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Proyecto Fin de Carrera Modelización y simulación del sistema catenaria-pantógrafo Autor Inés Rodríguez Joven Director Steffen Vogt (Bombardier Transportation GmbH) Ponente Emilio Larrodé Pellicer (EINA) Escuela de Ingeniería y Arquitectura, Universidad de Zaragoza 2011/2012 2 3 MODELIZACIÓN Y SIMULACIÓN DEL SISTEMA PANTÓGRAFO-CATENARIA RESUMEN En este proyecto se propone un método de simulación del conjunto pantógrafo-catenaria. Para ello se ha contado con las herramientas informáticas Hypermesh 10.0, MSC.Nastran 2008 r1 y SIMPACK 8904. A la hora de diseñar los modelos individulaes de pantógrafo y catenaria se ha consultado en la literatura la evolución de los diferentes modelos matemáticos y de simulación informática desarrollados hasta la actualidad. Se han tenido en cuenta no sólo las características de ambos sistemas por separado, sino también el comportamiento dinámico del conjunto cuando el pantógrafo se desplaza a lo largo de la catenaria. Además, se han utilizado datos de medidas en un banco de pruebas y en vía, además de simulaciones anteriores, para la construcción y validación del proceso propuesto. El modelo de pantógrafo se corresponde con el método de la simulación multicuerpo y el de la catenaria con el método de elementos finitos. Se han definido modelos de pantógrafo y de catenaria generales que pueden ser usados para cualquier tipo de pantógrafo asimétrico y catenaria convencional. En el primero se necesita únicamente calcular los nuevos parámetros de la función de transferencia del nuevo pantógrafo y cambiar el archivo de entrada que contiene todos los valores de los parámetros del modelo. En el caso de la catenaria debería rehacerse el modelo con la nueva geometría y propiedades pero siempre siguiendo un mismo proceso. La idea del método para el cálculo de la interacción dinámica de ambos es realizar la reducción modal del modelo de elementos finitos de la catenaria para crear un cuerpo flexible a partir de dicho modelo reducido. Este cuerpo flexible debe ser implementado en el modelo multicuerpo del pantógrafo en SIMPACK para poder realizar el análisis dinámico del conjunto. Dicho método se halla explicado teóricamente así como los pasos a seguir en la práctica. Sin embargo, el programa informático presenta una serie de limitaciones para este proceso que hacen que resulte inadecuado para la correcta simulación de líneas aéreas de contacto de gran longitud. Por último se proponen otras líneas de investigación con las que superar estas limitaciones. 4 5 TABLA DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 9 2. CONTEXTO Y ESTADO DE LA TÉCNICA ............................................................................... 13 3. MODELIZACIÓN Y SIMULACIÓN MULTICUERPO DE UN MODELO DE PANTÓGRAFO….………17 3.1 Definición del modelo………………………………………………………………………………………………… 17 3.2 Primera simulación en SIMPACK: Modelo de contacto rígido……………………………………. 21 3.2.1 Implementación del modelo en SIMPACK……………………………………………………… 21 3.2.2 Resultados: Validación del modelo………………………………………………………………… 24 3.3 Segunda simulación en SIMPACK: Modelo de contacto elástico………………………………… 32 3.3.1 Definición de la fuerza de contacto elástico en SIMPACK……………………………… 32 3.3.2 Resultados: Comparación de los modelos de contacto………………………………….. 33 3.3.3 Variación paramétrica……………………………………………………………………………………… 35 3.3.3.1 Influencia de la constate de rigidez del muelle que define la fuerza de contacto elástica………………………………………………………………………………………. 35 3.3.3.2 Influencia de la constante de amortiguamiento que define la fuerza de contacto elástica………………………………………………………………………………………. 36 3.3.4 Cálculo final de las funciones de transferencia utilizando los datos obtenidos con las variaciones paramétricas…………………………………………………………………………… 38 4. MODELIZACIÓN Y SIMULACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS DE UNA CATENARIA CONVENCIONAL……………………………………………………………………………………………………………… 41 4.1 Definición de la catenaria alemana normalizada Re200 empleada para las simulaciones …………………………………………………………………………………………………………………………………….. 41 4.2 Implementación del modelo de catenaria en Altair Hypermesh…………………………………. 42 4.2.1 Definición de la geometría y aplicación del mallado………………………………………….42 4.2.2 Definición de las propiedades y de los materiales de los elementos tipo viga………………………………………………………………………………………………………………….. 43 4.2.3 Definición de elementos secuandarios situados a lo largo de la catenaria……… 44 4.2.4 Definición de las cargas y condiciones de contorno…………………………………………. 45 4.3 Análisis estático del modelo en Hypermesh/MSC.Nastran……………………………………………47 4.3.1 Elección del método de análisis……………………………………………………………………….. 47 4.3.2 Resultados de los análisis con MSC.Nastran: Equilibrio estático……………………… 48 4.4 Análisis modal………………………………………………………………………………………………………………. 51 5. INTRODUCCIÓN DEL MODELO DE CATENARIA EN SIMPACK COMO UN CUERPO FLEXIBLE USANDO EL PREPROCESADOR FEMBS……………………………………………………………………………55 5.1 Importancia de los términos de rigidez geométrica…………………………………………………… 56 5.2 Diferencias entre el uso de MSC.Nastran y de SIMBEAM para la creación del modelo de elementos finitos………………………………………………………………………………………………………… 60 5.3 Precisión de un modelo SIMPACK de un cuerpo flexible tipo cable sometido a tensiones ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 62 6 6. CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………………………………… 67 6.1 Aportaciones y conclusiones………………………………………………………………………………………. 67 6.2 Futuras líneas de trabajo…………………………………………………………………………………………….. 69 ANNEXES ANNEX A: STATE OF THE ART. MODELIZATION A.1 Pantograph models A.1.1 Definition and functions of a pantograph A.1.2 Simple models A.1.3 Considering more than one contact wire A.1.4 Considering the elasticity of the pan-head A.1.5 Non-linear multibody models A.1.6 Considering the aerodynamics A.2 Catenary models A.2.1 Definition and functions of the catenary A.2.2. One-dimensional simple models A.2.3 Bi-dimensional models: spatial and temporal discretization A.2.4 Finite element method A.2.5 Considering the non-linearity A.3 Pantograph-Catenary models A.3.1 Interaction: Contact force A.3.2 Non-linearity at the pantograph-catenary system A.3.3 Active pantographs ANNEX B: STATE OF THE ART. SIMULATION TOOLS B.1 Introduction to computer aided engineering (CAE) B.2 Pantograph-Catenary performance simulation B.2.1 Demands and applications B.2.2 Simulation Tool Panorama B.3 Simulation Tools used in the present master thesis B.3.1 Multibody Simulation Tool: SIMPACK B.3.2 Finite Element Pre-processor: Hypermesh B.3.3 Finite Element Processor: MSC.Nastran ANNEX C: STATE OF THE ART. STANDARDIZATION C.1 EN 50318: Validation of simulation of the dynamic interaction between pantograph and overhead contact line C.2 EN 50367: Technical criteria for the interaction between pantograph and overhead line (to achieve free access to the European Railway Network) ANNEX D: ASSEMBLED STATE OF THE RE200 CATENARY (LAAGE-KAVELSTORF). 7 ANNEX E: REAL AND NOMINAL CROSS SECTIONS OF THE WIRES FORMING THE GERMAN RE200 CATENARY. E.1 Real Cross Section of the AC100 Cu (Ri 100) contact wire E.2 Nominal Cross Section of the AC100 Cu (Ri 100) contact wire E.3 Real Cross Section of the Bz II catenary wire, stitch wires and droppers E.4 Nominal Cross Section of the Bz II catenary wire, stitch wires and droppers ANNEX F: DEFINITION OF THE ITERATIVE METHOD OF THE NON-LINEAR ANALYSIS ANNEX G: MSC.NASTRAN RESULTS OF THE DIFFERENT CALCULATIONS OF THE “LA-KA” CATENARY SECTIONS. DISPLACEMENTS AND STRESSES. ANNEX H: SIMULATION OF FLEXIBLE BODIES IN A MULTIBODY SYSTEM (MBS) H.1 Simulation of a finite element model as a flexible body in a multibody system (MBS) H.2 Simulation of a catenary as a flexible body in SIMPACK H.2.1 Using a finite element tool: Hypermesh/MBS.Nastran H.2.1.1 Input files for FEMBS H.2.1.2 Modal Reduction: Guyan or Dynamic Reduction H.2.2 Using the SIMPACK unit SIMBEAM to create directly a flexible body H.2.3 Creation of the SID_FEM-file in FEMBS ANNEX I: REFERENCES 8 CAPÍTULO 1: Introducción 9 1. INTRODUCCIÓN En este proyecto de fin de carrera se presenta un método para modelar y simular un sistema de electrificación ferroviario del tipo pantógrafo-catenaria. El conjunto pantógrafo-catenaria es un sistema acoplado dinámicamente, lo cual quiere decir que la respuesta dinámica de la catenaria afecta a la del pantógrafo y viceversa. El comportamiento de este sistema juega un papel muy importante en garantizar un funcionamiento apropiado de los vehículos ferroviarios sin restricciones de la velocidad. Por eso, hoy en día resulta esencial entender las características y demandas de ambos elementos para poder desarrollar métodos precisos de modelado del sistema. Figure 1.1: Pantograph-Catenary System [1]. El comportamiento dinámico de estos elementos presenta muchas diferencias. Por una parte, la catenaria o línea aérea de contacto es una estructura de cables de gran longitud fuertemente precargados a tensión en los que se produce la propagación de ondas mecánicas. Y, por otra parte, el pantógrafo se compone de 2 brazos articulados excitados en ambos extremos; por el tren en la parte inferior y por la catenaria en la parte de la mesilla, siendo perturbado además por fuerzas aerodinámicas. También el contacto entre ambos elementos al deslizarse el pantógrafo a lo largo de la catenaria es una de las principales dificultades a la hora de modelar el conjunto. En este contexto, el departamento de Dinámica del Vehículo de la empresa Bombardier Transportation en el emplazamiento de Hennigsdorf (Alemania) propuso una colaboración con la Universidad de Zaragoza para crear un método propio de simulación de este sistema de captación de energía eléctrica. El fin de este proyecto es la definición de modelos de simulación apropiados para el pantógrafo y la catenaria que permitan el posterior cálculo de la interacción entre ambos. Con este propósito se propusieron dos métodos de simulación: por elementos finitos y multicuerpo. Para el primer tipo se ha contado con el preprocesador Hypermesh 10.0 y con el procesador MSC.Nastran 2008 r1 y, para el segundo, con la herramienta comercial de simulación multicuerpo SIMPACK 8904. CAPÍTULO 2: Contexto y estado de la técnica 16 Por último, existen normativas y reglamentos europeos que controlan la creación de nuevos modelos de simulación definiendo los requisitos para su validación. El Anexo C: Estado de la técnica. Normativa (Annex C: State of the art. Standardization) recoge las normas relacionadas con la validación de métodos de simulación del sistema pantógrafo–catenaria y un breve resumen en el que aparece qué información puede encontrarse en cada una de ellas. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 17 3. MODELIZACIÓN Y SIMULACIÓN MULTICUERPO DE UN PANTÓGRAFO En esta sección se describe el proceso de implementación de un modelo simplificado de un pantógrafo asimétrico en el programa de simulación multicuerpo SIMPACK. La versión utilizada en este proyecto es SIMPACK 8904. Para la definición del modelo se han usado datos obtenidos a partir de una serie de test realizados en un banco de pruebas. Dicho banco de pruebas simula el proceso de avance del pantógrafo a lo largo de la catenaria aplicando excitaciones sinusoidales a una barra de excitación del sistema. Al entrar el pantógrafo en contacto con la barra de excitación, los frotadores comienzan a su vez una oscilación, que es recogida por los sensores de medición situados en el pantógrafo. Mediante simulaciones dinámicas en SIMPACK se han reproducido estos ensayos hasta obtener la definición apropiada de la fuerza de contacto para el modelo definido. 3.1. DEFINICIÓN DEL MODELO El modelo usado en este proyecto se ha basado en un informe previo realizado por Deutsche Bahn AG para Bombardier Transportation [7]. Esta memoria describe la metodología y resultados de una serie de experimentos llevados a cabo en un banco de pruebas especial para pantógrafos, mostrado en la figura 3.1. Figura 3.1: Banco de prueba para pantógrafos de Deutsche Bahn AG, Munich [7]. La parte superior de un banco de pruebas de este tipo cuenta con un sistema capaz de transmitir pequeños movimientos verticales a partir de un actuador hidráulico. Estas oscilaciones son definidas por el usuario en las frecuencias de interés para recrear la interacción del sistema pantógrafo catenaria a altas velocidades. El objetivo de dicho informe fue simular la respuesta de diferentes tipos de pantógrafos existentes en el mercado y estudiar los resultados para elegir el pantógrafo más apropiado para un determinado tipo de catenaria. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 18 Para hacer que el frotador entre y se mantenga en contacto con la barra de excitación una fuerza de elevación es transmitida al brazo inferior del sistema, tal y como ocurre en los conjuntos reales. Esta fuerza representa la suma de la fuerza estática y de la fuerza dinámica que actúan sobre el pantógrafo cuando se desplaza a una velocidad determinada a lo largo de la catenaria. La fuerza estática se define como la media de la fuerza vertical aplicada a la catenaria por el frotador causada por la activación del sistema de elevación del conjunto. Por otra parte la fuerza aerodinámica es la fuerza vertical transmitida al pantógrafo debido al flujo de aire alrededor de sus elementos cuando este se traslada a una determinada velocidad. El valor de dicha fuerza puede medirse en pruebas realizadas en vía a través de sistemas de medida montados en el pantógrafo. Durante la realización de dichas pruebas la respuesta dinámica de cada tipo de pantógrafo es medida y utilizada junto con las excitaciones y fuerzas transmitidas al sistema para obtener la función de transferencia de cada modelo. El propósito de obtener las funciones de transferencia es obtener el valor de los parámetros de un modelo simplificado de pantógrafo. El modelo definido está basado en la literatura general de modelización de pantógrafos y se trata de un modelo masa-muelle-amortiguador. El pantógrafo está compuesto por 3 masas separadas por pares muelle-amortiguador. Las dos masas inferiores representan el brazo inferior y superior respectivamente y una tercera se corresponde con el patín del pantógrafo donde se sitúan los dos frotadores en los que tiene lugar el contacto. Además una cuarta masa es añadida al modelo para simular la barra de excitación a la que se le aplica la excitación sinusoidal. La equivalencia entre las masas del modelo simplificado y las partes reales del pantógrafo puede verse gráficamente en la figura 3.2. También están representados los parámetros que simulan el comportamiento real de la suspensión y las articulaciones del pantógrafo. Figura 3.2: Modelo simplificado de pantógrafo utilizado por el informe de Deutsche Bahn AG [7]. Como puede consultarse en diversa bibliografía [8], [9], este tipo de modelos simplificados de masas son adecuados únicamente para estudios con frecuencias de 20-30 Hz como máximo, lo que limita la elección de las frecuencias de excitación del sistema. Una vez definido el modelo la función de transferencia del modelo simplificado es comparada con la obtenida en la serie de experimentos para obtener el valor numérico de cada uno de los parámetros. La segunda parte del informe utiliza estos parámetros para realizar simulaciones por ordenador del sistema a altas velocidades (380 km/h). CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 19 En total 4 tipos de pantógrafos fueron comparados en el informe:  Pantógrafo Faiveley CX con un solo frotador de 1600 mm de longitud.  Pantógrafo Faiveley CX con un solo frotador de 1950 mm de longitud.  Pantógrafo Melecs SSS400 con 2 frotadores de 1950 mm de longitud.  Pantógrafo Stemmann DSA380 con 2 frotadores de 1950 mm de longitud. Los parámetros obtenidos para cada uno de ellos a partir de la comparación de las funciones de transferencia fueren adaptados para optimizar la dinámica del modelo para frecuencias hasta 20 Hz. La tabla de la figura 3.3 muestra los valores finales de masas, muelles y amortiguadores usados por Deutsche Bahn AG para las simulaciones. También puede comprobarse que las simulaciones seleccionadas para su reproducción en este proyecto definen la fuerza elevadora con un valor constante de 160 N. Figura 3.3: Parámetros utilizados para las simulaciones por ordenador para cada tipo de pantógrafo [7]. Respecto a las excitaciones definidas por Deutsche Bahn AG para crear las oscilaciones de la barra de excitación en el banco de pruebas a través del actuador hidráulico se eligieron las siguientes funciones (representadas en la figura 3.4):  Excitación tipo 1, con un rango de frecuencias entre 0.2 Hz y 25 Hz y una amplitud inversamente proporcional a la frecuencia (grandes amplitudes para bajas frecuencias y pequeñas amplitudes para altas frecuencias).  Excitación tipo 2, con un rango de frecuencias entre 0.5 Hz y 8 Hz y una amplitud tal que produce una amplitud de la fuerza dinámica que se mantiene proporcional a lo largo del rango de frecuencias definido. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 20 Figura 3.4: Amplitudes de las excitaciones creadas en el banco de pruebas de Deutsch Bahn AG [7]. Las mismas excitaciones sinusoidales fueron definidas en las simulaciones por ordenador. Con estos rangos de frecuencias se pretende analizar los efectos no lineares de la interacción pantógrafo catenaria a diferentes velocidades. Está demostrado que las distancias entre péndolas y la longitud del vano (distancia entre soportes) son importantes fuentes de vibración del pantógrafo y que sus efectos aumentan con la velocidad de operación. Dicho comportamiento es consecuencia de la variación periódica de la rigidez de la catenaria entre péndolas o a lo largo del vano, respectivamente, lo que actúa como una fuente de excitación del sistema variable con la velocidad. Según investigaciones realizadas por Maroño et al. [10], las oscilaciones producidas por la longitud del vano son más severas que las generadas por la distancia entre péndolas. En comparación con estas fuentes de excitación encontramos las frecuencias propias del sistema, las cuales no son dependientes de la velocidad ya que solo dependen de parámetros físicos de la estructura de la catenaria. De acuerdo con el informe de Deutsche Bahn AG [7] las oscilaciones causas por dichos elementos aparecen en las siguientes frecuencias:  Las debidas a la distancia entre soportes aparecen entre 1.8 Hz (aprox. 60 m de vano) y 2.6 Hz (aprox. 40 m de vano) para altas velocidades (380 km/h) y en frecuencias menores a 1 Hz para líneas estándar de velocidad media (hasta 200 km/h).  Las péndolas, por su parte, influencian el comportamiento del pantógrafo, dependiendo da la distancia que las separe, entre los 6.6 Hz (16 m de distancia) y los 13.2 Hz (8 m de distancia) para altas velocidades (380 km/h). En este proyecto, por tanto, se tendrán en cuenta frecuencias del sistema hasta el límite de 20-30 Hz, prestando especial atención a los rangos en los que aparece el efecto de estos dos componentes. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 21 3.2. PRIMERA SIMULACIÓN EN SIMPACK: MODELO DE CONTACTO RÍGIDO 3.2.1. Implementación del modelo en SIMPACK Para reproducir el modelo teórico del informe de Deutsche Bahn AG [7] en la herramienta de simulación multicuerpo SIMPACK 8904 se han ido creando sucesivamente todos los elementos. Primeramente se crearon 4 cuerpos a los que se les asignaron las 4 masas del modelo. Cada masa está conectada con el sistema de referencia mediante una junta del tipo “Type 06: Prismatic Joint in z”, que permite un solo grado de libertad; en este caso el desplazamiento vertical en el eje z. Además de restringir los grados de libertad de cada cuerpo, en esta junta se definen también las distancias iniciales entre los diferentes cuerpos y el sistema de referencia que se han definido como posición inicial. Para añadir el peso propio, la fuerza de gravedad ha sido definida como una aceleración global del modelo que actúa en el sentido negativo del eje vertical z. El elemento predefinido de fuerza “Type 04: Spring-Damper in Parallel” fue añadido para representar las parejas muelle-amortiguador del modelo teórico, como representa la figura 3.5. Las longitudes naturales de los muelles fueron definidas de tal manera que la posición definida sea a su vez la de equilibrio. Figura 3.5: Definición del elemento predefinido de fuerza “Spring-Damper in Parallel” y su representación en el modelo de SIMPACK. Adicionalmente se definen los marcadores de contacto en el frotador del pantógrafo y en la barra de excitación para poder definir una restricción entre ellos en la que todos los grados de libertad se mantengan libres excepto por el desplazamiento en la dirección vertical. En este caso se define el punto central superior del cuerpo representando el frotador como padre y el punto central inferior de la barra de excitación como hijo. La restricción “Type 25: User Defined Constraint” es elegida para este fin impidiendo que se cree una penetración o espacio entre ambos cuerpos. De esta forma se cree un contacto rígido puntual en el que los sensores en los puntos de contacto miden las translaciones restringidas y las transforman en una fuerza de contacto. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 22 Para permitir que el mismo modelo pueda usarse para cualquier tipo de pantógrafo se definen todos los parámetros que definen un pantógrafo determinado en su correspondiente archivo de parámetros que puede ser importado en SIMPACK y automáticamente actualiza los valores definidos. Así, para cambiar el tipo de pantógrafo únicamente debe cambiarse el “Input Parameter File” seleccionado en el modelo sin necesidad de volver a definir los cuerpos o elementos. Para calcular las fuerzas iniciales para cada tipo de pantógrafo en la posición de equilibrio definida se usa la función “Nominal Forces” de SIMPACK, que añade directamente las fuerzas nominales de cada elemento a las propiedades del sistema. Esta función detecta varios estados de equilibrio del sistema, así que aquel en el que la fuerza inicial de contacto es nula fue elegido para el modelo. Además los valores obtenidos para el resto de fuerzas fueron verificados con los resultados de un cálculo analítico en el que las fuerzas iniciales de la pareja muelle-amortiguador se calculan como las reacciones a las fuerzas debidas al peso propio de los diferentes cuerpos. El siguiente paso fue definir la fuerza elevadora aplicada al brazo inferior del pantógrafo. Para ello se usa el tipo de fuerza “Type 51: Force Expression”, que queda definida por una expresión introducida por el usuario. En este caso se introduce una función tal que genere una fuerza vertical constante de valor 160 N (al igual que la definida en los ensayos de Deutsche Bahn AG que se quieren imitar) pero que se aplique gradualmente mediante una función escalón entre los segundos t=1 s y t=3 s de la simulación. Para provocar el movimiento deseado hacia arriba de la masa inferior del pantógrafo se define la fuerza deseada pero en sentido negativo hacia abajo para que la reacción generada provoque el movimiento del pantógrafo hacia la catenaria. La función de la expresión definida para esta fuerza puede consultarse en la figura 3.6. Figura 3.6: Fuerza media aplicada a la masa inferior del pantógrafo. Análogamente se definen las expresiones de los dos tipos de excitaciones seleccionadas para los ensayos entre las frecuencias. Ya que no se conoce la función exacta se obtienen parejas de valores amplitud-frecuencia de las gráficas mostradas en la figura 3.4, se transforman en funciones continuas y se introducen en SIMPACK como “Input Functions”. Las “Input Functions” se utilizan para definir parejas de valores que pueden ser importadas en SIMPACK y utilizadas para la definición de expresiones para elementos del programa. En este caso, estas funciones dependientes de la frecuencia se transforman en dependientes del tiempo para ser aplicadas como excitaciones en el tiempo en el marcador correspondiente al punto superior del elemento de fuerza muelle-amortiguador de la barra de excitación. La excitación seleccionada se aplica además entre los segundos t=5 s y t=6 s de manera que la fuerza elevadora ya ha alcanzado el valor constante y el pantógrafo se encuentra presionando la catenaria a la altura de operación definida por dicha fuerza. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 23 El valor de la frecuencia para cada integración temporal se define con el resto de parámetros bien como constante o bien como variable para el caso de cálculos de variación paramétrica, que serán explicados más adelante. Para cada frecuencia, por tanto, corresponde una determinada amplitud definida en la “Input Function”, quedando las excitaciones temporales definidas de la siguiente manera: Figura 3.7: Excitación temporal 1. Figura 3.8: Excitación temporal 2. La figura 3.9 muestra la posición de equilibrio del modelo final implementado en SIMPACK, en el que se identifican los elementos y parámetros previamente definidos en la figura 3.2. Las tres masas que modelan el pantógrafo están representadas en azul y la masa correspondiente a la barra de excitación del sistema en verde. Los elementos muelle-amortiguador están representados mediante muelles y la fuerza elevadora mediante una flecha aplicada en el brazo inferior del pantógrafo, cuya reacción provocará el movimiento hacia arriba del sistema. Como se ha definido previamente, la función de excitación se aplica en el marcador superior del sistema, por lo que llegará amortiguada a la barra de excitación. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 24 Figura 3.9: Modelo multicuerpo de un pantógrafo asimétrico en SIMPACK. Los valores de las masas, muelles y amortiguadores dependen del tipo de pantógrafo seleccionado. En la tabla de la figura 3.3 pueden consultarse los valores correspondientes a los 4 pantógrafos utilizados en este proyecto. 3.2.2. Resultados: Validación del modelo multicuerpo en SIMPACK Una vez la posición y las fuerzas nominales en el equilibrio han sido calculadas y la fuerza elevadora y la excitación temporal han sido definidas, puede calcularse el comportamiento del sistema a lo largo del tiempo mediante la integración temporal. Los resultados de la simulación pueden visualizarse en forma de vídeo para los segundos definidos para dicha integración o ser representados en forma de gráficas mediante el postprocesador de SIMPACK. Así, la figura 3.10 representa el desplazamiento vertical del punto de contacto del frotador de un pantógrafo Faiveley a lo largo del tiempo para el caso de la excitación tipo 1. Dicha figura muestra cómo el pantógrafo es elevado 5 cm desde la posición de equilibrio z=3 m debido a la fuerza sustentadora de 160 N y comienza a oscilar coincidiendo con la aplicación de la excitación sinusoidal en la barra. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 25 Figura 3.10: Desplazamiento vertical del frotador de un pantógrafo Faiveley. La figura 3.11 pertenece a la misma simulación pero muestra, en este caso, la evolución de la fuerza de contacto. Con la aplicación de la fuerza elevadora aumenta los 160 N hasta alcanzar una nueva posición de equilibrio a partir de la cual comienza a oscilar con pequeña amplitud debido a la excitación de la barra. Figura 3.11: Fuerza de contacto entre el frotador del pantógrafo y la barra de excitación. Estos resultados son plausibles, por lo que pasamos a calcular la función de transferencia del modelo. Las funciones de transferencia representan la respuesta o variable de salida de un sistema en estado estacionario a una entrada sinusoidal. La magnitud de la función de transferencia es el cociente entre las señales de salida y de entrada y normalmente se representa frente a la variación logarítmica de la CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 32 Teniendo en cuenta las diferencias entre el los datos de las pruebas y el modelo lineal usado en las simulaciones puede decirse que los resultados son suficientemente buenos ya que representan una buena aproximación del comportamiento real de un pantógrafo. Por tanto el modelo definido en este capítulo será usado para calcular la interacción del pantógrafo con un modelo de catenaria. 3.3. SEGUNDA SIMULACIÓN EN SIMPACK: MODELO DE CONTACTO ELÁSTICO Como segundo paso se ha realizado una segunda serie de simulaciones del modelo utilizando una definición de la fuerza de contacto más compleja. Para ello se ha implementado una pareja muelleamortiguador en paralelo entre dos marcadores, padre e hijo, que representan los puntos de contacto. El marcador padre se corresponde con el punto de contacto en la masa superior del pantógrafo y el marcador hijo con el punto de contacto en la barra de excitación que representa el cable de contacto de la catenaria. Para el cálculo de la fuerza de contacto se ha calculado la distancia entre la pareja de marcadores para cada intervalo de tiempo. 3.3.1. Definición de la fuerza de contacto elástico en SIMPACK Existen varias posibilidades para definir una fuerza de contacto de tipo muelle-amortiguador en SIMPACK, entre las que destacamos:  Force Type 05: spring-damper parallel. Usando este tipo la fuerza podrá ser positiva o negativa dependiendo de si un cuerpo penetra sobre el otro durante la oscilación de ambos o de si aparece un hueco entre ambos. La fuerza de contacto se define como el producto de la distancia entre los marcadores ( [m]) y la rigidez definida para el muelle ( [N/m]) más el producto de la constante de amortiguamiento ( [Ns/m]) y la primera derivada en el tiempo de la distancia entre los marcadores ( [m/s]), como ilustra la figura 3.17. Figura 3.17: Función de la fuerza para el tipo de fuerza 05 en SIMPACK. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 33  Force Type 18: unilateral spring-damper. Permite al usuario considerar la fuerza de contacto únicamente cuando ocurre la penetración entre ambos cuerpos. En otro caso recibe el valor de cero, como muestra la figura 3.18. Figura 3.18: Función de la fuerza de contacto para el tipo de fuerza 18 en SIMPACK. 3.3.2. Resultados: Comparación de los modelos de contacto En esta sección se muestra una comparación entre el uso del contacto rígido y el elástico para los tres tipos de pantógrafo considerados. Para cada uno de ellos se han realizado simulaciones para los dos tipos de funciones de excitación. A la constante de rigidez del muelle se le ha asignado un valor de = 500 000 N/m y no se ha tenido en cuenta amortiguación de la fuerza de contacto para las simulaciones de este apartado. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 34 Figura 3.19: Comparación de los tipos de fuerza de contacto ( k = 500 000 N/m; d = 0 Ns/m). CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 35 Los resultados muestran que para altas frecuencias en los casos en los que se ha implementado el tipo 2 de excitación la fuerza de contacto presenta grandes amplitudes de oscilación de manera que aparecen picos en los gráficos de las funciones de transferencia (ver figura 3.19). Dicho comportamiento es debido a la definición de la fuerza elástica de contacto, en la que no se ha tenido en cuenta un amortiguamiento en el proceso de acercamiento y alejamiento de los cuerpos. Estas irregularidades están representadas en la figura 3.20, donde aparece el comportamiento de la fuerza de contacto para distintas frecuencias. Como se ha dicho, añadiendo la constante de amortiguamiento a la función de la fuerza de contacto se estabiliza la amplitud de la oscilación durante todo el tiempo de integración. En la sección 3.3.3.2 se detalla el proceso de selección del valor más apropiado para dicha amortiguación. Figura 3.20: Fuerza de contacto para diferentes frecuencias de excitación para el caso de pantógrafo SSS400 y el tipo de excitación 2. 3.3.3. Variación paramétrica 3.3.3.1. Influencia de la constante de rigidez del muelle que define la fuerza de contacto elástica Se ha realizado un estudio paramétrico con el fin de obtener un valor apropiado para la constante de rigidez ( ). Para ello se ha fijado el valor de la frecuencia a 0,8 Hz, de manera que todos los valores característicos del sistema permanecen constantes excepto la constante de rigidez de la fuerza de contacto flexible. Los resultados de este estudio, representados en la figura 3.21, muestran claramente que para valores inferiores a 50 000 N/m no se alcanza la fuerza de contacto deseada durante el equilibrio estático. En esta figura aparece únicamente el estudio realizado para el pantógrafo Faiveley CX1600 en representación del comportamiento del modelo, ya que para los otros tipos los resultados son análogos. Queda por tanto validado el uso del valor de 500 000 N/m para las simulaciones. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 36 Figura 21: Comparación de la fuerza de contacto elástico para diferentes valores de rigidez del muelle para el pantógrafo Faiveley CX1600 y la frecuencia f = 0,8 Hz. 3.3.3.2. Influencia de la constante de amortiguamiento que define la fuerza de contacto elástica Análogamente se ha realizado otro estudio paramétrico para diferentes valores de la constante de amortiguamiento. En este caso no se observan variaciones para el valor de la frecuencia f=0,8 Hz (ver figura 3.22) pero sí para el rango de altas frecuencias. Para la frecuencia problemática de f=17,5 Hz (como se muestra en la figura 3.23) se aprecia que el amortiguamiento de la oscilación es necesario para evitar resultados no deseados. Examinando los resultados de la figura 3.23 se ha elegido un valor de d = 500 Ns/m para las simulaciones finales. Valores muy pequeños implican variaciones de la amplitud para una misma frecuencia y, por otro lado, valores demasiado altos (a partir de d = 5 000 000 Ns/m) implican grandes oscilaciones al comienzo de la excitación. Ninguno de estos comportamientos del modelo es tolerable. Sin embargo, así como el primero conlleva irregularidades CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 37 a la hora de calcular la función de transferencia, la elección de un valor alto no implica errores en el cálculo final al medirse la fuerza de contacto tras el periodo de transición (entre los 7 s y los 22 s). Figura 3.22: Comparación de la fuerza de contacto elástico para diferentes valores de amortiguamiento para el pantógrafo Faiveley CX1600 y la frecuencia f = 0,8 Hz. Figura 3.23: Comparación de la fuerza de contacto elástico para diferentes valores de amortiguamiento para el pantógrafo Faiveley CX1600 y la frecuencia f = 17,5 Hz. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 38 3.3.4. Cálculo final de las funciones de transferencia utilizando los datos obtenidos con las variaciones paramétricas Tras la optimización de la fuerza de contacto elástica mediante las variaciones paramétricas detalladas en la sección anterior se ha realizado el cálculo final de las funciones de transferencia para cada caso estudiado. Los valores finales de las constantes son los mostrados a continuación y los resultados pueden consultarse en la figura 3.24. A la vista de las gráficas de las funciones de transferencia se concluye que en todos los casos el comportamiento del modelo por ordenador es análogo al de las simulaciones del informe de Deutsche Bahn AG [7] (pueden comparase con las figuras 3.16 y 3.24). Es importante destacar que, tras la optimización del contacto flexible, no existen diferencias debidas al tipo de contacto o a la función de excitación definidos. Esto es, las funciones de transferencia son únicas para cada pantógrafo. Por tanto el modelo de simulación considerado queda validado debido a la equivalencia de sus resultados con los del informe previo. Este modelo además permite su unión con un modelo de catenaria. CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 39 Figura 3.24: Funciones de transferencia de 3 tipos de pantógrafos para cada caso estudiado (3 tipos de funciones de contacto y 2 tipos de funciones de excitación). CAPÍTULO 3: Modelización y simulación multicuerpo de un pantógrafo 40 CAPÍTULO 4: Modelización y simulación por elementos finitos de una catenaria convencional 41 4. MODELIZACIÓN Y SIMULACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS DE UNA CATENARIA CONVENCIONAL En este capítulo se describe la modelización y simulación de una estructura de catenaria convencional mediante el método de los elementos finitos. Las herramientas utilizadas han sido Altair Hypermesh 10.0 como preprocesador y MSC.Nastran 2008 r1 como procesador. 4.1. DEFINICIÓN DE LA CATENARIA ALEMANA NORMALIZADA RE200 EMPLEADA PARA LAS SIMULACIONES En este proyecto se han usado las características reales de la catenaria normalizada Re200, diseñada para una velocidad máxima de 160 m/s, para la implantación del modelo de elementos finitos. Para ello se han usado los datos medidos durante una prueba en vía entre las estaciones de las ciudades alemanas Laage y Kavelstorf, denominada en este proyecto como recorrido “La-Ka”. El recorrido “la- Ka” cubre una distancia de unos 2200 m, los cuales están divididos en 4 secciones o conjuntos sucesivos de vanos, tal y como muestra la tabla de la figura 4.1. La longitud de los vanos (distancia entre 2 apoyos consecutivos) varía dentro del tramo considerado entre los 45 m y los 74,9 m, pero la mayoría se encuentran dentro del rango entre 60 m y 70 m de longitud. La altura de la catenaria es de 5,5 m pero podemos encontrar una parte del tramo en la que dicha altura es reducida a los 5,3 m debido a la localización de un puente sobre ella. Sección Comienzo [m] Final [m] Longitud [m] La-Ka 1 0 367,29 367,29 La-Ka 2 179,49 1663,39 1483,90 La-Ka 3 1475,39 2198,86 723,47 La-Ka 4 2011,39 2198,86 187,47 Figura 4.1: Tabla con las longitudes de las secciones de catenaria del tramo de vía entre Laage y Kavelstorf. Debe visualizarse que cada sección comienza antes de que la anterior acabe generando áreas de solapamiento en las que la línea que acaba asciende gradualmente y la que comienza desciende en la misma medida hasta que la primera se encuentra con la otra a la altura regular de la catenaria (área de solapamiento o seccionamiento). Para una mejor comprensión de la transición entre los vanos y secciones de la catenaria, el estado inicial de la catenaria estudiada puede encontrarse en el Anexo D: Estado de ensamblaje de la catenaria Re200 en el tramo Laage-Kavelstorf (Annex D: Assembled state of the Re200 catenary at Laage-Kavelstorf). CAPÍTULO 4: Modelización y simulación por elementos finitos de una catenaria convencional 48  Los materiales deben ser homogéneos e isótropos, esto es, los cálculos están limitados a materiales en los que la tensión es directamente proporcional a la deformación y el comportamiento permanece elástico. Además, se presupone que la estructura en el equilibrio estático está libre de cualquier tensión inicial o residual.  El análisis lineal está limitado a pequeños desplazamientos. Para el caso de vigas esto significa que los desplazamientos a flexión deben ser mucho más pequeños que la dimensión más pequeña de la sección transversal de la viga.  Las cargas deben ser aplicadas lentamente, es decir, la aplicación de una carga no puede resultar en grandes oscilaciones. Un ejemplo sería un impacto en el que la flecha o desplazamiento vertical máximo resultante entre dos apoyos fuese mayor que la posición final en el equilibrio estático. Queda claro que nuestro modelo no se corresponde con pequeños desplazamientos, ya que los diámetros de los cables son muy pequeños (entre 4 y 12 mm) y las flechas esperadas son del orden de los cm. A modo de prueba se realizó un primer análisis lineal para una viga de 80 m de longitud fija en un extremo, con una carga a tensión de 10 kN en el otro extremo y bajo los efectos de la gravedad. Los resultados dieron una serie de valores completamente inexactos con flechas máximas del orden de los km. Además, las tensiones mecánicas generan tensiones iniciales internas de la estructura que no pueden tenerse en cuenta mediante un análisis lineal. Consecuentemente, puede concluirse que es necesario usar un método no lineal para el cálculo de la estructura. Por tanto, se ha procedido a realizar una serie de análisis no lineales, que se corresponden con la solución 106 en MSC.Nastran [11]. Para indicar que la razón de la no linealidad es geométrica se ha implementado el parámetro LGDISP, que permite grandes desplazamientos de la estructura. Los problemas no lineales requieren métodos de solución iterativos con aplicación incremental de las cargas o fuerzas hasta llegar a la convergencia de la solución. Esto implica que este tipo de problemas necesitan un mayor esfuerzo computacional. Para adaptar dicho método de convergencia al modelo es necesario definir el parámetro NLPARM, que fija la estrategia de iteración. Toda la información relativa a la caracterización y optimización de dicho método de convergencia se encuentra en el Anexo F: Definición del método iterativo del análisis no lineal (Annex F: Definition of the iterative method of the non-linear analysis). 4.3.2. Resultados de los análisis con MSC.Nastran 4.3.2.1. Posición de equilibrio estático Los resultados finales tras la carga progresiva de la gravedad y las tensiones mecánicas, teniendo en cuenta las condiciones de contorno anteriormente definidas, se corresponden con la posición en el equilibrio estático de la estructura de la catenaria. Se han calculado, para cada nodo de la estructura mallada, los desplazamientos y tensiones en cada iteración. Estos se han visualizado abriendo el archivo *.op2 de los obtenidos tras el cálculo en el post-procesador Hyperview. CAPÍTULO 4: Modelización y simulación por elementos finitos de una catenaria convencional 49 La tabla del Anexo G: Resultados de los análisis no lineales de las secciones de la catenaria “La-Ka” con MSC.Nastran (Annex G: MSC.Nastran results of the non-linear analyses of the “La-Ka” catenary sections) permite realizar una comparación de todas las simulaciones realizadas. Primero se realizaron simulaciones individuales para cada sección del tramo “La-Ka” y después se crearon modelos más grandes con combinaciones de estas secciones. Lógicamente se comprueba que cuanto mayor es la longitud del tramo analizado mayor es el número de elementos necesarios en el modelo y, por tanto, mayor es el tiempo necesario para el cálculo. Además, se puede comparar el comportamiento de la estructura únicamente bajo el efecto de la gravedad y el comportamiento cuando se aplican las tensiones mecánicas. En el primer caso se observa que la flecha máxima alcanza valores cercanos a los 800 mm en los puntos críticos del hilo de contacto. Gracias a las tensiones mecánicas este valor máximo es reducido hasta aproximadamente 260 mm. Asimismo, sin el efecto de las tensiones todas las secciones del tramo experimentan unos desplazamientos verticales similares, pero con las tensiones mecánicas las secciones más largas experimentan flechas mayores que las cortas. No debe ser olvidado que, teoréticamente, los desplazamientos verticales del modelo respecto a la geometría inicial deberían ser nulos, ya que está geometría se correspondía con el equilibrio estático de la catenaria tras el ensamblaje (medida a través de sensores en la vía real). Así, el equilibrio estático del modelo por ordenador no debería variar respecto al real al aplicar las mismas cargas a la estructura; gravedad y tensiones mecánicas. Sin embargo, existen variaciones debido a las masas adicionales (elementos de conexión y fijación) y a posibles cambios de las propiedades de los elementos del modelo respecto a la realidad. Estas masas adicionales no pueden ser eliminadas porque representan el efecto de los puntos rígidos o de sustentación que influyen en la reflexión de las ondas mecánicas que aparecen en la catenaria bajo la acción del pantógrafo. Otro punto importante del comportamiento bajo carga de la estructura es la pérdida de la verticalidad de las péndolas, sobre todo en las cercanías de los extremos de las secciones en los que se aplican las tensiones. Este hecho es resultado de las diferentes propiedades de la catenaria y el hilo de contacto y del efecto añadido de una mayor masa añadida en el hilo de contacto (brazos de atirantado). La consecuencia es que el hilo de contacto posee una mayor rigidez que el cable sustentador, por lo que una misma carga a tensión provoca mayores desplazamientos longitudinales en el segundo. Los datos empleados para la definición de la geometría de la estructura de la catenaria definen los extremos de las secciones como un único punto en el que convergen hilo de contacto y cable sustentador, por lo que las tensiones de cada conductor se aplican en un mismo punto. La primera y la última sección (“La-Ka 1” y “La-Ka 4”), sin embargo, son excepciones ya que no aparecen consideradas en su totalidad, si no solamente el final y el comienzo, respectivamente. En estas 2 secciones, por tanto, existen 2 puntos independientes para la aplicación de las cargas en uno de sus extremos. Así, se decidió analizar los resultados de las dos secciones intermedias (“La-Ka 2” y “La-Ka 3”) en ambos casos; aplicando las tensiones en un mismo punto y en 2 puntos separados. Las siguientes dos figuras reflejan las diferencias entre modelar un solo extremo de la estructura o dividirlo en 2 puntos independientes. La figura 4.16 representa un detalle de la sección “La-Ka 1”, en la que las tensiones mecánicas están aplicadas en un punto diferente para cada cable. Puede CAPÍTULO 4: Modelización y simulación por elementos finitos de una catenaria convencional 50 observarse cómo las péndolas adquieren una inclinación respecto a la forma original representada en color negro. Figura 4.16: Inclinación de las péndolas en la sección “La-Ka 1” (1 punto en el extremo). Sin embargo, en la figura 4.17 se ha seleccionado la sección “La-Ka 2”, con su configuración original de extremos convergentes en un mismo punto. Al haberse aplicado las tensiones en un mismo punto, las péndolas se desplazan longitudinalmente hacia el punto de aplicación pero manteniendo la verticalidad. Figura 4.17: Inclinación de las péndolas en la sección “La-Ka 2” (2 puntos en el extremo). Este efecto aparece en la tabla del Anexo G representado numéricamente como la distancia en la dirección longitudinal entre ambos extremos de una misma péndola en el vano más cercano al punto de aplicación de las tensiones (tras el área de solapamiento). Es decir, estos valores corresponden a un valor máximo, encontrándose siempre valores menores a medida que nos alejamos de dicho extremo. El mayor valor medido corresponde a la sección “La-Ka 1” pero no debe tenerse en cuenta ya que, al comenzar el modelo a mitad de la sección, la tensión se encuentra aplicada directamente en el centro de la estructura. Al no haber área de solapamiento ni de comienzo de la sección el efecto simulado sobre la estructura es mayor que el real. Semejante es el efecto sobre la sección “La- Ka 4”. Por tanto, se puede decir que el valor máximo a tener en cuenta es el de la sección “La-Ka 2”, de 11 cm, que se encuentra dentro del rango tolerable. A pesar de favorecer la inclinación de las péndolas el estudio muestra que es mejor aplicar las tensiones en 2 puntos independientes. La razón puede entenderse fácilmente observando los resultados obtenidos para las tensiones longitudinales internas en un cable para los 2 casos de aplicación de las tensiones (tabla del Anexo G). En la tabla se comparan las tensiones internas teóricas, obtenidas como el cociente éntrela tensión aplicada y el área de la sección transversal del cable, con el rango (tensión máxima y mínima) de las tensiones internas obtenidas a partir de la simulación por ordenador. En aquellas simulaciones en las que la única carga considerada es el propio peso de la estructura se ha definido el valor teórico como cero, correspondiéndose el valor calculado en las simulaciones al estado de equilibrio de la estructura bajo la gravedad. Los resultados CAPÍTULO 4: Modelización y simulación por elementos finitos de una catenaria convencional 51 de las simulaciones completas difieren de los teóricos cuando sólo un punto es definido en el extremo. En el otro caso, sin embargo, el valor teórico siempre se encuentra dentro del rango. Por otra parte, en el caso de las tensiones internas en las péndolas el valor teórico está siempre en el rango, ya que se debe a variaciones de la temperatura que han sido aplicadas en cada nodo del mallado del cable. En general, se concluye, que es mejor usar 2 puntos independientes, pues, aunque no se evita la inclinación de las péndolas, no influye el comportamiento de un conductor en el otro a la hora de calcular las tensiones internas. 4.4. ANÁLISIS MODAL Tras el estudio de los resultados presentados en el Anexo G, puede decirse que el comportamiento del modelo de catenaria se corresponde con el real, especialmente cuando las precargas de tensión están aplicadas en un punto independiente para cada cable. Por tanto se ha realizado un análisis modal con el fin de analizar la estructura dinámicamente. Este tipo de análisis determina las frecuencias y modos de una estructura para caracterizar el comportamiento dinámico de ésta e indicar cómo responderá a cargas dinámicas. Las frecuencias naturales, también llamadas frecuencias propias, de una estructura se definen como aquellas a las que ésta tiende a vibrar naturalmente si es perturbada. A la deformada de una estructura para una frecuencia natural de vibración determinada se le denomina modo propio de vibración. Cada modo propio está asociado a una frecuencia propia y ambos dependen de las propiedades estructurales y de las condiciones de contorno. El reconocimiento de las frecuencias naturales de vibración permite evitar problemas de resonancia, críticos para la estructura. Como método de cálculo de los modos propios, MSC.Nastran ofrece la solución 103, que calcula la libre vibración de una estructura. El hecho de que la estructura esté libre implica que no pueden aplicarse cargas en este tipo de análisis por lo que, en nuestro caso, deberá realizarse primero un análisis estático y usar sus resultados como configuración inicial para el análisis modal. De otro modo los modos obtenidos representarían únicamente las frecuencias naturales de vibración de la estructura de cables sin tener en cuenta las tensiones mecánicas que caracterizan la catenaria. La combinación de ambos análisis es posible realizando una reanudación o “restart” del análisis en MSC.Nastran. Primero debe realizarse un análisis lineal (SOL 101) o un análisis no lineal iterativo (SOL 106) en el que se aplique la gravedad, las tensiones mecánicas y las restricciones en los grados de libertad o condiciones de contorno. Después la solución del primer cálculo se usa como estado inicial para el análisis modal (SOL 103) donde los parámetros para el cálculo de los modos propios deben ser definidos. La reanudación del segundo análisis a partir del primero puede realizarse automáticamente durante el cálculo si el archivo de entrada de MSC.Nastran está correctamente definido para alguna de las dos opciones, como muestra el ejemplo de la figura 4.19. El procedimiento para el desarrollo del análisis modal queda definido a través del parámetro EIGR o EIGRL, dependiendo de método de extracción de valores propios elegido. Una comparación de los CAPÍTULO 4: Modelización y simulación por elementos finitos de una catenaria convencional 52 métodos posibles se encuentra en [11]. En este proyecto se ha usado el método de Lanczos y, por tanto, se ha usado el parámetro EIGRL. Este contiene, entre otras variables de control, el rango de frecuencias de interés para el análisis de vibración, el número deseado de valores y vectores propios que debe ser calculado o el método de normalización de los vectores propios. Cómo ya se ha comentado (ver sección 3.1), el modelo simple definido para el pantógrafo es válido para frecuencias hasta los 20-30 Hz, por lo que el rango de interés en nuestro caso se ha definido entre los 0 Hz y los 30 Hz. $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Executive Control Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ SOL 103 CEND $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Case Control Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ SUBCASE 1 ANALYSIS = STATICS SPC = 1 LOAD = 10 DISPLACEMENT(SORT1,PLOT,REAL) = ALL STRESS(SORT1,PLOT, REAL,VONMISES,CENTER) = ALL SUBCASE 2 STATSUB(PRELOAD) = 1 METHOD(STRUCTURE) = 6 SPC = 1 VECTOR(SORT1,REAL)=ALL $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Bulk Data Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ BEGIN BULK PARAM,POST,-1 PARAM,BAILOUT,-1 $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Executive Control Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ SOL 106 CEND $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Case Control Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ METHOD(STRUCTURE) = 6 SUBCASE 1 SPC = 1 LOAD = 10 DISPLACEMENT(SORT1,PLOT,REAL) = ALL STRESS(SORT1,PLOT, REAL,VONMISES,CENTER) = ALL NLPARM = 13 $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Bulk Data Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ BEGIN BULK PARAM,POST,-1 $$PARAM,BAILOUT,-1 PARAM,COUPMASS,1 PARAM,LGDISP,1 PARAM,NMLOOP,15359 Figura 4.19: Sección principal del archivo de entrada de MSC.Nastran para el cálculo modal usando una etapa previa de determinación del equilibrio estático (análisis lineal y no lineal, respectivamente). Debido a las características de la catenaria, los resultados obtenidos contienen un número muy elevado de modos propios para cada sección del tramo considerado. Se han encontrado modos naturales de vibración en prácticamente todos los planos posibles y combinaciones de oscilaciones en varios planos a la vez. Sin embargo, para nuestro modelo sólo serán considerados los modos de vibración en el plano de flexión (plano x-z), ya que se supone que, cuando el pantógrafo se desplaza a lo largo del hilo de contacto, sólo se transmiten fuerzas de contacto verticales (plano x-z). CAPÍTULO 5: Introducción del modelo de catenaria en SIMPACK como un cuerpo flexible 53 5. INTRODUCCIÓN DEL MODELO DE CATENARIA EN SIMPACK COMO UN CUERPO FLEXIBLE USANDO EL PREPROCESADOR FEMBS Una vez que se han comprendido y simulado los comportamientos de un pantógrafo y de una catenaria, el siguiente paso es unir ambos. Teniendo en cuenta las características de las herramientas informáticas de simulación utilizadas, SIMPACK y Hypermesh/MSC.Nastran, nos damos cuenta de que la única que permite la importación de un modelo en el otro es SIMPACK, que además ofrece muchas más posibilidades a la hora de calcular análisis dinámicos y fuerzas de contacto entre cuerpos. En este capítulo se describen detalladamente las características y pasos a seguir para el correcto acoplamiento de ambos modelos. La unión de los dos modelos se resume con la idea de que el objetivo es convertir el modelo de elementos finitos en un cuerpo flexible que pueda ser leído e importado por la herramienta de simulación multicuerpo SIMPACK. Con este fin, SIMPACK incorpora el preprocesador FEMBS [14], que permite al usuario realizar la reducción modal de un modelo de elementos finitos. Generando una serie de archivos a partir de los creados mediante la simulación por elementos finitos con Hypermesh/MSC.Nastran de manera que contenga toda la información necesaria para FEMBS el usuario es capaz de crear un cuerpo flexible. Además, SIMPACK incorpora una unidad de creación de estructuras de tipo viga, denominada SIMBEAM [15], que permite crear modelos sencillos sin necesidad de utilizar una herramienta adicional de elementos finitos, si bien presenta ciertas limitaciones. Así, bien mediante archivos de salida de Hypermesh/MSC.Nastran o bien directamente mediante la definición de un cuerpo flexible de tipo viga mediante SIMBEAM, SIMPACK permite crear un archivo de tipo *.fbi. Este archivo contiene información geométrica, de masa y de las frecuencias propias del sistema. A partir de esta información, el usuario debe utilizar el preprocesador FEMBS para definir más exactamente las características del cuerpo flexible; como por ejemplo, las condiciones de contorno en el punto de unión con el modelo multicuerpo o el rango de frecuencias propias a tener en cuenta para posteriores análisis dinámicos. Finalmente se genera un nuevo archivo de tipo *.SID_FEM que puede ser implementado directamente en SIMPACK como un cuerpo flexible. Una vez en SIMPACK deben definirse el resto de las condiciones de contorno y las cargas de tensión iniciales que quieran aplicarse a la estructura antes de proceder al cálculo del equilibrio estático y al análisis modal de la estructura. Figura 5.1: Esquema del proceso de implementación de un modelo de elementos finitos en SIMPACK. CAPÍTULO 5: Introducción del modelo de catenaria en SIMPACK como un cuerpo flexible 54 La figura 5.1 muestra un resumen esquemático de los pasos a realizar para la completa implementación de un cuerpo flexible en SIMPACK. Para mayor información sobre cómo implementar un cuerpo flexible en un programa de simulación multicuerpo y, concretamente en SIMPACK, debe consultarse el Anexo H: Simulación de cuerpos flexibles en un modelo multicuerpo (Annex H: Simulation of flexible bodies in a multibody system (MBS)). En este capítulo se han analizado los principales puntos a tener en cuenta para la correcta caracterización de un modelo de elementos finitos de tipo cable sometido a tensiones mecánicas como cuerpo flexible. Además se detallan las limitaciones encontradas en este proceso. 5.1. IMPORTANCIA DE LOS TÉRMINOS DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA Cuando un segmento de viga es sometido a una fuerza axial los coeficientes de rigidez son modificados por la presencia de esta fuerza. Las modificaciones correspondientes a los coeficientes de rigidez de la estructura se conocen como coeficientes de rigidez geométricos [16]. Se ha llevado a cabo la simulación de un modelo sencillo para discutir la influencia de dicha rigidez geométrica en un modelo de una estructura tipo cable con tensiones mecánicas. El modelo para el test se trata de una viga recta de 60 m de longitud con las siguientes propiedades: La viga está fija en el extremo izquierdo y se le ha aplicado una carga a tensión en el extremo derecho. Todos los grados de libertad del punto central están restringidos excepto las traslaciones en la dirección longitudinal, de forma que pueden transmitirse las tensiones a lo largo de la estructura. Figura 5.2: Modelo de viga tipo cable sometido a tensión. CAPÍTULO 5: Introducción del modelo de catenaria en SIMPACK como un cuerpo flexible 55 Primero se creó el modelo en Hypermesh con las propiedades del material y la sección y elementos tipo muelle (CELAS, [11]) para definir la unión en el punto de origen, que servirá de conexión del cuerpo flexible. Después se crearon los archivos de entrada necesarios para la creación del archivo *.fbi a partir de los generados por Hypermesh/MSC.Nastran, tal y como se ha definido en la sección H.1 del Anexo H: Simulación de cuerpos flexibles en un sistema multicuerpo (Annex H: Simulation of flexible bodies in a multibody system (MBS)). Posteriormente, se siguieron los pasos de la sección H.3 del mismo anexo para la creación del archivo *.SID_FEM mediante la herramienta FEMBS. Para esta aproximación se eligió el rango de frecuencias entre 1,091E-03 Hz y 2,851 Hz; 62 modos propios en total. No se tuvieron en cuenta las soluciones particulares relativas a los modos de respuesta frecuencial (frequency response modes, FRM) que representan las deformaciones locales del cuerpo flexible debidas a la aplicación de fuerzas externas en los puntos de apoyo. Además, en este primer cálculo, no se ha considerado el cambio de rigidez de la estructura debido a la precarga debido a la tensión mecánica. Una vez en SIMPACK se definió el modelo tal y como se halla representado en la figura 5.2 definiendo la articulación en el punto de conexión con cero grados de libertad (0 DOF joint) y las restricciones en los grados de libertad y la fuerza de tensión usando elementos de tipo muelle-amortiguador (Force Type 43: bushing elements, [15]) en el punto central de la viga y en el extremo derecho para impedir, en ambos puntos, los desplazamientos en los ejes transversal (y) y vertical (z) y los giros. Adicionalmente se le ha asignado una fuerza nominal o inicial de 20 000 N en el eje longitudinal (x) al elemento muelle-amortiguador del extremo derecho. Tras la definición del modelo se procedió a calcular las frecuencias propias del cuerpo flexible. Para ello, se debe calcular previamente la posición de equilibrio de la viga mediante 2 integraciones temporales (time integration). En primer lugar, se calculan las fuerzas iniciales (nominal forces) y se almacenan los valores resultantes y, en segundo lugar, se calcula el equilibrio estático (static equilibrium) y se almacenan los resultados de las posiciones en el equilibrio para cada nodo de la estructura. Finalmente se puede proceder al cálculo de las frecuencias naturales del cuerpo flexible mediante la función valores propios (eigenvalues) de SIMPACK. Sin embargo, se obtuvieron resultados completamente erróneos para la posición de equilibrio, resultando imposible realizar el cálculo de los modos propios. Como segunda aproximación, se volvió a crear el mismo modelo en FEMBS pero, esta vez, añadiendo el término de rigidez geométrica relativo a la tensión mecánica aplicada en el extremo derecho. Esta vez la posición obtenida tras el cálculo del equilibrio estático presenta un comportamiento adecuado de la estructura, tal como se muestra en la figura 5.3. CAPÍTULO 5: Introducción del modelo de catenaria en SIMPACK como un cuerpo flexible 56 Figura 5.3: Posición de la viga tipo cable sometido a tensión tras el cálculo del equilibrio estático (teniendo en cuenta el término de rigidez geométrica debido a dicha tensión mecánica). Comparando ambas aproximaciones queda comprobado que el conjunto FEMBS/SIMPACK es capaz de considerar correctamente los efectos relacionados con la rigidez geométrica y, de hecho, resulta crítica su inclusión en un modelo MSC.Nastran de elementos finitos de una catenaria convencional debido a las tensiones mecánicas de los cables. La figura 5.4 presenta las frecuencias naturales obtenidas con la segunda aproximación. CAPÍTULO 5: Introducción del modelo de catenaria en SIMPACK como un cuerpo flexible 57 Figura 5.4: Resultados del análisis de frecuencias naturales de una viga recta tipo cable sometido a tensión a partir de un modelo reducido de una estructura definida en Hypermesh/MSC.Nastran. CAPÍTULO 5: Introducción del modelo de catenaria en SIMPACK como un cuerpo flexible 64 CAPÍTULO 6: Conclusiones 65 6. CONCLUSIONES 6.1. APORTACIONES Y CONCLUSIONES Las aportaciones de este proyecto quedan enumeradas en los siguientes puntos:  La comprensión de las demandas del sistema de captación de corriente eléctrica del tipo pantógrafo-catenaria y su importancia en el desarrollo actual del sector ferroviario.  La aportación de una visión general de las propiedades, partes estructurales y funciones de una catenaria convencional y de diferentes tipos de pantógrafos.  La comprensión de la necesidad de modelar ambos sistemas y de la evolución de los métodos matemáticos y de los modelos de simulación desarrollados en la literatura.  El conocimiento de los requerimientos que debe cumplir un nuevo modelo de simulación del conjunto pantógrafo-catenaria para su validación europea según la normativa vigente.  El uso de los resultados de una serie de tests realizados en un banco de pruebas para pantógrafos y de sus correspondientes simulaciones para el desarrollo de un modelo parametrizado de simulación multicuerpo de un pantógrafo asimétrico convencional. Dicho modelo cuenta con masas y parejas muelle-amortiguador como principales elementos.  La implementación de un modelo multicuerpo sencillo de 4 masas representando un pantógrafo con la herramienta comercial de simulación multicuerpo SIMPACK 8904. La creación de otra masa correspondiente a la barra de excitación del banco de pruebas que simula la oscilación real de la catenaria bajo el efecto del desplazamiento de un pantógrafo a lo largo de ella. La simulación de las pruebas anteriormente realizadas aplicando ciertas funciones de excitación a dicha barra. La definición de dos tipos diferentes de la fuerza de contacto (rígido y elástico) entre la parte superior del pantógrafo y la barra de excitación o “catenaria”. La utilización de estudios paramétricos para la obtención de las funciones de transferencia de cada uno de los pantógrafos utilizados y para la optimización de los parámetros que caracterizan la función de la fuerza de contacto.  La validación del modelo multicuerpo mediante comparación de la función de transferencia propia de cada pantógrafo obtenida mediante la simulación en SIMPACK con las obtenidas en el banco de pruebas y en las correspondientes simulaciones previas. La creación de archivos de parámetros especiales para cada tipo de pantógrafo, conteniendo los valores correspondientes de las constantes del modelo de simulación. Así, si se desea simular un nuevo tipo de pantógrafo, sólo deben realizarse ciertos tests en el banco de pruebas y medir en él la función de transferencia correspondiente a dicho pantógrafo. Esta función debe compararse con la función matemática del modelo de simulación de manera que pueden calcularse los valores de cada parámetro (masas, constantes de rigidez y amortiguamiento…). De esta manera, puede cambiarse el tipo de pantógrafo de la simulación tan sólo cambiando el correspondiente archivo de entrada de parámetros.  La utilización de las medidas en vía en un tramo real de la catenaria alemana normalizada Re200 para su modelización en el programa comercial de elementos finitos Altair Hypermesh 10.0. La definición de nodos en las coordenadas medidas mediante sensores a lo largo de dicho tramo. La creación de la geometría continua de los cables que forman la estructura de la catenaria mediante la unión de estos puntos individuales y su mallado mediante CAPÍTULO 6: Conclusiones 66 elementos unidimensionales de tipo viga. La aplicación de las propiedades, secciones transversales y materiales correspondientes a cada tipo de cable. La aplicación de las condiciones de contorno y de las precargas debidas a las tensiones mecánicas que caracterizan el comportamiento de una catenaria convencional. Para aplicar las tensiones en el hilo de contacto y en el cable sustentador evitando inestabilidades se ha fijado un extremo de los cables y se ha colocado una fuerza de tensión en el otro extremo. Al no poder definir puntos fijos en el medio de los tramos se han utilizado variaciones de temperatura para simular las cargas iniciales presentes en los cables de suspensión en Y.  La validación del modelo de elementos finitos de la catenaria mediante la realización de varios análisis estáticos no lineales con MSC.Nastran 2008 r1 y el estudio de la posición de equilibrio estático y las tensiones iniciales internas. La definición y optimización de los parámetros del método iterativo para el análisis no lineal de la estructura de la catenaria.  El uso del preprocesador FEMBS de SIMPACK para transformar modelos sencillos de elementos finitos en cuerpos flexibles mediante la reducción modal. Comprobar que la transferencia se ha realizado correctamente realizando un análisis en SIMPACK de las frecuencias propias no amortiguadas de la estructura libre obteniendo los mismos modos propios utilizados previamente para definir la reducción modal en FEMBS. Se han tenido en cuenta los términos de la rigidez geométrica debidos a las precargas de tensión para la corrección de la rigidez de la estructura, que se han demostrado que resultan críticos para el correcto comportamiento de este tipo de estructuras.  La definición en SIMPACK de las condiciones de contorno y cargas de estructuras de cable sometidas a tensión. La realización de integraciones temporales para el cálculo de las cargas iniciales de la estructura, la posición de equilibrio estático y los modos propios de la estructura.  La comparación de los resultados obtenidos al implementar un cuerpo flexible a partir de un modelo de elementos finitos definido en Hypermesh/MSC.Nastran mediante su reducción modal y los obtenidos al crearlo directamente en SIMPACK usando el módulo de creación de estructuras tipo viga SIMBEAM. Ambos han resultado ser equivalentes para modelos sencillos.  Se ha garantizado la precisión de los cuerpos flexibles creados comparando las frecuencias propias obtenidas en SIMPACK con las obtenidas para el modelo de elementos finitos original mediante el análisis modal en MSC.Nastran, teniendo en cuenta en ambos casos la influencia de las precargas debidas a las tensiones mecánicas. Los resultados de SIMPACK varían en menos de un 2% respecto a los del modelo original.  La detección de las limitaciones relativas a las herramientas de simulación: o La limitación de 2000 grados de libertad para un modelo de elementos finitos para poder ser reducido en FEMBS. La consecuencia es que modelos de catenarias de cierta longitud no pueden ser correctamente simulados en SIMPACK. o La imposibilidad de simular las precargas debidas a las fuerzas de tensión en los cables de sustentación en Y ya que no pueden definirse puntos fijos en estos tramos y las variaciones de temperatura utilizadas para recoger el efecto no pueden ser tratadas en FEMBS como términos de rigidez geométrica. En este caso, sin embargo, el no tener en cuenta estas tensiones internas no resulta crítico, tal y como se ha encontrado en estudios previos en la literatura. CAPÍTULO 6: Conclusiones 67 6.2. FUTURAS LÍNEAS DE TRABAJO El contexto en el que se propuso este proyecto dentro de la empresa Bombardier Transportation GmbH se basa en la idea de contar con un método de simulación que permita al usuario la selección sencilla de un tipo de pantógrafo y de un tipo de catenaria y simular, en el menor tiempo posible, la interacción entre ambos mediante un análisis dinámico. Al tratarse de un proyecto muy ambicioso y del cual no se había realizado ningún estudio previo en el departamento no pudo ser definido como un solo proyecto de fin de carrera. Por tanto, en este proyecto se ha estudiado en detalle la modelización individual de la catenaria y el pantógrafo, quedando el estudio exhaustivo de la modelización del contacto entre ambos para un proyecto posterior. Se ha comprobado que un tipo cualquiera de pantógrafo puede ser implementado en el modelo multicuerpo desarrollado si se conoce la función de transferencia propia del sistema, que puede ser fácilmente medida en un banco de pruebas. Comparando dicha función de transferencia con el modelo matemático se obtienen los nuevos parámetros que pueden ser implementados en SIMPACK a través de un archivo de entrada de parámetros. También se ha detallado cómo se puede importar la geometría y las características de una catenaria real en el programa de elementos finitos Hypermesh. Sin embargo, las mayores dificultades han aparecido a la hora de intentar el acoplamiento de ambos sistemas. En esta sección se proponen algunas líneas de trabajo que deberían estudiarse para tratar de encontrar una solución a las limitaciones de la implementación de un modelo de catenaria de gran longitud como un cuerpo flexible en SIMPACK. Primero debería estudiarse el potencial de SIMBEAM para crear estructuras de tipo cable sometidas a tensión. Para acelerar la definición de los marcadores y componentes flexibles se propone desarrollar un programa que transforme datos de Hypermesh en datos que puedan ser leídos en SIMPACK. Un ejecutable del tipo Hypermesh2SIMPACK.exe podría ser programado y creado de tal manera que leyese la información de los archivos de salida de Hypermesh de tipo *.bdf y la transformase de acuerdo a la forma de almacenamiento de la información en los archivos principales para cada modelo de SIMPACK de tipo *.sys. Dicha transferencia de información se correspondería con la definición de los nodos como marcadores y de los elementos de tipo viga como componentes flexibles con las mismas propiedades y materiales. Una vez que se haya encontrado una manera rápida y sencilla de intercambiar esta información del modelado puede examinarse el comportamiento de SIMPACK ante estructuras tipo cable de gran longitud creadas en SIMBEAM. Si los resultados son positivos deberían estudiarse las posibilidades para la definición de la nueva fuerza de contacto en SIMPACK. En la simulación del pantógrafo provocábamos la oscilación de la barra de excitación o “catenaria” aplicando funciones de excitación a un marcador móvil únicamente en la dirección vertical unido a dicha barra mediante un elemento muelle-amortiguador. Pero el punto de contacto en la barra se trataba de un único punto en todo momento. Al usar un cuerpo flexible como catenaria, sin embargo, el contacto con el pantógrafo se produce en diferentes posiciones del eje x conforme el pantógrafo se desliza a lo largo del tramo. Deben estudiarse, por tanto, las maneras de describir en todo momento un punto o marcador perteneciente al cuerpo flexible que coincida con la posición del pantógrafo pero que siga el movimiento de ondulación de la catenaria. A partir de la experiencia personal se propone utilizar un marcador móvil definido por el CAPÍTULO 6: Conclusiones 68 usuario (user marker [15]), que puede ser programado en Fortran. Las pruebas realizadas con marcadores móviles predefinidos en el programa no lograron un cálculo correcto de las fuerzas de contacto pues dichos marcadores seguían al pantógrafo en todo momento pero no variaban correctamente su posición vertical siguiendo las oscilaciones provocadas en el hilo de contacto debido a la interacción. En el caso de que el trabajo con grandes modelos en SIMBEAM no tuviera los resultados esperados queda la posibilidad de modelar la mesilla del pantógrafo con sus frotadores en Hypermesh y realizar un análisis estático en régimen transitorio con un procesador que permita la definición de fuerzas de contacto entre elementos tipo viga unidimensionales (CBEAM) y las superficies bidimensionales o tridimensionales de los frotadores de contacto. Cabe recordar que las versiones de las herramientas de elementos finitos disponibles durante el desarrollo de este proyecto no permitían la definición de ninguna fuerza de contacto. En general, comparando las posibilidades de las diferentes herramientas de elementos finitos actuales, la definición de contacto entre cuerpos está desarrollada sobre todo para el trabajo con superficies, es decir, para modelos más detallados con elementos bidimensionales o tridimensionales. Sin embargo, modelos tan detallados no serían adecuados para el análisis de grandes longitudes de catenaria, pues requieren de grandes tiempos de cálculo. Por último, cuando se haya encontrado un método apropiado para el cálculo de la interacción entre ambos componentes, se podrían tener en cuenta los siguientes puntos para futuras optimizaciones del método:  Las cargas variables relacionadas con las condiciones meteorológicas, como las fuerzas del viento sobre los componentes de las líneas aéreas, las sobrecargas motivadas por el hielo o las variaciones de temperatura.  El descentramiento o zigzag del hilo de contacto  La elasticidad de la mesilla del pantógrafo, mediante un optimización del modelo multicuerpo implementando un cuerpo flexible para la parte superior.  La simulación de pantógrafos activos que varíen la fuerza de elevación en función de las necesidades. ANNEX A: State of the art. Modelization 1 A. ANNEX A: STATE OF THE ART. MODELIZATION A.1 PANTOGRAPH MODELS A.1.1 Definition and functions of a pantograph The pantograph is an articulated system that collects the electrical power through direct electro-mechanical contact with the overhead line conductors and transmits it to the traction unit. Pantographs are composed of three main segments and suspensions connecting them. The segments that come in actual contact with the catenary are called the contact strips or pantograph bows, which are fixed on the upper surface of the pan head on the top of the articulated frame. Their suspension system is designed in order to reduce the fluctuations caused by the interaction and to maintain the contact force between pantograph and catenary as consistently as possible. Figure A.1: Single arm pantograph [2]. The other two main parts are the primary or upper suspension and the secondary or lower suspension. The primary spring suspension is attached between the pan-head and the cross bar to absorb high-frequency vibrations arising from the pantograph-catenary interactions. These movements are fast and of small amplitude and caused because of irregularities or defects at the contact wire, which cause height differences or even loss of contact, or vibrations at the roof of the locomotive. On the other hand the effect of the secondary spring suspension is used to absorb lowfrequency vibrations between the cross bar and the plunger, eg. vibrations caused due to the height differences at tunnels or viaducts. A static uplift force is applied to the plunger by a pneumatic actuator in order for the pantograph to maintain continuous contact with the contact wire. ANNEX A: State of the art. Modelization 2 Fig. A.1 represents a dual-stage non-symmetric pantograph, like the ones used nowadays for high speed performance, but there exist other types of pantographs used on slower, urban trolley systems. Fig. A.2 represents the common pantograph configurations. Figure A.2: Different pantograph designs [18]. During the train performance not only a constant or variable (active pantographs) pneumatic uplift force appears but also other time dependant forces. These are the aerodynamic force, which varies with the square of the velocity, and the friction forces [19]. A.1.2 Simple models In order to define the model of the pantograph, it can be reduced even to a constant force applied over the overhead line. The next step of a simplified model of a pantograph can be the definition of the pantograph as a spring-mass system applied to the overhead contact line by means of an actuating vertical force. This vertical force is the sum of the static force (the applied uplift force) and the aerodynamic force, which value depends on the system speed. The first studies of the pantograph dynamic performance determined that, in the frequency band of 2-10 Hz, its behaviour could be approximated by a set of masses, springs and dampers with two degrees of freedom. Therefore, one-dimensional mass-spring-damper systems consisting of two lumped masses representing the upper and the lower frame of the pantograph have been used in several descriptions. Each mass has associated a generalized coordinate which corresponds to its vertical displacement. In these models there are spring-damper elements between the two masses and between the lower mass and the ground. A dynamic contact force between catenary and pantograph is applied in the upper mass and an uplift force of the pantograph in the lower mass. Later systems with three or more degrees of freedom, including three or more lumped masses, have been developed [8], [3], [13], [20]. ANNEX A: State of the art. Modelization 3 Figure A.3: Three lumped mass model of a pantograph [8]. These models do not represent the real pantograph but the group of masses, springs and dampers behave in a very similar way to the real system. Two masses are enough for symmetric pantographs and three for non-symmetric pantographs [21], [18]. In order to consider the pitch and the tilting movement of the pantograph bow there are similar models that have up to seven degrees of freedom, such as the Petri-Model [13]. The parameters i. e. mass matrix, damping matrix and stiffness matrix of the pantograph are usually identified and calculated through real tests on track or by means of the transfer functions measured in test benches, so that they are really adapted to reality. These values are usually specified by the manufacturer [19]. The advantage of these models is the possibility of using simple linear equations to describe the dynamic behaviour. On the other hand, the parameter values are difficult to determine. Every analytical calculation should be compared with the results of a test. Moreover, the simple model does not coincide with the real physical properties, as the order and location of the masses in the model cannot be compared with the real structure and the kinematics governing the relative movement between the real masses. That is why the parameters and the degrees of freedom of the model do not correspond with the ones of the real pantograph. Besides, according to recent research [8], these models are mainly suitable for low-medium frequencies, up to 20-30 Hz. A.1.3 Considering more than one contact wire Some studies, like [22], consider several contact wires in the pantograph-catenary system. Particularly, this model supposes two contact wires. To make the differential equation integration easier, two additional elements with no mass have been added over the head mass. These end collectors are linked to the head mass by a stiff spring; the stiffness of this spring physically represents the real stiffness of the contact strips. The parameters λ1 and λ2 in fig. 3.4 represent the constraint forces, that is, the pantograph-catenary contact force. There is the possibility to have several constraint conditions depending on how the pantograph interacts with the contact wires. Finally, f1 represents the vertical force of the pantograph. ANNEX A: State of the art. Modelization 4 Figure A.4: Pantograph on two contact wires [19]. A.1.4 Considering the elasticity of the pan-head Recent experimental tests have found that contact loss and arching phenomena are related also to the dynamic behaviour of the collector at high frequencies (up to 400 Hz) [23]. And as the locomotive highest speed is increasing, the interaction frequency of pantograph and catenary coupled system also rises continually. This fact motivates the study [8] to establish a finite element model of the pantograph regarding the pan-head of the pantograph as an elastic body and the frame as a spring-mass system, demonstrating that this consideration is essential to obtain a dynamic performance more similar to reality when the interaction frequency of pantograph and catenary coupled system is higher than the typical frequency band of 0 to 20 Hz. Figure A.5: Elastic model of pantograph [8]. ANNEX A: State of the art. Modelization 5 In this study, the pantograph elastic model, with multiple degrees of freedom for the panhead, is compared with a simple three lumped mass model of the pantograph, in which there is only one degree of freedom for the pan-head, depicting the vertical motion. When the pan-head is just considered as a mass, all shapes features of the elastic collector are lost and its elastic deformation cannot be considered. But the most negative consequence is that the influence on the dynamic performance of the modes in higher frequencies is neglected. The comparison of the calculation results shows that the contribution to the contact force and accelerations at high frequencies mainly comes from the elastic deformation of the pan-head. A.1.5 Non-linear multibody models The approximation of the pantograph by a non-linear multibody model compared to the simpler spring-mass systems takes the following aspects into consideration: • The non-linear kinematics of the real mechanism. • The influence of the operating height in the dynamic behaviour. • The dynamics of the pneumatic actuators and the dampers at the lower arm. • The parameters of the real pantograph can be used directly for the model. • Control loops can be modeled including reaction time effects. The equation system is solved by using numeric methods, usually through a computer program [24], [2]. Figure A.6: Multibody model of a pantograph [24]. A.1.6 Considering the aerodynamics An ambitious model of a real pantograph should take into consideration the influence of the aerodynamics during the train operation. That means the stationary aerodynamic forces and moments, the non-stationary lifting forces and the associated noise, especially at high speeds. ANNEX A: State of the art. Modelization 12 Another case is the representation of the droppers, which have low bending stiffness and behave as elastic bars which deform themselves from an initial length. The droppers have high tensile stiffness, but have no resistance to compressions and they slacken at the pantograph passage, as shown in fig. A.15. Figure A.15 : Dropper´s slackening [32]. There are different ways to consider these elements:  Due to the relatively small linear density of the dropper compared to the other wires, droppers can be modeled as a linear spring element [8], [31], or as a mass and spring set, [33].  As the droppers only work in tension (they do not take any compression as shown in fig. A.15), its effect in the dynamic equations is considered only when the effective final length (measured as the distance between the extreme nodes) is greater or equal as the initial length. It is supposed that the length and traction tension of the droppers have been calculated in a previous static study, [22] and [19].  In other studies, the dropper is modeled as a spring-damper system with nonlinear characteristics. The dropper is as well assumed to produce tensile force and zero compressive force, [2] and [34].  Another approach is to define the droppers as Euler-Bernoulli’s or Timoshenko’s beam elements with its own mass and the mass of the fastenings or dropper clips concentrated at the end points, as defined by Arnold and Simeon in [30]. This option will be used in this project (see section 4.2). Next to the wires, there are other elements in the catenary structure to take into account. One of them is the steady or registration arm. It is described, following fig. A.16, as a bar of length l articulated to the support at the mast at one end (O) and that fits the contact wire at the other end (A). As previously defined, it aim is to fix the contact wire so that it describes the stagger or zigzag of the wire, to wear out uniformly the pantograph rubbing surface, working as a semi-rigid support. ANNEX A: State of the art. Modelization 13 Figure A.16: Model of the steady arm [19]. When the pantograph is passing through, the mass m of the steady arm rotates a particular angle around the articulation creating an inertia that should be taken into account. This dynamic effect can be approximated as the force caused by a spring on the contact wire [19]. In [33] the support point at the steady arm is modelled not only by a spring but also by the equivalent mass. On the other hand the zigzag of the contact wire is neglected in most studies. As an example, fig. A.17 presents the model used in [33] for the calculation of the static deflection of the catenary, the stiffness variation in contact lines, the dynamic response of the catenary undergoing the force of a constantly moving load and the contact force. Both catenary and contact wire are modeled as beam elements organized with boundary conditions that are fixed at both ends. Consequently the pre-stressing forces cannot be included and it is considered that the initial condition of the catenary in equilibrium has no deflection, so that the wires are parallel and straight. Figure A.17: Finite element model for the catenary proposed in [33]. Apart from the elements themselves, there is the dynamic effect of bending waves propagation through the wires. The mechanical waves that travel through the contact and catenary wires are, at the union with the droppers, partly reflected, partly transmitted to the dropper and partly spread through the wire. This phenomenon is of high importance in the pantograph-catenary system. The repetitive wave reflection at a particular dropper causes the increase of the wave amplitude, which can result in an interruption of the contact when the pantograph passes through this point [20]. A similar behaviour takes place with each point of mass (fixed points such as supports, fasteners, insulators…) on the wires. ANNEX A: State of the art. Modelization 14 As a first approach Dahlberg realize in [35] a study of deflection and wave propagation in a beam subjected to an axial tensile force and a moving vertical force using modal analysis. It supposes to simulate an overhead contact line under the effect of a pantograph, although they consider several simplifications. They neglect, for example, the influence of the dropper. However, they explain that the unloading and reloading of these elements during the passing by of the pantograph would induce vibrations in the catenary wire. The pantograph, on the other side, send waves both in the forward direction and backwards when it enters the contact wire some distance from the end of the wire, so it creates more reflections that interact with the ones created because of the moving force itself. Dahlberg et al. conclude that stress in the wire due to bending is moderate for moderate speeds but significant for speeds higher to the critical own. According to the more complex study of Park et al. [33], the wave propagation speeds of a string and of a beam in the low frequency range are almost the same. However, as the frequency increases, the wave propagation speed of the beam becomes higher than that of the string. However the bending stiffness of the beam decreases as the tension increases and then the string model becomes similar to the beam model. It can be said then that the dynamic characteristics of the string have the property of the beam depending on the relative magnitude of tension and bending stiffness. Other complication found during the simulation of a catenary is to obtain the static behaviour of the catenary under the influence of gravity and the pre-stressing forces. This static state is used to initialize the dynamic calculation and has consequently a large impact on results. A realistic static state is however very complex to compute since it is highly non-linear [32]. Indeed, the mechanical tension on the overhead line components involves high levels of strains and geometrical deflexions. As reported by [10] and [6], the models based in finite element methods may have difficulties to obtain the initial equilibrium of structures with tension loads. Therefore a semianalytical method for the calculation of the equilibrium is developed by Maroño et al. in [10], which can be later integrated in other models. In a recent study García de Jalón et al. [21] try to decrease the effect of the nodes conforming the meshing on the contact calculation. It is proved that numerical problems appear when a moving force pass through a node of the meshing and that this phenomena is reduced using a smaller length of the elements but increased with the speed of the moving load. Consequently the definition of the contact condition represents big difficulties when simulating high speed pantographs. If too small elements are used the number of equations and therefore the time calculation rises. In order to avoid this problem this study proposes the use of a moving meshing of the contact wire, in which the meshing is modified every time at the zone where the contact is taking place. This way, there are smaller elements but only around the contact point, maintaining the rest of the elements the original size. ANNEX A: State of the art. Modelization 15 In conclusion, the main problems during the definition of a catenary model are:  To consider all the elements of the catenary system, which construction and properties differ during the line. The main critical sections of the line, such as section overlaps or section insulators are described in detail in [3] and [36].  To take into account all the causes of possible contact loss in the system, as wave propagation, elasticity irregularity, stiffness variation at dropper connection spots, unevenness at the connect surface of contact wire, mass variation at the part of the steady arm for support and connection, variation of the locomotive vibration and wind pressure from outside the train.  Obtaining the initial geometry and internal stresses of the structure in equilibrium.  The calculation of the influence in the catenary dynamic when the pantograph passes by.  The high computational cost; the necessary calculation time for large models can be assumed most times at the final design phases but are inadmissible at the preliminary phases. A.2.5 Considering the non-linearity As explained by Dietz et al. in [37] the linear theory of elasticity is not sufficient when structures experience loads that approach the critic loads for buckling and tilting or when the coupling between spatial bending and torsion has to be considered. Thus it is more suitable in such cases to use the non-linear beam theory. Seo et al. [2] consider a geometrical non-linearity of the catenary because of the large deflection displacements of the thin beams that form the structure. The large deformation is modeled using the three-dimensional finite element absolute nodal coordinate formulation and nonlinear spring-damper sets as droppers (as defined in the previous section). More information about this approach can be found at section A.3.2. A.3 PANTOGRAPH-CATENARY MODELS Once that both models of pantograph and catenary are ready, they can be coupled in order to realize a dynamic analysis. Following the assumptions of Wu and Brennan [26], [27], Maroño et al. [10] define the next model (fig. A.18) for the calculation of the dynamic interaction. The catenary is modelled as a one degree of freedom mass-spring-damper system and the pantograph as a two degree of freedom system. The new contribution of this study is the definition of a contact method. The next section defines how to consider this phenomenon. ANNEX A: State of the art. Modelization 16 Figure A.18: Equivalent dynamic model of the pantograph-catenary system proposed in [10]. A.3.1 Interaction: Contact force The contact force existing between the catenary and the pan-head of the pantograph is an important indicator of the performance of the current collection system. The pantograph-catenary set can be considered compound of two subsystems that interact with each other, under constraint conditions (contact). The number of constraint conditions depends on the number and type of pantographs and on the contact wires over which each pantograph interacts. The contact model plays an important role not only to correctly calculate the contact force but also to obtain the points where loss of contact occurs. It is defined between the upper mass of the pantograph and the contact wire and can be determined as a contact algorithm. When the pantograph runs along the contact wire the penetration at the contact points of the contact wire and the pantograph is detected in each time interval. If the penetration does not occur, that means, that there is a gap between both elements and the contact force is set to zero. In the case that the penetration exists, a contact force is defined as the product of the penetration depth (d [m]) and the contact stiffness (k [N/m]). By using a time integration method, the results of dynamic performance of the system can be obtained in each time interval. In fig. A.19, K represents the contact point in the upper mass of the pantograph and I and J points on the contact wire. The contact force can be defined as: Figure A.19: Contact force model ANNEX A: State of the art. Modelization 17 Considering a punctual contact between the pantograph and the catenary could represent a problem because it involves supposing a concentrated force during the motion, and there are integration problems each time that the pantograph goes through a node obtained by the discretization of the contact wire. To avoid this problem Benet et al. [22] suppose a distributed contact, according to a determined distribution function equivalent to say that the contact force is distributed over the rub zone of the pantograph strips. This distribution is represented in fig. A.20; the x variable represents the position of the different points in the contact wire along the horizontal axis and l is the length of the rub surface. Figure A.20: Distribution function of the load over the rub surface of the contact strip [22]. Nevertheless, Zhou et al. [24] propose a comparison between two models of pantograph. The contact between pantograph and catenary is simulated both with a rigid pantograph model and with a rigid-flexible hybrid pantograph, in which the contact strips are treated as flexible bodies. For the hybrid model the dynamic contact behaviour is described as a line-to-surface contact; the strips surfaces are divided into multi-rectangular patches and the contact line as beam elements. However, for the rigid model the appearance characteristics of the collectors are lost and the contact is simplified to a line-to-line contact. Figure A.21: Contact description of the pantograph-catenary system proposed in [24]. ANNEX A: State of the art. Modelization 18 The results are later compared with field tests, which prove that the contact forces obtained by means of the rigid-flexible hybrid model is basically consistent with the results. However, for the rigid model, there is an obvious difference in the statistical results of the contact forces between tests and simulation. The differences occur not only because of neglecting of the eigenmodes at high frequencies (as explained in the paragraph A.1.4) but also in case of wire irregularities, whose effects cannot be observed with the rigid model. The conclusion is that the appearance characteristics of the contact surfaces play an important role in the analysis of dynamic performance. Moreover, the common characteristic of most works presented is that they are based on models where the pantograph interacts with only one contact wire with equal spans. But this assumption is not completely true, because the catenary structure is installed in series of 15 or 20 spans, each one with 60 m of length approximately, which necessarily have not to be equal, and with the transition spans situated at the end of the overlapped series. These transition spans present different configurations in the wires in order to obtain a smooth transition of the pantograph between sets of spans, so that the pantograph can interact with the contact wires of two different spans at the same time. Models where the pantograph can interact with two spans at the same time, considering several contact wires, appear in studies [22] and [3]. Finally, by using the actual simulation tools, it is also possible to extend this procedure to the study of other dynamic problems in three dimensions, like the effect of the wind [38], curve track etc, being able to obtain very realistic simulations with really reasonable computational times. A.3.2 Non-linearity at the pantograph-catenary system Seo and al. [2] defend that to accurately model the nonlinear behavior of the pantographcatenary system, it is necessary to take into consideration the effect of the large deformation of the catenary and its interaction with the nonlinear pantograph system dynamics. To model the interaction between the pantograph and the catenary, a sliding joint that allows for the motion of the pan-head on the catenary wire is formulated (see fig. A.22). To this end, a non-generalized arc-length parameter is introduced in order to be able to accurately predict the location of the point of contact between the pan-head and the catenary. The resulting system of differential and algebraic equations formulated in terms of reference coordinates, finite element absolute nodal coordinates, and non-generalized arc-length and contact surface parameters are solved using computational multibody system algorithms. ANNEX A: State of the art. Modelization 19 Figure A.22: Pantograph-catenary model proposed in [2]. The formulation presented in this paper can be modified to allow modelling loss of contact. One approach proposed by the author is to use a force model instead of the sliding joint constraint to represent the contact between the pan-head and the contact wire. A.3.3 Active pantographs As already explained, the stiffness of the overhead wire varies from a maximum near the support towers to a minimum in the middle of the span and a similar (quantitatively scaled) phenomenon occurs between any couple of adjacent droppers. Therefore a moving pantograph does not exert a constant contact force. Near the support towers (and near the droppers) the pantograph is forced downward quickly, which results in a reduction of contact forces or even a loss in contact with the overhead wire. Moreover, these effects are more severe at high speeds. Balestrino et al. [28] report that the standard current pick-up equipment must be modified in order to reduce losses of contact or excessive oscillations of the catenary. The authors also describe some proposals made in the past to improve the way a pantograph interacts with the catenary. The simplest one is to increase the uplift contact force between the pantograph and the catenary. Such a solution is still adopted to avoid loss of contact in railways where a good quality current collection is a critical problem for high power applications. Unfortunately for high-speed trains the life-time of the collector strips and particularly of the contact wire reduces dramatically, because of the deterioration due to erosion and abrasion. On the other hand more complex solutions have been suggested, leading to a new design of the overhead system. In [39] Wu and Brennan use a model to show that the vibration of the pantograph is not caused by instability, but it is parametrically excited by the variable stiffness of the catenary. In order to reduce the variation in the contact force and to ANNEX A: State of the art. Modelization 20 minimize the losses of contact they proposed as alternative solutions a reduction of the pantograph head mass or the increase of the average stiffness of the catenary. Also a contact wire with a reduced flexibility in the midspan was suggested by other authors. However some of these approaches are only alleviating the problem and are too expensive for practical applications especially in the case of a modification of existing railway systems. But, over the years, some studies have been devoted to a different approach: to consider active pantographs instead of modifying the geometrical and/or the mechanical parameters of the overhead wire structure and of the pantograph. Initial studies proposed new configurations of hydraulically servo-actuated pantographs and since then a great variety of proposed solutions have appeared. Pisano et al. [40], [41] remark the advantages and disadvantages of the different techniques of contact force measurement or estimation and regulation or control implementation. Allota et al. [42] classify the active or semi-active pantographs according to the position of the active suspension. Nowadays there seems to be a general agreement that the design of high performance pantographs offers the best potentiality for the future in terms of costs and optimal current transmission. The major problem to overcome is the practical application of the theoretical (or simulated) results. Every solution must satisfy the requirements of safety, reliability, simplicity and must be technically as well as economically feasible. In article [43] some requirements for the design of an active pantograph and for the positioning of the sensors and actuators can be found. The article [1] explains the development of a modern pantograph taking into account the operation demands and the aerodynamic and aeroacustic aspects. Last, a comparison between a normal passive pantograph and an active one is performed in article [44] both by simulation analysis and experimental tests, proving that the use of the second type reduce the maximal contact forces, which improves the dynamic performance of the system. ANNEX B: State of the art. Simulation tools 1 B. ANNEX B: STATE OT THE ART. SIMULATION TOOLS B.1 INTRODUCTION TO COMPUTER AIDED ENGINEERING (CAE) Not only ground vehicles, such as cars, trucks or trains, but also space and water vehicles represent today really complex systems. The quality and requirements of these systems are continuously being improved and at the same time the development times become shorter and the costs lower. This can only be possible by using computer based simulation as a tool of the development process [45]. As in the conceptual design phase, the know-how of all engineering disciplines must be used to perform the simulation. Two modeling philosophies for multidisciplinary simulation exist (see fig. B.1): • In one approach, all model components are implemented in a single modeling or simulation tool, using common libraries or a common modeling language, and creating a single model comprising elements of all involved disciplines. • In a second approach the coupling of specialized tools by the means of interfaces is performed. This is especially suited for systems where sub-models already exist in specialized tools and where those models are too large and complex to be transferred into a single simulation tool. Two different tools rarely use the same model description or data structure, therefore interfaces are used as a means of communication between two or more coupled applications. The main advantage of this approach is that the best characteristics of each tool are used to create a particular simulation model. Figure B.1: Modeling philosophies for multidisciplinary simulation [45]. The models used in the engineering fields differ considerably depending on application and the complexity of the task. The most widely used computer aided engineering (CAE) tools are computer aided design (CAD), finite element analysis (FEA), multibody simulation (MBS), control design (often called CACE - Computer Aided Control Engineering), and computational fluid dynamics (CFD). The methods of the finite element analysis (FEA) and computational fluid dynamics (CFD) decompose structure and surface of the model in millions of small computational units, a development that has been made possible by the powerful improvement of computer hardware and software in the last decades. ANNEX B: State of the art. Simulation tools 8 SIMULATION TOOL Panto graph Catenary Pantograph- Catenary Integration Details Ref. CACE Program MATLAB/ SIMULINK √ ? MATLAB/ SIMULINKSIMPACK Co- Simulation ? Simulation of control elements for Actively Controlled Pantographs (control of the uplift force), which can be coupled to SIMPACK with the interface SIMAX ? Simulation of the catenary by programming a mathematical model In [13] a coupled model has been modeled, in which 3D pre-tensioned beams are considered for the catenary, a lumped mass model for the pantograph and the contact is defined with Lagrange equations and a mobile mesh of the contact wire. In [15] a 3D model for the statics of wire structures is implemented using the exact equation of the catenary curve and taking into account the elasticity of the wire. Several railway applications are presented: the calculation of the static stiffness of catenary, the equilibrium state of droppers for design and the dynamic behaviour of a contact wire [5] [21] [17] √ MATRIXx ? Control System ? ? MATRIXx- SIMPACK Co- Simulation ? Simulation of control elements for Actively Controlled Pantographs (control of the uplift force), which can be coupled to SIMPACK with the interface SIMAX ? Simulation of the catenary by programming a mathematical model [5] User-defined Programming languages √ Developing a Software Application in a programming language. Use of standard linear algebra libraries. Important aspects: robustness, portability, and efficiency in terms of reduction of memory requirements (Bytes of memory) and in terms of computational cost of the algorithm (flops). [22] [13] [19] [33] Figure B.3: Commonly used tools for the development and optimization of pantograph and catenary. ANNEX B: State of the art. Simulation tools 9 B.3 SIMULATION TOOLS USED IN THE PRESENT MASTER THESIS In this project the Finite Element commercial program Hypermesh 10.0 along with the postprocessor MSC.Nastran 2008 r1 are used for the simulation of an overhead line system using beam elements. Besides, the lump mass model defined for the pantograph simulation is implemented in the Multibody simulation tool SIMPACK 8904. As a next step, the possibility of including the FE catenary structure as a flexible body in SIMPACK by using its pre-processor FEMBS will be studied. B.3.1 Multibody Simulation Tool: SIMPACK The MBS program package SIMPACK was first developed in Germany [46] as a tool for the simulation of complex dynamic systems in aerospace, transportation systems and robotics applications. Multi-body simulation is an effective method of calculating the dynamic behavior of complex technical systems and analyzing them from a time and frequency standpoint. It consists on the numerical simulation of a real system by dividing it into different bodies. Generally these bodies are non deformable, but the actual simulation tools allow the addition of elastic bodies and are able to calculate the interaction between both of them. The movements and rotations of each body with respect to the others are restricted through ideal kinematic joints. Furthermore there is the possibility of attaching constraints or forces at the required markers of the system. The bases of SIMPACK are its multibody formalisms, i.e. the algorithms which automatically generate the equations of motion. In SIMPACK CPU-time-saving O(N)-algorithms (the number of operations grows only linearly with the number of the degrees-of-freedom) establish the equations of motion in explicit or in residual form. The equations of motion of the MBS are set up in the form of ordinary differential equations (ODE) or - particularly in the case of closed-loops - optionally in differential-algebraic form (DAE). Adequate solvers, i.e. numerical integration algorithms, were incorporated or developed, some of them in close correlation with the formulation of the equations of motion. Beyond the common solvers for time integration a variety of special numerical analysis methods, in particular for linear system analysis (linearization, eigenvalues, root locii, frequency response, stochastic analysis in time- and frequency-domain…), were modified for their special use in vehicle dynamics and integrated. Moreover, computational procedures for stationary solutions (equilibrium, nominal forces) respectively for cinematic analysis were developed and implemented. SIMPACK has developed and is maintaining bi-directional interfaces to a variety of CAE program Packages. The most important interfaces are the transfer of data of elastic bodies from FEA, defining controllers in a CACE environment and improving the dynamics with a multi-objective ANNEX B: State of the art. Simulation tools 10 optimization tool, importing CAD data and coupling of rigid and elastic multibody systems to aerodynamics and CFD calculations. A much-used interface for the development of user-defined modules and coupling of external code is the so-called User-Force-Element, a programming interface which allows the introduction of FORTRAN and C elements into the SIMPACK simulation. In addition to the programming interface SIMPACK offers a standard, open Inter Process Communication (IPC) co-simulation interface. Any code which meets the data definition for the interface can be coupled, using either built-in communication libraries or those supplied by the user. B.3.2 Finite Element Pre-processor: Hypermesh Altair HyperMesh is a CAE tool that provides a finite-element pre-processor for different popular finite-element solvers. HyperMesh allows users to efficiently manipulate geometry and mesh highly complex models. Solid geometry enhances tetra-meshing and hexa-meshing, while batch meshing enables large scale meshing of parts. It provides users a method of automatically meshing the different surfaces of the model, by specifying the element types and the element sizes and changing the element density along the surface if necessary. Once that the mesh is done, there are special tools to check the element’s quality or changing the mesh pattern. It permits also to define materials and properties and to place loading conditions on the model. The loads can be in form of any combination of boundary constraints, forces, pressures, temperatures, etc. B.3.3 Finite Element Processor: MSC.Nastran Nastran is one of the commercial finite-element solvers, written primarily in FORTRAN. Finite element analysis seeks to approximate the behavior of an arbitrarily shaped structure under general loading and constraint conditions with an assembly of discrete finite elements. The behavior of the structure is obtained by analyzing the collective behavior of the elements. These types of programs calculate the global stiffness matrix as the assembly of the elemental stiffness matrices representing the structure. Each element stiffness matrix relates the loads acting on an element to displacements resulting from the loads. Fig. B.4 summarizes how Nastran solves a linear static structural problem. However MSC.Nastran is able to analyze not only linear static models; it permits for example dynamic analysis (normal modes analysis, frequency response analysis, transient analysis…), nonlinear analysis (due to geometric or material nonlinearity), thermal analysis, composite materials or fluid-structure interaction. ANNEX B: State of the art. Simulation tools 11 Nonlinear problems require iterative solution methods and incremental loading to converge to a solution and are generally more computationally intensive than linear problems. Figure B.4: MSC.Nastran Solution Flow [11]. ANNEX B: State of the art. Simulation tools 12 ANNEX C: State of the art. Standardization 1 C. ANNEX C: STATE OF THE ART. STANDARDIZATION C.1 EN 50318: Validation of simulation of the dynamic interaction between pantograph and overhead contact line The Norm EN 50318 was written by CENELEC (European Committee for Electrotechnical Standardization) for the European Commission considering the interoperability standard 96/48/EC, and approved on the 1st of April 2002. In order to achieve the free access certificate, all components of the overhead line equipment (OHLE) need to be simulated using a program, previously validated by this European standard. It specifies that all new proposed simulation programs must satisfy the following points:  In order to be used with confidence the simulation method shall be evaluated. As first step of validation, it is necessary to check the simulation method by using a reference model, as shown in clause 11 of the norm.  If the results are among the reference range, the simulation method shall be assessed by the use of comparisons between the results of the simulation and line tests (measured in accordance with EN 50317) or by comparison with other validated simulation methods. A validation of the method shall be done in accordance with clause 10.  All the parameters mention in clauses 6 (modeling of the pantograph) and 7 (modeling of the overhead contact line) shall be taken into account. The additional parameters in clause 8 shall be defined if applicable.  Clause 9 specifies the output parameters that shall be analyzed for each pantograph over the analysis section in the frequency range of interest. Depending on the phenomena to be studied, the frequency range of interest shall be defined in advance and shall be consistent with the pantograph model, overhead contact line model and simulation method and with the measurement system. C.2 EN 50367: Technical criteria for the interaction between pantograph and overhead line (to achieve free access to the European Railway Network) This document specifies the interface requirements of rolling stock and infrastructure to achieve free access to the European Railway Network. According to it, a good quality dynamic interaction performance with minimum wear is assured by consideration of quality of current collection. This can be evaluated by the mean contact force or by the percentage of arcing. The values shall be measured in accordance with EN 50317: Requirements for and validation of measurements of the dynamic interaction between pantograph and overhead contact line. For the qualification of the performance with more than one pantograph, ANNEX C: State of the art. Standardization 2 the pantograph which shows the most critical values shall be considered. The worst performing pantograph should be determined by simulation in accordance with EN 50318 or testing in accordance with EN 50317. The mean contact for any pantograph shall be lower than or equal to the target value Fm [N] given in EN 50318 as a curve of the mean force depending on the running speed, taking into account the typical deviation by maximum speed σ=3·Fm. The definition of percentage of arcing and its limit value are also included in this standard. ANNEX D: Assembled state of the Re200 Catenary (Laage-Kavelstorf) 1 D. Annex D: Assembled state of the Re200 catenary (Laage-Kavelstorf) This annex shows the initial state of the Re200 catenary between the stations Laage (1265,2 m) and Kavelstorf (3465,2 m). The representation is bi-dimensional, so that the lateral position of the line is neglected. Each set of spans is represented in a different colour: “La-Ka 1”, “La-Ka 2”, “La-Ka 3” and “La- Ka 4”. The end of one set forms a transition section (overlap) with the beginning of the next set. Apart from that, the height of the line maintains constant, except for the decrease at the bridge section in “La-Ka 2”. The elements that form the overhead contact line are represented with different symbols, as follows:  The droppers are represented as vertical lines with triangles (∆) at both ends.  The support points appear with a circle (Ο).  The stitch wires are shown as lines with rhombus (◊) at its ends that represent the clamps between stitch wire and catenary wire.  Special points, as insulators, are shown as crosses (x).  The steady arms appear as stars (*). ANNEX D: Assembled state of the Re200 Catenary (Laage-Kavelstorf) 2 ANNEX D: Assembled state of the Re200 Catenary (Laage-Kavelstorf) 3 ANNEX E: Real and nominal cross sections of the wires forming Re200 catenary 6 E.4 Nominal Cross Section of the Bz II catenary wire, stitch wires and droppers Section Parameters Bz II 50 catenary wire [mm] ANNEX E: Real and nominal cross sections of the wires forming Re200 catenary 7 Section Parameters Bz II 25 stitch wires [mm] Section Parameters Bz II 10 droppers [mm] ANNEX E: Real and nominal cross sections of the wires forming Re200 catenary 8 ANNEX F: Definition of the iterative method of the non-linear analysis 1 F. Annex F: Definition of the iterative method of the non-linear analysis Non-linear problems require iterative solution methods and incremental loading to converge to a solution and are generally more computationally intensive than linear problems. In order to facilitate the convergence it is possible to divide the loads in different subcases that will be resolved one after the other instead of applying all the loads at the same time. A subcase is the MSC.Nastran mechanism for associating loads and boundary conditions, output request and other input data to be used during part of a complete run. Each subcase uses the results of the previous one as initial state. This option was used for the second section “La-Ka 2”, as the calculation with only one subcase could not be completed by the user computer because of insufficient total memory. However there are two aspects to take into account when working with thermal loads and several subcases. First, the specification of TEMPERATURE(INITIAL) is required above the subcase level and therefore this value will be used at the temperature of the structure at the beginning of every subcase. That is, if a subcase does not contain a TEMPERATURE(LOAD) request, then the thermal load set will default to the TEMPERATURE(INITIAL) set. The possible combinations of subcases for the calculation are discussed in this paragraph. The normal process would be to first apply the difference of temperature to the structure, then the tension forces and last the gravity. But, as explained before, the tension and gravity loads would be applied as if the distribution of the temperature was the initial one, which is not correct. Dividing the effect of tension and gravity in two subcases and including the temperature load at both of them would be also an incorrect calculation, as the second subcase wouldn´t have as initial state the results of the first one but an incorrect temperature distribution and the temperature load would be applied twice. In order to avoid this problem with the temperature load the only possibility left is to apply the temperature load at the last subcase. This calculation is done without any problem at the user computer, but the solution must be checked to validate the process. As a comparison, two calculations of the same small section “La-Ka 1” have been done. On one side the normal calculation with only one subcase and on the other side the previous defined solution with two subcases. The executive and case control cards are shown in fig. F.2. However the table of fig. F.1 indicates that the obtained results are not the same. Time to Convergence Max. Vertical Deformation [mm] 1 Subcase 4 min 00 s 95,63 2 Subcases 5 min 59 s 121,8 Figure F.1: Table with the comparison of 2 calculations of the track section “La-Ka 1”. ANNEX F: Definition of the iterative method of the non-linear analysis 2 Calculation 1 $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Executive Control Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ SOL 106 CEND $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Case Control Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ ANALYSIS = STATICS SPC = 18 LOAD = 23 NLPARM = 13 TEMPERATURE(INITIAL) = 17 TEMPERATURE(LOAD) = 16 ACCELERATION(SORT1,PLOT, REAL) = ALL DISPLACEMENT(SORT1,PLOT,REAL) = ALL STRESS(SORT1,PLOT, REAL,VONMISES,CENTER) = ALL Calculation 2 $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Executive Control Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ SOL 106 CEND $$------------------------------------------------------------------------------$ $$ Case Control Cards $ $$------------------------------------------------------------------------------$ ANALYSIS = STATICS SPC = 18 NLPARM = 13 TEMPERATURE(INITIAL) = 17 ACCELERATION(SORT1,PLOT, REAL) = ALL DISPLACEMENT(SORT1,PLOT,REAL) = ALL STRESS(SORT1,PLOT, REAL,VONMISES,CENTER) = ALL SUBCASE 1 LOAD = 23 SUBCASE 2 TEMPERATURE(LOAD) = 16 Figure F.2: MSC.Nastran input files for two calculations of the section “La-Ka 1”. For this reason, a more powerful computer (see fig.F.3) is used for the calculation of large catenary sections, such as “La-Ka 2” and combinations of more than one section, by using only one subcase. This way it is guaranteed that all loads are applied at the same time and no errors appear at the resolution. System configuration of Computer 1: Platform: Intel Windows .NET 5.2 (Build 3790) Model: Intel Core i7/5758 Clock freq.: 5688 MHz Number of CPUs: 8 Executable: 8664 Raw model ID: 6 Config number: 6 Physical memory: 8115 MB (IA32 Mode) 8115 MB (8664 Mode) Virtual memory: 2047 MB (IA32 Mode) 15816 MB (8664 Mode) Numeric format: 32-bit little-endian IEEE. Bytes per word: 4 Disk block size: 512 bytes (128 words) System configuration of Computer 2: Platform: Intel Windows .NET 5.2 (Build 3790) Model: Intel Core i7/7026 Clock freq.: 6733 MHz Number of CPUs: 16 Executable: 8664 Raw model ID: 6 Config number: 6 Physical memory: 24573 MB (IA32 Mode) 24573 MB (8664 Mode) Virtual memory: 2047 MB (IA32 Mode) 48405 MB (8664 Mode) Numeric format: 32-bit little-endian IEEE. Bytes per word: 4 Disk block size: 512 bytes (128 words) Figure F.3: Comparison of the two used platforms. ANNEX F: Definition of the iterative method of the non-linear analysis 3 The entry NLPARM [11] in the input data for the processor MSC.Nastran defines a set of parameters used for the nonlinear static analysis iteration strategy. The most important parameters for the control of the iteration are:  The number of increments NINC, that is, the number of equal subdivisions of the load change defined for each subcase. The default number is 10 but during the analysis it has been proved that a higher number is required for large systems in order to achieve the convergence of the solution, when the other parameters are not changed. For the final calculations 24 subdivisions of the load subcase have been realized.  The method for controlling the stiffness updates KMETHOD, which can be defined as “AUTO”, “ITER” or “SEMI”. If the “AUTO” option is selected, as in the case of this model, the program automatically selects the most efficient strategy based on convergence rates. At each step the number of iterations required to converge is estimated. Then the stiffness is updated if the estimated number of iterations to convergence exceeds MAXITER, if the estimated time required for convergence with the actual stiffness exceeds the estimated time required for convergence with the updated stiffness or if the solution diverges.  The number of iterations KSTEP. For the “AUTO” option the stiffness matrix is updated on convergence if KSTEP is less than the number of iterations that were required for convergence with the actual stiffness. The default number of 5 has been used.  The limit on number of iterations for each load increment MAXITER. If the solution does not converge in MAXITER iterations, the load increment is bisected and the analysis repeated. The default number of 25 was incremented to 100.  The flags to select the convergence criteria CONV (U=displacement error, P=load equilibrium error and W=work error). All the requested criteria, combination of U, P and/or W, are satisfied upon convergence. For the catenary model all criteria must be satisfied.  The activation of intermediate output flag INTOUT. It controls the output request for displacements, element forces and stresses, etc. “YES” or “ALL” must be specified in order to be able to perform a subsequent restart from the middle of a subcase. The default data is “NO”, it is changed to “YES” in order to have intermediate data and to permit restarts of the calculation.  The error tolerance for displacement criteria (EPSU), load criteria (EPSP) and work criteria (EPSW). The default tolerance is 0,001 but for the purpose of this simulation smaller tolerances were selected, as will be explained at the results table.  The limit on the probable divergence conditions per iteration before the solution is assumed to diverge MAXDIV. If the solution diverges and the load increment cannot be further bisected, the stiffness is updated based on the previous iteration and the analysis is continued. If the solution diverges again in the same load increment while MAXDIV is positive, the best solution is computed and the analysis is continued to the next load increment. IF MAXDIV is negative, the analysis is terminated on the second divergence. The default number of 3 is incremented to 10 for the large models. ANNEX F: Definition of the iterative method of the non-linear analysis 4  The maximum number of bisections allowed for each load increment MAXBIS. Different actions are taken when the solution diverges depending on the sign of MAXBIS. If MAXBIS is positive, the stiffness is updated on the first divergence, and the load is bisected on the second divergence. If MAXBIS is negative, the load is bisected every time the solution diverges until the limit on bisection is reached. If the solution does not converge after |MAXBIS| bisections, the analysis is continued or terminated depending on the sign of MAXDIV. The default number of 5 is incremented to 10 for the large models. The simulations described in the main file of this project show the correlation between the length of the structure and the selection of the tolerances for the displacement, load and work criteria. A bigger model needs a smaller tolerance to reach the convergence state without the need of increasing the number of increments NINC, which in fact could be reduced to less than 24. Fig. F.4 shows the relation between the value of the tolerances and the resolution of the simulation model. The same calculation has been done for the third section of the track “La-Ka 3” varying only the tolerances. It is proved then that a simulation process with a smaller tolerance reaches the solution in a shorter time. Time to Convergence Max. Deformation [mm] TOL=0,001 Nominal 5 min 18 s 261,7 Real 4 min 59 s 256,8 TOL=0,0001 Nominal 4 min 23 s 261,7 Real 4 min 06 s 256,8 Figure F.4: Results of “La-Ka 3” calculations for different values of the tolerances. Nevertheless, too small tolerances can prevent the model to converge in the specified increments NINC. Therefore it is suggested to defined tol=0,001 for models with less than 10000 beam elements and tol=0,0001 for complexer models. There is also an influence of the pre-tension forces (applied by tension and temperature loads), that increment the time of calculation and may need a smaller tolerance. At the table of Annex G appears always the biggest tolerance value that reaches the final solution at the defined work stations and with the defined maximum values of increments and iterations. Another way of saving time of calculation is rejecting the results for each increment and saving only the data for the final equilibrium state. This means defining the INTOUT parameter as “NO” and has been done at the simulations marked in bold at Annex G. The high time calculation times (17 min and 20 min) correspond to the first computer and the lower times (9 min and 5 min) to the second work station. ANNEX G: MSC.Nastran Results for the “La-Ka” catenary sections 1 G. ANNEX G: MSC.NASTRAN RESULTS OF THE DIFFERENT CALCULATIONS OF THE “LA-KA” CATENARY SECTIONS. DISPLACEMENTS AND STRESSES ANNEX G: MSC.Nastran Results for the “La-Ka” catenary sections 2 ANNEX H: Simulation of flexible bodies in a multibody system (MBS) 1 H. ANNEX H: SIMULATION OF FLEXIBLE BODIES IN A MULTIBODY SYSTEM (MBS) H.1 SIMULATION OF A FINITE ELEMENT MODEL AS A FLEXIBLE BODY IN A MULTIBODY SYSTEM (MBS) Structural finite elements are widely used in flexible multibody simulations due to its ability to systematically model the body deformation. For these simulations the flexible body motion is calculated as a superposition of a large reference motion and small deformations. Problems of small deformation superimposed on a large rigid body motion led to the development of the well-known floating frame of reference approach as an alternative to absolute coordinate formulation, characterized by the absolute coordinates and slopes defined in global frame to describe both the rigid body displacement and deformation of the element. Since the local deformation cannot be obtained directly by the absolute nodal formulation, it is necessary to introduce a body coordinate system for the convenience of measuring the local deformation of the material points. The dynamical equations established by the floating frame of reference formulation are highly non-linear differential algebraic equations and a discretization method is generally indispensable to acquire numerical solution [51]. An approximation is used to describe the field of displacements by a linear combination of assumed shape functions with their corresponding time dependent weighting factors. The two most common approaches which describe the shape functions of a flexible body with respect to their floating frame of reference are the finite element formulation, called nodal approach, and the modal approach using global eigenfunctions or static displacement fields, which are weighted with modal coordinates. A discussion of both methods is shown in article [37], illustrated with some examples. Many authors calculate directly the absolute motion of the material points using the nodal approach. On the other hand, the modal approach is the basis of the general codes for MBS dynamics like ADAMS, DADS, MEDYNA, SIMPACK, which prefer formulations using floating frame of reference. In finite element analysis (FEA) the motion of complex flexible structures is described by a large number of nodal co-ordinates, whereas the modal approach codes use a non-linear representation of rigid body motion, which is superimposed by small deformations. The advantage of the modal representation is that it reduces the system order as it uses a comparative fewer number of modal co-ordinates (degrees of freedom that describe the deformation behaviour of the structure). The modal representation makes use of the fact that a linear equation always has linear solutions. Therefore, the general solution of the linear system can be defined as the linear combination of its particular solutions. In this approach the general solution can be designated as the sum of n modes vibrating with their natural frequencies. Then the complete system will have so many vibration modes as degrees of freedom the original system had. Each mode contains however only the information relative to its eigenfrequency. That is why it is possible to reduce the size of the original system by considering only those frequencies that are interesting for the specific model as long as it has a linear behaviour [17]. ANNEX H: Simulation of flexible bodies in a multibody system (MBS) 8 H.2.2 Using the SIMPACK unit SIMBEAM to create directly a flexible body SIMBEAM is an integrated finite element module within SIMPACK [14], [15], which allows the user to model a body in the multi-body system as a flexible 3D-beam structure. The flexibility of the beam structure is represented by 3D-finite beam elements using one of the two classical beam theories, Euler-Bernoulli and Timoshenko. These include second order terms, together with the finite element FE formulation. The user defines a flexible beam structure from within the SIMBEAM user interface. By selecting previously defined markers that create the geometry of the structure the user can create flexible components between pairs of nodes that will create the future flexible body. At the same time these linear beam components can be divided in a finite number of elements. Besides the material properties (density, young´s modulus, poisson´s ratio and G-modulus) and the cross section profile must be defined for each beam component. The maximal number of flexible components in a model must be adapted to the size of the model by increasing or decreasing the parameter MBS.Flexcomp.nmax at the *.dim file of the model. Also the joint definition must be checked before starting the generation of the fbi-file with SIMBEAM. Every time that the joint type is changed it is necessary to create a new fbi-file and a new SID_FEM-file corresponding with the join definition as they are boundary conditions used to perform the eigenmodes calculation for FEMBS. H.2.3 Creation of the SID_FEM-file in FEMBS Once the correct fbi-file is created, the user just needs to follow some easy steps to obtain the SID_FEM-file [14], [15]: 1. Define the model units, whether the model must be translated or rotated and the connection joint definition. The connection point can be translated or rotated, but the degrees of freedom must always remain as in the FE-model. At this step the 'Border for zero elements' may also we adjusted. According to it, the diagonality of the modal mass matrix (performed by using the modal matrix Ф and the reduced mass matrix ) will be checked. If all non-diagonal values are smaller than the 'Border for zero elements', then the matrix is diagonal. It is up to the user to decide if the size of the non-diagonal values are tolerable or not, generally if the max size of non-diagonal values is smaller than 1.0e-5, then the user can ignore the message 'not diagonal'. ΦMΦMred Te  ],,,,,,[ 1nji ΦΦΦΦΦ  jred T i e ij ΦMΦM ANNEX H: Simulation of flexible bodies in a multibody system (MBS) 9 2. Define the number of markers. As this number does not have an influence in the results, only a few nodes are selected at this step so that they will be used as visualization of the structure. Besides, only reduced FE models containing maximum 2000 DOFs can be used in FEMBS so it is suggested not to work with all nodes as markers when the model is large. The settings in the*.dim file of the model corresponding with the number of markers should be adjusted in concordance. 3. Define the number of modes. The selection of eigenmodes means to select the columns of the modal matrix. The mode selection depends on the frequency range of interest and determines the quality of elastic body representation in SIMPACK. The number of selected modes in FEMBS can as well slow down the simulation. The more are the number of modes, the more are the DAE equations to be solved during the simulation. Therefore the user may try to select the number of modes in FEMBS according to the frequency range of interest. Also the setting of the corresponding parameter MBS.Body.el.st.nmax at the *.dim file of the model should be adjusted in order to avoid useless memory allocation. When using a SIMBEAM reduced model the user obtain automatically the information of the types of each mode: bending mode, torsional mode, tension mode… and the axis in which is working. However when the modal reduction is done with other commercial FEM-tools the user must check the output of these calculations to collect this information. In our case the tool Hyperview is used to open the output file *.op2. 4. Define the frequency response modes. As explained in the first section of this annex, the FRM calculation provide the information about the particular solutions due to external forces at the attachment points, that is, the restrained degrees of freedom of the point at the connection joint, the longitudinal direction at the markers where the pre-tension force is applied and the degrees of freedom of all other nodes constrained by a springdamper element. For the connection point with the inertia frame a special spring support load is enabled in FEMBS. By default the frequency with which the structure is harmonically excited for the FRM calculation is half of the first eigenfrequency. It can be however changed by the user. If the frequency is set to zero then a special approach of the FRM is calculated, the static mode [2]. FRM whose frequency is within the frequency range of interest have to be considered in the MBS-Model. 5. Select the geometric stiffness terms. According to our application the geometric stiffness due to the pre-tension in the longitudinal direction at the corresponding end nodes may be selected. The magnitude of the pre-tension force defined previously in NASTRAN (in order to perform the geometric stiffening) is not important. During the FBI generation, the magnitude and the direction of the force defined in NASTRAN are read from the file *_geo.dat and stored in the FBI. By selecting the geometric stiffening terms in FEMBS, the geometric stiffening matrices will be scaled to a unit load and integrated in the SID_FEM. Therefore the magnitude of the force in SIMPACK can be modified without performing a new NASTRAN job; the corresponding terms in the SID_FEM will be automatically adjusted for the simulation in SIMPACK. The integration of geometric stiffening is simpler by using the unit SIMBEAM as using the modal reduction in ANNEX H: Simulation of flexible bodies in a multibody system (MBS) 10 NASTRAN. In the first case the terms are automatically calculated and saved in the *.fbi file from SIMBEAM. Nevertheless, for the case of this study, the influence of the prestresses on the stiffness of the structure is proven to be essential (see sections 5.1 and 5.2). 6. Confirm the mass information about the flexible body: bodymass, center of mass, inertia tensor. 7. Apply the damping for the representation of the dissipation effects of the system: the user has the choice to choose between the modal and natural damping (default one). The value first one is defined by the user, so that the diagonal damping matrix will be the product of this modal damping value with the stiffness. The natural or Rayleigh damping is calculated as a function of a damping ratio, stiffness and mass matrices. A damping ratio of zero represents an undamped system vibrating infinitely over time, whereas a damping ratio of unity represents a system where all the vibrations are totally damped (critically damped). This ratio in normally define as 2% of the critical damping. ANNEX I: References 1 I. ANNEX I: REFERENCES [1] R. Blaschko and K. Jäger, “Hochgeschwindigkeits-Stromabnehmer für den ICE 3,” Elektrische Bahnen, vol. 98 Heft 9, pp. 332-338, 2000. [2] J. Seo, H. Sugiyama and A. Shabana, “Three-dimensional large deformation analysis of the multibody pantograph/catenary systems.,” Nonlinear Dynamics, vol. 45, pp. 199-215, 2005. [3] P. Harell, L. Drugge and R. 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