Repositorio Institucional de Documentos

0 TriáNGUlostriángulostriángulostriángul ostriánguloSTRIÁngulostriángulostrián gulostriángulostriánguLOStriángulostRi ángulostriángulostriángulostriángulost riángulostriángulostriángulostriángulos triángulostriángulosTRIÁNGulostriángu lostriángulostriángulostriángulostriáng ulostriángulostriángulostriángulostriÁ NGULOStriángulostriángulostriángulost riángulostriángulosTRiángulostrIÁNgul ostriángulostriángulostriángulostriáng ulostriángulostriángulostriánGulostrián gulostriángulOStriángulostriángulostriá nguLOSTRIÁNGULOstriángulostriángul ostriángulostriángulostriángulostriáng ulostriángulostriángulostriángulostri ángulostriángulostriángulostriángulo striánguloSTriángulostriángulostrián gklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv Resolución de triángulos Teoremas del seno y del coseno 1º Bachillerato Trabajo fin de Máster en la especialidad de Matemáticas del Máster de profesorado de Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas, Artísticas y Deportivas. Alumna: Marta Aznar Maldonado Director: Alberto Arnal Bailera Junio 2013 1 INDICE A. Definición del objeto matemático a enseñar. 1. Objeto matemático a enseñar…………………………………………………………………...3 2. Curso y asignatura en la que se sitúa el objeto matemático………………………..3 3. ¿Qué campo de problemas, técnicas y tecnologías asociadas al objeto matemático se pretenden enseñar?..................................................................................3 B. Estado de la enseñanza-aprendizaje del objeto matemático. 1. ¿Cómo se justifica habitualmente la introducción escolar del objeto matemático?................................................................................................................................4 2. Problemas, técnicas y tecnologías que se enseñan habitualmente…………….4 3. ¿Qué efectos produce dicha enseñanza sobre el aprendizaje del alumno?......4 C. Conocimientos previos del alumno. 1. Conocimientos previos que necesita el alumno para afrontar el aprendizaje del objeto matemático……………………………………………………………………………..5 2. La enseñanza anterior, ¿Ha propiciado que el alumno adquiera esos conocimientos previos?..........................................................................................................5 3. ¿Mediante qué actividades se va a tratar de asegurar que los alumnos posean esos conocimientos previos?................................................................................6 D. Razones de ser del objeto matemático. 1. ¿Cuál es la razón o razones de ser que se va a tener en cuenta en la introducción escolar del objeto matemático?...............................................................6 2. ¿Coinciden con las razones de ser históricas que dieron origen al objeto?.....7 3. Problemas que se constituyen en razones de ser de los distintos aspectos del objeto matemático a enseñar……………………………………………………………...8 4. Metodología a seguir en su implementación en el aula…………………………….10 E. Campo de problemas. 1. Tipos de problemas que se van a presentar en el aula……………………………..10 2. ¿Qué modificaciones de la técnica inicial van a exigir la resolución de dichos problemas?................................................................................................................................14 3. Metodología a seguir en su implementación en el aula…………………………….14 F. Técnicas. 1. Tipos de ejercicios que se van a presentar en el aula……………………………….15 2. ¿Qué técnicas o modificaciones de una técnica se ejercitan con ellos?...........17 3. Dichas técnicas ¿están adecuadas al campo de problemas asociado al objeto matemático?..............................................................................................................................17 4. Metodología a seguir en su implementación en el aula…………………………….17 G. Tecnologías (justificación de las técnicas) 1. ¿Mediante qué razonamientos se van a justificar las técnicas?..........................17 2. ¿Quién (profesor, alumnos, nadie) va a asumir la responsabilidad de justificar las técnicas?...........................................................................................................18 3. Proceso de institucionalización de los distintos aspectos del objeto matemático…………………………………………………………………………………………...18 2 4. Metodología a seguir en su implementación en el aula…………………………….19 H. Secuencia didáctica y su cronograma. 1. Secuencia de las actividades propuestas en los apartados anteriores……….20 2. Duración temporal aproximada……………………………………………………………...42 I. Evaluación. 1. Prueba escrita (de una duración aproximada de una hora) para evaluar el aprendizaje realizado por los alumnos……………………………………………………44 2. ¿Qué aspectos del conocimiento de los alumnos sobre el objeto matemático se pretende evaluar con cada una de las preguntas de dicha prueba?...........45 3. ¿Qué respuestas se esperan en cada una de las preguntas en función del conocimiento de los alumnos?..........................................................................................45 4. Criterios de calificación………………………………………………………………………….46 J. Bibliografía y páginas web. 1. Libros y artículos…………………………………………………………………………………..49 2. Páginas web…………………………………………………………………………………………..49 3 A. Definición del objeto matemático a enseñar. 1. Objeto matemático a enseñar. Se va a enseñar a los alumnos los teoremas del seno y del coseno, los cuales son necesarios para la resolución de triángulos cualesquiera. 2. Curso y asignatura en la que se sitúa el objeto matemático. Estos conceptos se estudian en la asignatura de Matemáticas del primer curso de Bachillerato de la rama científico-técnica, dentro del tema de Trigonometría. Según el Currículo Aragonés de Bachiller (BOA 17/7/2008, pág.14074), ver anexo, el teorema del seno y del coseno son contenidos mínimos para los alumnos de 1º de Bachiller. 3. ¿Qué campo de problemas, técnicas y tecnologías asociadas al objeto matemático se pretenden enseñar? Los problemas, técnicas y tecnologías que se pretenden enseñar están orientados a la resolución de triángulos. Muchos de los problemas que se plantean en topografía, navegación, astronomía y otros campos, exigen la resolución de triángulos a partir de unos datos, es decir, conocer los lados y ángulos desconocidos a partir de otros dados. Teniendo en cuenta los objetivos marcados por el Currículo Aragonés de Bachillerato (BOA 17/7/2008, pág. 14073), ver anexo, el estudio de la trigonometría trata de proporcionar a los alumnos un lenguaje y una herramienta útil para la resolución de ciertos problemas no sólo de la propia disciplina, sino también de otras disciplinas científicas. Al plantear problemas, se busca que los alumnos desarrollen las capacidades de análisis y síntesis, de abstracción y de concreción, de generalización y de particularización, de formulación de conjeturas y de argumentación. Se trata de que los alumnos trasladen el problema de la vida real al campo de las matemáticas, lo resuelvan con las herramientas que proporcionan estas y que devuelvan la solución al problema real. Las tecnologías no deben quedar al margen. Los alumnos deben saber utilizar las calculadoras, y programas informáticos, etc. De esa forma, se agiliza y facilita el cálculo, pero además los alumnos se hacen conscientes de las limitaciones de los medios tecnológicos. Por último, al enunciar, formular y demostrar los teoremas de los senos y del coseno, se inicia a los alumnos en la comprensión de los métodos deductivos propios de las matemáticas. 4 B. Estado de la enseñanza-aprendizaje del objeto matemático. 1. ¿Cómo se justifican habitualmente la introducción escolar del objeto matemático? Habitualmente, la Trigonometría es introducida mediante problemas de cálculo de distancias inaccesibles. 2. ¿Qué campos de problemas, técnicas y tecnologías se enseñan habitualmente? Problemas de distancias y de alturas, con un observador y con dos, cuya solución se halla mediante la resolución de triángulos tanto rectángulos como cualesquiera. Son problemas que no pueden resolverse con las técnicas conocidas hasta ahora por los alumnos, como el teorema de Pitágoras y el teorema de Thales. En relación con las técnicas:  Paso de radianes a grados y viceversa.  Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.  Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.  Calcular las razones trigonométricas de un ángulo a partir del conocimiento de una de ellas. Se debe tener en cuenta las relaciones entre las distintas razones trigonométricas.  Cálculo de las razones trigonométricas mediante la relación con ciertos ángulos. Reducción de cualquier ángulo al primer cuadrante.  Identidades y ecuaciones trigonométricas.  Sistemas de ecuaciones trigonométricas. A cerca de las tecnologías:  Definición de las razones trigonométricas y sus relaciones.  Fórmulas de la suma y diferencia de ángulos.  Razones trigonométricas del ángulo doble.  Razones trigonométricas del ángulo mitad.  Transformación de sumas en productos y viceversa.  Teoremas del seno y del coseno. 3. ¿Qué efectos produce dicha enseñanza sobre el aprendizaje del alumno? Los estudiantes asocian el estudio de la Trigonometría a una gran cantidad de fórmulas que deben aprender. No ven realmente la gran importancia y utilidad de este objeto matemático. 5 C. Conocimientos previos del alumno. 1. Conocimientos previos que necesita el alumno para afrontar el aprendizaje del objeto matemático. Antes de comenzar el estudio de la Trigonometría, el alumno debe poseer los conocimientos previos de:  Semejanza de Triángulos: teorema de Thales.  Criterios de semejanza de triángulos.  Teorema de Pitágoras. Sería deseable que todos los alumnos tuvieran conocimiento de las razones trigonométricas y las relaciones que hay entre ellas. Pero, estos conocimientos son solo contenidos mínimos en la opción B de 4ºESO. Además de estos conocimientos, los estudiantes deben saber realizar operaciones aritméticas, operaciones con radicales y en sistema sexagesimal. Deben manipular expresiones algebraicas y resolver ecuaciones sin dificultad. 2. La enseñanza anterior, ¿ha propiciado que el alumno adquiera esos conocimientos previos? Según el Currículo Aragonés de Educación Secundaria Obligatoria (BOA 1/6/2007 págs. 8994-8996) los conocimientos mínimos respecto a Geometría para promocionar 4º de Educación Secundaria Obligatoria son entre otros:  Aplicación de la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras para la obtención indirecta de medidas.  Criterios de semejanza de triángulos.  Razón de semejanza. Escala. Razón de semejanza de las áreas y los volúmenes.  Resolución de problemas geométricos frecuentes en la vida cotidiana. Estos contenidos son comunes a las opciones A y B. Luego todos los alumnos que cursen primer curso de Bachiller, tienen los conocimientos previos a Trigonometría necesarios. Además la opción B incluye los siguientes conocimientos de Trigonometría.  Razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente.  Relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo: ⁄;  Razones trigonométricas de los ángulos 30  , 45  , 60  , 90  .  Cálculo gráfico de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.  Resolución de problemas de triángulos rectángulos. 6  Uso de la calculadora para el cálculo de ángulos y razones trigonométricas. Como al Bachiller científico-técnico se puede acceder desde cualquier opción de 4º de Educación Secundaria, puede haber alumnos que no tengan ningún conocimiento de trigonometría, aunque esto no es lo habitual. 3. ¿Mediante que actividades se va a tratar de asegurar que los alumnos posean esos conocimientos previos? Se plantearán dos problemas (ver a continuación), que los alumnos resolverán de forma individual. Posteriormente se comentarán y resolverán en la pizarra. Teorema de Thales y de Pitágoras. PCP 1: “Para subir a un granero que ésta a 7m de altura utilizamos una escalera de 12m de longitud y con peldaños separados en 20cm. Se pregunta: (a) ¿Cuál es la distancia del pie de la escalera a la pared? (b) Nos fijamos en el peldaño número 25. ¿Cuánta dista del pie de la escalera? ¿A qué altura se encuentra? ¿A cuánta distancia, en horizontal, se encuentra del pie de la escalera? PCP 2: “Halla el lado de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 9 y 7 cm”. D. Razones de ser del objeto matemático. 1. ¿Cuál es la razón o razones de ser que se va a tener en cuenta en la introducción escolar del objeto matemático? La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la mediación directa; en cambio el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto del cielo, con otra visual fijada de antemano, acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las longitudes de los lados de un triángulo con sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras. 7 EL problema de obtener la distancia de un punto a otro inaccesible mediante la resolución de triángulos puede tener solución o no dependiendo de los datos de los que se parta. Con el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas podemos resolver triángulos rectángulos, pero no siempre se dispone de estos triángulos. Cualquier triángulo no rectángulo puede ser resuelto, aplicando los métodos de resolución de los triángulos mediante la estrategia de la altura. Se trata de elegir adecuadamente una de sus alturas, de modo que al trazarlas se obtienen dos triángulos rectángulos. La razón de estudiar los teoremas del seno y del coseno es que nos permiten resolver cualquier triángulo sin tener que aplicar la estrategia de la altura. De esta forma los cálculos se facilitan. En resumen, se van a tener en cuenta dos razones de ser del objeto matemático, la primera el cálculo de distancias inaccesibles y la segunda la simplificación de los cálculos para resolver triángulos cualesquiera. 2. ¿Coinciden con las razones de ser históricas que dieron origen al objeto? Si que coinciden. Los egipcios tenían algunos conocimientos sobre Trigonometría. El papiro Ahmes incluye un problema sobre la pendiente de una pirámide a partir de la altura y de la base. Aplicaciones a la astronomía. Medir la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes (276 -194 a.C.) tenía noticia de un hecho que cada año se producía en una ciudad de Egipto llamada Siena (hoy Asúan). Sucedía cierto día del año (solsticio de verano), al mediodía, los obeliscos no producían sombra alguna. El agua de los pozos reflejaba como un espejo la luz del Sol. Sin embargo, Eratóstenes observó que en Alejandría, ese mismo día los obeliscos sí producían sombra. Eso sólo era posible si la Tierra era redonda, pues el Sol está tan lejos como para considerar que sus rayos inciden paralelamente sobre la Tierra. 8 Eratóstenes pensó que midiendo la sombra de un obelisco en Alejandría, el mismo día y a la misma hora en que en Siena no proyectaba ninguna sombra, y sabiendo la distancia entre Siena y Alejandría, podría calcularse la circunferencia de la Tierra. Sin embargo, se enfrentaba a dos problemas: averiguar la distancia entre Siena y Alejandría; y, ¿cuándo medir la sombra en Alejandría a la vez que en Siena (en esa época no había relojes)? Eratóstenes ordenó y pagó a los jefes de caravanas que midieran la distancia entre las dos ciudades. Para ello debían poner esclavos a contar vueltas de rueda que daban los carros, a contar pasos, etc. Les salió una media de 5.000 estadios (1 estadio equivale a 157 m). El segundo problema lo resolvió midiendo varias veces la sombra del obelisco. La menor sombra corresponde al momento en el que el Sol está en el cénit. 3. Problemas que se constituyen en razones de ser de los distintos aspectos del objeto matemático a enseñar. Para mostrar a los alumnos una de las razones de ser históricas de la Trigonometría, (el cálculo de distancias inaccesibles) se les planteará el siguiente problema basado en el experimento realizado por Eratóstenes para medir la circunferencia de la Tierra.  Si 7,2 son una distancia de 5000 estadios (785 km), la circunferencia entera tendrá una longitud de 39.250 km. La medida real es de 39.942 km. 15 Para resolver un triángulo cualquiera es suficiente con elegir adecuadamente una altura y trazarla. De esta forma, se obtienen dos triángulos rectángulos que pueden resolverse. Este método se conoce como estrategia de la altura. Se plantearán un par de problemas para resolverlos mediante esta técnica. Cuando se enuncien los teoremas del seno y del coseno, se volverán a resolver los mismos problemas aplicando estos, de esta forma se pretende que los alumnos sean conscientes de cómo estos facilitan el trabajo. Se propondrán problemas que se resuelven aplicando el teorema del seno o del coseno. Por último, se plantearán problemas mezclados, para que los alumnos analicen los resultados que conocen y apliquen el que consideren válido, en definitiva que encuentren la solución. Los problemas se resolverán de forma individual o por parejas. Excepto aquellos problemas que se han especificado para ser entregados, se corregirán en la pizarra, y serán los alumnos los que desarrollen una solución. (Ver apartado E.1 pág.13) F. Técnicas. 1. Ejercicios que se van a presentar en el aula. Todos los ejercicios que se plantean están pensados para que los alumnos adquieran habilidad en el manejo de expresiones trigonométricas, con el objetivo de que al resolver triángulos no tengan dificultades de cálculo. Los ejercicios que se plantean son:  Ejercicios de razones trigonométricas de un ángulo agudo.  Ejercicios de razones trigonométricas de un ángulo obtuso.  Acerca de las relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo.  Paso de radianes a grados y viceversa.  Uso de la calculadora. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. E 1. “Halla las razones trigonométricas del ángulo 󰆹 en el siguiente triángulo” C 5cm  A 12 cm B 16 Razones trigonométricas de un ángulo obtuso. E 2. “Calcula las razones trigonométricas de 150  y de 225  ”. Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo. E 3. “Sabiendo que , calcular y ”. E 4. “Sabiendo que , calcular y ”. Radianes. Grados. E 5. “Pasa de grados a radianes: 75  y 240  ”. E 6. “Pasa de radianes a grados:  /3 y 3  /4 ”. Utilización de la calculadora en trigonometría. E 7.: “Calcular sen 42  31  58  ”. E 8. “Calcular cos ”. E 9. “Si tg  = 1,34, calcular  ”. E 10. “Si sen  =0,84, calcular tg  ”. A continuación se muestra una tabla como resumen de los ejercicios propuestos y la metodología a seguir. CONTENIDO METODOLOGÍA Forma Corrección E 1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo Individual Pizarra E 2 Razones trigonométricas de un ángulo obtuso Individual Pizarra E 3 Relaciones trigonométricas de un mismo ángulo Parejas Pizarra E 4 Relaciones trigonométricas de un mismo ángulo Parejas Pizarra E 5 Radianes, grados Parejas Voz alta E 6 Radianes, grados Parejas Voz alta E 7 Calculadora Individual Voz alta E 8 Calculadora Individual Voz alta E 9 Calculadora Individual Voz alta E 10 Calculadora Individual Voz alta 17 2. ¿Qué técnicas o modificaciones de una técnica se ejercitan con ellos? Los ejercicios de paso de radianes a grados, y viceversa proponen familiarizar a los estudiantes con otros sistemas de medida. Además, de aprender el uso de la calculadora e introducir los datos correctamente. Con los ejercicios de razones trigonométricas se pretende afianzar estos conceptos y asimilar las propiedades y relaciones. Además de adquirir habilidad en el manejo de expresiones trigonométricas. 3. Dichas técnicas ¿están adecuadas al campo de problemas asociado al objeto matemático? Todas las técnicas que se enseñan son necesarias para resolver los problemas. No se pretende enseñar conceptos que los alumnos no vayan a utilizar. Con esto se intenta evitar la memorización de fórmulas innecesarias. 4. Metodología a seguir en su implementación en el aula. Una vez definidas las razones trigonométricas, se plantearán ejercicios para que los alumnos ejerciten y asimilen los conceptos. Es necesario, que comprendan estos y que realicen los cálculos correctamente, para que posteriormente resuelvan los problemas sin dificultad. Los estudiantes deben hacer ejercicios de radianes y grados, familiarizarse con estos sistemas de medida. Hacer operaciones con sistema sexagesimal y pasar de uno a otro. Es importante también que los alumnos sitúen los ángulos, que sepan en que cuadrante están. Es conveniente plantear ejercicios para el manejo de la calculadora. Uno de los problemas que se les plantea a los alumnos es introducir los datos correctamente, tanto en radianes como en grados. Al igual que en el caso de los problemas, los alumnos trabajarán de forma individual o por parejas. La corrección de estos ejercicios se realizará en la pizarra y serán resueltos por los estudiantes. G. Tecnologías (justificación de las técnicas). 1. ¿Mediante qué razonamientos se van a justificar las técnicas? Para demostrar el teorema del seno y del coseno se va utilizar la estrategia de la altura. Hasta ahora los alumnos sabían resolver triángulos rectángulos, para 18 triángulos cualesquiera basta trazar la altura adecuada y aplicar dichos razonamientos (estrategia de la altura). Los teoremas del seno y del coseno son una generalización de este método. 2. ¿Quién (profesor, alumnos, nadie) va asumir la responsabilidad de justificar las técnicas? Las técnicas serán justificadas por el profesor, aunque se dejaran algunos resultados para que los demuestren los alumnos. 3. Diseña el proceso de institucionalización de los distintos aspectos del objeto matemático. Teorema del seno En un triángulo cualquiera de lados , , y de ángulos 󰆹, , 󰆹, se cumplen las siguientes igualdades:  =  = 󰆹 Demostración: Se traza la altura desde el vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Por tanto se tiene: 󰆹 󰆹   Igualando: 󰆹  󰆹  Esta es la primera de las igualdades buscadas. Si se traza la altura desde el vértice B, se relacionan los lados y con sus ángulos opuestos, obteniendo:  = 󰆹 Se completa así, la cadena de igualdades que se quería demostrar. C b a B A c C b h a B A c H 19 Teorema del coseno En un triángulo cualquiera de lados , , , se cumple: = + - 2 󰆹 = + - 2  = + - 2 󰆹 Demostración: Se traza la altura, , sobre el lado :     = 󰆹     = -     = - 󰆹 Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos AHB y BHC y teniendo en cuenta las igualdades anteriores, resulta: = +       cos 󰆹 = +       Restando: 󰆹  󰆹 De forma análoga se llegaría a las otras dos relaciones. 4. Metodología a seguir en la implementación en el aula. Después de resolver triángulos rectángulos, se planteará el caso de un triángulo cualquiera. Con las indicaciones y preguntas del profesor los alumnos resolverán este triángulo trazando la altura desde el vértice adecuado, obteniendo así dos triángulos rectángulos y aplicando los conocimientos que tienen para triángulos rectángulos. De esta forma se introducirá la estrategia de la altura. A continuación, se enunciará y demostrara el teorema del seno. Para ver que, realmente este teorema simplifica los cálculos, se volverá a resolver el problema PRS 2 resuelto mediante la estrategia de la altura aplicando el teorema. Se dará a los alumnos una tabla con los casos donde se puede aplicar el teorema del seno. C b h a A c H B 20 Para el teorema del coseno, se llevará a los alumnos a la sala de informática. Se plantearán los siguientes triángulos y las siguientes relaciones: C C C b a b a b a A c B A c B A c B Con la ayuda de Geogebra, los alumnos dibujaran un triángulo. Calcularán y verán que “moviendo” el vértice C, se cumplen las relaciones anteriores (ver secuencia didáctica pág.37) Después se enunciará y demostrara el teorema del coseno. Se resolverá con este teorema el otro problema PRS 3, e igual que en el caso del teorema del seno, se dará una tabla de casos para los alumnos. H. Secuencia didáctica y su cronograma. 1. Secuenciación de las actividades propuestas en los apartados anteriores. La trigonometría pretende resolver triángulos, es decir, obtener uno o más de sus elementos desconocidos partiendo de los elementos (lados y ángulos) que se conocen. Se comenzará el tema, proponiendo unos problemas sobre los conocimientos previos de los alumnos. Estos, se resuelven aplicado el teorema de Thales y de Pitágoras. Se dejará un tiempo para que los alumnos los resuelvan de forma individual y a continuación se corregirán y comentarán en la pizarra. Se pretende con ellos, comprobar si los alumnos poseen los conocimientos necesarios iníciales para abordar los conceptos de trigonometría. PCP 1: “Para subir a un granero que ésta a 7m de altura utilizamos una escalera de 12m de longitud y con peldaños separados en 20cm. Se pregunta: (a) ¿Cuál es la distancia del pie de la escalera a la pared? 21 (b) Nos fijamos en el peldaño número 25. ¿Cuánta dista del pie de la escalera? ¿A qué altura se encuentra? ¿A cuánta distancia, en horizontal, se encuentra del pie de la escalera? C = 12 m =7 m 20 cm A B Solución: (a) Para calcular la distancia del pie de la escalera a la pared, solamente tenemos que aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo . Cateto= 7m Hipotenusa=12m   √  c = 9,746 m (b) Para resolver este apartado necesitamos aplicar el teorema de Thales. El peldaño 25 se encuentra a una distancia del pie de la escalera de 0, 20 m x 25 =5 m. Considerar los siguientes triángulos: C 12 m 7m D E 7m 5m A B                                                 El triángulo  es semejante a , porque el ángulo es común y los dos tienen un ángulo de 90  (son rectángulos.) Podemos aplicar el teorema de Thales: El peldaño 25 se encuentra a una altura de 7 m – 4,08 m = 2,91 m. 22 PCP 2: “Calcular el lado de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 7 y 9cm”. Solución: 4,5cm 3,5 cm Resolver un triángulo significa conocer sus lados y sus ángulos. En un triángulo rectángulo, si conocemos dos lados podemos calcular el tercero, pero no podemos conocer sus ángulos, solamente utilizando Pitágoras (a no ser que sea un triángulo isósceles). Para resolver totalmente cualquier triángulo necesitamos la trigonometría. En este punto se planteará a los alumnos el problema PRS 1. Los alumnos trabajarán por parejas y al cabo de unos minutos se comentarán las ideas que hayan tenido. Tanto si los alumnos resuelven el problema como si no, se definirán los conceptos de razones trigonométricas. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. Dado un triángulo rectángulo: C  A B Se llaman razones trigonométricas de un ángulo agudo, , a las siguientes relaciones:                       Aplicamos el teorema de Pitágoras: 23             Si los alumnos no resolvieron el problema PRS 1, será ahora cuando, con las indicaciones necesarias encuentren una solución. A continuación se comentará como Eratóstenes midió la circunferencia de la tierra. De esta forma se pone de manifiesto una de las razones de ser de la trigonometría, el cálculo de distancias inaccesibles. PRS 1. “Al mediodía medimos la sombra proyectada por un semáforo de 2m en Zaragoza y Huesca, siendo estas de 1,78 m y 1,83 m respectivamente. ¿Podemos conocer con estos datos la circunferencia de la tierra?” Huesca  Zaragoza  - Solución:           Luego, 0  47  22  . Sabiendo que Zaragoza y Huesca distan 86 km, podemos deducir que si un ángulo de 0  47  22  abarca un arco de 86 km, la circunferencia completa (360  ) serán 39.217,45 km. Se hará notar a los alumnos que las razones trigonométricas no dependen del triángulo rectángulo elegido. Para ello, se planteará la siguiente actividad: Se distribuirán los alumnos en grupos de tres. Cada grupo tendrá una colección de triángulos rectángulos semejantes. Se les pedirá que calculen los cocientes entre los lados. Los alumnos se darán cuenta que esos cocientes son iguales en todos los triángulos que poseen (siempre que estén tomando lados correspondientes). 24 De una forma más formal, se pedirá a los alumnos que, basándose en el dibujo siguiente, demuestren que el no depende del triángulo. Si sobre un ángulo,  , se construyen dos triángulos rectángulos distintos, ABC y AB  C  , se obtienen dos valores para En ABC           En AB  C                 Ahora bien, los triángulos ABC y AB  C  son semejantes por ser rectángulos y tener un ángulo,  , igual. Por tanto sus lados son proporcionales, es decir:         =               El valor que se obtiene para es el mismo en ambos triángulos. Análogamente se demuestra que y  no dependen del triángulo trazado. Se realizará en la pizarra el siguiente ejemplo y así se recordará a los alumnos como se calculan las razones trigonométricas de un ángulo agudo. Para que los alumnos practiquen se les plantearán ejercicios como el siguiente: 󰆹 󰆹 󰆹 31 PTR 2: “Para saber a qué altura vuela un avión medimos los ángulos de elevación del avión desde el portal (55) y desde la terraza (40) de nuestra casa. Como ésta tiene 15 pisos, su altura aproximada es de 48 m. ¿A qué altura, aproximadamente, vuela el avión? Plantemos el sistema:   Luego, el avión vuela a m. PTR 3: “Hemos colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra la figura. ¿Cuánto miden el mástil y el cable? ”. Planteamos el sistema:   Resolviendo el sistema, y así la altura del mástil es . Solución: Consideramos los siguientes triángulos: h h x 55 40 x h-48 Solución: h h x 20-x 45 30 h= 1 h= 11,547-0,557x 32 PTR 4: “La torre de Pisa tiene una inclinación respecto de la vertical de 3 11 y una altura de 54m. Calcula el desplazamiento horizontal de la parte más elevada respecto de la base”. 3  11  Después de los ejemplos de triángulos rectángulos, se considerará un triángulo cualquiera. Se trazará una altura y así se obtendrán dos triángulos rectángulos que se pueden resolver. ESTRATEGIA DE LA ALTURA. Considerar los siguientes problemas: Problema 9: “Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el avión a A y a B forman ángulos de 29 y 43 con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura está el avión?” Solución: A 29  43  B 80 km Planteamos el sistema de ecuaciones:     Solución: 54m 33 Resolviendo este sistema, tenemos que: PEA 2: “Para hallar el ancho del río procedemos así: Nos situamos en A, a una orilla del río, y medimos el ángulo 53 bajo el cual se ve un árbol que está frente a nosotros, en la otra orilla. Nos alejamos 20 m de la orilla en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el cual se ve el árbol, 32.” Se plantearán los siguientes problemas para que los resuelvan los alumnos aplicando la estrategia de la altura. Después de enunciar el teorema del seno y del coseno se volverán a resolver aplicando estos teoremas, y así ver que estos facilitan los cálculos. PRS 2: “Queremos ir con una lancha hasta un islote (I), pero antes nos gustaría saber a qué distancia se encuentra el puerto deportivo (P). Para ello localizamos algún edificio del pueblo, por ejemplo, la iglesia (G), y medimos los ángulos IPG (32  ) y PGI (54  ), y la distancia del puerto a la iglesia (800m). ¿Cuánto dista el dista el islote del puerto?.” Solución: Trazamos la altura desde el vértice I, de esta forma, tenemos dos triángulos rectángulos PMI y MGI.   Solución: El río tiene una anchura de 17,776 m. 34 Considerar los siguientes triángulos: I P x M 800-x G Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo PMI, para calcular    .            PRS 3: “Para medir la anchura de un lago nos situamos en la posición P y tomamos las medidas que aparecen en la siguiente figura. ¿Cuál es la anchura del lago?” Solución: Trazamos la altura desde el vértice A, para obtener dos triángulos rectángulos. A B y 175-x 283 m C 58  x P               Planteamos el sistema: Luego, y 35 Aplicando las razones trigonométricas tenemos: Teniendo en cuenta que     , y considerando el triángulo rectángulo ACB, podemos calcular                            Siempre podemos resolver un triángulo cualquiera trazando la altura adecuada, pero con el teorema del seno y del coseno estos cálculos se simplifican. En este punto se enunciará el TEOREMA DEL SENO. Se demostrará una de las igualdades y se dejará el resto como ejercicio para los alumnos (ver pág.18). Los estudiantes resolverán de forma individual el problema PRS 2 aplicando el teorema del seno. Se pretende con ello, que sean conscientes de la importancia de este objeto matemático. PRS 2. “Queremos ir con una lancha hasta un islote (I), pero antes nos gustaría saber a qué distancia se encuentra el puerto deportivo (P). Para ello localizamos algún edificio del pueblo, por ejemplo, la iglesia (G), y medimos los ángulos IPG (32  ) y PGI (54  ), y la distancia del puerto a la iglesia (800m). ¿Cuánto dista el dista el islote del puerto?.” Aplicando el teorema del seno, podemos escribir:              Solución: Sabiendo que  y  , podemos calcular el valor del ángulo  (la suma de los ángulos de un triángulo es 180  ). 36 Se mostrará el siguiente cuadro, como resumen de casos para aplicar el teorema del seno: TRIÁNGULOS QUE SE PUEDEN RESOLVER CON EL Tª DEL SENO DATOS INCÓGNITAS Dos ángulos y un lado Otro lado Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos Otro ángulo Se propondrán los siguientes problemas para practicar con el teorema del seno: PTS 1: “Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos:   y  . ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?” Solución: C 53  50km 46 81 A B PTS 2. “Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 m, y entre Berto y Camilo 12 m. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20  . Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.” Camilo 20  b 12 m Alberto 25 m Berto                           El ángulo  . Aplicamos el teorema del seno: Solución: luego b=35,93 m 37 Para introducir el teorema del coseno, se irá con los alumnos al aula de informática y se trabajará con GeoGebra . Los alumnos dibujarán un triángulo picando en el icono . Las condiciones serán comenzar en el origen de coordenadas, (vértice A), marcar el siguiente vértice en el eje de abcisas (B) y el tercer vértice sin limitaciones (C). Picando sobre el icono podemos determinar el ángulo en cada vértice. Indicar a los alumnos que a la izquierda existe una leyenda con los puntos, las longitudes de los lados, los ángulos y el área de los polígonos que dibujemos. Para calcular , se dibujará un cuadrado sobre cada lado del triángulo. Se hará notar a los alumnos que el área de esos cuadrados coincide con esas expresiones. Escribir: de esta forma se define una nueva variable que calcula la suma , así se podrá comparar con . Para dibujar esos cuadrados picar sobre , moverse de un extremo a otro del lado en el sentido de las agujas del reloj e indicar el número de vértices del polígono regular que se quiere dibujar. 38 Picar sobre (Elige y mueve) y así desplazar el vértice C para obtener un triángulo rectángulo. Mover de nuevo el vértice C para obtener un triángulo acutángulo. 39 Por último mover C hasta obtener un triángulo obtusángulo. Los alumnos serán conscientes de las relaciones:  Triángulo acutángulo:  Triángulo rectángulo: (Teorema de Pitágoras).  Triángulo obtusángulo: Con la actividad de GeoGebra se pretende mostrar a los alumnos un programa útil para geometría. Aunque sea un contacto superficial, tiene como objetivo mostrar diferentes y nuevas formas de trabajar las matemáticas. Por último, se enunciará y demostrará el TEOREMA DEL COSENO (ver pág.19). Los alumnos volverán a resolver el problema PRS 3, utilizando el teorema del coseno. Lo realizarán de forma individual y se corregirá en la pizarra. PRS 3: “Para medir la anchura de un lago nos situamos en la posición P y tomamos las medidas que aparecen en la siguiente figura. ¿Cuál es la anchura del lago?” 40 Igual que en el caso del teorema del seno se dará una tabla con casos para aplicar el teorema del coseno: TRIÁNGULOS QUE SE PUEDEN RESOLVER CON EL Tª DEL COSENO DATOS INCÓGNITAS Los tres lados Cualquier ángulo Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos El otro lado Dos lados y el ángulo que forman El otro lado Otro ángulo (*) (*) Éste es el único caso en el que no basta aplicar uno de los teoremas; con el teorema del coseno, calculamos el otro lado y, después, con el teorema de los senos, se halla el ángulo deseado. Se propondrán los siguientes problemas. Los alumnos trabajarán por parejas o de forma individual (ver pág.13). Los problemas serán corregidos en la pizarra por los alumnos, excepto el problema PTC 1 que será entregado al profesor. PTC 1. “Desde dos puestos de control, que distan entre sí 8.400m, se detecta un avión que sobrevuela la línea que une ambos puestos y dista 5.800m del primero y 4.500 del segundo. ¿A qué altura vuela el avión? Solución: C 5.800 m h 4.500 m A 8.400 m B                          Solución: Aplicamos el teorema del coseno al triángulo APB     241,488 m 47 1. Teorema del coseno: (ver pág.19). Enunciar el teorema se valorará con un máximo de 1 punto. Trazar una altura y relacionarla con las razones trigonométricas 0,5 puntos. Considerar dos triángulos rectángulos y aplicar Pitágoras 0,75 puntos. Indicar que debe repetirse el proceso para obtener el resto de relaciones 0,25 puntos. 2. Un barco pide socorro y sus señales son recibidas por dos puestos de salvamento A y B, que distan 40 km. La línea de costa que une A y B forman un ángulo de 42  con la visual desde A al barco y un ángulo de 57  con la visual al barco desde B. Suponiendo que ambos puestos dispongan de lanchas igualmente rápidas, ¿cuál debe salir en auxilio del barco? Barco(C) 42 57 B A 40 km                                 Debe rescatar al barco el puesto de salvamento B. Dibujar el triángulo 0,5 puntos. Calcular el ángulo C 0,5 puntos. Aplicar el teorema del seno 1 punto. Concluir que debe rescatar al barco el puesto de salvamento B 0,5 puntos. 3. Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50  , y otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60  . Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilometros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B. C 110 6 km 4 km A B Solución: El ángulo C es Aplicaremos el teorema del seno. 48 El ángulo debajo del globo es de 110º porque si trazamos una perpendicular desde el globo al suelo, a la izquierda tendríamos 50  y a la derecha 60  . Aplicamos el teorema del coseno, porque el ángulo que conocemos es el que forman los dos lados de los cuales tenemos su longitud.         =8,27 km Hacer el dibujo tendrá una puntación de 0,5 puntos. Determinar el ángulo C se calificará con 0,5 puntos. Identificar los datos correctamente y aplicar el teorema del coseno 1,5 puntos. 4. Para construir un teleférico necesitamos conocer la distancia entre los puntos A y B de la montaña. Para ello, desde los lugares P y Q del valle tomamos las medidas que se indican en la figura. ¿Cuánto distan los puntos A y B? Consideramos ahora el triángulo PBQ, así el ángulo en B es 17  . Por el teorema del seno:                   Por último, aplicamos el teorema del coseno al triángulo APB.                               Considerar el triángulo PAQ, y calcular el ángulo en A 0,25 puntos. Aplicar el teorema del seno a este triángulo 0,75 puntos.                   Solución: Consideramos el triángulo PAQ, el ángulo en A es 23  . Por el teorema del seno: 49 Análogamente, considerar el triángulo PBQ y calcular el ángulo en B 0, 25 puntos. Aplicar el teorema del seno 0,75 puntos. Finalmente aplicar el teorema del coseno al triángulo APB 0,5 puntos. J. Bibliografía y páginas web. 1. Libros y artículos.  Orden de 1 julio de 2008, del Departamento de Educación, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el currículo de Bachillerato y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad autónoma de Aragón. BOA 17/07/2007.  Orden de 9 de mayo de 2007, del Departamento de Educación, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el currículo de la Educación secundaria obligatoria y se autoriza se aplicación en los centros docentes de la Comunidad autónoma de Aragón. BOA 1/06/2007.  M.Antonio, L.González, J.Lorenzo, A.Molano, J.del Río, D.Santos, M.de Vicente. Matemáticas I, 1º Bachillerato. Ed.Santillana. Proyecto la casa del saber. 2008.  J.C. Olivas Lacruz. Trigonometría. Trabajo Fin de Máster. Junio 2011.  J.J.Cano Sellés. Método de Eratóstenes: “radio de la Tierra”. Junio 2013. 2. Páginas web (Recuperadas junio de 2013). http://www.astromia.com/biografias/eratostenes.htm http://celestia.albacete.org/celestia/taller/feria1.htm http://www.cajondeciencias.com/Descargas%20mate2/ER%20teoremas%20 seno%20y%20coseno.pdf http://www.educa2.madrid.org/web/educamadrid/principal/files/125f9f308285-4aee-88b9-0c1c03640400/HOJA%205_Trigonometria%203.pdf http://blog.educastur.es/masmate1bct/files/2012/01/09teorema-seno.pdf 50 triáNGUlostriá ngulostriángul osTRIángulost riángulostrián gulOstriángul o