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Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es Proyecto Fin de Carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto Antonio Sánchez Anoro Director/es y/o ponente Santiago Baselga Ariño Ponente Javier Óscar Abad Blasco Escuela de Ingeniería y Arquitectura Año 2013 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 1 Índice general Índice general .............................................................................................................................................. 1 Índice de ilustraciones ................................................................................................................................. 3 Índice de cuadros ......................................................................................................................................... 5 1. Introducción .......................................................................................................................... 9 1.1. Modelo de Anderson y Loewenthal (artículo 1) _________________________________________ 10 1.2. Modelo de Shipley (artículo 4) ______________________________________________________ 19 1.3. Modelo de Buckingham (artículo 4) __________________________________________________ 23 1.4. Modelo de Anderson y Loewenthal (artículo 4) _________________________________________ 29 1.5. Modelo de Merritt (artículo 4) ______________________________________________________ 35 2. Diseño de experimentos ....................................................................................................... 39 2.1. Introducción _____________________________________________________________________ 39 2.2. Diseños empleados _______________________________________________________________ 43 2.2.1. Diseño con 4 factores .................................................................................................................. 43 2.2.2. Diseño con 3 factores .................................................................................................................. 46 2.2.3. Método MEDA ............................................................................................................................. 48 2.3. Aplicación al Modelo de Anderson y Loewenthal (artículo 1) ______________________________ 51 2.3.1. Pérdida de potencia ..................................................................................................................... 53 2.3.2. Aplicación del diseño de experimentos ....................................................................................... 58 2.4. Aplicación al Modelo de Shipley (artículo 4) ____________________________________________ 61 2.4.1. Pérdida de potencia ..................................................................................................................... 62 2.4.2. Aplicación del diseño de experimentos ....................................................................................... 63 2.5. Aplicación al Modelo de Buckingham (artículo 4) ________________________________________ 65 2.5.1. Pérdida de potencia ..................................................................................................................... 66 2.5.2. Aplicación del diseño de experimentos ....................................................................................... 69 2.6. Aplicación al Modelo de Anderson y Loewenthal (artículo 4) ______________________________ 71 2.6.1. Pérdida de potencia ..................................................................................................................... 72 2.6.2. Aplicación del diseño de experimentos ....................................................................................... 77 2.7. Aplicación al Modelo de Merritt (artículo 4) ____________________________________________ 81 2.7.1. Pérdida de potencia ..................................................................................................................... 82 2.7.2. Aplicación del diseño de experimentos ....................................................................................... 84 2.8. Conclusiones finales de los modelos________________________________________________87 2.8.1. Modelo de Anderson y Loewendal, artículo 1.........................................................................87 2.8.2. Modelo de Shipley, artículo 4................................................................................................89 2.8.3. Modelo de Buckingham, artículo 4..........................................................................................90 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 2 2.8.4. Modelo de Anderson y Loewendal, artículo 4.............................................................................91 2.8.5. Modelo de Merritt, artículo 4.....................................................................................................93 2.8.6. Conclusiones finales...............................................................................................................94 3. Anexos ................................................................................................................................. 99 3.1. Relaciones geométricas comunes a todos los modelos ___________________________________ 99 3.2. Tabla de variables _______________________________________________________________ 100 3.3. Explicación gráfica de las variables __________________________________________________ 101 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 3 Índice de ilustraciones ILUSTRACIÓN 1.1 Coeficiente de fricción promedio para aceites livianos derivados del petróleo. Entrada del aceite 120ºF (49ºC) para engranajes endurecidos, 45 SUS a 100ºF (38ºC)____________________________21 ILUSTRACIÓN 2.2 Gráfica de resultados_____________________________________________________54 ILUSTRACIÓN 2.3 Gráfica de resultados_____________________________________________________55 ILUSTRACIÓN 2.4 Gráfica de resultados____________________________________________________56 ILUSTRACIÓN 2.5 Gráfica de resultados_____________________________________________________57 ILUSTRACIÓN 2.6 Diagrama de pareto del modelo de Anderson & Loewendal art1____________________59 ILUSTRACIÓN 2.7 Diagrama de pareto del modelo de Shipley_____________________________________ 63 ILUSTRACIÓN 2.8 Gráfica de resultados____________________________________________________67 ILUSTRACIÓN 2.9 Gráfica de resultados____________________________________________________68 ILUSTRACIÓN 2.10 Diagrama de pareto del modelo de Buckingham________________________________69 ILUSTRACIÓN 2.11 Gráfica de resultados_____________________________________________________74 ILUSTRACIÓN 2.12 Gráfica de resultados______________________________________________________75 ILUSTRACIÓN 2.13 Gráfica de resultados____________________________________________________76 ILUSTRACIÓN 2.14 Gráfica de resultados_____________________________________________________77 ILUSTRACIÓN 2.15 Diagrama de pareto del modelo de Anderson & Loewendal art4___________________78 ILUSTRACIÓN 2.16 Gráfica de resultados___________________________________________________83 ILUSTRACIÓN 2.17 Gráfica de resultados____________________________________________________84 ILUSTRACIÓN 2.18 Diagrama de pareto del modelo de Merritt____________________________________85 ILUSTRACIÓN 2.19 Resultados de la pérdida de potencia del modelo del modelo de Anderson & Loewendal art1_______________________________________________________________________________88 ILUSTRACIÓN 2.20 Resultados de la pérdida de potencia del diseño de experimentos (función Y) del modelo de Anderson & Loewendal art1_____________________________________________________________88 ILUSTRACIÓN 2.21 Resultados de la pérdida de potencia del modelo del modelo de Shipley_____________89 ILUSTRACIÓN 2.22 Resultados de la pérdida de potencia del diseño de experimentos (función Y) del modelo de Shipley_____________________________________________________________________________89 ILUSTRACIÓN 2.23 Resultados de la pérdida de potencia del modelo del modelo de Buckingham_________90 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 4 ILUSTRACIÓN 2.24 Resultados de la pérdida de potencia del diseño de experimentos (función Y) del modelo de Buckingham_______________________________________________________________________91 ILUSTRACIÓN 2.25 Resultados de la pérdida de potencia del modelo del modelo de Anderson & Loewendal art4_______________________________________________________________________________92 ILUSTRACIÓN 2.26 Resultados de la pérdida de potencia del diseño de experimentos (función Y) del modelo de Anderson & Loewendal art4____________________________________________________________92 ILUSTRACIÓN 2.27 Resultados de la pérdida de potencia del modelo del modelo de Merritt_____________93 ILUSTRACIÓN 2.28 Resultados de la pérdida de potencia del diseño de experimentos (función Y) del modelo de Merritt___________________________________________________________________________94 ILUSTRACIÓN 2.29 Gráfica resumen de los resultados.95 ILUSTRACIÓN 2.30 Gráfica resumen de los resultados de la función Y______________________________97 ILUSTRACIÓN 3.31 Variables del engranajes_________________________________________________101 ILUSTRACIÓN 3.32 Viscosidades absolutas de los aceites SAE_____________________________________102 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 5 Índice de cuadros TABLA 1.1 Constantes empleadas en la ecuación 1.15__________________________________________18 TABLA 1.2 Variables principales ecuación 1.15________________________________________________18 TABLA 1.3 Constantes empleadas en la ecuación 1.25__________________________________________22 TABLA 1.4 Variables principales ecuación 1.25_______________________________________________22 TABLA 1.5 Constantes empleadas en la ecuación 1.26__________________________________________27 TABLA 1.6 Variables principales ecuación 1.26_______________________________________________27 TABLA 1.7 Constantes empleadas en la ecuación_____________________________________________33 TABLA 1.8 Variables principales ecuación___________________________________________________33 TABLA 1.9 Constantes empleadas en la ecuación 1.49___________________________________________38 TABLA 1.10 Variables principales ecuación 1.49______________________________________________38 TABLA 2.11 Combinaciones y sus variables (24)______________________________________________44 TABLA 2.12 Combinaciones y sus variables (28)_______________________________________________46 TABLA 2.13 Tabla de valores____________________________________________________________47 TABLA 2.14 Resolución de los cálculos por Excel______________________________________________48 TABLA 2.15 Variables fijas del modelo de Anderson & Loewendal art1_____________________________52 TABLA 2.16 Variables no fijas para el diseño de experimentos del modelo de Anderson & Loewendal art1_ 52 TABLA 2.17 Resultados pérdidas de potencia del modelo de Anderson & Loewendal art1_______________53 TABLA 2.18 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores de viscosidad absoluta__54 TABLA 2.19 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores de relación de transmisión_________________________________________________________________________55 TABLA 2.20 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del paso diametral_____56 TABLA 2.21 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del par de entrada______57 TABLA 2.22 Valores de las X del modelo de Anderson & Loewendal art1____________________________58 TABLA 2.23 Valores de los efectos del modelo de Anderson & Loewendal art1________________________58 TABLA 2.24 Resultados diseño de experimentos del modelo de Anderson & Loewendal art1_____________59 TABLA 2.25 Variables fijas del modelo de Shipley_____________________________________________61 TABLA 2.26 Variables no fijas para el diseño de experimentos del modelo de Shipley__________________61 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 6 TABLA 2.27 Resultados pérdidas de potencia del modelo de Shipley_______________________________62 TABLA 2.28 Valores de las X del modelo de Shipley_____________________________________________63 TABLA 2.29 Valores de los efectos del modelo de Shipley_______________________________________63 TABLA 2.30 Resultados diseño de experimentos del modelo de Shipley_____________________________64 TABLA 2.31 Variables fijas del modelo de Buckingham_________________________________________65 TABLA 2.32 Variables no fijas para el diseño de experimentos del modelo de Buckingham______________65 TABLA 2.33 Resultados pérdidas de potencia del modelo de Buckingham___________________________66 TABLA 2.34 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del paso diametral_____68 TABLA 2.35 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del radio primitivo______73 TABLA 2.36 Valores de las X del modelo de Buckingham________________________________________69 TABLA 2.37 Valores de los efectos del modelo de Buckingham___________________________________69 TABLA 2.38 Resultados diseño de experimentos del modelo de Buckingham_________________________70 TABLA 2.39 Variables fijas del modelo de Anderson & Loewendal art4_____________________________71 TABLA 2.40 Variables no fijas para el diseño de experimentos del modelo de Anderson & Loewendal art4_ 71 TABLA 2.41 Resultados pérdidas de potencia del modelo de Anderson & Loewendal art4_______________72 TABLA 2.42 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores de viscosidad absoluta__73 TABLA 2.43 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores de relación de transmisión_________________________________________________________________________74 TABLA 2.44 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del paso diametral_____75 TABLA 2.45 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del par de entrada______76 TABLA 2.46 Valores de las X del modelo de Anderson & Loewendal art4____________________________78 TABLA 2.47 Valores de los efectos del modelo de Anderson & Loewendal art4_______________________78 TABLA 2.48 Resultados diseño de experimentos del modelo de Anderson & Loewendal art4_____________79 TABLA 2.49 Variables fijas del modelo de Merritt_____________________________________________81 TABLA 2.50 Variables no fijas para el diseño de experimentos del modelo de Merritt__________________81 TABLA 2.51 Resultados pérdidas de potencia del modelo de Merritt_______________________________82 TABLA 2.52 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores de viscosidad cinemática__________________________________________________________________________83 TABLA 2.53 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del paso diametral_____84 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 7 TABLA 2.54 Valores de las X del modelo de Merritt______________________________________________85 TABLA 2.55 Valores de los efectos____________________________________________________________85 TABLA 2.56 Resultados diseño de experimentos del modelo de Merritt_____________________________86 TABLA 2.57 Resumen de las pérdidas de potencia_____________________________________________95 TABLA 2.58 Resumen de las pérdidas de potencia por el diseño de experimentos (función Y)____________96 TABLA 3.59 Variables del proyecto________________________________________________________100 TABLA 3.60 Valores de las constantes______________________________________________________101 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 8 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 15 Coeficiente de rozamiento establecido por Anderson y Loewenthal, sustituyendo la carga normal, la velocidad de rodadura, la velocidad de deslizamiento y aplicando las variables para el cambio de unidades del sistema anglosajón al sistema internacional:                                                               <<<<                                                                       −        − −                        −        +                             ≤≤                                                                       −        − −                        −        +                             = − − − − 4321 2 2 0 1 32 2 2 0 1 · ·1 · · ·· 1047.0 · · ··1·1047.0 ·· 1 · · ·cos · · ·log0127.0 · ·1 · · ·· 1047.0 · · ··1·1047.0 ·· 1 · · ·cos · ·2 · ·log0127.0 )( xxxyxxxsi P NC xx N N sen P NC n C C N N xxn N N C F C C C P NC T C xxxsi P NC xx N N sen P NC n C C N N xxn N N C F C C C P NC T C xf gp P p g pp p p p p g Pp p g p p LN LN pp p gp P p g pp p p p p g Pp p g p p LN LN pp p θ µ θ θ µ θ EC. 1.13 siendo f(x) coeficiente de rozamiento C1 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional Cp convierte pulgadas en metros (0,0254) CN-L convierte Newtons en libras (CN-L = 0.22473211) m0 viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas (Newton·s/m2) np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) F ancho de la cara del diente (metros) Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada Ng nº de dientes del engranaje de salida P paso diametral (nº dientes/pulgada) (ver aptdo. 0) Tp par transmitido (N·m) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 16 Fuerza de deslizamiento: la fuerza instantánea de fricción debido al deslizamiento de dos dientes de engranaje uno contra el otro, sustituyendo el coeficiente de rozamiento (esta ya sustituida como indicamos más arriba) y la carga normal del diente:                                                               <<<<                                                                       −        − −                        −        +                                                     ≤≤                                                                       −        − −                        −        +                                                     = − − − − 4321 2 2 0 1 32 2 2 0 1 · ·1 · · ·· 1047.0 · · ··1·1047.0 ·· 1 · · ·cos · · ·log ·cos · ·0127.0 · ·1 · · ·· 1047.0 · · ··1·1047.0 ·· 1 · ·cos · ·2 · ·log ·cos · ·2 ·0127.0 )( xxxyxxxsi P NC xx N N sen P NC n C C N N xxn N N C F C C C P NC T C P NC T xxxsi P NC xx N N sen P NC n C C N N xxn N N C F C C C P NC T C P NC T xF gp P p g pp p p p p g Pp p g p p LN LN pp p pp p gp P p g pp p p p p g Pp p g p p LN LN pp p pp p S θ µ θ θ θ µ θ θ EC. 1.14 siendo FS(x) fuerza de deslizamiento (Newtons) C1 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional Cp convierte pulgadas en metros (0,0254) CN-L convierte Newtons en libras (CN-L = 0.22473211) m0 viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas (Newton·s/m2) np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) F ancho de la cara del diente (metros) Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada Ng nº de dientes del engranaje de salida P paso diametral (nº dientes/pulgada) (ver aptdo. 0) Tp par transmitido (N·m) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 17 Pérdida de potencia por deslizamiento establecida por Anderson y Loewenthal, con todas sus variables sustituidas para proceder al cálculo en el diseño de experimentos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                                                               <<<<                                                                   −− −                −+                                                     −+ ≤≤                                                                   −− −                −+                                                     −+ = − − − − 4321 2 2 0 1 3 32 2 2 0 1 3 ·· ·1 · · ·· 1047.0 · · ··1·1047.0 ·· 1 · · ·cos · · ·log ··cos · ··1·1047.0· ·0127.0· ·· ·1 · · ·· 1047.0 · · ··1·1047.0 ·· 1 · ·cos · ·2 · ·log ··cos · ··1·1047.0··2 ·0127.0· )( xxxyxxxsi P NmC xxm sen P NC n CCm xxnm C F C C C P NC T C m P NC xxnmT C xxxsi P NmC xxm sen P NC n CCm xxnm C F C C C P NC T C m P NC xxnmT C xP pgp Pgpp p ppg Ppg p p LN LN pp p g pp Ppgp pgp Pgpp p ppg Ppg p p LN LN pp p g pp Ppgp S θ µ θ θ θ µ θ θ EC. 1.15 siendo C3 10-3 (convierte los Vatios en kilovatios) PS(x) Potencia perdida en deslizamiento (Kilovatios) C1 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional Cp convierte pulgadas en metros (0,0254) CN-L convierte Newtons en libras (CN-L = 0.22473211) m0 viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas (Newton·s/m2) np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) F ancho de la cara del diente (metros) Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada mg relación de transmisión entre los engranajes de entrada y salida (Ng/Np) P paso diametral (nº dientes/pulgada) (ver aptdo. 0) Tp par transmitido (N·m) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 18 Constante Significado Valor C 1 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional 29,66 C 3 convierte los Vatios en kilovatios 10-3 C p convierte pulgadas en metros 0,0254 C N-L convierte Newtons en libras 0,22473211 TABLA 1.1 Constantes empleadas en la ecuación 1.15 Variable Significado Unidades µ 0 viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas Newton·s/m2 θ ángulo de presión grados n p velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada rpm F ancho de la cara del diente metros N p nº de dientes del piñón o engranaje de entrada - m g relación de transmisión entre los engranajes en contacto - P paso diametral nº dientes/pulgada T p par transmitido N·m TABLA 1.2 Variables principales ecuación 1.15 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 19 1.2. Modelo de Shipley (artículo 4) Considera la pérdida de deslizamiento a través de la utilización de un coeficiente de fricción y de la geometría de la pareja de engranajes. Según Shipley, la ecuación para calcular la pérdida de potencia por deslizamiento: )(cos )(50 22 T S TS SHH HHf P+ + = θ EC. 1.16 siendo f coeficiente de rozamiento θ ángulo de presión (grados) HS deslizamiento específico al inicio de la aproximación de los dientes HT deslizamiento específico al final del encaje entre los dientes Deslizamiento específico al inicio de la aproximación de los dientes es: ( )               −        −         += θθ sincos1 2 1 2 2 g tg gS R R mH EC. 1.17 siendo mg relación de transmisión (Ng/Np) Rt,g radio exterior del engranaje de salida (metros) (ver aptdo. 0) Rg radio del engranaje de salida (metros) (ver aptdo. 0) θ ángulo de presión (grados) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 20 Deslizamiento específico al final del encaje entre los dientes es:               −        −                + = θθ sincos 12 1 2 2 p tp g g TR R m m H EC. 1.18 siendo mg relación de transmisión (Ng/Np) Rt,p radio exterior del piñón o engranaje de entrada (metros) (ver aptdo. 0) Rp radio del piñón o engranaje de entrada (metros) (ver aptdo. 0) θ ángulo de presión (grados) Deslizamiento específico al inicio de la aproximación de los dientes y el deslizamiento específico al inicio de la aproximación de los dientes, con las relaciones de transmisiones sustituidas por los números de dientes: ( ) ( )               −        −        + += θθ sincos 2 1 2 1 2 2 g g gS N N mH EC. 1.19 ( )               −        −        +        + = θθ sincos 21 2 1 2 2 p p g g TN N m m H EC. 1.20 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 21 ILUSTRACIÓN 1.1 Coeficiente de fricción promedio para aceites livianos derivados del petróleo. Entrada del aceite 120ºF (49ºC) para engranajes endurecidos, 45 SUS a 100ºF (38ºC) Las ecuaciones que relacionan estos coeficientes de fricción con la velocidad en la línea de contacto (pies/min) son: 0,0612 + ·v3·10 + ·v8·10 - ·v2·10 + ·v-2·10)800( P -6 2 P -9 3 P -12 4 P -16 == KelvinTf EC. 1.21 0,0535 ·v5·10 - ·v10 - 0,0003·v ·v5·10- (f_500))500( P -6 2 P -9 -13 P 4 P -18 ++=== KelvinTf EC. 1.22 0,0461 ·v9·10 - ·v10 ·v3·10 - ·v9·10 )200( P -6 2 P -9 3 P -14 4 P -18 ++== KelvinTf EC. 1.23 p dw ppP C CC RnV · ··= EC. 1.24 siendo Cw convierte revoluciones a rad (2p) Cd convierte pulgadas a pies (1/12) Cp convierte pulgadas en metros (0,0254) Rp radio primitivo del piñón o engranaje de entrada (metros) (ver aptdo. 0) np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 22 Así, la pérdida de potencia según Shipley, ecuación 1.16, una vez ya sustituidos todas las variables queda expresada de la siguiente manera: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                           −        −        +        + +               −        −        + +                                         −        −        +        + +                             −        −        + + = θθθθθ θθθθ sincos 21 sincos · 2· 1cos sincos 21 sincos · 2· 150 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 p p g g gp gp g p p g g gp gp g S N N m m mN mN m N N m m mN mN mf P EC. 1.25 siendo f coeficiente de rozamiento θ ángulo de presión (grados) Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada mg relación de transmisión (Ng/Np) Constante Significado Valor C w convierte revoluciones a rad 2p C d convierte pulgadas a pies 1/12 C p convierte pulgadas en metros 0,0254 TABLA 1.3 Constantes empleadas en la ecuación 1.25 Variable Significado Unidades θ ángulo de presión grados n p velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada rpm N p nº de dientes del piñón o engranaje de entrada - m g relación de transmisión entre los engranajes en contacto - P paso diametral nº dientes/pulgada TABLA 1.4 Variables principales ecuación 1.25 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 23 1.3. Modelo de Buckingham (artículo 4) Buckingham ha desarrollado una expresión eficiencia del arte basado únicamente en la pérdida por fricción de deslizamiento. Tomando nota de que el coeficiente de fricción de los cambios a lo largo de la trayectoria de contacto, que establece una expresión final que era un coeficiente medio de fricción durante el arco de enfoque βa y, otro valor promedio durante el arco de receso βr. Según Buckingham, la pérdida de potencia por deslizamiento es: EC. 1.26 siendo mg relación de transmisión (Ng/Np) βa arco de aproximación βr arco de encaje entre dientes fa coeficiente de rozamiento aproximado fr coeficiente de rozamiento en la zona de encaje entre dientes Según Buckingham, el arco de aproximación es: gb ggbgt aR RRR , 2/12, 2 ,sin)( θ β −− = EC. 1.27 siendo θ ángulo de presión (grados) Rt,g radio exterior del engranaje de salida (metros) (ver aptdo. 0) Rb,g radio base del engranaje de salida (metros) (ver aptdo. 0) Rg radio primitivo del engranaje de salida (metros) (ver aptdo. 0)      +               +         + −= 22 22 1 1 1 r r a a ra g f f m E ββ ββ Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 24 Según Buckingham, el arco de encaje entre dientes es: ( ) pb ppbpt r R sen R RR , 2/1 2 , 2 , θ β −− = EC. 1.28 siendo θ ángulo de presión (grados) Rt,p radio exterior del piñón o engranaje de entrada (metros) (ver aptdo. 0) Rb,p radio base del piñón o engranaje de entrada (metros) (ver aptdo. 0) Rp radio primitivo del piñón o engranaje de entrada (metros) (ver aptdo. 0) Según Buckingham, el arco de aproximación y el arco de encaje entre dientes, una vez sustituidos los radios por los números de dientes, la relación de transmisión y el paso diametral, y habiendo puesto variables para el cambio de unidades del sistema anglosajón al sistema internacional: ( )         −                       −              + = θ θθ β ·cos 2 ·· · 2 ·· ·cos 2 · · 2 ·2· 2/ 1 22 P mNC sen P mNC P mNC P m NC gpp g ppgppgpp a EC. 1.29 ( )         −                      −             + = θ θθ β ·cos 2 · ·2 · ·cos 2 · 2 2· 2/1 22 P NC sen P NC P NC P NC pp pppppp r EC. 1.30 fff ra 3 2 == EC. 1.31 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 31 La velocidad de rodadura establecida por Anderson y Loewenthal es:                − −= g g p T ppswT m m C l senDnCCV 1 · ·4 ···· θ EC. 1.39 siendo Cw convierte revoluciones a rad (2p) Cs convierte min-1 a s-1 (1/60) Cp convierte pulgadas en metros (0,0254) np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) mg relación de transmisión (Ng/Np) lT longitud de la línea de contacto (metros) La longitud línea de contacto es: ( ) ( ) [ ] ( )                  +−                 −        ++                 −        += θθθ senmN P C P mNC mN P C P NC N P C l gp pgpp gp ppp p p T ·1·cos ·· 2··cos · 2 2 1 2 1 22 2 1 22 EC. 1.40 Coeficiente de rozamiento establecido por Anderson y Loewenthal, sustituyendo la carga normal, la velocidad de rodadura, la velocidad de deslizamiento y aplicando las variables para el cambio de unidades del sistema anglosajón al sistema internacional:                                          − −        +         = − 2 p 6 1 · ·4 · · ····· 1 ····· C cos· ·· · ·log0127,0 g g p T pp psw p T g g psw pp LNp m m C l sen P NC nCC C l m m nCC F NC CTP C f θµ θ EC. 1. 41 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 32 siendo C6 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional Cw convierte revoluciones a rad (2p) Cs convierte min-1 a s-1 (1/60) Cp convierte pulgadas en metros (0,0254) CN-L convierte Newtons en libras (CN-L = 0.22473211) np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) mg relación de transmisión (Ng/Np) lT longitud de la línea de contacto (metros) m viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas (libras·s/pulgadas2) F ancho de la cara del diente (metros) P paso diametral (nº dientes/pulgada) Pérdida de potencia por deslizamiento establecida por Anderson y Loewenthal, con todas sus variables sustituidas para proceder al cálculo en el diseño de experimentos:        +                                                                    − −        +         = − p T g g psw pp p g g p T pp psw T g g psw pp LNp SC l m m nCC NC TP m m C l sen P NC nCC l m m nCC F NC CTP C CP · 1 ···· cos· · · 1 · ·4 · · ···· C · 1 ····· C cos· ·· · ·log0127,0· 2 pp 6 1 θ θµ θ EC. 1.42 siendo C1 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional C6 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional Cp convierte pulgadas en metros (0,0254) Cw convierte revoluciones a rad (2p) Cs convierte min-1 a s-1 (1/60) CN-L convierte Newtons en libras (CN-L = 0.22473211) P paso diametral (nº dientes/pulgada) Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 33 np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) mg relación de transmisión (Ng/Np) θ ángulo de presión (grados) Tp par transmitido (N·m) lT longitud de la línea de contacto (metros) m viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas (libras·s/pulgadas2) F ancho de la cara del diente (metros) Constante Significado Valor C 1 convierte unidades del sistema británico en unidades del sistema internacional 2·10-3 C w convierte revoluciones a rad 2 p C p convierte pulgadas en metros 0,0254 C s convierte min-1 a s-1 1/60 C 6 convierte unidades del sistema británico en unidades del sistema internacional 29,66 C N-L convierte Newtons en libras 0,22473211 TABLA 1.7 Constantes empleadas en la ecuación Variable Significado Unidades θ ángulo de presión grados n p velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada rpm N p nº de dientes del piñón o engranaje de entrada - m g relación de transmisión entre los engranajes en contacto - P paso diametral nº dientes/pulgada T p par transmitido N·m F ancho de la cara del diente metros μ viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas libras·s/pulgadas2 TABLA 1.8 Variables principales ecuación Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 34 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 35 1.5. Modelo de Merritt (artículo 4) Este modelo se deriva de más ecuaciones completas de pérdida instantánea similares a los utilizados por Anderson y Loewenthal y Chiu (uno de los modelos investigados, pero que no cumple los mínimos requisitos requeridos para este proyecto debido a que proporciona resultados de la perdida por rodadura, y no por deslizamiento). Merritt realizado varias suposiciones para reducir las ecuaciones generales a la forma simplificada dada a continuación. El coeficiente de fricción se basa en la expresión de Benedict y Kelley y otros. Merritt se dio cuenta de que su expresión era la pérdida aproximada y sugiere que este análisis podría servir como punto de partida para futuras investigaciones. La pérdida de potencia por deslizamiento según Merritt es: 100· 11 ·· 2 %       += g p NN f perdida π EC. 1.43 siendo f coeficiente de fricción Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada Ng nº de dientes del engranaje de salida Coeficiente de rozamiento establecido por Merritt es:         = 5,035,015,0 15,0 13 ·· 6,1 ·)( MSMe RVVv Cxf EC. 1.44 siendo C13 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional v viscosidad cinemática del lubricante (pies2/s) Ve velocidad a la entrada (pulgadas/s) VSM velocidad de deslizamiento de Merritt (pulgadas/s) RM radio primitivo de contacto de Merritt (pulgadas) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 36 La velocidad lineal den entrada en el punto del radio primitivo es: θ senVV Pe ··2= EC. 1.45 siendo VP velocidad en la línea de contacto (pulgadas/s) θ ángulo de presión (grados) La velocidad angular del engranaje de entrada es: P CCN n C CC RnV swp p p sw ppP ·2 ·· · · ·· == EC. 1.46 siendo Cw convierte revoluciones a rad (2p) Cs convierte min-1 a s-1 (1/60) Cp convierte pulgadas en metros (0,0254) Rp radio primitivo del piñón o engranaje de entrada (metros) (ver aptdo. 0) Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada P paso diametral (nº dientes/ pulgada) np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) La velocidad de Merritt es:                += gp PSM NN VV 11 ··cos 2 · θ π EC. 1.47 siendo VP velocidad en la línea de contacto (pulgadas/s) θ ángulo de presión (grados) Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada Ng nº de dientes del engranaje de salida Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 37 El radio de Merritt es: ()() 2 · · 1 · · 1 2 · · · 1 θθ sen m m N P sen D D DD C R g g p g p g p p M+ = + = EC. 1.48 siendo P paso diametral (nº dientes/pulgada) Cp convierte pulgadas en metros (0,0254) Dp diámetro primitivo del piñón o engranaje de entrada (metros) (ver aptdo. 0) Dg diámetro primitivo del engranaje de salida (metros) (ver aptdo. 0) Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada mg relación de transmisión (Ng/Np) θ ángulo de presión (grados) Pérdida de potencia por deslizamiento establecida por Merritt, sustituyendo las variables de diámetros por los números de dientes, relación de transmisión y el paso diametral para proceder al cálculo en el diseño de experimentos: ( ) 100· · 1 1 ·· 2 · · 1 · · 1 · 11 · ·cos 2 · ·2 · · ··· ·2 · · ··2 · 6 ,1 ·· 2 1 % 5,0 35 ,0 15 ,0 15,0 13        +                                             +                        +         = gp p g g p g pp swp p sw p p mN N sen m m N P mNN P CCN n sen P C CN nv Cperdida π θ θ π θ EC. 1.49 siendo C13 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional Cw convierte revoluciones a rad (2p) Cs convierte min-1 a s-1 (1/60) v viscosidad cinemática del lubricante (pies2/s) P paso diametral (nº dientes/pulgada) mg relación de transmisión (Ng/Np) θ ángulo de presión (grados) np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 38 Constante Significado Valor C 13 convierte unidades del sistema británico en unidades del sistema internacional 0,0114 C w convierte revoluciones a rad 2p C s convierte min-1 a s-1 1/60 TABLA 1.9 Constantes empleadas en la ecuación 1.49 Variable Significado Unidades θ ángulo de presión grados n p velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada rpm N p nº de dientes del piñón o engranaje de entrada - m g relación de transmisión entre los engranajes en contacto - P paso diametral nº dientes/pulgada v viscosidad cinemática del lubricante pies2/s TABLA 1.10 Variables principales ecuación 1.49 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 39 2. DISEÑO DE EXPERIMENTOS 2.1. Introducción El diseño experimental (DE) tiene inicio teórico a partir de 1935 por Sir Ronald A. Fisher (1890 - 1962), desarrollados en la Estación Agrícola Experimental de Rothamsted, en el Reino Unido, donde introdujo el concepto de aleatorización y el análisis de varianza. A lo largo de varias décadas, la teoría del diseño de experimentos y sus aplicaciones se consolidaron y expandieron, y en años recientes, recibieron un fuerte impulso por las contribuciones de Genichi Taguchi, un estadístico japonés ampliamente conocido en Occidente. Se puede afirmar que el diseño experimental estudia procesos. Un proceso puede considerarse como una caja negra a la cual ingresan diversas variables que interactúan para producir un resultado. Las variables que ingresan al proceso se denominan variables de entrada (factores) y el resultado, variable de salida (respuesta). El nivel de la variable de salida depende de los niveles que adopten las variables de entrada. La búsqueda de combinaciones óptimas de las variables de entrada da lugar al diseño experimental, el cual es una prueba (o un conjunto de pruebas) durante la cual se realizan cambios sistemáticos y controlados a las variables de entrada para medir el efecto sobre la variable de salida óptima. El diseño experimental utiliza técnicas como la regresión múltiple, la superficie de respuesta, el diseño de parámetros y varias extensiones del análisis de varianza, así como los análisis grá.cos y las comparaciones múltiples. Diseñar un experimento significa planear un experimento de modo que reúna la información pertinente al problema bajo investigación. El DE es la secuencia completa de pasos tomados con antelación, para asegurar que los datos se obtendrán apropiadamente de modo que permitan un análisis objetivo que conduzca a deducciones válidas con respecto al problema bajo estudio. 2.1.1 Introducción al diseño de experimentos La necesidad de un diseño de experimento surge de la inquietud de responder a preguntas como: - ¿Cuáles son los factores que se estudiaran en esta investigación? - ¿Qué factores afectan las características que se van a analizar? - ¿Cómo se va a medir el efecto de los factores estudiados? - ¿Cuántas veces deberá ejecutarse el experimento? - ¿Cuál será la forma de análisis o tipo de diseño experimental? - ¿A partir de que valores se considera importante el efecto de un factor? Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 40 2.1.2 Objetivos de un diseño de experimento - Proporcionar la máxima cantidad de información pertinente al problema bajo investigación. - El diseño, plan o programa debe ser tan simple como sea posible. - Proporcionar métodos que permitan obtener la mayor cantidad de información válida acerca de una investigación, teniendo en cuenta el factor costo y el uso adecuado del material disponible mediante métodos que permitan disminuir el error experimental. 2.1.3 Principios básicos del diseño de experimentos • Repetición: Viene a ser la reproducción o réplica del experimento básico (asignación de un tratamiento a una unidad experimental). Las principales razones por las cuales deseable la repetición son: primero por que proporciona una estimación del error experimental, siendo tal estimación confiable a medida que aumenta el número de repeticiones, y segundo permite estimaciones más precisas del tratamiento en estudio. • Aleatorización: Asignación al azar de tratamiento a las unidades experimentales. Una suposición frecuente en los modelos estadísticos de un diseño de experimentos es que: las observaciones o los errores están distribuidos independientemente, la aleatorización hace válida esta suposición. • Control Local: Cantidad de balanceo, bloqueo y agrupamiento de las unidades experimentales que se emplean en el diseño estadístico de un experimento. 2.1.4 Conceptos básicos • Experimento: Prueba o series de pruebas en las que se hacen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso (los factores que se estudian) o sistema para observar e identificar las razones de los cambios que pudieran observarse en la respuesta de salida. • Unidad experimental: Unidad a la cual se le aplica un sólo tratamiento (que puede ser una combinación de muchos factores) en una reproducción del experimento. • Error experimental: Describe la situación de no llegar a resultados idénticos con dos unidades experimentales tratadas de igual forma y refleja: (a) errores de experimentación, (b) errores de observación, (c) errores de medición, (d) variación del material experimental (esto es, entre unidades experimentales), (e) efectos combinados de factores extraños que pudieran influir las características en estudio, pero respecto a los cuales no se ha llamado la atención en la investigación. • Agrupamiento: Colocación de un conjunto de unidades experimentales homogéneas en, de modo que los diferentes grupos puedan sujetarse a distintos tratamientos. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 47 44 bcacbaababcco AB +++ − +++ = EC. 1.69 44 bcabcaacabcbo AC +++ − +++ = EC. 1.70 44 acabcbbcabcao BC +++ − +++ = EC. 1.71 44 bcacaboabcabc ABC +++ − +++ = EC. 1.72 siendo el resto de estimadores los que estiman los efectos de las correspondientes interacciones entre los factores A, B y C. La variable objetivo va a depender de los niveles en que se muevan las variables representadas por los factores A, B y C. Cada factor va a moverse en dos niveles, de ahí que el estudio de experimentos se denomine factorial del tipo 2k. Como se indicó para el caso de k =4, los niveles se describirán para cada caso estudiado anteriormente en función de las variables seleccionadas. Para poder obtener una ecuación a partir de los resultados obtenidos por el diseño de experimentos, usaremos el método MEDA que describiremos a continuación. Para demostrar detenidamente como hemos aplicado estas ecuaciones en nuestros propios cálculos, adjuntamos un ejemplo, son los cálculos realizados para el modelo de Anderson y Loewendal del artículo 1: Nivel mín Nivel máx n p 1500 4500 F 0,01 0,1 N p 40 53 TABLA 2.13 Tabla de valores Ponemos los valores de las variables que vamos a aplicar para el diseño de experimentos. Una vez escritos en una hoja de Excel, usamos la función de Excel “SI” y la Tabla 2.12 para obtener el valor máximo o mínimo para el posterior cálculo, así nos aseguramos que los tres valores mínimos y máximos se agrupan con los mínimos y máximos de las otras dos variables; por ejemplo: Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 48 np F Np A B C A' B' C' Y - - - 1500 0,01 40 o - - + 1500 0,01 53 c - + - 1500 0,1 40 b + - - 4500 0,01 40 a + + + 4500 0,1 53 abc - + + 1500 0,1 53 bc + - + 4500 0,01 53 ac + + - 4500 0,1 40 ab TABLA 2.14 Resolución de los cálculos por Excel 2.2.3. Método MEDA El método Meda consiste en: elaborar una ecuación que se comporte como la ecuación final de la pérdida de potencia, con un dominio de valores entre los establecidos en el diseño de experimentos; por ejemplo, si en el diseño de experimentos hemos puesto como variable son fijas el par, número de revoluciones y el número de dientes del engranaje de entrada, con sus valores de 100 a 300 Nm, 1500 a 4500 rpm y 12 a 60 dientes respectivamente, la ecuación resultante, la que llamaremos “función y”, podrá calcular la pérdida de potencia entre dichos valores. ¿Cómo calculamos la función y? Después de calcular los efectos A, B, C, AB, AC, BC y ABC para k=3, obtenemos la mediana de los efectos AB, AC, BC y ABC, la cual llamaremos “M”. El siguiente paso consistirá en calcular la mediana (la cual llamaremos MEDA) de: |AB-M| (mediana calculada en el paso anterior), |AC-M|, |BC-M| y |ABC-M|. A continuación, la mediana llamada MEDA la dividiremos por 0,675 y el resultado obtenido lo llamaremos S0. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 49 Con este nuevo valor obtenido, S0, lo compararemos con cada efecto, si el doble de este valor es igual o menor al efecto, dicho efecto será significativo para introducirlo en la función Y. Con este método se valoran las variables que tienen más influencia en la pérdida de potencia, y a raíz de eso, con los efectos significativos elaboramos una nueva ecuación, la función Y. Con los efectos significativos aremos lo siguiente: calcularemos la media de las pérdidas de potencia obtenidas con las ecuaciones de cara modelo (y), a continuación le iremos sumando los efectos significativos multiplicados por su correspondiente “Xz” (1.1 expuestas en el artículo 1 de Anderson y Loewendal) y dividido por dos. Hemos de añadir, que a cada efecto significativo habrá que multiplicarlo por el signo que aparece en la TABLA 2.12 Combinaciones y sus variables (28), véase (la primera imagen es X1 la segunda X2 y la tercera X3): De esta manera, habremos compuesto una nueva función Y, que obtendrá resultados parejos con la ecuación de la pérdida de potencia original. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 50 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 51 2.3. Aplicación al Modelo de Anderson y Loewenthal (artículo 1) Las variables a considerar a la hora de realizar el estudio de experimentos para ver su influencia sobre la variable de salida PS(x) van a ser finalmente tres: la anchura de la cara del diente (F), el número de dientes del piñón o engranaje de entrada (Np), la velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (np), por lo que se va a emplear un estudio de experimentos factorial con k =3. Las variables referidas a la viscosidad absoluta del lubricante (µ0), ángulo de presión del diente (θ), el paso diametral de los engranajes (P), la relación de transmisión entre los engranajes de entrada y salida (mg) y el par transmitido (Tp) van a pasar a ser variables de entrada fijadas por la definición del problema en estudio. El problema que se pretende analizar con este estudio es el de analizar qué pérdidas de potencia debidas al deslizamiento y a la rodadura existen en el engrane de las parejas de engranajes que forman parte de la caja de cambios de un vehículo. Para ello se tienen en cuenta unas variables de entrada que vienen impuestas por la definición del problema, como son: Potencia desarrollada por el motor: Pe (W) Velocidad de giro del motor: nm (rpm) Relación de transmisión existente entre las parejas de engranajes en estudio: mg Viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas: µ0 (Ns/m2) 60 ·2 ·· π mee n TP = EC. 1.73 siendo Pe Potencia transmitida por el motor (Watios) Te par transmitido por el motor (N·m) nm velocidad de giro del motor (rpm) p g g N N m= EC. 1.74 siendo Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada Ng nº de dientes del engranaje de salida Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 52 Los cálculos realizados con las ecuaciones se hallan en tablas de 8 filas, los de todos los modelos. Cada fila corresponde al mismo procedimiento con el mismo valor de las variables, es decir, a cada primera fila, le siguen las primeras filas del resto de las tablas para completar los cálculos y obtener un único resultado. El valor de las variables definido para el cálculo del problema de estudio y para el diseño de experimentos; obteniendo la pérdida de potencia es: VARIABLE VALOR µ 0 0.3 m g 2 P 8 T p 300 θ 20º TABLA 2.15 Variables fijas VARIABLE VALOR MÍNIMO VALOR MÁXIMO n p 1500 4500 F 0,01 0,1 N p 40 53 TABLA 2.16 Variables no fijas para el diseño de experimentos Los valores de las variables se corresponden a: - Viscosidad: corresponde a la viscosidad de un aceite SAE 40 a temperatura ambiente. - Relación de transmisión: corresponde a un valor fijado, por ejemplo, para una de las velocidades de la caja de cambios. - Paso diametral: es el número de dientes por pulgada de diámetro de paso. Corresponde para un valor fijado previo estudio. - Par: par máximo que transmite un motor de combustión interna común (sea gasolina o diesel). - Ángulo de presión: ángulo descrito por la normativa, utilizado en Europa (en EEUU, sería un ángulo de 25º). - Número de revoluciones: número de revoluciones ordinarias que puede alcanzar un motor de combustión interna, sea gasolina o diesel. - Ancho de cara del diente: espesor mínimo necesario para soportar el par introducido sin rotura. - Número de dientes: número de dientes que pueden llegar a tener los engranajes de una caja de cambios convencional. Hemos detectado un límite de resultados a la hora de calcular la potencia, observamos que si el número mínimo de dientes del engranaje de entrada es Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 53 menor a 40, la fórmula de la pérdida de potencia no asegura un resultado correcto, es decir, se obtienen resultados muy desproporcionados. 2.3.1. Pérdida de potencia Adjuntamos la tabla de resultados de las pérdidas de potencia, obtenidas a partir de las ecuaciones explicadas en las anteriores páginas; el resultado final se expondrá en tanto por ciento, para luego poder comparar unos modelos con otros: % PS 2,10E-01 5,48E-02 1,26E-01 8,98E-02 2,80E-03 3,34E-02 2,42E-02 5,52E-03 TABLA 2.17 Resultados pérdidas de potencia Un método simple para la predicción de la pérdida de potencia y la eficiencia de un engranaje cilíndrico de acero. Este método proporciona una estimación precisa de la eficacia del estímuloengranaje del sistema con carga parcial y plena carga. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: - El análisis generalmente mostraron una buena concordancia con los datos de prueba en todas las condiciones excepto bajas tasas de flujo de aceite, en donde el análisis subestimado ligeramente el engranaje de medida y la eficiencia del sistema. - La sensibilidad pronosticada de la pérdida de potencia a los cambios en la velocidad y la carga. Observamos que el valor mínimo es 0,0028 % (coincide con los valores de máximas revoluciones, mínimo ancho de cara y máximo número de dientes) y el máximo 0,21 % (coincide con los valores de mínimas revoluciones, máximo ancho de cara y mínimo número de dientes) de la potencia total; no hay una gran variación de potencia del resultado máximo al mínimo, así que podemos concluir que la variación de potencia por deslizamiento varia muy poco en función de las variables de entrada en este modelo. Además, las pérdidas son muy bajas debidas al deslizamiento, menores al 0.21 % de la potencia total transmitida por la pareja de engranajes rectos. Podemos concluir que: - A mayor número de revoluciones, menos potencia perdemos. - A mayor ancho de cara, más potencia perdemos. - A mayor número de dientes, menos potencia perdemos. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 54 Para saber cómo varía también la pérdida de potencia en función de las variables fijas, proponemos una serie de tablas de resultados para poder observar por medio de gráficos de dispersión con líneas suavizadas como varía la pérdida de potencia. Dichas tablas se han elaborado de la siguiente manera: las variables no fijas mantienen sus valores establecidos en la TABLA 2.14 Variables no fijas para el diseño de experimentos, la variable fija a comprobar, tendrá una serie de valores establecidos mientras que el resto de las variables fijas mantendrán su valor como se indica en la TABLA 2.13 Variables fijas. Con estas ilustraciones mostradas a continuación, demostraremos si aumenta, desciende o se mantiene la potencia pérdida variando solo una variable. La única variable fija que no se va a ensayar es el ángulo de presión, ya que en Europa siempre es el mismo, 20º. - Pérdida en función de la viscosidad absoluta 0,1 0,15 0,2 0,3 0,5 0,8 1 Pérdida de potencia en función de la viscosidad de los aceites SAE, del 10 al 70 0,25068839 0,23584488 0,22531324 0,21046972 0,19176911 0,174562925 0,16639395 0,0650472 0,06127874 0,05860497 0,05483651 0,0500888 0,045720509 0,04364657 0,16639395 0,15155043 0,14101879 0,12617528 0,10747466 0,090268481 0,0820995 0,13003238 0,11518887 0,10465722 0,08981371 0,07111309 0,053906912 0,04573794 0,01301449 0,00924602 0,00657225 0,00280379 -0,00194391 -0,006312209 -0,00838614 0,04364657 0,03987811 0,03720434 0,03343588 0,02868817 0,024319878 0,02224594 0,03441512 0,03064665 0,02797288 0,02420442 0,01945672 0,015088421 0,01301449 0,04573794 0,03089442 0,02036278 0,00551926 -0,01318135 -0,030387533 -0,03855651 TABLA 2.18 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores de viscosidad absoluta Hemos calculado, mediante la expresión de la pérdida de potencia de Anderson & Loewendal (articulo 1), los resultados de la potencia, usando la primera parte del diseño de experimentos (la primera parte donde, mediante la expresión de potencia del modelo, obtenemos los resultados de pérdidas). Como ya se ha indicado anteriormente, los resultados vienen expresados en tanto por ciento. ILUSTRACIÓN 2.2 Gráfica de resultados -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 00,2 0,4 0,6 0,8 11,2 Series1 Series2 Series3 Series4 Series5 Series6 Series7 Series8 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 55 Mediante este gráfico de líneas suavizadas, donde las ordenadas son la pérdida de potencia y las abscisas son los valores adoptados de la viscosidad absoluta, observamos que contra más viscoso es un lubricante, menos potencia perdemos. Cada serie está organizada de la siguiente manera: la serie 1 corresponde con la primera línea de resultados de la Tabla 2.16, la serie 2 con la línea dos, y asi sucesivamente. Con esta dinámica, demostramos que el resultado varía solo en función de la viscosidad, y lo comprobamos con varias series. Las series 7 y 8, no representan una conclusión objetiva, ya que algunos de sus resultados se obtienen son signo negativo; esto se debe a que el modelo no es fiable con según que valores de viscosidad, y por ello estas dos series no las tenemos en cuenta a la hora de obtener las conclusiones, aunque su pendiente sea muy aproximada al resto de las series. - Pérdida en función de la relación de transmisión 0,5 1 1,5 2 3 4 5 Pérdida de potencia en función de la relación de transmisión 0,34420029 0,26046073 0,22783283 0,21046972 0,19233668 0,182961064 0,17723134 0,09507993 0,06916478 0,05973376 0,05483651 0,0498032 0,047231099 0,0456689 0,1756114 0,14806813 0,13417234 0,12617528 0,11740829 0,112715693 0,10979578 0,10288826 0,09958604 0,09377059 0,08981371 0,08508689 0,082414386 0,08070653 -0,00898551 -0,00021218 0,00191963 0,00280379 0,00355189 0,003870501 0,00404272 0,05227866 0,0406306 0,03595528 0,03343588 0,03078042 0,02939724 0,02854839 0,03381575 0,028322 0,02569811 0,02420442 0,02257468 0,02170436 0,02116323 -0,06570063 -0,01280655 0,0001101 0,00551926 0,0101585 0,012169015 0,01327097 TABLA 2.19 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores de relación de transmisión ILUSTRACIÓN 2.3 Gráfica de resultados Mediante este gráfico de líneas suavizadas, donde las ordenadas son la pérdida de potencia y las abscisas son los valores adoptados de la relación de transmisión, observamos que contra mayor es la relación de transmisión, menos potencia perdemos. Cada serie está organizada de la siguiente -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0123456 Series1 Series2 Series3 Series4 Series5 Series6 Series7 Series8 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 56 manera: la serie 1 corresponde con la primera línea de resultados de la Tabla 2.17, la serie 2 con la línea dos, y asi sucesivamente. Las series 7 y 8, no representan una conclusión objetiva, ya que algunos de sus resultados se obtienen son signo negativo; esto se debe a que el modelo no es fiable con valores de relación tan bajos, y por ello estas dos series no las tenemos en cuenta a la hora de obtener las conclusiones, aunque su pendiente sea muy aproximada al resto de las series. - Pérdida en función del paso diametral 6 6,5 7 7,5 8 8,5 8,8 Pérdida de potencia en función del paso diametral 0,0588965 0,02635752 0,08131529 0,1453632 0,21046972 0,278054737 0,32003303 0,1473603 0,13641704 0,11754849 0,09068474 0,05483651 0,009145404 0,03342638 0,03546327 0,01936014 0,05088468 0,08800068 0,12617528 0,166828374 0,19264752 0,02535503 0,01634172 0,03775802 0,06325656 0,08981371 0,118849352 0,13769802 -0,10235178 -0,0638752 -0,03332391 -0,01076782 0,00280379 0,003919652 0,00638735 0,04465577 0,05403848 0,05549591 0,04895814 0,03343588 0,006996095 0,02230545 0,00035275 0,01850336 0,02872867 0,03095879 0,02420442 0,006068961 0,01750828 0,0019218 0,00934434 0,00732741 0,00589403 0,00551926 0,007622989 0,01031251 TABLA 2.20 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del paso diametral ILUSTRACIÓN 2.4 Gráfica de resultados Mediante este gráfico de líneas suavizadas, donde las ordenadas son la pérdida de potencia y las abscisas son los valores adoptados del paso diametral, observamos que las series 1, 3 y 4 tienen la misma forma, pendiente negativa al principio con un punto mínimo y luego una pendiente positiva; con las series 2, 6, 7 y 8 tienen las mismas pendientes que el resto pero el punto mínimo esta desplazado mas a la izquierda de la gráfica; con estos resultados no podemos obtener una conclusión determinada para el paso diametral en este modelo. Cada serie está organizada de la siguiente manera: la serie 1 corresponde con la primera línea de resultados de la Tabla 2.18, la serie -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0246810 Series1 Series2 Series3 Series4 Series5 Series6 Series7 Series8 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 63 2.4.2. Aplicación del diseño de experimentos Aplicamos el diseño de experimentos, calculamos la media, y a continuación los puntos: x1 (punto de inicio del contacto compartido entre 2 o más dientes), x2 (punto de inicio del contacto único (sólo 1 diente soporta la carga)), x3 (punto de fin del contacto único (sólo 1 diente soporta la carga) ), x4 (punto de fin del contacto compartido entre 2 o más dientes), xA (todos estos puntos son consecutivos, es decir, van uno detrás de otro, el siguiente ha de ser siempre mayor que el anterior como se observa en la tabla 2.22). Calculamos los efectos A, B, C, AB, AC, BC y ABC (ya que k=3). Según el método MEDA descrito con anterioridad, añadimos los efectos que son significativos A, B, C, AB, AC, BC y ABC (ya que k=3). Según el método MEDA descrito con anterioridad, añadimos los efectos que son significativos, A y B; los cuales se pueden representar mediante un diagrama de pareto. x1 x2 x3 x4 xA 0,003451191 0,008782258 0,012824209 0,018155276 0,022804193 0,002495059 0,008782258 0,011868077 0,018155276 0,043436558 0,003451191 0,008782258 0,012824209 0,018155276 0,022804193 0,024145655 0,031568482 0,033518672 0,040941499 0,068412579 0,023650465 0,031568482 0,033023482 0,040941499 0,130309675 0,002495059 0,008782258 0,011868077 0,018155276 0,043436558 0,023650465 0,031568482 0,033023482 0,040941499 0,130309675 0,024145655 0,031568482 0,033518672 0,040941499 0,068412579 TABLA 2.28 Valores de las X A B C AB AC BC ABC -1,41342335 0,84755394 -0,46506079 -0,3854791 0,18896702 -0,12683476 0,05153646 TABLA 2.29 Valores de los efectos ILUSTRACIÓN 2.7 Diagrama de pareto 00,2 0,4 0,6 0,8 11,2 1,4 1,6 A C AC ABC AD CD BCD DIAGRAMA DE PARETO (Efectos pincipales) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 64 Podemos observar que las barras de los efectos significativos son las más largas, en este caso, A y B (en el diagrama, se han usado los valores absolutos de los efectos para una representación más visual). Este diagrama nos permite saber cómo es de importante una variable a la hora de obtener resultados, es decir, cuanto mayor es la longitud de la barra, la variación de esa variable más incide en el resultado final del modelo. Una vez establecidos los efectos significativos, los agrupamos para formar la función Y como indicamos más arriba; adjuntamos la tabla de resultados obtenidos: FUNCIÓN Y 1,55256617 1,55189046 1,5593339 1,56000961 1,52340688 1,55051283 1,52375683 1,55016287 TABLA 2.30 Resultados diseño de experimentos Los resultados obtenidos se corresponden casi con el valor de la media de la pérdida de potencia del modelo, 1,55384889 %, observamos una pequeña variación unos con otros en la tabla de resultados; ya que al depender solo de dos efectos. Observamos que el valor máximo es 1,56000961 % (coincide con los valores de máximas relaciones de transmisión, máximo coeficiente de rozamiento y mínimo número de dientes) y el mínimo 1,52340688 % (coincide con los valores de máximas relaciones de transmisión, mínimo coeficiente de rozamiento y máximo número de dientes) de la potencia total. Los valores mínimos y máximos calculados de la función Y coinciden con los de los resultados de la pérdida de potencia en la Tabla 2.27, es decir, coinciden en la línea o serie; así pues, si obtenemos un resultado bajo o alto, la función Y resuelta con esas mismas variables poseerá un resultado bajo o alto, respectivamente. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 65 2.5. Aplicación al Modelo de Buckingham (artículo 4) Las variables a considerar a la hora de realizar el estudio de experimentos para ver su influencia sobre la variable de salida PS van a ser finalmente tres: velocidad de rotación del engranaje de entrada (Vp), el módulo de la pareja de engranajes (m), la relación de transmisión entre los engranajes de entrada y salida (mg), por lo que se va a emplear un estudio de experimentos factorial con k =3. Las variables referidas al radio primitivo del engranaje de entrada (Rp), el paso diametral de los engranajes (P), el número de dientes del engranaje de entrada (Np) y ángulo de presión del diente (θ) van a pasar a ser variables de entrada fijadas por la definición del problema en estudio. El problema que se pretende analizar con este estudio es el de analizar qué pérdidas de potencia debidas al deslizamiento y a la rodadura existen en el engrane de las parejas de engranajes que forman parte de la caja de cambios de un vehículo. A continuación, expondremos las variables requeridas para este modelo: VARIABLE VALOR R p 0.03 P 8 N p 30 θ 20º TABLA 2.31 Variables fijas VARIABLE VALOR MÍNIMO VALOR MÁXIMO V p 4.7 14.1 M 1 5 m p 0.5 3 TABLA 2.32 Variables no fijas para el diseño de experimentos Los valores de las variables se corresponden a: - Radio primitivo: radio de una de las velocidades cortas de la caja de cambios - Relación de transmisión: corresponde a un valor fijado, por ejemplo, para una de las velocidades de la caja de cambios. - Paso diametral: es el número de dientes por pulgada de diámetro de paso. Corresponde para un valor fijado previo estudio. - Módulo: módulos normalizados. - Ángulo de presión: ángulo descrito por la normativa, utilizado en Europa (en EEUU, sería un ángulo de 25º). Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 66 - Velocidad lineal del piñón: velocidad lineal correspondiente a que el engranaje de entrada gire a 1500 y 4500 rpm respectivamente. - Número de dientes: número de dientes que pueden llegar a tener los engranajes de una caja de cambios convencional. 2.5.1. Pérdida de potencia Adjuntamos la tabla de resultados de las pérdidas de potencia, obtenidas a partir de las ecuaciones explicadas en las anteriores páginas; el resultado final se expondrá en tanto por ciento, para luego poder comparar unos modelos con otros: % P S 0,00266303 0,0415121 0,02941971 0,00361071 0,1434763 0,18244578 0,06441552 0,01131888 TABLA 2.33 Resultados pérdidas de potencia Observamos que el valor máximo es 0,18244578 % (coincide con los valores de máximas relaciones de transmisión, máximo módulo y mínima velocidad lineal) y el mínimo 0,00266303 % (coincide con los valores de mínimas relaciones de transmisión, mínimo módulo y mínima velocidad lineal) de la potencia total; hay una variación muy significativa de potencia del resultado máximo al mínimo (aproximadamente 68,5 veces más grande), así que podemos concluir que la variación de potencia por deslizamiento varia muy significativamente en función de las variables de entrada en este modelo: - Con la relación de transmisión no está muy claro como varia la pérdida de potencia. - A mayor módulo, más potencia perdemos. - A mayor velocidad lineal, menos potencia perdemos. Para saber cómo varía también la pérdida de potencia en función de las variables fijas, proponemos una serie de tablas de resultados para poder observar por medio de gráficos de dispersión con líneas suavizadas como varía la pérdida de potencia. Dichas tablas se han elaborado de la siguiente manera: las variables no fijas mantienen sus valores establecidos en la TABLA 2.30, la variable fija a comprobar, tendrá una serie de valores establecidos mientras que el resto de las variables fijas mantendrán su valor como se indica en la TABLA 2.29. Con estas ilustraciones mostradas a continuación, demostraremos si aumenta, desciende o se mantiene la potencia pérdida Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 67 variando solo una variable. La única variable fija que no se va a ensayar es el ángulo de presión, ya que en Europa siempre es el mismo, 20º. - Pérdida en función del paso diametral 2 4 6 8 10 12 14 Pérdida de potencia en función del paso diametral 0,01268211 0,00563547 0,00332319 0,00266303 0,0025707 0,0026671 0,00282094 0,08714409 0,05354009 0,04305173 0,0415121 0,04330374 0,04623602 0,04947165 0,096366 0,06305284 0,04227681 0,02941971 0,02154194 0,01678806 0,01399002 0,00332319 0,0026671 0,0031526 0,00361071 0,00401786 0,0043874 0,00472844 0,22258997 0,14394369 0,13423672 0,1434763 0,15714006 0,1711951 0,18463755 0,38408892 0,2861853 0,22258997 0,18244578 0,15799213 0,14394369 0,13674973 0,04305173 0,04623602 0,05582718 0,06441552 0,07201574 0,07888911 0,08520996 0,04227681 0,01678806 0,01159747 0,01131888 0,01215818 0,01319675 0,01422311 TABLA 2.34 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del paso diametral ILUSTRACIÓN 2.8 Gráfica de resultados Mediante este gráfico de líneas suavizadas, donde las ordenadas son la pérdida de potencia y las abscisas son los valores adoptados del paso diametral, observamos que las series 2, 4, 5, 7 y 8 tienen la misma forma, pendiente negativa al principio con un punto mínimo y luego una pendiente positiva; con las series 1, 3 y 6 tienen las pendientes siempre negativas; con estos resultados no podemos obtener una conclusión determinada para el paso diametral en este modelo. Cada serie está organizada de la siguiente manera: la serie 1 corresponde con la primera línea de resultados de la Tabla 2.32, la serie 2 con la línea dos, y así sucesivamente. Las serie 5, no representan una conclusión objetiva. 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0 5 10 15 Series1 Series2 Series3 Series4 Series5 Series6 Series7 Series8 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 68 - Pérdida en función del paso diametral 0,01 0,02 0,03 0,035 0,038 Pérdida de potencia en función del radio primitivo 0,03995829 0,00891978 0,00266303 0,00128008 0,00054242 1,48069584 0,10578532 0,0415121 0,02952642 0,02464925 0,18503869 0,06072179 0,02941971 0,02121266 0,01682223 0,06225439 0,01296446 0,00361071 0,0015608 0,00040188 3,90237356 0,33202007 0,1434763 0,10585255 0,09005756 4,0957537 0,40668245 0,18244578 0,13829688 0,11969932 1,45631938 0,16184683 0,06441552 0,04554644 0,03778766 0,13514984 0,0341272 0,01131888 0,00549333 0,00176371 TABLA 2.35 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del radio primitivo ILUSTRACIÓN 2.9 Gráfica de resultados Mediante este gráfico de líneas suavizadas, donde las ordenadas son la pérdida de potencia y las abscisas son los valores adoptados de la viscosidad absoluta, observamos que contra mayor radio primitivo tiene, menos potencia perdemos. Cada serie está organizada de la siguiente manera: la serie 1 corresponde con la primera línea de resultados de la Tabla 2.33, la serie 2 con la línea dos, y asi sucesivamente. Las series 1, 2, 3, 4, 7 y 8 tienen siempre una pendiente negativa: en cambio, las series 5 y 6 tienen una pendiente negativa al principio, le sigue un punto mínimo, una pendiente positiva y un punto máximo que termina con una línea de pendiente negativa, no representan una línea descendente como las demás, esto se debe a que el modelo no es fiable con según que valores de radio, y por ello estas dos series no las tenemos en cuenta a la hora de obtener las conclusiones, aunque su pendiente sea muy aproximada al resto de las series. En este modelo no se puede sobrepasar los 0,038 metros de radio primitivo, ya que el modelo no asegura resultados correctos. -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 00,01 0,02 0,03 0,04 Series1 Series2 Series3 Series4 Series5 Series6 Series7 Series8 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 69 2.5.2. Aplicación del diseño de experimentos Aplicamos el diseño de experimentos, calculamos la media, y a continuación los puntos: x1 (punto de inicio del contacto compartido entre 2 o más dientes), x2 (punto de inicio del contacto único (sólo 1 diente soporta la carga)), x3 (punto de fin del contacto único (sólo 1 diente soporta la carga) ), x4 (punto de fin del contacto compartido entre 2 o más dientes), xA (todos estos puntos son consecutivos, es decir, van uno detrás de otro, el siguiente ha de ser siempre mayor que el anterior como se observa en la tabla 2.28). Calculamos los efectos A, B, C, AB, AC, BC y ABC (ya que k=3). Según el método MEDA descrito con anterioridad, añadimos los efectos que son significativos, B, C y BC; los cuales se pueden representar mediante un diagrama de pareto. x1 x2 x3 x4 xA 0,009345966 0,014664899 0,018718984 0,02403792 0,02443306 0,009345966 0,014664899 0,018718984 0,02403792 0,02443306 0,007663661 0,014664899 0,017036678 0,02403792 0,06515484 0,009345966 0,014664899 0,018718984 0,02403792 0,02443306 0,007663661 0,014664899 0,017036678 0,02403792 0,06515484 0,007663661 0,014664899 0,017036678 0,02403792 0,06515484 0,009345966 0,014664899 0,018718984 0,02403792 0,02443306 0,007663661 0,014664899 0,017036678 0,02403792 0,06515484 TABLA 2.36 Valores de las X A B C AB AC BC ABC -0,0083048 0,06361483 0,09620934 -0,02023035 0,00027177 0,0463824 -0,0107061 TABLA 2.37 Valores de los efectos ILUSTRACIÓN 2.10 Diagrama de pareto 00,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 A C AC ABC AD CD BCD DIAGRAMA DE PARETO (Efectos pincipales) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 70 Podemos observar que las barras de los efectos significativos son las más largas, en este caso, B, C y BC (en el diagrama, se han usado los valores absolutos de los efectos para una representación más visual). Este diagrama nos permite saber cómo es de importante una variable a la hora de obtener resultados, es decir, cuanto mayor es la longitud de la barra, la variación de esa variable más incide en el resultado final del modelo. Una vez establecidos los efectos significativos, los agrupamos para formar la función Y como indicamos más arriba; adjuntamos la tabla de resultados obtenidos: FUNCIÓN Y 0,0584972 0,0602854 0,05949887 0,0584972 0,06114954 0,06114954 0,0602854 0,05949887 TABLA 2.38 Resultados diseño de experimentos Los resultados obtenidos son aproximados respecto a los resultados obtenidos en el modelo, observamos una pequeña variación unos con otros en la tabla de resultados; ya que al depender solo de dos efectos. Observamos que el valor máximo es 0,06114954 % (coincide con los valores de máximas relaciones de transmisión, máximo módulo y mínima velocidad lineal) y el mínimo 0,0584972 % (coincide con los valores de mínimas relaciones de transmisión, mínimo módulo y mínima velocidad lineal) de la potencia total. Los valores mínimos y máximos calculados de la función Y coinciden con los de los resultados de la pérdida de potencia en la Tabla 2.33, es decir, coinciden en la línea o serie; así pues, si obtenemos un resultado bajo o alto, la función Y resuelta con esas mismas variables poseerá un resultado bajo o alto, respectivamente. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 71 2.6. Aplicación al Modelo de Anderson y Loewenthal (artículo 4) Las variables a considerar a la hora de realizar el estudio de experimentos para ver su influencia sobre la variable de salida PS van a ser finalmente tres: ancho de cara del diente (F), el número de dientes del piñón o engranaje de entrada (Np), la velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (np), por lo que se va a emplear un estudio de experimentos factorial con k =3. Las variables referidas a la viscosidad absoluta del lubricante (µ0), ángulo de presión del diente (θ), el paso diametral de los engranajes (P), la relación de transmisión entre los engranajes de entrada y salida (mg) y el par transmitido (Tp) van a pasar a ser variables de entrada fijadas por la definición del problema en estudio. El problema que se pretende analizar con este estudio es el de analizar qué pérdidas de potencia debidas al deslizamiento y a la rodadura existen en el engrane de las parejas de engranajes que forman parte de la caja de cambios de un vehículo. A continuación, expondremos las variables requeridas para este modelo: VARIABLE VALOR µ 0 0.3 m g 2 P 8 T p 300 θ 20º TABLA 2.39 Variables fijas VARIABLE VALOR MÍNIMO VALOR MÁXIMO n p 1500 4500 F 0.01 0.1 N p 31 60 TABLA 2.40 Variables no fijas para el diseño de experimentos Los valores de las variables se corresponden a: - Viscosidad: corresponde a la viscosidad de un aceite SAE 40 a temperatura ambiente. - Relación de transmisión: corresponde a un valor fijado, por ejemplo, para una de las velocidades de la caja de cambios. - Paso diametral: es el número de dientes por pulgada de diámetro de paso. Corresponde para un valor fijado previo estudio. - Par: par máximo que transmite un motor de combustión interna común (sea gasolina o diesel). Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 72 - Ángulo de presión: ángulo descrito por la normativa, utilizado en Europa (en EEUU, sería un ángulo de 25º). - Número de revoluciones: número de revoluciones ordinarias qué puede alcanzar un motor de combustión interna, sea gasolina o diesel. - Ancho de cara del diente: espesor mínimo necesario para soportar el par introducido sin rotura. - Número de dientes: número de dientes que pueden llegar a tener los engranajes de una caja de cambios convencional. Hemos detectado un límite de resultados a la hora de calcular la potencia, observamos que si el número mínimo de dientes del engranaje de entrada es menor a 31, la fórmula de la pérdida de potencia no asegura un resultado correcto, es decir, se obtienen resultados muy desproporcionados. 2.6.1. Pérdida de potencia Adjuntamos la tabla de resultados de las pérdidas de potencia, obtenidas a partir de las ecuaciones explicadas en las anteriores páginas; el resultado final se expondrá en tanto por ciento, para luego poder comparar unos modelos con otros: % PS 0,08820920 0,07257863 0,14714768 0,17257160 0,14661742 0,10303018 0,11616587 0,23151007 TABLA 2.41 Resultados pérdidas de potencia Un método muy simple para la predicción de la pérdida de potencia y la eficiencia de un engranaje cilíndrico de acero ya que es una simplificación del modelo de Anderson y Loewendal del artículo 1. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: - El análisis generalmente mostraron una buena concordancia con los datos de prueba en todas las condiciones excepto bajas tasas de flujo de aceite, en donde el análisis subestimado ligeramente el engranaje de medida - la eficiencia del sistema. - La sensibilidad pronosticada de la pérdida de potencia a los cambios en la velocidad y la carga. Observamos que el valor máximo es 0,23151007 % (coincide con los valores de máximas revoluciones, máximo ancho de cara y mínimo número de dientes) y el mínimo 0,07257863 % (coincide con los valores de mínimas revoluciones, mínimo ancho de cara del diente y mínimo Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 79 FUNCIÓN Y 0,13456587 0,13326182 0,13479935 0,13465831 0,13619584 0,13467278 0,13478489 0,13533954 TABLA 2.48 Resultados diseño de experimentos Los resultados se engloban respecto a la media de la pérdida de potencia, 6,871 %, variando muy poco en los resultados obtenidos. Observamos una gran variación unos con otros en la tabla de resultados; ya que al depender solo de dos efectos. Observamos que el valor máximo es 0,13619584 % (coincide con los valores de máximas revoluciones, máximo ancho de cara y mínimo número de dientes) y el mínimo 0,133326182 % (coincide con los valores de mínimas revoluciones, mínimo ancho de cara del diente y mínimo número de dientes) de la potencia total. Los valores mínimos y máximos calculados de la función Y coinciden con los de los resultados de la pérdida de potencia en la Tabla 2.33, es decir, coinciden en la línea o serie; así pues, si obtenemos un resultado bajo o alto, la función Y resuelta con esas mismas variables poseerá un resultado bajo o alto, respectivamente. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 80 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 81 2.7. Aplicación al Modelo de Merritt (artículo 4) Las variables a considerar a la hora de realizar el estudio de experimentos para ver su influencia sobre la variable de salida PS van a ser finalmente tres: relación de transmisión (mg), el número de dientes del piñón o engranaje de entrada (Np), la velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (np), por lo que se va a emplear un estudio de experimentos factorial con k =3. Las variables referidas a la viscosidad cinemática del lubricante (µc), ángulo de presión del diente (θ) y el paso diametral de los engranajes (P) van a pasar a ser variables de entrada fijadas por la definición del problema en estudio. El problema que se pretende analizar con este estudio es el de analizar qué pérdidas de potencia debidas al deslizamiento y a la rodadura existen en el engrane de las parejas de engranajes que forman parte de la caja de cambios de un vehículo. A continuación, expondremos las variables requeridas para este modelo: VARIABLE VALOR µ c 0,00007535 P 8 θ 20º TABLA 2.49 Variables fijas VARIABLE VALOR MÍNIMO VALOR MÁXIMO n p 1500 4500 m g 0.5 5 N p 30 60 TABLA 2.50 Variables no fijas para el diseño de experimentos Los valores de las variables se corresponden a: - Viscosidad: corresponde a la viscosidad de un aceite SAE 40 a temperatura ambiente. - Relación de transmisión: corresponde a un valor fijado, por ejemplo, para una de las velocidades de la caja de cambios. - Paso diametral: es el número de dientes por pulgada de diámetro de paso. Corresponde para un valor fijado previo estudio. - Ángulo de presión: ángulo descrito por la normativa, utilizado en Europa (en EEUU, sería un ángulo de 25º). - Número de revoluciones: número de revoluciones ordinarias qué puede alcanzar un motor de combustión interna, sea gasolina o diesel. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 82 - Número de dientes: número de dientes que pueden llegar a tener los engranajes de una caja de cambios convencional. 2.7.1. Pérdida de potencia Adjuntamos la tabla de resultados de las pérdidas de potencia, obtenidas a partir de las ecuaciones explicadas en las anteriores páginas; el resultado final se expondrá en tanto por ciento, para luego poder comparar unos modelos con otros: % P S 0,60555993 0,09883416 0,21111842 0,34962019 0,01989369 0,03445689 0,05706193 0,12188927 TABLA 2.51 Resultados pérdidas de potencia Observamos que el valor máximo es 0,60555993 % (coincide con los valores de mínimas revoluciones, mínima relación de transmisión y mínimo número de dientes) y el mínimo 0,01989369 % (coincide con los valores de máximas revoluciones, máxima relación de transmisión y mínimo número de dientes) de la potencia total; hay una variación importante de la potencia del resultado máximo al mínimo (aproximadamente 30,5 veces más grande), así que podemos concluir que la variación de potencia por deslizamiento varia normalmente en función de las variables de entrada, este modelo da valores muy pesimistas sobre la pérdida de potencia: - A mayor número de revoluciones, menos potencia perdemos - A mayor relación de transmisión, menos potencia perdemos. - A mayor número de dientes, menos potencia perdemos. Para saber cómo varía también la pérdida de potencia en función de las variables fijas, proponemos una serie de tablas de resultados para poder observar por medio de gráficos de dispersión con líneas suavizadas como varía la pérdida de potencia. Dichas tablas se han elaborado de la siguiente manera: las variables no fijas mantienen sus valores establecidos en la TABLA 2.48, la variable fija a comprobar, tendrá una serie de valores establecidos mientras que el resto de las variables fijas mantendrán su valor como se indica en la TABLA 2.47. Con estas ilustraciones mostradas a continuación, demostraremos si aumenta, desciende o se mantiene la potencia pérdida variando solo una variable. La única variable fija que no se va a ensayar es el ángulo de presión, ya que en Europa siempre es el mismo, 20º. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 83 - Pérdida en función de la viscosidad cinemática 0,00001 0,000025 0,00005 0,00007535 0,0001 0,00012 0,00015 Pérdida de potencia en función de la viscosidad cinemática 0,81982209 0,71454341 0,64398258 0,60555993 0,5803896 0,56473204 0,54614244 0,13380414 0,11662148 0,10510516 0,09883416 0,09472608 0,09217059 0,08913656 0,28581736 0,2491137 0,22451383 0,21111842 0,2023432 0,19688445 0,1904035 0,47332451 0,41254183 0,37180351 0,34962019 0,33508809 0,3260482 0,31531549 0,02693258 0,02347399 0,02115594 0,01989369 0,0190668 0,01855243 0,01794173 0,04664859 0,04065814 0,03664317 0,03445689 0,03302467 0,03213375 0,03107598 0,07725186 0,06733144 0,06068249 0,05706193 0,05469013 0,05321471 0,05146302 0,16501673 0,14382586 0,12962312 0,12188927 0,1168229 0,11367129 0,10992951 TABLA 2.52 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores de viscosidad cinemática ILUSTRACIÓN 2.16 Gráfica de resultados Mediante este gráfico de líneas suavizadas, donde las ordenadas son la pérdida de potencia y las abscisas son los valores adoptados de la viscosidad cinemática, observamos que contra más viscoso es un lubricante, menos potencia perdemos. Todas las series poseen la misma forma con una pendiente negativa. Cada serie está organizada de la siguiente manera: la serie 1 corresponde con la primera línea de resultados de la Tabla 2.50, la serie 2 con la línea dos, y así sucesivamente. Con esta dinámica, demostramos que el resultado varía solo en función de la viscosidad, y lo comprobamos con varias series. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 00,00005 0,0001 0,00015 0,0002 Series1 Series2 Series3 Series4 Series5 Series6 Series7 Series8 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 84 - Pérdida en función del paso diametral 2 4 6 8 10 12 14 Pérdida de potencia en función del paso diametral 0,15138998 0,30277996 0,45416995 0,60555993 0,75694991 0,90833989 1,05972988 0,02470854 0,04941708 0,07412562 0,09883416 0,1235427 0,14825123 0,17295977 0,0527796 0,10555921 0,15833881 0,21111842 0,26389802 0,31667762 0,36945723 0,08740505 0,17481009 0,26221514 0,34962019 0,43702524 0,52443028 0,61183533 0,00497342 0,00994685 0,01492027 0,01989369 0,02486712 0,02984054 0,03481396 0,00861422 0,01722844 0,02584267 0,03445689 0,04307111 0,05168533 0,06029955 0,01426548 0,02853096 0,04279645 0,05706193 0,07132741 0,08559289 0,09985837 0,03047232 0,06094464 0,09141696 0,12188927 0,15236159 0,18283391 0,21330623 TABLA 2.53 Resultados de la pérdida de potencia en función de distintos valores del paso diametral ILUSTRACIÓN 2.17 Gráfica de resultados Mediante este gráfico de líneas suavizadas, donde las ordenadas son la pérdida de potencia y las abscisas son los valores adoptados del paso diametral, observamos que todas las series tienen la misma forma, pendiente positiva. Con estos resultados observamos que contra mayor es el paso diametral, más potencia perdemos. Cada serie está organizada de la siguiente manera: la serie 1 corresponde con la primera línea de resultados de la Tabla 2.42, la serie 2 con la línea dos, y así sucesivamente. 2.7.2. Aplicación del diseño de experimentos Aplicamos el diseño de experimentos, calculamos la media, y a continuación los puntos: x1 (punto de inicio del contacto compartido entre 2 o más dientes), x2 (punto de inicio del contacto único (sólo 1 diente soporta la carga)), x3 (punto de fin del contacto único (sólo 1 diente soporta la carga) ), x4 (punto de fin del contacto compartido entre 2 o más dientes), xA (todos estos puntos son 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 5 10 15 Series1 Series2 Series3 Series4 Series5 Series6 Series7 Series8 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 85 consecutivos, es decir, van uno detrás de otro, el siguiente ha de ser siempre mayor que el anterior como se observa en la tabla 2.34). Calculamos los efectos A, B, C, AB, AC, BC y ABC (ya que k=3). Según el método MEDA descrito con anterioridad, añadimos los efectos que son significativos B, C y BC; los cuales se pueden representar mediante un diagrama de pareto. x1 x2 x3 x4 xA 0,00444105 0,00878226 0,01381406 0,01815528 0,01628871 0,02482821 0,03156848 0,03420123 0,0409415 0,04886613 0,00217733 0,00878226 0,01155035 0,01815528 0,06515484 0,00444105 0,00878226 0,01381406 0,01815528 0,01628871 0,02351547 0,03156848 0,03288849 0,0409415 0,19546451 0,02351547 0,03156848 0,03288849 0,0409415 0,19546451 0,02482821 0,03156848 0,03420123 0,0409415 0,04886613 0,00217733 0,00878226 0,01155035 0,01815528 0,06515484 TABLA 2.54 Valores de las X A B C AB AC BC ABC -0,10037608 -0,18092948 -0,26948529 0,04847991 0,07220836 0,13015673 -0,03487539 TABLA 2.55 Valores de los efectos ILUSTRACIÓN 2.18 Diagrama de pareto Podemos observar que las barras de los efectos significativos son las más largas, en este caso, B, C y BC (en el diagrama, se han usado los valores absolutos de los efectos para una representación más visual). Este diagrama nos permite saber cómo es de importante una variable a la hora de obtener resultados, es decir, cuanto mayor es la longitud de la barra, la variación de esa variable más incide en el resultado final del modelo. Una vez establecidos los efectos significativos, 00,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 A C AC ABC AD CD BCD DIAGRAMA DE PARETO (Efectos pincipales) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 86 los agrupamos para formar la función Y como indicamos más arriba; adjuntamos la tabla de resultados obtenidos: FUNCIÓN Y 0,18996803 0,18548152 0,18805955 0,18996803 0,18008456 0,18008456 0,18548152 0,18805955 TABLA 2.56 Resultados diseño de experimentos Los resultados obtenidos son parejos respecto al modelo, observamos un parecido razonable entre los resultados del modelo y del diseño de experimentos. Observamos que el valor máximo es 0,18996803 % (coincide con los valores de mínimas revoluciones, mínima relación de transmisión y mínimo número de dientes) y el mínimo 0,18008456 % (coincide con los valores de máximas revoluciones, máxima relación de transmisión y mínimo número de dientes) de la potencia total. Los valores mínimos y máximos calculados de la función Y coinciden con los de los resultados de la pérdida de potencia en la Tabla 2.51, es decir, coinciden en la línea o serie; así pues, si obtenemos un resultado bajo o alto, la función Y resuelta con esas mismas variables poseerá un resultado bajo o alto, respectivamente. Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 87 2.8 Conclusiones finales de los modelos El proyecto final de carrera escrito, consiste en el análisis de unos modelos de pérdida de potencia para engranajes rectos, investigados anteriormente por sus autores correspondientes, para luego aplicarlos a un análisis teórico de una caja de cambios convencional de un automóvil. Los valores adoptados para realizar dicho análisis, son valores reales empleados en el diseño y el uso de las cajas de cambio. Los pasos a seguir para realizar este proyecto han sido: buscar por internet, libros de texto relacionados con el tema, proyectos finales de carrera anteriores, artículos en revistas científicas, etc, para luego reunir documentación pertinente a los engranajes de dentado recto. Acto seguido, una vez reunida la información, seleccionar dicha información que nos describa el problema que hemos de solucionar. Una vez establecido el problema a tratar y tener reunida toda la información que nosotros consideremos apropiada, comenzamos a estudiar y a descomponer la información para ir anotándola, para facilitar la comprensión y a posteriori, exponerla en una hoja de Excel. Con los datos reunidos de los diferentes modelos, elaboramos una hoja de Excel para cada modelo, para proceder al cálculo de dichos modelos. Una vez organizada cada hoja, aplicamos el diseño de experimentos comentado con anterioridad. Contrastamos los resultados y si no hay ningún error, el análisis de la pérdida de potencia ha finalizado. Como se indicó anteriormente, cada uno de los cuatro investigaciones llegó a una expresión diferente para el deslizamiento pérdida de potencia, así como un coeficiente de fricción diferente. Surge entonces la pregunta de si la diferencia en la predicción de pérdida de potencia se encuentra en el coeficiente de fricción usado o en la forma de las ecuaciones que relacionan el coeficiente de fricción a la pérdida de potencia. Una vez calculado cada modelo, los resultados de diferentes modelos no se expresan en la misma unidad, por ejemplo, en unos modelos el resultado se obtenía en Kilowatios y en otros en tantos por cien. Para poder contrastar los resultados de los diferentes modelos, decidimos expresar los resultados en tantos por ciento. Para los modelos que el resultado se expresaba en Kw, lo dividíamos por la potencia total (obtenida por la velocidad angular y el par de torsión) y multiplicábamos por 100; así ya teníamos los resultados expresados en tanto por ciento. Describiremos los diferentes modelos para poder obtener una conclusión final: 2.8.1 Modelo de Anderson y Loewendal, artículo 1 Primer modelo estudiado, hay que analizar 8 variables diferentes, descritas en la página 52, para aplicarlas al cálculo; los resultados obtenidos son los esperados, no son pesimistas ni optimistas (comparándolos con el resto de los modelos), y la función Y obtenida a raíz de ellos se aproxima mucho a los resultados de dicho modelo. Este modelo cuenta con limitaciones a la hora de realizar el cálculo, especialmente con la variable del número de dientes del engranaje de entrada. Para visualizar los resultados adjuntamos dos tablas, vemos como las dos ecuaciones, varían de forma muy parecida en cuanto a las variables: Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 88 ILUSTRACIÓN 2.19 Resultados de la pérdida de potencia del modelo ILUSTRACIÓN 2.20 Resultados de la pérdida de potencia del diseño de experimentos (función Y) Estas dos ilustraciones engloban, por separado, unas funciones que representa los valores de pérdida de potencia obtenida (ordenadas) y el número de resoluciones (abscisas) en un gráfico de dispersión con líneas suavizadas. Los datos que aparecen en el gráfico no tienen unidades, la pérdida de potencia se expresa en %. Observamos que las graficas son prácticamente iguales menos en los intervalos de 6 a 8. Las dos poseen casi la misma forma, el mismo número de puntos máximos y mínimos, y el mismo recorrido (ya que el número de resoluciones coinciden en las dos graficas, como es de suponer). Podemos concluir que la variación de los resultados en las dos ecuaciones es prácticamente la misma, salvo que el rango de resultados de la función Y es mucho menor que la ecuación del modelo, ya que solo hemos agrupado 3 efectos para calcularla, ya que esos tres efectos se corresponden con el número de revoluciones, ancho de cara del diente y número de dientes den engranaje de entrada, cada uno por separado. 0,00E+00 5,00E-02 1,00E-01 1,50E-01 2,00E-01 2,50E-01 0246810 0,065 0,066 0,067 0,068 0,069 0,07 0,071 0246810 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 95 Para poder comentar los resultados de los diferentes modelos, los de la ecuación extraída de los artículos, adjuntamos una tabla y una ilustración para comentarlas a continuación: AND & LOW art1 SHIPLEY BUCKINGHAM AND & LOW art4 MERRITT Perdida de potencia en % 2,10E-01 1,88187234 0,002663027 0,088209199 0,60555993 5,48E-02 1,40621575 0,041512097 0,072578632 0,09883416 1,26E-01 3,2932766 0,029419707 0,147147675 0,21111842 8,98E-02 0,71649753 0,003610707 0,172571598 0,34962019 2,80E-03 0,9024786 0,143476296 0,146617418 0,01989369 3,34E-02 2,46087757 0,182445777 0,103030178 0,03445689 2,42E-02 0,51570206 0,064415519 0,116165872 0,05706193 5,52E-03 1,25387067 0,011318884 0,231510074 0,12188927 TABLA 2.57 Resumen de las pérdidas de potencia ILUSTRACIÓN 2.29 Gráfica resumen de los resultados. Analizaremos la tabla de resultados y la ilustración. Esta ilustración engloba las funciones que representa los valores de pérdida de potencia obtenida (ordenadas) y el número de resoluciones (abscisas) en un gráfico de dispersión con líneas suavizadas. Los datos que aparecen en el gráfico no tienen unidades, la pérdida de potencia se expresa en %. Los modelos más fiables a la hora de calcular la eficiencia son: Anderson & Loewendal artículo 1 y Buckingham (estando entre los límites de cálculo especificados en Anderson & Loewendal artículo 1), ya que sus resultados son muy semejantes. -5,00E-01 0,00E+00 5,00E-01 1,00E+00 1,50E+00 2,00E+00 2,50E+00 3,00E+00 3,50E+00 0123456789 AND & LOW art1 SHIPLEY BUCKINGHAM AND & LOW art4 MERRITT Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 96 Como ya hemos comentado en los párrafos anteriores, observamos los resultados de los diferentes modelos en la AND & LOW art1 SHIPLEY BUCKINGHAM AND & LOW art4 MERRITT Perdida de potencia en % 2,10E-01 1,88187234 0,002663027 0,088209199 0,60555993 5,48E-02 1,40621575 0,041512097 0,072578632 0,09883416 1,26E-01 3,2932766 0,029419707 0,147147675 0,21111842 8,98E-02 0,71649753 0,003610707 0,172571598 0,34962019 2,80E-03 0,9024786 0,143476296 0,146617418 0,01989369 3,34E-02 2,46087757 0,182445777 0,103030178 0,03445689 2,42E-02 0,51570206 0,064415519 0,116165872 0,05706193 5,52E-03 1,25387067 0,011318884 0,231510074 0,12188927 TABLA 2.57 Resumen de las pérdidas de potencia. En primer lugar, los métodos de Merritt y Buckingham no muestran ninguna variación en la eficiencia con la carga. Sus coeficientes de fricción carecen de un factor de carga, con lo que la pérdida es un porcentaje constante de la carga transmitida. Esto resulta en una eficiencia constante en cualquier par de torsión. En general, la mayor variación en la eficiencia predicha se produce a bajas velocidades, cuando la velocidad se incrementa, las variaciones no son tan grandes. Los resultados de Anderson & Loewendal (articulo 1 y 4), Buckingham y Merritt, son los más repetidos, entorno a décimas. Debido a que este resultado es más común, suponemos que estos tres son los modelos que más concuerdan con la realidad. El modelo de Shipley, tiene unos resultados un poco más pesimistas que los anteriores, pero debido a la proximidad de los resultados con los modelos anteriores, podemos admitir que es un modelo válido para el cálculo de la pérdida de potencia. A continuación, comentamos los resultados de los diferentes modelos, los calculados a través del diseño de experimentos y el método MEDA, adjuntamos una tabla y una ilustración para comentarlas a continuación: AND & LOW art1 SHIPLEY BUCKINGHAM AND & LOW art4 MERRITT Pérdida de potencia en % (función Y) 0,070335629 1,55256617 0,058497195 0,134565872 0,18996803 0,068732093 1,55189046 0,060285404 0,133261822 0,18548152 0,069258821 1,56000961 0,059498866 0,134799348 0,18805955 0,06934001 1,52340688 0,058497195 0,134658313 0,18996803 0,065751786 1,55051283 0,061149542 0,136195839 0,18008456 0,067269611 1,5593339 0,061149542 0,134672776 0,18008456 0,067214269 1,52375683 0,060285404 0,134784886 0,18548152 0,068263201 1,55016287 0,059498866 0,135339542 0,18805955 TABLA 2.58 Resumen de las pérdidas de potencia por el diseño de experimentos (función Y) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 97 ILUSTRACIÓN 2.30 Gráfica resumen de los resultados de la función Y Analizaremos la tabla de resultados y la ilustración. Esta ilustración engloba las funciones que representa los valores de pérdida de potencia obtenida (ordenadas) y el número de resoluciones (abscisas) en un gráfico de dispersión con líneas suavizadas. Los datos que aparecen en el gráfico no tienen unidades, la pérdida de potencia se expresa en %. En esta tabla y esta ilustración, se validan las argumentaciones expuestas en el párrafo anterior. Son los mismos modelos los que tienen resultados muy aproximados. El modelo de Shipley se aleja un poco de los anteriores, pero lo consideraremos valido para el cálculo de la pérdida. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0123456789 AND & LOW art1 SHIPLEY BUCKINGHAM AND & LOW art4 MERRITT Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 98 Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 99 3. ANEXOS 3.1. Relaciones geométricas comunes a todos los modelos Estas relaciones han sido obtenidas del libro Manual de Engranajes. Diseño, manufactura y aplicación de engranajes (Dudley, 1973). ( ) ( ) pR N metros dientesn enP N R p N R p P DR P DR DRDR pD N metros dientesn enP N D p N D p P DD P DD DDDD P N D P N D p p p p p pb b ggtppt ggbppb p p p p p po b ggappa ggoppo p p g g π ππ θθ π ππ θθ ==       ==      +=      += == ==       == +=+= == == ·2 º ; ··2 ; ··2 2 ·5,0; 2 ·5,0 ·cos·5,0;·cos·5,0 º ; · ; · 2 ; 2 ·cos;·cos ; , ,, ,, , ,, ,, EC. 1.75 siendo Dg diámetro primitivo del engranaje de salida (metros) Dp diámetro primitivo del piñón o engranaje de entrada (metros) P paso diametral (nº dientes/ metro) Do,p diámetro base del piñón o engranaje de entrada (metros) Do,g diámetro base del engranaje de salida (metros) Da,p diámetro exterior del piñón o engranaje de entrada (metros) Da,g diámetro exterior del engranaje de salida (metros) Rb,p radio base del piñón o engranaje de entrada (metros) Rb,g radio base del engranaje de salida (metros) Rt,p radio exterior del piñón o engranaje de entrada (metros) Rt,g radio exterior del engranaje de salida (metros) p paso circunferencial (metros/nº dientes) pb paso circunferencial base (metros/nº dientes) Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 100 Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada Ng nº de dientes del engranaje de salida 3.2. Tabla de variables Símbolo Significado Unidades C 1 convierte unidades expresadas en el sistema inglés al sistema internacional - C 3 convierte los Vatios en kilovatios - C 6 convierte unidades del sistema británico en unidades del sistema internacional - C 8 convierte unidades del sistema británico en unidades del sistema internacional - C 13 convierte unidades del sistema británico en unidades del sistema internacional - C p convierte pulgadas en metros - C N-L convierte Newtons en libras - C w convierte revoluciones a rad - C d convierte pulgadas a pies - C s convierte min-1 a s-1 - µ 0 viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas Newton·s/m2 θ ángulo de presión grados n p velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada rpm F ancho de la cara del diente m N p nº de dientes del piñón o engranaje de entrada - m g relación de transmisión - P paso diametral nº dientes/pulgada T p par transmitido Nm v viscosidad cinemática del lubricante pies2/s TABLA 3.59 Variables del proyecto Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 101 Símbolo Valor C 1 29,66 C 3 0,001 C 6 29,66 C 8 196,8504 C 13 0,0114 C p 0,0254 C N-L 0,22473211 Cw 2p C d 1/12 C s 1/60 TABLA 3.60 Valores de las constantes 3.3. Explicación gráfica de las variables ILUSTRACIÓN 3.31 Variables del engranajes Proyecto final de carrera Eficiencia de engranajes de dentado recto 102 ILUSTRACIÓN 3.32 Viscosidades absolutas de los aceites SAE