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Aplicaciones de estimaciones de C0-semigrupos en ecuaciones en derivadas parciales vectoriales Luciano Abadias Ullod Máster en Iniciación a la Investigación en Matemáticas Trabajo realizado bajo la supervisión del Dr. D. Pedro José Miana Sanz 1 Índice 1. Una estimación puntual para derivadas fraccionarias con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales 5 1.1. Estimacion puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Lp-Decaimiento.......................... 7 2. Integral de Bochner 11 3. Semigrupos de operadores 17 3.1. Definición y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2. Generadores y Resolventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3. Ejemplo: El Semigrupo Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4. Teoremas de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5. Potencias fraccionarias de operadores cerrados . . . . . . . . . 36 4. Desigualdades puntuales y potencias fraccionarias 40 2 Notación Nes el conjunto de los números naturales (sin el cero): N={1,2,3, . . .}. Res el conjunto de los números reales: R= (−∞,+∞). R+= (0,∞). C(Rn) = {f:Rn→R|fcontinua}. C0(Rn) = {f:Rn→R|fcontinua y l´ım |x|→∞f(x)=0}. C(∞)(Rn) = {f:Rn→R|findefinidamente derivable}. S(Rn)son las funciones reales de la clase de Schwartz. Lp(Rn) = {f:Rn→R|fmedible y RRn|f(x)|pdx < ∞}. Dado un espacio de Banach X, L(X)representa el espacio de operadores lineales y continuos en X. Tantoˆcomo Frepresentan el operador Transformada de Fourier, para el que se especificará en cada caso con cual de sus definiciones se está trabajando. ∆es el operador de Laplace, es decir, dada una función f:Rn→R, ∆f= n X i=1 ∂ ∂xi f. Γes la función gamma de Euler. 3 Introducción El principal objetivo de este trabajo es la demostración de desigualdades de funciones reales las cuales son soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. Estas ecuaciones diferenciales involucran potencias fraccionarias de operadores. El punto de partida de este trabajo es el artículo [1], el cual resumimos en el primer capítulo de esta memoria. Brevemente, dada una función θ: Rn×R+→Rcon buenas propiedades de suavidad y que verifica la ecuación (∂ ∂t +u·∇)θ=−k(−∆α 2)θ, donde el vector usatisface que ∇·u= 0 y0≤α≤2,entonces se cumple la desigualdad puntual 2θΛαθ(x)≥Λαθ2(x), x ∈Rn, donde Λ = (−∆)1 2. La demostración involucra la representación integral de las potencias fraccionarias del Laplaciano (−∆). Una de las aplicaciones de esta desigualdad es la obtención de otras desigualdades en la norma k kpde la función θ, kθ(·, t)kp p≤kθ0kp p (1 + εCtkθ0kpε p)1 ε , con 1<p<∞, t ≥0yε=α n(p−1).Notemos que esta fórmula proporciona el Lp-decaimiento en el infinito de la función θ. En esta memoria estudiamos si desigualdades del mismo tipo se cumplen para funciones que sean soluciones de ecuaciones similares en las que aparecen otros operadores (generadores de semigrupos). Es bien conocido que el operador de Laplace (−∆) es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de operadores (el semigrupo gaussiano) en el espacio de Banach X=Lp(Rn). En el capítulo tercero presentamos una breve introducción de la teoría de C0-semigrupos y remitimos a las monografías [5, 6, 7] para un desarrollo más profundo. La integración vectorial de Bochner, herramienta básica en el trabajo realizado, se trata brevemente en el capítulo segundo de esta memomia. Por último, en el cuarto capítulo presentamos los resultados que hemos obtenido para semigrupos de convolución con valores reales. Estos resultados, en particular, extienden a los presentados en [1]. En un estudio posterior pretendemos probar resultados análogos para funciones con valores vectoriales. 4 1. Una estimación puntual para derivadas fraccionarias con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales Este capítulo es un resumen de [1], el cual nos marca la linea de trabajo que debemos seguir para poder generalizar los resultados. 1.1. Estimacion puntual Dada una función f:Rn→R, denotamos por b fsu Transformada de Fourier, es decir, b f(η) = 1 (2π)nZRn f(x)e−iη·xdx. Así usando propiedades de la Transformada de Fourier se tiene que: \ (−∆f)(x) = − n X j=1 d ∂2f ∂x2 j (x) =− n X j=1 (ixj)2b f(x) = |x|2b f(x). Como la Transformada de Fourier es un isomorfismo en L2(Rn), podemos definir formalmente las potencias fraccionarias del Laplaciano, (−∆)α 2con α≥0, de la siguiente forma: \ (−∆)α 2f(x) := |x|αb f(x). Llamando Λ=(−∆)1 2, se cumple \ (Λ)αf(x) := |x|αb f(x). Siguiendo [4, pág.117], se llama integral fraccionaria o potencial de Riesz de orden α≥0al operador, Iα, que verifica d Iαf(x) = |x|−αb f(x). Observar que \ Iα(Λα)f=b f, luego [ IαΛα=IdRn.Además *IαIβ=Iα+β *ΛαΛβ= Λα+β 5 Para trabajar mejor nos interesaría obtener una representación de estos operadores, ya que hasta ahora solo tenemos una representación de sus Transformadas de Fourier. Pues bien, usando la propiedad bien conocida de que [ f∗g=b fb g, y que \ (|x|α−n) = kα,n|x|−αcon kα,n constante positiva y 0< α < n, lo cual aparece en [3] y [4], se tiene que Iαf(x) = cα,n(|x|α−n∗f)(x) = cα,n ZRn f(y) |x−y|n−αdy, con cα,n constante positiva y 0< α < n. Usando esto se obtiene: Proposición 1.1. Sea 0< α < 2,n≥2,x∈Rnyθ∈ S(Rn),entonces Λαθ(x) = cαP.V ZRn θ(x)−θ(y) |x−y|n+αdy, con cαconstante positiva. Demostración. Aparece en [2] Teorema 1.1. Sea 0≤α≤2, x ∈Rncon n≥1yθ∈ S(Rn).Entonces se verifica que 2θΛαθ(x)≥Λαθ2(x). Demostración. Para α= 0, tenemos 2θΛ0θ(x)=2θ2(x)≥θ2(x). Para α= 2, tenemos 2θΛ2θ(x)=2θ(−∆θ)(x), y por otro lado −∆θ2(x) = −X∂2θ2(x) ∂x2 j =−2X∂θ(x) ∂xj2 −2θ(x)X∂2θ(x) ∂x2 j ≤ −2θ(∆θ)(x)). Falta ver el caso 0< α < 2. Para n≥2usando la fórmula de la proposición anterior se tiene θΛαθ(x) = cαP.V ZRn θ2(x)−θ(y)θ(x) |x−y|n+αdy =1 2cαP.V ZRn (θ(x)−θ(y))2 |x−y|n+αdy +1 2cαP.V ZRn θ2(x)−θ2(y) |x−y|n+αdy ≥1 2Λαθ2(x). 6 Para el caso n= 1,dada una función ψ(x1)de la clase de Schwartz, defino la función φδ(x1, x2) = ψ(x1)e−πδx2 2que pertenece a la clase de Schwartz en R2para todo δ > 0. Así 2ψ(x1)Λαψ(x1) = l´ım δ→02φδ(x1, x2)Λαφδ(x1, x2) ≥l´ım δ→0Λαφ2 δ(x1, x2) = Λαψ2(x1). 1.2. Lp-Decaimiento El objetivo es conseguir cotas de decaimiento para las normas de funciones solución de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. En este apartado vamos a considerar θ:Rn×R+→Rverificando (∂t+u·∇)θ=−kΛαθ, donde el vector usatisface que ∇ · u= 0 óui=Gi(θ),junto con las propiedades necesarias de suavidad y decaimiento en el infinito que necesitemos usar en la integración por partes de las siguientes demostraciones. Lema 1.1. Sea 0≤α≤2yθ∈ S(Rn),entonces se sigue que ZRn|θ|p−2θΛαθ dx ≥1 pZRn|Λα 2θp 2|2dx, donde p= 2jcon jentero positivo. Demostración. Aplicando la desigualdad puntual del teorema anterior tenemos ZRn|θ|p−2θΛαθ dx ≥1 2ZRn|θ|p−2Λαθ2dx =1 2ZRn|θ|p−4θ2Λαθ2dx ≥1 4ZRn|θ|p−4Λαθ4dx ≥1 2kZRn|θ|p−2kΛαθ2kdx Tomando k=j−1, se tiene que ZRn|θ|p−2θΛαθ dx ≥1 2j−1ZRn|θ|p 2Λαθp 2dx. 7 Por otro lado ZRn|Λα 2θp 2|2dx =kΛα 2θp 2k2 2= (2π)n 2k\ Λα 2θp 2k2 2 = (2π)n 2ZRn|x|α 2c θp 2|x|α 2c θp 2dx = (2π)n 2ZRnc θp 2|x|αc θp 2dx = (2π)n 2ZRnc θp 2\ Λαθp 2dx =ZRn θp 2Λαθp 2dx Luego se tiene que ZRn|θ|p−2θΛαθ dx ≥1 pZRn|Λα 2θp 2|2dx. Observar que en las condiciones del lema anterior, es decir, con p= 2j, j≥1yθcumpliendo la ecuación en derivadas parciales se verifica que d dtkθkp p=d dtZRn|θ|pdx=pZRn|θ|p−1∂|θ| ∂t dx =pZRn|θ|p−2θ∂θ ∂t dx =pZRn|θ|p−2θ(−u·∇θ−kΛαθ)dx Como uverifica que ∇·u= 0 óui=Gi(θ), vamos a distinguir estos casos: * Si ∇·u= 0, entonces ZRn|θ|p−2θ u ·∇θ dx =ZRn n X j=1 |θ|p−2θ∂θ ∂xj ujdx = n X j=1 ZRn−1ZR|θ|p−1∂|θ| ∂xj ujdxjdb x =− n X j=1 ZRn−1ZR |θ|p p ∂uj ∂xj dxjdb x =−ZRn|θ|p p∇·u dx = 0, sin más que hacer integración por partes, usando en ella que las funciones θyujdecaen en el infinito hacia cero y que son suficientemente diferenciables. Observar que db xsignifica que estamos integrando en todas las variable excepto en la xjcorrespondiente al índice de sumación. 8 * Si ui=Gi(θ)para todo i= 1, . . . , n se tiene ZRn|θ|p−2θ u ·∇θ dx =ZRn n X j=1 |θ|p−2θ Gj(θ)∂θ ∂xj dx = n X j=1 ZRn−1(|θ|p−2θGj(θ))2 2∞ −∞ db x = 0, teniendo en cuenta el decaimiento de las funciones θyujhacia cero en el infinito. Proposición 1.2. Sea 0≤α≤2,θ∈ S(Rn)en la condiciones de esta sección y p= 2jcon jentero positivo, entonces d dtkθkp p=−kp ZRn|θ|p−2θΛαθ dx ≤ −kZRn|Λα 2θp 2|2dx. En el Capítulo V de [4], aparece un Lema de Hardy-Littlewood-Sobolev, el cuál nos dice que si f:Rn→Rde la clase de Schwartz, 0< β < n, y 1< l < q < ∞con q=ln n−βl , entonces Ckfkq≤ kΛβfkl. Si tomamos l= 2,β=α 2, y por consiguiente q=2n n−α,tenemos ZRn|Λα 2θp 2|2dx ≥CZRn|θp 2|qdx2 q=CZRn|θ|pn n−αdxn−α n . Ahora usando la Desigualdad de Hölder vamos a acotar esta última integral por debajo. Esta Desigualdad nos dice que ZRn F G dx ≤ZRn|F|qdx1 qZRn|G|q0dx1 q0 , con qyq0exponentes conjugados. Bien, pues tomando F=|θ|p−1 q0,G=|θ|1 q0, e imponiendo que q=q0 q0−1ypn n−α=q(p−1 q0), obtenemos que q=n(p−1) + α (p−1)(n−α)yq0=n(p−1) + α αp , ambos mayores que 1. Así se cumple que ZRn|θ|pdx ≤ZRn|θ|(p−1 q0)qdx1 qZRn|θ|dx1 q0 =ZRn|θ|np n−αdx(p−1)(n−α) n(p−1)+αZRn|θ|dxαp n(p−1)+α 9 Fundamental del Cálculo Integral tenemos que éste tiende a kf(t)−fn(t)k. El segundo, como kfn(s)−fn(t)kes integrable Lebesgue en un entorno de tpor ser {fn}funciones simples, aplicando también el Teorema Fundamental del Cálculo Integral éste segundo sumando tiende a cero. Así l´ım h→0k1 hZt+h t f(s)ds −f(t)k ≤ 2kf(t)−fn(t)klo cuál tiende a cero cuando n→ ∞ en casi todo punto, y se tiene lo que queríamos. 16 3. Semigrupos de operadores Esta Teoría nace por la idea de la resolución del problema de Cauchy abstracto, es decir, dado un espacio de Banach Xy un operador cerrado A definido en este espacio, encontrar la solución del problema: (u0(t) = Au(t) (t≥0), u(0) = x donde x∈X. La solución de este problema de evolución depende del vector inicial x, luego podríamos considerar que la solución viene dada por u(t) = T(t)x, donde T(t)es un operador en X. Observar que para que esto sea consistente debería cumplirse que T(0) = I. Además las soluciones de los problemas de evolución verifican que si a un elemento lo dejamos evolucionar un tiempo ty a este nuevo elemento lo dejamos evolucionar un tiempo s, este último elemento es el mismo que si al elemento inicial lo dejamos evolucionar un tiempo t+s. Matemáticamente, esta propiedad se escribe como T(t+s) = T(t)T(s).Estas dos propiedades se llaman Ley del Semigrupo. Para el estudio y desarrollo de las cuatro primeras secciones de este capítulo he seguido los resultados de [6] y [5], completando y adaptando las demostraciones cuando fuese necesario. 3.1. Definición y primeras propiedades Definición 3.1. Sea X un espacio de Banach, (T(t))t≥0⊆ L(X). Se dice que esta familia es un semigrupo de operadores si verifican: (T(t+s) = T(t)T(s)para todo t, s ≥0, T(0) = I donde Irepresenta el operador identidad. Definición 3.2. Para cada x∈X, se define la órbita de este vector como la aplicación ηx:R+→X con ηx(t) := T(t)x. Definición 3.3. Sea X un espacio de Banach, la familia (T(t))t≥0⊆ L(X) se dice que es un C0-semigrupo si verifica que es un semigrupo fuertemente continuo en el origen, es decir, que verifica la Ley del Semigrupo y l´ım t→0+T(t)x=x, para todo x∈X. 17 Es conocido y sencillo de ver que la continuidad fuerte en el origen es equivalente a la continuidad fuerte en todo t∈R+,sin mas que hacer uso de la Ley del Semigrupo. Proposición 3.1. Cada (T(t))t≥0C0-semigrupo en un espacio de Banach Xestá exponencialmente acotado, es decir, existe w∈RyM≥1tal que kT(t)k ≤ Mewt,para todo t≥0. Demostración. Basta elegir M≥1verificando que kT(s)k ≤ Mpara todo 0≤s≤1. Así para todo t≥0, t =n+scon n∈Ny0≤s < 1.Así kT(t)k=kT(1)nT(s)k ≤ Mn+1 =Menlog M≤Mewt, para todo t≥0, donde w= log M≥0. Definición 3.4. Se llama cota de crecimiento de un C0-semigrupo (T(t))t≥0 a w0:=´ınf{w∈R:∃Mw≥1tal que kT(t)k ≤ Mwewt,∀t≥0} Proposición 3.2. Sea (T(t))t≥0un semigrupo en un espacio de Banach X, son equivalentes: a) (T(t))t≥0es un C0-semigrupo b) Existe δ > 0,M≥1yD⊂Xdenso tal que i) kT(t)k ≤ M, para todo 0≤t≤δ ii) l´ım t→0+T(t)x=x, para todo x∈D Demostración. Supongamos primero que (T(t))t≥0es un C0-semigrupo. Entonces es claro que se cumple i). Para ver ii), usaremos el método de reducción al absurdo. Para ello suponemos que existe (δn)n∈N⊂R+con δn→0 tal que kT(δn)k→∞.Esto nos lleva a que existe x∈Xtal que la sucesión (kT(δn)xk)n∈Nno es acotada, lo que contradice la continuidad fuerte en el origen. Recíprocamente, sea K={tn:n∈N} ∪ {0}para una secuencia arbitraria de (tn)n∈N⊂[0,∞)convergiendo a t= 0.Como K⊂R+compacto, luego T(·)|Kesta uniformemente acotada y por hipótesis T(·)|Kxes continua para todo x∈D, luego por Lema 5.2 , capítulo I, de [6], T(·)|Kx es continua para todo x∈X, es decir, l´ım n→∞T(tn)x=x. Como (tn)n∈Nes arbitraria, se cumple que l´ım t→0+T(t)x=x, para todo x∈X. 3.2. Generadores y Resolventes En esta sección vamos ver propiedades diferenciales de las órbitas, y teoría espectral asociada a C0-semigrupos. 18 Lema 3.1. Sea (T(t))t≥0un C0-semigrupo en un espacio de Banach X, y x∈X. Entonces son equivalentes: a) ηxes diferenciable en R+ b) ηxes diferenciable a derecha en t= 0 Demostración. Solo hay que demostrar que b) implica a). Sea pues h > 0, entonces l´ım h→0+ 1 h(T(t+h)x−T(t)x) = T(t) l´ım h→0+ 1 h(T(h)x−x) = T(t)η0 x(0), y por lo tanto ηxes diferenciable a derecha en R+.Por otro lado, sea −t≤h < 0,así escribimos 1 h(T(t+h)x−T(t)x)−T(t)η0 x(0) = T(t+h)1 h(x−T(−h)x)−η0 x(0) +T(t+h)η0 x(0) −T(t)η0 x(0). Tomando h→0−, por ser ηxdiferenciable a derecha en el origen y kT(t+h)k acotada se cumple que l´ım h→0−T(t+h)(1 h(x−T(−h)x)−η0 x(0)) = 0. Además como T(t)es fuertemente continua en todo punto, l´ım h→0−T(t+h)η0 x(0) −T(t)η0 x(0) = 0. Luego ηxes diferenciable a izquierda, con derivada η0 x(t) = T(t)η0 x(0), para cada t≥0. A partir de aquí escribiremos T0(t)x=T(t)T0(0)x, donde esto tenga sentido. Definición 3.5. Sea (T(t))t≥0un C0-semigrupo en un espacio de Banach X, se define el Generador de este semigrupo como el operador A:D(A)⊆X→X que actúa Ax := η0 x(0) = l´ım h→0+ 1 h(T(h)x−x), para los vectores x∈Xdonde exista el límite, es decir, x∈D(A)con D(A) = {x∈X:ηxes diferenciable} ={x∈X:ηxes diferenciable a derecha en el origen} 19 Lema 3.2. Sea (A, D(A)) el generador de (T(t))t≥0un C0-semigrupo en un espacio de Banach X. Entonces se verifican la siguientes propiedades: i) A:D(A)⊆X→Xes lineal ii) Si x∈D(A), entonces T(t)x∈D(A)yT0(t)x=T(t)Ax =AT(t)x iii) Para cada t≥0yx∈X, Zt 0 T(s)x ds ∈D(A) iv) Para cada t≥0, T(t)x−x=ARt 0T(s)x ds , x ∈X =Rt 0T(s)Ax ds , x ∈D(A) Demostración. i) Sean x, y ∈D(A),entonces l´ım h→0+ 1 h(T(h)(x+y)−(x+y)) = l´ım h→0+ 1 h(T(h)x+T(h)y−x−y) = Ax+Ay, luego A(x+y) = Ax +Ay, e igualmente A(λx) = λAx para todo λ∈C. ii) Sea x∈D(A),entonces T(t)Ax = l´ım h→0+ 1 h(T(t+h)x−T(t)x) = l´ım h→0+ 1 h(T(h)T(t)x−T(t)x), luego T(t)x∈D(A)y usando la igualdad anterior T(t)Ax =AT(t)x. iii)-iv) Sea x∈X, yt≥0, entonces 1 hT(h)Zt 0 T(s)x ds −Zt 0 T(s)x ds=1 hZt 0 T(h)T(s)x ds −1 hZt 0 T(s)x ds =1 hZt 0 T(s+h)x ds −1 hZt 0 T(s)x ds =1 hZt+h h T(s)x ds −1 hZt 0 T(s)x ds =1 hZt+h t T(s)x ds −1 hZh 0 T(s)x ds Tomando h→0+y usando el Teorema Fundamental del Cálculo Integral para la Integral de Bochner se tiene que AZt 0 T(s)x ds =T(t)x−T(0)x=T(t)x−x. 20 Si tomamos x∈D(A), las funciones s7→ T(s)T(h)x−x hconvergen uniformemente en [0, t]a la función s7→ T(s)Ax cuando h→0+,ya que kT(s)T(h)x−x h−T(s)Axk ≤ kT(s)kkT(h)x−x h−Axk con kT(s)kacotada en [0, t].Luego l´ım h→0+ 1 h(T(h)−I)Zt 0 T(s)x ds = l´ım h→0+Zt 0 T(s)1 h(T(h)−I)x ds =Zt 0 T(s)Ax ds Teorema 3.1. El generador de un C0-semigrupo es un operador lineal cerrado y densamente definido, que determina unívocamente el semigrupo. Demostración. Veamos que Aes cerrado. Sea (xn)n∈N⊂D(A)con l´ım nxn=x yl´ım nAxn=y. Entonces por el lema anterior T(t)xn−xn=Zt 0 T(s)Axnds, para todo t≥0.Observar que T(s)Axnconverge uniformemente a T(s)yen [0, t]cuando n→ ∞ ya que kT(s)Axn−T(s)yk ≤ sup s∈[0,t]kT(s)kkAxn−yk, luego T(t)x−x= l´ım nZt 0 T(s)Axnds =Zt 0 T(s)y ds. Así l´ım t→0+ T(t)x−x t= l´ım t→0+ 1 tZt 0 T(s)y ds =T(0)y=y, luego x∈D(A)con Ax =y, es decir, A es cerrado. Veamos ahora que Aes densamente definido. Como por el lema anterior 1 tRt 0T(s)x ds ∈D(A),para todo x∈X, se cumple que l´ım t→0+ 1 tZt 0 T(s)x ds =T(0)x=x, 21 entonces D(A)es denso en X. Para finalizar, veamos que el generador determina unívocamente el semigrupo. Sea pues (S(t))t≥0otro semigrupo con generador (A, D(A)).Sea x∈D(A), t > 0,y consideramos la aplicación s7−→ ξx=T(t−s)S(s)x, con s∈[0, t] = Kcompacto en R+.Observar que ξxes continua en Kpara todo x∈D(A),y además es una aplicación uniformemente acotada en K. Luego si defino C=S(s+h)x−S(s)x h:h∈(0,1]∪AS(s)x, que es compacto en X, por ser la imagen continua de un compacto, y aplicando el Lema 5.2, capítulo I, de [6], se tiene que 1 h(ξx(s+h)−ξx(s)) = T(t−s−h)1 h(S(s+h)x−S(s)x) +1 h(T(t−s−h)−T(t−s))S(s)x, converge cuando h→0+a d dsξx(s) = T(t−s)AS(s)x−AT (t−s)S(s)x. Usando por el lema anterior que T(·)yAconmutan ya que S(s)x∈D(A) (por ser x∈D(A)), entonces d dsξx(s)=0. Así ξxes constante, luego T(t)x=ξx(0) = ξx(t) = S(t)x, para todo x∈D(A)denso en X. Luego T(t) = S(t)para todo t≥0. Corolario 3.1. ([6, p.52]) Sea (T(t))t≥0un C0-semigrupo en un espacio de Banach Xcon generador (A, D(A)).Son equivalentes: a) El generador A es acotado, es decir, existe M > 0tal que kAxk ≤ Mkxk, para todo x∈D(A) b) D(A)es X c) D(A)es cerrado en X 22 d) El semigrupo es uniformemente continuo. En cada caso, el semigrupo está dado por T(t) = etA := ∞ X n=0 tnAn n! Lema 3.3. Sea (A, D(A)) el generador de (T(t))t≥0un C0-semigrupo en un espacio de Banach X. Entonces para cada λ∈Cyt > 0,se cumple eλtT(t)x−x= (A−λ)Rt 0e−λsT(s)x ds , si x∈X =Rt 0e−λsT(s)(A−λ)x ds , si x∈D(A) Demostración. Tomo la familia de operadores (S(t))t≥0,con S(t) = e−λtT(t). Observar que cumple la Ley de Semigrupo por cumplirla tanto T(t)como la exponencial, y además son operadores lineales y continuos por serlo T(t). Además es un C0-semigrupo l´ım t→0+e−λtT(t)x=x, para todo x∈X. Como para todo x∈D(A)se tiene Ax −λx = l´ım t→0+ 1 h(T(h)x−x)−λx = l´ım t→0+ 1 h(T(h)x−(I+λh)x) = l´ım t→0+ 1 h(e−λhT(h)x−e−λh(I+λh)x) = l´ım t→0+ 1 h(e−λhT(h)x−x) Así el generador de S(t)es B=A−λcon D(B) = D(A).Luego aplicando el lema 3.2 a este semigrupo se tiene eλtT(t)x−x= (A−λ)Rt 0e−λsT(s)x ds , si x∈X =Rt 0e−λsT(s)(A−λ)x ds , si x∈D(A) En lo que sigue se va a obtener una representación de la resolvente del generador del semigrupo a través de integrales del propio semigrupo. Para ello vamos a ver unas propiedades de la teoría espectral de operadores cerrados. Sea pues A:D(A)⊆X→Xun operador lineal y cerrado en un espacio de Banach X. Recordar que se define el conjunto resolvente como ρ(A) := {λ∈C|λ−A:D(A)→Xes biyectivo}, 23 y su complementario σ(A) := C\ρ(A)el espectro de A. Además para cada λ∈ρ(A),se define el operador resolvente R(λ, A) := (λ−A)−1, que es un operador continuo en X, ya que por el Teorema de Grafo Cerrado como (λ−A)−1:X→D(A) es lineal y el conjunto Gr(λ−A)−1={(x, (λ−A)−1x), x ∈X}es cerrado por ser Aoperador cerrado, luego (λ−A)−1∈ L(X). Observación: Notar que si λ∈ρ(A),entonces (λ−A)(λ−A)−1=I, luego se sigue que AR(λ, A) = λR(λ, A)−I. Si tomamos ahora también µ∈ρ(A),entonces λR(λ, A)−AR(λ, A)R(µ, A) = R(µ, A) yµR(µ, A)−AR(µ, A)R(λ, A) = R(λ, A). Restando ambas ecuaciones y usando el hecho de que los operadores R(µ, A) yR(λ, A)conmutan (es obvio ya que (µ−A)y(λ−A)conmutan) se tiene que R(λ, A)−R(µ, A)=(µ−λ)R(λ, A)R(µ, A). Proposición 3.3. (Teorema Espectral para Operadores Cerrados) Sea (A, D(A)) un operador lineal y cerrado, se verifica: i) El conjunto resolvente es abierto en C,y para cada µ∈ρ(A)se tiene que R(λ, A) = ∞ X n=0 (µ−λ)nR(µ, A)n+1, para todo λ∈Ccumpliendo |µ−λ|<1 kR(µ,A)k ii) La aplicación resolvente λ7−→ R(λ, A)es analítica con dn dλnR(λ, A)=(−1)nn!R(λ, A)n+1, para todo n∈N 24 iii) Sea (λn)n∈N⊂ρ(A)con l´ım n→∞λn=λ0.Entonces λ0∈σ(A)si y solo si l´ım n→∞kR(λn, A)k=∞ Demostración. i) Sea λ∈C,yµ∈ρ(A), entonces el operador λ−A=µ−A+λ−µ= [I−(µ−λ)R(µ, A)](µ−A) es biyectivo si I−(µ−λ)R(µ, A)es biyectivo, por ser µ−Abiyectivo, lo cuál ocurre cuando |µ−λ|<1 kR(µ, A)k, que es trivial usando la desigualdad triangular inversa. Luego para cada µ∈ρ(A)hemos encontrado un entorno abierto suyo que sigue estando contenido en la resolvente. Entonces la resolvente es abierto en C,y además R(λ, A) = R(µ, A)[I−(µ−λ)R(µ, A)]−1=∞ X n=0 (µ−λ)nR(µ, A)n+1 ii) Por el desarrollo en serie de potencias anterior que hemos obtenido del operador resolvente en un entorno de cada punto del conjunto resolvente, se tiene que R(λ, A)es analítica, con dn dλnR(λ, A)=(−1)nn!R(λ, A)n+1, para todo n∈N iii) Lo primero observar que por el apartado i), tenemos que para todo µ∈ρ(A)se cumple que kR(µ, A)k ≥ 1 dist(µ, σ(A)). Veamos la demostración por doble implicación. Primero supongamos que λ0∈σ(A),luego l´ım n→∞kR(λn, A)k ≥ l´ım n→∞ 1 dist(λn, σ(A)) =1 dist(λ0, σ(A)) =∞. Recíprocamente, por reducción al absurdo, supongamos que λ0∈ρ(A). Como la aplicación resolvente es continua, está acotada en el conjunto compacto {λn|n≥0}, lo que contradice que l´ım n→∞kR(λn, A)k=∞. Luego λ0∈σ(A). 25 b) (A, D(A)) es cerrado, densamente definido, y para todo λ > 0se tiene que λ∈ρ(A)con kλR(λ, A)k ≤ 1 c) (A, D(A)) es cerrado, densamente definido, y para todo λ∈Ccon Reλ > 0se tiene que λ∈ρ(A)con kR(λ, A)k ≤ 1 Reλ Demostración. a)⇒c) Como (A, D(A)genera un C0-semigrupo (T(t)) contractivo, entonces kT(t)k ≤ 1y por consiguiente las constante M= 1 yw= 0.Luego aplicando el Teorema 3.2 se sigue el resultado. c)⇒b) Obvio. b)⇒a) Como para todo natural positivo n, se tiene que n∈ρ(A),definimos los siguientes operadores definidos en X An=nAR(n, A) = n2R(n, A)−nI, llamados aproximantes de Yosida, los cuales están acotados kAnk ≤ n2kR(n, A)k+n≤2n. Además AnyAmconmutan ya que las resolventes conmutan, y por el lema anterior Anconverge a Apuntualmente en D(A). Consideramos para cada n∈Nel semigrupo uniformemente continuo Tn(t) = etAn, con t≥0.Definimos T(t)x:= l´ım n→∞Tn(t)x, para todo x∈X. Veamos que esta bien definido, es decir, que ese límite existe. Lo primero observar que (Tn(t))t≥0es un semigrupo contractivo, ya que kTn(t)k ≤ e−ntekn2R(n,A)kt≤1 para todo t≥0.Así para cada t≥0tenemos una familia de operadores uniformemente acotados, luego basta ver la convergencia en un subespacio denso, D(A).Si para cada t≥0, definimos las funciones s7−→ Tm(t−s)Tn(s)x, con 0≤s≤t, x ∈D(A)ym, n ∈N,aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo Integral version vectorial y la conmutatividad de los operadores Tn(t), se tiene que Tn(t)x−Tm(t)x=Zt 0 d ds(Tm(t−s)Tn(s)x)ds =Zt 0 Tm(t−s)Tn(s)(Anx−Amx)ds 32 Así kTn(t)x−Tm(t)xk ≤ tkAnx−Amxk. Luego como por el lema anterior, (Anx)n∈Nes sucesión convergente para todo x∈D(A),se tiene que (Tn(t)x)n∈Nconverge uniformemente en cada intervalo [0, t0].Además (T(t))t≥0es un semigrupo contractivo, ya que T(0)x= l´ım n→∞Tn(0)x=Ix =x, T(t)T(s)x= l´ım n→∞Tn(t)Tn(s)x= l´ım n→∞Tn(t+s)x=T(t+s)x y kT(t)k ≤ l´ım n→∞kTn(t)k≤kxk. Más aún, es fuertemente continuo, ya que si x∈D(A)la órbita η:t→T(t)x, con 0≤t≤t0, hemos visto que es límite uniforme de funciones continuas, luego es continua, es decir, l´ım t→0+T(t)x=x para todo x∈D(A)y como kT(t)k ≤ 1,la convergencia es en todo el espacio X. Así sea pues (B, D(B)) el generador de este C0- semigrupo, y sea x∈D(A).Como An=nR(n, A)A, Anxestá bi- en definido y l´ım n→∞Anx=Ax, las órbitas son diferenciables, es decir, η0 n:t→Tn(t)Anx, y por la convergencia uniforme de Tn(t)xaT(t)x en [0, t0], se tiene que η0 nconverge uniformemente a ξ:t→T(t)Ax en [0, t0].Luego como ηnconverge uniformemente a ηyη0 naξ,η0(0) = ξ(0), es decir, D(A)⊂D(B)con Bx =Ax para todo x∈D(A).Sea λ > 0, por hipótesis λ−Aes una biyección de D(A)en X, y como B es el generador de un C0-semigrupo contractivo, λ∈ρ(B)yλ−B es una biyección de D(B)en X. Veamos que D(A) = D(B),para ello solo hace falta ver que si x∈D(B)entonces x∈D(A). Como λ−B es inyectiva, existe un único y∈Xtal que (λI −B)x=y. Como λ−Aes suprayectivo entonces existe z∈D(A)tal que (λI −A)z=y. Además estos operadores coinciden en D(A),y como son inyectivos z=x∈D(A).Luego D(B) = D(A),se tiene que A=B, y se cumple lo que queríamos probar. Corolario 3.3. Sea (A, D(A)) un operador en un espacio de Banach X, y w∈R.Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) (A, D(A)) es el generador se un C0-semigrupo (T(t))t≥0casi contractivo, es decir, cumpliendo que kT(t)k ≤ ewt para t≥0 33 b) (A, D(A)) es cerrado, densamente definido, y para todo λ>wse tiene que λ∈ρ(A)con k(λ−w)R(λ, A)k ≤ 1 c) (A, D(A)) es cerrado, densamente definido, y para todo λ∈Ccon Reλ>wse tiene que λ∈ρ(A)con kR(λ, A)k ≤ 1 Reλ−w Demostración. Igual que en el teorema anterior basta probar que b)⇒a). Como Aes cerrado y densamente definido, B=A−wI también lo es. Observar que tomando µ=λ−w, para cada µ≥0se tiene que (µ+w)∈ρ(A), luego existe R(λ, A)=(A−(µ+w)I)−1= (B−µI)−1, es decir, µ∈ρ(B)y además kµR(µ, B)k=k(λ−w)R(λ, A)k ≤ 1.Así aplicando el teorema anterior (B, D(B)) genera un C0-semigrupo contractivo (S(t))t≥0.Recordar que rescalando el semigrupo, T(t) := ewtS(t)para todo t≥0obtenemos un C0-semigrupo con generador A=B+wI cumpliendo kT(t)k ≤ ewt, t ≥0. Teorema 3.4. (Teorema de Hille-Yosida, caso general) Sea (A, D(A)) un operador en un espacio de Banach X, y sean w∈R, M ≥1constantes. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) (A, D(A)) es el generador se un C0-semigrupo (T(t))t≥0cumpliendo que kT(t)k ≤ Mewt para t≥0 b) (A, D(A)) es cerrado, densamente definido, y para todo λ>wse tiene que λ∈ρ(A)con k[(λ−w)R(λ, A)]nk ≤ M, para todo n∈N c) (A, D(A)) es cerrado, densamente definido, y para todo λ∈Ccon Reλ>wse tiene que λ∈ρ(A)con kR(λ, A)nk ≤ M (Reλ−w)n, para todo n∈N Demostración. La implicación a)⇒c) se sigue del corolario 3.2, y c)⇒b) es obvio. Veamos pues b)⇒a). Igualmente que en corolario anterior, rescalando el semigrupo, se puede asumir sin pérdida de generalidad que w= 0,es decir, kλnR(λ, A)nk ≤ M, para todo n∈N. 34 Para cada µ > 0, definimos una nueva norma en X, kxkµ:= sup n≥0kµnR(µ, A)nxk. Observar que es una norma por serlo k·k.Esta norma cumple que: i) Es equivalente a k·k,ya que kxk≤kxkµ≤Mkxk. ii) Para todo µ > 0,kµR(µ, A)kµ≤1ya que kµR(µ, A)xkµ≤sup n≥0kµnR(µ, A)nxk=kxkµ. iii) Para 0< λ ≤µ, kλR(λ, A)kµ≤1ya que por la ecuación de la resolvente tenemos que para x∈X, y:= R(λ, A)x=R(µ, A)x+ (µ−λ)R(µ, A)R(λ, A)x =R(µ, A)(x+ (µ−λ)y) Así usando el apartado ii), kykµ≤1 µkxkµ+µ−λ µkykµ,luego λkykµ≤ kxkµ, lo que implica kλR(λ, A)kµ≤1para 0< λ ≤µ. iv) Para todo 0< λ ≤µyn∈N, kλnR(λ, A)nk ≤ kλnR(λ, A)nkµ≤ kxkµ. v) Para todo 0< λ ≤µ, kxkλ= sup n≥0kλnR(λ, A)nxk ≤ kxkµ. Ahora definiendo otra nueva norma kxk0:= sup n≥0kxkµ,satisface: vi) kxk≤kxk0≤Mkxk,usando i). vii) Para todo λ > 0,kλR(λ, A)k0≤1por iii). Así el operador (A, D(A)) cumple la condición b) del Teorema de Hille- Yosida para el caso contractivo y la norma equivalente k·k0,luego (A, D(A)) genera un semigrupo contractivo (T(t))t≥0con la norma k·k0.Ahora usando vi) se obtiene que kT(t)k ≤ M. 35 3.5. Potencias fraccionarias de operadores cerrados En esta sección vamos a dar la definición de potencia fraccionaria de un operador , y una representación integral de ésta, la cuál nos ha servido para encontrar los resultados que buscábamos y que aparecen en el último capítulo. La teoría de potencias fraccionarias o cálculo fraccionario nace con la idea de las derivadas de orden 1 2.En 1695 L’Hôpital le propuso a Leibnitz este problema, a lo cual respondió lo siguiente: “De esta paradoja se extraerán, algún día, consecuencias muy útiles”. Desde entonces muchos han sido los matemáticos que se han interesado por esta teoría como Euler, Fourier, Abel, Lioville, Riemann, Lagrange, Laplace, Riesz o Weyl entre otros, y muchas las aplicaciones en distintos campos científicos. Además esta idea se generalizó a otros tipos de operadores que es nuestro interés. Los resultados que aparecen a continuación están sacados de [7, p.259]. Sea pues un espacio de Banach Xy(T(t))t≥0⊂ L(X)un C0-semigrupo uniformemente acotado, es decir, kT(t)k ≤ Mpara todo t≥0.Introducimos ft,α(λ) = 1 2πi Rσ+i∞ σ−i∞ezλ−tzαdz si σ > 0, t > 0, λ ≥0,0< α < 1 = 0 si λ < 0 donde para definir zα=eαlog(z),tomamos el argumento principal de z, arg(z)∈(−π, π].Luego es función continua en C\R−.Notar que Rezα>0 cuando Rez > 0ya que Rezα=Re(eαlog(|z|)+iα argz) = eαlog(|z|)cos(αargz) = |z|αcos(αargz), y como 0< α < 1yRez > 0, entonces αargz∈(−π 2,π 2),luego Rezα>0. La convergencia de la integral anterior está subordinada a la convergencia del factor e−tzα, ya que |ezλ|=eσλ. Como Rez > 0,y0< α < 1entonces cos(αargz)>cos(απ 2).Así |Zσ+is σ−is e−tzαdz| ≤ Zs −s e−t(√σ2+a2)αcos(απ 2)da ≤Zs −s e−tcos(απ 2)|a|αda →M(t, α)<+∞ cuando s→+∞. Proposición 3.4. Para todo t > 0ya > 0se cumple que e−taα=Z∞ 0 e−λaft,α(λ)dλ. 36 Figura 1: Camino Demostración. Por la convergencia del factor e−tzα,la función ft,α es de crecimiento exponencial en la variable λ, es decir, ft,α(λ)≤1 2πeλσM(α, t). Usando el Teorema Integral de Cauchy para funciones holomorfas sobre el camino Figura 1, como las integrales sobre los caminos horizontales se van hacia cero conforme se alargan los caminos verticales, se tiene que la integral que define a ft,α es independiente de σ > 0.Sea ahora a>σ=Rez > 0, entonces Z∞ 0 e−λaft,α(λ)dλ =Z∞ 0 e−λa1 2πi Zσ+i∞ σ−i∞ eλze−tzαdzdλ =1 2πi Zσ+i∞ σ−i∞ e−tzαZ∞ 0 eλ(z−a)dλdt =−1 2πi Zσ+i∞ σ−i∞ e−tzα z−adt =e−taα, usando en la última igualdad el Teorema de los Residuos. Proposición 3.5. ([7, p.261]) Para todo λ > 0se tiene que ft,α(λ)≥0. Proposición 3.6. Para todo t, s > 0se tiene que Z∞ 0 ft,α(λ)dλ = 1 37 y ft+s,α(λ) = Z∞ 0 ft,α(λ−µ)fs,α(µ)dµ. Demostración. Como ft,α es no negativa, por la proposición anterior y el Lema de Fatou Z∞ 0 l´ım inf a→0+(e−λaft,α(λ)) dλ ≤l´ım inf a→0+e−taα= 1. Luego ft,α es integrable en (0,∞),y aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada se tiene que Z∞ 0 ft,α(λ)dλ = 1. Además para todo a > 0 R∞ 0e−λaR∞ 0ft,α(λ−µ)fs,α(µ)dµdλ = R∞ 0e−µafs,α(µ)R∞ 0e−(λ−µ)aft,α(λ−µ)dλdµ = R∞ 0e−µaft,α(µ)dµR∞ 0e−kaft,α(k)dk= e−(t+s)aα= R∞ 0e−λaft+s,α(λ)dλ. Entonces como e−(t+s)aαes indefinidamente derivable, con ella y sus derivadas acotadas, aplicando el Teorema de Inversión de la Transformada de Laplace, esta función tiene inversa y ft+s,α(λ) = Z∞ 0 ft,α(λ−µ)fs,α(µ)dµ. Proposición 3.7. ([7, p.263]) Para todo t > 0se tiene que Z∞ 0 ∂ft,α(λ) ∂t dλ = 0. Teorema 3.5. ([7, p.263]) Dado Xun espacio de Banach y (T(t))t≥0⊂ L(X)un C0-semigrupo uniformemente acotado, entonces (f Tα(t))t≥0es un semigrupo holomorfo, donde f Tα(t)x=R∞ 0ft,α(s)T(s)x ds si t > 0 =xsi t= 0. Este nuevo semigrupo (f Tα(t))t≥0se define con la idea de obtener una expresión para las potencias fraccionarias de A, el generador de (T(t))t≥0. Si llamamos f Aαal generador de (f Tα(t))t≥0, entonces se cumple el siguiente teorema: 38 Teorema 3.6. ([7, p.264]) Para todo x∈D(A)y0< α < 1se tiene que f Aαx=−(−A)αx, donde (−A)αx=sin(απ) πR∞ 0λα−1(λI −A)−1(−Ax)dλ = Γ(−α)−1R∞ 0λ−α−1(T(λ)−I)x dλ. Blakrishnan fue el que introdujo en 1960 la potencia fraccionaria (−A)α de un operador lineal cerrado A, cumpliendo que para todo λ > 0existe R(λ, A)=(λI −A)−1y sup Reλ>0|Reλ|kR(λ, A)k<∞. Él probo lo siguiente: Teorema 3.7. ([7, 266]) Sea Xun espacio de Banach, 0< α < 1, y A un operador lineal y cerrado en Xcumpliendo las condiciones anteriores. Entonces (−A)αx=sin(απ) πZ∞ 0 λα−1(λI −A)−1(−Ax)dλ con x∈D(A), es un operador lineal cumpliendo que: i) para x∈D(A2)y0< α, β < 1con α+β < 1, (−A)α(−A)βx= (−A)α+βx. ii) para x∈D(A), l´ım α→1−(−A)αx=−Ax. iii) para x∈D(A)yl´ım λ→0+λR(λ, A)x= 0, l´ım α→0+(−A)αx=x. Observar que por el Teorema de Hille-Yosida, para un C0-semigrupo uniformemente acotado, el generador cumple las condiciones de Blakrishnan para poder definir su potencia fraccionaria, y está coincide con −f Aα. 39 4. Desigualdades puntuales y potencias fraccionarias Este último capítulo recoge los resultados que hemos obtenido al intentar generalizar el artículo [1] para potencias fraccionarias de generadores de C0-semigrupos. Recordemos la definición de núcleo de sumabilidad en Rny alguna propiedad. Una familia de funciones (kt)t>0⊂L1(Rn), se llama núcleo de sumabilidad en Rnsi verifica: i) para todo t > 0,RRnkt(x)dx = 1. ii) para todo t > 0,RRn|kt(x)|dx < C con Cuna constante universal. iii) para todo δ > 0,l´ım t→0+Z|x|>δ |kt(x)|dx = 0. Si (kt)t>0es un núcleo de sumabilidad en Rn,y sea 1≤p < ∞,entonces para todo f∈Lp(Rn)es bien conocido que l´ım t→0+kf−f∗ktkp= 0. Sea (kt)t>0un núcleo de sumabilidad en Rnverificando que kt∗ks=kt+s para todo t, s > 0, y sea X=Lp(Rn)con 1≤p < ∞.Se llama C0-semigrupo de convolución en Xcon núcleo (kt)t>0a(K(t))t≥0,siendo K(t)f(x) = kt∗f(x)si t > 0 =f(x)si t= 0 para todo f∈X. Definición 4.1. Diremos que un C0-semigrupo de convolución en X,(K(t))t≥0, es de núcleo positivo cuando las funciones que forman el núcleo, (kt)t>0,son positivas. Sea K= (K(t))t≥0un C0-semigrupo de convolución de núcleo positivo en X, con núcleo (kt)t>0.Como kt∈L1(Rn)con kktk1= 1,entonces se tiene que b kt∈C0(Rn)ya que la Transformada de Fourier es un operador continuo de L1(Rn)en C0(Rn),con kb ktk∞≤ kktk1= 1.Luego b ktI∈ L(C0(Rn)),y se tiene la familia de operadores TK= (T(t))t≥0con T(t) : C0(Rn)−→ C0(Rn) g7−→ b ktg , t > 0 g7−→ g , t = 0 que es uniformemente acotada. Veamos que es un C0-semigrupo. La Ley de semigrupo se cumple ya que d kt+s=\ kt∗ks=b ktc ks.La continuidad fuerte en 40 el origen se sigue ya que como F(L1(Rn))k·k∞=C0(Rn),se toma g∈C0(Rn) yf∈L1(Rn)con kb f−gk∞< ε, y así kb ktg−gk∞=kb ktg−b ktb f+b ktb f−b f+b f−gk∞ ≤ kb ktk∞kb f−gk∞+kb f−gk∞+kb ktb f−b fk∞ ≤ε+ε+kkt∗f−fk1<3ε con tsuficientemente cerca de 0+. Luego l´ım t→0+kb ktg−gk∞= 0 para todo g∈C0(Rn). Proposición 4.1. ([6, p.28]) Sea t≥0, mt: Ω →Cuna familia de funciones continuas y acotadas tal que i) la familia (T(t))t≥0, con T(t)f:= mtfforma un semigrupo de operadores en C0(Ω). ii) las aplicaciones t7−→ T(t)f∈C0(Ω) son continuas para todo f∈C0(Ω). Entonces existe q: Ω →Ccontinua con sup s∈Ω Re(q(s)) <+∞y tal que mt(s) = etq(s)para cada s∈Ω, t ≥0. Lema 4.1. Sea K= (K(t))t≥0un C0-semigrupo de convolución de núcleo positivo en X=Lp(Rn), con núcleo (kt)t>0.Entonces existe q:Rn→R continua con q(x)≤0para todo x∈Rn,y tal que B=qI es el generador infinitesimal de TK,con D(B) = {f∈C0(Rn)|qf ∈C0(Rn)}. Demostración. Como T(t)f=b ktfpara f∈C0(Rn)yt > 0,siendo b kt continuas y acotadas, entonces aplicando la proposición anterior se tiene que existe q:Rn→Rcontinua con q(x)<+∞yb kt(x) = etq(x)para todo x∈Rn.Notar que como kb ktk∞≤1,entonces q(x)≤0para todo x∈Rn. Además para todo f∈C0(Rn)tal que qf ∈C0(Rn),yx∈Rnse tiene que l´ım t→0+ etq(x)f(x)−f(x) t=q(x)f(x). Teorema 4.1. Sea X=Lp(Rn)con 1≤p < ∞,yK= (K(t))t≥0un C0-semigrupo de convolución de núcleo positivo en X, con núcleo (kt)t>0. Entonces el generador infinitesimal Averifica que para todo f∈D(A)con f2∈D(A),y0≤α≤1, f(x)(−A)αf(x)≥1 2(−A)αf2(x)a.e. 41