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- PROYECTO FIN DE CARRERA - ANÁLISIS MEDIANTE EL MEF DEL CAMPO MAGNÉTICO ROTATIVO DE UN “MÓVIL PERPETUO” AUTOR MARIO GIJÓN MARÍN DIRECTOR ANTONIO USÓN SARDAÑA INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL ESPECIALIDAD ELECTRÓNICA INDUSTRIAL ZARAGOZA, SEPTIEMBRE DE 2012 Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 3 Agradecimientos Me gustaría dar las gracias a mi director de proyecto Antonio Usón, que siempre tuvo tiempo para mí y me ayudó a llevarlo a cabo hasta el final. También a Miguel Samplón, por haberme facilitado los medios necesarios siempre que los requería. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 4 Resumen Mediante el presente proyecto fin de carrera se pretende llevar a cabo la construcción de un prototipo formado por un disco de imanes permanentes que gire indefinidamente, gracias a la ayuda del campo magnético rotativo producido por una bobina alimentada por la red eléctrica. Así mismo, se analizará el funcionamiento del dispositivo y el comportamiento del campo magnético rotativo mediante instrumental de laboratorio y se simulará mediante el método de elementos finitos (MEF) a través del programa informático FEMM 4.2. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 5 Índice general Agradecimientos .............................................................................................................. 3 Resumen ........................................................................................................................... 4 Capítulo 1 ......................................................................................................................... 9 1. INTRODUCCIÓN GENERAL ............................................................................. 10 1.1. Objetivo del proyecto ..................................................................................... 10 1.2. Alcance ........................................................................................................... 10 1.3. Condiciones existentes ................................................................................... 10 1.4. Etapas del diseño ............................................................................................ 11 Capítulo 2 ....................................................................................................................... 12 2. PROCESO DE CONSTRUCCIÓN DEL DISPOSITIVO .................................. 13 2.1. Construcción del estator ................................................................................. 13 2.2. Construcción del rotor .................................................................................... 15 2.3. Acoplamiento estator - rotor ........................................................................... 18 2.4. Principio de funcionamiento........................................................................... 19 Capítulo 3 ....................................................................................................................... 22 3. ANÁLISIS EXPERIMENTAL .............................................................................. 23 3.1. Análisis de la corriente consumida por la bobina ........................................... 23 3.2. Análisis del campo magnético rotativo mediante un sensor de efecto Hall ...................................................................................... 23 3.2.1. El efecto Hall ..................................................................................... 24 3.2.2. Montaje de laboratorio ....................................................................... 25 3.2.3. Análisis sin ningún disco conectado al eje ......................................... 28 3.2.4. Análisis con el disco p=2 de imanes cuadrados ................................. 29 3.2.5. Análisis con el disco p=2 de imanes cúbico ...................................... 30 3.2.6. Análisis con el disco p=3 de imanes cuadrados ................................. 31 Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 6 3.2.7. Análisis con el disco p=3 de imanes cúbicos ..................................... 32 3.2.8. Análisis con el disco p=4 de imanes esféricos ................................... 33 3.3. Análisis de la velocidad de sincronismo del rotor ........................................... 35 Capítulo 4 ....................................................................................................................... 38 4. ANÁLISIS TEÓRICO MEDIANTE EL MEF .................................................... 39 4.1. Análisis del campo magnético creado por la bobina ...................................... 40 4.2. Análisis del campo magnético con el disco de imanes cuadrados ........................................................................................................ 43 4.3. Análisis del campo magnético con el disco de imanes cúbicos ............................................................................................................ 49 4.4. Secuencia de funcionamiento ......................................................................... 53 Conclusiones ................................................................................................................... 60 Bibliografía ..................................................................................................................... 62 Anexos – PLANOS DEL PROTOTIPO ...................................................................... 63 PLANO 1. Disco p=2 de imanes cuadrados .......................................................... 64 PLANO 2. Disco p=2 de imanes cúbicos .............................................................. 65 PLANO 3. Disco p=3 de imanes cuadrados .......................................................... 66 PLANO 4. Disco p=3 de imanes cúbicos .............................................................. 67 PLANO 5. Disco p=4 de imanes esféricos ............................................................ 68 PLANO 6. Corte de la bobina ............................................................................... 69 PLANO 7. Vista general del prototipo .................................................................. 70 Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 7 Índice de figuras y tablas Fig. 1. Uno de los dos relés utilizados en la construcción del estator ............................. 13 Fig. 2. Tensión nominal del relé: 110V, c.c. ................................................................... 14 Fig. 3. Bobina desmontada, en la que se muestra también el núcleo ferromagnético ..... 14 Figs. 4 y 5. Detalle de la conexión en serie de ambas bobinas ....................................... 15 Fig. 6. Eje del rotor .......................................................................................................... 16 Fig. 7. Disco p=2, imanes cuadrados .............................................................................. 17 Fig. 8. Disco p=2, imanes cúbicos .................................................................................. 17 Fig. 9. Disco p=3, imanes cuadrados .............................................................................. 17 Fig. 10. Disco p=3, imanes cúbicos ................................................................................ 17 Fig. 11. Disco p=4, imanes esféricos .............................................................................. 17 Fig. 12. Construcción finalizada del prototipo ................................................................ 19 Fig. 13. Campo magnético creado por un imán permanente ........................................... 20 Fig. 14. Campo magnético creado por un electroimán.................................................... 21 Fig. 15. Efecto Hall ......................................................................................................... 24 Fig. 16. Montaje para la medida del campo magnético rotativo ..................................... 26 Fig. 17. Ubicación de la sonda de efecto Hall ................................................................. 27 Fig. 18. Imagen del osciloscopio sin ningún disco acoplado al eje ................................ 28 Fig. 19. Campo magnético creado por la bobina ............................................................. 28 Fig. 20. Imagen del osciloscopio con el disco p=2 de imanes cuadrados ....................... 29 Fig. 21. Campo magnético creado por el disco p=2 de imanes cuadrados ..................... 29 Fig. 22. Imagen del osciloscopio con el disco p=2 de imanes cúbicos ........................... 30 Fig. 23. Campo magnético creado por el disco p=2 de imanes cúbicos ......................... 30 Fig. 24. Imagen del osciloscopio con el disco p=3 de imanes cuadrados ....................... 31 Fig. 25. Campo magnético creado por el disco p=3 de imanes cuadrados ..................... 31 Fig. 26. Imagen del osciloscopio con el disco p=3 de imanes cúbicos ........................... 32 Fig. 27. Campo magnético creado por el disco p=3 de imanes cúbicos ......................... 32 Fig. 28. Imagen del osciloscopio con el disco p=4 de imanes esféricos ......................... 33 Fig. 29. Campo magnético creado por el disco p=4 de imanes esféricos ....................... 33 Fig. 30. Campo magnético alrededor de la bobina .......................................................... 41 Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 8 Fig. 31. Módulo del campo magnético en la zona del eje de simetría de la bobina ........ 42 Fig. 32. Gráfica del campo magnético donde se colocó la sonda de efecto Hall ............ 42 Fig. 33. Ciclo de histéresis .............................................................................................. 44 Fig. 34. Campo magnético alrededor del imán cuadrado ................................................ 45 Fig. 35. Módulo del campo magnético en la zona del eje de simetría del imán cuadrado ............................................................................................................ 46 Fig. 36. Gráfica del campo magnético donde se colocó la sonda de efecto Hall en el imán cuadrado ................................................................................................... 46 Fig. 37. Campo magnético alrededor de la bobina, con el imán cuadrado en las proximidades ..................................................................................................... 47 Fig. 38. Módulo del campo magnético en la zona del eje de simetría, con el imán cuadrado en las proximidades ........................................................................... 48 Fig. 39. Gráfica del campo magnético donde se colocó la sonda de efecto Hall, con el imán cuadrado en las proximidades .................................................................. 48 Fig. 40. Campo magnético alrededor de la bobina, con el imán cúbico en las proximidades ..................................................................................................... 50 Fig. 41. Módulo del campo magnético en la zona del eje de simetría, con el imán cúbico en las proximidades ............................................................................... 50 Fig. 42. Gráfica del campo magnético donde se colocó la sonda de efecto Hall, con el imán cúbico en las proximidades ...................................................................... 51 Fig. 43. Campo magnético alrededor del imán cúbico .................................................... 52 Fig. 44. Módulo del campo magnético en la zona del eje de simetría del imán cúbico ................................................................................................................ 52 Fig. 45. Gráfica del campo magnético donde se colocó la sonda de efecto Hall en el imán cúbico ....................................................................................................... 53 Fig. 46. Puntos de la onda de corriente representados para la secuencia 1 ..................... 54 Fig. 47. Secuencia de funcionamiento 1.................................................................. 55 y 56 Fig. 48. Puntos de la onda de corriente representados para la secuencia 2 ..................... 57 Fig. 49. Secuencia de funcionamiento 2.................................................................. 58 y 59 Tabla 1. Corriente consumida por la bobina ................................................................... 23 Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 9 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN GENERAL Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 16 Figura 6.- Eje del rotor A su vez, se acoplaron alrededor del disco una serie de imanes permanentes. Atendiendo al número y tipo de imanes de los que se disponían, se pudieron realizar 5 tipos distintos de discos, número más que suficiente para realizar las pruebas pertinentes. El acoplamiento se realizó con pegamento especial para plásticos y metales, de manera que aguantase las fuerzas magnéticas a la que se verían sometidos los imanes. También se tuvo en cuenta la altura a la que se unieron para que, al acercarse a la bobina, los imanes quedasen a la altura del núcleo ferromagnético, que es donde mayor flujo de campo magnético existe. La disposición de los imanes en el disco es la siguiente: 1.- Disco de p=2 (2 pares de polos): Norte – Sur – Norte – Sur, separación de 90º entre cada uno. 2.- Disco de p=3: Norte – Sur – Norte – Sur – Norte – Sur, separación de 60º entre cada uno. 3.- Disco de p=4: Norte- Sur – Norte – Sur – Norte – Sur – Norte – Sur, separación de 45º entre cada uno. A continuación se exponen los cinco tipos de discos realizados: Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 17 Figura 7.- Disco p=2, imanes cuadrados Figura 8.- Disco p=2, imanes cúbicos Figura 9.- Disco p=3, imanes cuadrados Figura 10.- Disco p=3, imanes cúbicos Figura 11.- Disco p=4, imanes esféricos Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 18 Resaltar que debido a la dificultad de acoplamiento de los imanes esféricos con el disco, éstos no quedan exactamente a la altura del núcleo ferromagnético en el acabado final, por lo que las pruebas con éste disco solo serán relevantes en cuanto a la velocidad de sincronismo del mismo. 2.3. ACOPLAMIENTO ESTATOR – ROTOR En primer lugar, se buscó una plataforma de dimensiones adecuadas en la que situar todos los elementos del dispositivo. Se eligió un panel de madera aglomerada azul, de 40cm x 20cm. Para fijar el estator, se buscó un soporte de material no ferromagnético en el que acoplar la bobina, de manera que no alterase el campo magnético producido en las inmediaciones. Para ello, se utilizó un portaescobas de plástico, en el que encajaba perfectamente la bobina y le daba cierta altura. Por otra parte, se debía buscar un mecanismo mediante el cual se pudiese acercar y alejar el eje del rotor, fijándolo a una determinada altura. Para ello se utilizaron dos guías para cajones. El eje del rotor se levantó un poco para que coincidiese la altura de los imanes con el eje de simetría de la bobina. También se incluyó una regla para medir posteriormente a qué distancia del estator se producía el sincronismo de cada uno de los discos. El origen de dicha regla era la distancia a la cual tocaba la bobina con el disco de imanes cuadrados. Por último, se incluyó un interruptor para facilitar la conexión y desconexión de la bobina a la red eléctrica. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 19 Figura 12.- Construcción finalizada del prototipo En el capítulo anexos, se muestran una serie de planos en el que se exponen todas las dimensiones de los distintos elementos del dispositivo. 2.4. PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO Se define un móvil perpetuo como una máquina hipotética que sería capaz de continuar funcionando eternamente, después de un impulso inicial, sin necesidad de energía externa adicional. Se dice hipotética, porque en realidad es imposible obtener este objeto, al no haber manera alguna de seguir creando energía mecánica a partir “de la nada”. En nuestro caso se habla de éste tipo de máquina ya que, al no haber contacto mecánico alguno entre el rotor y el estator, se podría “engañar” a quien observara dicho dispositivo, ocultando de alguna manera el electroimán. En otro orden de cosas, Ampere propuso la hipótesis de que todos los campos magnéticos tienen su origen en corrientes eléctricas. En la actualidad esto se explica basándose en la teoría atómica de la materia. En el interior de la materia existen pequeñas corrientes cerradas debidas al movimiento de los electrones que contienen los átomos. Cada una de estas corrientes origina un microscópico dipolo magnético. Cuando estos dipolos están orientados en direcciones aleatorias, sus efectos se anulan mutuamente y el material no presenta propiedades magnéticas; en cambio si todos los dipolos se alinean, como consecuencia de un campo magnético externo que tienda a orientarlos en su propia dirección, actúan como un único imán y en ese caso decimos que la sustancia se ha magnetizado y el material genera su propio campo magnético. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 20 Algunos materiales, llamados ferromagnéticos, conservan la orientación de sus dipolos aún cuando desaparece el campo magnético externo que los polariza. Un imán permanente tiene la capacidad, según su propio nombre indica, de retener un valor de magnetismo remanente después de ser imantado por algún medio. Además de ser resistente a la desmagnetización, un imán permanente tiene la propiedad de conservar su magnetismo con el tiempo. Mediante la curva de histéresis podemos observar la forma en que se produce la magnetización de un material. Esta curva nos servirá para la modelización de los imanes permanentes en FEMM y por ello se explicará en ese propio capítulo. Mediante observaciones experimentales, se observó que los patrones de campo magnético para una barra imantada son los siguientes. Figura 13.- Campo magnético creado por un imán permanente Ampere propuso su hipótesis a partir de la observación, también experimental, de que con un solenoide también puede crearse un campo magnético igual al de un imán permanente. Cuando se enrolla hilo conductor sobre un tubo recto y se hace circular corriente eléctrica por el primero, se produce un campo magnético en su entorno que viene definido por la regla de la mano derecha, tal y como se muestra en la siguiente imagen. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 21 Figura 14.- Campo magnético creado por un electroimán De esta manera se crea un electroimán con líneas de campo magnético que definen un polo norte y un polo sur, según su sentido. Puede decirse, en primera instancia, que un imán y un electroimán son lo mismo, con la diferencia de que en el segundo podemos variar el campo magnético que crea variando la corriente que circule por él, y en el primero no. Destacar que si se sitúa un núcleo de material ferromagnético dentro de la bobina pueden producirse campos magnéticos mucho más fuertes. Sin embargo, en el núcleo ferromagnético se crean corrientes inducidas cuando el campo magnético es variable, como será en nuestro caso. Estas corrientes son llamadas corrientes de Foucault y en general son indeseables, puesto que calientan el núcleo y provocan una pérdida de potencia. Son debidas al campo magnético variable al que está sometido el núcleo ferromagnético, de manera que en éste se inducen corrientes circulares de tal forma que creen un campo magnético en oposición al campo magnético principal, debido a que toda acción se opone a la causa que lo produce. Dicho esto, si conectamos el electroimán a la red eléctrica, se producirá un campo magnético cuyo módulo será de carácter senoidal (por eso se dice que es rotativo) y con una frecuencia igual a la de la red. Colocando un disco como los descritos anteriormente cuyos imanes pasen por las cercanías del eje del electroimán y proporcionándole un pequeño impulso para iniciar el movimiento, el movimiento del rotor se sincroniza con el campo magnético creado por la bobina, de forma que el polo norte del imán se ve atraído por el “polo sur” del electroimán y viceversa. Los dos campos magnéticos (el creado por el imán permanente y el creado por el electroimán) se suman, dando lugar a un incremento en módulo que más tarde se observará en el osciloscopio. Ésta es la razón de la aparición de las fuerzas y pares de fuerzas que contrarrestan las que se oponen al movimiento y mantienen al rotor girando. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 22 Capítulo 3 ANÁLISIS EXPERIMENTAL Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 23 3. ANÁLISIS EXPERIMENTAL 3.1. ANÁLISIS DE LA CORRIENTE CONSUMIDA POR LA BOBINA En primer lugar, se comprobó la corriente consumida por la bobina para verificar que no fuese excesiva y evitar sobrecalentamientos. Igualmente, este análisis era necesario para el estudio en FEMM del campo magnético rotativo, que se realiza en el siguiente capítulo. Para ello, se conectó en serie con la bobina un amperímetro y a su vez el circuito se excitó a través de un autotrafo, para ir aumentando poco a poco la tensión de excitación hasta llegar a la nominal de red, 230 Voltios. A continuación se muestran los resultados obtenidos, por orden de medición. Tensión (Voltios) Corriente (Miliamperios) 1º 0 0 2º 50 3,62 3º 75 5,42 4º 100 7,15 5º 125 8,96 6º 150 10,72 7º 175 12,52 8º 200 14,33 9º 230 16,56 Tabla 1.- Corriente consumida por la bobina Destacar que se trata de valores eficaces de tensión y corriente, y que no son valores elevados. Simplemente tocando la bobina con la mano, se verifica que no se produce un calentamiento excesivo de la misma. El valor nominal de 16,56 mA se utilizará en el siguiente capítulo para el análisis en FEMM. 3.2. ANÁLISIS DEL CAMPO MAGNÉTICO ROTATIVO MEDIANTE UN SENSOR DE EFECTO HALL Antes de comenzar a exponer el montaje de laboratorio para el análisis del campo magnético rotativo, conviene explicar en qué consiste el efecto Hall. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 24 3.2.1. EL EFECTO HALL Edwin Hall expuso en 1879: “cuando un conductor por el que circula una corriente eléctrica se coloca en presencia de un campo magnético, aparece una fuerza  h, de naturaleza magnética, sobre los portadores libres de carga en dirección perpendicular tanto a la corriente (I) que circula como al campo magnético ( 󰇍  ) aplicado. Esta  h da lugar a una fuerza electromotriz h, que depende de la I que circula y de B, denominada fuerza electromotriz Hall”. Lo anterior implica, tal y como se muestra en la siguiente figura, que entre los terminales 1 y 2 aparece una diferencia de potencial (Vh) debida a la h, que se muestra en el voltímetro. Figura 15.- Efecto Hall El origen de la fuerza Hall se debe a la fuerza magnética ejercida sobre las cargas libres en movimiento dentro del conductor, regida por la ley de Lorentz:  h = q ·  󰇍  ×  󰇍  (3.1) En el caso expuesto, si los responsables de la conducción son portadores de carga negativa se almacenarían en el terminal 2, mientras que si son portadores de carga positiva se almacenarían en el terminal 1. Imaginemos a partir de ahora que se trata de portadores de carga positiva. La lámina conductora actúa entre los terminales 1 y 2 como un generador en el que el campo eléctrico asociado a su efecto es:  󰇍  h =  󰇍 󰇍 󰇍    =  󰇍  ×  󰇍  (3.2) Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 25 En este caso,  󰇍  es perpendicular a  󰇍  , por lo que  󰇍  h  = V · B Sabiendo que la fuerza electromotriz de un generador es el trabajo que ejerce este para llevar la unidad de carga positiva desde el terminal negativo al positivo: h =  󰇍 󰇍 󰇍    ·d  (3.3) Obtenemos finalmente la expresión, al estar los terminales 1 y 2 en circuito abierto: h = Vh = V·B·d (3.4) Normalmente, la corriente I que circula por la lámina conductora es proporcional a la velocidad de los portadores: I =  ·  󰇍   (3.5) Por lo tanto, la expresión de Vh queda: Vh =  ·B·I (3.6) Si tomamos un material del que se conoce d,  e inyectamos una corriente conocida I, la Vh entre los terminales 1 y 2 es proporcional a la componente perpendicular de  󰇍  a la lámina conductora. En el montaje que se realizó en el laboratorio se utilizó una sonda de efecto Hall comercial, que unida a un amplificador se generaba a la salida 1 Voltio por cada 500 Gauss que traspasaban perpendicularmente la sonda, con una resolución máxima de 6 Voltios. En nuestro caso colocaremos la sonda en contacto con el eje del electroimán, donde se cumple que  󰇍  es perpendicular a la sonda y a  󰇍  , por lo que la medida que se registre será exactamente el módulo de  󰇍  . 3.2.2. MONTAJE DE LABORATORIO Para la medida del campo magnético rotativo en las proximidades del electroimán se realizó el montaje que se muestra en la siguiente imagen, junto con la leyenda de los dispositivos utilizados: Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 32 3.2.7. ANÁLISIS CON EL DISCO P=3 DE IMANES CÚBICOS Figura 26.- Imagen del osciloscopio con el disco p=3 de imanes cúbicos Figura 27.- Campo magnético creado por el disco p=3 de imanes cúbicos -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 Campo magnético (Teslas) Tiempo (Segundos) Motor p=3 cúbicos Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 33 3.2.8. ANÁLISIS CON EL DISCO P=4 DE IMANES ESFÉRICOS Figura 28.- Imagen del osciloscopio con el disco p=4 de imanes esféricos Figura 29.- Campo magnético creado por el disco p=4 de imanes esféricos -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 Campo magnético (Teslas) Tiempo (Segundos) Motor p=4 esféricos Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 34 Observaciones: 1.- La onda de campo magnético en las proximidades de la bobina es senoidal, con una frecuencia de 50 Hz, al igual que la onda de tensión de la red. Cabe resaltar el valor de pico de la onda, 0,04 Teslas, y su valor eficaz, 0,0283 Teslas, que más adelante se comprobarán mediante el análisis en FEMM. 2.- En todas las gráficas se produce el incremento en módulo del campo magnético al pasar el imán permanente por el eje de la bobina. Sin embargo, en vez de hacerlo en semiciclos consecutivos de la onda de campo magnético, ha de pasar un ciclo completo antes de que el imán se acerque al eje. Esto es debido a que con el impulso inicial que se le aplica con la mano no es posible adquirir la velocidad suficiente para que el sincronismo se realice en semiciclos consecutivos. De esta manera, con el motor funcionando, la frecuencia y el periodo de la onda de campo magnético son: f =   = 16,6  Hz. (3.7) T =  × 3 = 60 ms. (3.8) A partir de las gráficas podemos obtener la velocidad del giro del rotor. Entre que pasa un imán y el siguiente por el eje del electroimán transcurre un tiempo =T/2=30 ms. Una vuelta completa del disco ocurre cuando han pasado todos los imanes del disco, es decir, en un tiempo  = 2·p· (siendo p el número de pares de polos). Por lo tanto, para obtener la velocidad, en revoluciones por minuto: n =  ·· =60  2·2· =  · = ·  (3.9) 3.- Los valores de pico para el disco de imanes cuadrados están en torno a 0,15 Teslas y para el disco de imanes cúbicos en torno a 0,12 Teslas, valores que más adelante se analizarán con FEMM. La razón por la cual el valor de pico de la gráfica del disco de imanes cuadrados sea mayor al de imanes cúbicos puede deberse a que la superficie de la cara que se enfrenta al eje del electroimán de los primeros sea mayor que la de los segundos. El disco de imanes esféricos no se tiene en cuenta para datos numéricos y, por lo tanto no se analizará en FEMM, dado que la geometría de los imanes no es la apropiada para su correcta colocación en el disco. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 35 4.- Otro ensayo muy interesante que podría haberse llevado a cabo sería la visualización de la onda de corriente en el osciloscopio mediante un shunt. En ella se intuye que podría haberse visto un pequeño incremento del módulo de la corriente en el paso del imán por el eje de la bobina, debido a que intentaría aumentar su campo magnético conforme cada imán del disco se acercase, que aumentaría la fuerza de atracción. Este ensayo no se llevó a cabo por falta de recursos y por seguridad, ya que habría que aislar todas las referencias conectadas a red que intervienen en el ensayo para que no hubiese ningún cortocircuito. Para la simulación en FEMM este efecto se despreció, ya que el incremento de corriente sería mínimo e irrelevante. 3.3. ANÁLISIS DE LA VELOCIDAD DE SINCRONISMO DEL ROTOR Para medir la velocidad de giro del disco de imanes permanentes se usó un tacómetro láser facilitado por el departamento de ingeniería eléctrica. Dicho instrumento funciona emitiendo un estrecho haz de luz contra el elemento de rotación. El elemento de rotación ha de tener un lugar de reflexión y el tacómetro mide el tiempo que tarda en reflejarse dos veces consecutivas el haz de luz. Aquí el problema residía en que la luz se reflejaba en todos los imanes que componían el disco, así que se pegó una pequeña pestaña de papel reflectante en uno de los imanes, de manera que su superficie se levantara unos centímetros del disco y así el tacómetro solamente leyese el tiempo que tardaba en dar una vuelta dicha pestaña. También se podía haber medido la velocidad directamente sobre los imanes del disco y haberla dividido entre el número de imanes que componen el disco, pero se prefirió el anterior método para que se mostrase la lectura “real” directamente sobre el tacómetro. Por otra parte, se midió hasta qué distancia del eje del rotor se seguía manteniendo la sincronización para cada tipo de disco utilizado. Las mediciones que a continuación se muestran tienen su origen en la distancia a la cual toca cada tipo de disco con el eje de la bobina. Cabe resaltar que el impulso inicial para comenzar la sincronización se dio a 2,5 mm del eje de la bobina, en todos los casos. Los resultados que se obtuvieron fueron los siguientes: 1.- Disco p=2 de imanes cuadrados - La velocidad de sincronismo oscilaba entre 499,5 rpm y 500,5 rpm. - Se mantuvo esa misma velocidad alejando el disco hasta 15 mm, momento en el que se fue frenando hasta detenerse. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 36 2.- Disco p=2 de imanes cúbicos - La velocidad de sincronismo oscilaba entre 499,6 rpm y 499,8 rpm. - Se mantuvo alejando el disco hasta 17,5 mm, momento en el que se fue frenando hasta detenerse. (*) También logró sincronizarse en dos ocasiones a 300 rpm, pero el sincronismo no era muy estable y en cuanto se alejaba un poco el rotor, el disco se frenaba. 3.- Disco p=3 de imanes cuadrados - La velocidad de sincronismo oscilaba entre 333 rpm y 334 rpm. - Se mantuvo alejando el disco hasta 19 mm, momento en el que se fue frenando hasta detenerse. 4.- Disco p=3 de imanes cúbicos - La velocidad de sincronismo oscilaba entre 332,9 rpm y 333,4 rpm. - Se mantuvo alejando el disco hasta 20,5 mm, momento en el que se fue frenando hasta detenerse. 5.- Disco p=4 de imanes cuadrados - La velocidad de sincronismo oscilaba entre 249,5 rpm y 250,5 rpm. - Se mantuvo alejando el disco hasta 10 mm, momento en el que se fue frenando hasta detenerse. Como puede observarse, en todos los casos la velocidad de sincronismo se corresponde con la expresión anteriormente calculada en (3.9). Por ejemplo, para el caso del disco de imanes cuadrados, con: p = 2 f = 16,6  Hz =󰇡  ×  󰇢=󰇡  × ,  󰇢= 500 rpm, valor que se corresponde con el obtenido mediante el tacómetro, que oscilaba entre 499,6 rpm y 499,8 rpm. (*) La explicación para el caso en que se consiguió que la velocidad de sincronismo fuese de 300 rpm, es que la sincronización se conseguía cuando entre el paso de un imán y el siguiente, por el eje del rotor, pasaban 5 semiciclos de la onda de tensión de la red en vez de 3, como habitualmente se conseguía. Por lo tanto la ecuación quedaría: =󰇡  ×  󰇢×  = 300 rpm. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 37 Pero éste solo fue un caso aislado que era muy difícil de conseguir. Por otro lado, el caso de que al alejar el rotor éste siguiese girando hasta una determinada distancia, resulta de que el módulo del campo magnético debido a la bobina en los imanes es menor a medida que aumenta la distancia entre ellos y por lo tanto el par motor disminuye. Es por ello que, al llegar a una determinada posición, el par motor no es suficiente para contrarrestar las fuerzas que se oponen al movimiento. De hecho, se percibe una mayor vibración en el movimiento del disco que es mayor cuanto más cerca de la bobina está, debido a que el par motor es mayor. Por eso, al dar el impulso inicial se coloca el rotor cerca del electroimán para que el par motor sea más elevado. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 38 Capítulo 4 ANÁLISIS TEÓRICO MEDIANTE EL MEF Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 39 4. ANÁLISIS TEÓRICO MEDIANTE EL MEF El método de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en inglés) es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física. Éste método está pensado para ser usado en ordenadores y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema físico sobre geometrías complicadas. El método consiste en dividir la región del espacio a analizar en elementos más pequeños, no necesariamente iguales, proceso que se denomina “mallado”. En nuestro caso se tomarán elementos triangulares en 2D. Una vez dividido el espacio tenemos un conjunto de elementos y de nodos. Habitualmente el problema consiste en obtener cuánto vale la función buscada en los nodos elegidos, de forma que se verifiquen las condiciones de contorno propuestas. De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no. Dicho método es aproximado y por eso se corrobora, en nuestro caso, mediante un análisis experimental. Para aplicar éste método, se utilizó el software FEMM 4.2; es un programa de libre distribución desarrollado por David Meeker, que permite resolver problemas magnéticos de baja frecuencia (por debajo de 1 MHz) en 2D axisimétricos y planos. Puede obtenerse en la página web http://www.femm.info. El proceso para hallar la solución está dividido en 3 partes: • Prepoceso: consiste en la definición de la geometría, generación de la malla, las condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales representados. • Cálculo: el resultado del prepoceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar un conjunto de n ecuaciones y n incógnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. . Cuando el problema a tratar es un problema no-lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de sistemas de n ecuaciones y n incógnitas que deben resolverse uno a continuación de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior. • Postproceso: el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla de manera que los resultados obtenidos de la resolución del sistema son tratados, para obtener representaciones gráficas y magnitudes derivadas, que permitan extraer conclusiones del problema. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 40 4.1. ANÁLISIS DEL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR LA BOBINA En primer lugar, se realizó la representación en FEMM de la bobina mediante un modelo axisimétrico de 2 dimensiones a partir del eje de simetría, cuyas medidas pueden consultarse en el plano correspondiente del capítulo Anexos. A continuación se definió cada material en la representación gráfica, de manera que cada uno tenía unas propiedades características ya predefinidas en las librerías incluidas en FEMM. Los materiales representados fueron aire, cobre 32AWG (que es una notación para especificar el diámetro del hilo conductor), aislante (para definir el barniz aislante que recubre al hilo conductor) y acero (material del núcleo ferromagnético). Este último se definió con cierta conductividad, para que el programa simulase también las corrientes parásitas de Foucault en el núcleo. El tamaño de la malla se definió más pequeño según nos acercamos al eje de simetría, ya que es la zona que vamos a analizar y en la que necesitamos mayor precisión en el resultado. La frecuencia de trabajo se definió en 50 Hz, y la corriente en 0,01656 A, valor eficaz determinado experimentalmente en el capítulo anterior. Por otra parte, el devanado de cobre se representó en 10 superficies, con el correspondiente aislante entre cada una, para que este modelo se acercase más al real. Debido a esto, el número de vueltas del devanado en cada superficie se dividió entre 10, pasando de 21000 vueltas a 2100, para que la corriente total no se viese modificada. Para verificarlo se calculó, en primer lugar, la densidad de corriente teórica de la bobina. La corriente total por cada una de las 10 superficies es: = ·  = 0,01656 · 2100 = 34,776 . (4.1) Siendo: I: corriente eficaz que circula por la bobina. N: número de vueltas del devanado. Por lo tanto, la densidad de corriente por cada superficie || es: || = =, ,· = 2,4497·10    (4.2) Por lo tanto, la densidad de corriente por la superficie total será: ||=||·10 = 2,4497·10    (4.3) Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 41 Resultado que se comparó con el que mostraba el postprocesador de FEMM, coincidiendo exactamente. La siguiente figura muestra la distribución de flujo magnético en las inmediaciones de la bobina. Figura 30.- Campo magnético alrededor de la bobina A su vez, se comprobó el valor del módulo de la inducción magnética en la zona donde se colocó la sonda de efecto Hall. Haciendo “click” en la zona más próxima al eje de simetría en la línea señalada en rojo, el postprocesador de FEMM nos da el valor de dicha magnitud. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 48 Figura 38.- Módulo del campo magnético en la zona del eje de simetría, con el imán cuadrado en las proximidades Figura 39.- Gráfica del campo magnético donde se colocó la sonda de efecto Hall, con el imán cuadrado en las proximidades Experimentalmente se obtuvieron 0,15 Teslas en las cercanías del eje de simetría, valor ligeramente superior al obtenido en la simulación, pero dentro de un mínimo error permisible. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 49 4.3. ANÁLISIS DEL CAMPO MAGNÉTICO CON EL DISCO DE IMANES CÚBICOS Al igual que en el apartado anterior, primero se realizó la equivalencia de la cara del imán que se enfrentaba al eje del electroimán, para representar un cilindro en FEMM. Área cuadrado → 5 mm × 5 mm = 25  Área círculo → 25  = · → r = 2,82 mm En el siguiente paso, se recurrió a la sonda de efecto Hall para medir la magnetización del imán. Pero en este caso, el polímetro registró una excitación de 6 Voltios, que era el valor límite de escala de nuestro dispositivo de medida. Al no poder medir la coercitividad del imán con la sonda de efecto Hall, se recurrió a simular el problema con el electroimán y el paso del imán en FEMM de la misma manera que anteriormente, de forma que dando distintos valores de coercitividad al imán se lograse dar con el resultado del campo magnético obtenido en el análisis experimental. Después, se procedería a simular el imán permanente con el valor de coercitividad obtenido, verificando que su valor excedería la escala de la sonda de efecto Hall. Así, para un valor de  = 1.300.000   se obtuvieron los siguientes resultados: Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 50 Figura 40.- Campo magnético alrededor de la bobina, con el imán cúbico en las proximidades Figura 41.- Módulo del campo magnético en la zona del eje de simetría, con el imán cúbico en las proximidades Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 51 Figura 42.- Gráfica del campo magnético donde se colocó la sonda de efecto Hall, con el imán cúbico en las proximidades Como puede observarse se consiguió que el módulo del campo magnético en las cercanías del eje de simetría coincidiese con el obtenido experimentalmente, que eran alrededor de 0,12 Teslas. Posteriormente, se realizó el análisis del imán permanente con el valor obtenido de coercitividad. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 52 Figura 43.- Campo magnético alrededor del imán cúbico Figura 44.- Módulo del campo magnético en la zona del eje de simetría del imán cúbico Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 53 Figura 45.- Gráfica del campo magnético donde se colocó la sonda de efecto Hall en el imán cúbico Según estos resultados se produce un campo magnético en las inmediaciones del imán de módulo 0,745 Teslas ó, lo que es lo mismo, usando la sonda de efecto Hall nos debería salir un valor de 14,9 Voltios, que es muy superior al fondo de escala de la sonda, 6 Voltios. 4.4. SECUENCIA DE FUNCIONAMIENTO También se representó mediante FEMM la variación del campo magnético en función del movimiento del disco y de la variación de la corriente que circulaba por el electroimán. Para ello se realizó un modelo planar del sistema, que en ningún caso representa valores significativos en cuanto a magnitudes debido a que la representación es en 2D, pero sí expone de forma adecuada el comportamiento de la variación del campo magnético. En primer lugar se trasladó el modelo axisimétrico de la bobina a un modelo planar, de profundidad igual al diámetro de esta. Se colocó un eje de rotación del disco de manera que estuviese a la misma distancia del estátor que en el modelo experimental y se modeló el disco de p=2 de imanes cuadrados. La frecuencia de trabajo se definió en 0 Hz al tratarse de instantes de tiempo determinados y se fue rotando el disco para tomar varias instantáneas entre que pasaba un imán y el siguiente por las proximidades del electroimán. El valor instantáneo de la corriente se fue modificando, teniendo en cuenta Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 54 que en el análisis experimental la sincronización no se producía en semiciclos consecutivos de la onda de corriente. Figura 46.- Puntos de la onda de corriente representados para la secuencia 1 Se fueron tomando valores cada 54º: • Punto 1 → =√2∙ 0,01656 ∙  90º = 0,02342  • Punto 2 → =√2∙ 0,01656 ∙  144º = 0,01377  • Punto 3 → =√2∙ 0,01656 ∙  198º = −0,00724  • Punto 4 → =√2∙ 0,01656 ∙  252º = −0,02227  • Punto 5 → =√2∙ 0,01656 ∙  306º = −0,01895  • Punto 6 → =√2∙ 0,01656 ∙  360º = 0 • Punto 7 → =√2∙ 0,01656 ∙  54º = 0,01895  • Punto 8 → =√2∙ 0,01656 ∙  108º = 0,02227  • Punto 9 → =√2∙ 0,01656 ∙  162º = 0,00724  • Punto 10 → =√2∙ 0,01656 ∙  216º = −0,01377  • Punto 11 → =√2∙ 0,01656 ∙  270º = −0.02342  Finalmente, la secuencia de funcionamiento es: Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 55 Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 56 Figura 47.- Secuencia de funcionamiento 1 Por otra parte, se realizó también la representación de cómo variaría el campo magnético si se consiguiese proporcionar una velocidad inicial al rotor tal que se pudiese sincronizar su movimiento con semiciclos consecutivos de la onda de corriente. Análisis mediante el MEF del campo magnético rotativo de un “móvil perpetuo” Página 57 Figura 48.- Puntos de la onda de corriente representados para la secuencia 2 Se fueron tomando valores cada 18º: • Punto 1 → =√2∙ 0,01656 ∙  90º = 0,02342  • Punto 2 → =√2∙ 0,01656 ∙  108º = 0,02227  • Punto 3 → =√2∙ 0,01656 ∙  126º = 0,01895  • Punto 4 → =√2∙ 0,01656 ∙  144º = 0,01377  • Punto 5 → =√2∙ 0,01656 ∙  162º = 0,00724  • Punto 6 → =√2∙ 0,01656 ∙  180º = 0 • Punto 7 → =√2∙ 0,01656 ∙  198º = −0,00724  • Punto 8 → =√2∙ 0,01656 ∙  216º = −0,01377  • Punto 9 → =√2∙ 0,01656 ∙  234º = −0,01895  • Punto 10 → =√2∙ 0,01656 ∙  252º = −0,02227  • Punto 11 → =√2∙ 0,01656 ∙  270º = −0.02342  Finalmente, la secuencia de funcionamiento es: 31-08-12 Mario Gijón Marín 1:1 Disco p=2 de imanes cuadrados 1 Electrónica ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 31-08-12 Mario Gijón Marín 1:1 Disco p=2 de imanes cúbicos 2 Electrónica ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 31-08-12 Mario Gijón Marín 1:1 Disco p=3 de imanes cuadrados 3 Electrónica ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 31-08-12 Mario Gijón Marín 1:1 Disco p=3 de imanes cúbicos 4 Electrónica ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 31-08-12 Mario Gijón Marín 1:1 Disco p=4 de imanes esféricos 5 Electrónica ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 31-08-12 Mario Gijón Marín 2:1 Corte transversal de la bobina 6 Electrónica ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 31-08-12 Mario Gijón Marín ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA Electrónica Vista general del prototipo 1:2 7 