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Proyecto Fin de Carrera SIMULACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS DE LA INTERACCIÓN MECÁNICA CÉLULA-MATERIAL Autor Javier Palacio Torralba Director Dr. José Manuel García Aznar Escuela de Ingeniería y Arquitectura Zaragoza, Febrero de 2012 I SIMULACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS DE LA INTERACCIÓN MECÁNICA CÉLULA-MATERIAL RESUMEN El objetivo principal de este proyecto consiste en desarrollar un método numérico basado en el análisis por elementos finitos que permita calcular las fuerzas que las células ejercen sobre un material cuando éstas interaccionan con él. Para ello se utilizarán modelos 2D, semi-3D y 3D que permiten describir las diferentes técnicas experimentales más habituales en la literatura para caracterizar la interacción de las células con el medio que las rodea. Se estudiarán diferentes métodos de resolución del problema y se compararán desde puntos de vista como la precisión y el coste computacional. Durante el proyecto se utilizarán herramientas informáticas comerciales como ABAQUS y Matlab. El primero nos permitirá crear los modelos numéricos de elementos finitos necesarios, que serán un input del método propuesto. En Matlab se programarán scripts para el tratamiento de los datos generados con el programa de elementos finitos y nos permitirá, en última instancia, obtener los resultados buscados: las fuerzas que la célula ejerce sobre el sustrato. Se compararán además las soluciones obtenidas a través del método de los elementos finitos con la solución teórica de Boussinesq. Las características de los materiales y el programa que permite obtener las fuerzas a partir de la solución de Boussinesq han sido facilitados por investigadores de los centros de investigación CEIT y CIMA con los que se colabora activamente a través de un proyecto del Plan Nacional titutlado:” Computer design and manufacture of microdevices for researching the impact of mechanical factors in cell migration. DPI 2009-14115 ” . II Agradecimientos Quisiera agradecer en primer lugar al director del proyecto: José Manuel García Aznar. Sin su ayuda, indicaciones y consejos este trabajo no habría sido posible. A la profesora María Ángeles Pérez Ansón por su ayuda para hacer funcionar los distintos programas que he utilizado y por ponerme en contactos con expertos en redes neuronales. A los estudiantes de doctorado del departamento por ayudarme en los primeros pasos (y en los siguientes) de uso de los diferentes programas. A Javier Martínez Torres del Centro Universitario de la Defensa por sus buenas explicaciones y consejos sobre redes neuronales. A los colaboradores del CEIT (Centro de estudios e investigaciones técnica de Gipuzkoa) y CIMA (Centro internacional de medicina avanzada) por facilitarme sus datos y programas. En especial a Álvaro Jorge por prestarme su software y explicarme detalladamente las metodologías actuales de TFM. Por último, pero no por ello de menor importancia, a mi familia y amigos.   1  Índice Ìndice...........................................................................................................................................................1 1. Introducción............................................................................................................................................3 1.1 Objetivos.................................................................................................................................................4 2. Estado del arte en la resolución de problemas inversos.........................................................................8 2.1. Recuperación de las fuerzas mediante la solución de Boussinesq para un medio semi-infinito...........8 2.1.1 Citometría de tracción por transformada de Fourier..........................................................................9 2.2 Regularización de la solución..............................................................................................................10 2.2.1 Regularización por descomposición en valores singulares:.............................................................10 2.2.2 Regularización de Tikhonov..............................................................................................................11 2.2.2.1 Método de la curva L (L-Curve).....................................................................................................12 2.3Aplicaciónderedesneuronalesalasolucióndelproblemainverso:....................................................13 2.3.1Aplicación:.........................................................................................................................................15 2.4Reduccióndemodelos..........................................................................................................................16 3. Propuesta de un método para la resolución del problema...................................................................19 3.1 Caso de material elástico, lineal, homogéneo e isótropo:....................................................................20 3.2 Caso de material elástico, no-lineal, homogéneo e isótropo:..............................................................22 4. Ejemplos de aplicación del método propuesto......................................................................................23 4.1 Ejemplo de aplicación a un problema elástico lineal en configuración 2D.........................................23 4.2 Ejemplo de aplicación para un caso con material elástico no-lineal en configuración 2d:................25 4.3 Ejemplo de aplicación del método propuesto para la resolución del problema inverso en un medio lineal en configuración semi-3D:...........................................................................................................30 4.4 Aplicación del método propuesto para la resolución del problema inverso en un medio elástico nolineal en configuración semi-3D :..........................................................................................................38 4.5 Aplicación del método propuesto para la resolución del problema inverso en un medio elástico lineal en configuración 3D...............................................................................................................................41 4.6 Aplicación del método propuesto para la resolución del problema inverso en un medio elástico nolineal en configuración 3D.....................................................................................................................43 5. Comparación de los diferentes métodos:..............................................................................................47 5.1Recuperación de las fuerzas con aproximación de mínimos cuadrados y solución de Boussinesq en configuración 2D...................................................................................................................................47 5.2Recuperación de las fuerzas con FTTC y configuración elástico lineal 2D:.......................................48   7  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material Figura 5. Caso 3D. La célula está embebida en el sustrato. Se tienen en cuenta desplazamientos y fuerzas en las tres direcciones. La célula representa un discontinuidad dentro del material lo que obliga a tener en cuenta efectos de borde. Se presentarán resultados de los distintos métodos propuestos y se analizarán brevemente las distintas técnicas utilizadas en la actualidad para la resolución de problemas inversos: Redes neuronales,usadas ampliamente en robótica (Tejomurtula y KaK, 1998) pero no utilizado en la actualidad para la recuperación de fuerzas celulares, reducción de modelos usada en problemas eléctricos, térmicos (Bechtold et al., 2005) y la solución de Boussinesq para el problema de recuperación de las fuerzas celulares (Butler et al., 2002) comentando sus ventajas y desventajas para el problema tratado. Para ello se utilizarán ABAQUS 6.9 y Matlab 2011 como herramientas para la obtención y análisis de los datos.   8  2.Estadodelarteenlaresolucióndeproblemasinversos 2. Estado del arte en la resolución de problemas inversos 2.1. Recuperación de las fuerzas mediante la solución de Boussinesq para un medio semi-infinito Una posible solución al problema de recuperar las fuerzas de tracción que ejercen las células utilizando la solución de Boussinesq fue sugerida por Butler et al. en 1998. La solución de Boussinesq trata de buscar una solución en desplazamientos de un sólido semi-infinito al que se somete a cargas puntuales. La aplicación de esta aproximación está limitada a medios semi-infinitos (en la práctica que sean suficientemente gruesos), elástico-lineales e isótropos. Otra de las condiciones que ha de satisfacer esta solución es que en puntos muy alejados de las zonas de aplicación de las fuerzas (teóricamente en el infinito) los desplazamientos y las tensiones sean nulos de forma que se satisfaga el principio de Saint-Venant. Bajo estas hipótesis, podemos derivar (Landau&Lifschitz, 1986) a partir de la ecuación de equilibrio 0 ,   ijij F  un tensor de Green tal que: kiki FGu   Los desplazamientos en cada punto se pueden calcular como el tensor de Green multiplicado por el vector de fuerzas en dicho punto. Obtener los desplazamientos parece directo. Bastaría con invertir la matriz G en los puntos en los que la célula pudiera generar fuerzas de tracción. Sin embargo en los puntos en los que se aplican las fuerzas aparecen tensiones infinitas y por tanto también singularidades en los desplazamientos . Una posible solución a este problema consiste en integrar el tensor en pequeñas áreas sobre las que se aplican las fuerzas (Huang et al.,2009) El tensor G expresado en coordenadas cartesianas tiene la siguiente forma:   Si m don d Las v - - Los i - - - 2.1. 1 Tra c teor e con v con v vect o pero Para desp l peq u intro m ulaciónpor d e μ es el m ó v entajas de Sencille z No es n e i nconvenie n Aplicab l Aplicab l Inestabi l 1 Citometrí a La Cito m c tion Cytom e e ma de la v olución e s v olucionada o r de carga s ahora K, e que sea l azamiento s u eños cuad r duce un ci e elementosf ó dulo de ri g este métod o z de aplica c e cesario uti l n tes: l e solament e l e a medios l idad propi a a de tracci ó m etría de t e try) o FT T convoluci ó s el prod u s (Butler e t s f e n el espaci posible a p s forme un a r ados de l o e rto ruido q initosdelai g idez y los c o son: c ió n l izar progra m e a medios semi-infin i a de la inve r ó n por trans f t racción p o T C por sus s ó n, que d e u cto de la t al., 2002) . U o de Fouri e p licar FTT C a malla per i o s que se q ue es inhe r 9 nteracciónc c oeficiente s m as de ele m elástico-lin e i tos (en la p r r sión de ma t f ormada d e o r Transfor m s iglas en in g e termina q u s transfor m . El proble m K U ales  Re e r, es diag o C es nec e i ódica. Par a obtiene la r ente al mé t élula‐mater i s a y b se c a m entos fini t e ales e isót r r áctica mu y t rices con c e Fourier. m ada de F g lés, se bas a u e la trans m adas de m a se conv i f o nal por lo q e sario que a conseguirl velocidad t odo. Reali z i al a lculan co m t os r opos y gruesos) c ondiciona m F ourier (Fo u a en el teor e formada d e Fourier d e i erte enton c q ue su inv e la inform a o se discre t media. Es t z ando un n ú m o: m iento elev u rier Tran s e ma de Falt u e Fourier e las fun c c es en obte n e rsión es di a ción sobr e t iz a la ima g t a aproxi m ú mero sufi c  ado s form u ng o d e la c iones n er el recta. e los g en en m ación c iente   10  2.Estadodelarteenlaresolucióndeproblemasinversos de iteraciones esta metodología es capaz de obtener un resultado en el que tan solo haya fuerzas en el dominio de la célula. 2.2 Regularización de la solución Los métodos estudiados para resolver el problema inverso propuesto tienen en común la necesidad de resolver uno o varios sistemas de ecuaciones: bxA   Dado que el problema inverso es un problema mal condicionado (Hadamard 1923, Tikhonov and Arsenin 1977, Payne 1974, Romanov 1987) hemos de preguntarnos si la solución al problema existe, si es única y si es estable. La existencia y unicidad de solución quedan demostradas por la teoría de la elasticidad pero la estabilidad de la solución plantea algunos problemas. El condicionamiento de la matriz A suele ser muy grande lo que significa que la sensibilidad de la solución ante perturbaciones de alguno de los datos es muy alta. Esto no resultaría un problema si fuéramos capaces de obtener datos exactos, exentos de cualquier tipo de ruido. Lamentablemente no es así. Las técnicas experimentales de adquisición de datos y los posteriores tratamientos numéricos de los mismos introducen una serie de errores que pueden desviar los datos con los que se trabaja de los reales. Por lo que cabe esperar que la resolución del sistema lineal nos conduzca a una solución alejada de la real. Para solventar este problema hemos de recurrir a la regularización, cuya idea general se puede entender de dos formas equivalentes: 1. Penalizar aquellas soluciones cuya norma sea muy grande 2. Inducir soluciones cuya norma tienda a la esperada. Analizaremos dos métodos de regularización. En primer lugar la descomposición en valores singulares (SVD, singular value decomposition) y en segundo la regularización de Tikhonov. 2.2.1 Regularización por descomposición en valores singulares: La idea se basa en que los valores singulares de menor valor son los causantes del ruido, que genera grandes errores en la solución naive ya que el error en las   11  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material direcciones correspondientes a los valores singulares más pequeños se magnifica imponiéndose sobre la información contenida en las direcciones de los valores singulares mayores (Hansen, O’Leary, 1993) bAx  1 Esta aproximación es equivalente a la reducción de modelos y por tanto comparte sus mismos inconvenientes: alto coste computacional ( O(n3) ) que hace inviable su uso en sistemas muy grandes . 2.2.2 Regularización de Tikhonov La idea consiste en obtener un equilibrio entre la regularización y una buena aproximación. La solución de Tikhonov  xse define como la solución del siguiente problema:   22 2 min xbxA   El parámetro  óptimo es desconocido a priori y suele determinarse para cada problema con un método ad hoc. Una aproximación posible consiste en la validación cruzada o el método de la curva L. La validación cruzada consiste en dividir en dos conjuntos complementarios los datos de muestra, realiza el análisis de uno de los subconjuntos (subconjunto de prueba o test) y validar el análisis en el otro subconjunto de forma que la aproximación solo se ajuste al conjunto test. A continuación se calculan los valores de salida para el conjunto de datos que no se había analizado antes. Una mejora de este método consiste en la validación cruzada de K iteraciones (K-fold cross-validation). Uno de los subconjuntos se utiliza como datos de prueba y el resto (K-1) como datos de entrenamiento. El proceso de validación cruzada se repite durante k iteraciones, con cada uno de los posibles subconjuntos de datos de prueba. Finalmente se realiza la media aritmética de los resultados de cada iteración para obtener un único resultado. Este método es muy preciso puesto que evaluamos a partir   12  2.Estadodelarteenlaresolucióndeproblemasinversos de K combinaciones de datos de entrenamiento y de prueba, pero tiene una desventaja, y es que, a diferencia del método anterior, es lento desde el punto de vista computacional. A la práctica, la elección del número de iteraciones depende de la medida del conjunto de datos. Lo más común es utilizar la validación cruzada de 10 iteraciones (10-fold cross-validation). Figura 6. Proceso de validación cruzada.(Web01) 2.2.2.1 Método de la curva L (L-Curve) La curva L (Figura 7) es un diagrama paramétrico de ρ(λ) y η(λ) que representan la norma de la solución regularizada y de su residuo. La idea subyacente es que un buen método para elegir el parámetro de regularización para problemas mal condicionados debe incorporar información sobre la norma de la solución además de sobre la norma del residuo. Este concepto se introduce de forma natural ya que estamos buscando una solución que mantenga ambas normas reducidas.   Si m pasa dom i corr e tant o 2.3 A conj u com p com p de i n los a conj u reso l Por ente n m ulaciónpor La curv a de estar d i nada por l e sponde a u o , un parám e A plicación d Las red e u ntos de da t p lejidad n o p utacionale n formación Las red e a lgoritmos u nto de in s l ver el prob tanto, la c n demos co m elementosf a L tiene u n d ominada p l os errores u n buen eq u e tro λ adec u d e redes ne u e s neurona l t os comple j o pueden s. Una red en el que h a e s neuronal e convencio n s trucciones lema no so n c apacidad d m pletament e initosdelai Figur a n a forma e n p or errore s del vector u ilibrio entr e u ado. u ronales a l l es tienen u j os y se pu e ser dete c neuronal s e a sido entre e s atacan d e n ales. La a para reso l n conocido s d e resolver e y que sab e 13 nteracciónc a 7. Curva L n L caracte r s en la re g de cargas e la minim i l a solución u na gran h e den para o b c tados por e puede en t nada. e sde un án g a proximaci ó l ver el pro s el algorit m problema s e mos exact a élula‐mater i L típic a ística en la g ularizació n . Por tant o i zación de l del proble m h abilidad p a b tener tend e el huma n t ender com o g ulo distint o ó n algorít m b lema. Si m o es inca p s queda re a mente co m i al zona dond e n (sobresu a o la esquin a as normas y m a inverso: a ra extraer e ncias o pa t n o o por o un “expe r o el proble m m ica consis t los pasos p az de reso l stringida a m o resolver. e la soluci ó a vizado) a a de la cu r y represent a informaci ó t rones que p otras té c r to” en el c m a a resolv e t e en seg u específicos l ver el prob problema s  ó n  x estar r va L a , por ó n de p or su c nicas ampo e r que u ir un para lema. s que   14  2.Estadodelarteenlaresolucióndeproblemasinversos Figura8.Ejemplodefuncionamientodeunaneurona(Web02) Una neurona (Figura 8) es un sistema con una o más entradas y una salida. La neurona tiene dos modos de operación; el modo de entrenamiento y el modo de uso. En el modo de entrenamiento la neurona puede ser entrenada para activarse (o no) para un tipo particular de patrón. En el modo de uso, cuando se detecta un patrón aprendido, la salida asociada se activa. Si el patrón detectado no pertenece a la lista de patrones reconocidos, la regla de activación se usa para determinar el output. Las redes neuronales (Figura 9) procesan la información de una forma similar a la que lo hace el cerebro humano. La red está compuesta por un alto número de elementos de procesado (en adelante neuronas) que trabajan en paralelo para resolver un problema específico. Las redes neuronales aprenden usando ejemplos que han de ser seleccionados cuidadosamente para no desperdiciar tiempo ni para inducir “conductas” erróneas de la red.   Si m senc i 2.3. 1 prob l de o b la c é ento n de e n fuer z fuer z ele m cent r m ulaciónpor MatLab i lla e intuit i 1 Aplicació n Aunque l emas de c i b tener las f u Los pos i é lula para e n ces un co n n trada los d z as aplicad a Estos c a z as quedar a m entos finit o r aremos en elementosf F i ofrece un c i va por lo q u n : las redes n e i nématica, n u erzas de tr a i bles punto s e l caso 2D n junto de c a d esplazamie n a s por las c é a sos prove n a n perfecta m o s. Dado q u el segundo. initosdelai i gura9.Red c ompleto to o u e será el p r e uronales s e n o hay refe r a cción que s de aplica c y el cont o a sos con los n tos en ca d é lulas. n drían en u m ente det e u e el prime r El procedi m 15 nteracciónc neuronalse o lbox para t r ograma el e e usan en á r r encias bib l las células e c ión de fue r o rno de la m que entre n d a uno de lo u n caso óp t e rminadas o r método r e m iento a s e élula‐mater i ncilla(Web 0 t rabajar co n e gido para s r eas como l l iográficas s e jercen. r zas son bi e m isma par a n ar a la red n s puntos y c t imo de e x o de simul e sulta com p e guir sería: i al 0 2) n redes neu r s u aplicació n l a robótica p s obre su us o e n conocid o a 3D. Pode m n euronal c o c on paráme x perimento s aciones co p licado, len t r onales de f n . p ara resolv o en el pro b o s, el domi n m os plant e o n los pará m tros de sali d s en los q u n program a to y costos  f orma er los b lema n io de e arnos m etros d a las u e las a s de o nos   16  2.Estadodelarteenlaresolucióndeproblemasinversos 1. Lanzar un número suficiente de casos con distintas fuerzas distribuidas en las zonas en las que es posible aplicar fuerzas. 2. Entrenar y validar la red con los casos en los que se conocen las fuerzas y los desplazamientos 3. Introducir a la red ya entrenada los datos reales para obtener los resultados. En el Anexo I se muestra un ejemplo de aplicación de las redes neuronales a la resolución del problema de recuperar las fuerzas de tracción que ejercen las células sobre el sustrato o andamio. Como podemos observar las redes neuronales nos ofrecen un método sencillo para resolver problemas inversos pequeños. Cuando el problema es muy grande, tiene muchos grados de libertad (tiene muchos nodos si estamos utilizando elementos finitos) los requerimientos de memoria son muy altos y los tiempos de computación se alargan considerablemente, impidiendo realizar los cálculos con un ordenador convencional. Las redes neuronales nos ofrecen otras ventajas. La importancia de cada uno de los datos viene dada por el peso correspondiente por lo que haciendo un análisis de los diferentes pesos que aparecen en la red entrenada podremos llegar a discernir qué grados de libertad aportan la información más necesaria y cuáles no aportan información importante. De esta forma podremos despreciar algunos nodos reduciendo el tamaño y las exigencias computacionales asociadas. Será equivalente a realizar una reducción de modelos como se verá a continuación. Ese estudio excede las pretensiones del presente trabajo representa un interesante vía de investigación que puede ayudar no sólo en la resolución del problema si no también en la fabricación y gestión de los experimentos de TFM. 2.4 Reducción de modelos La cantidad de información que se extrae de los experimentos de TFM es elevada ya que hay un gran número de partículas embebidas en el sustrato. Es fácil observar que el tamaño de las matrices con las que trabajaremos será muy grande incluso cuando nuestro mallado (de elementos finitos o de partículas) sea relativamente   23  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material 2 1~ · ~ min uU iij   La solución a dicho problema se puede calcular como:     uUUU jiijjii ~ · ~ · ~ · ~ 1 1    3.2 Caso de material elástico, no-lineal, homogéneo e isótropo: Manteniendo la notación anteriormente descrita se propone como método de resolución obtener k campos de desplazamientos ik u ~ consecuencia de aplicar unas cargas ik t ~ sobre cada uno de los puntos en los que la célula pudiera aplicar fuerzas. Las diferentes fuerzas ik t ~ deberían ser de diferente magnitud (por ejemplo: 1, 10, 100nN) para que el comportamiento no-lineal del material se viera reflejado sobre los campos de desplazamientos de aproximación. De manera análoga al caso lineal y sin perder generalidad aproximaremos el campo de desplazamientos u ~ como: ikiiiii uuuu ~ · ~ · ~ · ~ 21         El vector de cargas: ikiiiiiik tttt ~ · ~ · ~ · ~ 21         Ordenando los k campos de desplazamientos asociados a cada uno de los m puntos por columnas obtenemos la matriz ij U ~ , ))·( ~ (dim kmnxUij  . Expresando esta aproximación en forma matricial: iij xUu · ~ ~  Los coeficientes i x se obtienen resolviendo el siguiente problema de minimización: 2 ~~ · ~ min uxU iij  cuya solución se puede obtener como:     uUUUx jiijjii ~ · ~ · ~ · ~ 1    24  4.Aplicacióndelmétodopropuesto 4. Ejemplos de aplicación del método propuesto 4.1 Ejemplo de aplicación a un problema elástico lineal en configuración 2D A continuación se expone un caso sobre una geometría 2D y material con comportamiento lineal en el que, para un campo de desplazamientos dados (generados con elementos finitos), se recuperan las fuerzas. Propiedades del material (Sabass et al., 2008):: Módulo de Young: 70kPa Módulo de Poisson: 0,5 Espesor: 75μm Se colocan fuerzas test unitarias sobre los puntos en los que se supone que la célula puede aplicar fuerzas (adhesiones focales). Para evaluar la bondad del método se introducirán fuerzas de magnitud conocida que se intentarán recuperar en diferentes lugares de aplicación. Se seguirán las siguientes reglas para aplicar las fuerzas: - Las fuerzas resultantes apuntarán hacia el centroide la célula - Se tendrán en cuenta casos en los que las adhesiones focales estén muy cerca unas de otras con fuerzas de magnitud parecida y de magnitud muy diferente para evaluar si el método es capaz de discriminar las fuerzas. La siguiente imagen (Figura 14) muestra los lugares de aplicación de las fuerzas   25  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material Figura 14. Posible distribución de adhesiones focales sobre la célula. En la Tabla 1 se muestran las fuerzas aplicadas, las fuerzas recuperadas y los errores relativos y absolutos.   26  4.Aplicacióndelmétodopropuesto Tabla 1. Resultados aplicación a material lineal Fuerzas Fuerza Real Error ( % ) Error 1.000E+01 1.000E+01 1.407E-08 1.407E-09 1.500E+01 1.500E+01 2.013E-07 3.019E-08 8.000E+00 8.000E+00 7.245E-09 5.796E-10 1.000E+01 1.000E+01 5.530E-08 5.530E-09 1.500E+01 1.500E+01 4.175E-08 6.262E-09 6.000E+00 6.000E+00 5.903E-07 3.542E-08 1.000E+01 1.000E+01 8.934E-08 8.934E-09 1.000E+01 1.000E+01 5.593E-07 5.593E-08 -7.000E+01 -7.000E+01 1.567E-08 1.097E-08 7.000E+01 7.000E+01 7.234E-09 5.063E-09 -1.000E+02 -1.000E+02 5.700E-11 5.700E-11 1.000E+02 1.000E+02 9.947E-09 9.947E-09 -1.500E+02 -1.500E+02 1.594E-09 2.391E-09 1.000E+02 1.000E+02 9.987E-09 9.987E-09 -1.200E+02 -1.200E+02 1.423E-08 1.708E-08 1.500E+02 1.500E+02 2.555E-09 3.832E-09 -3.000E+01 -3.000E+01 6.291E-09 1.887E-09 -3.000E+01 -3.000E+01 5.830E-08 1.749E-08 -4.000E+01 -4.000E+01 8.747E-09 3.499E-09 -3.000E+01 -3.000E+01 2.534E-08 7.602E-09 -6.000E+00 -6.000E+00 5.803E-09 3.482E-10 -5.000E+00 -5.000E+00 1.010E-07 5.048E-09 -2.000E+01 -2.000E+01 8.712E-09 1.742E-09 -2.000E+01 -2.000E+01 1.996E-08 3.991E-09 1.000E+02 1.000E+02 1.425E-10 1.425E-10 1.000E+02 1.000E+02 5.323E-10 5.323E-10 -1.000E+02 -1.000E+02 1.016E-10 1.016E-10 -5.000E+01 -5.000E+01 7.568E-10 3.784E-10 Los errores cometidos en la recuperación de fuerzas son prácticamente despreciables para el caso lineal. 4.2 Ejemplo de aplicación para un caso con material elástico no-lineal en configuración 2d: A continuación se expone un caso sobre una geometría 2D y material no-lineal en el que, para un campo de desplazamientos dados (generados con elementos finitos), se recuperan las fuerzas . Propiedades del material:   27  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material El material utilizado como sustrato es un hidrogel con una concentración de colágeno del 1% y una concentración de agarosa del 1% que tiene las siguientes propiedades elásticas (cortesía de los colaboradores del CEIT): Figura 15. Curva tensión nominal (kPa)-deformación nominal del sustrato La relación tensión-deformación es claramente no lineal. La función de densidad de energía de deformación (obtenida en el Anexo II), basándonos en el modelo de Mooney Rivlin es:     3·55.20613·47.1640 21     IIW El espesor del sustrato es 75 μm A continuación (Tabla 2) se muestran las fuerzas aplicadas, las fuerzas recuperadas y los errores relativos y absolutos. y=14891x3‐3267.x2+296.6x R²=0.999 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tensión(σ) Deformación(ε) Curvatensión‐deformación   28  4.Aplicacióndelmétodopropuesto Tabla 2. Resultados aplicación a material no-lineal Fuerzas Fuerzas Error (%) Error 8.3059 10.0000 16.9412 1.6941 6.6329 15.0000 55.7806 8.3671 8.3446 8.0000 4.3070 0.3446 9.0144 10.0000 9.8556 0.9856 15.3243 15.0000 2.1619 0.3243 11.0049 6.0000 83.4157 5.0049 11.7621 10.0000 17.6207 1.7621 17.0272 10.0000 70.2724 7.0272 -65.9479 -70.0000 5.7887 4.0521 64.3331 70.0000 8.0956 5.6669 -100.0792 -100.0000 0.0792 0.0792 100.0215 100.0000 0.0215 0.0215 -120.3599 -120.0000 0.2999 0.3599 105.9737 100.0000 5.9737 5.9737 -121.7072 -120.0000 1.4227 1.7072 121.5791 120.0000 1.3159 1.5791 -28.1840 -30.0000 6.0533 1.8160 -30.9496 -30.0000 3.1654 0.9496 -43.8271 -40.0000 9.5677 3.8271 -29.4472 -30.0000 1.8426 0.5528 -7.4114 -6.0000 23.5235 1.4114 -9.7266 -5.0000 94.5318 4.7266 -13.9447 -20.0000 30.2764 6.0553 -16.6455 -20.0000 16.7725 3.3545 100.4988 100.0000 0.4988 0.4988 101.1503 100.0000 1.1503 1.1503 -101.4038 -100.0000 1.4038 1.4038 -51.4732 -50.0000 2.9465 1.4732 El error relativo promedio es del 16.97% y el error absoluto promedio +- 2.58nN. Los campos de desplazamientos se han creado con fuerzas 1,10 y 100nN. Se debe analizar si el esfuerzo de calcular un mayor número de campos de desplazamiento de prueba para tener en cuenta las propiedades no-lineales del material mejora sustancialmente la solución o si la suposición de material elástico lineal puede resultar apropiada.   29  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material Se analizarán dos casos. En el primero se tomará como módulo de Young el módulo tangente (Tabla 3) y en el segundo (Tabla 4) el secante. Tabla 3. Resultados hipótesis módulo tangente F Recuperadas (nN) E= Módulo tangente Fuerzas Reales(nN) Error % Error Absoluto 18.5091 10.0000 85.0908 8.5091 5.2803 15.0000 64.7981 9.7197 9.1724 8.0000 14.6544 1.1724 4.8001 10.0000 51.9986 5.1999 19.6272 15.0000 30.8481 4.6272 -10.9374 6.0000 282.2893 16.9374 -1.0686 10.0000 110.6855 11.0686 0.2219 10.0000 97.7809 9.7781 -81.0192 -70.0000 15.7417 11.0192 105.1925 70.0000 50.2751 35.1925 -129.2080 -100.0000 29.2080 29.2080 113.2102 100.0000 13.2102 13.2102 -129.6704 -120.0000 8.0587 9.6704 79.2722 100.0000 20.7278 20.7278 -137.1378 -120.0000 14.2815 17.1378 247.5515 120.0000 106.2929 127.5515 -41.0774 -30.0000 36.9246 11.0774 59.8716 -30.0000 299.5721 89.8716 -51.1763 -40.0000 27.9407 11.1763 -26.1551 -30.0000 12.8165 3.8449 -5.3803 -6.0000 10.3278 0.6197 48.6059 -5.0000 1072.1183 53.6059 -22.5341 -20.0000 12.6705 2.5341 -270.3294 -20.0000 1251.6471 250.3294 118.9845 100.0000 18.9845 18.9845 303.8605 100.0000 203.8605 203.8605 -120.1536 -100.0000 20.1536 20.1536 -62.6798 -50.0000 25.3596 12.6798 En este caso el error relativo promedio sería 142.4% y el error absoluto promedio +- 36.05 nN.   30  4.Aplicacióndelmétodopropuesto Tabla 4. Resultados hipótesis módulo secante F Recuperadas (nN) E= Módulo secante Fuerzas Reales(nN) Error % Error Absoluto 15.3730 10.0000 53.7299 5.3730 4.3856 15.0000 70.7625 10.6144 7.6182 8.0000 4.7721 0.3818 3.9868 10.0000 60.1318 6.0132 16.3017 15.0000 8.6778 1.3017 -9.0842 6.0000 251.4031 15.0842 -0.8875 10.0000 108.8750 10.8875 0.1843 10.0000 98.1569 9.8157 -67.2917 -70.0000 3.8690 2.7083 87.3692 70.0000 24.8132 17.3692 -107.3156 -100.0000 7.3156 7.3156 94.0284 100.0000 5.9716 5.9716 -107.6997 -120.0000 10.2503 12.3003 65.8407 100.0000 34.1593 34.1593 -113.9018 -120.0000 5.0818 6.0982 205.6076 120.0000 71.3396 85.6076 -34.1174 -30.0000 13.7247 4.1174 49.7273 -30.0000 265.7576 79.7273 -42.5052 -40.0000 6.2631 2.5052 -21.7235 -30.0000 27.5884 8.2765 -4.4687 -6.0000 25.5214 1.5313 40.3704 -5.0000 907.4072 45.3704 -18.7160 -20.0000 6.4198 1.2840 -224.5261 -20.0000 1022.6305 204.5261 98.8243 100.0000 1.1757 1.1757 252.3758 100.0000 152.3758 152.3758 -99.7953 -100.0000 0.2047 0.2047 -52.0596 -50.0000 4.1192 2.0596 Tomando como rigidez el módulo secante se observa una ligera mejora de los resultados. El error relativo promedio pasa a ser el 116.16% y el absoluto promedio +- 26.2 nN. Suponer que el material tiene un carácter líneal conduce a errores considerables en la recuperación de las fuerzas. El coste computacional de añadir más campos de desplazamientos test permite una mejora muy significativa de los resultados.   31  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material 4.3 Ejemplo de aplicación del método propuesto para la resolución del problema inverso en un medio lineal en configuración semi-3D: A continuación se expone un caso sobre una geometría semi-3D y material lineal en el que, para un campo de desplazamientos dados (generados con elementos finitos), se recuperan las fuerzas Propiedades del material (Sabass et al., 2008): Módulo de Young: 70kPa Módulo de Poisson: 0,5 Espesor: 75 μm Se proponen varias zonas (adhesiones focales, Figura 16) en los que la célula podría hacer fuerza y se aplican fuerzas test de 1nN en cada uno de los ejes. Figura 16. Localización de las adhesiones focales. Aplicadas las fuerzas ya sobre el modelo de elementos finitos sobre la siguiente geometría (Figura 17):   posi b Figur a En cas o b ilidad de F a 18. Malla d o de no te n aplicar fu e F igura 17. G d o de la geo n er idea a e rzas sería 32 G eometría d metría y p u a lguna de l necesario 4.Aplic d e la célula u ntos de apl i l os posible suponer q acióndelm é utilizad a i cación de f s lugares e q ue es po s é todopropu f uerzas. en los qu e s ible hacer l  esto e hay l o en   39  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material Es preciso destacar que mientras el error en la solución no regularizada es creciente, en el caso regularizado el promedio es aproximadamente constante. 4.4 Aplicación del método propuesto para la resolución del problema inverso en un medio elástico no-lineal en configuración semi-3D: A continuación se expone un caso sobre una geometría semi-3D y material nolineal en el que, para un campo de desplazamientos dados (generados con elementos finitos), se recuperan las fuerzas Propiedades del material: El material utilizado como sustrato es un hidrogel con una concentración de colágeno del 1% y una concentración de agarosa del 1% que tiene las siguientes propiedades elásticas (Figura 25, cortesía de los colaboradores del CEIT): Figura 25. Curva tensión nominal(kPa)-deformación nominal Curva tensión (kPa)-deformación del material c1a1. La relación tensióndeformación es claramente no lineal. La función de densidad de energía de deformación (obtenida en el Anexo II), basándonos en el modelo de Mooney Rivlin es: y=14891x3‐3267.x2+296.6x R²=0.999 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tensión(σ) Deformación(ε) Curvatensión‐deformación   40  4.Aplicacióndelmétodopropuesto     3·55.20613·47.1640 21     IIW En las mismas zonas que en el caso del material elástico se aplican las siguientes fuerzas (en nN), Tabla 7: Tabla 7.Fuerzas y puntos de aplicación Punto E j eFuerza ( nN ) A1, 110 A1, 2 , 17.3 A1, 3 , 20 A2, 1 , 11 A2, 2 , 18 A2, 3 , 25 A3, 1 , 9 A3, 2 , 16 A3, 3 , 25 A4, 1 , 12 A4, 2 , 19 A4, 3 , 23 B1, 1 , ‐50 B1, 2 , ‐50 B1, 3 , 20 B2, 1 , ‐15 B2, 2 , ‐15 B2, 3 , 23 B3, 1 , ‐1 B3, 2 , ‐1 B3, 3 , 2 B4, 1 , ‐75 B4, 2 , ‐75 B4, 3 , 10 C1, 1 , 10 C1, 2 , ‐57 C1, 3 , 8 C2, 1 , 12 C2, 2 , ‐7.1 C2, 3 , 10 C3, 1 , 90 C3, 2 , ‐50 C3, 3 , 10 C4, 1 , 120 C4, 2 , ‐70 C4, 3 , 100 D1, 1 , 50 D1, 2 , 25 D1, 3 , 25 E1, 1 , 20 E1, 2 , ‐20 E1, 3 , 80 En esta ocasión se introducen como fuerzas test 1,10 y 100 nN en cada uno de los diferentes puntos en los que la célula podría aplicar fuerzas. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 8:   41  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material Tabla 8. Comparación de resultados Calculado Real Err % Err absoluto 0.13 10.00 98.7 9.87 15.34 17.30 12.78 1.96 20.34 20.00 1.68 0.34 10.95 11.00 0.45 0.05 18.36 18.00 1.95 0.36 25.69 25.00 2.70 0.69 8.10 9.00 11.07 0.90 19.56 16.00 18.21 3.56 25.80 25.00 3.09 0.80 12.22 12.00 1.81 0.22 19.47 19.00 2.41 0.47 22.38 23.00 2.79 0.62 -49.67 -50.00 0.66 0.33 -49.93 -50.00 0.13 0.07 20.02 20.00 0.12 0.02 -14.17 -15.00 5.82 0.83 -15.00 -15.00 0.02 0.00 24.20 23.00 4.97 1.20 -1.41 -1.00 29.29 0.41 -0.96 -1.00 3.78 0.04 1.88 2.00 6.27 0.12 -76.53 -75.00 2.00 1.53 -74.90 -75.00 0.13 0.10 4.29 10.00 133.05 5.71 10.67 10.00 6.28 0.67 -57.90 -57.00 1.55 0.90 7.86 8.00 1.80 0.14 11.72 12.00 2.36 0.28 -6.68 -7.10 6.28 0.42 9.66 10.00 3.55 0.34 91.85 90.00 2.02 1.85 -50.75 -50.00 1.48 0.75 10.40 10.00 3.80 0.40 117.95 120.00 1.74 2.05 -69.10 -70.00 1.30 0.90 100.37 100.00 0.37 0.37 50.01 50.00 0.02 0.01 25.05 25.00 0.20 0.05 25.13 25.00 0.52 0.13 19.91 20.00 0.45 0.09 -20.08 -20.00 0.41 0.08 79.90 80.00 0.12 0.10 4.5 Aplicación del método propuesto para la resolución del problema inverso en un medio elástico lineal en configuración 3D.   mat e con e Prop podr í A conti n e rial elástic o e lementos f iedades del Se prop o í a hacer fu e n uación se o lineal en e f initos), se r Figur a material y o nen varias e rza y se ap l expone u n e l que, par a ecuperan l a a 26: Dispo s célula (Sa b Módul o Mód u E s Módulo d zonas (adh e l ican fuerz a 42 n caso so b a un camp o a s fuerzas s ición de la b ass et al., 2 o de Youn g u lo de Poiss o s pesor: 75 μ d e Young c é e siones foc a a s test de 1 n 4.Aplic b re una ge o o de despla z célula den t 2 008): g : 70kPa o n: 0,5 μ m é lula: 1kP a a les, Figur a n N en cada u acióndelm é o metría 3 D z amientos d t ro del sust r a 27) en los u no de los e é todopropu D (Figura 2 d ados (gen e r ato que la célu l e jes.  esto 2 6) y e rados l a   Si m que s A d P P P P P P P P P P P P P P P P P P m ulaciónpor Para ev a s e intentará n Tabla 9. d hesión Fo c P art-3-1.pa1 P art-3-1.pa1 P art-3-1.pa1 P art-3-1.pa 2 P art-3-1.pa 2 P art-3-1.pa 2 P art-3-1.pa 3 P art-3-1.pa 3 P art-3-1.pa 3 P art-3-1.pa 4 P art-3-1.pa 4 P art-3-1.pa 4 P art-3-1.pb1 P art-3-1.pb1 P art-3-1.pb1 P art-3-1.pb 2 P art-3-1.pb 2 P art-3-1.pb 2 elementosf Figura 27: a luar la bon d n recuperar Recuperac i c al Eje 1 2 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 4 1 4 2 4 3 1 2 3 2 1 2 2 2 3 initosdelai Adhesione s d ad del mé t en diferen t i ón de fuer z Fuerza ( 10 10 -1 0 -1 5 15 30 1 2 3 10 10 0 10 0 -5 0 -5 0 -5 0 -2 0 20 -2 0 43 nteracciónc s focales. P u t odo se intr o t es lugares d z as y errore s ( nN) Frec u 1 0 - 5 - 1 3 0 1 0 9 0 - 4 0 - 5 0 - 4 0 - 1 0 - 2 élula‐mater i u ntos de ap l o ducirán fu d e aplicaci ó s cometido s u perada(nN ) 1 0.0009 9.9994 - 9.9999 15.0000 1 5.0000 3 0.0001 0.9967 2.0029 2.9993 9.9988 00.0014 9 9.9997 4 9.9989 5 0.0011 4 9.9997 19.9999 1 9.9999 2 0.0001 i al l icación de erzas de m a ó n. s para el ca s ) Error re (% 8.960 E 5.517 E -8.002 E -2.448 E 1.750 E 1.871 E 3.259 E 1.443 E 2.232 E 1.236 E 1.422 E 2.931 E -2.169 E -2.292 E -6.118 E -7.385 E 5.163 E -4.585 E fuerzas. a gnitud co n s o lineal. lativo ) A E -03 E -03 E -04 E -04 E -04 E -04 E -01 E -01 E -02 E -02 E -03 E -04 E -03 E -03 E -04 E -04 E -04 E -04  n ocida Error A bsoluto(n N 8.960E-04 5.517E-04 8.002E-05 3.673E-05 2.625E-05 5.614E-05 3.259E-03 2.886E-03 6.697E-04 1.236E-03 1.422E-03 2.931E-04 1.084E-03 1.146E-03 3.059E-04 1.477E-04 1.033E-04 9.170E-05 N )   44  4.Aplicacióndelmétodopropuesto Al igual que en los casos 2D y semi-3D el error cometido al recuperar las fuerzas es mínimo. El máximo error relativo es inferior al 0.4%. Los errores mayores se cometen en la recuperación de las fuerzas más pequeñas en módulo, las que menor contribución tienen para generar el campo de desplazamientos. 4.6 Aplicación del método propuesto para la resolución del problema inverso en un medio elástico nolineal en configuración 3D. A continuación se expone un caso sobre una geometría 3D y material no-lineal en el que, para un campo de desplazamientos dados (generados con elementos finitos), se recuperan las fuerzas Propiedades del material: Propiedades del material: El material utilizado como sustrato es un hidrogel con una concentración de colágeno del 1% y una concentración de agarosa del 1% que tiene las siguientes propiedades elásticas (cortesía de los colaboradores del CEIT): Módulo de Young célula: 1kPa Figura 27. Curva tensión nominal (kPa)-deformación nominal y=14891x3‐3267.x2+296.6x R²=0.999 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tensión(σ) Deformación(ε) Curvatensión‐deformación   45  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material Curva tensión (kPa)-deformación del material c1a1. La relación tensióndeformación es claramente no lineal. La función de densidad de energía de deformación (obtenida en el Anexo II), basándonos en el modelo de Mooney Rivlin es:     3·55.20613·47.1640 21     IIW En las mismas zonas que en el caso del material elástico se aplican las siguientes fuerzas (en nN ) : Los resultados los encontramos en la tabla 10. Tabla 10. Recuperación de fuerzas y errores cometidos para el caso no-lineal. Adhesión Focal Eje Fuerza(nN) Frecuperada (nN) Error relativo (%) Error Absoluto(nN) Part-3-1.pa1 1 10 8.114E+00 1.886E+01 1.886E+00 Part-3-1.pa1 2 10 1.311E+01 3.112E+01 3.112E+00 Part-3-1.pa1 3 -10 -6.290E+00 -3.710E+01 3.710E+00 Part-3-1.pa2 1 -15 -1.703E+01 -1.350E+01 2.025E+00 Part-3-1.pa2 2 15 1.084E+01 2.771E+01 4.157E+00 Part-3-1.pa2 3 30 3.062E+01 2.053E+00 6.160E-01 Part-3-1.pa3 1 1 1.650E+00 6.503E+01 6.503E-01 Part-3-1.pa3 2 2 -5.576E+00 3.788E+02 7.576E+00 Part-3-1.pa3 3 3 -5.431E+00 2.810E+02 8.431E+00 Part-3-1.pa4 1 10 1.727E+01 7.266E+01 7.266E+00 Part-3-1.pa4 2 100 9.458E+01 5.416E+00 5.416E+00 Part-3-1.pa4 3 100 8.911E+01 1.089E+01 1.089E+01 Part-3-1.pb1 1 -50 -4.726E+01 -5.472E+00 2.736E+00 Part-3-1.pb1 2 -50 -4.175E+01 -1.651E+01 8.253E+00 Part-3-1.pb1 3 -50 -4.626E+01 -7.474E+00 3.737E+00 Part-3-1.pb2 1 -20 -1.991E+01 -4.677E-01 9.354E-02 Part-3-1.pb2 2 20 2.341E+01 1.705E+01 3.410E+00 Part-3-1.pb2 3 -20 -1.839E+01 -8.061E+00 1.612E+00   46  4.Aplicacióndelmétodopropuesto Si las fuerzas son de magnitudes parecidas los errores disminuyen y siguen siendo mayores en las adhesiones focales con menores fuerzas (ver Tabla 11) Tabla 11. Recuperación de fuerzas y errores cometidos para el caso no-lineal. Adhesión Focal Eje Fuerza(nN) Frecuperada (nN) Error relativo (%) Error Absoluto(nN) Part-3-1.pa1 1 10 9.573E+00 4.266E+00 4.266E-01 Part-3-1.pa1 2 10 1.349E+01 3.492E+01 3.492E+00 Part-3-1.pa1 3 -10 -7.647E+00 -2.353E+01 2.353E+00 Part-3-1.pa2 1 -15 -1.736E+01 -1.573E+01 2.360E+00 Part-3-1.pa2 2 15 1.071E+01 2.860E+01 4.291E+00 Part-3-1.pa2 3 30 2.986E+01 4.602E-01 1.380E-01 Part-3-1.pa3 1 1 2.270E+00 1.270E+02 1.270E+00 Part-3-1.pa3 2 2 -1.194E+00 1.597E+02 3.194E+00 Part-3-1.pa3 3 3 4.465E-01 8.512E+01 2.554E+00 Part-3-1.pa4 1 10 1.887E+01 8.869E+01 8.869E+00 Part-3-1.pa4 2 20 2.120E+01 5.985E+00 1.197E+00 Part-3-1.pa4 3 30 2.692E+01 1.026E+01 3.079E+00 Part-3-1.pb1 1 -12 -1.092E+01 -8.977E+00 1.077E+00 Part-3-1.pb1 2 -11 -7.556E+00 -3.131E+01 3.444E+00 Part-3-1.pb1 3 -10 -9.576E+00 -4.239E+00 4.239E-01 Part-3-1.pb2 1 -20 -1.958E+01 -2.098E+00 4.196E-01 Part-3-1.pb2 2 20 2.393E+01 1.967E+01 3.934E+00 Part-3-1.pb2 3 -20 -1.933E+01 -3.330E+00 6.660E-01   47  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material En el caso de que todas las fuerzas fueran iguales y de pequeña magnitud obtenemos los siguientes resultados (Tabla 12 ) : Tabla 12. Recuperación de fuerzas y errores cometidos para el caso no-lineal y fuerzas de pequeña magnitud. AdhesiónFocalEjeFuerza(nN) Frecuperada (nN) Errorrelativo (%)ErrorAbsoluto(nN) Part‐3‐1.pa11202.180E+018.995E+001.799E+00 Part‐3‐1.pa12202.121E+016.074E+001.215E+00 Part‐3‐1.pa13201.689E+011.555E+013.110E+00 Part‐3‐1.pa21201.877E+016.148E+001.230E+00 Part‐3‐1.pa22201.819E+019.033E+001.807E+00 Part‐3‐1.pa23202.132E+016.607E+001.321E+00 Part‐3‐1.pa31202.043E+012.132E+004.263E‐01 Part‐3‐1.pa32201.928E+013.619E+007.237E‐01 Part‐3‐1.pa33202.310E+011.549E+013.098E+00 Part‐3‐1.pa41203.216E+016.078E+011.216E+01 Part‐3‐1.pa42202.751E+013.756E+017.512E+00 Part‐3‐1.pa43202.423E+012.115E+014.229E+00 Part‐3‐1.pb11201.973E+011.373E+002.746E‐01 Part‐3‐1.pb12202.259E+011.294E+012.589E+00 Part‐3‐1.pb13202.026E+011.296E+002.592E‐01 Part‐3‐1.pb21201.603E+011.986E+013.972E+00 Part‐3‐1.pb22201.595E+012.023E+014.046E+00 Part‐3‐1.pb23201.489E+012.554E+015.108E+00   48  4.Aplicacióndelmétodopropuesto En el caso de que todas las fuerzas fueran iguales y de gran magnitud obtenemos los siguientes resultados: Tabla 13. Recuperación de fuerzas y errores cometidos para el caso no-lineal y fuerzas de pequeña magnitud. AdhesiónFocalEjeFuerza(nN) Frecuperada (nN) Errorrelativo (%)ErrorAbsoluto(nN) Part‐3‐1.pa111201.303E+028.625E+001.035E+01 Part‐3‐1.pa121201.269E+025.733E+006.880E+00 Part‐3‐1.pa131201.016E+021.534E+011.841E+01 Part‐3‐1.pa211201.121E+026.596E+007.916E+00 Part‐3‐1.pa221201.085E+029.613E+001.154E+01 Part‐3‐1.pa231201.276E+026.371E+007.646E+00 Part‐3‐1.pa311201.226E+022.194E+002.633E+00 Part‐3‐1.pa321201.188E+029.695E‐011.163E+00 Part‐3‐1.pa331201.373E+021.443E+011.732E+01 Part‐3‐1.pa411201.934E+026.116E+017.340E+01 Part‐3‐1.pa421201.656E+023.803E+014.564E+01 Part‐3‐1.pa431201.480E+022.330E+012.797E+01 Part‐3‐1.pb111201.182E+021.477E+001.773E+00 Part‐3‐1.pb121201.357E+021.310E+011.572E+01 Part‐3‐1.pb131201.213E+021.093E+001.311E+00 Part‐3‐1.pb211209.732E+011.890E+012.268E+01 Part‐3‐1.pb221209.553E+012.039E+012.447E+01 Part‐3‐1.pb231208.918E+012.569E+013.082E+01 El error promedio es en ambos casos del 15% . El número de campos de desplazamientos test que elijamos dependerá de la importancia que se dé a las fuerzas de menor magnitud. Si el interés se centra en las fuerzas de mayor magnitud bastará con tomar unos pocos. 5. Comparación de los diferentes métodos: 5.1 Recuperación de las fuerzas con aproximación de mínimos cuadrados y solución de Boussinesq en configuración 2D: Es interesante conocer la capacidad de recuperar las fuerzas si el campo de desplazamientos test se ha creado mediante la solución de Boussinesq en lugar de con elementos finitos ya que la velocidad de cálculo es superior en el primer caso. Para ello se genera una solución con elementos finitos con un mallado muy fino que   Si m Nod o Esta d Nod o m ulaciónpor T o 1 2 3 4 d o de carga T o 1 2 3 4 elementosf T abla A1. D s 2 T abla A2. D initosdelai esplazamie n Desplaz a Figura A 3 esplazamie n Desplaz a 55 nteracciónc n tos asocia d a miento X ( 0.00E+00 9.52E-08 1.90E-07 1.90E-07 3 . Segundo n tos asocia d a miento X ( 0.00E+00 4.76E-08 4.76E-08 4.76E-08 élula‐mater i d os al esta d ( mm) D estado de c d os al esta d ( mm) D i al d o de carga s D esplazami 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 argas d o de carga s D esplazami 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 s 1 ento Y(m m 0 0E+00 0 0E+00 0 0E+00 0 0E+00 s 2 ento Y(m m 0 0E+00 0 0E+00 0 0E+00 0 0E+00  m ) m )   56  AnexoII.Determinacióndelasfuncionesdedensidaddeenergíadedeformación A continuación generamos en MatLab un vector que contenga los desplazamientos en todos los puntos de la barra para cada uno de los estados de carga y para combinaciones lineales de los mismos. Es importante introducir los desplazamientos en los todos los nodos. Si no se hace así no podemos asegurar que estamos entrenando correctamente a la red. Para crear los estados de cargas se ha programado una función MatLab que aprovechando la linealidad del problema nos permite generar rápida y fácilmente los resultados. En este caso creamos 200 estados de carga. El siguiente paso consiste en crear una red neuronal con MatLab. Utilizaremos 400 neuronas en la capa intermedia y el algoritmo de Levenberg-Marquart para su entrenamiento. Figura A4. Parámetros de la simulación de redes neuronales Una vez creada y entrenada la red podemos obtener los resultados para los desplazamientos dados. Como ejemplo tomemos el vector de desplazamientos (0, 1e-6, 1e-6, 1e-6). El resultado de simular la red con dicho vector de desplazamientos como input es el siguiente:   57  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material f1= 0 N f2=104.5504 N f3=-0.0086 N f4= 0 N Podemos comprobar con AMEB (Figura A5) que las fuerzas recuperadas proporcionan unos desplazamientos muy próximos a los originales. Figura A5. Resultados en desplazamientos con las fuerzas recuperadas Anexo II: Determinación de las funciones de densidad de energía de deformación para los hidrogeles. Los materiales cuyo comportamiento depende únicamente del estado actual de deformación se denominan generalmente elásticos. Si la relación entre las tensiones y las deformaciones es lineal (σ=E·ε) entonces se denominan elástico lineales.   58  AnexoII.Determinacióndelasfuncionesdedensidaddeenergíadedeformación Figura A6. Comportamiento de material lineal Los hidrogeles sobre los que se colocan las células para realizar experimentos de TFM exhiben en general un altamente no lineal (Figura A7) y cuasi-incompresible que podemos asemejar a un modelo hiperelástico con módulo de Poisson 0.5. Figura A7. Comportamiento no-lineal de un material La función de densidad de energía de deformación es una función escalar que relaciona la densidad de energía de deformación con el gradiente de deformación (con y=14891x3‐3267.x2+296.6x R²=0.999 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Tensión(σ) Deformación(ε) Curvatensión‐deformación   59  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material un tensor de deformación). Su derivada con respecto al correspondiente tensor de deformación determinará el tensor de tensiones asociado. El gradiente de deformación asociado a un ensayo de tracción uniaxial de un material incompresible es:                     1 00 0 1 0 00 F Si llamamos Sij al segundo tensor de Piola, que relaciona las fuerzas y áreas de la configuración indeformada, W a la función de densidad de energía de deformación y E al tensor de deformaciones de Green-Lagrange podemos demostrar que: ij ij E W S   La bibliografía (Cat et al., 2009) sugiere que la ley de Mooney-Rivlin es adecuada para describir el comportamiento de los hidrogeles. La función de densidad de energía de deformación puede escribirse en función de los invariantes del tensor de deformación de Cauchy-Green por la izquierda y de dos constantes C1 y C2     3·3· 2211    ICICW A partir de ella podemos obtener la tensión nominal como:     2 1 1 12 ···2 CC    Podemos escribir la tensión nominal en función de la tensión ingenieril (representada por el primer tensor de Piola), las deformaciones nominales y los alargamientos como sigue:   N ingN ingingN          1 )1ln( 1·   60  AnexoII.Determinacióndelasfuncionesdedensidaddeenergíadedeformación A continuación se muestran los pasos necesarios para obtener los coeficientes C1 y C2: 1. Datos experimentales Los siguientes datos experimentales son cortesía de:[Poner nombres o nombre del instituto] Tabla A3. Deformación y tensión ingenieril del ensayo uniaxial del material del andamio εing σing 0.0001 0.304875 0.000146 0.4367955 0.000214 0.631728 0.000313 0.913647 0.000458 1.3248795 0.000669 1.90213425 0.000978 2.7660285 0.00143 4.0122225 0.00209 5.79975 0.00306 8.40888 0.00447 12.142755 0.00654 17.466705 0.00957 24.9992325 0.014 35.4375 0.0205 49.338375 0.0299 66.06405 0.0438 83.0448 0.064 96.432 0.0936 102.4218 0.137 99.462 0.2 88.95   61  Simulaciónporelementosfinitosdelainteraccióncélula‐material 2. Obtención de los alargamientos y tensiones nominales Tabla A4. Alargamiento y tensión nominal del ensayo uniaxial del material del andamio λ σN 1 0 1.000099995 0.30490549 1.000145989 0.43685927 1.000213977 0.63186319 1.000312951 0.91393297 1.000457895 1.32548629 1.000668776 1.90340678 1.000977522 2.76873368 1.001428979 4.01795998 1.002087819 5.81187148 1.003055328 8.43461117 1.004460039 12.1970331 1.006518707 17.5809373 1.009524498 25.2384752 1.013902905 35.933625 1.020292703 50.3498117 1.02946171 68.0393651 1.0428679 86.6821622 1.062035391 102.603648 1.089475006 112.00848 1.128393215 113.088294 1.182321557 106.74   62  AnexoII.Determinacióndelasfuncionesdedensidaddeenergíadedeformación La curva correspondiente: Figura A8. Curva tensión nominal-Alargamiento de un material no-lineal 3. Ajuste por mínimos cuadrados de los coeficientes: Los coeficientes obtenidos son C1 = -1517 y C2 = 1898. La bondad de la aproximación la estudiamos con el parámetro R2 cuyo valor es 0.9812. La aproximación es buena. La curva resultante es: 0 20 40 60 80 100 120 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 Tensión(kPa) Alargamiento Tensión‐ Alargamiento   Si m m ulaciónpor L solució n tensión) punto d e F i E los pará m los valo material ofrece A elementosf L a deforma c n no es est a si no ten e e tensión m á i gura A10. C E l paquete d m etros de l res de ten s son C 1 =-1 6 A BAQUS p a initosdelai Figura A c ión nomi n a ble (hay d e mos en cu á xima. C omparaci ó d e CAE A B a función d s ión y def o 6 40,47 y C a ra que el m 63 nteracciónc A 9. Curva d n al máxim a d os estados enta el da ñ ó n de la cur v B AQUS ta m d e densidad o rmación n o 2 =2061,55 m aterial sea élula‐mater i d e aproxim a a es 0.119. de defor m ñ o que suf r v a experim e m bién ofre c de energí a o minal. Lo s El valor d estable es 0 i al a ción A partir m ación que r e el mater i e ntal y la a p c e la posibi a d e deform s coeficien t e deforma c 0 .13. de ese pu n tienen la m i al superad p roximada lidad de o b m ación a pa r t es de la l e c ión máxim  n to la m isma o ese b tener r tir de e y de a que   64  