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Desarrollo de una herramienta de interpolaci´on geom´etrica de cauces para simulaci´on 1D y 2D de flujos en r´ıos Resumen Los modelos de flujo superficial han constituido un campo de investigaci´on muy activo recientemente. Estos modelos son de gran inter´es para la simulaci´on de eventos de inundaci´on en r´ıos y as´ı analizar y evaluar la respuesta frente a una gran variedad de situaciones pr´acticas. En este tipo de modelos, la informaci´on topogr´afica y batim´etrica es fundamental para la adecuada descripci´on del terreno, y constituye una de las mayores fuentes de incertidumbre y error en las simulaciones. Los modelos de flujo unidimensionales (1D), promediados en la secci´on transversal, y bidimensionales (2D), promediados en la vertical, son los m´as utilizados en este contexto. La principal ventaja de los modelos 1D es su bajo costo computacional, a costa de no poder representar ni resolver correctamente las llanuras de inundaci´on ni los flujos que desbordan del cauce principal. Por otra parte los modelos bidimensionales s´ı son capaces de simular los flujos que se producen en las llanuras de inundaci´on, con una calidad dependiente de la representaci´on topogr´afica, tanto de la informaci´on medida en campo como de su discretizaci´on en una malla computacional. Los modelos bidimensionales sin embargo, acarrean un coste computacional mucho mayor. La t´ecnica LIDAR (Light Detection and Ranging) permite la obtenci´on de informaci´on topogr´afica de una forma barata, r´apida y fiable, con alta resoluci´on espacial en las tres dimensiones. A partir de dicha informaci´on, es posible crear modelos digitales del terreno (o MDT) que representan el relieve con una gran fidelidad. Sin embargo, el LIDAR convencional no es capaz de medir el terreno debajo de la superficies de agua, por lo cual resulta necesario contar con fuentes de informaci´on alternativas para conocer la batimetr´ıa del cauce, imprescindible para la simulaci´on hidr´aulica. Aunque es posible obtener superficies batim´etricas con tecnolog´ıa SONAR, tradicionalmente la informaci´on batim´etrica se ha obtenido realizando estudios topogr´aficos de los cauces de los r´ıos. Esto genera secciones transversales que proporcionan valiosa informaci´on acerca de la forma del cauce, aunque escasa y no exenta de error. A diferencia de la informaci´on LIDAR, las secciones transversales proveen informaci´on de utilidad exclusiva para los modelos unidimensionales. Para realizar simulaciones bidimensionales es necesario reinterpretarla y complementarla. En el mejor de los casos, se cuenta con ambas fuentes de informaci´on, consistentes y sistem´aticas, las cuales es posible combinar para subsanar as´ı sus deficiencias individuales. El objetivo de este trabajo consiste en desarrollar una estrategia precisa, fiable y eficiente capaz de, a partir de la informaci´on disponible (LIDAR sin batimetr´ıa y/o secciones transversales), generar un MDT que incluya la totalidad del dominio a trav´es de t´ecnicas de interpolaci´on geom´etrica (splines c´ubicos de Hermite) que respeten criterios hidr´aulicos. La t´ecnica es validada por medio de simulaciones 1D y 2D en geometr´ıas sint´eticas as´ı como sobre dos tramos del r´ıo Ebro. Se eval´ua la calidad de la interpolaci´on geom´etrica, as´ı como su efecto sobre variables de control hidr´aulicas y en t´erminos de caudales y niveles superficiales simulados. ii ´ Indice general 1. Introducci´on 1 2. Modelos matem´atico y num´erico 3 2.1. Ecuaciones del flujo de superficie libre en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Ecuaciones del flujo de superficie libre en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3. Esquemanum´erico .................................. 5 3. Geomorfolog´ıa fluvial 9 3.1. Perfil longitudinal del cauce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Trazado del sistema fluvial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3. Geometr´ıahidr´aulica................................. 12 3.4. Caudaldominante .................................. 13 3.5. Morfolog´ıa de las llanuras de inundaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Interpolaci´on geom´etrica 15 4.1. Presentaci´on del problema a resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2. Conceptos b´asicos de la interpolaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3. Elecci´on del m´etodo de interpolaci´on en el plano OXY .............. 17 4.4. Interpolaci´on c´ubica de Hermite por splines en forma no param´etrica . . . . . . 18 4.5. Ejemplo de interpolaci´on mediante splines c´ubicos de Hermite . . . . . . . . . . 19 4.6. Interpolaci´on en planta de las secciones transversales . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.7. Restricciones en la aplicabilidad de los splines de Hermite . . . . . . . . . . . . 21 4.8. Soluci´on a las restricciones de aplicabilidad de los splines de Hermite no param´etricos....................................... 22 4.9. Interpolaci´on de la elevaci´on de las secciones transversales . . . . . . . . . . . . 22 5. Ejemplos de generaci´on de un cauce 25 5.1. T1: Cauce recto de secci´on triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2. T2: Cauce meandroso de seccion triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.3. T3: Cauce recto de secci´on trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.4. T4: Cauce meandroso de secci´on variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.5. El Ebro a su paso por el meandro de Ranillas (Zaragoza) . . . . . . . . . . . . . 30 5.6. El Ebro a su paso por la Reserva Natural de los Galachos de la Alfranca (Zaragoza) 32 6. Obtenci´on de un MDT completo 35 6.1. Meandro de Ranillas (Zaragoza) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2. Reserva Natural de los Galachos de la Alfranca (Zaragoza) . . . . . . . . . . . . 37 iii 7. Evaluaci´on de la calidad de la interpolaci´on 39 7.1. Evaluaci´on del cauce generado para el meandro de Ranillas (Zaragoza) . . . . . 39 7.2. Evaluaci´on del cauce generado para el R. N. de los Galachos de la Alfranca (Zaragoza). ...................................... 48 8. Conclusiones 59 Ap´endice I 61 iv ´ Indice de figuras 2.1. Diagrama del esquema num´erico en 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Diagrama del esquema num´erico en 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1. Perfil longitudinal del r´ıo Bernesga (Le´on) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Planta (izquierda) y secciones transversales (derecha) vistas en el sentido de la corriente de un cauce meandriforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3. Trazado recto y diferentes tipos de meandros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4. Estrangulamiento de meandros y formaci´on de galachos. . . . . . . . . . . . . . 11 3.5. (a) Cauce trenzado visto en planta. (b) Secci´on transversal. . . . . . . . . . . . . 12 3.6. Par´ametros de un r´ıo sinuoso visto en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.7. Comparaci´on de las secciones transversales entre un r´ıo grande y otro peque˜no. . 13 3.8. Variaci´on de la secci´on transversal ´unicamente en funci´on del tama˜no del material. Material grueso (1), medio (2) y fino (3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.9. Cauce colgado con los diques en sus m´argenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.10. Dep´ositos de acreaci´on vertical (izquierda) y lateral (derecha) en la llanura de inundaci´on. ...................................... 14 4.1. Secci´on transversal de forma trapezoidal. (a) Vista en planta de los puntos que definen la secci´on. (b) Vista en plano alzado de los puntos que definen la secci´on. 16 4.2. Meandro de Ranillas (Zaragoza). (a) Sucesi´on de secciones definiendo el cauce visto en planta. (b) Una secci´on del cauce visto en plano alzado. . . . . . . . . . 16 4.3. Fen´omeno de Runge. La funci´on azul es la curva anal´ıtica. Los puntos negros los puntos de muestreo de la funci´on anal´ıtica tomados para la interpolaci´on. La funci´on roja es la funci´on de interpolaci´on de orden 10. . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4. Cauceficticio...................................... 18 4.5. Diferencia entre el vector normal de una secci´on transversal y la primera derivada delafunci´on. ..................................... 19 4.6. Interpolaci´on de los puntos de la tabla 1 mediante la splines c´ubicos de Hermite. 20 4.8. (a) Interpolaci´on posible con polinomios no param´etricos. (b) Problema debido apendientevertical. ................................. 21 4.7. (a) Interpolaci´on de los puntos que definen las secciones. (b) Problema debido a la diferencia de n´umero de puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.9. Secciones en rojo, interpolaci´on en negro. Primera situaci´on a evitar: Una secci´on horizontal (a) o vertical (b) y la otra perpendicular a esta. . . . . . . . . . . . . 22 4.10. Segunda situaci´on a evitar: Una secci´on horizontal (a) o vertical (b) y la otra dispuesta de tal manera que la funci´on es bivaluada en el sistema de coordenadas correspondiente..................................... 22 4.11. (a) Vista en planta de la interpolaci´on por splines y la longitud de arco ξ. (b) Interpolaci´on lineal de la elevaci´on en funci´on de la longitud de arco. . . . . . . 23 v 5.1. (a) vista en planta y (b) vista en plano alzado de las secciones del caso T1. . . . 26 5.2. (a) vista en planta y (b) vista en perfil de las secciones del caso T1 despu´es de lainterpolaci´on..................................... 26 5.3. (a) vista en planta y (b) vista en perfil del cauce completo del caso T1. . . . . . 26 5.4. Vista en planta del cauce de secci´on triangular meandroso despu´es de la interpolaci´on(T2)...................................... 27 5.5. Visi´on 3D del cauce generado (T2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.6. (a) vista en planta y (b) vista en plano alzado de ambas secciones trapezoidales delcasoT3....................................... 28 5.7. (a) vista en planta y (b) vista de perfi del cauce completo del caso T3. . . . . . 29 5.8. La secciones vistas en planta (a) y en plano alzado (b) (T4). . . . . . . . . . . . 30 5.9. La secciones vistas en planta (a) y en plano alzado (b). Se ha modificado el factor de escala para poder visualizar mejor el cauce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.10. Las secciones tomadas del meandro de Ranillas vistas en planta. . . . . . . . . . 31 5.11. Vista en planta del cauce completo en el meandro de Ranillas. . . . . . . . . . . 31 5.12. Detalle meandro en 3 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.13. Las secciones tomadas del Ebro a su paso por la reserva natural. . . . . . . . . . 33 5.14. Vista en planta del cauce generado en la R. N. de los galachos de la Alfranca (Zaragoza). ...................................... 33 5.15. Detalle meandro en 3 dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.1. (a) MDT del cauce y (b) MDT de las llanuras de inundaci´on. . . . . . . . . . . . 36 6.2. (a) MDT completado de informaci´on del cauce con la del LIDAR. (b) MDT completado de informaci´on del LIDAR con la del cauce. . . . . . . . . . . . . . 36 6.3. (a) Representaci´on del MDT del r´ıo, y en (b) el de la llanura de inundaci´on. . . 37 6.4. Suma de los 2 MDTs disponibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.5. Soluci´on al problema de la Fig. 6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.1. Secci´on interpolada 9. (a) Comparaci´on entre la secci´on medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguas arribayaguasabajo.................................. 41 7.2. Secci´on interpolada 14. (a) Comparaci´on entre la secci´on medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguas arribayaguasabajo.................................. 41 7.3. Secci´on interpolada 16. (a) Comparaci´on entre la secci´on medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguas arribayaguasabajo.................................. 42 7.4. Secci´on interpolada 18. (a) Comparaci´on entre la secci´on medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguas arribayaguasabajo.................................. 42 7.5. Secci´on interpolada 20. (a) Comparaci´on entre la secci´on la medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguasarribayaguasabajo. ............................. 43 7.6. Hidrograma de la avenida simulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.7. Errores en Qpara los diferentes cauces en el modelo 1D. (a) Qmax = 300m3 s, (b) Qmax = 500m3 s, (c) Qmax = 800m3 s, (d) Qmax = 1500m3 s. .............. 45 7.8. Errores en h+zpara los diferentes cauces en el modelo 1D. (a) Qmax = 300m3 s, (b) Qmax = 500m3 s, (c) Qmax = 800m3 s, (d) Qmax = 1500m3 s............. 46 vi 7.9. Errores en Apara los diferentes cauces en el modelo 1D. (a) Qmax = 300m3 s, (b) Qmax = 500m3 s, (c) Qmax = 800m3 s, (d) Qmax = 1500m3 s. .............. 47 7.10. Variaci´on del thalweg a lo largo del meandro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.11. Hidrograma de la avenida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.12. Huella de inundaci´on en el caso estacionario. (a) Los resultados del MDT obtenido con el algoritmo. (b) Los obtenidos por [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.13. En blanco el mallado basto utilizado por [6], y en color, el fino, aplicado sobre el MDT obtenido con el algoritmo. (a) Vista en perfil del mallado. (b) Vista en plantadelmallado................................... 49 7.14. Comparaci´on entre mallados en la entrada del vaso comunicante entre el cauce principal y el galacho en la margen derecha. (a) Mallado aplicado al MDT obtenido con el algoritmo (514246 celdas). (b) Mallado de [6] (58331 celdas). . . 50 7.15. Comparaci´on entre mallados en el meandro situado a mitad de recorrido del r´ıo. (a) Mallado aplicado al MDT obtenido con el algoritmo (514246 celdas). (b) Mallado de [6] (58331 celdas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.16. Comparaci´on entre mallados en el ´ultimo meandro.(a) Mallado aplicado al MDT obtenido con el algoritmo (514246 celdas). (b) Mallado de [6] (58331 celdas). . . 51 7.17. (a) Resultados del cauce obtenido de la modificaci´on del cauce de [6] con los resultados de la interpolaci´on. (b) Cauce de [6]. t= 60000s............. 51 7.18. (a) Resultados del cauce obtenido de la modificaci´on del cauce de [6] con los resultados de la interpolaci´on. (b) Cauce de [6]. t= 120000s............ 52 7.19. (a) Resultados del cauce obtenido de la modificaci´on del cauce de [6] con los resultados de la interpolaci´on. (b) Cauce de [6]. t= 196200s............ 52 7.20. (a) Resultados del cauce obtenido de la modificaci´on del cauce de [6] con los resultados de la interpolaci´on. (b) Cauce de [6]. t= 280000s............ 52 7.21. Posici´on de las secciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.22. Comparaci´on de la (a) secci´on 1, y (b) secci´on 2 del cauce principal del Ebro a su paso por la R. N. de los galachos de la Alfranca (Zaragoza). . . . . . . . . . . 53 7.23. Comparaci´on de la (a) secci´on 3, y (b) secci´on 4 del cauce principal del Ebro a su paso por la R. N. de los galachos de la Alfranca (Zaragoza). . . . . . . . . . . 54 7.24. Comparaci´on de la (a) secci´on 5, y (b) secci´on 6 del cauce principal del Ebro a su paso por la R. N. de los galachos de la Alfranca (Zaragoza) . . . . . . . . . . 54 7.25. Comparaci´on de la (a) secci´on 7, y (b) secci´on 8 del cauce principal del Ebro a su paso por la R. N. de los galachos de la Alfranca (Zaragoza) . . . . . . . . . . 55 7.26. Vista en planta del galacho en la margen izquierda del cauce principal. En negro el mallado basto (58331 celdas) utilizado por [6], y en color, el fino (514246 celdas), aplicado sobre el MDT obtenido con el algoritmo. . . . . . . . . . . . . 55 7.27. Vista en perspectiva del galacho en la margen izquierda del cauce principal. (a) Mallado fino, y (b) mallado basto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.28. En negro el mallado basta utilizado por [6], y en color el fino, aplicado sobre el MDT obtenido con el algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.29. Posici´on de las sondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 vii viii ´ Indice de tablas 4.1. Datosainterpolar. .................................. 15 4.2. Datos de ejemplo acad´emico de interpolaci´on mediante Hermite. . . . . . . . . . 19 5.1. Secciones triangulares de un cauce recto (T1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2. Secciones triangulares de un cauce sinuoso (T2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.3. Secciones trapezoidales de un cauce recto (T3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.4. Secciones trapezoidales del cauce sinuoso (T4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.1. Cauces utilizados para la simulaci´on 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.2. Posici´on de las secciones interpoladas desde el origen. . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.3. Error cuadr´atico medio (RMS) y error relativo medio (ERM) de h+zyh. . . . 57 7.4. Error cuadr´atico medio (RMS) y error relativo medio (ERM) de vxyvy. . . . . 58 ix     + δ Figura 2.1: Diagrama del esquema num´erico en 1D. Donde i, j son los indices de las celdas que comparten la pared k. El t´ermino fuente se discretiza tambi´en como ˜ Hkδx =X m˜ β˜em k(2.18) En el modelo 1D con m= 2, el esquema num´erico upwind expl´ıcito puede escribirse [3] como Un+1 i=Un i−∆t δx "X m˜ λ+˜γ˜em i−1/2+X m˜ λ−˜γ˜em i+1/2#n (2.19) donde γm i+1/2= ˜α−˜ β ˜ λ!m i+1/2 y˜ λ±m i+1/2=1 2˜ λ±|˜ λ|m i+1/2, de tal forma que las contribuciones entrantes desde la derecha y la izquierda se usan para actualizar el valor de las variables conservadas en cada celda (Fig. 2.1). El paso temporal se toma de forma din´amica para que cumpla la condici´on de Courant-Friedrich-Levy (CFL) ∆t= CFL δx maxm|˜ λm|CFL ≤1 (2.20) An´alogamente a lo aplicado en el caso 1D, el esquema num´erico upwind expl´ıcito 2D puede ser discretizado usando vol´umenes finitos, de forma que se obtiene [3] Un+1 i=Un i−∆t Ai NE X k=1 X mh˜ λ−˜γ˜em klkin(2.21) En el caso de un modelo 2D se toma m= 3, y si la malla es no estructurada el n´umero de bordes (NE) es igual a 3 (Fig. 2.2). La longitud lkse refiere a la longitud de los bordes de la celda i. En mallas no estructuradas se tomar´a la equivalente de la distancia δx como χiy se define por medio del ´area de la celda (Ai) y la longitud de los bordes k, tal que: χi=Ai m´axk=1,NElk (2.22) 6 Figura 2.2: Diagrama del esquema num´erico en 2D. La condici´on de estabilidad num´erica (CFL), en el caso 2D, queda determinada por la expresi´on ∆t= CFLmin(χi, χj) maxm|˜ λm|CFL ≤1 (2.23) 7 8 Cap´ıtulo 3 Geomorfolog´ıa fluvial En este cap´ıtulo se presentan las caracter´ısticas f´ısicas m´as frecuentes y relevantes de los r´ıos con el fin de proporcionar una base conceptual para el posterior an´alisis morfol´ogico de los cauces generados mediante el algoritmo. 3.1. Perfil longitudinal del cauce El perfil longitudinal de un r´ıo describe la forma en el que ´este var´ıa su cota en funci´on de su longitud y recorrido, de manera que el perfil longitudinal refleja la pendiente de cada tramo (Fig. 3.1). Figura 3.1: Perfil longitudinal del r´ıo Bernesga (Le´on) En general, los perfiles longitudinales de los r´ıos presentan una forma c´oncava con una pendiente que disminuye con la longitud. La relaci´on aproximada entre la cota y la distancia longitudinal, es Sl=S0e−aξ (3.1) donde Sles la pendiente a una distancia ξaguas abajo desde un punto de referencia con una pendiente S0yaes el coeficiente de disminuci´on de la pendiente. El comportamiento de la corriente de agua o r´egimen hidr´aulico est´a determinado por la pendiente del r´ıo. En el caso de que la pendiente sea mayor al 6 %, se llama torrentes a los cursos de agua. Si la pendiente est´a entre 1.5 % y 6 %, se les denomina r´ıos torrenciales. Existen tambi´en otros t´erminos para referirse a la pendiente del r´ıo, como r´ıos de monta˜na o de llanura, aunque 9 sin demasiada precisi´on. La pendiente de un cauce est´a determinada por multitud de variables, como el caudal, la carga de sedimentos, tama˜no de los sedimentos y geolog´ıa del terreno. Generalmente cuanto mayor es la extensi´on de la cuenca vertiente menor es la pendiente del cauce. Tambi´en existe relaci´on entre el tama˜no del sustrato y la pendiente, de forma que tramos de gran pendiente tienen asociados tama˜nos de sustrato grande. Por lo tanto, a medida que disminuye la pendiente y aumenta la extensi´on de la cuenca, el tama˜no del sustrato disminuye. El motivo es que por efecto del proceso de erosi´on al que se ve sometido el sedimento, disminuye el tama˜no del mismo a medida que aumenta la distancia longitudinal. Adem´as, cuanto menor es la pendiente menor capacidad para transportar material grueso tiene la corriente, por lo que el material m´as fino llega m´as lejos [40]. La relaci´on entre el tama˜no del material sedimentario (D) y la pendiente (i) determina la sensibilidad del r´ıo ante los cambios del caudal. Para un valor alto de i/D, el r´ıo es muy sensible o inestable, y en el caso de una avenida se dan grandes cambios en la pendiente. Si por el contrario la relaci´on i/D es peque˜na, el cambio de la pendiente tambi´en lo es. 3.2. Trazado del sistema fluvial El trazado de un cauce se refiere a la forma que presenta el r´ıo en planta. Las diferencias en la sinuosidad, el cociente entre la longitud del r´ıo y la longitud del valle en un determinado tramo, permiten diferenciar tres tipos b´asicos de trazado. Se dice trazado recto cuando la sinuosidad es inferior a 1.5. En este tipo de cauces, poco comunes en la naturaleza [40], no son apreciables las curvas en el cauce si bien la l´ınea que une los puntos de mayor profundidad (thalweg) puede ser curvada. Cuando la sinuosidad es superior a 1.5, al cauce se le denomina meandriforme o sinuoso. En este caso, el cauce es ´unico y curvado. De estudios en laboratorio de flujos de agua con transporte de sedimento, se tiene constancia de que son el resultado de la formaci´on de meandros en cauces rectos debido a la m´as m´ınima imperfecci´on de la alineaci´on recta o por causa externa accidental [40]. Adem´as, en los cauces sinuosos las secciones transversales son asim´etricas (Fig. 3.2). El calado es mayor en la orilla c´oncava o exterior del meandro, y menor en la convexa o interior. Este fen´omeno es consecuencia de la corriente secundaria. Esta, se genera por efecto de la acci´on de la fuerza centrifuga sobre la corriente principal, y debido a ella se erosiona la parte convexa, depositando el material erosionado en la parte c´oncava. De esta forma, es mayor la pendiente y la profundidad en la parte convexa que en la c´oncava. Mediante este proceso pueden surgir playas en las orillas interiores. Figura 3.2: Planta (izquierda) y secciones transversales (derecha) vistas en el sentido de la corriente de un cauce meandriforme. 10 Como consecuencia de los procesos de erosi´on y sedimentaci´on los meandros son una morfolog´ıa din´amica. La evoluci´on presente se debe b´asicamente a dos movimientos, uno al desplazamiento aguas abajo de los meandros, y otra, al movimiento en direcci´on perpendicular a la anterior, aumentando su curvatura. La evoluci´on de estos movimientos depende de la resistencia a la erosi´on del terreno, y su homogeneidad da como resultado diferentes tipo de meandros: meandros regulares, tortuosos, irregulares o errantes irregulares (Fig. 3.3). Figura 3.3: Trazado recto y diferentes tipos de meandros. El ´ultimo paso de la evoluci´on de los meandros es el de su estrangulamiento, es decir, cuando el r´ıo acorta su curso cortando el cuello de un meandro. De esta forma se forman los lagos de herradura o galachos (en aragon´es) (Fig. 3.4). Figura 3.4: Estrangulamiento de meandros y formaci´on de galachos. Cuando se alcanza un nivel de umbral de carga de sedimentos y/o de pendiente, se forman los r´ıos trenzados o anastomosados [46]. Estos se caracterizan por la formaci´on de un curso de agua muy ancho y poco profundo que se divide en varios brazos dejando islas (sumergibles) entre s´ı al unirse y volver a separarse. Estos cauces son inestables en el sentido de que una crecida puede cambiar considerablemente de lugar el brazo principal (Fig 3.5). 11 (a) (b) Figura 3.5: (a) Cauce trenzado visto en planta. (b) Secci´on transversal. 3.3. Geometr´ıa hidr´aulica Gran parte del conocimiento actual de los r´ıos tiene una base emp´ırica, a trav´es de la observaci´on y la experimentaci´on, siendo ´estas necesarias para la elaboraci´on de una teor´ıa determinista del comportamiento de los cauces basada exclusivamente en principios f´ısicos universales. Una relaci´on de base emp´ırica que muestra las condiciones en el que un r´ıo forma un cauce trenzado o meandriforme es i·Q0.44 = 0.0116 (3.2) donde ies la pendiente y Qel caudal (m3/s). Para Q0.44 >0.0116 el r´ıo es trenzado, y meandriforme en caso contrario. De todas formas, la igualdad no marca el l´ımite entre un caso y otro. Pueden darse casos en los que el r´ıo tenga ambas propiedades a la vez. O incluso que en la parte alta tenga un cauce trenzado y meandriforme aguas abajo. Por ello, la clasificaci´on resulta difusa [40], y las propiedades han de tomarse como orientativas para determinar un tipo de trazado. Existen ciertas relaciones de origen emp´ırico que se toman como caracter´ısticas de los r´ıos sinuosos, haciendo la abstracci´on del trazado del cauce, que relacionan la longitud de onda (λ) de los meandros, su amplitud (a), el caudal (Q) y la anchura del cauce en la superficie libre (B) (Fig. 3.6). Figura 3.6: Par´ametros de un r´ıo sinuoso visto en planta. Dos relaciones son: λ≈10B(3.3) a≈3B(3.4) Por otra parte, de forma emp´ırica se ha determinado que la anchura Bes proporcional a la raiz cuadrada del caudal B∝pQ(3.5) 12 De forma que un r´ıo el doble de ancho es cuatro veces m´as caudaloso. Adem´as, teniendo en cuenta que el caudal es Q≈B·y·vy la relaci´on (3.5), se concluye que la anchura aumenta en mayor medida con el caudal, que el calado (y). De forma que la relaci´on de forma de secci´on (B/y) crecer´a suavemente con el caudal. Esto es, un r´ıo m´as caudaloso da un cauce mas ancho en comparaci´on a su calado, que uno menos caudaloso (Fig. 3.7). Q1> Q2⇒(B/y)1>(B/y)2(3.6) Figura 3.7: Comparaci´on de las secciones transversales entre un r´ıo grande y otro peque˜no. De las expresiones (3.3) y (3.4) se desprende que los r´ıos grandes y peque˜nos son proporcionales entre s´ı en planta, pero no mantienen ninguna proporcionalidad en la relaci´on de forma de secci´on (B/y). Existe otra relaci´on emp´ırica entre B/y y el tama˜no del material en el cauce, que establece que cuanto menor es el contenido de material fino en el cauce mayor es B/y, al igual que ocurre con el caudal (Q) (Fig. 3.8). Adem´as, se ha observado que cuando mayor es la cantidad de transporte s´olido o el tama˜no caraster´ıstico de los sedimentos, menor es la sinuosidad. De tal manera que en los r´ıos donde se da un gran aporte de sedimentos, la secciones transversales son m´as anchas y menos profundas en proporci´on y la sinuosidad disminuye, por lo que el cauce pasa de ser meandriforme a trenzado. Figura 3.8: Variaci´on de la secci´on transversal ´unicamente en funci´on del tama˜no del material. Material grueso (1), medio (2) y fino (3). 3.4. Caudal dominante Diversos r´ıos tienen un cauce, de mayor o menor profundidad, que limitado por sus orillas queda separado de las llanuras de inundaci´on [40]. A dicho cauce se le denomina cauce principal. La existencia del cauce principal es el resultado de hacer fluir un r´ıo por una llanura. Por acci´on de la erosi´on comienza a crearse un peque˜no arroyo que poco a poco se convierte m´as profundo y ancho. Las posibles avenidas depositan el material erosionado en la llanura, y por consecuencia, aumentan su cota haciendo m´as dif´ıcil el desbordamiento. Este proceso tiende a un equilibrio, en el que el cauce principal contiene en la mayor parte de los casos las aguas, a excepci´on de las avenidas. As´ı se forma, por lo tanto, el cauce principal. Siendo as´ı, el caudal dominante se define como el caudal que llena el cauce principal, puesto 13 que es el que desarrolla la mayor acci´on modeladora sobre el cauce, debido a que un caudal mayor es poco frecuente y apenas incrementa la velocidad o la tensi´on tangencial. Es por lo tanto el caudal empleado en las expresiones emp´ıricas que relacionan el caudal con la geometr´ıa del cauce. Ciertos autores, establecen un periodo de retorno entre 1 y 2 a˜no para los caudales dominantes [47]. Sin embargo, en el caso de la ´area mediterranea se ha determinado que el periodo de retorno se halla entre 1.5 y 7 a˜nos [40]. 3.5. Morfolog´ıa de las llanuras de inundaci´on Las llanuras de inundaci´on son las ´areas pr´oximas al cauce principal del r´ıo, de peque˜na pendiente, que en caso de avenida pueden resultar inundadas. A grandes rasgos la llanura de inundaci´on resulta ser muy llana, pero observ´andolas con mayor detenimiento son visibles distintas formaciones. Tomando un corte transversal, pueden aparecer zonas con tendencia llana, c´oncava o convexa. La tendencia convexa surge cuando las orillas de un cauce se sit´uan por encima de la llanura, formando diques naturales. A los r´ıos en esa situaci´on se les denomina r´ıos colgados (Fig. 3.9). Por otra parte, pueden aparecer depresiones, debida a la existencia de paleocauces o cauces extintos, que en caso inundaci´on pueden comportarse como cauces activos. A este tipo de cauces se les denomina cauces de alta. Figura 3.9: Cauce colgado con los diques en sus m´argenes. El proceso dominante que act´ua sobre las llanuras de inundaci´on es la sedimentaci´on. Debido a este proceso se forman diferentes tipos de dep´ositos de material. Por una parte, est´an los dep´ositos de material m´as fino que se sit´uan lejos del cauce principal, en las zonas donde la velocidad del agua ha sido menor. Por otra, est´an los dep´ositos de acreaci´on lateral, cuyo origen est´a en el crecimiento de las barras en las partes c´oncavas de los meandros (Fig. 3.10). La formaci´on de diferentes tipos de dep´ositos hace que la cota de la llanura de inundaci´on aumente. Figura 3.10: Dep´ositos de acreaci´on vertical (izquierda) y lateral (derecha) en la llanura de inundaci´on. 14 Cap´ıtulo 4 Interpolaci´on geom´etrica 4.1. Presentaci´on del problema a resolver El prop´osito principal del trabajo consiste en generar una superficie continua de la topograf´ıa del cauce a partir de una serie de datos, las secciones transversales de un cauce, que sea capaz de transportar los caudales de agua correctamente. Para ello, es necesario hallar alguna forma de poder generar esa informaci´on que no se tiene entre dos secciones consecutivas, y la herramienta ´util para ello es la interpolaci´on num´erica. En primer lugar, es necesario identificar la informaci´on de la que se dispone para generar el cauce. Para definir el cauce se dan una serie de secciones transversales del mismo, definidas por puntos, donde las coordenadas xeydefinen la posici´on de los puntos en el plano OXY o en planta, y zes su elevaci´on. Para el sencillo caso de una secci´on trapezoidal los datos son como los de la tabla 4.1. x y z 0.0 0.0 10.0 0.0 10.0 0.0 0.0 20.0 0.0 0.0 30.0 10.0 Tabla 4.1: Datos a interpolar. Los puntos definen la secci´on visible en la Fig. 4.1. Mediante una sucesi´on de secciones transversales se puede definir un cauce de manera discreta como se puede apreciar en la figura 4.2. Este caso corresponde al meandro de Ranillas (Zaragoza). Tal y como se observa, es necesario un mayor n´umero de puntos (puntos rojos) para poder definir una secci´on real. De tal manera que cuanto m´as puntos se tomen al medir cada secci´on, m´as detalles se captan obteniendo una secci´on m´as fiel a la realidad.Tambi´en sucede lo mismo con el n´umero de secciones medidas. A mayor n´umero de secciones menor es la diferencia entre el cauce generado y el real. Esto, en cambio, supone un mayor coste material y personal. 15 4.8. Soluci´on a las restricciones de aplicabilidad de los splines de Hermite no param´etricos Una forma de solucionar el problema de representar mediante splines no param´etricos curvas que en alg´un punto tuvieran una pendiente vertical, ya que en tal caso f0∈@, si f(x) = y, es hacer g(y) = xen el subintervalo donde haya una pendiente vertical, sin tener que cambiar el m´etodo de interpolaci´on. De esta manera, cuando la pendiente sea vertical se tiene g0(y) = 0. Es una soluci´on sencilla a este problema, sin tener que hacer grandes cambios. A´un as´ı, existen ciertas restricciones. La primera es que, si la normal de una de las dos secciones en el subintervalo tiene pendiente horizontal o vertical (Fig. 4.9(a) y Fig. 4.9(b)), la normal de la otra secci´on no puede formar un ´angulo respecto a la otra de 90◦. La otra condici´on es que, si la normal de una de las secciones del subintervalo tiene pendiente horizontal o vertical, al hacer el intercambio de coordenadas x→y0yy→x0, la curva no puede ser bivaluada (Fig 4.10(a) y Fig. 4.10(b)). Estas situaciones a priori se espera que no se den, puesto que si se desea que la representaci´on del cauce en planta sea fiel a la realidad, ser´ıa deseable que hubiera m´as secciones en cada subintervalo presente en las figuras 4.9 y 4.10. (a) (b) Figura 4.9: Secciones en rojo, interpolaci´on en negro. Primera situaci´on a evitar: Una secci´on horizontal (a) o vertical (b) y la otra perpendicular a esta. (a) (b) Figura 4.10: Segunda situaci´on a evitar: Una secci´on horizontal (a) o vertical (b) y la otra dispuesta de tal manera que la funci´on es bivaluada en el sistema de coordenadas correspondiente. 4.9. Interpolaci´on de la elevaci´on de las secciones transversales Con las herramientas presentadas ´unicamente se ha recreado la forma del r´ıo en planta. Para conocer el cauce, se debe obtener tambi´en c´omo es el lecho, y esto todav´ıa no se ha calculado. Para ello se debe interpolar la elevaci´on de los puntos de las secciones, y as´ı generar la elevaci´on 22 del terreno. El m´etodo de interpolaci´on empleado, con tal prop´osito, es lineal. La elecci´on de que sea lineal, se debe a ser coherentes con los modelos 1D donde la interpolaci´on de la elevaci´on es lineal, puesto que el fondo de un cauce es muy variable y la mejor aproximaci´on se hace con m´etodo lineal [12]. Teniendo la elevaci´on zen funci´on de un par´ametro cualquiera ξ, para los nodos (ξi, zi) y (ξi+1, zi+1), la ecuaci´on en el subintervalo es: z=zi+1 +zi+1 −zi ξi+1 −ξi (ξ−ξi+1) (4.13) El par´ametro ξes el par´ametro independiente. En este caso, ξes la longitud de arco de la funci´on de interpolaci´on en planta, desde el nodo anterior (Fig. 4.11(a)). El por qu´e de elegir la longitud de arco es que si la elevaci´on variase con xoy, no lo har´ıa de forma lineal, ya que el r´ıo es sinuoso. Para hacer que el cambio sea lineal y simplificar el c´alculo, es mejor que var´ıe con ξ, siendo en tal caso lineal (Fig. 4.11b). (a) (b) Figura 4.11: (a) Vista en planta de la interpolaci´on por splines y la longitud de arco ξ. (b) Interpolaci´on lineal de la elevaci´on en funci´on de la longitud de arco. 23 24 Cap´ıtulo 5 Ejemplos de generaci´on de un cauce Con objeto de estudiar las limitaciones del algoritmo de interpolaci´on geom´etrica, se van a utilizar cuatro cauces ideales y dos reales. Los cauces ideales son dos con secciones triangulares, uno recto y otro meandroso, uno con secciones trapezoidales y recto, y otro meandroso con secciones triangulares y trapezoidales como antesala a cauces m´as complejos. Despu´es, se introducen los datos para intentar reproducir el cauce del Ebro a su paso por el meandro de Ranillas (Zaragoza) y por la Reserva Natural de los Galachos de la Alfranca (Zaragoza). 5.1. T1: Cauce recto de secci´on triangular En esta secci´on se intenta recrear un cauce recto con secci´on triangular. Para ello, se dan tres secciones de tres puntos cada una. Adem´as, se supone que tiene una pendiente descendente constante de 1mde desnivel en 100mde longitud. Las secciones son un triangulo equil´atero, con una anchura m´axima de 10m(Tabla 5.1). La Fig. 5.1 muestra las secciones. Para hacer una representaci´on precisa, se remuestrea de forma lineal cada secci´on con 200 puntos, en vez de los 3 que tiene inicialmente. Observando las Fig. 5.2 y Fig. 5.3 se ven los resultados. En la Fig. 5.3(a) se ve la interpolaci´on en planta, y en la Fig. 5.3(b) en perfil en 3D. Se puede apreciar c´omo var´ıa de forma lineal la elevaci´on del terreno. La pendiente en la imagen 3D parece mayor de lo que es por efecto de la perspectiva. Secci´on 1 Secci´on 2 Secci´on 3 x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) 0.00 -5.00 8.66 50.00 -5.00 8.16 100.00 -5.00 7.66 0.00 0.00 0.00 50.00 0.00 0.00 100.00 0.00 -1.00 0.00 5.00 8.66 50.00 5.00 8.16 100.00 5.00 7.66 Tabla 5.1: Secciones triangulares de un cauce recto (T1). 25 -6 -4 -2 0 2 4 6 0 20 40 60 80 100 Y (m) X (m) seccion 1 seccion 2 seccion 3 (a) -2 0 2 4 6 8 10 -6 -4 -2 0 2 4 6 Z (m) Y (m) seccion 1 seccion 2 seccion 3 (b) Figura 5.1: (a) vista en planta y (b) vista en plano alzado de las secciones del caso T1. (a) (b) Figura 5.2: (a) vista en planta y (b) vista en perfil de las secciones del caso T1 despu´es de la interpolaci´on. (a) (b) Figura 5.3: (a) vista en planta y (b) vista en perfil del cauce completo del caso T1. 26 5.2. T2: Cauce meandroso de seccion triangular En este caso las secciones siguen siendo triangulares, pero ahora el n´umero de ellas ha de aumentarse para poder definir un r´ıo meandroso. Para ello, son siete las secciones a interpolar. Adem´as, se toma el fondo plano, en vez de variable. Secci´on 1 Secci´on 2 Secci´on 3 x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) 99.015 100.170 1.000 85.000 81.000 1.000 19.500 92.867 1.000 100.000 100.000 0.000 85.000 80.000 0.000 20.000 92.000 0.000 100.985 99.826 1.000 85.000 79.000 1.000 20.500 91.134 1.000 Secci´on 4 Secci´on 5 Secci´on 6 x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) 4.015 54.826 1.000 18.707 49.293 1.000 54.500 59.134 1.000 5.000 55.000 0.000 18.000 50.000 0.000 55.000 60.000 0.000 5.985 55.174 1.000 17.293 50.707 1.000 55.500 60.866 1.000 Secci´on 7 x y z 74.500 20.866 1.000 75.000 20.000 0.000 75.500 19.130 1.000 Tabla 5.2: Secciones triangulares de un cauce sinuoso (T2). Los resultados est´an en las figuras 5.4 y 5.5. En la primera se puede ver el cauce en el plano OXY . Por otra parte, en la figura 5.5, se puede ver el cauce en tres dimensiones, y apreciar la forma de la secci´on transversal. Es claro que este caso tambi´en puede obtenerse con el algoritmo, incluso siendo un cauce tan sinuoso. De esta forma, se ve como con los cambios pertinentes (c 4.8) se pueden representar r´ıos muy sinuosos. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 y x Figura 5.4: Vista en planta del cauce de secci´on triangular meandroso despu´es de la interpolaci´on (T2). 27 Figura 5.5: Visi´on 3D del cauce generado (T2). 5.3. T3: Cauce recto de secci´on trapezoidal En este caso, al igual que en el primero, basta con definir tres secciones de forma trapezoidal. El cauce tiene una longitud de 100my un desnivel de 10m. La base de la secciones miden 10m, y sus anchuras m´aximas son 20m, a una altura de 10m. La Fig. 5.6 muestra las secciones. Secci´on 1 Secci´on 2 Secci´on 3 x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) 0.00 -10.00 10.00 50.00 -10.00 5.00 100.00 -10.00 0.00 0.00 -5.00 0.00 50.00 -5.00 -5.00 100.00 -5.00 -10.00 0.00 5.00 0.00 50.00 5.00 -5.00 100.00 5.00 -10.00 0.00 10.00 10.00 50.00 10.00 5.00 100.00 10.00 0.00 Tabla 5.3: Secciones trapezoidales de un cauce recto (T3). -10 -5 0 5 10 0 20 40 60 80 100 Y (m) X (m) seccion 1 seccion 2 seccion 3 (a) -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 Z (m) Y (m) seccion 1 seccion 2 seccion 3 (b) Figura 5.6: (a) vista en planta y (b) vista en plano alzado de ambas secciones trapezoidales del caso T3. 28 Con estos datos el cauce generado es el de la Fig. 5.7. De esta manera puede verse que el cauce generado es correcto, ya que concuerda con los datos introducidos. (a) (b) Figura 5.7: (a) vista en planta y (b) vista de perfi del cauce completo del caso T3. 5.4. T4: Cauce meandroso de secci´on variable Al igual que en los casos anteriores, para definir un cauce sinuoso se necesita un mayor n´umero de secciones. Estas se muestran en la Fig. 5.8 y en la tabla 5.4. Secci´on 1 Secci´on 2 x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) 7.845 160.797 2000.000 62.518 178.198 1000.000 0.000 200.000 1000.000 75.012 192.132 250.000 -7.845 239.203 2000.000 100.000 220.000 150.000 112.494 233.934 1000.000 Secci´on 3 Secci´on 4 x (m) y (m) z (m) x (m) y (m) z (m) 157.428 161.579 500.000 200.000 160.000 0.000 150.000 180.000 -350.000 200.000 200.000 -1000.000 135.144 216.842 -250.000 200.000 240.000 0.000 127.717 235.264 500.000 Tabla 5.4: Secciones trapezoidales del cauce sinuoso (T4). 29 160 180 200 220 240 0 50 100 150 200 Y (m) X (m) seccion 1 seccion 2 seccion 3 seccion 4 (a) -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 160 180 200 220 240 Z (m) Y (m) seccion 1 seccion 2 seccion 3 seccion 4 (b) Figura 5.8: La secciones vistas en planta (a) y en plano alzado (b) (T4). A priori se puede suponer que es un problema interpolar una secci´on triangular con una trapezoidal, pero no es as´ı, debido a que se remuestrea el n´umero de puntos por secci´on para tener en todas el mismo n´umero. De esta manera, el resultado de la interpolaci´on es visible en la Fig. 5.9. (a) (b) Figura 5.9: La secciones vistas en planta (a) y en plano alzado (b). Se ha modificado el factor de escala para poder visualizar mejor el cauce. En este caso, se ha querido recrear en cierta forma un cauce m´as realista, y que la l´ınea de mayor profundidad (thalweg) discurra por las zonas exteriores de los meandros. 5.5. El Ebro a su paso por el meandro de Ranillas (Zaragoza) En este caso las secciones son en total 14. El resultado de la interpolaci´on se muestra en la Fig. 5.11. y en la Fig. 5.12. 30 4.614e+06 4.6145e+06 4.615e+06 4.6155e+06 4.616e+06 4.6165e+06 4.617e+06 4.6175e+06 4.618e+06 673000 674000 675000 676000 677000 678000 Y (m) X (m) Figura 5.10: Las secciones tomadas del meandro de Ranillas vistas en planta. Figura 5.11: Vista en planta del cauce completo en el meandro de Ranillas. 31 Figura 6.4: Suma de los 2 MDTs disponibles. Una soluci´on, puede ser utilizar un MDT generado por otro m´etodo, y all´ı donde el MDT generado a partir del cauce interpolado no posea informaci´on, a˜nadir la del primero. Es una soluci´on burda, pero a falta de m´as datos, una de las m´as simples. El cauce utilizado para complementar el generado por el algoritmo, es un cauce creado por [6]. El resultado de este proceso es visible en la figura 6.5. Como se puede apreciar en la figura 6.5, hay cambios bruscos en la elevaci´on del lecho, tanto a mitad de recorrido del cauce, como al final. Esto puede parecer que conduce a errores en los resultados de la simulaci´on, a´un as´ı, eso debe ser confirmado por la simulaci´on hidr´aulica. Figura 6.5: Soluci´on al problema de la Fig. 6.4. 38 Cap´ıtulo 7 Evaluaci´on de la calidad de la interpolaci´on En este cap´ıtulo se eval´ua la calidad de la interpolaci´on, tanto del cauce generado en el meandro de Ranillas (Zaragoza) como en la Reserva Natural de los galachos de la Alfranca (Zaragoza). Para ello, en cada caso se utiliza un procedimiento diferente de evaluaci´on. En en caso del meandro, se comparan tres cauces generados con el algoritmo. El primero de ellos, est´a generado por el n´umero total de secciones reales disponibles, y los restantes, se obtienen de interpolar un n´umero inferior de ellas. Despu´es, se simulan los tres cauces con un modelo 1D, y se comparan los resultados obtenidos en cada caso. As´ı, tomando como cauce de referencia el obtenido con todas la secciones, se estima el error que producen los otros dos cauces. Esto ayuda a comprender c´omo afecta, y en qu´e grado a la interpolaci´on, el n´umero de secciones utilizadas para generar el cauce. Por otro lado, en el caso del cauce del Ebro a su paso por la R. N. de los Galachos de la Alfranca (Zaragoza), se emplean dos cauces diferentes. Primero, un cauce de secci´on triangular empleado por [6] y los resultados que este produce. Y segundo, el cauce anterior, pero modificado. Esta modificaci´on, consiste en a˜nadir informaci´on del cauce de [6] all´ı donde el cauce obtenido con el algoritmo no la tenga. Despu´es, se comparan los resultados de la simulaci´on 2D del cauce de [6], y del modificado. La diferencia entre el cauce obtenido por [6] y mediante el algoritmo, es que el primero resulta ser una primera aproximaci´on al cauce real, y el segundo es el resultado de intentar obtener un cauce m´as realista desde un punto de vista geomorfol´ogico e hidr´aulico. 7.1. Evaluaci´on del cauce generado para el meandro de Ranillas (Zaragoza) En este primer caso, se utiliza la simulaci´on 1D como referencia en caudal bajo. En la simulaci´on 1D no es necesario introducir secciones interpoladas, basta con introducir las secciones reales disponibles. Para comprobar si las secciones interpoladas se aproximan a las reales es posible emplear la simulaci´on 1D, incluso para comprender c´omo afecta al cauce generado con el algoritmo el n´umero de secciones reales utilizadas. En este caso, son 21 las secciones reales disponibles, que se distribuyen a lo largo de una longitud total de 6057.74m. A partir de estas secciones se generan tres cauces diferentes. El primero utilizando el total de las secciones, que se toma como el cauce de referencia. En el segundo, son 17 las secciones reales, y 4 las obtenidas con el m´etodo de interpolaci´on, tambi´en denominadas secciones interpoladas. 39 As´ı, el n´umero de secciones es el mismo, pero algunas son una aproximaci´on a las reales. En el tercer caso, el n´umero de secciones medidas es de 16, y el restante, hasta completar un total de 21 secciones, interpoladas. Cauce Nosecciones medidas Nosecciones interpoladas Etiqueta de la secciones interpoladas C1 21 0 ∅ C2 17 4 9, 14, 16, 20 C3 16 5 9, 14, 16, 18, 20 Tabla 7.1: Cauces utilizados para la simulaci´on 1D. Etiqueta de la secci´on Posici´on (m) 9 2443.5 14 3977.41 16 4449.55 18 5082.83 20 5671.59 Tabla 7.2: Posici´on de las secciones interpoladas desde el origen. Como primer paso para la evaluaci´on de la interpolaci´on, se emplea un criterio geom´etrico, comparando las secciones generadas con las medidas. Adem´as, tambi´en se comparan las secciones interpoladas con las secciones reales vecinas de aguas arriba y aguas abajo. Secci´on interpolada 9. En la Fig. 7.1(a), se muestra la secci´on interpolada (azul) en comparaci´on con la medida (rosa). Observando ambas se puede decir que son bastante parecidas, no iguales, a excepci´on de un dique que se observa en la interpolada y en la otra no. Para entender el motivo de la presencia de esta, se debe atender a la figura 7.1(b). En ella aparecen la secci´on vecinas de aguas arriba (rosa) y aguas abajo (verde), y la generada (azul). Como se aprecia, esta se encuentra entre los valores de la elevaci´on de las vecinas, como cabe esperar en una interpolaci´on. En este caso, la que se encuentra aguas arriba no capta el pico, pero la de aguas abajo s´ı. Por lo tanto es de esperar que la del medio s´ı la capte, aunque en menor grado. 40 188 190 192 194 196 198 200 202 0 100 200 300 400 500 600 700 Z (m) Distancia (m) seccion medida seccion interpolada (a) 188 190 192 194 196 198 200 202 204 206 0 100 200 300 400 500 600 700 Z (m) Distancia (m) seccion anterior seccion interpolada siguiente seccion (b) Figura 7.1: Secci´on interpolada 9. (a) Comparaci´on entre la secci´on medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguas arriba y aguas abajo. Secci´on interpolada 14. En el caso de la siguiente secci´on interpolada, el resultado est´a en la Fig. 7.2. En este caso, la interpolada se parece m´as a la medida en la zona del canal, pero en la llanura de inundaci´on de la derecha el dique no aparece donde le corresponde, y su altura tampoco es la adecuada. A´un as´ı, al ser una interpolaci´on las que se deben tener en cuenta son sus secciones vecinas, puesto que se debe ajustar a la interpolaci´on de ´estas. Y en este caso, es evidente que queda entre los valores de la elevaci´on de las vecinas. 186 188 190 192 194 196 198 200 202 204 0 100 200 300 400 500 600 700 Z (m) Distancia (m) seccion medida seccion interpolada (a) 186 188 190 192 194 196 198 200 202 204 206 208 0 100 200 300 400 500 600 700 Z (m) Distancia (m) seccion anterior seccion interpolada siguiente seccion (b) Figura 7.2: Secci´on interpolada 14. (a) Comparaci´on entre la secci´on medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguas arriba y aguas abajo. Secci´on interpolada 16: En este caso de la secci´on de la Fig. 7.3, geom´etricamente se aproxima menos a la real que las secciones 9 y 14. Aunque la anchura m´axima del cauce es casi la misma, hay en torno a 1.5mde diferencia en la profundidad m´axima. Por otro lado, los diques de la izquierda y de la derecha son de diferente tama˜no a los valores reales, y la llanura de inundaci´on se parece menos en esta ocasi´on. De la comparaci´on con las secciones vecinas, se comprende la diferencia entre la secci´on interpolada y real. 41 188 190 192 194 196 198 200 202 0 100 200 300 400 500 600 700 Z (m) Distancia (m) seccion medida seccion interpolada (a) 186 188 190 192 194 196 198 200 202 204 0 100 200 300 400 500 600 700 Z (m) Distancia (m) seccion anterior seccion interpolada siguiente seccion (b) Figura 7.3: Secci´on interpolada 16. (a) Comparaci´on entre la secci´on medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguas arriba y aguas abajo. Secci´on interpolada 18: En este caso, comparando la interpolada con la medida la diferencia es muy grande, s´olo es parecido el valor de la anchura m´axima, todo lo dem´as es muy diferente, la profundidad m´axima, la elevaci´on de las llanuras de inundaci´on, los diques, ... Del an´alisis de la Fig. 7.4(b), se observa como las secciones vecinas son muy diferentes entre s´ı. El terreno es muy variable, y al no haber ninguna correlaci´on en la elevaci´on del terreno, la secci´on real y la interpolada son muy diferentes. 186 188 190 192 194 196 198 200 202 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Z (m) Distancia (m) seccion medida seccion interpolada (a) 188 190 192 194 196 198 200 202 204 206 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Z (m) Distancia (m) seccion anterior seccion interpolada siguiente seccion (b) Figura 7.4: Secci´on interpolada 18. (a) Comparaci´on entre la secci´on medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguas arriba y aguas abajo. 42 Secci´on interpolada 20: En este caso, como en el anterior, el resultado de la interpolaci´on es muy diferente a la realidad. Observando la figura 7.5(b), se concluye que el motivo es la gran diferencia entre las secciones vecinas, y que por lo tanto, el m´etodo de interpolaci´on no es responsable principal de dicha diferencia. 186 188 190 192 194 196 198 200 202 204 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Z (m) Distancia (m) seccion medida seccion interpolada (a) 188 190 192 194 196 198 200 202 204 206 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Z (m) Distancia (m) seccion anterior seccion interpolada siguiente seccion (b) Figura 7.5: Secci´on interpolada 20. (a) Comparaci´on entre la secci´on la medida y la interpolada. (b) Comparaci´on de la secci´on interpolada con las secciones vecinas de aguas arriba y aguas abajo. 43 El siguiente paso consiste en estudiar como afectan estas variaciones de la topograf´ıa al resultado final, es decir, a las variables hidr´aulicas. Para ello, se han colocado 21 sondas en el cauce. Y despu´es, comparando con el cauce de referencia, se han obtenido los errores. Las sondas, est´an colocadas all´ı donde se ha introducido cada secci´on, ya sea real o interpolada. Los datos que se han obtenido de la simulaci´on 1D, son el caudal (Q), la cota de la l´amina libre (h+z) y el ´area mojada (A) en funci´on del tiempo (t). La condici´on inicial ha sido un flujo estacionario con un caudal de Q= 100m3 s. Para el c´alculo del estado transitorio, la condici´on de entrada ha sido el caudal de una avenida de 86400sde duraci´on con el m´aximo caudal en t= 14400s(Qmax = 300m3 s,500m3 s,800m3 sy 1500m3 s) (Fig. 7.6). La condici´on de contorno de salida, es un flujo con un n´umero de Froude igual a 0.95. 0 20000 40000 60000 80000 Q (m3/s) t (s) Qmax Figura 7.6: Hidrograma de la avenida simulada. El gran volumen de datos de salida, hace necesario el uso de la estad´ısta para hacer un an´alisis. De esta forma, se ha obtenido el error cuadr´atico medio (RMS) para cada una de las variables, as´ı como el error relativo medio. El c´alculo del error cuadr´atico medio (RMS) de la variable x, se ha realizado para cada variable de una sonda utilizando el tiempo como par´ametro. RMS de x=v u u u t N X i=1 xref. i−xi2 N(7.1) donde xref. ies el valor de la variable de referencia respecto a la que se calcula el error y Nes el n´umero de datos. En el c´alculo del error relativo medio (ERM) el tiempo tambi´en es par´ametro. ERM de x=1 N N X i=1 |xref. i−xi| xref. i (7.2) 44 Error de Q: 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 RMSE Q (m3/s) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (a) 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 RMSE Q (m3/s) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (b) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 RMSE Q (m3/s) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (c) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 RMSE Q (m3/s) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (d) Figura 7.7: Errores en Qpara los diferentes cauces en el modelo 1D. (a) Qmax = 300m3 s, (b) Qmax = 500m3 s, (c) Qmax = 800m3 s, (d) Qmax = 1500m3 s. Observando los gr´aficos, se puede observar que a medida que aumenta el caudal m´aximo tambi´en aumenta el error cuadr´atico medio (Fig. 7.7). Esto parece l´ogico, ya que en tal caso se ampl´ıan las diferencias en el caudal que pudiera haber. Para determinar la importancia de los valores del error cuadr´atico medio, tambi´en se ha calculado el error relativo. Los valores del error relativo, para los diferentes caudales y sondas, estan por debajo de un 2 %. Por lo tanto el error en el caudal de los dos casos es bastante peque˜no. Por otro lado, al comparar el cauce 1 y el cauce 2, se observa que los errores son mayores en el segundo. Esto parece l´ogico, ya que en el segundo caso el n´umero de secciones reales sustituidas por otras obtenidas con la interpolaci´on es mayor, una secci´on m´as. Por lo tanto, se deduce que cuanto mayor es el n´umero de secciones interpoladas, mayor es el error. 45 Error de h+z: 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 RMSE h+z (m) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (a) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 RMSE h+z (m) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (b) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 RMSE h+z (m) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (c) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 RMSE h+z (m) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (d) Figura 7.8: Errores en h+zpara los diferentes cauces en el modelo 1D. (a) Qmax = 300m3 s, (b) Qmax = 500m3 s, (c) Qmax = 800m3 s, (d) Qmax = 1500m3 s. En este caso, como en el anterior, los errores son mayores en el 2ocauce, sea cual sea el caudal m´aximo (Fig. 7.8). El valor m´aximo del error cuadr´atico para ambos casos es m´as o menos constante, en torno a 0.3mpara el primer cauce, y 0.55mpara el segundo. Estos datos, por s´ı solos, no dicen mucho si no se observa el error relativo. El m´aximo est´a en torno a 0.2 % para el primer caso, y 0.3 % para el segundo. Es por lo tanto muy peque˜no. Si la cota de la l´amina libre del Ebro a su paso por el meandro de Ranillas, ronda los 190m, el error relativo m´aximo es de m´as o menos el 0.02 %, pero en t´erminos absolutos es m´as de un 1mde diferencia, siendo la diferencia muy grande. Esto se debe en gran parte a la irregularidad del fondo del Ebro a su paso por Ranillas (Fig. 7.10). 46 Error de A: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 RMSE A (m2) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (a) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 RMSE A (m2) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (b) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 RMSE A (m2) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (c) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 RMSE A (m2) Error Relativo % Sonda RMSE C2 RMSE C3 ERM C2 ERM C3 (d) Figura 7.9: Errores en Apara los diferentes cauces en el modelo 1D. (a) Qmax = 300m3 s, (b) Qmax = 500m3 s, (c) Qmax = 800m3 s, (d) Qmax = 1500m3 s. En este caso, el error relativo m´aximo es muy alto, en torno al 90 % (Fig. 7.9). Para entender la raz´on de este hecho se debe observar la figura 7.10 donde est´a representado el thalweg a lo largo del cauce. Figura 7.10: Variaci´on del thalweg a lo largo del meandro. 47 176 177 178 179 180 181 182 183 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Z (m) Cauce modificado Cauce no modificado (a) 177 178 179 180 181 182 183 184 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Z (m) Cauce modificado Cauce no modificado (b) Figura 7.23: Comparaci´on de la (a) secci´on 3, y (b) secci´on 4 del cauce principal del Ebro a su paso por la R. N. de los galachos de la Alfranca (Zaragoza). 174 175 176 177 178 179 180 181 182 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Z (m) Cauce modificado Cauce no modificado (a) 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Z (m) Cauce modificado Cauce no modificado (b) Figura 7.24: Comparaci´on de la (a) secci´on 5, y (b) secci´on 6 del cauce principal del Ebro a su paso por la R. N. de los galachos de la Alfranca (Zaragoza) Comparando ambos mallados, en negro el mallado m´as basto y en color el fino, se aprecia que las elevaciones del terreno son diferentes, siendo mayores en el fino. Por lo tanto es esperable que tenga mayor facilidad para el desbordamiento en esta regi´on el mallado basto, tal y como se aprecia en la figura 7.19(a). En las siguientes im´agenes se puede ver el nivel del agua en ambos mallados. 54 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Z (m) Cauce modificado Cauce no modificado (a) 170 172 174 176 178 180 182 184 186 188 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Z (m) Cauce modificado Cauce no modificado (b) Figura 7.25: Comparaci´on de la (a) secci´on 7, y (b) secci´on 8 del cauce principal del Ebro a su paso por la R. N. de los galachos de la Alfranca (Zaragoza) Figura 7.26: Vista en planta del galacho en la margen izquierda del cauce principal. En negro el mallado basto (58331 celdas) utilizado por [6], y en color, el fino (514246 celdas), aplicado sobre el MDT obtenido con el algoritmo. (a) (b) Figura 7.27: Vista en perspectiva del galacho en la margen izquierda del cauce principal. (a) Mallado fino, y (b) mallado basto Tal y como se observa, el nivel de la l´amina libre del agua en el caso (b) es mayor a la elevaci´on de la llanura de inundaci´on, no as´ı en el mallado m´as fino. El campo de velocidades del mallado de [6] en la Fig. 7.28. 55 Figura 7.28: En negro el mallado basta utilizado por [6], y en color el fino, aplicado sobre el MDT obtenido con el algoritmo De estas comparaciones, al igual que antes, la conclusi´on que se puede sacar es que las diferencias entre ambos casos se deben b´asicamente al mallado, al diferente n´umero de celdas. Para terminar con la comparaci´on entre ambos casos, se estudian los resultados obtenidos de un cierto n´umero de sondas colocadas seg´un la siguiente imagen, en ambos mallados. Figura 7.29: Posici´on de las sondas. El error cuadr´atico medio de los par´ametros h,h+z,vxyvyse obtiene de comparar los resultados de ambos mallados entre s´ı. De esta manera, puede determinarse el efecto de usar un cauce respecto a otro. Los resultados son visibles en las tablas 7.3 y 7.4. En los casos donde el valor del error relativo es indeterminado, se debe a que se han tomado como referencia los datos de [6], siendo estos nulos en ciertas sondas. El c´alculo del error cuadr´atico medio (RMS) de la variable x, al igual que antes se ha obtenido de la expresi´on RMS de x=v u u u t N X i=1 xref. i−xi2 N(7.3) y el error relativo medio, se ha obtenido de ERM de x=1 N N X i=1 |xref. max −xi| xref. max (7.4) 56 h+z h Sonda RMSE (m) ERM ( %) RMSE (m) ERM ( %) 1 0.100 0.056 0.000 ∅ 2 0.339 0.183 0.546 12.085 3 0.635 0.278 0.502 21.682 4 0.748 0.353 0.748 24.538 5 0.943 0.386 0.929 51.021 6 0.550 0.306 0.000 ∅ 7 0.030 0.016 0.000 ∅ 8 0.281 0.151 0.429 14.120 9 0.161 0.085 0.133 6.043 10 0.099 0.043 0.416 21.408 11 0.286 0.126 0.362 35.411 12 0.469 0.202 0.555 30.298 13 0.160 0.087 0.000 ∅ 14 0.959 0.461 0.840 ∅ 15 0.082 0.041 0.838 153.858 16 0.206 0.106 0.101 36.326 17 0.152 0.065 0.158 22.325 18 0.100 0.055 0.000 ∅ 19 0.440 0.226 0.447 41.943 20 0.117 0.062 0.335 9.584 21 1.529 0.681 1.529 52.923 Tabla 7.3: Error cuadr´atico medio (RMS) y error relativo medio (ERM) de h+zyh. donde xref. max es el valor m´aximo de la variable de referencia. Esta elecci´on se debe a que en muchos casos en valor de xref. es nulo, y de esta forma se evita en varios casos. En la tabla 7.3, al igual que en el caso 1D, el error relativo de h+zes muy peque˜no. Por un lado, parte del error procede de la precisi´on de la representaci´on topogr´afica debida al n´umero de celdas. Por otro, parte de la contribuci´on al error procede de la diferente cota de la l´amina libre en ambos casos, como se puede apreciar en los errores de h. El erro relativo en el caso de h, no es para nada despreciable, superando incluso en un caso el valor de 150 %. Estas diferencias son el resultado de la desigual inundaci´on de la llanura. En el c´alculo del error del campo de velocidades (Tabla 7.4) tambi´en hay casos donde el error relativo es indeterminado, como consecuencia de haber dividido entre un valor nulo. Los valores de los errores en este caso son muy dispares entre s´ı. En algunas sondas el error cuadr´atico medio es nulo. Esto es consecuencia de no haber sido sumergidas estas sondas. Por otro lado, el error relativo en ciertas sondas supera 100 %, algo esperable al igual que en los errores de h, debida a la desigual inundaci´on en la llanura. Con lo visto hasta ahora, no se puede asegurar que el MDT creado con el algoritmo sea preciso. Con los datos disponibles s´olo se puede decir que ofrece una soluci´on aproximada a la de [6]. Para poder hacer un an´alisis m´as exhaustivo, se deben tener datos medidos directamente sobre el terreno. Adem´as, para poder llegar al l´ımite del m´etodo de interpolaci´on desarrollado, 57 vxvy Sonda RMSE (m/s) ERM ( %) RMSE (m/s) ERM ( %) 1 0.000 ∅0.000 ∅ 2 0.042 67.966 0.186 40.083 3 0.151 19.397 0.091 42.005 4 0.354 55.521 0.189 53.677 5 0.125 122.268 0.022 ∅ 6 0.000 ∅0.000 ∅ 7 0.000 ∅0.000 ∅ 8 0.041 6.258 0.019 3.193 9 0.099 18.038 0.061 20.858 10 0.056 15.730 0.206 ∅ 11 0.050 13.231 0.033 16.584 12 0.046 190.152 0.010 3.268 13 0.000 ∅0.000 ∅ 14 0.007 ∅0.008 ∅ 15 0.106 28.751 0.092 ∅ 16 0.011 29.299 0.026 139.899 17 0.004 ∅0.002 ∅ 18 0.000 ∅0.000 ∅ 19 0.071 42.471 0.085 ∅ 20 0.015 3.822 0.033 31.490 21 0.018 3.880 0.025 235.219 Tabla 7.4: Error cuadr´atico medio (RMS) y error relativo medio (ERM) de vxyvy. se debe tener informaci´on de partida m´as precisa. La informaci´on proveniente del vuelo LIDAR debe ser tomada temporalmente lo m´as cercano posible a la toma de datos de las secciones del r´ıo, con tal de garantizar que circula el mismo caudal en ambos casos. Adem´as, lo id´oneo es que los m´argenes sean definidos lo mejor posible para evitar puntos sin informaci´on tal y como ha ocurrido al generar un MDT completo. 58 Cap´ıtulo 8 Conclusiones El objetivo principal del presente trabajo ha sido la obtenci´on de un modelo digital terrestre (MDT) que capte con alta resoluci´on espacial la informaci´on topogr´afica de un cauce y de su llanura de inundaci´on, como se ha comentado anteriormente. Para ello, se han empleado dos procedimientos distintos. Por una parte, se ha utilizado la informaci´on topogr´afica proveniente del vuelo LIDAR de la llanura de inundaci´on. Pero el hecho de no poder obtener la informaci´on batim´etrica del cauce mediante esta t´ecnica, ha llevado a buscar nuevas herramientas para su obtenci´on. Con tal fin, se ha desarrollado un algoritmo de interpolaci´on de las secciones transversales, utilizando splines c´ubicos de Hermite para la interpolaci´on en planta, y un m´etodo de lineal para la interpolaci´on de la elevaci´on del cauce. De esta forma es posible obtener un MDT que abarque el cauce, para posteriormente a˜nadir su informaci´on al MDT proveniente del LIDAR que contiene la llanura de inundaci´on, obteniendo finalmente un MDT completo que recoja tanto el lecho como la llanura de inundaci´on. Una vez obtenido el cauce, es necesario comprobar si el resultado es satisfactorio desde el punto de vista hidr´aulico, el objetivo final para el cual sirve el MDT. Para ello, se han utilizado un modelo 1D y otro 2D, sobre el cauce del Ebro a su paso por el meandro de Ranillas (Zaragoza) y sobre la R. N. de los galachos de la Alfranca (Zaragoza), respectivamente. Por una parte, del total de secciones reales disponibles se retiran algunas y se genera un cauce con las restantes. Posteriormente, se miden sobre el cauce las secciones situadas en el mismo lugar que las secciones retiradas, y se comparan entre s´ı utilizando criterios geom´etricos y hidr´aulicos. La comparaci´on geom´etrica se hace comparando visualmente cada pareja de secciones. En la comparaci´on hidr´aulica se utiliza en modelo 1D. Para ello, se genera un cauce utilizando ´unicamente las secciones reales, y otros dos cauces sustituyendo ciertas secciones reales por interpoladas. Con los resultados de los diferentes cauces se hace una comparaci´on de los par´ametros hidr´aulicos. De esta manera se llega a dos conclusiones. Una, que los resultados son una razonable aproximaci´on a la realidad, y que por ello, el algoritmo desarrollado puede ser ´util. Otra, que el n´umero de secciones reales utilizadas para la generaci´on del cauce es importante, como parece l´ogico a priori, y que por lo tanto cuanto m´as secciones reales haya m´as fieles a la realidad son los resultados. Por otro lado, se utiliza el modelo 2D, para comparar el MDT generado con el algoritmo, y otro obtenido por [6]. En este caso, se han comparado las huellas de inundaci´on de ambos MDTs, as´ı como las variables hidr´aulicas, con el objetivo de evaluar que efectos tiene sobre la hidr´aulica de la llanura de inundaci´on el cauce generado a partir de la interpolaci´on. Los resultados en este caso no han podido ser evaluados de una forma correcta, debido al diferente 59 mallado del MDT de [6], y del generado con el algoritmo. En el caso de [6], el n´umero de celdas utilizadas ha sido mucho menor, y por ello, las diferencias entre ambos MDTs se han debido b´asicamente a ello. A´un as´ı, en ambos casos los resultados no han sido muy diferentes, y por lo tanto, se puede decir que el MDT obtenido en el presente trabajo no produce grandes cambios en la hidr´aulica respecto a la realidad. Para una correcta evaluaci´on, sin embargo, es necesario poseer datos reales medidos directamente en campo. Los resultados obtenidos demuestran que aunque no sean todo lo bueno que se desear´ıa, son en cierta forma una buena aproximaci´on a la realidad. Por lo tanto, el m´etodo de interpolaci´on empleado para la obtenci´on de un MDT puede ser ´util cuando no se posea informaci´on directa del cauce. Cabe destacar, que similar al algoritmo desarrollado en el presente trabajo, existen otros [11][12]. En el trabajo de [11], el m´etodo de interpolaci´on tanto en planta como en la elevaci´on del cauce es lineal. Para ello, la interpolaci´on se hace en un sistema de referencia local donde las variables son la longitud de arco del cauce, y la distancia desde el centro del mismo a los m´argenes. En cambio, en el trabajo de [12], tambi´en se hace uso de la interpolaci´on lineal para la interpolaci´on en planta y de la elevaci´on, pero en un sistema de referencia global. En ambos trabajos, sin embargo, se aplica un suavizador en los m´argenes para evitar grandes diferencias en la elevaci´on entre la llanura de inundaci´on y el cauce. En el algoritmo del presente trabajo no se ha hecho uso de ning´un suavizador, debido a que ello supone hacer una aproximaci´on m´as en la topograf´ıa del terreno, y ello, puede introducir diferencias significativas respecto a la realidad. Por ejemplo, si existiera un dique entre el cauce y la llanura, el suavizador que lo que hace es promediar la elevaci´on, puede hacerlo desaparecer, y de esta manera cambiar el escenario sobre el cual simular. Es por ello, que se ha tomado la decisi´on de no usarlo. Por lo tanto, aunque la idea de obtener un MDT completo mediante la interpolaci´on es com´un en los tres trabajos, el m´etodo y desarrollo no lo es, y consecuentemente, el presente trabajo supone una novedad. Como trabajo futuro cabe decir que el algoritmo presentado requiere todav´ıa de m´as desarrollo. Esto se debe a que no ha sido dise˜nado, de forma especial, para la representaci´on de las posible islas que pudiera haber en el r´ıo, y por lo tanto, se debe mejorar este aspecto. Por otro lado, es necesario comprobar los resultados obtenidos con datos medidos directamente en campo. En este sentido, es interesante poder validar el algoritmo en otros r´ıos aparte del Ebro. 60 Ap´endice I En este ap´endice se tratar´a de obtener la ecuaci´on de interpolaci´on c´ubica por splines de Hermite: fi(x) = y=h00(t)yi+h10(t) (xi+1 −xi)mi+h01(t)yi+1 +h11(t) (xi+1 −xi)mi+1 (1) Siendo tun par´ametro de normalizaci´on para pasar de [xi, xi+1] a [0,1], tal que: t=x−xi xi+1 −xi (2) miymi+1 expresan el valor de la primera derivada, o lo que es lo mismo a y0 iyy0 i+1, respectivamente. Y por ´ultimo, h00,h10,h01 yh11 forman la base de las funciones de Hermite. h00(t) = 2t3−3t2+ 1 (3) h10(t) = t3−2t2+t(4) h01(t) = −2t3+ 3t2(5) h11(t) = t3−t2(6) Obtenci´on de la funci´on de interpolaci´on A la hora de interpolar se busca un interpolador c´ubico por splines que interpole los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1), respetando el valor de la primera derivada en los mismos. Por lo tanto, la funci´on de interpolaci´on general ser´a de la forma fi(x) = y=a0+b0x+c0x2+d0x3con x ∈[xi, xi+1], y ∈[yi, yi+1] (7) Esta, se puede normalizar normalizar en funci´on de un p´arametro t(2): fi(t) = a+bt +ct2+dt3con t ∈[0,1] (8) En total hay 4 inc´ognitas en la ecuaci´on, y para resolverla se necesitan 4 datos. 2 de estos datos los obtenemos de conocer el valor de la funci´on en los nodos (xi, yi), o lo que es lo mismo en t= 0,1. Y otros 2, de conocer el valor de la primera derivada, fi(0) = m0 i= (xi+1 −xi)miy fi(1) = m0 i+1 = (xi+1 −xi)mi+1, tambi´en en los mismo nodos. De esta manera es sistema es totalmente determinable. Para ello, haciendo las sustituciones pertinentes: fi(0) = a=yi(9) fi(1) = a+b+c+d=yi+1 (10) 61 De las primeras derivadas: f0 i(0) = b=m0 i(11) f0 i(1) = b+ 2c+ 3d=m0 i+1 (12) El sistema matricialmente se puede escribir como:     yi yi+1 m0 i m0 i+1     =    1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 2 3        a b c d     (13) Resolviendo el sistema, por ejemplo mediante sustituciones, se obtiene: a=yi b=m0 i c=−3yi+ 3yi+1 −2m0 i−m0 i+1 d= 2yi−2yi+1 +m0 i+m0 i+1 (14) De tal forma que la ecuaci´on (8) se puede escribir como: fi(t) = yi+m0 it+−3yi+ 3yi+1 −2m0 i−m0 i+1t2+2yi−2yi+1 +m0 i+m0 i+1t3(15) o reagrupando los t´erminos y expres´andolo en funci´on de x: fi(x) = (2t3−3t2+ 1) yi+ (t3−2t2+t) (xi+1 −xi)mi+ (−2t3+ 3t2)yi+1 + (t3−t2) (xi+1 −xi)mi+1 =h00(t)yi+h10(t) (xi+1 −xi)mi+h01(t)yi+1 +h11(t) (xi+1 −xi)mi+1 (16) De esta forma obteni´endose la expresi´on (1). 62 Bibliograf´ıa [1] M. Morales-Hernandez, P. 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