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Abstract
En el presento proyecto se pretende llevar a cabo el modelado, análisis y control de un sistema térmico. En primer lugar se llevará a cabo el modelado y análisis de un sistema térmico que se denominará vivienda. Se pretende modelar una vivienda típica española a través de las ecuaciones de la física que describen su comportamiento como sistema térmico. Se usarán técnicas de la teoría de sistemas, implementando esas ecuaciones en bloques y disponiendo un diagrama de bloques con el que se analizará el comportamiento del mismo. Se comenzará con un modelo más simple hasta llegar al modelo más realista con el que se realizará la segunda parte: análisis y control del mismo. Para analizar el comportamiento del sistema, se realizarán distintas simulaciones variando todos los factores que influyen en el comportamiento del mismo: calidad de los aislantes de la vivienda, condiciones exteriores (viento y temperatura) temperatura del agua de los radiadores, tipo de control de la misma, etc. Para que este análisis sea lo más objetivo posible se usará un índice de confort diseñado especialmente para este proyecto y se observará el gasto energético en las distintas simulaciones. Otal Loriente, Rubén; Romeo Tello, Antonio
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Ingeniería Técnica Industrial Esp. Electrónica Industrial Modelado + Sistema Térmico Escuela de Ingeniería y Arquitectura Proyecto Final de Carrera Ingeniería Técnica Industrial Esp. Electrónica Industrial Curso 2012-2013 Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Rubén Otal Loriente Diciembre 2012 Director: Antonio Romeo Escuela de Ingeniería y Arquitectura Universidad de Zaragoza Ingeniería Técnica Industrial Esp. Electrónica Industrial Análisis + Control de
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Resumen En el presento proyecto se pretende llevar a cabo el modelado, análisis y control de un sistema térmico. En primer lugar se llevará a cabo el modelado y análisis de un sistema térmico que se denominará vivienda. Se pretende modelar una vivienda típica española a través de las ecuaciones de la física que describen su comportamiento como sistema térmico. Se usarán técnicas de la teoría de sistemas, implementando esas ecuaciones en bloques y disponiendo un diagrama de bloques con el que se analizará el comportamiento del mismo. Se comenzará con un modelo más simple hasta llegar al modelo más realista con el que se realizará la segunda parte: análisis y control del mismo. Para analizar el comportamiento del sistema, se realizarán distintas simulaciones variando todos los factores que influyen en el comportamiento del mismo: calidad de los aislantes de la vivienda, condiciones exteriores (viento y temperatura) temperatura del agua de los radiadores, tipo de control de la misma, etc. Para que este análisis sea lo más objetivo posible se usará un índice de confort diseñado especialmente para este proyecto y se observará el gasto energético en las distintas simulaciones.
Índice 1.- Modelado y análisis del sistema .............................................................................................. 1 1.1.-Paredes aislantes carentes de masa. ................................................................................. 1 1.1.1.-Función de transferencia global del sistema. ............................................................. 1 1.1.2.-Análisis del régimen permanente. .............................................................................. 5 1.1.3.-Efecto de un lazo de realimentación en el sistema .................................................... 7 1.2.-Paredes aislantes dotadas de masa ................................................................................. 11 1.2.1.-Función de transferencia global del sistema. ........................................................... 11 1.2.2.-Análisis del régimen permanente. ............................................................................ 21 1.3.-Inclusión de sólidos interiores ......................................................................................... 25 1.4.-Simulación del sistema con SIMULINK ............................................................................. 32 1.5.-Análisis frecuencial .......................................................................................................... 39 2.-Elementos de calefactado: dimensionamiento y control. ...................................................... 43 2.1.-Caldera. ............................................................................................................................ 43 2.2.-Circuito hidráulico. ........................................................................................................... 45 2.3.-Control termostático. ....................................................................................................... 50 3.- Evaluación Confort/Gasto energético. ................................................................................... 52 3.1.- Influencia de la potencia de la caldera y número de radiadores. ................................... 56 3.1.1.-Número adecuado de radiadores ............................................................................. 57 3.1.2.-Número pequeño de radiadores............................................................................... 60 3.1.3.-Número grande de radiadores .................................................................................. 64 3.2.- Influencia de la temperatura del agua. ........................................................................... 67 3.2.1.-Temperatura del agua “alta”. ................................................................................... 70 3.2.2.-Temperatura del agua “baja”. ................................................................................... 72 3.3.- Influencia de la calidad del aislamiento. ......................................................................... 75 3.4.- Influencia de las condiciones externas. .......................................................................... 82 3.5.-Influencia de la estrategia de control. ............................................................................. 91 3.5.1.- Influencia del controlador del lazo interno (control de la Tª del agua de los radiadores). ......................................................................................................................... 91 3.5.2.- Influencia del controlador del lazo externo (control de la Tª ambiente). ............... 93 ANEXOS ..................................................................................................................................... 124
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 1 1.- Modelado y análisis del sistema 1.1.-Paredes aislantes carentes de masa. 1.1.1.-Función de transferencia global del sistema. Se desea caldear una estancia en la que hay un determinado volumen de aire (de masa y de coeficiente de calor específico ). El caldeado del aire se lleva a cabo por medio del aporte de calor (medido en vatios), proveniente, por ejemplo de una bomba de calor (o de unos convectores). En primera instancia, se considerará que las paredes de la estancia son de un material aislante muy delgado, por lo que pueden considerarse carentes de masa. En dichas condiciones, la resistencia térmica de dichas paredes será . Por otro lado, la temperatura correspondiente al aire de la estancia ( ) está homogéneamente repartida (fluido bien agitado). Primero se dibujará el diagrama de bloques de sistema, reduciéndolo posteriormente con el fin de obtener las funciones de transferencia: () () y () () Las ecuaciones que describen el comportamiento de este sistema a efectos de transferencia de calor y diferencia de temperaturas, obviamente teniendo sólo en cuenta la transferencia de calor por conducción ya que hemos supuesto grosor despreciable de las paredes, etc. , son: (t) ( ) q (t) (t) : Calor perdido
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén E l flujo de calor en la vivienda: calor cedido por la bomba me por la vivienda hacia el exterior es igual a masa de aire de la misma, calor especifico de dicho aire (los hemos considerado ambos constantes) y l del aire. Por otra parte: la diferencia de temperaturas entre e habitación y el exterior es igual a la resistencia por conducción de la vivienda (de sus paredes, únicamente por conducción ya que consideramos su grosor inexistente) por el calor perdido por la misma hacia el exterior. Aplicando la transformada de Laplace a las anteriores De modo que implementándolas en un diagrama de bloques con entrada q(s) y salida () resulta: ( ) - + Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico () () () () () () l flujo de calor en la vivienda: calor cedido por la bomba me nos calor perdido por la vivienda hacia el exterior es igual a masa de aire de la misma, calor especifico de dicho aire (los hemos considerado ambos constantes) y l a derivada de la temperatura Por otra parte: la diferencia de temperaturas entre e l aire del interior de la habitación y el exterior es igual a la resistencia por conducción de la vivienda (de sus paredes, únicamente por conducción ya que consideramos su grosor inexistente) por el calor perdido por la misma hacia el exterior. la transformada de Laplace a las anteriores ecuaciones () () () () () De modo que implementándolas en un diagrama de bloques con entrada q(s) y 1 1 + - 2 nos calor perdido por la vivienda hacia el exterior es igual a masa de aire de la misma, calor especifico de a derivada de la temperatura l aire del interior de la habitación y el exterior es igual a la resistencia por conducción de la vivienda (de sus paredes, únicamente por conducción ya que consideramos su grosor inexistente) por ecuaciones resulta: De modo que implementándolas en un diagrama de bloques con entrada q(s) y ( ) ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Para obtener tenemos que eliminar cualquier afección de la entrada Resolviendo el bucle de realimentación negativa, de la función de trasferencia: Ahora se calcula perturbaciones. Para ello s diagrama queda de la siguiente manera ( ) + - Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico () () , es decir: la función de transferencia del sistema, tenemos que eliminar cualquier afección de la entrada () de modo que bucle de realimentación negativa, se obtiene finalmente el valor de la función de trasferencia: () () 1 () () , es decir la función de transferencia del sistema de e debe eliminar la afección de la entrada ( de la siguiente manera : 1 1 1 1 + - 3 , es decir: la función de transferencia del sistema, de modo que resulta: finalmente el valor de transferencia del sistema de ( ), con lo que el ( ) ( ) ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Cambiando la disposición de los bloques, aunque no su estructura, de modo que se v ea claramente la realimentación negativa, Resolviendo el bucle de realimentación negativa, de la función de trasferencia: De mo do que en definitiva la función de transf ()1 + - ( ) Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico Cambiando la disposición de los bloques, aunque no su estructura, de modo ea claramente la realimentación negativa, resulta: Resolviendo el bucle de realimentación negativa, se obtiene finalmente el valor de la función de trasferencia: () () 1 1 do que en definitiva la función de transf erencia global del sistema es: 1 () 1 1 1 4 Cambiando la disposición de los bloques, aunque no su estructura, de modo finalmente el valor erencia global del sistema es: () ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 5 1.1.2.-Análisis del régimen permanente. Se procede a obtener la ganancia estática del sistema y la constante de tiempo de ambos sistemas. Como se puede observar, ambos sistemas responden al modelo de un primer orden, de modo que su función de trasferencia es del tipo: 1+ Por tanto se obtiene que: Sistema vivienda: = , = × × Sistema perturbaciones: =1 , = × × Se define capacidad térmica de un sistema como: =× Por tanto en este caso: = × Usando este nuevo término se puede volver a definir la constante de tiempo de ambos sistemas como: =× Se pasa a profundizar un poco más en el valor de de la ganancia estática de ambos sistemas. Desde otro punto de vista, se puede obtener la ganancia estática de un sistema de primer orden, como es el caso, si se observa su valor en régimen permanente. Para el sistema de perturbaciones: lim → () ()= =1 Esto quiere decir que en régimen permanente: : constante de tiempo K : ganancia estática
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 6 ()= () Este resultado es lógico ya que sin tener en cuenta la acción del foco calorífico, con la sola afección de la Tª exterior en el sistema, la temperatura en el interior de la vivienda terminará siendo la del exterior. Para el sistema vivienda: lim → () () = = En régimen permanente quedaría: ()= () Lo que quiere decir esta expresión es que, en régimen permanente, para una misma Tª deseada en el interior de la vivienda; será necesario aportar menos calor desde el foco calorífico (radiadores, etc.) cuanto mayor sea la resistencia térmica del sistema. De nuevo es un resultado lógico ya que la resistencia térmica representa la oposición al paso del calor. Como lo que interesa es perder el menor calor posible, la resistencia térmica de la vivienda debe ser lo mayor posible. Sin embargo el valor de esa resistencia es un parámetro que no se puede controlar, depende de las características físicas de las paredes, etc.
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén De modo que implementándolas en un diagrama de bloques con entrada q(s) y salida () , lo cual se consigue mo Para obtener ( eliminarse cualquier afección de la entrada ( ) - - + + Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico () () () () () () De modo que implementándolas en un diagrama de bloques con entrada q(s) y , lo cual se consigue mo dificando el diagrama anterior, queda: () ) , es decir: la función de transferencia del sistema, cualquier afección de la entrada () de modo que queda: 1 1 1 1 1 1 - + + 13 De modo que implementándolas en un diagrama de bloques con entrada q(s) y queda: , es decir: la función de transferencia del sistema, debe queda: - ( ) ( ) ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Se reduce el diagrama Se reduce el diagrama ( ) + + - - + - ( ) Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico el diagrama resolviendo la realimentación negativa de más abajo: el diagrama resolviendo la realimentación negativa de más abajo: 1 1 1 1 + - 1 1 + - 1 14 la realimentación negativa de más abajo: la realimentación negativa de más abajo: ( ) + - + - ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Resolviendo este último bucle de realimentación se obtiene finalmente la función de transferencia del sistema: () () + - Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico Resolviendo este último bucle de realimentación se obtiene finalmente la de transferencia del sistema: ( ) ( 1 1 1 15 Resolviendo este último bucle de realimentación se obtiene finalmente la ) 1
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Para obtener ( ( ) cambiar la disposición de los bloques ya que salida () . De ese modo la obtención de sencilla. El diagrama de bloques resultante es el siguiente: Para obtener ( eliminarse cualquier afección de la entr Se reduce el diagrama 1 + - ( ) + ( ) Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico ( ) ) , es decir, la función de transferencia del sistema, cambiar la disposición de los bloques ya que se requiere que la entrada sea q(s) y . De ese modo la obtención de esa función de transferencia es más sencilla. El diagrama de bloques resultante es el siguiente: () ) , es decir, la función de transferencia del sistema, cualquier afección de la entr ada () de modo que resulta el diagrama resolviendo la realimentación negativa de más a la derecha: 1 1 1 + + - - 1 + + - - 1 16 la función de transferencia del sistema, se debe que la entrada sea q(s) y esa función de transferencia es más la función de transferencia del sistema, debe resulta : la realimentación negativa de más a la derecha: + - ( ) ( ) 1 1 ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Realizando una trasposición de sumadores: Se reduce el diagrama ( ) - + ( ) + + - - + - ( ) Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico Realizando una trasposición de sumadores: el diagrama resolviendo la realime ntación negativa del centro: 1 1 + - 1 1 1 1 1 17 ntación negativa del centro: ( ) 1 1 ( ) ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Resolviendo este último bucle de realimentación se obtiene finalmente la función de transferencia del sistema: () () Para obtener eliminarse cualquier afección de la entrada Aplicando trasposición en un punto de derivación, queda: Aplicando trasposición de sumadores, queda: 1 - - + + ( ) 1 ( ) - - + + Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico Resolviendo este último bucle de realimentación se obtiene finalmente la función de transferencia del sistema: ( 1)( () () , es decir, la función de transferencia del sistema, cualquier afección de la entrada () de modo que resulta: Aplicando trasposición en un punto de derivación, queda: Aplicando trasposición de sumadores, queda: 1 1 - + 1 1 1 - + 18 Resolviendo este último bucle de realimentación se obtiene finalmente la 1) la función de transferencia del sistema, debe 1 ( ) 1 ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Reubicando los bloques y resolviendo una realimentación, queda: Aplicando trasposición en un punto de deriva Reduciendo el diagrama con la realimentación negativa de la derecha, queda: 1 - - + + ( ) 1 + - ( ) 1 ( ) + - Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico Reubicando los bloques y resolviendo una realimentación, queda: Aplicando trasposición en un punto de deriva ción, queda: Reduciendo el diagrama con la realimentación negativa de la derecha, queda: 1 - + 1 1 1 1 + - 1 1 1 1 1 - + 19 Reubicando los bloques y resolviendo una realimentación, queda: Reduciendo el diagrama con la realimentación negativa de la derecha, queda: 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Resolviendo la última realimentación y haciendo el producto de los bloques resultantes, obtenemos definitivamente la función de transferenci () () 1 ( ) - + Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico Resolviendo la última realimentación y haciendo el producto de los bloques resultantes, obtenemos definitivamente la función de transferenci a: (1 )( 1 1 1 1 1 20 Resolviendo la última realimentación y haciendo el producto de los bloques 1) 1 ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 21 1.2.2.-Análisis del régimen permanente. Para analizar con más profundidad el sistema, se procede a obtener los parámetros de su función de transferencia, partiendo de que la forma de la misma es: () ()(1+) +2 + Por tanto se puede expresar la f.d.t. como: +( + ) +( [ + ]+ ) +1 Ahora se puede despejar cada uno de los parámetros: =1 = + = + =1 2× [ + ]+
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 22 2( ) El sistema es un segundo orden con cero, de modo que existen tres posibilidades para saber si oscilará el sistema o no: 1.- SISTEMA SUBAMORTIGUADO: si” > 0 “y "0 < < 1”. 2.-SOBREPASAMIENTO SIN OSCILACIÓN: si”>0 “y ">1”. 3.-SISTEMA DE FASE NO MÍNIMA: si”<0 “. La tercera opción queda descartada ya que, como se ha definido antes: = + Los valores que pueden adoptar , , son siempre positivos, de modo que ">0” se cumplirá siempre. Para saber si este sistema es del primer o segundo tipo hay que evaluar: =1 2× [ + ]+
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Resolviendo las realimentaciones negativas inferiores mismo resultado que antes, y tras resulta: + - ( ) + Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico Resolviendo las realimentaciones negativas inferiores mismo resultado que antes, y tras resolver la realimentación negativa superior 1 1 1 1 1 1 - - - - + + ( 29 Resolviendo las realimentaciones negativas inferiores se obtiene el resolver la realimentación negativa superior ( ) ( )
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Resolviendo la realimentación Resolviendo la última realimentación presentan numerador y denominador por sep introducen unas nuevas variables por el mismo motivo: la “capacidad térmica” del aire, aislante y sólidos. = De modo que queda: ( ) + + - ( ) Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico realimentación negativa inferior, queda: Resolviendo la última realimentación se obtiene la función de trasferencia. Se presentan numerador y denominador por sep arado para mayor claridad y se introducen unas nuevas variables por el mismo motivo: la “capacidad térmica” del aire, , = y = queda: 1 - - 1 1 1 1 ( ) ( 30 la función de trasferencia. Se arado para mayor claridad y se introducen unas nuevas variables por el mismo motivo: la “capacidad térmica” del aire, ( ) ) 1
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 31 () () () () ()=( 12 ) +( 1 + 2 + 12 )+ 1+2 ()=( 12 ) + 12 + 2 + 1 + 2 + 12 + + ( 12 )+ 2 + 1 + 2 +1
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 32 1.4.-Simulación del sistema con SIMULINK Se particularizan las expresiones anteriores a un caso real: siendo el calor específico del aire, de los aislantes (se ha tomado el dato del hielo, por ser el aislante natural más conocido) y de los elementos interiores (hormigón) muy parecidos (1012 J Kg , 2080 J Kg y 840 KJ Kg respectivamente); para una estancia de 50 m , hay 130 m de aire (densidad 1.2 Kg/m ), unas 50 toneladas de material interno (muros interiores, muebles, instalaciones, etc.) y 25 toneladas de fluido aislante (como se ha comentado antes: hielo). Se supondrán las resistencias térmicas intervinientes ( , ) similares entre sí (0.001 K/W). Aplicando estos datos, las capacidades térmicas de los distintos elementos son: CT = 42∙10 J/K CT = 157872 J/K CT = 52∙10 J/K Se parametriza la simulación para 10 segundos, usando un escalón de potencia de 1000W. Se observa la respuesta del sistema observando las temperaturas del aire, aislante y los sólidos: En el subsistema vivienda se corresponde con el último diagrama de bloques elaborado:
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 33 Aplicando los datos anteriores y suponiendo que la temperatura exterior es inicialmente nula (cero grados) se observan simultáneamente las formas de las tres temperaturas:
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 34
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 35 Se introduce una modificación brusca de la temperatura externa, por ejemplo de -10 ℃ en t=5∙10 segundos (tiempo en que las temperaturas han alcanzado el régimen permanente).
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 36
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 37 Como puede apreciarse el sistema sigue comportándose como se ha visto con su función de transferencia global. Para esos 1000W de aporte de energía el sistema es capaz de subir 2℃ POR ENCIMA DE LA TEPERATURA EXTERNA, como inicialmente se supuso cero, la temperatura en régimen permanente era de 2℃. Cuando se ha introducido una temperatura externa de -10℃ el escalón de 1000W sube a partir de esa temperatura 2℃ por lo que el valor en régimen permanente de la temperatura del aire de la vivienda es de -8℃. () . ( ) Para el sistema vivienda, y en adelante para el resto, se procede a crear una máscara que permita al usuario modificar de manera rápida, sin tener que entrar al diagrama de bloques, los valores significativos del mismo.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 38 Esta máscara permite que, al hacer doble clic sobre el subsistema vivienda, aparezca un display que permita modificar los valores más significativos del mismo como son en este caso: masa de sólidos interiores, aire y aislante; y el valor de las resistencias térmicas que intervienen.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 45 2.2.-Circuito hidráulico. De nuevo se procede a modelar otro elemento del sistema para tener una aproximación lo más fiel posible al sistema real. En este caso se modela el sistema de radiadores. El calor que se aporta al aire de la estancia, viene de los radiadores que actúan realmente como convectores. Por tanto tendrá que ampliarse de nuevo el sistema vivienda añadiendo estos elementos, que por convección calientan el aire de la estancia, etc. Como realmente también se da cierta radiación en la transferencia de calor de los radiadores, la ecuación que describe este proceso contiene tanto el factor de radiación como el de convección: ∙ ∙( ) ∙ ∙( ) ( ) ∙ ∙( ) De las expresiones anteriores se pueden extraer las resistencias térmicas correspondientes: Resistencia térmica por convección ( ) y por radiación ( ) cuya suma nos dará la resistencia térmica (total) de los radiadores: = + = 1 ∙ +1 ∙ El valor de esta resistencia térmica varía según el modelo de radiador y el fabricante, se ha tomado del catálogo de Dubal-Roca el tipo Dubal 70 (ver ANEXO_2) que aporta 138.5 vatios por elemento. a: coeficiente de convección ar: coeficiente de radiación : área del radiador en contacto con el aire
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 46 Suponiendo unos 12 elementos por radiador se obtiene que el aporte energético por radiador es de 1656 vatios. La expresión del aporte energético es la siguiente: ∆ Teniendo en cuenta que los datos facilitados en el catálogo se dan para una diferencia de temperatura de 50℃ podemos despejar la resistencia térmica total de un radiador: ∆ = ∆ = = 0.03 ℃/ Para que la instalación de radiadores tenga una capacidad considerable de disipar la potencia calórica debe haber un número elevado de ellos. Si, como se ha comentado antes, cada radiador tiene una capacidad de disipar 1656 vatios, suponiendo el dato anterior de 50℃, por ejemplo: para una instalación capaz de disipar al menos 16 kw necesitaremos unos 10 radiadores. La resistencia térmica total del conjunto de los radiadores será la suma de esos 0.03℃/ por cada radiador, en este caso se trataría de 0.3 ℃/. Ahora también hay que tener en cuenta la existencia de retardos en el sistema. Transcurre cierto tiempo desde que el agua caliente que fluye por los radiadores comienza a calentar la vivienda. Hay que recordar que el aire de la estancia no es un fluido bien agitado y que lleva cierto tiempo, podría considerarse una media de 1 minuto. De modo que se añadirá un retardo de 60 segundos al calor que traspasa el conjunto de radiadores a la vivienda. Al igual que en el caso anterior, el retardo se colocará entre los dos subsistemas. Como se ha supuesto que los radiadores son buenos conductores, se incluirá la masa de los mismos en la masa del agua que interviene en esta ecuación. : Aporte energético ∆ : Diferencia de temperatura (agua-aire). : Resistencia térmica total de un radiador.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 47 Las nuevas ecuaciones serán por tanto: () () ( ) () ()= ()− () Aplicando la transformada de Laplace resulta: ()− ()=( + ) () ()= ()− () Por tanto ahora, como puede apreciarse en el montaje de Simulink, el subsistema radiadores queda del siguiente modo: : calor emitido por el quemador de la caldera : calor trasmitido por los radiadores al aire : suma de las resistencias térmicas de TODOS los radiadores
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 48 Los bloques que forman ese subsistema son los siguientes: También se ha incluido en este subsistema una interfaz de usuario, una máscara que permite seleccionar la masa resultante de sumar el agua y el metal de los radiadores y la resistencia térmica total de los mismos. Como valores por defecto se han definido los siguientes: masa de los radiadores: =1,5 x 10 radiadores= 15 Kg. Volumen, y por tanto la masa, del agua puede obtenerse con la fórmula empírica para instalaciones térmicas: DIN4751
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 49 ()1.2× ()× 1 1000 Como un litro de agua equivale aproximadamente a un kilo, y suponiendo una caldera de 26.1kw (es decir unas 22446 Kcal) obtenemos la masa de agua: =1.2×22446× 1 1000=26.9≅27 Por último se toma como calor específico del agua de los radiadores el de el agua en estado líquido a un temperatura alta: =4200 J Kg .
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 50 2.3.-Control termostático. Otro subsistema es el del termostato. Sus entradas serán la temperatura “real” del aire en la estancia y la temperatura deseada, la de referencia que el usuario definirá. Se compondrá de una histéresis de modo que cuando la temperatura caiga por debajo del mínimo establecido, el termostato mandará la señal de ON a la caldera, y cuando lo supere le mandará la señal de OFF. El subsistema quedará del siguiente modo:
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 51 Finalmente, al unir todos estos sistemas a la vivienda, queda el siguiente diagrama de bloques para realizar las simulaciones:
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 52 3.- Evaluación Confort/Gasto energético. A lo largo de este apartado se van a realizar distintas simulaciones para estudiar la relación confort y gasto energético en el sistema. Para ello se va a emplear un índice de confort o índice de calidad del sistema de calefacción. Existen muchos, el índice PMV de Fanger es el más usado. El valor del índice de confort térmico PMV, que es una estimación del promedio esperado de un conjunto de factores de evaluación para un determinado entorno térmico, se calcula a través del método desarrollado por Fanger (1972). Establece un modelo de correlación entre la percepción humana subjetiva, expresada a través del confort evaluado en un escala que varía de -3 (muy frío) a +3 (muy caliente), y la diferencia entre el calor generado y el calor liberado por el cuerpo humano, que corresponde a la siguiente ecuación: (0.303 × .× 0.028)× ( ) Donde los diferentes términos representan, respectivamente: - la tasa metabólica, en vatios por metro cuadrado (/ ); - la potencia mecánica eficaz, en vatios por metro cuadrado (/ ); - las pérdidas de calor sensible; - el intercambio de calor por evaporación en la piel; - intercambio de calor por convección en la respiración; - el intercambio de calor por evaporación en la respiración. En este caso se va a definir uno que mida el confort en la vivienda basado únicamente en la temperatura de la misma ya que es el parámetro que se controla en la simulación (se obviarán por tanto otros aspectos psicométricos: de humedad, etc.). Para la elaboración del mismo se va a ponderar el valor de pico a pico o varianza ( ), desviación del valor medio respecto de la consigan o referencia ( ) y el periodo ON-OFF de la caldera (). Todos estos medidos en régimen permanente.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 53 Se debe definir un coeficiente para cada factor, de manera que queden ponderados y se cumpla que en condiciones ideales el “índice de confort” sea igual a la unidad. Se procede a configurar el sumando correspondiente a cada factor para que se cumpla dicha condición. Como idealmente: " 0" ya que interesa un valor de temperatura constante e igual a la referencia, el valor del sumando debe ser el de su coeficiente de ponderación, en este caso se llamará " ”, cuando éste sea nulo. Por tanto debe ir en el denominador con un 1 sumando: ×1 (1+ ) " ” podría elevarse a la potencia de 1 o al cuadrado en principio, la siguiente figura muestra la evolución del segundo término () para ambas opciones: Como puede apreciarse, si se eleva al cuadrado, la función permanece más en la unidad para valores bajos de " ”. Además tiende a cero con más velocidad, de manera que lo mejor es usar la expresión al cuadrado: ×1 (1+ )
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 54 La condición de idealidad para el caso de la desviación del valor medio respecto de la consigan o referencia es que ésta sea nula, ya que se desea que la temperatura del aire coincida con la deseada (con la se ha marcado como referencia). El valor del sumando debe ser el de su coeficiente de ponderación, en este caso se llamará " ”, cuando éste sea nulo. En este caso se presenta la misma disyuntiva que en el anterior, y lo mejor vuelve a ser la opción de elevar al cuadrado, por las mismas razones que antes además de porque en este caso se evita un posible signo menos en la diferencia de temperatura. Por tanto quedaría: (1+[ − ] ) Para el factor periodo ON-OFF de la caldera, lo deseable es que sea lo mayor posible. La manera de configurar el sumando es colocar una exponencial que se aproxime a la unidad cuando el periodo se aproxime al valor que se considere ideal. Se supondrá que con un periodo de dos horas, el efecto del periodo ON-OFF es prácticamente imperceptible. Se ha calculado el sumando para que la exponencial tenga un valor de 0.05 cuando el periodo es de 2 horas. Por tanto queda: ×(1− × ) Los valores de esos coeficientes de ponderación podrían ser los siguientes: = =0.4 , =0.2 La razón de este reparto es que la frecuencia (o periodo) del ciclo ON-OFF no es tan influyente en el confort térmico del usuario como pudiera ser una cuestión de la temperatura en el ambiente, que se ha considerado de igual peso para el caso del valor pico a pico y desviación del valor medio respecto de la diferencia. Por tanto, en definitiva, el IC que se usará es: = (1+ )+ (1+[ − ] )+ ×(1− × )
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 61 Cuando la temperatura de aire es cercana a los 18 grados carece de la potencia necesaria para seguir calentando la vivienda, como se aprecia en la figura: tarda casi cinco horas en alcanzar el límite superior (20 grados). De ahí en adelante el agua de los radiadores está lo suficientemente caliente y el comportamiento en régimen permanente de la temperatura del aire (tras este renqueante comienzo) vuelve a ser similar como se aprecia en la siguiente figura. Se procede a calcular el IC en este caso: 0.4 (1+[22.25−17.75] )+0.4 (1+[19−19.6822] )+0.2×(1− × )
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 62 0.018823+0.27296+0.068151=0.3599 El índice de confort IC es mayor en caso de menor número de radiadores, ya que se toman valores en régimen permanente, y en este caso el comportamiento es mejor. Sin embargo una instalación en estas condiciones es inviable debido a que tarda unas cinco horas en llegar a la temperatura deseada del aire, por ello el dato del IC en este caso es irrelevante. A continuación se muestra un caso más extremo de instalación subdimensionada con tan sólo 2 radiadores (aunque manteniendo la temperatura del agua), además se pondrán unas condiciones exteriores más duras con una temperatura media de 5℃ con una oscilación de 2℃. En este caso se dará un efecto de “cuello de botella”. Sin variar la potencia de la caldera, ésta se va a ver limitada a la cantidad de energía que pueda llegar a transmitir el sistema de radiadores, la cual no va a ser suficiente para caldear la vivienda a la temperatura deseada. En las siguientes figuras puede apreciarse la potencia entregada por la caldera en este caso y la evolución de la temperatura del aire en la vivienda. Como se aprecia en la figura, efectivamente, la potencia transferida por los radiadores al aire no es suficiente para caldearlo hasta que alcance la temperatura deseada.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 63 Como puede observarse, en lugar de disponer de los 26100 vatios de la caldera, ésta tan solo entrega unos 1600 (amén del primer pico de arranque) debido a que el sistema de radiadores no es capaz de transferir más.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 64 3.1.3.-Número grande de radiadores En el caso de un número de radiadores superior se supondrá una instalación de: 30 radiadores. Ahora la potencia que el conjunto de los mismos es capaz de transferir será: 30 × 1656 =49,68 De modo que ahora el conjunto de radiadores sería capaz de transferir los 49.68 kw. La potencia calórica aportada por la caldera es de: 3.012×10 w a lo largo de los 10 segundos de la simulación. Con 30 radiadores el sistema es capaz de aportar más energía, pero obviamente se trata de una instalación mucho más cara. Como puede apreciarse en la siguientes figuras, el sistema sigue actuando igual de rápido que con 16 radiadores. Además, debido al exceso de potencia, el sobrepasamiento del límite superior de temperatura es mayor lo cual empeora el confort.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 65 Se procede a calcular el IC en este caso: 0.4 (1+[24.2−17.75] )+0.4 (1+[19−20.0590] )+0.2×(1− × ) =0.009389+0.1885475+0.0307=0.22864 Como se aprecia observando el valor del IC, en las mismas condiciones de temperatura del agua de los radiadores y temperatura exterior, el confort es mayor con una instalación bien dimensionada, ya que ahora hay mayores sobrepasamientos y el ciclo ON-OFF de la caldera es menor. Sin embargo, una de las virtudes de un sistema sobredimensionado como éste, es que es capaz de transferir la potencia de la caldera al aire con una menor temperatura del agua, de manera que haya mayor confort. Sin embargo, como se ha comentado antes, se consigue ese mayor confort a costa de una instalación más cara. Se ha realizado una simulación con una temperatura del agua de los radiadores menor, en este caso: 50℃. En la siguiente figura se aprecia como el sistema tiene un buen comportamiento, ya que la temperatura se dispara en el segundo 50000 (cuando comienza a funcionar el sistema) lo cual quiere decir que hay potencia suficiente.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 66 En la siguiente figura se ve en detalle la zona de régimen permanente. Se procede a calcular el IC en este caso: 0.4 (1+[24.2−17.75] )+0.4 (1+[19−20.0590] )+0.2×(1− × ) =0.009389+0.1885475+0.08839=0.28633
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 67 3.2.- Influencia de la temperatura del agua. El control de temperatura del agua es del todo necesario en un sistema de calefacción cualquiera. Los valores muy altos de dicha temperatura pueden tener efectos fatales en el comportamiento del sistema. En caso de no existir control sobre la misma, y de no ponerle un límite superior en concreto, puede darse una situación en que la caldera entregue una cantidad muy grande de su potencia (incluso la total) de manera que el agua se calentaría hasta valores muy elevados (por encima de los 100℃ sin tener que llegar a evaporarse, ya que en esas condiciones de presión de pueden alcanzar mayores temperaturas en estado líquido) elevándose así enormemente la presión en la instalación. Por ello se debe fijar un límite de temperatura del agua en los radiadores, en torno a 80℃ por las razones anteriormente comentadas, de manera que se está limitando en cierto modo la potencia de la caldera. Una situación que puede dar lugar al ejemplo al caso anterior es aquella en que la vivienda se encuentra a una temperatura muy baja, 5℃ en invierno por ejemplo, y se coloca el termostato a 19℃ de modo que la caldera se activará para aportar la gran cantidad de energía necesaria para calentar 14℃ toda la vivienda. Ese aporte tan grande de calor hará que el agua aumente enormemente su temperatura hasta valores tan elevados (por encima de 100℃ como se ha dicho antes) y, sobretodo, alcanzando altas presiones de manera que la instalación sufrirá graves daños en juntas, etc. Otra situación puede ser la de un sistema mal diseñado, con un número de elementos (radiadores) inferior al adecuado para la caldera, y por tanto menos agua en los mismos, de manera que se necesita una gran temperatura de esa agua para que la transferencia de calor sea suficiente. Se procede a realizar simulación sin control de temperatura del agua y con las condiciones anteriores. Por el mal dimensionamiento del sistema, poca cantidad de elementos (radiadores) etc., se puede observar como el sistema no es capaz de hacer que se dispare la temperatura del aire en la primera subida hasta el límite superior marcado por el termostato (20℃ ).
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 68 Haciendo un zoom a la zona en que la temperatura oscila ya en torno a los 19℃ de consigna, vemos su comportamiento, que se asemeja bastante al de un sistema bien dimensionado. La siguiente figura muestra la evolución temporal de la temperatura del agua de los radiadores en este caso.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 69 Como puede observarse, la temperatura del agua en los radiadores debería alcanzar casi los 300℃ en la subida inicial de temperatura del aire, y llegar a picos de más de 150℃ una vez se alcanza el “régimen permanente”. Esto demuestra que la teoría anterior era correcta y que, por tanto, es imprescindible el control de la temperatura del agua de los radiadores, ya sea por parte del propio usuario o imponiendo un límite por defecto. Observando la expresión del aporte de calor de los radiadores al aire de la estancia (vivienda), una transferencia de calor por convección y radiación, a mayor diferencia de temperatura entre el agua de los radiadores y el aire de la estancia: mayor calor transferido. O dicho de otra manera: a mayor temperatura del agua de los radiadores mayor transferencia de calor. Se procede a realizar distintas simulaciones con temperaturas del agua altas y bajas (80℃ y 60℃ respectivamente) manteniendo el mismo número de radiadores, 16, y temperatura exterior media de 10℃ con una oscilación de 5℃.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 70 3.2.1.-Temperatura del agua “alta”. La temperatura del aire se eleva muy rápidamente (más que con menores temperaturas del agua, debido al mayor aporte de calor). A mayor temperatura del agua, mayores son esos sobrepasamientos. Éstos también se dan en el límite inferior pero, lógicamente, es mucho menos acusado.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 77 También se aprecia que la cantidad de energía que cede la caldera y transfiere el conjunto de radiadores es mucho mayor, al perderse más calor por falta de buenos aislamientos. En este caso el display muestra: 4.697×10 w y 4.693×10 w respectivamente. Se procede a calcular el IC en este caso: = 0.4 (1+[23.2−17.8] )+0.4 (1+[19−19.4338] )+0.2×(1− × ) =0.0132626+0.33664+0.068151=0.418
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 78 Esta vez daremos un valor mucho mayor a los aislamientos, diez veces mayor: 0.01 K/W. En la siguiente figura se muestra la evolución temporal de la temperatura del aire en la vivienda. En este caso de aislamiento tremendamente levado, como se aprecia en la figura, la temperatura del exterior apenas influye en la del aire de la estancia, que apenas llega a los 5 grados cuando entra en juego el sistema de calefacción. Por ello le cuesta tanto llegar a la temperatura máxima de referencia, porque parte de muy abajo. Tras un tramo parecido al del caso anterior pasa a comportarse como un sistema bien aislado térmicamente. Su curva de enfriamiento es muy lenta ya que es capaz de almacenar el calor mucho más tiempo, y la caldera se activa en muy pocas ocasiones (lo hace más veces en los periodos más fríos del día).
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 79 Se procede a calcular el IC en este caso: 0.4 (1+[23.4−18] )+0.4 (1+[19−19.4738] )+0.2×(1− × ) =0.01326+0.32666+0.197955=0.53787 El elevado valor del índice de confort en este caso da idea de la gran importancia de los aislantes en la vivienda. Al ser el resto de condiciones iguales, la temperatura pico a pico es parecida a la de casos anteriores. Sin embargo, al perder el calor hacia el exterior más lentamente la mejora (aumento) del ciclo ON-OFF es inmensa, lo cual propicia que la temperatura media en la vivienda sea próxima a la seleccionada. Observando los displays que indican la potencia calórica aportada por la caldera y transferida por los radiadores se aprecia el tremendo ahorro energético. Sendos displays muestran: 1.643×10 w y 1.641×10 w respectivamente. Esto demuestra que el gasto energético es mucho mayor cuanto peor sean los aislamientos; por tanto, desde el punto de vista del ahorro energético nos interesan buenos aislamientos.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 80 Cuando se habla de la resistencia térmica equivalente se estaba incluyendo en la misma tanto la parte relacionada con la conducción como con la convección. En condiciones duras de viento en el exterior, la parte de la convección puede caer provocando que se pierda mucho calor por el bajo valor de nueva resistencia equivalente. En la siguiente figura se aprecia el cambio de comportamiento del sistema cuando de introduce la variable viento (una caída muy brusca de ) a los 900000 segundos de simulación. A simple vista pueden verse diferencias en la evolución de la temperatura del aire de la vivienda cuando entra en juego el viento, pero para apreciarlas mejor se procede a aumentar un tramo de 5000 segundos en la zona más alta de temperatura antes y después de la acción del viento. En la siguiente figura se aprecian los picos correspondientes a la acción sin viento. Éstos alcanzan un máximo de unos 23℃ y la pérdida de temperatura al exterior es bastante lenta.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 81 En esta primera figura se ven los picos que corresponden a la acción con viento. Aunque los picos son de manos o menos la misma altura que antes, las caídas de temperatura tras el OFF de la caldera es más rápida y tiene que entrar en ON de nuevo 5 veces frente a las 3 anteriores.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 82 3.4.- Influencia de las condiciones externas. A continuación se estudian distintas situaciones variando la temperatura exterior, por ejemplo una por cada estación del año: ESTACIÓN TEMPERATURA MEDIA ( ℃ ) OSCILACIÓN ( ℃ ) Verano 30 5 Otoño 17 2 Invierno 8 6 Primavera 15 6 Comenzamos analizando la temperatura del aire con la temperatura exterior propia del invierno (muy similar a la usada hasta ahora). Ampliando la zona de régimen permanente se aprecia que no hay muchas variaciones en el comportamiento del sistema respecto a ejemplos anteriores con similar temperatura en el exterior.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 83 Se procede a calcular el IC en este caso: 0.4 (1+[23.2−17.9] )+0.4 (1+[19−19.8171] )+0.2×(1− × ) =0.01375+0.239858+0.073532=0.32714 Al ser las condiciones iguales a las de casos anteriores aunque algo más duras respecto a la temperatura exterior, el índice es similar al calculado anteriormente solo que algo menor. La evolución de la temperatura del aire en la estancia a lo largo de un día se muestra en la siguiente figura.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 84 Como se puede apreciar, debido a que la temperatura exterior es muy baja tanto de día como de noche, la caldera está en constante funcionamiento y tenemos subidas bajadas de la temperatura del aire en todo momento.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 85 Si se considera la temperatura de verano, se está muy por encima de nuestra referencia, de modo que, como se aprecia en la siguiente figura, el sistema de calefacción no entra en funcionamiento. El efecto de la temperatura exterior hace que en la vivienda haya en régimen permanente la misma temperatura media que la temperatura media ambiente (30 grados), y esa temperatura está por encima de nuestra referencia: 19 grados. La evolución de la temperatura del aire en la estancia a lo largo de un día se muestra en la siguiente figura.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 86 Como puede apreciarse, la temperatura apenas se aleja del valor medio de la del exterior a lo largo del día. Además, como se ha comentado anteriormente, como la temperatura en la estancia es prácticamente la del valor medio de la del exterior, por su comportamiento similar al de un primer orden, y está por encima del límite inferior marcado por el termostato: el sistema de calefacción no entra en funcionamiento en todo el día.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 93 3.5.2.- Influencia del controlador del lazo externo (control de la Tª ambiente). 3.5.2.1.-Control termostático. Influencia de la amplitud de la histéresis. Se va a valorar el hecho de usar un rango de histéresis más alto o más bajo a efectos de confort y ahorro energético. En este caso se toman los rangos, alto: ±1℃ y bajo: ±0.5℃. Tomando la señal correspondiente a la “energía calórica transferida de la caldera a los radiadores” y aplicándole un integrador puede observarse el valor (en vatios en nuestro caso) de la misma en un simple display. De ese modo veremos la energía que se emplea en cada caso. Para: ±1℃ la potencia entregada por la caldera es de 2.986×10 w, mientras que para la de:±0.5℃ es de 3.061×10 w. Como puede observarse en la simulación: en ambos casos el gasto de energía es prácticamente el mismo, de modo que la selección de este valor se convierte en una simple cuestión de confort.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 94 Para rango bajo (±0.5℃): las temperaturas de la estancia se alejan menos de la temperatura de referencia ideal. Sin embargo también puede apreciarse que el número de veces que conmuta el termostato, y por tanto que se enciende y apaga la caldera es mucho mayor. Esto implica que ciertos componentes del sistema, algunos importantes como los quemadores de la caldera, se envejecen prematuramente y se acorta su vida. Este corto ciclo ON-OFF también repercute en el confort. Se procede a calcular el IC en este caso: 0.4 (1+[22.75−18.4] )+0.4 (1+[19−19.9155] )+0.2×(1− × ) =0.02+0.217611+0.068151=0.30584
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 95 Para rango alto (±1℃): se alcanzan temperaturas extremas de un grado por encima o debajo de la deseada. Pero en contrapartida hay menos conmutaciones y el sistema sufre menos, no se acorta tanto su vida útil; al conseguirse un ciclo ON-OFF mejor que el anterior, finalmente el índice de confort es mayor en este caso .Esto se debe a cómo se ha diseñado el mismo, ya que si se ven los sumandos por separado se aprecia como este sistema es peor en los dos primeros términos aunque mucho mejor en el tercero. Se procede a calcular el IC en este caso:
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 96 0.4 (1+[23.2−17.8] )+0.4 (1+[19−19.8687] )+0.2×(1− × ) =0.0132626+0.227967+0.09294=0.33417 Obviamente esta situación coincide con el primer experimento: número adecuado de radiadores ya que las condiciones son las mismas. En este caso, debido al diseño del índice de confort, el ciclo ON-OFF más largo que en el caso anterior tiene mayor importancia que el valor más elevado de la temperatura pico a pico. Puede concluirse que cada uno de los rangos tiene sus ventajas e inconvenientes, uno tiene sobrepasamientos menores y otro ciclos ON-OFF mayores; depende de las preferencias del usuario.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 97 3.5.2.2.-Control proporcional-integral La siguiente opción de regulador es un proporcional-integral (“PI”) debido a sus muchas virtudes. La estructura de estos reguladores es: () ×1+ De modo que disponemos de los parámetros: constante del regulador “ " y constante de tiempo del regulador “ ", o sea: cero que aporta el regulador al sistema, para conseguir que se cumplan las condiciones deseadas. Para empezar, con este tipo de regulador se obtiene un error de posición nulo siempre que se calcule adecuadamente, de modo que se esté actuando en un rango de frecuencia que se corresponda con el de actuación del sistema. También pueden eliminarse las perturbaciones que derivan de la acción de la temperatura exterior. El error en régimen permanente debido a una perturbación en un sistema controlado con regulador PI es nulo. Lo que hace el regulador es actuar con su parte integral sobre el error, que obviamente se ve afectado por la perturbación. En caso de que esa oscilación observada anteriormente se encuentre en semiciclo positivo la salida aumentará de valor, de modo que el error será negativo y la parte integral disminuirá el valor de la acción de manera que se volverá al valor de salida deseado. Ocurrirá lo contrario en los semiciclos negativos de perturbación. La salida disminuirá, el error aumentará (valor positivo) y con él la acción por parte de la integral de modo que se regresará al valor deseado de salida. Este tipo de regulador permite conseguir acciones muy rápidas, con mejoras del transitorio aumentando la ganancia del regulador, de modo que la parte proporcional (que actúa instantáneamente) hace que la acción inicial sea rápida disminuyendo así el tiempo de respuesta. Sin embargo este sistema es “lento” por naturaleza, calentar una vivienda es cuestión de unas horas, por lo que el tiempo de respuesta que se impondrá o se le exigirá a este sistema de cara al diseño del regulador será razonablemente parecido (unas horas). Por ello en principio no sería necesario añadir una parte proporcional al regulador sino implementar un integrador puro con su ganancia. Teniendo en cuenta lo anteriormente comentado respecto al tiempo de respuesta de este sistema, la estrategia de control se va a basar en la estructura de: “control en cascada”. Para diseñar el regulador se van a considerar “instantáneos” los eventos cuya duración es despreciable respecto al comportamiento del sistema vivienda: caldeado de la estancia, lo que tarda el aire de la misma en calentarse a la temperatura deseada.
Modelado + Análisis + Control de Sistema T Otal Loriente, Rubén Así pues: el tiempo que tarda el agua de los radiadores en calentarse a través de la energía que entrega la caldera, el tiempo q radiadores en llegar a los mismos (que se implementó como un retardo), etc. hasta que en definitiva se consigue que el agua esté a instantáneo. De todo este sistema sólo quedará una todo el conjunto que se ha resumido. Al regulador PI entrará el error de temperatura del aire, y del mismo saldrá la temperatura de referencia del agua de los radiadores. Como se acaba de comentar, se considerará instantá nea la acción del sistema al calentar el agua a esa temperatura, después se restará la temperatura del aire y se aplicará la resistencia térmica de los radiadores (que es la constante K que queda de todo el sistema que se ha simplificado) que hará de facto r de conversión entre la diferencia de temperatura y el calor entregado al aire de la estancia. Después irá el sistema vivienda tal cual se definió anteriormente. Por tanto el circuito que se usará para el diseño del regulador será el siguiente: Debido a que todavía hay que tener en cuenta el retardo puro asociado al tiempo que tarda en calentarse por completo (homogéneamente) el aire de la estancia, se van a usar métodos frecuenciales para obtener el regulador. Por ello el primer paso es o btener el diagrama de bode de la parte del sistema que queda “aguas abajo” del regulador en cuestión, es decir: la ganancia estática resultante de la simplificación de parte del sistema en serie con el sistema vivienda, todo ello realimentado. Como se ha c omentado antes, la ganancia estática es en realidad la resistencia térmica del conjunto de radiadores que ya se obtuvo anteriormente: - + PI ( ) Modelado + Análisis + Control de Sistema T érmico Así pues: el tiempo que tarda el agua de los radiadores en calentarse a través de la energía que entrega la caldera, el tiempo q ue tarda todo el agua del sistema de radiadores en llegar a los mismos (que se implementó como un retardo), etc. hasta que en definitiva se consigue que el agua esté a la temperatura deseada, se considera instantáneo. De todo este sistema sólo quedará una constante, la ganancia estática de todo el conjunto que se ha resumido. Al regulador PI entrará el error de temperatura del aire, y del mismo saldrá la temperatura de referencia del agua de los radiadores. Como se acaba de comentar, se nea la acción del sistema al calentar el agua a esa temperatura, después se restará la temperatura del aire y se aplicará la resistencia térmica de los radiadores (que es la constante K que queda de todo el sistema que se ha simplificado) r de conversión entre la diferencia de temperatura y el calor entregado al aire de la estancia. Después irá el sistema vivienda tal cual se definió anteriormente. Por tanto el circuito que se usará para el diseño del regulador será el Debido a que todavía hay que tener en cuenta el retardo puro asociado al tiempo que tarda en calentarse por completo (homogéneamente) el aire de la estancia, se van a usar métodos frecuenciales para obtener el regulador. Por ello el btener el diagrama de bode de la parte del sistema que queda “aguas abajo” del regulador en cuestión, es decir: la ganancia estática resultante de la simplificación de parte del sistema en serie con el sistema vivienda, todo ello omentado antes, la ganancia estática es en realidad la resistencia térmica del conjunto de radiadores que ya se obtuvo anteriormente: 0.03 - + K ( ) ( ) ( ) 98 Así pues: el tiempo que tarda el agua de los radiadores en calentarse a través ue tarda todo el agua del sistema de radiadores en llegar a los mismos (que se implementó como un retardo), etc. hasta la temperatura deseada, se considera constante, la ganancia estática de Al regulador PI entrará el error de temperatura del aire, y del mismo saldrá la temperatura de referencia del agua de los radiadores. Como se acaba de comentar, se nea la acción del sistema al calentar el agua a esa temperatura, después se restará la temperatura del aire y se aplicará la resistencia térmica de los radiadores (que es la constante K que queda de todo el sistema que se ha simplificado) r de conversión entre la diferencia de temperatura y el calor entregado al aire de la estancia. Después irá el sistema vivienda tal cual se definió anteriormente. Por tanto el circuito que se usará para el diseño del regulador será el Debido a que todavía hay que tener en cuenta el retardo puro asociado al tiempo que tarda en calentarse por completo (homogéneamente) el aire de la estancia, se van a usar métodos frecuenciales para obtener el regulador. Por ello el btener el diagrama de bode de la parte del sistema que queda “aguas abajo” del regulador en cuestión, es decir: la ganancia estática resultante de la simplificación de parte del sistema en serie con el sistema vivienda, todo ello omentado antes, la ganancia estática es en realidad la resistencia 0.03 ℃/
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 99 1 = 16 × 1 0.03 ℃ / 16 0.03 /℃ La función de transferencia resultante de esa realimentación negativa una vez aplicados los datos numéricos, aquella de la cual queremos obtener el diagrama de Bode, es la siguiente: () = 12 + 1 + 2 + 12 + 1+2 = 12 + 12 + 12 + 2 + 1 + 2+ 12 + 1 + 2 + 12+ + 12 + 2 + 1 + 2 + 1+2 + 1 Aplicando los valores numéricos queda: = 1.1648 × 10 s +7.253 × 10 s + 1.067 3.448 × 10 s +5.547 × 10 s +7.203 × 10 s + 2.067 Esa no es la función de transferencia completa, ya que falta añadir el retardo puro anteriormente mencionado. La manera de introducir esos retardos en una función de transferencia en “s” es la siguiente: : tiempo de retardo
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 100 Por tanto la función de transferencia definitiva será: () 1.1648 × 10 s +7.253 × 10 s + 1.067 3.448 × 10 s +5.547 × 10 s +7.203 × 10 s + 2.067 × El diagrama de Bode de la misma es: Puede apreciarse el efecto del retardo puro en el sistema, se ve como a altas frecuencias el sistema se inestabiliza y la fase cae a valores negativos muy elevados. Si se desea conseguir un sistema con una sobreoscilación: = 0% se requiere un margen de fase: ≥ 75°. En el caso de = 75°, = 0.4 y el sistema tiene un tiempo de respuesta: = . Teniendo en cuenta el tipo de sistema con el que se está tratando, se debe partir de un tiempo de respuesta razonable para el diseño. Por una parte el tiempo de respuesta debe ser claramente menor al ciclo de la perturbación que supone la temperatura exterior para el sistema. De ese modo el sistema podrá actuar, o responder a dicha perturbación, sin filtrarla. Si se partiese de un tiempo de respuesta similar o mayor al ciclo de perturbación que supone la temperatura exterior, la frecuencia de dicha perturbación quedaría más allá (sería mayor) que la frecuencia de corte que se estaría imponiendo al sistema y quedaría filtrada, consecuentemente el sistema no actuaría sobre ella y la temperatura del aire se vería afectada.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 101 Por otro lado el tiempo de respuesta deberá ser lo suficientemente elevado como para que sus acciones sean compatibles con el dimensionamiento de la caldera, de modo que un tiempo razonable sería aproximadamente una octava parte del ciclo de la perturbación temperatura externa, 10000 segundos (aproximadamente 3 horas) que es bastante superior al ciclo ON-OFF típico de la caldera. = . = 10000 = . = 4.75 × 10 = 0.5 = 0.5 × 4.75 × 10 = 2.375 × 10 En ese punto del diagrama, a esa frecuencia de corte deseada, es donde se debería conseguir el margen de fase: ≥ 75°. En la siguiente figura se muestra esa zona del diagrama. Se puede apreciar a primera vista que el margen de fase es más que suficiente, de casi 180° aunque hay que tener en cuenta que todavía puede ser menor debido a la inclusión del integrador, que baja 90° el diagrama de fases a bajas frecuencias. En un principio se va a calcular el regulador más simple posible, un integrador puro al cual se añadirá acción proporcional si fuese necesario. En el siguiente diagrama de Bode se observa el sistema aplicándole un integrador con ganancia unidad.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 102 El integrador aporta 90° en el diagrama de fases y una caída de 20´ a bajas frecuencias. Sin embargo, puede apreciarse como el margen de fase sigue siendo suficiente en la frecuencia de corte que se ha seleccionado. A esa frecuencia, el valor del diagrama de módulos es de aproximadamente 58 ´ de modo que será necesario incluir una ganancia de valor menor que uno de manera que “se baje” el diagrama de módulos en ese punto hasta el valor de 0´. 20log = −58´ = 10 = 1.25 × 10 En la siguiente figura se muestra el sistema con el integrador puro y la ganancia anteriormente calculada.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 109 0.4 (1 + [19.6 − 18.8] +0.4 1 + [19 − 19.0217] + 0.2 × 1 − × = 0.2439 + 0.3998 + 0.00816 = 0.6518 Como puede observarse, el índice de confort es mucho mayor que en otros casos. La precisión de la temperatura del aire hace que la temperatura pico-pico sea muy pequeña, apenas 1℃, y que la temperatura media coincida prácticamente con la marcada en la referencia. Aunque el ciclo ON-OFF sea muy pequeño, menor que en anteriores ocasiones, el hecho de que la temperatura pico-pico sea tan pequeña le resta importancia ya que no se sentiría ese cambio brusco de temperatura cada poco tiempo que suponía este factor. Como se aprecia en la gráfica de la temperatura del aire, hay una fuerte subida de la misma en el momento de encendido del control. Esto se traduce en una fuerte acción inicial del regulador debido al gran error en ese instante. La siguiente figura se corresponde con la potencia entregada por la caldera. Como puede apreciarse, la potencia que entrega la caldera en la primera subida de la temperatura, al activarse el control, es la máxima. La oscilación posterior se debe a que el regulador solicita una temperatura en el agua de los radiadores que compensen las oscilaciones provocadas por la temperatura exterior. En la siguiente figura se aprecia la acción integral.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 110 Como se puede observar, al principio la temperatura es muy elevada y luego oscila, lo cual se corresponde con lo dicho anteriormente. El sistema “corrige” la perturbación introducida como oscilación aumentando o disminuyendo su acción, que en este caso se traduce en “temperatura del agua de los radiadores”, de modo que se genera una oscilación de la misma para contrarrestar la de perturbación. La acción que se aplica es como máximo de 80℃ , siendo precisamente esta limitación de temperatura del agua máxima el origen de la saturación integral. Observando estas gráficas puede apreciarse que el sistema se adapta a las circunstancias, además la temperatura del agua de los radiadores y, por tanto, la potencia de la caldera son menores que en casos anteriores. Esto último es otra gran ventaja de este tipo de control además de la precisión con su consecuente mejora del confort, en régimen permanente la temperatura del agua de los radiadores es bastante menor. A continuación se aplican al sistema condiciones más duras: se empeoran los aislamientos de la vivienda de modo que pasamos a un valor de: 0.0001 K/W, por otra parte la temperatura en el exterior pasa a ser de 5℃ de media con una oscilación de 2℃. En la siguiente gráfica se muestra la evolución de la temperatura del aire en estas condiciones.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 111 Como puede observarse se da de nuevo el efecto “windup”. El sistema implementado anteriormente solventaba los problemas de encendido relacionados con el “windup” pero no el resto. Esta vez la temperatura no deja de aumentar cuando ya se ha sobrepasado la temperatura de referencia, en este primer tramo en que la caldera está entregando el máximo y se solicita la mayor temperatura del agua de los radiadores. En la siguiente figura se observa la acción del regulador en estas condiciones. Debido al gran valor del error al inicio del control, la integral adopta valores muy elevados, cada vez mayores (aunque debido a la saturación de temperatura del
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 112 agua máxima no llegan a aplicarse) ya que le cuesta cierto tiempo alcanzar la temperatura de referencia debido a las duras condiciones que se han dado. Una vez alcanzada la temperatura el error es nulo pero la acción del regulador debe bajar desde un punto muy alto (en este caso unos 140℃) de modo que durante ese tiempo la acción aplicada sigue siendo la máxima (80℃ en este caso) como puede apreciarse en la siguiente gráfica, y es por ello que se da ese sobrepasamiento de la temperatura del aire. En otras palabras, en este caso nos encontramos con la situación contraria a la anterior, como se acumula error positivo, la acción integral es demasiado grande. En la situación opuesta, también tendríamos un problema relacionado con el “windup”. En este caso se va a realizar una simulación con temperaturas propias del verano en la cual se supondrá que se ha dejado conectada la calefacción por equivocación, de modo que se activará el sistema y el error ya no será nulo. Como puede observarse en la siguiente gráfica el regulador irá acumulando error negativo provocando que cuando entre en acción se de la saturación negativa que se observó al principio.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 113 Para de solucionar estas situaciones provocadas por el “windup” se implementa un método conocido como “antiwindup” que evita este tipo de saturaciones. Un ejemplo sería colocar un switch que bloqueara la acción integral cuando se produjese una situación anómala respecto a la acción integral en cualquiera de los casos anteriores, ya que la manera de bloquear la integral es forzando el error a ser nulo. La implementación de este sistema “antiwindup” debe contemplar a la vez las dos condiciones o circunstancias anteriormente observadas. Si se cumple una de ellas se debe bloquear la acción integral introduciendo un cero. Para el caso de la saturación negativa, el error es negativo puesto que el control está activado pero la temperatura de la vivienda es mayor que la de la referencia por la acción de la temperatura exterior (anteriormente se ha comentado el ejemplo de olvidar la calefacción encendida en verano). Pero el error también es negativo una vez de ha sobrepasado la temperatura de referencia y la acción integral se dispone a disminuir, o está disminuyendo, para volver a la temperatura de referencia. La integral debe bloquearse en el primer caso pero bajo ningún concepto en el segundo. La manera de distinguir estas dos situaciones es saber si la acción teórica (suma de la acción integral y la temperatura de referencia) es mayor o menor que la acción saturada (acción tras la saturación que marca la temperatura máxima del agua de los radiadores). En el supuesto de que la acción integral sea mayor, se tratará del segundo caso en que la acción integral se dispone a disminuir para que se alcance de nuevo; mientras que en el primer caso la acción teórica es nula o como mucho igual a la temperatura de referencia, pero en todo caso menor a la saturada. Por ello se debe implementar un control que bloquee la acción integral (haga el error nulo) cuando se cumplan a la vez las siguientes condiciones: error negativo y acción teórica menor que
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 114 la acción saturada. Esta condición puede implementarse con un tratamiento de dichas señales y la operación lógica “AND” como se muestra más adelante. En caso de la saturación positiva, el error es positivo ya que todavía no se ha alcanzado la temperatura de referencia pero debe bloquearse la integral para evitar sobrepasamientos. El momento de hacerlo es aquel en que la acción teórica supera la saturada hasta que esta vuelve a ser menor ya que cuando esto ocurra la acción integral debe ser acorde al error para el correcto funcionamiento del sistema. De ese modo queda incluida la zona de sobrepasamiento, que es lo que interesa. Por ello se debe implementar un control que bloquee la integral cuando se cumplan a la vez las siguientes condiciones: error positivo y acción teórica mayor que la acción saturada. Esta condición puede implementarse, al igual que la anterior, con un tratamiento de dichas señales y la operación lógica “AND”. Se implementa el método “antiwindup” para el encendido y las dos ocasiones en un mismo bloque con la ganancia e integrador del integrador en un mismo subsistema que se denominará “Regulador_I” (regulador integral). Dicho bloque se puede apreciar en la siguiente figura. Para que se bloquee la acción integral si se cumplen tanto la primera como la sunga condición (una u otra) se usa la operación lógica “OR”. El conjunto de bloques que realizan la operación “antiwindup” así como el propio integrador y ganancia del regulador, incluidos en el subsistema “Regulador_I”, se observan en la siguiente figura.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 115 Los bloques “sign” y “saturation” permiten tratar las señales de entrada: “dif_acción” (diferencia entre la acción integral y la teórica) y “error” para poder configurar ese control del interruptor “Switch2” que deja pasar el error natural o lo fuerza a cero para bloquear la integral. También se ha añadido una máscara para poder modificar, de manera cómoda y rápida, el valor de la ganancia del regulador como ya se hizo en anteriores subsistemas. A continuación se muestran la acción saturada y temperatura del aire en la zona de sobrepasamiento por “windup” aplicando los métodos implementados y sin hacerlo para ver la diferencia. Se aplican al sistema condiciones más duras para que se puedan dar esos problemas, se empeoran los aislamientos de la vivienda de modo que pasamos a un valor de: 0.0001 K/W, por otra parte la temperatura en el exterior pasa a ser de 5℃ de media con una oscilación de 2℃. Las siguientes figuras muestran las gráficas correspondientes al sistema sin aplicar los métodos “antiwindup”.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 116 Como se observa, por efecto del “windup” en el encendido del sistema, la acción inicial y la correspondiente subida de la temperatura no se da a los 500000 segundos cuando se activa el sistema sino más adelante. Además esa acción saturada durante la subida de la temperatura en que la integral sigue creciendo es de unas 4 horas, durante las cuales se da el sobrepasamiento de un grado que se aprecia en la imagen. A continuación se observan las gráficas correspondientes al sistema con “windup” en las mismas condiciones de funcionamiento.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 117 En este caso la subida de la temperatura y acción inicial sí se dan en el momento de encendido del sistema. Además la acción saturada inicial se da durante menos tiempo ya que la integral se bloquea gracias a los métodos de “antiwindup” implementados, en esta ocasión esa acción inicial dura menos de 3 horas. El sobrepasamiento es tan sólo de medio grado, un cuarto de grados por encima del valor máximo de régimen permanente y también es de duración menor al anterior. A continuación se realizan dos simulaciones en las condiciones anteriores, ahora las dos disponen de método “antiwindup” en el arranque pero sólo la segunda tiene el resto de métodos implementados. Las siguientes gráficas muestran la acción integral en ambos casos.
Modelado + Análisis + Control de Sistema Térmico Otal Loriente, Rubén 118 Como puede apreciarse, mientras que en la primera gráfica la acción integral no deja de aumentar hasta alcanzar un valor de aproximadamente 73℃ en la segunda se boquea al valor de 61℃ de modo que se comprueba que los métodos “antiwindup” implementados funcionan correctamente.