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Abstract
En este trabajo se han seleccionado cuatro modelos matemáticos, desarrollados anteriormente por otros investigadores, que sirven para cuantificar las pérdidas de potencia que tienen lugar en transmisiones mecánicas formadas por engranajes cilíndricos de dentado recto teniendo en cuenta los fenómenos de deslizamiento, rodadura y fricción del aire que acontecen en estas transmisiones. Se han expresado los modelos de forma que pudieran ser comparables entre ellos convirtiendo las pérdidas de potencia en valores referidos a la eficiencia del sistema. Así, se ha analizado la influencia que las variables más relevantes y comunes a todos ellos tienen sobre la eficiencia del sistema por medio de la teoría de diseño de experimentos. Posteriormente, se han aplicado estos a cuatro casos prácticos para determinar si los modelos son aplicables a cualquier situación, sus rangos de aplicación y validez y sus semejanzas y diferencias con la idea de poder llevar a cabo investigaciones futuras. Tras estos pasos, se han analizado los resultados obtenidos y se ha concluido indicando que los modelos matemáticos analizados únicamente permiten una aplicación fiable tras haber llevado a cabo una experimentación práctica sobre el sistema en estudio y sobre el que pretenden emplearse. Sin esta experimentación previa se corre el riesgo de perder información relevante para el sistema. Esto puede acarrear errores en los cálculos sobre la eficiencia del mismo ya que algunas de las variables empleadas en estos modelos presentan sus propios modelos matemáticos obtenidos tras la experimentación en unas condiciones particulares y específicas. Durante la realización del trabajo se han detectado algunos errores en las ecuaciones que planteaban los autores, los cuales se han resaltado en las notas a pie de página de este trabajo. Fernández Concellón, Pedro José; Baselga Ariño, Santiago
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TrabajoFindeMáster MásterenSistemasMecánicos Análisisdemodelosexistentesparadeterminarlas pérdidasdepotenciaentransmisionesdeengranajes cilíndricosdedentadorectomediantelateoríadel diseñodeexperimentos Autor PedroJoséFernándezConcellón Director/es Dr.SantiagoBaselgaAriño EscueladeIngenieríayArquitectura(EINA) 2013
Análisisdemodelosexistentesparadeterminarlas pérdidasdepotenciaentransmisionesdeengranajes cilíndricosdedentadorectomediantelateoríadel diseñodeexperimentos RESUMEN En este trabajo se han seleccionado cuatro modelos matemáticos, desarrollados anteriormente por otros investigadores, que sirven para cuantificar las pérdidas de potencia que tienen lugar en transmisiones mecánicas formadas por engranajes cilíndricos de dentado recto teniendo en cuenta los fenómenos de deslizamiento, rodadura y fricción del aire que acontecen en estas transmisiones. Se han expresado los modelos de forma que pudieran ser comparables entre ellos convirtiendo las pérdidas de potencia en valores referidos a la eficiencia del sistema. Así, se ha analizado la influencia que las variables más relevantes y comunes a todos ellos tienen sobre la eficiencia del sistema por medio de la teoría de diseño de experimentos. Posteriormente, se han aplicado estos a cuatro casos prácticos para determinar si los modelos son aplicables a cualquier situación, sus rangos de aplicación y validez y sus semejanzas y diferencias con la idea de poder llevar a cabo investigaciones futuras. Tras estos pasos, se han analizado los resultados obtenidos y se ha concluido indicando que los modelos matemáticos analizados únicamente permiten una aplicación fiable tras haber llevado a cabo una experimentación práctica sobre el sistema en estudio y sobre el que pretenden emplearse. Sin esta experimentación previa se corre el riesgo de perder información relevante para el sistema. Esto puede acarrear errores en los cálculos sobre la eficiencia del mismo ya que algunas de las variables empleadas en estos modelos presentan sus propios modelos matemáticos obtenidos tras la experimentación en unas condiciones particulares y específicas. Durante la realización del trabajo se han detectado algunos errores en las ecuaciones que planteaban los autores, los cuales se han resaltado en las notas a pie de página de este trabajo.
Índice 1 Índicegeneral Índicegeneral............................................................................................................................1 Índicedefiguras........................................................................................................................3 Índicedecuadros......................................................................................................................7 MEMORIA........................................................................................................................11 1.Introducción.........................................................................................................................11 1.1.Objeto..................................................................................................................................................11 1.2.Alcance................................................................................................................................................11 1.3.Revisióndelaliteratura.......................................................................................................................11 1.4.Contextodelanálisisrealizado............................................................................................................14 1.5.Metodologíaempleada.......................................................................................................................15 2.Modelosanalizados..............................................................................................................17 2.1.Introducción........................................................................................................................................17 2.2.Comparativadelasecuacionesdesarrolladasenlosdiferentesmodelosestudiados........................18 2.3.Consideraciónalaslimitacionesdelosmodelos................................................................................23 2.4.Seleccióndevariablesaanalizarycondicionesdeoperación............................................................24 3.AplicacióndelD.E.paraanalizarlaspérdidasdepotenciadebidasaldeslizamiento.............27 3.1.ModelodeShipley...............................................................................................................................28 3.1.1.Aplicacióndelestudio..................................................................................................................28 3.1.2.Significatividaddelosefectos......................................................................................................28 3.1.3.Cuantificacióndelasignificatividadyecuaciónrepresentativa..................................................31 3.2.ModeloreducidodeAndersonyLoewenthal.....................................................................................33 3.2.1.Aplicacióndelestudio(caso1)....................................................................................................33 3.2.2.Significatividaddelosefectos(caso1)........................................................................................33 3.2.3.Cuantificacióndelasignificatividadyecuaciónrepresentativa(caso1).....................................36 3.2.4.Aplicacióndelestudio(caso2)....................................................................................................38 3.2.5.Significatividaddelosefectos(caso2)........................................................................................38 3.2.6.Cuantificacióndelasignificatividadyecuaciónrepresentativa(caso2).....................................41 3.3.ModelodeBuckingham.......................................................................................................................43 3.3.1.Aplicacióndelestudio..................................................................................................................43 3.3.2.Significatividaddelosefectos......................................................................................................43 3.3.3.Cuantificacióndelasignificatividadyecuaciónrepresentativa..................................................46 3.4.ModelodeMerrit................................................................................................................................48 3.4.1.Aplicacióndelestudio..................................................................................................................48 3.4.2.Significatividaddelosefectos......................................................................................................48 3.4.3.Cuantificacióndelasignificatividadyecuaciónrepresentativa..................................................51 4.AplicacióndelD.E.paraanalizarlaspérdidasdepotenciadebidasalarodadura..................53 4.1.AplicaciónalModeloreducidodeAndersonyLoewenthal................................................................54 4.1.1.Aplicacióndelestudio(caso1)....................................................................................................54 4.1.2.Significatividaddelosefectos(caso1).......................................................................................54 4.1.3.Cuantificacióndelasignificatividadyecuaciónrepresentativa(caso1).....................................57 4.1.4.Aplicacióndelestudio(caso2)....................................................................................................59 4.1.5.Significatividaddelosefectos(caso2).........................................................................................59 4.1.6.Cuantificacióndelasignificatividadyecuaciónrepresentativa(caso2).....................................62 5.AplicacióndelD.E.paraanalizarlaspérdidasdepotenciadebidasalafriccióndelaire........65 5.1.AplicaciónalModeloreducidodeAndersonyLoewenthal................................................................66 5.1.1.Aplicacióndelestudio..................................................................................................................66 5.1.2.Significatividaddelosefectos......................................................................................................66 5.1.3.Cuantificacióndelasignificatividadyecuaciónrepresentativa..................................................69 5.2.AplicaciónalModelodeShipley..........................................................................................................71
Índice 2 5.2.1.Aplicacióndelestudio..................................................................................................................71 5.2.2.Significatividaddelosefectos......................................................................................................71 5.2.3.Cuantificacióndelasignificatividadyecuaciónrepresentativa..................................................74 6.Análisisglobaldepérdidas...................................................................................................77 6.1.Casopráctico1....................................................................................................................................79 6.2.Casopráctico2....................................................................................................................................83 6.3.Casopráctico3....................................................................................................................................87 6.4.Casopráctico4....................................................................................................................................91 7.Resultados............................................................................................................................95 7.1.Eficienciaconsiderandoelfenómenodedeslizamiento.....................................................................95 7.1.1.Valoracióndelainfluenciadelasvariablessignificativassobrelavariableobjetivo..................97 7.2.Eficienciaconsiderandoelfenómenoderodadura...........................................................................104 7.2.1.Valoracióndelainfluenciadelasvariablessignificativassobrelavariableobjetivo................105 7.3.Eficienciaconsiderandoelfenómenodefriccióndelaire.................................................................107 7.3.1.Valoracióndelainfluenciadelasvariablessignificativassobrelavariableobjetivo................108 7.4.Comparativadelaeficienciaglobaldelsistema................................................................................110 8.Conclusiones......................................................................................................................113 8.1.Pérdidaspordeslizamiento...............................................................................................................113 8.2.Pérdidasporrodadura.......................................................................................................................113 8.3.Pérdidasporfriccióndelaire.............................................................................................................114 8.4.Casosprácticos..................................................................................................................................114 ANEXOS.........................................................................................................................117 9.Operacionesintermediasdetransformacióndelosmodelos..............................................117 9.1.ModelodeAndersonyLoewenthal...................................................................................................117 9.2.ModelodeShipley.............................................................................................................................126 9.2.1.Pérdidasdepotenciadebidasaldeslizamiento.........................................................................126 9.2.2.Pérdidasdepotenciadebidasalafriccióndelaire....................................................................129 9.3.ModelodeBuckingham.....................................................................................................................132 9.4.ModeloreducidodeAndersonyLoewenthal...................................................................................136 9.4.1.Pérdidasdepotenciadebidasaldeslizamiento.........................................................................136 9.4.2.Pérdidasdepotenciadebidasalarodadura.............................................................................141 9.4.3.Pérdidasdepotenciadebidasalafriccióndelaire....................................................................144 9.4.4.Limitacionesdelostresmodelos...............................................................................................145 9.5.ModelodeMerrit..............................................................................................................................147 9.6.ModelodeGoy,TownsendyZaretsky..............................................................................................151 9.7.Relacionesgeométricascomunesatodoslosmodelos....................................................................156 10.TeoríadelDiseñodeexperimentos...................................................................................157 10.1.Introducción....................................................................................................................................157 10.2.Diseñoempleado.............................................................................................................................158 10.2.1.Estimadores.............................................................................................................................158 10.3.Significatividaddelosefectos.........................................................................................................161 10.3.1.Gráficodelosefectosprincipales............................................................................................161 10.3.2.DiagramadePareto.................................................................................................................162 10.3.3.Gráficodedistribuciónnormal................................................................................................163 10.3.4.MétododelaMEDA.................................................................................................................164 10.4.Tablaparaelcálculodepercentilesconladistribuciónnormalestándar......................................166 11.Bibliografía.......................................................................................................................169
Índice 3 Índicedefiguras FIGURA1.1Situaciónsimplificadaaestudiar____________________________________14 FIGURA3.1Gráficodeefectosprincipales(ec.9.25)______________________________29 FIGURA3.2DiagramadePareto(ec.9.25)______________________________________30 FIGURA3.3Gráficodedistribuciónnormal(ec.9.25)_____________________________30 FIGURA3.4Comparativaec.9.25delmodeloconlaec.3.1delD.E._________________32 FIGURA3.5Gráficodeefectosprincipales(ec.9.48)______________________________34 FIGURA3.6DiagramadePareto(ec.9.48)______________________________________35 FIGURA3.7Gráficodedistribuciónnormal(ec.9.48)_____________________________36 FIGURA3.8Comparativaec.9.48delmodeloconlaec.3.2delD.E._________________37 FIGURA3.9Gráficodeefectosprincipales(ec.9.48)______________________________39 FIGURA3.10DiagramadePareto(ec.9.48)_____________________________________40 FIGURA3.11Gráficodedistribuciónnormal(ec.9.48)____________________________40 FIGURA3.12Comparativaec.9.48delmodeloconlaec.3.3delD.E.________________42 FIGURA3.13Gráficodeefectosprincipales(ec.9.29)_____________________________44 FIGURA3.14DiagramadePareto(ec.9.29)_____________________________________45 FIGURA3.15Gráficodedistribuciónnormal(ec.9.29)____________________________45 FIGURA3.16Comparativaec.9.29delmodeloconlaec.3.4delD.E.________________47 FIGURA3.17Gráficodeefectosprincipales(ec.9.63)_____________________________49 FIGURA3.18DiagramadePareto(ec.9.63)_____________________________________50 FIGURA3.19Gráficodedistribuciónnormal(ec.9.63)____________________________50 FIGURA3.20Comparativaec.9.63delmodeloconlaec.3.5delD.E.________________52 FIGURA4.1Gráficodeefectosprincipales(ec.9.53)______________________________55 FIGURA4.2DiagramadePareto(ec.9.53)______________________________________56 FIGURA4.3Gráficodedistribuciónnormal(ec.9.53)_____________________________56 FIGURA4.4Comparativaec.9.53delmodeloconlaec.4.1delD.E._________________58 FIGURA4.5Gráficodeefectosprincipales(ec.9.53)______________________________60 FIGURA4.6DiagramadePareto(ec.9.53)______________________________________61 FIGURA4.7Gráficodedistribuciónnormal(ec.9.53)_____________________________61 FIGURA4.8Comparativaec.9.53delmodeloconlaec.4.2delD.E._________________63 FIGURA5.1Gráficodeefectosprincipales(ec.9.56)______________________________67 FIGURA5.2DiagramadePareto(ec.9.56)______________________________________68 FIGURA5.3Gráficodedistribuciónnormal(ec.9.56)_____________________________69
Índice 4 FIGURA5.4Comparativaec.9.56delmodeloconlaec.5.1delD.E._________________70 FIGURA5.5Gráficodeefectosprincipales(ec.9.26)______________________________72 FIGURA5.6DiagramadePareto(ec.9.26)______________________________________73 FIGURA5.7Gráficodedistribuciónnormal(ec.9.26)_____________________________73 FIGURA5.8Comparativaec.9.26delmodeloconlaec.5.2delD.E._________________75 FIGURA6.1ComparativaeficienciaglobalpormodelosCasopráctico1______________80 FIGURA6.2DiferenciaentrevaloresextremosdeeficienciaglobalCasopráctico1_____81 FIGURA6.3RangodevalidezparaelcálculodelaeficienciaglobalpormodelosCaso práctico1________________________________________________________________81 FIGURA6.4ComparativaeficienciaglobalpormodelosCasopráctico2______________84 FIGURA6.5DiferenciaentrevaloresextremosdeeficienciaglobalCasopráctico2_____85 FIGURA6.6RangodevalidezparaelcálculodelaeficienciaglobalpormodelosCaso práctico2________________________________________________________________85 FIGURA6.7ComparativaeficienciaglobalpormodelosCasopráctico3______________88 FIGURA6.8DiferenciaentrevaloresextremosdeeficienciaglobalCasopráctico3_____89 FIGURA6.9RangodevalidezparaelcálculodelaeficienciaglobalpormodelosCaso práctico3________________________________________________________________89 FIGURA6.10ComparativaeficienciaglobalpormodelosCasopráctico4_____________92 FIGURA6.11DiferenciaentrevaloresextremosdeeficienciaglobalCasopráctico4____93 FIGURA6.12RangodevalidezparaelcálculodelaeficienciaglobalpormodelosCaso práctico4________________________________________________________________93 FIGURA7.1Variacióneficienciaconnp_________________________________________97 FIGURA7.2VariacióneficienciaconP_________________________________________98 FIGURA7.3VariacióneficienciaconNp________________________________________98 FIGURA7.4Variacióneficienciaconθ _________________________________________99 FIGURA7.5Variacióneficienciaconnp(ampliacióndelrango)_____________________100 FIGURA7.6CambiodetendenciaenlavariacióndeEconnp(ModelodeShipley)_____100 FIGURA7.7CambiosdetendenciaparalasvariablesprincipalesdelModelodeShipley101 FIGURA7.8Variaciónmconnp(ampliacióndelrango)___________________________102 FIGURA7.9Variacióndelasvariablesinfluyentesenelcálculodemconnp__________103 FIGURA7.10Variacióneficienciaconnp(ModeloreducidodeAndersonyLoewenthal)_105 FIGURA7.11Variacióneficienciaconcadavariableprincipal(Modeloreducidode AndersonyLoewenthal)___________________________________________________106 FIGURA7.12Variacióneficienciaconnp(friccióndelaire)________________________108 FIGURA7.13VariacióneficienciaconP(friccióndelaire)_________________________108
Índice 5 FIGURA7.14VariacióneficienciaconNp(friccióndelaire)________________________109 FIGURA7.15VariacióneficienciaconF(friccióndelaire)_________________________109 FIGURA9.1Coeficientedefricciónpromedioparaaceiteslivianosderivadosdelpetróleo. Entradadelaceite120ºF(49ºC)paraengranajesendurecidos,45SUSa100ºF(38ºC)__127 FIGURA10.1Ejemplodelgráficodeefectosprincipales__________________________162 FIGURA10.2EjemplodeldiagramadePareto__________________________________163 FIGURA10.3Ejemplodegráficodedistribuciónnormal__________________________164
Introducción 12 las mecánicas (articulaciones cardan, poleas, correas, engranajes, …) y dentro de las mecánicas, en los engranajes cilíndricos de dentado recto. Numerosos son los estudios llevados a cabo por diferentes investigadores a cerca de las diferentes pérdidas de potencia que tienen lugar en transmisiones por engranajes (1) y (2). De entre ellas las más relevantes son las que se generan debidas a la fricción existente en el contacto de los dientes de los engranajes engranados, a la rodadura, a la fricción del aire y a las generadas por la lubricación de los mismos (2). El análisis de estas pérdidas se ha llevado a cabo a través de la experimentación, por lo que a lo largo del tiempo diferentes investigadores han ido modificando los modelos existentes de pérdidas ajustándolos a las condiciones de trabajo en función del tipo de engranajes empleados (3) y (2). En estos análisis se han considerado de importancia variables como el coeficiente de fricción, la geometría del engranaje, la viscosidad del lubricante, la velocidad de giro de los engranajes, el espesor de la capa de aceite lubricante, la carga a transmitir por los engranajes, la temperatura de operación, etc. Todos los modelos no han considerado los mismos factores ni les han dado la misma relevancia, en función del uso que le daban a la transmisión que estaban analizando daban más prioridad a unos que a otros, de ahí que un modelo pudiera ser válido únicamente para esa situación en que había sido desarrollado. Los primeros modelos que se desarrollaron tuvieron en cuenta coeficientes de rozamiento constantes sin embargo, con el tiempo fueron desarrollándose modelos basados en coeficientes de rozamiento variable. Muchos de ellos se basaron en datos obtenidos de la experimentación con parejas de rodillos cilíndricos analizando el deslizamiento entre ellos (4) y otros se basaron en la teoría de la lubricación elasto-hidrodinámica (EHL) (2), por ejemplo. En cuanto a las pérdidas por rodadura, estas son debidas a las fuerzas causadas por la presión hidrodinámica que actúa sobre los dientes de los engranajes ya que retrasa el movimiento de giro de los mismos y absorbe potencia (5). Por último, el efecto que la fricción del aire tiene sobre la eficiencia de la transmisión depende de factores tan importantes como la velocidad existente en la línea de contacto entre los dientes y el tamaño de los mismos, así como la lubricación (1). Al igual que con el coeficiente de fricción, algunos investigadores realizaron experimentos con engranajes o discos cilíndricos para determinar un modelo de pérdidas y aplicarlo a sus transmisiones (1). De los diferentes tipos de engranajes existentes, este trabajo se centra en los engranajes cilíndricos de dentado recto y en concreto, pretende analizar los modelos que varios investigadores (3), (6) y (7), desarrollaron teniendo en cuenta las pérdidas que se producen por fricción en el deslizamiento, rodadura y las pérdidas por fricción del aire que rodea a los engranajes. Estos modelos fueron desarrollados para situaciones de trabajo concretas, no obstante se va a realizar un estudio previo de los mismos para determinar si las variables que intervienen en ellos son comunes y en ese caso, mediante la teoría del diseño de experimentos se realizará un análisis para determinar de entre las variables que se estimen más importantes, cuál o cuáles son las más significativas. De este estudio se pretenden extraer unos resultados y conclusiones que se compararán con las que los investigadores que desarrollaron los modelos analizados obtuvieron en su momento, así podrá determinarse si el empleo de la teoría del diseño de experimentos y el
Introducción 13 planteamiento del diseño llevado a cabo son útiles y válidos para realizar un estudio previo a la experimentación en este tipo de problemas. Posteriormente a este estudio, pero fuera ya del alcance de este trabajo fin de máster, se pretende realizar una experimentación con un banco de potencia para poder analizar los modelos sobre la práctica y contrastar las conclusiones obtenidas en este trabajo con la realidad, existiendo la posibilidad de desarrollar un modelo que pueda generalizar el comportamiento de pérdidas en una transmisión por engranajes cilíndricos de dentado recto en unas condiciones de operación que sean de utilidad.
Introducción 14 1.4. Contexto del análisis realizado El análisis de los modelos que se van a presentar en el siguiente apartado del trabajo se enmarca dentro del siguiente contexto. Se va a considerar una transmisión mecánica formada por una pareja de engranajes cilíndricos de dentado recto. Un motor unido directamente al piñón de entrada le va a proporcionar a éste un par T e (N·m) a unas revoluciones de giro n m (rpm). La transmisión estará lubricada mediante un aceite con una viscosidad absoluta en condiciones atmosféricas µ 0 (N·s/m 2 ) y una viscosidad cinemática v (Stokes). FIGURA 1.1 Situación simplificada a estudiar La potencia de entrada desarrollada por el motor unido al piñón de entrada viene determinada por la siguiente expresión: 60 ·2 ·· meT nTP EC. 1.1 siendo P T Potencia transmitida por el motor (Vatios) T e par transmitido por el motor (N·m) n m velocidad de giro del motor (rpm) La relación de transmisión, como ya hemos indicado con anterioridad es: p g g N N m EC. 1. 2 siendo N p nº de dientes del piñón o engranaje de entrada N g nº de dientes del engranaje de salida Las condiciones de operación del motor y de los engranajes se establecerán en el apartado 2.4 una vez que se hayan trabajado los modelos y estos expresen las pérdidas de potencia en función de variables fácilmente manejables.
Introducción 15 1.5. Metodología empleada La forma de proceder en este trabajo consiste en lo siguiente: Primero, se van a presentar los modelos que cada autor ha desarrollado en función del fenómeno que genera las pérdidas de potencia (deslizamiento, rodadura y fricción del aire) y se van a expresar todos en función de variables manejables que permitan una fácil comparación entre ellos (aptado. 2 en la parte MEMORIA). Asimismo, se expresarán todos los modelos en términos de eficiencia o rendimiento, para poder expresar las pérdidas de potencia de la misma manera. De entre todas las variables que intervienen en los modelos, se seleccionarán aquellas que sean comunes a todos y que sean manejables a la hora de poder realizar modificaciones en el sistema. Una vez seleccionadas, va a analizarse la influencia que éstas (conocidas como variables principales) tienen sobre la variable objetivo (el rendimiento del sistema). Para ello se empleará la teoría del diseño de experimentos (descrita en el aptado. 9 en la parte ANEXOS), con la que se podrá estudiar el comportamiento de la variable objetivo en función de la variación de las variables principales entre los niveles (máximo y mínimo) que podrán alcanzar éstas (aptados. 3, 4 y 5 en la parte MEMORIA). Hasta aquí, el análisis llevado a cabo habrá diferenciado los modelos en base a los tipos de pérdidas de potencia (deslizamiento, rodadura y fricción del aire). Teniendo clara la influencia de las variables seleccionadas en el diseño de experimentos sobre la variable objetivo, se agruparán las pérdidas de potencia por autores para poder comparar los modelos en base a la potencia útil que se puede obtener con la transmisión. Esto se llevará a cabo analizando cuatro casos prácticos con la idea de analizar la dispersión de los resultados que se obtienen con los modelos que cada autor propone, analizando las pérdidas de potencia globalmente (aptado. 6 en la parte MEMORIA). Una vez efectuado dichos estudios, se analizará si el comportamiento de los modelos es extrapolable para mayores rangos de variación de las variables principales, las semejanzas y diferencias entre los modelos y las condiciones de operación en que podrían equipararse los modelos, si es que es posible. Esto se realizará en los apartados de resultados y conclusiones del estudio (aptados. 7 y 8 en la parte MEMORIA).
Introducción 16
Modelos analizados 17 2. MODELOS ANALIZADOS 2.1. Introducción A continuación se presentan, de todos los artículos que se han consultado, cada uno de los modelos que los investigadores desarrollaron en función del tipo de pérdidas de potencia que querían analizar. Primero se presenta la ecuación general del modelo y se va desarrollando ésta para dejarla en función de variables más manejables con la idea de poder analizar si existen diferencias y semejanzas entre ellos y cuáles de estas variables son más relevantes a la hora de cuantificar las pérdidas de potencia. Los modelos que se describen a continuación no presentan las pérdidas de potencia expresadas bajo las mismas unidades. Unos las presentan en kilovatios, otros como porcentaje de la potencia de entrada y otros en términos de rendimiento. En el apartado 2.2 se expresarán todas ellas en términos de eficiencia teniendo en cuenta que la potencia de entrada es aquella que el motor de entrada le suministra al piñón de entrada. Para no extenderme demasiado en esta parte del trabajo, las operaciones intermedias realizadas para transformar la ecuación general del modelo en una ecuación que permita evaluar la eficiencia del sistema y ser comparable con el resto de modelos, se van a colocar dichas operaciones en el aptado. 9 en la parte de ANEXOS. Por rendimiento o eficiencia de un sistema se entiende a la capacidad que tiene dicho sistema de aprovechar la energía que se le suministra. Esto suele estar expresado en términos porcentuales, teniendo como referencia la energía que se le suministra al mismo. En este trabajo, nos referiremos a la eficiencia en términos de potencia, dado que se va a trabajar con modelos matemáticos que representan la potencia que un sistema mecánico es capaz de transmitir. A modo de resumen, se presentan en la siguiente tabla los tipos de pérdidas que cada autor ha analizado con sus modelos. TipodepérdidasModelo DeslizamientoShipley AndersonyLoewenthal Merrit Buckingham Goy,TownsendyZaretsky RodaduraAndersonyLoewenthal FriccióndelaireShipley AndersonyLoewenthal TABLA 2.1 Tipos de pérdidas consideradas por los modelos
Modelos analizados 18 2.2. Comparativa de las ecuaciones desarrolladas en los diferentes modelos estudiados Las ecuaciones a comparar son1: - Modelo de Anderson y Loewenthal: )()·(·)( 3xFxVCxP SSS EC. 9.1 - Modelo de Shipley: (deslizamiento) )(cos )(50 (%) 22 TS TS SHH HHf P EC. 9.16 (fricción del aire) 15 7.053 14 10·100 ··· (%) FDnC PW EC. 9.26 Modelo de Buckingham: 22 22 1 1 1r r a a ra gf f m E EC. 9.29 - Modelo reducido de Anderson y Loewenthal: (deslizamiento) SS VWfCP 1 EC. 9.39 (rodadura) CRFVhCP TR ···· 2 EC. 9.49 1 Si no se indica nada, la ecuación únicamente tiene en cuenta el fenómeno de deslizamiento.
Modelos analizados 19 (fricción del aire) 2,0 4 6,4 8,2 3, ·028,0· ·· · ·· · · · ·3,21· C P mCN m CCn mCN FP CP gpp g swp gpp gw EC. 9.54 2,0 4 6,4 8,2 3, ·028,0· · ···· · · ·3,21· C P CN CCn CN FP CP pp swp pp pw EC. 9.55 - Modelo de Merrit: (deslizamiento) 100· 11 ·· 2 (%) gp NN f P EC. 9.57 - Modelo de Goy, Townsend y Zaretsky (deslizamiento) sNS vWfCQ 1 EC. 9.64 Aunque se haya mostrado la ecuación del Modelo de Goy, Townsend y Zaretsky, no va a tenerse en cuenta en el diseño de experimentos por tratarse de la misma ecuación que presentó Anderson y Loewenthal con anterioridad (3). Algo similar sucederá con el modelo propuesto en el aptado. 9.1 (6). Debe descartarse ya que éste es válido para evaluar las pérdidas de potencia considerando los diferentes puntos de contacto que pueden existir dentro de la línea de contacto. Por ello, los resultados obtenidos con él son puntuales, no promediados así que no podrán compararse con el resto de modelos que sí ofrecen unos resultados promediados. Se puede apreciar en las ecuaciones mostradas anteriormente que no todos los modelos expresan las pérdidas de potencia en los mismos términos. Para poder realizar comparaciones entre los modelos se van a expresar las pérdidas de potencia de todos los modelos en términos de eficiencia (expresando ésta en tanto por uno). Para ello definiremos que la potencia teórica que suministra la fuente de energía a la que va conectado directamente el engranaje de entrada es: 60 ·2 ·· meT nTP EC. 2.1 siendo PT Potencia transmitida por el motor (Vatios) Te par transmitido por el motor (N·m)
Modelos analizados 20 nm velocidad de giro del motor (rpm) Así, las ecuaciones de los modelos anteriores quedarán como sigue2: - Modelo de Shipley: (deslizamiento) 100 (%)100 S P E EC. 2.2 (fricción del aire) 100 (%)100 W P E EC. 2.3 - Modelo de Buckingham: No hace falta modificar su ecuación original. - Modelo reducido de Anderson y Loewenthal: (deslizamiento) T S P P E1 EC. 2.4 (rodadura) T R P P E 1 EC. 2.5 (fricción del aire) T pWgW P PP E,, 1 EC. 2.6 - Modelo de Merrit: 100 (%)100 P E EC. 2. 7 - Modelo de Goy, Townsend y Zaretsky T S P Q E1 EC. 2. 8 2 Si no se indica nada, la ecuación únicamente tiene en cuenta el fenómeno de deslizamiento.
Modelos analizados 21 A continuación se muestra una tabla en la que se van a detallar las variables que intervienen en los diferentes modelos que se han estudiado anteriormente. VariableSignificadoModelo 13 Modelo 24 Modelo 35 Modelo 46 Modelo 57 Modelo 68 θ ángulodepresiónxxxxxx npvelocidadderotación delpiñónoengranaje deentrada xxxxxx Npnºdedientesdelpiñón oengranajedeentrada xxxxxx mgrelacióndetransmisión entrelosengranajesen contacto xxxxxx Ppasodiametralxxxxxx Tppartransmitidoxx x Fanchodelacaradel diente xx x mviscosidadabsolutadel lubricanteen condiciones atmosféricas xx x vviscosidadcinemática dellubricante x TABLA 2.2 Variables principales modelos Existen tres modelos que se basan en la misma ecuación y que por lo tanto dependen de las mismas variables. Estos son: - Modelo de Anderson y Loewenthal - Modelo reducido de Anderson y Loewenthal - Modelo de Goy, Townsend y Zaretsky Las diferencias entre las ecuaciones presentadas por estos tres, aunque existe alguna diferencia a la hora de calcular alguna de sus variables, deberían ser mínimas. Existen otros dos modelos (Modelo de Shipley y Modelo de Buckingham) que dependen de las mismas variables también, pero difieren de los anteriores en que no consideran a las siguientes variables: - viscosidad absoluta del lubricante en condiciones atmosféricas (µ0) - ancho de la cara del diente (F) - par transmitido (Tp) 3 Modelo de Anderson y Loewenthal 4 Modelo reducido de Anderson y Loewenthal 5 Modelo de Shipley 6 Modelo de Buckingham 7 Modelo de Merrit 8 Modelo de Goy, Townsend y Zaretsky
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 28 3.1. Modelo de Shipley 3.1.1. Aplicación del estudio Teniendo en cuenta las 24 = 16 combinaciones posibles que pueden darse para las cuatro variables en estudio, los valores que puede alcanzar la variable objetivo son: npPNp θ A'B'C'D'YE 200084820 o0,99722147 200084830 d0,99782291 200085530 cd0,9981478 200010 5530 bcd0,99804207 200085520 c0,99762308 200010 4820 b0,99702646 450084820 a0,99544257 200010 4830 bd0,99767011 450010 5520 abc0,9966093 200010 5520 bc0,9974874 450085520 ac0,99442817 450084830 ad0,99642906 450085530 acd0,99565819 450010 4820 ab0,99684196 450010 4830 abd0,99752554 450010 5530 abcd 0,99735782 TABLA 3.2 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.25) De aquí se obtienen los efectos de los factores y de sus interacciones teniendo en cuenta las ecuaciones indicadas en el aptado. 2 y el valor del estimador del efecto de todos los factores (µ). 3.1.2. Significatividad de los efectos 3.1.2.1. Gráfico de efectos principales A continuación se muestran las medias estimadas para los niveles (−) y (+) de cada factor. ABCD +0,996286580,99732008 0,99691923 0,99733169 ‐ 0,997630160,99659666 0,99699751 0,99658505 TABLA 3.3 Medias estimadas de cada factor (ec. 9.25) Con estos datos se representa el gráfico de efectos principales.
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 29 FIGURA 3.1 Gráfico de efectos principales (ec. 9.25) Para cuantificar el efecto de cada factor sobre la variable objetivo calcularemos la pendiente de cada recta: np PNp θ AB C D pendiente(%)‐0,06717937 0,03617135 ‐0,00391397 0,0373317 TABLA 3.4 Pendientes del gráfico de efectos principales (ec. 9.25) El efecto que la variable representada por el factor A (np) tiene sobre la variable objetivo es mucho mayor que el de los otros dos factores. 3.1.2.2. Diagrama de Pareto Los efectos de las variables principales y los de sus interacciones son los siguientes: A‐0,001343587 B0,000723427 C‐7,82794E‐05 D0,000746634 AB0,000870732 AC‐0,000468132 AD0,000165517 BC0,000186408 BD‐8,90303E‐05 CD1,78477E‐05 ABC0,00015981 ABD‐0,000107071 ACD5,92687E‐05 BCD0,000298415 ABCD ‐2,07912E‐05 TABLA 3.5 Efectos de cada factor (ec. 9.25) 0,9962 0,9964 0,9966 0,9968 0,997 0,9972 0,9974 0,9976 0,9978 ‐1,5 ‐1‐0,5 0 0,5 1 1,5 A B C D
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 30 FIGURA 3.2 Diagrama de Pareto (ec. 9.25) 3.1.2.3. Gráfico normal EfectoValorOrden Percentiles A‐0,00134359 1‐1,83391464 AC‐0,00046813 2‐1,28155157 ABD‐0,00010707 3‐0,96742157 BD‐8,903E‐054‐0,72791329 C‐7,8279E‐055‐0,52440051 ABCD‐2,0791E‐056‐0,34069483 CD1,7848E‐057‐0,167894 ACD5,9269E‐058‐1,3921E‐16 ABC0,0001598190,167894 AD0,00016552100,34069483 BC0,00018641110,52440051 BCD0,00029841120,72791329 B0,00072343130,96742157 D0,00074663141,28155157 AB0,00087073151,83391464 TABLA 3.6 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.25) FIGURA 3.3 Gráfico de distribución normal (ec. 9.25) ‐0,0015 ‐0,001 ‐0,0005 0 0,0005 0,001 A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD DiagramadePareto ‐2,5 ‐2 ‐1,5 ‐1 ‐0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 ‐0,0015 ‐0,001 ‐0,0005 0 0,0005 0,001 Gráficodedistribuciónnormal
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 31 3.1.3. Cuantificación de la significatividad y ecuación representativa De los tres métodos de representación de los efectos empleados anteriormente no podemos determinar qué efectos son realmente los que debemos tener en cuenta ni a partir de dónde podemos decir que no son relevantes ni estos ni sus interacciones. Para poder tomar esa decisión se tendrá en cuenta el método de la MEDA descrito en el aptado. 10.3.4. Considerando los efectos de las interacciones de los factores empleados se tiene que la MEDA es: Efectosdelasinteraccionesdelosfactores Interacción‐Mediana Interacciónordenada AC‐0,00046813AC0,0005274ACD0 ABD‐0,00010707ABD0,00016634CD4,1421E‐05 BD‐8,903E‐05BD0,0001483ABCD8,00599E‐05 ABCD‐2,0791E‐05ABCD8,006E‐05ABC0,000100541 CD1,78477E‐05CD4,1421E‐05AD0,000106248 ACD5,92687E‐05ACD0BC0,00012714 ABC0,00015981ABC0,00010054BD0,000148299 AD0,000165517AD0,00010625ABD0,00016634 BC0,000186408BC0,00012714BCD0,000239146 BCD0,000298415BCD0,00023915AC0,000527401 AB0,000870732AB0,00081146AB0,000811464 Mediana5,92687E‐05MEDA0,00012714 µ0,99695837 TABLA 3.7 Cálculo de la MEDA (ec. 9.25) Con la MEDA calculada, se determina la significatividad de los efectos teniendo en cuenta el criterio establecido por la ec. 10.19 descrita en el aptado. 10.3.4 Efecto¿Essignificativo? Valoratenerencuentaenmiecuación(Efecto/2) A‐0,00134359 SI‐0,00067179 B0,00072343 SI0,00036171 D0,00074663 SI0,00037332 AB0,00087073 SI0,00043537 AC‐0,00046813 SI‐0,00023407 TABLA 3.8 Significatividad de los efectos (ec. 9.25) Por lo tanto, la ecuación representativa de la ec. 9.25 es: pppp Nn AC Pn ABD P B n A E·· 2 ·· 2 · 2 · 2 · 2 ' EC. 3.1 siendo µ Estimador del efecto de todos los factores (la media aritmética de estos) E eficiencia de la transmisión np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm)
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 32 P paso diametral (nº dientes/pulgada) Np número de dientes del piñón de entrada θ ángulo de presión del diente (grados) Si comparamos los valores obtenidos con la ecuación 9.25 y los que se obtienen con la ecuación 3.1 obtenida al aplicar el diseño de experimentos, tenemos: FIGURA 3.4 Comparativa ec. 9.25 del modelo con la ec. 3.1 del D.E. 0,994 0,9945 0,995 0,9955 0,996 0,9965 0,997 0,9975 0,998 0,9985 0,999 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 E E'
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 33 3.2. Modelo reducido de Anderson y Loewenthal 3.2.1. Aplicación del estudio (caso 1) Teniendo en cuenta las 24 = 16 combinaciones posibles que pueden darse para las cuatro variables en estudio, los valores que puede alcanzar la variable objetivo son: npPNp θ A'B'C'D'YE 200084820 o0,9964 200084830 d0,9975 200085530 cd0,9981 200010 5530 bcd0,9975 200085520 c0,9972 200010 4820 b0,9956 450084820 a0,9988 200010 4830 bd0,9968 450010 5520 abc0,9986 200010 5520 bc0,9965 450085520 ac0,9993 450084830 ad0,9994 450085530 acd0,9997 450010 4820 ab0,9979 450010 4830 abd0,9987 450010 5530 abcd 0,9991 TABLA 3.9 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.48) De aquí se obtienen los efectos de los factores y de sus interacciones teniendo en cuenta las ecuaciones indicadas en el aptado. 2 y el valor del estimador del efecto de todos los factores (µ). 3.2.2. Significatividad de los efectos (caso 1) 3.2.2.1. Gráfico de efectos principales A continuación se muestran las medias estimadas para los niveles (−) y (+) de cada factor. ABCD +0,998942830,99758586 0,99825336 0,99835748 ‐ 0,996957350,99831432 0,99764682 0,99754271 TABLA 3.10 Medias estimadas de cada factor (ec. 9.48) Con estos datos se representa el gráfico de efectos principales.
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 34 FIGURA 3.5 Gráfico de efectos principales (ec. 9.48) Para cuantificar el efecto de cada factor sobre la variable objetivo calcularemos la pendiente de cada recta: npPNp θ AB C D pendiente(%)0,09927362 ‐0,03642281 0,03032699 0,04073844 TABLA 3.11 Pendientes del gráfico de efectos principales (ec. 9.48) El efecto que la variable representada por el factor A (np) tiene sobre la variable objetivo es mucho mayor que el de los otros dos factores. 3.2.2.2. Diagrama de Pareto Los efectos de las variables principales y los de sus interacciones son los siguientes: A0,001985472 B‐0,000728456 C0,00060654 D0,000814769 AB0 AC‐0,000126967 AD‐0,000242933 BC4,65831E‐05 BD8,91303E‐05 CD‐9,29779E‐05 ABC0 ABD‐2,22045E‐16 ACD1,28046E‐05 0,9965 0,997 0,9975 0,998 0,9985 0,999 0,9995 ‐1,5 ‐1‐0,500,511,5 A B C D
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 35 BCD‐5,97714E‐05 ABCD 0 TABLA 3.12 Efectos de cada factor (ec. 9.48) FIGURA 3.6 Diagrama de Pareto (ec. 9.48) 3.2.2.3. Gráfico normal EfectoValorOrden Percentiles B‐0,00072846 1‐1,83391464 AD‐0,00024293 2‐1,28155157 AC‐0,00012697 3‐0,96742157 CD‐9,2978E‐054‐0,72791329 BCD‐5,9771E‐055‐0,52440051 ABD‐2,2204E‐166‐0,34069483 AB07‐0,167894 ABC08‐1,3921E‐16 ABCD090,167894 ACD1,2805E‐05100,34069483 BC4,6583E‐05110,52440051 BD8,913E‐05120,72791329 C0,00060654130,96742157 D0,00081477141,28155157 A0,00198547151,83391464 TABLA 3.13 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.48) ‐0,001 ‐0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD DiagramadePareto
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 36 FIGURA 3.7 Gráfico de distribución normal (ec. 9.48) 3.2.3. Cuantificación de la significatividad y ecuación representativa (caso 1) De los tres métodos de representación de los efectos empleados anteriormente no podemos determinar qué efectos son realmente los que debemos tener en cuenta ni a partir de dónde podemos decir que no son relevantes ni estos ni sus interacciones. Para poder tomar esa decisión se tendrá en cuenta el método de la MEDA descrito en el aptado. 10.3.4. Considerando los efectos de las interacciones de los factores empleados se tiene que la MEDA es: Efectosdelasinteraccionesdelosfactores Interacción‐Mediana Interacciónordenada AD‐0,000242933AD0,00024293AB0 AC‐0,000126967AC0,00012697ABC0 CD‐9,29779E‐05CD9,2978E‐05ABCD0 BCD‐5,97714E‐05BCD5,9771E‐05ABD2,22045E‐16 ABD‐2,22045E‐16ABD2,2204E‐16ACD1,28046E‐05 AB0AB0BC4,65831E‐05 ABC0ABC0BCD5,97714E‐05 ABCD0ABCD0BD8,91303E‐05 ACD1,28046E‐05ACD1,2805E‐05CD9,29779E‐05 BC4,65831E‐05BC4,6583E‐05AC0,000126967 BD8,91303E‐05BD8,913E‐05AD0,000242933 Mediana0MEDA4,65831E‐05 µ0,99795009 TABLA 3.14 Cálculo de la MEDA (ec. 9.48) Con la MEDA calculada, se determina la significatividad de los efectos teniendo en cuenta el criterio establecido por la ec. 10.19 descrita en el aptado. 10.3.4 Efecto¿Essignificativo? Valoratenerencuentaenmiecuación(Efecto/2) A0,00198547 SI0,00099274 B‐0,00072846 SI‐0,00036423 C0,00060654 SI0,00030327 D0,00081477 SI0,00040738 AD‐0,00024293 SI‐0,00012147 TABLA 3.15 Significatividad de los efectos (ec. 9.48) ‐2,5 ‐2 ‐1,5 ‐1 ‐0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 ‐0,001 ‐0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 Gráficodedistribuciónnormal
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 37 Por lo tanto, la ecuación representativa de la ec. 9.48 es: ·· 2 · 2 · 2 · 2 · 2 'ppp n ADD N C P B n A E EC. 3.2 siendo µ estimador del efecto de todos los factores (la media aritmética de estos) E eficiencia de la transmisión np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) P paso diametral (nº dientes/pulgada) θ ángulo de presión del diente (grados) Si comparamos los valores obtenidos con la ecuación 9.48 y los que se obtienen con la ecuación 3.2 obtenida al aplicar el diseño de experimentos, tenemos: FIGURA 3.8 Comparativa ec. 9.48 del modelo con la ec. 3.2 del D.E. 0,9950 0,9955 0,9960 0,9965 0,9970 0,9975 0,9980 0,9985 0,9990 0,9995 1,0000 1,0005 024681012141618 Eficiencia Eficiencia'
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 44 FIGURA 3.13 Gráfico de efectos principales (ec. 9.29) Para cuantificar el efecto de cada factor sobre la variable objetivo calcularemos la pendiente de cada recta: npPNp θ AB C D pendiente(%)‐0,0285847 0,00796485 0,00862445 0,02753383 TABLA 3.25 Pendientes del gráfico de efectos principales (ec. 9.29) El efecto que la variable representada por el factor A (np) tiene sobre la variable objetivo es mucho mayor que el de los otros dos factores. 3.3.2.2. Diagrama de Pareto Los efectos de las variables principales y los de sus interacciones son los siguientes: A‐0,000571694 B0,000159297 C0,000172489 D0,000550677 AB3,18594E‐05 AC3,44978E‐05 AD0,000110135 BC‐9,61248E‐06 BD‐3,06882E‐05 CD‐2,63188E‐05 ABC‐1,9225E‐06 ABD‐6,13763E‐06 0,9982 0,9983 0,9984 0,9985 0,9986 0,9987 0,9988 0,9989 ‐1,5 ‐1‐0,5 0 0,5 1 1,5 A B C D
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 45 ACD0,000318325 BCD‐5,26376E‐06 ABCD 2,93339E‐07 TABLA 3.26 Efectos de cada factor (ec. 9.29) FIGURA 3.14 Diagrama de Pareto (ec. 9.29) 3.3.2.3. Gráfico normal EfectoValorOrden Percentiles A‐0,00057169 1‐1,83391464 BD‐3,0688E‐052‐1,28155157 CD‐2,6319E‐053‐0,96742157 BC‐9,6125E‐064‐0,72791329 ABD‐6,1376E‐065‐0,52440051 ACD‐5,2638E‐066‐0,34069483 ABC‐1,9225E‐067‐0,167894 ABCD2,9334E‐078‐1,3921E‐16 AB3,1859E‐0590,167894 AC3,4498E‐05100,34069483 AD0,00011014110,52440051 B0,0001593120,72791329 C0,00017249130,96742157 BCD0,00031833141,28155157 D0,00055068151,83391464 TABLA 3.27 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.29) FIGURA 3.15 Gráfico de distribución normal (ec. 9.29) ‐0,0008 ‐0,0006 ‐0,0004 ‐0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD BCD ACD ABCD DiagramadePareto ‐2,5 ‐2 ‐1,5 ‐1 ‐0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 ‐0,0008 ‐0,0006 ‐0,0004 ‐0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 Gráficodedistribuciónnormal
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 46 3.3.3. Cuantificación de la significatividad y ecuación representativa De los tres métodos de representación de los efectos empleados anteriormente no podemos determinar qué efectos son realmente los que debemos tener en cuenta ni a partir de dónde podemos decir que no son relevantes ni estos ni sus interacciones. Para poder tomar esa decisión se tendrá en cuenta el método de la MEDA descrito en el aptado. 10.3.4. Considerando los efectos de las interacciones de los factores empleados se tiene que la MEDA es: Efectosdelasinteraccionesdelosfactores Interacción‐Mediana Interacciónordenada BD‐3,06882E‐05BD0,000029ABC0,000000 CD‐2,63188E‐05CD0,000024ABCD0,000002 BC‐9,61248E‐06BC0,000008ACD0,000003 ABD‐6,13763E‐06ABD0,000004ABD0,000004 ACD‐5,26376E‐06ACD0,000003BC0,000008 ABC‐1,9225E‐06ABC0,000000CD0,000024 ABCD2,93339E‐07ABCD0,000002BD0,000029 AB3,18594E‐05AB0,000034AB0,000034 AC3,44978E‐05AC0,000036AC0,000036 AD0,000110135AD0,000112AD0,000112 BCD0,000318325BCD0,000320BCD0,000320248 Mediana‐1,9225E‐06MEDA0,000024 µ0,99857076 TABLA 3.28 Cálculo de la MEDA (ec. 9.29) Con la MEDA calculada, se determina la significatividad de los efectos teniendo en cuenta el criterio establecido por la ec. 10.19 descrita en el aptado. 10.3.4 Efecto¿Essignificativo? Valoratenerencuentaenmiecuación(Efecto/2) A‐0,00057169 SI‐0,00028585 B0,0001593SI7,9649E‐05 C0,00017249 SI8,6244E‐05 D0,00055068 SI0,00027534 AD0,00011014 SI5,5068E‐05 BCD0,00031833 SI0,00015916 TABLA 3.29 Significatividad de los efectos (ec. 9.29) Por lo tanto, la ecuación representativa de la ec. 9.29 es: ··· 2 ·· 2 · 2 · 2 · 2 · 2 'pppp NP BCD n ADD N C P B n A E EC. 3.4 siendo µ estimador del efecto de todos los factores (la media aritmética de estos) E eficiencia de la transmisión np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm)
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 47 Np número de dientes del piñón de entrada θ ángulo de presión del diente (grados) Si comparamos los valores obtenidos con la ecuación 9.29 y los que se obtienen con la ecuación 3.4 obtenida al aplicar el diseño de experimentos, tenemos: FIGURA 3.16 Comparativa ec. 9.29 del modelo con la ec. 3.4 del D.E. 0,9974 0,9976 0,9978 0,998 0,9982 0,9984 0,9986 0,9988 0,999 0,9992 0,9994 0,9996 024681012141618 E E'
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 48 3.4. Modelo de Merrit 3.4.1. Aplicación del estudio Teniendo en cuenta las 24 = 16 combinaciones posibles que pueden darse para las cuatro variables en estudio, los valores que puede alcanzar la variable objetivo son: npPNp θ A'B'C'D'YE 200084820 o0,99362373 200084830 d0,99487399 200085530 cd0,99590524 200010 5530 bcd0,99488155 200085520 c0,9949065 200010 4820 b0,99202966 450084820 a0,99574915 200010 4830 bd0,99359249 450010 5520 abc0,99575542 200010 5520 bc0,99363313 450085520 ac0,99660433 450084830 ad0,99658266 450085530 acd0,99727016 450010 4820 ab0,99468644 450010 4830 abd0,99572833 450010 5530 abcd 0,9965877 TABLA 3.30 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.63) De aquí se obtienen los efectos de los factores y de sus interacciones teniendo en cuenta las ecuaciones indicadas en el aptado. 2 y el valor del estimador del efecto de todos los factores (µ). 3.4.2. Significatividad de los efectos 3.4.2.1. Gráfico de efectos principales A continuación se muestran las medias estimadas para los niveles (−) y (+) de cada factor. ABCD +0,996120520,99461184 0,995693 0,99567777 ‐ 0,994180790,99568947 0,99460831 0,99462355 TABLA 3.31 Medias estimadas de cada factor (ec. 9.63) Con estos datos se representa el gráfico de efectos principales.
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 49 FIGURA 3.17 Gráfico de efectos principales (ec. 9.63) Para cuantificar el efecto de cada factor sobre la variable objetivo calcularemos la pendiente de cada recta: npPNp θ AB C D pendiente(%)0,09698689 ‐0,05388161 0,05423469 0,05271097 TABLA 3.32 Pendientes del gráfico de efectos principales (ec. 9.63) El efecto que la variable representada por el factor A (np) tiene sobre la variable objetivo es mucho mayor que el de los otros dos factores. 3.4.2.2. Diagrama de Pareto Los efectos de las variables principales y los de sus interacciones son los siguientes: A0,001939738 B‐0,001077632 C0,001084694 D0,001054219 AB0,000215526 AC‐0,000216939 AD‐0,000210844 BC0,000120522 BD0,000117135 CD‐0,000117903 ABC‐2,41043E‐05 ABD‐2,34271E‐05 ACD2,35806E‐05 BCD0,000114278 ABCD 2,62007E‐06 TABLA 3.33 Efectos de cada factor (ec. 9.63) 0,994 0,9945 0,995 0,9955 0,996 0,9965 ‐1,5 ‐1‐0,500,511,5 A B C D
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 50 FIGURA 3.18 Diagrama de Pareto (ec. 9.63) 3.4.2.3. Gráfico normal EfectoValorOrden Percentiles B‐3,4586E‐05 1‐1,83391464 AC‐6,9625E‐06 2‐1,28155157 AD‐6,7669E‐06 3‐0,96742157 CD‐3,784E‐064‐0,72791329 ABC‐7,7361E‐07 5‐0,52440051 ABD‐7,5188E‐07 6‐0,34069483 ABCD8,4089E‐087‐0,167894 ACD7,568E‐078‐1,3921E‐16 BCD3,6677E‐0690,167894 BD3,7594E‐06100,34069483 BC3,8681E‐06110,52440051 AB6,9172E‐06120,72791329 D3,3834E‐05130,96742157 C3,4812E‐05141,28155157 A6,2255E‐05151,83391464 TABLA 3.34 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.63) FIGURA 3.19 Gráfico de distribución normal (ec. 9.63) ‐0,0015 ‐0,001 ‐0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD DiagramadePareto ‐2,5 ‐2 ‐1,5 ‐1 ‐0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 ‐0,0015 ‐0,001 ‐0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 Gráficodedistribuciónnormal
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 51 3.4.3. Cuantificación de la significatividad y ecuación representativa De los tres métodos de representación de los efectos empleados anteriormente no podemos determinar qué efectos son realmente los que debemos tener en cuenta ni a partir de dónde podemos decir que no son relevantes ni estos ni sus interacciones. Para poder tomar esa decisión se tendrá en cuenta el método de la MEDA descrito en el aptado. 10.3.4. Considerando los efectos de las interacciones de los factores empleados se tiene que la MEDA es: Efectosdelasinteraccionesdelosfactores Interacción‐Mediana Interacciónordenada AC‐0,00021694AC0,00021956ABCD0 AD‐0,00021084AD0,00021346ACD2,09605E‐05 CD‐0,0001179CD0,00012052ABD2,60472E‐05 ABC‐2,4104E‐05ABC2,6724E‐05ABC2,67244E‐05 ABD‐2,3427E‐05ABD2,6047E‐05BCD0,000111658 ABCD2,62007E‐06ABCD0BD0,000114515 ACD2,35806E‐05ACD2,0961E‐05BC0,000117901 BCD0,000114278BCD0,00011166CD0,000120523 BD0,000117135BD0,00011452AB0,000212906 BC0,000120522BC0,0001179AD0,000213464 AB0,000215526AB0,00021291AC0,000219559 Mediana2,62007E‐06MEDA0,000114515 µ0,99515066 TABLA 3.35 Cálculo de la MEDA (ec. 9.63) Con la MEDA calculada, se determina la significatividad de los efectos teniendo en cuenta el criterio establecido por la ec. 10.19 descrita en el aptado. 10.3.4 Efecto¿Essignificativo? Valoratenerencuentaenmiecuación(Efecto/2) A0,00193974SI0,00096987 B‐0,00107763SI‐0,00053882 C0,00108469SI0,00054235 D0,00105422SI0,00052711 TABLA 3.36 Significatividad de los efectos (ec. 9.63) Por lo tanto, la ecuación representativa de la ec. 9.63 es: · 2 · 2 · 2 · 2 'D N C P B n A Epp EC. 3.5 siendo µ estimador del efecto de todos los factores (la media aritmética de estos) E eficiencia de la transmisión np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) P paso diametral (nº dientes/pulgada)
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas al deslizamiento 52 θ ángulo de presión del diente (grados) Si comparamos los valores obtenidos con la ecuación 9.63 y los que se obtienen con la ecuación 3.5 obtenida al aplicar el diseño de experimentos, tenemos: FIGURA 3.20 Comparativa ec. 9.63 del modelo con la ec. 3.5 del D.E. 0,991 0,992 0,993 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,999 0 5 10 15 20 E E'
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la rodadura 53 4. APLICACIÓN DEL D.E. PARA ANALIZAR LAS PÉRDIDAS DE POTENCIA DEBIDAS A LA RODADURA En este caso únicamente Anderson y Loewenthal ha desarrollado un modelo de pérdidas que considera este fenómeno. Como se hizo en el aptado. 3, se va a llevar a cabo un análisis de los 4 factores principales considerados por el modelo anterior para determinar si las variables en este modelo presentan tendencias similares a las que el modelo del deslizamiento tenía. Al igual que con el deslizamiento, se analizarán dos situaciones, la que tendrá en cuenta a las variables P, np, Np y F y la que tendrá en cuenta a las variables P, np, Np y θ. Como se vio en el aptado. 9.4, este modelo dependía de las siguientes variables: VariableSignificadoUnidades θ ángulodepresióngrados npvelocidadderotacióndelpiñónoengranajedeentradarpm Npnºdedientesdelpiñónoengranajedeentrada mgrelacióndetransmisiónentrelosengranajesencontacto Ppasodiametralnºdientes/pulgada TppartransmitidoN∙m Fanchodelacaradeldientemetros mviscosidadabsolutadellubricanteencondicionesatmosféricas libras∙s/pulgadas2 TABLA 4.1 Variables principales ecuación 9.53 Los niveles y valores de las variables que se van a considerar son los indicados en el aptado. 2.4.
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la rodadura 60 FIGURA 4.5 Gráfico de efectos principales (ec. 9.53) Para cuantificar el efecto de cada factor sobre la variable objetivo calcularemos la pendiente de cada recta: npPNp θ AB C D pendiente(%)‐0,092606737 0,08407811 ‐0,05369689 ‐0,09822282 TABLA 4.11 Pendientes del gráfico de efectos principales (ec. 9.53) El efecto que la variable representada por el factor D (θ) tiene sobre la variable objetivo es mucho mayor que el de los otros dos factores. 4.1.5.2. Diagrama de Pareto Los efectos de las variables principales y los de sus interacciones son los siguientes: A‐0,001852135 B0,001681562 C‐0,001073938 D‐0,001964456 AB0,0004459 AC‐0,000284776 AD‐0,000520915 BC0,00025855 BD0,000472942 CD‐0,00028841 ABC6,85597E‐05 ABD0,00012541 ACD‐7,64778E‐05 BCD‐6,07612E‐05 ABCD 1,8412E‐05 TABLA 4.12 Efectos de cada factor (ec. 9.53) 0,995 0,9955 0,996 0,9965 0,997 0,9975 0,998 ‐1,5 ‐1‐0,5 0 0,5 1 1,5 A B C D
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la rodadura 61 FIGURA 4.6 Diagrama de Pareto (ec. 9.53) 4.1.5.3. Gráfico normal EfectoValorOrden Percentiles D‐0,00196446 1‐1,83391464 A‐0,00185213 2‐1,28155157 C‐0,00107394 3‐0,96742157 AD‐0,00052092 4‐0,72791329 CD‐0,00028841 5‐0,52440051 AC0,0006‐0,34069483 ACD0,0007‐0,167894 BCD‐6,0761E‐058‐1,3921E‐16 ABCD1,8412E‐0590,167894 ABC6,856E‐05100,34069483 ABD0,00012541110,52440051 BC0,00025855120,72791329 AB0,0004459130,96742157 BD0,00047294141,28155157 B0,00168156151,83391464 TABLA 4.13 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.53) FIGURA 4.7 Gráfico de distribución normal (ec. 9.53) ‐0,003 ‐0,002 ‐0,001 0 0,001 0,002 DiagramadePareto ‐2,5 ‐2 ‐1,5 ‐1 ‐0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 ‐0,0025 ‐0,002 ‐0,0015 ‐0,001 ‐0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 Gráficodistribuciónnormal
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la rodadura 62 4.1.6. Cuantificación de la significatividad y ecuación representativa (caso 2) De los tres métodos de representación de los efectos empleados anteriormente no podemos determinar qué efectos son realmente los que debemos tener en cuenta ni a partir de dónde podemos decir que no son relevantes ni estos ni sus interacciones. Para poder tomar esa decisión se tendrá en cuenta el método de la MEDA descrito en el aptado. 10.3.4. Considerando los efectos de las interacciones de los factores empleados se tiene que la MEDA es: Efectosdelasinteraccionesdelosfactores Interacción‐Mediana Interacciónordenada AD‐0,000520915AD0,00052092ABCD1,8412E‐05 CD‐0,00028841CD0,00028841BCD6,07612E‐05 AC‐0,000284776AC0,00028478ABC6,85597E‐05 ACD‐7,64778E‐05ACD7,6478E‐05ACD7,64778E‐05 BCD‐6,07612E‐05BCD6,0761E‐05ABD0,00012541 ABCD1,8412E‐05ABCD1,8412E‐05BC0,00025855 ABC6,85597E‐05ABC6,856E‐05AC0,000284776 ABD0,00012541ABD0,00012541CD0,00028841 BC0,00025855BC0,00025855AB0,0004459 AB0,0004459AB0,0004459AD0,000520915 Mediana‐2,11746E‐05MEDA0,00019198 µ0,99650765 TABLA 4.14 Cálculo de la MEDA (ec. 9.53) Con la MEDA calculada, se determina la significatividad de los efectos teniendo en cuenta el criterio establecido por la ec. 10.19 descrita en el aptado. 10.3.4 Efecto¿Essignificativo? Valoratenerencuentaenmiecuación(Efecto/2) A‐0,00185213SI‐0,000926067 B0,00168156SI0,000840781 C‐0,00107394SI‐0,000536969 D‐0,00196446SI‐0,000982228 TABLA 4.15 Significatividad de los efectos (ec. 9.53) Por lo tanto, la ecuación representativa de la ec. 9.53 es: · 2 · 2 · 2 · 2 'D N C P B n A Epp EC. 4.2 siendo µ estimador del efecto de todos los factores (la media aritmética de estos) E eficiencia de la transmisión np velocidad de rotación del piñón o engranaje de entrada (rpm) P paso diametral (nº dientes/pulgada) Np nº de dientes del piñón o engranaje de entrada
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la rodadura 63 θ ángulo de presión del diente Si comparamos los valores obtenidos con la ecuación 9.53 y los que se obtienen con la ecuación 4.2 obtenida al aplicar el diseño de experimentos, tenemos: FIGURA 4.8 Comparativa ec. 9.53 del modelo con la ec. 4.2 del D.E. 9,91E‐01 9,92E‐01 9,93E‐01 9,94E‐01 9,95E‐01 9,96E‐01 9,97E‐01 9,98E‐01 9,99E‐01 1,00E+00 1,00E+00 024681012141618 Er E'r
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la rodadura 64
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la fricción del aire 65 5. APLICACIÓN DEL D.E. PARA ANALIZAR LAS PÉRDIDAS DE POTENCIA DEBIDAS A LA FRICCIÓN DEL AIRE En este caso hay dos investigadores que han desarrollado un modelo de pérdidas que considera este fenómeno Anderson y Loewenthal y Shipley. Como se hizo en los aptdos. 3 y 4, se va a llevar a cabo un análisis de los 4 factores que aparecen en el modelo anterior para determinar si se mantienen los resultados que de los análisis anteriores se desprenden. Únicamente se analizará una situación teniendo en cuenta a las variables P, np, Np y F ya que el modelo no depende del ángulo de presión del diente sino únicamente de variables geométricas de los engranajes. Como se vio en el aptado.9.4, este modelo dependía de las siguientes variables: VariableSignificadoUnidades npvelocidadderotacióndelpiñónoengranajedeentradarpm Npnºdedientesdelpiñónoengranajedeentrada mgrelacióndetransmisiónentrelosengranajesencontacto Ppasodiametralnºdientes/pulgada Fanchodelacaradeldientemetros TABLA 5.1 Variables principales ecuación 9.56 Los niveles y valores de las variables que se van a considerar son los indicados en el aptado. 2.4.
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la fricción del aire 66 5.1. Aplicación al Modelo reducido de Anderson y Loewenthal 5.1.1. Aplicación del estudio Teniendo en cuenta las 24 = 16 combinaciones posibles que pueden darse para las tres variables en estudio, los valores que puede alcanzar la variable objetivo son: npPNp F A'B'C' D' Y E 20008480,0397 o0,999992 20008480,05d0,999992 20008550,05cd0,999985 200010550,05bcd0,999994 20008550,0397 c0,999986 200010480,0397 b0,999997 45008480,0397 a0,999967 200010480,05bd0,999997 450010550,0397 abc0,999977 200010550,0397 bc0,999995 45008550,0397 ac0,999940 45008480,05ad0,999965 45008550,05acd0,999936 450010480,0397 ab0,999987 450010480,05abd0,999986 450010550,05abcd 0,999976 TABLA 5.2 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.56) De aquí se obtienen los efectos de los factores y de sus interacciones teniendo en cuenta las ecuaciones indicadas en el aptado. 2 y el valor del estimador del efecto de todos los factores (µ). 5.1.2. Significatividad de los efectos 5.1.2.1. Gráfico de efectos principales A continuación se muestran las medias estimadas para los niveles (−) y (+) de cada factor. ABCD +0,999966830,99998868 0,99997374 0,99997889 ‐ 0,999992290,99997044 0,99998539 0,99998024 TABLA 5.3 Medias estimadas de cada factor (ec. 9.56) Con estos datos se representa el gráfico de efectos principales.
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la fricción del aire 67 FIGURA 5.1 Gráfico de efectos principales (ec. 9.56) Para cuantificar el efecto de cada factor sobre la variable objetivo calcularemos la pendiente de cada recta: npPNp F AB C D pendiente(%)‐0,00127312 0,00091191 ‐0,00058266 ‐6,7601E‐05 TABLA 5.4 Pendientes del gráfico de efectos principales (ec. 9.56) El efecto que la variable representada por el factor A (np) tiene sobre la variable objetivo es mucho mayor que el de los otros dos factores. 5.1.2.2. Diagrama de Pareto Los efectos de las variables principales y los de sus interacciones son los siguientes: A‐2,54623E‐05 B1,82381E‐05 C‐1,16531E‐05 D‐1,35203E‐06 AB1,13617E‐05 AC‐7,25949E‐06 AD‐8,42268E‐07 BC5,24793E‐06 BD5,15619E‐07 CD‐3,24823E‐07 ABC3,26928E‐06 ABD3,21213E‐07 ACD‐2,02354E‐07 BCD1,90781E‐06 0,999965 0,99997 0,999975 0,99998 0,999985 0,99999 0,999995 ‐1,5 ‐1‐0,5 0 0,5 1 1,5 A B C D
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la fricción del aire 68 ABCD 7,7171E‐08 TABLA 5.5 Efectos de cada factor (ec. 9.56) FIGURA 5.2 Diagrama de Pareto (ec. 9.56) 5.1.2.3. Gráfico normal EfectoValorOrden Percentiles A‐2,5462E‐05 1‐1,83391464 C‐1,1653E‐05 2‐1,28155157 AC‐7,2595E‐06 3‐0,96742157 D‐1,352E‐064‐0,72791329 AD‐8,4227E‐07 5‐0,52440051 CD0,0006‐0,34069483 ACD‐2,0235E‐07 7‐0,167894 ABCD7,7171E‐088‐1,3921E‐16 ABD3,2121E‐0790,167894 BD5,1562E‐07100,34069483 BCD1,9078E‐06110,52440051 ABC3,2693E‐06120,72791329 BC0,000130,96742157 AB1,1362E‐05141,28155157 B1,8238E‐05151,83391464 TABLA 5.6 Valores de las variables prefijadas (ec. 9.56) ‐0,00003 ‐0,00002 ‐0,00001 0 0,00001 0,00002 0,00003 A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD DiagramadePareto
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la fricción del aire 69 FIGURA 5.3 Gráfico de distribución normal (ec. 9.56) 5.1.3. Cuantificación de la significatividad y ecuación representativa De los tres métodos de representación de los efectos empleados anteriormente no podemos determinar qué efectos son realmente los que debemos tener en cuenta ni a partir de dónde podemos decir que no son relevantes ni estos ni sus interacciones. Para poder tomar esa decisión se tendrá en cuenta el método de la MEDA descrito en el aptado. 10.3.4. Considerando los efectos de las interacciones de los factores empleados se tiene que la MEDA es: Efectosdelasinteraccionesdelosfactores Interacción‐Mediana Interacciónordenada AC‐7,25949E‐06AC3,2121E‐07ABC0 AD‐8,42268E‐07AD3,2121E‐07BC1,9441E‐07 CD‐3,24823E‐07CD3,2121E‐07BCD2,4404E‐07 ACD‐2,02354E‐07ACD7,5807E‐06AC3,2121E‐07 ABCD7,7171E‐08ABCD1,1635E‐06AD3,2121E‐07 ABD3,21213E‐07ABD6,4604E‐07CD3,2121E‐07 BD5,15619E‐07BD5,2357E‐07BD5,2357E‐07 BCD1,90781E‐06BCD2,4404E‐07ABD6,4604E‐07 ABC3,26928E‐06ABC0ABCD1,1635E‐06 BC5,24793E‐06BC1,9441E‐07AB1,5866E‐06 AB1,13617E‐05AB1,5866E‐06ACD7,5807E‐06 Mediana3,21213E‐07MEDA3,2121E‐07 µ0,99997956 TABLA 5.7 Cálculo de la MEDA (ec. 9.56) Con la MEDA calculada, se determina la significatividad de los efectos teniendo en cuenta el criterio establecido por la ec. 10.19 descrita en el aptado. 10.3.4 Efecto¿Essignificativo? Valoratenerencuentaenmiecuación(Efecto/2) A‐2,5462E‐05 SI‐1,27312E‐05 B1,8238E‐05 SI9,11907E‐06 C‐1,1653E‐05 SI‐5,82655E‐06 D‐1,352E‐06SI‐6,76014E‐07 AB1,1362E‐05 SI5,68087E‐06 AC‐7,2595E‐06 SI‐3,62974E‐06 ‐2,5 ‐2 ‐1,5 ‐1 ‐0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 ‐0,00003 ‐0,00002 ‐0,00001 0 0,00001 0,00002 0,00003 Gráficodedistribuciónnormal
Aplicación del D.E. para analizar las pérdidas de potencia debidas a la fricción del aire 76
Análisis global de pérdidas 77 6. ANÁLISIS GLOBAL DE PÉRDIDAS A continuación se van a plantear cuatro casos prácticos en los que se van a determinar los rendimientos o eficiencias de las transmisiones empleando para ello todos los tipos de pérdidas que cada autor ha considerado en sus modelos. Estas son las ecuaciones que determinarán la eficiencia global del sistema en función del autor que ha desarrollado éstas: - Modelo de Shipley: 100 (%)(%)100 wS PP E EC. 6.1 - Modelo de Buckingham: 22 22 1 1 1r r a a ra gf f m E EC. 6.2 - Modelo reducido de Anderson y Loewenthal: T wRS P PPP E 1 EC. 6.3 - Modelo de Merrit: 100 (%)100 P E EC. 6.4 Estos son los cuatro casos prácticos en los que van a emplearse todos los modelos anteriores para determinar qué diferencias existen entre ellos a la hora de cuantificar la eficiencia total de los sistemas presentados en las dos situaciones. Valor VariableSignificadoCaso1Caso2Caso3Caso4Unidades µ0 viscosidadabsolutadel lubricanteencondiciones atmosféricas 0,050,050,050,05N∙s/m2 mg relacióndetransmisión entrelosengranajesen contacto 1,661,671,071 Fanchodelacaradeldiente0,03970,03952 0,00456 0,02047m Tppardeentrada271271271271N∙m θ ángulodepresión20202020grados npvelocidadderotacióndel2000190010003500rpm
Análisis global de pérdidas 78 piñónoengranajede entrada Ppasodiametral8855,6nº dientes/pulgada Npnºdedientesdelpiñóno engranajedeentrada4847,8740 14,9606 19,6220 vviscosidadcinemáticadel lubricante0,60,540,320,39cm2/s Dpdiámetroprimitivodel engranaje0,15240,1520,07600,0890N∙m F/Dp relaciónentreelanchode caradeldienteyel diámetroprimitivodel engranaje 0,26050,26000,06000,2300N∙s/m2 vpvelocidadenlalínea primitiva15,9593 15,1215 3,979416,3101m/s TABLA 6.1 Condiciones de operación casos prácticos9 Aunque se toman los valores de las variables de los artículos indicados en cada caso práctico, se va a analizar para cada caso práctico la variación de la eficiencia global que cada modelo calcula en función de la variación de las revoluciones de giro a que gira el engranaje de entrada por ser ésta, según se ha visto tras realizar el diseño de experimentos, la variable más significativa en todos los casos estudiados. 9 Estas condiciones se han escogido de un ejemplo presentado en los artículos (6 pág. 30) y (3 pág. 372) de la bibliografía.
Análisis global de pérdidas 79 6.1. Caso práctico 1 Analizar la eficiencia del sistema compuesto por una pareja de engranajes cilíndricos de dentado recto que trabaja en las siguientes condiciones de operación: VariableSignificadoValorUnidades µ0viscosidadabsolutadellubricanteencondiciones atmosféricas0,05 N∙s/m2 mgrelacióndetransmisiónentrelosengranajesencontacto1,66666 Fanchodelacaradeldiente0,0397m Tppardeentrada271N∙m θ ángulodepresión20grados npvelocidadderotacióndelpiñónoengranajedeentrada2000rpm Ppasodiametral 8 nº dientes/pulgada Npnºdedientesdelpiñónoengranajedeentrada48 vviscosidadcinemáticadellubricante0,6cm2/s Dpdiámetroprimitivodelengranaje0,1524N∙m F/Dprelaciónentreelanchodecaradeldienteyeldiámetro primitivodelengranaje0,2605 N∙s/m2 vpvelocidadenlalíneaprimitiva15,9593m/s TABLA 6.2 Condiciones de operación Caso práctico 110 Con estos datos, los resultados obtenidos de la eficiencia global del sistema calculada con cada uno de los modelos es: npAndersonShipleyMerritBuckingham 1009,99E‐010,99550169 0,96928748 0,999133552 7009,97E‐010,99611070,98839176 0,998984177 1300 9,96E‐010,99660705 0,99148188 0,998615693 1900 9,95E‐010,99691137 0,99295406 0,998326454 2500 9,94E‐010,99693876 0,99385750,998080311 3100 9,93E‐010,99659881 0,99448387 0,997862325 3700 9,92E‐010,99579555 0,99495089 0,997664598 4300 9,91E‐010,99442751 0,99531638 0,997482352 4900 9,90E‐010,99238767 0,99561250,997312436 5500 9,90E‐010,98956350,99585872 0,997152641 6100 9,89E‐010,98583691 0,99606766 0,99700135 6700 9,88E‐010,98108432 0,99624787 0,996857334 7300 9,87E‐010,97517658 0,99640537 0,996719634 7900 9,86E‐010,96797904 0,99654457 0,996587487 8500 9,85E‐010,95935152 0,99666876 0,996460269 9100 9,84E‐010,94914828 0,99678045 0,996337467 TABLA 6.3 Eficiencias globales por modelos Caso práctico 1 10 Estas condiciones se han escogido de un ejemplo presentado en el artículo (6 pág. 30) de la bibliografía.
Análisis global de pérdidas 80 FIGURA 6.1 Comparativa eficiencia global por modelos Caso práctico 1 Aquí se ve que todos los modelos presentan unas valoraciones de la eficiencia del sistema muy similares dentro de un rango de velocidades. A continuación se van a representar las diferencias existentes entre los valores de eficiencia máximo y mínimo en cada punto de velocidad analizado, para determinar el rango de velocidades en que podría considerarse que todos los modelos tienen un comportamiento similar. npMáximoMínimoDiferencia 1009,99E‐019,69E‐013,00E‐02 7009,99E‐019,88E‐011,06E‐02 13009,99E‐019,91E‐017,13E‐03 19009,98E‐019,93E‐015,37E‐03 25009,98E‐019,94E‐014,30E‐03 31009,98E‐019,93E‐014,97E‐03 37009,98E‐019,92E‐015,60E‐03 43009,97E‐019,91E‐016,23E‐03 49009,97E‐019,90E‐016,87E‐03 55009,97E‐019,90E‐017,59E‐03 61009,97E‐019,86E‐011,12E‐02 67009,97E‐019,81E‐011,58E‐02 73009,97E‐019,75E‐012,15E‐02 79009,97E‐019,68E‐012,86E‐02 85009,97E‐019,59E‐013,73E‐02 91009,97E‐019,49E‐014,76E‐02 TABLA 6.4 Diferencias entre valores extremos de eficiencias Caso práctico 1 9,40E‐01 9,50E‐01 9,60E‐01 9,70E‐01 9,80E‐01 9,90E‐01 1,00E+00 1,01E+00 0 10002000300040005000600070008000900010000 Anderson Shipley Merrit Buckingham
Análisis global de pérdidas 81 FIGURA 6.2 Diferencia entre valores extremos de eficiencia global Caso práctico 1 Podemos decir que el rango de velocidades de rotación en que todos los modelos presentan valores similares de eficiencia global se encuentra entre 1000 y 6000 rpm, rango en el cual la diferencia entre la eficiencia mínima y máxima no es superior a un 1%. FIGURA 6.3 Rango de validez para el cálculo de la eficiencia global por modelos Caso práctico 1 Estas diferencias no nos indican nada más que la dispersión de resultados entre los modelos dentro de un rango determinado. Para poder establecer si existe o no un modelo que pueda ser más representativo que los demás, se va a calcular para cada régimen de giro el valor promedio de la eficiencia global calculada por cada modelo y en base a ésta se analizará para qué modelo los valores calculados por él se encuentran más cercanos a los promediados. Diferenciarespectodelamedia npPromedioAndersonShipleyMerritBuckingham Mínimo Modelo representativo 1009,91E‐018,52E‐034,69E‐03‐2,15E‐02 8,32E‐03‐2,15E‐02Merrit 7009,95E‐016,42E‐035,30E‐03‐2,42E‐03 8,17E‐03‐2,42E‐03Merrit 13009,96E‐015,04E‐035,79E‐036,69E‐047,80E‐036,69E‐04Merrit 19009,96E‐013,93E‐036,10E‐032,14E‐037,51E‐032,14E‐03Merrit 25009,96E‐012,97E‐036,13E‐033,04E‐037,27E‐032,97E‐03Anderson 31009,95E‐012,08E‐035,79E‐033,67E‐037,05E‐032,08E‐03Anderson 37009,95E‐011,25E‐034,98E‐034,14E‐036,85E‐031,25E‐03Anderson 43009,95E‐014,37E‐043,61E‐034,50E‐036,67E‐034,37E‐04Anderson 0,00E+00 1,00E‐02 2,00E‐02 3,00E‐02 4,00E‐02 5,00E‐02 6,00E‐02 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Diferencia Diferencia
Análisis global de pérdidas 82 49009,94E‐01‐3,66E‐041,57E‐034,80E‐036,50E‐03‐3,66E‐04Anderson 55009,93E‐01‐1,17E‐03‐1,25E‐03 5,05E‐036,34E‐03‐1,25E‐03Shipley 61009,92E‐01‐1,99E‐03‐4,98E‐03 5,25E‐036,19E‐03‐4,98E‐03Shipley 67009,91E‐01‐2,83E‐03‐9,73E‐03 5,43E‐036,04E‐03‐9,73E‐03Shipley 73009,89E‐01‐3,69E‐03‐1,56E‐02 5,59E‐035,91E‐03‐1,56E‐02Shipley 79009,87E‐01‐4,58E‐03‐2,28E‐02 5,73E‐035,77E‐03‐2,28E‐02Shipley 85009,84E‐01‐5,51E‐03‐3,15E‐02 5,86E‐035,65E‐03‐3,15E‐02Shipley 91009,82E‐01‐6,47E‐03‐4,17E‐02 5,97E‐035,52E‐03‐4,17E‐02Shipley TABLA 6.5 Modelo representativo Caso práctico 1
Análisis global de pérdidas 83 6.2. Caso práctico 2 Analizar la eficiencia del sistema compuesto por una pareja de engranajes cilíndricos de dentado recto que trabaja en las siguientes condiciones de operación: VariableSignificadoValorUnidades µ0viscosidadabsolutadellubricanteencondiciones atmosféricas0,05 N∙s/m2 mgrelacióndetransmisiónentrelosengranajesen contacto1,67 Fanchodelacaradeldiente0,03952m Tppardeentrada271N∙m θ ángulodepresión20grados npvelocidadderotacióndelpiñónoengranajedeentrada1900rpm Ppasodiametral 8 nº dientes/pulgada Npnºdedientesdelpiñónoengranajedeentrada47,874016 vviscosidadcinemáticadellubricante0,54cm2/s Dpdiámetroprimitivodelengranaje0,152N∙m F/Dprelaciónentreelanchodecaradeldienteyeldiámetro primitivodelengranaje0,2600 N∙s/m2 vpvelocidadenlalíneaprimitiva15,1215m/s TABLA 6.6 Condiciones de operación Caso práctico 211 Con estos datos, los resultados obtenidos de la eficiencia global del sistema calculada con cada uno de los modelos es: npAndersonShipleyMerritBuckingham 1009,97E‐010,98528184 0,82037689 0,997549469 7009,89E‐010,98630321 0,93210885 0,995138069 1300 9,85E‐010,98727833 0,95018151 0,993374305 1900 9,81E‐010,9881848 0,95879163 0,991989926 2500 9,79E‐010,98899908 0,96407538 0,990811815 3100 9,77E‐010,98969655 0,96773874 0,98976847 3700 9,76E‐010,99025148 0,97047014 0,98882209 4300 9,76E‐010,99063701 0,97260773 0,987949808 4900 9,76E‐010,99082522 0,97433956 0,987136541 5500 9,76E‐010,99078703 0,97577962 0,986371719 6100 9,77E‐010,9904923 0,97700162 0,985647596 6700 9,78E‐010,98990976 0,97805554 0,984958292 7300 9,79E‐010,98900704 0,97897671 0,984299222 7900 9,80E‐010,98775067 0,97979082 0,983666725 8500 9,82E‐010,98610606 0,98051714 0,983057823 9100 9,84E‐010,98403752 0,98117038 0,98247006 TABLA 6.7 Eficiencias globales por modelos Caso práctico 2 11 Estas condiciones se han escogido de un ejemplo (Fletcher) presentado en el artículo (3 pág. 372) de la bibliografía.
Análisis global de pérdidas 84 FIGURA 6.4 Comparativa eficiencia global por modelos Caso práctico 2 Aquí se ve que todos los modelos presentan unas valoraciones de la eficiencia del sistema muy similar dentro de un rango de velocidades. A continuación se van a representar las diferencias existentes entre los valores de eficiencia máximo y mínimo en cada punto de velocidad analizado, para determinar el rango de velocidades en que podría considerarse que todos los modelos tienen un comportamiento similar. npMáximoMínimoDiferencia 1009,98E‐018,20E‐011,77E‐01 7009,95E‐019,32E‐016,30E‐02 13009,93E‐019,50E‐014,32E‐02 19009,92E‐019,59E‐013,32E‐02 25009,91E‐019,64E‐012,67E‐02 31009,90E‐019,68E‐012,20E‐02 37009,90E‐019,70E‐011,98E‐02 43009,91E‐019,73E‐011,80E‐02 49009,91E‐019,74E‐011,65E‐02 55009,91E‐019,76E‐011,50E‐02 61009,90E‐019,77E‐011,39E‐02 67009,90E‐019,78E‐011,24E‐02 73009,89E‐019,79E‐011,03E‐02 79009,88E‐019,80E‐017,96E‐03 85009,86E‐019,81E‐015,59E‐03 91009,84E‐019,81E‐012,87E‐03 TABLA 6.8 Diferencias entre valores extremos de eficiencias Caso práctico 2 8,00E‐01 8,50E‐01 9,00E‐01 9,50E‐01 1,00E+00 1,05E+00 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Anderson Shipley Merrit Buckingham
Análisis global de pérdidas 85 FIGURA 6.5 Diferencia entre valores extremos de eficiencia global Caso práctico 2 En este caso, para equiparar el análisis con el del caso anterior, el rango de velocidades que situaría la diferencia entre la eficiencia máxima y mínima proporcionada por los modelos en un 1% sería de 7000 a 9000 rpm. Sin embargo, entre 3500 y 9000 rpm la diferencia se situaría en un 2%. FIGURA 6.6 Rango de validez para el cálculo de la eficiencia global por modelos Caso práctico 2 Estas diferencias no nos indican nada más que la dispersión de resultados entre los modelos dentro de un rango determinado. Para poder establecer si existe o no un modelo que pueda ser más representativo que los demás, se va a calcular para cada régimen de giro el valor promedio de la eficiencia global calculada por cada modelo y en base a ésta se analizará para qué modelo los valores calculados por él se encuentran más cercanos a los promediados. Diferenciarespectodelamedia npPromedioAndersonShipleyMerritBuckingham Mínimo Modelo representativo 1009,50E‐014,73E‐023,51E‐02 ‐1,30E‐01 4,74E‐02‐1,30E‐01Merrit 7009,76E‐013,93E‐023,61E‐02 ‐1,81E‐02 4,50E‐02‐1,81E‐02Merrit 13009,79E‐013,45E‐023,71E‐02 1,10E‐054,32E‐021,10E‐05Merrit 19009,80E‐013,11E‐023,80E‐02 8,62E‐034,18E‐028,62E‐03Merrit 25009,81E‐012,88E‐023,88E‐02 1,39E‐024,06E‐021,39E‐02Merrit 31009,81E‐012,72E‐023,95E‐02 1,76E‐023,96E‐021,76E‐02Merrit 37009,81E‐012,62E‐024,01E‐02 2,03E‐023,87E‐022,03E‐02Merrit 0,00E+00 1,00E‐02 2,00E‐02 3,00E‐02 4,00E‐02 5,00E‐02 6,00E‐02 7,00E‐02 8,00E‐02 9,00E‐02 1,00E‐01 1,10E‐01 1,20E‐01 1,30E‐01 1,40E‐01 1,50E‐01 1,60E‐01 1,70E‐01 1,80E‐01 1,90E‐01 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Diferencia Diferencia
Análisis global de pérdidas 92 FIGURA 6.10 Comparativa eficiencia global por modelos Caso práctico 4 Aquí se ve que todos los modelos presentan unas valoraciones de la eficiencia del sistema muy similar dentro de un rango de velocidades. A continuación se van a representar las diferencias existentes entre los valores de eficiencia máximo y mínimo en cada punto de velocidad analizado, para determinar el rango de velocidades en que podría considerarse que todos los modelos tienen un comportamiento similar. npMáximoMínimoDiferencia 1009,99E‐018,70E‐011,29E‐01 7009,96E‐019,51E‐014,50E‐02 13009,94E‐019,64E‐013,04E‐02 19009,93E‐019,70E‐012,31E‐02 25009,92E‐019,74E‐011,83E‐02 31009,92E‐019,77E‐011,52E‐02 37009,92E‐019,79E‐011,36E‐02 43009,92E‐019,80E‐011,23E‐02 49009,92E‐019,81E‐011,09E‐02 55009,92E‐019,83E‐019,43E‐03 61009,91E‐019,83E‐017,81E‐03 67009,92E‐019,84E‐017,57E‐03 73009,92E‐019,85E‐017,53E‐03 79009,93E‐019,85E‐017,68E‐03 85009,94E‐019,84E‐011,01E‐02 91009,95E‐019,81E‐011,42E‐02 TABLA 6.16 Diferencias entre valores extremos de eficiencias Caso práctico 4 8,00E‐01 8,50E‐01 9,00E‐01 9,50E‐01 1,00E+00 1,05E+00 0 10002000300040005000600070008000900010000 Anderson Shipley Merrit Buckingham
Análisis global de pérdidas 93 FIGURA 6.11 Diferencia entre valores extremos de eficiencia global Caso práctico 4 Estas diferencias no nos indican nada más que la dispersión de resultados entre los modelos dentro de un rango determinado. Para poder establecer si existe o no un modelo que pueda ser más representativo que los demás, se va a calcular para cada régimen de giro el valor promedio de la eficiencia global calculada por cada modelo y en base a ésta se analizará para qué modelo los valores calculados por él se encuentran más cercanos a los promediados. FIGURA 6.12 Rango de validez para el cálculo de la eficiencia global por modelos Caso práctico 4 Estas diferencias no nos indican nada más que la dispersión de resultados entre los modelos dentro de un rango determinado. Para poder establecer cuál sería el modelo que presenta unos resultados promedio de entre todos los modelos, analizaremos los valores promedios para cada velocidad de rotación tenida en cuenta y lo que se separa cada modelo de estos. Diferenciarespectodelamedia npPromedioAndersonShipleyMerritBuckingham Mínimo Modelo representativo 1009,64E‐013,51E‐022,42E‐02 ‐9,35E‐02 3,41E‐02‐9,35E‐02Merrit 7009,83E‐013,18E‐022,52E‐02 ‐1,28E‐02 3,22E‐02‐1,28E‐02Merrit 13009,85E‐012,98E‐022,61E‐02 2,66E‐043,07E‐022,66E‐04Merrit 19009,87E‐012,85E‐022,69E‐02 6,48E‐032,96E‐026,48E‐03Merrit 25009,87E‐012,76E‐022,76E‐02 1,03E‐022,86E‐021,03E‐02Merrit 31009,88E‐012,71E‐022,82E‐02 1,29E‐022,77E‐021,29E‐02Merrit 0,00E+00 1,00E‐02 2,00E‐02 3,00E‐02 4,00E‐02 5,00E‐02 6,00E‐02 7,00E‐02 8,00E‐02 9,00E‐02 1,00E‐01 1,10E‐01 1,20E‐01 1,30E‐01 1,40E‐01 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Diferencia Diferencia
Análisis global de pérdidas 94 37009,88E‐012,68E‐022,86E‐02 1,49E‐022,69E‐021,49E‐02Merrit 43009,88E‐012,67E‐022,87E‐02 1,65E‐022,62E‐021,65E‐02Merrit 49009,88E‐012,68E‐022,86E‐02 1,77E‐022,55E‐021,77E‐02Merrit 55009,88E‐012,70E‐022,82E‐02 1,87E‐022,49E‐021,87E‐02Merrit 61009,88E‐012,74E‐022,74E‐02 1,96E‐022,43E‐021,96E‐02Merrit 67009,88E‐012,80E‐022,63E‐02 2,04E‐022,37E‐022,04E‐02Merrit 73009,88E‐012,86E‐022,47E‐02 2,11E‐022,31E‐022,11E‐02Merrit 79009,88E‐012,93E‐022,26E‐02 2,16E‐022,26E‐022,16E‐02Merrit 85009,87E‐013,02E‐022,00E‐02 2,22E‐022,21E‐022,00E‐02Shipley 91009,87E‐013,11E‐021,69E‐02 2,26E‐022,16E‐021,69E‐02Shipley TABLA 6.17 Modelo representativo Caso práctico 4
Resultados 95 7. RESULTADOS Una vez llevado a cabo el diseño de experimentos para analizar la significatividad de los efectos de cada factor sobre la variable objetivo en cada uno de los modelos, van a analizarse los resultados obtenidos. Primero se van analizar los resultados obtenidos al aplicar la teoría del diseño de experimentos (resultados referidos a tendencias de comportamiento de los modelos) y finalmente los resultados obtenidos con los cuatro casos prácticos (resultados referidos a los valores numéricos calculados por los modelos). 7.1. Eficiencia considerando el fenómeno de deslizamiento A continuación se muestran las variables que cada modelo ha considerado para el cálculo de la eficiencia del sistema habiendo considerado únicamente el fenómeno del deslizamiento. VariableSignificadoModeloreducido deAndersony Loewenthal Modelo de Shipley Modelode Buckingham Modelo deMerrit θ ángulodepresiónxxxx npvelocidadderotación delpiñónoengranaje deentrada xxxx Npnºdedientesdelpiñón oengranajedeentrada xxxx mgrelacióndetransmisión entrelosengranajesen contacto xxxx Ppasodiametralxxxx Tppartransmitidox Fanchodelacaradel diente x mviscosidadabsolutadel lubricanteen condiciones atmosféricas x vviscosidadcinemática dellubricante x TABLA 7.1 Variables principales de los modelos (deslizamiento) De todas estas variables, se ha realizado el diseño de experimentos teniendo en cuenta para todos los modelos las variables np, P, Np y θ y las variables np, θ, P y F (caso 2) en el Modelo reducido de Anderson y Loewenthal. En la tabla se marcan con una “x” las variables significativas y con un “O” la variable más significativa de todas ellas.
Resultados 96 DesignaciónVariable SignificadoModelo reducidode Andersony Loewenthal Modelo de Shipley Modelode Buckingham Modelo de Merrit AnpvelocidaddeOOOO CNpnºdedientesxxx BPpasodiametralxxxx Dθángulodexxxx ACnp∙Np xx ABnp∙P xx ADnp∙θ xx BCDNp∙θ∙P x TABLA 7.2 Variables significativas por modelos En todos los modelos la variable más significativa es la relativa a las revoluciones de giro del engranaje de entrada. El número de dientes del engranaje de entrada deja de ser significativo en el Modelo de Shipley y, si nos fijamos en el aptado. 3, se puede ver que esta variable es la menos significativa tanto en el Modelo de Merrit como en el Modelo reducido de Anderson y Loewenthal. Comparando los casos 1 y 2 del Modelo reducido de Anderson y Loewenthal, vemos lo siguiente: DesignaciónVariable SignificadoCaso1Caso2 AnpvelocidadderotacióndelpiñónoengranajedeOO CNpnºdedientesdelpiñónoengranajedeentradax BPpasodiametralxx C’Fanchuradelacaradeldientex Dθ ángulodepresióndeldientexx ACnp∙Np x BC’F∙P x BDP∙θ x ABnp∙P x ADnp∙θ x C’DF∙θ x ABDnp∙θ∙P x BC’DF∙θ∙P x ABC’Dnp∙F∙θ∙P x TABLA 7.3 Comparativa caso 1 y 2 Modelo reducido de Anderson y Loewenthal Al sustituir la variable Np por la variable F, el resto de variables toman más relevancia influyendo más sobre la eficiencia lo que provoca que también lo sean algunas interacciones entre estas. Sin embargo, se ve que la variable F es considerablemente menos significativa que la variable a la que sustituye en el estudio, Np.
Resultados 97 7.1.1. Valoración de la influencia de las variables significativas sobre la variable objetivo Teniendo en cuenta las pendientes analizadas anteriormente para cada modelo, de las rectas que representan la tendencia de aumento o disminución de la variable objetivo con los niveles de las variables principales, se pueden extraer las siguientes conclusiones: VariableModeloreducidode AndersonyLoewenthal Modelode Shipley Modelode Buckingham Modelode Merrit np0,09927362‐0,06717937‐0,02858470,09698689 P‐0,036422810,036171350,00796485‐0,05388161 Np0,03032699‐0,003913970,008624450,05423469 θ 0,040738440,03733170,027533830,05271097 TABLA 7.4 Pendientes (%) de las rectas de las variables más significativas (k=4) Los resultados parecen ser algo desconcertantes. Para el Modelo reducido de Anderson y Loewenthal y el Modelo de Merrit a medida que aumenta la velocidad de rotación del engranaje de entrada aumenta la eficiencia de la transmisión, algo que es contrario a lo que sucede con el Modelo de Shipley y el Modelo de Buckingham. Lo opuesto sucede con el modelo de Buckingham y con el modelo de Shipley cuando se trata del paso diametral del engranaje, en estos a medida que aumenta el paso diametral aumenta la eficiencia del sistema, en los otros dos no. El comportamiento del Modelo de Shipley debe analizarse con más detalle debido a que en función del rango en que se evalúa la eficiencia, las tendencias varían. Aparentemente, la eficiencia aumenta al aumentar el paso diametral del engranaje y disminuye a medida que aumenta el número de dientes del engranaje de entrada. En todos los modelos sí queda claro que el ángulo de presión del diente contribuye a un aumento de la eficiencia de la transmisión conforme éste es más grande. A continuación se han representado los modelos estudiados para ilustrar las conclusiones anteriores. Se han tenido en cuenta los valores de las variables principales que se tomaron en los diseño de experimentos (aptado. 3) y se ha representado la variación de la variable objetivo al variar únicamente una de las variables principales. FIGURA 7.1 Variación eficiencia con n p
Resultados 98 FIGURA 7.2 Variación eficiencia con P FIGURA 7.3 Variación eficiencia con N p
Resultados 99 FIGURA 7.4 Variación eficiencia con θ A la vista de las gráficas representadas anteriormente, en la figura 7.2 se aprecia que el modelo de Buckingham se comporta al revés que los otros modelos y que el comportamiento de la eficiencia al variar el paso diametral de los engranajes en el Modelo de Shipley, no es el que aparentaba ser al realizar el diseño de experimentos y ver la pendiente de la recta asociada al factor que representaba a esa variable. El motivo de esta aparente no-correlación de los resultados en el modelo de Shipley se puede hallar en la figura 7.1, donde se representa la variación de la eficiencia con la de la velocidad de rotación del engranaje de entrada. En el Modelo de Shipley se observa un punto de inflexión que cambia el comportamiento de la variable objetivo por completo. Debido a esto y para evitar que las conclusiones obtenidas en este trabajo puedan no presentar la coherencia que deben con los análisis realizados anteriormente, se presentan a continuación las variaciones de la eficiencia con respecto a la velocidad de rotación del engranaje de entrada que, no debe olvidarse, es la variable más significativa de las variables principales analizadas para todos los modelos.
Resultados 100 FIGURA 7.5 Variación eficiencia con n p (ampliación del rango) Teniendo en cuenta que las conclusiones de este trabajo se corresponden con los niveles máximos y mínimos definidos en el aptado. 3, de los dos cambios de tendencia que se observan en el Modelo de Buckingham y en el Modelo de Shipley, el Modelo de Buckingham no genera dudas en cuanto a su tendencia pero sí el de Shipley por lo que para verificar que el resto de valoraciones hechas en base a la teoría de diseño de experimentos sobre este modelo son consecuentes, se va a analizar este modelo en mayor profundidad. Se ha realizado una revisión de la variación de las otras tres variables principales en el Modelo de Shipley tanto para cuando la velocidad de rotación del engranaje de entrada se encuentra en su nivel mínimo (2000 rpm) como en el máximo (4000 rpm). FIGURA 7.6 Cambio de tendencia en la variación de E con n p (Modelo de Shipley) 0,99690 0,99695 0,99700 0,99705 0,99710 0,99715 0,99720 0,99725 0,99730 0,99735 0 1000 2000 3000 4000 E E
Resultados 101 FIGURA 7.7 Cambios de tendencia para las variables principales del Modelo de Shipley Estos cambios de tendencia nos llevan a no tener en cuenta las conclusiones que del diseño de experimentos se obtenían para el modelo de Shipley, ya que en función de los niveles definidos para la variable principal más significativa el comportamiento de la variable objetivo varía significativamente, cosa que para los otros tres modelos no sucedió, dentro siempre de los niveles definidos para las variables principales. Una vez aclarado el comportamiento del modelo de Shipley y teniendo en cuenta que para los niveles de las variables consideradas en el diseño de experimentos todos los modelos presentan tendencias de aumento o disminución de la eficiencia similares para los cambios de las variables N p , θ y P, queda analizar el cambio de tendencia existente para la variable n p . Como se ha visto en todos los modelos, las pérdidas por deslizamiento son directamente proporcionales en todos los casos al coeficiente de fricción existente entre los dientes en contacto. Si representamos la variación de los coeficientes de fricción en función de la variación de velocidades de rotación del engranaje de entrada veremos que las gráficas presentan un comportamiento simétrico respecto al eje X al que presentan las gráficas que representan la variación de la eficiencia con el cambio de la velocidad de rotación (fig. 7.5)
Resultados 108 7.3.1. Valoración de la influencia de las variables significativas sobre la variable objetivo Teniendo en cuenta las pendientes analizadas anteriormente para cada caso, de las rectas que representan la tendencia de aumento o disminución de la variable objetivo con los niveles de las variables principales, se pueden extraer las siguientes conclusiones. VariableModeloreducidodeAnderson yLoewenthal Modelode Shipley np‐0,00127312‐0,15659048 P0,000911910,09455827 Np‐0,00058266‐0,06120533 F‐6,7601E‐05‐0,0150431 TABLA 7.11 Pendientes (%) de las rectas de las variables más significativas (fricción del aire) Los resultados parecen ser coherentes y las variables principales presentan el mismo nivel de importancia relativa en términos de su influencia sobre la variable objetivo en ambos modelos (las variables se comportan de la misma manera al pasar del nivel mínimo al máximo). A continuación se han representado los modelos estudiados para ver el comportamiento de la variable objetivo al variar una de las variables principales. Se han tenido en cuenta los valores de las variables principales que se tomaron en los diseño de experimentos (aptado. 5). FIGURA 7.12 Variación eficiencia con np (fricción del aire) FIGURA 7.13 Variación eficiencia con P (fricción del aire)
Resultados 109 FIGURA 7.14 Variación eficiencia con Np (fricción del aire) FIGURA 7.15 Variación eficiencia con F (fricción del aire) A la vista de las gráficas representadas anteriormente se ve que el comportamiento de la variable objetivo se corresponde con el que se intuía al analizar las pendientes de las rectas de cada variable principal en el aptado. 5. Al no apreciar ningún punto de inflexión en la gráfica E-np y dado que np es la variable más significativa, se puede decir que las conclusiones que se han obtenido analizando las variables principales dentro de los niveles máximos y mínimos son válidas.
Resultados 110 7.4. Comparativa de la eficiencia global del sistema Por último se presenta una comparativa para cada uno de los cuatro casos prácticos analizados en el aptado. 6 de la eficiencia global del sistema que calcula cada autor con sus modelos. A continuación se muestran los rangos de variación de la velocidad de rotación del engranaje de entrada, para cada caso analizado, en que los modelos presentan comportamientos similares: CasoprácticoRangoderpm Máximadiferenciaen%entreellos 11000‐60001 23500‐90002 31500‐90004 42000‐85002 TABLA 7.12 Rangos de comportamiento similar entre los modelos Lo que se va a presentar aquí es para el rango de velocidades estudiado (entre 100 y 9100 rpm), qué modelo presenta una diferencia mínima respecto del promedio de la eficiencia global que todos los modelos calculan a esas revoluciones de giro del engranaje de entrada. npCaso1Caso2Caso3Caso4 100MerritMerritMerritMerrit 700MerritMerritMerritMerrit 1300MerritMerritMerritMerrit 1900MerritMerritMerritMerrit 2500Anderson MerritAnderson Merrit 3100Anderson MerritAnderson Merrit 3700Anderson MerritAnderson Merrit 4300Anderson MerritAnderson Merrit 4900Anderson MerritAnderson Merrit 5500ShipleyMerritAnderson Merrit 6100ShipleyAnderson Anderson Merrit 6700ShipleyAnderson Anderson Merrit 7300ShipleyAnderson Anderson Merrit 7900ShipleyMerritAnderson Merrit 8500ShipleyMerritAnderson Shipley 9100ShipleyMerritAnderson Shipley TABLA 7.13 Modelo más cercano a la media en cada caso De los resultados expuestos en la tabla anterior se puede apreciar que el Modelo de Merrit presenta un valor de la eficiencia global muy cercano a la media en los rangos de velocidades entre 100 y 1900 rpm. En los casos 2 y 4 continúa siendo el modelo que más se aproxima al valor medio entre 100 y 5500 rpm pero en los casos 1 y 3 es el Modelo reducido de Anderson y Loewenthal quien más cerca se encuentra de la media en el rango entre 2500 y 4900 rpm. El Modelo de Shipley únicamente presenta valores cercanos a la media en el caso 1 entre 5500 y 9100 rpm y en el caso 4 entre 8500 y 9100 rpm.
Resultados 111 Es llamativo que el Modelo de Buckingham no aparece en la tabla dado que los valores calculados con él no son los más cercanos a la media en ninguno de los cuatro casos analizados.
Resultados 112
Conclusiones 113 8. CONCLUSIONES Del estudio llevado a cabo cabe destacar que los modelos que se han estudiado son modelos empíricos basados en datos y variables cuyas ecuaciones de comportamiento han sido obtenidas tras la experimentación. Esto se aprecia en los resultados que se han obtenido, ya que algunos modelos presentan comportamientos diferentes en función de los rangos en que son evaluados presentando entre ellos resultados diferentes en cuanto a su comportamiento o tendencia. A continuación se detallan las conclusiones obtenidas para cada tipo de modelo de pérdidas o eficiencia analizado y finalmente las conclusiones extraídas de los cuatro casos presentados en el aptado. 6. 8.1. Pérdidas por deslizamiento Todos los modelos coinciden en que la variable más significativa que afecta al cálculo de la eficiencia es la velocidad de rotación del engranaje de entrada sin embargo, únicamente el modelo de Anderson y Loewenthal y el de Merrit se comportan de la misma manera. Las variaciones del paso diametral y de las revoluciones de giro del engranaje de entrada afectan de forma diferente a los modelos de Shipley y Buckingham, presentando el modelo de Shipley un comportamiento variable en función de a qué régimen de revoluciones gira el engranaje de entrada. De esto se concluye que los resultados obtenidos mediante el diseño de experimentos están condicionados por los niveles máximos y mínimos fijados para las variables principales, de ahí que no se puedan extrapolar los resultados. En todos los modelos se ha visto que dependen del modelo elegido para calcular el coeficiente de fricción completamente. Como cada modelo está desarrollado teniendo en cuenta unas condiciones específicas de operación, no todos son válidos para cualquier situación de trabajo. Esta dependencia tan alta con el coeficiente de fricción condiciona el comportamiento de la eficiencia al variar las revoluciones de giro del engranaje de entrada. 8.2. Pérdidas por rodadura En el modelo estudiado, habiendo considerado los dos grupos de variables analizadas mediante el diseño de experimentos, la variable más significativa es el ángulo de presión del diente seguida por la velocidad de rotación del engranaje. A mayor velocidad de rotación, mayores son las pérdidas debidas a la rodadura existente entre los dientes en contacto, cosa coherente dado que la presión del aceite de lubricación aumenta y con ello la oposición a la rodadura de los dientes en contacto. Para un engranaje de diámetro primitivo fijo, cuanto mayor es el paso diametral menos pérdidas por rodadura existen porque el aceite de lubricación ocupa menor superficie entre dientes consecutivos y la presión es menor. Para un engranaje con un paso diametral fijo, a mayor número de dientes mayor diámetro y por lo tanto se da una situación opuesta a la del paso diametral. Cuanto mayor es el ancho de cara del diente del engranaje, tal y como se ha razonado los dos puntos anteriores, mayor superficie expuesta al aceite presurizado existe por lo que mayor oposición a la rodadura existe y menor es la eficiencia de la transmisión.
Conclusiones 114 8.3. Pérdidas por fricción del aire Al igual que en los otros dos tipos de pérdidas anteriores ambos modelos presentan la eficiencia de la transmisión dominada por la velocidad de rotación del engranaje de entrada, aunque, el modelo de Anderson presenta unos valores de eficiencia considerablemente menos sensibles al fenómeno de fricción del aire. Estos dos modelos presentan un comportamiento muy parecido en cuanto a las tendencias con que varía la eficiencia al variar el valor de las variables principales. A mayor velocidad de rotación, mayores son las pérdidas debidas a la fricción del aire, cosa coherente dado que si la transmisión gira muy lentamente, prácticamente no hay aire en circulación y las pérdidas son mínimas. Para un engranaje de diámetro primitivo fijo, cuanto mayor es el paso diametral menos pérdidas por fricción del aire se generan porque existe mayor continuidad entre dientes consecutivos del engranaje. Para un engranaje con un paso diametral fijo, a mayor número de dientes mayor diámetro y por lo tanto mayor superficie expuesta al aire por lo que la eficiencia disminuye. Cuanto mayor es el ancho de cara del diente del engranaje, tal y como se ha razonado el punto anterior, mayor superficie expuesta al aire existe y por lo tanto mayores son las pérdidas por fricción del aire. 8.4. Casos prácticos En todos los casos prácticos analizados se ha visto que los modelos presentan comportamientos muy similares en unos rangos de giro del engranaje de entrada para cada caso analizado pero no generalizables para todos. Lo mismo se puede concluir al haber analizado los resultados obtenidos al intentar promediar los valores que para cada caso estudiado se obtenían con los modelos. No existe una conclusión clara que permita afirmar con seguridad que uno o varios modelos pueden emplearse para cualquier situación de funcionamiento de los engranajes. Lo que sí es claro es que el modelo de Buckingham es el modelo que menos cerca se ha encontrado de los valores promediados en todos los casos analizados. De todo lo anterior se concluye que el análisis de la eficiencia en base a la potencia que se pierde en transmisiones mecánicas presenta una complejidad elevada, requiere de la experimentación para poder extraer conclusiones fiables y únicamente éstas podrán ser aplicables con rigor a situaciones de operación en condiciones equiparables a las que existieron durante la experimentación. Fuera de estas condiciones los modelos existentes desarrollados por otros investigadores pueden darnos una idea general de qué factores influyen más o menos en el aumento de pérdidas para poder prestarles más atención a la hora de diseñar una transmisión, pero no una valoración cuantificable fiable de éstas, para ello es necesario reproducir en un laboratorio las condiciones en que trabajará la transmisión que va a diseñarse y de ahí sacar las conclusiones oportunas. Por último, me gustaría hacer un último comentario del riesgo que existe al escoger modelos desarrollados por otros investigadores. Conviene revisar con detalle de dónde provienen dichos modelos y el significado de todas las variables y constantes que aparecen en estos. Durante el desarrollo de este trabajo se han detectado errores (aparecen justificados en las notas a pie de página a lo largo del trabajo) en cuanto a la utilización de constantes en ecuaciones para convertir unidades del sistema internacional al sistema americano. Esto es
Conclusiones 115 fácilmente detectable en ecuaciones puramente teóricas, pero no en ecuaciones obtenidas directamente tras la experimentación. En éstas, las constantes que aparecen deben emplearse tal cual y las variables que aparecen en éstas deben introducirse en las unidades que el autor de dicho modelo indica ya que únicamente esas constantes son válidas para esas unidades.
Conclusiones 116