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TRABAJO FIN DE MASTER ÁLGEBRA LINEAL PROGRAMACIÓN LINEAL 2º BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas, Artísticas y Deportivas ESPECIALIDAD MATEMÁTICAS Autora: Leticia Madoz Balaguer Tutor: José Mª Muñoz Escolano Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 2 Índice A. Sobre la definición del objeto matemático a enseñar 1. Nombra el objeto matemático a enseñar……………………………….. 5 2. Indica el curso y asignatura en la que sitúas el objeto matemático…….. 5 3. ¿Qué campo de problemas, técnicas y tecnologías asociadas al objeto matemático pretendes enseñar? ………………………………………………... 6 B. Sobre los conocimientos previos del alumno 1. ¿Qué conocimientos previos necesita el alumno para afrontar el aprendizaje del objeto matemático? …………………………………………… 8 2. La enseñanza anterior, ¿ha propiciado que el alumno adquiera esos conocimientos previos? ……………………………………………………… 8 3. ¿Mediante qué actividades vas a tratar de asegurar que los alumnos posean esos conocimientos previos? …………………………………………... 9 C. Sobre las razones de ser del objeto matemático 1. Cuál es la razón o razones de ser que vas a tener en cuenta en la introducción escolar del objeto matemático……………………………………. 10 2. ¿Coinciden con las razones de ser históricas que dieron origen al objeto? .................................................................................................................. 10 Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 3 3. Diseña uno o varios problemas que se constituyan en razones de ser de los distintos aspectos del objeto matemático a enseñar………………………… 11 4. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula………. 11 D. Sobre el campo de problemas 1. Diseña los distintos tipos de problemas que vas a presentar en el aula… 13 2. ¿Qué modificaciones de la técnica inicial van a exigir la resolución de dichos problemas? ……………………………………………………………... 17 3. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula………. 18 E. Sobre las técnicas 1. Diseña las distintas técnicas que se van a presentar en el aula………… 21 2. ¿Qué modificaciones de las técnicas se presentan?.................................. 25 3. Dichas técnicas ¿están adecuadas al campo de problemas asociado al objeto matemático? ……………………………………………………………. 27 4. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula………. 27 F. Sobre las tecnologías (justificación de las técnicas 1. ¿Mediante que razonamientos se van a justificar las técnicas? ………... 32 2. ¿Quién (profesor, alumnos, nadie) va a asumir la responsabilidad de justificar las técnicas? ........................................................................................... 34 3. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula………. 34 G. Sobre la secuencia didáctica y su cronograma 1. Indica la secuenciación de las actividades propuestas en los apartados anteriores……………………………………………………………………...... 35 2. Establece una duración temporal aproximada………………………….. 35 H. Sobre la evaluación 1. Diseña una prueba escrita (de una duración aproximada de una hora) que evalúe el aprendizaje realizado por los alumnos…………………………... 37 Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 4 2. ¿Qué aspectos del conocimiento de los alumnos sobre el objeto matemático pretendes evaluar con cada una de las preguntas de dicha prueba?. 39 3. ¿Qué respuestas esperas en cada uno de las preguntas en función del conocimiento de los alumnos? ............................................................................. 39 4. ¿Qué criterios de calificación vas a emplear? …………………………. 40 I. Sobre la bibliografía y páginas web 1. Indica los libros, artículos y páginas web revisadas para la realización de este trabajo…………………………………………………………………... 41 J. ANEXOS ANEXO I. Prueba de Evaluación inicial………………………………………. 44 ANEXO II. Resolución de los problemas vistos durante el trabajo…………… 46 Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 5 A. Sobre la definición del objeto matemático a enseñar 1. Nombra el objeto matemático a enseñar El objeto matemático a enseñar va a ser la “Programación lineal”, cuya definición es la siguiente: “La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales” Este objeto matemático es tratado únicamente en el curso de 2º de bachillerato, concretamente según el Currículo Aragonés de Bachillerato, “los alumnos deben afrontar problemas de optimización, en contextos económicos y sociales, en los que las relaciones entre variables se enuncian con sistemas sencillos de inecuaciones. En estos casos, las representaciones gráficas son esenciales para que el alumno delimite la región factible y para que encuentre la solución óptima, que habrá de trasladar al contexto del problema” 2. Indica el curso y asignatura en la que sitúas el objeto matemático El objeto se sitúa en la asignatura de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, que se imparte en el 2º de Bachillerato de Ciencias Sociales . Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 6 3. ¿Qué campo de problemas, técnicas y tecnologías asociadas al objeto matemático pretendes enseñar? Los contenidos que nos exige el Currículo Aragonés de Bachillerato son los siguientes: • Introducción a la programación lineal • Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. • Sistemas de inecuaciones lineales de dos incógnitas: interpretación y resolución gráfica • Programación lineal bidimensional: región factible, función objetivo y solución óptima. • Resolución gráfica de problemas sencillos de programación lineal bidimensional e interpretación de las soluciones. • Planteamiento y resolución de situaciones reales de optimización de recursos que den lugar a un problema de programación lineal” Es por ello que, el campo de problemas que se pretende enseñar se tratará de problemas contextualizados y no contextualizados cuya resolución pase por solucionar un sistema de inecuaciones formado por las restricciones a la optimización de la función objetivo. Esta resolución será gráfica mediante la determinación en unos ejes coordenados de la región factible que delimitan las restricciones, y el cálculo de la solución que pide el enunciado. El campo de problemas, como se detallará en el punto D de este Trabajo, se puede clasificar atendiendo a distintos criterios, según el esquema que expone a continuación: - Según el enunciado, los problemas se clasifican en: o Problemas contextualizados o Problemas sin contextualizar - Según la forma de aparición de los datos del problema, los problemas se clasifican en: o Problemas tipo tabla o Problemas tipo texto - Según el numero de restricciones, los problemas se clasifican en: o Problemas con una única restricción o Problemas con dos restricciones o Problemas con tres o más restricciones - Según el tipo de optimización que se requiera, los problemas se clasifican en: o Problemas de maximización o Problemas de minimización - Según el numero de soluciones, los problemas se clasifican en: Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 7 o Problemas de una única solución o Problemas de múltiples soluciones Se tratará toda esta tipología de problemas de manera combinada en las distintas sesiones, diferenciando en cada uno de ellos las características que presenta atendiendo a esta clasificación. En cuanto a las técnicas, serán tres las técnicas utilizadas a lo largo de la unidad, serán explicadas detalladamente en el punto E de este Trabajo, y a continuación se muestra un esquema de las mismas según el orden de su aparición en la unidad: 1. Técnica de Ensayo – Error 2. Técnica de algoritmo gráfico de resolución mediante lápiz y papel 3. Técnica de resolución mediante programas informáticos a. Hoja de cálculo Excel b. Programa Geogebra Estas técnicas representan la evolución lógica del pensamiento del alumno respecto a la programación lineal, desde que comienza la unidad con un desconocimiento total de la misma, y teniendo por tanto como única técnica de resolución el Ensayo – Error, seguido del conocimiento del algoritmo de resolución gráfico característico de estos problemas, y terminando con el uso de software informático que nos ayuda y facilita las dos técnicas anteriores. En el caso de la Hoja de Cálculo nos permitirá agilizar la técnica de Ensayo – Error, mientras que el Geogebra facilitará la resolución mediante el método del algoritmo de resolución gráfica gracias a la representación de funciones. Por último, como justificación de las técnicas explicadas, se presentará a los alumnos dos tecnologías, si bien la primera de ellas es la más relevante y de más fácil comprensión para los alumnos. La segunda sólo se explicará en caso de tener tiempo una vez finalizada la unidad, y solo a modo de ampliación para los alumnos que posean un talento matemático especial, ya que el nivel de la misma se escapa de lo esperado en los alumnos de este curso: - Curvas de nivel de la función objetivo (Rectas paralelas) - Proyección gráfica en 3 dimensiones del problema Se justificará con ellas el algoritmo de resolución usado en los problemas, ya que intentaremos que los alumnos no vean dicho algoritmo como una “receta” que aprenderse de memoria para el examen, si no que intentaremos que comprendan el porqué de cada uno de los pasos que se llevan a cabo, y su relación con el problema a resolver. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 8 B. Sobre los conocimientos previos del alumno 1. ¿Qué conocimientos previos necesita el alumno para afrontar el aprendizaje del objeto matemático? o Modelización algebraica de situaciones, es decir, transposición del texto del enunciado de un problema del lenguaje cotidiano a lenguaje matemático (ecuaciones, inecuaciones, funciones, etc.), contenido impartido en las programaciones didácticas de las asignaturas de Matemáticas desde 1º de la E.S.O. o Representación gráfica de rectas en los ejes cartesianos, contenido previo perteneciente a los cursos de 3º y 4º de la E.S.O. o Resolución de sistemas de ecuaciones lineales, estudiado en 3º y 4º de E.S.O., los procedimientos elementales, y en el tema anterior de este mismo curso, otros procedimientos para sistemas con mayor número de ecuaciones y de incógnitas. o Resolución gráfica de una inecuación lineal con dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas, contenidos impartidos en los cursos de 1º y 2º de bachillerato, y en particular en una unidad que será implementada anteriormente a la programación lineal. 2. La enseñanza anterior, ¿ha propiciado que el alumno adquiera esos conocimientos previos? En principio, es de esperar que los contenidos de 3º y 4º de la E.S.O. hayan sido adquiridos correctamente en el momento de empezar esta unidad. Los contenidos previos ubicados en los cursos de 1º y 2º de Bachillerato sin embargo, prevemos que pueden implicar una mayor dificultad de manejo por parte de los alumnos, por tratarse de contenidos adquiridos recientemente. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 9 3. ¿Mediante qué actividades vas a tratar de asegurar que los alumnos posean esos conocimientos previos? Antes del comienzo de la impartición de la unidad didáctica, se realizará una prueba de conocimientos previos, que se llevará a cabo en una sesión de clase, tendrá una duración de 40 minutos, y en ella se propondrán entre 4 ejercicios de sistemas de ecuaciones e inecuaciones, así como de representación gráfica en los ejes cartesianos, para valorar la realidad de la clase respecto al conocimiento de los mismos. Un modelo de dicha prueba de conocimientos previos se expone en el ANEXO I. En función de los resultados obtenidos en la prueba se dedicarán entre 1 y 2 sesiones al trabajo de repaso de los conceptos peor asimilados. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 16 Los 390 alumnos y alumnas de 1º de Bachillerato de un colegio quieren organizar una excursión a Madrid, para ello contactan con una empresa de transportes que dispone de 7 autobuses de 60 plazas y de 5 microbuses de 20 plazas. ¿Qué combinaciones de autobuses y microbuses son posibles para poder transportar a los alumnos y alumnas? Trata de organizar dichas combinaciones en una tabla. Sabiendo que el precio del autobús es de 3€ por kilometro recorrido y el de cada microbús es de 1,5 € por kilometro recorrido. ¿Cuál es el coste de cada una de las combinaciones obtenidas? ¿Cuál de ellas es la más económica?  Minimización  Enunciado tipo texto  3 restricciones  Única solución Los alumnos y alumnas de 2º Bachillerato, con el objetivo de recaudar fondos para su viaje de estudios, deciden vender paquetes de dulces navideños facilitados por una empresa de su ciudad. Disponen de 10 kg de polvorones y 8 de mantecados. Acuerdan que van a hacer dos tipos de paquetes para la venta, unos costaran 3€ y estarán formados por 100 gr de polvorones y 150 gr de mantecados, los otros paquetes costaran 4€ y estarán formados por 200 gr de polvorones 100gr de mantecados. ¿Cuántos paquetes de cada tipo les conviene hacer con lo s dulces disponibles para obtener más recaudación?  Maximización  Enunciado tipo texto  2 restricciones  Única solución Una fábrica del sector textil ha sido encargada de la confección de pantalones y camisas para una cadena de tiendas. Los pantalones necesitan 4 horas de trabajo y las camisas 5 horas. La fábrica dispone de 1920 horas de trabajo en total. ¿Qué posibles combinaciones en el número de pantalon es y camisas podemos fabricar? Si cada pantalón es pagado a 10€ y cada camisa a 15€, ¿Cuál será la mejor combinación de pantalones y camisas a fabricar?  Maximización  Enunciado tipo texto  1 restricción  Única solución Un pequeño taller se dedica a la fabricación de dos modelos de calzado de señora: botín todo terreno y sandalias dedos frescos. Cada par de botines fabricados genera unos ingresos de 100€, mientras que cada par de sandalias produce 90€ de ingresos. El taller está dividido en tres departamentos: cortado, cosido y acabado. Así mismo, las horas de trabajo que requieren cada par de zapatos en los distintos departamentos vienen dadas en la tabla adjunta. cortado cosido acabado Botines 7/10 1 1/10 Sandalias 1 2/3 1/4 Si el número de horas semanales disponibles por la empresa  Maximización  Enunciado tipo tabla  3 restricciones  Única solución Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 17 en cada uno de los departamentos es de 630, 708 y 135 respectivamente, determina: a) La región de factibilidad del problema (1 punto) b) ¿Es posible fabricar 454 zapatos y 336 sandalias en una semana en dicha fabrica? (0,5 puntos) c) El numero de pares de botines y de sandalias que se han de fabricar para maximizar la ganancia (1,5 puntos) d) Cual será dicha ganancia máxima (1 punto) Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. Cada pastilla grande necesita 4 horas para su fabricación, mientras que cada pastilla pequeña necesita 3 ho ras. Si en total disponemos de 66 horas para fabricar pastillas a la semana. a) ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase semanalmente para que el beneficio sea máximo? (3 puntos) b) ¿Cuál será dicho beneficio? (1 punto)  Maximización  Enunciado tipo texto  3 restricciones  Solución múltiple 2. ¿Qué modificaciones de la técnica inicial van a exigir la resolución de dichos problemas? La técnica inicial es la de Ensayo - Error, es la que utilizarán los alumnos antes de explicar nada del tema, se les propondrá el problema que se ha presentado anteriormente y su único recurso en ese momento será el Ensayo - Error de distintos resultados, es decir, probar distintos valores para el par (x, y). En nuestro ejemplo, buscar pares de valores para el número de autobuses y microbuses que cumplan las restricciones, para posteriormente calcular el precio asociado a cada par de valores. Una vez hayan obtenido resultados distintos, les propondremos la primera modificación de la técnica, que será seguir con el Ensayo - Error pero ayudándose de una hoja de cálculo, Microsoft Excel, ésta modificación les ayudará a poder conseguir muchos más resultados en menos tiempo. La siguiente modificación de la técnica será la más importante, la introducción del Algoritmo de resolución gráfica, que nos permitirá resolver problemas más complejos. Como ampliación de la segunda técnica se realizará una sesión con los alumnos en sala de ordenadores con el programa Geogebra, software libre que permite realizar gráficas de funciones y calcular puntos de intersección entre rectas, agilizando así la resolución tanto analítica (al ahorrarse los sistemas de ecuaciones) como la resolución grafica del problema. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 18 Por último, existe una última modificación de la técnica, que sólo se da en el caso de que uno de los vértices de la región factible obtenidos, y por tanto, posible máximo o mínimo de la función objetivo, no tenga sentido. Se expondrá a los alumnos únicamente el caso en que esa carencia de sentido se produzca por ser alguna de las dos coordenadas del punto, o ambas, números no enteros, tratándose de un problema contextualizado de variables enteras. 3. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula. Como se ha comentado, hay muchos tipos de problemas distintos atendiendo a las clasificaciones presentadas en puntos anteriores. El primer problema que se plantea a los alumnos es el ya presentado de los autobuses y microbuses, es un problema contextualizado, de minimización (precio total por kilometro), enunciado tipo texto, solución única y con tres restricciones (número total de asientos mayor o igual al de alumnos, numero de autobuses no superior al de los disponibles y numero de microbuses no superior al de los disponibles) además de las siempre supuestas (x,y ≥ 0). Este problema se utilizará como razón de ser para que lo alumnos, sin haber empezado la unidad, piensen mediante el Ensayo - Error opciones posibles de combinaciones entre autobuses y microbuses que puedan dar solución al problema con la flota indicada. Después en la segunda parte, calcular los precios de las distintas opciones encontradas para discutir cual es el mejor para los alumnos. Para evolucionar a la siguiente técnica, presentaremos un problema de mayor complejidad que haga que a los alumnos no les baste con la técnica del Ensayo - Error para resolverlo. Ejemplo 4. Los alumnos y alumnas de2º Bachillerato, con el objetivo de recaudar fondos para su viaje de estudios, deciden vender paquetes de dulces navideños facilitados por una empresa de su ciudad. Disponen de 10 kg de polvorones y 8 de mantecados. Acuerdan que van a hacer dos tipos de paquetes para la venta, unos costaran 3€ y estarán formados por 100 gr de polvorones y 150 gr de mantecados, los otros paquetes costaran 4€ y estarán formados por 200 gr de polvorones 100gr de mantecados. ¿Cuántos paquetes de cada tipo les conviene hacer con los dulces disponibles para obtener más recaudación? Nos encontramos ante un problema con contexto, de maximización, con una única solución y sujeto a 2 restricciones (que no se supere el número de mantecados disponibles ni el de polvorones). Dejaremos que los alumnos traten de buscar soluciones con la única técnica que poseen hasta el momento, Ensayo - Error, para que sean ellos los que demanden la necesidad de una nueva técnica para resolverlo. Será en ese momento en el que se incorporará el algoritmo de resolución gráfica del problema de programación lineal mediante lápiz y papel, como veremos detalladamente en el punto siguiente. A partir de este momento, introducido ya el algoritmo, trabajaremos problemas de los distintos tipos alternando siempre problemas con contexto y sin contexto. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 19 La finalidad de esta unidad es que los alumnos sean capaces de reconocer un problema de optimización, en un determinado contexto, por lo que los problemas principales a trabajar serán los problemas con contexto. Los problemas sin contexto se realizarán con la finalidad de entrenar el uso del algoritmo, siempre explicando a los alumnos y subrayando que las condiciones fuera de contexto real que aparecen podrían estar asociadas a un problema con contexto para que los alumnos no pierdan en ningún momento la razón de ser del objeto matemático, ya que si separamos los problemas con de los problemas sin contexto podría ocurrir que los alumnos perdieran de vista la razón de ser al trabajar problemas sin contexto durante varias sesiones. Así pues en clase se trabajarán principalmente los problemas con contexto, dejando los problemas sin contexto para el entrenamiento en casa de los alumnos con el algoritmo de resolución. Dentro de los problemas con contexto se irán viendo en las distintas sesiones y progresivamente, de menor complejidad a mayor, las combinaciones de las clasificaciones vistas anteriormente más representativas para este curso, de manera que queden vistas todas la posibilidades a través de los problemas vistos en el aula, y se consideran las siguientes: 1. Problemas con enunciado tipo texto a. Maximizar ó minimizar con una restricción y solución única Una fábrica del sector textil ha sido encargada de la confección de pantalones y camisas para una cadena de tiendas. Los pantalones necesitan 4 horas de trabajo y las camisas 5 horas. La fábrica dispone de 1920 horas de trabajo en total. ¿Qué posibles combinaciones en el número de pantalones y camisas podemos fabricar? Si cada pantalón es pagado a 10€ y cada camisa a 15€, ¿Cuál será la mejor combinación de pantalones y camisas a fabricar. b. Maximizar o minimizar con más de una restricción y solución única Los 390 alumnos y alumnas de 1º de Bachillerato de un colegio quieren organizar una excursión a Madrid, para ello contactan con una empresa de transportes que dispone de 7 autobuses de 60 plazas y de 5 microbuses de 20 plazas. ¿Qué combinaciones de autobuses y microbuses son posibles para poder transportar a los alumnos y alumnas? Trata de organizar dichas combinaciones en una tabla. Sabiendo que el precio del autobús es de 3€ por kilometro recorrido y el de cada microbús es de 1,5 € por kilometro recorrido. ¿Cuál es el coste de cada una de las combinaciones obtenidas? ¿Cuál de ellas es la más económica? c. Maximizar o minimizar con más de una restricción y solución múltiple Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 20 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 20 menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. Cada pastilla grande necesita 4 horas para su fabricación, mientras que cada pastilla pequeña necesita 3 horas. Si en total disponemos de 90 horas para fabricar pastillas a la semana. • ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase semanalmente para que el beneficio sea máximo? • ¿Cuál será dicho beneficio? 2. Problemas con enunciado tipo tabla con más de una restricción y solución única. Un pequeño taller se dedica a la fabricación de dos modelos de calzado de señora: botín todo terreno y sandalias dedos frescos. Cada par de botines fabricados genera unos ingresos de 100€, mientras que cada par de sandalias produce 90€ de ingresos. El taller está dividido en tres departamentos: cortado, cosido y acabado. Así mismo, las horas de trabajo que requieren cada par de zapatos en los distintos departamentos vienen dadas en la tabla adjunta. cortado cosido acabado Botines 7/10 1 1/10 Sandalias 1 2/3 1/4 Si el número de horas semanales disponibles por la empresa en cada uno de los departamentos es de 630, 708 y 135 respectivamente, determina: • La región de factibilidad del problema. • ¿Es posible fabricar 454 zapatos y 336 sandalias en una semana en dicha fabrica? El numero de pares de botines y de sandalias que se han de fabricar para maximizar la ganancia. • Cual será dicha ganancia máxima. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 21 E. Sobre las técnicas 1. Diseña las distintas técnicas que se van a presentar en el aula. Como se ha adelantado en los puntos anteriores las técnicas que se van a presentar en el aula en el transcurso de la unidad van a ser dos. • Ensayo - Error Esta técnica más que presentarla, vamos a animar a los alumnos a que la utilicen en un primer momento ya que es un recurso que ellos poseen, y al no tener otro deberán utilizarlo para intentar resolver el problema inicial con el que se introduce el tema. El Ensayo - Error consiste en buscar soluciones al problema sin utilizar métodos matemáticos, sino utilizando solo la lógica frente a la situación propuesta en el problema. Probando diferentes resultados y viendo si cumplen las restricciones impuestas. • Algoritmo gráfico de resolución mediante lápiz y papel La segunda técnica y la más importante, puesto que es la que da sentido a la unidad, es el algoritmo gráfico de resolución mediante lápiz y papel. Consiste en una sucesión de pasos a seguir para enfrentarnos a los problemas de programación lineal al nivel del curso en el que nos encontramos y ya descritos anteriormente, en función del tipo de problema que se nos presente. El algoritmo nos lleva hacia una resolución final del problema de tipo gráfico, que detallaremos a continuación. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 22 ALGORITMO El algoritmo variará ligeramente según los tipos de problemas antes mencionados. Se describen detalladamente los pasos incluidos en el mismo en el caso más completo, el de los problemas con contexto, matizando seguidamente los casos particulares a éste. 1. Identificación de las variables de decisión (incógnitas) En los problemas correspondientes a este curso siempre habrá dos variables de decisión, a las que llamaremos “x” e “y” respectivamente, se trata de dos valores desconocidos que nos pide calcular el enunciado, y de los cuales depende la Función Objetivo que tenemos que minimizar o maximizar. El primer paso en la resolución de un problema de Programación Lineal es identificar dichas variables y escribirlo explícitamente en el papel, de la forma: x – nº de autobuses y – nº de microbuses Se exigirá a los alumnos este paso dándole la importancia de que quede claro y explícito el significado cada una de las letras que aparecen en un problema. 2. Identificación de la Función Objetivo del problema Una vez identificadas las variables de decisión, el siguiente paso es construir la Función Objetivo del problema, es decir, la función a optimizar (minimizar o maximizar) según pida el enunciado. Esta función siempre depende de las variables de decisión anteriormente halladas, y la representaremos por F(x,y). 3. Identificar si el problema pide maximizar o minimizar dicha función En el enunciado también hay que descifrar si el objetivo de la situación planteada en el problema es calcular un valor máximo, o por el contrario un valor mínimo, para la Función Objetivo que se ha construido en el apartado anterior. Al lado de la Función Objetivo se escribirá el tipo de optimización que pide el problema con la nomenclatura “min.” o “máx.” según el problema pida minimizar o maximizar dicha función. Por ejemplo: máx. F(x,y) = 3x + 2y 4. Representación (si el problema lo permite) de los datos del enunciado en una tabla según variables de decisión. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 23 En este paso lo que se exige es una síntesis y ordenación de los datos proporcionados en el enunciado de manera que podamos ver la relación entre ellos, y su relación con las variables de decisión. Generalmente se representarán en una tabla de datos (la que en el caso de los problemas con enunciado tipo tabla ya nos viene dada, y por lo tanto en ese tipo de problema no sería necesario este paso). En caso de ser un problema demasiado sencillo para elaborar una tabla, se expresarán los datos de forma esquemática con el mismo objetivo de sintetizar y ordenar los datos extraídos del enunciado. 5. Identificación de las restricciones que plantea el enunciado y de las que exige la propia temática del problema Con las variables de decisión, la Función Objetivo, y todos los datos extraídos del enunciado, se procederá a modelizar algebraicamente las restricciones del problema. Las restricciones son las condiciones que impone el enunciado a las variables de decisión obtenidas y se trata de inecuaciones lineales con una o dos variables. Se expresarán de la siguiente manera: Restricciones 5x + 3y ≥ 40 x + y ≤ 20 x ≥ 0 ; y ≥ 0 Se exigirá así mismo que se escriban las dos últimas restricciones, que se darán en la totalidad de los problemas con contexto vistos en la unidad, ya que siempre se van a tratar contextos reales con variables positivas, explicando a los alumnos la importancia de las mismas, ya que acotan la región factible de la misma manera que el resto de restricciones. 6. Representación de las restricciones en unos ejes coordenados Tras escribir las restricciones procederemos a su representación gráfica en los ejes cartesianos. Representaremos la recta asociada a cada una de las inecuaciones, e indicaremos con una flecha pequeña el semiplano de los dos en los que la recta divide al plano, en el que se cumple la inecuación asociada a dicha recta. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 24 7. Delimitación de la Región Factible del problema Una vez representadas todas las restricciones en los ejes cartesianos, delimitaremos la región factible del problema, que el lugar geométrico de los puntos que cumplan todas las restricciones impuestas en el problema, y por tanto estará delimitada por las rectas asociadas a las inecuaciones y sus vértices serán las intersecciones entre las rectas. Se marcará dicha región con trazo más grueso al resto del gráfico. En este punto se explicará a los alumnos el significado de que un punto esté dentro, fuera, o en las rectas que limitan la región factible. Para ello, se calculará una solución perteneciente a cada zona, viendo como las de fuera no cumplen alguna o todas las restricciones, y las de dentro así como las de las rectas que limitan la región factible las cumplen todas. 8. Calculo de los vértices de la Región Factible a través de sistemas de ecuaciones Con la Región Factible ya delimitada, se calcularán los vértices de la misma, que como se ha comentado anteriormente se trata de las intersecciones entre las rectas asociadas a las restricciones, así que para calcular sus coordenadas hay que resolver el sistema de las dos ecuaciones de las rectas que intersecan en cada uno de los vértices. Hay que hacer hincapié a los alumnos en que cada par de coordenadas de los puntos del gráfico están asociadas a los valores de las variables de decisión obtenidas en el paso 1 del algoritmo, y que por tanto no son números sin significado, sino que cada punto del gráfico representa una posible solución al problema. Como se explicará en el punto siguiente de este trabajo con las tecnologías, los puntos óptimos (tato máximos como mínimos) de la Función Objetivo en la región de factibilidad se encuentran en los vértices de la misma (en el caso de que la solución del problema sea única), o en uno de los lados (en caso de soluciones múltiples). 9. Valoración de la Función Objetivo en dichos vértices para determinar cuál de ellos es la solución al problema. Para conocer en qué vértice está el máximo o el mínimo de la Función Objetivo, según nos pida el problema, se debe valorar dicha Función Objetivo en cada uno de los vértices (valores de la variables de decisión x e y), obteniendo así cuál de los vértices es el que maximiza la función o cuál el que la minimiza. Si el valor de la Función Objetivo valorada en dos vértices contiguos es el mismo, esto indicará que el problema tiene múltiples soluciones (y dichas soluciones son cada uno de los puntos contenidos en el lado delimitado por ambos vértices dentro de la región factible). Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 25 10. Interpretar y escribir la respuesta a lo que pregunte el problema de manera clara y explícita, con las unidades correspondientes. Por último, una vez obtenido el punto de la Región Factible que da solución al problema, hay que volver al contexto del problema y contestar a lo que se pregunta utilizando el lenguaje cotidiano. Si por ejemplo el punto solución en el problema de los autobuses es el (7,0), la respuesta final al problema será: “Se utilizarán 7 autobuses y ningún microbús, y el coste total por km será de 105 €” En el algoritmo presentado hay que tener en cuenta las características propias de cada tipo de problema para la selección de los pasos a seguir. En los problemas sin contexto solo se realizarían los pasos 6, 7, 8 y 9. En el punto 10 en vez de situar los valores solución obtenidos en el contexto del problema, se especificarían tal cual como: x=7; y=0 En los problemas con enunciado tipo tabla, el paso 4 se omitiría por venir dada la ordenación de los datos en el propio enunciado. 2. ¿Qué modificaciones de las técnicas se presentan? En primer lugar, respecto a la primera de las técnicas, el Ensayo - Error, se presentará una modificación de dicha técnica al presentar la hoja de cálculo Excel como ayuda a la hora de obtener soluciones por tanteo. Para ello se llevará a los alumnos a una sala provista de ordenadores para que con la Excel puedan crear las columnas necesarias, y con ayuda de fórmulas introducidas sean capaces de obtener un mayor número de soluciones en menor tiempo. Por otro lado, respecto a la segunda técnica, el algoritmo de resolución gráfica del problema, la modificación que presentaremos será el software Geogebra. Geogebra es un software de libre descarga que nos permite la representación gráfica de puntos y rectas en los ejes cartesianos de una manera muy rápida. De esta manera una vez obtenidos los parámetros básicos del problema (Función Objetivo y restricciones) podremos representar las rectas asociadas a cada una de las restricciones de una manera sencilla e inmediata, con solo escribir la función en el software. A continuación se muestra una imagen del mismo, en la que se puede apreciar la representación de dos rectas cuyas expresiones aparecen a la izquierda, Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 32 F. Sobre las tecnologías (justificación de las técnicas) 1. ¿Mediante que razonamientos se van a justificar las técnicas? Se van a usar dos tecnologías como razonamiento de las técnicas. • Curvas de nivel de la Función Objetivo • Razonamiento geométrico en R3 (solo al final de la unidad si el tiempo lo permite, y como ampliación para alumnos talentosos en matemáticas, ya que se escapa de los conocimientos mínimos de esta etapa) Curvas de nivel de la Función Objetivo Para justificar que la solución óptima se encuentra siempre en un vértice o en un lado de la región factible usaremos el razonamiento a través de las curvas de nivel resultantes de dar valores a la función objetivo. Al igualar la función objetivo a un valor cualquier, gráficamente resultará una recta que representaremos en los mismo ejes que las restricciones anteriormente. Para que los alumnos sean participes de dicho razonamiento se les propondrán puntos preparados de antemano por el profesor pertenecientes a un mismo valor de F(x,y), de manera que vean que todos ellos están alineados en el plano, y por tanto forman una recta. Repetiremos la operación con puntos pertenecientes a dos valores más, de manera que los alumnos observen como esas rectas que se van formando son paralelas entre sí y a su vez crece el valor común de F(x,y) en cada recta en una misma dirección. Por ejemplo en el caso anterior, si le damos un valor por ejemplo de 100€: F(x,y) = 3x + 4y  F(x,y) = 100  3x + 4y = 100 (recta roja) Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 33 Si trazamos la recta que iguala F(x,y) = 150, obtenemos una recta paralela a la anterior (recta azul) Si seguimos aumentando el valor de F(x,y) observaremos que vamos obteniendo rectas paralelas en la dirección de la roja a la azul, mientras que si disminuimos el valor las paralelas aparecen hacia el otro lado. Éstas rectas paralelas representan los valores (x,y) que hacen que F(x,y) tome un valor determinado, como se observa que dicho valor crece hacia la derecha, la última recta paralela con un punto perteneciente a la región factible es la que pasa por el vértice (30,35) y por tanto ése será el valor máximo, mientras que el valor mínimo estará en el vértice (0,0) con un valor de 0€ para F(x,y). Por lo tanto, es por eso por lo que los valores extremos de una Función Objetivo están siempre en alguno de los vértices de la región factible, a no ser que las curvas de nivel (rectas paralelas) de la Función Objetivo sean a su vez paralelas a uno de los lados de la región factible, en cuyo caso ambas rectas se superpondrán y serán soluciones todos los puntos contenidos en dicho lado (caso de solución múltiple). Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 34 2. ¿Quién (profesor, alumnos, nadie) va a asumir la responsabilidad de justificar las técnicas? La responsabilidad la ha de asumir el profesor, ya que los alumnos por si mismos no son capaces de justificar el algoritmo de resolución. Es por ello por lo que será el profesor el que explique, con ayuda del Geogebra, la tecnología de las curvas de nivel de la Función Objetivo, si bien se animará a los alumnos durante la explicación a colaborar en la misma, de manera que sea una explicación lo mas interactiva posible. 3. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula. Una vez explicado paso a paso la técnica del algoritmo de resolución grafica de problemas como se ha indicado en el punto anterior, se procederá a la justificación de la misma, usando como referencia el problema que se ha llevado a cabo para la explicación del algoritmo, el de los dulces navideños. Como se ha explicado, la justificación se realizará gráficamente mediante el trazado de curvas de nivel de la Función Objetivo y explicando el significado de las mismas. Tras la justificación de la técnica se realizarán uno o dos problemas para ponerlo en práctica, y serán los alumnos quienes deberán justificar gráficamente la resolución de los mismos. Se llevará a cabo en la pizarra, ya sea digital o convencional, con los instrumentos que se precisen, tales como tizas de colores para una mejor visualización por parte del alumno en el caso de la pizarra tradicional. Si el tiempo disponible para la unidad lo permite, cosa bastante inusual en este curso, se explicará al final de la unidad y como ampliación a los alumnos con especial talento matemático, la justificación geométrica en R3 de la resolución gráfica de los problemas, como proyección en el R2 de la Función Objetivo perteneciente a R3. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 35 G. Sobre la secuencia didáctica y su cronograma 1. Indica la secuenciación de las actividades propuestas en los apartados anteriores. Secuencia: 1. Prueba de evaluación de los conocimientos previos necesarios para la unidad. En caso de ser necesario, repaso de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas y representación gráfica en ejes cartesianos. 2. Presentación mediante un problema de la razón de ser del objeto matemático. 3. Presentación de los problemas de Programación Lineal, a través de las técnicas y tecnologías explicadas, en el orden establecido y mencionado anteriormente. 2. Establece una duración temporal aproximada. La duración estimada para la impartición de la unidad será de entre 10 y 12 sesiones, distribuidas de acuerdo al siguiente “timing” De 1 a 3 sesiones Prueba de evaluación de los conocimientos previos necesarios para la unidad. En caso de ser necesario, repaso de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas y representación gráfica en ejes cartesianos. 1 sesión • Problemas con enunciado tipo texto • Maximizar ó minimizar • una restricción • solución única Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 36 4 sesiones • Problemas con enunciado tipo texto • Maximizar o minimizar • más de una restricción • solución única 1 sesión • Problemas con enunciado tipo texto • Maximizar o minimizar • más de una restricción • solución múltiple 2 sesiones • Problemas con enunciado tipo tabla • Maximizar o minimizar • más de una restricción • solución única. 1 sesión Prueba de Evaluación Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 37 H. Sobre la evaluación 1. Diseña una prueba escrita (de una duración aproximada de una hora) que evalúe el aprendizaje realizado por los alumnos. PRUEBA DE EVALUACION Pregunta 1 (2 puntos) Calcula aplicando el algoritmo de resolución gráfica los puntos del plano donde la función F(x,y) = 3x + y alcanza sus valores: a) Máximo (1 punto) b) Mínimo (1 punto) Cumpliendo las siguientes restricciones: -x + y ≤ 1 x + 2y ≤ 6 x≥0 ; y≥0 Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 38 Pregunta 2 (4 puntos) Un pequeño taller se dedica a la fabricación de dos modelos de calzado de señora: botín todo terreno y sandalias dedos frescos. Cada par de botines fabricados genera unos ingresos de 100€, mientras que cada par de sandalias produce 90€ de ingresos. El taller está dividido en tres departamentos: cortado, cosido y acabado. Así mismo, las horas de trabajo que requieren cada par de zapatos en los distintos departamentos vienen dadas en la tabla adjunta. cortado cosido acabado Botines 7/10 1 1/10 Sandalias 1 2/3 1/4 Si el número de horas semanales disponibles por la empresa en cada uno de los departamentos es de 630, 708 y 135 respectivamente, determina: a. La región de factibilidad del problema (1 punto) b. ¿Es posible fabricar 454 zapatos y 336 sandalias en una semana en dicha fabrica? (0,5 puntos) c. El numero de pares de botines y de sandalias que se han de fabricar para maximizar la ganancia (1,5 puntos) d. Cual será dicha ganancia máxima (1 punto) Pregunta 3 (4 puntos) La empresa “SHAKE” se dedica a la venta de zumos de frutas envasados y ha decidido lanzar al mercado dos nuevos tipos de zumo mezclando dos o más frutas.  Frutitrío: piña, naranja y plátano  Frutidúo: naranja y plátano Un Frutitrío está formado por 8 cl. de jugo de piña, 8 cl. de jugo de naranja y 6 cl. de pulpa de plátano. Un Frutidúo está formado por 12 cl. de jugo de naranja y 4 cl. de pulpa de plátano. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 39 La empresa cuenta con un máximo disponible de 24 000 cl. de jugo de naranja para la producción ya que no es temporada alta de la naranja, y se sabe que el abastecimiento de los demás concentrados se encuentra garantizado. a. Si se fabrican 3.000 Frutitríos, ¿Cuántos Frutidúos como máximo se pueden fabricar? (0,75 punto) Se sabe que la ganancia al vender un Frutitrío es de 1€ y la ganancia al vender un Frutidúo es de 0,8€. b. Si no es indispensable fabricar ambos tipos de envases ¿Qué cantidad de cada producto le recomendarías al fabricante para obtener una ganancia máxima? ¿Cuál sería dicha ganancia? (1,25 puntos) Ahora, además de los expuesto hasta ahora, por problemas de transporte se dispone de un máximo de 12.000 cl. de jugo de piña y 10.000 cl. de pulpa de plátano. c. ¿qué cantidad de Frutitríos y Frutidúos tendrá que fabricar ahora para obtener una ganancia máxima? (2 puntos) 2. ¿Qué aspectos del conocimiento de los alumnos sobre el objeto matemático pretendes evaluar con cada una de las preguntas de dicha prueba? - La capacidad de análisis del enunciado de los problemas. - Capacidad de síntesis de los datos en una tabla resumen. - Aplicación del algoritmo gráfico de resolución. - Destreza en el cálculo (sistemas de inecuaciones de primer grado con 2 incógnitas y de sistemas de ecuaciones lineales). - Orden, coherencia y exactitud en la respuesta final al problema. 3. ¿Qué respuestas esperas en cada uno de las preguntas en función del conocimiento de los alumnos? El examen consta de tres problemas de tres tipologías distintas de las vistas en clase, por lo tanto lo que espero en cada uno de ellos que apliquen correctamente el algoritmo gráfico de resolución propuesto, con todos y cada uno de los pasos necesarios en cada uno de los problemas, llegando así a la solución final. Espero también orden y limpieza en la resolución y claridad en el resultado, escrito en las unidades correspondientes a cada uno de los contextos. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 40 4. ¿Qué criterios de calificación vas a emplear? Para que los alumnos tengan claro cómo va a ser evaluada cada pregunta, se indica en cada apartado la puntuación del mismo. Con ello, los alumnos son conscientes de aproximadamente la calificación obtenida en función de cómo les haya salido cada apartado. No será una calificación de todo o nada, se valorará el esfuerzo del alumno en cada apartado y se harán puntuaciones parciales si no se ha llegado al resultado exacto pero el desarrollo es correcto. Trabajo Fin de Máster: PROGRAMACIÓN LINEAL 41 I. Sobre la bibliografía y páginas web 1. Indica los libros, artículos y páginas web revisadas para la realización de este trabajo. LIBROS  Labraña Barrero, A. (ed.) (1999). Álgebra Lineal (Colección Educación Matemática en Secundaria). Madrid: Síntesis. OTRAS FUENTES DE INTERNET  Barreras, M. Optimización con Excel. Teruel (I.E.S. Matarraña). Recuperado el 29 de noviembre de 2012, de http://www.unizar.es/ttm/2009- 10/optimizacion_con_excel.doc.  Percier, C. (2010). ¿Cómo las matemáticas ayudan a tomar (buenas) decisiones?. Zaragoza. Recuperado el 29 de noviembre de 2012, de http://unizar.es/ttm REVISTAS  Malaspina, U. (2009). ¿Programación lineal en primaria?. Revista Iberoamericana de educación matemática, 19, pp.157-161.  Malaspina, U. (2011).El rincón de los problemas. Revista Iberoamericana de educación matemática, 27, pp.163-168.  Malaspina, U. (2012).El rincón de los problemas. Revista Iberoamericana de educación matemática, 31, pp.131-137.