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Facultad de Ciencias Departamento de Matem´aticas Vectores Minimales y Subespacios Invariantes Memoria presentada por D. Daniel Rodr´ıguez Luis para optar al grado de M´aster en Iniciaci´on a la Investigaci´on en Matem´aticas. Fdo. Daniel Rodr´ıguez Luis V◦B◦del Director Fdo. D˜na Eva A. Gallardo Guti´errez. Profesora Titular del Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad Complutense de Madrid. Zaragoza, 2012. ´ Indice general 1. Conceptos B´asicos 11 1.1. Vectores minimales en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . 16 2. Algunos resultados conocidos 27 2.1. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Operadores cuasinilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Operadores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Vectores minimales y subespacios hiperinvariantes 41 3.1. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Operadores cuasinilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3. M´asresultados .......................... 46 i ii Lista de S´ımbolos NConjunto de los n´umeros naturales. RCuerpo de los n´umeros reales. CCuerpo de los n´umeros complejos. |·| Valor absoluto. k·k Norma. HEspacio de Hilbert. XEspacio de Banach. X∗Espacio dual de X. L(X) Operadores lineales y continuos sobre X. K(X) Operadores compactos sobre X. {T}0Conmutante de T. BXBola unidad abierta en X. BXBola unidad cerrada en X. Ker TN´ucleo del operador T. R(T) Imagen o rango del operador T. σ(T) Espectro del operador T. r(T) Radio espectral del operador T. suppf Soporte de la funci´on f. 1 2 Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Agradecimientos En primer lugar quer´ıa agradecer a mi directora, la Dra. Eva Gallardo Guti´errez, no s´olo por su incalculable ayuda en la comprensi´on de las ideas, resultados y razonamientos en torno al problema del subespacio invariante, sino tambi´en por su af´an de perfeccionismo, sencillez y humildad por el trabajo propio. Considero que es de justicia agradecer al Prof. Fernando P´erez Gonz´alez, maestro en la Universidad de la Laguna y m´aximo responsable de que mi futuro acad´emico est´e vinculado a la Prof. Eva Gallardo Guti´errez. Por ´ultimo, agradecer a la Universidad de Zaragoza, en particular al departamento de An´alisis Matem´atico, por la oportunidad de formar parte de una familia con un gran valor intelectual y humano. 3 4 Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Introducci´on Existen numerosos resultados y problemas abiertos dentro del an´alisis funcional que involucran la existencia de subespacios invariantes para un operador lineal y continuo. El teorema de la forma can´onica de Jordan para espacios de Banach de dimensi´on finita o el teorema espectral para operadores normales son algunos de estos resultados, donde la esencia reside en saber el comportamiento de un operador lineal y continuo respecto a sus subespacios invariantes. En este sentido, el teorema de la forma can´onica de Jordan afirma que si Xes un espacio de Banach de dimensi´on finita, Tun operador lineal y Mun subespacio Tinvariante no trivial, entonces Tse expresa como P−1TP =T(1) T(12) 0T(2) ⇔T∼T(1) T(12) 0T(2) , donde Pes una matriz de cambio de base y T(1) =T|M :M → M es la restricci´on de TaM. Es decir, Tse expresa (salvo semejanzas) como suma directa de sus restricciones a ciertos subespacios invariantes. Por tanto, no es sorprendente esperar que existan relaciones entre la estructura de un operador Ty de la del ret´ıculo de sus subespacios invariantes, esto es, Lat(T). Ahora bien, dado un espacio de Banach Xcon dim X ≥ 2 y un operador Tlineal y continuo en X, ¿es siempre posible encontrar un subespacio cerrado no trivial M⊂X, esto es {0}(M(X, verificando que TM⊂M?. Esta cuesti´on, de naturaleza “naive”, aparentemente surge tras los trabajos de Beurling donde caracteriza los subespacios cerrados e invariantes para el operador multiplicaci´on Mzen el espacio de Hardy H2(v´ease [8]) y el de von Neumann, donde se prueba la existencia subespacios cerrados e invariantes no triviales para operadores compactos en espacios de Hilbert (que nunca lleg´o a publicarse). Es claro que dicha cuesti´on tiene un respuesta positiva para espacios de Banach complejos Xde dimensi´on finita, sin m´as que considerar el 5 12 Conceptos B´asicos Nota 1.1. Para λ > 1, los λ-vectores minimales siempre existen. En efecto, fijados x0∈ X vector no nulo, n∈Nyε∈(0,kx0k), por la definici´on de dε n, se tiene que para todo δ > 0 existe yε n∈Kε ntal que dε n≤ kyε nk ≤ dε n+δdε n= (1 + δ)dε n=λdε n. Sin embargo, no en todos los espacios de Banach se puede encontrar vectores minimales. Ciertas condiciones sobre el espacio Xson suficientes para garantizar la existencia de los vectores minimales asociados a un operador Tlineal, continuo, inyectivo y de rango denso. Una de ellas se recoge en la Proposici´on 1.1. Antes de enunciarla, recordamos que un espacio normado es estrictamente convexo si para cualesquiera x, y ∈ X linealmente independientes se cumple la desigualdad triangular estricta, esto es, kx+yk<kxk+kyk. Proposici´on 1.1. Sea Xes un espacio de Banach reflexivo y sea T∈ L(X) inyectivo y de rango denso. Entonces existen los vectores minimales yε npara x0∈ X, ε ∈(0 ,kx0k)yn∈Npar´ametros fijados cumpliendo kTnyε n−x0k=ε. (1.0.3) Si adem´as Xes estrictamente convexo, dichos vectores minimales son ´unicos. Demostraci´on. Sean ε∈(0,kx0k) y n∈Nfijos. De la definici´on (1.0.2) se sigue que existe una sucesi´on en Kε n, que denotaremos por {zk}k∈N, de manera que kzkk → dε ncuando k→ ∞. Como la sucesi´on {zk}k∈N est´a acotada, existe una subsucesi´on, a saber, {zkm}m∈Nque converge d´ebilmente a un vector z0∈ X, esto es, zkm w −−→ z0. Ahora bien: 1. z0∈Kε n: En efecto, ya que zkm w −−→ z0cuando m→ ∞ yKε n subconjunto convexo y cerrado de Xse tiene que (Kε n)w= (Kε n)w= (Kε n)k·k, esto es, el conjunto de puntos l´ımite en la topolog´ıa d´ebil coincide con el conjunto de puntos l´ımite en la topolog´ıa generada por la norma, que es consecuencia de la versi´on geom´etrica del teorema de Hahn-Banach y la convexidad de Kε n(v´ease [[13, corolario 3, pp 11]). 2. kz0k=dε n: Por el apartado anterior, se tiene que dε n≤ kz0k. Supongamos, por reducci´on al absurdo, que dε n<kz0k. Como kzkk → d existe ν∈Ntal que para todo k∈Ncon k≥νse tiene que kzkk − dε n<kz0k − dε n 2. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 13 En particular, para km≥ν, se tiene que kzkmk<kz0k. De esta manera 0<kz0k−kzkmk≤kzkm−z0k= sup{|ϕ(zkm−z0)|:ϕ∈ X ∗,kϕk= 1}. De la definici´on de supremo se sigue que para todo 0 < δ < kzkm−z0k, existe s∈Nyϕs∈ X∗con kϕsk= 1 tal que 0< δ < |ϕs(zkm−z0)| ≤ sup kϕk=1 |ϕ(zkm−z0)|. Como adem´as zkm w −−→ z0se tiene que 0<l´ım m→∞ |ϕs(zkm−z0)|= l´ım m→∞ |ϕs(zkm)−ϕs(z0)|= 0. Luego kz0k=dε n. De esta manera se conluye que z0es un vector minimal asociado a T. Fijados ε∈(0,kx0k) y n∈N, denotamos por yε nal vector minimal asociado al operador T. Veamos que dicho vector satisface la condici´on (1.0.3). Por reducci´on al absurdo, supongamos que kTnyε n−x0k< ε. De esta manera Tnyε n∈B(x0, ε) y por lo tanto existe t∈(0,1) de forma que (1 −t)Tnyε n∈B(x0, ε), esto es kTn( (1 −t)yε n)−x0k=k(1 −t)Tnyε n−x0k ≤ ε. Por lo tanto (1 −t)yε n∈Kε ny con k(1 −t)yε nk= (1 −t)kyε nk<kyε nk, lo que contradice la minimalidad del vector yε n. Por ´ultimo, veamos que si Xes estrictamente convexo, se tiene unicidad. Supongamos que existen dos vectores minimales yε n,1, yε n,2∈Kε nsatisfaciendo kyε n,1k=kyε n,2k=dε n. De aqu´ı se desprende que yε n,1=yε n,2o bien yε n,1=−yε n,2, donde descartamos esta ´ultima posibilidad. Por lo tanto, si suponemos que son distintos, al ser Kε nconvexo, se sigue que yε n,1+yε n,2 2∈Kε ncon     yε n,1+yε n,2 2   <kyε n,1k 2+kyε n,2k 2=d, lo cual es una contradicci´on. Nota 1.2. Sea T∈ L(X), inyectivo, de rango denso y tal que kTk= 1. Sea x0∈ X vector no nulo y ε∈(0,kx0k). Si suponemos la existencia de la sucesi´on de vectores minimales {yε n}n∈Nasociados a dicho operador, en virtud el resultado anterior ε=kTm+1yε m+1 −x0k=kTm(Tyε m+1)−x0k, y de la definici´on del vector minimal ymse sigue que kyε mk≤kTyε m+1k ≤ kTkkyε m+1k≤kyε m+1k. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 14 Conceptos B´asicos Esto significa que, en el caso de que existan los vectores minimales, la sucesi´on de las normas de dichos vectores es creciente. En general, se tiene que kyε mk≤kyε m+kk, para todo m, k ∈N, o de manera equivalente 0<kyε mk kyε m+kk≤1. Esto ´ultimo se traduce en que, siempre que se asegure la existencia de los vectores minimales, cualquier subsucesi´on {ymj}∞ j=1 verifica que su ratio est´a acotada, es decir, 0<kymj−1k kymjk≤1,∀ {mj}subsucesi´on. Un comportamiento similar al anterior puede obtenerse si fijamos m∈Nen lugar de ε. Dado 0 < h < ε, denotemos por yεeyε−hlos vectores minimales al nivel m∈Ncon par´ametros εyε−h, respectivamente. En virtud del resultado anterior se tiene que kTmyε−h−x0k=ε−h < ε, y de la definici´on del vector minimal yεse sigue que kyεk ≤ kyε−hk. En general, para todo ε1, ε2∈(0 ,kx0k) con ε1< ε2se tiene que kyε2k≤kyε1k, o de manera equivalente 0<kyε2k kyε1k≤1. Esto ´ultimo significa que, fijado m∈N, la funci´on que a cada ε∈(0,kx0k) le asigna kyεkes una funci´on mon´otona decreciente. Nota 1.3. En los espacios de Banach reflexivos siempre es posible construir una norma estrictamente convexa que sea equivalente a la que posee dicho espacio (v´ease [12], pp. 42, 289). Por lo tanto, dado Xun espacio de Banach reflexivo, consideraremos Xdotado de la norma estrictamente convexa, garantizando as´ı la existencia y unicidad de los vectores minimales asociados a un operador lineal, continuo, inyectivo y de rango denso. El espacio `1(Z) no es ni relfexivo ni estrictamente convexo, por lo que el resultado anterior no puede aplicarse para asegurar la existencia de los vectores minimales asociados al operadores desplazamiento bilateral T. Sin embargo, dados x0∈`1(Z) vector no nulo y ε∈(0,kx0k), usando un argumento de compacidad d´ebil* se prueba que existen los vectores minimales asociados a T, x0yεverificando kTnyε n−x0k1=ε. A continuaci´on, veremos un ejemplo de la no unicidad de los vectores minimales en `1(Z). Para ello, consideremos el operador desplazamiento Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 15 bilateral Ten `1(Z) definido por T ek=ek+1, donde {ek}k∈Zdenota la base can´onica en `1(Z). Sean x0∈`1(Z) vector no nulo de la forma x0= Pk∈Zckek,ε∈(0,kx0k1) y supongamos que x0−Tnyε n= ∞ X k=−∞ dkek. Se puede comprobar que yε n= ∞ X k=−∞ (ck−dk)ek−n, n ∈N. De la definici´on del vector minimal yε n, resulta el siguiente problema de optimizaci´on m´ın ∞ X k=−∞ |ck−dk|sujeto a ∞ X k=−∞ |dk|=ε. Ya que      ∞ X k=−∞ bkek    1 =     ∞ X k=−∞ |bk|ek    1 , para toda sucesi´on {bk}k∈Z∈`1(Z), es suficiente calcular los vectores minimales cuando x0=Pk∈Zckekcon ck>0 para todo k∈Z. En este caso, se tiene 0 ≤dk≤ckpara todo k∈Z, quedando por resolver el siguiente problema de optimizaci´on m´ın ∞ X k=−∞ ck−dksujeto a ∞ X k=−∞ |dk|=ε. En particular, para x0=e0+e1yε= 1, se tiene que dk= 0 para todo k∈Z\ {0,1}y la soluci´on al correspondiente problema de optimizaci´on es cualquier combinaci´on convexa de la forma d0+d1= 1 y por lo tanto x0−Tnyε n=λe0+ (1 −λ)e1para todo λ∈[0,1]. Luego yε n= (1 −λ)e−n+λe1−npara todo n∈Ny para todo λ∈[0,1]. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 16 Conceptos B´asicos 1.1. Vectores minimales en espacios de Hilbert En todo espacio de Hilbert Hpodemos asegurar la existencia y unicidad de los vectores minimales asociados a un operador lineal, continuo, inyectivo y de rango denso. A continuaci´on se demuestran ciertas propiedades de dichos vectores as´ı como una ecuaci´on de punto fijo que satisfacen. Proposici´on 1.2. Sea Hespacio de Hilbert, T∈ L(H)inyectivo y de rango denso. Sean x0∈ H vector no nulo, ε∈(0,kx0k)yn∈Npar´ametros. Entonces existe una constante negativa µn=µn(x0, ε)tal que los vectores minimales verifican la ecuaci´on de punto fijo yε n=µε nT∗n(Tnyε n−x0).(1.1.4) Demostraci´on. Fijamos ε∈(0,kx0k), n∈Ny denotemos yε nvector minimal asociado al operador T. Si ω∈ H yλ∈Rde forma que kTn(yε n+λω)−x0k≤kTnyε n−x0k=ε, de la definici´on del vector minimal yε nse sigue que kyε n+λωk ≥ kyε nk. Si desarrollamos estas expresiones en funci´on del producto escalar, resulta que 2<hλω, T∗n(Tnyε n−x0)i+λ2kTnωk2≤0 2<hλω, yε ni+λ2kωk2≥0.(1.1.5) De aqu´ı se sigue que, necesariamente, existe una constante µε n<0 de forma que yε n=µε nT∗n(Tnyε n−x0). Para ver esto, supongamos que no existe tal constante. Esto significa que no son m´ultiplos (mediante una constante negativa) el uno del otro. Por lo tanto, si tomamos ω0=−yε n kyε nk−T∗n(Tnyε n−x0) kT∗n(Tnyε n−x0)k, tenemos que <hω0, yε ni<0 y <hω0, T∗n(Tnyε n−x0)i<0. Sustituyendo en (1.1.5) resulta 2<hω0, T∗n(Tnyε n−x0)i+λkTnω0k2≤0 2<hω0, yε ni+λkω0k2≥0. Tomando λsuficientemente peque˜no, la segunda desigualdad deja de ser cierta. Corolario 1.3. Sea Hespacio de Hilbert y T∈ L(H)operador inyectivo y de rango denso. Sean x0∈ H vector no nulo, ε∈(0,kx0k)yn∈N. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Vectores minimales en espacios de Hilbert 17 1. Si denotamos θε nel ´angulo formado por Tnyε n−x0yTnyε n, entonces θε n> π/2. 2. kTnyε nk2<kx0k2−ε2. 3. Si y∈ H,z⊥yε nsi y s´olo si Tnz⊥Tnyε n−x0. 4. Si x∈ H es tal que kTnx−x0k ≤ ε, entonces kyε nk2≤ |hx, yε ni| para cada n∈N. Demostraci´on. 1. Se observa que cos θε n=hTnyε n−x0, Tnyε ni kTnyε n−x0kkTnyε nk=hT∗n(Tnyε n−x0), yε ni εkTnyε nk =(µε n)−1kyε nk2 εkTnyε nk<0, Por lo tanto θε n> π/2. 2. Ya que x0= (x0−Tnyε n) + Tnyε n, se tiene que kx0k2=h(x0−Tnyε n) + Tnyε n,(x0−Tnyε n) + Tnyε ni =kTnyε n−x0k2+kTnyε nk2+ 2Rehx0−Tnyε n, Tnyε ni =ε2+kTnyε nk2−2RehTnyε n−x0, Tnyε ni, donde hemos usado el hecho de que yε ncumple la restricci´on (1.0.3). Ahora bien, ya que yε nverifica la ecuaci´on de punto fijo (1.1.4), resulta hTnyε n−x0, Tnyε ni=hT∗n(Tnyε n−x0), yε ni= (µε n)−1kyε nk2<0. Por lo tanto kx0k2> ε2+kTnyε nk2, esto es, kTnyε nk2<kx0k2−ε2. 3. Usando de nuevo la ecuaci´on (1.1.4), se tiene que, dado y∈ H y⊥yε n⇔ hy , yε ni= 0 ⇔ hy , µε nT∗n(Tnyε n−x0)i= 0 ⇔ hTny , Tnyε n−x0i= 0 ⇔Tny⊥Tnyε n−x0. 4. Fijado n∈N, consideremos el plano generado por los vectores x0y Tnyε n, esto es, span{x0, Tnyε n}. Si suponemos que x=αyε n+rcon α∈Cyr⊥yε n, puesto que |hx, yε ni| =|α||hyε n, yε ni| =|h|α|yε n+r, yε ni|, basta probar el resultado para 0 ≤α < 1. Luego Tnx=αTnyε n+Tnr. Escribimos Tnr=u+vdonde u∈span{x0, Tnyε n}yv∈span{x0, Tnyε n}⊥. Se observa que hu, x0−Tnyε ni=hu, x0−Tnyε ni+hv, x0−Tnyε ni=hTnr, x0−Tnyε ni= 0. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 18 Conceptos B´asicos Por lo tanto u⊥x0−Tnyε n. Adem´as, ya que x0−Tnyε n−upertenece al subespacio span{x0, Tnyε n}, del Teorema de Pit´agoras se sigue que kx0−Tnxk2=kx0−αTnyε n−uk2+kvk2≥ kx0−αTnyε n−uk2. En virtud de la ecuaci´on (1.1.4) se tiene que hx0−Tnyε n, Tnyε ni>0 y por consiguiente ε2=kx0−Tnyε nk2=hx0−Tnyε n, x0−Tnyε ni<hx0−αTnyε n, x0−Tnyε ni, unido a que u⊥x0−Tnyε n, permite concluir que kx0−Tnxk> ε. Sean Xespacio de Banach y T∈ L(X) inyectivo y de rango denso. Sea x0∈ X vector no nulo, ε∈(0,kx0k) y denotemos por {yε n}n∈Nla sucesi´on de vectores minimales asociados a dicho operador. Para cada nivel n∈N, se define la funci´on Φn: (0 ,kx0k)−→ R+ ε7−→ Φn(ε) = kyε nk(1.1.6) Esta funci´on mide, en cada nivel n∈Ny para cada ε > 0, la norma del vector minimal yε n. El siguiente resultado recoge ciertas propiedades asociadas a esta funci´on. Proposici´on 1.4. La funci´on Φnverifica que: 1. Si x0/∈R(T), entonces para todo n∈Nse tiene que Φn(ε)→ ∞ cuando ε→0. 2. Para todo n∈N,Φnes convexa en (0 ,kx0k). 3. Si θε ndenota el ´angulo entre Tnyε n−x0yTnyε n, entonces Φ0 n(ε) = kyε nk cos θε nkTnyε nk. 4. Si µε nes la constante presente en la ecuaci´on (1.1.4), entonces µε n=Φ0 n(ε)Φn(ε) ε Demostraci´on. 1. Fijado n∈N, supongamos, por reducci´on al absurdo, que existe M > 0 de forma que kyεk nk ≤ Mcuando εk→0. Al ser HHilbert, y por tanto reflexivo, existe un y0∈ H y una subsucesi´on {yεkj n}j∈Ntal que yεkj nw −−→ y0cuando j→ ∞, y por tanto Tnyεkj nw −−→ Tny0cuando j→ ∞. Como adem´as kTnyεkj n−x0k=εkj→0 cuando j→ ∞, se tiene que Tyεkj nw −−→ x0cuando j→ ∞. Luego, necesariamente Tny0=x0. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Vectores minimales en espacios de Hilbert 19 2. Fijado n∈N, denotemos por yε1 n, yε2 nlos vectores minimales para ε1 yε2, respectivamente. Dado λ∈[0,1], definimos ελ=λε1+ (1 −λ)ε2. Ya que kTn(λyε1 1+ (1 −λ)yε2 n)−x0k ≤ λε1+ (1 −λ)ε2=ελ, se sigue de la definici´on de vector minimal que kyελ nk≤kλyε1 n+ (1 −λ)yε2 nk=λkyε1 nk+ (1 −λ)kyε2 nk, esto es, Φn(λε1+ (1 −λ)ε2)≤λΦn(ε1) + (1 −λ)Φn(ε2). 3. Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que kx0k= 1. Elegimos ε∈(0,1) y h > 0 de manera que ε−h > ε sin θε n. Denotemos por yε neyε−h nlos vectores minimales de los conjuntos Kε nyKε−h n, respectivamente. Consideremos el plano formado por los vectores x0yTnyε n. Entonces Φ0 n(ε) = l´ım h→0 Φn(ε)−Φn(ε−h) h= l´ım h→0 kyε nk−kyε−h nk h.(1.1.7) Por un lado, ya que θε n> π/2, existen s, t > 0 tales que k(1 + t)Tnyε n−x0k=εsin θε nyk(1 + s)Tnyε n−x0k=ε−h. Una idea geom´etrica de este hecho puede verse en la Figura 1.1(a), donde −→ OA =Tnyε n,−−→ OB = (1 + t)Tnyε n,−−→ OC = (1 + s)Tnyε n. Aplicando el Teorema de Pit´agoras en la Figura 1.1(b) se tiene que k(1 + s)Tnyε n−(1 + t)Tnyε nk=q(ε−h)2−ε2sin2θε n. Ahora bien, recurriendo de nuevo a la Figura 1.1(b) tenemos que k(1 + t)Tnyε n−Tnyε nk=kTnyε n−x0kcos (π−θε n) = εcos (π−θε n), Por lo tanto k(1+s)Tnyε n−Tnyε nk=εcos (π−θε n)−q(ε−h)2−ε2sin2θε n.(1.1.8) Adem´as, recurriendo nuevamente a la Figura 1.1(a) y usando el hecho de que kTnyε nk=k(1 + t)Tnyε nk−k(1 + t)Tnyε n− Tnyε nk, obtenemos que kTnyε nk=p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n). En efecto, ya que observando la Figura 1.1(a) y el Teorema de Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 20 Conceptos B´asicos (a) (b) Figura 1.1: Idea Geom´etrica y Teorema de Pit´agoras. Pit´agoras 1 = kx0k2=k(1 + t)Tnyε nk2+ε2sin2(π−θε n) con lo que k(1 + t)Tnyε nk=p1−ε2sin2θε ny como adem´as kTnyε nk=k(1 + t)Tnyε nk−k(1 + t)Tnyε n−Tnyε nk, se tiene que kTnyε nk=p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n). Ahora bien, ya que kTn(1 + s)yε n−x0k=k(1 + s)Tnyε n−x0k=ε−h, de la definici´on del vector minimal yε−h nse sigue que kyε−h nk ≤ (1 + s)kyε nk, esto es, kyε−h nk ≤ 1 + εcos (π−θε n)−p(ε−h)2−ε2sin2θε n p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n)!kyε nk, (1.1.9) donde el valor de sse obtiene despejando de (1.1.8). Por otro lado, al ser Hespacio de Hilbert, podemos escribir H=hyε ni⊕hyε ni⊥. Por lo tanto, si yε−h n=ayε n+rdonde r⊥yε ny a > 1, en virtud del Corolario 1.3 se tiene que Tnyε n=aTnyε n+Tr donde Tr ⊥Tnyε n−x0, con lo que kaTnyε n−Tnyε nk=h/ cos (π−θε n) y as´ı  1 + h cos (π−θε n)p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n) kyε nk ≤ kyε−h nk. (1.1.10) Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Vectores minimales en espacios de Hilbert 21 Sustituyeno las expresiones (1.1.9) y (1.1.10) en (1.1.7) resulta −kyε nk h εcos (π−θε n)−p(ε−h)2−ε2sin2θε n p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n)!≤kyε nk−kyε−h nk h (1.1.11) kyε nk−kyε−h nk h≤−kyε nk cos (π−θε n)p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n). (1.1.12) Por ´ultimo, haciendo htender a cero en la expresi´on (1.1.11) obtenemos l´ım h→0 εcos (π−θε n)−p(ε−h)2−ε2sin2θε n h(p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n)) = l´ım h→0 εcos (π−θε n)−p(ε−h)2−ε2sin2(π−θε n) h(p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n)) =1 cos (π−θε n)(p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n)). Por lo tanto l´ım h→0 kyε nk−kyε−h nk h=−kyε nk cos (π−θε n)p1−ε2sin2θε n−εcos (π−θε n) =kyε nk cos θε nkTnyε nk. 4. En virtud de (1.1.4), se tiene que hyε n, yi=µε nhTnyε n−x0, Tnyi,∀y∈ X. En particular, kyε nk2=µε nhTnyε n−x0, Tnyε ni, con lo que µε n=kyε nk2 hTnyε n−x0, Tnyε ni=kyε nk2 cos θε nkTnyε n−x0kkTnyε nk =kyε nk cos θε nkTnyε nk kyε nk ε=Φ0 n(ε)Φn(ε) ε. Intuitivamente, el Corolario 1.3 permite conocer, de manera geom´etrica, en que regi´on de la frontera de la bola B(x0, ε) se sit´uan los vectores Tnyε n, para cada n∈N. Esto es debido a que, para cada nnatural se tiene que θn> π/2, y por consiguiente dichos vectores se encuentran en el arco con extremos abiertos se˜nalado de color rojo en la Figura 1.2(a) para dimensi´on dos. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 28 Algunos resultados conocidos son compactos para todo n∈N, al ser continuos y dim R(Tn) = n, y adem´as kT−Tnk ≤ sup{|kj|:j≥n+ 1} −−−→ n→∞ 0. Como se˜nalamos en la introducci´on, von Neumann prob´o, en un trabajo que no lleg´o a publicarse, que todo operador lineal y compacto en un espacio de Hilbert Hposee un subespacio cerrado e invariante no trivial usando proyecciones ortogonales. M´as tarde, en 1954, N. Aronszajn y K. T. Smith extendieron el resultado de von Neumann para un espacio de Banach en general (v´ease [5]) y posteriormente A. R. Bernstein y A. Robinson probaron que el resultado era tambi´en cierto para operadores polinomialmente compactos, usando t´ecnicas de an´alisis no est´andar (v´ease [7]). Posteriormente, P.R. Halmos obtuvo el mismo resultado usando t´ecnicas del an´alisis funcional (v´ease [17]). Por ´ultimo, en 1973, V. Lomonosov demostr´o que en un espacio de Banach, todo operador lineal y continuo que conmute con un operador compacto posee un subespacio cerrado e invariante no trivial usando el teorema del punto fijo de Schauder (v´ease [19]). El resultado obtenido por Lomonosov es de suma importancia, pues todos los resultados anteriores se obtienen como consecuencia de ´este. Teorema 2.1. (Lomonosov, 1973) Sea Xun espacio de Banach de dimensi´on infinita. Si T, K ∈ L(X)con Kun operador compacto no nulo y tal que TK =KT, entonces Tadmite un subespacio cerrado e invariante no trivial. Demostraci´on. Supongamos que kKk= 1 y sea x0∈ X vector no nulo tal que kKx0k>1. Esto siempre es posible pues, al ser K6= 0 existir´a un x∈ X no nulo de manera que Kx 6= 0. Si definimos x0= (1/λ)xdonde 0<λ<kKxkse tiene que kKx0k=kKxk/λ > 1. Sea U0={x∈ X :kx−x0k ≤ 1}=x0+BXy consideremos K(U0). Por c´omo hemos elegido x0se tiene que kx0k>1. Adem´as K(U0) es compacto, convexo y tal que 0 /∈K(U0), como se muestra en la Figura 2.1. La parte de compacidad se tiene como consecuencia de que el operador Kes compacto. Con respecto a la convexidad tambi´en es cierta y es consecuencia de la linealidad de Ky la convexidad de U0. Por ´ultimo, 0 /∈K(U0) ya que para todo x∈ X se tiene que kKx −Kx0k=kK(x−x0)k≤kx−x0k ≤ 1. Por lo tanto Kx ∈(Kx0+BX) con kKx0k>1. Ahora bien, si existiese x∈ X vector no nulo tal que Sx={P(T)x:Ppolinomio } 6=X, habr´ıamos acabado pues dicho subespacio es cerrado, Tinvariante y no trivial. Por lo tanto, supongamos que para todo x∈ X,x6= 0, se tiene que Sx=X. En Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Operadores compactos 29 Figura 2.1: Conjuntos U0yK(U0). particular, para cada x∈K(U0) existe un polinomio Px(T) en la variable T de manera que kx0−Px(T)xk<1. De esta manera, para cada x∈K(U0) se puede definir un entorno abierto Vx={y∈ X :kx0−Px(T)yk<1}, y, por compacidad, existir´a Vx1, . . . , Vxnrecubrimiento finito de K(U0). Con ello, consideramos la funci´on continua F:K(U0)→K(U0) definida por F(x) = n X i=1 fi(x)K(Pxi(T)x), siendo {fi}n i=1 una partici´on de la unidad asociada al recubrimiento Vx1, . . . , Vxndadas por fi=gi/g, donde gi(z) = m´ax{0,1− kx0−Pxi(z)k} yg(z) = n X i=1 gi(z), i = 1, . . . , n. En virtud del teorema del punto fijo de Schauder, existe a∈K(U0) no nulo tal que F(a) = a. Por ´ultimo, definimos el operador lineal y continuo en Xde la forma H(x) = n X i=1 fi(a)K(Pxi(T)x), y el subespacio cerrado y Tinvariante MH={x∈ X :Hx =x}. Por un lado, MH6={0}pues H(a) = F(a) = a. Por otro lado MH6=Xya que en ese caso contrario si Hx =xpara todo x∈ X , al ser Hcompacto con R(H) = Xcerrado, llegar´ıamos a que dim X < +∞, (v´ease [[24],pp. 98]) contradiciendo las hip´otesis del enunciado. Luego, MHes subespacio cerrado y Tinvariante no trivial. Posteriormente Hilden desarroll´o una prueba similar a la de Lomonosov, y en la que elud´ıa el uso del teorema del punto fijo de Schauder. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 30 Algunos resultados conocidos Teorema 2.2. (Hilden, 1977) Sea Xespacio de Banach de dimensi´on infinita. Si T, K ∈ L(X)con K un operador compacto no nulo y tal que TK =KT, entonces Tadmite un subespacio cerrado e invariante no trivial. La demostraci´on que incluimos aqu´ı fue probada por A.J Michael en [20]. Demostraci´on. Supongamos, por reducci´on al absurdo, que Tno posee subespacios invariantes no triviales. Supongamos adem´as que Kno tiene autovalores, ya que en caso contrario podemos construir el subespacio cerrado Tinvariante Wλ={x∈ X :Kx =λx}, λ ∈σ(K), con Wλ6={0}yWλ6=X, al ser Kno escalar. Luego Kes cuasinilpotente. Puesto que los ´unicos espacios Tinvariantes son los triviales, entonces para cada x∈ X vector no nulo se tiene que {P(T)x:Ppolinomio }=X. Sea x0∈ X,x06= 0, tal que kKx0k>1. Razonando de manera an´aloga al Teorema de Lomonosov, obtenemos un recubrimiento finito K(U0) = ∪n i=1Vxicon Vx={y∈ X :kx0−Px(T)yk<1}, donde U0={x∈ X :kx−x0k ≤ 1}. Denotemos C= m´axi=1,...,n kPxi(T)k. A continuaci´on, utilizamos la t´enica de ping-pong de Hilden: ya que Kx0∈K(U0), existe i1∈ {1, . . . , n}tal que Kx0∈Vxi1, esto es, Pxi1(T)Kx0∈U0. De esta manera, KPxi1(T)Kx0∈K(U0) y procediendo como antes existe i2∈ {1, . . . , n}tal que KPxi1(T)Kx0∈Vxi2, esto es, Pxi2(T)KPxi1(T)Kx0∈U0, como se muestra en la Figura 2.2. Figura 2.2: T´ecnica de ping-pong de Hilden. Por ´ultimo, si denotamos por z0=x0y definimos la sucesi´on {zk}n k=0 ⊂U0mediante la recurrencia zk+1 =Pxik(T)Kzk, como TK =KT , se tiene que kznk=kPxin(T)K . . . Pxi1(T)Kx0k ≤ k(CK)nkkx0k −−−→ n→∞ 0. Por lo tanto, zn→0 cuando n→ ∞, contradiciendo el hecho de que 0 /∈U0. Luego, Tposee subespacio cerrado e invariante no trivial. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Operadores cuasinilpotentes 31 Como comentamon en la introducci´on de esta secci´on, los resultado de von Neumann, R. Bernstein y A. Robinson son consecuencia directa del Teorema de Lomonosov. Corolario 2.3. 1. Todo operador compacto no nulo Ktiene un subespacio cerrado e invariante no trivial. 2. Todo operador polinomialmente compacto no nulo P(K)tiene un subespacio cerrado e invariante no trivial. 2.2. Operadores cuasinilpotentes Recordemos que dado Xespacio de Banach y T∈ L(X), se dice que T es cuasinilpotente si l´ımn→∞ kTnk1/n = 0. Si TN= 0 para cierto N∈N, se dice que Tes nilpotente. Para espacios de Banach Xde dimensi´on infinita, todo operador T∈ L(X) nilpotente posee un subespacio cerrado, Tinvariante y no trivial, sin m´as que considerar M=span{Tnx0:n∈N}=span{x0, Tx0, . . . , TN−1x0}, donde N∈Nyx0∈ X vector no nulo. Se observa que 1 ≤dim M ≤ N. Ejemplo 2.2. 1. Para 1 ≤p≤ ∞, sea T:`p→`poperador lineal y continuo definido por T(x1, x2, . . . ) = (0, x1,0, x3,0, . . . ),(x1, x2, . . . )∈`p. Se observa que T2= 0. Por lo tanto Tes nilpotente. Si {ei}i∈N representa la base can´onica en `p, entonces M= span{e1, Te1}=h{e1, e2}i es un subespacio cerrado, Tinvariante y no trivial. 2. Sea {αn}n≥2la sucesi´on de n´umeros reales dada por αn=n−npara n≥2. Para 1 ≤p≤ ∞, sea T:`p→`pel operador lineal y continuo definido por T(x1, x2, . . . )=(α2x2, α3x3, . . . ),(x1, x2, . . . )∈`p. Se observa que TN(x1, x2, . . . )=(α2. . . αN+1xN+1, α3. . . αN+2xN+2, . . . ), N ∈N. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 32 Algunos resultados conocidos Puesto que para todo n∈Nse tiene que kTnxkp= ∞ X j=2 |αj. . . αn+j−1|p|xn+j−1|p≤αp 2. . . αp n+1kxkp≤αp n+1kxkp, entonces kTnk1/n ≤(αn+1)1/n →0 cuando n→ ∞. Por lo tanto Tes cuasinilpotente. El siguiente resultado afirma la existencia de subespacios cerrados e invariantes no triviales para ciertos operadores cuasinilpotentes definidos en espacios de Banach real que poseen un cierto orden, esto es, espacios en los que es posible comparar dos vectores con respecto a una cierta relaci´on. Antes de enunciarlo, recordamos que una relaci´on binaria “≥”sobre un conjunto no vac´ıo Xse denomina una relaci´on de orden si satisface las siguietes propiedades: 1. (Reflexividad) Para todo x∈Xse tiene que x≥x. 2. (Antisimetr´ıa) Si x1, x2∈Xson tales que x1≥x2yx2≥x1entonces x1=x2. 3. (Transitividad) Si x1, x2, x3∈Xson tales que x1≥x2yx2≥x3 entonces x1≥x3. Recordemos tambi´en que una sucesi´on {xn}n∈Nen un espacio de Banach Xse denomina base de Schauder si para todo x∈ X existe una ´unica sucesi´on de escalares {αn}n∈Ntal que x=P∞ n=1 αnxn, esto es,     x− n X k=1 αkxk    −−−→ n→∞ 0. Cada base de Schauder {xn}n∈Nen un espacio de Banach Xsobre el cuerpo de los n´umeros reales da a lugar a conjunto cerrado C=(∞ X n=1 αnxn:αn≥0 para todo n= 1,2, . . . ), al que se denomina cono y cuya utilidad radica en la definici´on de la relaci´on de orden x≥y(o equivalentemente y≤x) si y s´olo si x−y∈C, para todo x, y ∈ X . Adem´as, asociado a dicha base de Schauder y a cada n∈N, los funcionales lineales y continuos c∗ ndefinidos por c∗ n(x) = αn, donde x=P∞ n=1 αnxn, verifican que c∗ n(x)≥0 para todo x≥0. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Operadores cuasinilpotentes 33 De esta manera, un operador T∈ L(X) definido en un espacio de Banach real con base {xn}n∈Nse denomina positivo respecto a dicha base si T(C)⊆C, esto es, si Tx ≥0 para todo x≥0. Teorema 2.4. Sea Xun espacio de Banach real con una base de Schauder. Si T, Q ∈ L(X)son operadores positivos que conmutan entre s´ı verificando que l´ım n→∞ kQnx0k1/n = 0, para cierto x0≥0vector no nulo entonces Tposee un subespacio cerrado e invariante no trivial. Demostraci´on. Sean {xn}n∈Nbase de Schauder de Xy{c∗ n}n∈Nla suce- si´on de funcionales descritos anteriormente asociado a dicha base. Supongamos que Qx06= 0, ya que en caso contrario al ser QT =TQ se tiene que Ker Qes un subespacio cerrado y Tinvariante no trivial. Por lo tanto, si x0=P∞ n=1 αnxnse tiene que Qxk6= 0 para alg´un k∈N. Si Cdenota el cono definido por la base {xn}n∈N, ya que xk∈C, haciendo un escalamiento apropiado del vector x0podemos suponer sin p´erdida de generalidad que 0 ≤xk≤x0. Sea P:X → X la proyecci´on lineal y continua sobre el subespacio generador por el vector xkdefinida por Px =c∗ n(x)xk. Se observa que 0 ≤P x ≤x para todo x≥0. Veamos que para todo m≥0 se tiene que PTmQxk= 0. Para ello, sea n≥0 fijo y PTmQxk=αxkpara cierto α≥0. Ya que Pes un operador positivo y la composici´on de operadores positivos es un operador positivo, resulta 0≤αnxk= (PTmQ)nxk≤(TmQ)nxk=TmnQnxk≤TmnQnx0. De la positividad del funcional c∗ k, se sigue que 0≤αn=c∗ k(αnxk)≤c∗ n(TmnQnx0). Por lo tanto, como 0 ≤αn=kc∗ kkkTkmnkQnx0k, se tiene 0≤α=kc∗ kk1/nkTkmkQnx0k1/n −−−→ n→∞ 0. Luego, concluimos que necesariamente α= 0. Para terminar, consideremos el subespacio cerrado M=span{TmQxk:m≥0}. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 34 Algunos resultados conocidos Es claro que Mes un subespacio Tinvariante no nulo, al ser Qxk6= 0. Adem´as, M 6=Xya que para todo x=TmQxkcon m≥0, en virtud de lo probado anteriormente, se tiene que c∗ k(x) = c∗ k(Px) = 0 y por continuidad c∗ k(x) = 0 para todo x∈ M. Luego, Mes un subespacio cerrado y Tinvariante no trivial. Corolario 2.5. Si Xun espacio de Banach real, {xn}n∈Nuna base del mismo y Q∈ L(X)un operador cuasinilpotente positivo respecto a dicha base, entonces Qposee un subespacio cerrado e invariante no trivial. En 1997, C. Read en [23] construy´o un operador cuasinilpotente en `1sin subespacios cerrados e invariantes no triviales usando t´ecnicas introducidas en su famoso trabajo de 1986. 2.3. Operadores normales Recordemos que dado Xespacio de Banach y T∈ L(X), se dice que T es normal si TT∗=T∗T, donde T∗es el operador adjunto a T. Ejemplo 2.3. Sean (X, Ω, µ) un espacio de medida σ-finito y H= L2(X, Ω, µ). Para φ∈L∞(X, Ω, µ) fijada, el operador de multiplicaci´on Mφ definido en Hde la forma (Mφf)(x) = φ(x)f(x), x ∈X, es normal con M∗ φ=Mφ. Adem´as, dado A∈Ω, el subespacio MA={f∈L2(X, Ω, µ) : f(x) = 0,c.t.p x∈Ac}, es cerrado, Mφinvariante y no trivial. Una versi´on del teorema espectral afirma que todo operador normal Tes unitariamente equivalente a un operador de multiplicaci´on. Este resultado ser´a de gran utilidad para establecer la existencia de subespacios cerrados hiperinvariantes del operador Ta trav´es del operador de multiplicaci´on. Antes de enunciarlo, veamos algunos resultados referentes a operadores normales que ser´an necesarios en la demostraci´on del teorema espectral. Teorema 2.6. Sea Hun espacio de Hilbert. Si T∈ L(H)es normal, entonces r(T) = kTk. Demostraci´on. Si Tes un operador normal, se tiene que kTxk2=hTx, Txi=hx, T∗Txi=hx, TT∗xi=hT∗x, T∗xi=kT∗xk2. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Operadores normales 35 Tomando supremo en {x∈ H :kxk= 1}, resulta kT∗k=kTk. Adem´as, con esta informaci´on se observa que kT∗Tk≤kTkkT∗k=kTk2 kTxk2=hTx, Txi=hT∗Tx, xi ≤ kT∗Tkkxk2. Por lo tanto kT∗Tk=kTT∗k=kTk2. Para ver que r(T) = kTk, de la f´ormula de Gelfand para el radio espectral del operador Tbasta probar que kT2k=kTk2. Esta igualdad se sigue del hecho de que kT2k2=k(T2)∗(T2)k=kT∗T∗TTk=k(T∗T)∗(T∗T)k=kT∗Tk2= (kTk2)2. Luego r(T) = l´ımn→∞ kTnk1/n =kTk. Teorema 2.7. Si Ues un ´algebra de Banach conmutativa sobre Cque contiene a la identidad, entonces para todo x∈Use tiene que σ(x) = {φ(x) : φes un homeomorfismo de Usobre C}. Una demostraci´on de este resultado puede verse en [24]. Teorema 2.8. Si Bes un sub´algebra maximal conmutativa de un ´algebra de Banach Usobre C, entonces para todo x∈Bse tiene que σB(x) = σU(x)donde σB(x), σU(x)denotan el espectro de xrelativo a B yU, respectivamente. Demostraci´on. Claramente, si x−λtiene inversa en B, tambi´en posee inversa en U. Por lo tanto σU(x)⊆σB(x). Supongamos que (x−λ)y=y(x−λ) = 1 para cierto y∈U. Entonces, para cada z∈B sub´algebra conmutativa se observa que yz =yz(x−λ)y=y(x−λ)zy =zy. Por lo tanto yconmuta con todo elemento de B, y de la maximalidad del mismo se sigue que y∈B. Luego σB(x)⊆σU(x). Teorema 2.9. Sea Hun espacio de Hilbert. Si T∈ L(H)es normal y P(·,·) es un polinomio en dos variables, entonces σ(P(T, T∗)) = {p(z, z) : z∈σ(T)}. Demostraci´on. Sea Ula sub´algebra conmutativa maximal de L(H) que contiene a TyT∗. De los Teoremas 2.7 y 2.8 se sigue que σ(P(T, T∗)) = {φ(P(T, T∗)) : φes un homeomorfismo de Usobre C} ={P(φ(T), φ(T∗)) : φes un homeomorfismo de Usobre C}. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 36 Algunos resultados conocidos Ya que σ(T) = {φ(T) : φes un homeomorfismo de Usobre C}, basta probar que φ(T∗) = φ(T) para todo φ. Supongamos que φ(T) = a+ib, φ(T∗) = c+id para φfijado. Veamos, en primer lugar, que d=−b. Para ello, si consideramos el operador autoadjunto B=T+T∗se observa que φ(B) = (a+c) + i(b+d) y por ser σ(B)⊂R, se tiene que necesariamente b+d= 0, esto es, d=−b. Para probar que c=a, basta con considerar el operador iT y proceder de manera an´aloga. Teorema 2.10. (Teorema espectral) Sea Hun espacio de Hilbert separable y sea T∈ L(H)normal. Entonces existe un espacio de medida finita (X, B, µ) siendo µuna medida regular y una aplicaci´on φ∈L∞(X, B, µ)tal que Tes unitariamente equivalente al operador de multiplicaci´on Mφdefinido sobre L2(X, B, µ). Demostraci´on. En primer lugar, nos ocuparemos del caso en el que Mx0= span{Tm(T∗)nx0:m, n ∈N}=H, para cierto x0∈ H vector no nulo, que ser´a de utilidad para demostrar el caso general. Por lo tanto, supongamos que existe x0∈ H vector no nulo tal que Mx0=H, esto es, {P(T, T∗)x0:Ppolinomio en dos variables}=H. Sea X=σ(T). En virtud del Teorema de Stone-Weierstrass se tiene que el espacio de los polinomios en las variables zyz, P[z, z] = {P(z, z) : Ppolinomio en dos variables}, es denso en C(X) uniformemente. Podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que kx0k= 1. Definimos el funcional lineal sobre P[z, z] de la forma F(P) = hP(T, T∗)x0, x0i. En virtud de los Teoremas 2.6 y 2.9 se tiene que |F(P)| ≤ kP(T, T∗)k=r(P(T, T∗)) = sup z∈X |P(z, z)|, donde r(P(T, T∗)) denota el radio espectral de P(T, T ∗). Por lo tanto, Fun funcional lineal y acotado sobre P[z, z] y con kFk ≤ 1. Como adem´as P[z, z] es denso en C(X), se sigue que Fadmite una exten- si´on a un funcional lineal y acotado b Fsobre C(X) tal que kFk=kb Fk. A continuaci´on, probamos que b Fes positivo, esto es, si f∈C(X) con f(z)≥0 para todo z∈Xentonces b F(f)≥0. Para ello, definimos g(z) = pf(z) para todo z∈X. En virtud del Teorema de Stone-Weierstrass Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Operadores normales 37 para funciones reales se sigue que para todo ε > 0, existe un polinomio de coeficientes y variables reales xey, denotado por q(x, y), y tal que |q2(x, y)−g2(x+iy)|< ε, ∀x+iy ∈X. Ahora bien, sea B=1 2(A+A∗) y C=1 2i(A−A∗) operadores reales y autoadjuntos tales que A=B+iC. Se observa que |hq2(B, C)x0, x0i − b F(f)|=|h(q2(B, C)−g2(B+iC))x0, x0i| ≤sup x+iy∈X |q2(x, y)−g2(x+iy)|< ε. Ya que q(B, C) es autoadjunto, se tiene que hq2(B, C)x0, x0i=hq(B, C)x0, q(B, C)x0i=kq(B, C)x0k2≥0. Luego, necesariamente, b F(f)≥0. Por lo tanto, del Teorema de representaci´on de Riesz se sigue que existe una medida de Borel finita y regular µ sobre Xtal que b F(f) = RXf dµ para todo f∈C(X). Por ´ultimo, veamos que Tes unitariamente equivalente al operador de multiplicaci´on Mzen L2(X, B, µ). Consideremos U:P[z, z]⊂L2(X, B, µ)→ H operador definido por UP(z, z) = P(T, T∗)x0para todo P∈ P[z, z]. Se observa que Ues una isometr´ıa, ya que kPk2 L2(X,µ)=ZX |P(z, z)|2dµ =ZX P(z, z)P(z, z)dµ =b F(P(z, z)P(z, z)) = hP(T, T ∗)[P(T, T ∗)]∗x0, x0i =hP(T, T∗)x0, P(T, T∗)x0i=kP(T, T∗)x0k2=kUPk2. Esto ´ultimo se debe a que si P(z, z) = Pi,j aijzizj, entonces P(z, z) = Pi,j aij zizj. Por lo tanto F(P(z, z)) = hP(T, T∗)x0, x0i=h[P(T, T∗)]∗x0, x0i. Puesto que {P(T, T∗)x0:P∈P}es denso en H,Uadmite una extensi´on a un operador lineal, acotado b Ude L2(X, B, µ) sobre Hcon b U|P=Uy tal que kb Uk= 1. En particular, para todo P∈ P[z, z] se tiene que b U−1Tb UP(z, z) = b U−1TP(T, T∗)x0=b U−1(b U(zP(z, z))) = MzP(z, z). Por un argumento de densidad, se tiene que b U−1Tb Uf =Mzfpara todo f∈L2(X, B, µ). Por lo tanto b U−1Tb U=Mz. Para el caso general, ya que TMx0⊂ Mx0yT∗Mx0⊂ Mx0, en virtud del lema de Zorn existe una colecci´on {Mn}n∈Nde subespacios de H ortogonales dos a dos tales que H=M1⊕ M2⊕ · · · ⊕ Mn⊕. . . , Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 44 Vectores minimales y subespacios hiperinvariantes kB0y0−B0x0k≤kB0kε, de donde se sigue que B0y06= 0. A continuaci´on veamos que y0−x06= 0, lo que implica que Q∗(y0−x0)6= 0. Esto se debe a que H= Ker Q∗⊕R(Q), y ya que Qtiene rango denso, resulta Ker Q∗={0}. Al ser {yε n}n∈Nsucesi´on de vectores minimales asociada al operador Q, para todo k∈Nse tiene que ε2=kQnk+1yε nk+1 −x0k2=hQnk+1yε nk+1 −x0, Qnk+1yε nk+1 −x0i =hQnk+1yε nk+1 −x0, Qnk+1yε nk+1i−hx0, Qnk+1yε nk+1 −x0i =hyε nk+1,(Qnk+1)∗(Qnk+1yε nk+1 −x0)i−hx0, Qnk+1yε nk+1 −x0i = (µε nk+1)−1kyε nk+1k2− hx0, Qnk+1yε nk+1 −x0i <−hx0, Qnk+1yε nk+1 −x0i, donde la ´ultima desigualdad se debe a que µε nk+1 <0. Por lo tanto hx0, Qnk+1yε nk+1 −x0i<−ε2. Haciendo ktender a infinito se tiene que hx0, z0−x0i<−ε2, lo que implica que z0−x06= 0 y Q∗(z0−x0)6= 0. Con todo esto, definiendo sk=Qnkyε nk, tk=Q∗(Qnk+1yε nk+1 −x0), βk= (kyε nkk/kyε nk+1k)(kx0k2−ε2)1/2ε, k ∈N, se obtienen sucesiones {sk}k∈N,{tk}k∈Nen Hque convergen d´ebilmente a los vectores no nulos t0:= y0ys0:= Q∗(z0−x0), respectivamente y adem´as B0t0=B0y06= 0. Sea {Am,n}m,n∈Nsucesi´on de operadores lineales y continuos en la bola unidad de {Q}0. Ya que para cada k∈N, H=h{yε nk}i ⊕ h{yε nk}i⊥, se tiene que Am,nkyε nk=α(m) nkyε nk+ω(m) nk, α(m) nk∈C, m ∈N. Para todo m, k ∈Nse observa que |α(m) nk|kyε nk+1k2=|hAm,nkyε nk, yε nk+1i| ≤ kyε nkkkyε nk+1k, y por lo tanto |α(m) nk| ≤ kyε nkk kyε nk+1k. Puesto que para todo m, n ∈N,Am,n ∈ {Q}0se tiene que QAm,nkQnkyε nk=Qnk+1Am,nkyε nk=α(m) nkQnk+1yε nk+1 +Qnk+1ω(m) nk, Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Operadores cuasinilpotentes 45 y como Qnk+1ω(m) nk⊥Qnk+1yε nk+1 −x0, al ser ω(m) nk⊥yε nk+1, resulta |hAm,nksk, tki| =|hAm,nkQnkyε nk, Q∗(Qnk+1yε nk+1 −x0)i| =|hQAm,nkQnkyε nk, Qnk+1yε nk+1 −x0i| =|α(m) nk||hQnk+1yε nk+1, Qnk+1yε nk+1 −x0i| =|α(m) nk||hQnk+1yε nk+1, Qnk+1yε nk+1 −x0i| ≤ |α(m) nk|kQnk+1yε nk+1kkQnk+1yε nk+1 −x0k ≤kyε nkk kyε nk+1k(kx0k2−ε2)1/2ε=βk, con βk→0 cuando k→ ∞ debido a que kyε nkk/kyε nk+1k → 0 cuando k→ ∞. Corolario 3.3. Sea Hun espacio de Hilbert de dimensi´on infinita. Supongamos Q∈ L(H)es un operador inyectivo y cuasinilpotente. Sean {Dm}m∈N⊂ {Q}0una sucesi´on convergente en la topolog´ıa d´ebil de operadores a D∈ {Q}0,D6= 0, y {Km}m∈Nuna sucesi´on de operadores compactos tales que l´ım m→∞ kDm−Kmk= 0. Entonces Qposee un subespacio cerrado e hiperinvarinte no trivial. Demostraci´on. Podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que R(Q) = H pues en caso contrario M=R(Q) es un subespacio cerrado, no trivial y tal que AM⊂Mpara todo A∈ {Q}0. Por lo tanto DQ =QD 6= 0. Si definimos B0:= D, en virtud del teorema anterior existen sucesiones {sk}k∈N,{tk}k∈Nen Hque convergen d´ebilmente a los vectores no nulos t0 ys0y adem´as satisfaciendo que z0:= B0s06= 0. Consideremos el subespacio cerrado, no nulo y Qhiperinvariante Mz0:= span{Az0:AQ =QA}. Basta con probar que Mz06=H. Para ello, veamos que hAz0, t0i= 0 para todo A∈ {Q}0, y por tanto t0∈ M⊥ z0. Puesto que t06= 0, se tiene el resultado. Sea A0∈ {Q}0con kA0k ≤ 1 tal que A0z0=A0B0s06= 0. Podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que kDmk ≤ 1. Definimos la sucesi´on {Am,n}m,n∈N⊂ {Q}0dada por Am,k := A0Dmpara todo m, k ∈N. En virtud del teorema anterior, se tiene que hAm,ksk, tki=hA0Dmsk, tki< βk, k, m ∈N, donde βk→0 cuando k→ ∞. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 46 Vectores minimales y subespacios hiperinvariantes Ya que {Dm}m∈Nconverge en la topolog´ıa d´ebil de operadores a Dse tiene que {Km}m∈Ntambi´en converge en la topolog´ıa d´ebil de operadores a D. Por ello, dado δ > 0 arbitrario, es suficiente probar que existe Mδ∈N tal que |hA0Kms0, t0i| ≤ δpara todo m>Mδ. En efecto, pues en ese caso |hAz0, t0i| =|hADs0, t0i| = l´ım m→∞ |hAKms0, t0i| ≤ δ. Sea ν∈Ntal que para todo k≥νse cumple que βk< δ/2. Elegimos Mδ∈Nverificando que kDm−Kmk<δ 2kA0k(supkkskkktkk), m > Mδ. Por lo tanto, para todo k > ν y todo m>Mδse tiene que |hA0Kmsk, tki| ≤ |hA0Dmsk, tki| +|hA0(Dm−Km)sk, tki| ≤βk+kA0kkDm−Kmkkskkktkk< δ. Sea m0> Mδfijo. Ya que {sk}k∈Nconverge d´ebilmente a s0yA0Km0es compacto se tiene que l´ım k→∞ kA0Km0sk−A0Km0s0k= 0, y como adem´as {tk}k∈Nconverge d´ebilmente a t0se concluye que |hA0Km0s0, t0i| = l´ım k→∞ |hA0Km0sk, tki| < δ. 3.3. M´as resultados Para concluir este cap´ıtulo, se presenta un resultado que afirma la existencia de subespacios cerrados e hiperinvariantes de un operador Ta partir de la sucesi´on de λ-vectores minimales asociados a dicho operador. En ´el, se exige un comportamiento de dicha sucesi´on similar al que presenta para operadores cuasinilpotentes y una convergencia en norma a un vector no nulo que ser´a la piedra angular de la construcci´on del subespacio. Antes de enunciarlo, veamos el lema fundamental sobre el que se basa dicho resultado y que es consecuencia del Teorema de Hahn-Banach. Lema 3.4. Sea Xun espacio de Banach y sea T∈ L(X)un operador inyectivo y de rango denso. Dados x0∈ X vector no nulo, n∈Ny ε∈(0 ,kx0k)denotemos por yε na un λ-vector minimal asociado. Entonces, existen fn∈ X∗con kfnk= 1 yβ > 0tales que Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. M´as resultados 47 1. |fn(x0)| ≥ β+ε. 2. β≤ |fn(Tnyε n)| ≤ λβ. 3. |T∗nfn(yε n)| ≥ 1 λkT∗nfnkkyε nk. Demostraci´on. Por definici´on dε n= ´ınf{kyk:kTny−x0k ≤ ε}>0. Consideremos los conjuntos B(x0, ε) = {y∈ X :ky−x0k< ε}, TnB(0, dε n) = {Tnz:z∈B(0, dε n)}. Como ambos conjuntos son convexos, disjuntos y el primero de ellos abierto, en virtud de la versi´on geom´etrica del teorema de Hahn-Banach existe gn∈ X∗con kgnk= 1 y una constante β > 0 tal que Re(gn(y)) ≥β , Re(gn(Tnz)) ≤β, para todo y∈B(x0, ε) y para todo z∈B(0, dε n). En particular se tiene que Re(gn(x0)) ≥β+ε. Adem´as se tiene que kT∗ngnk ≤ β/dε ny como Tnyε n∈B(x0, ε) se tiene que Re(gn(Tnyε n)) ≥β. Por lo tanto |gn(Tnyε n)| ≥ Re(gn(Tnyε n)) ≥β, |gn(Tnyε n)|=|(T∗ngn)yε n)| ≤ kT∗ngnkkyε nk ≤ β dε n kyε nk ≤ λβ, donde la ´ultima desigualdad se obtiene del hecho de que kyε nk ≤ λdε n. Por ´ultimo |(T∗ngn)yε n)|=|gn(Tnyε n)| ≥ β≥dε nkT∗ngnk ≥ 1 λkyε nkkT∗ngnk. Teorema 3.5. En las mismas hip´otesis del lema anterior, supongamos que existe una subsucesi´on {yε nk}k∈Nde λ-vectores minimales tal que l´ım k→∞ kyε nk−1k kyε nkk= 0, y una sucesi´on uniformemente acotada {Ak}k∈N⊂ {T}0de forma que la sucesi´on {AkTnk−1yε nk−1}k∈Nconverge en norma a un elemento no nulo. Entonces Ttiene un espacio hiperinvariante. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 48 Vectores minimales y subespacios hiperinvariantes Demostraci´on. Dado yε nkλ-vector minimal a nivel nk∈Nyε∈(0,kx0k), en virtud del lema anterior existe fnk∈ X∗con kfnkk= 1 y βnk>0 verificando |fnk(x0)| ≥ βnk+ε, (3.3.2) βnk≤ |fnk(Tnkyε nk)| ≤ λβnk,(3.3.3) |T∗nkfnk(yε nk)| ≥ 1 λkT∗nkfnkkkyε nkk.(3.3.4) Sea D∈ {T}0. Si definimos gnk= (fnk◦Tnk)∈ X∗, en virtud de la desigualdad (3.3.3) se tiene que Xpuede descomponerse como suma directa de la forma X=h{yε nk}i ⊕ Ker gnk. Como D, Ak∈ L(X) para todo k∈N, escribimos DAkyε nk−1=αnkyε nk+ωnk, donde αnk∈Cyωnk∈Ker gnk. Adem´as, esta escritura es ´unica, pues si suponemos que α, β ∈Cyω1, ω2∈Ker gnkson tales que αynk+ω1= x=βyε nk+ω2se tiene que (α−β)yε nk= (ω2−ω1) con ynk/∈Ker gnky (ω2−ω1)∈Ker gnk. Luego, necesariamente α=βyω1=ω2. De esta manera, aplicando el funcional gnk, se tiene que gnk(DAkyε nk−1) = αnkgnk(yε nk),∀k∈N, y usando la desigualdad (3.3.4) resulta |gnk(DAkyε nk−1)|=|αnk||gnk(yε nk−1)| ≥ 1 λ|αnk|kgnkkkyε nk−1k, esto es, |αnk| ≤ λ|gnk(DAkyε nk−1)| kgnkkkyε nkk≤λkDkkAkkkyε nk−1k kyε nkk. Ya que {Ak}k∈Nest´a uniformemente acotada se deduce que αnk→0 cuando k→ ∞. Puesto que D, Ak∈ {T}0para todo k∈NyDAkyε nk−1= αnkyε nk+ωnkse tiene que (DAkTnkyε nk−1) = Tnk(DAkyε nk−1) = αnkTnkyε nk+Tnkωnk, y por lo tanto fnk(DAkTnkyε nk−1) = αnkfnk(Tnkyε nk) + fnk(Tnkωnk) =αnkgnk(yε nk) + gnk(ωnk) =αnkgnk(yε nk). Usando nuevamente la desigualdad (3.3.3) resulta que |fnk(DAkTnkyε nk−1)|=αnk|gnk(yε nk)| ≤ λ|αnk|βnk Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. M´as resultados 49 Ya que la sucesi´on {βnk}k∈Nest´a uniformemente acotada, se llega a que l´ım k→∞ fnk(DAkTnkyε nk−1) = 0. Como adem´as AkTnk−1yε nk−1converge a z0en norma siendo, con z06= 0, resulta l´ımk→∞ fnk(DTz0) = 0. En efecto, ya que kfnkk= 1 y usando que son funciones lineales y acotados |fnk(DTz0)−fnk(DAkTnkyε nk−1)|≤kfnkkkDkkTkkz0−AkTnk−1yε nk−1k → 0 cuando k→ ∞. Como BX∗es compacta en la topolog´ıa d´ebil∗, existe una subsucesi´on de {fnk}k∈N, que denotaremos de la misma manera, convergente a Φ ∈ X ∗con kΦk= 1. Por lo tanto Φ(DTz0) = l´ım k→∞ fnk(DTz0) = l´ım k→∞ fnk(DAkTnkyε nk−1)=0. Usando la desigualdad (3.3.2) y el hecho de que fnkconverge a Φ en la topolog´ıa d´ebil∗, se tiene que |Φ(x0)|>0. Por lo tanto Φ 6= 0. Con todo esto, se observa que el subespacio M= span{STz0:ST =TS}, es cerrado, Tinvariante y no trivial, ya que Tz06= 0 al ser Tinyectivo y M ⊂ Ker Φ (X. Corolario 3.6. Sea Xun espacio de Banach, y supongamos que existe una subsucesi´on de λ-vectores minimales tal que l´ım k→∞ kyε nk−1k kyε nkk= 0. Si se verifica una de las siguientes condiciones: 1. {Tnk−1yε nk−1}k∈Nconverge en norma a un elemento no nulo. 2. {Tnkyε nk−1}k∈Nconverge en norma a un elemento no nulo. Entonces Ttiene un subespacio hiperinvariante. Demostraci´on. 1. En este caso Ak=Idpara todo k∈N. 2. En este caso Ak=Tpara todo k∈N. En ambos casos se verifican la condici´on de acotaci´on uniforme. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. 50 Vectores minimales y subespacios hiperinvariantes Vectores Minimales y Subespacios Invariantes. Bibliograf´ıa [1] Abramovich Y.A., Aliprantis C.D, An Invitation to Operator Theory, American Mathematical Society, 2002. [2] Abramovich Y.A, Avgerinos E., Yannelis N.C., Functional Analysis and Economic Theory, Springer-Verlag New York, 1998. [3] Ansari S., Enflo P., Extremal vectors and invariant subspaces. Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), no. 2, 539–558. [4] Argyros S.A, Haydon R.G., A hereditarily indecomposable L∞- space that solves the scalar-plus-compact problem. Acta Math (2011), 60, 1-54. [5] Aronszajn N., Smith K.T., Invariant subspaces of completely continuous operators. Ann. of Math. (2),60 (1954), 345–350. [6] Beauzamy B., Introduction to Operator Theory and Invariant Subspaces, North-Holland, 1988. [7] Bernstein A. R., Robinson A., Solution of an invariant subspace problem of K. T. Smith and P. R. Halmos. Pacific J. Math.,16 (1966), 421-431. [8] Beurling A., On two problems concerning linear transformations in Hilbert space. Acta Math,82 (1949), 239-255. [9] Chalendar I., Partington J., Modern approaches to the invariant subspace problem, Cambridge University Press, 2011. [10] Chalendar I., Partington J., Convergence properties of minimal vectors for normal operators and weighted shifts. Proc. Amer. Math. Soc.,133 (2004), no. 2, 501-510. [11] Conway J.B., A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag New York, 1990. [12] Deville R., Godefroy G., Zizler V., Smoothness and renorming in Banach spaces, Vol 64 de Pitman Monographs and Surveys in 51 52 Bibliograf´ıa Pure and Applied Mathematics, editorial Longman Scientific & Technical, 1993. [13] Diestel J., Sequences and Series in Banach Spaces, Springer- Verlag New York, 1984. [14] Enflo P., On the invariant subspace problem for Banach spaces. Acta Math.,158 (1987), no. 3-4 213-313. [15] Enflo P., H¨oim T., Some results on extremal vectors an invariant subspaces. Proc. Amer. Math. Soc.,131 (2003), no. 2, 379–387. [16] Halmos P.R., Finite-dimensional Vector Spaces, Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Co., 1958. [17] Halmos P.R., Invariant subspaces of polynomially compact operators. Pacific J. Math.,16 (1966), 433-437. [18] Jung I., Ko E., Pearcy C., On quasinilpotent operators. Proc. Amer. Math. Soc.,131 (2003), no. 7, 2121–2127. [19] Lomonosov V., Invariant subspaces for operators commuting with compact operatos. Funct. Anal. Appl.,7(1973), 213-214. [20] Michaels A.J., Hilden’s simple proof of Lomonosov’s invariant subspace problem. Adv. Math.,25 (1977), no. 1, 56-58. [21] Radjavi H., Rosenthal P., Invariant Subspaces, Springer-Verlag Berlin, 1973. [22] Read C., A solution to the invariant subspace problem on the space `1.Bull. London Math. Soc.,17 (1985), no. 4, 305-317. [23] Read C., Quasinilpotent operators and the invariant subspace problem. J. London Math. Soc. (2),56 (1997), no. 3, 595–606. [24] Rudin W., Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973. [25] Satake I., Linear algebra, Marcel Dekker, 1975. [26] Tradacete P., El problema del subespacio invariante en espacios de Banach. Gaceta de la RSME.,14 (2011), no. 3, 491-509. [27] Troritsky V., Lomonosov’s theorem cannot be extended to chains of four operators. Proc. Amer. Math. Soc.,128 (2000), no. 2, 521-525. Vectores Minimales y Subespacios Invariantes.