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MÁSTER EN PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA, BACHILLERATO, FORMACIÓN PROFESIONAL Y ENSEÑANZAS DE IDIOMAS, ARTÍSTICAS Y DEPORTIVAS PROYECTO FIN DE MÁSTER VARIABLE ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 1º BACHILLERATO Especialidad de Matemáticas Alumna: Blanca de Lope Carrera Directora: Eva Cid Castro Curso 2012-2013 Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 1 ~ INDICE DE CONTENIDOS A. Sobre la definición del objeto matemático a enseñar …………………… 2 B. Sobre el estado de la enseñanza-aprendizaje del objeto matemático …… 2 C. Sobre los conocimientos previos del alumno …………………………… 3 D. Sobre las razones de ser del objeto matemático ………………………… 5 E. Sobre el campo de problemas …………………………………………… 9 F. Sobre las técnicas ………………………………………………………... 11 G. Sobre las tecnologías (justificación de las técnicas) …………………… 21 H. Sobre la secuencia didáctica y su cronograma ………………………….. 27 I. Sobre la evaluación ……………………………………………………….. 29 J. Sobre la bibliografía y páginas web ……………………………………… 33 Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 2 ~ A. Sobre la definición del objeto matemático a enseñar Los objetos matemáticos a enseñar enmarcados en el ámbito de la estadística bidimensional, en el curso de 1º de Bachillerato, en la asignatura de Matemáticas I, son los siguientes:  Variable estadística bidimensional (tablas de doble entrada, tablas de frecuencia marginales).  Diagrama de dispersión o nube de puntos (dependencia lineal).  Covarianza, correlación (coeficiente de correlación).  Rectas de regresión (de Y sobre X, de X sobre Y, posiciones relativas de las dos rectas de regresión).  Estimación de resultados. B. Sobre el estado de la enseñanza-aprendizaje del objeto matemático La introducción del objeto matemático se suele justificar presentando un texto relacionado con decisiones importantes tomadas debido a las conclusiones de un estudio estadístico previo. En el caso concreto del libro de referencia [1] se ha realizado un sondeo para conocer el número de personas que estarían interesadas en comprar una estatuilla de barro que manufactura un artesano. A lo largo del texto el realizador del sondeo, que trabaja para un Centro que le ha encargado el trabajo, le va dando explicaciones al artesano de las personas que se han seleccionado para la encuesta y poco a poco le va desgranando los resultados. Estos son poco halagüeños para el fabricante de figurillas ya que, a la vista de los resultados, los dueños del Centro donde iba a vender las figuras deciden prescindir de sus servicios. Los campos de problemas de variables bidimensionales que se enseñan habitualmente siempre están destinados a estimar el valor de un dato de una variable basándonos en la otra variable y a saber valorar esa estimación, es decir, a saber si la conclusión a la que se llega puede ser tenida en cuenta, viendo los cálculos anteriores de correlación. Según [2] los efectos que produce la enseñanza del objeto matemático en el alumno son diversos según Carmen Batanero en su libro “Didáctica de la Estadística”: uno de ellos se refiere al signo e intensidad de la asociación entre dos variables. Los alumnos tienen unas creencias previas sobre el contexto del problema y el tipo de asociación presentada. No parece que hay muchos estudios psicológicos hechos al respecto, pero la investigación psicológica ha mostrado que la habilidad para emitir juicios de asociación no se desarrolla intuitivamente. Las personas a veces basan sus juicios en creencias previas sobre el tipo de asociación que debería existir entre las variables, en lugar de basarlos en las contingencias presentadas en los datos. Así pues la existencia de tales preconcepciones en las situaciones aplicadas es una dificultad de la enseñanza de la asociación. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 3 ~ Otro punto débil en la enseñanza es la correlación negativa que indica dependencia inversa entre las variables. Los alumnos se sorprenden al encontrar por primera vez un coeficiente de correlación negativo, hasta el punto de preguntar al profesor si ello es posible. Asimismo, aparece la duda en la comparación de dos coeficientes de correlación negativos, ya que, en este caso, un número menor corresponde a mayor intensidad en la asociación. Así, el conocimiento adquirido sobre el orden de los números negativos dificulta ahora la comprensión del signo negativo del coeficiente de correlación; se convierte en obstáculo epistemológico para dicha comprensión. También el hecho de que en la correlación no se distinga entre variable explicativa y la variable explicada mientras que en la regresión sea una diferencia esencial, provoca gran confusión entre los estudiantes. Cuando necesitan seleccionar la variable explicativa para calcular la línea de regresión, no saben que variable elegir. Al final del periodo de enseñanza, algunos alumnos aun no han descubierto que se pueden calcular dos rectas de regresión diferentes. C. Sobre los conocimientos previos del alumno Los alumnos necesitan tener unos conocimientos previos para poder afrontar el objeto matemático y, como posteriormente se expone, ya deben tener conocimientos previos de estadística. En concreto deben manejar los conceptos de población, muestra, tamaño de la muestra, individuo, variable estadística, frecuencia absoluta y relativa, frecuencia absoluta y relativa acumulada y saber calcular la media y la varianza. Según el currículo aragonés el alumno tiene una trayectoria desde 1º ESO en la que ya se introducen conocimientos de estadística. Al ser un aprendizaje en espiral cada año se aborda el tema y se van añadiendo nuevos conceptos. Así en el primer curso de la E.S.O.:  Utilización de tablas de valores para obtener información sobre fenómenos naturales y cotidianos. Construcción de tablas de valores, tanto a partir de una descripción verbal como de una gráfica.  Población y muestra. Características cualitativas y cuantitativas de una población. Distribuciones discretas. Tablas de frecuencias absolutas y relativas. Diagramas de barras.  Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos y diseño de experiencias para su comprobación. Utilización de fuentes diversas para la obtención de datos estadísticos.  Reconocimiento y valoración de las matemáticas para interpretar y describir situaciones inciertas. En el segundo curso de la E.S.O.: Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 4 ~  Diferentes formas de recogida de información. Organización de los datos en tablas. Frecuencias absolutas y relativas, ordinarias y acumuladas.  Diagramas estadísticos. Lectura e interpretación de la información contenida en tablas y gráficos estadísticos.  Elaboración e interpretación de tablas de frecuencia y de diagramas de barras correspondientes. Realización de diagramas de sectores a partir de tablas de frecuencias absolutas y relativas.  Medidas de centralización: media, mediana y moda. Significado, estimación y cálculo. Utilización de la media, la mediana y la moda para realizar comparaciones y valoraciones. Utilización de las propiedades de la media para resolver problemas.  Utilización de la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar los cálculos y generar los gráficos más adecuados. En el tercer curso de la E.S.O.:  Objetivos, elementos y fases de un estudio estadístico. Estadística unidimensional.  Análisis de las características de una población a partir de tablas y gráficos estadísticos.  Necesidad, conveniencia y representatividad de una muestra. Métodos de selección aleatoria y aplicaciones en situaciones reales. Atributos y variables discretas y continuas.  Recogida de información estadística usando distintas fuentes y procedimientos. Agrupación de datos en intervalos. Histogramas y polígonos de frecuencias. Construcción de la gráfica adecuada a la naturaleza de los datos y al objetivo deseado.  Media, moda, cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones. Estimación de la media y la desviación típica a partir de gráficos estadísticos.  Análisis de la dispersión: rango y desviación típica. Utilización de la media y desviación típica para interpretar las características de la población.  Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Actitud crítica ante la información de índole estadística.  Utilización de la calculadora y la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar cálculos y generar las gráficas más adecuadas. Al terminar 4º E.S.O. opción B los estudiantes deben tener adquiridos los siguientes conocimientos:  Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. Variables discretas y variables continuas. Agrupación de datos: intervalos y marcas de clase. Tablas de frecuencias absolutas y relativas de datos agrupados correspondientes a una variable continua.  Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas.  Gráficas estadísticas de una variable continua: histogramas, polígonos de frecuencia, diagramas de caja. Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 5 ~ Es una cuestión siempre difícil de estimar a priori, y más aún si es la primera vez que tenemos a estos alumnos, si la enseñanza anterior ha propiciado la adquisición de los conocimientos previos. El sistema garantiza que los alumnos hayan recibido enseñanza de dichos conocimientos, pero no tenemos la garantía de que estén adquiridos. Tampoco creo que salvo circunstancias excepcionales, se deba repetir la enseñanza de conocimientos, ya que se entraría en la clase en una dinámica que no le permitiría avanzar, siempre hay alguien que no consigue entender lo explicado. En principio se dan los nuevos conocimientos y se proponen según se van viendo los fallos, ejercicios o trabajos de refuerzo que les hagan repasar conceptos anteriores que cuando menos estarán un tanto olvidados. Para facilitar la labor a los alumnos y que puedan repasar según las necesidades de cada uno, se creará un blog que permita a los alumnos ir evolucionando a su medida, según las carencias que ellos mismos estimen. El blog constará de la parte de ejercicios resueltos por el profesor, en los que se va explicando paso a paso cada ejercicio y una segunda parte donde se proponen ejercicios para que puedan ver por ellos mismos si han adquirido el conocimiento que necesitaban. Estos ejercicios tendrán únicamente el resultado numérico, para que ellos puedan hacer comprobaciones. En el blog se hará insistencia en los fallos más recurrentes que vayan apareciendo a lo largo de los días de clase. Por otro lado se va a plantear a los alumnos la elaboración de un trabajo en grupos que les obligará a repasar todo lo visto en estadística en cursos anteriores e incluir lo que van a aprender en este tema. Así mediante esta actividad tendremos la garantía de que los alumnos poseerán los conocimientos previos necesarios o los repasarán con la ayuda del blog o de la herramienta que consideren oportuna. D. Sobre las razones de ser del objeto matemático Se plantean los siguientes problemas, como razones de ser del objeto matemático. Problema 1. Problema de variable bidimensional en el que hay una tabla de doble entrada, la primera variable son las horas que cada alumno ha dedicado a estudiar un examen y la segunda variable la nota que han sacado. Horas de estudio 21 15 10 15 20 30 18 20 25 16 Notas 9 7 5 2 7 8 8 6 5 4 A los alumnos se les pide que encuentren una relación entre las horas de estudio y las notas que han sacado, y si pueden prever el número de horas de estudio que ha invertido un alumno que ha obtenido una determinada nota. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 6 ~ Los alumnos, con los conocimientos previos que tienen, no pueden deducir una nota para un número de horas de estudio. Incluso pueden ver que hay alumnos con la misma nota, pero con diferentes horas de estudio o con las mismas horas de estudio pero diferentes notas. Su solución final será que no se puede llegar a ninguna conclusión. Con el planteamiento del problema se busca el interés de los alumnos que jamás se han enfrentado a un problema de este tipo y por tanto se sienten desconcertados. El siguiente paso es intentar resolver el problema planteado anteriormente. Los alumnos están acostumbrados a variables unidimensionales y por tanto la primera dificultad con la que se van a encontrar es la representación gráfica de esta tabla. El profesor da un tiempo para sugerencias de representación. Una vez que se ha reflexionado sobre las distintas posibilidades viables o no que se hayan sugerido por parte de los alumnos se mostrará a los alumnos como se realiza un diagrama de dispersión o nube de puntos. Con la observación del gráfico se les sugerirá la posibilidad de trazar una línea que pase por medio de los puntos dibujados. Los alumnos dibujarán diferentes rectas y se discutirá si están “más cerca” o no de los puntos de la distribución. Una idea que puede surgir espontáneamente o se puede sugerir es que la recta tiene que pasar por el punto cuyas coordenadas sean las medias de las distribuciones, ( . Llegados a este punto el profesor empezará a explicar la solución matemática. Con esto buscamos que los alumnos tengan una idea intuitiva de lo que queremos explicar a lo largo de las tres semanas que dura este tema. Problema 2. Se les pasará a los alumnos el siguiente artículo: Sistemas complejos y el Tribunal Supremo de Estados Unidos Un algoritmo basado en la red de relaciones internas entre los miembros del tribunal predice sus decisiones con más acierto que los expertos legales conocedores del caso. WIKIMEDIA COMMONS_Dominio público ¿Es posible diseñar algoritmos matemáticos capaces de predecir las decisiones que tomamos los seres humanos? La pregunta puede parecer puramente académica, o incluso más propia de la saga La Fundación, de Isaac Asimov, que de un proyecto científico. Pero tales algoritmos no solo existen, sino que desempeñan una función Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 7 ~ cada vez más importante en nuestro quehacer diario. Los empleamos, por ejemplo, cuando una página web nos recomienda libros a partir de los que ya hemos comprado, o películas a raíz de cómo hemos evaluado estrenos anteriores. Dado que puede predecirse qué películas serán de nuestro agrado y cuáles no, ¿sería posible aventurar el fallo de una sentencia judicial? Al fin y al cabo, desde el punto de vista matemático, estos dos problemas resultan bastante similares. Desde 2002, un proyecto multidisciplinar (Supreme Court Forecasting Project) en el que participan expertos de varias universidades de EE.UU. intenta responder a esta pregunta para el caso particular del Tribunal Supremo de Estados Unidos. Los investigadores han constatado que, cuando se conoce el contenido del caso, un grupo de expertos legales puede predecir con una tasa de acierto del 68 por ciento las decisiones de cada uno de los magistrados. También se han creado algoritmos que, teniendo en cuenta el contenido y la historia de un caso, aciertan el fallo judicial en un 67 por ciento de las ocasiones. Una vez hayan leído el artículo se les planteará por parte del profesor si es posible como dice el artículo, poder saber de antemano con un 68% de acierto el fallo judicial. ¿En qué variables crees que se basan los expertos legales para poder tener un alto nivel de aciertos? Realmente los alumnos que entienden cada fallo judicial como único e independiente deben sentir que sus esquemas fallan ante la afirmación de semejante predicción. Problema 3. Un segundo problema, muy parecido al anterior, pero con valores que intentaremos que agrupen para facilitar el entendimiento y el trabajo. Con esta agrupación de valores queremos que los alumnos construyan intuitivamente una tabla de doble entrada y observen la claridad que aporta, que vean visualmente la diferencia entre tener los datos iniciales a tenerlos agrupados. Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre 20 grupos musicales, a saber, el número de conciertos dados este verano y las ventas de discos de estos grupos (en miles de CDs), obteniendo los siguientes datos: Llamamos X al número de conciertos e Y a las ventas de CDs. Se les pregunta, Si un grupo musical ha vendido 1800 CDs, ¿Qué número de conciertos se prevé este verano? Los datos son los siguientes: (12’3,4), (20’3,5), (36,15), (66’1,15), (62’4,14), (52’7,11), (66’3,6), (40’1,5), (41,8), (30’8,15), (22’9,6), (51’2,12), (70,15), (49’6,10), (32,7), (53’7,11), (43’5,3), (17’2,7), (50’4,6), (24’9,12) Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 8 ~ El número de pares de datos es superior al problema 1 y por tanto hay dificultad en trabajar con ellos, por tanto se sugiere el trabajar agrupando los datos de la siguiente manera: Número de conciertos: 1Entre 10’1 y 30. 2Entre 30’1 y 50. 3Entre 50’1 y 70 Número de miles de CDs: 1Entre 1 y 5. 2Entre 6 y 10. 3Entre 11 y 15. Con esta agrupación los alumnos deben intentar llegar a una tabla de doble entrada. De ahí dibujar la nube de puntos e intentar presentar una rectacomo en el problema anterior que pase por ( , después intentar hacer una predicción del número de conciertos. La introducción de este tema se busca que sea dinámico e interesante para el alumnado. Por tanto comienza la clase con preguntas dirigidas hacia los alumnos para que se den cuenta de la importancia que tienen las estadísticas en la sociedad que estamos y lo importantes que son para la toma de decisiones. Buscamos saber el conocimiento que tienen de la importancia de la estadística. Que vean cómo les afecta en sus vidas, desde las películas que ven, la ropa que se ponen o el medicamento que necesitan cuando están enfermos. También como nos controlan a través de la estadística, hay programas informáticos que a través de cámaras o de nuestros propios teléfonos móviles vigilan todos los movimientos que hacemos en una tienda y cuanto tiempo nos paramos delante de cada sitio y con eso redistribuyen la tienda para vender más. Pero la estadística no es algo relevante de poco tiempo aquí. Se tiene constancia de censos de más de 2000 años. Los romanos fueros los más organizados, ya realizaban un censo cada 5 años y registraban nacimientos, defunciones y matrimonios. También controlaban el ganado y contabilizaban las riquezas de sus conquistas. El primer médico que utilizó métodos matemáticos para cuantificar variables de pacientes y sus enfermedades fue el francés Pierre Charles-Alexandre Louis (17871872). Sus estudios influyeron en toda una generación de estudiantes que reforzaron la nueva ciencia de la epidemiología con el método estadístico. También Francis Galton (1822-1911), realizó estudios estadísticos en diferentes campos como la psicología, biología o meteorología y acuñó el concepto estadístico de correlación, como una forma de determinar matemáticamente la relación entre dos variables. En otros campos como es la economía, a principios del siglo XX Henry L Moore fue el primero en estimar curvas de demanda empírica a partir de regresiones lineales, lo que hoy conocemos como econometría. Las razones de ser históricas coincidide con la razón actual de la introducción del objeto matemático. Hoy en día la estadística bidimensional y por extensión la multivariante se utiliza en casi todos los ámbitos que podamos imaginar. La evolución y desarrollo de nuestra sociedad nos sitúa ante unos alumnos que utilizarán esta herramienta matemática en su mayoría como medio de entendimiento de gráficas que ya estarán realizadas en libros o diferentes medios de divulgación y algunos alumnos la utilizaran como medio para sacar conclusiones que nada tienen que ver con los principios que dieron origen al objeto matemático. Es verdad que en la actualidad se utilizan también como en la antigüedad (censos de población, registros de riquezas, tierras, Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 15 ~ Ejercicio: 1.-Se estudia la relación entre la antigüedad, X de los trabajadores de una empresa y el número de productos defectuosos, Y, que han elaborado en el último año. Los resultados se recogen en esta tabla de doble entrada. X Y 1 2 3 4 Total 3 10 5 5 0 20 4 20 10 15 5 50 Total 30 15 20 5 70 Representa los datos en un gráfico que refleje la frecuencia de cada uno de ellos. - Construcción del diagrama de dispersión o nube de puntos. La forma más natural de representar una variable bidimensional es a través de una "nube de puntos". Para construirla, simplemente tenemos que considerar los ejes cartesianos y colocar sobre el eje de la X una variable y sobre el eje de la Y la otra. Como a cada elemento de la población le hemos asignado un par, simplemente lo representamos en el plano y obtenemos una nube de puntos. Ejercicios: 1. A partir de la siguiente tabla que refleja las horas que unos alumnos han estado estudiando de media cada día y las notas que han sacado de media en la evaluación, dibuja su diagrama de dispersión. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 16 ~ Horas 3 3,5 1 1,5 2 2,5 2,5 3 2 0,5 Notas 8 9 4 4 6 6,5 7 8,5 7 3,5 - Cálculo de la covarianza. La covarianza, σxy, de una variable bidimensional (X, Y) es una medida estadística y se calcula utilizando las siguientes expresiones O esta equivalente y también más sencilla. Ejercicios: 1.-Determina la covarianza para los datos que aparecen en la siguiente tabla X 8 10 11 9 13 12 9 14 Y 20 18 16 22 10 10 21 9 2.-Calcula la covarianza de estos datos - Cálculo del coeficiente de correlación. El coeficiente de correlación, r, es una medida de la variable (X, Y) que determina el grado de dependencia lineal entre las variables X e Y. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 17 ~ Se define este coeficiente como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables, es decir: Siendo σxy la covarianza de la variable (X, Y), σx la desviación típica de X y σy la desviación típica de Y. Ejercicios: 1.- La información estadística obtenida de una muestra de tamaño 12 sobre la relación existente entre la inversión realizada y el rendimiento obtenido en cientos de miles de euros para explotaciones agrícolas, se muestra en el siguiente cuadro: Inversión (X) 11 14 16 15 16 18 20 21 14 20 19 11 Rendimiento (Y) 2 3 5 6 5 3 7 10 6 10 5 6 Calcular e interpreta el índice de correlación. 2.- Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente: Y/X 100 50 25 14 1 1 0 18 2 3 0 22 0 1 2 Se pide: a) Calcular la covarianza. b) Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal. 3.-Se sabe que entre el consumo de papel y el número de litros de agua por metro cuadrado que se recogen en una ciudad no existe relación. a) ¿Cuál es el valor de la covarianza de estas variables? b) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación lineal? Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 18 ~ - Cálculo de las ecuaciones de las rectas de regresión. Observando el diagrama de dispersión, podemos obtener una primera idea de si existe relación o no entre las variables estadísticas. Con el coeficiente de correlación podemos medir la correlación lineal, en caso de existir. Vamos ahora a calcular las líneas que mejor se aproximen a la nube de puntos. A estas líneas se les llama líneas de regresión. La función que mejor se aproxima a la nube de puntos puede ser lineal, de segundo grado, exponencial, logarítmica, ... En este tema vamos a calcular únicamente funciones lineales, que vamos a llamar rectas de regresión. Recta de regresión de Y sobre X: Recta de regresión de X sobre Y: Ejercicios: 1.-Traza a mano alzada, y sin realizar cálculos, las rectas de regresión de las siguientes variables bidimensionales Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 19 ~ 2.-Determina la recta de regresión de Y sobre X y la recta de regresión de X sobre Y correspondientes a estas tablas X 10 11 12 13 14 15 16 17 Y 20 24 28 30 36 32 42 40 X 60 70 80 90 100 110 Y -5 -8 -12 -15 -16 -20 X -3 -4 -5 -6 -9 -10 -13 Y 80 92 100 88 76 70 60 X 0,2 0,4 0,5 0,7 0,8 0,9 1 1,2 Y 40 50 120 70 40 40 60 50 3.-Encuentra cinco puntos que pertenecen a la recta Y= - 20 x + 10 a) Calcula el coeficiente de correlación y explica el resultado. b) Halla las dos rectas de regresión. Razona los resultados obtenidos - Cálculo estimado de resultados. Las rectas de regresión permiten obtener, de forma aproximada, los valores de una de las variables, conocidos los valores de la otra. Estos valores se llaman estimaciones de la variable. Para hacer estimaciones de resultados debemos tener en cuenta que: Si queremos estimar a partir de un valor de x, utilizaremos la recta de regresión de Y sobre X. En caso contrario, para estimar x a partir de un valor de y, utilizaremos la recta de regresión de X sobre Y. Las estimaciones siempre se realizan de forma aproximada, pues su grado de fiabilidad depende de la dependencia entre variables. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 20 ~ La estimación será más fiable si el coeficiente de correlación toma valores próximos a 1 ó -1. Si el coeficiente de correlación es un valor próximo a 0, las estimaciones carecen de validez. Las estimaciones deben hacerse dentro del intervalo de valores obtenidos en el estudio estadístico, o muy próximos a él. Las estimaciones se llaman interpolaciones cuando el valor estimado pertenece al intervalo de valores obtenidos en el estudio estadístico. Si el valor no pertenece a ese intervalo, se denomina extrapolación. Ejercicios: 1.-Esta tabla muestra la concentración de uno de los componentes de una pintura y el tiempo que tarda en secarse. Concentración (gr/l) 5 10 20 30 Tiempo (min) 16 17 18 19 a) Haz una estimación del tiempo que tardaría en secarse la pintura si la concentración del componente es de 16 gr/l. b) Si ha tardado en secarse 20 minutos, ¿cuál crees que será la concentración? 2.-En un estudio sobre los ingresos mensuales, X, y la superficie de las viviendas, Y, resulta la siguiente recta de regresión: y =0,02x + 47,96. a) Halla la estimación de la superficie de la vivienda de una familia cuyos ingresos mensuales son de 3200€. b) Si una familia vive en una casa de 90 , ¿cuáles serán sus ingresos mensuales? 3.-En un estudio estadístico, el coeficiente de correlación entre dos variables X e Y es - 0,8. Se sabe que la media de x es 20; σx=4; media de y = 8 y σy=1. a) Determina las dos rectas de regresión, represéntalas y analiza la correlación que existe entre las variables. b) Si x = 30, ¿cuál es la estimación de y? Todos estos ejercicios propuestos para ejercitar las diferentes técnicas, se realizará con el uso de la calculadora cuando se imparta la clase en el aula y cuando nos encontremos en la sala de ordenadores con Excel, ésta hoja de cálculo permite hacer exactamente la misma labor que el papel y el bolígrafo en el aula y mejora las representaciones gráficas El docente será el encargado de explicar las técnicas que vayan apareciendo a lo largo del aprendizaje del objeto matemático. Se seguirá el orden del libro de texto para facilitar a los alumnos, que puedan tener alguna duda, el uso de éste en casa, tanto por parte de ellos como por parte de sus padres si quieren prestarles ayuda. La mayoría de los días la herramienta de trabajo será la pizarra, pero como anteriormente se ha expuesto, también se irá a la sala de ordenadores para aprender las distintas técnicas que ya se han explicado en clase, en la hoja de cálculo. También las distintas técnicas, ya Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 21 ~ enseñadas de forma clásica, se les mostrarán las posibilidades que tienen de calcularlas a través de la calculadora. El profesor cuando explique una técnica tanto sea en clase con pizarra como si es con calculadora o en el ordenador, a continuación planteará un ejercicio que permita ejercitar esa técnica. Unas veces los alumnos practicarán en grupos y otras individualmente y mientras el profesor irá pasando por las mesas e irá viendo la evolución de estos. Si ve que hay dudas que se repiten hará hincapié en estas de forma general, para que todos los alumnos vuelvan a oír la explicación, el profesor debe pensar cuando ocurre esto que puede haber fallado en su primera exposición o es una técnica que requiere ir más despacio par su buen entendimiento. G. Sobre las tecnologías (justificación de las técnicas) Las diferentes técnicas que se han presentado en el apartado anterior se justifican en el aula a través de los siguientes razonamientos: -Variable estadística bidimensional. Una variable estadística bidimensional resulta al estudiar dos características diferentes de los individuos de una población, y está formada por las dos variables estadísticas unidimensionales. La variable bidimensional (X, Y) queda determinada por los pares de datos Se propone únicamente un ejercicio de identificación de variables, ya que debido a la introducción del objeto matemático, es suficiente. 1.- Realizamos un estudio sobre el uso del autobús en una ciudad, y se pregunta a los usuarios por el número de autobuses que utilizan al día y el tiempo aproximado en minutos, que tardan en llegar a su destino. ¿Qué variables estadísticas se van a estudiar? -Tablas de doble entrada. También llamadas tablas de contingencia, es un método de organización de datos para variables bidimensionales. El uso de estas tablas facilita el uso de los datos, aclara visualmente, ya que si los tenemos por parejas de datos no observamos las frecuencias. -Tablas de frecuencias marginales. Al analizar una distribución bidimensional, uno puede centrar su estudio en el comportamiento de una de las variables, con independencia de cómo se comporta la otra. Estaríamos así en el análisis de una distribución marginal. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 22 ~ -Gráficos de frecuencias. Dan al alumno una visión agrupada de los datos, los gráficos ayudan al buen entendimiento de las estadísticas, naturalmente que estos gráficos no son necesarios para los cálculos posteriores de estimación, pero sí que es necesario como añadido al tema que se está trabajando, Estos gráficos surgen a diario en periódicos y noticias y es interesante su buen entendimiento e interpretación. -Diagrama de dispersión o nube de puntos. La visualización de los datos en un eje cartesiano da a los alumnos una forma rápida e intuitiva de la variación conjunta de las variables - La Covarianza. Sorprendentemente el libro de texto no nos dice absolutamente nada de la covarianza, tan solo que es una medida estadística y como se calcula, pero no se para a hacer una mínima introducción de la utilidad de este cálculo. Para subsanarlo el profesor además de explicarlo les debe resaltar que en el libro no van a encontrar y que deben tomar buena nota de la explicación en sus cuadernos, ya que a la hora de estudiar o consultar no van a encontrar esa información en el libro. Se va a presentar posteriormente un coeficiente que nos permita cuantificar la correlación lineal de las dos variables, pero antes se necesita conocer un parámetro conjunto para ambas variables que es la covarianza. La covarianza es un valor que indica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias. Es el dato básico para determinar si existe una dependencia entre ambas variables y además es el dato necesario para estimar otros parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la recta de regresión. Si σxy > 0 la correlación es directa. Cuando a grandes valores de una de las variables suelen mayoritariamente corresponderles los grandes de la otra y lo mismo se verifica para los pequeños valores de una y la otra, se corrobora que tienden a mostrar similar comportamiento lo que se refleja en un valor positivo de la covarianza. Si σxy < 0 la correlación es inversa. Cuando a los mayores valores de una variable suelen corresponder en general los menores de la otra, expresando un comportamiento opuesto. Si las variables X e Y son independientes, entonces: σxy= 0 Observación: El recíproco de este resultado no es cierto en general. Así, si σxy=0 puede suceder que X e Y sean dependientes. La covarianza presenta como inconveniente, el hecho de que su valor depende de la escala elegida para los ejes. Es decir, la covarianza variará si expresamos la altura en metros o en centímetros. También variará si el dinero lo expresamos en euros o en dólares. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 23 ~ -Coeficiente de correlación. Mide el grado de intensidad de la posible relación entre las variables cuantitativas. Las virtudes del coeficiente de correlación son las siguientes: No varía al cambiar la escala de medición El signo es el mismo que el de la covarianza por tanto nos proporciona relaciones directas, inversa y nulas en el caso de que su valor sea 0. Los valores están siempre comprendidos entre -1 y 1. Debido a estos motivos es de gran utilidad el uso del coeficiente de correlación. El coeficiente de correlación indica la aproximación de los valores de la variable a una línea recta. Este coeficiente tomará siempre valores comprendidos entre -1 y 1. Según los valores que tome, podremos deducir que: Si r=1, existe dependencia funcional, todos los puntos del diagrama de dispersión están situados en una línea recta creciente. Gráficamente observaremos la nube de puntos más cerca conforme la correlación esté más cerca de 1. Si 0<r<1, la correlación es positiva y será más fuerte según se aproxime más a 1. Si r=0, no existe correlación lineal, pero puede existir correlación curvilínea. Cuando se da este caso se dice que las variables son incorreladas y la nube de puntos tiene una forma redondeada Si r = -1, existe dependencia funcional, todos los puntos del diagrama de dispersión están situados en una línea recta decreciente. Se le llama correlación inversa. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 24 ~ Conforme r se aproxima más a -1 hay mayoritariamente valores grandes de una variable que le corresponden valores pequeños de la otra. - Definición de las ecuaciones de las rectas de regresión. La ecuación de la recta de regresión permite pronosticar la puntuación que alcanzará cada sujeto en una variable Y conociendo su puntuación en otra variable X. La recta de regresión es la línea recta que mejor se ajusta a la nube de puntos para dos variables X e Y, es decir, la que permitiría minimizar el error medio cometido al hacer los pronósticos como si la nube de puntos tuviera una forma lineal. La forma de obtener estas rectas es por el procedimiento conocido como el método de los mínimos cuadrados. Buscamos una recta de ecuación y=mx+n que sea la mejor aproximación. Cada punto xi de la primera variable tendrá, por una parte, el valor correspondiente a la segunda variable yi, y por otra, su imagen por la recta de regresión y=mxi+n. Entre estos dos valores existirá una diferencia di=mxi+n-yi. Vamos a calcular la recta con la condición de que la suma de los cuadrados de todas estas diferencias Σ(mxi+n-yi)2 sea mínima. Derivando respecto de m y de n y realizando los cálculos matemáticos necesarios, llegamos a la recta de regresión de Y sobre X, que tiene por ecuación en la forma punto-pendiente: Si ahora cambiamos los papeles de las variables X e Y, y realizamos el mismo procedimiento, obtenemos la ecuación de la recta de regresión de X sobre Y: Gráficamente podría ser así cuando la correlación es cercana a 1, se observan los valores próximos a la recta Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 31 ~ Solución ejercicio 1 Construimos una tabla con las columnas necesarias 1 5 15 25 225 75 1 7 18 49 324 126 1 2 10 4 100 20 1 1 8 1 64 8 1 9 20 81 400 180 ∑ 5 24 71 160 1113 409 0 10 20 30 0 2 4 6 8 10 vehículos accidentes Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 32 ~ Solución ejercicio 2 Solución ejercicio 3 a) Se despeja x en la recta de regresión y se determina el valor de la media para la variable X a partir de la media de la variable Y. Como la media de y es 155, sustituimos y se obtiene que el peso medio del grupo de alumnos encuestados es de 50Kg. b) Se estudia la pendiente de la recta para determinar el signo de la covarianza 1,5= , como es positivo, la covarianza será también positiva. Variable Estadística Bidimensional 1º Bachillerato ~ 33 ~ c) Se determina el signo del coeficiente de correlación r = , como y son positivos y es también positiva, entonces el coeficiente de correlación, r , es positivo. Por tanto, la dependencia es positiva, es decir, cuando crece la variable X; el peso de los alumnos, crece la variable Y, su estatura. Es importante que los alumnos tengan los criterios de valoración para que puedan dedicar el tiempo que consideren oportuno a cada apartado y puedan distribuir con eficacia el tiempo del que disponen. Para calificar la prueba de evaluación que se acaba de plantear se da un criterio sencillo: El ejercicio 1 tiene 4 apartados y se valora con 1 punto cada uno, el ejercicio 2 tiene 3 apartados y se valora con 1 punto cada uno y lo mismo ocurre con el ejercicio 3 con 3 apartados y también 1 punto para cada uno de ellos. I. Sobre la bibliografía y páginas web http://mismates1bach.blogspot.com.es http://edelmirachocooj-edelmira.blogspot.com.es/2009/03/tabla-de-doble-entrada.html Canavos. George C. Probabilidad y Estadística (Aplicaciones y métodos). Virginia Commonwealth University. Editorial Mc Graw Hill. [1]. Matemáticas I 1º Bachillerato. Editorial Santillana Proyecto La Casa del Saber. http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-12-est.htm http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/1a.htm http://www.investigacionyciencia.es/investigacion-y-ciencia/numeros/2012/9/sistemascomplejos-y-el-tribunal-supremo-de-estados-unidos-9048 http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//2000/2007/html/index.html http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/bidimensional_lbarrios/corr elacion_lineal_est.htm http://www.vitutor.com/estadistica/bi/ejercicios_correlacion.html http://www.vadenumeros.es/sociales/ejercicios-distribuciones-bidimemensionales.htm [2]. Batanero, Carmen: Didáctica de la estadística, Servicio de reprografía de la Universidad de Granada, Granada. http://www.pucrs.br/famat/viali/graduacao/matematica/material/referencias/didacticaestadistica. pdf