica obtenida con datos experimentales. Todos los valores aleatorios de las constantes han de ser positivos. En la Figura 3.1.4 se muestra la representación de forma conjunta de las curvas de las diez simulaciones obtenidas con valores aleatorios y la realizada con los valores medios experimentales. 39 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 3.1.4 Geometría idealizada del músculo. Gráfica σz – λ de todas las simulaciones computacionales. En esta gráfica se observa la gran diferencia de tensiones obtenidas para un mismo alargamiento. Para λ=1.5, la tensión mínima es 0.112 MPa correspondiente a la simulación Músculo 2, y la máxima es 1.94 MPa, correspondiente a la simulación Músculo 1. Esto es debido a que los valores aleatorios del Músculo 1 son más elevados que los valores medios, mientras que con los del Músculo 2 sucede todo lo contrario. Esta diferencia se haría más grande a medida que incrementáramos el valor del desplazamiento impuesto. A continuación (Figura 3.1.6) se muestran las imágenes de la geometría idealizada del músculo obtenidas con el programa ABAQUS en diferentes instantes, y se detalla en una tabla (Tabla 3.1.5) los valores exactos de la tensión para un determinado desplazamiento. Sólo se muestra la simulación realizada con los valores medios, ya que es la que mejor representa los ensayos realizados de forma experimental. Uz (mm) σz (MPa) (a) 0 0 (b ) 20 25.1717E - 03 (c ) 30 70.9603E - 03 (d ) 40 170.022E - 03 (e ) 50 392.905E - 03 Tabla 3.1.5 Tabla resumen de la simulación de la geometría idealizada del músculo. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 1 1,2 1,4 1,6 σz (MPa) λ Musculo_1 Musculo_2 Musculo_3 Musculo_4 Musculo_5 Musculo_6 Musculo_7 Musculo_8 Musculo_9 Musculo_10 40 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO (a) (b) (c) (d) (e) Figura 3.1.6 Imágenes de la geometría idealizada del músculo obtenidas con ABAQUS. 41 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 3.1.2 Tendón Para analizar los resultados obtenidos con la simulación computacional del tendón se seguirá el mismo procedimiento que con el músculo. En primer lugar se muestran las gráficas obtenidas con los valores medios (Figura 3.1.7), tanto la realizada con los datos experimentales, como la realizada a partir de los datos obtenidos de la simulación en ABAQUS con los parámetros medios. (a) (b) Figura 3.1.7 Geometría idealizada del tendón. (a) Curva media de los datos experimentales. (b) Curva media de la simulación computacional. En nuestra simulación se impuso un desplazamiento de 50mm, por lo que la λ máxima es 1.5. Dado que en la gráfica obtenida mediante ensayos experimentales sólo se tienen datos hasta λ=1.25, se compararán de nuevo las dos gráficas cortando la de la simulación computacional en el mismo valor para facilitar el análisis (Figura 3.1.8). (a) (b) Figura 3.1.8 Geometría idealizada del tendón. (a) Curva media de los datos experimentales. (b) Curva media de la simulación computacional. 0 5 10 15 20 25 30 1 1,2 1,4 1,6 σz (MPa) λ Tendón_media 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 σz (MPa) λ Tendón_media 48 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 3.2.2 Unidad músculo-tendón. Curvas medias superpuestas. Como se puede observar en la Figura 3.2.2, la forma de la gráfica de la simulación computacional es muy similar a la de la curva media de los ensayos experimentales. En los siete primeros milímetros de extensión los valores obtenidos en ambas gráficas son casi idénticos. En la simulación, para 7 mm de extensión se obtiene una fuerza de 0.6 N, casi la misma que para los resultados experimentales. La mayor diferencia se aprecia en el final de la curva, entre 7mm y 10mm de extensión. En este intervalo la pendiente de la curva (a) es más pronunciada que la pendiente de la curva (b), por lo que a igual extensión, en la curva de los ensayos experimentales se obtienen unos valores de Fuerza mayores que en la curva de la simulación computacional realizada en ABAQUS. La extensión máxima simulada es 10mm, obteniéndose una Fuerza de 1,33596 N, mientras que en los resultados experimentales se obtuvieron aproximadamente 2.6 N (TMR3) y 3.6N (TMR1) para dicha extensión. Es en este límite donde mejor se aprecia la diferencia entre ambas gráficas. A continuación se muestran las diez gráficas obtenidas con los resultados de los cálculos realizados con los valores aleatorios de los modelos computacionales de la unidad músculo-tendón. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 0 2 4 6 8 10 12 Simulación computacional Ensayos experimentales Fuerza (N) Extensión (mm) 49 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 50 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Figura 3.2.3 Unidad músculo-tendón. Graficas obtenidas con valores aleatorios. Todas las gráficas muestran una curva característica similar a la realizada con los valores medios de los parámetros obtenidos mediante ensayos experimentales. Al igual que ocurría con la gráfica dibujada con los datos obtenidos de la simulación computacional realizada con los valores medios de los parámetros de la unidad músculo-tendón, en el tramo comprendido entre 7mm y 10mm de extensión se aprecia que la pendiente de la curva es menor que en la de los resultados experimentales. Para una misma extensión, en los resultados experimentales se obtenía una fuerza mayor que en la simulación computacional, mientras que para los primeros 6mm de extensión la forma de la curva es prácticamente idéntica en ambos casos. A continuación se muestra la representación de forma conjunta de las curvas de las diez simulaciones obtenidas con valores aleatorios de la unidad músculo-tendón y la realizada con los valores de la media de los parámetros experimentales (Figura 3.2.4). Figura 3.2.4 Unidad músculo-tendón. Gráfica σz – λ de todas las simulaciones computacionales. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 5 10 15 Fuerza (N) Extensión (mm) Media TA1 TA2 TA3 TA4 TA5 TA6 TA7 TA8 TA9 TA10 51 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO De todas las simulaciones hechas, las que más se acercan a los resultados experimentales son TA4, TA8 y TA1. Estas han sido realizadas con los valores aleatorios más elevados. Para la extensión máxima simulada, es decir, para una extensión de 10mm, el valor máximo de fuerza es 2,43993N, que se obtiene en la simulación TA4, mientras que el valor mínimo es 5,91E-01N, obtenido en la simulación TA2. A continuación se muestran las imágenes de la unidad músculo-tendón obtenidas con el programa ABAQUS en diferentes instantes (Figura 3.2.6), y se detallan en una tabla (Tabla 3.2.5) los valores exactos de la fuerza para un determinado desplazamiento. Uz (mm) F (N ) (a) 0 0 (b) 4,79E - 01 4,47E - 03 (c) 1,47925 3,17E - 02 (d) 4,42925 2,14E - 01 (e) 8,97925 1,0448 (f) 10 1,33596 Tabla 3.2.5 Tabla resumen de la simulación de la unidad músculo-tendón. Estas imágenes no han sido tomadas en los mismos intervalos de extensión, con el fin de que se aprecie claramente la variación de forma del músculo. 52 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO En primer lugar se muestran las imágenes de la deformada de la unidad músculotendón (Figura 3.2.6), en las que se aprecia el cambio de forma que sufre la misma a lo largo de toda la simulación del comportamiento pasivo. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 3.2.6 Imágenes de la deformada de la unidad músculo-tendón obtenidas con ABAQUS. 53 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Por último, se muestran las imágenes tomadas de la unidad músculo-tendón en la que se representan los desplazamientos que sufre cada parte de la misma a lo largo de la simulación (Figura 3.2.7). (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 3.2.7 Imágenes de los desplazamientos de la unidad músculo-tendón obtenidas con ABAQUS. 54 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO 3.3 Músculo. Comportamiento activo En este apartado se mostrarán distintas imágenes tomadas de la simulación realizada en ABAQUS de la contracción concéntrica de la unidad músculo-tendón del tibial anterior. Para realizar la simulación se introducen en el programa los datos de la media del músculo y del tendón obtenidos mediante ensayos experimentales. Se distinguen dos orientaciones de contracción distintas. La primera de ellas se realiza a lo largo del eje longitudinal y la otra sigue la geometría fusiforme del músculo. Las imágenes tomadas en ambos casos se hacen prácticamente en los mismos desplazamientos con el fin de diferenciar la forma del músculo según las dos orientaciones de contracción. 55 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO En primer lugar se muestran las imágenes de la deformada de la contracción concéntrica de la unidad músculo-tendón a lo largo del eje longitudinal (Figura 3.3.1). (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 3.3.1 Imágenes de la deformada de la unidad músculo-tendón obtenidas con ABAQUS. 56 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO A continuación se muestran las imágenes tomadas de la unidad músculo-tendón en la que se representan los desplazamientos que sufre cada parte de la misma a lo largo de la simulación (Figura 3.3.3), y se detalla en la Tabla 3.3.2 el valor de los mismos en cada instante. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 3.3.3 Imágenes de los desplazamientos de la unidad músculo-tendón obtenidas con ABAQUS. 57 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL TEJIDO MUSCULAR ESQUELÉTICO. SENSIBILIDAD DEL MODELO Y COMPORTAMIENTO ACTIVO Uz (mm) (a) 0 (b) 5.21649 (c) 6.84105 (d) 7.07136 (e) 2.58534 (f) 318.062E - 03 Tabla 3.3.2 Tabla resumen de la simulación de la unidad músculo-tendón.