Repositorio Institucional de Documentos

M´ ASTER EN PROFESORADO DE EDUCACI ´ ON SECUNDARIA PARA ESO Y BACHILLERATO. ESPECIALIDAD: MATEM ´ ATICAS TRABAJO FIN DE M´ ASTER LA INTEGRAL DEFINIDA I.´ Alvaro Guti´errez 30 de enero de 2013 ´ Indice A. Definici´on del objeto matem´atico 4 A.1.Cursoyasignatura .................................. 4 A.2. Problem´aticas de ense˜nanza. Propuesta alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . 5 B. Conocimientos previos 7 C. Raz´on de ser del objeto matem´atico 8 D. Campo de problemas 9 D.1. Aproximaci´on del ´area encerrada bajo una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 D.1.1.Funci´onconstante. .............................. 10 D.1.2. Funci´on lineal y af´ın. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 D.1.3. ´ Area bajo un arco de par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 D.1.4. Funci´on potencial gen´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 D.1.5. ´ Area bajo otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 D.1.6. Proceso de institucionalizaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 D.2. Conexi´on entre integral y derivada mediante la funci´on ´area . . . . . . . . . . . 24 D.2.1.Lafunci´on´area................................. 24 D.2.2. Proceso de institucionalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 D.2.3.LaregladeBarrow............................... 30 D.2.4. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 D.3.Metodolog´ıaenelaula ................................ 32 E. Las T´ecnicas 35 F. Las Tecnolog´ıas 37 G. Secuencia Did´actica 38 H. Evaluaci´on 39 H.1.Aspectosaevaluar .................................. 41 H.2.Respuestasesperadas................................. 41 H.3. Criterios de Calificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 I. ANEXOS 43 A. Aproximaci´on intuitiva a la idea de ´area 43 A.1.Problemaintroductorio................................ 43 A.2. Explicaci´on del profesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 B. Origen y desarrollo hist´orico de la integral definida 44 B.1.Origencl´asico..................................... 44 B.2. El nacimiento del c´alculo infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 B.3. ´ Epocamoderna.................................... 47 C. Otras aporximaciones a la integral definida 47 C.1.IntegraldeCauchy .................................. 47 C.2.Regladelaordendamedia.............................. 47 C.3.Regladeltrapecio................................... 48 D. Resoluci´on de algunos problemas 48 En este trabajo fin de m´aster se justifica y se esboza una propuesta de ense˜nanza de la integral definida en un segundo curso de bachillerato. Corresponde al trabajo final del “m´aster de profesorado de ense˜nanza secundaria para ESO y bachillerato”de la especialidad de matem´aticas; impartido por la facultad de Educaci´on de la Universidad de Zaragoza. Vamos a hablar del curso y de la asignatura en la que se sit´ua el estudio de la integral definida y de su problem´atica de ense˜nanza. A continuaci´on, hablaremos de los conocimientos previos necesarios y se introducir´a la raz´on de ser del objeto matem´atico. Veremos las concepciones hist´oricas de la integral, se introducir´an los campos de problemas que vamos a tratar, las t´ecnicas y tecnolog´ıas asociadas a dichos campos, se comentar´a la metodolog´ıa a utilizar y finalmente se realizar´a una propuesta de evaluaci´on sobre los los resultados de aprendizajes de los alumnos. A. Definici´on del objeto matem´atico A.1. Curso y asignatura El objeto matem´atico de este trabajo fin de m´aster es la integral definida. El prop´osito es tratar este tema en el segundo curso de un bachillerato cient´ıfico, como est´a previsto en la ORDEN de 1 de julio de 2008, del Departamento de Educaci´on, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el curr´ıculo del Bachillerato y se autoriza su aplicaci´on en los centros docentes de la Comunidad aut´onoma de Arag´on. Seg´un dicha Orden, este objeto matem´atico pertenece al bloque de contenidos de an´alisis matem´atico. 4 A.2. Problem´aticas de ense˜nanza. Propuesta alternativa Diferentes estudios sobre la ense˜nanza del concepto de integral definida, han puesto de manifiesto limitaciones en la comprensi´on de los estudiantes referidos a ´este objeto matem´atico. As´ı, por ejemplo, del an´alisis de libros de texto se desprende que los conceptos te´oricos resultan demasiado dificiles a la mayor´ıa de los alumnos: “...los aspectos te´oricos relacionados con el concepto de integral, tal como aparece por ejemplo en la mayor´ıa de los libros de texto, resultan demasiado complejos para muchos de nuestros alumnos, la mayor´ıa de los cuales no entiende el porqu´e del enorme esfuerzo deductivo al que, de pronto se les somete” Azc´arate (1996) Los problemas que surgen en los estudiantes se refieren principalmente a una inadecuada interpretaci´on e interconexi´on entre las definiciones te´oricas y las diferentes representaciones que de ellas se les presentan: “El aprendizaje del concepto de Integral Definida,..., presenta dificultades para los estudiantes que se manifiestan mediante la utilizaci´on mec´anica, algor´ıtmica y memor´ıstica de su definici´on; no logran establecer una conexi´on entre el pensamiento num´erico, algebraico, geom´etrico y anal´ıtico; tienen problemas para interpretar las gr´aficas de ´areas bajo curvas ...; en otros casos piensan la integral s´olo asociada al concepto de ´area pero aislada de otros contextos; y muestran dificultades para aplicar las propiedades de la Integral Definida.” Aldana(2001, p.20) Siguiendo este autor, los problemas de aprendizaje de los estudiantes se sintetizan principalmente en: §1.- Los estudiantes identifican integral con primitiva.El hecho de probar y utilizar el teorema fundamental del c´alculo demasiado pronto, sin un adecuado asentamiento de los conceptos, conduce a esta simplificaci´on. “La integral para ellos no comporta ning´un proceso de convergencia ni tampoco un aspecto geom´etrico. Es por tanto, un proceso puramente algebraico, m´as o menos complicado, de modo que un estudiante puede conocer diversas t´ecnicas de integraci´on e incluso saberlas aplicar, y al mismo tiempo, no ser capaz de aplicarlas al c´alculo de un ´area o ignorar por completo qu´e son las sumas de Riemann. La primera imagen que evocan muchos estudiantes sobre Integral es la de hallar una funci´on de la que se conoce la derivada”. Aldana(2001, p.20) §2.- Los estudiantes identifican la integral definida con la regla de Barrow.Tienden a pensar que la integral definida no es mas que una primitiva que se evalua en los extremos de integraci´on. Es paradigm´atico los resultados encontrados por Mundy (1984), donde un 5 alto porcentaje alto de estudiantes no supo responder a la cuesti´on: ¿Porqu´e Z1 −1 x−2dx = [ −x−1]1 −1= (−1) −1 = −2 es incorrecto? §3.- Falta de relaci´on entre el concepto de integral definida y el concepto de ´area. No asocian la integral definida con el ´area bajo la curva. Por no conocer los conceptos previos necesarios sobre represeentaciones gr´aficas de funciones. “En este sentido, Mundy (1984) encontr´o tambi´en que un 95 % de los estudiantes respondieron incorrectamente a la cuesti´on: Calcula Z3 −3|x+ 2|dx en la que les plante´o varias opciones de respuesta; porque no saben integrar la funci´on valor absoluto y no han logrado establecer una relaci´on entre la representaci´on algebraica formal y la visualizaci´on gr´afica de la funci´on”. Aldana(2001, p.21) En nuestra propuesta did´actica, planteamos la introducci´on de la integral definida como una generalizaci´on del c´alculo de ´areas de figuras planas encerradas por una curva cualquiera; y en concreto como una herramienta para el c´alculo del ´area bajo la gr´afica de una funci´on real de variable real y=f(x) (representada en unos ejes cartesianos) y el eje OX, entre dos valores dados aybdel par´ametro x. Convenimos con Azc´arate (1996 p.124) en que: “Se pueden plantear problemas de c´alculos de ´areas m´as complejos, resolver algunos problemas f´ısicos, o tambi´en, utilizar un proceso matem´atico tan fundamental como es el c´alculo mediante aproximaciones sucesivas con series num´ericas” En este sentido, nos ce˜niremos al c´alculo de ´areas limitadas por una curva en unos ejes cartesianos y su aplicaci´on a la resoluci´on de diferentes problemas f´ısicos. El objetivo es que los alumnos intuyan la necesidad de utilizar la integraci´on en cualquier problema en el que una magnitud evoluciona en funci´on de otra magnitud variable. Esta forma de introducir la integral definida, permite asentar en el alumno la idea, que la integral no es mas que un forma de asignar un n´umero o medir unos determinados recintos mas o menos irregulares, por aproximaciones sucesivas de unos recintos regulares facilmente medibles. Adem´as en los distintos grados de aproximaci´on hay un proceso de convergencia, de paso al l´ımite, de manera que en determinadas condiciones , dicha asignaci´on es independiente del proceso de aproximaci´on seguido. En resumen, con esta propuesta se presenta la integral mediante m´etodos geom´etricos y aritm´eticos, antes que anal´ıticos. S´olamente a posteriori y tras trabajar varios ejemplos, se introduce la funci´on ´area, y surge que en determinadas condiciones, para funciones suficientemente regulares, la integral definida 6 puede calcularse utilizando una funci´on anti-derivada o funci´on primitiva de la funci´on dada, lo cual facilita enormemente los c´alculos. En palabras de Azc´arate (1996, p.124): “De esta manera, cuando estudien el teorema fundamental del c´alculo, van a considerarlo como una relaci´on inesperada y ´util entre las estructuras matem´aticas de integraci´on y derivaci´on, aparentemente independientes” De este modo, planteamos introducir la integral definida como el objeto matem´atico que resuelve la medida del c´alculo de ´areas y ense˜nar este significado antes del c´alculo de primitivas. Esta propuesta de ense˜nanza se ajusta mas al proceso hist´orico en el que surgieron los conceptos. El m´etodo de exhauci´on de Arqu´ımedes para el c´alculo del ´area bajo un segmento de par´abola, es en esencia el mismo que se utilza hoy en d´ıa para aproximar la integral definida. La construcci´on de tangentes y el concepto de derivada es muy posterior; y no fue hasta el siglo XVII (con Barrow, Newton y Leibniz) que se relacionan ambos conceptos Por ello es conveniente estudiar el concepto de integral definida independiente del concepto de derivada, incluso puede hacerse antes (coincidiendo con el origen hist´orico), y evitar, de este modo, las dificultades de aprendizaje mencionadas anteriormente. As´ı, se rompe el orden de presentar este contenido curricular en los libros de texto de bachillerato. Tambi´en cabe rese˜nar que el c´alculo exhaustivo de primitivas, usando los diferentes m´etodos de integraci´on tradiconales, ser´a cada vez menos necesaro en la medida que se generalice, el uso de programas de software de c´alculo simb´olico, que resuelven el problema de forma cada vez m´as avanzada. Igualmente los programas de tipo gr´afico cada vez m´as avanzados, permiten una mayor visualizaci´on geom´etrica de los problemas, y considerar justificaciones intuitivas con programas de geometr´ıa din´amica, como veremos a lo largo del presente trabajo. Ver Sada1, Sada2 (2007). En este trabajo, nos proponemos introducir el concepto de integral definida y dejar fuera de este estudio, nociones que a nuestro juicio y seg´un algunos investigadores: Aranda (2011), Tur´egano (1998) o Porres (2011); deber´ıan ser estudiados posteriormente; como son: el c´alculo de primitivas o determinadas aplicaciones de la integral definida al c´alculo de ´areas y vol´umenes de superficies de revoluci´on. B. Conocimientos previos Suponemos que a estas alturas del curr´ıculum, durante la educaci´on secundaria obligatoria y el bachillerato, los alumnos est´an ya suficientemente familiarizados con el c´alculo de ´areas de figuras planas, l´ımites de sucesiones y de funciones, continuidad y derivabilidad. Los estudiantes a lo largo de la ense˜nanza secundaria obligatoria han trabajado en diversas ocasiones sobre la idea intuitiva de ´area, han calculado ´areas de diversas superficies poligonales con cierto grado de regularidad, e incluso han estudiado algunos tipos de teselaciones. 7 Pensamos en consecuencia, que los principales conocimientos previos necesarios para una exitosa introducci´on del objeto matem´atico “integral definida” pueden ser: (a) Saber calcular el ´area de las principales regiones planas regulares. (b) Conocer las propiedades de las funciones. (c) Conocer el concepto de l´ımite. (d) Saber calcular los l´ımites de funciones en casos elementales. (e) Conocer el concepto de derivada primera de una funci´on. (f) Saber calcular las derivadas primeras de funciones en casos elementales. Trataremos de asegurar que los alumnos posean estos conocimientos previos, mediante algunas actuaciones: ?Convendr´ıa realizar alg´un tipo de evaluaci´on diagn´ostica inicial para “saber a priori el grado de conocimiento que los alumnos tienen de ellos”. Azc´arate (1996, p.127). Se pueden recordar ´areas de figuras planas, o poner ejemplos de figuras isoperim´etricas (igual per´ımetro) y diferente ´area, o al contrario, de igual ´area y diferente per´ımetro. ?Se valorar´a desarrollar la actividad enunciada en el Anexo A, para trabajar una aproximaci´on al problema del c´alculo del ´area. ?Igualmente se puede evaluar la idea que tienen de l´ımite, de continuidad y derivabilidad, no s´olo con ejemplos de c´alculo de l´ımites o derivadas sencillas, sino tambi´en con alguna aproximaci´on y estimaci´on de error, que asiente la idea de convergencia. Estas evaluaciones iniciales pueden realizarse mediante tests sencillas, utilizando instrumentos del tipo r´ubrica, o reaction paper durante las primeras sesiones de la unidad did´actica. Morales (2010) C. Raz´on de ser del objeto matem´atico Situamos el origen hist´orico de este objeto matem´atico en “el problema del c´alculo del ´area”. El estudio fenomenol´ogico de la integral definida, Tur´egano (1998), establece tres concepciones diferentes de este concepto a lo largo de la historia relacionados con el problema del c´alculo del ´area: §1.- Antes del siglo XVIII encontramos numerosos ejemplos de c´alculos de ´areas bajo curvas, que fueron realizados con independencia del trazado de tangentes. ´ Este es el primer concepto de integral definida: “cuadratura con independencia de tangentes”. 8 §2.- A partir de la obra de Euler (1707-1783), aparecen las funciones en lugar de las curvas como objeto de estudio, lo que permiti´o la gradual aritmetizaci´on del an´alisis y su consecuente separaci´on de la geometr´ıa. El problema de la integraci´on era el de determinar una funci´on primitiva F(x) que tuviera como derivada f(x). Durante el siglo XVIII y parte del XIX, el c´alculo integral es definido como el inverso del diferencial. §3.- Durante el siglo XIX se produce un cambio conceptual de lo que es una funci´on: se acepta la definici´on de funci´on de una variable real como correspondencia arbitraria entre n´umeros reales. Cauchy (1789-1857) presenta una definici´on de integral “como l´ımite de una suma”, y una formulaci´on rigurosa del teorema fundamental del c´alculo. La definici´on de integral como l´ımite de una suma nace en un contexto de fundamentaci´on te´orica pero, una vez definida, se prescinde de ella para abordar las aplicaciones. Lebesgue, en los primeros a˜nos del siglo XX, precisa las indicaciones de Borel sobre la definici´on de Peano-Jordan y expone su teor´ıa de la medida, que ha sido muy fecunda y ha servido de base para la teor´ıa m´as general de integraci´on. Regresamos a los m´etodos intuitivos anteriores a Cauchy, pero la definici´on de medida les da una fundamentaci´on l´ogica s´olida. Una revisi´on hist´orica de la integral definida y su relaci´on con el c´alculo de ´areas se detalla en el Anexo B. Como hemos observado, el c´alculo de ´areas fue el problema que di´o origen al objeto matem´atico Integral definida. Las dos primera concepciones descritas en §1.- y §2.- son las que vamos a tratar en este trabajo. En principio, definiremos la integral definida como el ´area bajo una curva (en un proceso de paso al l´ımite) siguiendo la primera de las concepciones. Posteriormente conectaremos la integraci´on con la derivaci´on, siguiendo la segunda concepci´on, al utilizar como nexo de uni´on la funci´on ´area. D. Campo de problemas En este trabajo consideraremos dos campos de problemas: D1.- La integral como el ´area encerrada bajo una curva. D2.- Conexi´on entre la integral y la derivada mediante la funci´on ´area. D.1. Aproximaci´on del ´area encerrada bajo una curva. Nos planteamos un m´etodo de aproximaci´on num´erica del ´area encerrada por la gr´afica de una funci´on real de variable real f(x) y el eje de abscisas entre dos valores cualesquiera del par´ametro x. Se presentar´an en los siguientes subp´arrafos las situaciones para introducir el concepto de integral definida: 9 Si el estudiante cambia el intrvalo de definici´on de la funci´on, puede constatar probando con diferentes valores que en un intervalo [a, b] se obitiene siempre: ´ Area =b3 3−a3 3(7) D.1.4. Funci´on potencial gen´erica El mismo proceso que el efectuado con la funci´on f(x) = x2, se puede realizar con una funci´on potencial f(x) = xkcualquiera. Se plantea la siguiente actividad: Problema D.9 Utiliza el software Geogebra y el gui´on expuesto en la secci´on (E). Calcula el ´area bajo una funci´on potencial f(x) = xken el intervalo [0,1] para diferentes valores de k; siguiendo el proceso: (a) Calcula el ´area bajo la funci´on f(x) = x2y comprueba que se aproxima a 0,33. (b) Calcula el ´area bajo la funci´on f(x) = x3y comprueba que se aproxima a 0,25. (c) Calcula el ´area bajo la funci´on f(x) = xkpara valores k= 4,...,9. (d) Conjetura una f´ormula para el ´area de la funci´on f(x) = xken el intervalo [0,1]. El alumno puede observar e interpretar las variaciones del valor de las sumas inferiores y superiores respecto al valor real, para una partici´on en 10 subintervalos de longitud 1 10 , , seg´un los distintos valores de k. D.1.5. ´ Area bajo otras funciones La misma t´ecnica puede aplicarse para calcular el ´area definida bajo la gr´afica de una funci´on y=f(x) cualquiera. Planteamos a los alumnos el siguente problema: Problema D.10 Considera la funci´on f(x) = 1+cos(x)en el intervalo [0, π], donde suponemos que la magnitud de la variable xesta expresada en radianes. Se pide: (a) Calcula los m´aximos y m´ınimos de la funci´on f(x) = 1 + cos(x)en los intervalos [0,π 4]y [π 4, π]. (b) Calcula las ´areas de los rect´angulos de base los intervalos anteriores y altura los m´aximos y m´ınimos alcanzados. Deduce una aproximaci´on del ´area encerrada bajo la curva. (c) Realiza una tabla con los m´aximos y m´ınimos de la funci´on en intervalos de longitud π 6. (d) Calcula las ´areas de los rect´angulos de base π 6y altura los m´aximos y m´ınimos alcanzados. Deduce una aproximaci´on del ´area encerrada bajo la curva. 16 Figura 6: Funci´on sinusoidal (e) Realiza el mismo proceso de (c) y (d) si se realiza una subdivisi´on en intervalos de longitud π 12 . Utiliza Geogebra para comprobar las aproximaciones obtenidas. ¿Qu´e n´umero es el ´area buscada? El mismo m´etodo se puede aplicar para calcular aproximaciones del ´ Area del c´ırculo, y en particular, tomando un c´ırculo de radio 1, calcular aproximaciones del n´umero π. Se plantea el siguiente problema: Problema D.11 Considera el primer cuadrante del c´ırculo unidad, y realiza una subdivisi´on del intervalo [0,1] en cinco subintervalos de longitud 0,2. Se pide: (a) Prueba que las ordenadas de las alturas de la partici´on vienen dadas por: y0= 1, y1=1 5√52−12y2=1 5√52−22y3=1 5√52−32y4=1 5√52−42 (b) Calcula las sumas superiores e inferiores de la partici´on. (Nota: Observa que en la suma inferior hay un rect´angulo menos) (c) Multiplica pr 4para obtener una aproximaci´on de πasociada a esta subdivisi´on y el error m´aximo cometido. (d) Generaliza las sumas superiores e inferiores a una partici´on del intervalo [0,1] en npartes para obtener: 4 n2·Σn i=1√52−i2< π < 4 n2·Σn i=0√52−i2 (e) Utiliza Geogebra para dibujar la gr´afica de la funci´on f(x) = √1−x2en el intervlo [0,1] y multiplica por 4para obtener aproximaciones de πpara n= 5,10,15,100,1,000 y10,000. (f) Calcula el m´ınimo valor de nnecesario para obtener una aproximaci´on de πcon un error menor que 1 10000 . 17 Figura 7: ´ Area del c´ırculo Como curiosidad, el profesor puede se˜nalar otro m´etodo muy conmunmente utilizado para calcular el area del c´ırculo y aproximaciones del n´umero π. Concretamente el m´etodo basado en usar pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos, con un n´umero de lados creciente. Arqu´ımedes utiliz´o pol´ıgonos regulares de hasta 96 lados para obtener una aproximaci´on de πde la forma: 3 + 10 71 < π < 3 + 10 70 . Hist´oricamente sucesivas aproximaciones de πest´an basadas en este m´etodo. En el siglo VI los hind´ues osbtuvier´on el valor 3,1416018 con pol´ıgonos de 768 lados; y en 1.953, Vi`ete encontr´o un valor de πcon once cifras decimales exactas: 3,14159265358, utilizando el pol´ıgono de 393,216 lados. Ver Azc´arate (1996) D.1.6. Proceso de institucionalizaci´on. El mismo proceso descrito en la secci´on anterior para la aproximaci´on de las ´areas encerradas bajo funciones afines o potenciales puede realizarse igualmente el c´alculo del ´area encerrada bajo una funci´on continua cualquiera y=f(x) en un intervalo cerrado [a, b]. Se pueden realizar aproximaciones sucesivas con funciones escalonadas superiores e inferiores que aproximan progresivamente el ´area encerrada por la curva. Todav´ıa mas, se puede inferir un proceso de paso al l´ımite de manera que cuando la partici´on es sucesivamente m´as fina, el ´area encerrada bajo las funciones escalonadas converge a un n´umero real que es el que se considera como el valor del ´area encerrada bajo la curva. Para facilitar la notaci´on, dicho valor num´erico lo denotaremos con la expresi´on usual: Zb a f(x)dx = ”´area bajo la la curva y =f(x)” (8) o simplemente para simplificar: Rb af. As´ı por ejemplo, seg´un lo expuesto en los apartados anteriores, con la funci´on constante y=k se obtiene: Zb a kdx =k·b−k·a(9) 18 Con la funci´on lineal y=xse obtiene (Ver (4)) Zb a xdx =b2 2−a2 2(10) Con la par´abola y=x2en un intervalo [a, b] se obtendr´ıa (Ver ecuaci´on (7)): Zb a x2dx =b3 3−a3 3(11) y finalmente para una funci´on potencial cualquiera, siguiendo el problema D.9, puede conjeturarse la f´ormula: Zb a xkdx =bk+1 k+ 1 −ak+1 k+ 1 (12) El signo Rsignifica la suma (una S degenerada) y significa en este caso, la suma de los infinitos rect´angulos de altura f(x) y base infinitesimal dx. Veamos los conceptos que hemos definido con m´as detalle: Definici´on D.2 Una partici´on osubdivisi´on del intervalo [a, b]es un conjunto finito de n´umeros reales {x0, x1, . . . , xn}que verifican la condici´on: a=x0< x1<··· < xn−1< xn=b Para mejor entender los conceptos, en muchas ocasiones es conveniente considerar una partici´on en la que todos los puntos sean equidistantes, de forma que el intervalo [a, b] queda subdividido en nsub-intervalos de longitud constante b−a n. Definici´on D.3 Dada una partici´on {x0, x1, . . . , xn}del intervalo [a, b], una funci´on escalonada es una funci´on E: [a, b]→lR que es constante en cada subintervalo (xi−1, xi]; es decir: E(x) =                    e1si a =x0≤x≤x1 e2si x1< x ≤x2 . . . eisi xi−1< x ≤xi . . . ensi xn−1< x ≤xn e1, e2, . . . , en∈lR (13) Es claro que el ´area encerrada bajo una funci´on escalonada es la suma del ´area de los n rect´angulos que la forman; es decir: Zb a E(x)dx = n X i=1 ei(xi−xi−1) (14) Se puede comprobar facilmente que el ´area de una funci´on escalonada es independiente de la partici´on utilizada, y es aditiva; esto es el ´area de la suma bajo dos funciones escalonadas es la suma de las ´areas bajo cada una de ellas. 19 Consideremos ahora f: [a, b]→lR una funci´on continua en [a, b] y {x0, x1,...xn}una partici´on de [a, b]. Denotaremos Miymiel mayor y el menor valor que toma la funci´on f(x) en el intervalo [xi−1, xi]. su existencia esta garantizada dado que fes una funci´on continua definida en un interval cerrado y acotado. Los alumnos pueden poner ejemplos en los que comprueben que funciones continuas usuales siempre alcanzan m´aximos y m´ınimos en intervalos cerrados. Definici´on D.4 Dada una funci´on continua f: [a, b]→lR y una partici´on {x0, x1,...xn}, se define la funci´on escalonada superior asociada a la partici´on, o simplemente rect´angulos superiores a la funci´on: S(x) =          M1si a =x0≤x≤x1 M2si x1< x ≤x2 . . . Mnsi xn−1< x ≤xn (15) y la funci´on escalonada inferior o simplemente rect´angulos inferiores a la funci´on: s(x) =          m1si a =x0≤x≤x1 m2si x1< x ≤x2 . . . mnsi xn−1< x ≤xn (16) Definici´on D.5 Las ´areas bajo la funci´on escalonada superior vienen dadas por: Zb a S(x)dx = n X i=1 Mi(xi−xi−1) (17) y se denominan Sumas Superiores Definici´on D.6 Las ´areas bajo la funci´on escalonada inferior vienen dadas por: Zb a S(x)dx = n X i=1 mi(xi−xi−1) (18) y se denominan Sumas Inferiores Se comprueba inmediatamente que dichas ´areas suponen una aproximaci´on del ´area bajo la funci´on f(x); es decir: Zb a s(x)dx ≤Zb a f(x)dx ≤Zb a S(x)dx (19) Para fijar ideas, vamos a considerar particiones en los que los puntos son todos equidistantes a una distancia b−a ny veamos que ocurre cuando hacemos ntan grande como queramos; es decir 20 la base de los rectangulos de las funciones escalonadas son cada vez m´as peque˜nos, y convergen a 0. La situaci´on con una partici´on cualquiera ser´ıa an´aloga; pero la notaci´on ser´ıa m´as engorrosa. En definitiva, tenemos dos sucesiones de n´umeros reales {Rb aSn}∞ n=1 y{Rb asn}∞ n=1 en las que se verifica la desigualdad Rb asn≤Rb af≤Rb aSn∀n. Pueden comprobarse facilmente los siguiente lemas: Lema D.1 La sucesi´on de n´umeros reales {Rb asn}∞ n=1 es mon´otona creciente y acotado superiormente. En efecto al aumentar el tama˜no de la partici´on se cumple Rb asn≤Rb asn+1 yRb afes una cota superior. Lema D.2 La sucesi´on de n´umeros reales {Rb aSn}∞ n=1 es mon´otona decreciente y acotada inferiormente. Igualmente, al aumentar nse verifica Rb aSn≥Rb aSn+1 yRb afes una cota inferior. Lema D.3 La sucesi´on de n´umeros reales {Rb aSndx −Rb asndx}∞ n=1 converge a 0. Este lema se puede ejemplificar utilizando la definici´on de l´ımite. Figura 8: Par´abola[0,5] Se puede plantear de nuevo el problema del ´area bajo un arco de par´abola a los alumnos para justificar el lema anterior con la ayuda de Geogebra: Problema D.12 Considera la par´abola y=x2, en un intervalo cualquiera, por ejemplo [0,5]. Con la ayuda del programa de geogebra expuesto en la secci´on (E). Ver Sada1 (2007). Se pide: (a) Calcula las sumas superiores e inferiores, dando diversos valores de ncon el deslizador. 21 (b) Comprueba que las sucesiones formadas {Rb asn}∞ n=1 y{Rb aSn}∞ n=1 son mon´otonas creciente y decreciente respectivamente. (c) Comprueba intuitivamente que el error m´aximo cometido, o diferencia entre ambas sumas es cada vez m´as peque˜no, cuando naumenta; es decir: l´ım n→∞ Zb a Sn−Zb a sn= 0 (20) (d) Comprueba que las sucesiones {Rb asn}∞ n=1 y{Rb aSn}∞ n=1 convergen al mismo valor, que es el ´area encerrada bajo la curva. De los lemas anteriores (e inspiradose en el problema anterior) se deduce que las sucesiones {Rb asn}∞ n=1 y{Rb aSn}∞ n=1 convergen al mismo l´ımite, que es el ´area bajo la curva de la funci´on f. Todo ello motiva la definci´on: Definici´on D.7 Dada una funci´on f: [a, b]→lR continua en un intervalo [a, b], se denomina integral definida de la funci´on f, o simplemente integral, y la representaremos por Rb af(x)dx o simplemente por Rb af, al valor: Zb a f= l´ım n→∞ Zb a sn= l´ım n→∞ Zb a Sn(21) Puede probarse que esta definici´on no depende de la partici´on considerada. Se puede extender el ´ambito de funciones a integrar a funciones acotadas con un n´umero finito de discontinuidades, de manera que la integral definida puede descomponerse en una suma finita de integrales en los dominios en los que la funci´on es continua. Dejamos fuera del ´ambito de estudio la integral definida en dominios no acotados, en los que habr´ıa que hablar de integrales impropias y ciertos criterios de convergencia. Convendr´a familiarizar a los alumnos con la nueva notaci´on escribiendo integrales como: Z1 0 x2dx =1 3Z1 0 x1/2dx =2 3Z1 0 x5dx =1 6 Igualmente, en el problema (D.9) hemos conjeturado que el ´area bajo una funci´on potencial del tipo y=xkentre x= 0 y x= 1 viene dada por: Z1 0 xkdx =1 k+ 1 (22) Planteamos a continuaci´on otras situaciones de la vida real que constituyen ejemplos de aplicaciones de la integral definida. Problema D.13 La fotos´ıntesis es la transformaci´on de la energ´ıa luminosa en energ´ıa qu´ımica. Su importancia no es de ´ındole menor, pues pr´acticamente toda la energ´ıa consumida por la vida de la bi´osfera terrestre procede de la fotos´ıntesis. La fotos´ıntesis consta de dos etapas o fases: la fase inicial o lum´ınica, y la fase secundaria u oscura. 22 ♣Primera fase o lum´ınica: En ella participa la luz solar. La clorofila - que es una sustancia org´anica - capta la energ´ıa solar (luz) y la luz provoca la ruptura de la mol´ecula de agua y se rompe el enlace qu´ımico que une el hidr´ogeno con el ox´ıgeno. Debido a esto, se libera ox´ıgeno hacia el medio ambiente. La energ´ıa no ocupada se almacena en una mol´ecula especial llamada ATP. El hidr´ogeno que se produce al romperse la mol´ecula de agua se guarda, al igual que el ATP, para ser ocupado en la segunda etapa de la fotos´ıntesis. ♣Segunda fase u oscura: en esta etapa no se ocupa la luz, a pesar de estar presente, dado que ocurre en los cloroplastos. El hidr´ogeno y el ATP, formados en la etapa lum´ınica, se unen con el CO2 (Anh´ıdrido Carb´onico) y comienza a ocurrir una serie de reacciones qu´ımicas, en las cuales se van formando compuestos hasta llegar a formar la glucosa. La glucosa participa en una serie de reacciones que llevan a la formaci´on del almid´on que tambi´en es un compuesto org´anico. La fotos´ıntesis es el proceso bioqu´ımico m´as importante de la bi´osfera. Se puede decir que la diversidad de la vida existente en la Tierra depende principalmente de la fotos´ıntesis. Podemos concluir que la fotos´ıntesis es un proceso mediante el cual una planta convierte luz en alimento. La producci´on de alimento por parte de una planta es una funci´on de la cantidad de luz que recibe. La cantidad de luz recibida se mide en lux/hora. Si una planta est´a expuesta a 1000 lux por el espacio de una hora recibe 1000 lux/hora, si est´a sujeta 500 lux durante dos horas tambi´en recibir´a 500 ×2 = 1000lux/h. Si se realizan mediciones de la intensidad de la luz a intervalos de 1hora,30 minutos y 15 minutos se puede trazar una curva continua a trav´es de los puntos que representan esos datos. Esa curva resulta una funci´on de segundo grado de ecuaci´on f(t) = 512t−32t2cuya representaci´on gr´afica, como vemos es una par´abola. Figura 9: Intensidad de luz Plantamos la cuesti´on: ¿Cu´al es la intensidad de luz acumulada durante el per´ıodo de diecis´eis horas? (Ayuda: Utiliza el m´etodo de aproximaciones sucesivas con rect´angulos de base 16 nseguido en problemas anteriores) 23 Problema D.14 Un joven entrena para su competencia en los pr´oximos juegos deportivos de la ciudad en una bicicleta fija durante una hora cada d´ıa de modo que en cualquier tiempo t, medido en horas, su velocidad es v(t) = 36t2+ 3 kil´ometros por hora. Si queremos hallar la distancia ficticia recorrida por el ciclista durante su hora de entrenamiento podemos subdividir la hora en minutos, segundos, fracciones de segundo e ir calculando la distancia recorrida en cada per´ıodo. La suma de las distancias en cada intervalo de tiempo nos dar´a la distancia total que recorrer´ıa durante la hora completa. Dado que el momento inicial se considera en t= 0 trabajaremos en el intervalo [0,1]. D.2. Conexi´on entre integral y derivada mediante la funci´on ´area D.2.1. La funci´on ´area. Vamos a estudiar en esta secci´on, el comportamiento del ´area bajo una curva de una funci´on f: [a, b]→lR, en el caso de que hagamos variar el extremo derecho de integraci´on; es decir estudiamos el ´area Rx af(x)dx. Concretamente definimos: Definici´on D.8 Dada una funci´on continua f: [a, b]→lR, se denomina funci´on integral o funci´on ´area asociada a fa la funci´on: Af: [a, b]−→ lR x7−→ Rx af(x)dx (23) Una primera observaci´on que puede realizarse es que si la funci´on de partida es positiva (f(x)≥0) entonces, por las propiedades de la integral, la funci´on ´area es creciente. En efecto, si x1≤x2, por las propiedades del ´area (Ver Anexo A),se deduce inmediatamente que Af(x1)≤ Af(x2). Con la ayuda del software Geogebra puede visualizarse el comportamiento de la funci´on Af(x); primeramente para funciones afines o cuadr´aticas y a continuaci´on para funciones m´as complicadas. Para ello planteamos el siguiente problema: Problema D.15 Considera la funci´on f(x) = x 4+ 1 cualquiera. Se pide: (a) Dibuja la funci´on en un intervalo cualquiera, por ejemplo el [0,4]. (b) Obt´en una expresi´on de la funci´on ´area Af(x)utilizando un procedimiento geom´etrico, en el intrvalo [0, x]. ¿Cu´al es el valor Af(4)? (Ayuda: Calcula el ´area del trapecio que forma la figura) (d) Representa graficamente la funci´on ´area en el intervalo [0,4]. (d) Si derivas la funci´on Af(x)obtenida en el apartado (b), ¿qu´e relaci´on encuentras entre la derivada de la funci´on ´area A0 f(x)y la funci´on de partida f(x)? ¿qu´e conclusi´on obtienes? 24 Los alumnos pueden utilizar el software Geogebra, (en concreto el applet de Sada2 (2007)) para dibujar una funci´on cualquiera f(x) y su funci´on ´area, y adem´as obtener la derivada de esta funci´on para verificar e teorema fundamental del c´alculo. Se puede plantear mediante la siguiente secuencia de actividades: Problema D.16 Considera la funcion af´ın del problema anterior f(x) = x 4+ 1 y utiliza el programa de Geogebra de Sada2 (2007). Se pide: (a) ¿Qu´e representa el ´area sombreada en el intervalo [0,4]? (b) Mueve el punto Bpara visualizar el valor de Af(3) = R3 0f(x)dx y el valor de la funci´on ´area Af(x). (c) Compara los valores obtenidos del Area y de la funci´on ´area con los resultados del problema anterior. ¿Qu´e ocurre si derivas la funci´on ´area Af(x)bajo la curva de la funci´on f(x)? Figura 10: Funci´on ´area bajo f(x) = x 4+ 1 Hemos resuelto el mismo problema D.15 y D.16, utilizando procedimientos distintos: mediante lapiz y papel y con el uso de Geogebra. Antes de presentar el teorema fundamental del c´alculo integral, vamos a conjeturarlo con otros ejemplos de funciones; por ejemplo, el caso de la par´abola que hemos trabajado ampliamente: Problema D.17 Un avi´on comienza a despegar en la pista de aterizaje con una aceleraci´on de tipo lineal: a(t) = 2 500 ·t metros/segundo2. Se pide: (a) Prueba con la ayuda de una figura que la funci´on ´area de la aceleraci´on es una funci´on parab´olica Aa(t) = 1 500 t2. ¿Qu´e representa? (b) ¿Cu´al es la velocidad v(t)del avi´on? ¿Cu´al es la velocidad del avi´on a los 30 segundos? 25 Tambi´en es importante una interpretaci´on adecuada de ´areas “negativas”. Normalmente a los alumnos les resulta extra˜no que las ´areas puedan ser negativas, cuando la gr´afica de la funci´on corta al eje de abscisas. Es claro que esto es as´ı, ya que las ordenadas de la funci´on en estos puntos es negativa y entonces el ´area calculada de las funciones escalonadas superiores e inferiores es negativa. Un posible ejemplo es: Problema D.21 Un recipiente se llena de agua durante 2horas mediante un grifo que tiene una velocidad de llenado de c(t) = 2t−t2litros/hora, y a continuaci´on se vac´ıa agua del recipiente a una velocidad de v(t) = t2−6t+ 8 litros/hora durante las 2horas siguientes. Se pide: (a) Dibuja la gr´afica de velocidad de llenado y vaciado respecto al tiempo. (b) Calcula los litros de agua con los que se llena el recipiente. (c) Calcula de manera an´aloga los litros de agua que se vac´ıan de el recipiente. (d) ¿Est´a vac´ıo el recipiente al final del proceso? Interpreta el area total bajo la gr´afica velocidadtiempo. El profesor explica que en este ejemplo el ´area bajo la curva representa justo los litros de agua que hay en el recipiente; y por lo tanto consta de los litros de agua con los que se ha llenado, restando los litros de agua con los que se ha vaciado. Puede constatarse finalmente que para cualquier funci´on f: [a, b]→lR se verifica: Zb a [−f(x)]dx =−Zb a f(x)dx (33) Lo cual puede constatarse primero para cualquier funci´on f(x)≥0 y a continuaci´on para una funci´on cualquiera descomponiendo en los intervalos en los que la funci´on es positiva y negativa. D.3. Metodolog´ıa en el aula El art´ıculo 17 de la ORDEN de 1 de julio de 2008, del Departamento de Educaci´on, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el curr´ıculo del Bachillerato y se autoriza su aplicaci´on en los centros docentes de la Comunidad aut´onoma de Arag´on (BOA, 17/07/2008, p.13925) establece los “principios metodol´ogicos generales” v´alidos para todas las materias de esta etapa. Seg´un el apartado “Introducci´on” de las asignaturas MATEM´ ATICAS I Y II (p.14072 del mismo texto legal), un listado de sugerencias metodol´ogicas que, a nuestro juicio, deber´ıan ser aplicadas en las clases de matem´aticas de estas dos asignaturas de Bachillerato, y a nuestro objeto matem´atico de estudio en particular, podr´ıan ser: 32 XIntroducir los conceptos mediante actividades de resoluci´on de problemas. Atender a la fenomenolog´ıa del concepto, incorporando todos los problemas o situaciones que dan sentido a dicho concepto. El planteamiento y resoluci´on de problemas o investigaciones en ´ambitos cient´ıficos ofrece al alumnado una visi´on integradora de las distintas ramas de la matem´atica, constituye un terreno id´oneo para aplicar los conceptos adquiridos a lo largo de sus estudios y permite desarrollar las destrezas y razonamientos necesarios para incrementar su grado de competencia al analizar situaciones contextualizadas en el mundo real. Adem´as, exige al alumno incrementar su habilidad para utilizar el lenguaje matem´atico con precisi´on y rigor, elaborar argumentos s´olidos para justificar sus resultados, valorar las ideas de otras personas, admitir y corregir los errores cometidos y estimular la inquietud cient´ıfica. XPoner de manifiesto la g´enesis hist´orica de los conceptos matem´aticos. Conocer el origen de algunos de estos problemas y la forma en que se resolvieron ayudar´a a los alumnos a comprender los conceptos matem´aticos y la utilizarlos en situaciones de la vida real. En nuestro caso, ya hemos observado que algunos conceptos y problemas relacionados con la integral definida, se ajustan con bastante precisi´on a su origen hist´orico. XEs claro que el objeto matem´atico que tratamos tiene fuertes aplicaciones en el mundo de la f´ısica; cualquier tipo de magnitud que ”fluye”, o cambia respecto al tiempo, o respecto al espacio, o cualquier proceso evolutivo es susceptible de aplicaci´on del c´alculo integral. En todas esas aplicaciones el area bajo una curva tiene diferentes interpretaciones f´ısicas concretas de gran utilidad, como hemos visto en diferentes ejemplos, o tambi´en en otros ´ambitos como biolog´ıa o estad´ıstica. Se podr´ıan coordinar las primeras actividades con el profesor de f´ısica, (por ejemplo, es conocido que en algunos planes de estudios de determinados paises, las clase de matem´aticas y f´ısica est´an unidas y las imparte el mismo profesor). XUtilizar los medios tecnol´ogicos: calculadoras, hojas de c´alculo o programas estad´ısticos. En nuestro caso, utilzaremos programas de geometr´ıa din´amica mediante el softwre Geogebra. Comentaremos a continuaci´on brevement este software: GeoGebra es un software para las matem´aticas que provee instrumentos para el estudio de geometr´ıa, ´algebra y an´alisis, dirigido a la ense˜nanza de las matem´aticas en la escuela primaria y secundaria. De una parte GeoGebra es un sistema de geometr´ıa din´amica. Se pueden construir puntos, vectores, segmentos, rectas, c´onicas y funciones, modific´andolas en tiempo real. Por otra parte, tambi´en pueden insertarse directamente ecuaciones y coordenadas. As´ı, GeoGebra tiene la posibilidad de tratar variables num´ericas, vectores y puntos, y cuenta con varios operadores. GeoGebra es un programa particularmente interesante por varios motivos que vamos en seguida a enumerar: 33 XGeogebra es un software free, que por lo tanto puede ser libremente aconsejado a los estudiantes, sin que exija un desembolso econ´omico. Adem´as las actualizaciones pueden ser buscadas y descargadas de manera autom´atica del software mismo, y esto evita el tener que estar pendiente de conseguir la ´ultima versi´on. El hecho de que sea un producto gratuito no es s´olo importante por motivos econ´omicos, sino tambi´en porque difunde una correcta cultura relativa a los recursos para el ordenador, reduciendo el fen´omeno de la pirater´ıa inform´atica. XGeogebra tiene una interfaz gr´afica que contempla todas aquellas operaciones que ya se han convertido en un est´andar en este campo, y al mismo tiempo nos permite realizaciones muy sofisticadas, previendo una serie de instrucciones tratables con la ventana de input. XLa interacci´on entre las construcciones geom´etricas, (con “regla y comp´as”), las operaciones algebraicas, algunas operaciones elementales del an´alisis, gr´aficos de funciones, etc´etera, adem´as de dar la posibilidad de usar algunos algoritmos, como los que buscan intersecciones entre gr´aficos, permite conectar ideas de diferentes “campos de las matem´aticas”. Por ese motivo creemos que este software es muy ´util para la ense˜nanza de las matem´aticas. En el caso espec´ıfico de la integral definida, geogebra nos permite dibujar las funciones con una precisi´on que no se puede conseguir en la pizarra, adem´as permite visualizar las ´areas y crear applets de geometr´ıa din´amica que permiten comprender mejor los procesos de paso al l´ımite. Como metodolog´ıa general, se intentar´a tratar el objeto matem´atico “integral definida” utilizando el mayor n´umero de ejemplos posible, se intentar´a dar explicaciones te´oricas adecuadas y se procurar´a involucrar a toda la clase. Se supone que en un 2ocurso de bachillerato cient´ıfico el alumnado estar´a motivado para el estudio. De todos modos, se propondr´an unas primeras clases de motivaci´on, considerando distintos gr´aficos velocidad-tiempo en diferentes contextos para relacionar el objeto matem´atico con el mundo real. Se introducir´an ejercicios, que se resuelven parcialmente en clase, asignando tareas a los estudiantes, para que los trabajen e intenten por s´ı mismos, tanto dejando alg´un tiempo para ello en clase como para que los trabajen particularmente en su casa. Esto facilita un proceso de detecci´on de errores, retroalimentaci´on (“feedback”), y resoluci´on de dudas. Se procurar´a que tengan m´as peso los razonamientos geom´etricos e intuitivos que los puramente formales. “En cuanto a la metodolog´ıa, proponemos que pierdan peso el formalismo y los m´etodos deductivos y que lo vayan ganando los razonamientos geom´etricos y num´ericos as´ı como los m´etodos inductivos.” Azc´arate (1996 p.124) 34 En todas las actividades se intentar´a seguir un proceso de aprendizaje significativo. A partir de las ideas que previamente tengan concebidas de ´area, l´ımite, continuidad y derivabilidad, se intentar´a dar consistencia a esas ideas o corregir posibles errores, o completar con nuevos puntos de vista, o nuevas perspectivas en el uso de dichos conceptos para introducir el nuevo objeto matem´atico. Despu´es de cada problema introductorio, se institucionalizar´a el objeto matem´atico, se har´an ejemplos, y se dar´an ejercidos para resolver en el aula y en casa. Como hemos comentado anteriormente, tratar´emos este tema utilizando Geogebra, un software open source (gratuito) para la ense˜nanza de las matem´aticas, que en este caso nos permite dibujar las funciones, las ´areas comprendidas entre funciones y ejes, etc. y veremos que efectivamente resulta de gran utilidad, no s´olamente para obtener una mejor visi´on espacial y geom´etrica de los conceptos; sino tambi´en para una resoluci´on m´as apropiada de los problemas , y para una justificaci´on m´as apropiada de las definiciones utilizadas. E. Las T´ecnicas La princial t´ecnica que aparece en el campo de problemas D.1 (c´alculo del ´area bajo la gr´afica de una funci´on) consiste en el c´alculo de dicha ´area mediante aproximaciones sucesivas con rect´angulos de base los intervalos de una subdivisi´on del intervalo de definici´on de partida, y altura, los m´aximos y m´ınimos que alcanza la funci´on en dichos subintervalos. Dichas aproximaciones sucesivas, en un proceso de paso al l´ımite cuando el n´umero de subintervalos de la subdivisi´on tiende a infinito, converge al ´area busqueda. Esta idea intuitiva aparentemente sencilla, necesita ser dirigida paso a paso, para preveer dificultades y evitar posibles erores. Con la ayuda del software Geogebra, se puede programar facilmente un peque˜no programa o applet que permite el c´alculo, de las sumas superiores e inferiores bajo la gr´afica de una funci´on positiva y continua dada. Adem´as con la ayuda de un deslizador se puede aumentar el tama˜no de la partici´on y el programa automaticamente dibuja la variaci´on de las sumas superiores e inferiores y se visualiza perfectamente su convergencia al valor real de la integral. Los alumnos pueden introducir una funci´on cualquiera, variar con el rat´on el intevalo de definici´on y mover el deslizador para aumentar el tama˜no de la partici´on. Esto facilita la comprensi´on del proceso de paso al limite seguido para definir la integral de una funci´on continua cualquiera. Veamos un gui´on para la construcci´on con Geogebra de este applet, Ver Sada1 (2007): APPLET E.1 Planteamos seguir el siguiente proceso: ♣Abre un nuevo documento Geogebra en el que est´en habilitados los ejes coordenados. ♣Introduce con el teclado una funci´on, por ejemplo la par´abola f(x) = x2 4+2. El programa dibuja la gr´afica de la funci´on. 35 ♣Introduce con la funci´on “nuevo punto”del men´u, dos puntos que el programa denotar´a A yBy situalos en el eje de abscisas. Dichos puntos representan los l´ımites del intervalo de integraci´on. Puede comprobarse que dchos puntos pueden desplazarse facilmente con el rat´on. ♣Introduce con el teclado la orden: Integral[f(x), x(A), x(B)] El comando Integral est´a ya predifinido, el programa coloreara el recinto determinado bajo la curva de la funci´on f(x)y las rectas verticales determinadas por los puntos AyB, y guardar´a su valor num´erico en una variable a. Con la ayuda del bot´on derecho del rat´on podemos renombrar dicha variable con el nombre Integral. ♣Crea un “deslizador” con la ayuda del men´u. Introduce un rango de variaci´on desde 1 a100, con un salto de 1unidad y una anchura de 200 (al pinchar en deslizador con el rat´on, se abre una ventana donde se pueden introducir facilmente dichos par´ametros). Podemos situar el deslizador a la derecha de la gr´afica de la funci´on, renombrarlo con la letra ny comprobar que pinchando con el rat´on podemos variar el par´ametro na cualquier valor entre 0y100. ♣Introduce con el teclado la orden: SumaInferior[f(x), x(A), x(B)n] El comando SumaInferior[] tambi´en est´a predefinido, el programa dibujar´a los rect´angulos inferiores de amplitud la longitud del intervalo dividido por n, y guardar´a en una variable el valor num´erico de las sumas inferiores que representan las sumas de las ´areas de dichos rect´angulos. Podemos renombrar la variable y denominarla SumasInf. ♣Introduce con el teclado la orden: SumaSuperior[f(x), x(A), x(B)n] El comando SumaSuperior[] tambi´en est´a predefinido, el programa dibujar´a los rect´angulos superiores de amplitud la longitud del intervalo dividido por n, y guardar´a en una variable el valor num´erico de las sumas superiores que representan las sumas de las ´areas de dichos rect´angulos. Podemos renombrar la variable y denominarla SumasSup. ♣Introduce con el teclado la orden: SumaSuperior[f(x), x(A), x(B)n]−SumaInferior[f(x), x(A), x(B)n] El programa guardar´a en una variable el valor num´erico de la diferencia entre las sumas superiores y las sumas inferiores. Podemos renombrar la variable y denominarla Error. 36 ♣En el men´u podemos activar el apartado vista algebraica y podemos visualizar el valor de todas las variables que aparecen en el programa. Alternativamente, con el bot´on derecho del rat´on podemos ir a “propiedades del objeto 2 activar la opci´on “mostrar nombre y valor” y dichas variables aparecer´an escritas junto a la gr´afica con su nombre y valor. ♣Finalmnte con el deslizador podemos variar el valor del tama˜no de la partici´on npara comprobar como al aumentar n, los valores de las sumas superiores e enferiores se aproximan al valor de la integral y el error se hace cada vez menor. Podemos igualmente ajustar un cierto valor de npara obtener una aproximaci´on inferior a un error dado. ♣Igualmente podemos cambiar los l´ımites de integraci´on moviendo con el rat´on los puntos AyBa lo largo del eje de abscisas. Tambi´en podemos probar el applet con otras funciones diferentes. En el caso de que el c´alculo de las sumas superiores e inferiores y el paso al l´ımite se realize con l´apiz y papel, el alumno debe conocer t´ecnicas adecuadas para obtener f´ormulas de recurrencia de la suma de nt´erminos de una sucesi´on, conocer las propiedades b´asicas sobre desigualdades de expresiones algebraicas de n´umeros reales, y manejar las principales t´ecnicas de c´alculo de l´ımites. Sin embargo, la creaci´on por parte de los alumnos de sus propios applets de Geometr´ıa Din´amica; son en s´ı mismas actividades de gran riqueza conceptual. F. Las Tecnolog´ıas El profesor asumir´a la responsabilidad de justificar las t´ecnicas. Hemos visto que algunas de ellas requieren procesos de paso al l´ımite cuya rigurosa rigurosa obligar´ıa a emplear adecuadamente las definiciones de l´ımite, continuidad o derivabilidad y tienen un nivel de abstraci´on que o bien sale del nivel del curso o bien requerir´ıan un esfuerzo adicional que no a˜nadir´ıa una real percepci´on del concepto y por el contrario podr´ıa distraer al alumno en la compensi´on del concepto y en la realizaci´on de aplicaciones. En todo caso, la formulaci´on rigurosa de este tipo de conceptos, tendr´an oportunidad de estudiarlas en las asignaturas de An´alisis Matem´atico, todos aquellos alumnos que prosigan este tipo de estudios en cualquier carrera cient´ıfica o t´ecnica. Por el contrario una justificaci´on de tipo geom´etrico con la ayuda del software geogebra, del cual hemos hablado en D.3, puede resultar m´as atractiva, instructiva y enriquecedora. En todo caso, el el primer campo de problemas (D.1), la tecnolog´ıa empleada se detalla el el apartado D.1.8 (p.18) y en el segundo campo de problemas (D.2) tambi´en se explica la tecnolog´ıa usada en el apartado D.2.2 (p.27). 37 G. Secuencia Did´actica En esta propuesta se presenta la integral definida en 12-14 sesiones de una hora, mas una para la evaluaci´on final. El n´umero de sesiones depender´a tambi´en del nivel de aprendizaje que tiene el alumnado, es decir que el profesor tiene que adaptarse al ritmo de aprendizaje de la clase. Secuenciaci´on de actividades. Planteamos la siguiente serie de sesiones para introducir la unidad did´actica: ?Sesi´on 1: Evaluaci´on diagn´ostica incial sobre conocimientos previos. ?Sesi´on 2: Breve introduci´on sobre antecedentes hist´oricos y exposici´on de la raz´on de ser del objeto matem´atico. ?Sesi´on 3: C´alculo del Area bajo una curva en los casos triviales (lineal y af´ın) por m´etodos geom´etricos (Planteamiento y resoluci´on de los problemas D1-D6) ?Sesi´on 4: Estudio exhaustivo del c´aluclo del ´area bajo un arco de par´abola. Planteamento de los problemas D7 y D8. Resoluci´on por los alumnos en clase del problema D7 usando l´apiz y papel, en agrupaciones de tres o cuatro estudiantes y dirigidos por el profesor. ?Sesi´on 5: Resoluci´on por el profesor en la pizarra del problema D8. Explicaci´on de la utilizaci´on adecuada de las f´ormulas de ayuda. ?Sesi´on 6: Utilizaci´on del software Geogebra en un aula de inform´atica para la programaci´on del applet E1 de Sada1 (2007). Los alumnos pueden tambi´en realizar por ellos mismos esta actividad en su casa usando sus propios ordenadores personales, descargandose el software libre Geogebra. ?Sesi´on 7: Institucionalizaci´on del concepto de integral definida por parte del profesor. El profesor puede definir los principales conceptos y hacer uso del aplet de Sada1 (2007) para justificar el concepto de integral definida haciendo uso por ejemplo del problema D12. ?Sesi´on 8: Pueden plantearse como ejercicio personal del alumno los problemas D10 y D11. El profesor puede corregir y ayudar en una puesta en com´un de la resoluci´on del problema D11. Plantear los porblemas D13 y D14 como ejemplos adicionales de tipo aplicado. ?Sesi´on 9: Definici´on de la funci´on ´area y c´alculo de la funci´on ´area en alg´un caso de forma geom´etrica. Por ejemplo en el problema D15. ?Sesi´on 10: Uso del software de Geogebra Sada2 (2007), para calcular funciones ´area de funciones diversas. Resoluci´on en el aula de inform´atic del problema D16, para motivar el teorema fundamental del c´alculo. 38 ?Sesi´on 11: Demostraci´on en la pizarra por el profesor del teorema fundamental del c´alculo utilizando razonamientos geom´etricos. El profesor puede plantear el uso de Sada2 (2007) para analizar diversos ejemplos y situaciones. ?Sesi´on 12: Planteamiento y resoluci´on en com´un de los problemas de tipo aplicado D17, D18 y D19. ?Sesi´on 13: Motivaci´on e institucionalizaci´on de las propiedades de la integral, la regla de Barrow y el teorema del valor medio. Se usar´an para ello los problemas D20 y D21. Temporalizaci´on: Puede utilizarse aproximadamente una hora de clase para cada una de las sesines presentadas. En todo caso, esta subdivisi´on no tiene porque ser rigurosa, y puede adaptarse a las circunstancias del grupo-clase y de las actividades realizadas en cada sesi´on. H. Evaluaci´on Adem´as de una evaluaci´on diagn´ostica, que carece de calificaci´on, se realizar´a una evaluaci´on formativa, seg´un los m´etodos que sugiere Morales (2010). Para ello es conveniente, en una o dos ocasiones a lo largo de la unidad realizar algunos tets de preguntas cortas (quizzes), que pueden ser preguntas Verdadero/Falso, elecci´on m´ultiple, etc, para asegurar el seguimiento de los alumnos, corregir posibles errores o para proporcionar un feedback. Dichos tets pueden ser simplemente orientativos, sin tener repercusi´on en la nota final. Igualmente, como hemos comentado a lo largo del trabajo, el uso de applets con el software Geogebra es fundamental, tanto para introducir los conceptos como para entender y justificar las t´ecnicas. En este sentido, es bueno utilizar una sesi´on de clase pr´actica en el aula de inform´atica, para realizar un ejercicio de evaluaci´on. Un posible ejercicio de evaluaci´on en la sala de ordenadores podr´ıa ser: Problema H.1 Considera la funci´on real de variable real f(x) = exp(x). Con la ayuda de Geogebra, se pide: (a) Programa el applet de la secci´on (E) utilizando esta funci´on. (b) Anota en una tabla las aproximaciones al ´area bajo la curva en un intervalo [−2,2] para los valores n= 5,10,30,60, y 100. Para ello utiliza el deslizador. (c) Haz una tabla con los datos de la funci´on dada usando los valores de las sumas superiores, sumas inferiores e integral total, para n= 10. (d) Utiliza el segundo applet de Sada, para calcular la funci´on ´area. Comprueba que la funci´on ´area es F(x) = exp(x)−1 (e) Calcula la derivada de la funci´on ´area. 39 Al finalizar la unidad did´actica se realizar´a una prueba escrita de una hora aproximada de duraci´on, para conocer el grado de aprendizaje de los alumnos. Esta prueba corresponde a la evaluaci´on final o evaluaci´on sumativa. En dicha prueba deber´ıa aparece alg´un problema contextualizado de tipo pr´actico extraido de la f´ısica, otras ciencias o de la vida real, alg´un proceso de aproximaci´on al ´area bajo una curva, y finalmente alguna aplicaci´on o consecuencia del teorema fundamental del c´alculo o de la regla de Barrow. En la prueba escrita convencional que los alumnos reslver´an con l´apiz y papel y la ayuda de la calculadora proponemos dos problemas que se corresponden con los dos campos estudiados: Problema H.2 Considera la par´abola y=x3, en el intervalo [0,5]. Considera una partici´on en nsub-intervalos y dibuja las funciones escalonadas superiores e inferiores. Observa que en cada rect´angulo, la diferencia del rect´angulo de la funci´on escalonada superior y el de la inferior, puede desplazarse a la derecha en un ´unico rect´angulo que mide la diferencia de ´area entre la suma suprior y la inferior. Se pide: (a) ¿La altura de dicho rect´angulo depende del tama˜no de la partici´on n? (b) ¿La base del rect´angulo depende de n? Calcula la base de dicho rect´angulo para diferentes valores de n. Por ejemplo n= 10,20,50, . . . 100 (c) Obt´en una f´ormula para la diferencia entre las sumas superiores e inferiores dependiendo del valor n. (d) Identifica la relaci´on entre el ´area de dicho rect´angulo y el error m´aximo cometido al aproximar el ´area. (e) Si el error m´aximo es 0,1. ¿Cu´antos intervalos tienes que coger? (f) ¿y si es 0,01? ¿Podr´ıas encontrar un procedimiento para determinar un valor de nque permita calcular el ´area con un error menor que un n´umero tan peque˜no como se quiera? Problema H.3 La velocidad de llenado de una vasija mediante un grifo de agua es v(t) = 2t−t2litros/hora. Contesta a las siguientes cuestiones: (a) Dibuja una gr´afica velocidad/tiempo de la funci´on velocidad. ¿Qu´e interpretaci´on tiene el ´area bajo la gr´afica? (b) Calcula una f´ormula que indique la cantidad de litros de agua que hay en la vasija en un instante tcualquiera. ¿Qu´e relaci´on tiene con la funci´on ´area? (Auuda: utiliza las propiedades de la integral) (c) Si la vasija se llena durante 2horas ¿Cu´al es la cantidad de agua final? (d) Prueba que la velocidad de llenado del grifo es la derivada de la cantidad de agua en un instante trespecto del tiempo. ¿En que instante dicha velocidad alcanza un m´aximo? 40 H.1. Aspectos a evaluar Nos interesa especialmente que los alumnos sepan interpretar los problemas contextualizados. En el primer porblema nos interesa que sepan interpretar el proceso de convergencia de las sumas inferiores y superiores, que entiendan porque las sucesiones de n´umeros que representan las sumas superiores para un valor gen´erico nconvergen al valor del ´area. En ese sentido el primer problema es ilustrativo, ya que el c´alculo del ´area del rectangulo pedido es justo el error de aproximaci´on. Los alumnos deben entender que el ´area de dicho rect´angulo se hace tan peque˜na como queramos cuando ntoma valores grandes, y en general para un n´umero suficientemente grande ese error ser´a despreciable. En ese sentido el apartado (f) es carcter´ıstico para entender estos conceptos. Es interesante que puedan obtener una aproximaci´on lo suficientemente buena para que el error sea menor que uno prefijado. En el segundo problema nos interesa tanto la interpretaci´on f´ısica de la funci´on ´area como una correcta interpretaci´on del teorema fundamental del c´alculo. H.2. Respuestas esperadas Se espera que haya gran n´umero de respuestas correctas en los apartado (a) y (b) del primer porblema, dado su sencillez. Es posible que los alumnos empiezen a cometer errores num´ericos en el apartado (c) y (d) y que muchos no sepan interpretar adecuadamente los apartado (e) y (f). En el segundo problema, es posible que algunos alumnos no sepan realizar adecuadamente la gr´afica; aunque se espera que casi todos interpreten de forma adecuada la funci´on ´area y sepan calcularla a partir de integrales conocidas. Igualmente se espera que sepan calcular el ´area total bajo la curva. Es posible que algunos de ellos no sepan interpretar adecuadamente el teorema fundamental del c´alculo que se indica en el apartado (d). H.3. Criterios de Calificaci´on Se valorara on 0,1 puntos cada subapartado de ambos problemas. Se tendr´a mas en cuenta una adecuada interpretaci´on geom´etrica y del contexto que alg´un error de poca importancia en los c´alculos. La evaluaci´on continua constar´a de la prueba con el software Geogebra, mas algunas observaciones de comportamiento, participaci´on o control que realice el profesor; ponderar´a un 20 % de la nota final. El examen final tendr´a un peso de un 80 % en la evaluaci´on total de la unidad did´actica. 41 C.3. Regla del trapecio En cada sub-intervalo [xi−1, xi], se considera el ´area del trapecio de altura ∆xiy bases las ordenadas en los extremos del intervalo yi−1=f(xi−1) y yi=f(xi). Con lo cual se obtiene: l´ım n→∞ n X i=1 1 2(f(xi−1) + f(xi))δxi≈Zb a f(x)dx (36) Podemos proponer a los alumnos alg´un ejercicio contextualizados en los que calculen aproximaciones al ´area; por ejemplo: Problema C.2 Estimar la distancia recorrida por un tren desde que empieza a frenar hasta que se para, sabiendo que empieza a frenar cuando circula a una velocidad de 20 metros/segundo, y que la velocidad del tren en este proceso viene dada pr la funci´on v(t) = 20 −0,2t2. Utiliza la regla del trapecio, usando intrvalos de 2segundos. D. Resoluci´on de algunos problemas Veamos las resoluciones de algunos de los problemas planteados a lo largo del trabajo: Problema D.7 Solucci´on: Los apartados (b) y (c) son de tipo geom´etrico. Pueden visualizarse con Geogebra. Para n= 4 la base de los rect´angulos es 1 unidad, luego las sumas inferiores es la suma de los m´ınimos en cada subintervalo y las sumas superiores la suma de los m´aximos. En concreto se tiene que las sumas inferiores y superiores valen: Sinf = 0 + 1 + 4 + 9 = 14 Ssup = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 y entonces obtenemos una primera apoximaci´on: 14 ≤Z4 0 x2dx ≤30 Para n= 8 la base de los rect´angulos vale 1 2, y las sumas inferiores valen: Sinf =1 2(0 + 1 4+ 1 + 9 4+ 4 + 25 4+ 9 + 49 4) = 1 8(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49) = 140 8=70 4=35 2 mientras que las sumas superiores valen: Ssup =1 2(1 4+1+ 9 4+4+ 25 4+9+ 49 4+16) = 1 8(1+4+9+16+25+36+49+64) = 204 8=102 4=51 2 48 luego la nueva aproximaci´on es: 35 2≤Z4 0 x2dx ≤51 2 esto es: 17,5≤Z4 0 x2dx ≤25,5 Como observamos, hemos mejorado la aporximaci´on al doblar el n´umero de intervalos. Con n= 40 se obtendr´ıan 40 subintervalos de longitud 1 10 y se obtendr´ıa: Sinf =1 1000(1 + 22+ 32+···+ (39)2) = 1 1000(39 ·40 ·79 6) = 121680 6000 = 20,28 mientras que las sumas superiores pueden calcularse como: Ssup =1 1000(1 + 22+ 32+···+ (39)2+ 402) = 1 1000(40 ·41 ·89 6) = 132840 6000 = 22,14 y obtenemos ya una aproximaci´on mucho m´as precisa: 20,28 ≤Z4 0 x2dx ≤22,14 Problema D.8 Solucci´on: Si ahora consideramos la misma par´abola del problema anterior, y un caso gen´erico de una partici´on en 4nsubintervalos de longitud 1 n, por la regularidad observada en el problema anterior, tenemos: S(n)inf =1 n3(12+ 22+ 32+···(4n−1)2) = 1 n3 (4n−1) ·(4n)·(8n−1) 6=128n3−32n2+ 4n 6n3 Si ahora realizamos el l´ımite cuando n→ ∞ obtenemos: l´ım n→∞ S(n)inf = l´ım n→∞ 128n3−32n2+ 4n 6n3=128 6=64 3 Analogamente podemos operar con las sumas superiores y obtenemos: S(n)sup =1 n3(12+22+32+···(4n−1)2+(4n)2) = 1 n3 (4n)·(4n+ 1) ·(8n+ 1) 6=128n3+ 32n2+ 4n 6n3 Si ahora realizamos el l´ımite cuando n→ ∞ obtenemos el mismo l´ımite, como era de esperar: l´ım n→∞ S(n)sup = l´ım n→∞ 128n3+ 32n2+ 4n 6n3=128 6=64 3 y en consecuencia se tiene: Z4 0 x2dx =64 3= 21,33 49 Problema D.10 Solucci´on: Los m´aximos y m´ınimos de la funci´on f(x) = 1 + cos(x) en [0,π 4] y en [π 4, π] valen: m1=2 + √2 2, m2= 0 M1= 2, M2=2 + √2 2 luego las sumas superiores e inferiores valen: Sinf =π 4·2 + √2 2+ 3π 4·0 = π(2 + √2) 8 Ssup =π 4·2+3π 4·2 + √2 2=π(10 + 3√2) 8 y la aproximaci´on es: π(2 + √2) 8≤Zπ 0 (1 + cos(x))dx ≤π(3√2 + 10) 8 Si tomamos una partici´on en 6 subintervalos de longitud π 6, los m´ınimos son: m1=2 + √3 2m2=3 2, m3= 1, m4=1 2, m5=2−√3 2, m6= 0 y los m´aximos son: M1= 2, M2=2 + √3 2M3=3 2, M4= 1, M5=1 2, M6=2−√3 2 con lo que las sumas inferiores y superiores valen: Sinf =π 62 + √3 2+3 2+1+1 2+2−√3 2+ 0=π 12 ·10 = 5π 6 Ssup =π 62 + 2 + √3 2+3 2+1+1 2+2−√3 2=π 12 ·14 = 7π 6 y dado que la integral buscada vale π, tambi´en es una primera aproximaci´on de π, esto es: 5π 6≤Zπ 0 (1 + cos(x))dx ≤7π 6 y por tanto se tiene: 5π 6≤π≤7π 6 Para obtener una aproximaci´on con intervalos de longitud π 12 puede utilizarse Geogebra o una calculadora cient´ıfica. 50 Problema D.11 Solucci´on: Las sumas inferiores vienen dadas por: Sinf =1 52√6 5+√21 5+4 5+3 5=1 25(7 + 2√6 + √21) Ssup =1 51 + 2√6 5+√21 5+4 5+3 5=1 25(12 + 2√6 + √21) y multilicando por 4 se obtiene la aporximaci´on de π: 4 25(7 + 2√6 + √21) < π < 4 25(12 + 2√6 + √21) ⇒2,63 < π < 3,43 La generalizaci´on a un n´umero nes inmediata. Para valores de nmayores de 5 puede utilizarse Geogebra. Problema D.15 Solucci´on: El recinto que forma el ´area encerrada bajo la curva es un trapecio de altura xy bases 1 y x 4+ 1; luego la funci´on ´area vale: Af(x) = x 2(x 4+ 1 + 1) = x2+ 8x 8=x2 8+x Se observa que la funci´on ´area es una par´abola convexa respecto al eje OX. Si derivamos la funci´on ´area obtenemos: A0 f(x) = x 4+ 1 = f(x) recuperamos la funci´on f(x) de partida. Problema D.17 Solucci´on: Como la funci´on aceleraci´on es lineal, el recinto encerrado bajo la curva en un intervalo [0, t] es un tri´angulo de base ty altura 2 500 tluego la funci´on ´area es: Aa(t) = 2 500t2 Como la aceleraci´on es la variaci´on de la velocidad con respecto del tiempo, el ´area encerrada bajo la gr´afica representa la velocidad, y la funci´on ´area representa la funci´on velocidad 51 respecto del tiempo. Si derivamos la funci´on velocidad con respecto del tiempo v0(t) = 2 500 t2a(t), recuperamos la funci´on aceleraci´on. En un tiempo t= 30 segundos, la velocidad del avi´on ser´a: v(30) = 900 500 =9 5metros/segundo = 1,8·3,6kil´ometros/hora = 6,48 kil´ometros/hora La funci´on ´area de la funci´on velocidad es: Av(t) = Zt 0 v(t) = Zt 0 t2 500dt =1 3 1 500t3=1 1500t3 Como la velocidad es la variaci´on del espacio con respecto al tiempo, el ´area encerrada bajo la gr´afica de la funci´on velocidad representa el espacio, y la funci´on ´area representa la funci´on espacio respecto del tiempo s(t). El espacio recorrido en 3 minutos = 180 segundos es: s(180) = 1803 1500 =58320 15 = 3,888 metros = 3,88 Kil´ometros Mientras que la velocidad de despegue del avi´on es: v(180) = 1802 500 =32400 500 = 64,8metros/segundo = 233,28 kil´ometros/hora que es la velocidad de despegue habitual en un avi´on de tama˜no medio. Problema D.18 Solucci´on: Con el uso de Geogebra se obtiene que la funci´on ´area de f(x) = 1 xes la funci´on logaritmo F(x) = ln(x). Si derivamos la funci´on logaritmo, recuperamos la funci´on de partida. Problema D.19 Solucci´on: Analogamente, con la ayuda de Geogebra los alumnos pueden obtener que la funci´on ´area de E(x) = 1 + cos(x) es: V(x) = Zx 0 (1 + cos(x))dx =x−sin(x) La diferencia de potencial ente A= 2kπ yB= 2(k+ 1)πvale: VB−VA= 2π 52 Problema D.21 Solucci´on: La ´area bajo la curva es justo el caudal de agua que hay en el recipiente en un momento dado. La cantidad de agua de llenado es: R2 0(2t−t2)dt = [t2]2 0−1 3[t3]2 0 = 4 −8 3=4 3= 1,33 litros Mientras que el caudal de agua vaciado es: R4 2(t2−6t+ 8)dt =1 3[t3]24−3[t2]4 2+ 8[t]4 2 =64−8 3−48 + 12 + 32 −16 = 56 3−20 = −4 3=−1,33 litros Efectivamente, el caudal de agua vaciado es igual al caudal de agua llenado y al final el recipiente queda vac´ıo. 53