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Trabajo fin de máster “Funciones” Autora: Leyre Burgui Ederra Tutora: Pilar Bolea Catalán Máster de profesorado de Secundaria, Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas, Artísticas y Deportivas. Especialidad de Matemáticas. TRABAJO FIN DE MÁSTER Trabajo fin de máster 1 ÍNDICE Páginas 1. Sobre la definición del objeto matemático a enseñar……………………………2 2. Sobre los conocimientos previos del alumno……………………………………3 3. Sobre las razones de ser del objeto matemático…………………………………9 4. Sobre la secuencia didáctica y su cronograma………………………………....12 4.1 Sesión 1…………………………………………………………………….14 4.2 Sesión 2………………………………………………………………….…14 4.3 Sesión 3…………………………………………………………………….17 4.4 Sesión 4…………………………………………………………………….19 4.5 Sesión 5………………………………………………………………….…20 4.6 Sesión 6………………………………………………………………….…23 4.7 Sesión 7………………………………………………………………….…24 4.8 Sesión 8…………………………………………………………………….26 4.9 Sesión 9…………………………………………………………………….27 4.10 Sesión 10……………………………………………………………...…..27 5. Sobre la evaluación…………………………………………………………….27 6. Reflexión personal……………………………………………………………..37 7. Sobre la bibliografía y páginas web…………………………………………....38 8. Anexos…………………………………………………………………………40 Trabajo fin de máster 2 1.- Sobre la definición del objeto matemático a enseñar El objeto matemático elegido para este trabajo fin de máster son las funciones en su aspecto más formal. Dicho objeto se estudia a lo largo de toda la Educación Secundaria Obligatoria, (ESO) e incluso en el Bachillerato. Pero en esta memoria nos centraremos en el curso de tercero de la ESO. En la materia de matemáticas, en este curso, se cuentan con tres horas semanales y el contenido de la misma está dividido en seis bloques según el Currículo Oficial Aragonés (ORDEN de 9 de mayo de 2007, del Departamento de Educación, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad Autónoma de Aragón): • Bloque 1: “Contenidos comunes”. • Bloque 2: “Números”. • Bloque 3: “Álgebra”. • Bloque 4: “Geometría”. • Bloque 5: “Funciones y gráficas”. • Bloque 6: “Estadística y probabilidad”. Como es obvio, el objeto de las funciones está en el bloque número cinco titulado “funciones y gráficas”. Dentro de este bloque se pueden distinguir dos apartados, el primero de ellos dedicado a las características de las funciones, es decir, las funciones en su aspecto más formal y la segunda parte destinada a funciones lineales y cuadráticas. En este trabajo, se desarrollará el primer apartado del bloque con los siguientes contenidos: - Definición de función, imagen y antiimagen. - Cálculo de la imagen y antiimagen tanto gráficamente como algebraicamente. - Formas de expresar una función. - Dominio y recorrido de una función. - Continuidad y discontinuidad. - Monotonía. - Máximos y mínimos relativos y absolutos. - Puntos de corte de una función con los ejes cartesianos. - Estudio algebraico de los puntos de corte de una función con los ejes coordenados. - Tasa de variación: definición y cálculo algebraicamente. Trabajo fin de máster 3 - Simetrías respecto del origen y respecto del eje de ordenadas. Definición y cálculo algebraicamente. - Periodicidad. Definición y cálculo. - Estudio a través del gráfico de las siguientes características: dominio, recorrido, continuidad, discontinuidad, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, puntos de cortes con los ejes cartesianos, tasa de variación, simetría y periodicidad. - Interpretación de una gráfica. Para atender a los diferentes contenidos, se plantearán varios campos de problemas que versarán sobre las características de las funciones tanto locales como globales. En la mayor parte posible, los problemas harán referencia a situaciones que nos podemos encontrar en la vida cotidiana. Debido a que un simple gráfico puede ofrecer numerosa información de un simple vistazo y que puede ser usado para comunicar una gran cantidad de información e incluso a veces ahorrar muchas palabras de explicación, es importante, transmitir a los alumnos esa idea, para que vean la importancia que tienen los gráficos de funciones y lo útil que es conocer las características de un gráfico para poder analizarlo. Es por ello que se pretende que los alumnos adquieran las distintas técnicas para hallar las diferentes características, tanto locales como globales, de las funciones. A causa de que los conocimientos relacionados con este tema, como por ejemplo la derivación, son desconocidos para los alumnos, casi la totalidad de las características se enseñarán de forma visual y ostensiva. Las técnicas que se explicarán las podrán poner en práctica los alumnos a través de los ejercicios que se plantearán a lo largo de las sesiones. Las tecnologías que van a ser utilizadas para la justificación de las técnicas van a ser razonamientos de tipo inductivo o constructivo que se darán cuando se presente a los alumnos situaciones problemáticas de las que extraerán el conocimiento y establecerán una premisa a partir de ellos. Por otra parte, el profesor utilizará razonamientos deductivos para enunciar las técnicas y justificarlas a todo el grupo de la clase. 2.- Sobre los conocimientos previos del alumno Para poder seguir, aprovechar y afrontar el aprendizaje del objeto matemático de las funciones dentro de los objetivos marcados, es necesario que el alumno tenga conocimientos previos acerca de: - Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. - Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. - Notación y terminología cartesiana. Trabajo fin de máster 4 - Notación de intervalos, los distintos tipos de intervalos y su significado. - Noción intuitiva de infinito. - Conjuntos numéricos y operaciones. - Fórmulas de geometría métrica elemental. Los conocimientos previos acerca de la resolución de ecuaciones y sistemas se corresponden con el bloque tres de álgebra que han estudiado previamente y en cursos anteriores. Es claro que tienen que recordar la notación y terminología cartesiana, como eje de abscisas y de ordenadas, puesto que lo necesitarán para localizar puntos y entender las características que se van a estudiar sobre funciones. Estos conceptos sobre notación han sido estudiados a lo largo de los dos cursos anteriores en el bloque de “funciones y gráficas”. Relacionado con este bloque, también deben de recordar la idea de infinito. Al afrontar el aprendizaje del objeto matemático de las funciones recordarán que ya han visto algunos de los conceptos que se imparten; pero tal vez de otra forma, puesto que el tema de gráficas aparece latente en primero y segundo curso de ESO, ya que el currículo sigue un diseño de propuesta en espiral aportado por Brunel (1972). Además, es necesario que traigan a la memoria los conjuntos numéricos junto con sus operaciones; este objeto ha sido visto en el curso de tercero en el segundo bloque titulado “números” y también a lo largo de los dos cursos anteriores. Por último, como veremos más adelante, construiremos funciones a través de la geometría métrica, para lo cual también se necesitarán conocimientos previos de ese bloque que se ha estudiado con anterioridad en este curso y en los dos cursos anteriores; como por ejemplo, fórmulas de áreas, perímetros… Como puede verse al revisar el currículo aragonés, si se ha realizado un aprovechamiento de la enseñanza recibida en cursos previos, se puede decir que la enseñanza anterior ha propiciado que los alumnos adquieran esos conocimientos previos necesarios para afrontar el aprendizaje de las funciones. Además, como ya hemos citado, en este caso, el objeto matemático de las funciones no es nuevo, sino que el bloque de “funciones y gráficas” se imparte desde primero de ESO, por tanto, se necesitarán esos conocimientos básicos adquiridos sobre las funciones en cursos anteriores. Como consecuencia, los centros que hayan seguido el currículo deberán haber conseguido que el alumno adquiera los conocimientos previos y las competencias necesarias para afrontar el aprendizaje de las funciones con más profundidad en este tema. Como se puede observar, en el currículo aragonés, antes del bloque que nos afecta en este trabajo se trabajan otros cuatro bloques que en mayor o menor medida nos servirán como conocimientos previos para afrontar el aprendizaje del objeto matemático de las funciones. Trabajo fin de máster 5 Para comprobar si los alumnos poseen estos conocimientos previos, al comienzo de la unidad didáctica se realizará una evaluación inicial para determinar el nivel de competencia curricular de cada alumno sobre el tema de funciones. Esta evaluación inicial se realizará durante la primera sesión y constará de distintos problemas tratando los conceptos que hemos citado previamente. Una posible evaluación inicial sería: Ejercicio 1: Resolución de las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) 065 2 =+− xx b) 0107 2 =−+− xx c) 05 2 =− xx d) 01 2 =+x Ejercicio 2: Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. a)        −=+− =+− 1 6 5 2 2 3 2 4 yx yx b)      +−=− =− 3 2 3 532 yx yx c)        −=− =− 1 2 3 1 2 3 yx xy d)    −=+ =+ 125 32 yx yx Ejercicio 3: Representación de puntos en los ejes cartesianos. Escribe las coordenadas de los puntos A y B y sitúa en el plano los puntos )5,2( − = C, )3,1( = D. Ejercicio 4: Conjuntos numéricos. a) Dados los intervalos, [ ] 3,3−=A , ( ) 1,4−=B , [ ) 4,1−=C . Representar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: a) B A ∪ b) CA ∪ c) CBA ∪ ∪ . b) Escribe los números reales entre 2 y 7, ambos inclusive. c) Escribe los números entre reales entre -2 y 0, pero sin que ellos estén incluidos. d) Escribe los números reales entre 5 y 9, incluyendo únicamente al 5. Problema 5: Cuestión de expresión verbal correcta. Imagínate que estás hablando con un compañero de tu clase por teléfono y quieres que dibuje algunas gráficas. Escribe una secuencia de instrucciones, de forma que tu compañero pueda dibujarlas. Trabajo fin de máster 6 Con este problema les haremos ver que es necesario tener un lenguaje preciso y claro para poder entendernos con los demás y que a su vez ellos entiendan exactamente y sepan lo que queremos expresar. Problema 6: Interpretación de datos. Las siguientes gráficas describen a dos aviones ligeros A y B. La primera gráfica muestra que el avión B es más caro que el A. ¿Qué otras informaciones podemos sacar? Antid Ta Capacidad Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o no justificando tu respuesta en cada caso: - El avión más viejo es más barato. - El avión más rápido es más pequeño. - El avión más grande es más viejo. - El avión más barato transporta menos pasajeros. - El avión que transporta menos pasajeros debe repostar con más frecuencia. - El avión más rápido transporta menos pasajeros. Dibujar en el cuaderno dos sistemas de coordenadas cartesianas. En el primero de ellos, representa en el eje de ordenadas la antigüedad y en el eje de abscisas la velocidad. En el segundo, representa en el eje de ordenadas el tamaño y en el eje de abscisas la autonomía de vuelo. Representa en cada uno de ellos los dos puntos correspondientes a los aviones A y B. Con este problema les haremos recordar la interpretación de los puntos en una gráfica y repasarán la notación y terminología de los ejes cartesianos. Problema 7: Representación gráfica. El siguiente dibujo muestra la pista de una montaña rusa en la que los coches se desplazan de A a B a una velocidad lenta y constante. Describe, por escrito y mediante una gráfica, como variará la velocidad de estos coches en su desplazamiento desde A hasta G. Precio Velocidad de crucero Autonomía de vuelo Antigüedad Capacidad Tamaño Trabajo fin de máster 7 Distancia recorrida en la pista Las siguientes preguntas te ayudaran a ver cómo puedes realizar la gráfica. - ¿En qué partes de la pista viaja más rápido el coche? ¿Y más despacio? - ¿Dónde va más rápido el coche, en B o en D? ¿En D o en F? ¿En C o en E? - ¿Dónde acelerará? ¿Dónde decelera? Una vez realizada la gráfica contesta a las siguientes preguntas: - ¿Se podría reconstruir el perfil de una montaña rusa a partir de la gráfica anterior? - ¿Observas alguna relación entre la forma de una pista de la montaña rusa y la forma de su grafica? Si es así, escribe una explicación. ¿Hay alguna excepción? A través de este problema trataremos de que recuerden como se representa una gráfica si nos están dando una descripción del suceso a través de un dibujo. Problema 8: Reconocimiento de gráficas a través de una descripción verbal. Muchos niños suelen ir al colegio en bicicleta. La primera clase empieza a las ocho, lo que significa que la mayor parte de los alumnos deben salir de casa a las siete y media, porque llegar tarde... La distancia al colegio es de 10 kilómetros. Las cuatro gráficas que vienen a continuación muestran cómo las cosas son distintas para Carmen, Fernando, Maruja y Yolanda cuando van al colegio. Yolanda: Yo salgo con calma y en el camino empiezo a pedalear más deprisa. Fernando: Esta mañana iba con la moto rápido. Pero cuando casi había llegado, me he quedado sin gasolina. Así que he tenido que ir el resto andando. Carmen: Acababa de salir de casa, cuando me he dado cuenta de que me había olvidado el chándal y he vuelto a casa para buscarlo. Después pedaleé muy deprisa para llegar Ahora responde a las siguientes preguntas: 1. ¿A quién corresponde cada gráfica? Velocidad de los coches Distancia Distancia Distancia Distancia Trabajo fin de máster 8 2. ¿Qué texto ha podido decir Maruja? Escríbelo. Aquí tienes otra vez la gráfica de Yolanda, pero esta vez, con mayor precisión. Úsala para contestar a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos Km. había recorrido Yolanda a las 7:45? ¿Cuántos minutos tardó Yolanda en los 5 primeros Km.? ¿Cuántos Km. pedaleó entre las ocho menos cuarto y las ocho? b) ¿Cómo se puede saber que Yolanda ha ido a la misma velocidad en los primeros 25 minutos (de 7:30 a 7:55)? c) Si Yolanda hubiera seguido con la misma velocidad, ¿habría llegado a tiempo al colegio? ¿Cuántos minutos de adelanto o atraso? ¿Cómo has encontrado la respuesta? d) ¿Entre qué horas, aproximadamente, fue mayor la velocidad de Yolanda? ¿Cómo lo puedes saber? Intenta calcular a qué velocidad pedaleaba en esos momentos. Con este problema, recordarán como reconocer una gráfica si se les da una descripción verbal e interpretarán también una gráfica. Mediante todos estos problemas, también se ha puesto de manifiesto el concepto que se estudiará en sesiones posteriores sobre las distintas formas posibles de expresar una función. La metodología a seguir en esta primera sesión dedicada a repasar los conocimientos necesarios para afrontar el aprendizaje del nuevo objeto matemático de las funciones será la siguiente: los alumnos realizarán individualmente las cuatro primeras actividades, posteriormente los alumnos se dividirán en grupos de tres personas aproximadamente y a cada grupo se les repartirá un problema. Preferiblemente, más de un grupo tendrá el mismo problema. Los alumnos trabajarán sobre ese problema respondiendo a una serie de preguntas y, por último, se realizará una puesta en común, es decir, se realizará la institucionalización, de manera que todos los alumnos puedan comentar, comprender y recordar todos aquellos conceptos básicos que han aparecido. Notar que como la propuesta de los problemas es variada y de diferente temporalización, se intentará que la dedicación temporal de los grupos sea equilibrada. Trabajo fin de máster 15 Problema 1: Compañía telefónica. En el mercado existen varias compañías telefónicas donde podemos contratar el servicio de teléfono móvil. Veamos como tarifican tres de estas compañías y contestemos a las preguntas planteadas. - La compañía A nos cobra 0,15 € el establecimiento de llamada y 0,08 € por cada minuto de llamada. Al final de cada llamada la compañía nos aplica el IVA que es del 16,00%. - La compañía B nos cobra 0,17 € el establecimiento de llamada y 0,1 € por cada minuto de llamada. - La compañía C no cobra el establecimiento de llamada y cada minuto de llamada cuesta 0,09 €. Al finalizar cada llamada, la compañía nos aplica el IVA que es del 16,00%. A continuación, presento las preguntas resueltas para facilitar la lectura y la reflexión, obviamente, cuando se lo presente a los alumnos este problema lo entregaré únicamente con el enunciado y las preguntas planteadas. a) Tras completar la siguiente tabla con dos cifras decimales y con los redondeos habituales, ¿Qué compañía te resulta más barata? Explica tu respuesta. Minutos de la llamada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Precio (€) en A 0,27 0,36 0,45 0,55 0,64 0,73 0,82 0,92 1,01 1,1 1,19 Precio (€) en B 0,27 0,37 0,47 0,57 0,67 0,77 0,87 0,97 1,07 1,17 1,27 Precio (€) en C 0,12 0,23 0,35 0,46 0,58 0,70 0,81 0,93 1,04 1,16 1,28 b) Representa la tabla en unos ejes cartesianos. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C Trabajo fin de máster 16 c) ¿Cuánto tiene que durar una llamada para que el coste de la compañía A y B sea el mismo? d) Una persona que hable 10 minutos por llamada, ¿qué compañía debería escoger? e) ¿Cuánto me costará en la compañía B hablar 2 horas? Con este problema de las compañías telefónicas trataremos de que los alumnos construyan el modelo, que averigüen la dependencia entre dos magnitudes que son gasto y minutos. Luego podemos decir que este tipo de problemas constituyen la razón de ser de las funciones que coincide con la que se ha señalado en la reconstrucción histórica de la noción de función en el apartado tres anterior. La razón de ser en este caso es la modelización de relaciones de dependencia. Problema 2: Comparación de salarios. Dos restaurantes pagan de distinta forma a sus empleados. El restaurante A paga 10 euros fijos al día más 9 euros por hora trabajada. El restaurante B paga 12 euros por hora de trabajo. a) Escribe dos funciones que expresen el sueldo de un empleado en cada uno de los dos restaurantes y represéntalas sobre los mismos ejes cartesianos y sobre ejes cartesianos distintos. b) Si uno trabaja 5 horas y 25 minutos, ¿cuánto cobra en cada restaurante? c) ¿Cuántas horas se debería de trabajar en el restaurante A para cobrar 50 €? ¿Y en el B? d) ¿En cuál de los dos restaurantes le merece más la pena trabajar a un empleado? Mediante este segundo problema se institucionalizarán los conceptos de función, imagen y antiimagen. Tras ambos problemas los alumnos junto con la ayuda del profesor tratarán de averiguar los conceptos de función, imagen y antiimagen; tras ese proceso, el profesor dará las siguientes definiciones: Dados dos conjuntos A y B numéricos, llamaremos función f a la aplicación que a cada elemento del primer conjunto A se le asigna un único elemento del segundo conjunto B. La notación habitual es: BAf → : yxfx = → )( A y se le llama imagen de x por la función. Y x es la antiimagen de y por f , xyf = − )( 1 . Trabajo fin de máster 17 Otra nomenclatura para el mismo concepto es la siguiente: llamaremos x a la variable independiente e y será la variable dependiente. La técnica que se les va a explicar, que previamente ellos la han aplicado para contestar a las preguntas de los problemas anteriores es que para calcular la imagen de un número por la función tienen que sustituir la x que aparece en la función por el número dado y el resultado de operar eso es la imagen. Para calcular la antiimagen de un número dado tienen que igualar la función al número dado y obtener el o los valores de x. Los ejercicios que se van a plantear para practicar la técnica tanto en clase como en casa son los siguientes: El ejercicio que se va a plantear en los últimos cinco minutos de la clase va a ser: dada la expresión algebraica de una función, calcular las imágenes y antiimagenes de algunos valores. Se trabajará a través de una hoja de cálculo mental (véase anexo 1). Esta hoja consiste en que se da una coordenada y una dirección y los alumnos deben de realizar todas las casillas que puedan en el tiempo de 1 o 2 minutos empezando por la coordenada que se les ha dicho y siguiendo la dirección mencionada. Claro está que previamente hay que acordar que dirección hay que tomar si se nos acaba la fila o la columna para poder seguir. Una vez que ha finalizado el minuto, el profesor corrige y los alumnos se anotan sus aciertos, si se juega varias veces se puede ir haciendo un gráfico para ver la evolución del alumno. Notar que hay una gran amplitud de ejercicios debido a los diferentes ritmos de aprendizaje que nos podamos encontrar. Con esta hoja de cálculo mental se trabajan tanto los conceptos de imagen y antiimagen, pero se trabaja también la competencia para el cálculo mental. Los ejercicios que se plantearán para casa serán de los siguientes tipos: - Dadas unas gráficas, razonar si son o no gráficas de funciones. - Dada la gráfica de una función, calcular la imagen y antiimagen de algunos valores. SESIÓN 3: Reconocimiento de características generales y locales. La sesión comenzará con la corrección y dudas de los ejercicios planteados para casa. A continuación, por grupos de aproximadamente tres personas se realizará el siguiente problema. Problema 3: Representación de situaciones Representa cada una de las situaciones en unos ejes cartesianos e intenta responder a las preguntas: - ¿Qué diferencia encuentras entre las cinco situaciones? - ¿Puedes dibujar todas las gráficas de un solo trazo? Trabajo fin de máster 18 - ¿Las funciones tienen algún salto? Situación A: Una compañía de teléfonos cobra 0,15 por el establecimiento de llamada y 0,09 € por minuto. Situación B: La que hace corresponder a cada número real su doble menos 2. Situación C: La que asocia a cada número real su anterior entero, es decir, la parte entera del número. Situación D: La entrada a un museo cuesta 4 €, pero es gratuita para menores de 6 años y los jubilados mayores de 65 años solo pagan 1 €. Supongamos que la media de edad es de 87 años. Situación E: El precio de cada fotocopia es de 0,04 € si realizo menos de 100 fotocopias y de 0,02 € si realizo una cantidad mayor o igual que 100 fotocopias. Tras la realización de este problema, se comentarán los resultados obtenidos institucionalizando así los conceptos de dominio y recorrido y la idea intuitiva de continuidad de una función. El profesor las introducirá de la siguiente manera: • Dominio: son los valores x del conjunto A que tienen imagen, )(xf . El dominio de una función f se denota Dom f. • Recorrido: son los elementos By ∈ tal que existe una x del dominio de forma que yxf = )( . El recorrido de una función f se denota Rec f. • Una función es continua en un intervalo (a,b) si podemos dibujar la gráfica sin levantar el lápiz del papel. (Idea intuitiva y ostensiva). A continuación les enseñaremos las técnicas para calcular el dominio y el recorrido de las funciones gráficamente y para obtener los intervalos de continuidad. Para calcular el dominio de una función dada su gráfica, proyectaremos la gráfica de la función sobre el eje OX y escribimos los puntos x de izquierda a derecha que hemos obtenido Para calcular el recorrido de una función dada su gráfica, proyectaremos la gráfica de la función sobre el eje OY y escribimos los puntos de abajo a arriba y que hemos obtenido. Para calcular los intervalos de continuidad tenemos que comenzar por el extremo izquierdo de la función viendo que valores toma x, en cuanto levantemos el lápiz del papel anotaremos los valores x obtenidos y continuaremos con el proceso, lo obtenido se unirá con ∪ y ya lo habremos calculado. Una modificación a esta técnica mencionada serán los distintos tipos de intervalos que nos vayan apareciendo. Por último, se harán ejercicios del siguiente tipo para consolidar los conceptos: Trabajo fin de máster 19 - Dada la gráfica de una función, calcular el dominio, recorrido y expresar continuidad o discontinuidad de la función. Para casa se mandarán ejercicios del mismo tipo. SESIÓN 4: Reconocimiento de características generales y locales Esta sesión cuarta comenzará corrigiendo los ejercicios mandados para casa en la sesión anterior y resolviendo las dudas que surjan. A continuación, se introducirán los conceptos de monotonía y las distintas formas de expresar una función. El profesor introducirá primero el concepto de función creciente y lo justificará mediante el diagrama que se observa en la parte derecha. • Una función es creciente en un intervalo (a,b) si para dos valores cualesquiera del mismo, con x1 < x2 se cumple que f(x1) < f(x2). Después, serán los alumnos quienes deduzcan la definición de función decreciente y constante, junto con su justificación. • Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si para dos valores cualesquiera del mismo, con x1 < x2 se cumple que f(x1) > f(x2). • Una función es constante en un intervalo (a,b) si para dos valores cualesquiera del mismo, con x1 < x2 se cumple que f(x1) = f(x2). Tras institucionalizar los conceptos se realizarán ejercicios para determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función gráficamente. Trabajo fin de máster 20 A continuación para introducirles las distintas formas de expresar una función, se les propondrá este ejemplo 1)( + = xxf y entre todos los alumnos deducirán todas las formas en las que se puede expresar una función, que son: a través de una ecuación, mediante una tabla de valores, gráficamente, verbalmente o como pares ordenados. Por último, se institucionalizará el concepto de tasa de variación. • La tasa de variación de una función en un intervalo [a,b] es el aumento o disminución que experimenta la función al pasar la variable x del valor “a” al “b”. La técnica es hallar la imagen del punto del extremo del intervalo y la imagen del punto del inicio del intervalo y restarlo, es decir, TV[a,b]= f(b)-f(a). La justificación que se dará será la siguiente: Los ejercicios para ejercitar esta técnica serán calcular la tasa de variación de una función tanto si la función se da a través de una gráfica o a través de su expresión algebraica. Se propondrán ejercicios para casa para trabajar los conceptos introducidos en la sesión. SESIÓN 5: Reconocimiento de características generales y locales. La sesión comenzará corrigiendo los ejercicios mandados en la sesión anterior y preguntando si tienen alguna duda de lo explicado hasta el momento. A continuación el profesor junto con los alumnos institucionalizará los conceptos de puntos de corte con los ejes cartesianos, extremos relativos y periodicidad de una función. Los alumnos ya conocen el concepto de puntos de corte con los ejes cartesianos y saben calcularlo sobre la gráfica de una función; así que además de calcularlos sobre la gráfica de una función, se les va a enseñar a calcular los puntos de corte con los ejes cartesianos si tiene la función dada mediante expresión algebraica. Para ello, se les enseñará la siguiente técnica: Trabajo fin de máster 21 Para calcular los puntos de corte de una función con el eje OX hay que resolver el sistema    = = yxf y )( 0 Para hallar los puntos de corte de una función con el eje OY hay que resolver el sistema    = = yxf x )( 0. Para justificar dicha técnica, se comenzará primero escribiendo unos ejes cartesianos en la pizarra y preguntando a los alumnos que característica tienen en común todos los puntos que están sobre el eje y, se preguntará lo mismo pero sobre el eje x. Después averiguarán las ecuaciones de los ejes cartesianos y por último tras poner en la pizarra la gráfica de una función y hallados sus puntos de corte establecerán lo que hay que hacer para obtenerlos cuando te dan la ecuación. Para introducir el concepto de extremos, se propondrá la resolución individualmente del siguiente problema: Esta mañana, Alba salió de su casa a comprar el periódico, tardando 10 minutos en llegar al quiosco, que está a 400 m de su casa. Allí estuvo durante 5 minutos y se encontró con su amiga Elvira, a la que acompañó a su casa (la casa de Elvira está a 200 m del quiosco y tardaron 10 minutos en llegar). Estuvieron durante 15 minutos en la casa de Elvira y después Alba regresó a su casa sin detenerse, tardando 10 minutos en llegar (la casa de Elvira está a 600 m de la de Alba). Construye la gráfica y di cual es la mayor distancia que recorrió. (http://www.amolasmates.es/pdf/ejercicios/3_ESO/Ejercicios%20de%20graficas% 20y%20propiedades.pdf) Tras la resolución, el profesor institucionalizará los siguientes conceptos: • Una función )(xf tiene un máximo relativo en el punto ))(,( afaM r si la función en él pasa de ser creciente a decreciente. • Una función )(xf tiene un máximo absoluto en el punto ))(,( afaM a si )()( afxf < para todo a x ≠ . • Una función )(xf tiene un mínimo relativo en el punto ))(,( afam r si la función en él pasa de ser decreciente a creciente. • Una función )(xf tiene un mínimo absoluto en el punto ))(,( afam a si )()( afxf > para todo a x ≠ . Por último, para introducir el concepto de periodicidad, como en este curso sólo se va a trabajar la periodicidad sobre gráficas de funciones, se plantearán las siguientes situaciones de la vida cotidiana y serán los alumnos quienes intenten hallar la técnica y justificarla. Trabajo fin de máster 22 Situación A: Nos subimos un viaje en una noria que lleva una velocidad angular constante, si el viaje dura cinco vueltas y la altura de la noria es de 50 m. Realiza una gráfica de esta situación. Situación B: Representa la variación de la velocidad del péndulo de un reloj con el paso del tiempo. (http://ficus.pntic.mec.es/~jgam0105/temas_3eso/materiales_3eso/act_refuerzo_Anaya/ ar_ss_tema7.pdf ). Situación C: Realiza una gráfica que represente el porcentaje visible de la luna, sabiendo que el porcentaje de la luna varía en función del día, desde el 0 % (luna nueva) hasta el 100 % (luna llena). El porcentaje visible se repite cada 28 días. (http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena9/3eso_qui ncena9.pdf ) Situación D: Representa el suceso natural de la marea sabiendo que la máxima profundidad alcanzada son 8 m a las 9 de la mañana y de la tarde y que el mínimo alcanzado es a las 3 y 15 horas con una profundidad de 2 m. (http://es.scribd.com/doc/72479788/Funciones-Periodicas). Posteriormente, se institucionalizará el concepto de la siguiente forma: • Una función )(xf es periódica de periodo T si para todo x del dominio de la función se cumple que )()( xfTxf = + . La técnica será meramente ostensiva, es decir, visual y la justificación será: Para afianzar estos conceptos, se propondrán ejercicios de los siguientes tipos: Trabajo fin de máster 23 - Dada la gráfica de una función, estudiar la periodicidad, extremos relativos y sus puntos de corte con los ejes cartesianos. - Dada una función expresada mediante una ecuación, calcular los puntos de corte con los ejes cartesianos. Para casa, se les propondrán ejercicios similares. SESIÓN 6: Simetría. La sesión comenzará corrigiendo los ejercicios mandados para casa en la sesión anterior y resolviendo las dudas que tengan los alumnos. A continuación para introducir el concepto de simetría de una función se realizará la siguiente actividad sobre ejes de simetría en figuras simétricas: Dadas las siguientes tres piezas, ¿de cuántas formas se pueden juntar con al menos un punto de contacto de modo que se obtenga una figura? Si la figura hallada es simétrica, dibuja también el eje de simetría. Como por ejemplo, Después les preguntaré que porqué son esas figuras simétricas y trataré de que me respondan que si las doblan por el eje de simetría las partes coinciden. Entonces les diré que ocurre lo mismo con las funciones, pero que aunque existen simetrías respecto a distintos ejes, en funciones las simetrías más importantes son los que vamos a estudiar, simetría respecto del eje OY y simetría respecto del origen de coordenadas. Tras ello, les pondremos los ejemplos típicos de una función simétrica respecto del eje OY 2 xy = y una función simétrica respecto del origen de coordenadas 3 xy =. Comentaré que para hallar si tiene o no simetría una función sería pesado y a veces complicado hallar la gráfica de una función entonces preguntaré ¿cómo ver si una función es o no simétrica sin necesidad de dibujar la gráfica? Con esta pregunta trataré de que me den como respuesta la siguiente técnica: Una función es simétrica respecto del eje OY si al sustituir en )(xf x por –x se obtiene )()( xfxf = − . Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas si al sustituir en )(xf x por –x se verifica la igualdad: )()( xfxf − = − . A continuación se institucionalizarán los conceptos. Trabajo fin de máster 24 • Una función es simétrica respecto del eje OY si para todo x del dominio de la función se cumple que )()( xfxf = − . Estas funciones son llamadas también funciones pares. Observación: 1)1( +=− par • Una función es simétrica respecto del origen si para todo x del dominio de la función se cumple que )()( xfxf − = − . Estas funciones se conocen como funciones impares. Observación: 1)1( −=− impar Tras haber visto estos conceptos les preguntaré si saben decir porqué se les llama funciones pares e impares. La justificación de esta técnica será: Los ejercicios que se realizarán en clase como en casa serán del tipo hallar la simetría de funciones expresadas tanto gráficamente como en ecuación. SESIÓN 7: Actividades. Esta sesión comenzará con la corrección y dudas de los ejercicios mandados en la sesión anterior. A continuación, se prepararán distintas actividades de consolidación, de refuerzo o de ampliación para que realicen los alumnos. Estas actividades durarán la mitad de la hora aproximadamente, se realizarán individualmente y serán de los siguientes tipos:  Actividades de consolidación de conceptos: 1. Representa la gráfica de una función continua con un máximo absoluto en (-3,4), un máximo relativo en (0,3), un mínimo absoluto en (2,0) y un mínimo relativo en (-2,2). 2. Dada la gráfica de una función, obtén todas las características. 3. Dada la expresión de una función, determina su simetría, puntos de corte, y la imagen y antiimagen de números dados. 4. Dada una gráfica, interpretarla para contestar a algunas preguntas. Trabajo fin de máster 31 En esta pregunta, se pondrá en práctica el conocimiento de los puntos de corte, para ello necesitarán y pondrán en práctica el conocimiento sobre resolución de ecuaciones y sistemas. Además este ejercicio les servirá para acostumbrarse con el lenguaje algebraico. También tendrán que ser capaces de interpretar sus soluciones con respecto a lo que se les pide en el enunciado. Solución: a) Puntos de corte con el eje OY    = = 0 )( x xfy    = +−= 0 )32( 2 x xxy    = −−= ⇒0 32 2 x xxy 3 − = ⇒ y Luego el punto de corte con el eje OY es (0,-3) Puntos de corte con el eje OX    = = 0 )( y xfy    = +−= 0 )32( 2 y xxy    = −−= ⇒0 32 2 y xxy 320 2 −−=⇒xx 2 42 2 )3(442 2 4 2 ± = −−± = −±− = a acbb x .Luego,    −= = 1 3 x x Por tanto los puntos de cortes con el eje OX son (3,0) y (-1,0). b) Puntos de corte con el eje OY    = = 0 )( x xfy    = = 0 5 x y Punto de corte con el eje OY: (0,5). Puntos de corte con el eje OX    = = 0 )( y xfy 05 0 5=⇒    = = y y. Como 5≠0 entonces el sistema no tiene solución, por tanto la función 5)( = xf no corta al eje OX. c) Puntos de corte con el eje OY    = = 0 )( x xfy Trabajo fin de máster 32 0 0 5 2 =⇒    = −= y x xxy . Punto de corte con el eje OY: (0,0). Puntos de corte con el eje OX    = = 0 )( y xfy )5(050 0 5 2 2 −=⇒−=⇒    = −= xxxx y xxy ⇒    =⇒=− = 505 0 xx x. Los puntos de corte con el eje OX son (0,0), (5,0). Este ejercicio será valorado con 10 puntos y los criterios de calificación que se aplicarán en esta pregunta serán los siguientes: - Si el ejercicio es contestado de la forma anterior: 3 puntos en cada apartado. - Si el ejercicio está hecho de forma clara 1 punto. - Si en el ejercicio no aparece el sistema a resolver de forma genérica: -0.75 puntos por cada apartado donde no aparezca. - Si en el ejercicio no aparecen las fórmulas que hay que utilizar para resolver como puede ser la formula de resolución de una ecuación de segundo grado: -0.5 por cada apartado que no aparezca. - Si el sistema está bien planteado, pero ha habido un error en la resolución: 0 puntos si el error ha sido de cálculo y si ha sido un error de copiar mal - 0,25. - Si el ejercicio no contiene una frase indicando la solución:- 0.5 puntos en cada apartado que no aparezca. - Si el proceso está todo bien, pero el resultado está mal: 2 puntos por apartado. 5. Dada la siguiente función estudia su: a) dominio b) recorrido, c) crecimiento, decrecimiento y constante, d) máximos y mínimos relativos y absolutos, e) puntos de corte con los ejes cartesianos, f) )1(),2( 1− ff , g) imagen de -5, antiimagen de -1, h) tasa de variación en [2,4] i) estudiar la continuidad de la función, j) estudiar su periodicidad y su simetría. Trabajo fin de máster 33 (http://platea.pntic.mec.es/jfgarcia/editorialsm/es3_esfera/leccion_12.pdf) Con esta quinta pregunta, se trata de comprobar si los objetos matemáticos que se han transmitido se han aprendido y asimilado. Además se comprobará el dominio que tienen los alumnos para leer las características de una función gráficamente y si dominan la notación cartesiana y el orden de los números reales al ponerlos en forma de intervalos. Solución: a) Dom f = [-8,8]. b) Rec f = [-2,5]. c) Crecimiento: (-7,-5) ∪ (-3,-2) ∪ (3,5) ∪ (7,8). Decrecimiento: (-8,-7) ∪ (-5,-3) ∪ (2,3) ∪ (5,7). Constante: (-2,2). d) Máximos relativos y absolutos: (-5,5), (5,5). Mínimos relativos: (-7,-1), (-3,-2), (3, -2), (7,-1). Mínimos absolutos: (-3,-2), (3,-2). e) Puntos de corte: (-8,0), (-6,0), (-4,0), (4,0), (6,0), (8,0), (0,1). f) [ ] 2,2)1(,1)2( 1 −== − ff g) Imagen de -5 = 5, antiimagen de -1 = ± 3´8. h) [ ] )()(, afbfbaTV −= . Sustituyendo, [ ] 110)2()4(4,2 −=−=−= ffTV . i) Continua: (-8,8) {-1,1}. j) No es periódica k) Es simétrica respecto del eje OY, es decir, es una función par, ya que )()( xfxf = − . Este ejercicio será calificado con 20 puntos y se utilizarán los siguientes criterios de calificación: Trabajo fin de máster 34 - Si el ejercicio es contestado de la forma anterior: 2 puntos en cada apartado. - Si el ejercicio no contiene cierto orden ni claridad: -5 puntos. - Si en la resolución no aparecen las fórmulas o las condiciones que se han de verificar: - 0.5 puntos. - Si el planteamiento es el correcto y se ha confundido en la resolución: -0.5 puntos. - Si los intervalos están bien, pero lo único que se falla es en los extremos de si es abierto o cerrado: -1 punto por cada uno fallado. Si esto ocurre en el dominio y en el recorrido se le calificará ese apartado con 0 puntos. 6. Estudia si son o no simétricas las siguientes funciones. a) xxxf 43)( −= b) 5 8 )( − = x xg Con este ejercicio, se trata de comprobar si han aprendido la técnica para determinar si una función es simétrica y para desarrollar sus destrezas con el uso de variables y con el lenguaje algebraico. Solución: a) )()(43)(4)(3)( xfxfxxxxxf − ≠ ⇒ + − = − − − = − . La función no es par. )()(43)(4)(3)( xfxfxxxxxf − ≠ ⇒ + − = − − − = − )()(43)43()( xfxfxxxxxf − = − ⇒ + − = − − = − . La función es impar. b) )()( 5 8 5)( 8 )( xfxf xx xf −≠⇒ −− = −− =− . La función no es par. )()( 5 8 5 8 )( xfxf x x xf −≠ ⇒ +− = − −=− . La función no es impar. Por tanto, la función no es simétrica. Esta actividad será valorada con 10 puntos y los criterios de calificación empleados serán: - Si el ejercicio es contestado de la forma anterior: 5 puntos en cada apartado. - Si no aparece la condición a verificar: -1 punto por las veces que no aparezca. - Si el planteamiento es correcto, pero se ha equivocado en el procedimiento: -4 puntos. Trabajo fin de máster 35 - Si se ha equivocado al copiar la función, pero todo lo restante está correcto: -0.5 puntos. - Si se estudia la simetría o no de las funciones a través del dibujo de la función y es correcto: 2.5 puntos por cada apartado 7. Determina si estas funciones son o no periódicas, en caso afirmativo escribe su periodo. a) b) (http://www.smconectados.com/archivosCMS/3/3/33/usuarios/229816/13/20100806164 350M_cbf799ac-7fc7-49e8-8aef-35ffd3c4f61e.doc) Con la séptima pregunta, se conocerá si han asimilado correctamente el concepto de función periódica y será valorada sobre 10 puntos. Solución: a) Para que una función sea periódica se tiene que verificar: )()( Txfxf + = . Es periódica de periodo T=4. b) Para que una función sea periódica se tiene que verificar: )()( Txfxf + = . Es periódica de periodo T=1. Los criterios de calificación en esta pregunta son: - Si el ejercicio es contestado de la forma anterior: 5 puntos en cada apartado. - Si olvidan decir el periodo: -2,5 puntos. - Si el periodo es incorrecto: -4 puntos. - Si no aparece la condición a verificar: -1 punto por las veces que no aparezca. - Si se ha equivocado al copiar la función, pero todo lo restante está correcto: -0.5 puntos. 8. Determina si las siguientes aplicaciones son o no funciones y explica porqué. Trabajo fin de máster 36 Con este ejercicio, se quiere ver la capacidad que los alumnos tienen a interpretar la definición sobre función pedida en el primer ejercicio y que si no han realizado el primer ejercicio porque no se acuerdan o no saben como expresarlo, tratar con este que lo intenten deducir. Además, quedará de manifiesto en esta pregunta, si se ha entendido correctamente la teoría, puesto que hay alumnos que tienen más dificultad en la memorización, pero sin embargo comprenden la teoría y la saben aplicar. De esta manera comprando para cada alumno el ejercicio número 1 y el 8 podremos intuir que es lo que sabe y lo que no y hasta que punto razona correctamente. Solución: a) No es función, ya que hay una línea vertical y por tanto la x por donde pasa la vertical le corresponden infinitos valores de y, y para que sea función sólo le ha de corresponder un único valor de y. b) No es función, puesto que hay varios valores de x a los cuales les corresponden dos valores de y, y para que sea función sólo le ha de corresponder un único valor de y. c) Si que es función, porque a cada valor de x se le asocia un único valor de y. Este ejercicio se calificará sobre cinco puntos y los criterios de calificación a aplicar serán: - Si el ejercicio es contestado de la manera anterior: 1,5 puntos en cada apartado. - Si está bien explicado y ordenado: 0,5 puntos. - Si únicamente la respuesta es si o no sin razonamiento: -1 punto en cada apartado no razonado. - Si hay razonamiento, pero no es el adecuado: -1 punto. 9. Dadas la función 54)( 2 −= xxf calcula la antiimagen de 0 y la imagen de -2 y la tasa de variación de [-3,3] (5 puntos). Con la última pregunta, se conocerá si saben averiguar los conceptos que se les piden sobre la ecuación de la función. Solución: Antiimagen de 0: 2 5 4 5 4 5 45540 222 ±=±=⇒=⇒=⇒−= xxxx . Imagen de -2: 115165)2(4)2( 2 =−=−−=−f. [ ] ).()(, afbfbaTV −= Trabajo fin de máster 37 Sustituyendo, 315)3(4)3(,315)3(4)3( 22 =−−=−=−= ff . Luego, [ ] .03131)3()3(3,3 =−=−−=− ffTV Esta pregunta será valorada con 5 puntos y se aplicarán los siguientes criterios de calificación: - Si el ejercicio es contestado de la forma anterior: 2,5 puntos en cada apartado. - Si no está explicado el procedimiento: - 1 punto. - Si no aparecen las fórmulas:-1 punto. Comentar que si se ha llevado un seguimiento aprovechado de las sesiones en el aula, los alumnos no tendrán problema en resolver la prueba planteada. Las respuestas a los ejercicios variarán en función de cómo tengan cada uno asimilados los conocimientos previos y por supuesto los de esta unidad didáctica de funciones. Las calificaciones a las pruebas serán establecidas mediante los criterios de evaluación, que dependerán de cada pregunta como ha quedado reflejado. En todas las preguntas se valorará positivamente las explicaciones en cada ejercicio, la claridad y el orden. Asimismo, las faltas de ortografía podrán suponer una reducción en la nota final del examen. En un principio, se establecerán los siguientes criterios con la puntuación indicada. Si al corregir la prueba aparecieran errores no contemplados en los criterios se ponderarían y se apuntarían como criterio para que el resto de compañeros fuera valorado con el mismo baremo. Una vez calificada la prueba de evaluación nos servirá como docentes para ver si lo que se ha explicado se ha entendido o si es necesario que para posteriores unidades o para la próxima vez que se imparta esta unidad se realicen algunos cambios. 6.- Reflexión personal En este máster he descubierto y aprendido que hay varias formas de que los alumnos aprendan. Antes de realizarlo creía que la forma más conveniente para enseñar a mis alumnos era la que a mí se me había aplicado y que muchas veces se sigue, la clase magistral, pero ahora sé que la clase magistral no es siempre la mejor forma de que los alumnos adquieran los conocimientos que se les imparten. En varias asignaturas hemos tenido que realizar una serie de trabajos como parte de la evaluación en los que teníamos que elaborar una secuenciación didáctica sobre un objeto matemático de cualquiera de los cursos de secundaria o bachillerato donde se pusiera de manifiesto la razón de ser del objeto matemático de una forma innovadora. Quiero hacer notar que al principio esta forma de trabajar nos resultó difícil de aplicar aunque tras varias reuniones de seguimiento conseguimos dicho objetivo. Por último, hemos aplicado en la medida de lo posible estas indicaciones durante la estancia de nueve semanas en centros educativos. En mi opinión, ha sido una Trabajo fin de máster 38 experiencia gratificante tanto a nivel formativo, de cara a adquirir las habilidades necesarias para la docencia, como personal. Sin duda la parte teórica del máster es necesaria para adquirir y saber cómo aplicar los conocimientos necesarios para la docencia. A modo de resumen y en cuanto a la utilidad formativa del practicum puedo destacar que esta experiencia ha contribuido a: - Iniciarme en el ejercicio de mi futura profesión. - Familiarizarme con el entorno en el que se desarrollará mi futura actividad profesional. - Anticiparme situaciones que se me pueden plantear en el futuro en el ejercicio de la docencia. - Ponerme en contacto directo y presencial con la aplicación en el centro escolar del Sistema Educativo Español. - Aplicar y comprender de manera inmediata los conocimientos teóricos adquiridos durante la parte teórica del máster. - Conocer la heterogeneidad del alumnado y facilitar la posibilidad de aplicar una intervención personalizada según los casos. - Iniciarme en el conocimiento y en la elaboración de programaciones para los distintos niveles educativos. - Tomar contacto con la estructuración y funcionamiento del Centro Escolar. - Conocer como se trabaja en equipo a nivel profesional. Para finalizar, el máster me ha parecido una herramienta indispensable para mi labor como futuro docente. 7.- Sobre la bibliografía y páginas web Colera, J., García, R., Gaztelu, I.; Oliveira, Mª. J. Libro de texto de Matemáticas 3º ESO. Anaya. Lacasta, E. Pascual, J.R. Las funciones en los gráficos cartesianos. Editorial Síntesis. ORDEN de 9 de mayo de 2007, del Departamento de Educación, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad Autónoma de Aragón. Ruiz Higueras, L. (1994). Concepciones de los alumnos de secundaria sobre la noción de función: análisis epistemológico y didáctico. Tesis doctoral. Universidad de Jaén. Trabajo fin de máster 39 Vizmanos, J.R., Anzola, M, Bellón, M, y Hervás, J.C. Libro de texto de matemáticas de 3º ESO .SM, Colección Esfera. Wussing, H. (1998).Lecciones de historia de las matemáticas. Madrid: Siglo XXI de España Editores S.A. El lenguaje de funciones y gráficas. Ministerio de Educación y Ciencia. Traducción y adaptación de Alayo, F. “ The language of functions and graphs”. Universidad País Vasco. http://es.scribd.com/doc/30949187/Actividades-Ampliacion-Funciones http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena9/3quincena 9_tutor_1a.htm http://www.iesprofesorjuanbautista.es/IMG/pdf_11-Funciones.pdf http://platea.pntic.mec.es/jfgarcia/editorialsm/es3_esfera/leccion_12.pdf http://www.smconectados.com/archivosCMS/3/3/33/usuarios/229816/13/20100806164 350M_cbf799ac-7fc7-49e8-8aef-35ffd3c4f61e.doc http://ntic.educacion.es/w3/recursos/secundaria/matematicas/mas_menos/11_m_m/activ idades_parte_1.html http://docentes.educacion.navarra.es/jjimenei/0000009bbf0a2fd27/index.html http://www.smconectados.com/archivosCMS/3/3/33/usuarios/229816/13/20100806163 306M_8c51f76c-42f9-4536-adea-daef2c1c3a53.pdf http://catedu.es/matematicas_mundo/RUTAS/rutas24.htm http://ficus.pntic.mec.es/~jgam0105/temas_3eso/materiales_3eso/act_refuerzo_Anaya/a r_ss_tema7.pdf http://es.scribd.com/doc/72479788/Funciones-Periodicas http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena9/3eso_quin cena9.pdf http://www.amolasmates.es/pdf/ejercicios/3_ESO/Ejercicios%20de%20graficas%20y% 20propiedades.pdf Trabajo fin de máster 40 8.- ANEXOS Anexo 1: Hoja de cálculo mental Calcula la imagen de un valor en una función. HOJA Nº: _____ A B C D E F 1 y = 3x-1 -3 y = 4x 2 -2x 3 y = x 3 -2 3 y = 4x 2 +3 -2 y = 2x + 1 -5 y = 12 4 2 y = x 3 +2 2 y = 4x-3 2 2 += xy -1 y = -6 0 y = 2x 2 -5 4 4 += xy 5 3 y = 5 4 7 += xy -3 y = 3x 2 -5 3 y = -x+2 5 8+= xy 8 y = 2x + 5 -4 4 y = -x 2 + x 3 y = 3x 2 +1 2 y = 2x-4 -4 y = 2x - 3 -2 y = -x+4 -3 y = x 3 +2 1 5 y = 2x + 3 -1 y = x 3 +1 -1 y = 5x 2 -2x 2 y = x 3 -5 2 1 6 + = x y 0 y = 5x 2 +2x 2 6 y = 3x 2 +2x 2 y = -x+3 -2 2 2 + = x y -4 1+= xy 3 y = -x 3 +2 3 y = -x+6 -1 7 5 += xy 4 y = 7 3 y = 2x -4 3 y = 5x-3 0 y = 5 -1 x y2 = -2 8 y = 2x 2 +3 -2 3 5 − − = x y 4 y = -x 2 + x 2 4 8 − = x y 6 y = 4x-2 -2 y = 4x 2 +1 -3 9 y = -x+5 6 y = -x 3 +1 3 y = -x+7 4 y = -x 3 +5 2 y = -x 2 + x 4 y = -x 3 +1 2 10 x y5 = 0 y = 2x 2 6 4−= xy 8 y = 2x 2 -3 y = 4x-1 3 y = 4x 2 -2 11 y = -x 3 +4 2 y = 2x +6 -2 y = 5 -1 y = 2x-9 3 y = -x 2 + 1 -2 y = -5 3 12 y = 5x 2 -3 y = -x 2 + x 5 y = -x 3 -1 1 y = 2x 2 +3x -2 11+= xy 5 y = -x 2 + x 2 13 y = -3 6 2−= xy 1 y = 4x 2 -5 3 10 + = x y -1 y = 7x 2 3 y = 2x-5 -1 14 y = -x 2 + 5 3 y = -2x 2 3 y = 4x-12 2 y = 4 5 y = x 3 -4 -2 6−= xy 2 15 y = 4x-5 5 1 6 + = x y 2 y = x 2 - x 4 y = -2x 2 -2 y = 6 -2 1 12 − = x y -1 16 3 −= xy 7 y = 5x+3 -4 1 2 − = x y 1 y = 2x+3 4 4 15 − = x y -1 y = 3x-5 -2 17 1 5 + = x y -2 y = x 2 - x 3 y = -x 2 + 1 -3 y = -x 2 + x 1 y = -3x 2 3 y = -x 2 + 3 2 18 y = -4x 2 2 y = 5x-2 -2 y = -6 0 3+= xy -7 y = 3x+3 -2 y = 5x+1 -3