Repositorio Institucional de Documentos

Proyecto Fin de Carrera Modelado numérico de la pared abdominal basado en imágenes de scanner Autora Berta Vallés Mallén Directora y ponente Belén Hernández Gascón Jorge Grasa Orús Escuela de Ingeniería y Arquitectura 2012 Quiero expresar mi sincero agradecimiento a Belén Hernández Gascón, por su total dedicación, simpatía y comprensión a lo largo de todo este trayecto. De igual manera quiero agradecer a Jorge Grasa, ponente de este proyecto por la Universidad de Zaragoza por sus valiosos consejos, y a la Dra. Begoña Calvo por brindarme la oportunidad de realizar este proyecto en el Departamento de Ingeniería Mecánica. Igualmente, quiero hacer mención especial a todos los que han aportado su granito de arena para hacerme posible llevar a cabo esta investigación, en especial a Isabel, Antonio y Myriam. A todos aquellos amigos y compañeros que han estado a mi lado, recorriendo conmigo el camino. A todos, gracias. Gracias a Juan por prestar un poquito su cuerpo a la ciencia. Gracias a Iris, por su optimismo radical hasta en los peores momentos. A Sonso, porque siempre estás conmigo. Finalmente, muchas gracias a mis padres, a Blanca y a toda mi familia, en especial a Miguel y a Francisco. Gracias por estar siempre ahí, apoyándome en todo momento. Zaragoza, Junio de 2012 Berta Vallés Mallén . MODELADO NUMÉRICO DE LA PARED ABDOMINAL BASADO EN IMÁGENES DE SCANNER RESUMEN La pared abdominal tiene una gran importancia anatómica y funcional, tanto por ser la estructura de sostén de las vísceras como por permitir el movimiento y rotación del tronco con respecto a las extremidades y la cabeza. Las patologías más comunes que sufre la pared abdominal derivan de la pérdida de resistencia de ésta, la cual da lugar a los procesos herniarios. Estas patologías se tratan mediante la colocación de mallas sintéticas que deben devolver a la pared abdominal sus propiedades mecánicas. La aplicación de técnicas experimentales, numéricas o computacionales, permite la determinación de las propiedades mecánicas de tejidos. En este proyecto, se han desarrollado dos métodos, de forma paralela, para la obtención de las propiedades que definen el comportamiento mecánico pasivo del músculo abdominal en el marco de la mecánica de medios continuos no lineales en grandes deformaciones, de forma que los resultados de ambos se han comparado y analizado El primer método para la caracterización del material se basa en el ajuste numérico de datos experimentales, tomados de la literatura, obtenidos a partir de ensayos uniaxiales realizados sobre un modelo de experimentación animal. El segundo método, el método de análisis inverso, utiliza datos experimentales a partir de ensayos no invasivos sobre un modelo de experimentación humano para la caracterización del material. En concreto, se utilizan imágenes de un abdomen humano, indeformado y deformado tras la aplicación de determinadas fuerzas. Finalmente, la simulación computacional, mediante el método de elementos finitos, del modelo del abdomen humano reconstruido en 3D mallado, permite la comparación y análisis de ambos métodos aplicados. Por tanto, en este trabajo se presenta una metodología nueva que permite la determinación de las propiedades mecánicas de la pared abdominal mediante la aplicación del método de análisis inverso y ensayos experimentales no invasivos. Esta metodología optimiza el valor de los parámetros definitorios de dichas propiedades frente a aquellos obtenidos con otros métodos de caracterización tradicionalmente utilizados, también presentados en este proyecto. VII Índice general CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................... 17 1.1. MOTIVACIÓN DEL PROYECTO ...................................................................................... 17 1.2. OBJETIVOS ................................................................................................................ 20 1.3. CONTENIDO DEL PROYECTO ....................................................................................... 21 CAPÍTULO 2. ESTUDIO EXPERIMENTAL ....................................................................... 23 2.1. MATERIALES Y MÉTODOS ............................................................................................ 23 2.2. RECONSTRUCCIÓN 3D DEL MODELO INDEFORMADO ..................................................... 26 2.3. RESULTADOS: DESPLAZAMIENTOS EXPERIMENTALES ................................................... 29 CAPÍTULO 3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS ........................................................... 31 3.1. MODELO GEOMÉTRICO DEL ABDOMEN ......................................................................... 31 3.2. MODELO CONSTITUTIVO ............................................................................................. 34 3.3. CONDICIONES DE CONTORNO ..................................................................................... 36 3.4. CARGAS .................................................................................................................... 37 CAPÍTULO 4. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL ............................................................... 39 4.1. PROPIEDADES DEL MATERIAL ...................................................................................... 39 4.2. RESULTADOS ............................................................................................................. 41 4.2.1. DESPLAZAMIENTOS NUMÉRICOS ......................................................................... 41 4.2.2. ANÁLISIS COMPARATIVO: DESPLAZAMIENTOS EXPERIMENTALES VS NUMÉRICOS .... 42 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE ANÁLISIS INVERSO .............................................................. 45 5.1. FUNDAMENTOS. APLICACIÓN AL ABDOMEN HUMANO ..................................................... 45 5.2. PROPIEDADES DEL MATERIAL. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ............................................. 47 5.3. RESULTADOS ............................................................................................................. 49 5.3.1. DESPLAZAMIENTOS NUMÉRICOS ......................................................................... 49 5.3.2. ANÁLISIS COMPARATIVO: DESPLAZAMIENTOS EXPERIMENTALES VS NUMÉRICOS .... 50 CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS ........................................................ 57 6.1. CONCLUSIONES ......................................................................................................... 58 6.1.1. CONCLUSIONES DEL ESTUDIO EXPERIMENTAL ...................................................... 58 6.1.2. CONCLUSIONES DEL ESTUDIO NUMÉRICO Y COMPUTACIONAL ............................... 58 VIII Índice general 6.2. LÍNEAS FUTURAS ........................................................................................................ 60 APÉNDICE A. ANATOMÍA DEL TRONCO ....................................................................... 63 A.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 63 A.2. ANATOMÍA DE LA PARED ABDOMINAL. FUNCIONES ........................................................ 64 A.2.1. MÚSCULO RECTO DEL ABDOMEN ......................................................................... 65 A.2.2. MÚSCULO OBLICUO EXTERNO O MAYOR DEL ABDOMEN ......................................... 66 A.2.3. MÚSCULO OBLICUO INTERNO O MENOR DEL ABDOMEN ......................................... 67 A.2.4. MÚSCULO TRANSVERSO DEL ABDOMEN ............................................................... 68 A.2.5. INTEGRACIÓN DE LOS MÚSCULOS CONFORMANTES DE LA PARED ABDOMINAL ........ 69 A.2.6. FUNCIONES DE LA MUSCULATURA ABDOMINAL ..................................................... 72 A.3. CAVIDAD ABDOMINAL ................................................................................................. 73 A.3.1. REGIONES ANATÓMICAS EXTERNAS DEL ABDOMEN ............................................... 73 A.3.2. COBERTURA ABDOMINAL .................................................................................... 75 A.4. ESTRUCTURAS ÓSEAS DE ANCLAJE DE LOS MÚSCULOS ABDOMINALES ........................... 76 A.4.1. COSTILLAS ........................................................................................................ 77 A.4.2. COLUMNA VERTEBRAL ........................................................................................ 78 A.4.3. CINTURA PÉLVICA .............................................................................................. 80 APÉNDICE B. BIOMECÁNICA ...................................................................................... 81 B.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 81 B.2. PRINCIPALES TEJIDOS Y MATERIALES BIOLÓGICOS ....................................................... 82 B.2.1. MATERIALES BIOLÓGICOS ................................................................................... 82 B.2.2. TEJIDOS BIOLÓGICOS BLANDOS .......................................................................... 83 B.2.3. TEJIDOS BIOLÓGICOS DUROS .............................................................................. 84 B.3. MODELADO NUMÉRICO DE LOS TEJIDOS BIOLÓGICOS BLANDOS ..................................... 84 B.3.1. TEJIDO MÚSCULO-ESQUELÉTICO ......................................................................... 85 APÉNDICE C. SCANNER Y EDICIÓN DE IMÁGENES ........................................................ 89 C.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 89 C.2. SCANNER 3D KONICA MINOLTA .................................................................................. 90 C.2.1. PRINCIPIOS DE FUNCIONAMIENTO ....................................................................... 90 C.3. INTRODUCCIÓN AL SOFTWARE RAPIDFORM® .............................................................. 91 Índice general IX BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... 93 17 Capítulo 1 Introducción 1.1. Motivación del proyecto Como se ha hecho patente en los últimos años, algunas ramas de la ingeniería han resultado ser extremadamente útiles en el terreno de la medicina. La ingeniería biomédica se ha convertido en una disciplina cada vez más utilizada, aunando principios de ambas, ingeniería y medicina, con el objetivo común de permitir el avance científico y tecnológico para la obtención de metodologías que permitan o faciliten el diagnóstico, seguimiento y tratamiento de algunas de las enfermedades o patologías que afectan al ser humano. Una de las principales herramientas de la ingeniería biomédica es la biomecánica (Apéndice B), ciencia que aplica las leyes de la mecánica a los tejidos y órganos constituyentes de los seres vivos. En algunos tipos de intervenciones quirúrgicas, como por ejemplo el tratamiento de hernias o la reducción o aumento de pecho (A. Pérez del Palomar et al. [2008]), sería extremadamente útil la visualización previa del resultado final. Esto puede obtenerse mediante la simulación computacional de la cirugía aplicando el método de elementos finitos (M.E.F.). Para ello se requiere tener información de la geometría de interés y conocer el comportamiento mecánico del material. Actualmente, la práctica en cirugía ha avanzado gracias a nuevos métodos de obtención de imágenes que son mínimamente invasivos (Meier et al., [2001]). Existen multitud de técnicas para la obtención de imágenes médicas (resonancia magnética, scanner, ecografía, etc…) que aportan la información requerida referente a la 18 Capítulo 1. Introducción geometría. Además esta información puede ser tratada mediante técnicas de procesado de imágenes (reconstrucción 3D) para ser utilizada en procedimientos de simulación computacional (Spitzer V.M. et al., [1998]). En cuanto al comportamiento mecánico, existen numerosos estudios que caracterizan la respuesta mecánica de ciertos tejidos (V. Alastrué et al., [2008]; B. Calvo et al., [2010]; W. Hwang et al., [2005]; P. Martins et al., [2010]; Nilsson, [1982a,b]; E. Peña et al., [2010]), pero sigue siendo un desafío debido a la gran complejidad del cuerpo humano. Además, para estos estudios se ha recurrido tradicionalmente a técnicas de experimentación animal, tratándose mayoritariamente de técnicas invasivas. Este tipo de metodologías implican estudios de larga duración y con grandes costes debidos al mantenimiento de los animales de experimentación, sin olvidar el debate ético abierto en torno a la experimentación con animales. La simulación de procedimientos quirúrgicos mediante M.E.F. no solo permitiría disminuir la experimentación con animales, sino que también posibilitaría la obtención de un diagnóstico fiable sin tener que recurrir a técnicas invasivas en el paciente, así como la selección de los procedimientos más idóneos para realizar las intervenciones quirúrgicas. La pared abdominal (Figura 1.1) es una de las partes del cuerpo humano de mayor complejidad estructural, compositiva y funcional, ya que sirve de protección y sujeción de las vísceras, y es el mecanismo anatómico que permite la torsión y flexión de nuestro cuerpo, junto a la columna y la pelvis (Apéndice A). Las afecciones más comunes en la pared abdominal son aquellas derivadas de la pérdida de resistencia de la misma. El debilitamiento de los tejidos constitutivos del abdomen, consecuencia de diversas causas, da lugar a las patologías herniarias. El tratamiento más extendido actualmente para tratar las hernias es la implantación de mallas sintéticas, siendo colocadas a nivel del defecto y de forma que consigan restablecer, en la medida de lo posible, las propiedades mecánicas del abdomen sano (B. Hernández et al. [2010]). Actualmente, y pese a recientes estudios realizados en torno a este tema (B. Hernández-Gascón et al. [2010] y [2011]), no se dispone todavía de criterios para la elección de la malla más idónea en cada caso ni tampoco para la orientación de dicha malla en el abdomen cuando el comportamiento de la misma es anisótropo. Por tanto, el cirujano selecciona aquella malla que, por su experiencia, considera que más se adecúa a las necesidades del paciente. Puesto que la malla quirúrgica ha de restablecer la respuesta mecánica del abdomen (B. Hernández- Gascón et al. [2012]), la correcta determinación de las propiedades mecánicas de éste es fundamental. Capítulo 1. Introducción 19 Según la literatura, existen multitud de estudios previos sobre ensayos experimentales que tienen por objetivo la caracterización del tejido abdominal. Por ejemplo, Hwang et al.,[2005] estudió la respuesta mecánica de los músculos caninos transverso y oblicuo interno separadamente, mientras que Nilsson et al., [1982a,b] se centró en caracterizar la respuesta de diferentes posiciones anatómicas en conejos. Por otra parte, B. Hernández et al., [2011] caracterizó mecánicamente el comportamiento pasivo del tejido abdominal de conejos mediante ensayos uniaxiales, obteniendo la respuesta para diferentes grupos de músculos y en diferentes orientaciones. En cuanto a la caracterización del tejido abdominal en humanos, Song C. et al., [2006] realizó una medida “in vivo” de las propiedades mecánicas de la pared abdominal humana durante la expansión del abdomen durante una operación mediante laparoscopia. Referente a la simulación computacional de procesos quirúrgicos, algunos autores han propuesto modelos de elementos finitos con geometrías idealizadas, con el fin de simular la respuesta mecánica de ciertos tejidos (Fortuny G. et al., [2009]; López-Cano M., [2007]). Sin embargo, hasta donde llega el conocimiento de la autora, hoy en día no existe un estudio que tome los datos de ensayos no invasivos en modelos de experimentación humanos mediante imágenes de scanner y, que a través de simulación numérica mediante M.E.F. e implementación de la metodología del análisis inverso, obtenga las propiedades del tejido abdominal. Figura 1.1. Músculos de la pared abdominal 20 Capítulo 1. Introducción 1.2. Objetivos El objetivo principal de este Proyecto Fin de Carrera es desarrollar una metodología, alternativa a la usada tradicionalmente utilizando ensayos en modelos animales, que permita determinar las propiedades mecánicas de la pared abdominal a partir de imágenes de scanner 3D y utilizando ensayos no invasivos en modelos humanos (Figura 1.2). Para la consecución del objetivo principal deben ser realizados cada uno de los objetivos parciales:  Caracterización experimental “in vivo” de un modelo humano para la obtención de imágenes de scanner 3D en dos configuraciones: indeformada y deformada. La configuración deformada se obtiene mediante la toma de imágenes del abdomen mientras a éste se le imponen unas cargas.  Reconstrucción 3D del modelo indeformado y obtención de un modelo de elementos finitos.  Obtención de los desplazamientos experimentales a partir de la comparativa de los modelos deformado e indeformado procedentes de la reconstrucción 3D de las imágenes de scanner.  Ajuste numérico de los parámetros que definen la ecuación de comportamiento del material a partir de datos experimentales obtenidos de la literatura (B. Hernández-Gascón et al. [2011]).  Simulación computacional por elementos finitos del modelo abdominal utilizando los valores del ajuste numérico de la curva experimental y obtención de los desplazamientos numéricos. Comparativa de los desplazamientos experimentales y numéricos para la obtención del error.  Implementación del método de análisis inverso para la obtención de la combinación óptima de parámetros que definen la ecuación de comportamiento del material del modelo abdominal, minimizando el error entre los desplazamientos numéricos y los experimentales. Capítulo 1. Introducción 21 1.3. Contenido del proyecto El presente proyecto está organizado en un total de seis Capítulos y tres Apéndices, cuyo contenido se resume a continuación: En el Capítulo 2 se expone el método experimental seguido para la obtención de la reconstrucción 3D del modelo abdominal a partir de las imágenes de scanner. Además se presenta el cálculo de los desplazamientos experimentales que experimenta la pared abdominal al aplicar una fuerza mediante un dinamómetro para distintos casos de carga. En el Capítulo 3 se describe el modelo de elementos finitos del abdomen, obtenido mediante el mallado de la geometría abdominal reconstruida en 3D. Además, se define el modelo constitutivo que caracteriza el material, así como las condiciones de contorno y los casos de carga aplicados. El Capítulo 4 describe la aplicación de la primera metodología seguida para realizar la caracterización del material. Así, el Capítulo recoge el ajuste numérico de datos experimentales obtenidos a partir de datos de la literatura. Se presenta también la simulación numérica, mediante el M.E.F., del modelo del abdomen, para la obtención de los desplazamientos numéricos en los distintos casos de carga. Finalmente, se expone una comparativa entre los resultados experimentales de desplazamientos obtenidos en el Capítulo 2 y los resultados numéricos. El Capítulo 5 presenta la nueva metodología establecida para llevar a cabo la caracterización del comportamiento del tejido abdominal, mediante la aplicación del método de análisis inverso. Se realiza una comparativa entre los desplazamientos experimentales y los numéricos, para obtener la combinación de parámetros óptimos que definen el material. Además, se analizan las mejoras de esta nueva metodología con respecto a la presentada en el Capítulo 4. Finalmente, el Capítulo 6 está constituido por las conclusiones que se pueden extraer del estudio experimental, así como de la aplicación de los dos métodos y la comparativa entre los resultados ofrecidos por ambos métodos. Además, se presentan las posibles líneas futuras y mejoras de este proyecto. Forman asimismo parte de este proyecto tres Apéndices destinados a facilitar la comprensión de los conceptos, aproximaciones o datos utilizados a lo largo de la realización de este estudio. El Apéndice A recoge los conceptos más importantes sobre la estructura anatómica de la cavidad abdominal. El Apéndice B es una breve introducción a la biomecánica y a las principales propiedades mecánicas de los diferentes materiales constituyentes del cuerpo humano. Además, contiene la 22 Capítulo 1. Introducción *Datos obtenidos de la literatura (B. Hernández-Gascón et al., [2011]) Figura 1.2. Esquema explicativo del procedimiento realizado formulación básica utilizada en la definición del modelo hiperelástico isótropo cuasiincompresible empleado en este proyecto para la caracterización de la respuesta pasiva de la pared abdominal. Por último, el Apéndice C constituye una pequeña introducción a los medios utilizados para la realización del estudio experimental del proyecto, es decir, el scanner y el software comercial Rapidform®. 23 Capítulo 2 Estudio experimental El estudio experimental se subdivide en tres partes: por un lado, la obtención de datos mediante la toma de imágenes sobre un modelo de experimentación humano “in vivo”, a continuación, la reconstrucción 3D de los modelos deformado e indeformado a partir de las imágenes obtenidas y, por último, el cálculo de los desplazamientos experimentales. 2.1. Materiales y métodos Materiales Los datos experimentales se obtienen a partir de un sujeto de raza caucásica, varón, 23 años de edad, de altura 177 centímetros y peso 70 kilogramos. El sujeto mantiene una buena forma física y tiene unos hábitos de alimentación saludables y equilibrados. No existen incidencias en el modelo humano de afecciones previas en la zona abdominal. Metodología La obtención de las imágenes del modelo humano se ha realizado con el scanner 3D Konica Minolta non-contact 3D digitizer VI-700 (100-240 V~, 50-60 Hz, 0.4 A) (Apéndice C). El primer paso de la metodología consiste en el marcado del abdomen del sujeto. Se marcan con cruces los puntos anatómicos representativos del abdomen. 24 Capítulo 2. Estudio experimental Estos puntos se utilizan posteriormente como puntos de referencia para cualquier sistema de coordenadas y como puntos de guía para el acoplamiento de un modelo del esqueleto escalado. Los puntos anatómicos seleccionados son: la apófisis xifoides del esternón, las crestas ilíacas de la cadera y la línea de definición de la última costilla (Figura 2.1). Como puntos de orientación naturales se tienen: el ombligo en la parte anterior y la curvatura de la columna en la parte posterior. A continuación se marcan, esta vez con puntos (Figura 2.3), los lugares en los que van a ser ejercidos las fuerzas para la deformación del abdomen. De esta forma, las coordenadas de cada punto de aplicación de fuerza pueden ser extraídas y extrapoladas para cualquier sistema de coordenadas. Figura 2.1. Abdomen preparado para la toma de imágenes. Se indican los puntos anatómicos representativos Figura 2.2. Posición relativa scanner-modelo humano en la toma de datos del abdomen indeformado Capítulo 2. Estudio experimental 25 El segundo paso es la correcta colocación del sujeto en diferentes posiciones, desde cada una de las cuales se toman imágenes del abdomen indeformado. Se obtienen un total de seis imágenes de scanner que darán lugar a la reconstrucción completa en 3D. Para ello, el sujeto rota sobre sí mismo, girando cada vez un ángulo de 60º (Figura 2.2). La posición del sujeto durante el ensayo es estática, con los brazos anclados en el cuello para no entorpecer la visión en la imagen captada y siempre en el mismo momento respiratorio de inspiración completa. El tercer paso consiste en la obtención de imágenes de scanner de la deformada del abdomen del sujeto mientras se está ejerciendo una fuerza en una zona concreta. En particular, la fuerza se aplica en 5 zonas diferentes (Figura 2.3), obteniéndose así cinco configuraciones deformadas sobre las que se realizan las medidas experimentales. La fuerza se ejerce manualmente y de forma perpendicular a través de una superficie de aplicación unida a un dinamómetro, que proporciona la fuerza ejercida. El área de aplicación de la fuerza es una superficie circular de diámetro igual a 8 milímetros. Para cada zona de aplicación de la fuerza se realizan 6 tomas de imágenes, es decir, se obtienen 6 modelos deformados. Por otra parte, para evitar que el dinamómetro entorpezca la imagen obtenida, para cada una de las imágenes de scanner, se realizan dos capturas de imagen desde posiciones diferentes (Figura 2.4) La fuerza a aplicar con el dinamómetro es de 10 N. No obstante, la aplicación de dicha fuerza en el laboratorio se realiza de forma manual. Al tomar seis medidas de cada uno de los casos de carga, la fuerza ejercida en cada medida presenta cierta variación. Así, la Tabla 1 recoge las medidas de fuerzas ejercidas en el modelo. Figura 2.3. Zonas de aplicación de la fuerza 32 Capítulo 3. Modelo de elementos finitos El mallado se ha realizado en Abaqus®. Se han utilizado dos tipos de elementos en el mallado del modelo: elementos placa lineales cuadriláteros con integración reducida y elementos placa lineales triangulares con integración reducida en las zonas que presentan mayor complejidad geométrica (Figura 3.2). Concretamente, el modelo de elementos finitos presentado en la Figura 3.1 está compuesto de un total de 3663 nodos y 3575 elementos, de los cuales 7 son elementos lineales triangulares, mientras que los 3568 restantes corresponden a los elementos lineales cuadriláteros. Figura 3.1. Malla de elementos finitos obtenida. a) Vista frontal; b) Vista en perspectiva Figura 3.2. Elementos finitos de tipo capa cuadriláteros y triangulares Capítulo 3. Modelo de elementos finitos 33 De acuerdo con la literatura, los valores de espesor de las diferentes capas del composite muscular son (Norasteh et al., [2005], Lancerotto et al., [2011]): Media ± SD (mm) OE 5.38 ± 1.64 OI 9.35 ± 3.42 TA 4.36 ± 1.03 RA 10.8 ± 2.18 Tabla 4. Media (±SD) del espesor de los diferentes músculos abdominales en sujetos asintomáticos. OE, oblicuo externo; OI, oblicuo interno; TA, transverso abdominal; RA, recto abdominal Para el cálculo del espesor del composite, considerando la complexión muscular del sujeto sometido al estudio experimental, se han tomado los espesores medios más la desviación típica de los músculos oblicuo externo e interno y del transverso. ecomposite muscular = eEO + eIO + eTA = (5.38+1.64) + (9.35+3.42) + (4.36+1.03) = 25.18 mm Por otra parte, este valor de espesor se ve incrementado, ya que se considera un engrosamiento debido a la existencia de tres capas de tejido subcutáneo de la pared abdominal bajo la epidermis (Lancerotto et al. [2011]). Dichas capas son conocidas como: capa adiposa superficial (SAT), capa membranosa (ML) y capa adiposa profunda (DAT). De esta forma, para sujetos pertenecientes al grupo de peso considerado normal, se tiene: etejido subcutáneo = eML + eSAT + eDAT = 2.31 mm + 3.66 mm + 3.14 mm = 9.11 mm Por tanto, el espesor utilizado para la shell en el presente modelo es: emodelo = ecomposite muscular + etejido subcutáneo = 34.29 mm ≃ 35 mm 34 Capítulo 3. Modelo de elementos finitos Figura 3.3. Acoplamiento abdomen-esqueleto para la posterior determinación de las condiciones de contorno 3.2. Modelo constitutivo Los tejidos biológicos blandos suelen presentar una serie de características mecánicas comunes (Apéndice B), como son: comportamiento no lineal en grandes deformaciones, ya que se producen grandes desplazamientos para bajos niveles de carga; incompresibilidad, debido al alto contenido de agua (más del 70%); anisotropía, provocada por la orientación de las fibras de colágeno y musculares y presencia de tensiones residuales, las cuales se revelan al realizar un corte sobre un tejido libre de cargas externas. Por tanto, para caracterizar el comportamiento de la respuesta pasiva del músculo abdominal, se utiliza un modelo constitutivo planteado en el marco de la mecánica de medios continuos no lineales en grandes deformaciones. Sin embargo, en este proyecto y como una primera aproximación para la simulación computacional del abdomen, no se tienen en cuenta la anisotropía ni las tensiones residuales. Por tanto, para la caracterización numérica de la respuesta pasiva del músculo abdominal, se ha utilizado un modelo hiperelástico para un material isótropo cuasiincompresible. En la caracterización de un proceso isotermo en materiales reversibles sin disipación de energía, se postula normalmente la existencia de una única representación de la función densidad de energía de deformación (FDE),  , Capítulo 3. Modelo de elementos finitos 35 (Apéndice B). En este caso, dicha función se expresa de forma desacoplada como suma de la energía volumétrica (  vol) y la energía desviadora (  dev), para evitar, de esta forma, los problemas de incompresibilidad (Spencer, [1954]). Al mismo tiempo, la energía de deformación desviadora se puede expresar como la suma de la energía isótropa (  iso) y la anisótropa (  ani). Puesto que en este proyecto no se considera la anisotropía, el término correspondiente a la energía anisótropa se desprecia. De la siguiente forma: vol dev vol iso (C) (J) (C) (J) (C)       Siendo C el tensor de Cauchy-Green por la derecha C=FTF, con F el gradiente de deformación. A su vez, la función densidad de energía de deformación se puede expresar en función de los invariantes de C, dados por: 1 I tr(C) 22 2 1 I ((trC) trC ) 2  2 3 I detC J Con lo que resulta: 1 2 3 vol iso vol iso (C) (J) (C) (I ,I ,I )       A partir de la desigualdad de Clausius-Plank se obtiene el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff (P-K) como: vol iso (C) S 2 S S C      de dónde se extrae que el segundo tensor de tensiones de P-K (S) se compone de dos contribuciones; Svol y Siso. 36 Capítulo 3. Modelo de elementos finitos La función densidad de energía de deformación utilizada para caracterizar la respuesta del músculo abdominal es la de Yeoh (Yeoh, O. H., [1993]), definida por la expresión: 23 iso 10 1 20 1 30 1 C (I 3) C (I 3) C (I 3)         dónde C10, C20 y C30 son parámetros de tensión. 3.3. Condiciones de contorno Las condiciones de contorno en el tronco abdominal vienen impuestas por las zonas de inserción de los músculos en las estructuras óseas: cadera, columna y pelvis (Apéndice A). Se definen cuatro grupos de nodos, correspondientes a las zonas de inserción de los músculos previamente indicados, a los cuales se les impide el movimiento mediante su empotramiento. Dichas zonas de anclaje se corresponden con: 1) la columna vertebral, 2) y 3) la cintura pélvica y unión entre las crestas ilíacas en la zona anterior y 4) la parte antero-lateral de la caja torácica (costillas y esternón) (Figura 3.4). En la Figura 3.3 se observa el conjunto abdomen-esqueleto, donde la posición de este último determina la situación de los grupos usados para la definición de las condiciones de contorno. Figura 3.4. Grupos de nodos definitorios de las condiciones de contorno. a) Cadera; b) Columna; c) Costillas Capítulo 3. Modelo de elementos finitos 37 3.4. Cargas Se consideran los mismos casos de cargas impuestos sobre el sujeto en el ensayo experimental en el laboratorio. Como se recoge en el Capítulo 2, la carga en el ensayo se ha aplicado como una fuerza distribuida sobre una superficie circular de 8 milímetros de diámetro. En la simulación numérica, la carga se ha aplicado como una fuerza puntual aplicada sobre los cuatro nodos que definen un elemento (Tabla 5; Figura 3.5). La siguiente tabla recoge las magnitudes de las fuerzas aplicadas para cada caso de cargas. Zona Fuerza por nodo (N) 1 2.73250 2 2.81250 3 2.77075 4 2.72900 5 2.68750 Tabla 5. Fuerzas nodales aplicadas para cada caso de cargas Figura 3.5. Grupos de nodos de aplicación de fuerzas en cada zona 38 Capítulo 3. Modelo de elementos finitos El modelo de elementos finitos presentado en este Capítulo constituye la base para la simulación computacional y obtención de los desplazamientos numéricos en cada uno de los dos métodos expuestos en los Capítulos 4 y 5. 39 Capítulo 4 Simulación computacional En el presente Capítulo se presenta el primero de los métodos utilizados en la obtención de las propiedades que definen la respuesta mecánica pasiva del tejido abdominal. Esta metodología se basa en el ajuste numérico de los datos experimentales obtenidos a partir de ensayos uniaxiales realizados sobre un modelo de experimentación animal. Con las propiedades obtenidas mediante dicho ajuste, se lleva a cabo la simulación computacional del abdomen humano y se realiza el análisis comparativo entre los resultados numéricos y los experimentales (Capítulo 2). 4.1. Propiedades del material Para la obtención de los parámetros C10, C20 y C30 de la ecuación de Yeoh se ha hecho un ajuste numérico sobre una curva experimental. Para ello, se han tomado los datos recabados por Hernandez et al., [2011]. Hernandez et al. caracterizó la respuesta mecánica de los músculos abdominales sobre un modelo experimental animal, (conejo blanco de Nueva Zelanda), mediante ensayos uniaxiales realizados en probetas en posición transversal y longitudinal respecto de la línea alba (Figura 4.1) . Concretamente, el ajuste numérico se lleva a cabo sobre la curva experimental ofrecida por el conjunto muscular OE-OI, utilizando el ensayo con la probeta en la dirección transversal (B.Hernández et al., [2011]). 40 Capítulo 4. Simulación computacional El ajuste numérico de la curva experimental se ha realizado con el software Abaqus®, el cual realiza un ajuste por mínimos cuadrados (Figura 4.1). El ajuste se ha realizado hasta el límite de rotura del tejido abdominal ensayado, es decir, hasta un alargamiento correspondiente a 0 l 1 1.31 l      . Con l (mm) la elongación en milímetros en la dirección de aplicación de la fuerza y l0 la longitud inicial de la probeta en dicha dirección. Como puede observarse en la Figura 4.1, la curva experimental obtenida de los ensayos en laboratorio y la obtenida mediante el ajuste por mínimos cuadrados son prácticamente coincidentes. Es decir, el ajuste numérico en el modelo de la probeta para el ensayo uniaxial es muy bueno. Los valores de los parámetros obtenidos mediante el ajuste numérico de la curva del material utilizando el modelo hiperelástico isótropo de Yeoh se recogen en la Tabla 6: C10 C20 C30 0.002 0.31601 1.01704 1.01704282 Tabla 6. Constantes material Yeoh Figura 4.1. Ajuste numérico de la curva experimental. Definición de las direcciones longitudinal y transversal en el conejo (B. Hernández et al. [2011] ) Capítulo 4. Simulación computacional 41 4.2. Resultados 4.2.1. Desplazamientos numéricos La fuerza aplicada en los nodos del modelo abdominal produce unos desplazamientos y, consecuentemente, unas deformaciones del modelo. La Figura 4.2 representa los resultados de desplazamientos en milímetros para cada caso de carga (Figura 2.3). Figura 4.2. Desplazamientos numéricos (mm) en cada zona de aplicación de carga 48 Capítulo 5. Método de análisis inverso Figura 5.1. Análisis de sensibilidad para variaciones de: a) C10, b) C20 y c) C30 Capítulo 5. Método de análisis inverso 49 Una vez seleccionado el parámetro que queda invariable, en este estudio C30, se realiza una batería de combinaciones aleatorias de los otros dos parámetros (C10 y C20), en el rango de estudio seleccionado. Mediante simulación numérica, se obtienen los resultados teóricos en desplazamientos nodales para todas las combinaciones de parámetros aleatorias mediante el software Abaqus®. 5.3. Resultados 5.3.1. Desplazamientos numéricos En la implementación del método de análisis inverso, para el cálculo del error, no solo se va a tener en cuenta el punto de máximo desplazamiento para cada zona de aplicación de la carga. En el presente procedimiento, para cada caso de carga, se tienen en cuenta una nube de puntos del scanner, de forma que el comportamiento del material quede más estrictamente definido (Figura 5.2). Los resultados de la simulación numérica se obtienen en los nodos de la malla de elementos finitos. Sin embargo, los desplazamientos experimentales se conocen en los puntos obtenidos a través de las imágenes de scanner. Puesto que los puntos de la nube obtenida con el scanner y los nodos de la malla de elementos finitos no coinciden (Figura 5.2), es necesario identificar los puntos de interés de la nube, necesarios para calcular el error, en la malla de elementos finitos. En primer lugar, según el sistema de referencia común, las coordenadas del punto y el nodo de mayor desplazamiento en los modelos experimental y numérico, respectivamente, son coincidentes (Figura 5.3). A continuación, para establecer la situación de los restantes puntos de la nube en el modelo de elementos finitos, con respecto a los nodos, se calculan sus coordenadas naturales  y  (Figura 5.2). Figura 5.2. Identificación del punto 'a' en el modelo de elementos finitos. Cambio de coordenadas globales a naturales. 50 Capítulo 5. Método de análisis inverso Estas coordenadas naturales se obtienen, conocidas las coordenadas en el plano (x,y) del punto „a‟ y de los nodos 1, 2, 3, y 4 de la siguiente forma: 44 a i i a i i i 1 i 1 x x N ; y y N    Siendo N1, N2, N3 y N4 las llamadas funciones de forma lineales, las cuales se definen del siguiente modo: 1 2 3 4 1 1 1 1 N (1 )(1 ); N (1 )(1 ); N (1 )(1 ); N (1 )(1 ) 4 4 4 4                  Para el cálculo de los desplazamientos teóricos en cada punto vuelve a aplicarse el mismo tipo de interpolación. Conocidas las coordenadas naturales y, por tanto, las funciones de forma (N1, N2, N3 y N4), así como los desplazamientos en los nodos (U1, U2, U3 y U4), se tiene el desplazamiento para el punto „a‟: 4 a,x teórico i,x i,x i1 U N U   ; 4 a,y teórico i,y i,y i1 U N U   ; 4 a,z teórico i,z i,z i1 U N U   5.3.2. Análisis comparativo: Desplazamientos experimentales vs numéricos El desplazamiento experimental de cada punto en cada eje viene dado por la diferencia entre las coordenadas indeformadas (i) y las deformadas (d): Ux,experimental=xi-xd; Uy,experimental=yi-yd; Uz,experimental=zi-zd, En la nube de puntos, los puntos marrones corresponden al modelo indeformado y los azules al modelo deformado (Figura 5.3). Capítulo 5. Método de análisis inverso 51 Una vez que se dispone de los desplazamientos teóricos y experimentales en todos los puntos seleccionados de una zona, se calcula el error en milímetros para cada punto de la siguiente manera: 2 2 2 x,exp x,teórico y,exp y,teórico z,exp z,teórico Error (U U ) (U U ) (U U )      Finalmente, se realiza una media del error en cada zona. Considerando que en una Zona i se tienen p puntos, el error normalizado es: p 1 zona i Error Error p   siendo i  [1-nº de zonas], para cada una de las cinco zonas de aplicación de fuerzas. Así, para cada combinación aleatoria de parámetros calculada se dispone del error en cada zona de estudio. A su vez, se calcula el error medio de la combinación de los cinco casos de carga, en tanto por uno, para cada combinación de parámetros como: nº zonas zona i i1 máx,experimental i Método Inverso Error U Error nº zonas    Figura 5.3. Cálculo del error entre desplazamientos experimentales y teóricos 52 Capítulo 5. Método de análisis inverso Estos datos se analizan gráficamente para determinar qué combinación de parámetros optimiza el error obtenido entre los desplazamientos experimentales y numéricos. A partir de ahora, para simplificación en la notación, se referirá al error obtenido mediante el método de análisis inverso como Error MI. Se realiza un primer cálculo del error global medio de las cinco zonas con combinaciones aleatorias de los dos parámetros estudiados en un intervalo [0.0001- 10]. A continuación se focaliza la selección de las combinaciones de parámetros en un rango más pequeño en el que se han observado mejores resultados del error. Finalmente se realiza una combinación seleccionando por separado el rango de variación de C10 y C20. El estudio de diferentes rangos para cada parámetro permite obtener una combinación de parámetros definitorios de la ecuación de comportamiento del modelo que reduce el error con respecto al anterior método (Capítulo 4), también representado en las Figuras 5.4, 5.5 y 5.6. Rango de variación de los parámetros: [0.0001-10] Figura 5.4. Error MI para el primer rango estudiado. Se indica el Error ANU Capítulo 5. Método de análisis inverso 53 Como se puede apreciar en la Figura 5.4, para combinaciones de parámetros en las que uno de ellos o los dos tienen un valor elevado (cercano a 10), el Error MI es muy alto, en torno al 0.7, expresado en tanto por uno, mientras que el Error ANU es del 0.2357 . Rango de variación de los parámetros: [0.0001-0.5] En la Figura 5.5 se observa que, pese a que el error de los pares de parámetros ensayados disminuye al acotar el rango de estudio, sigue siendo significativamente alto. El Error MI para el par de parámetros de menor error sigue estando un 4.627 % por encima del Error ANU (Capítulo 4). Se continúa acotando los intervalos de estudio, esta vez individualmente, para obtener al menos una combinación de parámetros que disminuya el Error MI con respecto al Error ANU. Figura 5.5. Error MI para el segundo rango estudiado. Se indica el Error ANU Figura 5.5. Error MI para el segundo rango estudiado. Se índice el Error ANU 54 Capítulo 5. Método de análisis inverso Rango de variación de C10=[0.0001-0.0015] y de C20=[0.25-0.35] En este cálculo final se han acotado los intervalos de estudio para cada uno de los parámetros individualmente. Para el intervalo de variación de C10 puede apreciarse que los mínimos errores se dan para valores de este parámetro muy bajos (Figura 5.5), por lo que se acota el intervalo [0.0001-0.0015]. Para el intervalo de variación de C20 (Figura 5.5) se observa que los mínimos valores se dan en el rango [0.25-0.35]. Para los pares de parámetros estudiados existe una combinación de parámetros que reduce el Error ANU (Capítulo 4) del 23.57 %. hasta un error del 15.97 % (Figura 5.6). De esta forma, la combinación de parámetros que disminuye el error en un 7.6 % se refleja en la Tabla 9. Tabla 9. Comparativa del error en los dos métodos estudiados C10 (MPa) C20 (MPa) Error Error ANU 0.002 0.316017 0.2357 Error MI 0.0014185 0.2713 0.1597 Figura 5.6. Error MI para el último rango estudiado. Se índice el Error ANU Capítulo 5. Método de análisis inverso 55 El error obtenido con la aplicación del método inverso ha sido optimizado con respecto a la aplicación del primer método, descrito en el Capítulo 4 (Tabla 9). Como se ha introducido previamente, el método del análisis inverso tiene como objetivo la elección del conjunto de parámetros que minimizan el error medio registrado de los cinco casos de carga para un grupo de puntos seleccionados de cada zona, en vez de considerarse únicamente el error en el punto de máximo desplazamiento de cada zona estudiada. Es decir, el Error MI tiene en cuenta lo que ocurre no solo en un punto, sino en toda la zona de deformación. Sin embargo, se ha comprobado que si el objetivo con este método se centrara en computar el error solamente en el punto de máximo desplazamiento para un determinado caso de carga (Figura 2.3), se podría obtener una combinación de parámetros del material tal que redujera, más que el Error MI, el Error ANU. En concreto, y a modo de análisis de los resultados, a través de un proceso iterativo realizado sobre el caso de carga en la Zona 1 se ha obtenido una combinación de parámetros que disminuye el error en dicho punto ostensiblemente. Sin embargo, al tomar estas constantes del material y calcular el error aplicando el método de análisis inverso, el error global normalizado asciende notablemente. Es decir, el error registrado con respecto a un único punto se ha disminuido, pero analizando la respuesta global el error se incrementa. Analizando los resultados desde otra perspectiva, si solo se tiene en cuenta el error en el punto de máximo desplazamiento, para el caso de carga en la Zona 1, con la combinación de parámetros que registra el menor Error MI (Tabla 9), el error en dicho punto es igual al 12.36%. Por tanto, el error presentado en la Tabla 9, (15.97 %) se ve incrementado debido a que el resto de puntos de la nube considerados en los diferentes casos de carga aportan un error adicional en el cómputo del error global. Este fenómeno tiene lugar debido a que los resultados numéricos en la simulación, en el resto de puntos de la nube, no son capaces de ajustar los resultados experimentales tan fielmente, con la combinación de parámetros elegida (Tabla 9). Considerando los resultados presentados, un refinamiento de la malla de elementos finitos podría mejorar los resultados obtenidos. De esta forma, los errores obtenidos en los puntos alejados del punto de máximo desplazamiento se verían reducidos, ya que una malla refinada podría reproducir con más fidelidad la curvatura provocada en la deformada del abdomen tras la aplicación de la carga con el dinamómetro. Sin embargo, no solo sería necesario un refinamiento de la malla para optimizar los resultados, sino que el modelo de elementos finitos debería considerar otras contribuciones existentes en el cuerpo humano que son despreciadas a priori. 56 Capítulo 5. Método de análisis inverso Concretamente, la presencia de vísceras en el cuerpo humano restringe la deformación del abdomen ante cargas externas. Sin embargo, en este primer planteamiento del modelo de elementos finitos presentado en el presente proyecto, se desprecia dicha contribución, ya que es un abdomen hueco, y, por tanto, la deformada del abdomen para los diferentes casos de carga no reproduce de manera totalmente exacta la curvatura real provocada en el abdomen ante la carga experimental (Figura 5.7). Figura 5.7. Comparativa de la curvatura en los modelos deformados numérico y experimental 57 Capítulo 6 Conclusiones y líneas futuras El objetivo principal de este proyecto es el desarrollo de una metodología nueva para la determinación de las propiedades mecánicas de la pared abdominal. Para ello se ha aplicado el método del análisis inverso. Este método ha permitido optimizar el valor de los parámetros de la FDE frente a aquellos parámetros obtenidos con otros métodos de cálculo, también aplicados y descritos en el presente proyecto. Concretamente, se han desarrollado dos métodos de forma paralela para la obtención de los parámetros definitorios de la ecuación de comportamiento de la pared abdominal. El primer método, tradicionalmente utilizado en la caracterización de materiales, se basa en el ajuste numérico de datos experimentales obtenidos a partir de ensayos uniaxiales invasivos en modelos de experimentación animal. El segundo método, el análisis inverso, se basa en la utilización de datos experimentales obtenidos mediante ensayos no invasivos en un modelo de experimentación humano. En concreto, se han utilizado imágenes de scanner 3D obtenidas de un abdomen humano indeformado y deformado para llevar a cabo una reconstrucción 3D y, posteriormente, se ha obtenido un modelo de elementos finitos del abdomen indeformado. Finalmente, la aplicación del método de elementos finitos sobre el modelo del abdomen humano permite la comparación entre ambos métodos aplicados y la elección de los parámetros que minimizan el error entre desplazamientos experimentales y numéricos.