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1 TÍTULO: FABRICACIÓN PARAMÉTRICA DE ENGRANAJES NO CIRCULARES AUTOR : ALFREDO RAMÓN RAMÓN DIRECTOR : JOSE LUIS HUERTAS TALÓN MÁSTER : SISTEMAS MECÁNICOS PROGRAMA DE POSGRADO : INGENIERÍA TÉCNICA MECÁNICA CURSO ACADÉMICO: 2010 / 11 FECHA: 21 / 11 / 11 2 FABRICACIÓN PARAMÉTRICA DE ENGRANAJES NO CIRCULARES RESUMEN El presente trabajo se centra en el diseño, en los posibles nuevos modos de fabricación y en las aplicaciones para las que son viables el uso de los engranajes no circulares. De la revisión del estado del arte se concluye que existen nuevas aplicaciones para las ruedas no circulares que surgen tanto del desarrollo de la teoría del diseño del perfil del diente como de la aplicación de nuevos procesos de manufactura y adaptación de antiguos procesos que permiten obtener el perfil deseado con precisión. El desarrollo de herramientas de cómputo más potentes permite superar la gran cantidad de cálculos necesarios para su diseño, mientras que el desarrollo del CNC permite su fabricación, pudiendo aplicarse a mecanismos en los que hasta de ahora no se usaban y en los que serían y serán de gran utilidad. 3 Índice 1.INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………4 2.APLICACIONES ENGRANAJES NO CIRCULARES……………………….....4 3.MÉTODOS DE FABRICACIÓN………………………………………………….10 4.DISEÑO PARAMÉTRICO DEL ENGRANAJE…………………………………16 4.1.RADIO DE CURVATURA EN UN PUNTO DE LA ELIPSE…………16 4.2.DISTRIBUCIÓN DE LOS DIENTES DE LA ELIPSE……………………18 4.3.LONGITUD DE LA ELIPSE BASE Y LONGITUD DE ARCO………….18 4.4.FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO DE LA TRAYECTORIA DE LA FRESA…………………………………………………………………21 4.5.REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS MATEMÁTICOS……………….23 4.6.DISEÑO DEL PERFIL DE EVOLVENTE PARA CADA DIENTE……...23 5.FABRICACIÓN……………………………………………………………………25 6.CONCLUSIONES…………………………………………………………………26 7.BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………27 4 1.INTRODUCCIÓN [1] De sobras es conocido que en multitud de aplicaciones es de interés obtener relaciones de transmisión variables, como por ejemplo en mecanismos de retorno rápido, en aplicaciones en las que se desea una reducción de las fluctuaciones del par motor, en el equilibrado de mecanismos de diversos eslabones... Estas relaciones pueden obtenerse mediante distintos mecanismos, entre los que destacan los engranajes no circulares. Éstos permiten la obtención de cualquier ley de desplazamiento o velocidad angular entre el eje conducido y el eje conductor siempre que se cumplan las condiciones adecuadas de continuidad, de periodicidad y de curvatura exigida a las curvas primitivas de las ruedas. La posibilidad de elegir libremente las dos curvas primitivas, como ocurre en los sistemas leva-palpador, permite la definición continua de la ley de transmisión, sin que ésta esté restringida al paso por unos pocos puntos de precisión, como sucede con los mecanismos de barras. 2.APLICACIONES ENGRANAJES NO CIRCULARES [2] Existe una gran variedad de formas y tamaños de engranajes, desde los más pequeños usados en relojería e instrumentos científicos (se alcanza el módulo 0,05) a los de grandes dimensiones, empleados, por ejemplo, en las reducciones de velocidad de las turbinas de vapor de los buques, en el accionamiento de los hornos y molinos de las fábricas de cemento, etc. El campo de aplicación de los engranajes es prácticamente ilimitado. Los encontramos en las centrales de producción de energía eléctrica, hidroeléctrica y en los elementos de transporte terrestre: locomotoras, automotores, camiones, automóviles, transporte marítimo, en buques de todas clases, aviones, en la industria siderúrgica: laminadores, transportadores, minas y astilleros, fábricas de cemento, grúas, montacargas, máquinas-herramientas, maquinaria textil, de alimentación, de vestir y calzar, industria química y farmacéutica, hasta en los más simples movimientos de accionamiento manual. Toda esta gran variedad de aplicaciones del engranaje puede decirse que tiene por única finalidad la transmisión de la rotación o giro de un eje a otro distinto, reduciendo o aumentando la velocidad del primero. [3] La escasa aplicación hasta hace pocos años de los engranajes no circulares se debe tanto a que los diseñadores no habían reconocido su potencial de utilización como elementos en un mecanismo, como a la escasez de fabricantes con capacidad de cortar los dientes dentro 5 del proceso de manufactura de los engranajes. El poco éxito en su utilización puede atribuirse a la gran cantidad de cálculos para un diseño exacto y una manufactura apropiada. Los ejemplos típicos de aplicaciones de engranajes no circulares son: 1) como mecanismo para la generación de una función y 2) como etapa de entrada de un mecanismo más complejo. En el presente trabajo se resaltan algunos de los muchos ejemplos de utilización de este tipo de engranajes como elementos indispensables dentro de mecanismos comunes y no tan comunes: -Como sustitutos de levas: [1] Los engranajes no circulares presentan la ventaja frente a las levas, de ser directamente mecanismos desmodrómicos (siempre en contacto a lo largo de todo su movimiento) y presentar velocidades de deslizamiento limitadas por el tamaño de los dientes. [4] Además en los engranajes no circulares, el eslabón conducido puede girar continuamente sin cambios de sentido cuando la rueda conductora gira en un mismo sentido, lo que es otro punto a favor en comparación con los mecanismos de levas. -Integrados en mecanismos articulados: [3] [5] Aunque se utilizan mecanismos de eslabonamientos para las aplicaciones que requieran movimiento irregular, los engranajes no circulares presentan la ventaja de tener una transmisión precisa, definida de manera continua, ser de tamaño compacto y pueden ser balanceados fácilmente. Ejemplos: Optimización de cinco eslabones de barras con engranajes no circulares para describir una trayectoria exacta de movimiento [6] D. Mundo, G. Gatti, D.B. Dooner : 6 Fig.2.1. CAD assembly model of the optimal GFBM with non-circular gears [6]. Utilización de engranajes no circulares para balancear mecanismos de cinco eslabones fig.2.2 en los que reemplazan los engranajes circulares por engranajes no circulares [7] Y.A. Yao, H. S. Yan: Fig.2.2. Mecanismo de 5 barras [7]. -Para caudalímetros: También son utilizados para medir el caudal de descarga de un fluido en proceso: 7 Fig.2.3. Caudalímetro [8]. -Para equipamiento médico: A día de hoy ya se ha experimentado con un par de engranajes no circulares, los cuales impulsan un mecanismo de corredera-manivela diseñado para obtener una ley de movimiento específico. La aplicación propuesta es generar un flujo sanguíneo pulsátil durante el by-pass cardio-pulmonar para la cirugía cardíaca [9] Erika Ottaviano, Domenico Mundo, Guido A. Danieli, Marco Ceccarelli. La ley del movimiento prescrito se puede obtener mediante una bomba volumétrica y puede ser utilizada para modular el flujo de sangre en las máquinas de circulación externa, evitando de este modo la utilización de complejos sistemas de control. Fig.2.4. Esquema representativo del mecanismo [9]. 8 -Para la dirección de automóviles: Existen trabajos donde se propone la utilización de engranajes no circulares en el mecanismo de la dirección de los automóviles. Emura y Arakawa [10] analizan un mecanismo que incluye unos engranajes elípticos que controlan cada una de las llantas; Dooner [11] propone un mecanismo de ocho eslabones como alternativa. Los engranajes no circulares se utilizan para regular los desplazamientos relativos de dos eslabones extremos del mecanismo que soportan las llantas. En la figura 2.5 se presenta el mecanismo propuesto por Dooner: Fig.2.5. Aplicación en la dirección de un automóvil [11]. Actualmente, varias empresas automovilísticas ya incluyen en los mecanismos de dirección de sus vehículos (cremallera y piñón), engranajes no circulares, con el objetivo de diferenciarse tanto en la maniobrabilidad del volante como en ergonomía de conducción. La diferencia con las direcciones tradicionales, radica en que esta relación variable de la geometría de la cremallera, permite optimizar el sistema de dirección haciéndolo más suave y confortable durante la conducción en línea recta y más sensitivo en los giros. Fig.2.6. Cremallera y piñón con relación variable. 9 Las distintas configuraciones de relación variable entre piñón y cremallera, hacen también este mecanismo interesante para aplicaciones aeroespaciales y aeronáuticas, tales como el desplazamiento de embarcaciones dentro de los astilleros o plantas de producción, el control sobre los grandes elevadores de despegue de las naves espaciales y/o su sistema de engranajes para el aterrizaje… -Como elementos para reducir las fluctuaciones de velocidad y de par motor: Dooner [12] realiza el estudio de los engranajes no circulares como elementos que permiten reducir las fluctuaciones de velocidad angular debido a las fluctuaciones del par resistente. Las fluctuaciones del par resistente y las fluctuaciones de par debido a los engranajes no circulares se suman para reducir la fluctuación total resultante. En la figura 2.6 se presenta el montaje para un mecanismo que requiere ser balanceado: Fig.2.7. Mecanismo balanceador con engranajes no circulares [12]. H. F. Quintero, C. A. Romero, L. V. Vanegas Useche [13] y M. Ogura [14] estudian el balanceo de un motor de combustión interna mediante engranajes excéntricos. También podría ser interesante instalar algún engranaje no circular compensado con algún disco balanceador que transmitiera el giro al cigüeñal de los automóviles. -Para maquinaria agrícola: L. S Guo, W. J. Zhang [15]. -Para bombas de caudal variable: Los engranajes de relación variable harían que en cada una de sus posiciones de giro los engranajes expulsaran una determinada cantidad de volumen de fluido al exterior de la bomba. 16 4.DISEÑO PARAMÉTRICO DEL ENGRANAJE A continuación se expone el desarrollo matemático empleado en el diseño paramétrico de engranajes elípticos de dentado recto, con el que se fabricará una pareja de engranajes de este tipo idénticos uno del otro, con las posibilidades de hacer esto mediante técnicas de electroerosión o bien por mecanizado con “bailarina” en máquinas de control numérico que es como en realidad se va a realizar. 4.1.RADIO DE CURVATURA EN UN PUNTO DE LA ELIPSE La ecuación de la elipse, con centro en el origen y conocidos sus dos semiejes es: 1 2 2 2 2=+ b y a x (4.1.1) El radio de curvatura de una curva plana es: 2 2 2 3 2 d d d d 1 x y x y              + = ρ (4.1.2) Derivando respecto de x la expresión de la ecuación de la elipse: y x a b y b yy a x b yy a x2 2 '0 2' 2 0 2'2 2 2−= ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + (4.1.3) Derivando nuevamente        +−=                        −− −=        − −= 32 22 1 2 2 2 2 2 2 2 2' 2 2 '' ya xb y a b y y x a b xy a b y xyy a b y      +      + −=      +      + − =        +        + − =        +        +− =        +−                  −+ =222222 2 3 2424 2222 34 2 2 3 2424 361 32 2222 2 2 2 3 24 2424 32 22 1 2 2 2 2 4 4 1 32 22 1 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 xbyaba xbya xbya ya b xbya ya ya xbya a b ya xbya ya xb y a b y x a b ya xb y a b y x a b ρ 17 Como 222222 1 2 2 2 2bayaxb b y a x=+⇒=+ 44 2 3 2424 b a xbya      + −= ρ (4.1.4) Ejemplo 1 Elipse a=120, b=50, en el punto x=96, y=30, sustituyendo en la ecuación del radio de curvatura de la elipse (4.1.4): ( ) 93.1274065= ⋅      −⋅+⋅ =4 50 4 120 2 3 2 96 4 50 2 30 4 120 ρ Los radios de curvatura máximo y mínimo se obtienen en el extremo del semieje b y del a de la figura, respectivamente. 20.8333333=      −+ =4 50 4 120 2 3 2 96 4 50 2 0 4 120 ρ 88 4 50 4 120 2 3 2 0 4 50 2 50 4 120 2=      + = ρ Fig.4.1.1. Radios de curvatura en un punto cualquiera y en el semieje mayor de la elipse. 18 4.2.DISTRIBUCIÓN DE LOS DIENTES DE LA ELIPSE Se considera que en el punto de la intersección del eje de simetría del diente con la elipse, el radio constructivo del diente es el radio de curvatura de la elipse correspondiente (para generar el diente, es la base). Es decir, la circunferencia base del diente concreto en esa posición tiene un radio igual al de curvatura de la elipse en el punto de intersección de la elipse que consideraremos base con el eje de simetría del diente. Fig.4.2.1. Circunferencia base de un diente concreto. En primer lugar se obtiene la elipse primitiva distribuyendo el número de dientes alrededor de su perímetro. Si el engranaje tiene z dientes, con un paso circunferencial p, que es el doble del espesor del diente (dicho espesor debe ser el mismo para todos los dientes, pues en otro caso no encajarían durante el engrane todos los huecos con todos los dientes, el acabado final dará un grosor de diente menor y un hueco mayor para la tolerancia de engrane según la calidad del engranaje) medido en la elipse primitiva, como el paso es π.m, entonces el perímetro es π.m.z, que es la longitud de la elipse primitiva. 4.3.LONGITUD DE LA ELIPSE BASE Y LONGITUD DE ARCO La longitud de la elipse base se obtiene evaluando la integral: ∫ += a yxl 0 22 dd4 (4.3.1) De y y x a b yd 2 2 d−= (4.3.2) , con lo que x ya xb l a d14 024 24 ∫ += De la ecuación de la elipse, ( ) 22 2 2 2 2 1 22 1 2 2 2 2xa a b a x by b y a x−=−=⇒=+         19 Sustituyendo arriba: x xa xbxaa a x xaa xb x xa a b a xb l aaa d 4 d 22 14d 22 2 2 14 022 22224 02 22 04 24 ∫∫∫ − +− =      − +=      − += Teniendo en cuenta que la excentricidad de la elipse es: 2222 2 2 2 22 2 aeba a c a ba e=−⇒= − = Se observa que 10 < < e Con lo que: x xa xea x xa xaea a l aa d4d 4 022 222 022 2224 ∫∫ − − = − − = Realizando el cambio de variable    =→= =→= ⇒=⇒=2 00 cosθdsin πθ θ θθ ax x daxax θθθθθθ θ θ ππ dsin14dsin14dcos sin sin 4 2 0 2 2 0 22 0222 2222 ∫∫∫ −=−= − − =kaeaa aa aea l a, con 2 ek = Que es una integral elíptica de segunda especie, la cual se puede evaluar mediante el comando de MATLAB (Ver Anexos): [P S]=ellipke(k ); en P está la integral de primera especie y en S la de segunda especie. También se puede utilizar el desarrollo en serie de Taylor: ( ) ( ) ( )        − −        − −       ⋅⋅ ⋅⋅ −       ⋅ ⋅ −       −= ... 12!!2 !!12 ... 5642 531 342 31 2 1 1 2 2 2 6 2 4 2 2 2 n x n nxx xxE n π El matemático Ramanujan también ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ahora se debe proceder a la inversa, conocido el módulo y el número de dientes del engranaje, así como la excentricidad requerida, determinar los semiejes de la elipse, pues así también se puede conocer su longitud. Ejemplo, si se desea construir un engranaje de módulo m=4, número de dientes z=35 y excentricidad 0,85. La longitud de la elipse primitiva debe ser 822972,439354 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = π π zml . Eligiendo un punto como inicio de los dientes, por ejemplo (0, b), se pueden marcar el punto de intersección del eje de simetría del diente con la elipse primitiva llevando el paso circunferencial uno a continuación de otro sobre la elipse primitiva. 20 Otro planteamiento, no correcto, es que el espesor cordal debe ser el mismo, ya que es ancho del hueco para que encaje un diente en otro. En el caso de un engranaje circular, tampoco habría coincidencia al ser diferente el diámetro primitivo. Pero no es correcto pensar así, pues lo que es igual en una pareja de engranajes circulares es el paso circunferencial, que es π.m, si los dos diámetros son iguales (igual número de dientes) entonces si es igual el espesor cordal, pero al cambiar el diámetro con el número de dientes no coincidirán los espesores cordales. La longitud de arco es: x xa xea l x x d 2 122 222 ∫ − − =∆ (4.3.2) El punto x1 es facilitado para iniciar el recorrido y se despejaría x2. Tras ello, entraría x1=x2 y así de forma sucesiva. Como quiera que la longitud de arco desemboca en el cálculo de integrales elípticas, sería posible utilizar una representación paramétrica de la elipse: ( ) 2 2 1 1 u u aux + − = ( ) 2 1 2 u u buy + = Que si 10 ≤ ≤ u se tiene representado el primer cuadrante de la elipse. Fig.4.3.1. Representación del primer cuadrante de la elipse. Las derivadas son: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 12 1 2212 d d u u b u uuu b u y + − = + −+ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 1 4 1 1212 d d u u a u uuuu a u x + − = + −−+− = Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades u u a b x y 2 1 d d 2 − −= Para la derivada segunda 21 2 2 2 2 2 2 2       − = dx dy dx xd dx dy dx yd dx dx dx yd c cccc c c La longitud de arco ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ∫∫ −+ + =         + − +         + − =∆ 2 1 2 1 d12 1 2 d 1 12 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u u u u uubau u u u u b u u al 2222 2 2 2 22 2 aeba a c a ba e=−⇒= − = ( ) ( ) ( ) 422222242222 12/424 ubbauububbau ++−=−++ Otra representación paramétrica: ( ) ϕϕ cosax = ( ) ϕϕ sinby = Las derivadas son: ϕ cos d db u y= ϕ sin d da u x−= Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades ϕ tan 1 d d a b x y−= La longitud de arco es: ∫ +=∆ 2 1 dcossin 2222 ϕ ϕ ϕϕϕ bal 2222 2 2 2 22 2 aeba a c a ba e=−⇒= − = ( ) ( ) ( ) ϕϕϕϕϕϕϕ 2222222222222222222 cos1coscoscoscos1cossin eaaeaaabbaba −=−=+−=+−=+ ( ) ∫ −=∆ 2 1 dcos1 22 ϕ ϕ ϕϕ eal 4.4.FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO DE LA TRAYECTORIA DE LA FRESA En el entorno de un punto A(x 1 , y 1 ) debemos encontrar otro punto B(x 2 , y 2 ), también perteneciente a la función, que cumpla la condición de que la secante AB mantenga una distancia máxima d (error máximo exigido) a la curva. Esta distancia se obtiene al sustituir las coordenadas T(x 3 , y 3 ) en la ecuación normal de la recta: 22 22 33 ba cybxa d+ +⋅+⋅ = (4.4.1) Fig.4.4.1. Representación del primer cuadrante de la elipse. En principio, si la función conserva siempre el mismo sentido de crecimiento y de concavidad, solamente tenemos dos alternativas (figura 8). Pero únicamente es válida la que se encuentra en el sentido del mecanizado, x2<x1 o x2>x1 según que estemos mecanizando por abajo o por arriba del perfil. También hay que tener en cuenta el signo de la distancia d, pues nos indica en el semiplano dónde se encuentra el punto tomado como referencia para el cálculo de dicha distancia. En nuestro caso, se ha evaluado el cuadrado de la distancia para prescindir del signo [21]: ( ) ( ) 22 2 33 2 ba cybxa d+ +⋅+⋅ = (4.4.2) El punto anterior, T, es el de tangencia con la gráfica de la función, de la recta paralela al segmento secante AB. Por lo tanto, la derivada primera en T es igual a la tangente del ángulo φ [21]: 12 12 3 'xx yy y xx − − = = (4.4.3) Se tiene, de esta forma, las dos condiciones que permitirán resolver las dos incógnitas (x2, y2) ya que x1, x2 y d son conocidos. No hace falta analizar el signo de la tangente, pues se conoce la forma de la trayectoria a seguir. Para resolver este sistema de dos ecuaciones por métodos numéricos MATLAB dispone de la instrucción [21]: 23 maple(fsolve({ecu1,ecu2},{var1,var2},{var1=v1inicial..v1final,var2=v2inicial..v2final})) 4.5.REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS MATEMÁTICOS La ecuación de la recta se deduce por la condición de pasar por el punto inicial A y tener la pendiente anteriormente calculada: ( ) 11 3 'xxyyy xx −=− = (4.5.1) que, arreglada convenientemente, nos proporciona los coeficientes de la ecuación de la recta:      +⋅−= −= = ⇒=+⋅−−⋅ = = == 11 11 3 3 33 ' 1 ' 0'' yxyc b ya yxyyxy xx xx xxxx El algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones planteado es relativamente sencillo. Se parte del valor inicial αi=0, encontrándose la solución α2 para el parámetro que define el punto B(x2, y2) al resolver el sistema formado por (4.4.2) y (4.4.3). El parámetro obtenido vuelve a entrar como valor inicial. Así se prosigue hasta mientras la solución obtenida sea inferior al valor de αmáx. 4.6.DISEÑO DEL PERFIL DE EVOLVENTE PARA CADA DIENTE Teniendo ya en cuenta un error controlado d y conocidos todos los parámetros (radio primitivo, longitud de elipse base y de arco…), se puede pasar al modelado del perfil de evolvente de cada diente, el cual consiste simplemente en una traslación y un giro del perfil generado desde su propia circunferencia base para situarlo en la elipse a la que pertenece. Como sabemos, el perfil del diente del engranaje desde la circunferencia base hasta la circunferencia exterior es de evolvente. La evolvente es la curva descrita por el punto extremo de una semirrecta que rueda sobre una circunferencia, (Fig.4.6.1): Fig.4.6.1. Representación del primer cuadrante de la elipse [21]. P A B CP 1 P 2 P 3 Circunferencia base Evolvente Semirecta r b 24 La condición de esta curva es que la longitud de los arcos PA, PB, PC es respectivamente igual a la de los segmentos P1A, P2B, P3B y así sucesivamente. De la observación de la figura 4.6.1 podemos deducir la ecuación paramétrica de esta curva, para ello vamos a suponer una parte de la intersección de eje OX con la circunferencia base (punto P). P T Q(x,y) Tx Ty Qx Qy O α αα α R α αα α x y Fig.4.6.2. Deducción de la ecuación de evolvente [21]. Las coordenadas (x, y) del punto Q de la evolvente son: αα αα cossen sencos ⋅−⋅=−== ⋅+⋅=+== TQOTTyQyOTyOQyy TQOTTxQxOTxOQxx El segmento OT es el radio de la circunferencia base y el segmento TQ, según la definición de la evolvente, debe tener la misma longitud que el arco TP, por lo tanto, la ecuación paramétrica queda así: ααα ααα cossen sencos ⋅⋅−⋅= ⋅⋅+⋅= bb bb rry rrx En forma vectorial la ecuación es: ( ) ( ) jix αααααα cossensencos −++= bb rr Proporcionando un rango de valores al parámetro α (en radianes) podemos obtener los correspondientes puntos de trazado x(x, y). La trayectoria que describen los puntos de la evolvente del otro lado del diente, es simétrica en nuestro caso, con respecto del eje de simetría del propio diente con la elipse (véase Fig.4.1.1). La unión de estos perfiles en la cabeza del diente se consigue simplemente trazando el perfil de la elipse exterior, obteniéndose de este modo el diente completo. Ahora, de la parte de diseño, solo quedaría trazar el resto de los dientes hasta completar toda la elipse (véase macro y programa de MATLAB en Anexos). 25 Fig.4.6.3. Diseño de uno de los engranajes elípticos de diente recto en Solid Edge ST2. 5.FABRICACIÓN Una vez modelado todo el engranaje y obtenido el programa de control numérico vía (CAD/CAM) o tradicional, se introduce en el software de la máquina mediante USB, cable, teclado…y se pasa a la fabricación de la primera pieza. Para la fabricación se ha utilizado una fresadora FANUC Robodrill de cinco ejes con un divisor de dos ejes y 24000 rpm (sólo se ha usado el cuarto eje). El tamaño de los dientes influye en la selección del proceso de corte de los dientes. En el proceso de fresado por control numérico, se requiere que el espacio entre los dientes sea mayor al diámetro de la herramienta de corte (3 mm) de tal forma que permita la adecuada trayectoria de la herramienta de corte sin producir daños en el diente; si el tamaño de los dientes es muy pequeño, es preferible cortar los dientes en una máquina de electroerosión por hilo o por láser. Tras acabar el proceso de mecanizado de las primeras piezas sería necesario comprobar que las medidas de la pieza fabricada no se desvíen demasiado respecto a las cotas esperadas, teniendo en cuenta siempre el error de la propia máquina, añadido al error que mete la propia fresa debido a su esbeltez. Para ello es muy recomendable usar una MMC en un entorno controlado, la cual tiene una precisión óptima para evaluar la magnitud de los errores que se quieren controlar.