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UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA ESCUELA DE INGENIER´ IA Y ARQUITECTURA INGENIER´ IA DE TELECOMUNICACI´ ON PROYECTO FIN DE CARRERA ESTIMACI´ ON DE CANALES DE BANDA ULTRA ANCHA (UWB) MEDIANTE EL USO DE FILTROS DE LAGUERRE Institut f¨ur Nachrichtentechnik VODAFONE CHAIR TU DRESDEN INSTITUT F¨ UR NACHRICHTENTECHNIK AUTOR: JAVIER JALLE IBARRA PONENTE: ENRIQUE MASGRAU G´ OMEZ DIRECTOR: WOLFGANG RAVE 12 de Noviembre, 2011 Agradecimientos A mi difunta abuela por lo mucho que disfrutar´ıa en este momento. A Dr. -Ing. habil. Wolfgang Rave y Dr. Enrique Masgrau por su apoyo e inter´es en el proyecto. A mis amigos, compa˜neros y familia. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra iii Resumen Por estimaci´on de canales entendemos la aproximaci´on de la respuesta impulsional discreta de un canal desconocido usando el criterio de m´ınimo error cuadr´atico medio (MSE). En un enfoque cl´asico, esta aproximaci´on es obtenida ajustando de manera adaptativa los coeficientes de un filtro FIR transversal, tambi´en conocido como ’entrenamiento’. La estimaci´on de canales en canales de banda ultra ancha (UWB) tiene que hacer frente a respuestas impulsionales largas debido a la alta frecuencia de muestreo y usualmente la energ´ıa est´a concentrada en una peque˜na fracci´on de los intervalos de tiempo. Usando un filtro transversal FIR, se requiere un orden elevado para poder estimar de manera correcta la larga respuesta impulsional y la mayor´ıa de los coeficientes del filtro re´unen poca o ninguna energ´ıa debido a la concentraci´on de la energ´ıa en peque˜nas fracciones de intervalos de tiempo. La fuente de este problema viene del hecho de que una aproximaci´on consiste en representar una funci´on como una suma ponderada de una base ortonormal completa (tambi´en llamadas funciones base), y luego truncar esta suma a un n´umero fijo de t´erminos (equivalente al orden del filtro). En el enfoque cl´asico del filtro FIR transversal, las funciones base se corresponden con la delta de Kronecker (δ(k−j)), tambi´en conocida como la base can´onica. El problema con los canales UWB surgen debido a la extensi´on temporal extremadamente corta de las funciones base de los filtros FIR. Este estudio es una aproximaci´on te´orica para caracterizar la viabilidad de los filtros de Laguerre en un sistema de comunicaci´on UWB. La aproximaci´on es llevada a cabo por medio de otra base ortonormal, las secuencias de Laguerre, las cuales forman un compromiso entre los sistemas FIR y los IIR; y adem´as pueden ser consideradas como una generalizaci´on de los filtros FIR. Estas secuencias son utilizadas para la estimaci´on del canal para varios canales de prueba en el ´ambito UWB y para realizaciones del modelo estoc´astico de canales UWB proporcionado por el est´andar IEEE 802.15.4a, mostrando que ofrecen mejor rendimiento, en t´erminos del error cuadr´atico medio (MSE), como generalizaci´on de los filtros FIR, sin embargo esta mejora no es muy grande cuando el canal presenta cambios abruptos, debido al comportamiento paso bajo de los filtros de Laguerre. M´etodos adaptativos, como el algoritmo RLS son utilizados para caracterizar de forma pr´actica estas aproximaciones y verificar los resultados obtenidos te´oricamente. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra v ´ Indice Lista de Tablas ix Lista de Figuras xii S´ımbolos xiii Abreviaturas xv 1 Introducci´on 1 1.1 Motivaci´on ....................................... 1 1.1.1 Presentaci´on de la idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Descripci´on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Soluci´onpropuesta............................... 3 1.2 Objetivosdeltrabajo.................................. 4 1.3 Breve descripci´on de los cap´ıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Secuencias de Laguerre 5 2.1 Introducci´on a las secuencias ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 SecuenciasdeLaguerre................................. 6 2.2.1 Longitud de las secuencias de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Filtro transversal 13 3.1 Introducci´on....................................... 13 3.2 Filtro transversal de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Teor´ıa b´asica de estimaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 Coeficientes de correlaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.5 M´etodo de soluci´on de las ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Aproximaci´on de un canal UWB FIR idealizado 19 4.1 Introducci´on....................................... 19 4.2 Error cuadr´atico medio (MSE) en la aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Canales UWB 25 5.1 Introducci´on....................................... 25 5.2 UWB IEEE 802.15.4a Standard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.3 Estimaci´ondelcanal.................................. 25 6 M´etodos adaptativos 37 6.1 Introducci´on....................................... 37 6.2 AlgoritmoRLS ..................................... 37 6.2.1 Estimaci´on de canales UWB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7 Conclusiones y trabajo futuro 43 vii ´ Indice Anexos A Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra viii Lista de Tablas 1.1 Comparaci´on del coste computacional de un filtro RLS-Laguerre Lattice de orden M con un RLS-FIR Lattice de order M’ (normalmente M M’ ). (Reproducido de:ver[4]) ....................................... 4 4.1 NMSE para un filtro de Laguerre de orden 60 con diferentes posiciones del polo. 20 5.1 NMSE obtenida estimando una realizaci´on de canal UWB con filtros de diferentes ´ordenes y posiciones del polo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2 ∆MSE o ganancia MSE obtenida estimando una realizaci´on de canal UWB con filtros de diferentes ´ordenes y posiciones del polo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.3 Estad´ısticas del NMSE (en dB) obtenido estimando canales UWB con filtros de diferente orden y varias posiciones del polo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.4 ∆MSE o ganancia MSE en media, obtenida estimando canales UWB con filtros de ´ordenes y posiciones del polo diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.5 Estad´ısticas del orden necesario por los diferentes filtros para obtener un NMSE espec´ıfico......................................... 35 ix 1 Introducci´on 1.1 Motivaci´on 1.1.1 Presentaci´on de la idea Los canales de radio en las comunicaciones inal´ambricas sufren de desvanecimientos y dispersi´on multicamino. El efecto del multicamino est´a provocado por el fenomeno de la propagaci´on que ocasiona que una misma se˜nal alcance el receptor por varios caminos (debido a reflexiones/refracciones) causando una interferencia que ocasiona el efecto conocido como ISI (intersymbol interference). Para eliminar este efecto se utilizan los ecualizadores, los cuales en su mayor´ıa requieren del conocimiento del canal, que a su vez es estimado usando una secuencia de entrada conocida. Se necesita tener un criterio para poder evaluar la calidad de dicha estimaci´on (tambi´en conocido como aproximaci´on de sistemas o identificaci´on de sistemas), que en este estudio ser´a el criterio del m´ınimo error cuadr´atico medio (m.m.s.e.). En particular, en este estudio se utilizar´an canales de banda ultra ancha (UWB) para la estimaci´on, los cuales se caracterizan por tener unas respuestas impulsionales muy largas, debido a la alta frecuencia de muestreo y adem´as suelen tener la energ´ıa concentrada en peque˜nas fracciones de intervalos de tiempo. Como ejemplo de un canal UWB se muestra en la figura 1.1 una realizaci´on del modelo dado por el IEEE 802.15.4a t´ıpica para entornos sin l´ınea de visi´on (Non Line-Of-Sight, NLOS) y areas residenciales. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Samples (k) Modulus |h(k)| Example of UWB channel Figura 1.1: Respuesta impulsional de un canal UWB dada por la realizaci´on de un modelo estoc´astico (ver [6]). 1 CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI´ ON 1.1.2 Descripci´on del problema En un enfoque cl´asico (ver [9], [2]), la estimaci´on del canal es hecha por medio del entrenamiento de un filtro transversal (’training’) como el mostrado en la Figura 1.2 usando algoritmos adaptativos. La salida del sistema viene dada por ˆyM(k) = M X i=0 wM,ix(k−i) (1.1) y la respuesta impulsional del sistema asumiendo un estado estacionario de los coeficientes del filtro viene dada por la salida del sistema cuando la entrada es una se˜nal de impulso (delta de Kronecker δ(k−i)), es decir ˆ hM(k) = M X i=0 wM,iδ(k−i) (1.2) Viendo esta f´ormula se puede observar que corresponde con una secuencia de longitud finita Figura 1.2: Filtro transversal cl´asico (FIR), en concreto cada coeficiente del filtro corresponde con una delta de Kronecker (δik), lo que unido al hecho de que los canales estudiados poseen una longitud grande hace que sea necesario un filtro de orden elevado para poder estimar correctamente este tipo de canales. Como ejemplo, consideremos el canal mostrado en la Figura 1.3 como una respuesta de un canal UWB idealizado de prueba, es decir, repuesta impulsional larga y la energ´ıa concentrada en peque˜nas fracciones de intervalos de tiempo. Con un filtro FIR cl´asico necesitar´ıamos al menos un filtro de 400 coeficientes para poderlo aproximar correctamente, con lo que saltan a la vista dos problemas, el primero es que se necesita un filtro de orden elevado y el segundo es que la mayor´ıa de los coeficientes del filtro no contienen energ´ıa alguna debido a que ´esta no esta distribuida homogeneamente. El origen de este problema es la extensi´on temporal extremadamente corta de las funciones delta de Kronecker, las cuales son las funciones base de los filtros FIR, si consideramos los canales como elementos de un espacio de funciones, haciendo uso de la teor´ıa de espacios de Hilbert `2(N0) y considerando a las deltas de Kronecker como las funciones base. Esto se traduce en que cualquier funci´on del espacio puede ser representada como una suma ponderada de las funciones base h(k) = +∞ X i=0 ciδ(k−i) (1.3) para hacer una aproximaci´on hay que truncar esta suma a un n´umero finito de t´erminos, esto es ˆ hM(k) = M X i=0 ciδ(k−i), que corresponde con la respuesta de un filtro FIR de orden M. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 2 CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI´ ON 0 100 200 300 400 500 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Samples (k) Amplitude h(k) Example of a simple FIR UWB−like channel response Figura 1.3: Ejemplo de una respuesta FIR que representa de manera sencilla el tipo de canales estudiados. 1.1.3 Soluci´on propuesta Siguiendo con la idea de las funciones base, se ha dicho que el problema se origina debido a la extremadamente corta extensi´on temporal de las deltas de Kronecker. Hay muchos otros conjuntos de funciones base, como ejemplo, dos conjuntos muy usados son δ(k−i) = δki Delta de Kronecker (Base can´onica) ejwki Exponenciales complejas (Series de Fourier) La base can´onica es apropiada para funciones con extensi´on temporal corta, es decir funciones localizadas en tiempo, y las series de Fourier son apropiadas para funciones con poca extrensi´on frecuencial, es decir localizadas en frecuencia (o banda estrecha). Lo que est´a claro es que estos dos conjuntos representan los dos casos extremos, las funciones delta tienen extensi´on temporal m´ınima e infinita en el dominio frecuencial y con las exponencial complejas ocurre lo contrario. La idea que surge es que utilizando otro conjunto de funciones entre estos dos casos extremos, con una extensi´on temporal m´as larga se puede llegar a reducir el orden necesario del filtro. En un primer acercamiento a la soluci´on, se podr´ıan utilizar filtros de respuesta impulsional infinita (IIR) para aproximar estas respuestas impulsionales, pero los filtros IIR conllevan una serie de dificultades, las m´as importantes son superficies de error multimodales y el problema de la estabilidad (ver [3]). Superficies de error multimodales significa que puede haber m´ınimos locales que no son m´ınimos globales, y el problema de la estabilidad hace necesario desarrollar m´etodos para vigilar la estabilidad del sistema y recuperarla si se ha perdido. Los filtros de Laguerre se presentan como un compromiso entre los filtros FIR y los IIR. El principal motivo es que poseen (como se ver´a en el Cap´ıtulo 2) un ´unico polo m´ultiple ajustable, lo que permite garantizar la estabilidad del sistema manteniendo este polo dentro de la circunferencia unidad. Otra de las razones para utilizar estos filtros es la existencia de Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 3 CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI´ ON Tabla 1.1: Comparaci´on del coste computacional de un filtro RLS-Laguerre Lattice de orden M con un RLS-FIR Lattice de order M’ (normalmente M M’ ). (Reproducido de: ver [4]) Filter Mult. Div. Add. Laguerre 17M + 2 14M 14M + 1 FIR 8M’ 8M’ 8M’ algoritmos adaptativos muy eficientes (ver [4], [5] ) que poseen una complejidad computacional de orden O(M) (Mes el orden del filtro), en concreto se trata de filtros RLS Laguerre en celos´ıa (o conocidos como Lattice), lo que los convierte en una opci´on factible en comparaci´on con los filtros FIR est´andar, como se puede apreciar en la Tabla 1.1. 1.2 Objetivos del trabajo El objetivo principal es estimar la respuesta impulsional de canales UWB de prueba con un filtro de Laguerre. La calidad de la estimaci´on es evaluada usando el critero del m´ınimo error cuadr´atico medio (m.m.s.e.). Alcanzando idealmente un MSE aceptable con un filtro de menor orden que el que ser´ıa necesario con un filtro FIR cl´asico, para poder reducir el coste computacional. Como objetivo secundario se propone analizar el efecto de la posici´on del polo de los filtros de Laguerre en la estimaci´on. 1.3 Breve descripci´on de los cap´ıtulos En el Cap´ıtulo 2 se presentan los conjuntos de secuencias ortonormales y las secuencias de Laguerre como tal. El Cap´ıtulo 3 presenta el filtro utilizado y la teor´ıa b´asica de estimaci´on utilizada para calcular y evaluar la estimaci´on del canal. En el Cap´ıtulo 4 se presenta la estimaci´on de un canal de prueba UWB idealizado. En el Cap´ıtulo 5 se presenta la estimaci´on de canales UWB generados por el modelo de canal estoc´astico del est´andar IEEE 802.15.4a. El Cap´ıtulo 6 realiza el an´alisis de los m´etodods adaptativos de Laguerre. En el anexo se presenta la memoria del proyecto en ingl´es completa, la cual posee en esencia el mismo contenido que esta pero m´as detallado, algunas pruebas con otros canales de prueba y otros entornos UWB que no se incluyen en la presente memoria por motivos de extensi´on. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 4 2 Secuencias de Laguerre 2.1 Introducci´on a las secuencias ortonormales Esta secci´on presenta conceptos de teor´ıa de sistemas motivados por [11], [7] o [12]. Una se˜nal discreta consiste en un conjunto ordenado de muestras y el conjunto de ceros precedentes, que puede ser representada como ··· ,0,0, x(0), x(1), x(2),··· o de manera m´as compacta como el conjunto {x(k)}=x(k) donde krepresenta la variable de tiempo discreto y var´ıa de −∞ a +∞. Este tipo de se˜nales o conjuntos tambi´en es denominado secuencia, que se define en matem´aticas como una lista o conjunto ordenado de elementos. Si consideramos el espacio de Hilbert `2(N0) de las secuencias cuadr´aticamente sumables, toda secuencia x(k) pertenciente a este espacio puede ser representada en t´erminos de un conjunto de secuencias ortonormal completo {φi(k)}, donde el ´ındice i= 0,1,2,··· se refiere al ´ındice de la secuencia en el conjunto. La expansi´on viene dada por x(k) = +∞ X i=0 ciφi(k) (2.1) con los coeficientes cidefinidos como ci=hφi(k), x(k)i(2.2) donde h·,·i es el producto escalar de dos secuencias que d´a como resultado un valor escalar dado por hf(k), g(k)i= +∞ X k=−∞ f(k)g∗(k).(2.3) Una aproximaci´on de la secuencia se puede construir truncando la expansi´on a un n´umero finito de t´erminos, es decir xM(k) = M X i=0 ciφi(k) (2.4) y aceptando un error en la aproximaci´on, correspondiente a los t´erminos eliminados de la expansi´on. El conjunto de secuencias {φi(k)}, i = 0,1,2,··· es ortonormal si el producto escalar de cualquier secuencia del conjunto con cualquier otra es nulo y el producto escalar de cualquier secuencia consigo misma da como resultado la unidad. Expresado de manera matem´atica hφi(k), φj(k)i= +∞ X k=−∞ φi(k)φ∗ j(k) = δij (2.5) con δij definida como la delta de Kronecker, δij =1 : i=j 0 : i6=j 5 CAP´ ITULO 2. SECUENCIAS DE LAGUERRE desde una perspectiva geom´etrica el principio de ortogonalidad implica que cada nueva secuencia del conjunto a˜nade una nueva dimensi´on ortogonal al espacio extendido por el conjunto de secuencias. Estos conjuntos ortonormales son tambi´en llamados funciones base. Los dos conjuntos mas usados se corresponden con δ(k−i) Delta de Kronecker (Base can´onica) ejwki Exponenciales complejas (Series de Fourier) La base can´onica es apropiada para funciones con extensi´on temporal corta, es decir funciones localizadas, y las series de Fourier son apropiadas para funciones con poca extrensi´on frecuencial, es decir localizadas en frecuencia (o de banda estrecha). 2.2 Secuencias de Laguerre Las secuencias de Laguerre son la versi´on discreta de las funciones de Laguerre (procedentes de la ortonormalizaci´on de la funci´on tie−pt, i ∈N0, p > 0, ver [1]), llamadas Laguerre porque est´an relacionadas con los polinomios de Laguerre, que son la soluci´on de la ecuaci´on diferencial de Laguerre. Estas secuencias forman un conjunto ortonormal completo en `2(N0) y se obtienen de la ortonormalizaci´on de las secuencias miam, i ∈N0,|a|<1 (ver [10]), vienen dadas en el dominio del tiempo discreto por li(k, a) = p1−a2 i X j=0 (−1)i+ji jk+i−j iak+i+2j =p1−a2 i X j=0 (−1)i+j(k+i−j)! (i−j)!j!(k−j)!ak+i+2j.(2.6) El par´ametro arepresenta la posici´on del ´unico polo m´ultiple, que es variado en el eje real dentro de la circunferencia unidad, esto es, de −1 a +1 para poder mantener la estabilidad de las funciones (todos los polos de un sistema deben estar dentro de la circunferencia unidad para garantizar la estabilidad), como se representa en la Figura 2.1, enfatizando en el rango de valores reales que llevan a un comportamiento estable. Figura 2.1: Variaci´on de la posici´on del polo. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 6 CAP´ ITULO 2. SECUENCIAS DE LAGUERRE Las primeras secuencias de Laguerre son l0(k, a) = p1−a2k! 0!k!ak=p1−a2ak l1(k, a) = p1−a2−(k+ 1)! 0!k!ak+1 +k! 1!(k−1)!ak−1=p1−a2−(k+ 1)ak+1 +kak−1 l2(k, a) = p1−a2(k+ 2)! 2!k!ak+2 −(k+ 1)! 1!(k−1)!ak+k! 2!(k−2)!ak−2 =p1−a2k2+ 3k+ 2 2ak+2 −(k2+k)ak+(k2−k) 2ak−2 ··· Aqu´ı puede apreciarse que las secuencias de Laguerre se componen de diversas secuencias exponenciales multiplicadas por un polinomio solapadas entre s´ı, siendo ael par´ametro de desvanecimiento o decaimiento de la secuencia exponencial, y el orden de la secuencia inidica el n´umero de secuencias exponenciales superpuestas. La representaci´on en el dominio zviene dada por Li(z, a) = p1−a2(z−1−a)i (1 −az−1)i+1 =√1−a2 1−az−1 | {z } low−pass z−1−a 1−az−1 | {z } all−pass i =L0(z, a)[LA(z, a)]i(2.7) definiendo L0(z, a) = √1−a2 1−az−1yLA(z, a) = z−1−a 1−az−1. Aqu´ı puede apreciarse como el par´ametro acorresponde con el ´unico polo m´ultiple de las secuencias y adem´as una de las car´acter´ısticas principales de estas secuencias que es su sencilla representaci´on en el dominio frecuencial, que puede ser separada en un filtro paso bajo, seguido de una cascada de filtros pasa todo. Esto permite generar las secuencias de Laguerre de manera sencilla con el esquema mostrado en la Figura 2.2, obteniendo la secuencia de Laguerre de orden cero como la salida excitada por un impulso unitario de la secci´on paso-bajo, la de primer orden como la salida de la primera secci´on pasa-todo y as´ı en adelante. Si a partir de este esquema tomamos la suma ponderada de las salidas de las diferentes secciones del filtro obtenemos la estructura conocida como el filtro transversal de Laguerre que ser´a estudiado en el cap´ıtulo siguiente. Figura 2.2: Generaci´on de las secuencias de Laguerre. En la Figura 2.3 se muestran diferentes secuencias de Laguerre desde el orden 0 hasta 200 con diferentes posiciones del polo a. N´otese la dependencia de la extensi´on temporal de cada secuencia con los dos par´ametros principales, el orden de la secuencia y la posici´on del polo, que define el ratio de decaimiento de la secuencia. Cuanto m´as cercano a la circunferencia unidad est´a el polo (|a|cerca de 1), el decaimiento de la secuencia es m´as lento y por ello posee una mayor extensi´on temporal. En el caso opuesto, cuando el polo est´a cerca de cero, el decaimiento es mucho m´as r´apido y la extensi´on temporal se ve reducida. Con el aumento del orden de la secuencia se puede observar como la extensi´on temporal se ve incrementada. Con un polo negativo se observa el mismo comportamiento solo que la secuencia oscila m´as debido al factor (−1)kque introduce el polo negativo. Cabe destacar que para el caso a= 0 (observando la Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 7 CAP´ ITULO 2. SECUENCIAS DE LAGUERRE ecuaci´on 2.7), las secuencias de Laguerre se convierten en la base can´onica (deltas de Kronecker), lo cual permitir´a considerar los filtros de Laguerre como una generalizaci´on de los filtros FIR cl´asicos. 0 200 400 600 800 1000 1200 Samples (k) Li(k) Laguerre sequences a = 0.2 L0(k) L20(k) L40(k) L60(k) L80(k) L100(k) L120(k) L140(k) L160(k) L180(k) L200(k) (a) a= 0.2 0 200 400 600 800 1000 1200 Samples (k) Li(k) Laguerre sequences a = 0.5 L0(k) L20(k) L40(k) L60(k) L80(k) L100(k) L120(k) L140(k) L160(k) L180(k) L200(k) (b) a= 0.5 0 200 400 600 800 1000 1200 Samples (k) Li(k) Laguerre sequences a = 0.8 L0(k) L20(k) L40(k) L60(k) L80(k) L100(k) L120(k) L140(k) L160(k) L180(k) L200(k) (c) a= 0.8 0 200 400 600 800 1000 1200 Samples (k) Li(k) Laguerre sequences a = 0.9 L0(k) L20(k) L40(k) L60(k) L80(k) L100(k) L120(k) L140(k) L160(k) L180(k) L200(k) (d) a= 0.9 0 200 400 600 800 1000 1200 Samples (k) Li[k] Laguerre sequences L0(k) L20(k) L40(k) L60(k) L80(k) L100(k) L120(k) L140(k) L160(k) L180(k) L200(k) a = −0.5 (e) a=−0.5 0 200 400 600 800 1000 1200 Samples (k) Li[k] Laguerre sequences L0(k) L20(k) L40(k) L60(k) L80(k) L100(k) L120(k) L140(k) L160(k) L180(k) L200(k) a = −0.8 (f) a=−0.8 Figura 2.3: Secuencias de Laguerre con diferente posici´on del polo a. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 8 CAP´ ITULO 2. SECUENCIAS DE LAGUERRE 2.2.1 Longitud de las secuencias de Laguerre 0 50 100 150 200 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Samples (k) Amplitude lM(k,a) Length of the Laguerre sequence Lag. Seq. (M=50, a=0.5) Length Figura 2.4: Longitud de una secuencia de Laguerre Un aspecto interesante de las secuencias de Laguerre es la extensi´on temporal que pueden cubrir, puesto que para poder aproximar una respuesta impulsional larga, de manera intuitiva una elecci´on razonable del polo de las secuencias es aquella que hace que cubran una extensi´on temporal aproximadamente equivalente a la extensi´on de la respuesta impulsional. Por este motivo si la longitud (o extensi´on temporal) de las secuencias de Laguerre se puede modelar, nos permitir´ıa realizar una estimaci´on de una posible posici´on del polo razonablemente buena usando dicho modelo con un orden y una longitud fija. La longitud de una secuencia de Laguerre se obtiene localizando la muestra donde el ´ultimo decaimiento exponencial est´a por debajo de un umbral como se puede observar en la Figura 2.4. La longitud de las secuencias en funci´on de la posici´on del polo (a) y el orden de la secuencia (M) es mostrada en la Figura 2.5. Viendo la gr´afica en funci´on de la posici´on del polo se puede observar un comportamiento 1 1−ay en la gr´afica en funci´on del orden M, uno lineal. Si modelamos la longitud real de las secuencias como una variable l(M, a), la longitud aproximada est´a definida por ˆ l(M, a) = k1M+k2 1−|a|=k1 M 1−|a|+k2 1 1−|a|(2.8) los coeficientes k1yk2pueden ser obtenidos resolviendo un sencillo problema de m´ınimos cuadrados. Si tenemos la longitud real de las secuencias l(Mj, aj) para varios pares de valores {Mj, aj} se puede formular el problema l=     l(M1, a1) l(M2, a2) . . . l(MN, aN)      =       M1 1−|a1| 1 1−|a1| M2 1−|a2| 1 1−|a2| . . .. . . MN 1−|aN| 1 1−|aN|      k1 k2=Hk (2.9) la soluci´on de m´ınimos cuadrados para kviene dada por (ver [9] para m´as detalles sobre la Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 9 CAP´ ITULO 2. SECUENCIAS DE LAGUERRE soluci´on de m´ınimos cuadrados) k= (HHH)−1HHl=k1= 1,8402 k2= 20,0563 (2.10) que ha sido calculada utilizando longitudes de secuencias de Laguerre de ´ordenes desde 1 hasta 200 y posiciones del polo de 0 a 0.95. El modelo para la aproximaci´on de la longitud de una secuencia de Laguerre queda como ˆ l(M, a) = k1M+k2 1−|a|,with k1= 1,8402 and k2= 20,0563.(2.11) y la comparaci´on entre los valores reales de longitud y los estimados est´a representada en la Figura 2.6. La idea detr´as de este modelado de la longitud es poder hacer una estimaci´on de una posici´on del polo cercana a la ´optima cuando la longitud t´ıpica del canal lhes conocida y el orden del filtro Mes fijo, despejando ade la Ecuaci´on 2.11 |ˆa|Opt =1−k1M+k2 lh(2.12) que es la posici´on del polo que hace que las secuencias de Laguerre cubran una extensi´on temporal similar a la longitud de la respuesta impulsional del canal. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 10 CAP´ ITULO 3. FILTRO TRANSVERSAL temporal a una en el dominio de la frecuencia rij =E[xi(k, a)x∗ j(k, a)] = 1 2πZ+π −π Xi(ejω, a)X∗ j(ejω, a)dω (3.17) la representaci´on frecuencial de la salida i-´esima del filtro de Laguerre, xi(k, a) viene dada por Xi(ejω, a) = X(ejω)Li(ejω, a) = X(ejω)L0(ejω, a)[LA(ejω, a)]i(3.18) observando que L∗ A(ejω, a) = 1 LA(ejω,a) X∗ j(ejω, a) = X∗(ejω)L∗ 0(ejω, a)[L∗ A(ejω, a)]j=X∗(ejω)L∗ 0(ejω, a)[LA(ejω, a)]−j(3.19) los coeficientes pueden ser expresados como rij =1 2πZ+π −π Xi(ejω, a)X∗ j(ejω, a)dω =1 2πZ+π −π X(ejω)X∗(ejω)|L0(ejω, a)|2[LA(ejω, a)]i−jdω (3.20) y definiendo la densidad espectral de potencia de x(k) como φxx(ejω) = X(ejω)X∗(ejω), rij =1 2πZ+π −π φxx(ejω)|L0(ejω, a)|2[LA(ejω, a)]i−jdω (3.21) la dependencia en i−jlleva a una estructura Toeplitz de la matriz Rx. Procediendo de la misma manera para los coeficientes de correlaci´on cruzada pi=1 2πZ+π −π Y(ejω)X∗ i(ejω, a)dω =1 2πZ+π −π Y(ejω)X∗(ejω)L∗ 0(ejω, a)[LA(ejω, a)]−idω =1 2πZ+π −π H(ejω)X(ejω, a)X∗(ejω, a)L∗ 0(ejω, a)[LA(ejω, a)]−idω =1 2πZ+π −π φxx(ejω)H(ejω)L∗ 0(ejω, a)[LA(ejω, a)]−idω (3.22) sustituyendo las funciones de transferencia de los filtros de Laguerre L0(ejω) y LA(ejω) por su expresi´on rij =1 2πR+π −π Φxx(ejω)(1−a2) |1−aejω|2ejω−a 1−aejωj−i dω (3.23) pi=1 2πR+π −π H(ejω)Φxx(ejω)√1−a2 1−aejωejω−a 1−aejωi dω (3.24) 3.5 M´etodo de soluci´on de las ecuaciones normales Primero se calculan los coeficientes de correlaci´on para un polo ay un orden Mdados, teniendo en cuenta que al tener estructura Toeplitz la matriz Rx, solo se necesita calcular un vector rde Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 17 CAP´ ITULO 3. FILTRO TRANSVERSAL esta, es decir, se calculan (ver [11]) ri=1 2πR+π −π Φxx(ejω)(1−a2) |1−aejω|2ejω−a 1−aejωi dω, i = 0,1,···M(3.25) pi=1 2πR+π −π H(ejω)Φxx(ejω)√1−a2 1−aejωejω−a 1−aejωi dω, i = 0,1,···M(3.26) Una vez que se tienen los dos vectores calculados, se procede a la soluci´on del sistema de ecuaciones wMRx=pyx.(3.27) Este sistema puede ser resuelto por los m´etodos cl´asicos de inversi´on de matrices (eliminaci´on Gaussiana, ...) sin embargo al poseer la matriz Rxuna estructura Toeplitz se puede resolver el sistema de ecuaciones de manera eficiente por medio de un m´etodo recursivo explotando la estructura de los datos. Este m´etodo es el algoritmo de Levinson-Durbin (ver memoria adjunta en el anexo para explicaci´on), que para hallar la soluci´on de orden Mutiliza la soluci´on de orden M−1. El algoritmo modificado de Levinson-Durbin utilizado da como resultado los coeficientes ci de la expansi´on ortonormal de ˆyM(k) asumiendo un conjunto de secuencias ortonormales φi(k) (estas secuencias ortonormales son en realidad las secuencias de error de predicci´on hacia atr´as eb i(k) como se ve en la explicaci´on del algoritmo en los anexos) ˆyM= M X i=0 ciφi(k) (3.28) con ci=hy, φii n´otese que los coeficientes cino dependen del orden del filtro porque son los coeficientes de la expansi´on ortonormal de y(k). El error cuadr´atico medio (MSE) para cada orden Mes calculado como MSE =Jmin =E|eM|2=heM, eMi=h(y−ˆyM), eMi recordando que la se˜nal de error (debido a las ecuaciones normales) es ortogonal a todas las combinaciones lineales de los datos (es decir, ˆyM) MSE =Jmin =hy, eMi=σ2 y−hy, ˆyMi=σ2 y− M X i=0 cihy, φi(k)i=σ2 y− M X i=0 |ci|2. Normalizando el resultado respecto a la energ´ıa de y(k) para obtener el error normalizado NMSE = 1 − M X i=0 |ci|2 σ2 y que es el resultado que pretendiamos obtener desde un principio, el error cuadr´atico medio normalizado de la estimaci´on del sistema por medio de un filtro de Laguerre. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 18 4 Aproximaci´on de un canal UWB FIR idealizado 4.1 Introducci´on Para poder analizar el comportamiento de los filtros de Laguerre en el ´ambito de los canales UWB, empezaremos con un modelo de canal idealizado. Los canales UWB usados en este estudio est´an modelados por el est´andar IEEE 802.15.4a (ver [6]), modelo basado en un comportamiento clusterizado de los diferentes tiempos de llegada de los ecos y un PDP (power delay profile) exponencial. Los canales presentan una respuesta impulsional larga y para entornos sin l´ınea de visi´on (NLOS, non line of sight) no tiene por que haber un eco dominante. La respuesta impulsional m´as simple respondiendo a estas caracter´ısticas es un canal FIR consistente de dos PDPs exponenciales retardadas, por ejemplo h(k)=0.8ku(k)+0.8k−150u(k−150), k = 0,1,···200 (4.1) con u(k) la funci´on escal´on u(k) = 1 : k≥0 0 : k < 0 representada en la Figura 4.1. La raz´on de no usar todav´ıa el modelo estoc´astico de canales UWB es que para poder interpretar los resultados primero es mejor trabajar con un modelo determinista simplificado. 0 50 100 150 200 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 Samples (k) Amplitude h(k) Impulse response of the FIR system Figura 4.1: Respuesta impulsional del canal UWB FIR idealizado. 19 CAP´ ITULO 4. APROXIMACI´ ON DE UN CANAL UWB FIR IDEALIZADO 4.2 Error cuadr´atico medio (MSE) en la aproximaci´on En la Figura 4.2 se muestra el MSE normalizado (NMSE) para el canal FIR presentado en funci´on de la posici´on del polo para diferentes ´ordenes del filtro. Un NMSE de 0 dB corresponde con un error igual a la unidad, lo que significa que no hay aproximaci´on alguna (m´aximo error), por otro lado un NMSE de −∞ dB corresponde con un error nulo, lo que significa una aproximaci´on perfecta. La posici´on del polo var´ıa desde −1 a 1 como ya se explic´o en el Cap´ıtulo 2, destacando que a= 0 se corresponde con el caso FIR. Tabla 4.1: NMSE para un filtro de Laguerre de orden 60 con diferentes posiciones del polo. filtro posici´on del polo (a) NMSE (en dB) FIR transversal 0 −3 dB Laguerre 0.5−7.2 dB Laguerre 0.7−8.1 dB Laguerre 0.64 (posici´on ´optima) −8.2 dB −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 Normalized MSE(in dB) of the Laguerre transversal filter Pole position of the Laguerre filter (a) MSE (in dB) order 2 order 22 order 42 order 62 order 82 order 102 order 122 order 142 order 162 order 182 optimal pole position 142 122 10282 182 162 62 42 2 22 Figura 4.2: MSE normalizado de la aproximaci´on del canal FIR en funci´on de la posici´on del polo para diferentes ´ordenes del filtro (nota: a= 0 4 = filtro FIR ). Hay varias conclusiones interesantes que se pueden derivar de la figura, la primera de ellas es que para el caso FIR (a= 0) el NMSE est´a atascado en -3 dB hasta que el orden del filtro alcanza 150, lo cual es algo f´acil de entender intuitivamente puesto que volviendo a la Figura 4.1 se puede ver claramente que con un filtro FIR de orden menor que 150 s´olo se puede aproximar el primer PDP, que corresponde con la mitad de la energ´ıa, es decir 3 dB. Otra cosa interesante es que la posici´on ´optima del polo empieza en la constante de tiempo del sistema, en este caso 0.8, para aumentar hasta la unidad y entonces ir disminuyendo con el orden hasta cero cuando el orden del filtro es comparable con la longitud del canal como se puede ver en la Figura 4.4. Esto se debe a que cuando tenemos un order mucho m´as peque˜no que la longitud del canal se Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 20 CAP´ ITULO 4. APROXIMACI´ ON DE UN CANAL UWB FIR IDEALIZADO necesitan secuencias de m´as duraci´on para poder aproximar mejor (polo cercano a 1) y cuando el orden es comparable a la longitud, se utilizan polos m´as peque˜nos (polo cercano a cero) porque ofrecen una mejor resoluci´on temporal que genera una mejor aproximaci´on. 0 50 100 150 200 −20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 Filter order (M) MSE (in dB) NMSE dependence on filter order Optimal Pole position FIR Filter (a=0) a=0.3 a=0.5 a=0.7 MSE gain 0.3 0.5 0.7 Figura 4.3: MSE normalizado de la estimaci´on del canal FIR en funci´on del orden del filtro para diferentes posiciones del polo (nota: a= 0 4 = filtro FIR ). 0 50 100 150 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Filter order (M) Pole position Optimal pole position dependence on filter order Optimal pole position Figura 4.4: Variaci´on de la posici´on ´optima del polo en funci´on del orden del filtro. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 21 CAP´ ITULO 4. APROXIMACI´ ON DE UN CANAL UWB FIR IDEALIZADO Para ver de manera mas clara estos resultados, la informaci´on se reorganiza para producir la Figura 4.3 que representa el NMSE esta vez como funci´on del orden del filtro para algunas posiciones de polo concretas. En esta figura se puede ver como hay un intervalo en el cual los filtros de Laguerre producen un mejor resultado que los FIR hasta que el orden del filtro alcanza un valor comparable con la longitud del canal. Algunos resultados num´ericos se muestran en la tabla 4.1. 0 50 100 150 200 250 300 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Samples (k) Amplitude h(k) Approximation of the FIR test channel 0 50 100 150 200 250 300 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Samples (k) Amplitude h(k) Approximation of the FIR test channel Channel response Laguerre (a=0.5) approximation of order 60 Laguerre (a=0.7) approximation of order 60 Channel response FIR (a=0) approximation of order 60 Figura 4.5: Aproximaci´on del canal FIR con un filtro de Laguerre de orden 60. Un ejemplo de la aproximaci´on producida se muestra en la Figura 4.5, aqu´ı se puede apreciar como el filtro FIR solo puede aproximar las primeras 60 muestras del canal (se trata de un filtro de orden 60), mientras que el filtro de Laguerre puede aproximar m´as longitud del canal porque tiene una mayor extensi´on temporal. Tambi´en puede apreciarse un problema relacionado con los filtros de Laguerre debido a las discontinuidades o cambios abruptos en el canal, viendo como en estos puntos se generan oscilaciones (previas y posteriores) que no deber´ıan estar, similar al fen´omeno de Gibbs en el an´alisis de Fourier. Este efecto es causa del comportamiento paso bajo de los filtros de Laguerre (recu´erdese que se componen de un filtro paso bajo seguido de una cascada de filtros paso alto) que hace que no pueda generar las componentes de alta frecuencia que intr´ınsecamente poseen los cambios abruptos o discontinuidades. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 22 CAP´ ITULO 4. APROXIMACI´ ON DE UN CANAL UWB FIR IDEALIZADO Los canales UWB utilizados en este estudio son canales complejos debido a una fase compleja aleatoria que se le asigna a cada componente multicamino, como se ver´a en el siguiente Cap´ıtulo. Esto ocasiona que las partes real e imaginaria del canal posean un comportamiento oscilatorio. Para captar mejor este comportamiento se propone una peque˜na variaci´on al canal de prueba utilizado que consiste en asignarle un signo aleatorio lo que le da un comportamiento oscilatorio, como se muestra en la Figura 4.6. 0 50 100 150 200 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Samples (k) Amplitude h(k) Impulse response of the FIR system Figura 4.6: Impulse response of the FIR channel El MSE resultante se muestra en las Figuras 4.7 y 4.8, que muestran que los polos ´optimos siguen manteniendo un comportamiento similar solo que esta vez son negativos, para poder captar mejor el car´acter oscilatorio del canal. Las conclusiones que pueden tomarse de este an´alisis son que existe un intervalo de ´ordenes del filtro en el cual los filtros de Laguerre proporcionan un menor MSE que los filtros FIR, escogiendo correctamente el polo del filtro. Este intervalo viene delimitado por el orden del filtro comparable con la longitud de la respuesta impulsional del canal. La posici´on del polo cambia conforme aumentamos el orden del filtro, siendo un valor cercano a la unidad para ´ordenes peque˜nos (para tener secuencias de m´as duraci´on y poder aproximar mejor respuestas impulsionales largas) y un valor cercano a cero para ´ordenes comparables con la longitud del canal (donde el filtro FIR es la mejor opci´on porque posee una mejor resoluci´on temporal). Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 23 CAP´ ITULO 4. APROXIMACI´ ON DE UN CANAL UWB FIR IDEALIZADO −1 −0.5 0 0.5 1 −20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 Normalized MSE(in dB) of the Laguerre transversal filter Pole position of the Laguerre filter (a) MSE (in dB) order 2 order 22 order 42 order 62 order 82 order 102 order 122 order 142 order 162 order 182 optimal pole position 142 122 102 82 62 42 22 2 162 182 Figura 4.7: MSE normalizado de la aproximaci´on del canal FIR en funci´on de la posici´on del polo para diferentes ´ordenes del filtro (nota: a= 0 4 = filtro FIR ). 0 50 100 150 200 −20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 Filter order (M) MSE (in dB) NMSE dependence on filter order Optimal Pole position FIR Filter (a=0) a=−0.3 a=−0.5 a=−0.7 MSE gain −0.3 −0.7 −0.5 Figura 4.8: MSE normalizado de la estimaci´on del canal FIR en funci´on del orden del filtro para diferentes posiciones del polo (nota: a= 0 4 = filtro FIR ). Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 24 5 Canales UWB 5.1 Introducci´on Las comunicaciones de banda ultra ancha (UWB) son un tema muy actual tanto en el mundo acad´emico como empresarial, debido al uso de anchos de banda de transmisi´on muy amplios permitiendo algunas capacidades deseables como posicionamiento y medici´on precisos, alta capacidad de acceso m´ultiple, comunicaciones encubiertas, . . . El IEEE estableci´o un grupo de estandarizaci´on, el IEEE 802.15.4a (rectificaci´on sobre el IEEE 802.15.4) que describe la capa f´ısica y de acceso al medio para comunicaciones UWB. El modelo de la capa f´ısica corresponde con el modelo utilizado en este estudio. La mayor´ıa de los modelos de canal para comunicaciones inal´ambricas se basan en la propagaci´on de una se˜nal a trav´es de un canal consistente de varios caminos (o ecos) tambi´en conocido como propagaci´on multicamino. Cada componente multicamino tiene su amplitud y su retardo que son caracterizados para describir el modelo. Los sistemas UWB cubren un ancho de banda de casi 10 GHz, lo que produce nuevos efectos. Uno puede ser que solo unas pocas componentes multicamino se solapen como resultado de la mayor resoluci´on del sistema, lo que ocasiona que las estad´ısticas no sean Rayleigh (como en la mayor´ıa de modelos) y que halla intervalos de muestreo que esten vac´ıos (no contienen energ´ıa recibida). 5.2 UWB IEEE 802.15.4a Standard model El modelo de canal propuesto por el grupo de estandarizaci´on (ver [6]) cubre el rango de 2 a 10 GHz para varios entornos (indoor residential, indoor office, industrial, outdoor y open outdoor). El documento proporciona una implementaci´on del modelo en MATLABR . El modelo est´a basado en un modelo Saleh-Valenzuela (ver [8]). En particular, las componentes multicamino son modeladas en cl´usteres en lugar de un continuo como en los canales de banda estrecha. Esto es resultado del corto intervalo de muestreo. Las componentes multicamino son agrupadas en dos categor´ıas diferentes: como cluster y como eco dentro de un cluster. Adem´as el ”power delay profile” es modelado como un decaimiento exponencial dentro de los cl´usteres y para los mismos cl´usteres . 5.3 Estimaci´on del canal En este estudio se utilizar´a el entorno de ´area residencial sin l´ınea de visi´on (residential NLOS) del modelo de canales UWB debido a que cumple con el comportamiento esperado de los canales UWB que inspir´o el canal de prueba idealizado del Cap´ıtulo 4. La estimaci´on de canal se lleva a cabo usando el m´etodo descrito en el Cap´ıtulo 3. Algunas realizaciones del modelo estoc´astico pueden ser vistas en la Figura 5.1. 25 CAP´ ITULO 5. CANALES UWB 0 500 1000 1500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Samples (k) Modulus |h(k)| Residential NLOS UWB model realizations 0 500 1000 1500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Samples (k) Modulus |h(k)| 0 1000 2000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Samples (k) Modulus |h(k)| 0 500 1000 1500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Samples (k) Modulus |h(k)| Figura 5.1: Realizaciones del modelo estoc´astico de canales UWB. Si nos centramos primero en una realizaci´on del modelo, como la mostrada en la Figura 5.2, podemos calcular el MSE resultante de estimar este sistema con filtros de Laguerre de diferentes ordenes y posiciones del polo. En la Figura 5.2, se puede ver que la longitud efectiva del canal es de 1000 muestras mas o menos (dato que permitir´a obtener una estimaci´on de una posici´on ´optima del polo como se vi´o en el Cap´ıtulo 2), luego un filtro de orden 200 o 300 deber´ıa ser suficiente para poder estimar correctamente gran parte de su respuesta impulsional. En la Figura 5.3 se muestra el NMSE para esta respuesta impulsional para filtros con ´ordenes desde 50 hasta 300 en funci´on de la posici´on del polo a. Puede apreciarse como los filtros de Laguerre con una elecci´on apropiada de la posici´on del polo pueden proporcionar un menor MSE que los filtros FIR (a= 0) para esta realizaci´on del canal. Tambi´en puede verse que las posiciones ´optimas del polo son negativas, esto ocurre debido a que el modelo estoc´astico proporciona canales complejos con una fase compleja aleatoria para cada componente multicamino, lo cual hace que las partes real e imaginaria del canal posean un comportamiento oscilatorio y por ello un polo negativo funciona mejor para este tipo de canales puesto que el t´ermino (−1)kque introduce genera un comportamiento oscilatorio, como se puede ver en la Figura 5.4. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 26 CAP´ ITULO 5. CANALES UWB Tabla 5.4: ∆MSE o ganancia MSE en media, obtenida estimando canales UWB con filtros de ´ordenes y posiciones del polo diferentes. pole position (a) Order 100 Order 200 Order 300 -0.5 2.5 dB 4.6 dB 5 dB -0.7 3.2 dB 4.0 dB 3 dB Estimated 3.0 dB 4.7 dB 4.9 dB Optimal 3.2 dB 4.7 dB 5 dB −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 MSE (in dB) P(MSE) Probability Density Function for the MSE with different Laguerre filters FIR filter (a=0) Laguerre filter with a=−0.5 Laguerre filter with a=−0.7 Laguerre filter with a=Optimal Pole Laguerre filter with a=Estimated Pole Laguerre Filters FIR filter Filter Order = 100 Figura 5.10: Funci´on de densidad de probabilidad del MSE normalizado para un filtro de Laguerre de orden 100 con diferentes posiciones del polo. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 33 CAP´ ITULO 5. CANALES UWB −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Probability Density Function for the MSE with different Laguerre filters MSE (in dB) P(MSE) FIR filter (a=0) Laguerre filter with a=−0.5 Laguerre filter with a=−0.7 Laguerre filter with a=Optimal Pole Laguerre filter with a=Estimated Pole Filter Order = 200 Laguerre Filters FIR filter Figura 5.11: Funci´on de densidad de probabilidad del MSE normalizado para un filtro de Laguerre de orden 200 con diferentes posiciones del polo. −20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Probability Density Function for the MSE with different Laguerre filters MSE (in dB) P(MSE) FIR filter (a=0) Laguerre filter with a=−0.5 Laguerre filter with a=−0.7 Laguerre filter with a=Optimal Pole Laguerre filter with a=Estimated Pole Filter Order = 300 FIR filter Laguerre Filters Figura 5.12: Funci´on de densidad de probabilidad del MSE normalizado para un filtro de Laguerre de orden 300 con diferentes posiciones del polo. Si el orden necesario para cumplir un MSE espec´ıfico (-3 dB, -6 dB y -10 dB) se calcula, se obtienen los resultados mostrados en la Figura 5.13 y la Tabla 5.5. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 34 CAP´ ITULO 5. CANALES UWB 0 100 200 300 400 500 600 700 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 Probability Density Function for the filter order needed to achieve a −3 dB MSE. Filter order (M) P(MSE) FIR filter (a=0) Laguerre filter with a=−0.3 Laguerre filter with a=−0.5 Laguerre filter with a=−0.7 Laguerre Filters FIR filter MSE = −3 dB (a) NMSE = -3dB 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 Probability Density Function for the filter order needed to achieve a −6 dB MSE. Filter order (M) P(MSE) FIR filter (a=0) Laguerre filter with a=−0.3 Laguerre filter with a=−0.5 Laguerre filter with a=−0.7 Laguerre Filters FIR filter MSE = −6 dB (b) NMSE = -6dB 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 Probability Density Function for the filter order needed to achieve a −10 dB MSE. Filter order (M) P(MSE) FIR filter (a=0) Laguerre filter with a=−0.3 Laguerre filter with a=−0.5 Laguerre filter with a=−0.7 MSE = −10 dB Laguerre Filters FIR filter (c) NMSE = -10dB Figura 5.13: Orden necesario por los diferentes filtros para obtener un NMSE espec´ıfico(-3dB, -6dB and -10 dB). Tabla 5.5: Estad´ısticas del orden necesario por los diferentes filtros para obtener un NMSE espec´ıfico. -3dB NMSE -6dB NMSE -10dB NMSE filtro posici´on del polo (a) Media Std Media Std Media Std FIR transversal 0 197 106 296 118 425 124 Laguerre −0.3 118 62 187 73 285 83 Laguerre −0.5 88 44 150 58 260 89 Laguerre −0.7 69 33 148 66 327 116 Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 35 6 M´etodos adaptativos 6.1 Introducci´on En los cap´ıtulos anteriores, se resolvi´o el problema de estimaci´on de manera te´orica conociendo de manera exacta las estad´ısticas de segundo orden de las se˜nales involucradas en el sistema. En la pr´actica esta situaci´on no es la real y el problema se resuelve ajustando los coeficientes del filtro por medio de m´etodos adaptativos usando una secuencia de entrada conocida (secuencia de entrenamiento). Los m´etodos adaptativos constituyen una soluci´on iterativa al problema de minizaci´on de la funcion de coste o del error cuadr´atico medio. En este cap´ıtulo el ´ındice de tiempo discreto kse cambiar´a por i, puesto que ahora el tiempo discreto es interpretado como iteraci´on. ˆyM(i) = M X j=0 wM,j(i)xj(i) = wixM(i) (6.1) Figura 6.1: Modelo usado para la adaptaci´on. El modelo de adaptaci´on usado es el mostrado en la Figura 6.1. Conceptos comunes en los m´etodos adaptativos son la convergencia (E[eM(i)] −−−−→ i→+∞Jmin,con Jmin el MSE te´orico/asint´otico, que coincide con el calculado en los cap´ıtulos previos) y velocidad de convergencia (como de r´apido se alcanza este valor asint´otico o como de larga ha de ser la secuencia de entrenamiento). El m´etodo escogido para esta secci´on es el algoritmo RLS (del ingl´es, Recursive-Least-Squares algorithm), que es uno de los algoritmos adaptativos mas usados, puesto que presenta una r´apida convergencia y hay muchas implementaciones eficientes (en t´erminos de coste computacional), como los algoritmos RLS lattice (ver [4], [5]). La descripci´on y desarrollo precisos de este m´etodo se puede encontrar en cualquier buen libro sobre m´etodos adaptativos, como [9] y [2]. 6.2 Algoritmo RLS El algoritmo RLS puede verse de dos maneras diferentes. La primera es como una soluci´on del m´etodo de steepest descent con un gradiente estoc´astico que emplea una aproximaci´on m´as sofisticada para la matriz de autocorrelaci´on Rx, dada por una media ponderada exponencial- 37 CAP´ ITULO 6. M´ ETODOS ADAPTATIVOS mente ˆ Rx=1 i+ 1 i X j=0 λi−jxM(i)xH M(i) en lugar de una aproximaci´on instant´anea como en el m´etodo de Least Mean Squares (LMS). Sin embargo, el algoritmo RLS puede verse tambi´en como la soluci´on exacta de un problema de m´ınimos cuadrados (LS del ingl´es Least Squares) bien definido (en concreto un problema de m´ınimos cuadrados ponderados regularizado), dado por min w λi+1(w−¯w)∗Π(w−¯w) + i X j=0 λi−j|y(j)−xM(j)w|2 (6.2) que el algoritmo RLS resuelve de manera iterativa. La iteraci´on RLS viene dada por eM(i) = y(i)−xM(i)wi−1,(6.3) γi=1 1 + 1 λxM(i)Pi−1xH M(i),(6.4) gi=1 λPi−1xH M(i)γi,(6.5) wi=wi−1+gieM(i),(6.6) Pi=1 λPi−1−gigH i γi .(6.7) Para evaluar las prestaciones del algoritmo RLS se utiliza la curva de aprendizaje promediada de varios experimentos (ensemble-average learning curve). La curva de aprendizaje de un experimento viene dada por el valor de la funci´on de coste (J) en funci´on de la iteraci´on (i) J(i) = |eM(i)|2.(6.8) Esta funci´on de coste es calculada para un n´umero de iteraciones, 0 ≤i≤N, suficientemente grande para garantizar que se puede observar convergencia, calculando la se˜nal de error y la correspondiente curva de error cuadr´atico. La funci´on de coste resultado del primer experimento se denota por nJ(1)(i)o(6.9) con el super´ındice (1) usado para indicar que es el primer experimento. El experimento es repetido varias veces con las mismas condiciones iniciales obteniendo Lfunciones de coste. La curva de aprendizaje promedio en el intervalo 0 ≤i≤Nest´a definida como la media muestral de los Lexperimentos: ˆ J(i),1 L L X j=1 J(j)(i),0≤i≤N. (6.10) Para L= 100 experimentos en este estudio. 6.2.1 Estimaci´on de canales UWB Los resultados te´oricos hallados en el Cap´ıtulo 5 pueden ser comprobados y reproducidos por medio del algoritmo RLS sin conocimiento previo alguno sobre el canal (o las estad´ısticas), y observar como funciona la convergencia y la longitud de la secuencia de entrenamiento sabiendo que el valor asint´ontico debe coincidir con el valor te´orico hallado anteriormente. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 38 CAP´ ITULO 6. M´ ETODOS ADAPTATIVOS 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Samples (k) Modulus |h(k)| Residential NLOS UWB channel realization Figura 6.2: Realizaci´on del modelo estoc´astico de canales UWB. El canal a probar es la realizaci´on del modelo de canales UWB utilizado anteriormente, mostrado en la Figura 6.2. Como se vi´o en el Cap´ıtulo 5 en la Figura 5.3, para un filtro de orden 100, una posici´on del polo de -0.7 o -0.5 son una buena elecci´on. Las curvas de aprendizaje promedio para a=−0.5 ya=−0.7 son mostradas en la Figura 6.3. Como se puede ver el comportamiento asint´otico del algoritmo adaptativo coincide con el te´orico hallado conociendo exactamente las estad´ısticas de segundo orden del sistema y tambi´en se puede observar una dependencia del tiempo de convergencia con la posici´on del polo. Esta convergencia se debe a que, viendo las Figuras 6.4, para una posici´on de polo mayor (a=−0.7) se consigue estimar una mayor parte de la respuesta impulsional debido a la mayor longitud de las secuencias lo que hace necesario un mayor tiempo de convergencia. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 39 CAP´ ITULO 6. M´ ETODOS ADAPTATIVOS 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 −10 −5 0 5 10 15 20 Iteration (i) MSE (in dB) Learning Curves for RLS algorithms RLS FIR Order 100 RLS Laguerre Order 100 Pole −0.5 Theoretical MSE value for FIR filter Theoretical MSE value for Laguerre filter −2.4 dB −6.0 dB FIR filter Convergence time ~ 600 iterations Laguerre filter Convergence time ~ 800 iterations (a) a=−0.5 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 −10 −5 0 5 10 15 20 Iteration (i) MSE (in dB) Learning Curves for RLS algorithms RLS FIR Order 100 RLS Laguerre Order 100 Pole −0.7 Theoretical MSE value for FIR filter Theoretical MSE value for Laguerre filter −2.4 dB −7.2 dB FIR filter Convergence time ~ 600 iterations Laguerre filter Convergence time ~ 1100 iterations (b) a=−0.7 Figura 6.3: Curvas de aprendizaje para el algoritmo RLS para filtros de Laguerre y FIR. La respuesta impulsioinal estimada resultante en el estado estacionario del filtro (cuando la convergencia o comportamiento asint´otico es alcanzado) es mostrada en la Figura 6.4, que muestra la motivaci´on principal de la estimaci´on de canales con filtros de Laguerre en comparaci´on con los FIR, pudiendo estos primeros aproximar una mayor parte del canal sin requerir un orden excesivamente grande que los filtros FIR no pueden. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 40 CAP´ ITULO 6. M´ ETODOS ADAPTATIVOS 0 500 1000 1500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Samples (k) Modulus |h(k)| Estimation of an UWB channel by means of RLS algorithm. Channel response estimate by FIR filter (a) a= 0.0 (FIR filter) 0 500 1000 1500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Samples (k) Modulus |h(k)| Estimation of an UWB channel by means of RLS algorithm. Channel response estimate by Laguerre filter a=−0.5 (b) a=−0.5 0 500 1000 1500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Samples (k) Modulus |h(k)| Estimation of an UWB channel by means of RLS algorithm. Channel response estimate by Laguerre filter a=−0.7 (c) a=−0.7 Figura 6.4: Respuesta impulsional estimada por filtros de Laguerre (a=−0.5 y −0.7) y un filtro FIR de orden 100 con un algor´ıtmo RLS en estado estacionario. Proyecto fin de carrera - Javier Jalle Ibarra 41