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Facultad de Educación Universidad de Zaragoza Grado en Magisterio en Educación Primaria Trabajo Fin de Grado TIMSS, UNA PRUEBA INTERNACIONAL DE DIAGNÓSTICO DE MATEMÁTICAS: EXPERIMENTACIÓN Y ANÁLISIS SOBRE EL NÚMERO RACIONAL. Autor: Natalia Serrano Adiego Director: José María Muñoz Escolano Junio de 2014 2 ÍNDICE Resumen.................................................................................................................... pág. 4 Introducción.............................................................................................................. pág. 5 1. Marco Teórico....................................................................................................... pág. 7 1.1. Definición de las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico...................... pág. 7 1.2. Influencia de las pruebas...................................................................... pág. 10 1.3. Pruebas de Primaria – TIMSS.............................................................. pág. 13 1.4. Tópico Matemático elegido – Fracciones y Decimales....................... pág. 20 2. Objetivos............................................................................................................. pág. 32 3. Metodología........................................................................................................ pág. 33 3.1. Metodología asociada al objetivo 1..................................................... pág. 33 3.2. Metodología asociada al objetivo 2..................................................... pág. 36 3.3. Metodología asociada al objetivo 3..................................................... pág. 38 3.4. Metodología asociada al objetivo 4..................................................... pág. 46 4. Resultados........................................................................................................... pág. 47 4.1. Resultados asociados al objetivo 1....................................................... pág. 47 4.2. Resultados asociados al objetivo 2....................................................... pág. 53 4.3. Resultados asociados al objetivo 3....................................................... pág. 60 4.3.1. Resultados pregunta 1........................................................... pág. 64 4.3.2. Resultados pregunta 2........................................................... pág. 65 3 4.3.3. Resultados pregunta 3........................................................... pág. 66 4.3.4. Resultados pregunta 4........................................................... pág. 67 4.3.5. Resultados pregunta 5........................................................... pág. 68 4.3.6. Resultados pregunta 6........................................................... pág. 69 4.3.7. Resultados pregunta 7........................................................... pág. 71 4.3.8. Resultados pregunta 8........................................................... pág. 72 4.3.9. Resultados pregunta 9........................................................... pág. 72 4.3.10. Resultados pregunta 10....................................................... pág. 73 4.4. Resultados asociados al objetivo 4....................................................... pág. 74 5. Conclusiones....................................................................................................... pág. 76 Bibliografía............................................................................................................. pág. 80 Anexos.................................................................................................................... pág. 83 4 RESUMEN En el primer capítulo vamos a hablar del Marco Teórico que se ha utilizado para el desarrollo y elaboración del presente Trabajo Fin de Grado, es decir: se definirán las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico; se hablará de la influencia actual de las pruebas de diagnóstico tanto a nivel político como social; se hablará de la Prueba Internacional de Diagnóstico de Matemáticas en Educación Primaria más importantes, la prueba TIMSS; y finalmente se desarrollará el tópico matemático que hemos seleccionado, las fracciones y los números decimales, situándolo dentro de la Educación Primaria, y más concretamente, en 4º curso ya que es el curso en el que se lleva a cabo la realización de la prueba TIMSS y por lo tanto el que hemos elegido para llevar a cabo nuestro análisis. En el segundo capítulo se desarrollan los objetivos propuestos a conseguir con la realización de este Trabajo Fin de Grado. En el tercer capítulo se desarrolla la metodología con la que se ha procedido a la realización del presente Trabajo Fin de Grado con el fin alcanzar cada uno de los objetivos propuestos. En el cuarto capítulo se exponen los resultados obtenidos asociados a cada uno de los objetivos propuestos. Finalmente, en el quinto capítulo se desarrollan las conclusiones extraídas tras la realización de este Trabajo Fin de Grado. Para concluir, al final de este trabajo Fin de Grado se pueden encontrar las secciones de Bibliografía y Anexos. TIMSS – FRACCIONES – DECIMALES – ANÁLISIS. 5 INTRODUCCIÓN La realización del presente Trabajo Fin de Grado es conducente, tal y como su nombre indica, a la finalización de los estudios de Grado de Maestro en Educación Primaria, y por tanto a la obtención del título universitario. Con este Trabajo Fin de Grado se contribuye a que el alumno consolide e integre los conocimientos, destrezas y actitudes adquiridas por el alumno durante sus cuatro años de estudios universitarios. Hemos elegido la línea “Análisis de Pruebas de Diagnóstico de Matemáticas” del departamento de Matemáticas de la Facultad de Educación de Zaragoza porque tras haber leído y oído muchas veces en distintos contextos (académicos, sociales, políticos, etc.) los resultados de España en el informe PISA, la prueba de diagnostico internacional más conocida, teníamos un profundo interés en saber qué eran exactamente las pruebas de diagnóstico, cómo se elaboraban, cómo se llevaban a cabo, para qué servían, etc. Este Trabajo Fin de Grado está dirigido y tutorizado por José María Muñoz Escolano, profesor de la Universidad de Zaragoza en el departamento de Matemáticas. Creemos que este tema tiene una gran importancia ya que actualmente, la mayoría de noticias que recibe la opinión pública de los medios de comunicación sobre Educación son referidas a las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico, pero poca gente sabe qué son, en qué consisten, cómo se elaboran y se llevan a cabo, cómo se analizan los resultados y qué pasa después, para qué se utilizan, etc. Por lo que con este trabajo pretendemos conocer los aspectos básicos que cualquier docente de Matemáticas tendría que saber, o por lo menos, mostrar interés. A través de las siguientes líneas me gustaría agradecer a todas las personas e instituciones que han hecho posible el que yo esté finalizando este grado universitario con la realización del presente trabajo: 6 Gracias a la Universidad de Zaragoza, y a la Facultad de Educación más concretamente, por acogerme con los brazos abiertos hace cuatro años, por enseñarme y guiarme en esta etapa de mi vida en la que me he formado para tener un futuro en el que pueda hacer lo que me gusta: enseñar, transmitir valores positivos, educar, es decir, convivir con las futuras generaciones. Gracias a mi tutor, José María Muñoz, porque tras ser mi profesor durante dos años en los que adquirí una nueva visión de las Matemáticas, ahora me dirige en este tramo final sabiendo trasladar mis ideas y resolviendo mis dudas antes casi de que apareciesen. Gracias al Colegio Nuestra Señora del Castillo de Alagón por partida doble, primero porque fue el centro en el que pasé trece años de mi vida, y en el que aprendí conocimientos, valores, actitudes, en definitiva, una gran parte de lo que me caracteriza; y segundo porque es el centro que ahora me vuelve a recibir para finalizar mis estudios, guiándome en mi labor como futura docente, y permitiéndome llevar a cabo la puesta en práctica de este proyecto. Dejo para el final lo más importante, gracias a mi familia y amigas que siempre me han apoyado, me han dado ánimos, y nunca me han permitido tirar la toalla, sin todos ellos no estaría aquí ahora, ya que han contribuido a que yo sea como soy y nunca tendré suficientes palabras para agradecerles los esfuerzos que han hecho por mí. 7 CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO Este apartado contiene toda la información relevante sobre las Pruebas de Diagnóstico de Matemáticas, que ha sido recogida durante la primera fase de búsqueda y lectura de artículos e investigaciones relacionadas con el tópico de este Trabajo de Fin de Grado, y que sirve como base para la realización del mismo. 1.1. Definición de las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico La Evaluación de Diagnóstico (o evaluación diagnóstica) es a veces también llamada evaluación inicial, ya que busca conocer qué es lo que el alumno sabe en un determinado momento sobre un determinado tema, y esto se suele realizar al iniciar una etapa, curso académico, unidad didáctica... Una prueba de diagnóstico mide en qué nivel está un estudiante en términos de sus conocimientos y habilidades. Se evalúan las habilidades que el estudiante tiene en un determinado momento para resolver problemas o para responder preguntas en un área temática. Normalmente, las Pruebas de Evaluación de Diagnostico no suelen tener valor académico (no influyen en la calificación de los alumnos) ya que se llevan a cabo para conocer el nivel de los alumnos, por lo que tienen carácter informativo para la comunidad educativa y orientador para el maestro ya que a partir de ellas puede realizar modificaciones en sus clases para que los alumnos mejoren. Podemos encontrar Pruebas de Evaluación de Diagnóstico de Aula que buscan conocer el nivel de los alumnos en un aula determinada, por lo que son realizadas por el maestro que es quien las crea, establece sus criterios de corrección, las lleva a su aula, las realiza y corrige para saber el nivel de su clase y finalmente busca que los alumnos mejoren. 8 Por otro lado, también podemos encontrar Pruebas de Evaluación de Diagnóstico del Sistema Educativo que buscan conocer el nivel que llevan todos los alumnos que estudian un mismo curso dentro de un mismo Sistema Educativo, estas pruebas son creadas por el Gobierno que es quien también establece los criterios de evaluación. Dichas pruebas se llevan a cabo en varios centros educativos elegidos previamente como muestra y tienen como finalidad la mejora de dicho Sistema Educativo. Las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico admiten diferentes clasificaciones:  Por ámbito o asignaturas cuando evalúan los conocimientos de una determinada área curricular (Lengua, Comprensión Lectora, Ciencias, Matemáticas, etc.),  Por niveles educativos atendiendo a si se realizan en Educación Infantil, Educación Primaria, Educación Secundaria Obligatoria, Educación para Adultos...  Por ámbito de aplicación atendiendo a si se realizan a nivel de Comunidad Autónoma, a nivel Nacional o a nivel Internacional. Para finalizar este epígrafe, cabe mencionar algunas de las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico más importantes clasificadas según los criterios anteriormente mencionados:  PISA: prueba que evalúa los conocimientos en Ciencias, Matemáticas y Lectura en alumnos de 16 años (Educación Secundaria) y de carácter internacional. Es llevada a cabo por la OCDE.  PIAAC: prueba que evalúa las Competencias Matemática y Lectora en la población adulta a nivel internacional, es llevada a cabo por la OCDE. 9  TIMSS: prueba que evalúa los conocimientos en Matemáticas y Ciencias en alumnos de 4º de Educación Primaria y 2º de Educación Secundaria, es de carácter internacional y llevada a cabo por la IEA.  TEDS – M: prueba que evalúa los conocimientos en Matemáticas de los futuros Maestros realizada con carácter internacional, es llevada a cabo por la IEA.  Evaluaciones Generales de Diagnóstico: evalúan la consecución de las Competencias Básicas (en las asignaturas de Lengua Castellana, Lengua Inglesa, Matemáticas y Ciencias) en 4º y 6º de Educación Primaria y 2º de Educación Secundaria en el Sistema Educativo Español, es decir, a nivel nacional y son llevadas a cabo por el Gobierno español.  Evaluaciones Autonómicas de Diagnóstico: evalúan la consecución de las Competencias Básicas (en las asignaturas de Lengua Castellana, Lengua Inglesa, Matemáticas y Ciencias) en 4º y 6º de Educación Primaria y 2º de Educación Secundaria a nivel autonómico, es llevada a cabo por las Consejerías de educación de los gobiernos autonómicos. A continuación, destacamos otras pruebas de diagnóstico que miden otros ámbitos de conocimiento distintos a las Matemáticas a nivel internacional:  PIRLS: prueba que evalúa la Comprensión Lectora en alumnos de 4º de Educación Primaria, es de carácter internacional y llevada a cabo por la IEA.  TALIS: prueba sobre los aspectos profesionales y pedagógicos del profesorado de cada país, tiene carácter internacional y es llevada a cabo por la OCDE.  EECL: (Estudio Europeo de Competencia Lingüística) evalúa el dominio de las lenguas extranjeras europeas a los alumnos de último curso de Educación Secundaria Obligatoria, (en España se evalúan el Inglés y el Francés) tiene carácter internacional ya que se desarrolla a nivel de la Comunidad Europea y es llevado a cabo por la Comisión Europea. 16 Los estudiantes tuvieron 36 minutos para completar la prueba matemática (o científica), y después de realizar un descanso tuvieron otros 36 minutos para completar la prueba del área curricular que les faltase ya que cada cuadernillo estaba ordenado de manera diferente para evitar que los alumnos se copiasen. (IEA, 2012). Las pruebas tuvieron dos formatos de pregunta: preguntas de elección múltiple que ofrecían a los alumnos cuatro respuestas de las cuales solo una era válida, y preguntas de respuesta construida en las que se buscaba que el alumno redactase la respuesta por escrito. Una vez que los alumnos realizaron la prueba, entonces completaron el cuestionario de contexto (que es el mismo par todos) donde respondieron a cuestiones sobre los aspectos de su vida tanto en casa como en el colegio y que se realizó en unos 15 – 30 minutos. Los profesores de Matemáticas también rellenaron un cuestionario de contexto en el que respondieron preguntas sobre sus características como profesores, el contexto del aula en la que se llevan a cabo los procesos de enseñanza – aprendizaje, y por último, los temas matemáticos vistos durante el curso. Este cuestionario no duró más de 30 minutos. Los directores de los centros también contestaron un cuestionario de contexto en el que se preguntó sobre los recursos del centro, la participación de los padres, las características del centro, etc. en un tiempo de no más de 30 minutos. Finalmente, el Coordinador Nacional de Investigación de cada país tuvo que contestar a un cuestionario sobre el Currículo de su país. TIMSS 2011 para 4º de Educación Primaria tuvo dos categorías de estudio diferentes para Matemáticas: los dominios de contenido y los dominios cognitivos. (IEA, 2012). 17 Los dominios de contenido especifican los temas que han de evaluarse dentro de las Matemáticas. Se establecen tres dominios de contenido distintos para 4º de Educación Primaria:  Números: que incluye la comprensión del valor posicional de las cifras, de las maneras de representar los números, y de las relaciones entre los números. Dentro de este dominio se pueden encontrar cuatro subtemas:  Números Naturales.  Fracciones y decimales.  Expresiones numéricas con números naturales.  Modelos y relaciones.  Formas y medidas geométricas: este dominio incluye las propiedades de las figuras geométricas como longitudes de los lados, dimensiones de los ángulos, áreas y volúmenes. Dentro de este dominio se pueden encontrar dos subtemas:  Puntos, líneas y ángulos.  Formas bidimensionales y tridimensionales.  Presentación de datos: este dominio incluye la comprensión de cómo recopilar datos, organizar los datos recopilados por uno mismo o por otros, la representación de los datos en gráficos y tablas de forma que sean útiles para responder a las preguntas que propiciaron esa recopilación. Dentro de este dominio de contenido podemos encontrar dos subtemas:  Lectura e interpretación.  Organización y representación. 18 Los dominios cognitivos describen los conjuntos de comportamientos que se esperan de los estudiantes al enfrentarse al contenido de las Matemáticas. Se establecen tres dominios cognitivos distintos para 4º de Educación Primaria:  Conocer: cubre los hechos, conceptos y procedimientos que necesitan conocer los alumnos. Dentro de este dominio cognitivo podemos encontrar los siguientes subdominios:  Recordar definiciones, vocabulario, etc.  Reconocer e identificar objetos matemáticos, expresiones matemáticas, etc.  Calcular, es decir, conocer los procedimientos algorítmicos.  Recuperar información de gráficos, tablas y otras fuentes.  Medir.  Clasificar y ordenar según propiedades comunes o atributos.  Aplicar: se centra en la capacidad de los alumnos para aplicar el conocimiento y la comprensión conceptual a la hora de resolver problemas o contestar a preguntas. Dentro de este dominio cognitivo podemos encontrar los siguientes subdominios:  Seleccionar métodos o estrategias eficientes para resolver problemas.  Representar información y datos en tablas, cuadros, etc.  Modelo. Generar un modelo adecuado como una ecuación, figura geométrica...  Poner en práctica un conjunto de instrucciones matemáticas.  Resolver problemas de rutina. 19  Razonar: va más allá de la solución de problemas de rutina para abarcar situaciones no conocidas, contextos complejos y problemas con múltiples etapas, dentro de este dominio cognitivo podemos encontrar los siguientes subdominios:  Analizar: determinar, describir o usar relaciones entre variables y hacer inferencias validas a partir de la información dada.  Generalizar / Especializar: extender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables.  Integrar / Sintetizar: realizar conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas con ellos.  Justificar: proporcionar pruebas de la validez de un enunciado mediante referencia a resultados matemáticos.  Resolver problemas no rutinarios. Tras la realización de TIMSS 2011 para 4º de Educación Primaria y su posterior análisis y estudio, se publicaron los resultados globales para cada país, el promedio global de todos los países participantes en TIMSS Matemáticas 4º E.P. 2011 es de 491 puntos, el promedio de la OCDE es de 522, y España obtuvo una puntuación de 482 puntos. (IEA, 2013). Si analizamos los resultados por dominios, España obtuvo 487 puntos en “Números”, 476 en “Formas y medidas geométricas” y 479 puntos en “Presentación de datos”. Las diferencias entre los tres dominios pueden reflejar que no se dedica idéntica atención a los tres dominios en la clase de Matemáticas, además de la dificultad de cada uno de ellos, entre otras posibles causas. (IEA, 2013). 20 La puntuación de España, inferior a la mayoría de los países de nuestro entorno, parece reafirmar la necesidad de revisar la atención dedicada a las Matemáticas en el Sistema Educativo Español. Dado que es una materia instrumental, resulta fundamental que los alumnos tengan una buena formación inicial en Matemáticas como base para futuros aprendizajes. Finalmente, para concluir este epígrafe, vamos a mencionar algunas de las principales repercusiones de TIMSS para la educación y la sociedad. (IEA, 2012). TIMSS proporciona información que ayuda a los países a controlar y evaluar la enseñanza de las Matemáticas (y de las Ciencias) a través del tiempo y de los cursos, por lo que al participar en TIMSS un país puede: disponer de datos para realizar comparaciones internacionales, evaluar su progreso en el aprendizaje de las Matemáticas (y de las Ciencias), comprender los contextos en los que el alumnado aprende mejor, y las dos repercusiones más importantes para la educación y la sociedad serian: conocer que aspectos tienen que mejorar, y utilizar TIMSS para resolver temas de políticas interiores. 1.4. Tópico Matemático elegido – Fracciones y Decimales A partir de ahora, para la realización de este trabajo, nos vamos a centrar en un único tópico Matemático: las Fracciones y Números Decimales en 4º de Educación Primaria, para llevar a cabo su análisis en las diferentes pruebas TIMSS, Evaluaciones Generales de Diagnóstico, etc. y ver la evolución de la evaluación de este tópico a lo largo del tiempo. Además sobre este tópico crearemos y realizaremos una prueba de diagnóstico para obtener nuestros propios resultados. La situación de este tópico matemático en 4º de Educación Primaria la encontramos en primera instancia en el Currículo de Aragón en el que se establecen los siguientes contenidos en relación a las fracciones y decimales:  Los números fraccionarios para expresar el resultado de la medida y el reparto en contextos reales. Lectura y escritura de fracciones: significado de numerador y denominador. 21  Comparación entre fracciones con igual numerador o igual denominador, como cantidades de magnitud, mediante ordenación y por medio de la recta numérica. (Currículum de Aragón, 2007). Durante la realización del presente Trabajo Fin de Grado se aprobó el Currículo de Educación Primaria de acuerdo con la LOMCE, por lo que este nuevo currículo sustituye al anterior y establece los contenidos que un alumno debe de haber trabajado al finalizar la Educación Primaria. (Real Decreto 126/2014 por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria., 2014) De acuerdo con este Currículo General, la Consejería de Educación de la Comunidad Autónoma de Aragón procedió a publicar un primer borrador del que puede que sea el currículo oficial para Educación Primaria en Aragón. (Borrador del Currículo de Primaria de Aragón (LOMCE), 2014). Según este borrador, se establece que en el tópico de Fracciones y Decimales se trabajarán los siguientes contenidos siguiendo una nueva secuencia:  4º de Educación Primaria:  Ordenación de números decimales hasta las decimas.  5º de Educación Primaria:  Ordenación de decimales hasta las centésimas  Ordenación de decimales en las que el numerador es mayor que el denominador.  Sumas y restas de fracciones con el mismo denominador  Sumas, restas y multiplicación con números decimales hasta las centésimas.  Correspondencia entre fracciones sencillas y porcentajes. 22  6º de Educación Primaria:  Decimales hasta las milésimas  Concepto de fracción como relación entre las partes y el todo  Fracciones propias e impropias. Números mixtos.  Fracciones equivalentes, reducción de dos o más fracciones a común denominador.  Relación entre fracción y número decimal  Operaciones con números decimales  Operaciones con fracciones Pero, como hemos mencionado anteriormente, todo esto es un borrador de la nueva ley que entrará en vigor el próximo septiembre, por lo que una vez hechas las aclaraciones oportunas, seguiremos trabajando según el currículo que se encuentra en vigor en estos momentos, y ese es el Currículo de Aragón 9 de mayo de 2007. Es necesario destacar que es en 4º de Educación Primaria cuando se introducen los tópicos de fracciones y números decimales, es decir, es en este curso cuando comienzan a trabajar con este tópico ya que el Currículo de Aragón 9 de mayo 2007 no contempla que se vea con anterioridad. Aunque es en 6º de Educación Primaria donde se trabaja este tópico con más profundidad, y por lo tanto podemos encontrar más actividades, pruebas, y subcontenidos, nosotros preferimos centrarnos en 4º curso de Educación Primaria porque es el curso que está contemplado en las pruebas TIMSS. 23 Podemos observar que en el Currículo de Aragón no se hace referencia a las operaciones entre fracciones ni a nada relacionado con el número decimal, sin embargo, en TIMSS estos aspectos sí que aparecen como contenido. Además, si nos fijamos en los libros de texto de Matemáticas de 4º de Educación Primaria, estos contenidos están incluidos. Para saber con exactitud qué contenidos de fracciones y decimales son los que se trabajan en 4º de Educación Primaria, hemos cogido el libro de texto que usan en el Colegio Nuestra Señora del Castillo, centro en el que más adelante pasaremos la prueba que vamos a elaborar, este libro es “Matemáticas 4º E.P. Proyecto 2.0 SM” Los contenidos de fracciones y decimales que aparecen en este libro de texto son los siguientes:  La fracción como representación de una partición.  Lectura y escritura de fracciones.  Representación grafica de fracciones.  Relación de una fracción con su lectura o su representación grafica.  Identificación de los términos de una fracción.  Comparación y ordenación de fracciones.  Representación de la unidad por medio de fracciones.  Cálculo de la fracción complementaria.  Cálculo de la fracción de un número.  Resolución de problemas con fracciones.  Sumas de fracciones con igual denominador  La medida del número decimal. 24  Lectura y escritura de números decimales.  Relación entre fracción y número decimal.  Transformación de una fracción en número decimal y viceversa.  Identificación de la parte entera y decimal de un número.  La décima y la centésima.  Reconocimiento del valor de una cifra según su posición.  Comparación de números decimales.  Suma y resta de números decimales.  Resolución de problemas con números decimales. Por último, para acabar este epígrafe, debemos tener en cuenta cómo se lleva a cabo la enseñanza y aprendizaje tanto de las fracciones como de los decimales en Educación Primaria desde el punto de vista de la Educación Matemática. Para la enseñanza y aprendizaje de las fracciones en Educación Primaria se utilizan unos determinados Modelos de Aprendizaje (Gairín, 1998). La noción de modelos de aprendizaje surge porque el constructivismo postula la necesidad de que el alumno construya ideas matemáticas a partir de la resolución de problemas. A partir de esta idea, se utiliza el término modelos de aprendizaje para designar un entorno sobre el que el alumno pueda actuar y reflexionar para que mediante esta interacción avance en la construcción del conocimiento cuyo aprendizaje se promueve. Desde la didáctica de las matemáticas, la finalidad del modelo de aprendizaje es la de crear condiciones adecuadas para que surja el conocimiento matemático y su función es favorecer el razonamiento abstracto a partir de percepciones sensoriales. Lo que se ofrece al alumno son situaciones problemáticas enmarcadas en un modelo para que construya el concepto matemático. 25 Los modelos de aprendizaje para la enseñanza y aprendizaje de las fracciones se definen a partir de cuatro variables:  Objetos en los que es perceptible cierta cantidad de una magnitud medible y son susceptibles de ser fraccionados.  Una magnitud medible.  Acciones que provocan alteraciones en la cantidad de magnitud apreciable en los objetos.  Unas técnicas o modos de realizar las acciones. A continuación, vamos a definir los modelos más importantes, o más utilizados, para la enseñanza de las fracciones en Educación Primaria.  El modelo de aprendizaje parte–todo es el modelo de aprendizaje que sustenta la enseñanza del significado del número racional en Primaria (Gairín & Muñoz). Los alumnos tienen que interpretar en la representación grafica, aquellos aspectos que representan el “todo” y los que representan las partes destacadas, por lo que los alumnos deben de realizar un doble recuento (el de las partes que forman el “todo” y el de las partes destacadas) para finalmente representar, de forma simbólica, el resultado de los dos recuentos colocando debajo de una raya el resultado de contar el “todo” y encima de la raya el resultado de contar las partes destacadas. (Escolano & Gairín, 2005).  Desde el modelo de medida, la representación fraccionaria surge de la necesidad de comunicar el resultado de una acción de medida de una cantidad de magnitud continua. Los números naturales se muestran insuficientes para expresar el resultado de la medida de cantidades si la unidad de medida no está contenida un número entero de veces en la cantidad a medir y es en esta situacion cuando la fracción adquiere pleno sentido. Los alumnos tienen que manipular y construir nuevas unidades de medida, que son subunidades de una unidad dada, para medir un objeto determinado. 32 CAPÍTULO 2: OBJETIVOS Este Trabajo de Fin de Grado tiene unos objetivos propios y específicos que pretendemos alcanzar durante el proceso de realización del mismo. Estos objetivos son: 1. Recoger y analizar la aparición de las Fracciones y Decimales en TIMSS: buscar en todas las ediciones de TIMSS el tratamiento que se le da a dicho tópico y los ítems o preguntas relacionados con él para realizar un posterior análisis sobre la importancia de este tópico en la educación matemática. 2. Elaborar una Prueba de Diagnóstico centrada en las Fracciones y los Decimales: elaborar una Prueba de Diagnóstico, utilizando ítems liberados y otros de creación propia siguiendo los criterios de diseño establecidos por TIMSS. 3. Experimentar y Analizar: realizar la prueba elaborada en una clase de 4º de Educación Primaria y analizar los resultados obtenidos en la clase tomada como muestra. 4. A la luz de los resultados, realizar propuestas de mejora. 33 CAPÍTULO 3: METODOLOGÍA En este capítulo desarrollaremos la metodología empleada para la consecución de los diferentes objetivos propuestos en el capítulo anterior, es decir, los diferentes procesos utilizados para desarrollar el presente Trabajo Fin de Grado. 3.1. Metodología utilizada para la consecución del primer objetivo Comenzamos el Presente Trabajo Fin de Grado realizando una búsqueda en las páginas web oficiales para obtener todos aquellos documentos que nos pudieran interesar, es decir, los relativos a las Evaluaciones de Diagnóstico. Las diferentes páginas web que utilizamos para la realización de dicha búsqueda fueron:  Instituto Nacional de Evaluación Educativa (http://www.mecd.gob.es/inee/portada.html)  International Association for the Evaluation of Educational Achievement (http://www.iea.nl/) Desde la página web del INEE nos descargamos todos aquellos documentos que nos parecieron relevantes para realizar una primera fase de lecturas previas en la que obtendríamos toda la información necesaria para llevar a cabo el presente Trabajo. Los documentos que escogimos fueron documentos oficiales relacionados con las pruebas de Evaluación de Diagnóstico de Matemáticas, ya que es el área que nos ocupa. Seleccionamos diferentes documentos o pruebas existentes para cada uno de los diferentes ámbitos de aplicación existentes, es decir, tanto nacionales y autonómicos como internacionales y para los diferentes niveles educativos (Primaria, Secundaria, Educación para Adultos y Evaluación de Maestros). Asimismo, también nos descargamos todas las preguntas liberadas que habían sido publicadas a lo largo de los años de cada una de las diferentes pruebas existentes. 34 Para la consecución del primer objetivo propuesto para este Trabajo Fin de Grado, “Recoger y analizar la aparición de las Fracciones y Decimales en TIMSS: buscar en todas las ediciones de TIMSS el tratamiento que se le da a dicho tópico y los ítems o preguntas relacionados con él para realizar un posterior análisis sobre la importancia de este tópico en la educación matemática” realizamos el siguiente procedimiento: Tras realizar una primera lectura para adquirir un primer conocimiento de qué son las Evaluaciones de Diagnóstico y qué exactamente evalúa cada una de las pruebas existentes para Matemáticas, decidimos que queríamos trabajar sobre las pruebas de Evaluación de Diagnóstico de Matemáticas en Educación Primaria y que tuvieran carácter internacional, por ello decidimos que nos centraríamos en las pruebas TIMSS. Después de esto, elegimos el tópico matemático que queríamos desarrollar en este Trabajo Fin de Grado, las Fracciones y Decimales, decidimos trabajar sobre este tópico porque es el que, en el Sistema Educativo Español, los alumnos empiezan a ver en 4º de Educación Primaria, curso en el que se realiza la prueba TIMSS. Así pues, volvimos a la página web del INEE y nos descargamos todos los documentos que había sobre las pruebas TIMSS. Como necesitábamos más información sobre las pruebas TIMSS, buscamos la página web de la IEA, la agencia que se encarga de dicha prueba, y escogimos algunos documentos de la versión inglesa que nos ayudaron a entender mejor el funcionamiento de la prueba. Tras tener todos los documentos que necesitábamos, procedimos a una lectura más exhaustiva para poder definir en qué consiste la prueba TIMSS y la visión que tiene sobre el tópico matemático que hemos elegido. También buscamos todas las preguntas de las pruebas TIMSS que habían sido liberadas a lo largo de los años, tanto de las versiones españolas de TIMSS 1995 (INCE, 1997), TIMSS 2003 (IEA, 2002) y TIMSS 2007 (IEA, 2008) como de la inglesa de TIMSS 2011 (IEA, 2013) ya que esta última aun no ha sido publicada en español. 35 Encontramos un total de 157 ítems liberados pertenecientes a los diferentes dominios de contenidos existentes para TIMSS, como solo nos interesaban los relacionados con el tópico matemático Fracciones y Números Decimales, realizamos una búsqueda más exhaustiva en la que leímos y resolvimos todos los ítems. Escogimos los ítems relacionados con los números racionales mediante el análisis de la presencia de fracciones y números decimales en el enunciado de la tarea y en las soluciones, sin embargo no escogimos o no tuvimos en cuenta aquellos ítems en los que los números racionales aparecían solamente en el proceso de resolución ya que los alumnos podrían seguir otra estrategia de resolución en la que no utilizasen los números racionales. Así pues, encontramos un total de 17 ítems liberados1 relacionados con las fracciones y los decimales y establecimos la siguiente clasificación para realizar el análisis de los mismos que se desarrollará en el apartado 4.1 resultados asociados al primer objetivo.  El ítem trabaja las fracciones o los decimales.  El ítem tiene un contexto o no (es una situación formal).  La respuesta de la pregunta es de construcción cerrada, de construcción abierta o de opción múltiple.  El ítem es un problema, una situacion formal de operaciones o una situacion forma de orden (ordenar considerando las fracciones o decimales números abstractos).  Dominio cognitivo evaluado en el ítem (conocimiento, aplicación o razonamiento). 1 Estos ítems se encuentran incluidos en el Anexo I. 36  Qué modelo de aprendizaje de las fracciones se refleja en el ítem (parte – todo, medida, operador, reparto, razón o es considerado como número abstracto).  Qué modelo de aprendizaje de los números decimales se refleja en el ítem (medida o decimal como número abstracto). 3.2. Metodología utilizada para la consecución del segundo objetivo Como hemos mencionado en el capitulo anterior, el segundo objetivo propuesto para la realización de este Trabajo Fin de Grado es “Elaborar una Prueba de Diagnóstico centrada en las Fracciones y los Decimales: elaborar una Prueba de Diagnóstico, utilizando ítems liberados y otros de creación propia siguiendo los criterios de diseño establecidos por TIMSS” Hemos elaborado una prueba sobre fracciones y números decimales para 4º de Educación Primaria siguiendo los mismos criterios que se siguen para elaborar los ítems de TIMSS, para ello hemos utilizado las directrices propuestas por José Diego en el Seminario de Comillas de Septiembre de 2013. Decidimos que nuestra prueba tendría diez ítems, ya que así al trabajar sobre diez se pueden extrapolar los datos mejor y además pensamos que los alumnos suelen estar acostumbrados a pruebas con ese número de preguntas y que un número mayor de ítems les resultaría agobiante. Sin embargo, decidimos que nuestra prueba tendría seis ítems de fracciones y cuatro de decimales ya que, además de considerar más interesante poder cubrir o evaluar más aspectos del aprendizaje de las fracciones, seguimos así la tendencia de TIMSS en la que hay más preguntas de fracciones que de decimales (como podremos observar en el primer apartado de los resultados). Queríamos que cada uno de los diferentes ítems trabajase o evaluase un aspecto diferente por lo que nos establecimos unos criterios para seleccionar cada ítem y elaborar la prueba, definiendo nuestra prueba de la siguiente manera: 37  Un ítem de fracciones desde el modelo parte – todo  Un ítem de comparación de fracciones  Un ítem de fracciones desde el modelo de operador  Un problema aritmético (fracciones desde el modelo parte – todo)  Un problema aditivo de fracciones desde el modelo de medida  Un problema de fracciones desde el modelo de reparto  Un problema aditivo de una etapa de decimales  Un problema aditivo de dos etapas de decimales  Un ítem de orden de decimales  Un problema multiplicativo de una etapa de decimales, en el que se multiplique el decimal por un número entero. Después de haber definido los criterios para la selección y elaboración de los ítems de la prueba, realizamos una búsqueda entre los ítems liberados analizados en el apartado anterior y seleccionamos aquellos que coincidían con nuestros criterios. Para aquellos criterios para los que no había ítems liberados disponibles, decidimos elaborarlos nosotros mismos, siguiendo como hemos mencionado anteriormente las directrices propuestas por José Diego en el Seminario de Comillas de Septiembre de 2013. La prueba elaborada con un pequeño comentario sobre cada ítem, es decir, el resultado para el segundo objetivo, se desarrollará en el apartado 4.2. Resultado asociado al segundo objetivo. 38 3.3. Metodología utilizada para la consecución del tercer objetivo Como hemos mencionado en el capitulo anterior, el tercer objetivo propuesto para la realización de este Trabajo Fin de Grado es “Experimentar y Analizar: realizar la prueba elaborada en una clase de 4º de Educación Primaria y analizar los resultados obtenidos en la clase tomada como muestra.” Como podemos observar este objetivo se puede dividir en dos subapartados, el primero de ellos es experimentar, es decir, pasar la prueba en una clase de 4º de Educación Primaria. Para llevar a cabo la consecución de dicho objetivo aprovechamos el periodo de Prácticas Escolares, y pedimos a la Directora del Centro Nuestra Señora del Castillo de Alagón (colegio en el que realizaba las prácticas) que nos dejase pasar la prueba en la clase de 4º de Educación Primaria. El colegio Nuestra Señora del Castillo de Alagón es un colegio concertado perteneciente a la congregación de las Hermanas de la Caridad de Santa Ana que dispone de una vía para cada uno de los cursos que se ofrecen (desde 1º de Educación Infantil hasta 4º de Educación Secundaria). La muestra a la que se le pasó la prueba, es decir, la clase de 4º de Educación Primaria está formada por 25 alumnos, creemos necesario mencionar que uno de los alumnos, que es el único que está repitiendo 4º de Educación Primaria, está atravesando una situación complicada y esto repercute en su actividad académica. La prueba se les pasó a los alumnos de 4º de Educación Primaria del Colegio Nuestra Señora del Castillo el 29 de Abril de 2014 en el horario de 10:30 a 11:30, por lo que los alumnos tuvieron un total de sesenta minutos para realizarla, aunque la mayoría de ellos la finalizaron antes de que se acabase la hora. La prueba la realizaron un total de 24 alumnos, ya que ese día uno de ellos faltó a clase por razones médicas. 39 En cuanto a las condiciones de realización de la prueba, a los alumnos se les pidió que se colocasen formando filas y columnas individuales porque iban a realizar un pequeño examen (los alumnos normalmente están dispuestos en grupos para trabajar de forma cooperativa), la tutora les dijo que esta prueba iba a contar para nota para que la se esforzasen y la realizasen lo mejor que pudiesen. Una vez que los alumnos estuvieron dispuestos, se procedió a repartir las pruebas y se les indicó que en la mesa solo podían tener lápiz y goma de borrar. Cuando todos los alumnos tenían su prueba, procedimos a leer la prueba una primera vez en voz alta, es decir, se les leyó cada pregunta antes de que comenzasen y se contestaron a las dudas que les surgieron (que fueron todas dudas de comprensión). Cuando se terminó de leer la prueba, se dio la orden de que podían comenzar y los alumnos comenzaron a trabajar en silencio. Si alguno de ellos tenía una duda, levantaba la mano, pero se le volvía a explicar lo mismo que cuando se habían leído las preguntas. El alumno con dificultades mencionado anteriormente intentó devolver la prueba varias veces antes de que la hora pasase diciendo que no lo sabía hacer, pero le insistimos en que se esforzase un poco y lo intentase. Las pruebas se realizaron de forma anónima, se les dijo que en ningún momento pusieran su nombre, una vez que terminaban la prueba y la entregaban escribimos un código en el recuadro superior derecho que era el número de orden en el que lo habían entregado, así podíamos hablar posteriormente de la prueba “1” pero sin saber que alumno había realizado esa prueba. Para la consecución de la segunda parte de este objetivo, la parte de analizar, corregimos primero todas las pruebas, decidiendo que se puntuaría con un 1 si la pregunta estaba contestada correctamente y con un 0 si había sido contestada de manera incorrecta o si estaba en blanco. 40 Una vez corregidas las pruebas, los datos se trasladaron a unas tablas Excel para facilitar el posterior análisis y comparación, así pues, se elaboraron las dos primeras tablas. En la primera tabla se pusieron las diez preguntas en la primera fila y a los 24 alumnos en la primera columna, poniendo la puntuación que había obtenido cada alumno en cada pregunta para así poder obtener la nota total de cada alumno (número de preguntas que tenía bien) y el número de alumnos que habían contestado correctamente a cada pregunta, concluyendo con una última fila con los porcentajes de alumnos que acertaron cada pregunta. Decidimos establecer los niveles de dificultad que quedaron definidos de la siguiente manera:  Nivel 1 – Fácil, si la pregunta había sido respondida correctamente por más de 20 alumnos, (tengamos en cuenta que la prueba fue realizada por 24 alumnos).  Nivel 2 – Medio, si la pregunta había sido respondida correctamente por un número de alumnos correspondido entre 15 y 20 alumnos, ambos incluidos.  Nivel 3 – Difícil, si la pregunta había sido respondida correctamente por menos de 15 alumnos. Para la segunda tabla, se partió de la tabla anterior, pero se añadió una columna de totales después de las fracciones y otra después de los decimales, con sus respectivas columnas de porcentajes, para saber qué tanto por ciento de preguntas de la parte de fracciones y de la parte de decimales había contestado correctamente cada alumno y poder hacer posteriormente una comparativa entre fracciones y decimales. Para realizar dicha comparativa, establecimos diferentes niveles dependiendo de los puntos que separasen a los dos resultados porcentuales, es decir, los puntos de diferencia que puede haber entre el porcentaje mayor y el menor. Dichos niveles quedan definidos de la siguiente manera: 41 a) Alumnos con una variación entre los dos resultados de 0 puntos (cuando los dos resultados son iguales). b) Alumnos con una variación entre los dos resultados menor a 25 puntos. c) Alumnos con una variación entre los dos resultados igual a 25 puntos. d) Alumnos con una variación entre los dos resultados mayor a 25 puntos y menor a 50 puntos. e) Alumnos con una variación entre los dos resultados igual a 50 puntos. f) Alumnos con una variación entre los dos resultados mayor a 50 puntos y menor a 75 puntos. g) Alumnos con una variación entre los dos resultados igual a 75 puntos. h) Alumnos con una variación entre los dos resultados mayor a 75 puntos. A continuación se procedió a analizar cada pregunta por separado, para ello establecimos unos criterios de análisis sobre lo que hacían los alumnos en cada una de las diez preguntas y volvimos a revisar cada prueba viendo en qué criterio encajaba cada alumno, después trasladamos los datos obtenidos a nuevas tablas de Excel (una por cada pregunta) en las que aparecían los 24 alumnos en la primera columna y los criterios para el análisis en la primera fila. Los criterios para analizar cada una de las diez preguntas de las que consta la prueba son los siguientes: Pregunta 1  Bien  Respuesta del tipo 8/10 del dinero  Mal, debido a:  E.1: Ha restado  E.2: Ha sumado los denominadores 48 La visión de TIMSS acerca de este tópico ha sufrido pocos cambios, por no decir ninguno, desde la edición de TIMSS 2003, ya que podemos comprobar que en el informe de TIMSS 2011 aparecen exactamente los mismos criterios para los contenidos y la evaluación de las fracciones y los números decimales que se establecieron en aquel entonces. En TIMSS 2011 se dice que, en relación con las fracciones y números decimales, los alumnos de 4º de Educación Primaria tienen que ser capaces de:  Mostrar la comprensión de las fracciones reconociéndolas como partes de unidades enteras, partes de una colección, situaciones en líneas numéricas y representando fracciones utilizando palabras, números o modelos.  Identificar fracciones equivalentes; comparar y ordenar fracciones.  Sumar y restar fracciones simples.  Mostrar la comprensión del valor del lugar decimal, incluyendo la representación de los decimales utilizando palabras, números o modelos.  Sumar y restar con decimales.  Resolver problemas que impliquen fracciones simples o decimales. Asimismo especifica que en las pruebas que hagan referencia a este tópico, las fracciones solo podrán tener como denominador los números 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 o 100 y que los números decimales solo podrán tener como mucho dos decimas en la parte decimal. Como podemos observar, estos contenidos evaluados por TIMSS no se corresponden con los contenidos propuestos por el Currículo de Aragón para 4º de Educación Primaria, ya que se evalúan más contenidos de los que el currículo dice que hay que trabajar. Sin embargo, los contenidos evaluados por TIMSS sí que se corresponden con los contenidos del tópico trabajados en el libro de texto analizado. 49 7% 4% 89% Ítems liberados TIMSS Fracciones Decimales Resto de ítems 11% 89% Ítems liberados TIMSS Ítems relacionados con fracciones y decimales Resto de ítems Tras revisar todos los ítems liberados de las pruebas TIMSS realizadas hasta la fecha (hemos revisado 157 ítems distintos en total) hemos encontrado que solo 17 de dichos ítems trabajan o evalúan el tópico de las fracciones y números decimales, es decir, de todos los ítems revisados, se ha dedicado un 10’83 % de los ítems a la evaluación de las fracciones y números decimales. De estos 17 ítems relacionados con el tópico, 11 de ellos (cerca del 7% del total de los ítems liberados) correspondían a la evaluación de fracciones y 6 de ellos (casi el 4% del total de los ítems liberados) correspondían a la evaluación de los decimales. Con estos datos podemos deducir que, dentro del tópico de las fracciones y los decimales, es decir, los números racionales, se le dedica más importancia a las fracciones que a los decimales. 50 65% 35% Ítems sobre el tópico Fracciones Decimales 53% 35% 12% Según la estructura de la pregunta Opción múltiple Construida cerrada Construida abierta A continuación vamos a analizar los ítems relacionados con el tópico que trabajamos, fracciones y números decimales, en función de su estructura, su contexto, los modelos de aprendizaje a los que hacen referencia, el dominio cognitivo que pone en práctica el alumnado, etc. por lo que entenderemos que los 17 ítems que hemos encontrado al respecto representan el 100% de nuestra muestra. Como hemos mencionado anteriormente, hemos encontrado 11 ítems relacionados con las fracciones (el 65% del total) y 6 ítems sobre decimales (el 35% del total) con lo que podemos apreciar que más de la mitad de los ítems liberados relacionados con el tópico hacen referencia a las fracciones. Si analizamos los ítems en función de su estructura, recordemos que en TIMSS las preguntas podían ser de opción múltiple, de respuesta construida cerrada o de respuesta construida abierta; encontramos que el 53% de los ítems (lo que corresponde a 9 ítems) son de opción múltiple mientras que el 35% (lo que corresponde a 6 ítems) son de respuesta construida cerrada y finalmente solo el 12% de los ítems (es decir, 2 ítems) son de respuesta construida abierta. 51 24% 76% Contexto Con contexto Sin contexto 23% 24% 53% Situación planteada Problema Operación Orden / Comparación Si analizamos los ítems en función de si tienen contexto o no, es decir, si plantean una situacion que el alumno debe de resolver o si directamente indican lo que se debe hacer, encontramos que 13 de los ítems no tienen un contexto definido lo que representa el 76% de los ítems encontrados. Si analizamos los ítems en función de la situación que plantean, es decir, si son un problema, una operación indicada o una situación de orden o comparación expresada de manera abstracta; encontramos que el 23% de los ítems son un problema, el 24% de los mismos son operaciones indicadas y el 53% de los ítems encontrados son ejercicios de ordenación y comparación de fracciones o decimales de manera abstracta. Si analizamos los ítems encontrados que hacen referencia a las fracciones y decimales en cuanto a los dominios cognitivos propuestos por TIMSS (conocer, aplicar y razonar) encontramos que la gran mayoría, un 82% pertenecen al dominio del conocimiento, mientras que el 18% hacen referencia al dominio de la aplicación y no hay ningún ítem (por lo menos de los que se han liberado) que haga referencia al razonamiento. 52 Conocer 82% Aplicar 18% Razonar 0% Dominios Cognitivos 36% 0% 9% 0% 55% 0% Según el modelo de aprendizaje de las Fracciones Parte - todo Medida Operador Reparto Número Razón Finalmente, si analizamos los ítems encontrados sobre fracciones y decimales en relación con los modelos de aprendizaje a los que hacen referencia, tenemos que distinguir primero que para las fracciones tenemos unos modelos de aprendizaje y para los decimales otros, por lo que haremos esta clasificación por separado. Los modelos de aprendizaje para las fracciones son: el modelo parte – todo, el modelo de medida, el modelo de reparto, el de operador y el de razón, aunque también hemos encontrado preguntas que no siguen ninguno de estos modelos y entienden la fracción como un número. Recordemos que había 11 ítems sobre fracciones (que ahora representarán nuestro 100% de la muestra de ítems sobre fracciones). Según el modelo de aprendizaje, encontramos que no hay ningún ítem que haga referencia a los modelos de medida, reparto y razón, solo 1 ítem (el 9%) hace referencia al modelo de operador, el 36% de los ítems hacen referencia al modelo parte – todo, y el 55% considera la fracción como un número, es decir, aquí se engloban los ítems que proponen operaciones formales o comparación y ordenación de fracciones sin especificar ningún modelo. 53 33% 67% Según el modelo de aprendizaje de los Decimales Medida Número Los modelos de aprendizaje para los números decimales encontrados en los ítems liberados son el número decimal como medida y el número decimal como número, es decir, en esa última clasificación se engloban las operaciones formales y la comparación u ordenación de decimales sin especificar ningún modelo. Recordemos que había 6 ítems sobre decimales (que ahora representarán nuestro 100% de la muestra de ítems sobre decimales). Según el modelo de aprendizaje, encontramos que el 33% de los ítems hacen referencia al modelo de medida, y el 67% no pertenecerían a ningún modelo. 4.2. Resultado asociado al segundo objetivo. En este segundo epígrafe de los resultados, vamos analizar la consecución del segundo objetivo planteado para la realización de este Trabajo Fin de Grado, dicho objetivo ha quedado definido en su correspondiente capítulo de la siguiente manera:  Elaborar una Prueba de Diagnóstico centrada en las Fracciones y los Decimales: elaborar una Prueba de Diagnóstico, utilizando ítems liberados y otros de creación propia siguiendo los criterios de diseño establecidos por TIMSS. A continuación, mostraremos la prueba que hemos elaborado y después realizaremos un breve comentario describiendo los aspectos más relevantes de cada ítem, es decir, si es un ítem liberado o de creación propia, y los aspectos que evalúa. 54 Prueba de Matemáticas – Fracciones y Decimales. 1. Jaime se ha gastado de su dinero en un bolígrafo y en un libro. ¿Qué fracción de su dinero se ha gastado? Solución: _________________ 2. En este dibujo hay 12 galletas. Dibuja un círculo alrededor de de las galletas. 55 3. Escribe una fracción que sea mayor que Solución: _________________________ 4. ¿Qué fracción de este rectángulo está sombreada? a) b) c) d) 56 5. Lucas quiere repartir 3 pizzas entre 8 personas. ¿Qué fracción de pizza le corresponde a cada persona? Solución: _________________________________ 6. María compró kg de peras y kg de manzanas. ¿Cuántos kilogramos compró en total? Solución: ___________________________ 57 7. Daniel viajó primero 4’8 km en coche y después 1’5 km en autobús. ¿Cuántos kilómetros viajó Daniel? Solución: ______________________________ 8. ¿Cuál de estos números es el que está más cerca de 10? a) 0’10 b) 9’99 c) 10’10 d) 10’90 64  Finalmente, de un alumno (el número 23) no podemos saber cómo denota los decimales porque no ha escrito ninguno, la única pregunta que contestó de los decimales fue la de opción múltiple. A continuación vamos a proceder a analizar cada una de las diez preguntas por separado, atendiendo tanto a las razones de por qué lo hacen bien o mal como al modo de dar la respuesta. 4.3.1 Resultados de la pregunta 1 BIEN Han contestado "del dinero". Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 En Blanco 22 3 2 1 0 0 1 0 92% 13% 8% 4% 0% 0% 4% 0% Como podemos observar, esta pregunta entraría dentro del nivel de dificultad 1 – fácil, porque 22 alumnos (lo que supone el 92%) han contestado correctamente. De estos 22 alumnos, solo 3 (lo que supone un 13% del total de alumnos y el 14% de los 22 que han contestado bien) han contestado “del dinero” junto a la solución, por lo que son los únicos que entienden que la fracción mide el dinero que se ha gastado el niño del problema. Observamos que solo dos alumnos han tenido mal esta pregunta, uno porque ha cometido el error E.1 que es que ha restado, es decir, se ha confundido al elegir la operación, y el otro porque ha cometido el error E.4 que es que ha sumado los numeradores aparte y luego no les ha puesto el denominador. Ningún alumno ha sumado los denominadores en esta pregunta o se ha confundido en la obtención del hecho numérico, ni se la ha dejado en blanco. 65 4.3.2 Resultados de la pregunta 2 Bien B. 1 B. 2 B. 3 Mal E. 1 E. 2 En Blanco 18 10 1 7 5 5 0 1 75% 42% 4% 29% 21% 21% 0% 4% Como podemos observar, esta pregunta estaría en el nivel 2 de dificultad – nivel medio, porque la realizaron adecuadamente 18 alumnos, lo que supone un 75% del total. Dentro de los que realizaron bien esta pregunta, hemos creído conveniente establecer tres criterios diferentes analizando qué es lo que hicieron para resolverla:  10 alumnos (lo que supone un 42% del total de los alumnos y un 56% de los alumnos que lo tuvieron bien) siguieron el criterio B.1, es decir, marcaron una fila entera de las tres que había, por lo que se puede considerar que realizaron la pregunta a través de la percepción visual (marcar una de las tres filas) considerando así el problema como un ejercicio de parte – todo.  7 alumnos (lo que supone un 29% del total de los alumnos y un 39% de los alumnos que lo tuvieron bien) siguieron el criterio B.3, es decir, realizaron cuentas físicamente en el papel, entendiendo la fracción como operador.  Finalmente, un alumno siguió el criterio B.2 en el que marco las cuatro galletas de otra manera diferente, es decir, no las marcó rodeando una línea, y tampoco realizó cuentas en el papel, por lo que podemos deducir que pudo haber realizado las cuentas mentalmente. Cinco alumnos realizaron mal esta pregunta, lo que corresponde al 21% del total de los alumnos, y todos ellos cometieron el error E.1 que fue marcar tres galletas, ninguno de ellos cometió el error E.2, marcar otro número de galletas distinto a tres o a la solución correcta (cuatro). Y un alumno, el número 23, dejó la pregunta en blanco. 66 4.3.3 Resultados de la pregunta 3 Bien B. 1 B. 2 B. 3 B.4 Mal En Blanco 21 14 0 2 5 3 0 87% 58% 0% 8% 21% 13% 0% Como podemos observar, esta pregunta estaría incluida en el nivel 1 de dificultad – nivel fácil, ya que la realizan correctamente 21 alumnos lo que supone el 87% del total de alumnos. Dentro de los que realizaron bien esta pregunta, hemos creído conveniente establecer cuatro criterios diferentes analizando qué es lo que hicieron para resolverla: El criterio B.1 que definimos como el proceso de aumentar el numerador, fijando el denominador fue utilizado por 14 alumnos (que representan el 58% del total de alumnos y el 67% de los que lo hicieron bien). Dos alumnos utilizaron el criterio B.3 que es completar la fracción a la unidad, mientras que ninguno de ellos utilizó el criterio B.2 que es disminuir el denominador, fijando el numerador. Finalmente, 5 alumnos (que suponen el 21% del total de los alumnos y el 24% de los que lo hicieron bien) utilizaron procesos incorrectos que les llevo a la solución por azar (B.4) ya que sumaron uno tanto en el numerador como en el denominador, esto les llevo a una solución correcta (aunque utilizasen un planteamiento incorrecto). Sabemos que este proceso no es el adecuado ya que, como podemos observar desde el reparto socializado, si sumamos uno en el numerador tanto en el denominador no siempre la fracción resultante es mayor. Si tenemos una fracción a/b en la que a > b y le sumamos uno tanto en el numerador como en el denominador, la fracción resultante es una fracción menor que la original [ ], por lo tanto, si la fracción de esta pregunta hubiera sido una fracción impropia estos alumnos hubieran tenido mal la respuesta. 67 Finalmente, 3 alumnos (lo que supone un 13% del total) tuvieron mal esta pregunta, y en todos ellos fue por el mismo error ya que lo que hicieron fue fijar el numerador y aumentar el denominador. Ningún alumno se dejó la pregunta en blanco. 4.3.4 Resultados de la pregunta 4 Bien Mal E. 1 E. 2 E. 3 En Blanco 17 6 1 4 1 1 71% 25% 4% 17% 4% 4% Como podemos observar, esta pregunta estaría en el nivel 2 de dificultad – nivel medio, ya que 17 alumnos la han realizado correctamente, lo que supone el 71% del total de los alumnos. Mientras que el 25% de los alumnos (un total de 6) lo han tenido mal, al ser una pregunta con respuesta de opción múltiple, los diferentes errores que pueden cometer los alumnos son elegir alguna de las tres opciones incorrectas y eso se puede deber a:  El error E.2, que es elegir la opción c (6/12), fue cometido por 4 alumnos (lo que representa el 17% del total de los alumnos y el 66% de los alumnos que lo tuvieron mal), y se produce cuando el alumno al realizar un doble recuento, cuenta primero los cuadros sombreados, que son 6, y busca la solución que tiene este número en el numerador.  El error E.3, que es elegir la opción d (2/3), fue cometido por un solo alumno (que representa el 4% del total y el 17% de los alumnos que lo tuvieron mal) y se produce cuando el alumno marca la fracción correspondiente a la parte no sombreada.  Finalmente, solo un alumno cometió el error E.1 elegir la opción a, y pudo ser debido a que el alumno eligió a boleo que respuesta marcar. Solo un alumno (el 4% del total), el número 23, dejó la pregunta en blanco. 68 4.3.5 Resultados de la pregunta 5 Bien 3/8 de pizza 3/8 B. 1 B.2 B.3 B.4 B.5 Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 En Blanco 13 1 12 1 6 0 0 6 10 1 6 1 2 1 54% 4% 50% 4% 25% 0% 0% 25% 42% 4% 25% 4% 8% 4% Como podemos observar, esta pregunta estaría dentro del nivel 3 de dificultad – nivel difícil, ya que solo 13 alumnos la realizan correctamente lo que supone un 54% del total de los alumnos. De las respuestas correctas vamos a analizar dos cuestiones diferentes, la forma o proceso en el que llegan a la solución y la manera de dar la respuesta. En cuanto a la manera de dar la respuesta observamos que solo 1 alumno (lo que corresponde el 8% de los que respondieron correctamente a la pregunta) dio la solución como 3/8 de pizza, entendiendo el número fraccionario como la medida de algo, mientras que 12 alumnos (lo que representa el 92% de los que contestaron bien a la pregunta) solo contestaron escribiendo la fracción sin más, tratándola como un número abstracto. En cuanto a los procesos seguidos para obtener la solución, encontramos que los alumnos siguieron diferentes criterios:  6 alumnos (lo que corresponde al 25% del total de los alumnos y al 46% de los alumnos que lo tuvieron bien) siguieron el criterio B.2 y realizaron una representación de las tres pizzas divididas en ocho trozos cada una, pero después de esto dieron la solución sin más.  Otros 6 alumnos siguieron el criterio B.5 en el que efectuaron la operación 24/8 = 3 y luego concluyeron con la solución 3/8.  Un alumno siguió el criterio B.1 y dio la solución sin más, mientras que ningún alumno siguió los criterios B.3 “representación de las pizzas y sombreado de los tres octavos uno en cada pizza” y B.4 “representación y sombreado de los tres octavos todos en una pizza”. 69 10 alumnos, lo que representa el 42% del total de los alumnos, tuvieron la pregunta mal. Podemos clasificar a estos alumnos dependiendo del error que cometieron en:  Error E.1 si dieron como solución 3 porciones de pizza, este error solo lo cometió un alumno, lo que supone un 10% de los alumnos que tuvieron mal la pregunta, y se debe a que expresó la cantidad que le tocaba a cada uno teniendo en cuenta las porciones y no la fracción de la pizza entera.  Error E.2 si dieron como solución 3/24, este fue el error más cometido ya que 6 alumnos (el 60% de los alumnos que lo tuvieron mal) dieron esta respuesta, esto se debe a que tras dibujar las tres pizzas divididas en ocho partes cada una, realizaron un doble recuento como si se tratara de un problema parte – todo en el que entendieron el todo, la unidad, como las tres pizzas.  Error E.3 si dieron como solución 8/3, este error fue cometido solo por un alumno, que sabiendo que tenía que formular una fracción con los números que aparecían en el enunciado (3 y 8).  Error E.4 si dieron otras soluciones erróneas (como 5/8 y 2/8), este error fue cometido por 2 alumnos, lo que supone el 20% de los alumnos que lo tuvieron mal, y puede deberse a que dieron la solución al azar o a que se equivocaron al realizar la representación de las pizzas. Finalmente, solo un alumno, el número 23, se dejó en blanco esta pregunta. 4.3.6 Resultados de la pregunta 6 Bien B. 1 B. 2 B. 3 Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 En Blanco 20 5 8 7 4 3 1 0 0 0 83% 21% 33% 29% 17% 13% 4% 0% 0% 0% Como podemos observar esta pregunta pertenece al nivel 2 de dificultad o nivel medio ya que un total de 20 alumnos han respondido bien a esta pregunta, lo que supone un 83% del total de alumnos. 70 En cuanto a los alumnos que lo han tenido bien, vamos a analizar las respuestas en función de cómo los alumnos las han dado, tenemos así tres categorías diferentes:  B.1: 5 alumnos (lo que supone el 21% del total de los alumnos y el 25% de los que lo tuvieron bien) se han dado cuenta de que la fracción se podía simplificar la fracción y han expresado el resultado como 2 kg.  B.2: 8 alumnos (lo que supone el 33% del total de los alumnos y el 40% de los que lo hicieron bien) han respondido 16/8 kg, entendiendo la fracción como unidad de medida y dando el resultado que se les pedía en la pregunta.  B.3: 7 alumnos (lo que supone el 29% del total y el 35% de los que lo tuvieron bien) han contestado 16/8 sin especificar la unidad de media, aunque en la pregunta se preguntase expresamente por los kilos que compró, lo que revela que un porcentaje considerable de los alumnos no entienden que las fracciones puedan medir algo. Finalmente, cuatro alumnos (lo que supone el 17% del total) tuvieron la pregunta mal, y esto se debió a que mayoritariamente (3 alumnos, el 75% de los que lo tuvieron mal) cometieron el error E.1 ya que sumaron los denominadores de la fracción, mientras que uno de ellos cometió el error E.2 y expresó el resultado como 16 kg, sin poner el denominador (este fue el alumno 23). Ninguno de ellos se confundió en la obtención de los hechos numéricos (error E.3) ni restó en lugar de sumar (error E.4). Nos llamó la atención el hecho de que en esta pregunta hubiera alumnos que sumasen los denominadores de las fracciones cuando en la pregunta uno nadie cometió este error, por lo que después de corregir la prueba se les preguntó a los alumnos, mientras manteníamos una charla informal, que por qué algunos habían sumado los denominadores en esa pregunta, y la respuesta fue “es que el numerador no puede ser mayor que el denominador ¿no?”. 71 4.3.7 Resultados de la pregunta 7 Bien B.1 B. 2 B. 3 B. 4 B. 5 Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 E. 5 En Blanco 20 16 4 4 19 1 3 1 1 0 0 1 1 83% 66% 17% 17% 79% 4% 13% 4% 4% 0% 0% 4% 4% Como podemos observar, esta pregunta pertenece al nivel 2 de dificultad – nivel medio ya que un total de 20 alumnos la han realizado correctamente, lo que corresponde a un 83% del total de alumnos. En cuanto a las respuestas correctas, vamos a analizar la forma de responder (criterios B.1 y B.2) y el proceso utilizado (criterios B.4 y B.5). Vemos que 16 alumnos (el 66% del total de los alumnos y el 80% de los que contestaron correctamente) dieron la solución como 6’3 km, entendiendo el número decimal como unidad de medida, mientras que 4 alumnos (el 20% de los alumnos que contestaron correctamente) contestaron 6’3 sin especificar la unidad de medida, por lo que observamos que a la hora de tratar con decimales, se invierten los resultados obtenidos en las fracciones y ahora son más alumnos los que ven el resultado como medida de algo. Nos parece interesante señalar que 4 alumnos, el 17% del total, necesitaron utilizar dos decimales para realizar la representación (B.3) condición que puede derivarse del haber aprendido inicialmente los decimales desde el sistema monetario. En cuanto a cómo realizaron el problema, observamos que 19 alumnos (el 79% del total y el 95% de los que realizaron bien esta pregunta) hicieron la operación en vertical (B.4), mientras que solo uno la realizó en horizontal (B.5) Un total de 3 alumnos realizaron mal la pregunta (lo que supone un 13% del total) y esto se debió a que uno de ellos se confundió en la elección de la operación (E.1), otro indicó que iba a sumar pero luego restó (E.2) y el último empleó fracciones en lugar de decimales (E.5) esto se pudo deber a que, como había estado realizando problemas de fracciones anteriormente, siguiera empleando fracciones por despiste. Finalmente un alumno, el número 23, se dejó la pregunta en blanco. 72 4.3.8 Resultados de la pregunta 8 Bien Mal E. 1 E. 2 E. 3 En Blanco 23 1 0 1 0 0 96% 4% 0% 4% 0% 0% Como podemos observar, esta pregunta pertenece al nivel de dificultad 1 – nivel fácil, ya que la realizaron correctamente un total de 23 alumnos, lo que representa el 96%. Solo hubo un alumno (que corresponde al 4% del total) que realizó mal la prueba y fue porque cometió el error E.2 al elegir la opción c (10’10) como la correcta, este error se debe a que buscó el número más cercano a 10 que lo sobrepasase, sin darse cuenta de que era 9’99 la opción correcta. 4.3.9 Resultados de la pregunta 9 Bien B. 1 B. 2 B. 3 B. 4 Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 E. 5 E. 6 En Blanco 20 15 5 17 3 3 0 1 0 0 2 0 1 84% 63% 21% 71% 13% 12% 0% 4% 0% 0% 8% 0% 4% Como podemos observar, esta pregunta pertenece al nivel 2 de dificultad – nivel medio, ya que un total de 20 alumnos han realizado esta pregunta correctamente, lo que supone el 84% del total de los alumnos. En cuanto a las respuestas correctas, vamos a analizar tanto la forma de dar la respuesta (criterios B.1 y B.2) como el proceso para resolver la pregunta (criterios B.3 y B.4). Atendiendo a la forma de dar las respuestas nos encontramos con que 15 alumnos (el 63% del total y el 75% de los que lo han hecho bien) han contestado 4’62 metros (B.1), mientras que 5 alumnos han contestado 4’62 sin especificar la unidad de medida, por lo tanto, volvemos a ver que ahora con los decimales son más los que le aplican un significado de medida que de número abstracto. 73 Atendiendo a la forma de resolver el problema encontramos que 17 alumnos (el 71% del total y el 85% de los que realizaron la pregunta correctamente) realizaron la multiplicación de un número decimal por un natural (B.3), mientras que 3 alumnos realizaron una suma reiterada. Observamos así, que la mayoría de los alumnos son capaces de realizar correctamente una multiplicación de un número decimal por un número natural. Un total de 3 alumnos tuvieron mal esta pregunta, y esto se debió a que en su mayoría cometieron el error E.5 al omitir la coma en la solución de la multiplicación (2 alumnos realizaron este error lo que supone un 66% de los que tuvieron mal la prueba), el tercer alumno cometió el error E.2 al ir de izquierda a derecha en el algoritmo de la suma. Finalmente, solo un alumno, el número 23, se dejó en blanco esta pregunta. 4.3.10 Resultados de la pregunta 10 Bien Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 En Blanco 16 6 1 4 0 1 2 67% 25% 4% 17% 0% 4% 8% Como podemos observar, esta pregunta se encuentra en el nivel 2 de dificultad – nivel medio, aunque estaría muy cerca del nivel 3 – nivel difícil, ya que 16 alumnos han contestado correctamente a la pregunta, lo que supone el 67% del total. Un total de 6 alumnos realizaron mal esta pregunta, lo que supone el 25% del total de alumnos y cometieron diversos errores como E.2 al elegir la opción c en la que sumaron las dos cantidades (la primera etapa del problema) y no continuaron debido a que no leyeron o comprendieron la pregunta, este error lo cometieron un total de 4 alumnos (lo que representa el 66% de los que lo tuvieron mal). Otro alumno cometió el error E.1 al elegir la opción b como respuesta correcta, esto se debe a que se equivoco en el algoritmo de la resta con llevadas. Y finalmente, el último alumno que realizó mal la pregunta fue porque cometió el error E.4 en el que no marca ninguna de las opciones porque al realizar la operación, aunque indica que va a sumar, termina realizando una resta. 80 BIBLIOGRAFÍA  Borrador del Currículo de Primaria de Aragón (LOMCE). (2 de Mayo de 2014). BOA . Aragón: Consejería de Educación, Universidad, Cultura y Deporte de la Comunidad Autónoma de Aragón.  Cid, E., Godino, J. D., & Batanero, C. (2002). Sistemas Numéricos y su Didáctica para Maestros. EDUMAT.  Currículum de Aragón. (9 de mayo de 2007). Orden del Departamento de Educación, Cultura y Deporte . Comunidad Autónoma de Aragón, España.  Diego, J. (2013). Elaboracion de Items. Hacia TIMSS 2015. Seminario. Comillas. Septiembre 2013.  EFE. (13 de Marzo de 2013). Wert, I: Las pruebas finales nos permitirán saber dónde estamos y qué mejorar. La Razón digital .  Escolano, Gairín, J. M., Muñoz, J. M., & Cid, E. (2012). Apuntes de la asignatura Didáctica de la Aritmética II. Zaragoza: Departamento de Matemáticas. Facultad de Educación. Universidad de Zaragoza.  Escolano, R., & Gairín, J. M. (2005). Modelos de medida para la enseñanza del número racional en Educación Primaria. UNIÓN , 17 - 35.  Gairín Sallán, J. M. (2003). Estudiantes para Maestros: Reflexiones sobre la instrucción en los números racionales positivos. Contextos Educativos 6 - 7 , 235 - 260.  Gairín, J. M., & Muñoz Escolano, J. M. (2005). El número racional positivo en la práctica educativa: estudio de una propuesta editorial. Córdoba: IX SIMPOSIO SEIEM.  González Nagel, E. J. (2012). Cuestionarios de Contexto en los estudios de la IEA. Bordón, 64 , 29 - 39. 81  IEA. (2008). Ítmes liberados de Matemáticas. TIMSS 2007 versión Española 4º E.P.  IEA. (2002). Marcos teóricos y especificaciones de la evaluación de TIMSS 2003. Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.  IEA. (2013). PIRLS - TIMS 2011. Estudio Internacional de progreso en comprensión lectora, matemáticas y ciencias. Volumen I. Informe Español. Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.  IEA. (2012). TEDS - M. Estudio Internacional sobre la formación inicial en Matemáticas de los Maestros. Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.  IEA. (2013). TIMSS 2011 User Guide for the International Database. Released Items Mathematics - Fourth Grade. United States: TIMSS & PIRLS International Study Center. Boston College.  IEA. (2012). TIMSS 2011. Marcos de la Evaluación. Informe Español. Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.  INCE. (1997). Resultados de Matemáticas. Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias (TIMSS). Madrid: Ministerio de Educación y Cultura.  INEE. (2010). Evaluación General de Diagnóstico 2009. Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.  Joncas, M., & Foy, P. (2010). Methods and Procedures, Sampling Implementation. Sample Design in TIMSS & PIRLS. Boston College: TIMSS & PIRLS International Study Center. IEA.  Konic, P. M., Godino, J. D., & Rivas, M. A. (2010). Análisis de la introducción de los números decimales en un libro de texto. NÚMEROS , 57 - 74.  Ley Orgánica de Educación. (4 de mayo de 2006). Boe 106, Artículo 21 . Madrid, España. 82  Ley Orgánica de Mejora de la Calidad Educativa. (10 de Diciembre de 2013). BOE 295 . Madrid, España.  Matemáticas 4º E.P. Proyecto 2.0. SM.  OCDE. (2013). PISA 2012, Programa para la Evaluación Internacional de los alumnos. Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.  Penelles, M. (8 de Junio de 2012). Un polémico "ranking" de colegios. El País .  Real Decreto 126/2014 por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria. (1 de Marzo de 2014). BOE 52 . Madrid, España. 83 ANEXOS Anexo I: Ítems liberados sobre las fracciones y decimales en TIMSS....................pág. 84 Anexo II: Tablas Excel realizadas para el análisis de las pruebas corregidas.........pág. 90 84 Anexo I: Ítems liberados sobre las fracciones y los decimales en TIMSS. TIMSS 2007 1. ¿Qué fracción de este rectángulo está sombreada? e) f) g) h) 2. Resta: 5’3 – 3’8 Solución: _________________ 85 3. Roberto tiene 10 zeds. Para comer, compra una botella de zumo de frutas por 2’50 zeds y un sándwich por 3’85 zeds. ¿Cuánto dinero le queda a Roberto después de pagar su comida? e) 3’65 zeds f) 4’75 zeds g) 6’35 zeds h) 16’35 zeds 4. En este dibujo hay 12 galletas. Dibuja un círculo alrededor de de las galletas. 5. ¿Qué fracción equivale a ? a) b) c) d) 86 6. Jaime se ha gastado de su dinero en un bolígrafo y en un libro. ¿Qué fracción de su dinero se ha gastado? Solución: _________________ 7. = a) b) c) d) 3 8. 12’36 – 9’7 = Solución: ____________________ 87 9. ¿Cuál de estos números es el que está más cerca de 10? e) 0’10 f) 9’99 g) 10’10 h) 10’90 TIMSS 2003 10. Escribe una fracción que sea mayor que Solución: _________________________ TIMSS 2011 VERSIÓN INGLESA TRADUCIDA. 11. Daniel viajó primero 4’8 km en coche y después 1’5 km en autobús ¿Cuántos km viajó Daniel? a) 6’3 b) 5’8 c) 5’13 d) 4’95 88 12. ¿Qué fracción no es igual que las otras? a) 1/2 b) 4/8 c) 2/4 d) 2/8 13. Pinta 1/2 del triángulo. 14. Escribe un número que sea mayor que 5 y menor que 6 15. Tomas comió 1/2 de una tarta y Julia 1/4 ¿Cuánto comieron los dos juntos? a) 1/6 b) 2/6 c) 3/4 d) 3/9 89 16. ¿Qué frase significa que Juan come 2/4 de la pizza? a) Juan come 1/5 de la pizza b) Juan come 1/4 de la pizza c) Juan come 1/3 de la pizza d) Juan come 1/2 de la pizza 17. ¿Cuál de estas fracciones es mayor que 1/2? a) 3/5 b) 3/6 c) 3/8 d) 3/10 96 Tabla de la Pregunta 5 Alumnos Bien 3/8 de pizza 3/8 B. 1 B.2 B.3 B.4 B.5 Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 En Blanco A. 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 A. 3 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 4 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 5 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 6 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 A. 8 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 A. 10 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 A. 12 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 A. 13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 A. 14 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 A. 15 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 16 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 17 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 18 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 19 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 A. 20 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 21 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 A. 22 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 A. 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 A. 24 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Total 13 1 12 1 6 0 0 6 10 1 6 1 2 1 Porcentaje 54% 4% 50% 4% 25% 0% 0% 25% 42% 4% 25% 4% 8% 4% 97 Tabla de la pregunta 6 Alumnos Bien B. 1 B. 2 B. 3 Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 En Blanco A. 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A. 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 A. 4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A. 5 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 6 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A. 7 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A. 9 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 10 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 12 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 13 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 A. 14 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 15 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A. 16 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A. 17 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A. 18 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 A. 19 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A. 20 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A. 21 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 22 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 23 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 A. 24 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Total 20 5 8 7 4 3 1 0 0 0 Porcentaje 83% 21% 33% 29% 17% 13% 4% 0% 0% 0% 98 Tabla de la Pregunta 7 Alumnos Bien B.1 B. 2 B. 3 B. 4 B. 5 Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 E. 5 En Blanco A. 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 3 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 4 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A. 5 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 A. 6 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 7 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 8 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 9 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 10 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 11 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 12 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 13 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 A. 14 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 15 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 16 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 17 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 18 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 19 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 20 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 21 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A. 22 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 A. 24 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Total 20 16 4 4 19 1 3 1 1 0 0 1 1 Porcentaje 83% 66% 17% 17% 79% 4% 13% 4% 4% 0% 0% 4% 4% 99 Tabla de la pregunta 8 Alumnos Bien Mal E. 1 E. 2 E. 3 En Blanco A. 1 1 0 0 0 0 0 A. 2 1 0 0 0 0 0 A. 3 1 0 0 0 0 0 A. 4 1 0 0 0 0 0 A. 5 1 0 0 0 0 0 A. 6 1 0 0 0 0 0 A. 7 1 0 0 0 0 0 A. 8 1 0 0 0 0 0 A. 9 0 1 0 1 0 0 A. 10 1 0 0 0 0 0 A. 11 1 0 0 0 0 0 A. 12 1 0 0 0 0 0 A. 13 1 0 0 0 0 0 A. 14 1 0 0 0 0 0 A. 15 1 0 0 0 0 0 A. 16 1 0 0 0 0 0 A. 17 1 0 0 0 0 0 A. 18 1 0 0 0 0 0 A. 19 1 0 0 0 0 0 A. 20 1 0 0 0 0 0 A. 21 1 0 0 0 0 0 A. 22 1 0 0 0 0 0 A. 23 1 0 0 0 0 0 A. 24 1 0 0 0 0 0 Total 23 1 0 1 0 0 Porcentaje 96% 4% 0% 4% 0% 0% 100 Tabla de la Pregunta 9 Alumnos Bien B. 1 B. 2 B. 3 B. 4 Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 E. 5 E. 6 En Blanco A. 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 3 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 4 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 5 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 6 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 7 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 A. 8 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 9 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 10 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 11 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 12 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 13 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 14 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 15 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 16 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 17 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 18 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 19 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 20 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 21 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 A. 22 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 A. 24 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Total 20 15 5 17 3 3 0 1 0 0 2 0 1 Porcentaje 84% 63% 21% 71% 13% 12% 0% 4% 0% 0% 8% 0% 4% 101 Tabla de la Pregunta 10 Alumnos Bien Mal E. 1 E. 2 E. 3 E. 4 En Blanco A. 1 0 1 0 1 0 0 0 A. 2 0 1 0 1 0 0 0 A. 3 1 0 0 0 0 0 0 A. 4 0 1 0 1 0 0 0 A. 5 1 0 0 0 0 0 0 A. 6 1 0 0 0 0 0 0 A. 7 1 0 0 0 0 0 0 A. 8 1 0 0 0 0 0 0 A. 9 1 0 0 0 0 0 0 A. 10 1 0 0 0 0 0 0 A. 11 1 0 0 0 0 0 0 A. 12 0 1 0 1 0 0 0 A. 13 1 0 0 0 0 0 0 A. 14 1 0 0 0 0 0 0 A. 15 1 0 0 0 0 0 0 A. 16 1 0 0 0 0 0 0 A. 17 1 0 0 0 0 0 0 A. 18 0 1 1 0 0 0 0 A. 19 1 0 0 0 0 0 0 A. 20 1 0 0 0 0 0 0 A. 21 0 0 0 0 0 0 1 A. 22 1 0 0 0 0 0 0 A. 23 0 0 0 0 0 0 1 A. 24 0 1 0 0 0 1 0 Total 16 6 1 4 0 1 2 Porcentaje 67% 25% 4% 17% 0% 4% 8% 102 Tabla para la denotación de Decimales Alumnos Denotan el decimal con la coma arriba Denotan el decimal con la coma abajo Mixto No se sabe porque no ha escrito decimales Alumno 1 0 1 0 0 Alumno 2 1 0 0 0 Alumno 3 0 0 1 0 Alumno 4 1 0 0 0 Alumno 5 1 0 0 0 Alumno 6 1 0 0 0 Alumno 7 1 0 0 0 Alumno 8 1 0 0 0 Alumno 9 0 0 1 0 Alumno 10 1 0 0 0 Alumno 11 1 0 0 0 Alumno 12 1 0 0 0 Alumno 13 1 0 0 0 Alumno 14 1 0 0 0 Alumno 15 1 0 0 0 Alumno 16 1 0 0 0 Alumno 17 1 0 0 0 Alumno 18 1 0 0 0 Alumno 19 1 0 0 0 Alumno 20 1 0 0 0 Alumno 21 1 0 0 0 Alumno 22 1 0 0 0 Alumno 23 0 0 0 1 Alumno 24 0 0 1 0 Total 19 1 3 1 Porcentaje 79% 4% 13% 4%