Repositorio Institucional de Documentos

Agradecimientos Me gustar´ıa dar las gracias a Sven Lentzen por la oportunidad dada, tiempo y dedicaci´on durante estos meses. Tambi´en me gustr´ıa agradecer su dedicaci´on a la profesora Estefan´ıa Pe˜na, ya que sin ellos hubiese sido imposible el resultado de este proyecto. Agradecer tambi´en a mis padres su paciencia y dedicaci´on invertidas en m´ı as´ı como su apoyo durante estos a˜nos, finalmente agradecer a Floor ter Heijne por aguantarme todo este tiempo. 1 A mis padres y a Floor 2 Resumen Actualmente ning´un software cumple por completo con las exigencias computacionales requeridas en la ingenier´ıa, exigencias que se han ido generando a lo largo de los a˜nos debido a la multidisciplinidad de los proyectos, donde la computaci´on num´erica juega un papel muy importante. En la acutalidad debido a esta multidisciplinalidad en los proyectos es inevitable utilizar diferentes softwares comerciales para analizar por completo un problema. Esta es una situaci´on indeseada ya sea por costes, licencias, tiempo de espera etc... Por este motivo un nuevo entorno de trabajo se esta desarrollando desde hace 3 a˜nos y medio en TNO. Este nuevo entorno de trabajo se llama UIL, en este nuevo software diferentes tipos de modelos y procedimientos se pueden acoplar perfectamente. El objetivo de este proyecto es implementar una librer´ıa para tratar diferentes modelos usando el m´etodo de los elementos finitos con mallados no coincidentes, con el objetivo de conseguir el entendimiento entre ellos. El proyecto consiste en la elecci´on de un metodo id´oneo para realizar el acoplamiento entre objetos, respetando la filosofia ya crada del entorono, as´ı como la implementaci´on y validaci´on del mismo. 3 ´ Indice general 1. Introducci´on 6 2. Base te´orica e investigaci´on de los m´etodos 9 2.1. Resumen de los m´etodos existentes . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. Multiplicadores de Lagrange Localizados . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. Discretizaci´on del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5. Discretizaci´on del contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6. Discretizaci´on en Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7. Localizaci´on de los nodos en gamma . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9. Programaci´on orientada a objeto . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.10. Descripci´on del mallado en Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Ejemplos 24 3.1. Ejemplo1 ............................. 24 3.2. Ejemplo2 ............................. 27 3.3. Ejemplo3 ............................. 31 4. Conclusiones 35 Anexo I: Introduction 37 Anexo II: Theoretical principles 39 Anexo III: Implementation 49 Anexo IV: Validation 67 Anexo V: Examples 87 Anexo VI: Conclusions 98 4 ´ Indice de Figuras 100 ´ Indice de tablas 102 5 Cap´ıtulo 1 Introducci´on La motivaci´on para la realizaci´on de este proyecto recae en el inter´es personal del completo entendimiento del m´etodo de elementos finitos (MEF) aplicado en softwares. Estos son bien reconocidos y utilizados, pero persolnamente tenia el desconocimiento de como el MEF es implementado en los diferenetes softwares comerciales. Ya que actualmente, debido al car´acter multidisciplinar de la mayoria de proyectos ingenieriles, es a veces imposible evitar usar diferentes softwares comerciales para abarcar el an´alisis comple- to de un problema complejo. Sin embargo, a d´ıa de hoy, ning´un software comercial cumple por completo las necesidades del an´alisis completo que la ingenier´ıa necesita. En el caso de enfrentarnos a problemas multidisciplinares, en la actualidad se requiere el uso de diferentes paquetes o librerias dentro del mismo software, eso hace que se tengan que utilizar diferenetes licencias. El echo de usar diferentes licencias para abarcar un problema complejo, encarece mucho el proceso de dise˜no, y se genera una p´erdida de tiempo debido a la demanda de estas licencias, as´ı como en temas de incompatibilidades. Por lo tanto viendo estas carencias en los softwares actuales, se decidi´o empezar hace tres a˜nos con el desarrollo de un nuevo proyecto que consistia en dise˜nar un software que pudiese enfrentarse a proyectos multidisciplinares en un ´unico entorno. De forma que un nuevo entorno llamado UIL sali´o a la luz. UIL es un software con una nueva filosof´ıa de modelado. ´ Este permite el an´alisis de diferentes fen´omenos en un mismo entorno. Este software abarca diferentes t´ecnicas de an´alisis (FEM, BEM, modelos anal´ıticos, SEA etc...). El objetivo de UIL es hacer frente a la multidisciplinaridad de los proyectos ingenieriles, con diferentes dominios f´ısicos. Enfrentarse a problemas multif´ısicos, muchas veces implica que las discretizaciones sean diferentes. Esto es debido a la diferente naturaleza de los dominios. Diferentes discretizaciones implica en t´erminos de elementos finitos un diferente refinamiento del mallado. Esta variaci´on en el tama˜no de la malla hace que los nodos de cada 6 una no coincidan en su zona de acoplamiento. Cuando esta situaci´on ocurre, se denomina com´unmente mallados no coincidentes non-matching grids. Los m´etodos cl´asicos de elementos finitos, no pueden hacer frente a este tipo de situaciones. Por esa raz´on, el objetivo principal de este proyecto final de carrera es estudiar, desarrollar e imlementar una librer´ıa orientada a objecto para enfrentarse a problemas con mallados no coincidentes. Ya que no solo diferentes dominios f´ısicos pueden tener diferenetes discretizaciones debido a su diferente naturaleza, sino que el objetivo es tambi´en que problemas con un ´unico dominio f´ısico puedan tener diferentes discretizaciones. Con esto, lo que se pretende es tener la capacidad dividir grandes modelos en modelos a menor escala y analizarlos independientemente, manteniendo las condiciones a las que estaba sometido. Con lo que la consecuci´on del ´exito del objetivo del proyecto queda reflejada en los ejemplos desarrollados en el apartado correspondiente. UIL as´ı como la librer´ıa implementada en este proyecto final de carrera estan programados en Matlab utilizando la programaci´on orientada a objeto. La programaci´on orientada a objeto usa un enfoque que obliga al programador a almacenar datos donde el programa no tiene acceso directo. En su defecto, se accede a los datos a trav´es de los com´unmente llamados m´etodos, donde los datos pueden estar incluidos o heredados del objeto clase. La ventaja de esta forma de programaci´on, es una r´apida y m´as entendible forma de programar. Para crear esta librer´ıa, se ha desarrollado un m´etodo basado en la descomposici´on de dominios a trav´es del m´etodo de elementos finitos. La introducci´on del concepto de descomposici´on de dominios permite enfrentarnos a los problemas con mallados no coincidentes haciendo una reformulaci´on del principio variacional que se emplea en el m´etodo de elementos finitos. Debido a la complejidad actual de los proyectos ingenieriles, la descomposici´on de dominios crea una gran flexibilidad que permite subdividir problemas a gran escala en problemas intercambiables a menor escala. Al introducir el concepto de intercambiabilidad, nos referimos a la posibilidad de UIL de resolver diferentes configuraciones de un problema, evitando as´ı el c´alculo para cada situaci´on. Esta mejora, pretende facilitar y ´agilizar el trabajo del ingeniero, as´ı como hacerlo m´as entendible para el programador. Para implementar esta librer´ıa en UIL se han seguido los diferentes pasos que se explican a continuaci´on. Primero, se ha echo una recopilaci´on de informaci´on donde se han estudiado y valorado los diferentes m´etodos existentes. Segundo, se ha elegido el m´etodo m´as adecuado para implementarlo en UIL, teniendo en cuenta los requisitos de este. Tercero, el m´etodo elegido se ha implementado en UIL en forma de algoritmo. El m´etodo se ha implementado 7 en UIL para dos tipos de elementos, s´olidos (solid shell) y elementos planos (shell). Cuarto, el algoritmo implementado ha sido validado. Mediante las que se compara el nuevo m´etodo implementado con el m´etodo tradicional de elementos finitos y con m´etodos anal´ıticos cuando sea posible. Finalmente, se muestran alagunos ejemplos calculados con la nueva librer´ıa as´ı como las conclusiones del proyecto. 8 Cap´ıtulo 2 Base te´orica e investigaci´on de los m´etodos En este cap´ıtulo se presentan brevemente los m´etodos estudiados despu´es de una amplia b´usqueda en la literatura. Seguidamente, se describe extensamente el m´etodo elegido para implementarlo en UIL. 2.1. Resumen de los m´etodos existentes En los m´etodos cl´asicos de elementos finitos, los mallados en los contornos son coincidentes ya que todos los nodos y grados de libertad coinciden. En este tipo de situaciones los problemas pueden ser resueltos usando m´etodos bien conocidos. Por el contrario cuando los nodos y por lo tanto, los grados de libertad no coinciden en los contornos, se nos presenta una situaci´on que es com´unmente llamada mallados no coincidentes (non-matching grids). Para resolver problemas con mallados no coincidentes, se pueden seguir varios m´etodos basados en la descomposici´on de dominios. La descomposici´on de dominios consiste en la separaci´on de un ´unico dominio en varios subdominios preservando las condiciones de uni´on previas a la divisi´on de estos. Este principio esta ampliamente explicado en la secci´on 2.2. Los mallados no coincidentes, surgen debido a diferentes razones, principalmente f´ısicas, aunque tambi´en computacionales o de modelado. Los m´etodos para el acoplamiento de mallados no coincidentes incluye m´etodos primales y duales. Los m´etodos primales, tambi´en llamados multiplicadores de Lagrange clasicos (clasical Lagrange multipliers), enlazan los desplazamientos en el contorno de un subdominio con los desplazamientos del contorno de otro subdominio. La energ´ıa total del sistema se obtiene a˜nadiendo las restricciones en el contorno de acoplamiento a la energ´ıa libre de los dominios no interco- 9 f´ısicas cuando ´estas se localizan en los nodos. Para demostrar este argumento utilizamos la funci´on Dirac’s delta como se ve representado en la siguiente equaci´on. λk l= Nk X j=1 D(x−xj)λk l(xj); k= 1,2 (2.10) donde λ(xm)D(x−xm) =      λ(xm)ifx =xm 0otherwise    Esto simplifica extremadamente la integraci´on por la propiedad de la funci´on delta de Dirac [15]. Zd −d δ(t−a)f(a)dt =f(a); −∞ ≤ −d≪a≪d≤ ∞ (2.11) Por lo tanto, las matrices que se muestran a continuaci´on creadas utilizando las integrales apropiadas en t´erminos funcionales de energia del sistema. ZΓB λiuidΓB⇒λT[ZΓe B NT λneneTnBNdΓe B]u=λT[Be]u(2.12) donde Beson las matrices booleanas. ´ Estas no deben ser confundidas con las matrices de deformaciones. En este caso, la integraci´on se lleva a cabo a lo largo de la superficie del elemento en el contorno del dominio. Estas matrices elementales son ensabladas posteriormente en las matrices globales Bque est´an asociadas con el contorno s´olamente. Por lo tanto, la matriz Bcoloca a los multiplicadores de Lagrange como fuerzas puntuales con los desplazamientos nodales de los subdominios. 16 2.6. Discretizaci´on en Γ Γ se discretiza por elementos, la posici´on de los nodos viene determinada por la conservaci´on del estado de tensi´on a trav´es de la regla del momento cero. El concepto principal del momento cero es asegurar que las fuerzas en Γ (multiplicadores de Lagrange) satisfagan el estado de equilibrio y por lo tanto el estado de tensi´on constante se mantenga. Esto se cumple verificando el test de la parcela [22] en el contorno Γ. La fuerza y el momento resultante se determinan tomando las respectivas fuerzas de cada subdominio y evaluando las fuerzas y momentos resultantes en Γ como describe la figura 2.5. Figura 2.5: Representaci´on gr´afica de las fuerzas y momentos 17 Asumiendo la discretizaci´on adecuada en Γ, los desplazamientos en Γ son interpolados con las funciones de aproximaci´on estandares. u(e) Bi =NBue B(2.13) Con la aproximaci´on de los desplazamientos en Γ y los multiplicadores de Lagrange, se crea la siguiente matriz de conexi´on a partir de la integral apropiada en t´erminos de energia funcional del sistema. ZΓB λiuBidΓB⇒λT S[ZΓe B NT λSneneTnBdΓe B]uB=λT S[Le S]uB(2.14) donde Le Sdescribe las matrices de conexi´on donde se incluye la componente normal. Aqu´ı, la integraci´on es llevada a cabo a lo largo de la superficie de los elementos de gamma ΓB. Esto simplifica y agiliza extremadamente la integraci´on, debido a las propiedades de la funci´on delta de Dirac, la cual se utiliza para a las funciones de aproximaci´on en los multiplicadores de Lagrange. Estas matrices elementales son ensambladas en las matrices globales Lkque estan asociadas solo con los contornos. El sub´ındice kdescribe la partici´on a la cual se refiere la matriz. Ya que las matrices Lkson las que hacen posible enfrentarse a los efectos de los mallados no coincidentes. 2.7. Localizaci´on de los nodos en gamma Para llevar a cabo el posicionameinto adecuado de los nodos en gamma, es indispensable tener en cuenta el equilibrio de gamma. De ahora en adelante el campo de desplazamientos se mantendr´a como uien vez de separarlo en riydipara simplificar su explicaci´on. Gubi(λm li , δubi) = Z∂Ωm b λm li δubiδS (2.15) Si tenemos por ejemplo un problema descrito por dos subdominios, el operador de equilibrio se expresar´a como muestra la ecuaci´on 2.16. Gubi(λ1 li, λ2 li, δubi) = Z∂Ω1 b λ1 liδubiδS +Z∂Ω2 b λ2 liδubiδS (2.16) La ecuaci´on describe la proyecci´on desde el respectivo dominio hacia gamma. En el cual λ1=N1 λλ1λ2=N2 λλ2ub=Nb uub(2.17) 18 Donde N1 λ,N2 λ,Nb u, describen las conocidas funciones de aproximaci´on del m´etodo de elementos finitos para el ejemplo descrito. Las cuales nos conducen la siguiente discretizaci´on: Gubi(λ1 li, λ2 li, δubi) = [(λ1)TC1b + (λ2)TC2b]δub= 0 (2.18) Lk=Z∂Ωk b Nk λNb u∂S k = 1,2 (2.19) Donde Lkrepresenta las matrices de conexi´on. Los tres factores que influyen en las discretizaci´on son: 1.- Interpolaci´on de los multiplicadores de Lagrange 2.- Interpolaci´on de los desplazamientos en gamma. 3.- Preservaci´on del estado de Tensi´on constante. 2.8. Algoritmo En este apartado se describe paso a paso el procedimineto para implementar el algoritmo y as´ı solucionar los problemas de elementos finitos con mallados no coincidentes. Por lo tanto, para empezar el procedimiento, es necesaria la programaci´on de las fuerzas nodales asociadas con el estado de tensi´on constante en los contornos. Para obtener estas fuerzas, se procede a realizar el siguiente procedimiento. 1.- Selecci´on de los elementos en el contorno de cada subdominio 2.- Dado un elemento finito com´un, se obtiene la matriz de desplazamientos Bǫy se evalua en el centro del elemento obteniendo as´ı Bǫ(0). 3.- La contribuci´on de la fuerza nodal elemental al estado de Tensi´on constante es: f(e)=V[B(e) ǫ(0)]Tσc(2.20) donde Vdescribe la dimensi´on adecuada. 4.- Las fuerzas en el contorno de cada subdominio se obtienen de la siguiente forma λk(σc) = LTfb;fb=AT bf;f= [(f(1))T(f(2))T...(f(n))T]T(2.21) donde Les la matriz boleana que se encarga de extraer los grados de libertdad de los nodos en el contorno, Abes la matriz de ensamblaje que recoje la aportaci´on elemental en las fuerzas nodales del contorno, ndescribe la cantidad de fuerzas nodales. 19 Dado el estado de tensi´on constante de cada subdominio, los nodos en gamma se determinan con el fin de preservar el estado de equilibrio entre subdominios. Esto empieza por examinar la variaci´on de la funci´on del contorno en relaci´on con la variaci´on de los desplazamientos en el contorno. δΠB(uBi) = ZΓB δuBiλBidΓB(2.22) Donde λBi se refiere a las fuerzas en los contornos, las cuales son la suma de las fuerzas en los diferenetes subdominios. Una vez echa la discretizaci´on de los desplazamientos en los contornos y colocadas las fuerzas en los nodos de los respectivos contornos, aparezen la fuerza njy momento mjresultante correspondiente a los desplazamientos en gamma actuando sobre la posici´on de gamma xBj = (xj, yj, zj). Los momentos son tomados en cuenta ya que las fuerzas internas de los diferentes subdominios crean una rotaci´on interna en gamma. 5.- La fuerza y momento resultante son determinados a trav´es de la evaluaci´on de la siguiente condici´on: δΠB(uB) = ( Ntotal X s=1 nT ksIs)δαx+ ( M X j=1 ( N X s=1 nT ksχs)j)δαθ= 0 (2.23) Donde Mson los nodos en gamma, Nes el n´umero de nodos que contribuyen en la posici´on jde gamma. Debido a que δαxyδαθson independientes , los resultados de las ecuaciones son: Equilibrio de fuerzas: Ntotal X s=1 nT ks = 0 (2.24) Equilibrio de momentos: ( M X j=1 ( N X s=1 nT ksχs)j) = 0 (2.25) Se puede comprobar que el dominio gamma ser´a creado a partir del cumplimiento de la ecuaci´on 2.24 y 2.25. Por lo tanto, cada vez que se encuentra una posici´on donde la ecuaci´on cumple, se crea un nodo en gamma y ese procedimiento se repite a lo largo de la superficie de acoplamiento creando as´ı el nuevo dominio gamma. 20 2.9. Programaci´on orientada a objeto Uil es un software programado en orientaci´on al objeto (OOP). Este tipo de programaci´on usa un lenguaje organizado alrededor de objetos en lugar de acciones. Los objetos son variables con prop´ositos especiales, que contienen un grupo de operaciones establecidas que se pueden variar modificando los datos que los objetos contienen. Las acciones se llaman m´etodos. Los m´etodos proporcionan las instrucciones y son definidos como funciones. Los objetos se definen como clases, por lo tanto un objeto es un subconjunto de una clase. La clase define el comportamiento y las caracter´ısticas de un objeto incluyendo los datos que contiene como propiedad. Los conceptos y relgas seguidas en OOP proporcionan una gran cantidad de beneficios. El concepto de clase permite definir subclases que comparten algunas o todas las caracter´ısticas principales de la clase. La herencia es una propiedad de OOP que fuerza a un mayor an´alisis de los datos, reduce el tiempo de desarollo y asegura un desarrollo de c´odigo m´as preciso. En una clase se definen una serie de datos necesarios para el desarrollo del problema, por lo tanto cuando una rutina de una clase es llamada, esta solamente accede a los datos que la rutina necesita para su correcta soluci´on siendo imposible acceder a otros datos. La definici´on de clase es reusable no solamente por el programa por el cual ha sido inicialmente creado sino que tambi´en por otros programas orientados al objeto (por esta raz´on puede ser distribuido m´as f´acilmenete para ser usado en redes). El concepto de datos de clase permite al programador crear cualquier tipo de nuevos datos que no estan todavia definidos en el propio lenguaje. Todos estos beneficios de OOP permiten que la tarea de programar sea m´as f´acil y m´as entendible para los programadores y permitir m´as f´acilmente la adici´on de nuevo c´odigo en UIL. Una descripci´on m´as detallada de la implementaci´on de esta libreria programada en OOP en UIL se ecuentra en el anexo correspondiente a implementaci´on. 2.10. Descripci´on del mallado en Γ Volviendo al apartado de la localizaci´on de los nodos en Γ, se puede observar como utilizando la regla del momento cero, encontrar las raizes donde posteriormente se colocar´an los nodos en Γ puede resultar una tarea sencilla cuando nos enfrentamos a porblemas 1D. Por el contrario, resulta una tarea imposible cuando las geometrias son m´as complejas, es decir en 2D o 3D, por lo tanto resulta imposible crear el dominio Γ. Por esta raz´on, 21 para enfrentarnos a este tipo de problemas m´as complejos se ha realizado un procedimiento que difiere del procedimiento pretendido en el algoritmo te´orico. Ya que con este anterior resultaria imposible solucionar problemas en 2D y 3D. El procedimiento creado consiste crear una malla. Esta malla que llamamos mallado de escaneo se coloca entre los differentes subdominios a acoplar. El mallado de escaneo es un mallado mucho m´as fino que el m´as fino de los mallados de un subdominio. Este mallado se utiliza una vez que se han calculado los momentos en los diferentes ejes a partir de las fuerzas en los contornos a acolplar. Este mallado de escaneo barre toda la superficie encontrando las raices en los diagramas de momentos, es decir puntos donde los momentos flectores son cero. Por lo tanto, cada vez que el mallado de escaneo encuentra un cero, lo almacena y lo a˜nade al dominio Γ. Debido a que este no puede ser infinitamente denso, se han establecido unas tolerancias. Cuando el valor en el diagrama de momentos es muy proximo a cero, se almacena. Por lo tanto, al final del proceso se almacenan m´as ceros que los que corresponden a los momentos cero estrictos. Esto crea una nuve de puntos al rededor del momento cero estricto, por lo que una vez que todos los ceros estan alamcenados se cojen estos por grupos, donde cada grupo corresponde a una nuve de puntos al rededor del momento cero estricto y se realiza una media entre ellos, para encontrar el zero exacto. Esta media se realiza tenetiendo en cuenta el tipo de sistema de coordenadas que se utiliza, ya sea cartesiando, cilindrico o esferico. Una vez entontrado el cero estricto, se pasa al siguiente grupo y as´ı succesivamente hasta que que se completa el proceso. De esta forma se configura Γ para geometrias complejas. Figura 2.6: Mallado de escaneo extendido en una esctructura esf´erica 22 Figura 2.7: Mallado de escaneo en una estructura mixta Figura 2.8: Dominio Γ creado a partir de dos subestructuras 23 Cap´ıtulo 3 Ejemplos En este cap´ıtulo se presentan diferentes ejemplos calculados utilizando la libreria programada para UIL. Adem´as, en este cap´ıtulo se muestran diferentes mallados de escaneo as´ı como las discretizaciones en Γ. 3.1. Ejemplo 1 Este ejemplo consiste en dos vigas conectadas entre si simulando una viga continua con diferenetes discretizaciones como se muestra en la figura 3.1. Figura 3.1: Viga continua 24 Para el c´alculo de este ejemplo, se han establecido las siguientes condiciones de contorno, en un extremo de la viga se han restringido desplazamientos y giros, es decir simula una viga perfectamente empotrada. Por otro lado, se le ha aplicado una solicitaci´on vertical hacia abajo los nodos inferiores del extremo contrario. Los par´ametros del problema estan descritos en la siguiente tabla. Tabla 3.1: Datos de la viga E 7E10 N m2 ν0.3 G 2,6927E10 N m2 ρ2700 kg m3 α1,1875 C−1 β6,015E−4 L1 10 m L2 1 m h0,1m Fy −350 N Numero de elementos en la viga 1 50 Numero de elementos en la viga 2 60 Como se ha explicado en cap´ıtulos anteriores, para crear el dominio Γ se utiliza un mallado de escaneo. Este mallado de escaneo se coloca entre los dos dominios como se observa en la figura 3.2 con la finalidad de encontrar los puntos donde los momentos y fuerzas resultantes sean cero. Figura 3.2: Mallado de escaneo Una vez los nodos en Γ se han localizado, se crea el domio Γ. Este tiene el aspecto que se muestra en la figura 3.3. En esta figura se muestra el mallado del contorno de acoplamiento de ambas estructuras junto con el mallado del dominio Γ creado a partir del procedimiento explicado. 25 Tabla 3.3: Datos de la estructura E7E10 N m2 ν0.3 G2,6927E10 N m2 ρ2700 kg m3 α1,1875 C−1 β6,015E−4 R1 2 m e1 0,25 m R2 2 m e2 0,25 m L5m Fx 3,5E5N Fy 3,5E5N Numero de elementos en la estructura 1 50 Numero de elementos en la estructura 2 100 Una vez mas se presenta el mallado de escaneo para la realizaci´on de Γ. Figura 3.10: Mallado de escaneo 32 Mediante el uso del mallado de escaneo (figura 3.10) se crea el dominio Γ, con el cual realizamos la conexi´on entre subdominios. en la figura 3.11 se presenta el dominio Γ creado para el c´alculo de este ejemplo. Figura 3.11: Dominio en Γ Finalmetne, se muestra la deformada del ejemplo calculado en la figura 3.12. Una vez m´as se muestra como Γ funciona de conexi´on entre subdominios. 33 Figura 3.12: Deformada de la estructura 34 Cap´ıtulo 4 Conclusiones La realizaci´on de este proyecto ha consistido en la exitosa consecuci´on de una eficiente librer´ıa para UIL programada en orientaci´on al objeto. Esta librer´ıa permite a UIL resolver problemas con mallados no coincidentes que con otros softwares comerciales no es posible resolver. El objetivo pricipal de este proyecto final de carrera consiste en el procesamiento de problemas de elementos finitos con mallados no coincidentes. Como se ha podido comprobar en el apartado de validaciones y ejemplos, el objetivo de este proyecto se ha cumplido con ´exito, dejandose abierto para futuras mejoras y extenesiones, ya que UIL todavia se encuentra en fases muy tempranas. Estas extensiones pueden ser f´acilmente incorporadas debido a la f´ormula de programaci´on orientada a objeto, tambi´en debido a que el m´etodo implementado permite el an´alisis multif´ısico. No hay que olvidar que este m´etodo tambi´en permite la computaci´on en paralelo, lo cual genera una gran flexibilidad a la hora de resolver problemas ya que problemas a gran escala se pueden dividir en problemas a menor escala haciendo menos costosa su soluci´on. La distribuci´on del trabajo para realizar este proyecto ha sido la siguiente. En la primera fase, he echo una b´usqueda en la literatura. Una vez elegido el m´etodo a implementar en la librer´ıa, este se adapto para una utilizaci´on gen´erica y seguidametne se implement´o. Finalmente, una vez la librer´ıa estaba programada se valid´o y se realizaron unos ejemplos. Estos ejemplos describen la interacci´on estructura-estructura en elementos finitos utilizando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange localizados. Con este m´etodo, los problemas con mallados no coincidentes incluso con geometrias complejas, son f´acilmente tratados. Los conceptos principales que rigen este m´etodo consisten en la conservaci´on del estado de tensi´on constante, la cual se consigue con el tratamiento de la zona de acoplamiento y la creaci´on de un dominio independiente Γ, la cual proporciona una gran flexibilidad a la hora de la soluci´on de pro- 35 blemas. La conservaci´on del estado de tensi´on constante se consigue gr´acias a la utilizaci´on de la regla del momento cero y su variante creada para el pr´oposito de esta librer´ıa. Una vez el dominio independiente Γ esta creado matriz de interploaciones lineares es creada para transmitir las solicitaciones de un dominio a otro. Para futuras mejoras y exteneisones, se podria introducir m´as elementos finitos, as´ı como la introducci´on de diferenetes dominios f´ısicos para la evaluaci´on del m´etodo con estos. 36