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Proyecto Fin de Carrera Estudio de la distribución de tensión frente a impulso tipo rayo en un transformador seco de potencia Autor Carlos Roy Martín Director Angel Antonio Bayod Rújula Ingeniería Industrial – Mención Sistemas Eléctricos Departamento de Ingeniería Eléctrica Escuela de Ingeniería y Arquitectura Junio 2014 - 1 - Quiero agradecer la ayuda que me han prestado mis compañeros de trabajo en ABB. Aunque mencionando a alguien soy injusto con los demás, sería más injusto si no se lo agradeciera en especial a Antonio Nogués. - 2 - Estudio de la distribución de tensión frente a impulso tipo rayo en un transformador seco de potencia RESUMEN El trabajo ha consistido en calcular la distribución de tensión ante un impulso tipo rayo en los arrollamientos de un transformador seco de 1600 kVA de potencia con relación de transformación 20.000 / 725 V y en comprobar si el cálculo es correcto midiendo la distribución de tensión real. En primer lugar se han calculado mediante FEM (método de los elementos finitos) las capacidades e inductancias que forman el circuito equivalente del arrollamiento de AT (alta tensión). Se han resuelto dos modelos, ambos a una frecuencia de 50 Hz: uno eléctrico, realizado con ElecNet, para obtener las capacidades y otro magnético, mediante MagNet, para calcular las inductancias. Para tener una idea de la complejidad de cada modelo, el eléctrico está formado por unos 30 elementos y el magnético por más de 1000 espiras. Para detectar posibles errores, los resultados de la simulación FEM se han cotejado con los obtenidos mediante cálculo manual aproximado a partir de expresiones analíticas. En segundo lugar, con los valores obtenidos mediante FEM se ha ensamblado el circuito equivalente del arrollamiento de AT, formado por unos 300 elementos, y se ha resuelto con el programa de simulación de circuitos PSPICE, empleando como excitación un impulso tipo rayo. Esta primera simulación del circuito no es el resultado final, tan sólo se emplea para obtener la frecuencia natural del arrollamiento. Esta a su vez es necesaria para calcular los valores de las resistencias del circuito equivalente, que se obtienen mediante una nueva simulación FEM magnética resuelta esta vez a la frecuencia natural. Finalmente, se ha obtenido la distribución de tensión ante un impulso tipo rayo en el arrollamiento de AT resolviendo de nuevo su circuito equivalente con PSPICE, que ahora incluye las resistencias que se acaban de obtener. Se ha fabricado un arrollamiento de AT igual al que se ha simulado para medir la distribución de tensión con un generador de impulso de baja tensión y un osciloscopio, comparándola con el cálculo. Este trabajo (simulación FEM para obtener los valores de las capacidades e inductancias, cálculo aproximado para cotejar los resultados, resolución del circuito equivalente con PSPICE para obtener la frecuencia natural, nueva simulación FEM a esta frecuencia para calcular las resistencias, resolución final del circuito equivalente para obtener la distribución de tensión y medida de la distribución real) se ha realizado también para el arrollamiento de BT (baja tensión). Este caso no es una mera repetición del primero, ya que cada arrollamiento está fabricado con una tecnología diferente y, por lo tanto, tienen circuitos equivalentes diferentes. Durante la medida del arrollamiento de BT el generador de impulso se averió. Para no retrasar el proyecto se ha diseñado y construido un nuevo generador con suficiente capacidad como para ensayar este arrollamiento. La distribución de tensión simulada es muy similar a los valores que se han medido: la exactitud para el arrollamiento de BT ha sido excelente, mientras que para el de AT la diferencia ha sido algo mayor. - 3 - INDICE DE CONTENIDOS 1. Introducción ................................................................................................................................................. 5 2. Origen de las sobretensiones de alta frecuencia que afectan a los transformadores ......................... 7 3. Distribución de tensión en un arrollamiento ante transitorios de alta frecuencia .............................. 9 3.1.Circuito equivalente a alta frecuencia de un transformador .............................................................. 9 3.2.Distribución de tensión inicial, transitoria y final ............................................................................... 10 4. Estado del arte en arrollamientos para mejorar su comportamiento ante sobretensiones de alta frecuencia ................................................................................................................................................... 12 4.1.Aislamiento reforzado .......................................................................................................................... 12 4.2.Aros de guarda ...................................................................................................................................... 13 4.3.Arrollamientos entrelazados ................................................................................................................ 13 4.4.Arrollamientos con espiras de apantallamiento ................................................................................ 14 5. Método seguido en la simulación ............................................................................................................ 15 6. Simulación de la distribución de tensión en el arrollamiento de alta tensión ................................... 17 6.1.Características y geometría del arrollamiento ................................................................................... 17 6.2.Cálculo del circuito equivalente .......................................................................................................... 18 6.3.Resultado de la simulación .................................................................................................................. 21 7. Simulación de la distribución de tensión en el arrollamiento de baja tensión .................................. 22 7.1.Características y geometría del arrollamiento ................................................................................... 22 7.2.Cálculo del circuito equivalente .......................................................................................................... 22 7.3.Resultado de la simulación .................................................................................................................. 24 8. Medida de la distribución de tensión mediante generador de impulso recurrente .......................... 25 8.1.Montaje experimental .......................................................................................................................... 25 8.2.Resultado de las medidas en el arrollamiento de alta tensión ......................................................... 26 8.3.Resultado de las medidas en el arrollamiento de baja tensión ........................................................ 27 9. Comparación simulaciones vs medidas .................................................................................................. 28 10. Conclusiones ............................................................................................................................................ 30 11. Bibliografía ............................................................................................................................................... 31 - 4 - ANEXO 1. Cálculo aproximado de los elementos de circuito en el arrollamiento de alta tensión ....... 32 1.1. Capacidad entre espiras ..................................................................................................................... 32 1.2. Capacidad entre discos ....................................................................................................................... 32 1.3. Capacidad a tierra ............................................................................................................................... 33 1.4. Autoinductancia de un disco ............................................................................................................. 34 1.5. Inductancia mutua entre discos ........................................................................................................ 35 1.6. Resistencia serie ................................................................................................................................. 36 ANEXO 2. Cálculo FEM de los elementos de circuito en el arrollamiento de alta tensión .................... 40 2.1. Capacidad entre espiras ..................................................................................................................... 40 2.2. Capacidad entre discos y a tierra ...................................................................................................... 41 2.3. Autoinductancia e inductancia mutua entre discos ......................................................................... 44 2.4. Resistencia serie ................................................................................................................................. 47 ANEXO 3. Cálculo aproximado de los elementos de circuito en el arrollamiento de baja tensión ...... 49 3.1. Capacidad entre espiras ..................................................................................................................... 49 3.2. Autoinductancia e inductancia mutua entre espiras ....................................................................... 50 3.3. Resistencia serie ................................................................................................................................. 52 ANEXO 4. Cálculo FEM de los elementos de circuito en el arrollamiento de baja tensión ................... 54 4.1. Capacidad entre espiras ..................................................................................................................... 54 4.2. Autoinductancia e inductancia mutua entre espiras ....................................................................... 56 4.3. Resistencia serie ................................................................................................................................. 58 ANEXO 5. Generadores de impulso tipo rayo ............................................................................................. 59 5.1. Generador de alta tensión ................................................................................................................. 59 5.2. Generador recurrente de baja tensión Haefely RSG-482 ................................................................ 61 5.3. Generador recurrente de baja tensión de construcción propia ..................................................... 62 ANEXO 6. Formas de onda simuladas y medidas en el arrollamiento de alta tensión .......................... 64 6.1. Tensiones a tierra ............................................................................................................................... 64 6.2. Tensiones entre discos ....................................................................................................................... 69 ANEXO 7. Formas de onda simuladas y medidas en el arrollamiento de baja tensión ......................... 74 7.1. Tensiones a tierra ............................................................................................................................... 74 7.2. Tensiones entre discos ....................................................................................................................... 79 - 5 - 1. INTRODUCCION El problema de las sobretensiones transitorias en los transformadores lleva siendo un tema de interés desde hace más de un siglo, como lo atestigua la abundante bibliografía existente que empieza con el desarrollo de las primeras líneas aéreas y sigue hasta hoy. El problema es complejo porque no se conoce la forma y el número de las sobretensiones a las que el transformador se verá expuesto. Además, buena parte de los transformadores de potencia son diseños únicos y, por lo tanto, su respuesta ante una misma sobretensión es diferente. El problema también se puede ver agravado por fenómenos de resonancia, tanto entre el transformador y la red como en los propios arrollamientos. Si se tiene en cuenta que un transformador es uno de los elementos más costosos del sistema eléctrico y que su avería también acarrea costes por interrupción del suministro, se comprende el grado de fiabilidad que se le exige a su aislamiento. Y aunque es cierto que existen sistemas de protección frente a las sobretensiones, su uso no garantiza completamente la ausencia de fallos. El primer paso para definir el aislamiento es conocer la tensión que debe soportar; éste valor es evidente a bajas frecuencias, pero debe calcularse en el caso de sobretensiones transitorias de alta frecuencia. El objetivo de este proyecto es calcular la distribución de tensión en los arrollamientos de un transformador seco de potencia cuando se ve afectado por un impulso tipo rayo 1.2/50 μs. En concreto se va a simular una fase de un transformador trifásico de 1600 kVA de potencia con relación de transformación 20.000 / 725 V. Su arrollamiento de AT es de tecnología de discos mientras que el de BT es de banda, de modo que es de esperar que su respuesta sea diferente y, por lo tanto, el cálculo se hará en ambos arrollamientos. La forma en la que se aborda el problema consiste en obtener el circuito equivalente de alta frecuencia de cada arrollamiento para así poder calcular las tensiones a tierra que aparecen cuando una sobretensión alcanza el transformador. Para lograr este objetivo se sigue el siguiente esquema: -Cálculo de los elementos del circuito equivalente del arrollamiento mediante expresiones aproximadas. Este cálculo solamente se emplea para cotejarlo con la solución del mismo problema mediante FEM que se hace posteriormente. -Cálculo de los mismos elementos del circuito equivalente anterior, pero ahora mediante FEM. Se emplean los programas de simulación ElecNet, para el cálculo eléctrico, y MagNet para el magnético. -Ensamblaje del circuito equivalente del arrollamiento, empleando los valores de los elementos de circuito calculados mediante FEM, y obtención de su respuesta ante un impulso tipo rayo. Se emplea el programa de simulación de circuitos eléctricos PSPICE. -Medida de la distribución de tensión en un arrollamiento igual al que se ha simulado. Se emplea como excitación un generador de impulso de baja tensión, de modo que puede usarse un osciloscopio convencional para la medida. -Comparación entre la simulación y la medida y valoración de los resultados. - 6 - Aunque lo anterior es la parte central del proyecto, la memoria también incluye una breve explicación del origen de las sobretensiones transitorias en sistemas eléctricos, del circuito equivalente a alta frecuencia de un transformador y sobre el estado del arte en la fabricación de arrollamientos para mejorar la distribución de tensión. El autor del proyecto trabaja en la fábrica de transformadores secos de ABB en Zaragoza, aunque este trabajo no es un proyecto interno. De todas formas, se han empleado las instalaciones de ABB para fabricar los arrollamientos, realizar su simulación FEM y medir su respuesta en el laboratorio. El contenido de la memoria, aparte de esta introducción, se encuentra organizado de la siguiente forma: -En la sección 2 se explican las causas de las sobretensiones de alta frecuencia que puede sufrir un transformador, así como los ensayos que se realizan para comprobar que las soporta. -En el siguiente apartado se expone cómo estas sobretensiones se reparten de forma no lineal en un arrollamiento: cómo éste puede modelarse con su circuito equivalente y cuál es su respuesta. -La sección 4 es un resumen del estado del arte en la fabricación de devanados para mejorar su comportamiento ante sobretensiones de alta frecuencia. -En la sección 5 se explica el método de cálculo que se ha seguido en la simulación. -En el apartado 6 se describe la geometría del devanado de AT y cómo a partir de ella se calculan los elementos de su circuito equivalente. Finalmente se simula su respuesta ante un impulso tipo rayo. -El siguiente apartado es análogo al anterior, solo que aquí se trata del arrollamiento de BT. -En la sección 8 se describe el montaje experimental que se ha realizado para medir la distribución de tensión. En el siguiente apartado se comparan estas medidas frente a las simulaciones. -Finalmente, en el último apartado se expone un resumen del trabajo realizado, se valora el grado de cumplimiento de los objetivos y se sugieren posibles líneas de ampliación. La memoria también consta de los siguientes 7 anexos: -En el anexo 1 se obtienen los valores de los elementos de circuito del arrollamiento de AT empleando expresiones aproximadas. -En el anexo 2 se repite el cálculo anterior empleando simulación FEM. -Los anexos 3 y 4 son similares a los dos anteriores, solo que ahora respecto al arrollamiento de BT. -En el anexo 5 se explican los generadores de baja tensión empleados en las medidas. -Los dos últimos anexos son la recopilación de las tensiones simuladas y medidas. Se adjuntan las tensiones a tierra y las diferencias de tensión internas más significativas. - 7 - 2. ORIGEN DE LAS SOBRETENSIONES DE ALTA FRECUENCIA QUE AFECTAN A LOS TRANSFORMADORES Los transformadores en el sistema eléctrico pueden sufrir sobretensiones transitorias de diferentes magnitudes, frecuencia y formas de onda. Estas sobretensiones están causadas por descargas atmosféricas o por cambios bruscos en la configuración de la red. El tipo y número de sobretensión que se puede esperar afecte a un transformador depende de su localización en la red, situación geográfica, protecciones, etc. Con el fin de dar una idea de la multitud de fenómenos que pueden causar sobretensiones de alta frecuencia, se enumeran a continuación los más comunes. -Caída de un rayo en una línea o cerca de esta: es una de las causas más importantes a tener en cuenta y aunque el uso de autoválvulas reduce en gran medida la probabilidad de fallo, no lo elimina completamente. El fallo es posible porque la autoválvula limita la tensión en el terminal donde está conectada, pero es incapaz de limitar las sobretensiones en puntos internos del arrollamiento. -Corte brusco de la corriente (chopping) al abrir un interruptor: se produce cuando la corriente es cortada antes de su paso por cero y en un tiempo muy pequeño. Esta variación rápida de la corriente causa una sobretensión en la inductancia que es el arrollamiento. Aunque este problema aparece en todas las tecnologías, es especialmente grave en interruptores de vacío y de SF6. -Pre-arcos (pre-strikes) al cerrar un interruptor: ocurre cuando se ha iniciado la maniobra y la separación entre contactos ya es pequeña. En esta situación, la TRV1 del interruptor puede superar su capacidad de aislamiento y la corriente empieza a circular a pesar de que los contactos aún están abiertos; pero esta corriente puede sufrir chopping, como se ha visto, causando sobretensiones. fig. 1 – sobretensión por chopping al abrir un interruptor (izda.) y por pre-strikes al cerrarlo (dcha.) -Energización o fallo a tierra en una línea con un transformador en su extremo: en ambos casos se produce una perturbación que se propaga a través de la línea. Cuando esta onda llega al transformador la diferencia de impedancias entre ambos hace que se refleje y viaje en dirección opuesta. Si la distancia entre el punto donde se ha iniciado la perturbación y el transformador es 1 TRV: transient recovery voltage, es la tensión que aparece entre los terminales de un interruptor después de la interrumpir la corriente. Depende del tipo de interruptor, de las características de la red y del tipo de maniobra. pre - strikes - 8 - parecida a un cuarto de onda de la frecuencia natural del arrollamiento, las sucesivas reflexiones están en fase y se produce una escalada de la tensión. -Maniobras en subestaciones aisladas en gas: las especiales características de las conexiones aisladas con gas, que se comportan como una guía de ondas con una capacidad muy pequeña, hacen que cualquier maniobra genere sobretensiones con un frente de onda muy rápido. Aunque la frecuencia de estas oscilaciones es demasiado elevada para excitar la frecuencia natural del arrollamiento, sí puede afectar a las secciones del devanado localizadas más cerca del terminal. fig. 2 – sobretensión por resonancia (izda.) y por maniobra en una subestación aislada en gas (dcha.) El aislamiento de un transformador debe ser capaz de soportar estas sobretensiones, y en general, el diseño y proceso de fabricación se valida mediante ensayos. Aunque puede ser objeto de requisitos particulares por parte del usuario, los ensayos aplicables están definidos por las normas IEC o ANSI correspondientes, que representan la mayor parte de las condiciones que pueden ocurrir en la red. Pero es evidente que no todas las formas de onda de las sobretensiones que pueden ocurrir en un sistema eléctrico están cubiertas por las normas, estas más bien tratan de dar unas envolventes de onda que acoten los casos prácticos que pueden darse. En este sentido, se muestra a continuación un impulso tipo rayo 1.2/50 μs, que es la forma de onda normalizada para reproducir los efectos de una sobretensión transitoria de alta frecuencia en un transformador. fig. 3 – impulso normalizado tipo rayo 1.2/50 μs El impulso tipo rayo trata de cubrir tanto el caso de descargas atmosféricas como el de cualquier sobretensión transitoria de alta frecuencia como las que se acaban de explicar. Este ensayo puede ser destructivo por perforación del aislamiento a causa de las elevadas tensiones que hay en juego. Por ejemplo, a un transformador con una tensión nominal de 20 kV le corresponde un impulso con un valor de pico de 145 kV. - 15 - 5. METODO SEGUIDO EN LA SIMULACION En los apartados anteriores se ha introducido el tema de los transitorios de tensión en transformadores. De aquí en adelante se va a describir el trabajo realizado simulando la distribución de tensión en los arrollamientos de AT y BT de un transformador seco de 1600 kVA de potencia. El método de cálculo seguido se muestra en el siguiente esquema. El proceso comienza con el cálculo de los elementos (resistencias, inductancias y capacidades) con los que se construirá el circuito equivalente del transformador. Este cálculo se realiza mediante simulación FEM a una frecuencia baja (50 Hz). Para el cálculo de capacidades se emplea ElecNet y para el de inductancias y resistencias MagNet. Posteriormente se vuelven a calcular los valores de los mismos elementos de circuito, pero ahora mediante cálculo manual aproximado a partir de expresiones analíticas. A causa de las simplificaciones realizadas, las soluciones obtenidas pueden tener un error relativamente grande en algún caso. Se comparan ambos resultados, aunque en todo caso la solución FEM es la que se toma como correcta y la analítica se emplea sólo para detectar posibles errores en la simulación. simulación FEM simulación PSPICE simulación FEM a fn cálculo aproximado simulación PSPICE RLC R a fn distribución de tensión RLC comparación cálculo aproximado a fn comparación R a fn medidas de laboratorio distribución de tensión comparación frecuencia natural (fn) fig. 12 – método seguido en la simulación Con los valores de los elementos obtenidos anteriormente se ensambla el circuito equivalente del arrollamiento y se realiza una primera simulación mediante PSPICE de su respuesta ante un impulso tipo rayo. Esta simulación de la distribución de tensión no es la definitiva porque se está cometiendo un error en el cálculo de las resistencias. - 16 - En efecto, el valor de la resistencia de un conductor por el que circula corriente alterna es la suma de su resistencia en corriente continua (resistencia óhmica) más la causada por el efecto skin3. Si además, como es el caso de un arrollamiento, el conductor se encuentra afectado por el campo magnético originado por las corrientes alternas que circulan por otros conductores, a las dos resistencias ya mencionadas hay que añadir la causada por el efecto proximidad4. La diferencia entre la resistencia en alterna y la óhmica es la resistencia adicional, y para determinarla es necesario conocer la frecuencia de la corriente. Como el cálculo de la resistencia se ha hecho en corriente continua, su efecto no se ha tenido en cuenta por ahora. De modo que esta primera simulación PSPICE se emplea solamente para estimar la frecuencia de las corrientes y poder calcular así la resistencia adicional. El problema es más difícil de lo que pudiera parecer, porque la corriente tiene una forma de onda compleja: no es periódica y su forma cambia según circula por el arrollamiento. Como solución de compromiso, se obtiene mediante la simulación con SPICE la onda de corriente a través de cada rama del circuito equivalente donde hay una resistencia, y se toma como única frecuencia de cálculo su frecuencia fundamental aproximada. Esta aproximación en el cálculo de la frecuencia fundamental es válida a pesar de que se hayan subestimado los valores de las resistencias en la simulación PSPICE. Esto es así porque la frecuencia natural depende de los valores de capacidades e inductancias, mientras que las resistencias son las que determinan el factor de amortiguamiento de las oscilaciones. Por ahora sólo necesitamos una aproximación de la frecuencia para poder calcular la resistencia adicional, por lo que esto no es un problema. Una vez estimada la frecuencia natural, se repite la simulación FEM con MagNet a esta frecuencia para obtener el valor de las resistencias. Se hace también un cálculo manual aproximado de la resistencia adicional, aunque dada la complejidad del problema, no es más que una comprobación del orden de magnitud de la solución. Con los valores de capacidad e inductancia obtenidos en la primera simulación FEM y con los de resistencia de la segunda, se ensambla el circuito equivalente y se vuelve a simular con PSPICE; el resultado es la distribución de tensión que se buscaba. Finalmente, se comprueba la exactitud de la simulación comparándola con los resultados obtenidos en las medidas de laboratorio del mismo arrollamiento. El ensayo se realiza aplicando un impulso tipo rayo con una tensión reducida y midiendo las tensiones a tierra con un osciloscopio en los mismos puntos en los que se ha simulado. 3 Efecto skin: aumento de la resistencia de un conductor en corriente alterna respecto al valor en continua causado por un desigual reparto de la corriente en su sección, que es mayor en su periferia. Se origina a causa del campo magnético creado por la corriente que circula por el propio conductor. 4 Efecto proximidad: efecto skin originado por el campo magnético creado por las corrientes que circulan por conductores cercanos. - 17 - 6. SIMULACION DE LA DISTRIBUCION DE TENSION EN EL ARROLLAMIENTO DE ALTA TENSION Los arrollamientos que se han simulado se han fabricado ex profeso para poder medir la distribución de tensión en ellos. Gracias a que se les han añadido tomas conectadas a puntos internos ha sido posible realizar las medidas, porque, a diferencia de otros tipos de devanado, los conductores no son accesibles una vez que el arrollamiento está acabado. Es necesario destacar que, salvo esta particularidad, son arrollamientos normales y representativos de su tipo. 6.1. Características y geometría del arrollamiento El arrollamiento de AT está fabricado mediante tecnología de discos, de modo que está formado por varias bobinas independientes para repartir la tensión y así facilitar el aislamiento. Todas estas bobinas están conectadas en serie, el final de una con el principio de la siguiente, de arriba abajo del arrollamiento. El devanado tiene una tensión nominal de 20.000 V y un aislamiento (tensión más elevada para el material) de 24 kV. La tensión de ensayo del impulso tipo rayo correspondiente a este nivel de aislamiento es de 145 kV. El arrollamiento está dividido en 22 discos de 50 espiras, sumando 1100 espiras en total, con un aislamiento entre discos de 16 mm. El conductor empleado es cinta de aluminio de sección 35x0.5 mm, con poliéster de 111 μm de espesor como aislamiento entre espiras. Una vez bobinado el arrollamiento se introduce en un molde y se encapsula con resina epoxi bajo vacío, para evitar que se formen burbujas. El conjunto está reforzado con malla de fibra de vidrio en la superficie interior y exterior, formando junto con la resina un material compuesto de gran resistencia mecánica. fig. 13 – estructura de un disco (izda.), estructura de un arrollamiento sin encapsular completamente (centro) y arrollamiento empleado en los ensayos (dcha.) Se han aprovechado los puentes serie entre discos para añadir los puntos de medida. Estos puentes son conexiones en diagonal entre la última espira de un disco y la primera del siguiente que se realizan doblando o soldando el conductor. En este caso los puentes se han hecho doblados, con la única particularidad de que sobresalen del devanado para, además de conectar los discos en serie, atornillarlos a unos pernos que se encuentran distribuidos en la parte frontal (ver fig. 13 dcha.). Como el devanado tiene 22 discos hay 21 puentes serie y, además de los terminales de principio y final del arrollamiento, tenemos 21 terminales de medida. - 18 - 6.2. Cálculo del circuito equivalente El primer paso antes de calcular el circuito equivalente del transformador es decidir el nivel de discretización a emplear, es decir, definir en el arrollamiento el conjunto de nodos donde se calculará la tensión. A más nodos más información sobre el reparto de tensión, pero también aumenta la complejidad del circuito y la potencia de cálculo necesaria. Aunque si el incremento en el número de nodos no se acompaña con un cálculo suficientemente exacto de los elementos de circuito que los unen, se obtendrán más datos pero no serán significativos. Por otro lado, si se elige un nivel de discretización adecuado es posible conocer la tensión aproximada de espiras que no eran nodos. Precisamente este es el caso de un arrollamiento de discos, donde la distribución de tensión en el interior de cada disco es aproximadamente proporcional al número de espiras [6]. Por las razones anteriores se han elegido como nodos la primera y última espira de cada disco. Como ya se ha visto en el apartado 6.1, el arrollamiento está dividido en 22 discos, de modo que hay 23 nodos. En la figura se muestran los elementos de circuito que resultan con esta discretización. Rs Ls Cee2 Cee1Cee49 1 2 Cdd Rs Ls Cee2 Cee1Cee49 1 2 Cdd M1,2 M1,3 M2,3 1 2 Cdd 1 2 Cdd arrollamiento de AT arrollamiento de BT Cg Cg 1 2 3 fig. 14 – elementos de circuito (sólo se han representado los tres primeros discos) El cálculo de los elementos de circuito se describe en detalle en los anexos 1 y 2, aunque a continuación se hace una breve descripción del significado de cada uno de ellos y de cómo se han calculado: -Capacidad entre espiras (Cee): aparece entre cada dos espiras consecutivas en un mismo disco. Hay 49 en cada disco, conectadas en serie. -Capacidad entre discos (Cdd): la que existe entre dos discos adyacentes, donde las placas son las coronas circulares que se forman entre el diámetro exterior e interior de los discos. -Capacidad a tierra (Cg): está formada por la suma de dos capacidades, la que existe entre la espira interior de cada disco y el arrollamiento de BT y la capacidad de cada disco con el infinito. - 19 - -Autoinductancia de un disco (Ls): la formada por todas las espiras de un disco conectadas en serie. -Inductancia mutua entre discos (Mi,j): representa el acoplamiento magnético entre pares de discos. -Resistencia serie (Rs): el equivalente serie de las resistencias de las espiras de un disco. Ya se ha visto en el apartado 5 que se debe a la suma de la resistencia óhmica, efecto skin y efecto proximidad. Para el cálculo manual de los elementos de circuito se han empleado expresiones clásicas en la bibliografía. En unos casos se trata de aproximaciones de la solución exacta para evitar realizar cálculos complejos y en otros se obtienen de medidas de laboratorio. La única condición que hay que cumplir en ambos casos es que la geometría cumpla las restricciones que garantizan un error máximo aceptable. En el cálculo mediante FEM se han empleado dos programas diferentes, ElecNet para la simulación eléctrica y MagNet para la magnética, aunque como ambos son de Infolytica su interfaz es similar. fig. 15 – modelo en ElecNet para calcular la capacidad a tierra del AT (izda.) y su solución (dcha.) El primer paso de la simulación consiste en definir la geometría, y aunque es posible hacerlo directamente en ElecNet o MagNet, su editor gráfico es muy limitado y no se ha empleado. Así, para ElecNet se ha dibujado en AutoCAD y posteriormente se han importado los datos, mientras que para MagNet se ha hecho un algoritmo en VBA (Visual Basic for Applications) que genera la geometría. La razón para emplear dos métodos es que en el cálculo eléctrico cada disco es un único electrodo y tenemos sólo unas decenas de elementos, mientras que en el cálculo magnético se han incluido todas las espiras y hay más de mil. Los modelos son 2D porque los arrollamientos tienen simetría axial, lo que simplifica el trabajo. El segundo paso es asignar las propiedades físicas a los distintos materiales. Para los aislamientos se han tomado los datos de [7] y [8], donde aparecen sus constantes dieléctricas en función de la frecuencia. A continuación es necesario definir el mallado. Aunque se genera automáticamente, se ha elegido manualmente el tamaño máximo de la malla para cada elemento en función de su dimensión menor. También se ha dividido el modelo en áreas para poder emplear un mallado más fino sólo donde es - 20 - necesario y obtener un buen resultado sin que aumente mucho el tiempo de cálculo. El paso final antes de resolver es asignar las condiciones de contorno y definir las tensiones o corrientes conocidas. ElecNet calcula directamente la matriz de capacidades entre todos los electrodos, pero MagNet no tiene esta opción, así que es necesario construirla manualmente. Para ello se ha hecho un pequeño algoritmo en VBA que inyecta corriente en un disco con los demás abiertos y lo repite para todos. El valor de las inductancias se obtiene como la relación entre el flujo concatenado y la corriente inyectada y el de las resistencias como la relación entre tensión inducida y corriente. Una vez obtenidos los valores de las capacidades, inductancias y resistencias ya se pueden conectar entre sí como se ha visto en la fig. 14 para, después de simplificarlo mediante asociaciones de elementos, ensamblar el siguiente circuito equivalente: Cg19 25.6 pF Rs19 25.8 ohm Ls19 2.43 mH Cs19 616 pF Cg20 26.1 pF Rs20 32.8 ohm Ls20 2.43 mH Cs20 616 pF Cg21 26.8 pF Rs21 19.9 ohm Ls21 2.43 mH Cs21 617 pF Cg22 31.0 pF 20 21 22 Rs22 25.9 ohm Ls22 2.53 mH Cs22 517 pF 0 Cg13 24.8 pF Rs13 15.9 ohm Ls13 2.43 mH Cs13 616 pF Cg14 24.8 pF Rs14 18.1 ohm Ls14 2.43 mH Cs14 616 pF Cg15 24.9 pF Rs15 17.3 ohm Ls15 2.43 mH Cs15 616 pF Cg16 25.0 pF Rs16 16.9 ohm Ls16 2.43 mH Cs16 616 pF Cg17 25.2 pF Rs17 19.2 ohm Ls17 2.43 mH Cs17 616 pF Cg18 25.4 pF Rs18 20.2 ohm Ls18 2.43 mH Cs18 616 pF 14 15 16 17 18 19 Cg7 24.7 pF Rs7 17.1 ohm Ls7 2.43 mH Cs7 616 pF Cg8 24.7 pF 8 Rs8 17.0 ohm Ls8 2.43 mH Cs8 616 pF Cg9 24.7 pF 9 Rs9 18.5 ohm Ls9 2.43 mH Cs9 616 pF Cg10 24.7 pF Rs10 17.6 ohm Ls10 2.43 mH Cs10 616 pF Cg11 24.7 pF Rs11 16.4 ohm Ls11 2.43 mH Cs11 616 pF Cg12 24.7 pF Rs12 15.4 ohm Ls12 2.43 mH Cs12 616 pF 10 11 12 13 Rs1 13.8 ohm Ls1 2.53 mH Cs1 517 pF Cg2 44.9 pF Rs2 15.9 ohm Ls2 2.45 mH Cs2 617 pF Cg3 25.5 pF V1 1 p.u. Rs3 17.2 ohm Ls3 2.43 mH Cs3 616 pF Cg4 25.1 pF 2 3 4 Rs4 15.1 ohm Ls4 2.43 mH Cs4 616 pF Cg5 24.9 pF 5 Rs5 15.6 ohm Ls5 2.43 mH Cs5 616 pF Cg6 24.8 pF 6 Rs6 15.7 ohm Ls6 2.43 mH Cs6 616 pF 7 M1,2 1.20 mH M1,3 0.616 mH M2,3 1.17 mH 1 fig. 16 – circuito equivalente de AT (para simplificar sólo se han incluido las tres primeras inductancias mutuas) - 21 - 6.3. Resultado de la simulación Una vez obtenido el circuito equivalente, se calcula su respuesta frente a un impulso tipo rayo 1.2/50 μs con el programa de simulación de circuitos PSPICE. El análisis que se hace es la respuesta transitoria en los primeros 80 μs. No es posible emplear su editor gráfico para definir el circuito porque la versión para estudiantes está limitada a 50 elementos y tenemos más de 300. Para solucionar este inconveniente se ha introducido el circuito en formato fichero de texto (netlist), que tiene menos limitaciones que el editor gráfico. La respuesta obtenida se muestra en la siguiente figura, donde se han representado las tensiones a tierra en función del tiempo y de la distancia al terminal del arrollamiento donde se ha aplicado el impulso. Se ha normalizado a 1 p.u. la tensión de impulso, que tiene un valor de pico de 145 kV. Estos mismos resultados se han incluido en el anexo 6 con la tensión en función del tiempo y los nodos como parámetro, lo que se facilita la comparación. En este anexo también se pueden ver las tensiones entre discos consecutivos, que es un dato fundamental para definir el aislamiento necesario. fig. 17 – tensiones a tierra simuladas en el arrollamiento de AT Se puede ver que, para todo nodo, se obtiene una tensión oscilatoria; y que, para todo tiempo, la distribución de la tensión entre nodos no es lineal. Hay que resaltar que aparecen tensiones superiores al valor de pico del impulso aplicado. Esta sobretensión ocurre en los 8 primeros nodos, con un máximo absoluto del 7%. También aparecen tensiones negativas respecto a tierra, a pesar de que la onda aplicada es positiva para todo tiempo. - 22 - 7. SIMULACION DE LA DISTRIBUCION DE TENSION EN UN ARROLLAMIENTO DE BAJA TENSION 7.1. Características y geometría del arrollamiento El arrollamiento de BT está fabricado con tecnología de banda, de modo que está formado por una única bobina que ocupa toda la altura del devanado. El arrollamiento tiene una tensión nominal de 725 V y un nivel de aislamiento de 3.6 kV. Tenemos 23 espiras, el conductor empleado es aluminio de sección 1150x1.3 mm y el aislamiento entre espiras es poliéster de 340 μm de espesor. Se ha conectado una pequeña cinta de aluminio a cada espira para poder realizar las medidas. En el proceso de fabricación se dejó de colocar por error una de estas cintas, aunque afortunadamente fue en la penúltima espira y se pudo acceder a ese punto eliminando parte del aislamiento exterior. Por otro lado, el arrollamiento tiene dos canales de refrigeración de 14 mm realizados con perfiles de fibra de vidrio, de forma que queda dividido, desde el interior al exterior, en una sección de 7 espiras y dos de 8. fig. 18 – arrollamiento de BT (izda.), canales de refrigeración (centro), puntos de medida (dcha.) 7.2. Cálculo del circuito equivalente Se ha elegido una espira como el nivel de discretización para calcular el circuito equivalente porque, como el número de espiras no es elevado, no hay inconveniente en llegar a este nivel de detalle. Así sólo tenemos cuatro clases de elementos de circuito: capacidad e inductancia entre dos espiras y autoinductancia y resistencia de una espira. A continuación se explica muy brevemente cómo se han obtenido, ya que el proceso es el mismo que se ha visto en el AT. Su cálculo detallado se encuentra en los anexos 3 y 4. El cálculo de los elementos de circuito se ha realizado también manualmente mediante expresiones aproximadas para poder cotejar la simulación FEM y evitar errores. Para la simulación con ElecNet se ha definido la geometría en AutoCAD y posteriormente se importa, mientras que en MagNet se define con un algoritmo en VBA. Se ha hecho así porque en el cálculo eléctrico hay menos elementos que en el magnético, donde es necesario tener en cuenta todas las espiras, incluidas las del arrollamiento de AT. Se han tomado los datos de la constante dieléctrica en función de la frecuencia de [7]. El mallado se ha generado automáticamente, aunque se ha elegido el - 23 - tamaño máximo de cada elemento por zonas, en función de su dimensión menor. Finalmente se asignan las condiciones de contorno y se resuelve. fig. 19 – modelo en MagNet (izda.) y su solución para calcular M23,j (dcha.) Una vez obtenidos los valores de las capacidades, inductancias y resistencias ya se pueden conectar entre sí en función de la conexión que existe en el arrollamiento para ensamblar el circuito equivalente: Rs1 15.2 mohm Ls1 97.4 nH Cs1 161 nF Rs2 12.4 mohm Ls2 97.7 nH Cs2 161 nF V1 1 p.u. Rs3 9.66 mohm Ls3 98.0 nH Cs3 161 nF 2 3 4 Rs4 7.28 mohm Ls4 98.3 nH Cs4 161 nF 5 Rs5 5.23 mohm Ls5 98.5 nH Cs5 161 nF 6 Rs6 3.53 mohm Ls6 98.7 nH Cs6 161 nF 7 Rs7 2.28 mohm Ls7 98.9 nH Cs7 161 nF 8 Rs8 1.60 mohm Ls8 99.1 nH Cs8 2.20 nF 9 Rs9 0.629 mohm Ls9 98.9 nH Cs9 161 nF Rs10 0.195 mohm Ls10 98.7 nH Cs10 161 nF Rs11 0.165 mohm Ls11 98.5 nH Cs11 161 nF Rs12 0.540 mohm Ls12 98.3 nH Cs12 161 nF Rs13 1.33 mohm Ls13 98.0 nH Cs13 161 nF Rs14 2.54 mohm Ls14 97.6 nH Cs14 161 nF Rs15 4.23 mohm Ls15 97.3 nH Cs15 2.43 nF Rs16 5.95 mohm Ls16 91.5 nH Cs16 161 nF Rs17 8.60 mohm Ls17 90.6 nH Cs17 161 nF Rs18 11.6 mohm Ls18 89.7 nH Cs18 161 nF 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Rs19 15.1 mohm Ls19 88.8 nH Cs19 161 nF Rs20 19.1 mohm Ls20 87.8 nH Cs20 161 nF Rs21 23.7 mohm Ls21 86.7 nH Cs21 161 nF 20 21 22 Rs22 28.6 mohm Ls22 85.6 nH Cs22 161 nF 23 Rs23 33.0 mohm Ls23 84.5 nH Cs23 161 nF 0 M1,2 96.6 nH M1,3 95.5 nH M2,3 96.9 nH 1 fig. 20 – circuito equivalente de BT (para simplificar sólo se han incluido las tres primeras inductancias mutuas) - 24 - 7.3. Resultado de la simulación La respuesta obtenida al simular el circuito equivalente con PSPICE frente a un impulso tipo rayo se muestra a continuación. El análisis que se hace es la respuesta transitoria en los primeros 80 μs. Al igual que se ha hecho en el arrollamiento de AT, se ha normalizado a 1 p.u. la tensión de impulso, que en este caso tiene un valor de pico de 20 kV. En el anexo 7 se han añadido estos mismos datos, así como las tensiones que aparecen entre espiras, con la tensión en función del tiempo y las espiras como parámetro. El impulso que se ha empleado como excitación en la simulación no se corresponde exactamente con la forma de onda de 1.2/50 μs. La explicación es que, aunque inicialmente se hizo la simulación con ella, al realizar los ensayos en el laboratorio no fue posible reproducirla con el generador de impulso repetitivo. La razón por la que no se pudo lograr un impulso tipo rayo mejor hay que buscarla en un mal acoplamiento de impedancias entre el arrollamiento y el generador. A diferencia del AT, que tiene una impedancia elevada, la BT presenta una impedancia muy pequeña, lo que complica el acoplamiento. De modo que se repitió la simulación PSPICE con la forma de onda que se consiguió en los ensayos. En todo caso, el impulso está dentro de las tolerancias que se establecen en la norma5. fig. 21 – tensiones a tierra simuladas en el arrollamiento de BT Se puede ver que la distribución del impulso es lineal, es decir, la tensión a tierra es proporcional al número de espiras. Tampoco hay sobretensión ni oscilaciones, y si existen valores negativos es porque incluso la tensión aplicada llega a ser negativa. 5 Según la norma IEC 60076-3, el tiempo de frente/cola es 1.2 μs ±30% / 50 μs ±20%. Aunque si no es posible conseguir el tiempo de cola se acepta uno menor aumentando la tensión de impulso un 1% por cada 2 μs que éste es menor de 40 μs. El mínimo tiempo de cola aceptable es 20 μs. - 31 - 11. BIBLIOGRAFIA [1] S.V. Kulkarni, S.A. Khaparde. “Transformer engineering, design and practice” Ed. Marcel Dekker Inc., 2004 [2] J.H. Harlow (editor). “Electric power transformer engineering” CRC Press LCC, 2004 [3] L.F. Blume et. al. “Transformer engineering: a treatise on the theory, operation and application of transformers” John Wiley & sons Inc., 2nd edition, 1967 [4] M.J. Heathcote. “The J&P transformer book, a practical technology of the power transformer” Ed. Newnes, 20th edition, 1998 [5] J. Corrales. “Teoría, cálculo y construcción de transformadores” 5ª edición, 1969 [6] P.I. Fergestad. “Transient oscillations in transformer windings” PhD thesis. Technical University of Norway, 1972 [7] D. Cervero y J.J. Melero. “Caracterización dieléctrica de aislantes para uso en transformadores secos” Centro de Investigación de Recursos y Consumos Energéticos (CIRCE), diciembre 2008 [8] D. Cervero y J.J. Melero. “Caracterización dieléctrica de aislantes para uso en transformadores secos II” Centro de Investigación de Recursos y Consumos Energéticos (CIRCE), agosto 2009 [9] C. Snow. “Formulas for computing capacitance and inductance” National Bureau of Standards, circular 544, septiembre 1954 [10] P. Dowell. “Effect of eddy currents in transformer windings” Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, vol. 113 pp. 1387-1394, 1966 [11] L. Cohen, E.B. Rosa “An exact formula for the mutual inductance of coaxial solenoids” National Bureau of Standards, vol. 3 pp. 295-303, mayo 1907 [12] IEC 60060-1 “High-voltage test techniques – Part 1: General definitions and test requirements” Edition 3.0, 2010-09 [13] IEC 60071-1 “Insulation co-ordination – Part 1: Definitions, principles and rules” Eight edition, 2006-01 [14] Aguilar, J.D. et. al. “Simulación electrónica con PSPICE” Ed. ra-ma, 1995 [15] Infolytica Corporation. “ElecNet version 7.4.1, 2D and 3D tutorials”, noviembre 2012 [16] Infolytica Corporation. “MagNet version 7.4, 2D and 3D tutorials”, septiembre 2012 - 32 - ANEXO 1. CALCULO APROXIMADO DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO EN EL ARROLLAMIENTO DE ALTA TENSION A1.1. Capacidad entre espiras Para el cálculo de la capacidad entre espiras se parte de la expresión para un condensador plano: ≈ԐԐ  Donde: : capacidad [F] Ԑ: permitividad del espacio libre [F/m] Ԑ: permitividad relativa del dieléctrico [ ] : área de una placa [m2] : separación entre placas [m] La aproximación es correcta para una separación entre placas mucho menor que cada una de las dos dimensiones que definen su área. En el caso particular de un arrollamiento de cinta, con conductores de varios centímetros y aislamientos de fracciones de milímetro, la aproximación es muy precisa. Adaptando la expresión anterior a nuestro caso:  ≈ԐԐ  Donde: : capacidad entre dos espiras consecutivas [F] : dimensión axial del conductor [m] : diámetro medio del arrollamiento [m] : espesor del aislamiento entre espiras [m] Sustituyendo se obtiene:  ≈8.85×10⋅3.2·0.035·0.719 1.11×10 =20.2 A1.2. Capacidad entre discos Para el cálculo de la capacidad entre discos también se parte de la expresión del apartado anterior para un condensador plano. Sin embargo ahora no se cumple la condición de que la separación entre placas sea mucho menor que cada una de las dos dimensiones que definen su área; en concreto, la dimensión radial del arrollamiento es 30.5 mm y la separación entre discos es 16 mm. El fenómeno físico que provoca el error de esta aproximación es la dispersión de las líneas de flujo en los bordes de las placas. El resultado es equivalente a un aumento en la superficie efectiva de las placas, como puede verse en la siguiente figura. - 33 - fig. 28 – dispersión del flujo en el condensador formado por dos discos A pesar de este inconveniente, es posible calcular la capacidad con un error aceptable empleando una dimensión de placa equivalente que recoja el fenómeno de la dispersión del flujo [6]. Se emplea una dimensión equivalente igual a la dimensión real más la separación entre placas, de modo que: ≈ԐԐ   =+ Donde: : dimensión radial equivalente [m] : dimensión radial del arrollamiento [m] : separación entre discos [m] : capacidad entre dos discos consecutivos [F] : diámetro medio del arrollamiento [m] Sustituyendo se obtiene: ≈8.85×10⋅3.7(0.0305+0.016)··0.719 0.016 =215 A1.3. Capacidad a tierra La capacidad a tierra se debe principalmente a la capacidad entre los arrollamientos de AT y BT. Aunque también hay una capacidad parásita entre el arrollamiento de AT y tierra, esta siempre es mucho menor que la capacidad anterior debido a que los arrollamientos están muy próximos entre sí. Solo si el transformador está dentro de una envolvente metálica esta capacidad tiene cierta importancia. Para el cálculo de la capacidad entre el arrollamiento de AT y el de BT hay que tener en cuenta que en este caso el aislamiento está formado por diferentes materiales. La mayor parte del aislamiento es aire, pero también hay aislamiento sólido en la superficie exterior del arrollamiento de BT y en la interior del de AT. Se parte de la expresión para un condensador cilíndrico formado por n capas con diferentes constantes dieléctricas y se reduce el error debido a la dispersión del flujo en los extremos del cilindro como en el apartado anterior: - 34 - ≈ 2Ԑℎ 1 Ԑln󰇡 󰇢+1 Ԑln󰇡 󰇢+⋯+1 Ԑln ℎ =ℎ+− 2 Donde: ℎ: altura del cilindro equivalente [m] ℎ: altura del cilindro [m] : diámetro del dieléctrico i [m] Ԑ: permitividad relativa del dieléctrico i [ ] Sustituyendo se obtiene: ≈2·8.85×10·󰇡1.106+0.688−0.6 2󰇢 1 2.8ln󰇡0.601 0.6󰇢+ln󰇡0.68 0.601󰇢+1 3.7ln󰇡0.688 0.68󰇢=503 La capacidad entre arrollamientos (Caa) es la asociación en paralelo de las capacidades entre cada uno de los 22 discos y el arrollamiento de BT. Si estas capacidades fueran iguales tendríamos una capacidad a tierra (Cg): = =503 22 =22.9 Pero hay que tener en cuenta que el efecto de la dispersión de flujo sólo afecta a los discos de los extremos del arrollamiento, de modo que tendremos una capacidad a tierra diferente esté o no el disco en el extremo. La capacidad debida a la dispersión son unos 20 pF, de modo que obtenemos una capacidad Cg de 31.9 pF para los dos discos de los extremos y de 21.9 pF para los 20 discos restantes. A1.4. Autoinductancia de un disco En [9] se propone la siguiente aproximación para el cálculo de la autoinductancia de una bobina cilíndrica se sección rectangular con diámetro mucho mayor que su dimensión radial y axial, que son condiciones que cumple un arrollamiento de discos: ≈ 2󰇩ln4 −0.5+ln4 +3.583 2󰇪 Donde: : autoinductancia [H] : permeabilidad del espacio libre [H/m] : número de espiras de un disco [ ] : diámetro medio del arrollamiento [m] : dimensión radial del arrollamiento [m] Sustituyendo se obtiene: - 35 - ≈4×10·50·0.719 2󰇩ln4·0.719 0.0305−0.5+ln4·0.719 0.0305 +3.5830.0305 2·0.719󰇪=4.42 La aproximación es válida para una bobina con núcleo de aire, que es el caso que se quiere simular. Aunque entonces se podría criticar que si el arrollamiento tuviera un núcleo magnético, que al fin y al cabo es la situación que tenemos en un transformador, estaremos cometiendo cierto error. Sin embargo, a las frecuencias del orden de kHz que se tienen en el ensayo de impulso el núcleo magnético trabaja con una inducción mínima, lo que es equivalente a no tener núcleo. A1.5. Inductancia mutua entre discos Se aplica la fórmula de Neumann para calcular el valor de la inductancia mutua entre cada par de discos. Se emplea la aproximación de que la corriente que circula por cada disco está concentrada en su centro geométrico: ,≈ 2() ()es una función dependiente de la geometría del arrollamiento, que se define de la siguiente forma: =2(+) ()= ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ln8−2+0.35.,≤0.6 1 2+1.73.+0.2,>0.6 Donde: ,: inductancia mutua entre el disco i y el j [H] : número de espiras del disco i [ ] : diámetro medio del arrollamiento [m] : dimensión axial del conductor [m] : separación entre discos [m] Sustituyendo para los discos 1 y 2 se obtiene: =2(0.035+0.016) 0.719 =0.1419 ,≈4×10·50·50·0.719 2ln 8 0.1419−2+0.35·0.1419.=2.31 De forma análoga se calculan las inductancias mutuas entre el disco 1 y los demás discos. Los resultados se muestran en la siguiente matriz, donde se ha añadido también en la diagonal principal el valor de la autoinductancia calculada en el apartado anterior: - 36 - fig. 29 – matriz de inductancias (valores en H) Una vez que se ha hecho el cálculo para el disco 1 ya no es necesario repetirlo para los demás. Como todos los discos son iguales y las distancias entre discos también son iguales, se conocen las inductancias mutuas entre cada par de discos. Por ejemplo, M5,7 es igual a M1,3 porque ambos casos tienen la misma geometría. Evidentemente, la matriz es simétrica. La siguiente imagen es una representación gráfica de la matriz anterior, donde un azul más oscuro significa una inductancia mayor. Se comprueba cómo los elementos que tienen más peso se encuentran en torno a la diagonal principal, lo que se corresponde con discos próximos entre sí. fig. 30 – representación gráfica de la matriz de inductancias A1.6. Resistencia serie La resistencia en un conductor es el resultado de los siguientes fenómenos: -Resistencia óhmica o en continua (RDC): es la que existe cuando por el arrollamiento circula corriente continua. En este caso la densidad de corriente es homogénea en toda la sección del conductor. disco 1 disco 2 disco 3 disco 4 disco 5 disco 6 disco 7 disco 8 disco 9 disco 10 disco 11 disco 12 disco 13 disco 14 disco 15 disco 16 disco 17 disco 18 disco 19 disco 20 disco 21 disco 22 disco 1 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 1.51E-04 1.30E-04 1.12E-04 9.70E-05 8.40E-05 7.30E-05 6.40E-05 5.70E-05 5.00E-05 disco 2 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 1.51E-04 1.30E-04 1.12E-04 9.70E-05 8.40E-05 7.30E-05 6.40E-05 5.70E-05 disco 3 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 1.51E-04 1.30E-04 1.12E-04 9.70E-05 8.40E-05 7.30E-05 6.40E-05 disco 4 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 1.51E-04 1.30E-04 1.12E-04 9.70E-05 8.40E-05 7.30E-05 disco 5 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 1.51E-04 1.30E-04 1.12E-04 9.70E-05 8.40E-05 disco 6 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 1.51E-04 1.30E-04 1.12E-04 9.70E-05 disco 7 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 1.51E-04 1.30E-04 1.12E-04 disco 8 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 1.51E-04 1.30E-04 disco 9 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 1.51E-04 disco 10 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 1.78E-04 disco 11 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 2.10E-04 disco 12 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 2.51E-04 disco 13 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 3.01E-04 disco 14 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 3.64E-04 disco 15 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 4.44E-04 disco 16 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 5.49E-04 disco 17 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 6.90E-04 disco 18 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 8.86E-04 disco 19 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 1.15E-03 disco 20 4.42E-03 2.31E-03 1.56E-03 disco 21 4.42E-03 2.31E-03 disco 22 4.42E-03 - 37 - -Resistencia adicional: es la diferencia entre la resistencia en corriente alterna (RAC) y la resistencia en continua y se debe a una distribución no homogénea de la densidad de corriente en la sección del conductor. Según el origen del campo magnético que crea este efecto, la resistencia adicional se puede dividir en: oResistencia por efecto skin o pelicular: el origen del campo magnético es la corriente que circula por el propio conductor, de modo que está relacionado con la inducción mutua. Causa una mayor densidad de corriente en la periferia del conductor. oResistencia por efecto proximidad: el origen es corriente que circula por un conductor próximo. Causa una mayor densidad de corriente en una de las caras del conductor. De modo que: =+.=++. a) Resistencia serie óhmica El cálculo de la resistencia serie en continua es evidente, y ya expresando en los parámetros más adecuados para un disco queda: =  Donde: : resistencia serie en continua [Ω] : resistividad del conductor [Ω m] : número de espiras de un disco [ ] : diámetro medio del arrollamiento [m] : dimensión axial del conductor [m] : dimensión radial del conductor [m] Teniendo en cuenta que el conductor es aluminio y para una temperatura de 20 ℃, se obtiene: =2.8265×1050··0.719 0.035·5×10=182.3 b) Resistencia serie adicional La resistencia serie adicional es función de la frecuencia, de modo que antes de realizar el cálculo hay que conocer la frecuencia de la corriente que circula por el arrollamiento. El problema es complicado porque la corriente cambia de forma con el tiempo, de modo que la resistencia no tiene un valor constante. Una solución de compromiso es tomar como única frecuencia de cálculo la frecuencia natural de la onda de corriente, despreciando otras oscilaciones de mayor frecuencia que se superponen a la anterior. - 38 - Por otro lado, puede parecer que para simular la onda de corriente a su vez necesitamos conocer la resistencia serie, pero como por ahora sólo necesitamos saber su frecuencia de resonancia no es necesario. En efecto, esta frecuencia sólo depende de los valores de capacidades e inductancias, que son conocidos, mientras que los valores de las resistencias determinan el amortiguamiento de las oscilaciones. La frecuencia de resonancia se obtiene al simular el circuito equivalente con PSPICE y es de unos 30 kHz. Como ejemplo, en la fig. 31 se puede ver el valor de la corriente a través de R1. Las oscilaciones más rápidas, como las que existen en los primeros 15 μs, son las que se desprecian en el cálculo de la resistencia. fig. 31 – Corriente a través de Rs1 Por otro lado, antes de realizar el cálculo es interesante definir la profundidad de penetración (). Con el efecto skin, la densidad de corriente disminuye desde la periferia del conductor hasta su centro siguiendo una ley exponencial. La profundidad de penetración se define como la distancia a la que la densidad de corriente es 1/e de su valor máximo. Esto supone que la densidad de corriente media entre la periferia y  es igual a 1√2 ⁄ . En la práctica permite saber si el efecto skin empieza a ser apreciable, lo que ocurrirá para conductores con un espesor superior a 2. La profundidad de penetración es: =  Donde: : profundidad de penetración [m] ∆: relación de penetración [ ] : permeabilidad del conductor[H/m] : frecuencia [Hz] Time 0s 5us 10us 15us 20us 25us 30us 35us 40us 45us 50us 55us 60us 65us 70us 75us 80us I(R_R1) 0A 50uA 100uA 150uA 200uA 250uA 300uA - 39 - La profundidad de penetración para el aluminio a 30 kHz es 0.49 mm, que prácticamente coincide con el espesor del conductor empleado. De modo que el aumento de resistencia causado por efecto skin en el arrollamiento de AT será pequeño. En [10] se propone la siguiente aproximación para el cálculo de la resistencia adicional. El primer sumando corresponde al efecto skin, mientras que el segundo es el efecto proximidad: = ≈∆󰇩senh(2∆)+sen(2∆) cosh(2∆)−cos(2∆)+23(−1)senh(∆)−sen(∆) cosh(∆)+cos(∆)󰇪∆=  Donde: : coeficiente de resistencia adicional [ ] : número de capas del arrollamiento [ ] ∆: relación de penetración [ ] Sustituyendo se obtiene: ≈1.02󰇩senh(2·1.02)+sen(2·1.02) cosh(2·1.02)−cos(2·1.02)+23(50−1)senh(1.02)−sen(1.02) cosh(1.02)+cos(1.02)󰇪=292.8 Lo que supone una resistencia serie en corriente alterna () de 53.4 Ω por disco. - 40 - ANEXO 2. CALCULO FEM DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO EN EL ARROLLAMIENTO DE ALTA TENSION A2.1. Capacidad entre espiras Para el cálculo de la capacidad entre espiras se ha construido un modelo formado por dos espiras de 35x0.5 mm aisladas con poliéster de 111 μm de espesor. Las espiras están rodeadas por una capa de resina epoxi de 5 mm, y desde ésta hasta la frontera del modelo hay 50 mm de aire. No hay inconveniente en definir unas dimensiones de resina y aire tan pequeñas porque los fenómenos se circunscriben al espacio entre espiras y a sus extremos. La condición de contorno que se toma es que la densidad de flujo sea tangente a la superficie de la frontera. Como existe simetría axial no se comete error al representar sólo un cuarto del arrollamiento. fig. 32 – modelo para calcular la capacidad entre espiras (izda.) y su sección (dcha.) El espesor del poliéster entre espiras (en rojo en la fig. 33) es la menor dimensión del modelo y por lo tanto la que determina el tamaño de los elementos de la malla si se quiere obtener una solución adecuada. Se ha elegido un tamaño máximo para cada elemento de 0.02 mm, que es cinco veces menor que el espesor del poliéster. Para el aire exterior a la resina el tamaño máximo se ha fijado en 20 mm, de modo que el tiempo de cálculo no sea muy elevado. fig. 33 – mallado en el extremo de las espiras - 47 - fig. 44 – representación gráfica de la matriz de inductancias El resultado de la simulación al inyectar corriente en el disco inferior se muestra en la fig. 45. Se puede ver la dispersión del flujo según nos alejamos del disco. También es interesante observar cómo el campo magnético apenas penetra en el arrollamiento de BT. Esto es así porque la BT está en cortocircuito y por lo tanto puede circular en ella una corriente que a su vez crea un flujo que se opone al flujo inicial. fig. 45 – líneas de flujo e inducción magnética en el cálculo de M1,j A2.4. Resistencia serie En el apartado A1.6 ya se ha explicado cómo la resistencia de un conductor en corriente alterna depende de la frecuencia de la corriente que lo atraviesa y cómo ésta se ha estimado en unos 30 kHz mediante la simulación del circuito equivalente con PSPICE. Para calcular la resistencia de cada disco con FEM tan sólo hay que repetir la simulación magnética con MagNet a esta frecuencia. El modelo a resolver es el mismo que se acaba de explicar en el apartado A2.3, solo que ahora se resuelve a 30 kHz en lugar de a 50 Hz y obtenemos el valor de la resistencia de una espira como la - 48 - relación entre la tensión que se induce en ella y la corriente que la atraviesa. Como ahora todos los discos se pueden conectar en serie sólo es necesario hacer una simulación. Pero en el circuito equivalente no tenemos la resistencia de una espira, sino la de un disco completo (Rs), por lo que es necesario sumar el valor de la resistencia de las 50 espiras que lo forman para obtener este valor. Los datos así obtenidos se muestran en la fig. 46. Hay que hacer notar que cada espira tiene una resistencia distinta porque el flujo que las atraviesa también es diferente, de modo que discos iguales pueden tener una resistencia serie muy distinta. fig. 46 – resistencia serie Rs para cada disco (valores en Ω) Si se comparan estos valores con los calculados a mano en el apartado A1.6 se comprueba que el error es muy grande. La resistencia obtenida mediante FEM es entre el 25% y el 50% del valor obtenido por el método aproximado, según el caso. Este error se justifica porque se trata de un fenómeno muy local, que en FEM se puede tratar con un mallado suficientemente fino, pero que es muy difícil de resolver de forma aproximada. El resultado de la simulación en la parte superior de los arrollamientos se muestra a continuación. Se puede ver cómo la corriente se distribuye de forma no homogénea en la sección del conductor, concentrándose en la periferia o en sus extremos, principalmente a causa del efecto proximidad. fig. 47 – líneas de flujo e inducción magnética (izda.) y densidad de corriente (dcha.) Rs1 Rs2 Rs3 Rs4 Rs5 Rs6 Rs7 Rs8 Rs9 Rs10 Rs11 Rs12 Rs13 Rs14 Rs15 Rs16 Rs17 Rs18 Rs19 Rs20 Rs21 Rs22 13.8 15.9 17.2 15.1 15.6 15.7 17.1 17.0 18.5 17.6 16.4 15.4 15.9 18.1 17.3 16.9 19.2 20.2 25.8 32.8 19.9 25.9 - 49 - ANEXO 3. CALCULO APROXIMADO DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO EN EL ARROLLAMIENTO DE BAJA TENSION A3.1. Capacidad entre espiras En el cálculo de la capacidad entre espiras hay que diferenciar entre las espiras normales que sólo tienen el aislamiento entre espiras entre ambas y las que además tienen un canal de refrigeración. Para las espiras normales el cálculo es análogo al que se ha empleado en el cálculo de la capacidad entre espiras en el arrollamiento de AT: ≈ԐԐ  Donde: : capacidad entre dos espiras consecutivas [F] : dimensión axial del conductor [m] : diámetro medio del arrollamiento [m] : espesor del aislamiento entre espiras [m] Sustituyendo se obtiene: ≈8.85×10⋅3.2·1.15·0.5335 3.4×10 =160 Para las espiras con un canal de refrigeración entre ambas hay que tener en cuenta que el aislamiento entre ellas no es homogéneo porque para formar el canal se añaden unos perfiles de fibra de vidrio. fig. 48 – canales de refrigeración (izda.) y detalle de los perfiles de fibra de vidrio (dcha.) De modo que para calcular la capacidad se debe emplear una permitividad relativa equivalente que tenga en cuenta esto: Ԑ=Ԑ·+Ԑ· Donde: - 50 - Ԑ: permitividad relativa equivalente [ ] Ԑ: permitividad relativa del aire [ ] Ԑ: permitividad relativa de la fibra de vidrio [ ] : porcentaje del canal ocupado por aire [p.u.] : porcentaje del canal ocupado por los perfiles [p.u.] Sustituyendo se obtiene: Ԑ =1·0.7+4·0.3=1.9 Para el cálculo de la capacidad se emplea la expresión para un condensador cilíndrico: ≈ 2Ԑℎ 1 Ԑln󰇡 󰇢 Donde: ℎ: altura del cilindro [m] : diámetro del dieléctrico i [m] Ԑ: permitividad relativa equivalente [ ] Sustituyendo para las dimensiones del canal interior se obtiene: ≈2·8.85×10·1.15 1 1.9ln󰇡0.518 0.49󰇢=2.2 Para el canal exterior, con diámetros 544 y 572 mm, obtenemos de forma análoga un valor de 2.4 nF. A3.2. Autoinductancia e inductancia mutua entre espiras El cálculo de las inductancias, mutuas y propias, se ha empleado la expresión que aparece en [11] para dos arrollamientos cilíndricos coaxiales de igual altura: ≈ (−) Con una función dependiente de los diámetros de los arrollamientos y que se define como: =12+1 16 − 1 128 − 5 2048  Donde: : número de espiras del arrollamiento i [ ] : diámetro del arrollamiento interior [m] : diámetro del arrollamiento exterior [m] : dimensión axial de los arrollamientos [m] - 51 - Al aplicar la expresión anterior hay que tener en cuenta que en lugar de dos arrollamientos tenemos sólo dos espiras acopladas. Sustituyendo para las espiras 1 y 2 se obtiene: ,=12+1 160.4696 0.4728− 1 1280.4696 0.4728− 5 20480.4696 0.4728=0.5517 ,≈4×10·1·1·0.4696 1.15(1.15−0.5517·0.4728)=146 De forma análoga se calculan las inductancias mutuas y propias entre todos los demás pares de espiras. Los resultados se muestran en la siguiente matriz: fig. 49 – matriz de inductancias (valores en H) En la fig. 50 se ha representado la matriz de inductancias de forma gráfica. Se puede observar cómo el acoplamiento es similar entre todos los elementos de la matriz. Esto no era así en el arrollamiento de AT, donde había diferencias de varios órdenes de magnitud entre los elementos de la diagonal principal y los que estaban más alejados de ella. Esta diferencia hay que buscarla en la simetría de un arrollamiento de banda, donde incluso las espiras más alejadas están a unos pocos centímetros de distancia. fig. 50 – representación gráfica de la matriz de inductancias esp. 1 esp. 2 esp. 3 esp. 4 esp. 5 esp. 6 esp. 7 esp. 8 esp. 9 esp. 10 esp. 11 esp. 12 esp. 13 esp. 14 esp. 15 esp. 16 esp. 17 esp. 18 esp. 19 esp. 20 esp. 21 esp. 22 esp. 23 esp. 1 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 1.41E-07 1.39E-07 1.39E-07 1.38E-07 1.38E-07 1.38E-07 1.37E-07 1.37E-07 1.37E-07 esp. 2 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 1.41E-07 1.39E-07 1.39E-07 1.38E-07 1.38E-07 1.38E-07 1.37E-07 1.37E-07 esp. 3 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 1.41E-07 1.39E-07 1.39E-07 1.38E-07 1.38E-07 1.38E-07 1.37E-07 esp. 4 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 1.41E-07 1.39E-07 1.39E-07 1.38E-07 1.38E-07 1.38E-07 esp. 5 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 1.41E-07 1.39E-07 1.39E-07 1.38E-07 1.38E-07 esp. 6 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 1.41E-07 1.39E-07 1.39E-07 1.38E-07 esp. 7 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 1.41E-07 1.39E-07 1.39E-07 esp. 8 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 1.41E-07 1.39E-07 esp. 9 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 1.41E-07 esp. 10 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.41E-07 esp. 11 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 esp. 12 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 1.42E-07 esp. 13 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 1.42E-07 esp. 14 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 1.42E-07 esp. 15 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 1.43E-07 esp. 16 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 1.43E-07 esp. 17 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 1.45E-07 esp. 18 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.45E-07 esp. 19 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 esp. 20 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 1.46E-07 esp. 21 1.47E-07 1.46E-07 1.46E-07 esp. 22 1.47E-07 1.46E-07 esp. 23 1.47E-07 - 52 - A3.3. Resistencia serie a) Resistencia serie óhmica El cálculo de la resistencia serie en continua es similar al realizado en el arrollamiento de AT, sólo que ahora corresponde a la resistencia de una espira en lugar de a la de un disco: =  Donde: : resistencia serie en continua [Ω] : resistividad del conductor [Ω m] : diámetro medio del arrollamiento [m] : dimensión axial del conductor [m] : dimensión radial del conductor [m] Teniendo en cuenta que el conductor es aluminio y para una temperatura de 20 ℃, se obtiene: =2.8265×10·0.5335 1.15·1.3×10=31.7 b) Resistencia serie adicional Al igual que ocurría en el arrollamiento de AT, se ha realizado una simulación preliminar con PSPICE de la distribución de tensión para obtener la frecuencia fundamental de la onda de corriente ante un impulso tipo rayo. Esta frecuencia es la de resonancia y depende de los valores de capacidades e inductancias, que son conocidos, pero es independiente del valor de la resistencia. El valor de la frecuencia de resonancia así obtenido es de unos 10 kHz. fig. 51 – Corriente a través de Rs1 Time 10us 15us 20us 25us 30us 35us 40us 45us 50us 55us 60us 65us 70us 75us 80us I(R_Rl1) -0.4A -0.2A -0.0A 0.2A 0.4A 0.6A 0.8A 1.0A I(R_Rl1) - 53 - La profundidad de penetración () ya se ha definido en el apartado A1.6 y su expresión es: =  Para el aluminio a 10 kHz la profundidad de penetración es 0.85 mm, que está cerca del espesor del conductor empleado. De modo que el aumento de resistencia causado por efecto skin en el arrollamiento de BT es pequeño y la resistencia en corriente alterna está determinada por el efecto proximidad. Se emplea la siguiente aproximación para el cálculo de la resistencia adicional, que se propone en [10]. El primer sumando corresponde al efecto skin, mientras que el segundo es el efecto proximidad: = ≈∆󰇩senh(2∆)+sen(2∆) cosh(2∆)−cos(2∆)+23(−1)senh(∆)−sen(∆) cosh(∆)+cos(∆)󰇪∆=  Donde: : coeficiente de resistencia adicional [ ] : número de capas del arrollamiento [ ] ∆: relación de penetración [ ] Sustituyendo se obtiene: ≈1.54󰇩senh(2·1.54)+sen(2·1.54) cosh(2·1.54)−cos(2·1.54)+23(23−1)senh(1.54)−sen(1.54) cosh(1.54)+cos(1.54)󰇪=263.8 Lo que supone una resistencia serie en corriente alterna () de 8.36 mΩ por espira. - 54 - ANEXO 4. CALCULO FEM DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO EN EL ARROLLAMIENTO DE BAJA TENSION A4.1. Capacidad entre espiras Para el cálculo de las capacidades entre espiras se han hecho dos simulaciones, una para las espiras normales y otra para las espiras que están una a cada lado de un canal de refrigeración. En este último caso, como el arrollamiento tiene dos canales, se han simulado las dos capacidades. Para el caso de las espiras normales se ha construido un modelo formado por dos espiras situadas en el diámetro medio del arrollamiento. La condición de contorno en todas las fronteras es densidad de flujo tangente a la superficie de la frontera y, como en otros casos, sólo se ha representado un cuarto de arrollamiento por tener el problema simetría axial. fig. 52 – modelo para calcular la capacidad entre espiras sin canal (izda.) y mallado (dcha.) Como el campo entre espiras es homogéneo excepto en sus bordes es interesante usar un mallado relativamente basto en todo el volumen a condición de que se emplee uno más fino en los extremos de las espiras. Así se evita un tiempo de cálculo muy elevado que sin embargo no significaría una solución más precisa. En este sentido, el tamaño de la malla va desde los 0.04 mm en los extremos de las espiras hasta los 20 mm en las zonas más alejadas, como puede verse en la fig. 52. El valor de la capacidad se obtiene de la carga, teniendo en cuenta que se ha aplicado una diferencia de potencial de 100 V entre ambas espiras. El resultado es de 161 nF, lo que supone un error menor del 1% comparado con el cálculo aproximado del apartado A3.1, que era de 160 nF. Este error tan pequeño es consecuencia de que la geometría se aproxima mucho a la de un condensador infinitamente largo. En la fig. 53 se muestra el resultado de la simulación para el borde inferior de las espiras. La solución es similar a la que se obtenía en el cálculo de la capacidad entre espiras en un disco de AT. También se - 55 - observa el fenómeno de concentración del campo en los cantos, a pesar de que están redondeados para reducir este efecto. fig. 53 – campo eléctrico, líneas equipotenciales (izda.) y líneas de flujo (dcha.) en espiras sin canal Para el caso de las espiras situadas en las caras de los canales, se ha construido un modelo con siete electrodos: cuatro corresponden a las espiras en las que se quiere calcular la capacidad y otros tres agrupan al resto de espiras. Así los tres bloques en los que los canales dividen radialmente al arrollamiento tienen dos electrodos (bloques exteriores) o tres (bloque central). De esta forma es posible obtener la capacidad entre las espiras de los canales sin que el cálculo se vea falseado por el resto de los electrodos, que al estar a su misma tensión las apantallan por una de sus caras. En el mallado se ha seguido un criterio similar al caso anterior, empleando un mallado más fino cerca de los extremos del arrollamiento. La diferencia de potencial entre un canal y el siguiente es 100 V y las condiciones de frontera no se han variado. También como en la simulación anterior, las capacidades se han obtenido calculando previamente la carga almacenada en cada par de electrodos. fig. 54 – modelo para calcular la capacidad entre espiras con canal (izda.) y detalle inferior (dcha.) - 56 - La capacidad calculada para las espiras del canal interior y exterior es de 2.20 y 2.43 nF, respectivamente. Comparándolo con el cálculo aproximado del apartado A3.1, que era de 2.20 y 2.40 nF, se comprueba que el error está en torno al 1% en ambos casos. El resultado de la simulación para el extremo inferior de los canales se puede ver en la fig. 55. Se observa que el campo es similar en ambos canales, y si la capacidad es diferente es sólo por la diferencia de diámetros. También se comprueba cómo el campo, por la diferencia en las constantes dieléctricas, es mayor en el aire que en los aislamientos. fig. 55 – campo eléctrico, líneas equipotenciales (izda.) y líneas de flujo (dcha.) en el extremo de los arrollamientos A4.2. Autoinductancia e inductancia mutua entre espiras El cálculo de las inductancias del arrollamiento de BT se ha hecho con el mismo modelo y método que se ha empleado para las del AT en el apartado A2.3, por lo que no se va a explicar de nuevo. Tan sólo es necesario cambiar la conexión entre espiras (fig. 56): las del AT están en serie y el circuito se cierra mediante una resistencia de 1 mΩ que simula la conexión en el ensayo de impulso; las de BT tienen una fuente de corriente y una resistencia, de modo que inyectando 1 A en una espira y dejando las demás abiertas con una resistencia de 1 MΩ se va completando la matriz de inductancias fig. 56 – definición de la conexión de las espiras de BT (arriba) y AT (abajo), fragmento - 63 - paralelo pensando que cuando se cortara la corriente en un circuito el otro seguiría conduciendo, pero el resultado fue similar al caso anterior. También se hicieron pruebas con un interruptor de mercurio con la idea de que un líquido no tendría rebotes, pero el resultado fue igual de malo. Finalmente se decidió emplear interruptores basados en transistores bipolares, aunque se sabía que su conmutación no iba a ser fácil porque la carga, que es el arrollamiento de BT, tiene una impedancia muy pequeña. Para explicar el funcionamiento del circuito que se ha montado, es útil dividirlo en tres etapas: la de carga, la de descarga y la de control. -La etapa de carga está formada por la fuente de alimentación U1, que carga a 12 V el condensador Cimpulso cuando el transistor Q1 conduce. -La de descarga incluye el transistor Q2 que hace que el condensador Cimpulso se descargue a través del arrollamiento que se quiere ensayar. Se han incluido varios elementos RLC para ajustar la forma de onda en función de la impedancia del arrollamiento que se conecte. -La etapa de control tiene cuatro amplificadores operacionales: U2 y U3 forman un generador de onda en diente de sierra simétrica y U4 y U5 se emplean como comparadores. Durante el semiciclo negativo de la onda en diente de sierra U4 satura Q1 que carga el condensador Cimpulso; y cuando esta onda es positiva y supera la tensión de comparación de U5 es Q2 el que descarga el condensador a través del arrollamiento. Entre el corte de Q1 y el disparo de Q2 hay un tiempo muerto regulable con R6 que evita que ambos conduzcan a la vez. fig. 67 – medida con el generador recurrente de construcción propia - 64 - ANEXO 6. FORMAS DE ONDA SIMULADAS Y MEDIDAS EN EL ARROLLAMIENTO DE ALTA TENSION A6.1. Tensiones a tierra A continuación se incluyen las gráficas nodo a nodo, su numeración coincide con la fig. 16 en pag. 20. fig. 68 – tensiones a tierra simuladas fig. 69 – tensiones a tierra medidas - 65 - fig. 70 – error absoluto cometido en las tensiones a tierra fig. 71 – tensiones a tierra simuladas (discos 1 a 6) fig. 72 – tensiones a tierra medidas (discos 1 a 6) fig. 73 – error absoluto cometido en las tensiones a tierra (discos 1 a 6) - 66 - fig. 74 – tensiones a tierra simuladas (discos 7 a 11) fig. 75 – tensiones a tierra medidas (discos 7 a 11) fig. 76 – error absoluto cometido en las tensiones a tierra (discos 7 a 11) - 67 - fig. 77 – tensiones a tierra simuladas (discos 12 a 16) fig. 78 – tensiones a tierra medidas (discos 12 a 16) fig. 79 – error absoluto cometido en las tensiones a tierra (discos 7 a 11) - 68 - fig. 80 – tensiones a tierra simuladas (discos 17 a 22) fig. 81 – tensiones a tierra medidas (discos 17 a 22) fig. 82 – error absoluto cometido en las tensiones a tierra (discos 17 a 22) - 69 - A6.2. Tensiones entre discos fig. 83 – tensiones entre discos simuladas fig. 84 – tensiones entre discos medidas fig. 85 – error absoluto cometido en las tensiones entre discos - 70 - fig. 86 – tensiones entre discos simuladas (discos 1 a 7) fig. 87 – tensiones entre discos medidas (discos 1 a 7) fig. 88 – error absoluto cometido en las tensiones entre discos (discos 1 a 7) - 71 - fig. 89 – tensiones entre discos simuladas (discos 7 a 12) fig. 90 – tensiones entre discos medidas (discos 7 a 12) fig. 91 – error absoluto cometido en las tensiones entre discos (discos 7 a 12) - 72 - fig. 92 – tensiones entre discos simuladas (discos 12 a 17) fig. 93 – tensiones entre discos medidas (discos 12 a 17) fig. 94 – error absoluto cometido en las tensiones entre discos (discos 12 a 17) - 79 - A7.2. Tensiones entre espiras fig. 113 – tensiones entre espiras simuladas fig. 114 – tensiones entre espiras medidas fig. 115 – error absoluto cometido en las tensiones entre espiras - 80 - fig. 116 – tensiones entre espiras simuladas (espiras 1 a 7) fig. 117 – tensiones entre espiras medidas (espiras 1 a 7) fig. 118 – error absoluto cometido en las tensiones entre espiras (espiras 1 a 7) - 81 - fig. 119 – tensiones entre espiras simuladas (espiras 7 a 12) fig. 120 – tensiones entre espiras medidas (espiras 7 a 12) fig. 121 – error absoluto cometido en las tensiones entre espiras (espiras 7 a 12) - 82 - fig. 122 – tensiones entre espiras simuladas (espiras 12 a 17) fig. 123 – tensiones entre espiras medidas (espiras 12 a 17) fig. 124 – error absoluto cometido en las tensiones entre espiras (espiras 12 a 17) - 83 - fig. 125 – tensiones entre espiras simuladas (espiras 17 a 23) fig. 126 – tensiones entre espiras medidas (espiras 17 a 23) fig. 127 – error absoluto cometido en las tensiones entre espiras (espiras 17 a 23)