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Trabajo Fin de M´ aster COHOMOLOG´ IA DE BOTT-CHERN Autora: ADELA LATORRE LARROD´ E Director: LUIS UGARTE VILUMBRALES M´aster en Iniciaci´on a la Investigaci´on en Matem´aticas Facultad de Ciencias Zaragoza, Septiembre de 2012 ´ Indice general Introducci´on 5 1. Variedades complejas y cohomolog´ıas asociadas 9 1.1. Estructuras casi complejas e integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Cohomolog´ıa de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3. Cohomolog´ıas de Aeppli y de Bott-Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Nilvariedades complejas 21 2.1. Estructuras complejas invariantes sobre nilvariedades . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Clasificaci´on de estructuras complejas en dimensi´on 6 . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Cohomolog´ıa de Bott-Chern de nilvariedades complejas . . . . . . . . . . . 32 3. Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 41 3.1. Familia1..................................... 41 3.2. Familia2..................................... 58 3.3. Familia3..................................... 72 3.4. Resumen..................................... 80 4. Aplicaciones 87 4.1. El ∂¯ ∂-Lema y la cohomolog´ıa de Bott-Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2. Comportamiento por deformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4´ Indice General Referencias 98 Introducci´on Las variedades complejas son la “versi´on sobre C” de las variedades diferenciables, en el sentido de que est´an formadas “pegando abiertos” de Cnen vez de Rn, de manera que las aplicaciones de transici´on son holomorfas en lugar de diferenciables. En particular, toda variedad compleja es una variedad diferenciable de dimensi´on par, pero decidir si una variedad diferenciable real dada admite o no estructura de variedad compleja es un problema que est´a a´un lejos de ser resuelto, siendo la existencia de estructura compleja sobre la 6-esfera el problema abierto m´as conocido. Por otro lado, las variedades complejas generalizan a dimensi´on superior la noci´on de superficie compleja, la cual corresponde a n= 2. La clasificaci´on de superficies complejas compactas est´a resuelta por Enriques y Kodaira, pero en dimensi´on n≥3 el problema est´a completamente abierto. En este contexto resulta de gran utilidad la introducci´on y el estudio de invariantes asociados a las variedades complejas, como por ejemplo los n´umeros de Hodge bp,q(M), es decir, las dimensiones de los grupos de cohomolog´ıa de Dolbeault Hp,q ¯ ∂(M) que surgen de la descomposici´on de la diferencial exterior dcomo d=∂+¯ ∂, que juegan un papel fundamental en la clasificaci´on de Enriques-Kodaira. En este trabajo consideramos invariantes complejos introducidos por Bott y Chern en [6], que denotaremos por Hp,q BC(M) y a los que nos referiremos como grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern de la variedad compleja M. Cuando una variedad compleja compacta Madmite m´etrica K¨ahler, es decir, una m´etrica de Riemann compatible con su estructura compleja de manera que la forma fundamental asociada es simpl´ectica, entonces los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern coinciden con los grupos de cohomolog´ıa de Dolbeault. M´as generalmente, la aplicaci´on natural Hp,q BC(M)−→ Hp,q ¯ ∂(M) es un isomorfismo para toda variedad compleja compacta cumpliendo el ∂¯ ∂-Lema, es decir, para toda variedad compleja compacta que cumple ker ∂∩ker ¯ ∂∩im d= im ∂¯ ∂, o dicho de otro modo, toda forma compleja exacta, ∂-cerrada y¯ ∂-cerrada es ∂¯ ∂-exacta. La condici´on dada por el ∂¯ ∂-Lema est´a relacionada con el concepto de “formalidad” y fue estudiada por Deligne, Griffiths, Morgan y Sullivan en [10], 6 Introducci´on donde probaron que toda variedad K¨ahler compacta cumple el ∂¯ ∂-Lema. Recientemente, Angella y Tomassini han logrado expresar la condici´on dada en el ∂¯ ∂-Lema en t´erminos de la cohomolog´ıa de Bott-Chern, la cohomolog´ıa de Aeppli Hp,q A(M) (la cual puede verse como la versi´on dual de la de Bott-Chern) y la cohomolog´ıa de de Rham Hk dR(M;C) (que es un invariante topol´ogico de la variedad y por tanto no depende de la estructura compleja considerada). En concreto, en [3] se demuestra que para toda variedad compleja compacta My para cada k∈Nse verifica la siguiente desigualdad X p+q=k (dim Hp,q BC(M) + dim Hp,q A(M)) ≥2 dim Hk dR(M;C); (1) m´as a´un, las desigualdades (1) son igualdades para todo k∈Nsi y s´olo si Mcumple el ∂¯ ∂-Lema. El objetivo principal de este trabajo es la determinaci´on de todos los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern en la clase especial de nilvariedades complejas compactas de dimensi´on compleja 3 cuya estructura compleja es invariante. Las nilvariedades compactas son cocientes compactos de grupos de Lie nilpotentes por subgrupos discretos maximales y constituyen una amplia familia de variedades compactas que en muchos casos admiten estructuras geom´etricas adicionales (compleja, simpl´ectica, contacto,...) con propiedades interesantes y poco usuales. Es bien conocido que las nilvariedades (a excepci´on de los toros complejos) no cumplen el ∂¯ ∂-Lema [5], por tanto no pueden admitir m´etrica K¨ahler y las desigualdades (1) no pueden ser todas ellas igualdades. Para la determinaci´on de los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern de nilvariedades compactas 6-dimensionales con estructura compleja Jinvariante se usar´an principalmente la clasificaci´on de tales estructuras Jobtenida en [1, 7] y resultados que permiten determinar la cohomolog´ıa de Bott-Chern a nivel del ´algebra de Lie que subyace a la nilvariedad. A continuaci´on se resumen los resultados principales contenidos en cada cap´ıtulo del trabajo. En el primer cap´ıtulo recordamos la noci´on de variedad compleja e introducimos algunos invariantes complejos asociados definidos como grupos de cohomolog´ıa. En concreto, en primer lugar vemos las variedades complejas alternativamente como variedades casi complejas (M, J) para las cuales la estructura casi compleja Jtiene tensor de Nijenhuis id´enticamente nulo, y centramos despu´es nuestra atenci´on en la definici´on y propiedades fundamentales de los grupos de cohomolog´ıa de Dolbeault, Bott-Chern y Aeppli. En el Cap´ıtulo 2 consideramos una clase particular de variedades complejas compactas construidas como cocientes de grupos de Lie nilpotentes G. La estructura compleja Jque consideraremos sobre tales (nil)variedades est´a definida a nivel del ´algebra de Lie gde Gen el sentido que Jproviene de un endomorfismo J:g−→ gtal que J2=−Id y su Introducci´on 7 tensor de Nijenhuis es nulo. Diremos que una tal estructura compleja Jes invariante. Es bien conocido que el teorema de Nomizu [17] permite calcular la cohomolog´ıa de de Rham de una nilvariedad a partir de su ´algebra de Lie subyacente, lo que constituye una herramienta fundamental en el estudio de la topolog´ıa y la geometr´ıa de nilvariedades compactas. En la Secci´on 2.3 incluimos una demostraci´on detallada de la versi´on del teorema de Nomizu para la cohomolog´ıa de Bott-Chern de ciertas nilvariedades dotadas de estructura compleja invariante obtenido recientemente por Angella [2] y basado en un resultado similar para la cohomolog´ıa de Dolbeault dado por Rollenske en [18]. El Cap´ıtulo 3 recoge la parte principal de este trabajo. En [2] se calculan los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern de la (nil)variedad de Iwasawa y de sus peque˜nas deformaciones. Todas estas estructuras complejas son estructuras complejas invariantes sobre una nilvariedad correspondiente al ´algebra de Lie h5, por lo que es natural plantearse el estudio general de la cohomolog´ıa de Bott-Chern en nilvariedades compactas complejas de dimensi´on compleja 3 con estructura compleja invariante. Este es el objetivo del cap´ıtulo. Salamon clasific´o en [20] las nilvariedades 6-dimensionales que admiten estructura compleja invariante y prob´o que el ´algebra de Lie subyacente debe ser isomorfa a h1,...,h16,h− 19 oh+ 26. Posteriormente en [1] se da una clasificaci´on de estructuras complejas invariantes de tipo abeliano en dimensi´on 6 y recientemente en [7] se obtiene la clasificaci´on general de estructuras complejas invariantes en dimensi´on 6. Por un resultado de Rollenske [18] resulta que para todas estas nilvariedades complejas puede utilizarse el resultado de Angella descrito en el Cap´ıtulo 2 y determinar expl´ıtamente las cohomolog´ıas de Dolbeault y Bott-Chern, y por tanto la de Aeppli. La descripci´on general se realiza siguiendo las Tablas 1 y 2 de la Secci´on 2.2 que recogen la citada clasificaci´on de estructuras complejas, subdividiendo el estudio en tres familias que cubren toda la geometr´ıa compleja 3-dimensional. La Secci´on 3.4 recoge en forma de tablas la informaci´on sobre las dimensiones de los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern. En el ´ultimo cap´ıtulo del trabajo presentamos un par de aplicaciones como consecuencia del estudio realizado en el Cap´ıtulo 3. En primer lugar, motivados por la relaci´on (1), en la Secci´on 4.1 introducimos el invariante complejo α(M) dado por α(M) = 2n X k=0 "X p+q=k (dim Hp,q BC(M) + dim Hp,q A(M)) −2 dim Hk dR(M;C)#. Del resultado de [3] citado anteriormente se sigue que α(M) es una medida de lo que la variedad Mse aleja de cumplir el ∂¯ ∂-Lema. Para toda nilvariedad compacta compleja M que no sea un toro complejo se tiene que α(M)>0 ya que el ∂¯ ∂-Lema no se cumple. En la Secci´on 4.1 se calcula el invariante α(M) para toda nilvariedad compacta compleja 6-dimensional con estructura compleja invariante. Finalmente, la Secci´on 4.2 se dedica a 8 Introducci´on mostrar el comportamiento de los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern por deformaci´on de la estructura compleja. Cap´ıtulo 1 Variedades complejas y cohomolog´ıas asociadas En este primer cap´ıtulo recordamos la noci´on de variedad compleja e introducimos algunos invariantes complejos asociados definidos como grupos de cohomolog´ıa. En concreto, centramos nuestra atenci´on en las cohomolog´ıas de Dolbeault, Bott-Chern y Aeppli. 1.1. Estructuras casi complejas e integrabilidad El objetivo de esta secci´on es introducir el concepto de escructura casi compleja sobre una variedad diferenciable y estudiar condiciones equivalentes de integrabilidad en t´erminos del tensor de Nijenhuis y de formas bigraduadas. Para ello, empezamos recordando el concepto de variedad compleja. Definici´on 1.1.1. Sea Mun espacio topol´ogico Hausdorff y segundo numerable. Se dice que Mes una variedad compleja de dimensi´on compleja nsi verifica: (a) Para todo punto p∈M, existe un abierto Uy un homeomorfismo ϕ:U−→ Cn, de tal manera que p∈U⊂Myϕ(U)es un abierto de Cn. (b) Dados dos pares (U, ϕ)y(V, ψ)en las condiciones anteriores tales que U∩V6=∅, las aplicaciones: ψ◦ϕ−1:ϕ(U∩V)−→ ψ(U∩V), ϕ◦ψ−1:ψ(U∩V)−→ ϕ(U∩V), son holomorfas. 16 Variedades complejas y cohomolog´ıas asociadas Proposici´on 1.1.9. Dada Mvariedad compleja, se cumple que: ∂2=0=¯ ∂2y∂¯ ∂=−¯ ∂∂. La descomposici´on anterior permite definir varias cohomolog´ıas como vemos en las siguientes secciones. 1.2. Cohomolog´ıa de Dolbeault En esta secci´on recordamos los grupos de cohomolog´ıa de Dolbeault de una variedad compleja M, los cuales son invariantes complejos de M, y los grupos de cohomolog´ıa de de Rham, invariantes topol´ogicos de la variedad. Dada Muna variedad diferenciable de dimensi´on m, los grupos de cohomolog´ıa de de Rham surgen al considerar el complejo 0−→ Ω0(M)d −→ Ω1(M)d −→ ··· d −→ Ωm−1(M)d −→ Ωm(M)−→ 0. Puesto que d◦d= 0, el subespacio im {d: Ωp−1(M)−→ Ωp(M)}est´a contenido en ker {d: Ωp(M)−→ Ωp+1(M)}, lo que permite definir para cada p= 0, . . . , m el k-´esimo grupo de cohomolog´ıa de Rham de la siguiente manera: Hp dR(M) = ker {d: Ωp(M)−→ Ωp+1(M)} im {d: Ωp−1(M)−→ Ωp(M)}. Conviene notar que Hp dR(M) es un R-espacio vectorial y por tanto, un grupo con la suma de vectores. La suma directa H∗ dR(M) = H0 dR(M)⊕H1 dR(M)⊕···⊕Hm dR(M) es un ´algebra con el producto exterior ∧dado por [α]∧[β] = [α∧β], con [α],[β]∈H∗ dR(M). La importancia de los grupos y del ´algebra de de Rham se debe al Teorema de de Rham, y es que debido a este resultado se deduce que si Mes una variedad compacta, entonces la dimensi´on de H∗ dR(M) es finita (y con ella, la de los grupos de cohomolog´ıa de de Rham) y tambi´en que dos variedades homeomorfas MyNtienen ´algebras H∗ dR(M), H∗ dR(N) isomorfas (lo que convierte a estos grupos en invariantes topol´ogicos). Cohomolog´ıa de Dolbeault 17 Definici´on 1.2.1. Se llama k-´esimo n´umero de Betti de la variedad Ma la dimensi´on de su k-´esimo grupo de cohomolog´ıa de de Rham: bk(M) = dimHk dR(M), k = 1, . . . , m. Los n´umeros de Betti permiten definir la llamada caracter´ıstica de Euler-Poincar´e χ(M) de la variedad Mcomo: χ(M) = m X i=0 (−1)ibi(M). Es m´as, los n´umeros de Betti de un tipo concreto de variedades diferenciables cumplen una serie de relaciones dadas en el Teorema de Dualidad de Poincar´e: Teorema 1.2.2. Sea Muna variedad diferenciable, compacta y orientable de dimen- si´on m. Entonces, para cada i= 0, . . . , m, se cumple que: bi(M) = bm−i(M). Ya que en el caso de variedades complejas existe la descomposici´on (1.1) de la diferencial exterior, parece natural definir nuevas cohomolog´ıas usando los operadores ∂y¯ ∂. A partir de esta idea surge la cohomolog´ıa de Dolbeault. Sea Muna variedad compleja de dimensi´on compleja n. Para cada p= 0,1, . . . , n, se tiene la secuencia: 0−→ Ωp,0(M)¯ ∂ −→ Ωp,1(M)¯ ∂ −→ ··· ¯ ∂ −→ Ωp,n−1(M)¯ ∂ −→ Ωp,n(M)−→ 0. Llamaremos cohomolog´ıa de Dolbeault a aquella cuyos grupos de cohomolog´ıa vienen dados por: Hp,q ¯ ∂(M) = ker ¯ ∂: Ωp,q(M)−→ Ωp,q+1(M) im ¯ ∂: Ωp,q−1(M)−→ Ωp,q(M). Observar que est´a bien definida puesto que ¯ ∂2= 0 por la Proposici´on 1.1.9. En el caso de que Msea una variedad compacta, las dimensiones de los grupos de cohomolog´ıa de Dolbeault son finitas, lo que motiva la aparici´on del siguiente concepto: Definici´on 1.2.3. Se llaman n´umeros de Hodge de una variedad compleja compacta M a las dimensiones de los grupos de cohomolog´ıa de Dolbeault de dicha variedad, bp,q(M) = dimHp,q ¯ ∂(M). 18 Variedades complejas y cohomolog´ıas asociadas Una pregunta que se puede plantear en esta etapa es por qu´e no definir una cohomolog´ıa an´aloga a la anterior utilizando ∂en lugar de ¯ ∂. La respuesta es muy sencilla, y es que tal cohomolog´ıa ser´ıa isomorfa a la de Dolbeault ya que bastar´ıa conjugar para pasar de la una a la otra. Al igual que ocurr´ıa con los n´umeros de Betti, existen una serie de relaciones entre los n´umeros de Hodge (Teorema de Poincar´e-Serre) e incluso una expresi´on para la caracter´ıstica de Euler-Poincar´e basada en estos n´umeros, para el caso de Mvariedad compleja compacta. Teorema 1.2.4. Sea Muna variedad compleja compacta de dimensi´on compleja n. Entonces se verifican las siguientes propiedades: (a) bi(M) = b2n−i(M), para i= 0,...,2n. (b) bp,q(M) = bn−p,n−q(M), para p, q = 0, . . . , n. Teorema 1.2.5. Sea Muna variedad compleja compacta de dimensi´on compleja n. Entonces la caracter´ıstica de Euler-Poincar´e de la variedad puede calcularse a partir de los n´umeros de Hodge usando la siguiente f´ormula: χ(M) = n X p,q=0 (−1)p+qbp,q(M). Adem´as, para Muna variedad compleja compacta, se tiene el siguiente resultado que relaciona los n´umeros de Betti y los de Hodge: Teorema 1.2.6. Sea Muna variedad compleja compacta de dimensi´on n. Entonces se cumple la siguiente desigualdad: bi(M)≤X p+q=i bp,q(M). Para finalizar esta secci´on, conviene resaltar el hecho de que cuando la variedad M es K¨ahler (es decir, simpl´ectica y con una m´etrica compatible definida positiva) las cohomolog´ıas de de Rham y Dolbeault “coinciden” debido al Teorema de descomposici´on de Hodge. En concreto, en t´erminos de los n´umeros de Hodge y de Betti de M, se tiene bp,q(M) = bq,p(M) y las desigualdades del Teorema 1.2.6 son todas igualdades. En particular, b1=b1,0+b0,1= 2b1,0es par, y m´as generalmente, todos los bkcon kimpar lo son. Cohomolog´ıas de Aeppli y de Bott-Chern 19 1.3. Cohomolog´ıas de Aeppli y de Bott-Chern Esta secci´on est´a dedicada a los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern y de Aeppli de una variedad compleja, as´ı como a las propiedades y relaciones principales existentes entre ellos. Sea Muna variedad compleja de dimensi´on compleja n. Definimos la cohomolog´ıa de Bott-Chern de Mcomo aquella dada por Hp,q BC(M) = ker {d: Ωp,q(M)−→ Ωp+q+1(M)} im ∂¯ ∂: Ωp−1,q−1(M)−→ Ωp,q(M), y la cohomolog´ıa de Aeppli por Hp,q A(M) = ker ∂¯ ∂: Ωp,q(M)−→ Ωp+1,q+1(M) im {∂: Ωp−1,q(M)−→ Ωp,q(M)}+ im ¯ ∂: Ωp,q−1(M)−→ Ωp,q(M), para cualquier par (p, q). Ambos grupos de cohomolog´ıa son C-espacios vectoriales. Como muestra la siguiente proposici´on, existen unas ciertas relaciones entre estos grupos de cohomolog´ıa que pueden facilitar el c´alculo de las mismas. Proposici´on 1.3.1. Sea Muna variedad compleja compacta de dimensi´on compleja n. Para cada p, q ∈Nse verifica: Hp,q BC(M)∼ =Hq,p BC(M), Hp,q BC(M)∼ =Hn−q,n−p A(M). Luego se puede concluir que la cohomolog´ıa de Aeppli es isomorfa a la cohomolog´ıa de Bott-Chern. Por tanto, basta centrar nuestra atenci´on en esta ´ultima, como sugiere hacer el nombre de este trabajo. Si Mes una variedad compleja compacta, resulta que Hp,q BC(M) es un espacio de dimensi´on finita [21], y esto permite definir los n´umeros de Bott-Chern: hp,q BC(M) = dimHp,q BC(M). Un aspecto importante en el estudio de los invariantes anteriores es su comportamiento por deformaci´on compleja. Como se˜nala Rollenske en [19], una deformaci´on de una variedad compleja (M, J) puede verse como una familia de estructuras complejas (Jt)t∈B sobre Mparametrizadas a trav´es de un espacio complejo anal´ıtico Bde manera que J=J0en 20 Variedades complejas y cohomolog´ıas asociadas un cierto punto 0 ∈ B. Observar que la variedad Mde partida no cambia. S´olo vamos variando su estructura compleja de una manera “suave”. Resulta que para todo p, q ∈N, tanto los n´umeros de Hodge bp,q(M, Jt) como los n´umeros de Bott-Chern hp,q BC(M, Jt) son funciones semi-continuas superiores en t. Es decir, cuando nos centramos en un elemento Jt0y consideramos un subconjunto de Bque contenga a t0lo suficientemente peque˜no, al recorrer las diferentes estructuras complejas Jtdentro de este subconjunto, las dimensiones de los grupos de cohomolog´ıa de Dolbeault y Bott-Chern nunca pueden aumentar: bp,q(M, Jt)≤bp,q(M, Jt0),(1.2) hp,q BC(M, Jt)≤hp,q BC(M, Jt0),(1.3) para cualquier tsuficientemente pr´oximo a t0. La relaci´on (1.2) fue obtenida por Kodaira, mientras que (1.3) puede encontrarse en [21]. Para finalizar este cap´ıtulo debemos se˜nalar que al igual que la cohomolog´ıa de Bott- Chern est´a relacionada con la cohomolog´ıa de Aeppli, existen relaciones entre la cohomolog´ıa de Bott-Chern y las que aparecen en la Secci´on 1.2. De hecho, dados k∈Ny p, q ∈Nse definen de manera natural las siguientes aplicaciones: Hp,q BC(M)−→ Hp,q ¯ ∂(M), M r+s=k Hr,s BC(M)−→ Hk dR(M;C). En general no son inyectivas ni suprayectivas, aunque si Mes una variedad compacta verificando el ∂¯ ∂-Lema (ver Cap´ıtulo 4) entonces ambas son isomorfismos. En particular, esto se cumple para toda variedad K¨ahler. Cap´ıtulo 2 Nilvariedades complejas En este cap´ıtulo consideramos una clase especial de variedades complejas compactas construidas a partir de grupos de Lie nilpotentes. Tales variedades, conocidas como nilvariedades, han sido estudiadas por muchos autores y desde diferentes puntos de vista, ya que han permitido construir numerosos ejemplos interesantes de variedades con estructura geom´etrica adicional cumpliendo propiedades poco usuales. El teorema de Nomizu, que permite calcular la cohomolog´ıa de de Rham de una nilvariedad a partir de su ´algebra de Lie subyacente, es una de las principales herramientas en tales construcciones. En la Secci´on 2.3 de este tema incluimos una demostraci´on detallada de la versi´on del teorema de Nomizu para la cohomolog´ıa de Bott-Chern de ciertas nilvariedades dotadas de estructura compleja invariante obtenido recientemente por Angella en [2]. 2.1. Estructuras complejas invariantes sobre nilvariedades En esta primera secci´on se presenta el concepto de nilvariedad, as´ı como ciertos resultados relativos a estructuras complejas invariantes, prestando especial atenci´on al caso de dimensi´on real 6. Antes de entrar con estructuras complejas, vamos a recordar el concepto de grupo de Lie y a ver la definici´on de nilvariedad, as´ı como algunas de sus propiedades b´asicas. Un grupo de Lie de dimensi´on m es una variedad diferenciable de dimensi´on mque posee estructura de grupo algebraico de tal manera que la aplicaci´on producto, G×G−→ G , dada por (g, h)7−→ g·h, 22 Nilvariedades complejas y la aplicaci´on inversa, G−→ G, dada por g7−→ g−1, son diferenciables. El ´algebra de Lie gasociada de manera natural a un grupo de Lie Ges el conjunto de campos de vectores diferenciables sobre Gque son invariantes a izquierda: g={X∈X(G)|(Lg)∗(X) = X, ∀g∈G}. Es bien conocido que existe un isomorfismo can´onico entre el ´algebra de Lie gde cualquier grupo de Lie Gy el espacio tangente en el elemento neutro ede G:g∼ =TeG. Este hecho permite asegurar que ges un espacio de dimensi´on finita, a diferencia de X(G), que no tiene porqu´e serlo. Adem´as, se puede probar que g∗∼ =Ω1(TeG) e identificar el espacio de las 1-formas invariantes a izquierda con el espacio dual g∗. Esta dualidad unida a la f´ormula: dα(X, Y ) = Xα(Y)−Y α(X)−α([X, Y ]), donde α∈Ω1(G), X, Y ∈X(G), permite describir gindistintamente en t´erminos del corchete de Lie o en t´erminos de la diferencial exterior de formas. En efecto, cuando α∈g∗yX, Y ∈g, se tiene que α(X) y α(Y) son funciones constantes, luego Xα(Y) = 0 = Y α(X), y la f´ormula queda reducida a: dα(X, Y ) = −α([X, Y ]),∀α∈g∗,∀X, Y ∈g.(2.1) Dada una base {ω1, . . . , ωm}de g∗, es posible escribir para cada k= 1, . . . , m: dωk=X 1≤i<j≤m ck ijωi∧ωj.(2.2) Estas son las llamadas ecuaciones de estructura of´ormulas de Maurer-Cartan del grupo de Lie G, y ck ij son las constantes de estructura de Grespecto de la base de g∗dada. Definici´on 2.1.1. Un grupo de Lie Gse dice nilpotente si su ´algebra de Lie glo es. Es decir, si la serie central descendente de g, g=g0⊃g1=g0,g⊃ ··· ⊃ gk=gk−1,g⊃ ··· , cumple gk= 0 para alg´un k. Llamaremos paso de nilpotencia sal menor n´umero natural kque cumple lo anterior. Estructuras complejas invariantes sobre nilvariedades 23 Observar que si el paso de nilpotencia es 1, entonces el ´algebra de Lie ges abeliana. Equivalentemente, podemos definir la nilpotencia de un ´algebra de Lie gusando la serie central ascendente, g0⊂g1⊂ ··· ⊂ gl⊂ ··· ,(2.3) donde g0= 0, y gl={X∈g|[X, g]⊂gl−1}para l≥1. En particular, g1es el centro de g. En este caso, el ´algebra de Lie es nilpotente si existe un ltal que gl=g. Resulta que el m´ınimo de tales l0sexiste si y s´olo si la serie central descendente tiene paso de nilpotencia s, y adem´as s=l. Llamaremos subgrupo discreto de un grupo de Lie Ga un subconjunto que es a la vez subgrupo algebraico y subespacio discreto de G. Por poseer la topolog´ıa discreta como subespacio, este conjunto ser´a cerrado y numerable. Definici´on 2.1.2. Una nilvariedad es un cociente compacto N= Γ\G, donde Ges un grupo de Lie nilpotente, conexo y simplemente conexo, y Γun subgrupo discreto de Gde rango m´aximo. La dimensi´on de Nes la dimensi´on de Gcomo variedad diferenciable. Dado un grupo de Lie G, podemos plantearnos cu´ando es posible asegurar la existencia de un subgrupo discreto Γ tal que el cociente Γ\Ges compacto. En el caso de grupos de Lie nilpotentes, existe un teorema debido a Mal’cev [14] que resuelve el problema: Teorema 2.1.3. Un grupo de Lie nilpotente, conexo y simplemente conexo tiene cocientes compactos de la forma Γ\Gsi y s´olo si existe una base de g∗tal que las constantes de estructura de Grespecto de la misma son n´umeros racionales. Seg´un se ha visto, el grupo de Lie Glleva asociado de manera natural un ´algebra de Lie gcumpliendo muy buenas propiedades. La cuesti´on que ahora nos asalta es si ´estas se conservan al tomar nilvariedades. Resulta que dada una base {X1, . . . , Xm}de campos de vectores invariantes a izquierda sobre G, es decir, una base de g, se obtiene una base de campos global para N= Γ\Gsin m´as que tomar {π∗(X1), . . . , π∗(Xm)}, siendo πla proyecci´on natural de Gsobre Γ\G. An´alogamente, dada una base {ω1, . . . , ωm}de 1-formas invariantes a izquierda sobre G, esto es, una base de g∗, existe una base de 1-formas {eω1,...,eωm}sobre N= Γ\Gtal que π∗(ωk) = eωk, para cada k= 1, . . . , m. De hecho, se puede probar que las ecuaciones de estructura de la variedad Ncon respecto a la base anterior son las mismas que las que se ten´ıan para G. Por tanto, podemos denotar por ωka las 1-formas eωky considerar las ecuaciones (2.2) tanto para G como para Γ\G. 24 Nilvariedades complejas Es m´as, el Teorema de Ado [24] nos permite estudiar ciertos aspectos de las nilvariedades sin necesidad de conocerlas expl´ıcitamente, usando las ecuaciones de estructura del ´algebra de Lie subyacente g. No perdamos de vista que el objetivo de esta secci´on es el estudio de estructuras complejas invariantes sobre nilvariedades. Ya que las nilvariedades son cocientes entre un grupo de Lie Gy un subgrupo discreto Γ, parece sensato pensar que podremos hallarlas a partir de las Gde alguna manera. Definici´on 2.1.4. Sea Gun grupo de Lie de dimensi´on 2n. Se dice que una estructura casi compleja Jdefinida sobre Ges invariante a izquierda si JX ∈gpara cada X∈g. Si {X1, . . . , X2n}es una base de g, se puede ver que cualquier estructura casi compleja Jinvariante a izquierda sobre Gtiene coeficientes constantes respecto de esa base. Es m´as, toda estructura compleja Jsobre ginduce una estructura compleja sobre G invariante a izquierda. Proposici´on 2.1.5. Sea N= Γ\Guna nilvariedad. Toda estructura casi compleja J invariante a izquierda sobre Gdesciende a una estructura casi compleja e Jsobre Ncon coeficientes constantes. Adem´as, e Jes integrable si y s´olo si Jlo es. Llegamos as´ı a la conclusi´on de que las estructuras complejas sobre ggeneran estructuras complejas e Jsobre la nilvariedad. Definici´on 2.1.6. Una estructura compleja invariante sobre una nilvariedad N= Γ\Ges una estructura compleja que proviene de una estructura compleja Jinvariante a izquierda sobre G. En particular, si Ges un grupo de Lie complejo, diremos que Nes una variedad compleja paralelizable en el sentido de que posee una base global de campos de vectores holomorfos. Observar que la existencia de una estructura compleja invariante a izquierda sobre Ghace que Gposea estructura de variedad compleja, aunque no sea un grupo de Lie complejo. Como consecuencia de todo lo anterior, resulta que basta hallar las estructuras complejas sobre gpara encontrar las nilvariedades complejas Γ\Gcon estructura compleja invariante. En particular, necesitamos dar condiciones sobre las estructuras casi complejas invariantes a izquierda sobre G, es decir, sobre las definidas en g, que permitan averiguar si ´estas son o no complejas. Estructuras complejas invariantes sobre nilvariedades 25 Denotemos por gCla complexificaci´on de gy por g∗ Cal espacio dual del anterior, que se identifica con (g∗)C. Dada una estructura casi compleja Jinvariante a izquierda sobre G, podemos seguir los mismos pasos que en la Secci´on 1.1 y bigraduar el espacio de las formas definidas sobre g:V∗g∗ C=Lp,q Vp,q(g∗), donde V1,0(g∗) y V0,1(g∗) son los subespacios de valores propios 1 y −1 para J, respectivamente. Llamemos gp,q =Vp,q(g∗). Sea d:V∗g∗ C→V∗+1 g∗ Cla extensi´on natural de la diferencial de Chevalley-Eilenberg (2.1) al complexificado de las formas. En general se tiene: d(gp,q)⊂gp+2,q−1⊕gp+1,q ⊕gp,q+1 ⊕gp−1,q+2, que en el caso particular de las (1,0)-formas sobre gqueda: d(g1,0)⊂g2,0⊕g1,1⊕g0,2. Jes integrable si y s´olo si d(g1,0) no tiene parte en g0,2, lo que permite la bigraduaci´on de la diferencial en tal caso. Adem´as, esta condici´on origina ciertos casos particulares que dan lugar a importantes ejemplos de estructuras complejas: ◦Si d(g1,0)⊂g2,0, o equivalentemente [JX, Y ] = J[X, Y ] para todo X, Y ∈g, resulta que ges un ´algebra de Lie compleja y la estructura Jes compleja paralelizable. ◦Si d(g1,0)⊂g1,1, o equivalentemente [JX, JY ] = [X, Y ] para todo X, Y ∈g, entonces g1,0es un ´algebra de Lie compleja Abeliana. En tal caso, Jse dir´a estructura compleja Abeliana. Observar que la integrabilidad, como prueba Salamon en [20], conlleva la siguiente simplificaci´on de las ecuaciones de estructura: Teorema 2.1.7. Sea Juna estructura casi compleja sobre un ´algebra de Lie nilpotente g de dimensi´on 2n. Se tiene que Jes integrable si y s´olo si existe una base {ωj}n j=1 de g1,0 tal que dω1= 0, dωj∈ I(ω1, . . . , ωj−1)para j= 2, . . . , n, donde I(ω1, . . . , ωj−1)es el ideal de V∗g∗ Cgenerado por {ω1, . . . , ωj−1}. Como consecuencia, cualquier m´ultiplo de la (n, 0)-forma ω1∧···∧ωnes cerrada. 32 Nilvariedades complejas h14 — dω2=ω1¯ 1, dω3=ω12 +B ω1¯ 2+c ω2¯ 1, c6=|B−1|,(c, |B|)6= (0,1), c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2= 0 dω2=ω1¯ 1, dω3=ω2¯ 1dω2=ω1¯ 1, dω3=ω12 +B ω1¯ 2+c ω2¯ 1, h15 dω2=ω1¯ 1, dω3=ω1¯ 2+c ω2¯ 1, c 6=|B−1|,(c, |B|)6= (0,1), c6= 1 c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2>0 h16 —dω2=ω1¯ 1, dω3=ω12 +B ω1¯ 2, |B|= 1, B 6= 1 donde dω1= 0; λ, c ≥0; B, D ∈C. Tabla 2: Clasificaci´on de estructuras complejas no nilpotentes gEstructuras complejas h− 19 dω1= 0, dω2=ω13 +ω1¯ 3, dω3=±i(ω1¯ 2−ω2¯ 1) h+ 26 dω1= 0, dω2=ω13 +ω1¯ 3, dω3=i ω1¯ 1±i(ω1¯ 2−ω2¯ 1) 2.3. Cohomolog´ıa de Bott-Chern de nilvariedades complejas Dedicamos esta secci´on al reciente resultado de Angella [2] que permite calcular la cohomolog´ıa de Bott-Chern de nilvariedades con estructura compleja invariante a partir del ´algebra de Lie. La idea del mismo se basa en resultados similares para las cohomolog´ıas de de Rham y de Dolbeault que tambi´en enunciamos a continuaci´on. En primer lugar, observar que escribiremos: Hp,q BC(gC) = ker{d:Vp,q(g∗ C)−→ Vp+q+1(g∗ C)} im {∂¯ ∂:Vp−1,q−1(g∗ C)−→ Vp,q(g∗ C)}, y an´alogamente para las cohomolog´ıas de Dolbeault y de de Rham, distinguiendo cuando sea necesario en este ´ultimo caso si se trata de la cohomolog´ıa de de Rham sobre Ro sobre C. Cohomolog´ıa de Bott-Chern de nilvariedades complejas 33 El Teorema de Nomizu [17] dice lo siguiente: Teorema 2.3.1. Sea Gun grupo de Lie de dimensi´on m,gsu ´algebra de Lie asociada y N= Γ\Guna nilvariedad. Entonces, Hk dR(N)∼ =Hk dR(g), k = 1, . . . , m. En [13], Hattori logr´o una generalizaci´on de este resultado para variedades completamente resolubles, aunque el caso que nos ocupa queda cubierto por el teorema anterior. Al dotar a la nilvariedad de una estructura compleja invariante, es posible enunciar un resultado similiar para la cohomolog´ıa de Dolbeault, aunque para ello la nilvariedad debe cumplir “algo m´as”. Definici´on 2.3.2. Sea N= Γ\Guna nilvariedad compleja con estructura compleja J invariante y gsu ´algebra de Lie subyacente. Se dice que Jes racional si Jes compatible con la estructura racional de G, es decir, J(gQ)⊂gQ. Teorema 2.3.3. [18] Sea N= Γ\Guna nilvariedad compleja con estructura compleja J invariante y gel ´algebra de Lie de G. Si Jes racional, abeliana o bien Jes biinvariante con Gun grupo de Lie complejo y Ncompleja paralelizable, se tiene que: Hp,q ¯ ∂(N)∼ =Hp,q ¯ ∂(gC), p, q ∈N. M´as a´un, Rollenske prueba en [18] que en dimensi´on 6 el resultado es cierto para toda Jdefinida sobre cualquier gno isomorfa a h7. Cabe observar que los isomorfismos de los teoremas anteriores estan inducidos por la inclusi´on natural i. Pasemos ya a ver el resultado obtenido por Angella a partir de los dos teoremas anteriores. Aunque en [2] aparece enunciado para un tipo m´as general de variedades (las variedades resolubles) aqu´ı nos centramos en el caso nilpotente. Comenzamos recordando el llamado “proceso de simetrizaci´on”, introducido por Belgun [4] y desarrollado en [11], que permite reducir algunos resultados sobre la nilvariedad a resultados a nivel del ´algebra de Lie. Puesto que toda nilvariedad N= Γ\Ges paralelizable, es posible tomar un elemento de volumen ν=dτ sobre Ninducido por uno invariante a izquierda y a derecha en G (ver [15]). Reescalando, podemos suponer que Ntiene volumen igual a 1. Dado cualquier campo de k-tensores covariantes T:X(N)× ··· × X(N)→ C∞(N) sobre la nilvariedad N, se define un k-tensor covariante sobre el ´algebra de Lie nilpotente 34 Nilvariedades complejas g,Tν:g×···×g→R, de la siguiente manera: Tν(X1, . . . , Xk) = Zp∈N Tp(X1|p, . . . , Xk|p)ν, para X1, . . . , Xk∈g, donde Xj|pdenota la proyecci´on del campo invariante a izquierda Xjde Gsobre N evaluada en el punto p∈N. Notar que si Tes un campo de tensores invariante, entonces Tν=T. Adem´as, se puede probar que si T=αes una k-forma sobre N, entonces (dα)ν=dαν y (αν∧β)ν=αν∧βν, donde βes cualquier r-forma. Por tanto, el proceso de simetrizaci´on define una aplicaci´on lineal eνdel espacio de las (p+q)-formas en Nen el espacio de las (p+q)-formas en g, dada por eν(α) = ανy que conmuta con la diferencial. Es m´as, el Teorema de Nomizu permite afirmar que eνinduce un isomorfismo Hp+q dR (eν) : Hp+q dR (N;R)→Hp+q dR (g;R) entre los grupos de cohomolog´ıa de de Rham de orden p+q. En particular, toda (p+q)-forma cerrada αen Nes cohom´ologa a la (p+q)-forma invariante ανobtenida en el proceso de simetrizaci´on. Si adem´as tenemos una estructura compleja Jinvariante sobre N, este proceso de simetrizaci´on se puede extender a las formas complejas y es f´acil ver que si αes una forma de tipo (p, q), entonces ανtambi´en lo es. Ahora, considerando la descomposici´on de la diferencial dα =∂α +¯ ∂α, donde ∂α es de tipo (p+ 1, q) y ¯ ∂α de tipo (p, q + 1), se llega a que ∂αν+¯ ∂αν=dαν= (dα)ν= (∂α)ν+ (¯ ∂α)ν, lo cual implica (∂α)ν=∂αν,(¯ ∂α)ν=¯ ∂αν. Antes de pasar a enunciar el teorema de Angella es necesario ver el siguiente lema previo, cuya demostraci´on en [2] se basa en la teor´ıa de Hodge para la cohomolog´ıa de Bott-Chern pero que nosotros hemos logrado demostrar bas´andonos en el proceso de simetrizaci´on. Lema 2.3.4. Sea N= Γ\Guna nilvariedad con estructura compleja invariante J. Sea g el ´algebra de Lie asociada de manera natural a G. La aplicaci´on entre complejos Vp−1,q−1g∗ C ∂¯ ∂// ∼ =  Vp,q g∗ C d// ∼ =  Vp+q+1 g∗ C ∼ =  Ωp−1,q−1 inv N∂¯ ∂// _ i  Ωp,q invNd// _ i  Ωp+q+1 inv N _ i  Ωp−1,q−1N∂¯ ∂//Ωp,qNd//Ωp+q+1N Cohomolog´ıa de Bott-Chern de nilvariedades complejas 35 induce un monomorfismo en cohomolog´ıa: i:Hp,q BC(gC),−→ Hp,q BC(N). Demostraci´on. Sea [˜α]∈Hp,q BC(gC) tal que [˜α] = 0 en Hp,q BC(N). Entonces sabemos que existe β∈Ωp−1,q−1(N) tal que ˜α=∂¯ ∂β. Por ser ˜αinvariante, resulta que ˜α= ˜αν= (∂¯ ∂β)ν=∂¯ ∂βν, con βν∈Vp−1,q−1(gC), y podemos concluir que [˜α] = 0 en Hp,q BC(gC). Teorema 2.3.5. Sea N= Γ\Guna nilvariedad con estructura compleja invariante J. Sea gel ´algebra de Lie asociada de manera natural a Gy supongamos que para todo p, q ∈N se verifica: i:Hp,q ¯ ∂(gC)∼ = ,−→ Hp,q ¯ ∂(N). Entonces, tambi´en se tiene que: i:Hp,q BC(gC)∼ = ,−→ Hp,q BC(N). Demostraci´on. Haremos esta demostraci´on en detalle, siguiendo los mismos pasos que aparecen en [2]. Para ello, se toman p, q ∈N. Paso 1 Empezamos observando la existencia de la siguiente secuencia exacta: 0i1 −→ imd∩Ωp,q(N) im∂¯ ∂ i2 −→ Hp,q BC(N)i3 −→ Hp+q dR (N;C). Tal secuencia induce una nueva secuencia exacta entre esos mismos espacios pero a nivel del ´algebra de Lie g, que estar´a relacionada con la primera a trav´es del siguiente diagrama: 0i1//imd∩Ωp,q(N) im∂¯ ∂ i2//Hp,q BC(N)i3//Hp+q dR (N;C) 0˜ i1// ?  ∼ = OO imd∩Vp,q(g∗) im∂¯ ∂ ˜ i2// ?  j1 OO Hp,q BC(gC)˜ i3// ?  j2 OO Hp+q dR (g;C) ?  ∼ = OO Conviene notar que todas las aplicaciones anteriores son inclusiones naturales. 36 Nilvariedades complejas Por el lema previo, se sabe que j2es un monomorfismo, luego basta ver su suprayectividad para que quede probado lo que buscamos. Por ser i3una aplicaci´on lineal y las secuencias anteriores exactas tenemos: Hp,q BC(N) = ker i3⊕im i3= im i2⊕im i3=imd∩Ωp,q(N) im∂¯ ∂⊕im i3. Si conseguimos ver que j1es suprayectiva y que imi3∼ =im˜ i3, habremos concluido. En primer lugar, nos centramos en probar imi3∼ =im˜ i3. Notar que dada una (p+q)-forma compleja αen Ntal que dα = 0, se tiene que dαν= (dα)ν= 0, por lo que ανes una (p+q)-forma compleja cerrada en g. Como j2(Hp,q BC(gC)) ⊂im i3, este hecho nos lleva a que im˜ i3∼ =imi3. Paso 2 En esta etapa, se prueba el siguiente resultado auxiliar: En las condiciones del enunciado, si ψes una forma invariante a izquierda tal que ¯ ∂ψ = 0, entonces toda soluci´on φde la ecuaci´on ¯ ∂φ =ψes suma de una forma invariante a izquierda y t´erminos ¯ ∂-exactos. Sea φuna soluci´on cualquiera de ¯ ∂φ =ψ. Observemos que en ese caso ψes una forma ¯ ∂-exacta y por ser ¯ ∂ψ = 0, ψtambi´en es ¯ ∂-cerrada, luego [ψ] = 0 ∈Hp,q ¯ ∂(N)∼ =Hp,q ¯ ∂(gC). Debe pues existir una (p, q −1)-forma αen gCtal que ψ=¯ ∂α. Pero entonces ¯ ∂φ =ψ=¯ ∂α, lo que implica que ¯ ∂(φ−α) = 0, y φ−αdefine una clase en Hp,q ¯ ∂(N). Es decir, [φ−α] = [ω]∈Hp,q ¯ ∂(N) y queda φ−α=ω+¯ ∂β, donde ωprocede de una forma invariante a izquierda. As´ı: φ=α+ω |{z} invariantes +¯ ∂β |{z} ¯ ∂−exacta . Paso 3 Para terminar, comprobamos que imd∩Ωp,q(N) im∂¯ ∂se puede hallar usando formas invariantes a izquierda. Sea [ωp,q]∈imd∩Ωp,q(N) im∂¯ ∂. Entonces ωp,q =dη m´od im∂¯ ∂, con η∈Ωp+q−1(N). Descomponiendo ηcomo η=P r+s=p+q−1 ηr,s, se obtiene la siguiente expresi´on: ωp,q =dη =∂η +¯ ∂η =X r+s=p+q−1 ∂ηr,s +X r+s=p+q−1 ¯ ∂ηr,s m´od ∂¯ ∂. Cohomolog´ıa de Bott-Chern de nilvariedades complejas 37 Expandiendo los sumatorios y teniendo en cuenta c´omo act´uan ∂y¯ ∂se ve que la igualdad s´olo se puede dar cuando se verifican las siguientes ecuaciones:            ∂ηp+q−1,0= 0 m´od im∂¯ ∂, ¯ ∂ηp+q−l,l−1+∂ηp+q−l−1,l = 0 m´od im∂¯ ∂, l = 1, . . . , q −1, ¯ ∂ηp,q−1+∂ηp−1,q =ωp,q m´od im∂¯ ∂, ¯ ∂ηl,p+q−l−1+∂ηl−1,p+q−l= 0 m´od im∂¯ ∂, l = 1, . . . , p −1, ¯ ∂η0,p+q−1= 0 m´od im∂¯ ∂. Centr´emonos en la ´ultima de ellas. Observar que: ¯ ∂η0,p+q−1= 0 m´od im∂¯ ∂⇔¯ ∂η0,p+q−1= 0 + ∂¯ ∂α, para cualquier α∈Ωp+q−2(N), luego: ¯ ∂η0,p+q−1=−¯ ∂∂α ⇔¯ ∂(η0,p+q−1+∂α)=0. Como 0 es una forma invariante a izquierda, se puede aplicar el Paso 2 y queda: η0,p+q−1+∂α =β+¯ ∂γ ⇔η0,p+q−1=β+¯ ∂γ −∂α, siendo βuna forma invariante a izquierda. Pero seg´un el sistema dado, tambi´en se debe cumplir: ¯ ∂η1,p+q−2+∂η0,p+q−1= 0 m´od im∂¯ ∂⇔¯ ∂η1,p+q−2=−∂η0,p+q−1+∂¯ ∂α2, con α2∈Ω0,p+q−2cualquiera. Sustituyendo η0,p+q−1por la expresi´on que hemos hallado tenemos: ¯ ∂η1,p+q−2=−∂β −∂¯ ∂γ +∂¯ ∂α2=−∂β +∂¯ ∂(α2−γ |{z} σ2 ), con lo cual queda la ecuaci´on: ¯ ∂(η1,p+q−2+∂σ2) = −∂β, donde −∂β es invariante a izquierda por serlo β. De esta manera, se puede volver a aplicar el Paso 2 y se obtiene: η1,p+q−2+∂σ2=β2+¯ ∂γ2⇔η1,p+q−2=β2+¯ ∂γ2−∂σ2. En general, para ¯ ∂ηl,p+q−l−1+∂ηl−1,p+q−l= 0 m´od im∂¯ ∂, l = 2, . . . , p −1, 38 Nilvariedades complejas es posible reiterar el proceso, llegando a la siguiente expresi´on: ηp−1,q =βp+¯ ∂γp−∂σp,con βpinvariante a izquierda.(2.6) Ahora, usando la versi´on conjugada del Paso 2 procedemos de modo an´alogo. A partir de la primera ecuaci´on del sistema se tiene: ∂ηp+q−1,0= 0 m´od im∂¯ ∂⇔∂ηp+q−1,0= 0 + ∂¯ ∂α ⇔∂(ηp+q−1,0−¯ ∂α)=0, con α∈Ωp+q−2cualquiera. Aplicando el Paso 2 conjugado resulta que: ηp+q−1,0−¯ ∂α =e β+∂eγ⇔ηp+q−1,0=e β+∂eγ+¯ ∂α, con e βuna forma invariante a izquierda. Consideramos ahora: ¯ ∂ηp+q−1,0+∂ηp+q−2,1= 0 m´od im∂¯ ∂. Entonces: ∂ηp+q−2,1=−¯ ∂e β+∂eγ+¯ ∂α+∂¯ ∂α2=−¯ ∂e β−¯ ∂∂eγ+∂¯ ∂α2 =−¯ ∂e β+∂¯ ∂eγ+¯ ∂α2=−¯ ∂e β+∂¯ ∂(eγ+α2) |{z } eσ2 , consiguiendo: ∂ηp+q−2,1−¯ ∂eσ2=−¯ ∂e β. Por ser e βinvariante a izquierda, −¯ ∂e βtambi´en lo es y aplicando el Paso 2: ηp+q−2,1−¯ ∂eσ2=e β2+∂eγ2⇔ηp+q−2,1=e β2+∂eγ2+¯ ∂eσ2, con e β2invariante a izquierda. Reiterando el proceso, se obtiene la siguiente expresi´on: ηp,q−1=e βq+∂eγq+¯ ∂eσq,con e βqinvariante a izquierda.(2.7) Nos centramos ahora en la ´unica equaci´on que queda: ¯ ∂ηp,q−1+∂ηp−1,q =ωp,q m´od im∂¯ ∂⇔¯ ∂ηp,q−1+∂ηp−1,q =ωp,q +∂¯ ∂α, con α∈Ωp+q−2cualquiera. Teniendo en cuenta (2.6) y (2.7) llegamos a que: ¯ ∂e βq+∂eγq+¯ ∂eσq+∂βp+¯ ∂γp−∂σp=ωp,q +∂¯ ∂α, Cohomolog´ıa de Bott-Chern de nilvariedades complejas 39 lo que operando conduce a: ¯ ∂e βq+∂βp=ωp,q +∂¯ ∂(α−γp+eγq). Es decir, ¯ ∂e βq+∂βp=ωp,q m´od im∂¯ ∂, con e βq, βpinvariantes a izquierda. Por tanto, [ωp,q] = h¯ ∂e βq+∂βpi∈imd∩Ωp,q(N) im∂¯ ∂se puede calcular a partir de formas invariantes a izquierda. Haciendo uso de este resultado, en [2] se calculan las cohomolog´ıas de Aeppli y Bott- Chern para la variedad de Iwasawa y sus peque˜nas deformaciones. Estas variedades son casos particulares de estructuras complejas Jsobre ´algebras de Lie gnilpotentes de dimensi´on 6 ya que corresponden a algunas estructuras complejas sobre h5. Lo que vamos a hacer en el Cap´ıtulo 3 es extender el estudio de [2] a cualquier estructura compleja Jsobre cualquier g, para lo cual usaremos la clasificaci´on obtenida en [1, 7, 23] y dada en las Tablas 1 y 2. Observemos que esto es posible porque las cohomolog´ıas de Aeppli y Bott-Chern son invariantes bajo equivalencia de la estructura compleja. Es decir, si JyJ0son dos estructuras complejas equivalentes, entonces Hp,q BC(g, J0)∼ =Hp,q BC(g, J) y Hp,q A(g, J0)∼ =Hp,q A(g, J), para cualquier par (p, q). Cap´ıtulo 3 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 En este cap´ıtulo se calculan los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern para las nilvariedades de dimensi´on 6 con estructura compleja invariante. Los resultados vistos en el Cap´ıtulo 2 nos permiten reducir el c´alculo a nivel del ´algebra de Lie subyacente g (Teorema 2.3.5) y considerar las estructuras complejas Jsobre cada gsalvo equivalencia (Tablas 1 y 2). Los pasos a seguir son los siguientes: – C´alculo de las diferenciales y las formas ∂¯ ∂-exactas. – Estudio de las formas d-cerradas. – Cocientar adecuadamente para hallar los generadores de cada grupo de cohomolog´ıa, atendiendo a las condiciones existentes sobre los par´ametros de cada ´algebra para evitar repeticiones en las estructuras complejas. Dividimos el estudio en tres familias de estructuras complejas y en la Secci´on 3.4 presentamos las conclusiones para cada una de las ´algebras. 3.1. Familia 1 Consideramos las ecuaciones de estructura: 48 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 Notar que: det      λ−1ρ0 ¯ D0 0 ρ −ρ0−λ1 0ρ D 0     = (λ2−D−¯ D−1)ρ−D¯ D, luego si (λ2−D−¯ D−1)ρ−D¯ D= 0, el rango del sistema es menor que cuatro. Hallemos todas sus soluciones seg´un el valor de ρ: Si ρ= 0, existen dos posibilidades: que el sistema tenga rango cuatro o bien que tenga rango menor que cuatro. •Si D6= 0, el rango es exactamente cuatro, con lo cual existe una ´unica soluci´on que debe ser la trivial. Es decir, Z1,1 BC no tiene m´as elementos que los ya dichos. •Si D= 0, se obtienen soluciones distintas a la trivial pues la matriz que da el sistema se reduce a: λ−1 0 0 0 0 −λ1!. Resolviendo el sistema y sustituyendo los valores hallados de α, β, δ, γ en la expresi´on de ωdada al principio, llegamos a que la base de formas cerradas a˜nade dos nuevos elementos: ω1¯ 3+λω2¯ 3, ω3¯ 1+λω3¯ 2. Si ρ= 1, volvemos a encontrar dos posibilidades seg´un el rango de la matriz: •Si λ2−D−¯ D−D¯ D−16= 0, existe una ´unica soluci´on al sistema, que es la soluci´on trivial. Como ocurr´ıa en el primer caso, esto significa que no existen elementos “extra” en Z1,1 BC. •Si λ2−D−¯ D−D¯ D−1 = 0, el rango es menor que cuatro. Observar que:      λ−1 1 0 ¯ D0 0 1 −1 0 −λ1 0 1 D0     ∼     λ−1 1 0 ¯ D0 0 1 −1−¯ D0−λ0 0 1 D0     ∼     λ−1 1 0 ¯ D0 0 1 λ2−1−¯ D−λ0 0 −Dλ D + 1 0 0      Familia 1 49 donde debido al valor de λ2considerado se cumple que: det λ2−1−¯ D−λ −Dλ D + 1 != (D+ 1)(D+D¯ D)−D(D+¯ D+D¯ D+ 1) = 0. Luego las dos ´ultimas filas son linealmente independientes y podemos prescindir de una de ellas. Queda as´ı un sistema de tres ecuaciones y cuatro inc´ognitas:      λα −β+δ= 0, ¯ Dα +γ= 0, −Dλα + (D+ 1)β= 0. A la vista de la ´ultima de ellas, para poder despejar βse necesita imponer que D6=−1, lo que vuelve a generar dos casos: ◦Si D=−1, entonces ¯ D=−1 y debe ser λ2= 0. Se obtiene: (−β+δ= 0 ⇒δ=β, −α+γ= 0 ⇒γ=α. Hay dos nuevas formas cerradas: ω1¯ 3+ω3¯ 2, y ω2¯ 3+ω3¯ 1. ◦Si D6=−1, se despeja directamente en las ecuaciones dadas y se obtiene la forma: ω1¯ 3+Dλ D+1ω2¯ 3−λ D+1 ω3¯ 1−¯ Dω3¯ 2. Teniendo en cuenta todo lo anterior podemos concluir: ρ= 0, D 6= 0: Z1,1 BC =hω1¯ 1, ω1¯ 2, ω2¯ 1, ω2¯ 2i. ρ= 0, D = 0: Z1,1 BC =hω1¯ 1, ω1¯ 2, ω2¯ 1, ω2¯ 2, ω1¯ 3+λω2¯ 3, ω3¯ 1+λω3¯ 2i. ρ= 1, λ26=D+¯ D+D¯ D+ 1: Z1,1 BC =hω1¯ 1, ω1¯ 2, ω2¯ 1, ω2¯ 2i. ρ= 1, D =−1, λ = 0: Z1,1 BC =hω1¯ 1, ω1¯ 2, ω2¯ 1, ω2¯ 2, ω1¯ 3+ω3¯ 2, ω2¯ 3+ω3¯ 1i. ρ= 1, D 6=−1, λ2=D+¯ D+D¯ D+ 1: Z1,1 BC =hω1¯ 1, ω1¯ 2, ω2¯ 1, ω2¯ 2, ω1¯ 3+Dλ D+1ω2¯ 3−λ D+1 ω3¯ 1−¯ Dω3¯ 2i. −Formas cerradas de tipo (3,0): Z3,0 BC =hω123i. −Formas cerradas de tipo (2,1): A la vista de las diferenciales es claro que ω12¯ 1, ω12¯ 2, ω13¯ 2son cerradas. Hay que ver si existen m´as formas ωde tipo (2,1) cumpliendo dω = 0. Para ello, se toma ω=αω12¯ 3+βω13¯ 1+δω13¯ 3+γω23¯ 1+θω23¯ 2+τω23¯ 3 50 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 y se impone dω = 0. Conseguimos el siguiente sistema de ecuaciones:                    δλ −τ= 0, δ¯ D= 0, αρ +βD −γλ +θ= 0, τ= 0, τλ −δD = 0, δρ = 0. Sustituyendo τpor su valor se obtiene:         ρ D 0−λ1 0 0 λ0 0 0 0 ¯ D0 0 0 0 D0 0 0 0 ρ0 0                 α β δ γ θ         =         0 0 0 0 0         . Claramente, este sistema no tiene rango m´aximo luego en todos los casos podremos encontrar nuevas formas cerradas. Estudiemos las soluciones seg´un el valor de ρ. Si ρ= 0 la ´ultima ecuaci´on se puede eliminar y vuelven a aparecer dos casos: •Si D= 0, entonces ¯ D= 0 y el sistema se reduce al siguiente: (δλ = 0, −γλ +θ= 0 ⇒θ=γλ. ◦Si λ= 0, entonces θ= 0 y las formas ω12¯ 3,ω13¯ 1,ω13¯ 3yω23¯ 1son cerradas. ◦Si λ6= 0, entonces δ= 0 y aparecen las formas: ω12¯ 3,ω13¯ 1,ω23¯ 1+λω23¯ 2. •Si D6= 0, necesariamente δ= 0 y queda θ=γλ−βD, con lo cual encontramos tres nuevas formas cerradas que son ω12¯ 3,ω13¯ 1−Dω23¯ 2,ω23¯ 1+λω23¯ 2. Si ρ= 1, entonces δ= 0 y queda una ´unica ecuaci´on: α+Dβ −λγ +θ= 0 ⇒θ=λγ −Dβ −α. De esta manera, hallamos las formas cerradas: ω12¯ 3−ω23¯ 2,ω13¯ 1−Dω23¯ 2,ω23¯ 1+λω23¯ 2. Familia 1 51 Teniendo en cuenta lo anterior concluimos: ρ= 0, D = 0, λ = 0: Z2,1 BC =hω12¯ 1, ω12¯ 2, ω12¯ 3, ω13¯ 1, ω13¯ 2, ω13¯ 3, ω23¯ 1i. ρ= 0, D = 0, λ 6= 0: Z2,1 BC =hω12¯ 1, ω12¯ 2, ω12¯ 3, ω13¯ 1, ω13¯ 2, ω23¯ 1+λω23¯ 2i. ρ= 0, D 6= 0: Z2,1 BC =hω12¯ 1, ω12¯ 2, ω12¯ 3, ω13¯ 2, ω13¯ 1−Dω23¯ 2, ω23¯ 1+λω23¯ 2i. ρ= 1: Z2,1 BC =hω12¯ 1, ω12¯ 2, ω13¯ 2, ω12¯ 3−ω23¯ 2, ω13¯ 1−Dω23¯ 2, ω23¯ 1+λω23¯ 2i. −Formas cerradas de tipo (3,1): ρ= 0: Z3,1 BC =hω123¯ 1, ω123¯ 2, ω123¯ 3i. ρ= 1: Z3,1 BC =hω123¯ 1, ω123¯ 2i. −Formas cerradas de tipo (2,2): A la vista de las diferenciales, {ω1212, ω1213, ω1223, ω1312, ω2312} ⊂ Z2,2 BC. De nuevo, se plantea el problema de encontrar formas, en este caso de tipo (2,2), que sean linealmente independientes con las anteriores y cerradas. Tomamos ω=αω1313 +βω1323 +δω2313 +γω2323 e imponemos dω = 0, obteniendo el siguiente sistema lineal de dos ecuaciones y cuatro inc´ognitas:    α¯ D−βλ +γ= 0 ⇒βλ =α¯ D+γ, αD −δλ +γ= 0 ⇒δλ =αD +γ. Para poder despejar βyδes necesario que λ6= 0, lo que induce a distinguir dos casos: Suponemos que λ= 0. Entonces el sistema se reduce a dos inc´ognitas αyγ(las otras dos ser´an libres), y la matriz asociada al mismo ser´a:  ¯ D1 D1 ∼ ¯ D1 D−¯ D0 . •Si D∈R, entonces ¯ D=Dy queda una ´unica ecuaci´on αD +γ= 0 que lleva a que γ=−αD. De esta manera, las formas ω1323, ω2313 yω1313 −Dω2323 resultan ser cerradas. •Si D /∈R, entonces D−¯ D6= 0 y debe ser α= 0 = γ. Tenemos: ω1323, ω2313. 52 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 Para λ6= 0 es posible despejar directamente en el sistema dado, en cuyo caso aparecen las formas cerradas: ω1313 +¯ D λω1323 +D λω2313 y1 λω1323 +1 λω2313 +ω2323. Finalmente obtenemos: λ= 0, D ∈R:Z2,2 BC =hω1212, ω1213, ω1223, ω1312, ω1323, ω2312, ω2313, ω1313 −¯ Dω2323i. λ= 0, D /∈R:Z2,2 BC =hω1212, ω1213, ω1223, ω1312, ω1323, ω2312, ω2313i. λ6= 0: Z2,2 BC =hω1212, ω1213, ω1223, ω1312, ω2312, ω1313 +¯ D λω1323 +D λω2313, 1 λω1323 +1 λω2313 +ω2323i. −Formas cerradas de tipo (1,3): ρ= 0: Z1,3 BC =hω1123, ω2123, ω3123i. ρ= 1: Z1,3 BC =hω1123, ω2123i. −Formas cerradas de tipo (3,2): Z3,2 BC =hω12312, ω12313, ω12323i. −Formas cerradas de tipo (3,3): Z3,3 BC =hω123123i. Con todo lo anterior, ya podemos calcular la cohomolog´ıa de Bott-Chern de la Familia 1. No obstante, conviene notar que basta considerar los valores de los par´ametros ρ, λ yDque aparecen en la Tabla 1, puesto que para el resto de valores las estructuras complejas obtenidas son isomorfas a alguna de las que aparecen en la tabla. Familia 1 53 tabla A ρ λ D g ABELIANAS 0 0 0 h8 0 0 ±1h3 0 0 ImD= 1 h2 0 1 D∈[0,1 4)h5 0 1 1 4h4 NO ABELIANAS 1 1 0 h6 1 1 D∈R−{0}h4 1 1 ImD > 0h2 1 0ImD≥0 h5 4(ImD)2<1+4ReD 0< λ2<1 2 0≤ImD < λ2 2 ReD= 0 1 2≤λ2<10≤ImD < 1−λ2 2 ReD= 0 λ2>10≤ImD < λ2−1 2 ReD= 0 Adem´as, conviene notar que debido a la Proposici´on 1.3.1 basta calcular los grupos de cohomolog´ıa que aparecen a continuaci´on. Para todas las estructuras que aparecen en la tabla anterior: H1,0 BC =h[ω1],[ω2]i. Sin embargo, si pasamos al bigrado (2,0): H2,0 BC =h[ω12],[ω13] |{z} aparece s´olo si D=0 i. 54 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 La cosa se complica bastante m´as al pasar al bigrado (1,1): - Las ´algebras de la tabla que cumplen ρ= 0 y D6= 0 son: h2,h3yh4con JAbeliana yh5con JAbeliana dada por D∈(0,1 4). Por tanto, en estos casos: H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω2¯ 1],[ω2¯ 2]i. - Para ρ= 0 y D= 0, se tienen h8yh5con JAbeliana (el caso que quedaba, que es ρ=D= 0), para las cuales λ= 0 y λ= 1, respectivamente. As´ı, el grupo de cohomolog´ıa (1,1) queda: H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω2¯ 1],[ω2¯ 2],[ω1¯ 3+λω2¯ 3],[ω3¯ 1+λω3¯ 2]i. - Para ρ= 1, D=−1, λ= 0, no existen ´algebras de Lie nilpotentes de dimensi´on real 6. Queda por estudiar cu´ales de las ´algebras de la Tabla Acon ρ= 1 verifican la condici´on λ2=D+¯ D+D¯ D+ 1 (3.1) y cu´ales no. De esta forma, se puede averiguar en cu´al de los dos casos que nos faltan para el bigrado (1,1) est´a cada una, y con ello, su grupo de cohomolog´ıa: Empezamos centr´andonos en h2con estructura compleja Jno Abeliana. Se cumple que 1 = 2ReD+|D|2+ 1, luego |D|2=−2ReD. Tomando D=x+iy se tiene x2+y2+ 2x= 0, lo cual es cierto para D= (−1±p1−y2) + iy con y∈(0,1) (recordar que necesitamos y > 0). En otro caso, no se cumplir´a (3.1). Pasamos ahora a h4con Jno Abeliana. Como λ= 1 y D∈R−{0}la condici´on (3.1) se puede reescribir como 1 = 2D+D2+ 1 y el ´unico Dpara el cual se cumple es D=−2 (pues el caso D= 0 no es posible). Para h5con Jno Abeliana, se distinguen varios casos: - Si λ= 0, escribiendo D=x+iy, la condici´on (3.1) queda x2+2x+y2+1 = 0. Resolviendo esta ecuaci´on en funci´on de xse obtiene x=−1±iy, luego debe ser y= 0 y x=−1. Sin embargo, la Tabla 1 dice que en este caso la parte real y la parte imaginaria de Ddeben cumplir x > −1 4, luego (3.1) nunca puede verificarse. Familia 1 55 - Si λ6= 0, la parte real de Dsiempre es cero, luego debe ser D=iy. Sustituyendo en (3.1) obtenemos λ2=y2+1, lo cual s´olo puede ser posible para λ > 1. En tal caso, debido a la condici´on que aparece en la tabla, se tiene que 0 ≤y < λ2−1 2, lo que lleva a que y > 0 y 2y < λ2−1 = y2⇔0< y2−2y⇔y > 2. Expresando todo esto en t´erminos de λresulta que para que se cumpla (3.1) debe ser D=i√λ2−1 y λ2>5. Consideramos ahora h6. Es evidente que 1 = λ2= 0 + 1, luego siempre se cumple la condici´on (3.1). Resumiendo: ◦´ Algebra de Lie h2: H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω2¯ 1],[ω2¯ 2],[ω1¯ 3+D D+ 1ω2¯ 3−1 D+ 1ω3¯ 1−¯ Dω3¯ 2] | {z } s´olo si ρ=λ=1, D=(−1±√1−y2)+iy, y>0 i. ◦´ Algebra de Lie h3: H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω2¯ 1],[ω2¯ 2]i. ◦´ Algebra de Lie h4: H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω2¯ 1],[ω2¯ 2],[ω1¯ 3+ 2ω2¯ 3+ω3¯ 1+ 2ω3¯ 2] | {z } s´olo si ρ=λ=1, D=−2 i. ◦´ Algebra de Lie h5: −Caso abeliano: H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω2¯ 1],[ω2¯ 2],[ω1¯ 3+ω2¯ 3],[ω3¯ 1+ω3¯ 2] | {z } s´olo si D=0 i. −Caso no abeliano: H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω2¯ 1],[ω2¯ 2],[ω1¯ 3+Dλ D+ 1ω2¯ 3−λ D+ 1ω3¯ 1−¯ Dω3¯ 2] | {z } s´olo si D=i√λ2−1, λ2>5 i. 56 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 ◦´ Algebra de Lie h6: H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω2¯ 1],[ω2¯ 2],[ω1¯ 3−ω3¯ 1]i. ◦´ Algebra de Lie h8: H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω1¯ 3],[ω2¯ 1],[ω2¯ 2],[ω3¯ 1]i. A continuaci´on se tiene: H3,0 BC =h[ω123]i, H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω13¯ 2],[ω23¯ 1+λ ω23¯ 2],[ω12¯ 3−ρ ω23¯ 2],[ω13¯ 1−D ω23¯ 2],[ω13¯ 3] |{z} s´olo para h8 i, H3,1 BC =h[ω123¯ 1],[ω123¯ 2],[ω123¯ 3] |{z} si ρ=0 i. Centremos ahora nuestra atenci´on en el caso de H2,2 BC. Seg´un hemos visto anteriormente, la forma ω1212 es exacta cuando λ26= 2ReD−ρ. Necesitaremos pues averiguar en qu´e casos se cumple esta condici´on, para tener en cuenta las variaciones que esto pueda producir en la cohomolog´ıa. - En h2existen dos casos, ya que esta ´algebra admite J’s Abelianas y J’s no Abelianas. ◦Si Jes Abeliana, tenemos ρ= 0 = λeImD= 1. Si ReD6= 0 resulta que ω1212 es exacta y en caso contrario, no lo es. Esto indica que: H2,2 BC =h[ω1212] |{z} s´olo si D=i ,[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω1323],[ω2312],[ω2313]i. ◦Si Jes no Abeliana, ρ= 1 = λeImD > 0, y entonces la forma ω1212 no define una clase de cohomolog´ıa cuando ReD6= 1. De esta manera: H2,2 BC =h[ω1212] |{z} s´olo si ReD=1 ,[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω2312], [ω1323 +ω2313 +ω2323],[ω1313 +¯ D ω1323 +Dω2313]i. Familia 1 57 - Si ahora consideramos h3, tenemos que λ=0=ρyD=±1. La igualdad nunca se cumple. H2,2 BC =h[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω1323],[ω2312],[ω2313],[ω1313 ∓ω2323]i. - Para h4hay dos posibilidades seg´un Jsea Abeliana o no lo sea: ◦Supongamos que Jes Abeliana. Entonces ρ= 0, λ = 1 y D=1 4, con lo cual tenemos que 1 = λ26= 2ReD−ρ= 1/2. La forma siempre es exacta y queda: H2,2 BC =h[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω2312],[ω1313 −1 4ω2323],[ω1323 +ω2313 +ω2323]i. ◦Si Jes no Abeliana, ρ=1=λyD∈R− {0}luego la forma es exacta para D6= 1. H2,2 BC =h[ω1212] |{z} s´olo si D=1 ,[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω2312], [ω1323 +ω2313 +ω2323],[ω1313 −Dω2323]i. - Veamos ahora qu´e ocurre con h5seg´un la Abelianidad de J. ◦Si Jes Abeliana, ρ= 0, λ = 1 y D∈[0,1 4). Resulta que la forma es exacta para D6=1 2, lo cual siempre ocurre en este caso. As´ı: H2,2 BC =h[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω2312],[ω1313 −Dω2323],[ω1323 +ω2313 +ω2323]i. ◦En el caso de que Jno sea Abeliana (ρ= 1), tenemos varias opciones. Para poder discutirlas, supongamos que D=x+iy. Si λ= 0, observemos que ω1212 es exacta siempre que 0 6= 2x−1⇔x6=1 2. Pero adem´as, debido a la discusi´on que hemos llevado a cabo para las formas cerradas, la cohomolog´ıa tambi´en variar´a dependiendo de si Des real o no. De hecho, si ImD= 0 aparecer´a una nueva clase. Notemos adem´as que en ese caso la parte real de Ddeber´a cumplir que 0 <1+4x⇔−1 4< x =ReD. Con todo lo anterior, queda: H2,2 BC =h[ω1212] |{z} s´olo si ReD=1 2 ,[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω1323],[ω2312], [ω2313],[ω1313 −Dω2323] | {z } s´olo si ImD=0,ReD> −1 4 i. 64 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 (α¯ B−β= 0 ⇒β=α¯ B, β−γB = 0 ⇒β=γB, y por tanto: •Si B=¯ B= 0, entonces β= 0 y α, γ libres. Aparecen dos formas cerradas m´as: ω1¯ 3, ω3¯ 1. •Si B6= 0, se tiene que ¯ B6= 0 por lo que basta tomar α=β ¯ Byγ=β B. Hay un elemento m´as en Z1,1 BC que es: 1 ¯ Bω1¯ 3+ω2¯ 2+1 Bω3¯ 1. Para ρ= 1 las ecuaciones quedan: (α¯ B−β+γ= 0 ⇒β=γ+α¯ B, −α+β−γB = 0 ⇒β=α+γB, luego debe ser: γ+α¯ B=α+γB ⇔α(¯ B−1) = γ(B−1). •Si B=¯ B= 1, queda β=γ+αy se encuentran dos nuevas formas cerradas que son: ω1¯ 3+ω2¯ 2, ω2¯ 2+ω3¯ 1. •Si B6= 1, entonces γ=α¯ B−1 B−1yβ=αB¯ B−1 B−1. Para este caso hay otra forma cerrada que es: ω1¯ 3+B¯ B−1 B−1ω2¯ 2+¯ B−1 B−1ω3¯ 1. En resumen, ρ= 0, B= 0, c6= 0: Z1,1 BC =hω1¯ 1, ω1¯ 2, ω1¯ 3, ω2¯ 1, ω3¯ 1i. ρ= 0, B6= 0: Z1,1 BC =hω1¯ 1, ω1¯ 2, ω2¯ 1,1 ¯ Bω1¯ 3+ω2¯ 2+1 Bω3¯ 1i. ρ= 1, B= 1: Z1,1 BC =hω1¯ 1, ω1¯ 2, ω2¯ 1, ω1¯ 3+ω2¯ 2, ω2¯ 2+ω3¯ 1i. ρ= 1, B6= 1: Z1,1 BC =hω1¯ 1, ω1¯ 2, ω2¯ 1, ω1¯ 3+B¯ B−1 B−1ω2¯ 2+¯ B−1 B−1ω3¯ 1i. −Formas cerradas de tipo (3,0): Z3,0 BC =hω123i. −Formas cerradas de tipo (2,1): En primer lugar se puede ver que ω12¯ 1, ω12¯ 2, ω13¯ 1∈Z2,1 BC. Tomemos ω=αω12¯ 3+βω13¯ 2+δω13¯ 3+γω23¯ 1+σω23¯ 2+τω23¯ 3∈Z2,1 BC Familia 2 65 y veamos qu´e condiciones deben cumplir los par´ametros α, β, δ, γ, σ yτ. Imponiendo dω = 0 se llega al siguiente sistema:                αρ −βc −γB = 0, δc = 0, δρ −σ= 0, δ¯ B−σ= 0, τ= 0, del cual se deduce que: δρ =σ=δ¯ B. Si ρ= 0, necesariamente σ= 0, lo que conduce a distinguir dos casos: •Si B=¯ B= 0, el sistema queda reducido a las ecuaciones (βc = 0, δc = 0. Como en este caso (ρ, B) = (0,0), necesariamente c6= 0 y debe ser β= 0 = δ. Aparecen dos nuevas formas cerradas: ω12¯ 3yω23¯ 1. •Si B6= 0, resulta que δ= 0 y queda una ´unica ecuaci´on: −βc −γB = 0 ⇒γ=−βc B. Se obtienen las siguientes formas: ω12¯ 3, ω13¯ 2−c Bω23¯ 1. Para ρ= 1, el sistema queda:          α−βc −γB = 0, δc = 0 ⇒σc = 0, δ−σ= 0 ⇒δ=σ, δ¯ B−σ= 0 ⇒σ(¯ B−1) = 0, luego ahora hay cuatro inc´ognitas. La ´ultima ecuaci´on motiva los siguientes casos: •Si B=¯ B= 1, queda: (α−βc −γ= 0, σc = 0, 66 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 y la segunda ecuaci´on vuelve a inducir una nueva subdivisi´on en dos casos: ◦Si c= 0, entonces α=γy se a˜naden tres nuevas formas cerradas al subespacio Z2,1 BC:ω13¯ 2, ω12¯ 3+ω23¯ 1, ω13¯ 3+ω23¯ 2. ◦Si por el contrario c6= 0, debe ser σ= 0 = δy de la ecuaci´on α−βc−γ= 0 se deduce γ=α−βc. Para este caso existen dos formas cerradas m´as: ω12¯ 3+ω23¯ 1, ω13¯ 2−cω23¯ 1. •Si B6= 1, se tiene σ=0=δy la ecuaci´on que queda es α−βc −γB = 0. Despejando, vemos que α=βc +γB, lo que lleva a la aparici´on de dos formas cerradas: cω12¯ 3+ω13¯ 2, Bω12¯ 3+ω23¯ 1. Resumiendo, lo que se obtiene para el bigrado (2,1) es lo siguiente: ρ= 0, B= 0, c6= 0: Z2,1 BC =hω12¯ 1, ω12¯ 2, ω12¯ 3, ω13¯ 1, ω23¯ 1i. ρ= 0, B6= 0: Z2,1 BC =hω12¯ 1, ω12¯ 2, ω12¯ 3, ω13¯ 1, ω13¯ 2−c Bω23¯ 1i. ρ= 1, B= 1, c= 0: Z2,1 BC =hω12¯ 1, ω12¯ 2, ω13¯ 1, ω13¯ 2, ω12¯ 3+ω23¯ 1, ω13¯ 3+ω23¯ 2i. ρ= 1, B= 1, c6= 0: Z2,1 BC =hω12¯ 1, ω12¯ 2, ω13¯ 1, ω12¯ 3+ω23¯ 1, ω13¯ 2−cω23¯ 1i. ρ= 1, B6= 1: Z2,1 BC =hω12¯ 1, ω12¯ 2, ω13¯ 1, cω12¯ 3+ω13¯ 2, Bω12¯ 3+ω23¯ 1i. −Formas cerradas de tipo (3,1): ρ= 0: Z3,1 BC =hω123¯ 1, ω123¯ 2, ω123¯ 3i. ρ= 1: Z3,1 BC =hω123¯ 1, ω123¯ 2i. −Formas cerradas de tipo (2,2): Observando las diferenciales de las formas de tipo (2,2), es evidente que {ω1212, ω1213, ω1223, ω1312, ω1313, ω2312} ⊂ Z2,2 BC. Para ver si hay alguna forma m´as, basta considerar ω=αω1323 +βω2313 +γω2323 e imponer dω = 0. En tal caso, aparece el sistema:      α¯ B+βc = 0, αc +βB = 0, γ= 0. Familia 2 67 Luego el problema queda reducido a resolver un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas. Estudiamos el rango: det ¯ B c c B !=B¯ B−c2. Si c26=B¯ B, entonces el rango de la matriz es dos por lo que existe una ´unica soluci´on al sistema que debe ser la trivial. Es decir, Z2,2 BC no tiene m´as elementos que los ya enumerados. Si c2=B¯ B, el rango es uno y se distinguen dos casos: •Si c= 0, debe ser B= 0 con lo cual aparecen dos elementos: ω1323, ω2313. •Si c6= 0, entonces β=−α¯ B cy queda: ω1323 −¯ B cω2313. Teniendo todo esto en cuenta queda: c= 0, B= 0: Z2,2 BC =hω1212, ω1213, ω1223, ω1312, ω1313, ω1323, ω2312, ω2313i c6= 0, c2=B¯ B:Z2,2 BC =hω1212, ω1213, ω1223, ω1312, ω1313, ω2312, ω1323 −¯ B cω2313i c26=B¯ B:Z2,2 BC =hω1212, ω1213, ω1223, ω1312, ω1313, ω2312i −Formas cerradas de tipo (3,2): Z3,2 BC =hω12312, ω12313, ω12323i. −Formas cerradas de tipo (3,3): Z3,3 BC =hω123123i. Pasemos ya a calcular la cohomolog´ıa de Bott-Chern de la Familia 2. Al igual que ocurr´ıa en el caso de la Familia 1, bastar´a restringirse a los valores de los par´ametros ρ, B ycque aparecen en la Tabla 1, pues cualquier otros valores dan ´algebras isomorfas a las de esta tabla. 68 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 tabla B ρ B c g ABELIANAS 0 0 1 h15 0 1 c6= 1 0 1 1 h9 NO ABELIANAS 1 0 1 h10 1 1 0 h7 1|B|= 1 0h16 B6= 1 1B∈R−{0,1} |B−1|h11 1ImB6= 0 |B−1|h12 1 c6=|B−1| h13 (c, |B|)6= (0,1) c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2<0 1 c6=|B−1| h14 (c, |B|)6= (0,1) c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2= 0 1 c6=|B−1| h15 (c, |B|)6= (0,1) c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2>0 Teniendo en cuenta todo lo anterior y la Proposici´on 1.3.1, los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern son los siguientes. Para todas las ´algebras reales nilpotentes que aparecen en la Tabla B: H1,0 BC =h[ω1]i. Familia 2 69 Sin embargo, al pasar a H2,0 BC se tiene: H2,0 BC =h[ω12],[ω13] |{z} s´olo si c=0 i. Para el bigrado (1,1): H1,1 BC =h[ω1¯ 1],[ω1¯ 2],[ω2¯ 1],[ω1¯ 3+ρ ω2¯ 2],[ω3¯ 1+ρ ω2¯ 2] |{z } s´olo si B=ρ ,[(B−ρ)ω1¯ 3+ (B¯ B−ρ)ω2¯ 2+ ( ¯ B−ρ)ω3¯ 1] | {z } s´olo si B6=ρ i, y para el (3,0): H3,0 BC =h[ω123]i. En el caso de las formas de tipo (2,1) resulta m´as complicado dar una expresi´on general, por lo que se distinguen casos de acuerdo a la Tabla B: Para h7, tenemos (ρ, B, c) = (1,1,0) con lo cual: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω13¯ 1],[ω13¯ 2],[ω12¯ 3+ω23¯ 1],[ω13¯ 3+ω23¯ 2]i. Para h9, los par´ametros son (ρ, B, c) = (0,1,1) luego: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω12¯ 3],[ω13¯ 1],[ω13¯ 2−ω23¯ 1]i. Si se considera h10, queda (ρ, B, c) = (1,0,1) y as´ı: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω13¯ 1],[ω23¯ 1],[ω13¯ 2+ω12¯ 3]i. Para h11,ρ= 1, B∈R−{0,1}yc=|B−1|y se obtiene: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω13¯ 1],[ω13¯ 2+|B−1|ω12¯ 3],[Bω12¯ 3+ω23¯ 1]i. Considerando h12, resulta que ρ= 1,ImB6= 0 (por lo que B6= 1) y c=|B−1|. Queda: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω13¯ 1],[ω13¯ 2+|B−1|ω12¯ 3],[Bω12¯ 3+ω23¯ 1]i. Para h13 yh14 se tiene que ρ= 1. Seg´un el valor de Baparecen dos casos: 70 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 •Si B= 1, entonces la tercera condici´on queda c2(c2−4) <0 para h13, lo que lleva a 0 <c<2, y c2(c2−4) = 0 para h14, lo que s´olo es posible si c= 2. As´ı: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω13¯ 1],[ω12¯ 3+ω23¯ 1],[ω13¯ 2−cω23¯ 1]i. •Para B6= 1 y ccumpliendo las condiciones de la Tabla B. Se obtiene: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω13¯ 1],[Bω12¯ 3+ω23¯ 1],[ω13¯ 2+cω12¯ 3]i. Para h15 puede ser ρ= 0 o bien ρ= 1. Empezamos haciendo esta subdivisi´on: •Si ρ= 0, Bpuede ser 0 ´o 1 y queda: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω12¯ 3],[ω13¯ 1],[Bω13¯ 2−cω23¯ 1]i. •Cuando ρ= 1, la discursi´on seg´un los par´ametros Byces an´aloga a la de h13,h14, por lo cual: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω13¯ 1],[Bω12¯ 3+ω23¯ 1],[ω13¯ 2−cω23¯ 1] | {z } si B=1 ,[ω13¯ 2+cω12¯ 3] | {z } si B6=1 i. (Observar que debido a las condiciones de la tabla, el caso |B|= 1 se da cuando el par´ametro ccumple c > 2). Pasamos a h16. En este caso, ρ= 1, c = 0 y |B|= 1 con B6= 1, por lo que queda: H2,1 BC =h[ω12¯ 1],[ω12¯ 2],[ω13¯ 1],[ω13¯ 2],[Bω12¯ 3+ω23¯ 1]i. El grupo de cohomolog´ıa de Bott-Chern (3,1) es: H3,1 BC =h[ω123¯ 1],[ω123¯ 2],[ω123¯ 3] |{z} s´olo si ρ=0 i. Para calcular el de (2,2), hay que tener en cuenta que la forma ω1212 siempre es exacta, luego al cocientar se elimina. Cuando se consideran h7,h10 yh16, siempre se verifica que c26=B¯ B=|B|2, por lo que el grupo de cohomolog´ıa (2,2) de todos ellos es: H2,2 BC =h[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω1313],[ω2312]i. Quedan por estudiar los de h9,h11,h12,h13,h14 yh15. Familia 2 71 Para h9debe ser c= 1 = B, luego resulta evidente que c2=|B|2, lo que lleva a que su grupo de cohomolog´ıa (2,2) es: H2,2 BC =h[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω1313],[ω2312],[ω1323 −ω2313]i. Para h11 yh12 se toma B=x+iy yc=|B−1|, con lo cual c2=|B−1|2= (x−1)2+y2. Por tanto, tenemos que c2=B2sin m´as que elegir −2x+ 1 = 0, esto es, x=1 2eycualquiera o cero, seg´un estemos en un ´algebra u otra. Se tiene as´ı lo siguiente: H2,2 BC =h[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω1313],[ω2312],[ω1323 −ω2313] | {z } si ReB=1 2 i. Se consideran ahora h13,h14,h15 (como la condici´on a verificar por Byces similar, parece sensato estudiarlas a la vez). Observar que: •Tomando c= 0 = B, nos queda c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2= 1 >0, luego estos valores s´olo son v´alidos para h15, en cuyo caso: H2,2 BC =h[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω1313],[ω1323],[ω2312],[ω2313]i. •Si ahora c6= 0 con c2=|B|2, resulta que c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2= c4−2(c2+1)c2+(c2−1)2=−4c2+1. Seg´un el ´algebra tomada, cdeber´a verificar una u otra condici´on: ◦Para h13, debe ser −4c2+ 1 <0⇔1 2< c. ◦Para h14, queda −4c2+ 1 = 0 ⇔c=1 2. ◦Si estamos en h15, resulta que −4c2+ 1 >0⇔0<c<1 2. Y en estos casos: H2,2 BC =h[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω1313],[ω2312],[|B|ω1323 −¯ Bω2313]i. •Si no se dan ninguno de los dos casos anteriores, queda: H2,2 BC =h[ω1213],[ω1223],[ω1312],[ω1313],[ω2312]i. (Observar que h15 con JAbeliana cae dentro de este supuesto). Y el resto de grupos de cohomolog´ıa son los siguientes en todos los casos: H3,2 BC =h[ω12312],[ω12313],[ω12323]i, H3,3 BC =h[ω123123]i. 72 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 3.3. Familia 3 En esta ´ultima familia las ecuaciones de estructura son las siguientes:        dω1= 0, dω2=ω13 +ω1¯ 3, dω3=εi ω1¯ 1+iδ (ω1¯ 2−ω2¯ 1), donde δ=±1 y ε= 0,1. Observar que si ε= 0, tenemos el ´algebra h− 19, y si ε= 1, se obtiene h+ 26. Por tanto, esta familia modela las ecuaciones de estructura de aquellas ´algebras de Lie nilpotentes de dimensi´on real 6 que s´olo admiten estructuras complejas no nilpotentes. De las ecuaciones de estructura de esta familia se deduce lo siguiente: ∂ω1= 0, ¯ ∂ω1= 0, ∂ω2=ω13,¯ ∂ω2=ω1¯ 3, ∂ω3= 0, ¯ ∂ω3=εiω1¯ 1+iδ(ω1¯ 2−ω2¯ 1). Conjugando, se tiene: dω¯ 1= 0, dω¯ 2=−ω3¯ 1 |{z} (1,1) +ω13 |{z} (0,2) , dω¯ 3=εiω1¯ 1−iδ(ω1¯ 2−ω2¯ 1) | {z } (1,1) . Para el bigrado (2,0): dω12 = 0, dω13 =iδω12¯ 1 |{z} (2,1) , dω23 =εiω12¯ 1+iδω12¯ 2−ω13¯ 3 | {z } (2,1) . Pasamos ahora a las formas de grado total 2 bigraduadas como (1,1): dω1¯ 1= 0, Familia 3 73 dω1¯ 2=ω13¯ 1 |{z} (2,1) −ω113 |{z} (1,2) , dω1¯ 3=−iδω12¯ 1 | {z } (2,1) , dω2¯ 1=ω13¯ 1 |{z} (2,1) −ω113 |{z} (1,2) , dω2¯ 2=ω13¯ 2+ω23¯ 1 | {z } (2,1) −ω123 −ω213 | {z } (1,2) , dω2¯ 3=εiω12¯ 1−iδω12¯ 2+ω13¯ 3 | {z } (2,1) , dω3¯ 1=−iδω112 | {z } (1,2) , dω3¯ 2=εiω112 −iδω212 −ω313 | {z } (1,2) , dω3¯ 3=εiω13¯ 1−iδ(ω13¯ 2−ω23¯ 1) | {z } (2,1) +εiω113 +iδ(ω123 −ω213) | {z } (1,2) . Para hallar las diferenciales de las formas de tipo (0,2), se conjugan las halladas para las formas de tipo (2,0) y obtenemos: dω12 = 0, dω13 =−iδω112 | {z } (1,2) , dω23 =−εiω112 −iδω212 −ω313 | {z } (1,2) . Para la ´unica forma de la base de tipo (3,0): dω123 = 0. Pasando al bigrado (2,1) aparecen: dω12¯ 1= 0, dω12¯ 2=−ω123¯ 1 |{z} (3,1) +ω1213 |{z} (2,2) , 80 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 H3,1 BC =h[ω123¯ 1],[ω123¯ 3]i, H2,2 BC =h[ω1213],[ω1312],[ω2323] |{z} para h− 19 ,[ω1323 +ω2313]i, H3,2 BC =h[ω12312],[ω12323]i, H3,3 BC =h[ω123123]i. 3.4. Resumen Para finalizar este cap´ıtulo, se adjuntan unas tablas resumiendo todas las posibles dimensiones de los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern para cada ´algebra de Lie nilpotente de dimensi´on 6 con estructura compleja. Los c´alculos para la variedad de Iwasawa (un caso especial del ´algebra h5no contemplado por las familias anteriores) se pueden ver en [2], as´ı como los de sus peque˜nas deformaciones. Resumen 81 h2 ρ λ Dh1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 0 0 ImD= 1 ReD= 0 21416373 1 J1 ReD6= 0 6 J2 1 1 ImD=y > 0 ReD=−1±p1−y2 2 1 5 16263 1 J3 ReD6=−1±p1−y2 4J4 ReD6= 1 ReD= 1 7 J5 h3 ρ λ Dh1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 0 0 ±1214163731 h4 ρ λ Dh1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 0 1 1 4214163631J1 1 1 −2 2 1 5 16263 1 J2 D∈R−{−2,0,1}4J3 1 7 J4 82 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 h5con JAbeliana (ρ= 0) λDh1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 1022 6 163631J1 D∈0,1 41 4 J2 h5con Jno Abeliana (ρ= 1) h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC Iwasawa 2 3 4 1 6 2 8 3 1 Iw λD=x+iy λ= 0 0 224162 7 3 1 J3 0< λ2<1 2 6J4 1 2≤λ2<1 λ2>1 λ= 0 x=1 2, y =0 214162831J5 λ= 0 x=1 2,0< y2<3 4214162731J6 y= 0, x ∈−1 4,∞−0,1 2 λ= 0 y > 0, x 6=1 2,4y2<1+4x 214162631J7 0< λ2<1 2x= 0,0< y < λ2 2 1 2≤λ2<1x= 0,0< y < 1−λ2 2 1< λ2≤5x= 0,0< y < λ2−1 2 λ2>5x= 0,0< y < λ2−1 2, y 6=√λ2−1 λ2>5x= 0, y =√λ2−1<λ2−1 25J8 Resumen 83 h6 ρ λ Dh1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 110225162631 h7 ρ B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 1 1 0 1 2 5 1 6 2 5 3 1 h8 ρ λ Dh1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 000226173831 h9 ρ B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 0 1 1 1 1 4 1 5 3 6 3 1 h10 ρ B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 1 0 1 1 1 4 1 5 2 5 3 1 84 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 h11 ρ B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 1B∈R−{0,1 2,1} |B−1|11415253 1 J1 1 2 1 26J2 h12 ρ B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 1ReB6=1 2,ImB6= 0 |B−1|11415253 1 J1 ReB=1 2,ImB6= 0 6 J2 h13 ρ B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 1 10< c ≤1 2 1 1 5 152 5 3 1 J1 1 2<c<2 6 J2 B6= 1,0< c ≤1 2, 4 5J3 c6=|B−1|,(c, |B|)6= (0,1), c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2<0 B6= 1, c > 1 2, 6J4 c6=|B−1|,(c, |B|)6= (0,1), c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2<0 Resumen 85 h14 ρ B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 1 1 2 1 1 5 152 5 3 1 J1 |B|=1 2 1 2 4 6J2 c6=|B−1|, 5J3 (c, |B|)6= (0,1),(1 2,1 2),(2,1), c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2= 0 h15 con JAbeliana (ρ= 0) B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 0 1 115 153531 J1 1c6= 0,14J2 0 2 J3 h15 con Jno Abeliana (ρ= 1) B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 0 0 1 2 4 152 7 3 1 J4 |B| 6= 0,1 0 5J5 1c > 2 1 5J6 |B|=c0< c < 1 2 4 6J7 c6= 0,|B−1|, 5J8 B6= 1,|B| 6=c, c4−2(|B|2+ 1)c2+ (|B|2−1)2>0 86 Cohomolog´ıa de Bott-Chern en dimensi´on 6 h16 ρ B c h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 1|B|= 1 0124152531 B6= 1 h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC h− 19 11213242 1 h+ 26 3 Cap´ıtulo 4 Aplicaciones En este ´ultimo cap´ıtulo vemos un par de aplicaciones de los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern hallados en el Cap´ıtulo 3 al estudio de la geometr´ıa compleja de nilvariedades. En primer lugar, calculamos un invariante complejo que nos medir´a lo que la nilvariedad se aleja de cumplir el ∂¯ ∂-Lema. Como segunda aplicaci´on, mostramos el comportamiento de la cohomolog´ıa de Bott-Chern a lo largo de deformaciones de la estructura compleja. 4.1. El ∂¯ ∂-Lema y la cohomolog´ıa de Bott-Chern Recientemente, Angella y Tomassini obtienen en [3] una desigualdad en t´erminos de los grupos de cohomolog´ıa de de Rham, Aeppli y Bott-Chern que permite estudiar en qu´e medida una variedad compleja compacta cumple el llamado ∂¯ ∂-Lema. En esta secci´on, recordamos este concepto, y procedemos al estudio de tal condici´on para las nilvariedades de dimensi´on 6 con estructura compleja invariante. Definici´on 4.1.1. Sea Muna variedad compleja compacta. Se dice que Mcumple el ∂¯ ∂-Lema si cada forma compleja exacta, ∂-cerrada y ¯ ∂-cerrada es ∂¯ ∂-exacta. De la definici´on anterior y de la definici´on de los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern se sigue directamente el siguiente resultado. Proposici´on 4.1.2. Sea Muna variedad compleja compacta. Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) Mcumple el ∂¯ ∂-Lema; 88 Aplicaciones (ii) ker ∂∩ker ¯ ∂∩im d= im ∂¯ ∂; (iii) la aplicaci´on natural Hp,q BC(M)−→ Hp+q dR (M;C)es inyectiva. Teorema 4.1.3. [3] Sea Muna variedad compleja compacta. Para cada k∈N, se verifica la siguiente desigualdad: X p+q=k (dim Hp,q BC(M) + dim Hp,q A(M)) ≥2 dim Hk dR(M;C).(4.1) M´as a´un, la igualdad en (4.1) se cumple para todo k∈Nsi y s´olo si Mcumple el ∂¯ ∂-Lema. Si nes la dimensi´on compleja de M, para cada j= 1,...,2ndenotaremos por αj(M) los enteros no negativos dados por αj(M) = X p+q=j (hp,q BC(M) + dim Hp,q A(M)) −2bj(M). Entonces α(M) = P2n j=0 αj(M) es un invariante complejo que toma valores no negativos y que mide lo que se aleja la variedad compleja Mde cumplir el ∂¯ ∂-Lema. Cabe observar que las nilvariedades no cumplen el ∂¯ ∂-Lema, salvo en el caso de los toros complejos: en efecto, si Mes una variedad compleja compacta que cumple el ∂¯ ∂- Lema entonces Mes formal (v´ease [10] para la definici´on de formalidad y la demostraci´on de la implicaci´on). Sin embargo, una nilvariedad es formal si y s´olo si es un toro [12]. En dimensi´on compleja 3, debido a las dualidades en las cohomolog´ıas de Bott-Chern y Aeppli tenemos: α0(M) = h0,0 BC(M) + h3,3 BC(M)−2b0(M), α1(M) = 2 (h1,0 BC(M) + h3,2 BC(M)−b1(M)), α2(M) = 2h2,0 BC(M) + h1,1 BC(M) + h2,2 BC(M)+2h3,1 BC(M)−2b2(M), α3(M) = 4h3,0 BC(M)+4h2,1 BC(M)−2b3(M), α4(M) = α2(M), α5(M) = α1(M), α6(M) = α0(M). Por tanto, cuando n= 3 resulta que α(M)=2α0(M) + 2α1(M) + 2α2(M) + α3(M). En particular, el invariante α(M) es par. Como consecuencia de los resultados de los cap´ıtulos anteriores, a partir de la siguiente proposici´on es posible calcular el invariante αpara toda estructura compleja J El ∂¯ ∂-Lema y la cohomolog´ıa de Bott-Chern 89 invariante sobre una nilvariedad Mde dimensi´on 6, excepto cuando h7es el ´algebra de Lie subyacente a M. Proposici´on 4.1.4. Sea (M, J)una nilvariedad de dimensi´on 6 con una estructura compleja Jinvariante, y sea gel ´algebra de Lie subyacente. Supongamos que gh7. Denotemos por αi j, el invariante αj(M, Ji), j = 1,2,3, donde los super´ındices iindican cada una de las estructuras complejas que se distinguen al calcular la cohomolog´ıa de Bott-Chern, seg´un aparecen en las tablas de la Secci´on 3.4. Entonces: (i) Para g∼ =h1,(α1, α2, α3) = ( 0,0,0 ); (ii) Para g∼ =h2,(αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2,|4−i|,8 ),i= 1,...,5; (iii) Para g∼ =h3,(α1, α2, α3) = ( 0,1,8 ); (iv) Para g∼ =h4,(αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2,|3−i|,8 ),i= 1,...,4; (v) Para g∼ =h5,(α1, α2, α3) = ( 2,6,8 ), para J1e Iwasawa, (αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2, i, 8 ),i= 2,3, (α4 1, α4 2, α4 3) = ( 2,2,8 ), (αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2,|7−i|,8 ),i= 5,...,8; (vi) Para g∼ =h6,(α1, α2, α3) = ( 2,1,4 ); (vii) Para g∼ =h8,(α1, α2, α3) = ( 0,2,4 ); (viii) Para g∼ =h9,(α1, α2, α3) = ( 0,4,8 ); (ix) Para g∼ =h10,(α1, α2, α3) = ( 2,3,8 ); (x) Para g∼ =h11 yh12,(αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2,2 + i, 8 ),i= 1,2, (xi) Para g∼ =h13,(αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2,5 + i, 12 ),i= 1,2, (αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2,2 + i, 12 ),i= 3,4; (xii) Para g∼ =h14,(αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2,6,12 ),i= 1,2, (α3 1, α3 2, α3 3) = ( 2,5,12 ); (xiii) Para g∼ =h15,(α1 1, α1 2, α1 3) = ( 2,8,12 ), (αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2,7,12 ),i= 2,5, (αi 1, αi 2, αi 3) = ( 2,9,12 ),i= 3,4, 96 Aplicaciones Consideramos la siguiente familia de estructuras complejas, donde t∈R: Jte1=−s3(3 −sin t)(7 + 3 sin t) (5 + sin t)(11 −sin t)e2, Jte3=s3(3 −sin t)(11 −sin t) (5 + sin t)(7 + 3 sin t)e4, Jte5=−s(11 −sin t)(7 + 3 sin t) 3(3 −sin t)(5 + sin t)e6. Sea {ω1, ω2, ω3}la base compleja de tipo (1,0) dada por: 4ω1=p(5 + sin t)(11 −sin t)e1+ip3(3 −sin t)(7 + 3 sin t)e2, 8ω2= (5 + sin t)(7 + 3 sin t)e3−ip3(3 −sin t)(5 + sin t)(11 −sin t)(7 + 3 sin t)e4, 128ω3= (5 + sin t)(7 + 3 sin t)3(3 −sin t)p(5 + sin t)(11 −sin t)e5 +i(11 −sin t)p3(3 −sin t)(7 + 3 sin t)e6. Las ecuaciones de estructura de la nilvariedad correspondiente para cada tson:        dω1= 0, dω2=ω1¯ 1, dω3=1−sin t 2ω12 + 2ω1¯ 2+1+sin t 4ω2¯ 1. Mirando la Tabla 1, resulta evidente que para que la estructura compleja sea Abeliana es necesario que 1−sin t 2= 0, es decir, que sea t=1+4k 2π, k ∈Z. En tal caso, basta reparametrizar para conseguir unas ecuaciones como las de dicha tabla con c=1 4. En otro caso, la estructura no es Abeliana y reparametrizando, nos encontramos con que las ecuaciones pueden escribirse de la siguiente manera:        dω1= 0, dω2=ω1¯ 1, dω3=ω12 +4 1−sin tω1¯ 2+1+sin t 2(1−sin t)ω2¯ 1. Es decir, tenemos B=4 1−sin t∈Ryc=1+sin t 2(1−sin t). Vamos a estudiar c´omo var´ıan las dimensiones de los grupos de cohomolog´ıa de Bott- Chern a lo largo de esta familia de estructuras complejas sobre h15. Comportamiento por deformaci´on 97 Partimos de la estructura Abeliana J(4k+1)π/2, con k∈Z. Puesto que siempre se tiene c= 1/2, es evidente que: h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 114153531 Al variar ligeramente tla estructura deja de ser Abeliana, lo que provoca que la dimensi´on del grupo de cohomolog´ıa H3,1 BC pase de 3 a 2. Pero esta misma familia {Jt}t∈Rtambi´en da deformaciones de estructuras complejas no Abelianas en otras estructuras complejas no Abelianas. Este hecho se puede comprobar mirando, como antes, las dimensiones de los grupos de cohomolog´ıa de Bott-Chern. Si hacemos c= 0, debe ser t=3+4k 2π, k ∈Z, en cuyo caso queda B= 2 y la nilvariedad compleja (N, Jt) cumple: h1,0 BC h2,0 BC h1,1 BC h3,0 BC h2,1 BC h3,1 BC h2,2 BC h3,2 BC h3,3 BC 124152531 Al variar ligeramente t, el par´ametro cdeja de ser cero, lo que se traduce en un cambio en h2,0 BC, que pasa de 2 a 1. En resumen, las dimensiones de los grupos de cohomolog´ıa cambian peri´odicamente en los intervalos de longitud 2π, y con ellos el invariante complejo α, que vale 30 cuando t=1+4k 2π, ´o t=3+4k 2π(con k∈Z) y 26 en para el resto de valores de t. Bibliograf´ıa [1] A. Andrada, M.L. Barberis, I.G. Dotti, Classification of abelian complex structures on 6-dimensional Lie algebras, J. London Math. Soc. 83 (2011), 232–255. [2] D. Angella, The cohomologies of the Iwasawa manifold and of its small deformations, J. Geom. Anal., DOI: 10.1007/s12220-011-9291-z. [3] D. Angella, A. Tomassini, On the ∂¯ ∂-Lemma and Bott-Chern cohomology, Invent. Math., DOI: 10.1007/s00222-012-0406-3. [4] F.A. 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