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Daniel Ortigosa Val - 1 - PROYECTO FINAL DE CARRERA Modelo dinámico de una aeronave con tres grados de libertad AUTOR Daniel Ortigosa Val DIRECTOR Rafael Rey Gayo ESPECIALIDAD Mecánica CONVOCATORIA Marzo 2012 Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 2 - RESUMEN El presente proyecto consiste en el análisis de un modelo dinámico de una aeronave, considerando tres grados de libertad. Se crea el modelo con la herramienta Simulink de MatLab, la cuál permite hacer una simulación para obtener resultados y realizar un estudio del comportamiento del aeroplano. El estudio se lleva a cabo teniendo en cuenta tres grados de libertad, por lo que el modelo analiza las fuerzas y momentos que crean la trayectoria en un mismo plano. Para las variables de entrada, los mandos de que dispondrá la aeronave serán dos, la tracción del motor y la deflexión del estabilizador de cola, ya que son los únicos que influyen en el movimiento dentro del plano. En el documento se muestra cómo se crea y se implementa el modelo teórico en el programa. Después se muestra la forma de utilización del modelo, exponiendo las posibilidades teóricas y las aplicaciones que proporciona. Y una vez mostrado, se utiliza para obtener los puntos de equilibrio del aeroplano a distintas alturas y el análisis de distintas maniobras de incremento de velocidad, interpretando y comparando los resultados para conocer la reacción del mismo. Daniel Ortigosa Val - 3 - ÍNDICE 1 INTRODUCCIÓN...........................................................................................................5 2 MOVIMIENTO DE UN AEROPLANO........................................................................6 2.1 Sistemas de coordenadas y relación entre ellos.........................................................6 2.1.1 Sistema de ejes tierra .........................................................................................6 2.1.2 Sistema de ejes horizonte local ..........................................................................6 2.1.3 Sistema de ejes cuerpo .......................................................................................7 2.1.4 Sistema de ejes viento ........................................................................................7 2.1.5 Relación entre ejes cuerpo y ejes horizonte local..............................................8 2.1.6 Relación entre ejes cuerpo y ejes viento..........................................................10 2.1.7 Convenio de signos para las superficies de control ........................................12 2.2 Ecuaciones de movimiento de un sólido .................................................................13 2.3 Fuerzas consideradas...............................................................................................16 2.3.1 Fuerzas aerodinámicas....................................................................................17 2.3.2 Fuerzas propulsión ..........................................................................................20 2.3.3 Fuerzas gravedad.............................................................................................21 3 IMPLEMENTACIÓN EN SIMULINK/MATLAB.....................................................23 3.1 Descripción..............................................................................................................23 3.1.1 MatLab .............................................................................................................23 3.1.2 Simulink............................................................................................................24 3.2 Diagrama de bloques general ..................................................................................25 3.2.1 Bloque general .................................................................................................27 3.2.2 Bloque integrador ............................................................................................29 3.2.3 Bloque fuerza aerodinámica............................................................................31 3.2.4 Bloque motor....................................................................................................34 3.2.5 Bloque centrado ...............................................................................................35 3.2.6 Bloque sumador fuerzas...................................................................................36 3.2.7 Bloque atmósfera ISA.......................................................................................38 Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 4 - 4 UTILIZACIÓN DEL MODELO DINÁMICO ............................................................39 4.1 Punto de equilibrio ..................................................................................................39 4.2 Cálculo de maniobras ..............................................................................................40 5 APLICACIÓN................................................................................................................41 5.1 Definición de parámetros ........................................................................................41 5.2 Vuelo rectilíneo a distintas alturas...........................................................................42 5.2.1 Velocidad mínima y máxima............................................................................42 5.2.2 Velocidad de máximo alcance..........................................................................47 5.3 Simulación de maniobra de incremento de velocidad.............................................52 5.3.1 Maniobra 1.......................................................................................................53 5.3.2 Maniobra 2.......................................................................................................57 5.3.3 Análisis maniobras...........................................................................................61 6 CONCLUSIÓN..............................................................................................................65 Daniel Ortigosa Val - 5 - 1 . INTRODUCCIÓN El presente proyecto consiste en el análisis de un modelo dinámico de una aeronave, considerando tres grados de libertad. Se crea el modelo con la herramienta Simulink de MatLab, la cuál permite hacer una simulación para obtener resultados y realizar un estudio del comportamiento del aeroplano. El estudio se lleva a cabo teniendo en cuenta tres grados de libertad, por lo que el modelo analiza las fuerzas y momentos que crean la trayectoria en un mismo plano. Para las variables de entrada, los mandos de que dispondrá la aeronave serán dos, la tracción del motor y la deflexión del estabilizador de cola, ya que son los únicos que influyen en el movimiento dentro del plano. En el documento se muestra cómo se crea y se implementa el modelo teórico en el programa. Después se muestra la forma de utilización del modelo, exponiendo las posibilidades teóricas y las aplicaciones que proporciona. Y una vez mostrado, se utiliza para obtener los puntos de equilibrio del aeroplano a distintas alturas y el análisis de distintas maniobras de incremento de velocidad, interpretando y comparando los resultados para conocer la reacción del mismo. Este proyecto es un modelo novedoso para el departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Zaragoza, ya que no se había hecho un análisis de este tipo, que estudiara la dinámica de vuelo de un aeroplano, desde un punto de vista mecánico. En estos momentos económicos tan difíciles que estamos viviendo, representa una forma de avanzar en el estudio aeronáutico de una manera más sólida, sin grandes inversiones de dinero. Personalmente, la razón personal para hacer este proyecto es la posibilidad de introducirme en el mundo de la aeronáutica, muy atractivo desde el punto de vista de la ingeniería, y a la vez poder colaborar y avanzar en el estudio de la mecánica de vuelo, aportando mis conocimientos y, sobretodo, aprendiendo de la realización del proyecto y de los resultados obtenidos. Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 6 - 2 . MOVIMIENTO DE UN AEROPLANO 2.1 Sistemas de coordenadas y relación entre ellos Para situar el avión en el espacio y referenciar todas las fuerzas vamos a establecer los distintos sistemas de coordenadas considerados. A lo largo del proyecto vamos a utilizar los distintos ejes de referencia, y es importante para la comprensión su correcto entendimiento y conocer la relación en ellos. 2.1.1 SISTEMA DE EJES TIERRA Los ejes tierra (F e ) son un sistema de referencia ortogonal O e X e Y e Z e que se considera fijo en el espacio. Su origen puede ser fijado en una posición arbitraria, pero siempre se elegirá coincidente con el centro de gravedad del avión antes de comenzar cualquier estudio. El eje 'Z e ' va hacia abajo, paralelo a la dirección normal de la gravedad. El eje 'X e ' se dirige hacia el norte y el eje 'Y e ' hacia el este. 2.1.2 SISTEMA DE EJES HORIZONTE LOCAL Los ejes horizonte local (F h ) son un sistema de referencia ortogonal O h X h Y h Z h . El origen 'O h ' se considerará en el centro de gravedad de la aeronave a estudio, mientras que los ejes 'X h Y h Z h ' se sitúan paralelos a los ejes tierra que existirían en el punto de intersección del radio vector que une el centro de gravedad del avión con la superficie terrestre. Daniel Ortigosa Val - 7 - 2.1.3 SISTEMA DE EJES CUERPO Los ejes cuerpo referidos al avión (F b ) son un sistema de referencia ortogonal O b X b Y b Z b . El origen 'O b ', coincide con el centro de gravedad de la aeronave. El plano X b O b Z b coincide con el plano de simetría del avión (si es simétrico). El eje 'X b ' se sitúa en dirección al morro del avión, el eje 'Y b ' va en dirección del ala derecha y el eje 'Z b ' hacia la parte inferior de la aeronave. 2.1.4 SISTEMA DE EJES VIENTO Los ejes viento (F w ) son un sistema de referencia ortogonal O w X w Y w Z w , también llamado ejes de trayectoria de vuelo. Tiene su origen 'O w ' en el centro de gravedad de la aeronave y la razón de estos ejes es que el eje 'X w ' va siempre alineado con el vector de la velocidad, pero en sentido contrario a la trayectoria que está siguiendo el avión en cada momento. El eje 'Y w ' coincide con el eje 'Y b ' y el eje 'Z w ' es perpendicular a sus ejes respectivos. Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 8 - 2.1.5 RELACIÓN ENTRE EJES CUERPO Y EJES HORIZONTE LOCAL Para situar el avión respecto a nuestros ejes y representar la relación entre ellos se va a hacer uso de los ángulos de Euler: Daniel Ortigosa Val - 9 - Para expresar un vector cualquiera en el sistema de referencia F b , cuando se conocen sus tres componentes en el sistema de referencia F h , se recurre al concepto de matriz de transformación o de rotación entre ambos sistemas, L bh : Aquí se muestran las tres rotaciones por separado expresadas de forma individual: Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 16 - 2.3 Fuerzas consideradas Las fuerzas y momentos considerados son las acciones exteriores debidas a la aerodinámica, la propulsión y la gravedad. De todas las fuerzas que actúan sobre un aeroplano en vuelo, las básicas y principales, porque afectan a todas las maniobras, son cuatro: sustentación, peso, empuje o tracción y resistencia. Estas cuatro fuerzas actúan en pares; la sustentación es opuesta al peso, y el empuje o tracción a la resistencia. También es importante destacar el momento de cabeceo o de picado, que se produce a lo largo del eje Y e incide directamente en la sustentación y la resistencia. El avance de un avión dentro de una masa de aire provoca un viento relativo que, al circular sobre sus alas, produce la sustentación. Al avanzar el avión por efecto de la tracción, automáticamente aparece otra fuerza, la resistencia al avance, que actúa en contraposición de la anterior. Por último, aparece la fuerza de gravedad, a la que se opone la nombrada sustentación . Daniel Ortigosa Val - 17 - 2.3.1 FUERZAS AERODINÁMICAS Son las fuerzas y momentos exteriores que actúan sobre las alas, fuselaje y cola del avión y producen la sustentación necesaria para que el avión se mantenga en el aire. Un avión se sustenta en el aire como consecuencia de la diferencia de presiones que se origina al incidir la corriente de aire sobre un perfil aerodinámico, como es el ala. En la parte superior de la misma se produce un aumento de velocidad, ya que la trayectoria a recorrer por las partículas de aire en ésta, es mayor que en la parte inferior, en el mismo tiempo. Entonces se origina en la parte superior una disminución de presión con respecto a la parte inferior, produciendo de esta forma la sustentación del ala. Esta fuerza, es la fuerza desarrollada por un perfil aerodinámico moviéndose en el aire, ejercida de abajo arriba, y cuya dirección es perpendicular al viento relativo y a la envergadura del avión (no necesariamente perpendiculares al horizonte). Se suele representar con la letra L del inglés Lift = SUSTENTACION y su fórmula es: L CSqL ⋅ ⋅ = Donde: 2 2 1Vq ⋅⋅= ρ q Presión aerodinámica ρ Densidad del aire V Velocidad del viento relativo S Superficie alar L C Coeficiente de sustentación. Aproximaremos este coeficiente como α α ⋅+= LLL CCC 0 , con α igual al ángulo de ataque Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 18 - Además también aparecen momentos a lo largo del eje Y debido a los distintos centros de presiones y el centro de gravedad del aeroplano, así como los producidos por las fuerzas sobre distintas partes del fuselaje. Se llama MOMENTO DE PICADO o DE CABECEO y su fórmula es: M CcSqM ⋅ ⋅ ⋅ = Donde: 2 2 1 Vq ⋅⋅= ρ q Presión aerodinámica ρ Densidad del aire V Velocidad del viento relativo S Superficie alar c Cuerda media aerodinámica del ala M C Coeficiente de momento de picado o cabeceo. Aproximaremos este coeficiente como 3 3 2 210 ααα ⋅+⋅+⋅+= aaaaC M , con α igual al ángulo de ataque Los mismos factores que contribuyen al vuelo producen efectos no deseables, como la resistencia. La resistencia es la fuerza que tiende a retardar el movimiento del avión en el aire. Un tipo de resistencia es la parásita, producida por la fricción del fuselaje, tren de aterrizaje, alerones, etc. Depende de la forma del objeto y de la rugosidad de su superficie. Se puede reducir mediante perfiles muy aerodinámicos del fuselaje y alas del avión. Hay diseños que incorporan elementos para reducir la fricción, consiguiendo que el aire que fluye en contacto con las alas mantenga el llamado flujo laminar cuando se desliza sobre ellas sin producir torbellinos. Otro tipo de resistencia, llamada resistencia inducida, es el resultado directo de la sustentación producida por las alas. Daniel Ortigosa Val - 19 - Se llama resistencia total a la suma de ambas resistencias. La ingeniería aeronáutica trata de conseguir que la relación entre la sustentación y la resistencia total sea lo más alta posible, que se obtiene teóricamente al igualar la resistencia aerodinámica con la inducida, pero dicha relación en la práctica está limitada por factores como la velocidad y el peso admisible de la célula del avión. Se suele representar con la letra D del inglés Drag = RESISTENCIA y su fórmula es: D CSqD ⋅ ⋅ = Donde: 2 2 1 Vq ⋅⋅= ρ q Presión aerodinámica ρ Densidad del aire V Velocidad del viento relativo S Superficie alar D C Coeficiente de resistencia. Aproximaremos este coeficiente como 3 3 2 210 ααα ⋅+⋅+⋅+= aaaaC D , con α igual al ángulo de ataque Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 20 - 2.3.2 FUERZAS PROPULSIÓN Para vencer la inercia del avión parado, acelerarlo en la carrera de despegue o en vuelo, mantener una tasa de ascenso adecuada y vencer la resistencia al avance se necesita una fuerza: el empuje o tracción. Esta fuerza se obtiene acelerando una masa de aire a una velocidad mayor que la del aeroplano. La reacción, de igual intensidad pero de sentido opuesto (3ª ley del movimiento de Newton), mueve el avión hacia adelante. En aviones de hélice, la tracción la genera la rotación de la hélice, movida por el motor, haciendo que una masa de aire se mueva hacia atrás e impulse al avión; en reactores, la tracción se logra directamente por la expulsión violenta de los gases quemados por la turbina. Esta fuerza se ejerce en la misma dirección a la que apunta el eje del sistema propulsor, que suele ser más o menos paralela al eje longitudinal del avión. Un factor principal que influye en esta fuerza es la potencia del motor, pero hay otros elementos que también influyen como pueden ser la forma y tamaño de la hélice, la densidad del aire, etc. Puesto que potencia es equivalente a energía por unidad de tiempo, a mayor potencia, mayor capacidad de aceleración. Con lo que la potencia y, por tanto, la tracción producida por la hélice, es un factor importante a la hora de determinar la tasa de ascenso de un avión. Daniel Ortigosa Val - 21 - En este caso la fórmula para determinar la TRACCIÓN o FUERZA DE EMPUJE es: max TkFm ⋅ = Donde: max T Tracción máxima que es capaz de producir el motor k Coeficiente que indica el porcentaje de tracción máxima 2.3.3 FUERZAS GRAVEDAD El peso es la fuerza de atracción gravitatoria sobre un cuerpo, siendo su dirección perpendicular a la superficie de la tierra, su sentido hacia abajo, y su intensidad proporcional a la masa de dicho cuerpo. Esta fuerza es la que atrae al avión hacia la tierra y ha de ser contrarrestada por la fuerza de sustentación para mantener al avión en el aire. Se expresa como: gmWFG ⋅ = = Donde: m Masa del avión g Gravedad Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 22 - Para expresar la fuerza de gravedad en los distintos ejes: ( )           = mg F h G 0 0 r ( ) ( )          − =⋅=           = φθ φθ θ coscos sincos sin mg mg mg FL F F F F h Gbh Gz Gy Gx b G rr Daniel Ortigosa Val - 23 - 3 . IMPLEMENTACIÓN EN SIMULINK/MATLAB 3.1 Descripción 3.1.1 MATLAB Por todos es conocido el programa MATLAB. MatLab (Matrix Laboratory) es un sistema basado en matrices para realizar cálculos matemáticos y de ingeniería. Pero para lo que corresponde a este proyecto, hay que destacar la parte de este programa con la que se va a realizar el mismo. Entre las múltiples herramientas que presenta este programa se encuentra SIMULINK, que es una librería de MATLAB que permite la simulación de procesos mediante diagramas de bloques. Y es una de las mejores herramientas posibles para la simulación de modelos dinámicos. Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 24 - 3.1.2 SIMULINK Como ya hemos introducido, SIMULINK es un paquete de software para modelar, simular y analizar sistemas dinámicos. Soporta sistemas lineales y no lineales, modelados en tiempo continuo, muestreados o un híbrido de los dos. Los sistemas pueden ser también multifrecuencia, es decir, tienen diferentes partes que se muestrean o actualizan con diferentes velocidades. Después de definir un modelo, puede simularlo utilizando cualquiera de los métodos de integración que tiene a su disposición o bien desde el menú de SIMULINK o introduciendo órdenes desde la ventana de órdenes de MATLAB. Los menús son apropiados para un trabajo interactivo; mientras que el enfoque de línea de orden es muy útil para ejecutar un lote de simulación. Para modelar, SIMULINK proporciona una interfaz de usuario gráfica (GUI) para construir los modelos como diagramas de bloques, utilizando operaciones con el ratón del tipo pulsar y arrastrar. Con esta interfaz, puede dibujar los modelos de la misma forma que lo haría con lápiz y papel (o como lo representan la mayoría de los libros de texto). Esto es un cambio radical respecto a los paquetes de simulación previos que requieren que formule las ecuaciones diferenciales mediante un lenguaje o programa. SIMULINK incluye una amplia biblioteca de bloques de sumideros, fuentes, componentes lineales y no lineales y conectores. Puede también personalizar y crear sus propios bloques. Los modelos son jerárquicos, es decir, puede construir modelos utilizando una metodología descendente y ascendente. Puede visualizar el sistema en un nivel superior, desde donde mediante un doble clic sobre los bloques puede ir descendiendo a través de los niveles para ver con más detalle el modelo. Esto le proporciona una comprensión de cómo se organiza un modelo y cómo interactúan sus partes. Los resultados de la simulación se pueden transferir al espacio de trabajo de MATLAB para su posterior postprocesamiento y visualización. Las herramientas de análisis de modelo que incluyen linealización y determinación de estados estacionarios pueden ser accedidas desde la línea de orden de MATLAB, así como las muchas utilidades que MATLAB y sus toolboxes de aplicación poseen. Y como MATLAB y SIMULINK están integrados, pueden simular, analizar y revisar sus modelos en uno u otro entorno en cualquier momento. Daniel Ortigosa Val - 25 - 3.2 Diagrama de bloques general Se va a realizar el desarrollo de un modelo dinámico de una aeronave considerando los tres grados de libertad. Eso indica que el análisis sólo es válido para el avión en movimiento dentro del mismo plano. Eso conlleva no considerar los giros y fuerzas laterales que producen movimiento fuera del plano, como los momentos de guiñada y balanceo. Descripción: Para el desarrollo del modelo dinámico vamos a utilizar los diagramas de bloques. Simulink nos proporciona la herramienta perfecta para hacer simulaciones mediante este método con un sistema que funciona mediante niveles. Nos proporciona los parámetros de entrada y salida de la aeronave, siendo la misma un subsistema que funciona como una caja negra de información. A la vez, podemos entrar en ella y acceder al siguiente nivel, compuesta de varios subsistemas más, que nos muestran cómo funcionan y las distintas interacciones de las variables de dentro. Y así se compone de distintos niveles que cada vez te permiten acceder a cada nivel inferior de cada elemento del que esta compuesto el diagrama general. Aquí se muestra el diagrama general: Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 32 - Estas fuerzas vienen determinadas por las fórmulas anteriormente descritas: L CSqL ⋅⋅= SUSTENTACIÓN M CcSqM ⋅ ⋅ ⋅ = MOMENTO DE CABECEO D CSqD ⋅⋅= RESISTENCIA Por lo que dentro de cada elemento se hallan los distintos coeficientes para obtener L, M y D en ejes viento. Y después se pasan a ejes cuerpo mediante la matriz de transformación para hallar la fuerza aerodinámica total del elemento. Se hace lo mismo con el ala, el fuselaje y la cola del avión, con sus respectivas características. El ángulo delta solo interviene en la aerodinámica de la cola: Daniel Ortigosa Val - 33 - Parámetros de entrada: )( smV : Módulo de la velocidad del avión. )( 3 mkg ρ : Densidad del aire a la altura de vuelo. )(rad α : Ángulo de ataque del avión. )(rad δ : Ángulo de deflexión del estabilizador de cola. Parámetros de salida: ala F : Vector de salida compuesto por la resistencia (D) en el eje X, el momento de cabeceo (M) en el eje Y, y la sustentación (L) en el eje Z, que forman las fuerzas aerodinámicas del ala. Todas ellas en ejes cuerpo. est F : Vector de salida compuesto por la resistencia (D) en el eje X, el momento de cabeceo (M) en el eje Y, y la sustentación (L) en el eje Z, que forman las fuerzas aerodinámicas del estabilizador. Todas ellas en ejes cuerpo. fusel F : Vector de salida compuesto por la resistencia (D) en el eje X, el momento de cabeceo (M) en el eje Y, y la sustentación (L) en el eje Z, que forman las fuerzas aerodinámicas del fuselaje. Todas ellas en ejes cuerpo. Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 34 - 3.2.4 BLOQUE MOTOR Descripción: La fuerza de tracción es la fuerza de empuje generada por la hélice a través del motor. La fuerza es el resultado de la ecuación max TkF m ⋅ = . Además la fuerza se descompone según el coeficiente i que depende de la alineación del eje del motor/hélice con el eje horizontal del aeroplano. Para nuestro modelo, al estar alineados, 0 = i , quedando un diseño así: Parámetros de entrada: k : Coeficiente que indica el porcentaje de tracción máxima )( max NT : Tracción máxima que es capaz de producir el motor Parámetros de salida: )(NF Xbody : Es la fuerza de tracción a la que esta sometida el avión a lo largo del eje X, en ejes cuerpo. )( mNM y ⋅ : Es el momento producido por el motor en el avión en el eje Y, pero en este caso será igual a cero, ya que se desprecian los momentos giroscópicos producidos. )(NF Zbody : Es la fuerza de tracción a la que esta sometida el avión a lo largo del eje Z, en ejes cuerpo. Daniel Ortigosa Val - 35 - 3.2.5 BLOQUE CENTRADO Descripción: Como la geometría de los distintos elementos viene dada respecto a un punto dado, para poder sumar las fuerzas y momentos en cada uno, es imprescindible referir cada elemento a un mismo punto. El bloque de centrado se encarga de situar cada parte respecto al centro de gravedad del aeroplano, en ejes cuerpo, para posteriormente poder agrupar las fuerzas creadas en cada elemento. Parámetros de entrada: alapos _ : Posición geométrica del centro de aplicación de las alas. colapos _ : Posición geométrica del centro de aplicación de la cola. fuselajepos _ : Posición geométrica del centro de aplicación del fuselaje. motor pos _ : Posición geométrica del centro de aplicación del motor. cdgpos _ : Posición del centro de gravedad del aeroplano. Parámetros de salida: bodyAla _ : Posición de las alas respecto al centro de gravedad en ejes cuerpo. bodyCola _ : Posición de la cola respecto al centro de gravedad en ejes cuerpo. bodyFus _ : Posición del fuselaje respecto al centro de gravedad en ejes cuerpo. bodyMotor _ : Posición del motor respecto al centro de gravedad en ejes cuerpo. Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 36 - 3.2.6 BLOQUE SUMADOR FUERZAS Descripción: El sumador de fuerzas es el bloque que se encarga de obtener la suma de todas las fuerzas y momentos en los distintos elementos del avión. Las partes que distinguimos del aeroplano que están sometidas a fuerzas exteriores las dividimos en alas, fuselaje, estabilizador y la proporcionada por el motor. Cada una de las partes está sometida a distintas fuerzas, que agrupamos para aplicarlas al centro de gravedad de cada elemento. Las fuerzas de cada elemento se suman individualmente a lo largo de los ejes X y Z. Por otro lado, en la suma de momentos, hay que tener en cuenta el punto de aplicación de las distintas fuerzas, así como los momentos que se transmitan. Para hallar el momento total en un punto B, transmitiendo fuerzas desde un punto A, usamos la siguiente expresión: BABAB FrMM ×+= ∑ ∑ Donde BAB Fr × es el producto vectorial entre el vector desplazamiento entre A y B, y la fuerza total aplicada en el punto B. Daniel Ortigosa Val - 37 - Parámetros de entrada: Las entradas de este bloque son las distintas fuerzas que sufre el avión, y que están divididas en las fuerzas sobre el ala, el estabilizador, el motor (la tracción) y el fuselaje. Están definidas como Fala, Fest, Fprop y Ffusel respectivamente, y son vectores compuestos por la fuerza en el eje X, el momento en el eje Y y la fuerza en el eje Z de cada elemento. Para poder hallar las fuerzas totales a las que esta sometido el avión también necesitamos como parámetro de entrada las posiciones de los elementos descritos, para poder transmitir los distintos momentos y fuerzas. Vienen definidos como Pos_ala, Pos_est, Pos_prop y Pos_fus y definen la posición de cada elemento respecto el centro de gravedad del avión. Son vectores compuestos por la distancia en el eje X, en el eje Y y en el eje Z de cada elemento al centro de gravedad. Parámetros de salida: Una vez sumados todas las fuerzas y momentos, como resultado tenemos la salidas del bloque, que son Fx, la fuerza total ejercida sobre el avión a lo largo del eje X; My, el momento total al que esta sometido el avión a lo largo del eje Y; y Fz, la fuerza total ejercida sobre el avión a lo largo del eje Z. Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 38 - 3.2.7 BLOQUE ATMÓSFERA ISA Descripción: Como las condiciones atmosféricas, presión, densidad y temperatura, para una altitud determinada, no tienen siempre los mismos valores, siendo prácticamente imposible que existan el mismo conjunto de condiciones en 2 días diferentes, es necesario tener unas condiciones estándar de referencia, respecto a las cuales se den los resultados de las actuaciones de un avión o de pruebas aerodinámicas, con el fin de tener un criterio común de comparación con resultados similares de otros aviones o pruebas. Este conjunto de condiciones de referencia estándar, o tipo, se conoce con el nombre de Atmosfera Tipo Internacional (ISA) de OACI (International Civil Aviation Organization) y se define como aquella que a un nivel del mar tiene una temperatura de 15 °C y una presión de 760 mm de mercurio, disminuyendo la temperatura a razón de 6,5 °C por cada kilómetro de altitud que se ascienda, hasta los 11 km. En este caso Simulink incorpora un bloque que proporciona todos los datos en función de la altura. En nuestro análisis, lo utilizamos para obtener la densidad del aire: Parámetros de entrada: )(, mZX ee : Indican la localización del avión en ejes tierra. 'X e ' indica la distancia en el eje X, mientras que 'Z e ' indica la altura en el eje Z, que entra en el bloque como 'h'. Parámetros de salida: )( 3 mkg ρ : Indica la densidad del aire a la altura determinada. El resto de salidas las terminamos con la salida Terminator para cerrarlas, ya que no las vamos a utilizar durante el análisis. Daniel Ortigosa Val - 39 - 4 . UTILIZACIÓN DEL MODELO DINÁMICO 4.1 Punto de equilibrio El punto de equilibrio de la aeronave es el estado en el cual las aceleraciones angulares y lineales a las que esta sometida, son igual a cero. Es decir, el punto de equilibrio aparece cuando las entradas de la aeronave consiguen que las aceleraciones totales sean nulas. Para ello u, w, q deben ser constantes en el movimiento: 0 = → = ucteu & 0 = → = wctew & 0 = → = qcteq & Se consigue determinar este punto de equilibrio porque SIMULINK realiza iteraciones siguiendo un algoritmo de optimización hasta conseguir que el término de aceleración en cada ecuación desaparezca. Los puntos de equilibrio que se buscan son los que corresponden a un vuelo rectilíneo horizontal. Esto es, la aeronave ni gana ni pierde altura. Esto implica que el ángulo de asiento de la aeronave θ tiene que ser igual al ángulo de ataque α . Esta tercera condición determina la unicidad de solución del punto de equilibrio. Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 40 - 4.2 Cálculo de maniobras Una vez conocidos distintos estados de la aeronave, se van a simular maniobras de vuelo para analizar cómo se comporta el aeroplano. Para mover el avión sólo disponemos de los mandos principales, que en nuestro análisis son el ángulo de deflexión de cola δ y la tracción del motor transmitida por el coeficiente k. SIMULINK proporciona la posibilidad de introducir las variables de entrada como se desee, variando su evolución con el tiempo. Así se tiene la posibilidad de simular una maniobra tal y como se haría con los dispositivos reales de mandos de control. Después deberemos estudiar los resultados obtenidos, analizando las distintas variables de salida como son la altura, la velocidad, el ángulo de ataque α o el ángulo de planeo. MatLab proporciona el espacio de trabajo adecuado para examinar e interpretar los resultados comprobando cómo se comporta la aeronave. Daniel Ortigosa Val - 41 - 5 . APLICACIÓN 5.1 Definición de parámetros Posición geométrica (m) Centro de gravedad ( 0.4 , 0 , 0 ) Alas ( 0 , 0 , 0 ) Fuselaje ( 0 , 0 , 0 ) Cola ( 3.420 , 0 , -0.607 ) Motor ( 3.600 , 0 , -0.264 ) Coeficientes kgm 900 = Avión 2 10 mkgIy⋅= 1186.05836.1 + = α L C 0276.00979.07181.0 2 ++= αα D C 0174.02885.00428.05872.0 23 −−+= ααα M C 2 3.3=S Alas 3.3 = c 0102.06231.0 − = α L C 0154.00463.04036.06731.0 23 +−+= ααα D C 0035.016.00355.0 2 +−= αα M C 2 3.3=S Fuselaje 3.3 = c 078.01292.24.1 − + = α δ L C α 005.0 = D C 0= M C 7538.2 = S Cola 3.3 = c Motor NT 900 max = Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 48 - Estos son los datos para una altura de 0m: Delta Alfa (rad) Alfa (grados) k V K/V 0,37438 0,2618 15 0,67225 24,5141 0,02742299 0,36381 0,25084 14,3720397 0,65729 25 0,0262916 0,28367 0,16411 9,40278839 0,57374 30 0,01912467 0,23649 0,10961 6,28017571 0,57685 35 0,01648143 0,20671 0,073551 4,21415202 0,63284 40 0,015821 0,20478 0,071157 4,07698625 0,63921 40,41 0,01581811 0,18679 0,048582 2,78353705 0,72563 45 0,01612511 0,17283 0,03062 1,75439267 0,84694 50 0,0169388 0,16268 0,017284 0,99029794 0,99224 55 0,01804073 0,16225 0,016714 0,95763942 1 55,248 0,0181002 Maximo alcance (0m) 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0 10 20 30 40 50 60 V K/V Velocidad de máximo alcance a 0m de altura: smV alcance 41.40 max = Daniel Ortigosa Val - 49 - Estos son los datos para una altura de 1000m: Delta Alfa (rad) Alfa (grados) k V K/V 0,37438 0,2618 15 0,67225 25,7337 0,02612333 0,3021 0,18466 10,5802139 0,58649 30 0,01954967 0,24968 0,12514 7,16997708 0,5688 35 0,01625143 0,21654 0,085614 4,9053094 0,60665 40 0,01516625 0,20429 0,070559 4,04272345 0,64087 42,53 0,01506866 0,19438 0,058189 3,33397632 0,6822 45 0,01516 0,17887 0,038438 2,20233002 0,78624 50 0,0157248 0,16759 0,023764 1,36157372 0,9137 55 0,01661273 0,16225 0,016713 0,95758212 1 57,997 0,01724227 Maximo alcance (1000m) 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0 10 20 30 40 50 60 70 V K/V Velocidad de máximo alcance a 1000m de altura: smV alcance 53.42 max = Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 50 - Estos son los datos para una altura de 5000m: Delta Alfa (rad) Alfa (grados) k V K/V 0,37438 0,2618 15 0,67225 31,6236 0,02125786 0,32404 0,20863 11,9535905 0,60765 35 0,01736143 0,27219 0,15111 8,657945 0,56887 40 0,01422175 0,23736 0,11063 6,33861727 0,57609 45 0,012802 0,21297 0,081251 4,6553285 0,61507 50 0,0123014 0,2047 0,071066 4,07177235 0,63947 52,15 0,01226213 0,19529 0,059321 3,39883499 0,6778 55 0,01232364 0,18206 0,042548 2,43781513 0,75954 60 0,012659 0,16399 0,019023 1,08993506 0,96943 70 0,013849 0,16225 0,016715 0,95769672 1 71,27 0,01403115 Maximo alcance (5000m) 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0 10 20 30 40 50 60 70 80 V K/V Velocidad de máximo alcance a 5000m de altura: smV alcance 15.52 max = Daniel Ortigosa Val - 51 - La grafica siguiente muestra la evolución de todas las velocidades obtenidas dependiendo de la altura. Podemos destacar que el cambio significativo de densidad a 5000m de altura influye de manera notable en la velocidad del aeroplano: 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Velocidad Altura Vmin Vmax_alcance Vmax Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 52 - 5.3 Simulación de maniobra de incremento de velocidad En este apartado se va a simular una maniobra de incremento de velocidad a 1000m de altura. Para ello se cuenta con los mandos de entrada. Se quiere aumentar la velocidad de 30m/s a 50m/s, de una forma controlada. Para empezar se muestra el estado de inicio y el estado final al que se quiere llegar para comprobar el estado de las variables y poder alcanzar los estados deseados: ALTURA 1000m V = 30 m/s δ = 0.3021 rad k = 0.58649 α = 0.18466 rad Se va a realizar la maniobra de incremento de velocidad de dos formas distintas, para comparar las reacciones del aeroplano. En ambos casos se realizará un cambio constante de los mandos en un periodo de tiempo, pero uno después de otro. En el primer caso cambiaremos primero el ángulo de deflexión de cola y luego aumentaremos la fuerza de tracción, mientras que el segundo caso haremos lo contrario. En ambas maniobras el cambio de las entradas con los mandos se realizará durante 10seg cada una, por lo que el primer paso es hallar la pendiente de la señal de entrada de ambos mandos para obtener los estados que queremos alcanzar en ese periodo de tiempo: PENDIENTE δ 012323.0 10 0 17887.03021.0 −= − − = δ m PENDIENTE k 019975.0 10 0 78624.058649.0 = − − = k m V = 50 m/s δ = 0.17887 rad k = 0.78624 α = 0.038438 rad Daniel Ortigosa Val - 53 - Para realizar la maniobra, hay que introducir las condiciones iniciales en el integrador, que conocemos del estado inicial: Velocidad inicial 0 V 30 m/s Alfa inicial 0 α 0.18466 rad Theta inicial 0 θ 0.18466 rad Posición inicial [x,z] [0 , 1000] m Y para asegurar que se empieza en un punto de equilibrio estable, se dejan 5 seg iniciales para comenzar la maniobra. 5.3.1 MANIOBRA 1 Se va a pasar del estado inicial de 30 m/s al estado final de 50m/s. En este primer caso se empieza cambiando el ángulo del estabilizador δ de 0.30212 rad a 0.17887 rad. Se va a hacer el cambio en una evolución de 10 seg de forma constante. Y después se realiza el aumento del coeficiente de tracción desde k=0.58649 a k=0.78624 en otros 10 seg y de la misma forma. Se empieza la maniobra a los 5 seg. Ésta es la entrada de la maniobra 1 donde se varían los mandos durante 20 seg: Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 54 - A continuación se observan las distintas salidas que muestran como reacciona el avión a esta primera maniobra. Para ello se realiza una simulación de 150 seg con SIMULINK para que el aeroplano se estabilice alcanzando una velocidad y una altura estable. Las variables más destacadas que muestran la evolución del vuelo durante la maniobra 1 son las siguientes: VELOCIDAD Daniel Ortigosa Val - 55 - VARIACIÓN ALTURA ÁNGULO DE ATAQUE α Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 56 - ÁNGULO DE PLANEO Daniel Ortigosa Val - 57 - 5.3.2 MANIOBRA 2 Se va a pasar del estado inicial de 30 m/s al estado final de 50m/s. En el segundo caso se va a empezar cambiando el coeficiente de tracción desde k=0.58649 a k=0.78624, haciendo el cambio en una evolución de 10 seg de forma constante. Y después se realizará la disminución del ángulo del estabilizador δ de 0.3021 rad a 0.17887 rad en otros 10 seg y de la misma forma. Se empieza la maniobra a los 5 seg. Ésta es la entrada de la maniobra 2 donde se varían los mandos durante 20 seg: t (seg) Modelo dinámico de una aeronave (3GDL) - 64 - Por último se muestra la variación de la altura que realiza el avión, dependiendo del orden del cambio de mandos en cada maniobra: VARIACIONES ALTURA Se observa como en la primera maniobra la altura desciende muy rápido al disminuir el ángulo del estabilizador, ya que al disminuir el ángulo de ataque y aumentar la velocidad, se pierde altura rápidamente. Al aumentar la tracción, la altura continúa descendiendo de la misma forma hasta que comienza a equilibrarse, y se estabiliza cuando alcanza los 106.5m por debajo de los 1000m a los que empieza la maniobra, a una altura de 893.5m . Sin embargo en la segunda maniobra, al comenzar aumentando la tracción sin tocar el estabilizador, el ángulo de ataque casi no varía, produciendo una mayor sustentación, subiendo unos pocos metros. Después, al disminuir el ángulo del estabilizador, el ángulo de ataque empieza a disminuir y entonces desciende rápidamente, pero estabilizándose a mayor altura que la maniobra anterior. Eso ocurre a 71.13m por debajo de los 1000m iniciales, a una altura de 928.87m . Daniel Ortigosa Val - 65 - 6 . CONCLUSIÓN A lo largo de este proyecto se ha hecho y se ha implementado un modelo dinámico con la herramienta SIMULINK, donde se ha aprendido su manejo, comprendiendo el desarrollo y funcionamiento teórico del vuelo de una aeronave. Este modelo es una simplificación con tres grados de libertad que muestra los movimientos de la aeronave en un plano, y sirve de forma clara como introducción a un modelo dinámico completo. Después se ha comprobado su utilidad hallando puntos de equilibrio a distintas alturas, y con ellos se ha podido encontrar datos muy útiles como la velocidad máxima, mínima o de máximo alcance. Por último, el modelo ha demostrado ser válido para analizar y comprobar las reacciones del aeroplano mediante simulación de maniobras, donde se han obtenido datos interesantes de los cuáles se ha podido extraer importante información.