Repositorio Institucional de Documentos

MASTER EN PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA ESO Y BACHILLERATO. ESPECIALIDAD:MATEMÁTICAS TRABAJO FIN DE MASTER INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA PRIMERA Oreste D’Alessio 2 Indice 1 Presentación .......................................................................................................... 3 1.1 Introducción. (Sobre la definición del objeto matemático a enseñar) ............... 3 1.2 Introducción Histórica. (Sobre las razones de ser del objeto matemático) ........ 3 1.3 Conocimientos previos .................................................................................... 4 1.4 Sobre el campo de problema ........................................................................... 4 1.5 Sobre las técnicas ............................................................................................ 4 2 Contenidos ............................................................................................................ 4 2.1 Introducción del concepto de derivada ............................................................ 4 2.1.1 Situación 1: Problema introductorio 1 ...................................................... 5 2.1.2 Situación 2: Explicación del profesor sobre el problema introductorio 1. . 5 2.1.3 Situación 3:Problema introductorio 2 ....................................................... 6 2.1.4 Situación 4: Explicación del profesor sobre el problema introductorio 2. . 7 2.1.5 Situación 5: Problema introductorio 3 ...................................................... 7 2.1.6 Situación 6: Explicación del profesor sobre el problema introductorio 3. . 7 2.1.7 Situación 7: ¿Cómo se puede calcular la velocidad instantánea de un objeto que se mueve de manera no uniforme? ...................................................... 10 2.1.8 Situación 8: incrementos negativos. Problema introductorio 4. ............... 11 2.1.9 Situación 9: Explicación del profesor sobre el problema introductorio 4. 11 2..1.10 Situacion 10 ¿Que es la tangente? ........................................................... 15 2.2 Concepto de derivada de función .................................................................. 16 2.2.1 Problema contextualizado sobre el cálculo de la derivada de una función en un punto. ............................................................................................................. 20 2.2.2 Problema introductorio a la función derivada. ........................................ 21 2.2.3 Explicación del profesor sobre problema introductorio a la función derivada. ............................................................................................................. 21 2.2.4 Funciones Derivadas de algunas funciones elementales ......................... 22 2.2.5 Derivadas de una suma, de un producto y de un cociente ....................... 23 2.2.6 Derivada de una función compuesta: regla de la cadena ......................... 24 2.2.7 Tabla de las fórmulas y reglas de derivación .......................................... 24 2.2.8 Utilidad de la función derivada: otras técnicas asociadas. ....................... 25 3 Metodología ........................................................................................................ 27 4 Geogebra ............................................................................................................. 28 5 Evaluación .......................................................................................................... 29 3 6 Referencias Bibliográficas ................................................................................... 29 1 Presentación En este trabajo mi objeto matemático es la derivada primera; en particular voy a tratar su introducción. Antes voy a hablar del curso y de la asignatura en la que sitúo el objeto matemático. A continuación, se hablará de los conocimientos previos en cuestión y se introducirán las razones de ser del objeto matemático. Veremos que las razones de ser del objeto matemático en líneas generales coinciden con las razones de ser históricas; se introducirá un campo de problemas relacionados con la velocidad en el gráfico espacio tiempo y otros problemas puramente matemáticos. Se introducirán ejercicios, que se resuelven con las técnicas, en este caso, las reglas de derivación y otras más que trataremos después. La idea es de presentar la derivada primera en 12-14 sesiones de una hora, mas una para la evaluación final. El número de sesiones dependerá también del nivel de aprendizaje que tiene el alumnado, es decir que el profesor tiene que adaptarse al ritmo de aprendizaje de la clase. 1.1 Introducción. (Sobre la definición del objeto matemático a enseñar) El objeto matemático de mi trabajo fin de máster es la derivada primera. Yo trataré este tema utilizando Geogebra, un software open source (gratuito), muy útil para la enseñanza de las matemáticas, que en este caso nos permite dibujar las funciones, las derivadas primeras etc. Mi propósito es tratar este tema en el primer curso de un bachillerato científico, como está previsto en la ORDEN de 1 de julio de 2008, del Departamento de Educación, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el currículo del Bachillerato y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad autónoma de Aragón. Según dicha Orden, este objeto matemático pertenece al bloque de contenidos de análisis matemático. En este trabajo, se hará una breve introducción histórica de la derivada, después se introducirá el concepto de Tasa de Variación Media de una función, hasta llegar al concepto de derivada y su significado geométrico, todo eso con ejemplos y ejercicios para el alumnado. 1.2 Introducción Histórica. (Sobre las razones de ser del objeto matemático) El concepto de derivada surgió como resultado de algunos siglos de esfuerzo dirigidos a resolver dos problemas: determinar la recta tangente a una curva en uno de sus puntos y encontrar velocidades instantáneas en movimiento no uniformes. Estos problemas interesaron a los matemáticos desde tiempos antiguos, pero hasta el siglo XVI, la resolución de cada problema particular se hacía mediante un método específico no generalizable a otros problemas similares. 4 En el siglo XVII, los conocimientos acumulados hasta entonces permitieron a Newton y Leibnitz dar una respuesta teórica y completa a todos estos tipos de problemas, mediante la invención de la derivada. Un siglo después, Euler contribuyó a mejorarla. No obstante, la base lógica y, por tanto, los conceptos formales desarrollados por estos matemáticos fueron insuficientes para que el cálculo de derivadas fuera un proceso claro y sistemático. Fue Cauchy, a comienzos del siglo XIX, quien, al relacionar de forma clara el concepto de derivada con el del límite, consiguió un respaldo formal básico gracias al cual el cálculo de derivadas se redujo a sencillas operaciones formales. 1.3 Conocimientos previos Los conocimientos previos necesarios para empezar el estudio de la derivada primera son los siguientes: a) Conocer la definición de coeficiente angular de una recta. b) Conocer las propiedades de las funciones. c) Conocer el concepto de límite d) Saber calcular los límites de funciones en casos elementales e) Conocer el concepto de tangente a una circunferencia. Trataremos de asegurar que los alumnos posean estos conocimientos previos, con una evaluación escrita. 1.4 Sobre el campo de problema El campo de problemas es el siguiente: - Encontrar la tasa de variación instantánea de una función. - Encontrar la ecuación de la tangente de una función en un punto. Del campo de problemas y sus ejercicios asociados se hablará en el capítulo 2. 1.5 Sobre las técnicas Las técnicas son las siguientes: - Cálculo de la ecuación de la tangente de una función en un punto. - Cálculo de la tasa de variación media. - Cálculo de la derivada de una función en un punto utilizando la definición. - Cálculo de la función derivada utilizando las reglas de derivación. - Cálculo de la función derivada de una función. - Cálculo de la derivada de una función en un punto utilizando las reglas de derivación. - Cálculo de las abscisas de los puntos de derivada 0 - Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 2 Contenidos 2.1 Introducción del concepto de derivada Se presentarán en los siguientes subpárrafos las situaciones para introducir el concepto de derivada 5 2.1.1 Situación 1: Problema introductorio 1 Este problema introductorio sirve para introducir el concepto de derivada, para repasar y al mismo tiempo averiguar los conocimientos previos. En este gráfico el eje horizontal representa el tiempo (en segundos), y el eje vertical representa el espacio recorrido (en metros). Los segmentos representan las trayectorias de tres personas. a) ¿Qué persona sale mas tarde? b) ¿Qué persona recorre menos metros? c) Calcula la velocidad media de cada persona. d) Escribe las ecuaciones de las rectas que aparecen en el gráfico y exprésalas en forma explícita (y = ax+b). e) Relaciona la velocidad media con la ecuación de la recta. 2.1.2 Situación 2: Explicación del profesor sobre el problema introductorio 1. Si los alumnos tienen dificultades importantes en la situación 1 se les propondrá alguna otra situación parecida. En física, sabemos que la velocidad media es igual al espacio recorrido partido por el tiempo empleado; es decir velocidad media = Espacio/Tiempo. 6 Entonces la velocidad media de a será 3m/4s = 0,75m/s; la velocidad media de b será 2m/4s = 0,5 m/s, mientras la velocidad media de c será 3m/3s= 1m/s. Podemos deducir que las pendientes de las rectas representan las respectivas velocidades medias de las tres personas en cuestión. Pero, sabemos que la pendiente de una recta es igual al coeficiente angular de la recta, es decir, a la tangente del ángulo que forma la recta con el eje OX+. Entonces podemos concluir que el coeficiente angular de la recta representa su velocidad media en el grafico espacio-tiempo. Además sabemos que la recta se puede expresar como y= (tgα)x + b. 2.1.3 Situación 3:Problema introductorio 2 En este gráfico espacio-tiempo, la línea azul representa el recorrido en función del tiempo de Pedro, mientras la línea verde representa el recorrido en función del tiempo de Roberto. a) ¿Salen o no simultáneamente? ¿Del mismo punto? b) ¿Cuántos metros han recorrido los dos después de 2 segundos? ¿Y después de 4 segundos? c) Calcula la velocidad media de los dos en el intervalo [0s, 2s]: d) Calcula la velocidad media de los dos en el intervalo [0s, 4s]: e) Calcula la velocidad media de los dos en el intervalo[2s, 4s]: f) Qué pasa con la velocidad media en los distintos intervalos? Aumenta, disminuye, se mantiene constante? g) ¿Cuál es la velocidad de Pedro en el instante t = 2? h) ¿Cuál es la velocidad de Roberto en el instante t = 2? 7 2.1.4 Situación 4: Explicación del profesor sobre el problema introductorio 2. a) Analizando el grafico podemos ver que los dos parten simultáneamente del mismo punto. b) Después de 2 segundos, Pedro ha recorrido 2 metros, mientras Roberto ha recorrido 1 metro; después de 4 segundos, ambos han recorrido 4 metros; con un tiempo mayor que 4 segundos notamos que el espacio recorrido por Roberto es mayor que el espacio recorrido por Pedro. c) Velocidad Media de Pedro: 2m/2s = 1m/s Velocidad Media de Roberto: 1m/2s = 0,5m/s d) Velocidad Media de Pedro: 4m/4s = 1m/s Velocidad Media de Roberto 4m/4s = 1m/s e) Velocidad Media de Pedro: 2m/2s = 1m/s Velocidad Media de Roberto: 3m/2s = 1,5m/s. f) Podemos notar que la velocidad media de Pedro es constante, mientras la velocidad media de Roberto cambia según el intervalo que consideremos. Eso se puede traducir en lo siguiente: Pedro se mueve con velocidad constante, en cuanto el gráfico espacio-tiempo de su movimiento es una recta, mientras Roberto no se mueve con velocidad constante, es decir que la velocidad de Roberto cambia con el tiempo, y en este caso aumenta. g) Como la velocidad de Pedro es constante, podemos afirmar que también en el instante t = 2 s, la velocidad de Pedro es igual a 1m/s. Por tanto, podemos asumir la existencia de una velocidad instantánea que, en este caso, coincide con la velocidad media. h) La velocidad de Roberto cambia, según el intervalo, de momento no tenemos ninguna herramienta para calcular la velocidad instantánea de Roberto en ningún instante. 2.1.5 Situación 5: Problema introductorio 3 Sean g(x) = x² y f(x) = 4x, dos funciones espacio-tiempo correspondientes a dos móviles a) Encuentra en qué instante los dos móviles han hecho el mismo recorrido. b) Calcula la velocidad media de las dos funciones en el intervalo [0, 1]. c) Calcula la velocidad media de las dos funciones en el intervalo [0, 2]. d) Calcula la velocidad media de las dos funciones en el intervalo [0, 3]. e) Calcula la velocidad media de las dos funciones en el intervalo [1, 3]. f) Calcula la velocidad instantánea de los móviles en el instante x = 2. 2.1.6 Situación 6: Explicación del profesor sobre el problema introductorio 3. Solución: a) Para encontrar la solución hay que poner g(x) = f(x). Es decir x² = 4x ↔ x² - 4x = 0 ↔ x(x- 4) = 0. La ecuación tiene dos soluciones x₁ = 0 y x2 = 4 Vamos a representar las dos funciones gráficamente, utilizando geogebra. 8 Figura b) La velocidad media de las funciones f(x) y g(x) en el intervalo [0, 1] se calcula de la siguiente manera: (f(1)-f(0))/(1-0) = 4/1 = 4; (g(1)-g(0))/(1-0) = 1/1 = 1 Gráficamente podemos ver que el coeficiente angular de la recta que pasa por A y B es 1, mientras el coeficiente angular de la recta que pasa por A y C es 4. c) La velocidad media de las funciones f(x) y g(x) en el intervalo [0, 2] se calcula de la siguiente manera: f(2)-f(0))/(2-0) = 8/2 = 4; (g(2)-g(0))/(2-0) = 4/2 = 2 9 Gráficamente podemos ver que el coeficiente angular de la recta que pasa por A y B es 2, mientras el coeficiente angular de la recta que pasa por A y C es 4. d) La velocidad media de las funciones f(x) y g(x) en el intervalo [0, 3] se calcula en la siguiente manera: (f(3)-f(0))/(3-0) = 12/3 = 4; (g(3)-g(0))/(3-0) = 9/3 = 3 16 En este grafico podemos ver que la tangente t es la que más se aproxima a la curva f(x) = x3-3x2+4 en un entorno de x0 = 0, respecto a las otras rectas a, b, c. Como se puede ver en el grafico la tangente t puede intersecar la curva en otros punto, pero nos concentramos solo en un entorno pequeño del punto en cuestión. 2.2 Concepto de derivada de función Sea y=f(x), una función definida en un intervalo [a,b] e indicamos con x0 un punto interior a este intervalo. Si de x0 se pasa a otro punto cualquier x0+h, del intervalo [a,b], se dice que se ha dado a la variable x el incremento positivo, h. La diferencia f(x0+h)-f(x0), entre los valores que la función asume cuando la variable x pasa del valor x0 al valor x0+h, se llama incremento de la función y puede tener valor positivo, negativo o nulo. 17 El cociente: f x h f x h ( ) ( ), 0 0   se llama Tasa de Variación Media de la función f(x), relativa al punto x0 y al incremento h. Esta relación una vez fijado x0, varia al variar h, es decir ella es una función de la variable h definida por cada valor de h diferente de 0, con lo cual, se entiende que el punto x0 +h no sale del intervalo [a,b], en el cual está definida f(x). La Tasa de Variación Media de la función f(x), correspondiente a un determinado incremento de la variable independiente, nos indica "cómo" varía la función en el entorno del punto x0. La Tasa de Variación Media de función, en el grafico espacio-tiempo puede ser vista como la velocidad media, relativa a un intervalo de tiempo dado. Ahora propongámonos ver qué le sucede a la TVM cuando tomamos valores de h cada vez más pequeños, tendentes a 0. Introducimos por lo tanto una nueva definición: Se llama derivada de la función f(x), en el punto x0 al límite, si existe y es igual a un numero finito, de la TVM correspondiente a un intervalo (x0, x0+h), cuando h tiende a 0. La derivada generalmente se indica con las siguientes notaciones: f'(x0),; y'(x0),; [Df(x)] x= x0 y queda definida por la relación: h xfhxf xf h )()( lim)(' 00 0 0    . Este resultado puede interpretarse como la tasa de variación instantánea en el instante x0. En el caso particular de una función espacio-tiempo, representaría la velocidad instantánea en el instante x0 y en el caso de una función velocidad-tiempo, la aceleración instantánea en el instante x0. Utilizando geogebra vamos a ver que pasa cuando queremos dibujar la recta que pasa por los puntos (x0, f(x0)) y (x0+h, f(x0+h)), tomando valores de h cada vez más pequeños, es decir aplicando la definición de derivada. Esto concepto se desarrollará con una demostración de geometría dinámica: Por ejemplo dada la función f(x) = (x3-x)/4, queremos calcular la recta que pasa por A (1,0) f(x), y B = (1+h, f(1+h)) f(x), con h cada vez más pequeño. Si h =1 18 Si h = 0,5 19 Si h = 0,2 Si h = 0,01 20 Podemos notar que con valores de h cada vez más cerca del 0 la recta que pasa por A y B, se aproxima a la tangente de la función en el punto A. Como, hemos dicho antes, la TVM geométricamente está representada por el coeficiente angular de la recta que pasa por los 2 puntos de la función; cuando h tiende a 0, la tasa de variación instantánea (derivada primera) está representada por el coeficiente angular de la tangente a la curva. 2.2.1 Problema contextualizado sobre el cálculo de la derivada de una función en un punto. Calcula en el instante t = 3, la velocidad instantánea de la función espacio-tiempo f(x) = x² - x. Explicación del profesor Antes se procede al cálculo de la velocidad media     h fhf h xfhxf )3()3( )()( 00 .5 )5(56369 22       h h hh h hh h hhh Después se calcula el límite de la tasa de variación media cuando h0: 21 .5)5(lim )3()3( lim )()( lim)(' 00 00 0 0      h h fhf h xfhxf xf hhh Se concluye afirmando que la velocidad instanténea en t = 3 es igual a 5. Matemáticamente podemos decir que la derivada primera en el punto x0= 3, es igual a 5. 2.2.2 Problema introductorio a la función derivada. Problema a) Halla la derivada de f(x) = x2 en los puntos de abscisas, -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4. b) Representa los resultados obtenidos en la siguiente tabla x -2 -1 0 1 2 3 4 f’(x) c) ¿Qué relación hay entre x y f’(x)? ¿Se podría representar f’(x) en función de x? d) ¿f’ podría ser una nueva función? 2.2.3 Explicación del profesor sobre problema introductorio a la función derivada. a) f’(-2) = limh→0 = limh→0( 4-4h+h2+4)/h = limh→0 (-4h+h2)/h = -4 f’(-1) = limh→0 = limh→0 (1-2h+h2-1)/h = -2 f’(0) = limh→0 = 0 f’(1) = limh→0 = 2 f’(2) = limh→0 = 4 f’(3) = limh→0 = 6 f’(4) = limh→0 = 8 b) x -2 -1 0 1 2 3 4 f’(x) -4 -2 0 2 4 6 8 c) Podemos notar que f’(x) = 2x d) Para probar que f’(x) es una nueva función, vamos a obtener la derivada de f(x) = x2 en un punto cualquiera, x: limh→0 = limh→0 (x2 +2hx + h2 –x2)/h = 2x. Por lo tanto hemos, hemos obtenido que f’(x) = 2x, como habíamos previsto. Representamos gráficamente la función f(x) = x2 y su función derivada f’(x) = 2x. 22 Definición Se llama función derivada de f a una función f’ que asocia a cada abscisa x, la derivada de f en ese punto, f’(x) es decir la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) en ese punto. A la derivada de f la llamaremos f’ o bien Df. Df(x) = f’(x) = limh→0 2.2.4 Funciones Derivadas de algunas funciones elementales Ejercicio. Calcula: a) La función derivada de una función constante, f(x)=k. b) La función derivada de la función f(x) = x. c) La función derivada de la función f(x) = x2+1. 23 d) La función derivada del producto de una constante k por una función y=f(x). Explicación del profesor sobre el ejercicio anterior a) La derivada de una función constante, f(x)=K, vale cero, es decir: D(x)=0 De hecho: .00limlim' 00     hh h kk y b) La derivada de la función f(x) = x vale 1, es decir: D(x)=1 De hecho: .11limlim' 00     hh h xhx y c) La derivada de la función f(x) =x2 vale 2x, es decir: D(x2)=2x De hecho: .22lim )2( lim 2 lim )( lim' 00 222 0 22 0xhx h hxh h xhhxx h xhx yhhhh         d) La derivada del producto de una constante k por una función y=f(x) es igual a la constante por la derivada de la función, es decir: D[Kf(x)]=KD[f(x)]=kf’(x) De hecho: ).( )()( lim )]()([ lim )()( lim' 000 xfk h xfhxf k h xfhxfk h xfkhxfk yhhh         2.2.5 Derivadas de una suma, de un producto y de un cociente La derivada de la suma de dos (o más) funciones derivables existe y es igual a la suma de las derivadas de las funciones. Si es: y = f + g con f y g funcionas derivables en x, será: y’ = f’ + g’ La derivada del producto de dos funciones derivables existe y es igual al producto de la derivada del primer factor por el segundo, más el producto del primer factor por la derivada del segundo. Si es: y = f  g con f y g funcionas derivables en x, será: y’ = f’  g + f  g’. La derivada del cociente de dos funciones derivables, existe y es igual a un cociente cuyo denominador es el cuadrado del denominador inicial y cuyo numerador es la diferencia entre el producto del denominador por la derivada del numerador y el producto del numerador por la derivada del denominador. Si es: g f y con f y g funcionas derivables en x, será: 2 '' g gfgf y  24 2.2.6 Derivada de una función compuesta: regla de la cadena Dada la función y = (3x + 5)2, ¿cuál sería su función derivada? Calcúlala utilizando la definición de derivada. Solución. limh→0 ((3(x+h)+5)2- (3x+5)2)/h = limh→0 (9(x+h)2+25 +30(x+h) – 9x2-25 -30x)/h= = limh→0(18xh+9h2 +30h)/h = 18x +30. Podemos notar che la función derivada 18x+30 = 6(3x+5), además sabemos que la derivada de x2 es igual a 2x. ¿Entonces porque hemos multiplicado por 6 en lugar de multiplicar por 2? Además, sabemos que D(3x+5) = 3, por eso hemos multiplicado por 6. Podemos resumir el resultado obtenido con la regla de la cadena: Dg[f(x)] = g’[f(x)]. f’(x) 2.2.7 Tabla de las fórmulas y reglas de derivación Para facilitar el cálculo de la derivada de una función, se presenta una tabla de fácil consulta. Se coloca a mano izquierda la función y=f(x), y, a la derecha, la derivada y'=f’(x), en un punto genérico x, dónde la función es derivable: y=f(x) y’=f’(x) ky  0'y Función potencia:  )(xfy  )(')(' 1xfxfy     En particular: xy  1'y )(xfy  )(' )( )( 'xf xf xf y nxfy )( )(' )( 1 '1xf xfn ynn  x y1  2 1 'x y )(xfy  )('. )(2 1 'xf xf y Funciones goniometricas: )(xsenfy  )(')(cos' xfxfy  )(cos xfy  )(')(' xfxsenfy  25 ))(( xftgy )(' )(cos 1 '2xf xf y )(xctgfy  )(' )( 1 '2xf xfsen y Función logarítmica: )(log xfy a  )('log )( 1 'xef xf ya  En particular: )(ln xfy  )( )(' 'xf xf y Función exponencial: x ay  aay xln' )(xf ay  )('ln')( xfaay xf  )(xf ey  y’ = ef(x) f’(x) En particular: x ey  x ey ' Inversas de las funciones goniometricas: )(xarcsenfy  )(' ))((1 1 '2xf xf y   )(arccos xfy )(' ))((1 1 2xf xf  xy arctg )(' ))((1 1 2xf xf xy arcctg 2 ))((1 1 xf  f’(x) . 2.2.8 Utilidad de la función derivada: otras técnicas asociadas. Cuando una función nos viene dada por su expresión analítica, y = f(x), su derivada, f’(x), nos da la inclinación de la curva en cada punto (medida en función de la pendiente de la tangente en ese punto) y nos dice cuando la función crece o cecrece. Veamos, en concreto, algunas de las aplicaciones de las derivadas. 1) Calculo de la derivada de una función en varios puntos. Para hallar f’(a), f’(b), f’(c),..., se procede así: a) Se obtiene la expresión general de f’(x). b) Se sustituye en f’(x) la x por a, b, c.