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Trabajo Fin de Máster Aplicación de la interferometría de moteado digital al estudio de sólidos Autor José Alberto Lorda Abadías Director/es Nieves Andrés Gimeno María Pilar Arroyo de Grandes Facultad de Ciencias 2013 Índice Capítulo 1. Interferometría de moteado digital de una sola longitud de onda. 1.1 Introducción a la interferometría de moteado digital. 1 1.2 Cálculo de la diferencia de fases entre moteogramas 2 1.3 Relación entre la diferencia de fase y el desplazamiento de un objeto sólido 5 Capítulo 2. Aplicación de la interferometría de moteado digital de una sola longitud de onda: Medida de deformaciones en superconductores. 2.1Introducción 8 2.2 Descripción del dewar 8 2.3 Registro interferométrico 9 2.4 Registro de moteogramas 10 2.5 Análisis de las medidas 11 2.6 Medida de la deformación en aire 12 2.7 Medida de la deformación en nitrógeno 13 2.8 Conclusiones 16 Capítulo 3. Interferometría de moteado digital con dos longitudes de onda. 3.1 Introducción 17 3.2 Montaje interferométrico de doble longitud de onda 17 3.3 Despliegue de la fase con dos longitudes de onda 19 3.4 Cálculo de magnitudes mediante la longitud de onda efectiva 20 3.5 Medida de cambios de la fase inducidos por la llama de una vela 21 3.6 Medida de formas 22 3.7 Conclusiones 23 Bibliografía 24 1 Cámara CCD Haz de referencia Haz de iluminación Haz de observación Objeto difusor 𝑢�1 𝑢�2 𝜃𝑖 𝜃𝑜 Capítulo 1. Interferometría de moteado digital de una sola longitud de onda. 1.1 Introducción a la interferometría de moteado digital. Si un haz de luz coherente, ilumina una superficie con rugosidad mayor a la longitud de onda, la luz es difundida en forma de motas. Si esta luz difundida, denominada haz objeto, interfiere con una haz de referencia de igual coherencia se obtiene una figura interferométrica conocida como moteograma. Si se utiliza un haz de referencia con fase constante, la fase del moteograma solo cambia cuando cambia la fase del haz objeto. A partir de la diferencia de fase δ entre moteogramas se puede determinar cambios de una magnitud de interés. A la técnica basada en el registro digital de moteogramas se le conoce como interferometría de moteado digital. En la figura 1.1 está descrito el esquema básico de un montaje interferométrico. Un mismo haz láser es dividido en haz de iluminación y haz de referencia, de este modo se garantiza que el haz objeto y el haz de referencia sean coherentes entre sí. El haz de iluminación, paralelo a la dirección 𝑢�1 (dirección de iluminación), incide sobre una superficie rugosa difusora, la cual en muchas ocasiones es el objeto que se quiere estudiar. El haz difundido por la superficie, en la dirección 𝑢�2 (dirección de observación), forma el haz objeto y se combina con el haz de referencia. Ambos haces interfieren y la interferencia es registrada y almacenada digitalmente por la cámara CCD. Figura 1.1 Esquema básico de la Interferometría de moteado digital De la medida de la diferencia de fase δ entre un primer moteograma A y un segundo moteograma B, según los casos, se puede determinar diferentes magnitudes: la forma de 2 objetos, cambios sufridos por los objetos o cambios en el medio por donde se propaga el haz objeto. Describimos brevemente cada caso: i) Medida de formas de objetos: En la medida de formas, el objeto y el medio no cambian. El haz de iluminación en el moteograma A es distinto que en B. Se utiliza en cada moteograma un haz de iluminación de diferente longitud de onda. La diferencia de fases δ entre A y B solo depende de la forma del objeto. A partir de δ se determina la forma. ii) Medida de cambios en objetos(deformaciones o desplazamientos): En la medida de cambios en objetos, el medio por el que se propaga el haz permanece constante. Se utiliza el mismo haz de iluminación para los moteogramas A y B. El estado del objeto es distinto en cada moteograma, dando lugar a que tengan distinta fase. La diferencia de fase δ solo depende del cambio sufrido por el objeto. Se aplica para medir giros, desplazamientos micrométricos, deformaciones mecánicas y cambios en la superficie por corrosión. iii) Medida de cambios en el medio por el que se propaga el haz objeto. En este caso el medio, el medio por el que viaja la onda objeto cambia. Se utiliza el mismo haz de iluminación para los moteogramas A y B. El estado del medio es distinto en cada moteograma, ello da lugar a que tengan distinta fase. La diferencia de fase δ depende únicamente del cambio que ha experimentado el medio. Se aplica para medir cambios del índice de refracción, cambios de temperatura y cambios de densidad en medios transparentes. 1.2 Cálculo de la diferencia de fase entre dos moteogramas A continuación se describen matemáticamente las operaciones mediante las cuales se determina la diferencia de fase δ entre dos moteogramas. En cada moteograma se registra la interferencia de la onda objeto y la onda de referencia. Las expresiones complejas de las ondas de referencia y objeto son: Ar(x, y)= ar(x, y)e−iϕr(x,y) Ao(x, y) = ao(x, y)e−iϕo(x,y) donde ar(x, y) y ao(x, y) son las amplitudes y ϕr(x, y) y ϕo(x, y) las fases de las ondas de referencia y objeto. Como las dos ondas son coherentes, la amplitud de la interferencia o moteograma, es la suma de las amplitudes: A(x, y)= Ar(x, y) + Ao(x, y) = ar(x, y)e−iϕr(x,y)+ ao(x, y)e−iϕo(x,y) (1.2) La intensidad es: I(x, y)=|A(x, y)|2= A(x, y)A∗(x, y)= =�ar(x, y)e−iϕr(x,y)+ ao(x, y)e−iϕo(x,y)��ar(x, y)eiϕr(x,y)+ ao(x, y)eiϕo(x,y) � = (1.1) (1.3) 3 =|𝐚𝐫(𝐱,𝐲)|𝟐+|𝐚𝐫(𝐱,𝐲)|𝟐+|𝐚𝐫(𝐱,𝐲)||𝐚𝐫(𝐱,𝐲)|. (𝐞𝐢(𝛟𝐨(𝐱,𝐲)−𝛟𝐫(𝐱,𝐲)+𝐞−𝐢(𝛟𝐨(𝐱,𝐲)−𝛟𝐫(𝐱,𝐲) ) Cuando se registra el segundo moteograma, la fase del haz objeto ha cambiado una cantidad δ. Si los cambios en el haz objeto son pequeños podemos suponer que la amplitud de la onda objeto permanecerá también constante y sólo cambiará su fase. ao ′(x, y)≈ao (x, y) ϕo ′(x, y) = ϕ0(x, y) + δ(x, y) Y por lo tanto la intensidad del segundo moteograma es: 𝐈′(𝐱,𝐲) = |𝐚𝐫(𝐱,𝐲)|𝟐+|𝐚𝐫(𝐱,𝐲)|𝟐+|𝐚𝐫(𝐱,𝐲)||𝐚𝐫(𝐱,𝐲)|. (𝐞𝐢(𝛟𝐨(𝐱,𝐲)+𝛅(𝐱,𝐲)−𝛟𝐫(𝐱,𝐲)+ + 𝐞−𝐢(𝛟𝐨(𝐱,𝐲)+𝛅(𝐱,𝐲)−𝛟𝐫(𝐱,𝐲)) (1.5) Al restar pixel a pixel las intensidades entre los dos moteogramas, se obtiene un nuevo moteograma conocido como moteograma de correlación. Su expresión matemática es la siguiente: |I′(x, y) −I(x, y)|2=|M(x, y)|2(1−cosδ(x,y) 2) (1.6) Según 1.6 el moteograma de correlación está constituido por el producto de dos términos, el primero, M, es un factor aleatorio proveniente del fondo del moteado y el segundo término es un coseno en cuyo argumento aparece la diferencia de fase δ. El aspecto del moteograma es un conjunto de franjas cosenoidales, con máximos en 𝛿=(2𝑛+ 1)𝜋 y mínimos en 𝛿= 2𝑛𝜋. Contando número de máximos o mínimos se puede obtener las diferencias de fases, y una vez hecho esto relacionarlas con la forma, el cambio del objeto o del medio. Debido al factor M, la distribución cosenoidal aparece enmascarada y no resulta fácil determinar con exactitud los máximos y mínimos del moteograma. Debido a esto, este procedimiento no es el más adecuado si se pretende calcular la diferencia de fase con precisión. Para calcular la diferencia de fase con mayor precisión se introducen las técnicas de desplazamiento de la fase, que pueden ser temporal, TPS (Temporal Phase Shifting), o espacial, SPS (Spatial Phase Shifting). En este trabajo se ha empleado el SPS debido a que los objetos que se estudian cambian en el tiempo. Aplicando estas técnicas se obtiene directamente el valor de la fase en cada punto del moteograma. La técnica consiste en introducir un desfase adicional 𝑓0 entre el haz objeto y el haz de referencia, de este modo la intensidad de los moteogramas es: I(x, y)=|ar(x, y)|2+|ar(x, y)|2+|ar(x, y)||ar(x, y)|. ( ei(ϕo(x,y)−ϕr(x,y)+f0)+ e−i(ϕo(x,y)−ϕr(x,y)+f0) ). (1.7) Para introducir el desfase 𝑓0, se desplaza el foco del haz de referencia con respecto al foco del haz objeto. Para ello se desplaza el centro del haz de referencia horizontalmente una distancia r respecto al centro de la apertura de la lente formadora de la imagen (figura 1.2 a). El desplazamiento debe ser tal que en cada mota aparezca un desplazamiento de 2π. La transformada de Fourier de este moteograma con SPS se muestra en la figura 1.2 b). Esta transformada tiene tres partes, el término central corresponde al haz de referencia. Los otros dos términos provienen de la interferencia del haz objeto y haz de referencia y se encuentran desplazados simétricamente respecto al centro en 𝑓0 y −𝑓0. Ambos son conjugados y tienen la (1.4) 4 forma de la apertura. La información que contiene uno de estos máximos es 𝑒𝑖(𝜙0−𝜙𝑟) y su conjugado de 𝑒−𝑖(𝜙0−𝜙𝑟). Para determinar el desfase 𝛿 se selecciona en la Transformada de Fourier el máximo 𝑓0, se desplaza al centro y se calcula la transformada de Fourier Inversa. De esta forma obtenemos directamente su fase: En el primer moteograma: ϕ0−ϕr En el segundo moteograma: ϕ′0−ϕr=ϕ0−ϕr+δ Restando pixel a pixel la fase del primero menos la del segundo, obtenemos un mapa del valor de δ en cada punto. A este mapa se le conoce como mapa de diferencia de fase. Figura 1.2. a) Esquema del registro con desplazamiento espacial de la fase (SPS). b) transformada de Fourier del moteograma En el mapa de fase a cada intervalo 𝛿= 2𝜋 se le asocia una escala de grises que va desde el negro hasta el blanco (figura 1.3 a), a dicho intervalo se le conoce como franja. Visualizando el mapa de fases (figura 1.3 b) se obtiene rápidamente información de cómo varía el desfase δ a lo largo de todo el mapa. Las técnicas interferométricas introducen un desfase global y para obtener el valor absoluto del desfase δ en un punto P, es preciso tener una zona sin deformación que sirva de referencia. Cabe destacar que aplicar la técnica SPS mejora la calidad de los mapas de fase. Ello es debido a que en el plano de Fourier se elimina toda la luz que no corresponde a la interferencia entre el haz objeto y el de referencia, mejorando el cociente señal/ruido. Además, como veremos en el capítulo 3, el SPS permite registrar varios moteogramas a la vez si a cada uno se le introduce un desplazamiento de la fase diferente. Esto es muy importante en las medidas de formas de objetos en movimientos o medidas de cambios en un medio. (1.8) 𝑓0: 𝑒𝑖(𝜙0−𝜙𝑟) −𝑓0: 𝑒−𝑖(𝜙0−𝜙𝑟) Luz difusa Referencia a) b) Apertura L1 L2 Haz objeto Referencia Sensor CCD r z x y 5 Para obtener información a partir de la fase, es preciso que esta sea una magnitud continua. Para ello, se realiza un proceso de unwrapping (despliegue) de la fase. Para ello, comparando el nivel de gris entre vecinos, se detectan los saltos 2π en la fase obteniéndose el orden de cada franja. 1.3 Relación entre la diferencia de fase y el desplazamiento de un objeto sólido. Una vez obtenida la diferencia de fase entre los moteogramas registrados hay que relacionarla con la magnitud que se va a medir. Una de las aplicaciones más utilizadas es la determinación del desplazamiento o de la deformación en un sólido. A continuación demostraremos la relación entre la diferencia de fase δ y la deformación de un objeto. Para el análisis supondremos simultáneos el punto original y deformado. El objeto es iluminado por un haz divergente proveniente de una fuente de luz y a la cámara CCD le llega su luz difundida, la luz del haz objeto que proviene del punto P. La fase de este haz antes de que se produzca la deformación puede expresarse: ϕ0=𝐾 � �  1𝑟1+𝐾 � �  2𝑟2 (1.9) Donde 𝐾 � �  1 y 𝐾 � �  2 son los vectores de iluminación y observación, ambos de módulo 2π λ𝑛 y paralelos a los vectores unitarios 𝑢�1 y 𝑢�2 tal y como muestra en la figura 1.4. 𝑟1 y 𝑟2 son los vectores desplazamiento de los haces de iluminación y observación. Tras la deformación 𝐿 �  del objeto, el punto P pasa a la posición P’. Ahora la fase del haz objeto es: ϕ′0=𝐾′ � � � �  1𝑟′ � �  1+𝐾′ � � � �  2𝑟′ � �  2 (1.10) La diferencia de fase entre los haces objeto es: δ=ϕ′0−ϕ0=𝐾′ � � � �  1𝑟′ � �  1+𝐾′ � � � �  2𝑟′ � �  2−(𝐾 � �  1𝑟1+𝐾 � �  2𝑟2) (1.11) Figura 1.3 Variación de la fase y ejemplo de mapa de fase que corresponde a la rotación en el eje X de un objeto plano. a) b) 6 La relación entre los vectores desplazamiento es: 𝑟′ � �  1=𝑟1+ L �  𝑟′ � �  2=𝑟2+ L �  Y la expresión (1.11) queda: δ=�𝐾′ � � � �  1−𝐾 � �  1�r1 � � �  +𝐾′ � � � �  1L �  +�𝐾′ � � � �  2−𝐾 � �  2�𝑟2−𝐾 � �  2 L �  (1.13) Si se considera que el índice de refracción del medio permanece constante, el módulo de los vectores de iluminación y observación permanecen también constantes. Por otro lado si la deformación sufrida en el objeto es pequeña, las direcciones de los vectores de iluminación y observación apenas cambian. En definitiva puede asumirse que los vectores de iluminación y observación permanecen constantes: 𝐾′ � � � �  1≈ 𝐾 � �  1 𝐾′ � � � �  2≈ 𝐾 � �  2 Así, la expresión 1.13 se reduce a la siguiente: δ=�𝐾 � �  1−𝐾 � �  2�L �  = K � � �  𝐿 �  (1.15) donde al vector 𝐾 � �  =𝐾 � �  1−𝐾 � �  2 se le conoce como vector sensibilidad. Según 1.15 a partir de la diferencia de fase δ queda determinada la deformación L �  del objeto. Dependiendo de las (1.12) (1.14) Figura 1.4 Vectores de Iluminación y observación antes y después del cambio. Cámara CCD Objeto 𝐾 � �  1𝑟1 𝐾′ � � � �  1𝑟′ � �  1 𝐾 � �  2𝑟2 𝐾′ � � � �  2𝑟′ � �  2 𝐿 �  𝑃 𝑃′ 7 direcciones de iluminación y observación se obtiene un vector de sensibilidad distinto y se determinan unas componentes u otras de L �  . Si los ángulos de iluminación son 𝜃𝑖 y 𝜃𝑜 (ver figura 1.1), la diferencia de fase viene dada por: δ=2π λ[(senθo−senθi)𝐿𝑥−(cosθi+cosθo)Lz] (1.16) Según 1.16, en una configuración donde los ángulos de iluminación y observación son iguales, θi=θo=θ, la diferencia de fase determina únicamente la componente 𝐿𝑧 de la deformación. La precisión será mayor conforme los ángulos sean más pequeños. ∆𝐿𝑧=λ 2cosθ (1.17) 14 con valores de h igual a 2, 4 y 6 mm y se ha podido comprobar que la altura más adecuada para las medidas interferométricas corresponde a 4 mm. En la figura 2.8 aparecen mapas de fase de la muestra, sin aplicar un pulso de corriente eléctrica, correspondientes a distintas situaciones. En a) la muestra está en aire, en b) y c) la muestra está refrigerada con nitrógeno líquido, el valor de la altura h es de 4 y 6 mm respectivamente. Como se puede observar, la visibilidad es peor que en la medidas en aire e incluso en el centro cuando h=6 mm. En d) la altura h es de 2 mm, y ha quedado atrapada una burbuja de nitrógeno líquido que deforma a la muestra e impide su visualización. Figura 2.7 Mapas de fase correspondientes a distintas situaciones. a) Muestra en aire. En b) , c) y d) muestra refrigerada en nitrógeno con una altura h de 6, 4 y 2 milímetros respectivamente. Se observa además que al introducir el pulso de corriente no es posible el registro de los interferogramas, debido al calentamiento de los contactos que da lugar a movimiento del nitrógeno. Ello no nos permite conocer la deformación total de la muestra respecto al instante inicial pero si la deformación producida durante el pulso. Dado que los defectos originarán una figura interferométrica distinta durante el pulso, la técnica nos permitiría detectarlos. A continuación se muestran los resultados obtenidos con la muestra sumergida en nitrógeno con h= 4mm y aplicando un pulso de corriente de 60 amperios de 2 segundos de duración. El pulso comienza en el instante 1.255 segundos y finaliza en el 3.220 segundos. En la figura 2.8 se muestra el valor de la corriente que circula por la muestra en cada instante. En los mapas de fase se puede observar que la muestra se deforma en la subida del pulso. Mientras está aplicada la corriente, la deformación es constante. Cuando finaliza, la muestra vuelve a recuperar el estado inicial. Durante la subida del pulso, entre los instantes de tiempo 1.405 y 1.525 y en la bajada entre los instantes de tiempo 3.250 segundos y 3.355 segundos, los mapas de fase no se resuelven. Debido a ello no podemos determinar el valor de la deformación que adquiere la muestra con respecto al instante inicial. Debemos limitarnos a determinar la deformación en cada instante comparando con el moteograma anterior. a) b) c) d) Burbuja 15 En la figura 2.9 se muestran algunos mapas de fase. La figura 2.9 a) corresponde a instantes de tiempo anteriores a la aplicación del pulso de corriente. Se observa que la muestra presenta fase constante, lo cual indica que no sufre cambios con respecto al instante anterior. Los mapas de fase de la figura b) y c) corresponden a instantes tras la aplicación del pulso y se observa una mayor deformación de la muestra conforme la intensidad aumenta. El mapa de fase en d) corresponde a los instantes en los que el pulso de corriente es constante, la muestra no presenta franjas y ello indica que no se deforma con respecto al estado anterior, es decir, la deformación que ha adquirido en la subida del pulso, se mantiene constante. El mapa de fase en e) corresponde a la bajada del pulso. Debido a que la muestra está recuperando su estado inicial, el sentido de las franjas es contrario a las de los mapas de fase anteriores. Finalmente en f) la muestra, ya estable, aparece de nuevo con fase constante. a) b) c) d) e) f) Figura 2.9 Mapas de desfase de la muestra en nitrógeno en distintos instantes de tiempo al comparar con el moteograma anterior. Los instantes de tiempo en segundos correspondientes son:a)1.150, b) 1.360, c) 1.465, d)3.010 e) 3.370 y f) 5.110. t(s) A Figura 2.8 Evolución temporal de la corriente eléctrica circulando por la muestra 16 A partir de los mapas de fase se calculan los mapas de desplazamiento de la muestra en cada instante de tiempo. En la figura 2.10 se muestra la componente 𝐿𝑧 de la deformación de la muestra correspondiente al mapa de fase de la figura 2.9 b. En ella la muestra tiene una deformación máxima en su zona central de 1,1 µm. Debido al sistema de anclaje de que disponemos y al calentamiento del nitrógeno al introducir la corriente, no se pueden resolver todos los mapas de fase por lo que la deformación total de la muestra con respecto a la situación inicial con el sistema actual no se puede obtener. En cualquier caso, sí que se puede visualizar la deformación en función del tiempo. 2.8 Conclusiones. En el capítulo se ha realizado una descripción del montaje para medir calentamiento de muestra superconductora, formado por un dewar y un sistema interferométrico. Se ha comprobado la sensibilidad de las medidas interferométricas determinando la deformación de la muestra en aire al paso de un pulso de corriente eléctrica. Las medidas interferométricas determinan en cada instante la deformación de la muestra con respecto al estado inicial y la deformación con respecto al moteograma anterior. Estos valores son contrastados con las medidas sincronizadas de corriente y voltaje de la muestra. Se han optimizado los parámetros del montaje comprobando su influencia en la deformación final de la muestra: anclaje, velocidad de registro, tiempo de exposición, distancia entre la ventana y la muestra…etc Debido a que al aplicar el pulso de corriente eléctrica, los contactos de cobre se calientan dando lugar a evaporación y movimiento del nitrógeno, no se puede medir la deformación total respecto al inicio del pulso pero si podemos determinar de forma cuantitativa la deformación durante el pulso. Dado que la deformación es alta en algunos momentos la deformación ha de medirse como suma de la deformación entre imágenes registradas de forma consecutiva. La precisión de la medidas de la fase en cada mapa de diferencia de fase de SPS es de franja /100 y cuando se calcula sumando pequeñas deformaciones el error aumenta siendo la desviación estándar el doble de cuando lo calculamos directamente entre dos instantes de tiempo. Además de la medida de la deformación en cada instante, la técnica nos permite observar la evolución temporal de la deformación. Lz(µm) 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 Figura 2.10 Deformación de la muestra de la imagen c) 17 Capítulo 3. Interferometría de moteado digital con dos longitudes de onda. 3.1 Introducción del capítulo. Este capítulo está dedicado a la interferometría de doble longitud de onda. La interferometría de doble longitud de onda amplía las posibilidades de la interferometría convencional. Permite seguir un proceso de unwrapping (despliegue de la fase) distinto al descrito en el capítulo 1 y permite realizar medidas de magnitudes a partir de una longitud de onda efectiva. Se utiliza un montaje interferométrico de doble longitud de onda, que permite registrar, según convenga, uno o dos moteogramas a la vez. Este montaje interferométrico se va aplicar en dos tipos de medidas. En primer lugar se aplica en la medida de cambios en la fase que producen los cambios de densidad inducidos por la llama de una vela. Pare este caso se emplean dos longitudes de onda diferenciadas en varias decenas de nanómetros. En segundo lugar, el montaje se aplica a la medida de formas de objetos sólidos, para este caso las dos longitudes de onda difieren en menos de dos décimas de nanómetro. 3.2 Montaje interferométrico de doble longitud de onda. En la figura 3.1 se describe el montaje interferométrico de doble longitud de onda. Se utilizan dos láseres de longitudes de onda 𝜆𝑎 y 𝜆𝑏. A su salida, cada haz láser es divido en haz de referencia y haz de iluminación. Mediante un acoplador de fibra 50-50 la referencia de cada longitud de onda es dividida en dos caminos ópticos de igual intensidad. De este modo cada longitud de onda tiene un haz de iluminación y dos haces de referencia. Cada referencia se 𝜆𝑎𝜆𝑏 𝜆𝑎𝜆𝑏 Iluminación Referencia 1 𝜆𝑎𝜆𝑏 Referencia 2 𝜆𝑎𝜆𝑏 1 2 3 4 5 6 8 9 9 1 Lente de iluminación. 2 Objeto. 3 Espejo objeto. 4 Lente objeto 5 Apertura 6 Cubo combinador 7 Filtro. 8 Cámara CCD 9 Acoplador de fibra óptica Z Y X Figura 3.1 Montaje interferométrico de doble longitud de onda. 7 18 ajusta con un desplazamiento espacial de la fase opuesto. Se utiliza otro acoplador de fibra óptica 50-50 para acoplar a los dos haces de iluminación y conseguir que tengan exactamente el mismo camino óptico. La dirección de iluminación es perpendicular al objeto y la dirección de observación forma un ángulo de 3,8 grados con el eje óptico. Para ajustar la relación de intensidad entre el haz objeto y el de referencia, se emplea un filtro con el que podemos regular la intensidad de la referencia. La cámara CCD tiene las mismas características que en el capítulo 2. Delante de la cámara se coloca un filtro que sólo deja pasar la luz polarizada del objeto y de la referencia y elimina el resto de luz difusa proveniente de otros sitios. El montaje interferométrico anterior tiene dos modos de registro: Modo A Las dos longitudes de onda tienen la misma referencia. Se registran dos moteogramas por separado (figura 3.2 a) y b), uno para cada longitud de onda. Con este modo sólo es posible determinar formas de objetos sólidos que están quietos. Modo B Cada longitud de onda tiene una referencia distinta. Se registran los dos moteogramas a la vez (figura 3.3 a). Permite automatizar el registro y se puede determinar cambios en el medio y formas de objetos sólidos en movimiento. Al calcular la diferencia de fase entre los dos moteogramas se obtiene un mapa de diferencia de fase con un fondo de franjas hiperbólicas debido a la interferencia entre las dos referencias (figura 3.3 b). Este fondo de franjas puede ser eliminado en gran medida, si en lugar de seleccionar todo el moteograma, se selecciona la zona donde la interferencia de las referencias es constante (figura 3.3 c). a) b) 𝜆𝑎 𝜆𝑏 Figura 3.2 Registro de moteogramas con la misma referencia para las dos longitudes de onda. a) b) c) 𝜆𝑎 𝜆𝑏 Figura 3.3 Registro de moteogramas con distinta referencia para cada longitud de onda. 19 3.3 Despliegue de la fase con dos longitudes de onda. Con dos longitudes de onda se puede determinar el desfase 𝛿 de un modo alternativo al visto en el capítulo 1 (despliegue espacial de la fase). A continuación se detalla el proceso de registro y análisis que hay que seguir en este método : Para cada longitud de onda se registra un moteograma del estado inicial y otro del estado final. Al calcular los mapas de diferencia de fases correspondientes a cada longitud de onda, para la de mayor valor, aparecen franjas más anchas y por lo tanto menor número (Figura 3.4 a y b). Después se crea una imagen de color de dos canales 𝑎 y 𝑏, a dicha imagen se le denomina mapa de orden. En el mapa de orden, el punto genérico P tiene una intensidad 𝑎 igual a la intensidad de gris que tiene en el mapa de fases 𝜆𝑎, análogamente, la intensidad 𝑏 en 𝑃 será la intensidad de gris que tiene en el mapa de fases 𝜆𝑏. Por lo tanto cada punto del mapa de orden tiene una tonalidad única y distinguible. Cuando un mismo punto es un máximo de intensidad en los mapas de fase 𝜆𝑎 y 𝜆𝑏, en el mapa de orden, dicho punto corresponde al orden cero, desfase δ=0. Si se utilizaran tres longitudes de onda, el mapa de fases de orden estaría constituido por tres canales y los puntos con δ=0 serían de color blanco (figura 3.4 d). En nuestro caso, con dos longitudes de onda, solo podemos definir dos canales, verde y azul, los puntos δ=0 tienen una tonalidad mezcla de verde y azul determinada (figura 3.4 c). La ventaja que presenta este método es que podemos conocer el desfase δ en cada punto a partir del color que presenta, sin necesidad de conocer el desfase de sus puntos vecinos. Por ello, a diferencia del método del despliegue de la fase espacial, no es crítico que aparezcan zonas con mal contraste en el mapa de fases. Con este método se tiene un rango de medida del desfase δ limitado. Este rango es el periodo de aparición del orden cero δ=0. Con dos longitudes de onda, el rango de medida es: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝜇𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 =𝜆𝑎 𝜆𝑏−𝜆𝑏 (3.1) Con longitudes de onda 𝜆𝑎=457 𝑛𝜇 y 𝜆𝑏=515 𝑛𝜇 el rango de medida es aproximadamente 8, es decir se pueden determinar como máximo 8 saltos de 2𝜋. En la figura 3.4 c) se puede observar el periodo de aparición del orden cero con estas dos longitudes de onda. Máximos 𝛿= 0 0 0 0 orden cero 0 a) b) c) d) Figura 3.4 a) y b) Simulación de los mapas de diferencia de fase correspondientes a 𝜆𝑎 y 𝜆𝑏. c) y d) Mapas de orden utilizando dos y tres longitudes de onda. 20 3.4 Cálculo de magnitudes mediante la longitud de onda efectiva Con dos longitudes de onda se pueden determinar magnitudes mediante una longitud de onda efectiva Λ . Un caso habitual es el de medida de formas: En la figura 3.5 está descrito el modelo para el cálculo de formas con dos longitudes de onda. El objeto es iluminado con dos longitudes de onda. que siguen el mismo camino óptico. Los vectores de iluminación son 𝐾 � �  1𝑛 y los de observación 𝐾 � �  2𝑛, todos ellos perpendiculares al objeto y de módulo 2𝜋 𝜆𝑛. El vector 𝑟1 tiene la misma dirección y sentido que los vectores de iluminación y módulo igual a la distancia entre los planos P y Q. El vector 𝑟2 tiene igual dirección y sentido que los vectores de observación y con módulo igual a la distancia entre los planos P y S. Según el modelo, la fase de la onda objeto de longitud de onda 𝜆𝑎 viene dada por la expresión 3.2: 𝜙𝑎=𝐾 � �  1𝑎(𝑟1−𝑧(𝑥,𝑦)𝑢�𝑧) + 𝐾 � �  2𝑎(𝑟2−𝑧(𝑥,𝑦)𝑢�𝑧) + 𝜙0𝑎 (3.2) Donde 𝜙0𝑎 es el valor de fondo con el que contribuye el camino óptico que va desde la salida del láser hasta el punto Q. Si desarrollamos la expresión (3.2) se obtiene: 𝜙𝑎=𝐾1𝑎𝑟1−𝐾1𝑎𝑍(𝑥,𝑦)+𝐾2𝑎𝑟2−𝐾2𝑎𝑍(𝑥,𝑦)+𝜙0𝑎 =−4𝜋 𝜆𝑎𝑍(𝑥,𝑦)+𝜙′0𝑎 (3.3) Análogamente, la fase de la onda objeto de la longitud de onda 𝜆𝑏 es: 𝜙𝑏=−4𝜋 𝜆𝑏𝑍(𝑥,𝑦)+𝜙′0𝑏 (3.4) 𝜆𝑎𝜆𝑏 𝜆𝑎𝜆𝑏 Referencia Iluminación CCD 𝑟2 S Objeto Q P 𝑟1 𝐾 � �  2𝑛 𝐾 � �  1𝑛 z x y Figura 3.5 Configuración interferométrica para la medida de formas con dos longitudes de onda. 21 Si se eliminan los valores de fondo 𝜙′0𝑎 y 𝜙′0𝑏 y se define la longitud de onda efectiva Λ como: Λ=𝜆𝑎𝜆𝑏 𝜆𝑎−𝜆𝑏 (3.5) la diferencia de fases 𝛿 entres las dos ondas objeto viene dada por: 𝛿=𝜙𝑏−𝜙𝑎=−4𝜋 Λ𝑍(𝑥,𝑦) (3.6) Según esta expresión a partir de la diferencia de fases δ se puede determinar la forma 𝑍(𝑥,𝑦) de la superficie del objeto. 3.5 Medidas de cambios de la fase inducidos por la llama de una vela Los cambios de densidad en un medio producen cambios de índice, lo cual a su vez produce diferencia de caminos ópticos. Si tenemos un medio cuya densidad está cambiando constantemente, registrando dos moteogramas, cada uno con un estado distinto del medio, a partir de la diferencia de fase 𝛿 se puede medir el cambio de densidad sufrido. En este apartado se muestran las medidas del cambio de fase que producen la llama de una vela situada delante de una lámina blanca difusora. Se utiliza el modo de registro B del montaje interferométrico de la figura 3.1. Las longitudes de onda utilizadas son 𝜆𝑎=457 𝑛𝜇 y 𝜆𝑏=515 𝑛𝜇. El tiempo de exposición de los moteogramas es de 50 ms. Se han registrado para cada longitud de onda, un moteograma de la lámina difusora sin vela y otro con la llama de la vela delante. Para cada longitud de onda 𝜆𝑎 y 𝜆𝑏 se ha obtenido un mapa de diferencia de fases. Al aplicar el método de despliegue de la fase con dos longitudes de onda se obtiene el mapa de orden de la figura 3.6. 0 0 orden cero Figura 3.6 Mapa de orden de la vela 22 El orden cero, 𝛿= 0, lo podemos posicionar donde más nos convenga, para ello se resta una fase global en el mapa de orden. Nosotros lo hemos posicionado en la zona central de la llama. En la figura 3.7 se muestra una zona ampliada del mapa de orden. Comparando con el modelo de la figura 3.4 c) obtenemos el orden de cada zona de la vela. 3.6 Medida de formas En este apartado se emplea el modo A de registro del montaje interferométrico de la figura 3.1 para determinar formas a partir de la longitud de onda efectiva. Las longitudes de onda empleadas son 𝜆𝑎=659.477 𝑛𝜇 y 𝜆𝑏=659.597 𝑛𝜇. Dan lugar a una longitud de onda efectiva Λ= 3.6 𝜇𝜇. En el mapa de diferencia de fases cada franja representa una línea de nivel 𝑧(𝑥,𝑦) 𝑑𝑒 1.8 𝜇𝜇. Para comprobar la precisión de las medidas se han registrado moteogramas de un objeto plano posicionado en distintas orientaciones con respecto a la dirección de iluminación. Se registra en primer lugar el objeto orientado a cero grados, y después orientado a 30, 15, -15 y - 30. Al comparar los moteogramas de las distintas orientaciones con el orientado a cero grados se obtienen los mapas de diferencia de fases de las figura 3.5. Teniendo en cuenta que cada franja representa una línea de nivel en 𝑧, midiendo con una escala la longitud 𝐿𝑁 en la dirección 𝑥� que ocupan un número N de franjas, calculamos el ángulo θ del objeto en cada caso mediante la siguiente expresión: 𝜃=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑁×1.8 𝐿𝑁(𝑚𝑚)) (3.7) a) b) c) d) Figura 3.5 Mapas de diferencia de fases del objeto plano orientado con respecto la dirección de iluminación. a)30 grados, b) 15 grados, c)-15 grados, d) -30 grados. 1 2 3 4 5 6 7 Figura 3.7 Zona ampliada del mapa de orden de la vela donde se indica el orden de cada zona. 0 23 Los resultados son los siguientes: Tabla 3.1. Cálculo de las orientaciones del objeto plano. Mapa de diferencia de fase θ (grados) Error nominal % a) 30.1 0.3 b) 15.45 3.5 c) -15.8 5.3 d) -31.9 6.3 Finalmente se ha aplicado el montaje interferométrico para medir la forma de una figura de escayola de un tren. El la figura 3.6 aparece la representación de las líneas de nivel junto a la fotografía del tren. 3.7 Conclusiones La interferometría de doble longitud de onda amplía las posibilidades de la interferometría convencional. Permite desplegar la fase de un modo alternativo. Con este nuevo método se puede determinar la fase en cada punto sin tener en cuenta la de los puntos vecinos, sólo es necesario conocer el color del punto deseado. Ello presenta una ventaja, ya que en este caso se puede determinar el valor del desfase en un punto incluso si los puntos vecinos son defectuosos. Por otro lado, permite medir magnitudes, como la forma de un objeto, a partir de una longitud de onda efectiva. El error nominal de las medidas es inferior al 10%. Con dos longitudes de onda, los sistemas interferométricos pueden ser usados en un amplio rango de medidas si se eligen adecuadamente las longitudes onda. En la medida de formas, con dos longitudes de onda, la iluminación puede ser perpendicular a la superficie del objeto. Ello presenta una ventaja frente a la interferometría de una sola longitud de onda donde es necesario iluminar en ángulo, lo cual produce sombras en distintas zonas, en especial en objetos de formas complejas. Z(x, y) Figura 3.6 Medida de la forma de un tren de escayola.