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PROYECTO FIN DE CARRERA Autor: ´ Oscar Gimeno L´opez An´alisis del comportamiento de la l´ınea de contacto de una gota sobre un gradiente del ´angulo de contacto. Director: Marc Miscevic Ponente: Pilar Garc´ıa Navarro Ingenier´ıa Industrial Universidad de Zaragoza, EINA 2014 An´alisis del comportamiento de la l´ınea de contacto de una gota sobre un gradiente del ´angulo de contacto. RESUMEN El proyecto presentado a continuaci´on se ha centrado en el an´alisis din´amico y termodin´amico de un sistema trif´asico comprendido por una gota y su entorno, siendo la primera el volumen de control delimitado por las interfases l´ıquido-vapor y l´ıquido-s´olido. M´as concretamente, el objeto de estudio fue la din´amica de la l´ınea triple, que separa las fases presentes, y su efecto sobre la masa l´ıquida. Para ello se profundiz´o en los conceptos de capilaridad y ´angulo de contacto, presentes en un sinf´ın de publicaciones cient´ıficas y asumidos como principales responsables del comportamiento de las distintas interfases en esta regi´on del volumen de control. La comprensi´on de la f´ısica de este sistema ayuda a desarrollar nuevos modelos y t´ecnicas de evacuaci´on pasiva del calor en condiciones extremas como la ausencia de gravedad. La primera etapa del proyecto consisti´o en una b´usqueda exhaustiva de documentaci´on sobre las teor´ıas m´as consistentes, para poder elaborar un modelo matem´atico fiable descriptivo de nuestro volumen de control. La teor´ıa hidrodin´amica cl´asica fue finalmente escogida como base para desarrollar el sistema de ecuaciones. Los trabajos de F.Brochard - Wyart yR.S. Subramanian constituyen dos enfoques diferentes, dentro de la misma teor´ıa, que fueron comparados al resolver el modelo. Los art´ıculos seleccionados sobre los que basar el estudio tienen car´acter tanto experimental como te´orico, con el fin de avalar emp´ıricamente los argumentos seguidos en este proyecto. A continuaci´on, se abord´o el modelo te´orico de simulaci´on basado en las hip´otesis de una gota con geometr´ıa cil´ındrica, creado anteriormente en el mismo grupo de investigaci´on, para su comprensi´on y mejora. La fase siguiente consisti´o en la adaptaci´on de dicho modelo a la geometr´ıa esf´erica a partir de las conclusiones extra´ıdas en la etapa bibliogr´afica. En esta fase se produjo un acercamiento a las condiciones reales de trabajo teniendo en cuenta fen´omenos como la hist´eresis del ´angulo de contacto o la micro - gravedad. Por ´ultimo, se realiz´o un an´alisis param´etrico de los resultados frente a la variaci´on de las variables del problema m´as importantes. Asimismo, se llev´o a cabo un estudio dimensional de las ecuaciones y una reflexi´on acerca del concepto de hist´eresis sobre el que se ha trabajado. Los resultados de la simulaci´on num´erica indican que el modelo matem´atico planteado reproduce de forma precisa algunos experimentos encontrados en la bibliograf´ıa. Sin embargo, se constatan importantes diferencias cuantitativas en funci´on de las condiciones de trabajo introducidas, por lo que se hace latente la necesidad de profundizar en la f´ısica que gobierna el sistema, quiz´as, desde otras perspectivas complementarias. No obstante, la sencillez matem´atica del modelo facilita la ampliaci´on futura del mismo para tener en cuenta otros fen´omenos como el intercambio de masa y energ´ıa con el entorno, a fin de acercarse a la aplicaci´on de mejora de dispositivos de intercambio de calor. Agradecimientos Agradezco a la Universidad de Zaragoza y al Instituto Polit´ecnico de Toulouse la oportunidad del programa de intercambio Erasmus entre ambas instituciones, lo que me permiti´o desarrollar el presente proyecto. Agradezco tambi´en la labor y el buen trato del personal de laboratorio LAPLACE, donde realiz´e el trabajo y me sent´ı c´omodo durante mi estancia y realmente satisfecho con mi experiencia y aprendizaje. ´ Indice general 1. Introducci´on 1 1.1. ESTADODELARTE ................................... 2 1.1.1. Tecnolog´ıas de transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. La mojabilidad: fen´omeno y conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. MODELOSACTUALES.................................. 5 1.2.1. Experimento de Chaudhury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. An´alisis de F. Brochard - Wyart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3. An´alisis de Subramanian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4. La gravedad y la hist´eresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Modelo hidrodin´amico 11 2.1. GEOMETR´ IA CIL´ INDRICA ............................... 11 2.1.1. Definici´on del problema e hip´otesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2. Ecuaciones ..................................... 12 2.1.3. Resultados ..................................... 13 2.2. GEOMETR´ IA ESF´ ERICA ................................ 14 2.2.1. Definici´on del problema e hip´otesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2. Ecuaciones ..................................... 15 3. Resultados 20 3.1. MODELO CON INERCIA, SIN HIST´ ERESIS Y GRADIENTE LINEAL DE θ. . . 20 3.1.1. Estudioparam´etrico ................................ 22 3.2. COMPARACI´ ON CON LOS DATOS EXPERIMENTALES DE M.K. CHAUDHURY 24 3.2.1. Chaudhury1992 .................................. 24 3.2.2. Chaudhury2002 .................................. 24 3.3. REFLEXI´ ON SOBRE LA HISTERESIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Conclusi´on 30 Bibliograf´ıa 31 ANEXOS 33 A. Teor´ıa cin´etica molecular (MKT) 34 B. Desarrollos matem´aticos 37 B.1.Geometr´ıa.......................................... 37 B.2. Energ´ıa superficial m´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 B.3.BalancedeFuerzas..................................... 40 Lista de s´ımbolos Alfabeto Occidental Aa/r,Ba/r,Ca/r,Da/r Coeficientes del polinomio de grado 3 del gradiente de AC de avance y retroceso AC ´ Angulo de contacto LC L´ınea de contacto Fd≡FWFuerza capilar gAceleraci´on gravitacional terrestre (9,8m/s2) hHist´eresis del AC (θa−θr) HHist´eresis del AC (cos θa−cos θr) lnLogaritmo de 1/ nDensidad de puntos estables por unidad de superficie MMasa de la gota pL´ımite interior de la integral de superficie en la interfase S/L Porcentaje del radio de la base de la gota medido desde la LC PGPresi´on de la fase gas PLPresi´on del l´ıquido γLV Tensi´on superficial de la interfase l´ıquido - vapor R1/2, R0Radio de la curvatura tridimensional del menisco L/V rCoordenada radial del plano de la base de la gota (interfase S/L) S0Variaci´on del AC est´atico por unidad de longitud TTemperatura del l´ıquido tTiempo UVelocidad del centro de masa de la gota (excepto en la secci´on sobre la MKT) VVolumen del l´ıquido vLVolumen molecular xmax, R Longitud de la gota (∼radio) xmin Longitud sobre el radio de la base hasta el anillo limitante con la LC xGPosici´on del centro de masa de la gota en la direcci´on x xDirecci´on de desplazamiento del l´ıquido yDirecci´on perpendicular a los ejes xyz zDirecci´on ortogonal al plano de la interfase S/L Alfabeto griego βInclinaci´on del sustrato s´olido respecto al plano horizontal γTensi´on superficial Porcentaje del radio medido desde la LC donde no se calcula la disipaci´on viscosa para evitar la singularidad matem´atica ηViscosidad θsAC est´atico θe0AC est´atico en la posici´on xG θr,θaAC de retroceso y avance respectivamente κBConstante de Boltzmann (1,38065 10−23JK−1) λDistancia entre dos puntos estables en el sustrato (secci´on MKT) ξ(x) Altura de la gota ρDensidad τvTensi´on de rozamiento viscoso φ´ Angulo acimutal de una gota esf´erica medido respecto al eje x ´ Indice de figuras 1.1. Dispositivos de bombeo capilar. [6] [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Estado de equilibrio de un punto de la LC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Influencia del AC y γLV en una interfase L/V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4. Secci´on transversal de gota cil´ındrica estudiada por Brochard. . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Hist´eresis de θ....................................... 9 1.6. Hyst´eresis vs. gradiente de θ................................ 10 2.1. Par´ametros de la geometr´ıa cil´ındrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Variaci´on de θdyUGen el tiempo de una gota cil´ındrica sobre un gradiente considerandolahist´eresis..................................... 13 2.3. Secci´on transversal de una gota en geometr´ıa esf´erica (ξ=h).............. 14 2.4. Regi´on de la LC cuyo AC din´amico est´a comprendido en la hist´eresis. . . . . . . . . 17 3.1. Evoluci´on del AC din´amico a lo largo del substrato (gradiente lineal de cos(θ) en x). 20 3.2. Evoluci´on de la posici´on y la velocidad del centro de masa: h=0, u(t0) = 0, = 10−6, p= 0,2. ........................................... 21 3.3. Evolution of forces. h=0, u(t0) = 0, = 10−6,p= 0,2. ................. 21 3.4. Evoluci´on de la fuerza de cohesi´on: h=0, u(t0) = 0, = 10−6,p= 0,2. ........ 22 3.5. Evoluci´on de la fuerza viscosa y la velocidad para varios valores de p.(= 10−6, h= 0, C= 89,1, D= 0,0872)................................ 23 3.6. Evoluci´on de la fuerza viscosa y la velocidad para varios valores de .(p= 0,2, h= 0, C= 89,1, D= 0,0872).................................... 23 3.7. Gradiente de cos θen forma de polinomio de tercer grado. Las l´ıneas rojas corresponden a θayθr....................................... 24 3.8. Velocidad de expansi´on (l´ınea discontinua) y velocidad de deslizamiento (l´ınea continua) para las condiciones de trabajo en [2] empleando el t´ermino de Brochard (azul) yeldeSubramanian(negro). ............................... 25 3.9. Velocidad de expansi´on y de desplazamiento neto en las condiciones de [3] . . . . . . 25 3.10. Evoluci´on de las fuerzas respecto al tiempo en las condiciones de Chaudhury 2002 [3]. (Zoom sobre los primeros instantes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.11. Equilibrio est´atico de una gota sobre un plano inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.12. Regiones de desplazamiento hacia arriba, hacia abajo y no movimiento para una gota de 1.5 µl y tres valores de θd: 90o, 60oy 30o.β= 15o. ................. 28 B.1.Expansi´ondelagota. ................................... 38 Cap´ıtulo 1 Introducci´on Actualmente la electr´onica es una herramienta fundamental en el progreso tecnol´ogico, cuando no es objeto del mismo. En los pa´ıses desarrollados son cada vez m´as comunes los sistemas controlados electr´onicamente, sea parcial o totalmente, gracias al amplio rango de aplicaci´on de los mismos, abarcando desde las telecomunicaciones hasta la automoci´on, la medicina o un proceso de fabricaci´on industrial. As´ı, siguiendo los postulados de la ley de Moore, es predecible un continuo aumento de la complejidad de los dispositivos electr´onicos, requerido, a su vez, por la creciente demanda de servicios por parte de los consumidores, instituciones o intereses privados. Sin embargo, el incremento de las prestaciones y servicios de estos sistemas normalmente viene acompa˜nado por un consumo m´as significativo de potencia. Como consecuencia el calor residual generado en el dispositivo ser´a tambi´en mayor, poniendo en peligro al mismo ante un aumento excesivo de la temperatura. Es ´esta la principal restricci´on al desarrollo de dichos sistemas. Paralelamente, otro sujeto de inter´es en la ingenier´ıa electr´onica es la reducci´on del tama˜no de los circuitos, as´ı como de los sistemas que los implementan. Evidente es la complicaci´on que ello supone para el dise˜no de los dispositivos: ante igualdad de prestaciones y, por ende, mismo consumo y disipaci´on energ´etica, un tama˜no menor implica un mayor flujo de potencia. En este punto convergen varias ´areas de la f´ısica, qu´ımica e ingenier´ıa para encontrar t´ecnicas y materiales m´as eficientes en la evacuaci´on del calor residual. El presente trabajo aborda dicho problema desde la perspectiva de la din´amica de fluidos y la termodin´amica. Entre las propuestas m´as prometedoras, a este respecto, que se est´an desarrollando en la actualidad, destacan los sistemas bif´asicos de refrigeraci´on. No obstante, ´estos plantean una nueva dificultad: como consecuencia de la absorci´on de calor en determinadas condiciones de presi´on y temperatura, el l´ıquido refrigerante se evapora. Si la din´amica de este proceso es demasiado r´apida, la evaporaci´on se produce en la zona del l´ıquido en contacto con la superficie emisora de calor y no en el seno del fluido, como se prev´e. Dicha capa de vapor dificulta la transmisi´on de energ´ıa hacia el fluido provocando un repentino aumento de la temperatura. Es necesario tener un control preciso de la cantidad de potencia disipada para garantizar las condiciones ´optimas de trabajo. Se pueden resumir en tres los principales problemas existentes en el desarrollo de los sistemas electr´onicos: La reducci´on de escala afecta a los sistemas de refrigeraci´on. Aumentar el flujo de potencia disipada al mismo tiempo que se reduce la cantidad de fluido refrigerante, provoca el fen´omeno “dry-out” si se evapora todo el l´ıquido. Es necesario garantizar un suministro continuo de l´ıquido para mantener la estabilidad y seguridad del sistema. Es necesario un sistema de bombeo del l´ıquido refrigerante alternativo a los convencionales, puesto que el tama˜no est´a muy reducido. 1 La gravedad puede ser aprovechada para evacuar la fase gaseosa evitando la coalescencia de las burbujas formadas y as´ı, la creaci´on de la capa aislante en la superficie. Sin embargo, su efecto es despreciable en comparaci´on con las fuerzas capilares si la longitud caracter´ıstica del sistema es suficientemente peque˜na. Tampoco puede ser tenida en cuenta en aplicaciones aeroespaciales. Por lo tanto, urgen otras alternativas de evacuaci´on de dicha fase vapor. El objetivo del proyecto, as´ı como de la actividad investigadora del entorno donde se desarroll´o, fue estudiar una soluci´on a este ´ultimo punto. La propuesta consiste aprovechar las fuerzas intr´ınsecas del sistema, como la capilaridad, para la evacuaci´on de la fase vapor y as´ı evitar la instalaci´on de componentes adicionales. Para el dise˜no de un dispositivo donde se aplique esta idea es necesario un estudio previo de la f´ısica que gobierna este volumen de control y su comprensi´on. Dado que surgen varias discrepancias al respecto entre distintos autores, se presenta una comparaci´on entre los resultados del modelo construido bas´andose en dos trabajos distintos. En los anexos se incluye la descripci´on de otra teor´ıa alternativa (MKT) que puede complementar a los postulados de la hidrodin´amica cl´asica, sobre la cual se fundamenta este trabajo, para una mejora del modelo. CONTEXTO El presente trabajo se desarroll´o en el grupo de investigaci´on GREPHE bajo la direcci´on de Marc Miscevic y supervisado por Felipe Mancio Reis, y resulta una extensi´on de su tesis doctoral. Dicho proyecto cuenta con el respaldo del programa MANBO financiado por la Agencia Espacial Europea (ESA) para el desarrollo e investigaci´on de sistemas de refrigeraci´on en sat´elites. El grupo GREPHE pertenece a la divisi´on de investigaci´on energ´etica y el plasma del laboratorio LAPLACE, centro com´un a la Universidad Paul Sabatier de Toulouse, al Centro Nacional de Investigaci´on Cient´ıfica (CNRS) y al Instituto Nacional Polit´ecnico de Toulouse (INPT). La actividad del grupo, aunque muy centrada en el desarrollo de sistemas de control y generaci´on de plasma y, por lo tanto, en el ´ambito el´ectrico y electromagn´etico, tambi´en deriva en el estudio de bucles bif´asicos y bombeo capilar para la refrigeraci´on de sat´elites espaciales. Es en este segundo campo donde naci´o el proyecto presentado a continuaci´on. 1.1. ESTADO DEL ARTE 1.1.1. Tecnolog´ıas de transferencia de calor Actualmente, los bucles de bombeo capilar (“capillary pump loops”) son una de las soluciones m´as efectivas frente a las dificultades tecnol´ogicas presentadas anteriormente. Su principio de funcionamiento se basa en la din´amica de la mojabilidad (“wetting dynamics”) para inducir movimiento al fluido de forma alternativa al bombeo convencional. Los bucles de bombeo capilar (figura 1.1) aprovechan el fen´omeno de ascensi´on del l´ıquido en una cavidad hidr´ofila como demuestra el experimento de Jurin, explicado m´as adelante. El proceso de evaporaci´on, consecuencia directa de la transmisi´on de calor, permite la circulaci´on continuada del l´ıquido a trav´es del material poroso, normalmente situado en el evaporador, a causa de desequilibrar las presiones de ambas fases a los lados de la interfase (menisco l´ıquido/vapor). As´ı, a partir de la ecuaci´on 1.2 se deduce que la tensi´on superficial, γLV , es la propiedad causante de dicha diferencia de presi´on, generadora del flujo de l´ıquido. 2 Figura 1.1: Dispositivos de bombeo capilar. [6] [7] Antes de profundizar en los modelos f´ısicos de inducci´on de movimiento a un l´ıquido a trav´es de fuerzas capilares, a continuaci´on se explican algunos conceptos ´utiles para su mejor comprensi´on. 1.1.2. La mojabilidad: fen´omeno y conceptos La mojabilidad y la ecuaci´on de Young La mojabilidad es una de las propiedades m´as intuitivas de los l´ıquidos. Es el resultado macrosc´opico de las fuerzas de afinidad entre las mol´eculas de s´olido, con el cual entran en contacto las mol´eculas del l´ıquido, y ´estas mismas. El ´angulo de contacto est´atico (AC) es aqu´el formado por una interfase vapor - l´ıquido en equilibrio en contacto con una superficie s´olida, aunque tambi´en puede ocurrir con otro l´ıquido, y el plano de esta tercera sustancia (figura 1.2). Figura 1.2: Estado de equilibrio de un punto de la LC. En esta figura, aparecen tres tensiones superficiales, cada una propia de cada interfase, que representan la cantidad de energ´ıa requerida para aumentar una unidad de superficie. En una situaci´on estable, el balance de estas tres fuerzas define el ´angulo de contacto intr´ınseco a estas tres sustancias necesario para el equilibrio. Por lo tanto, la expansi´on de un l´ıquido sobre un s´olido es controlada por el valor del AC est´atico y la tensi´on superficial de cada sustancia. El balance de fuerzas local en un punto de la l´ınea de contacto (LC) es expresado mediante la ecuaci´on de Young (eq. 1.1). ΣFx= 0 →γLV cos(θ) + γSL =γSV →γLV cos(θ) = γSV −γSL (1.1) 3 trarse la situaci´on en que solo una parte de la gota (por ejemplo, el segmento de LC m´as frontal) supere la hist´eresis. Si esto sucede, esta zona avanzar´ıa arrastrada por la gravedad provocando un cambio en la geometr´ıa y, por tanto, en el AC de cada punto. Sin embargo, aqu´ı se est´a introduciendo otro concepto que condiciona el problema: la cohesi´on del l´ıquido. Si esta fuerza es suficientemente grande frente a la gravedad encontraremos la imposibilidad de deformar la masa l´ıquida a cualquier otra geometr´ıa donde θd(φ) no sea constante (ello implica necesariamente una geometr´ıa de casquete esf´erico minimizando la energ´ıa superficial). Es l´ogico, entonces, que en el caso primero, en el que −→ ges la ´unica fuerza externa del sistema, el l´ıquido nunca podr´a deslizar por el plano al no ser posible superar los dos θlim existentes en distintas puntos de la LC con un mismo valor de θd. Este fen´omeno se observa com´unmente tras la lluvia, cuando incluso en superficies verticales ciertas gotas de agua parecen estar adheridas sin deslizar hacia abajo. En la figura 1.6 se muestra el efecto de un gradiente del AC est´atico sobre un sustrato s´olido para vencer la hist´eresis. En este caso, un volumen peque˜no de l´ıquido donde la cohesi´on predomine puede ser puesto en movimiento. Evidentemente, cuanto menor sea el volumen de la gota ser´a necesario implementar un gradiente m´as intenso. a) Hist´eresis no superada. b) Cuando θdes mantenido entre θrA yθaB el l´ıquido desliza. Figura 1.6: Hyst´eresis vs. gradiente de θ Para que el l´ıquido se mueva hacia la derecha en la imagen, necesitaremos una FWpositiva en la mitad derecha de la gota, e inversa en la mitad contraria que retroceder´a con θR. Para ello, seg´un la expresi´on 1.3, θddeber´a sobrepasar simult´aneamente los dos ´angulos l´ımites de avance y retroceso, puesto que la cohesi´on mantiene la forma esf´erica del l´ıquido (θd(φ) = cte). En la figura a) se observa que esto no se cumple y que el AC de la superficie L/V respeta la condici´on: θRlim < θd< θAlim (1.12) Aumentando la pendiente del gradiente se comprueba c´omo f´acilmente se invierte esta situaci´on, haciendo posible vencer la hist´eresis, desequilibrando el sistema e induciendo movimiento en el l´ıquido, tal y como se explic´o cualitativamente en la secci´on 1.2.1. 10 Cap´ıtulo 2 Modelo hidrodin´amico Existen en la bibliograf´ıa varios modelos te´oricos acerca del comportamiento de un l´ıquido sobre una superficie s´olida. Sin embargo, la mayor parte est´an basados en la resoluci´on de las complejas ecuaciones hidrodin´amicas desde un punto de vista lagrangiano, o en teor´ıas alternativas fundamentadas desde otra perspectiva, como la teor´ıa cin´etica molecular (anexo A), o el modelo de Shikhumurzaev [10]. En cualquier caso, se trata de modelos complejos cuya comprensi´on no est´a al nivel de este proyecto. Debido a ello, se preferi´o construir un sistema de ecuaciones sencillo para estimar con cierta precisi´on la din´amica de una gota de l´ıquido sobre un gradiente del AC est´atico, tanto θacomo θr. Una vez identificados los t´erminos representativos del comportamiento del l´ıquido, se debe estudiar la incorporaci´on de t´erminos de transferencia de energ´ıa y masa, ello enfocado al desarrollo de un sistema de evacuaci´on de burbujas de vapor en un entorno de evaporaci´on (situaci´on inversa a la estudiada por Chaudhury en [4]). Este es el tema de la tesis doctoral donde se contempla el presente trabajo. As´ı, a pesar del buen comportamiento de algunos modelos encontrados, el estudio se centr´o ´unicamente en la teor´ıa hidrodin´amica para modelar el fen´omeno. No obstante, no se descarta una posible mejora del modelo a˜nadiendo t´erminos correspondientes a otros an´alisis desde perspectivas distintas. 2.1. GEOMETR´ IA CIL´ INDRICA Este estudio fue desarrollado por Felipe Mancio como parte de su tesis doctoral. A partir de su trabajo, elaboramos conjuntamente el modelo que ocupan los apartados siguientes. 2.1.1. Definici´on del problema e hip´otesis La resoluci´on de este problema est´a basada en el an´alisis de Brochard con ciertas modificaciones para dotarlo de m´as realismo. As´ı, No se aplican las simplificaciones de ´angulos peque˜nos. El modelo es v´alido para ´angulos de hasta 90o, aunque posteriormente se muestra otra limitaci´on por la que los resultados no son fiables para ´angulos pr´oximos a dicho valor. Se acepta la deformaci´on de la gota al desplazarse a lo largo del gradiente, manteniendo siempre la forma circular del perfil (variaci´on de θs⇒variaci´on de R). Tampoco se considera 11 la inercia suficientemente alta como para deformar el l´ıquido. El l´ıquido est´a confinado por la interfase L/V en una geometr´ıa cil´ındrica de profundidad infinita en el eje yposicionado sobre un gradiente lineal de θsiguiendo la direcci´on x. Para su an´alisis se toma una secci´on del plano x, z, como se muestra en la figura 2.1. Secci´on transversal de una gota cil´ındrica Figura 2.1: Par´ametros de la geometr´ıa cil´ındrica. Puesto que la deformaci´on de la interfase L/V, y en consecuencia tambi´en la superficie S/L , est´a permitida, la posici´on relativa entre los puntos de la LC, AyB, es funci´on del tiempo. La posici´on del centro de masa (xG=xA+xB 2) se calcula en cada instante para obtener la velocidad neta de traslaci´on de la masa l´ıquida. Adem´as, la anchura de la gota viene dada por la diferencia xA−xB, quien est´a relacionada con θd a trav´es del volumen de l´ıquido (ver anexos para detalles dicho c´alculo geom´etrico). ξrepresenta la altura de la gota en cada punto x.θes el AC din´amico, que corresponde a ϕmax.ϕes la coordenada angular en coordenadas cil´ındricas. R0representa el radio de curvatura de la interfase L/V. res la coordenada de los puntos pertenecientes a la interfase S/L, no es coordenada radial en c. cil´ındricas, Res rmax. Las inc´ognitas del problema son: θd(t),xA(t) y xB(t). 2.1.2. Ecuaciones El sistema est´a compuesto por tres ecuaciones: El balance de fuerzas entre FWy la tensi´on de rozamiento viscoso integrado en la base de la gota (ecuaci´on 2.1). Esta ecuaci´on muestra la relaci´on entre θdy la velocidad de los puntos delantero y trasero de la l´ınea de contacto (UA/B =dxA/B dt). La inercia no se incluy´o inicialmente en el balance. Estableciendo el equilibrio de fuerzas en los dos puntos, AyB, separadamente se obtienen dos de las tres ecuaciones necesarias. FvA/B =FWA/B ⇒dxA/B dt 3µln tan θd =γLV (cos θd−cos θA/B) (2.1) 12 La fuerza viscosa es similar a la deducida por Brochard con la salvedad de que no se consideran las simplificaciones de ´angulos peque˜nos. La ecuaci´on de continuidad cierra el sistema (V=cte). El volumen queda relacionado con las inc´ognitas del problema a trav´es de la definici´on geom´etrica del segmento circular (ecuaci´on 2.2). xB(t)−xA(t) = sV8 sin θd(t) 2R(2θd(t)−sin 2θd(t)) (2.2) Derivando esta tercera restricci´on respecto al tiempo, es f´acil relacionar el AC din´amico con la velocidad de los dos puntos de la LC. Sustituyendo entonces la ecuaci´on (2.2) en (2.1) se obtiene la funci´on de θdrespecto al tiempo (velocidad de expansi´on de la gota, dθd dt, impl´ıcitamente relacionada con U), que da la soluci´on al sistema. 2.1.3. Resultados La simulaci´on num´erica fue ejecutada para valores de entrada de 1,5µl de volumen, un gradiente de θAmax = 80oaθAmin = 12ode 1 cm. La velocidad media obtenida se aproxima a 5m/s cuando la hist´eresis no se considera. Si se introduce este t´ermino en el gradiente (h= 5o), la velocidad se reduce hasta 20cm/s, como se ve en la siguiente figura. La gota avanza desde el lado m´as hidr´ofobo del sustrato hacia la zona hidr´ofila, con valores de θmenores, lo cual es l´ogico y corresponde a la intuici´on. Tambi´en se observa un estiramiento de la forma de la interfase L/V debido a la reducci´on del AC din´amico, y al aumento de la distancia entre AyB, en el tiempo. a) Evoluci´on del AC din´amico en el tiempo, siempre mantenido entre los l´ımites de avance y retroceso del punto delantero y trasero de la LC. b) Evoluci´on de la velocidad de traslaci´on neta del l´ıquido con el tiempo. Figura 2.2: Variaci´on de θdyUGen el tiempo de una gota cil´ındrica sobre un gradiente considerando la hist´eresis. 13 2.2. GEOMETR´ IA ESF´ ERICA 2.2.1. Definici´on del problema e hip´otesis Los resultados del an´alisis anterior son coherentes, pero no pueden ser considerados m´as que una aproximaci´on de la realidad, a´un lejos de reproducir el experimento realizado por Chaudhury [2]. En esta secci´on se presenta el fundamento te´orico del modelo construido como objetivo del presente proyecto, el cual considera la situaci´on m´as real y general posible en cuanto a condiciones de trabajo. A continuaci´on se indican las hip´otesis de partida. La fuerza de cohesi´on (ecuaci´on 1.2) es siempre dominante respecto a otras fuerzas actuantes sobre el l´ıquido o las interfases. Por lo tanto, la gota mantiene siempre la geometr´ıa de casquete esf´erico definida por (θd(φ) = constante) a lo largo de la LC. El volumen del l´ıquido no var´ıa durante el movimiento. El sistema se encuentra siempre en la situaci´on de m´ınima energ´ıa superficial, adaptando la forma de las interfases L/V y S/L a esta condici´on. Cabe destacar la consideraci´on de esta ´ultima hip´otesis para el planteamiento del modelo matem´atico. Existen varias propuestas de modelos te´oricos de simulaci´on del comportamiento de una gota de l´ıquido sobre un gradiente del AC. Las expresiones de la fricci´on viscosa son comunes en muchos de ellos, partiendo de los trabajos de Brochard o Subramanian, aunque existen formulaciones alternativas, como la enunciada por Cox [11]. Sin embargo, no hay ning´un modelo que relacione la geometr´ıa esf´erica, m´as realista, con el concepto termodin´amico de energ´ıa libre del sistema. Esta hip´otesis es un rasgo distintivo de nuestro modelo que permite encontrar el valor exacto de la geometr´ıa de la gota en cada punto del gradiente. Los par´ametros e inc´ognitas del sistema son similares al problema anterior salvo que se a˜nade la componente acimutal φrespecto al eje x. La geometr´ıa se presenta en la siguiente figura. Figura 2.3: Secci´on transversal de una gota en geometr´ıa esf´erica (ξ=h). 14 2.2.2. Ecuaciones Geometr´ıa La primera ecuaci´on del sistema es puramente geom´etrica: r2=R02−z2⇒V=ZR0 R0cos θd πr2dz⇒V=R3π 3 sin θd (2 −3cos θd2+ cos θd3) (2.3) En el anexo B.1 se pueden encontrar m´as detalles del c´alculo. Condici´on de m´ınima energ´ıa superficial Una vez que el radio Rha sido directamente relacionado con el AC, la ´ultima hip´otesis planteada define la geometr´ıa del l´ıquido que corresponde a cada posici´on de xG: durante el desplazamiento, la interfase L/V se expande para adaptar su forma a las imposiciones del gradiente hasta encontrar una situaci´on estable, pues en cada posici´on del substrato se ha implementado un valor del AC de equilibrio distinto. La energ´ıa superficial del sistema viene dada por la ecuaci´on (2.4). La expansi´on de la gota implica un incremento de las superficies L/V yS/L, pero la superficie de separaci´on S/V reduce su valor. Por tanto existe un compromiso entre el tama˜no de cada una de las tres interfases para encontrar el punto ´optimo de energ´ıa. Un incremento diferencial del radio de la base implica un cambio en la energ´ıa libre superficial total (G): dG=γLV dALV +γSV dASV +γLSdALS =γLV (cos θs−cos θd)dASL (2.4) El valor m´ınimo de Gse encuentra en el punto donde se anula la primera derivada de la funci´on G respecto al radio R, resultando cos θd=cos θa|xG+ cos θr|xG 2+ψ(θd, xG) 2π(2.5) El ´angulo θdque minimiza la energ´ıa superficial tendr´a un valor comprendido entre θsdel gradiente en el punto By el correspondiente al punto A, como es de esperar, puesto que un valor fuera del rango que abarca la gota carece de sentido. Ser´a la forma del gradiente quien determine si θdtoma un valor de θ(x) m´as pr´oximo a xA, en el caso de un gradiente de pendiente creciente, o a xBen el caso contrario. Sustituyendo una funci´on de R(θd, V ), obtenida a partir de (2.3), en (2.5) se obtiene una expresi´on no lineal que se resuelve num´ericamente en Matlab empleando el m´etodo de Newton-Raphson. Las iteraciones parten del valor θd(i= 0) = cos θa|xG+cos θr|xG 2para cada valor de x. Una vez resuelta la ecuaci´on no lineal ya se dispone de los valores de θdpara cada posici´on xG,ya trav´es de la ecuaci´on (2.3) y un volumen conocido se deducen los radios R(xG). La relaci´on entre la posici´on y el tiempo se establece imponiendo la condici´on de conservaci´on del momento lineal. Mg sin β+FWX+FvX=MdU dt(2.6) 15 Fuerzas La geometr´ıa de la gota ya ha sido relacionada con la posici´on del centro de masa. Es necesario ahora encontrar la funci´on de dicha variable con el tiempo, para ello se estudia el balance de fuerzas (ecuaci´on 2.6) en la direcci´on longitudinal de desplazamiento (−→ x). La gravedad, la fuerza capilar, la fricci´on viscosa y la inercia son los t´erminos considerados que contribuyen al comportamiento de la LC. GRAVEDAD La contribuci´on del peso depende del ´angulo de inclinaci´on β. Al ser negativo, la pendiente del gradiente favorece un desplazamiento positivo deslizando hacia abajo. En caso contrario el l´ıquido es frenado en su ascensi´on sobre el plano inclinado. FUERZA CAPILAR Tal y como se defini´o en la ecuaci´on (1.3), FWsurge a partir de una situaci´on de inestabilidad en el ´angulo de contacto (cos θs6=cosθd). En el experimento de Chaudhury queda explicado c´omo se generaba una situaci´on de inestabilidad en todos los puntos de la LC implementando un gradiente continuo de θ. Para hallar la expresi´on final de la fuerza se toma su proyecci´on en la direcci´on del gradiente puesto que ´esta es la componente que induce traslaci´on neta de la LC. La integral a lo largo de la l´ınea triple (φentre 0 y 2π)1se calcula a continuaci´on con el objeto de estudiar el sistema desde una perspectiva global, al igual que Subramanian (secci´on 1.2.3). FWX= 2 Zπ 0 γLV (cos θs(x)−cos θd)Rcos φdφ(2.7) Los c´alculos est´an desarrollados para un gradiente polin´omico de tercer grado por la versatilidad de estas funciones para componer otras m´as complejas. De esta forma, a partir de este an´alisis se puede abordar cualquier otro tipo de gradiente simplemente aproximando su forma por una suma de polinomios de grado 3. Como resultado, cos θa/r =x3Aa/r +x2Ba/r +xCa/r +Da/r (2.8) H(x) = cos θa(x)−cos θr(x) (2.9) Siendo xla coordenada en el eje xde cada punto de la periferia: x=xG+Rcos φ. De acuerdo con la definici´on de fuerza capilar, la diferencia entre el AC est´atico y el din´amico se analiza en cada punto de la periferia. La hist´eresis (H) se tiene en cuenta suponiendo que la mitad derecha de la gota es gobernada por θdA, puesto que esta zona de la LC siempre avanza, y el lado izquierdo controlado por θdR, ya que esta parte retrocede en el eje x. En la figura 2.4 de la izquierda se muestran los valores del AC est´atico marcados por el gradiente en cada posici´on, asi como el AC din´amico ´optimo hallado en el apartado anterior (para un gradiente lineal con las pendientes de θayθriguales, el ´angulo ´optimo coincide con el valor del gradiente en xG). 1Debido a la simetr´ıa del problema, los l´ımites de integraci´on comprenden ´unicamente φ∈ {0, π}. Si el problema es dividido en dos mitades, las fuerzas actuantes en cada parte ser´an completamente equivalentes puesto que las condiciones en ambos lados son las mismas. 16 Figura 2.4: Regi´on de la LC cuyo AC din´amico est´a comprendido en la hist´eresis. Es importante comprender qu´e ocurre en la regi´on en el centro de la gota donde θa< θd< θr (regi´on sombreada). A partir de lo explicado anteriormente, y de la figura 1.5 a), se deduce que los puntos de la LC en esta zona no experimentan movimiento. Sin embargo, seg´un la definici´on de la FW, y considerando las zonas cuyo AC est´atico es el de avance y cu´ales el de retroceso, los valores obtenidos de la fuerza capilar en esta regi´on son negativos (representados por las flechas negras). Las flechas rojas indican la fuerza en sentido positivo en el resto de la LC. Lejos de desechar este resultado, se ha interpretado globalmente como la resistencia a la fuerza motriz, actuante en una parte de la LC, ejercida por la porci´on de l´ıquido sin movimiento neto de fluido, es decir a causa de la hist´eresis. As´ı pues, la din´amica de la gota est´a controlada por el desequilibrio entre FWy su opuesta en la zona de hist´eresis: cuando la primera es mayor que la segunda, la diferencia es positiva y LC se mueve siguiendo el gradiente arrastrando al l´ıquido a causa de la cohesi´on. En caso contrario, cuando el valor de FWde la regi´on de hist´eresis sea mayor que la fuerza motriz, la gota permanecer´a en la misma posici´on. Desde este punto de vista la hist´eresis se considera como un umbral a superar por la fuerza capilar positiva que var´ıa con el volumen o la pendiente del gradiente (ver secci´on 1.2.4). Esta interpretaci´on se asemeja a la fuerza de fricci´on por el rozamiento entre dos superficies s´olidas: existe un l´ımite m´aximo de fuerza dado por la rugosidad de las superficies y la fuerza perpendicular de la una sobre la otra (fuerza de fricci´on = fuerza normal ·coeficiente de rozamiento). No obstante, dicha fuerza resistiva tomar´a s´olo aquel valor que compense a una fuerza externa que tienda a deslizar una de las superficies sobre la otra, alcanzando un l´ımite m´aximo por encima del cual puede ser superada para poner el sistema en movimiento. En este modelo se ha seguido el mismo argumento para dar una formulaci´on matem´atica a la hist´eresis sin aplicar otras teor´ıas. La expresi´on final obtenida para FWrelaciona los coeficientes del gradiente con los par´ametros geom´etricos de la gota, como θd(ecuaci´on 2.3). As´ı, FW=γLV R2cos(θaxG)−cos(θrxG)+ψF(2.10) 17 FUERZA VISCOSA El l´ıquido experimenta una tensi´on de rozamiento con la superficie s´olida durante su deslizamiento. El valor de esta fuerza resistiva es directamente proporcional a la velocidad de desplazamiento. Dos t´erminos viscosos se calculan de forma distinta para comparar los resultados de la simulaci´on: por un lado se toma la expresi´on de tensi´on de fricci´on desarrollada por Brochard, siendo su principal caracter´ıstica la aproximaci´on ξ≈(R−r) tan θd, discutida m´as adelante. El segundo t´ermino alternativo de esfuerzo viscoso se obtiene a partir de un desarrollo matem´atico riguroso dado por Subramanian et al [9]. Ambos autores coinciden en que el perfil de velocidades en el seno del l´ıquido corresponde al de tipo Poiseuille, partiendo de un punto com´un. τxyz=0 =−η∂ux(z, t) ∂z z=0 =−3ηU h(x, y)yFv=Z ZΩ τxyz=0dΩ (2.11) Aproximaci´on de Brochard. En este trabajo, la altura de la gota (ξ) se presenta como una funci´on simple del AC suponiendo que la dimensi´on vertical es varios ´ordenes de magnitud inferior a la horizontal (ξ << R). Esta afirmaci´on es ´unicamente respetada si θdtiene un valor muy reducido. La altura se expresa como ξ(x, y)≈Rtan θ. Para adaptar este t´ermino a situaciones m´as generales, sin la restricci´on de ´angulos peque˜nos, se incluye el par´ametro pque representa el porcentaje del radio medido desde la LC donde la aproximaci´on de la altura es v´alida: cuanto mayor es θd, mayor es p.2 Los l´ımites de c´alculo de la integral han sido modificados para una formulaci´on de la fuerza m´as correcta. Adem´as, atendiendo a la ecuaci´on (2.11), se estima una disipaci´on viscosa m´as intensa para alturas menores, lo que justifica el c´alculo de la disipaci´on viscosa total ´unicamente en la zona pr´oxima a la LC (Rmin =R(1 −p), Rmax =R(1 −)), como describe Brochard en su an´alisis. Fvx=Z2π 0ZR(1−) R(1−p)−3ηvx rdrdφ (R−r) tan θd (2.12) Donde se distinguen dos contribuciones a la velocidad de la LC: −→ v=∂R ∂t −→ er+U−→ ex La primera corresponde a la componente longitudinal de la velocidad de expansi´on de la LC. La segunda es propiamente la velocidad neta de desplazamiento proyectada en x. Fvx=−dx dt 6Rπη tan θdln  p+p−(2.13) Expresi´on de Subramanian. La funci´on de la altura en relaci´on con θdy la coordenada radial (−→ r) se deduce de la figura 2Sin embargo, su valor se considera constante durante el movimiento y expansi´on de la gota, por lo que su dependencia de θy la posici´on xno se tiene en cuenta en el modelo. 18 2.3.La simetr´ıa respecto al eje zse tiene en cuenta, siendo la funci´on anterior independiente de φ. ξ(r) = pR2(csc θd)2−r2−Rcot θd(2.14) Sustituyendo la expresi´on anterior en la ecuaci´on (2.11), se obtiene Fvx=−6πηUR[G(θ, 1−)−G(θ, 0)] (2.15) An´alisis dimensional Antes de la interpretaci´on y discusi´on de los resultados de la simulaci´on, se busca una condici´on o restricci´on de validez del modelo. Es obvio que dicha condici´on est´a relacionada con las hip´otesis supuestas para elaborar el modelo enunciadas al comienzo de esta secci´on (secci´on 2.2.1). Puesto que la segunda se cumple siempre, consideremos aquella que afirma la superioridad de la fuerza de cohesi´on sobre el resto de fuerzas (FW,FvyFg). La ecuaci´on (1.2) hace referencia a dicha fuerza por unidad de superficie actuando en la interfase L/V. Si esta expresi´on es integrada en la totalidad de la superficie L/V de la gota con geometr´ıa esf´erica se obtiene la siguiente funci´on: Fc=Zθd 0Z2π 0 2γLV R0R0sin θdφR0dθ=γLV 4πR(cos θd−1) sin θd (2.16) Las ecuaciones de la fuerza capilar (ecuaci´on 2.10) y viscosa (ecuaci´ones 2.13 y 2.15) son comparadas con Fc. El an´alisis de FW FcyFv Fces ´util para establecer un rango de valores de los par´ametros del sistema que aseguran la validez del modelo. FW Fc << 1 (2.17) Este t´ermino se eval´ua para un amplio rango de valores del gradiente de AC. Otra condici´on puede extraerse de la comparaci´on con la tensi´on de rozamiento viscoso. Aunque las dos expresiones consideradas (provenientes de los an´alisis de Brochard y Subramanian) parecen diferir bastante, el significado y los resultados obtenidos son similares en orden de magnitud. Fv Fc << 1 (2.18) 19 los datos experimentales. Figura 3.10: Evoluci´on de las fuerzas respecto al tiempo en las condiciones de Chaudhury 2002 [3]. (Zoom sobre los primeros instantes) No obstante, la comparativa anterior es una prueba clara de que el modelo no es fiable en todos los casos, por lo que urge definir, al menos, un m´etodo para estimar las condiciones de trabajo que configuren cada uno de los siguientes posibles escenarios iniciales: Desplazamiento hacia el lado hidr´ofilo siguiendo el gradiente si ´este es muy acusado, evitando la retenci´on de la gota por la histeresis y venciendo la gravedad. Situaci´on est´atica de la LC debido a que una gran parte de la base del l´ıquido est´a en la zona de hist´eresis de AC. Situaci´on de equilibrio est´atico donde las fuerzas se compensan sin retenci´on de la hist´eresis. 3.3. REFLEXI´ ON SOBRE LA HISTERESIS En toda la bibliograf´ıa consultada sobre experimentos de movimiento de gotas sobre un plano inclinado o un gradiente del AC, aparece el problema de la hist´eresis (secci´on 1.2.4). Sin embargo, no existe a´un una explicaci´on f´ısica consistente y universalmente aceptada sobre su naturaleza. Cuando se inclina un substrato s´olido, sobre el cual se deposita una gota suficientemente peque˜na como para que la cohesi´on imponga forma de casquete esf´erico, el l´ıquido parece no sentir la atracci´on de la gravedad hasta un determinado ´angulo β. Se considera que este efecto ocurre en la LC, y es ´esta, junto a la cohesi´on, quien retiene la masa de l´ıquido. Por lo tanto, se tiende a relacionar la hist´eresis con la capilaridad, donde interviene θd. Planteando la din´amica del sistema de la figura se constata la falta de un t´ermino de fuerza para completar el balance: ¿Qu´e fuerza compensa la atracci´on de la gravedad en una gota de l´ıquido est´atica sobre un plano inclinado, sin gradiente de AC, si ΣF= 0 dentro del rango de hist´eresis como fue afirmado por De Gennes [17]? Actualmente existen pocas investigaciones que traten o incluyan la hist´eresis en su estudio. H.B. Eral [20], A. Marmur [21] y M.E.R. Shanahan [22] tratan la hist´eresis como una barrera de energia del sistema. En el modelo presentado en el cap´ıtulo anterior se ha tomado una consideraci´on similar, es decir, un umbral de fuerza resistiva que vencer en funci´on del tama˜no de la gota y el gradiente 26 Figura 3.11: Equilibrio est´atico de una gota sobre un plano inclinado. de θ(secci´on 2.2.2). Este trabajo no alcanza una reflexi´on m´as profunda sobre el fen´omeno por su complejidad y amplitud. A´un as´ı, ser´ıa interesante encontrar de forma precisa las condiciones de trabajo l´ımite que configuren situaciones a ambos lados del umbral. El primer objetivo buscado es un valor cr´ıtico de hist´eresis que diferencie los dos escenarios. El punto de partida del razonamiento es la ecuaci´on de FW: puesto que se interpreta la hist´eresis como una fuerza resistiva, se procede a calcular la pendiente m´axima del gradiente para un determinado RyHque anula la fuerza motriz en la LC no comprendida entre la hist´eresis. Para simplificar el c´alculo, se trabaja para gradientes de θay de θrlineales y paralelos. FW=γLV R2Cπ −H(x)2γLV R= 0 ⇔C=2H(x) Rπ (3.2) Donde H(x) = cos θr(x)−cos θa(x) = Dr−Da. Ello implica que Hsea siempre positiva y constante a lo largo de x, pues los gradientes son paralelos. La siguiente igualdad garantiza que la fuerza motriz a lo largo de la LC es mayor que la resistencia ejercida por la regi´on comprendida en la hist´eresis. C > H2 Rπ (3.3) Una vez hallada la relaci´on entre la pendiente m´ınima del gradiente y el tama˜no de la gota, se pasa a considerar los tres posibles comportamientos cuando la gravedad entra en juego: FW> Fg→El l´ıquido asciende la pendiente. FW=Fg→El l´ıquido se encuentra en otra situaci´on est´atica de equilibrio. FW< Fg→El l´ıquido es arrastrado por la gravedad en sentido contrario al gradiente. Donde FW=CπR2γLV −γLV 2RH (3.4) Fg=Mg sin β(3.5) La fricci´on viscosa no aparece en el balance de fuerzas ya que s´olo se plantea la din´amica del instante inicial t= 0. 27 A partir de la definici´on de cada t´ermino de fuerza se establece el balance donde encontrar la relaci´on entre Cy el resto de par´ametros (RyH) que distingue las tres situaciones planteadas. La figura a continuaci´on muestra gr´aficamente los valores de los par´ametros que caracterizan dichos escenarios. Figura 3.12: Regiones de desplazamiento hacia arriba, hacia abajo y no movimiento para una gota de 1.5 µl y tres valores de θd: 90o, 60oy 30o.β= 15o. La l´ınea roja representa la condici´on 3.3, la cual distingue entre dos escenarios: si es respetada, la pendiente del gradiente permite que la FWtotal sea positiva y la gota es controlada por el balance de fuerzas. En caso contrario el l´ıquido es retenido por no existir una fuerza capilar positiva suficientemente alta como para contrarrestar la hist´eresis (figura 2.4), en el caso extremo todos los puntos de la LC est´an dentro del rango [θr, θa]. La l´ınea negra representa el equilibrio de fuerzas entre la gravedad y la capilaridad. Cualquier valor de Csobre este l´ımite implica un movimiento de ascensi´on a causa de FW> Fg. Si el valor de Ces inferior al marcado por el umbral del equilibrio din´amico, la gravedad es mayor y el l´ıquido es arrastrado por ella. Cada punto de esta l´ınea cumple el balance de fuerzas, y pertenece al equilibrio, por lo que la gota se encuentra en una situaci´on est´atica. Es importante distinguir las dos causas de no movimiento: hist´eresis y ΣF= 0. Esta figura refuerza la idea explicada en la secci´on 1.2.4 que afirma que una reducci´on del AC din´amico implica tambi´en una menor pendiente del gradiente para vencer la hist´eresis. La explicaci´on es simple: un menor θdnecesita mayor radio para conservar el volumen de l´ıquido, as´ı aumenta la diferencia entre el valor de cos(θ) en los extremos de la LC (cos θalim −cos θrlim ). Para comprender mejor esta representaci´on, se presenta a continuaci´on un breve an´alisis de los valores de los par´ametros de la gr´afica. La pendiente del gradiente se expresa en [1/m] puesto que es una funci´on lineal del cos(θ). cos(θ) = CxG+D; ∆ cos(θ) = CxG−CxG0=CxG 28 Por otro lado, tanto en las simulaciones como en los experimentos en que se basa el trabajo [2], [3] xG= 10−2m. El rango de valores posibles de C est´a entonces entre 0 y 100. La hist´eresis se toma como la diferencia de cosenos. Este valor no es tan intuitivo como h=θa−θr, sin embargo el c´alculo se simplifica notablemente. Dada la forma de la funci´on cos(θ) un valor de Hno implica el mismo hcualesquiera que sean los valores de θ: cos(30) −cos(40) ≈0,1 cos(70) −cos(80) ≈0,17 Los valores m´ınimos de hist´eresis logrados en una superficie con tratamientos superficiales especiales son cercanos a h= 10o, o ligeramente inferiores. Para superficies lisas con baja rugosidad, como una placa de metal, pero sin pulir, la histeresis supera h= 20o. Seg´un esto, y observando la figura 3.12, se comprende la dificultad de dise˜nar experimentos para estudiar el problema enunciado en la figura 3.3 sobre el efecto de la hist´eresis en gotas relativamente peque˜nas (V∼µL) sobre un plano inclinado: para superficies relativamente hidr´ofobas (θ∼60o−50o), una hist´eresis de 10oimplica H= 0,15, siendo necesario un gradiente pr´acticamente de 100o/cm para vencer 15ode pendiente. En el caso de una superficie m´as hidr´ofila (gr´afico de la derecha) el mismo valor de hequivale aproximadamente a H= 0,1 y basta con una pendiente de 40 −50m−1para poder identificar los tres escenarios. 29 Conclusiones y trabajo futuro En primer lugar, conviene se˜nalar el punto de vista global desde el cual se ha enfocado el an´alisis matem´atico del modelo. Esta perspectiva ha permitido un an´alisis m´as intuitivo del problema facilitando el planteamiento de las ecuaciones e hip´otesis. La geometr´ıa de casquete esf´erico es una hip´otesis interesante del modelo, la cual permite simular situaciones reales siempre que se cumpla el criterio de la fuerza de cohesi´on, lo cual es siempre respetado en condiciones de micro-gravedad y escala reducida (del orden de 10−6−10−7m). En general, el modelo presentado tiene en cuenta numerosos factores con el prop´osito de simular diversas condiciones de trabajo, aunque en algunos casos las estimaciones no son pr´oximas a las observaciones experimentales. A pesar de ello, ciertas ambig¨uedades pueden ser aclaradas mediante la representaci´on de los valores l´ımite de C,Hyθdque inducen movimiento al sistema. Estos resultados pueden ser realmente ´utiles para el dise˜no de experimentos encaminados a la verificaci´on del modelo. Las aproximaciones de la teor´ıa de lubricaci´on proporcionan unos resultados precisos y ajustados a la realidad en algunos casos. Sin embargo, la existencia de la singularidad matem´atica en el c´alculo de la fuerza viscosa, y la falta de sentido f´ısico de la soluci´on tomada, pueden verse como un fen´omeno intr´ınseco a la LC de naturaleza no abordable desde los postulados de la hidrodin´amica cl´asica. Esto es precisamente a lo que pretenden dar una explicaci´on teor´ıas alternativas como MKT. No obstante, las ecuaciones planteadas por sus defensores contemplan exclusivamente una zona local de la LC, no una masa de l´ıquido en su conjunto. Queda un horizonte muy amplio de posibilidades para conjugar distintos puntos de vista en el mismo modelo y poder simular una versi´on m´as realista de los experimentos. En relaci´on a las posibles v´ıas de investigaci´on futuras para completar el trabajo, se presenta un esquema de los puntos m´as relevantes: Introducir la hist´eresis como una condici´on de tipo booleano en el c´odigo de c´alculo para discriminar todas las situaciones en que la fuerza capilar tenga valor negativo. De esta manera se evitan datos carentes de sentido f´ısico en la simulaci´on. Estudiar el fen´omeno de la hist´eresis y proponer un modelo preciso en base a las ecuaciones f´ısicas que la justifican. Inclusi´on de t´erminos de transferencia de masa y energ´ıa en el modelo para estudiar el comportamiento conjunto de estos fen´omenos. Finalmente aplicar los resultados num´ericos al dise˜no y mejora de sistemas de intercambio de calor. 30 Bibliograf´ıa [1] Richard Fitzpatrick, The University of Texas at Austin. (http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336L/Fluidhtml/node48.html) [2] M.K. Chaudhury, G.M. 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En menor medida, la ingenier´ıa de la transferencia de calor se ha servido de las investigaciones en este campo para trabajar con flujos bif´asicos. Por todo ello han surgido diferentes v´ıas de estudio de estos fen´omenos con el prop´osito de concluir una teor´ıa s´olida y lo m´as global posible. El punto de vista m´as cl´asico es el correspondiente a la teor´ıa hidrodin´amica, y su soluci´on particular basada en las hip´otesis de lubricaci´on como queda explicado anteriormente. La escasez de interpretaciones f´ısicas de la singularidad matem´atica encontrada provocan cierto rechazo a la aceptaci´on completa de dicha teor´ıa. En este contexto, la MKT (“Molecular kinetic theory”) constituye una de las alternativas con mayor n´umero de defensores en la comunidad cient´ıfica. Introducci´on te´orica Blake [12], [13] propuso abordar un estudio de dichos fen´omenos con un car´acter fuertemente estad´ıstico basado en las investigaciones de Frenkel y Eyring sobre flujos fluidos desde la escala molecular. B´asicamente, la porci´on de l´ıquido cercana a la LC, donde confluyen las tres fases, se ve como el ´angulo formado por una capa extremadamente fina de mol´eculas del l´ıquido y el sustrato sobre el que se encuentran. Debido a la energ´ıa interna de dichas part´ıculas, ´estas vibran alterando su posici´on constantemente sobre el s´olido, el cual es visto como una distribuci´on de sitios de menor potencial que otros. Estos ´ultimos constituyen las posiciones de equilibrio o puntos de adsorci´on, entre las que se mueven las mol´eculas del l´ıquido. λes el par´ametro que define la densidad de estos puntos sobre la superficie s´olida. La LC est´a configurada por las mol´eculas terminales del l´ıquido, esto es la capa de mol´eculas sobre los puntos estables del sustrato colindantes con las part´ıculas gaseosas en contacto tambi´en con el s´olido. La estabilidad de la l´ınea triple est´a determinada por la energ´ıa t´ermica de las mol´eculas que la componen. Su valor les permitir´a, o no, superar la barrera de energ´ıa donde est´an confinados y desplazarse hasta otro punto de adsorci´on. Blake parte de una expresi´on similar a la ley de Arrhenius para expresar la cin´etica de movimiento molecular en funci´on de la energ´ıa de propia de la mol´ecula y de su posici´on (ecuaci´on 1.3). U=2κBTλ ηLvL exp −γLV (1 + cos θ0) nκBTsinh γLV 2nκBT(cos θ0−cos θd)(A.1) 34 Ues la velocidad de la LC. Al contrario que en los an´alisis de Brochard o Subramanian, la MKT considera la expansi´on de la gota sobre la superficie, lo cual est´a directamente relacionado con la deformaci´on de la misma. Por tanto, Use refiere a la evoluci´on en el tiempo del radio de la periferia que forma la LC (U≡dR(t) dt ). κBes la constante de Boltzmann, Tla temperatura del l´ıquido. vLes el volumen molecular del fluido. ηLrepresenta la viscosidad del fluido, tambi´en definida a partir de conceptos de cin´etica molecular. La naturaleza de esta propiedad es atribuida a la existencia de una barrera de energ´ıa entre dos planos de mol´eculas contiguos y paralelos que dificulta que uno de ellos deslice sobre el otro. Cuando una de estas capas es forzada a desplazarse, las mol´eculas de dicho plano avanzan de forma discreta ocupando ´unicamente las posiciones de equilibrio del plano contiguo con el que est´an en contacto. En esta situaci´on es evidente que se necesita un exceso de energ´ıa para modificar la posici´on de dicho plano. Esta idea fue originalmente desarrollada por Frenkel [14] y posteriormente tomada por Blake para equilibrar la fuerza motriz del sistema desde un punto de vista com´un. Los dos t´erminos de la ecuaci´on de velocidad, tanto el exponencial primero como el seno hiperb´olico despu´es, se interpretan como. El trabajo de adhesi´on del s´olido (Wa=γLV (1 + cos θ0)) es definido por el ahorro de energ´ıa que supone, o no, al l´ıquido el mojar una unidad de superficie adicional de sustrato en comparaci´on con la situaci´on en que ´esta permanece seca. La fuerza capilar (ecuaci´on 1.3) es proporcional a la diferencia entre el ´angulo de contacto de equilibrio y el nuevo valor inestable al que se le ha forzado a llegar (θd). Comparaci´on con otras teor´ıas. Existen numerosos ensayos experimentales para contrastar las predicciones de la teor´ıa hidrodin´amica y de la ´ultima comentada, MKT. El propio Blake representa la dependencia de la velocidad respecto a θdpara un amplio rango de valores de U, en algunos casos y en otras ocasiones empleando el n´umero Capilar (Ca =ηU/γLV <1)[13]. Para Ca peque˜nos, se observa un mejor ajuste de las estimaciones de la MKT para l´ıquidos con baja viscosidad. Sin embargo, Blake afirma que la teor´ıa hidrodin´amica podr´ıa proporcionar mejores resultados incluyendo un t´ermino definido por Cox [11] que relaciona la viscosidad de la fase l´ıquida y la gaseosa. Por otro lado, MKT subestima la velocidad de la LC respecto a los datos experimentales en el caso de AC cercanos a 180o. Otra conclusi´on interesante de la comparaci´on entre ambas teor´ıas se muestra en los experimentos de Petrov y Petrov, donde se expone un modelo combinado de los conceptos presentes en las dos [15]. Una funci´on cubica de θes obtenida a partir del balance entre el t´ermino viscoso propuesto por Cox [11] y FWasumiendo ∼0 para simplificar. El sistema es cerrado con una ecuaci´on similar a la propuesta por Blake en la MKT, ecuaci´on A.1. Los datos experimentales son representados junto a las estimaciones te´oricas mostrando un razonable comportamiento del modelo en la mayor parte de los casos. As´ı, una combinaci´on de las dos teor´ıas presentadas anteriormente permite un c´alculo m´as preciso y pr´oximo a las observaciones experimentales. No obstante, el objeto de estudio es el movimiento de la LC de una regi´on aislada del sistema, no de una gota de l´ıquido en su totalidad, y las fuerzas consideradas act´uan ´unicamente en la interfase S/L o la l´ınea triple.De Gennes [17] y posteriormente 35 FW= 2γLV sin φ π/2 0Aax3 G+Bax2 G+CaxG+Da−cos θdR−sin φ π π/2RArx3 G+Brx2 G+CrxG+Dr−cos θd +φ/2+sin φcos φ π/2 0Aa3x2 GR2+2BaxGR2+R2Ca+φ/2+sin φcos φ π π/2Ar3x2 GR2+2BrxGR2+R2Cr +1 129 sin φ+ sin 3φ π/2 0R3Aa3xG+Ba+1 129 sin φ+ sin 3φ π π/2R3Ar3xG+Br +AaR4 32 12φ+ 8 sin 2φ+ sin 4φ π/2 0+ArR4 32 12φ+ 8 sin 2φ+ sin 4φ π π/2 La expresi´on se simplifica bastante al anularse ciertos t´erminos: FW= 2γLV sin φ π/2 0Aax3 G+Bax2 G+CaxG+Da−cos θdR−sin φ π π/2RArx3 G+Brx2 G+CrxG+Dr−cos θd +φ/2 π/2 0Aa3x2 GR2+ 2BaxGR2+R2Ca+φ/2 π π/2Ar3x2 GR2+ 2BrxGR2+R2Cr +1 129 sin φ+ sin 3φ π/2 0R3Aa3xG+Ba+1 129 sin φ+ sin 3φ π π/2R3Ar3xG+Br+ AaR4 32 12φ π/2 0+ArR4 32 12φ π π/2 Finalmente la ecuaci´on (2.10) resulta del ´ultimo pase del desarrollo: la evaluaci´on de las funciones trigonom´etricas entre los l´ımites de integraci´on. ψF=Aa3 2πRx2+ 4xR2+R312π+BaπRx +4 3R2+CaRπ 2+ +Ar3 2πRx2−4xR2+R312π+BrπRx −4 3R2+CrRπ 2 42