Repositorio Institucional de Documentos

ANÁLISIS PARAMÉTRICO DE UNA ARTERIA CORONARIA ATEROSCLERÓTICA MEDIANTE INTERACCIÓN FLUIDO ESTRUCTURA AUTORA: Inmaculada Borrás Altaba DIRECTORA: Myriam Cilla Hernández CO-DIRECTOR: Mauro Malvè PONENTE: Miguel Ángel Martínez Barca Departamento de Ingeniería Mecánica Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Ingeniería Industrial Esp. Energía y Tecnología de Calor y Fluidos Curso 2011 – 2012 MAYO 2012 Proyecto Fin de Carrera Quiero expresar mi mayor agradecimiento y gratitud a Myriam Cilla y D. Mauro Malvè por darme la oportunidad de realizar este proyecto bajo su tutela, por su trato amable, gran disponibilidad e inagotable paciencia. De igual manera, a D. Miguel Ángel Martínez, ponente de este proyecto por la Universidad de Zaragoza, por sus consejos y orientaciones en el desarrollo del mismo. Así mismo, quiero dar las gracias a todos mis compañeros con los que he compartido estos meses de trabajo en el departamento de Ingeniería Mecánica, especialmente a David Arenzana, por su amistad, compañía y apoyo durante todos estos meses. Gracias a todos mis compañeros de la carrera por los buenos momentos que hemos pasado juntos y los que nos quedan. Especialmente a Carlos Martínez, mi fiel compañero y amigo, por su paciencia y su gran capacidad de trabajo en equipo. De igual manera a mis padres, hermanos y amigos por haber depositado sus esperanzas en mí y por el cariño incondicional que me han brindado siempre. Finalmente, una especial mención para todos aquellos que han contribuido a la realización de mis sueños y aspiraciones. Resumen Actualmente las enfermedades cardiovasculares son una de las principales causas de muerte en el mundo desarrollado, por ello, se hace patente la necesidad de desarrollar modelos numéricos y computacionales que permitan modelar el comportamiento, lo más realista posible, de las paredes arteriales y del flujo sanguíneo que circula por su interior. De modo que, mediante estos modelos, seamos capaces de predecir las zonas de mayor probabilidad de formación de placa aterosclerótica y, sobretodo, la probabilidad de ocurrencia del evento de ruptura de placa ya que la ruptura produce efectos fatídicos, tales como, trombos o infarto. Por ello, en este proyecto se ha llevado a cabo un estudio de diversos parámetros geométricos (dentro de un rango de valores morfológicamente realistas) de un modelo de arteria coronaria con placa de ateroma en tres dimensiones mediante interacción fluido-estructura (FSI), para observar cuál es su efecto sobre diversas variables físicas indicadoras de la aparición, crecimiento y vulnerabilidad de la placa. La morfología y dimensiones consideradas son 2.3mm de radio externo y 0.55mm de espesor en los extremos de la pared arterial. Las partes en las que se ha dividido el modelo son: la pared arterial compuesta por la media y la adventicia, la placa fibrótica y el lípido o ateroma. Se han variado 4 de los parámetros más influyentes en la vulnerabilidad de la placa aterosclerótica a partir de un modelo de referencia (’Caso Base’), esos parámetros son el espesor de la capa fibrótica, el radio del lumen, y la longitud y ancho del lípido. Se han considerado 5 variaciones de cada parámetro, lo que hace un total de 17 casos estudiados. Una vez obtenidos los modelos, se ha mallado la geometría del sólido con el software ABAQUS y el volumen del fluido interno con ICEM y FEMAP, y se han impuesto las condiciones de contorno en el sólido necesarias para evitar que se comporte como un sólido rígido, y en el fluido se ha considerado la presión y velocidad del flujo sanguíneo durante un ciclo cardiaco. Posteriormente, se simulará, mediante elementos finitos (software ADINA), la interacción entre la arteria coronaria y la sangre (modelo FSI) teniendo en cuenta el comportamiento mecánico de cada uno de los componentes de dicha arteria, con el objeto de obtener los mapas de tensiones y de velocidades que aparecen en el modelo. Estos datos nos permitirán establecer parámetros cualitativos del riesgo de ruptura de la placa vulnerable para así evitar la aparición de eventos cardiovasculares tales como trombos o infartos. Índice general Índice general 7 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVO 11 1.1. ANTECEDENTES Y MOTIVACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. OBJETIVO Y ALCANCE DEL PROYECTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. DESARROLLO DEL MODELO 15 2.1. GEOMETRÍA Y MALLADO DEL MODELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1. Arteria coronaria aterosclerótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2. Fluido...................................... 18 2.2. PROPIEDADES MATERIALES DEL SÓLIDO Y DEL FLUIDO . . . . . . . . . . . 19 2.2.1. Vasoarterial .................................. 19 2.2.2. Sangre ..................................... 21 2.3. CONDICIONES DE CONTORNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. MÉTODO NUMÉRICO DE RESOLUCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. RESULTADOS 25 3.1. TENSIÓN EN LA PARED ARTERIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.1. Comparación entre la simulación FSI y el modelo sólido . . . . . . . . . . 26 7 8ÍNDICE GENERAL 3.1.2. Distribución y tendencia de las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.3. Estudio de vulnerabilidad de la placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. DEFORMACIÓN ARTERIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.LÍNEASDEFLUJO .................................. 35 3.4. ANÁLISIS DE LA TENSIÓN DE CORTADURA (WSS) . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5.CAÍDADEPRESIÓN ................................. 41 3.6.VORTICIDAD...................................... 42 4. CONCLUSIONES 45 5. TRABAJOS FUTUROS 49 A. CONOCIMIENTOS BIOLÓGICOS Y MÉDICOS 53 A.1. TEJIDOS BIOLÓGICOS BLANDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.2. EL SISTEMA CARDIOVASCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 A.3. HISTOLOGÍA DE LA PARED ARTERIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 A.3.1.Íntima...................................... 58 A.3.2.Media...................................... 59 A.3.3.Adventicia.................................... 59 A.4. PATOLOGÍAS CARDIOVASCULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 A.4.1.Laaterosclerosis................................ 61 B. MATERIALES HIPERELÁSTICOS PARA PAREDES ARTERIALES 65 B.1.INTRODUCCIÓN.................................... 66 B.2. MODELOS HIPERELÁSTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 B.2.1.Hiperelasticidad ................................ 68 ÍNDICE GENERAL 9 B.2.2. Hiperelasticidad anisótropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 C. HEMODINÁMICA, CONCEPTOS FUNDAMENTALES 73 C.1. MODELOS DE FLUJO SANGUÍNEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 C.2. LA SANGRE, FLUIDO DE ESTUDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 C.2.1. Flujo sanguíneo laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 C.2.2. Comportamiento reológido del el flujo sanguíneo . . . . . . . . . . . . . . 76 D. FORMULACIÓN MATEMÁTICA. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 81 D.1. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 D.1.1. Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 D.1.2.Modelomatemático .............................. 83 D.1.3. Estrategia de resolución MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Bibliografía 87 Índice de figuras 91 Índice de tablas 93 16 CAPÍTULO 2. DESARROLLO DEL MODELO debido a que el espesor de ésta última es despreciable frente al espesor de las otras dos y no aporta propiedades mecánicas al conjunto. Además, en arterias enfermas, la geometría, tanto de la íntima como de la media, se ve afectada por la placa aterosclerótica haciendo desaparecer la íntima y modificando la geometría de la media en la zona de contacto con la placa y en las zonas próximas a ella. Tal y como se observa en la Fig. 2.1, se ha supuesto la pared arterial como un cilindro recto y hueco de modo que su superficie interna (lumen) es circular. La placa aterosclerótica está formada por un volumen de lípido, llamado ateroma, el cual tiene forma arriñonada o de alubia, y está envuelto por una fina capa fibrada, la placa, modelada de forma excéntrica; ambos localizados en la superficie interior de la pared arterial y simétricos respecto del plano trasversal. La morfología de la arteria aterosclerótica coronaria y sus dimensiones globales han sido tomadas de la literatura (Versluis et al. 2006, Bluestein et al. 2008) y corresponden a una arteria coronaria estándar. Estas dimensiones son: 20mm de longitud del vaso, 2.3mm de radio externo y 0.55mm de espesor de la pared arterial (de los cuales 0.3mm corresponden al espesor de la adventicia y 0.25mm corresponden al espesor de la media en los extremos de la arteria considerada) (ver Fig. 2.1). El análisis paramétrico consiste en la evaluación de una serie de modelos morfológicos de placa idealizadas que imitan las diferentes etapas y variaciones que tienen lugar durante el crecimiento y desarrollo de la lesión aterosclerótica. Siguiendo trabajos anteriores (Cheng et al. 1993, Williamson et al. 2003, Finet et al. 2004, Ohayon et al. 2008, Cilla et al. 2011), los parámetros geométricos más influyentes que estos autores citan en sus artículos y que, por tanto, se van a analizar en este proyecto son (ver Fig. 2.1): el espesor de la placa fibrotica, e; el radio del lumen en la sección central del modelo, r; la longitud del lípido, l; y el ancho del lípido, a. Este último se define como el ratio, en porcentaje, entre el ancho de ateroma, w1, y la distancia entre el punto interior del núcleo lipídico y el punto exterior de la placa de ateroma, w2. Por tanto, ase define como: a( %) = w1(mm) w2(mm).(2.1) Cinco valores de cada uno de los cuatro parámetros descritos anteriormente se han considerado y combinado, de modo que se han analizado y evaluado un total de 17 modelos de arteria coronaria con placa aterosclerótica. Para ello, se ha tomado un valor de cada pará- 2.1. GEOMETRÍA Y MALLADO DEL MODELO 17 Figura 2.1: (A) Partes y dimensiones generales del modelo idealizado considerado. Sección longitudinal. (B) Partes y parámetros geométricos considerados en el análisis. Sección transversal. metro como dato de referencia obteniendo el modelo ’Caso Base’ descrito en la Tabla 2.1. Los 16 modelos restantes se han obtenido variado sólo uno de los parámetros y manteniendo los otros tres constantes. Cada uno de los parámetros se ha variado según datos morfológicos realistas obtenidos de la literatura (Fujii et al. 2005), y que son: el espesor de la placa fibrótica (0.025≤e≤0.15, mm), el radio del lumen en la sección central del modelo (0.7≤r≤1, mm), la longitud del lípido (1≤l≤8, mm) y el ancho del núcleo lipídico (30≤a≤90,%). Los valores de los parámetros geométricos utilizados para definir los modelos idealizados de arteria coronaria con placa de ateroma se muestran en la Tabla 2.1. Parámetros geométricos 1 2 Caso Base 4 5 e [mm] 0.025 0.035 0.05 0.1 0.15 r [mm] 0.7 0.8 0.85 0.9 1 l [mm] 1 2 46 8 a [%] 30 45 60 75 90 Tabla 2.1: Parámetros geométricos y morfológicos utilizados para obtener los modelos idealizados en 3D. 18 CAPÍTULO 2. DESARROLLO DEL MODELO Para llevar a cabo el análisis de las tensiones y deformaciones que aparecen en las paredes del vaso arterial, se ha requerido hacer un mallado (discretización numérica) adecuado a las diferentes partes en las que están divididos los modelos estudiados (lípido, placa aterosclerótica, media y adventicia). Se realiza el mallado de cada una de las partes que componen el sólido utilizando elementos tetraédricos de cuatro nodos lineales e híbridos de tipo C3D4 (en la Fig. 2.2 se muestra el corte longitudinal de la malla utilizada y, como ejemplo, se ha detallado el mallado del lípido). Tras varios análisis para determinar la influencia de la malla, se ha obtenido el valor de longitud entre nodos que se ha proporcionado a cada zona de estudio; de modo que el número total de elementos de todo el conjunto ha sido en torno a 125000 y el número de nodos que se ha obtenido está en torno a 25000 (valores variables para cada modelo analizado). Figura 2.2: Sección longitudinal de la malla y mallado del lípido correspondiente a la geometría de referencia, caso base, en el que se destaca un elemento tetraédrico de cuatro nodos de tipo C3D4, como el utilizado en todos los modelos. 2.1.2. Fluido Para cada uno de los 17 modelos descritos anteriormente, y que han sido considerados en el análisis FSI, se ha tomado el volumen interno de la arteria o lumen, ya que será el volumen por el que va a discurrir la sangre (volumen fluido). Para ello se ha extraído la superficie interna del vaso arterial de cada modelo y se le han añadido dos tapas circulares de 1.75mm de radio (radio interno del vaso sanguíneo), de este modo, el volumen obtenido será el volumen 2.2. PROPIEDADES MATERIALES DEL SÓLIDO Y DEL FLUIDO 19 fluido. En la Fig 2.3 se observan las secciones circulares de entrada y salida que delimitan el volumen fluido. Al igual que en el caso del sólido, tras haber obtenido la geometría y haber realizado la diferenciación de sus partes constituyentes (en este caso, se diferencian las superficies de entrada, salida y superficie de contacto entre sólido y fluido obtenidas mediante el software FEMAP), se ha procedido al mallado del volumen para poder obtener las características de la sangre (presión, líneas de flujo y vorticidad) durante las diferentes etapas del proceso de interacción. En este caso el mallado se ha realizado mediante el software ICEM. Se han utilizado, también, elementos tetraédricos de cuatro nodos de tipo C3D4 (ver Fig 2.3). Tras proporcionar a cada zona una distancia entre nodos adecuada y obtener una malla de buena calidad sin zonas con esquinas abruptas ni agujeros, se obtiene que el volumen fluido está compuesto por aproximadamente 800000 elementos y 140000 nodos (ambos valores varían para los diferentes modelos). Figura 2.3: Partes que definen el volumen fluido. Detalle del mallado tetraédrico. 2.2. PROPIEDADES MATERIALES DEL SÓLIDO Y DEL FLUIDO 2.2.1. Vaso arterial La geometría sólida de los modelos analizados puede dividirse en cuatro zonas diferenciadas debido a las diferentes propiedades del material de cada una de ellas. Estas zonas son la media, la adventicia, la placa aterosclerótica y el lípido. 20 CAPÍTULO 2. DESARROLLO DEL MODELO Los tejidos que constituyen la pared arterial (media y adventicia) se caracterizan por poseer un comportamiento tensión-deformación no lineal y por ser materiales hiperelásticos e incompresibles ya que el 70% del material es agua (Carew et al. 1968, Holzapfel et al. 2005). En el caso de la pared arterial, se ha utilizado un material anisótropo compuesto por dos familias de fibras de colágeno orientadas con un ángulo, respecto a la dirección circunferencial, de ±36o para la adventicia y ±30.28opara la media. Sin embargo, se ha utilizado un material isótropo para el caso de la placa y el lípido. El comportamiento de estos tejidos ha sido modelado según la función de tensión de energía de Holzapfel (Holzapfel et al. 2005). Ψ = C1(I1−3) + k1 k2[exp [k2[(1 −ρ) (I1−3)2+ρ([I4−1)2]]−1],(2.2) donde C1>0 y k1>0 son parámetros tensionales y k2>0 y 0≤ρ≤1son parámetros adimensionales (cuando ρ=1 las fibras están perfectamente alineadas y cuando ρ=0 las fibras están distribuidas aleatoriamente por lo que el material se convierte en isótropo), I1es el primer invariante de C=FTF, donde Fes el tensor gradiente deformación, I4=m0·Cm0yI6=n0·Cn0 son invariantes que dependen de la dirección de la familia de fibras del material en el punto X definido por el campo de los vectores unidad m0yn0(Spencer 1971) (ver Anexo B). Los valores de los parámetros que definen los materiales de ambos tejidos han sido obtenidos a partir de datos experimentales extraídos de trabajos previos. De este modo, las propiedades de la media y de la adventicia se han obtenido a partir de Holzapfel et al. (2005). Sin embargo, el material que constituye la placa aterosclerótica y el lípido se ha modelado como un material isótropo, es dedir, se ha tomado ρ=0 y sus propiedades han sido extraídas de Versluis et al. (2006). Los valores de los parámetros que definen el comportamiento del material del sólido se muestran en la Tabla 2.2. C1[kP a]k1[kPa]k2[−]ρ[−] Adventicia 1.99 89.97 97.30 0.77 Media 1.02 25.11 8.58 0.32 Placa aterosclerótica 10.99 950.88 5.00 0 Núcleo lipídico 0.01 66.24 4.99 0 Tabla 2.2: Valores que definen las propiedades de los materiales que componen la parte sólida de los modelos de arteria coronaria con la placa de ateroma. 2.2. PROPIEDADES MATERIALES DEL SÓLIDO Y DEL FLUIDO 21 2.2.2. Sangre La sangre es una mezcla compleja de células, o elementos como glóbulos rojos, glóbulos blancos y plaquetas, y una parte líquida llamada plasma, de color ámbar, constituida principalmente por agua; mediante los cuales las sustancias nutritivas y desechos son transportados. Los glóbulos rojos constituyen aproximadamente el 40 % del volumen total, éstos son pequeñas partículas semisólidas suspendidas en la sangre que, al rozar entre ellas, ofrecen resistencia al avance del flujo disipando energía e incrementando la viscosidad de la sangre, haciendo que ésta sea aproximadamente cuatro veces más viscosa que el agua. El 60% del volumen restante es prácticamente agua que al ser ésta incompresible, da propiedades de incompresibilidad a la sangre. Por otro lado, la distribución heterogénea de los glóbulos rojos en la sangre provoca que la viscosidad de ésta no sea constante para todos los caudales que pueden presentarse a lo largo del sistema cardiovascular. Además, hace que la sangre no se comporte como un fluido newtoniano en el sistema micro-circulatorio, sino que ésta se comporta como un fluido pseudoplástico en el que la viscosidad aumenta conforme disminuye la velocidad o gradiente de deformación ˙γ. Es decir, conforme aumenta la viscosidad se generan mayores fuerzas de fricción entre las partículas que, a su vez, darán lugar a la aparición de tensiones tangenciales en las paredes del vaso sanguíneo. Sabiendo que la viscosidad es la relación entre estas tensiones tangenciales y el gradiente de deformación (ó tasa de corte), se define este último como: ˙γ=dγ dt .(2.3) Teniendo en cuenta el carácter pseudoplástico de la sangre para valores de ˙γentre 0.01 y 100, s−1, se ha utilizado el modelo no-newtoniano de Carreau (Valencia y Baeza 2009) para describir su comportamiento reológico (ver Anexo C), ya que este modelo asume que la viscosidad de la sangre, µ, varía de acuerdo a la siguiente ecuación: µ=µ∞+ (µ0−µ∞)·(1 + A˙γ2 ij)m,(2.4) donde µ0yµ∞son los valores asintóticos de la viscosidad para valores extremos del gradiente de velocidad ˙γ, y las variables Aymson los parámetros que describen el tamaño de la región de transición entre ambos valores asintóticos (ver Fig. C.3 del Anexo C). Se ha tomado µ0=0.056N·s/m2,µ∞=0.00345N·s/m2, A=10.975 y m=-0.3216. La densidad de la sangre se ha considerado constante e igual a ρf=1050kg/m3(Valencia y Baeza 2009). 22 CAPÍTULO 2. DESARROLLO DEL MODELO 2.3. CONDICIONES DE CONTORNO Para evitar que el sólido se mueva debido a las fuerzas de presión y velocidad que le aportará el fluido en las sucesivas simulaciones, se ha empotrado la arteria en ambos extremos. Además, se han aplicado condiciones de presión variable durante un pulso cardiaco, p(t), en la sección de entrada de la arteria, y condiciones de velocidad variable, u(t), también durante el ciclo cardiaco en la sección de salida con la finalidad de realizar los ensayos bajo condiciones lo más similares posibles a las fisiológicas (ver Fig. 2.4), logrando alcanzar en la sección de máxima estenosis un perfil de velocidades desarrollado y correspondiente al flujo parabólico de Poiseuille (Davies et al. 2006). Figura 2.4: Representación gráfica del ciclo de presión y velocidad para un pulso cardiaco. Condiciones de contorno aplicadas al fluido. Para lograr la interacción FSI, las condiciones de contorno aplicadas en la superficie de contacto entre sólido y fluido son las siguientes: los desplazamientos de ambos deben ser compatibles (Ec. 2.5) y las tensiones deben estar en equilibrio (Ec. 2.6). ds=df(2.5) σijsnj=σijfnj,(2.6) 2.4. MÉTODO NUMÉRICO DE RESOLUCIÓN 23 donde dsydfson los desplazamientos del sólido y del fluido, respectivamente, y σijsyσijf son los tensores de la pared arterial y del flujo fluido. 2.4. MÉTODO NUMÉRICO DE RESOLUCIÓN En problemas hemodinámicos, como el tratado en este proyecto, donde el fluido circula pulsatoriamente por las arterias e induce en ellas deformaciones del orden de su diámetro, se requiere el tratamiento de las ecuaciones de Navier-Stokes, la descripción de éstas en su dominio deformable y la interacción con la estructura. Por ello, la superficie de interacción entre el flujo de sangre y la pared arterial ha sido modelada utilizando las ecuaciones de continuidad (Ec. 2.7) y cantidad de movimiento (Ec. 2.8) para fluidos incompresibles y viscosos, y con flujo laminar a lo largo de toda la estenosis (ver Anexo D), junto con la ecuación de equilibrio de tensión de pared arterial (Ec. 2.9). ∇·u= 0 (2.7) ρ(∂u ∂t + [(u−um)·∇]u)=−∇p+∇·(µ∇u)(2.8) σs ij,i = 0 ,(2.9) donde ρes la densidad de la sangre, ues el campo de velocidad de la sangre, umes la velocidad del mallado, pes el campo de presiones y µes la viscosidad dinámica. De acuerdo con las condiciones de contorno utilizadas y mediante la formulación Lagrangiana- Euleriana (ALE) se resuelven las ecuaciones anteriores. En la formulación ALE, (u−um)es la velocidad relativa del fluido respecto a la coordenada móvil de la velocidad. Para la resolución de las ecuaciones de interacción FSI se ha utilizado el software comercial de elementos finitos ADINA 8.5. Para ello, se ha utilizado la formulación para grandes desplazamientos y deformaciones finitas disponibles en ADINA y el método iterativo Newton con un máximo de 1000 iteraciones para cada intervalo de tiempo en el que se ha dividido el ciclo cardiaco. La convergencia de cada iteración tiene lugar cuando la solución no difiere más del 0.01% del valor de la velocidad. Capítulo 3 RESULTADOS En este capítulo se muestran los resultados obtenidos tras haber realizado la interaccion FSI de 17 modelos de arteria coronaria con aterosclerosis. En primer lugar, se han evaluado dos variables que hacen referencia al sólido, éstas son la tensión principal máxima y la deformación máxima que en él aparecen debido a la circulación de la sangre. El estudio de esta primera variable es de suma importancia debio a su influencia en la ruptura de placa, por ello se analizará con detenimiento tanto su magnitud como, su tendencia a lo largo de un pulso cardiaco. En segundo lugar, se han estudiado las líneas de flujo que describe la sangre en el interior del vaso sanguíneo ya que es un parámetro que está directamente relacionado con la localización de otras magnitudes importantes, principalmente con la tensión de cortadura mínimo. A continuación, se ha comentado la tensión de cizalladura máxima y mínima en la superficie de interacción FSI. El primer parámetro está relacionado con la probabilidad de que se produzca daño en la pared arterial y el segundo indica la posible adherencia de partículas sólidas en la capa íntima del vaso arterial dando lugar al crecimiento de una nueva placa de ateroma. En este caso, también se ha evaluado la magnitud y tendencia de ambas. Por último, se detallan otras variables relacionadas con el fluido, pero de menor importancia en el evento cardiovascular de ruptura de placa, como es la caída de presión a lo largo de la arteria y la vorticidad que aparece en la región post-estenótica. 25 32 CAPÍTULO 3. RESULTADOS de forma individual, de manera que es posible indicar el valor mínimo o máximo (dependiendo del parámetro) a partir del cual la probabilidad de ruptura de placa es elevado. Conforme disminuye el espesor de la placa, e, aumenta el valor de tensión, de modo que valores menores de aproximadamente e≤0.06mm generan riesgo de ruptura de placa. En el caso del radio del lumen, r, se ha observado en el apartado anterior y en la Fig. 3.4, que al aumentar, la tensión de la placa en el centro de la estenosis aumenta, de modo que para aproximadamente r≥0.82mm y considerando el resto de parámetros fijos, existe un 95% de probabilidad de que exista ruptura de placa. Al aumentar la longitud del lípido, l, aumentan las tensiones en la placa, por lo que se considera que aproximadamente l≥3.35mm suponen un riesgo en la vulnerabilidad de placa siempre y cuando el resto de parámetros son los considerados. El parámetro del ancho del lípido, a, sigue la misma tendencia que ryl. Tras obtener un límite de vulnerabilidad de placa de a>45%, y observar la dependencia de las tensiones principales con a, debe considerarse este parámetro como un indicador de factor de riesgo en la ruptura de placa. 3.2. DEFORMACIÓN ARTERIAL 33 Figura 3.4: Tendencia de la tensión máxima principal al variar cada uno de los parámetros geométricos y valor umbral de ruptura de placa obtenido por Loree et al. (1994). 3.2. DEFORMACIÓN ARTERIAL Generalmente, el fenómeno de ruptura de placa aterosclerótica tiene lugar debido a los elevados valores de tensión que en ella se concentran, originados porque ésta envuelve el ateroma, sustancia de material más blando. Pero en situaciones en las que la placa es muy rígida, es decir, presenta regiones calcificadas y no contiene ateroma en su interior o éste es muy pequeño (placa muy frágil), ésta puede romper debido a las deformaciones que en ella se producen. Sin embargo, en la literatura, no se han encontrado datos experimentales de la deformación principal máxima que ocasiona ruptura de la placa de ateroma. De todos modos y a pesar de no poder comparar los resultados obtenidos con un valor crítico de rotura, se ha considerado interesante analizar dicho parámetro. En la Fig. 3.5 se representa la geometría de la pared arterial sin deformar, la de máxima deformación y el mapa de contorno de este último, para observar la diferencia entre ellos. En la Fig. 3.5 se observa que la máxima deformación de la pared arterial para el modelo 34 CAPÍTULO 3. RESULTADOS Figura 3.5: Mapa de contorno de la configuración deformada y geometría deformada y sin deformar. Nota: En la configuración deformada los extremos permanecen sin deformar debido a la condición de contorno impuesta en esos nodos. de arteria coronaria aterosclerótica analizada en este proyecto aparece en las regiones de la media próximas a los extremos de la placa debido a la variación de las propiedades de los materiales que constituyen la pared arterial en cada zona (inicio de la placa de ateroma). Debido a que en este proyecto se evalúan los factores de riesgo de ruptura de placa, la variable de deformación debe analizarse en las zonas críticas, es decir en la superficie interna de la placa. En la Fig. 3.6 se representa el porcentaje de deformación de cada modelo. Se observa que la deformación de la placa para todos los estudios paramétricos es similar, varía en torno a un 6%, ya que las propiedades de los materiales son idénticas para todos ellos y sólo varía la morfología del lípido o de la placa. Sin embargo, la máxima variación de la deformación se observa en los modelos paramétricos eyl(espesor de la capa fibrótica y longitud del ateroma, respectivamente) produciéndose un incremento del 4.5 y 5,%, respectivamente, frente al 3% que presentan los otros dos parámetros. Este incremento hace referencia a la diferencia del valor de deformación para el mayor y el menor parámetro morfológico estudiado. Este efecto también aparece en las tensiones máximas principales, donde la variación también es mayor 3.3. LÍNEAS DE FLUJO 35 para eylque para ayr. Como ya se ha comentado, la tendencia de la deformación sigue la de las tensiones para todos los parámetros ya que son éstas las que generan la deformación. Por ejemplo, en el caso del parámetro e(espesor de la placa fibrótica), cuanto menor es éste, mayor es la deformación y la tensión que aparece en la placa. Se han obtenido las máximas deformaciones para los modelos en los que la cantidad de lípido envuelto por la placa es grande ya que éste es menos rígido que la placa y soporta menos las tensiones (l5 y a5). El modelo r5 también presenta grandes deformaciones, debido a que el grosor del modelo en ese caso es menor (al tener mayor radio interno, éste tiene menos placa fibrótica). Figura 3.6: Variación de la deformación principal máxima para los modelos ensayados. 3.3. LÍNEAS DE FLUJO En la Fig. 3.7 se visualizan las líneas de flujo a lo largo de todo el volumen fluido en el modelo 3D y el valor de la velocidad (magnitud). Ésta es máxima en el centro de la estenosis y se hace mínima hacia los extremos, tanto en la entrada y salida de la geometría como, en las zonas de contacto con la pared arterial. De modo que el flujo sigue una distribución similar a 36 CAPÍTULO 3. RESULTADOS la del flujo parabólico de Poiseuille. Figura 3.7: Líneas de flujo y velocidad del fluido a lo largo del modelo 3D de arteria coronaria. Uno de los principales problemas asociados a la generación y crecimiento de la aterosclerosis es la aparición de zonas de recirculación en el campo fluido, típicamente aguas abajo de la estenosis (ver Fig. 3.8). La aparición de estas zonas de recirculación está ligada a cambios bruscos en la sección y por tanto, al elevado gradiente de velocidad, que se genera debido al aumento de la velocidad angular. Tal y como se comentará en el siguiente apartado, la existencia de estas zonas dará lugar a bajos valores de tensión de cortaruda. Figura 3.8: Líneas de flujo de la sección longitudinal de la arteria en el centro de la misma en la que se visualizan las zonas de recirculación del fluido. 3.4. ANÁLISIS DE LA TENSIÓN DE CORTADURA (WSS) 37 3.4. ANÁLISIS DE LA TENSIÓN DE CORTADURA (WSS) La tensión tangente en la pared (o esfuerzo cortante o WSS: Wall Shear Stress, siglas en inglés) se define como la fuerza ejercida de forma tangente sobre la pared arterial por unidad de superficie. Se puede explicar la génesis y crecimiento de la estenosis (desarrollo de placa aterosclerótica) a partir del análisis de las tensiones de cizalladura en la zona de aparición de la obstrucción. Por un lado, la existencia de un WSS máximo daña la arteria provocando la ruptura de placa. Sin embargo, por otro lado, los valores mínimos de WSS benefician la decantación y adherencia de partículas sólidas sobre las paredes interiores de los vasos propiciando el crecimiento de placa de ateroma (Di Paolo et al. 2003). Por esta razón, en este estudio se determinan las zonas en las cuales se producen tensiones tangenciales máximas y mínimas y se observa la variación de ambas con respecto al tiempo. La Fig. 3.9 muestra el mapa de contorno de la tensión tangencial en la pared arterial para distintos grados de severidad estenótica (es decir, al variar el radio en la zona de máximo estrechamiento), de modo que los valores más elevados de esta variable se concentran en la zona de máximo estrechamiento y son más elevados cuanto mayor es el grado de oclusión. Es en esta zona donde existe peligro de ruptura de la placa de ateroma y, por ende, daño de la pared arterial. Sin embargo, los valores mínimos de WSS se registran a la salida de la estenosis, concretamente en las regiones en las que aparece recirculación de la sangre. El análisis de la tensión de cortadura sólo es relevante en el estudio de la severidad estenótica (variación del radio del lumen) puesto que, en el resto de modelos no se modifica la geometría externa de la placa. Es decir, al no modificarse la geometría interna del vaso arterial, que es la zona por la que discurre la sangre, las líneas de flujo se mantienen constantes, por ello, el WSS del resto de modelos paramétricos estudiados (espesor de la placa y longitud y ancho del lípido) son idénticos entre sí e idénticos al modelo ’Caso base’ (o modelo r=0.85mm que aparece en la Fig. 3.9). 38 CAPÍTULO 3. RESULTADOS Figura 3.9: Mapas de contorno de la tensión de cizalladura en la pared arterial en los modelos 3D en los que varía el radio en el centro de la estenosis (o grado de severidad). En la Fig. 3.10 se muestra la relación entre las zonas de máximo WSS y máxima velocidad de flujo laminar completamente desarrollado, y entre el mínimo WSS y la máxima recirculación del flujo. La gran variación de intensidad de la tensión tangencial en la zona post-estenótica, ya que esta variable desciende rápidamente a medida que nos alejamos de la zona estenosada (en pocos milímetros se pasa del valor máximo, 46.37Pa, al mínimo, 0.7778Pa, en el caso del 3.4. ANÁLISIS DE LA TENSIÓN DE CORTADURA (WSS) 39 Figura 3.10: Relación entre las zonas de WSS máximo y máxima velocidad del flujo laminar, y entre WSS mínimo y máxima recirculación del flujo. radio mínimo), favorece, como ya se ha comentado, la decantación y adherencia de partículas sólidas sobre las paredes interiores de los vasos arteriales, dando lugar a la formación de una nueva placa. En las Fig. 3.11 y 3.12 se representa la evolución del WSS máximo y mínimo, respectivamete, durante un pulso cardiaco (∆t=0.9s) para cada uno de los modelos paramétricos analizados. Se observa que ambas tendencias son idénticas al ciclo de velocidad y que las máximas variaciones aparecen al variar el radio del lumen, esto es debido a que para el resto de modelos la geometría de placa no varía, por lo que las líneas de flujo son idénticas para todos ellos. De acuerdo con la definición de WSS, éste alcanza valores máximos en la región de máximo estrechamiento (mayor estenosis) ya que es la región de menor área; por tanto al reducir el radio del lumen, aumenta esta variable. Por contra, el WSS mínimo aparece en los lugares donde se produce la recirculación por lo que el mayor valor de ésta se obtendrá cuando la recirculación sea máxima, es decir en el modelo con menor radio de lumen. Así, tanto las regiones de máxima estenosis como las posteriores a éstas, son zonas muy problemáticas en términos de aparición y desarrollo de enfermedades cardiovasculares. 40 CAPÍTULO 3. RESULTADOS Figura 3.11: Variación temporal durante un pulso cardiaco de la tensión tangencial máxima. Figura 3.12: Variación temporal durante un pulso cardiaco de la tensión tangencial mínima. 3.5. CAÍDA DE PRESIÓN 41 3.5. CAÍDA DE PRESIÓN La caída de presión que experimenta el flujo sanguíneo a través de una arteria que sufre estenosis viene determinada fundamentalmente por el grado de oclusión de dicha estenosis. En la Fig. 3.13 se ha representado la caída de presión a lo largo de la sección longitudinal en determinados instantes de tiempo y su mapa de contorno correspondiente al modelo ’Caso Base’ en el instante de tiempo de máxima velocidad (t=0.56s). Se observa que la caída de presión cambia a lo largo del ciclo cardíaco, esto se debe al desfase entre los ciclos de presión y velocidad impuestos y a la variación de la magnitud de éstos con el tiempo. Tal y como se muestra en la Fig. 3.13, para el instante de tiempo en el que la velocidad es máxima (t=0.56s), la caída de presión es lineal en la zona pre y post estenótica, ya que se trata de un flujo laminar. Y en la zona más estrecha, estenosis, que es donde se da el máximo valor de presión, también se trata de una caída de presión lineal aunque con una pendiente mucho más acusada, esto es debido a la variación de velocidad que ahí aparece. Para todos los casos, se observa que en las zonas de cambio de sección, el gradiente de presión describe una curva debido a las pérdidas de carga por fricción, especialmente a la salida, debido a la turbulencia que ahí se produce. A pesar de ello, la caída de presión que tiene lugar a lo largo de toda la arteria es muy baja. Comparando la caída de presión para los diferentes modelos paramétricos estudiados, se ha observado que esta variable varía muy poco. Concretamente entre los distintos casos de severidades (que podría esperarse una mayor caída de presión debido a la variación de la recirculación que ellos presentan), se ha obtenido el mismo efecto, esto es debido a que el grado de recirculación a la salida no genera una caída de presión tan fuerte como el propio estrechamiento. Capítulo 5 TRABAJOS FUTUROS A pesar de que los resultados obtenidos son muy satisfactorios en cuanto a los objetivos y el alcance de este Proyecto Fin de Carrera, hay varios aspectos que son susceptibles de mejora. Por ello, algunos trabajos futuros que se plantean como continuación de este estudio son los siguientes: Modelos realistas: un estudio muy interesante sería la obtención de las variables consideradas en este proyecto a partir de geometrías paciente-específico obtenidas mediante IVUS. De modo que, tras realizar la recostrucción de la geometría, el resto del proceso sería idéntico al realizado en este proyecto, esto es, discretización numérica, descripción de las propiedades del material, imposición de las condiciones de contorno y simulación del conjunto. Se podría comparar el resultado de este estudio con el desarrollado en este proyecto para así validar la hipótesis de geometría idealizada que se ha considerado en los modelos desarrollados en este PFC. Otras tipologías de placa aterosclerótica: en este proyecto sólo se han considerado placas ateroscleróticas con ateroma en su interior y se ha obtenido que éstas rompen siempre debido a los valores máximos de tensión que aparecen en la zona de la capa fibrótica. Sería interesante estudiar también placas altamente calcificadas, es decir placas con pequeños volúmenes de ateroma en su interior o sin ellos pero que su material se ha calcificado dotándolas de alta fragilidad, de modo que éstas romperán debido, fundamentalmente, a la deformación. 49 50 CAPÍTULO 5. TRABAJOS FUTUROS Ampliación de los resultados: existen más variables que indican la probabilidad de formación de la placa aterosclerótica y que no han sido consideradas en este estudio debido a la menor influencia de éstas en el evento de ruptura de placa. Estas variables son el WSS medio de toda la superficie de interacción o el WSS oscilatorio. Un valor elevado del primero indica que la probabilidad de ruptura de placa en esa zona es mayor respecto a una zona de bajo WSS medio. La segunda variable indica que las zonas con elevado WSS oscilatorio, están sometidas a elevada fatiga lo que hace aumentar la probabilidad de formación de placa. Análisis de otros parámetros geométricos: los cuatro parámetros más influyentes en la ruptura de placa son los considerados en este proyecto (espesor de la placa fibrótica, longitud y ancho del lípido y radio del lumen), pero existen otros parámetros que definen la geometría del ateroma y de la placa aterosclerótica y que son también útilies en la predicción de la ruptura de placa por lo que podrían ser analizados, estos parámetros son el ángulo del lípido o el índice de remodelado, entre otros. Ampliación del estudio paramétrico: se ha llevado a cabo el estudio de 17 modelos, obtenidos a partir de la variación de cuatro variables geométricas en combinación con cinco valores morfológicamente realistas de cada una de ellas, de modo que considerando un modelo como caso base y modificando sólo una de estas variables se han obtenido el resto. Con el fin de poder evaluar las tendencias cruzadas de todas estas variables, una posible ampliación a este estudio paramétrico es la combinación de todas ellas, de modo que sería necesario el estudio de 54= 625 casos. Herramienta informática: debido a la alta tasa de mortalidad que genera la aterosclerosis en la actualidad, es necesaria la implementación de una herramienta informática basada en redes neuronales o algoritmos similares que ayude a los médicos especialistas a la toma de decisiones instantáneas para evitar este fatal accidente. Actualmente, los médicos toman decisiones sobre el riesgo de vulnerabilidad basándose en su experiencia y en el espesor de la capa fibrótica. Por otro lado, la reconstrucción de la geometría de un paciente con riesgo de rotura para su posterior análisis es inviable, ya que, el cálculo de estos modelos puede llevar días y a menudo, se requieren respuestas inmediatas. Para ello es necesario llevar a cabo la implementación de un algoritmo a partir de valores de tensión, deformación, WSS, líneas de flujo, caída de presión,... de la mayor cantidad de análisis paramétricos (morfológicamente realistas) de modo que 51 dicha herramienta sea capaz de proporcionar la terapia cardíaca requerida. Antes de la elaboración de esta herramienta se requiere haber realizado los apartados ’análisis de otros parámetros geométricos’ y ’ampliación del estudio paramétrico’ comentados anteriormente. Anexo A CONOCIMIENTOS BIOLÓGICOS Y MÉDICOS Este proyecto final de carrera está relacionado con diversas disciplinas como son la biología, anatomía, fisiología, medicina y biomecánica. En concreto, la biomecánica permite entender el funcionamiento normal de los organismos, predecir sus cambios debidos a diversas alteraciones y proponer métodos de intervención artificial (Fung 1993). Por ello, en este anexo se introducen los principales conceptos biológicos y médicos relacionados con la investigación del presente proyecto. A.1. TEJIDOS BIOLÓGICOS BLANDOS Se entiende por tejidos biológicos blandos (o conectivos) al conjunto de tejidos no óseos que unen, soportan y protegen los organismos vivos, distinguiéndose de los tejidos duros (o mineralizados) por su gran flexibilidad y bajas propiedades mecánicas. Dentro de este grupo de tejidos se encuentran los tendones, ligamentos, músculos, vasos sanguíneos y cartílagos articulares, entre otros (ver Fig A.1). Los tejidos blandos son la agregación de células, fibras y otras macromoléculas incrustadas en una matriz extracelular, la cual puede también contener fluido tisular. Las principales fibras que componen este tipo de tejidos son las fibras de colágeno, elástina y células musculares, por lo que las propiedades mecánicas de los tejidos blandos dependen de la densidad o 53 54 ANEXO A. CONOCIMIENTOS BIOLÓGICOS Y MÉDICOS Figura A.1: Tejidos biológicos blandos. Ligamento de unión del fémur con el peroné y vaso sanguíneo. concentración de éstas y de su disposición u ordenamiento. Estos tres elementos son fundamentales en la composición de los tejidos blandos, donde la elastina y el colágeno aportan la rigidez al conjunto y las células musculares serán las encargadas de disipar la energía ya que actúan como amortiguadores (Fung 1993). El colágeno es la proteína más abundante en el mundo animal y constituye más del 30% del total de las proteínas del cuerpo humano. Es un elemento estructural básico para tejidos duros y blandos, aportándoles integridad y resistencia mecánica. Se trata de una proteína o larga cadena de aminoácidos que, junto con la elastina, representa uno de los mayores componentes de la matriz extracelular de los tejidos blandos. El colágeno se encuentra en forma de fibras muy plegadas que se estiran y alinean a medida que actúan las cargas mecánicas. Por ello, su aportación a la resistencia mecánica comienza en niveles de deformación más elevados que la elastina. Su módulo de elasticidad longitudinal es E≈100MPa, con una resistencia a la tracción de entre 50 y 100, MPa (Holzapfel 2000). La elastina es una proteína fibrosa mucho más fina y extensible que las fibras de colágeno, que constituye el material biológico de comportamiento más lineal que se conoce, manteniéndose las características elásticas hasta su alargamiento λ=l/l0≈1,6, es decir pueden ser estiradas hasta un 150% de su longitud inicial antes de que se rompan. La composición química de las fibras de elastina es muy similar a la del colágeno. A.1. TEJIDOS BIOLÓGICOS BLANDOS 55 El módulo de elasticidad longitudinal de la elastina (es decir, su relación entre tensión y deformación) es E≈0,6MPa. Las células musculares pueden clasificarse, según su aspecto, en lisas y estriadas. Los músculos de los vasos sanguíneos son lisos. Este tipo de músculos tienen la característica de no ser controlados por nervios voluntarios, están compuestos principalmente por filamentos proteicos de actina y miosina y pueden estar en estado pasivo o activo tras una estimulación eléctrica que provoca la contracción. Su contribución a la resistencia mecánica del tejido es residual, pero su estado de activación puede alterar la respuesta en la zona de pequeñas deformaciones. La combinación de las fibras de colágeno y elastina da lugar al comportamiento típico de los tejidos blandos, tal y como se muestra en la figura A.2, donde se observa que las fibras de elastina tienen un comportamiento elástico no lineal, ya que se plastifican a partir de un determinado nivel de deformación (Best y Taylor 1993). En cambio las fibras de colágeno empiezan a adquirir tensión a partir de un nivel más elevado de deformación, pero su rigidez es muchísimo mayor. La combinación de ambos grupos de fibras da lugar al comportamiento de la pared arterial, como se muestra en la figura A.2. Figura A.2: Comportamiento de las fibras de colágeno y elastina por separado y en combinación. Al igual que el comportamiento elástico de las paredes arteriales, otra característica de éstas es la anisotropía. Existen direcciones preferentes influenciadas por la disposición de las 56 ANEXO A. CONOCIMIENTOS BIOLÓGICOS Y MÉDICOS fibras de colágeno, en concreto, en las paredes arteriales, se distinguen dos familias de fibras dispuestas en direcciones diferentes (Fung 1993). A.2. EL SISTEMA CARDIOVASCULAR El sistema cardiovascular está formado por el corazón y los vasos sanguíneos: arterias, venas y capilares. Se trata de un sistema de transporte en el que el corazón a través de sus movimientos de sístole (contracción) y diástole (relajación) proporciona la energía necesaria para mover la sangre, en un circuito cerrado de tubos elásticos con múltiples ramificaciones (los vasos sanguíneos). La función principal del sistema cardiovascular es dar suministro continuo de nutrientes y oxígeno a todos los órganos y tejidos del cuerpo. El corazón es un órgano musculoso formado por 4 cavidades: dos superiores, las aurículas y dos inferiores, los ventrículos. El sistema circulatorio está dividido en circulación sistémica, pulmonar y coronaria: En la circulación sistémica la sangre limpia con oxígeno es bombeada desde el ventrículo izquierdo del corazón a través de la aorta, y alcanza los capilares a través de las arterias y arteriolas para volver a la aurícula derecha a través de las venas. En la circulación pulmonar, que se encarga de eliminar los gases de desecho, como el dióxido de carbono y tomar nuevo oxígeno, la sangre sale del ventrículo derecho del corazón y, tras el intercambio de gases en los pulmones, termina en la aurícula izquierda. La circulación coronaria parte de la aorta y se ocupa del riego de los tejidos del corazón. La trayectoria de la circulación sistémica es mucho más larga y está mucho más ramificada que la pulmonar y la coronaria, por ello, las presiones necesarias para cada una de ellas son diferentes, siendo mayores en la sistémica. El diámetro y espesor de los vasos sanguíneos varía en función de las demandas del árbol vascular. En general, el diámetro de las arterias y el espesor decrece gradualmente conforme aumenta la distancia al corazón. Además, las propiedades de la pared dependen de la posi- A.3. HISTOLOGÍA DE LA PARED ARTERIAL 57 Figura A.3: En la figura de la izquierda aparece el sistema cardiovascular y en la figura de la derecha se representa la circulación coronaria. ción, por lo que la rigidez y el amortiguamiento (disipación de energía) aumentan al alejarse del corazón con el objetivo de mantener un flujo sanguíneo aproximadamente constante. La velocidad de la sangre es máxima en la arteria aorta y va disminuyendo en los vasos posteriores a pesar del menor diámetro de éstos, esto se debe a que el número de ramificaciones hace que el caudal que le corresponde a cada vaso decrezca más rápidamente que el área de dicho vaso. A.3. HISTOLOGÍA DE LA PARED ARTERIAL La clasificación de las arterias puede realizarse atendiendo a diferentes criterios, pero en general, éstas se categorizan de acuerdo a dos amplios tipos: elásticas y musculares (Humphrey 1995). Las arterias elásticas son aquellas que poseen grandes diámetros y están localizadas cerca del corazón, éstas se caracterizan por estar compuestas por un elevado porcentaje de elas- Anexo B MATERIALES HIPERELÁSTICOS PARA PAREDES ARTERIALES Los modelos más representativos del comportamiento mecánico de las paredes arteriales (y, en general, de los materiales biológicos) son de tipo no lineal (Fung 1993). Su estado tensional, aunque elástico no es proporcional a la deformación, y además ésta puede ser muy grande en el estado fisiológico normal. Por otra parte, se comprueba, en diferentes experimentos que se recogen en bibliografía, que se deforman de manera prácticamente incompresible, de forma, cualitativamente similar a algunos elastómeros empleados en la industria. Por ello, en este anexo se han descrito los modelos de material para las grandes deformaciones planteadas en el marco de la hiperelasticidad y que han sido utilizados en este proyecto. Además, se ha tenido en cuenta que estos materiales son fuertemente anisótropos, debido a la presencia de direcciones preferentes muy influenciadas por la disposición de las fibras de colágeno. En particular, en las paredes arteriales se distinguen dos familias de fibras dispuestas en diferentes direcciones. Por ello, la media y la adventicia han sido dotadas de esta característica ya que se modifica su comportamiento frente a acciones externas. Sin embargo, esta propiedad no la poseen los materiales que componen la placa aterosclerosa y por tanto se han considerado isótropos. 65 66 ANEXO B. MATERIALES HIPERELÁSTICOS PARA PAREDES ARTERIALES B.1. INTRODUCCIÓN De acuerdo con las características generales de los tejidos biológicos blandos, los modelos constitutivos más apropiados para la descripción del comportamiento general de éstos (y, concretamente de las paredes arteriales), serían: Modelos no lineales, debido a las grandes deformaciones que presentan, en concreto, modelos de sólido hiperelástico (Humphrey 1995). Modelos anisótropos, dada la existencia de dos direcciones preferentes en los materiales de la pared arterial influenciadas por la disposición de las fibras de colágeno. Una de las hipótesis usualmente aceptada y que se ha indicada anteriormente (Capítulo 2), es la del comportamiento isocórico de los tejidos biológicos, debido a la presencia de agua en más de un 70%, a excepción de los carílagos articulares dada la presencia de microporos (Fauci et al. 1998). Modelos que contemplen comportamientos adaptativos frente a acciones externas. Así, se denomina remodelación a la variación de las propiedades del material (remodelado estructural) y a la variación de la geometría por aumento de masa (remodelado másico o crecimiento) (J. Rodríguez y Gabaldón 2003). Materiales viscoelásticos, debido a la disipación de energía interna que presentan en general los tejidos biológicos blandos. Presencia de tensiones residuales, que provienen del hecho de que las paredes arteriales están pretensadas longitudinal y circunferencialmente. Este hecho se manifiesta por el ángulo de apretura cuando se corta longitudinalmente una arteria, reflejándose así la presencia de tensiones residuales en la dirección circunferencial (Fung 1993). Para estudiar la influencia de los parámetros geométricos, se han utilizado materiales con comportamiento no linear, hiperelásticos e incompresibles. La placa y el lípido se han modelado con un material isótropo, mientras que para las capas que componen la pared arterial se ha empleado un material anisótropo. B.2. MODELOS HIPERELÁSTICOS 67 B.2. MODELOS HIPERELÁSTICOS Sean Xyxlos vectores posición de una partícula en la configuración inicial o de referencia (suponiendo libre de tensión), B0, y en la configuración deformada o instantánea en el tiempo, Bt. La función transformación que relaciona ambos vectores, función del tiempo y de la posición inicial, es x=φ(X, t)(ver Fig B.1). A esta función se le exige que sea suave (continua y con derivadas continuas para todo orden) y que exista su función inversa, φ−1, necesaria dado que dos partículas distintas en cada instante deben ocupar análogamente posiciones distintas en la configuración inicial. Figura B.1: Cinemática del sólido continuo. El teorema de descomposición polar (Gurtin 1981) expresa que para todo Fexisten dos tensores, de forma única, RyU, tales que F=R·U, siendo Rtensor ortogonal, esto es R·RT= 1. Al tensor Rse le denomina tensor de rotación, mientras que el tensor Use denota como tensor de alargamiento derecho. Análogamente se puede demostrar la existencia de la descomposición única F=V·R, siendo Vel tensor de alargamiento izquierdo y Rel mismo tensor rotación considerado en la descomposición anterior. El tensor gradiente de deformación, en la configuración de referencia, viene dado por: F≡∂φ(X, t) ∂X,(B.1) siendo FaA =∂xa ∂Xael gradiente de deformación en componentes referidas a bases ortogonales o cartesianas, representando su determinante la relación de volúmenes entre las configura- 68 ANEXO B. MATERIALES HIPERELÁSTICOS PARA PAREDES ARTERIALES ciones deformada e inicial, que se indica por J=detF, siendo Finvertible debido a la existencia de la función inversa φ−1. Considerando la descomposición multiplicativa F= (J1/3I)¯ F,(B.2) donde J1/3Ies la parte esférica de Fy¯ Fes su parte unimodular (distorsional), de modo que ¯ F= 1 . Con objeto de dar medida a la deformación del material de forma independiente del sistema de referencia, esto es, proporcionar una medida objetiva de la deformación, se definen los tensores de Cauchy-Green por la derecha y por la izquierda, denotados como Cyb, respectivamente, y sus (pseudo-) invariantes asociados a ¯ F, denotados por ¯ Cy¯ b, respectivamente. De la ecuación B.2, se obtiene, C=FTF=J2/3¯ C,(B.3) b=FFT=J2/3¯ b,(B.4) siendo ¯ C=¯ FT¯ Fy¯ b=¯ F¯ FT. B.2.1. Hiperelasticidad Los materiales hiperelásticos son un subconjunto de los materiales elásticos (son aquellos en los que hay una correspondencia biunívoca entre su estado de deformación y su estado tensorial). Un material se dice que es hiperelástico si su densidad de energía libre, Ψen la configuración de referencia o libre de cargas, B0, es función exclusivamente del estado de deformación, pudiendo escribirse como Ψ = Ψ(F), ó bien de acuerdo con la ecuación B.3, como Ψ = Ψ(C) (G. A. Holzapfel y Ogden 2000). La integral de dicha función de energía en el volumen del sólido es la energía de deformación y sus derivadas respecto a las componentes de la deformación proporcionan las componentes de la tensión: σij =∂ψ ∂ϵij .(B.5) B.2. MODELOS HIPERELÁSTICOS 69 Las condiciones que debe cumplir dicha función de energía libre para que la igualdad descrita en la ecuación se cumpla tiene que ser: Que haya energía nula para un estado de deformación nula: ψ(C= 1) = 0.(B.6) Que se de energía infinita para un estado de deformación infinita: ψ(C=∞) = ∞.(B.7) Para un estado de deformación nula, la tensión sea nula: S(C= 1) = 0.(B.8) Función convexa o policonvexa: ψ′′(C)>0.(B.9) Suponiendo que la función de densidad de energía de deformación puede descomponerse en una parte volumétrica y en una parte desviadora, se tiene: Ψ = Ψvol(J) + ¯ Ψistropo +¯ Ψanistropo,(B.10) donde la parte volumétrica es una función de penalización que se añade a la parte desviadora para forzar la cuasi-incompresibilidad del material, estando esta descomposición mas bien basada en una conveniencia matemática que en una observación física. Ψvol(J) = 1 D(J−1)2.(B.11) B.2.2. Hiperelasticidad anisótropa Se puede asumir que los tejidos biológicos blandos se comportan de manera isótropa para pequeñas deformaciones y tensiones. Pero cuando las tensiones son elevadas se producen cambios estructurales en la pared arterial, sobretodo debido al alineamiento de las fibras de colágeno en direcciones preferentes que hacen que el material se comporte de manera diferente en la dirección de las fibras. 70 ANEXO B. MATERIALES HIPERELÁSTICOS PARA PAREDES ARTERIALES En tejidos biológicos blandos en los que el material tiene una dirección preferente, como es el caso de la placa y el núcleo de ateroma, se pueden utilizar modelos de isotropía transversal. En estos modelos, a la dirección preferente se le asocia un comportamiento diferente, y en el plano perpendicular a ésta, el material se considera isótropo. La isotropía transversal es la forma más simplificada de representar la anisotropía de un material. Físicamente consiste en una matriz de material isótropo en la que una dirección ha sido reforzada con fibras, por lo que se considera un material con una dirección preferente, representada por el vector unitario ˆa0en la configuración inicial, B0. En el caso de la pared arterial se observan dos direcciones preferentes de orientación de fibras de colágeno (ver Fig. B.2). Definiendo las direcciones de las fibras como ˆa0yˆ b0, se define la función de deformación de estas fibras en función de la configuración indeformada como: a(X, t)yb(X, t), y su alargamiento como: λ·a=F·a0(B.12) λ·b=F·b0(B.13) Figura B.2: Capa arterial con dos direcciones preferentes de orientación de fibras de colágeno. La función de densidad de energía es Ψ(C,a0). Además, dado que Ψdebe ser independiente del sentido de a0, esto es Ψ(C,a0)=Ψ(C,-a0), entondes puede ser expresado como Ψ(C;a0,-a0). Bajo las condiciones indicadas se pueden definir los pseudo-invariantes de an- B.2. MODELOS HIPERELÁSTICOS 71 isotropía: I1=trC(B.14) I2=1 2(trC)2trC2(B.15) I3=detC(B.16) I4=a0·C·a0(B.17) I5=a0·C2·a0(B.18) I6=b0·C·b0(B.19) I7=b0·C2·b0(B.20) si no existe interacción entre la matriz y las fibras I5=I7= 0 El modelo de material hiperelástico utilizado en el estudio experimental de este proyecto es el desarrollado por Holzapfel, cuya expresión de la función de densidad de energía tiene la forma: Ψ(I1, I4, I6) = Ψistropo(I1)+Ψanistropo(I1, I4, I6),(B.21) donde, desarrollando las funciones isótropa y anisótropa, se obtiene: Ψ = C1(I1−3) + k1 k2[exp [k2[(1 −ρ) (I1−3)2+ρ([I4−1)2]]−1],(B.22) donde C1>0 y k1>0 son parámetros tensoriales y k2>0 y 0≤ρ≤1son parámetros adimensionales (cuando ρ=1 las fibras están perfectamente alineadas y cuando ρ=0 las fibras están distribuidas aleatoriamente por lo que el material se convierte en isótropo). Anexo C HEMODINÁMICA, CONCEPTOS FUNDAMENTALES La Hemodinámica es la parte de la Biomecánica que se encarga del estudio del flujo sanguíneo en el sistema circulatorio, basándose en los principios físicos de la dinámica de fluidos. Estudia el movimiento de la sangre (campos de velocidades y presiones) y las fuerzas que genera el flujo en los elementos con los que interactúa (vasos sanguíneos y corazón). C.1. MODELOS DE FLUJO SANGUÍNEO El flujo sanguíneo, Q, es el volumen de sangre que pasa por un punto determinado del sistema circulatorio durante un tiempo fijo. Éste depende de la diferencia de presión entre los extremos del vaso, que es la fuerza que empuja la sangre a través de éste ∆P, y de la resistencia a la circulación a través del vaso R, es decir: Q=∆P R.(C.1) Por lo tanto, para determinar el flujo sanguíneo en una arteria es fundamental conocer la diferencia entre las presiones a lo largo de ella ya que será la variable encargada de .empujar.el flujo desde el lugar de mayor presión hasta el lugar de menor presión. El estudio del flujo sanguíneo resulta cada vez más importante por sus aplicaciones a la prevención y curación de enfermedades cardiovasculares. Desde hace dos décadas, la inves- 73 Anexo D FORMULACIÓN MATEMÁTICA. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de fluidos usuales, como el agua, la sangre ó hasta el aire. El estudio matemático de las ecuaciones de Navier-Stokes es de gran dificultad, haciendo que hoy en día sigan abiertos algunos problemas matemáticos básicos. Al aplicar los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido, se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes en su formulación integral. Sin embargo esta formulación resulta complicada de resolver, por esta razón se busca llevar estas ecuaciones a una forma que nos resulte más fácil de resolver, por lo que es conveniente llevar las ecuaciones a su formulación diferencial, esto se logra al aplicar diversos teoremas matemáticos, con lo que será más fácil resolver los problemas planteados por la mecánica de fluidos. Estas ecuaciones son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que debido a su complejidad que no poseen una solución general. Teniendo en cuenta esto, deben ser estudiadas y analizadas cada una de las ecuaciones para dar solución a problemas específicos de la mecánica de fluidos, siendo necesaria la simplificación de estas ecuaciones para obtener un resultado de forma sencilla. Debido a que no es posible alcanzar una solución analítica que sea satisfactoria, se busca obtener una solución numérica que sea lo más aceptable al resultado que se espera. 81 82 ANEXO D. FORMULACIÓN MATEMÁTICA. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS D.1. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS El método de los elementos finitos, introducido por Tuner et al. en 1956, se empleó, en principio, para el análisis estructural y fue más tarde cuando comenzó su utilización para la resolución de las ecuaciones de campo en medios continuos. El método de los elementos finitos, como método general para la resolución de las ecuaciones de Euler/Nevier-Stokes, comienza con una división del dominio en elementos triangulares (en 2D) o tetraédricos (en 3D), generando una malla no estructurada. Dependiendo del tipo de elemento y de la precisión que se quiera, se tendrá que definir una malla más o menos fina de elementos. De modo que, el número total de nodos multiplicado por el número de variables del problema determina el número de grados de libertad del problema. Posteriormente, deben definirse las ’funciones de forma’ que representan la variación de la solución en el interior de los elementos. Estas funciones de forma son distribuciones lineales de valor cero fuera del elemento correspondiente a la función. Este método resulta muy atractivo por el uso de mallas no estructuradas, ampliamente empleadas para la formulación de problemas con geometrías complejas y para fluidos no newtonianos, como es el caso que se presenta en este proyecto. Debido a ello, se ha buscado una malla de alta calidad en el que se han cuidado aspectos como la densidad de malla y distribución de los nodos, suavidad y esquinamiento de la malla en todo el dominio y expecialmente en las áreas comúnes entre las diferentes partes en las que se definió el modelo, y relación de aspecto. El método de elementos finitos tiene una base matemática muy rígida, particularmente en problemas elípticos y parabólicos. Sin embargo, en ciertos casos, este método es matemáticamente equivalente al método de los volúmenes finitos. D.1.1. Descripción del problema Se estudia un movimiento de un fluido no newtoniano a través de un conducto circular con un cambio en la sección transversal, como se muestra en la Fig. ??, considerando un perfil parabólico de velocidades totalmente desarrollado y que en las paredes no hay deslizamiento, u=v=0. D.1. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 83 D.1.2. Modelo matemático En este proyecto se considera flujo laminar, tridimensional, isotérmico y fluido incompresible no-newtoniano cuya viscosidad sigue la relación de Carreau. Con las características expuestas, las ecuaciones del modelo matemático son: Ecuación de continuidad: ∂(ρu) ∂x +∂(ρv) ∂y +∂(ρω) ∂z = 0 .(D.1) Ecuación de la cantidad de movimiento en x: ∂(ρ·u) ∂t +∂(ρ·u·u) ∂x +∂(ρ·u·v) ∂y +∂(ρ·u·ω) ∂z =Fx+∂τxx ∂x +∂τyx ∂y +∂τzx ∂z .(D.2) Ecuación de la cantidad de movimiento en y: ∂(ρ·v) ∂t +∂(ρ·v·u) ∂x +∂(ρ·v·v) ∂y +∂(ρ·v·ω) ∂z =Fx+∂τxy ∂x +∂τyy ∂y +∂τzy ∂z .(D.3) Ecuación de la cantidad de movimiento en z: ∂(ρ·ω) ∂t +∂(ρ·ω·u) ∂x +∂(ρ·ω·v) ∂y +∂(ρ·ω·ω) ∂z =Fx+∂τxz ∂x +∂τyz ∂y +∂τzz ∂z .(D.4) Sabiendo que las ecuaciones de Navier-Stokes están constituidas por el conjunto de leyes de conservación de las magnitudes fuidas y todas las relaciones constitutivas necesarias para cerrar el problema, se van a obtener estas ecuaciones partiendo de la ley de conservación de la cantidad de movimiento a la cual se le va a añadir el efecto de la viscosidad del fluido. El efecto de la viscosidad queda presente en el tensor de esfuerzos por lo que inicialmente se va a analizar la variación del tensor de esfuerzos debido a los efectos de la viscosidad. En un fluido en movimiento aparecen esfuerzos cortantes de manera que el tensor de esfuerzos puede tener sus 6 componentes distintas de cero. Por simplicidad, el tensor de esfuerzos dinámico se construye a partir del término estático, debido a la presión, sumándole un término dinámico τ′denominado tensor de esfuerzos viscosos, el cual representa la contribución debida al movimiento del fluido, es decir: τ=−p·I+τ′.(D.5) Las tensiones normales τxx,τyy yτzz pueden dividirse en dos partes, la parte debida a la presión y la contribución debida a la fricción del fluido σxx,σyy yσzz: τxx =σxx −pτyy =σyy −pτzz =σzz −p . (D.6) 84 ANEXO D. FORMULACIÓN MATEMÁTICA. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Insertando la ecuación D.6 en las ecuaciones de consevación de la cantidad de movimiento, ecuaciones D.2, D.3 y D.4, se obtiene: ∂(ρ·u) ∂t +∂(ρ·u2) ∂x +∂(ρ·u·v) ∂y +∂(ρ·u·ω) ∂z =Fx−∂p ∂x +∂σxx ∂x +∂τyx ∂y +∂τzx ∂z .(D.7) ∂(ρ·v) ∂t +∂(ρ·v·u) ∂x +∂(ρ·v2) ∂y +∂(ρ·v·ω) ∂z =Fy−∂p ∂y +∂τxy ∂x +∂σyy ∂y +∂τzy ∂z .(D.8) ∂(ρ·ω) ∂t +∂(ρ·ω·u) ∂x +∂(ρ·ω·v) ∂y +∂(ρ·ω2) ∂z =Fz−∂p ∂z +∂τxz ∂x +∂τyz ∂y +∂σzz ∂z .(D.9) D.1.3. Estrategia de resolución MEF Desde el punto de vista del método de los elementos finitos, las ecuaciones D.1 a D.9 originan las conocidas formulaciones mixtas en variable primal que, en este caso, son la velocidad uy la presión P. En este tipo de formulaciones, la presión juega el rol de los multiplicadores de Lagrange. En forma compacta se obtiene un sistema de la forma:    k C CT0      u P   =   f 0   .(D.10) Al aplicar a este problema, la forma estándar de Galerkin del método discretización por elementos finitos, se tienen dificultades al considerar combinaciones arbitrarias para la interpolación de presiones y velocidades (Guerreiro y Loula 1994). Al tomar un orden menor en la interpolación de la presión que para la velocidad, se obtienen soluciones estables para la formulación de Galerkin del método de elementos finitos para fluidos incompresibles. El sistema de ecuaciones resultantes de este tipo de formulaciones no es definida positiva, lo que genera ciertas complicaciones computacionales. Con el objetivo de evitar estas dificultades, se utiliza una formulación basada en un método penalizado, la que puede obtenerse expresando los multiplicadores de Lagrange en términos de las variables primales, esto es: p=λf(u, v),(D.11) donde λes el parámetro de penalización. Cuando se una la integración gaussiana reducida, puede observarse que en los puntos de integración, los campos de presión concuerdan con el término penalizado obtenido usando la integración reducida. De esta manera, la formulación mixta para este estudio adopta la forma:    KsQ QTC      u P   =   f 0   ,(D.12) D.1. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 85 donde: Ks=∫Ω BT2µBdΩ(D.13) Q=∫Ω BTΘTMdΩ(D.14) C=∫Ω λBTΘTBdΩ(D.15) La variable Ppuede eliminarse, a niver de cada elemento, usando la siguiente formulación de penalización: [Ks+QC−1QT]e¯ve=fe(D.16) ¯ Pe= (C−1QT]e¯ve.(D.17) Por lo tanto, las ecuaciones globales pueden expresarse como: K¯v=F, (D.18) donde vson las velocidades y Fson las fuerzas totales incluidas las fuerzas generalizada del cuerpo. Bibliografía Best y Taylor (1993), Bases Fisiológicas de la Práctica Médica, Panamericana. Bluestein, D., Alemu, Y., Avrahami, I., Gharib, M., Dumont, K., Ricotta, J. J. y Einav, S. 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