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Facultad de Educación Universidad de Zaragoza Grado en Magisterio en Educación Infantil Trabajo Fin de Grado LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO CARDINAL Y ORDINAL EN EDUCACIÓN INFANTIL Autora: Laura Collado Arroyo Director: Rafael Escolano Vizcarra Junio de 2014 RESUMEN En el marco de la Teoría de las Situaciones Didácticas hemos diseñado, implementado y evaluado en el aula de segundo de Educación Infantil dos situaciones de enseñanza: el juego del tren y el juego de las invitaciones y los sobres. En ambos casos la estrategia óptima para resolver la situación es el recuento y la utilización del número natural en su significado ordinal o cardinal, contenidos que queremos trabajar de una manera funcional y significativa, características que están ausentes en las propuestas de las editoriales de los libros de texto que reinan en las aulas tras haber realizado un análisis de las mismas. Palabras clave: recuento, número cardinal, número ordinal, Educación Infantil, Teoría de Situaciones Didácticas, Matemáticas. Índice 1. Introducción ........................................................................................................... 1 2. Marco teórico......................................................................................................... 2 3. El recuento como conocimiento matemático ........................................................ 13 3.1. El recuento con significado de cardinal y ordinal. ......................................... 13 3.2. Principios del recuento .................................................................................. 15 3.3 Aprendizaje del recuento ............................................................................... 17 3.4. Errores y dificulades en el aprendizaje del recuento ...................................... 21 3.5. La subitación como alternativa al recuento .................................................... 22 4. Análisis de las características más relevantes de la enseñanza actual del objeto matemático ................................................................................................................. 23 4.1. Análisis de una propuesta de libros de texto .................................................. 23 4.2. Análisis de los contenidos matemáticos en el currículo oficial de educación infantil ..................................................................................................................... 29 5. Diseño de una propuesta parcial de enseñanza...................................................... 31 5.1. Situación de cardinalidad. Juego: invitaciones y sobres ................................. 32 5.2. Situación de ordinalidad. Juego del tren. ....................................................... 35 5.3. Metodología .................................................................................................. 38 5.4. Evaluación .................................................................................................... 39 6. Desarrollo y resultados de la propuesta parcial didáctica ...................................... 40 6.1. Situación de cardinalidad. Juego: invitaciones y sobres ................................. 40 6.2. Situación de ordinalidad. Juego del tren. ....................................................... 43 7. Conclusiones del Trabajo Fin de Grado ................................................................ 52 8. Valoración personal ............................................................................................. 55 9. Referencias bibliográficas .................................................................................... 57 Anexo 1: Análisis propuesta didáctica de una editorial ................................................ 59 Anexo 2. Plantilla de evaluación. Juego: invitaciones y sobres .................................... 96 Anexo 3: Plantilla de evaluación. Juego del tren. ......................................................... 99 1 1. INTRODUCCIÓN El diseño y desarrollo de secuencias didácticas de Matemáticas que sean innovadoras, alternativas y/o que complementen la enseñanza tradicional que se detectan en las propuestas de los libros de texto es una de las competencias fundamentales para el futuro de cualquier maestro/a de Educación Infantil, debido a que la enseñanza del área lógico–matemática será una de sus ocupaciones importantes dentro de su actividad profesional. En este trabajo se aborda la enseñanza del recuento en Educación Infantil. Para ello en primer lugar se explica el marco teórico que creemos que es el más apropiado llevar a cabo la enseñanza de los conocimientos matemáticos, así como sus características, elementos que lo componen, etc. A continuación, procedemos a revisar el concepto del objeto matemático sobre el que versa el trabajo y se analizará cómo se aborda su enseñanza desde los documentos educativos tanto a nivel estatal como autonómico. Tras este análisis, podemos concluir que la enseñanza del recuento en el nivel educativo de Educación Infantil tiene margen para su mejora y, en este sentido, presentamos una propuesta parcial de enseñanza que va a ser desarrollada en el aula del colegio San Agustín de Zaragoza formada por dos actividades, una destinada a trabajar el número natural en su sentido cardinal y otra, el número natural en su sentido ordinal. Finalizaremos el trabajo mostrando los resultados obtenidos por los alumnos y comentando algunas de las actuaciones de los alumnos que destacan sobre las demás. 2 2. MARCO TEÓRICO El presente trabajo se enmarca dentro del área de conocimiento de Didáctica de las matemáticas, que es una disciplina científica que engloba los fenómenos tanto de enseñanza como de aprendizaje ligados al saber matemático. Dentro de la disciplina de la Didáctica de las Matemáticas de la escuela francesa, Guy Brousseau desarrolla la Teoría de las Situaciones Didácticas a comienzos de la década de 1970. El mencionado autor tuvo la virtualidad de caracterizar la Didáctica de las Matemáticas como un área de investigación que trata los fenómenos de comunicación de los saberes matemáticos y sus transformaciones desde el punto de vista de las propias Matemáticas. Por lo tanto, podemos considerar a Brousseau como uno de los investigadores fundadores de la Didáctica de las Matemáticas debido a que aunque ahora nos resulta evidente la existencia de un área que aborde los fenómenos de la enseñanza de las Matemáticas desde las Matemáticas, si echamos la vista atrás medio siglo se puede comprobar que no existían como disciplinas científicas las que hoy en día se conocen bajo el nombre de didácticas específicas. La Teoría de las Situaciones Didácticas es uno de los marcos teóricos de la Didáctica de las Matemáticas que es particularmente apropiado para estudiar los fenómenos de la enseñanza de los conceptos matemáticos en la etapa de Educación Infantil. Esta consideración se sustenta en el hecho de que la Teoría de las Situaciones Didácticas se basa en una concepción constructivista del aprendizaje, caracterizada por Brousseau (1986) como la necesidad de que el alumno aprenda a adaptarse a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios y donde el saber se manifiesta a través de las respuestas del alumno como prueba de su aprendizaje. Esta visión del aprendizaje está muy próxima a la concepción que tiene Piaget, ya que se alude a la influencia de la “epistemología genética de Piaget y de sus aportes a la psicología evolutiva, según el cual en el desarrollo del individuo se alternan dialécticamente los procesos de asimilación y acomodación en la búsqueda de un equilibrio para intentar el control del mundo externo” (Fregona y Orús, 2011). 3 Asimismo, Brousseau defiende que el conocimiento matemático se construye a partir de reconocer, abordar y resolver problemas, generados a su vez por otros problemas. Por este motivo, cuando se plantea una situación que no es inmediatamente interpretable basándose en los esquemas que los alumnos poseen, éstos entran en un momento crisis y tienen que buscar la manera para recuperar el equilibrio. Para conseguir dicho equilibrio, se producen modificaciones en los esquemas cognitivos del alumnado, incorporándose así las nuevas experiencias. En el contexto de aula, esto se traduciría en proponer a los alumnos situaciones en las que estos actúen en un medio fuente de desequilibrios que los lleve a desarrollar un trabajo intelectual caracterizado por actuar, formular, probar y construir modelos de lenguaje, conceptos y teorías, validar… en las que el conocimiento que se quiere enseñar sea la solución óptima a dichas situaciones. En consecuencia, “el aprendizaje se considera como una modificación del conocimiento que el alumno debe producir por sí mismo y que el profesor sólo debe provocar” (Brousseau, 1994) a través de las situaciones–problemas que plantea al alumno y que este acepta resolver. Desde esta perspectiva, el docente tiene la responsabilidad de plantear a los alumnos una situación de aprendizaje en la que la respuesta inicial que proponga dicho alumnado no sea la que se quiere enseñar, ya que en dicho caso la situación de aprendizaje dejaría de serlo para convertirse en una situación de aplicación de conocimientos que ya se tienen adquiridos, y así mostrar que la estrategia empleada por el alumnado resulta ineficaz forzándole a realizar acomodaciones para dar respuesta a la situación planteada. De la misma manera, el profesorado tiene que ser habilidoso en la presentación de la situación para que el alumnado ponga en marcha sus conocimientos (y los modifique) como respuesta a una exigencia del medio y no como a una exigencia del docente. En definitiva, la Teoría de Situaciones Didácticas considera el aprendizaje como un aprendizaje por adaptación al medio. Brousseau recuperó este concepto de aprendizaje biológico y lo adaptó al análisis de las actividades escolares. Según este enfoque, en el aprendizaje por adaptación el sujeto aprende en relación al medio en el que se tiene que desenvolver. Por lo tanto, la interacción entre el alumnado y el medio es fundamental, ya que: 4 - El sujeto (en este caso el alumnado) tiene una meta que desea lograr. - Para ello pone en marcha una serie de acciones sobre el medio. - Este reacciona a dichas acciones con lo que se denomina como “retroacción”. - A continuación, el alumnado interpreta la mencionada retroacción utilizando los conocimientos de los que dispone con el propósito de conocer si ha conseguido su meta o no. - Por lo que valida sus acciones. La validación puede tener dos valores: positiva, cuando la acción que realiza el sujeto le permite conseguir la meta deseada. Por lo tanto se refuerza esta acción para que se repita en futuras situaciones si se quiere conseguir la misma meta o intención, o negativa, cuando la acción que ejecuta no tiene como resultado la consecución de la meta. Esto tiene como consecuencia la modificación de la acción y el inicio de un nuevo ciclo de acción – retroacción – validación, hasta que ponga en marcha las acciones que logren obtener lo que el sujeto quiera. El producto de esta validación es lo que se considera como una señal de aprendizaje: el refuerzo o la modificación de una conducta observable. Nociones clave en la Teoría de Situaciones Didácticas Una noción fundamental en esta teoría es la de medio: “como conjunto de condiciones exteriores en las cuales vive y se desarrolla un individuo humano, juega un papel importante en la determinación de los conocimientos que el sujeto, su antagonista, debe desarrollar para controlar una situación de acción. Las teorías modernas le asignan un rol fundamental en los aprendizajes” (Brousseau, 1990a). “El medio, sea físico, social, cultural u otro juega un papel en la utilización y el aprendizaje de los conocimientos por el enseñante o por el alumno, se le solicite o no en la relación didáctica. (...). La teoría de situaciones no toma como objeto “medio” el universo en su conjunto: esta ambición holística absoluta sería evidentemente condenada de antemano. Modeliza solamente el entorno específico de un saber o de uno de sus aspectos. Pero esta modelización es necesaria porque los conocimientos de los 5 alumnos y de los profesores funcionan manifiestamente de forma diferente de los saberes sabios correspondientes.” (Brousseau, 1990b). Este medio, como ya se ha mencionado anteriormente, debe favorecer el cuestionamiento del objeto matemático a enseñar, recortarlo y vincularlo con otros saberes; elaborar la consigna con la cual se planteará la actividad en la clase que explicitará de alguna manera las responsabilidades de alumnos y del profesor con respecto al objeto de estudio; organizar la clase y administrar el tiempo en función del desarrollo de ese objeto; favorecer ciertas interacciones de los alumnos; etc. Asimismo, esta teoría le otorga un papel fundamental al concepto de situación entendida como: “un modelo de interacción de un sujeto con cierto medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Algunas de estas “situaciones” requieren de la adquisición ´anterior` de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sí mismo un conocimiento nuevo en un proceso “genético” (Brousseau, 2000) Otra noción fundamental es la de situación didáctica. Una situación didáctica es aquella construida intencionalmente con la finalidad de hacer adquirir al alumnado un saber matemático determinado. Es muy importante que la intención de enseñanza no sea descubierta, debe permanecer oculta para el alumnado. El propio autor en 1982 (citado por Gálvez, 1994) la define como “un conjunto de relaciones establecidas explicita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo representado por un profesor, con finalidad de lograr que los alumnos se apropien de un saber construido o en vías de construcción”. En este tipo de situaciones intervienen tres elementos: un saber matemático que se tiene que enseñar, el profesorado que se encarga de enseñar dicho saber y el alumnado que desea aprender ese saber. 12  El conocimiento que la maestra posea de la zona de desarrollo próximo 1 del grupo, de cada alumno en particular y también de aquellos entre los que se va a establecer la situación de formulación.  Los conocimientos matemáticos que hay que utilizar para resolver una situación (contenidos y su secuenciación).  Que la situación pueda ser generadora de nuevos aprendizajes, porque en ella la estrategia que hasta ahora le había sido válida al alumno para solucionar una situación se descubra como insuficiente o no apropiada. Según Luisa Ruiz-Higueras (2005, p.27), "para que sea una situación de aprendizaje es necesario que la respuesta inicial que el alumno dé a la pregunta planteada no sea la que queremos enseñarle: si ya fuese necesario poseer el conocimiento que se va a enseñar para poder responder, no se trataría de una situación de aprendizaje sino de aplicación de lo ya aprendido".  Que los alumnos entren en ella haciéndola suya, erigiéndose como los últimos responsables de la resolución de la situación. En conclusión, desde esta perspectiva, coincidimos con Ruiz Higueras (2012) en afirmar que un alumno aprenderá matemáticas, si:  Entra en el problema, haciéndolo suyo.  Pone en funcionamiento una estrategia de «base» (que puede ser pesada y antieconómica, defectuosa...).  Cuando la estrategia de base se hace insuficiente, trata de superar el desequilibrio y anticipa y emite hipótesis que le permitan: 1 Entendiendo la Zona de Desarrollo Próxima, tal como la definió Vygostky, 1978, como la distancia entre el nivel de desarrollo actual, es decir, lo que el niño sabe hacer solo, y el nivel de desarrollo potencial, determinado por la forma en la que el niño resuelve los problemas ayudado por un adulto o en colaboración con otros niños más avanzados. 13  Elaborar procedimientos, ponerlos en funcionamiento, y según los efectos producidos, adoptarlos o modificarlos...  Automatizar aquellos que sean solicitados con más frecuencia.  Ejercer un control sobre los resultados.  Construir con sentido un conocimiento matemático. 3. EL RECUENTO COMO CONOCIMIENTO MATEMÁTICO 3.1 EL RECUENTO CON SIGNIFICADO DE CARDINAL Y ORDINAL. Antes de proceder al análisis de la enseñanza del objeto matemático elegido para el desarrollo de este trabajo, el recuento, conviene indicar en qué consiste dicho concepto. La técnica del recuento constituye un saber universal debido a que ha estado presente en casi todas las culturas, por primitivas que estas fueran. Asimismo, esta técnica ha dado lugar al concepto de número y a la Aritmética. Por otro lado, el recuento surge vinculado a la necesidad de informar acerca de la numerosidad de las colecciones de objetos o de indicar la posición que ocupa un objeto dentro de una colección ordenada de objetos. Es decir, el número natural posee principalmente dos significados: cardinal cuando responde a la necesidad de saber cuántos hay y ordinal cuando manifiesta qué lugar ocupa un elemento dentro de una colección ordenada. Para obtener el cardinal de una colección de elementos se tienen que seguir las siguientes pautas: Recitar la secuencia numérica cardinal, es decir, la sucesión de palabras (uno, dos, tres, cuatro, cinco...) que deben recitarse siempre en el mismo orden y sin olvidarse ninguna de ellas. El sistema de numeración oral que empleamos se caracteriza por ser multiplicativo de base diez con algunas irregularidades. Multiplicativo hace 14 referencia a que “define símbolos no solo para los números anteriores a la base, sino también para la base y sus potencias”. Además, cuando se lee un número se alude a las potencias de la base en lugar de nombrarlo por los dígitos que lo componen. En cuanto a las irregularidades se aprecian las siguientes: - Se utiliza una palabra específica para los números once, doce, trece, catorce, quince. De la misma que ocurre para las decenas veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa. Tampoco sigue el patrón regular el número quinientos. - Se emplea para algunas potencias de diez un término compuesto por los correspondientes a otras potencias. Esto ocurre por ejemplo con 104 que se denomina diez mil. Adjudicar a cada uno de los elementos que conforman la colección una única palabra numérica y diferente a las que ya han sido asignadas. Estableciendo de esta manera una correspondencia uno a uno, que requiere una coordinación entre la palabra numérica y la mano o la vista. Para esto es necesario establecer un orden en la elección de los elementos de la colección y así evitar que a un mismo elemento se le adjudique más de una palabra numérica o por el contrario, que uno de estos elementos se quede sin su correspondiente palabra numérica. Repetir la última palabra numérica pronunciada ya que no sólo hace referencia al último elemento de la colección que se ha nombrado, sino también a todo el conjunto. En cuanto al ordinal de un elemento que forma parte de una colección ordenada de antemano se pueden seguir diferentes técnicas para su obtención: Se recita la secuencia numérica, ya sea en su versión cardinal (uno, dos, tres…) u ordinal (primero, segundo, tercero…). El sistema de numeración oral ordinal es “aditivo de base diez, en el que los números anteriores a la base funcionan como bases auxiliares. Definiéndose símbolos para la unidad y los demás números anteriores a la base, así tanto para 15 la base y sus potencias, como también para los nueve primeros múltiplos de la base y del cuadrado de la base. El número viene dado por la suma de los valores de los signos que lo representan. De todas maneras, en muchas de las palabras que nombran los diferentes múltiplos de la base o de la base al cuadrado se hace patente un criterio de tipo multiplicativo”. (Departamento de Matemáticas de la Facultad de Educación, 2013). Se asigna cada una de las palabras a un elemento diferente de la colección hasta que se llega al elemento del que se quiere saber el lugar que ocupa. Se repite la palabra que se ha otorgado al elemento en cuestión indicando con esto su ordinal. El resultado se puede expresar a través tanto de palabras numéricas ordinales (el décimo) como cardinales (el diez). 3.2. PRINCIPIOS DEL RECUENTO Para llevar a cabo las técnicas para contar anteriormente mencionadas se exige la puesta en marcha de una serie de principios que las sustentan. En el caso de llevarlas a cabo para obtener cardinales, los principios son los siguientes: - Principio de estabilidad del recitado: hace referencia a que las palabras que forman parte de la secuencia numérica deben recitarse en el mismo orden, sin saltarse ni repetir ninguna. Además, se debe empezar por la palabra “uno”. - Principio de correspondencia uno a uno: hace referencia a que se debe atribuir a cada elemento de la colección sometida al recuento una palabra numérica distinta y solo una. - Principio de irrelevancia en el orden de elección de elementos: hace referencia al ser consciente de que el orden en que son seleccionados los elementos de la colección para asignarles las palabras numéricas es irrelevante de cara a la obtención del cardinal de dicha colección. 16 - Principio de cardinalidad: hace referencia al saber que la última palabra numérica adjudicada a un elemento de la colección no representa el ordinal de ese elemento sino también el cardinal de la colección. En el caso de llevar a cabo la primera técnica de contar para obtener ordinales, los principios son los siguientes: - Principio de estabilidad del recitado: lo explicado en el apartado anterior se aplica también para este supuesto con la salvedad de que se puede comenzar la secuencia numérica por la palabra “uno” (secuencia cardinal) o por la palabra “primero” (secuencia ordinal). - Principio restringido de la correspondencia uno a uno: hace referencia a que se debe atribuir a cada elemento de la colección una palabra numérica distinta y solo una, hasta que se llegue al elemento cuyo ordinal se desea conocer. - Principio de relevancia del orden de elección de elementos: hace referencia a que los elementos que forman la colección deben ser elegidos siguiendo un orden estipulado de antemano cuando se les atribuye las palabras numéricas. En el caso de llevar a cabo la segunda técnica de contar para obtener ordinales, los principios son los siguientes: - La comprensión de todos los principios correspondientes a la técnica de contar para obtener cardinales. Estos son: principio de estabilidad del recitado, principio de correspondencia uno a uno, principio de irrelevancia en el orden de elección de elementos y principio de cardinalidad - Principio de ordinalidad: hace referencia a la concepción de que el cardinal de una colección también representa el ordinal del último elemento contado. Esto significa que todo cardinal puede interpretarse en 17 términos de ordinal de un elemento, lo que nos permite “seguir contando” a partir de él. 3.3 APRENDIZAJE DEL RECUENTO La comprensión de estos principios que subyacen de las técnicas para contar y del significado del número como cardinal u ordinal por parte del alumnado con una edad comprendida entre los dos y los siete años, puede situarles en diferentes estadios de conocimiento que a continuación se detallan: Percepción temprana de los cardinales Se caracteriza porque los alumnos son capaces de reconocer el cardinal de colecciones de uno, dos o tres elementos sin la necesidad de contar. Esto es debido a que el cardinal es percibido globalmente por una simple inspección visual del conjunto. De la misma manera y con el mismo éxito, pueden llevar a cabo tareas de construcción de colección formadas por uno, dos o tres elementos ya que cuando el manejo de cardinales mayores exige contar y en esta etapa todavía no se comprenden los principios en los que se basa esta técnica. Percepción prioritaria de ordinales En este estadio, el alumnado comienza a asumir el principio de estabilidad del recitado y el de la correspondencia uno a uno. Por lo que se inicia la comprensión de la técnica del recuento, pero mostrándose bastante inseguros en su ejecución. Asimismo, se pone de manifiesto el sentido ordinal del número a través de la práctica del recuento debido a que cada palabra numérica que se asigna a un elemento de la colección es su ordinal. Sin embargo, en esta fase los alumnos no se apropian del principio de cardinalidad, ya que responden a la pregunta “¿cuántos hay?” con la enumeración de todos los elementos de la colección. Tampoco entienden que el orden en que se seleccionan los elementos para realizar el recuento sea irrelevante, por lo que no están dispuestos a contar empezando por cualquiera de ellos. Por último, son capaces de construir colecciones de un número dado de 18 elementos utilizando el recuento, siempre y cuando se trate de conjuntos de pocos elementos. Percepción prioritaria de cardinales En esta etapa, el alumnado interioriza el principio de cardinalidad, adopta el principio de irrelevancia del orden de elección de los elementos y comienza a manejar técnicas auxiliares de contar. Como consecuencia de todo esto, sus recuentos se vuelven mucho más seguros y con resultados más fiables, tanto en el supuesto de llevarlos a cabo para encontrar un cardinal como si los utilizan con la finalidad de construir una colección de cardinal dado. Sin embargo, la adquisición de los principios que rigen el recuento para obtener cardinales crea problemas a la hora de contar para obtener un ordinal. Como resultado de esto nos podemos encontrar las siguientes situaciones en el aula: Alumnos que por tener muy claro el principio de correspondencia uno a uno, quieren adjudicar palabras numéricas a todos los elementos de la colección y se niegan a detener el recuento en el elemento del que se desea saber cuál es su posición dentro de la colección. Del mismo modo, puede haber alumnos con dificultades para adoptar técnicas de contar a partir de uno de los sumandos para obtener una suma como posible consecuencia de su dificultad para reinterpretar un cardinal como ordinal. Una vez vistos los principios requeridos para poder desarrollar las técnicas de contar tanto para obtener cardinales como ordinales, se puede apreciar que uno de ellos es común: el principio de estabilidad del recitado, ya que es indispensable y fundamental. Ninguna persona que no tenga memorizada la sucesión numérica de manera correcta podrá contar. Cuando el alumnado está aprendiendo esta cantinela numérica pasa por tres fases que a continuación se detallan: 1º parte, estable y correcta Se caracteriza porque no varía de un recitado a otro. Además, se observa que se corresponde con la seriación que enuncian los adultos: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete… El tamaño de la seriación crece en función de la edad y se produce un aumento significativo en torno a los cuatro años y medio. 19 2º parte, estable pero incorrecta Se caracteriza por el hecho de que el alumno repite una parte de la seriación siempre de la misma forma, estable (al menos en el 80% de los casos). Pero en la parte de la seriación recitada puede haber omisiones o cambios en el orden de las palabras numéricas. Por ejemplo: doce, trece, quince, dieciséis, dieciocho, diecisiete. Es habitual que esta fase se produzca en la seriación de los números de diez a diecinueve, momento en el que el alumnado está aprendiendo la cantinela hasta el treinta. 3º parte, no estable ni correcta Se caracteriza porque las palabras numéricas pronunciadas cambian de una vez a otra, es decir, la repetición es inestable. Estas palabras constituyen una serie desordenada con ausencias y repeticiones, no convencional. Se trata de seriaciones poco estructuradas como, por ejemplo: trece, dieciséis, diecinueve, trece… Cuando la seriación está completamente aprendida solo hay 1ª parte. El aprendizaje de la cantinela de los veinte primeros números se logra término a término, por lo tanto, es fundamentalmente memorístico; mientras que la memorización del veinte al cien se ayuda de ciertos patrones que se repiten. Una vez que el alumnado ha aprendido la secuencia numérica, se pueden apreciar diferentes niveles de dominio: Nivel cuerda En el que la sucesión numérica (cantinela) constituye un todo indivisible y cuyo recitado sería: unodostrescuatrocinco… Es decir, las palabras numéricas componen una secuencia que no se puede romper. El alumnado que se encuentre en este nivel no podrá efectuar recuentos de manera correcta porque todavía no es capaz de distinguir dónde acaba una palabra y dónde empieza otra y por lo tanto, no puede respetar el principio de correspondencia uno a uno. 20 Nivel cadena irrompible. En este nivel el avance que se produce respecto al anterior es que el alumnado ya diferencia las palabras numéricas, aunque solo es capaz de recitar un fragmento de la secuencia numérica únicamente si empieza por el uno. Por lo tanto, esto se traduce en la capacidad para asumir tareas de recuento al poder aplicar el principio de correspondencia uno a uno. Aunque cuando se llegue al último elemento de la colección que se desea contar habrá dificultades para parar el recitado debido a la carga cognitiva que implica controlar dónde se debe parar. Este nivel puede perdurar en el alumnado de cinco años, dependiendo de su grado de ejercitación. Nivel cadena rompible El logro que se consigue en este nivel es que el alumnado puede recitar la sucesión numérica desde un número diferente a uno. Por consiguiente, ha adquirido la capacidad de romper la cadena y seguir contando a partir de un número dado. Además, el alumnado puede recitar hacia atrás ya que relaciona el orden de los números con las palabras de la secuencia numérica. Nivel cadena rompible bidireccional. En este nivel el alumnado es capaz de recitar la secuencia numérica hacia atrás a partir de un número dado. Esta flexibilidad en el uso de sucesión numérica hace que posea medios eficaces para resolver problemas aditivos verbales. Nivel cadena numerable. El alumnado que se encuentra en este nivel tiene la habilidad suficiente para recitar comenzando desde cualquier palabra numérica que se le diga, un número de palabras determinado de antemano. Es decir, si se le encomienda la tarea de “contar seis números a partir del siete” será capaz de recitar “ocho, nueve, diez, once, doce y trece”. Aunque para ello necesite de los dedos de la mano, fichas o el dibujar marcas para llevar la cuenta de las palabras que ya ha recitado. Esto permite al alumnado realizar con éxito sumas y restas básicas a través del recuento. 21 Nivel cadena numerable bidireccional Este nivel constituye el máximo dominio al que se puede llegar. En él, el alumnado es capaz de recitar hacia atrás un número determinado de palabras numéricas empezando en cualquier número de la secuencia. “En este nivel el niño puede realizar combinaciones aditivas, a partir de composiciones, descomposiciones y reagrupamientos de términos, lo que facilita encontrar el resultado de adiciones y sustracciones, y el desarrollo del cálculo pensado” (Departamento de Matemáticas de la Facultad de Educación, 2013). 3.4. ERRORES Y DIFICULADES EN EL APRENDIZAJE DEL RECUENTO A continuación se van a explicar los diferentes tipos de errores que el alumnado puede cometer cuando están llevando a cabo las técnicas de contar e impiden que estas se desarrollen de manera efectiva. Dichos errores se pueden clasificar en: Errores de recitado Son aquellos que están vinculados a un recitado incorrecto de la secuencia numérica como consecuencia de la falta de asimilación del principio de estabilidad del recitado o la errónea memorización del tramo numérico que se tiene que recitar. En esta categoría se engloban los siguientes errores: saltarse las palabras numéricas (uno, dos, cuatro…), decirlas en otro orden (uno, tres, dos, cuatro…), repetirlas asignando la misma palabra numérica a elementos diferentes (uno, dos, tres, tres…), introducir palabras no numéricas (uno, dos, tres, palito…) Errores de coordinación Son aquellos que están asociados a la ausencia de la coordinación entre la emisión de la palabra numérica y la indicación del elemento de la colección que está siendo sometida al recuento. Este tipo de error puede ser debido a una falta de conocimiento del principio de correspondencia uno a uno; también se puede explicar por la falta de dominio que hace que el esfuerzo destinado al recuerdo 28 la humanidad hasta que se hizo necesaria la aparición del “cero” con la invención de los sistemas posicionales de escritura de los números. Pero a pesar de esto, se incluyen algunas actividades en las que los niños deben trazar el número cero.  En cuanto a la escritura (grafía) del número 10 se explica que se forma a partir del cero y el uno (números que el alumnado ha trabajado previamente). La introducción de la escritura del número 10 es prematura en Educación Infantil porque los alumnos de esta etapa no pueden comprender un sistema de escritura de los números tan complejo como es el posicional.  En relación con la suma y la resta, se pone más énfasis en realizar las operaciones que en comprender por qué se utilizan cada una de ellas. Es decir, no se emplean apenas términos como “añado”, “me dan”, “encuentro”… en el caso de la suma, ni términos como “me quitan”, “pierdo”, “se van”… en el caso de la resta. A continuación se detallan aquellos aspectos de la propuesta que son susceptibles de mejora y que podrían considerarse como los “puntos débiles” de la misma: En cardinalidad se puede apreciar que se limitan a trabajar lo números del uno al diez que, aunque son los estipulados para el currículum, los alumnos deberían recitar números mayores y realizar recuentos de colecciones de cardinales mayores aunque no sepan escribir números de dos cifras en el sistema posicional. En cuanto al trabajo ordinal se puede considerar que se trabaja de forma muy reducida y limitada. Debido a que únicamente se destinan cinco fichas a lo largo de todo el curso a trabajar la obtención del ordinal y tan solo dos tareas de orden de números y una tarea de colocación de objetos). En relación con las actividades sobre configuración o constelaciones para subitizar el cardinal de colecciones, se echa de menos la variedad de recursos y se puede proponer por ejemplo que se utilicen los dedos de la mano, formas geométricas, placas… 29 También mejoraríamos las tareas en que es necesaria para el alumno la comunicación escrita de los números, fomentando que sea necesario que lo hagan para resolver actividades; consiguiendo de esta manera que sea funcional y esté a la vez en su vida cotidiana. A modo de recopilación: las actividades predominantes se alejan demasiado del modelo constructivista que sería ideal llevar a cabo en las aulas de Educación Infantil. Son demasiado dirigidas y no fomentan aspectos tan importantes tales como el pensamiento divergente o el uso de estrategias metacognitivas y de resolución de problemas; ya que orientan el trabajo de los alumnos a meras tareas mecánicas y repetitivas, lo que puede provocar que los discentes lleguen a sentir las matemáticas como una tarea estrictamente académica en lugar de apreciar su funcionalidad para con su vida diaria así como su importancia en la evolución humana. 4.2. ANÁLISIS DE LOS CONTENIDOS MATEMÁTICOS EN EL CURRÍCULO OFICIAL DE EDUCACIÓN INFANTIL El currículo de Educación Infantil (de acuerdo a la Orden ECI 3960/2007, de 19 de diciembre, por la que se establece el currículo y se regula la ordenación de la Educación Infantil, que desarrolla el Real Decreto 1630/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas del segundo ciclo de Educación Infantil) distribuye los diferentes bloques de contenidos en tres áreas curriculares: Conocimiento de sí mismo y autonomía personal, Conocimiento del entorno y Lenguajes: comunicación y representación. Los contenidos lógico–matemáticos se incluyen dentro del área de Conocimiento del entorno; más concretamente en el bloque que tiene como nombre “Medio físico: elementos, relaciones y medida” junto con otros contenidos como la cultura, la naturaleza, la vida en sociedad… El mencionado bloque incorpora los siguientes contenidos de carácter lógico– matemático: 30 - Identificación de cualidades y sus grados. Ordenación gradual de elementos. Uso contextualizado de los primeros números ordinales. - Cuantificación no numérica de colecciones (muchos, pocos). Comparación cuantitativa entre colecciones de objetos. Relaciones de igualdad y de desigualdad (igual que, más que, menos que). - Estimación cuantitativa exacta de colecciones y uso de números cardinales referidos a cantidades manejables. Utilización oral de la serie numérica para contar. Observación y toma de conciencia del valor funcional de los números y de su utilidad en la vida cotidiana. Del mismo modo, la orden del 28 de marzo de 2008 del Departamento de Educación, Cultura y Deporte por la que se aprueba el currículo de la Educación infantil y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad Autónoma de Aragón, establece para el mismo bloque del segundo ciclo de Educación Infantil los siguientes contenidos: - Aproximación a la cuantificación de colecciones. Utilización del conteo como estrategia de estimación y uso progresivo de los números cardinales para calcular y resolver problemas sencillos relacionados con la vida cotidiana. - Aproximación a la serie numérica y su utilización oral para contar. Observación y toma de conciencia de la funcionalidad de los números en la vida cotidiana. Representación gráfica de la cuantificación mediante códigos convencionales y no convencionales. Una vez extraídos los contenidos lógico–matemáticos se puede concluir que, tal y como indica Chamorro (2011), presentan una gran pobreza conceptual y no suponen ningún desafío para el alumnado de este ciclo debido a que están muy por debajo de sus posibilidades. Asimismo, resulta poco orientador y confuso todo el documento para el profesorado cuando, por ejemplo, se emplea la expresión de “ordenación gradual de elementos” debido a que es algo incomprensible matemáticamente hablando e impide interpretar su alcance. Del mismo modo, no aparece reflejado en el documento ninguna 31 pauta metodológica que guíe la labor del profesorado. Tampoco se aprecia una gradación en la introducción de los contenidos. Esto se pone de manifiesto cuando se lee “cuantificación no numérica de colecciones” y a continuación “estimación cuantitativa exacta de colecciones y uso de números cardinales referidos a cantidades manejables”. Además, el concepto de “cantidades manejables” es muy impreciso y no se aclara qué se entiende por el mismo. En este sentido, tampoco se propone hasta qué números deberían saber contar el alumnado de primero, segundo o tercero de Educación Infantil. En resumen, nos encontramos con un currículo de Matemáticas para Educación Infantil poco orientador y con que las editoriales de libros de textos realizan propuestas de enseñanza muy alejadas del modelo constructivista del aprendizaje. Constatados estos hechos nos proponemos en este Trabajo Fin de Grado diseñar, desarrollar en el aula y evaluar una propuesta de enseñanza parcial del recuento en una clase de 4 años de Educación Infantil. 5. DISEÑO DE UNA PROPUESTA PARCIAL DE ENSEÑANZA A continuación vamos a detallar las dos situaciones de aprendizaje que hemos diseñado; una de ellas para que los alumnos trabajen el número natural, más concretamente el recuento, en su sentido ordinal y otra con su sentido cardinal. Para ello y, de acuerdo a la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau, en ambas situaciones el alumnado necesita el conocimiento matemático mencionado para poder resolver los problemas suscitados de manera satisfactoria. Además, estas situaciones, que han sido planteadas a los alumnos a modo de juego con el fin de atraer su atención, se desarrollaron en los momentos que la profesora destinaba al juego por rincones una vez que el alumnado había finalizado el trabajo de ficha. Por último, cabe destacar que para el diseño de ambas situaciones se tuvieron en cuenta las características cognitivas de los alumnos que forman el grupo–clase. Dicho desarrollo cognitivo se caracteriza por: 32 - La capacidad de nombrar y diferenciar entre varios colores y formas geométricas; distinguir entre alto/bajo, grande/pequeño, muchos/pocos. - La comprensión cada vez mejor del concepto de tiempo. - El desarrollo del pensamiento simbólico e imitación de acciones que los alumnos han observado a su alrededor. - La identificación correcta de las relaciones espaciales como arriba, abajo, afuera, adentro, cerca, lejos. - La intención precede a la ejecución, ya que los alumnos planifican y premeditan sus acciones con anterioridad. - La ordenación de secuencias con dibujos para formar una historia con una progresión lógica. - La capacidad de clasificar conjuntos de elementos y completar series de entre tres y cinco elementos. Ninguno de los alumnos tiene necesidades educativas especiales, aunque hay que tener en cuenta que cada uno tiene su propio ritmo de maduración que deberá tenerse en cuenta en todo momento así como sus características personales. 5.1. SITUACIÓN DE CARDINALIDAD. JUEGO: INVITACIONES Y SOBRES. Descripción de la situación: En una clase de 2º de Educación Infantil, se coloca en una mesa las tarjetas de invitación a un cumpleaños y en otra mesa, dispuesta en el otro extremo del aula, están situados los sobres con el fin de que ambas colecciones no puedan ser vistas al mismo tiempo. La actividad la realizarán todos los alumnos de la clase de modo individual. 33 Entonces, cada alumno se sitúa en la mesa de las tarjetas y debe ir a buscar la cantidad necesaria de sobres para que cada tarjeta tenga su correspondiente sobre. El alumno debe traer los sobres justos, es decir, sin que sobre ni falte ninguno y debe hacerlo en un solo viaje. Si el alumno no es capaz de resolver la situación, deberá recoger los sobres y devolverlos a su ubicación inicial para comenzar el juego otra vez. 34 Consignas: “Te voy a dar unas tarjetas. Hay unos sobres que están en la mesa triangular. Tienes que ir y coger tantos sobres como tarjetas te he dado. No pueden faltar ni sobrar sobres y debes traerlos en un único viaje”. Objetivo: - Que el alumnado utilice el recuento con significado de cardinal como la estrategia óptima para resolver el problema planteado. Variables didácticas:  Las mesas están relativamente alejadas una de otra para evitar el uso de la percepción y la memoria en una configuración que tiene pocos elementos.  El tamaño de la colección de tarjetas oscila entre cinco y diez, número que es el doble de lo que han trabajado con las fichas. Pero todos los niños demuestran que saben recitar hasta 31 cuando diariamente en la asamblea comentan qué día es. En la mesa triangular hay diez sobres, por lo que en la gran mayoría de ocasiones hubo más sobres que tarjetas.  En las reglas del juego se especifica que el alumnado únicamente puede realizar un viaje para traer la cantidad exacta de sobres. Con esta consigna se intenta promover el uso del recuento; ya que si hubiera posibilidad de reajustes, y le faltaran sobres puede decidir cuántos buscar por medio de la subitación. Mientras que en el caso contrario, si le sobran sobres, solamente tiene que devolverlos a la mesa correspondiente.  El alumnado tiene a su disposición materiales que le permite escribir, en caso de que lo así desee el número de sobres que debe ir a buscar o cualquier otro mensaje que le ayude a completar la tarea.  Cada alumno tiene dos oportunidades para resolver la situación con éxito. Si falla en el primer intento se le va a permitir realizar un segundo 35 intento sin cambiar el número de sobres que tiene que traer en un solo viaje.  El tipo de comunicación que se desarrolla en esta situación es de autocomunicación, debido a que el alumnado ha de compartir consigo mismo una información que tiene que recordar para una eficaz ejecución de la tarea. 5.2. SITUACIÓN DE ORDINALIDAD. JUEGO DEL TREN. Descripción de la situación: Se construye un tren compuesto por una locomotora y diez vagones formados por cajas de cerillas idénticas unidas por un cordón Los alumnos tienen que jugar por parejas. Un componente de la pareja (emisor) acude a la mesa donde está colocado el tren. Delante de él, la maestra introduce un objeto (en este caso, un clip) en uno de los vagones. Este niño deberá comunicar la posición del clip por escrito a su compañero (receptor), que deberá decir en qué vagón del tren se encuentra el clip, sin haber visto en qué vagón se ha introducido el objeto. La pareja gana cuando el emisor ha escrito un mensaje correcto y el receptor lo sabe interpretar acertadamente. 36 Cada pareja, después de jugar una primera vez, volverá a jugar cambiándose los roles de los alumnos: el que ha hecho de emisor pasa a ser receptor y viceversa. 37 Consignas: Para el emisor del mensaje: “Voy a esconder este clip en uno de los vagones de este tren. Tú vas a tener que fijarte y decirle por escrito a Y dónde está el clip porque Y no está aquí y no sabe dónde he escondido el clip. Acuérdate de que la locomotora no cuenta como vagón. No la debes contar cuando escribas tu mensaje. Por lo que este es el primer vagón del tren (señalándolo) y este es el último”. Para el receptor del mensaje: “He escondido un clip en uno de estos vagones. X te ha escrito este mensaje para que averigües en qué vagón está el clip. Lee el mensaje y señala el vagón dónde crees que está el clip. Este vagón (señalándolo) indica el principio del tren y este otro es el último. Además, la locomotora no es un vagón así que no hay que tenerla en cuenta, como si no estuviera cuando leas el mensaje”. Objetivos: - Que el alumnado utilice el recuento y el número natural en su sentido ordinal como estrategia óptima. - Que el alumnado escriba y asocie correctamente las grafías de los números al número que indica la posición que ocupan dentro de una serie ordenada. - Que el alumnado lea la grafía del número escrito que indica la posición que ocupa un objeto dentro de una serie ordenada. Variables didácticas: - El tamaño número de vagones que conforman el tren es de diez, número que es el doble de lo que han trabajado con las fichas como ya he mencionado anteriormente. Pero todos los niños demuestran que saben recitar hasta 31 cuando diariamente en la asamblea comentan qué día es. - Los vagones del tren deben ser idénticos para que el alumnado no se guíe por ningún otro criterio a la hora de escribir el mensaje. 44 los alumnos qué había fallado para que no se hubiera encontrado el clip: si había sido un error en la escritura del mensaje o, por el contrario, había sido un fallo en la interpretación del mismo. Una vez concluido el juego, se intercambia el rol que habían desempeñado y comenzaba una nueva partida. Este juego también generó mucho interés en los alumnos debido a que me habían visto en clase pintar los vagones del tren. Por lo que la semana de antes a implementar el juego, los alumnos estaban intrigados y querían saber qué iban a hacer con ese tren, cuándo iban a jugar… así que cuando llegó el día y les comenté que cuando acabaran la ficha podríamos empezar a jugar al juego nuevo del tren, estaban muy motivados a participar para experimentar en primera persona en qué consistía. Quedó constancia de esta clara motivación e interés a través del comportamiento del alumnado: unos optaban por sentarse en las sillas que estaban libres de la mesa de trabajo en la que se estaba desarrollando el juego para esperar el turno y así poder participar y, de paso, observar cómo lo hacían los compañeros. Mientras que otros alumnos se acercaban de vez en cuando a la mesa y me preguntaban si ya era su turno (en el caso de que no hubieran jugado ninguna vez) o si podían repetir y cuándo les iba a tocar (en el caso de que ya hubieran jugado). En el anexo 3 se puede observar con más detalle la estrategia empleada por cada uno de los alumnos cuando desempeñan el rol de receptor o de emisor a lo largo del juego. De este registro se pueden extraer los siguientes resultados de carácter general: Cuando el alumnado es el emisor del mensaje: - El 9% de los alumnos (es decir, dos niños) se apoya en el dibujo del tren y la marca del vagón en el que está escondido el clip para escribir su mensaje. - Mientras que el 91% restante recurre al recuento y a la utilización de la grafía del número natural en su sentido ordinal, que es la técnica óptima para resolver la situación planteada. 45 91% 9% Recuento + Grafía del número en su aspecto ordinal Correspondecia uno a uno o Recuento + Dibujo del tren + Marca en el vagón - De este 91%, el 90% aplica correctamente la estrategia del recuento y elabora correctamente el mensaje que debe entregar a su compañero. Sabe escribir o dibujar el vagón donde está el clip No sabe escribir o dibujar el vagón donde está el clip Recuento + Grafía del número en su aspecto ordinal Correspondencia uno a uno o Recuento + Dibujo del tren + Marca en el vagón 46 - El total de los alumnos es capaz de validar con acierto la respuesta dada por el compañero “receptor”, es decir, todos saben comprobar si el compañero ha señalado el vagón correcto dónde está el clip o no antes de demostrar si el clip está o no en el vagón señalado por el receptor. Esto lo saben hacer aún cuando el propio emisor no ha enviado correctamente el mensaje escrito. La explicación de este fenómeno está en que el emisor se “acuerda” en qué vagón se encuentra el clip. Cuando el alumnado es el receptor del mensaje: - El 83% es capaz de interpretar con éxito el mensaje producido por sus compañeros. - El total de los alumnos emplea la técnica del recuento para localizar el vagón, aunque hay un 17% de los niños que yerran por dos motivos: o Fallo en la correspondencia uno a uno (4 alumnos). o Empieza a contar por la locomotora en lugar de por el primer vagón (1 alumna). 83% 80% 20% 17% Realización correcta de la técnica del recuento Equivocación en la realización del recuento Fallo en la correspondencia uno a uno Consideración de la locomotora como el primer vagón 47 Según los resultados obtenidos podemos determinar que la gran mayoría de los alumnos han conseguido cumplir de manera satisfactoria con los objetivos propuestos tanto cuando eran emisores (que el alumnado escriba y asocie correctamente las grafías de los números al número que indica la posición que ocupan dentro de una serie ordenada y que el alumnado utilice el recuento y el número natural en su sentido ordinal como estrategia óptima) como receptores del mensaje (que el alumnado lea la grafía del número escrito que indica la posición que ocupa un objeto dentro de una serie ordenada y que el alumnado utilice el recuento y el número natural en su sentido ordinal como estrategia óptima) A continuación, se van a exponer algunos casos particulares en relación a las estrategias empleadas por los alumnos tanto en la creación del mensaje como en su interpretación: Nerea y Quique son los dos únicos alumnos que recurren al dibujo del tren y a la indicación a través de una marca en el vagón correspondiente como medio para comunicar la posición del clip escondido. La primera no dibuja el tren completo, sino que el último vagón que dibuja es el que contiene el clip. Este hecho confunde a su compañero, que no interpreta bien el mensaje ya que observa que la marca está en el último vagón del dibujo (el octavo) y esto hace que señale el último vagón del tren (el décimo) debido a que no se ha parado a contar los vagones representados en el dibujo. Mensaje elaborado por Nerea 48 El segundo alumno tampoco dibuja todos los vagones del tren (posiblemente debido a que llega al extremo del papel y no le queda espacio suficiente). Además, en lugar de empezar a contar los vagones por la locomotora, que es el inicio del tren, lo hace por el final. Es decir, como piensa que ha dibujado los diez vagones y el clip estaba escondido en vagón número seis, señala aquel que tiene cuatro vagones detrás. Pero como su dibujo está incompleto, realmente está señalando al vagón número cinco. Este malentendido con el número de vagones hace que su compañera interprete que el clip se haya oculto en el vagón número cinco, que es lo que verdaderamente pone en el mensaje. Mensaje elaborado por Quique En ambos casos, los emisores del mensaje son conscientes de que el vagón señalado por el receptor no es el lugar correcto y así lo manifiestan cuando les pregunto si esa es la posición donde se encuentra ubicado el clip. De la misma manera, cuando se produce el intercambio de roles y estos alumnos actúan como receptores del mensaje, no tienen ningún problema en interpretarlo y averiguar dónde se localiza el clip ya que el mensaje de sus parejas contiene únicamente el número del vagón en el que estaba el clip y ellos realizan el recuento de los vagones desde la locomotora hasta el número escrito. Por otro lado, Sandra utiliza en su mensaje el número con sentido ordinal para determinar el vagón que contiene el clip. Pero cometió el fallo de contar como si fuera un vagón más la locomotora. Entonces, a pesar de que el clip está escondido en el vagón número cinco, ella escribe seis. 49 Mensaje elaborado por Sandra Su pareja lee el mensaje y como recuerda la consigna de que la locomotora debe quedarse fuera del recuento, interpreta correctamente el mensaje y señala que el clip está en el vagón número seis. Esta misma alumna cuando asume el rol de receptora, comete el mismo error de comenzar el recuento de los vagones desde la locomotora. Por este motivo, a pesar de que en el mensaje que le entrega su compañero aparece escrito el número ocho, ella señala el siete. Sandra fue la única alumna que se equivoca siendo tanto emisora como receptora. Aaron utiliza la noción de los números ordinales cuando redacta el mensaje, pero en un primer momento determina el vagón que contiene el clip empezando por el final del tren y, por lo tanto, escribe el número cuatro. Acto seguido se da cuenta de su error y escribe el número de vagón correcto en el que se localiza el clip ya que realiza el recuento desde el principio del tren. Mensaje elaborado por Aaron 50 Como receptor del mensaje, Aaron tuvo éxito a la hora de interpretar el mensaje elaborado por su compañero. Inés, por su parte, se equivoca al aplicar la técnica del recuento para localizar el vagón que contiene el clip una vez que ha interpretado el mensaje que le entregado su compañera. Como consecuencia, Inés no señala el vagón número diez, que es el que indica el mensaje y donde está el clip. Como emisora, esta alumna elabora correctamente el mensaje, utilizando el número en su sentido ordinal. Hay que destacar el trabajo realizado por la compañera de Inés, Eva, que es capaz de escribir correctamente el número diez en su mensaje. Mensaje elaborado por Eva Cayetana produce un mensaje en el que utiliza el número en su sentido ordinal para especificar el vagón en el que se localiza el clip. A pesar de que utiliza la estrategia óptima, se equivoca ya que escribe el número dos cuando el vagón donde se encuentra el clip es el número diez. Como resultado de esto, su compañero no logra encontrar el clip porque a pesar de señalar el vagón número dos guiándose por el mensaje de su compañera, este es erróneo. Cuando la alumna es la receptora, interpreta correctamente el mensaje. Jorge cuando desempeña el rol de receptor no presta demasiada atención y señala un vagón al azar. Entonces, se le da una segunda oportunidad para que resuelva la situación, pero se vuelve a equivocar ya que comete un fallo cuando pone en marcha la técnica del recuento, debido a que señala el vagón número cinco cuando el mensaje indica que el clip está oculto en el vagón número seis. Cuando es el encargado de emitir el mensaje afronta la tarea con éxito, pero debido a su falta de concentración se ve 51 obligado a repetir el mensaje hasta en tres ocasiones. Momento en el que escribe correctamente el número del vagón en el que se halla el clip. Mensaje elaborado por Jorge A pesar de haber anotado correctamente los mensajes, algunos alumnos cometen errores en relación a la escritura de las grafías de los números. Aaron, Arturo, Sergio y Sofía escriben los números “en espejo”, es decir, están invertidos, orientados en una posición contraria a la correcta. Mensajes elaborados por Arturo, Sergio y Sofía respectivamente Aunque uno de ellos, Sergio, se da cuenta de su error y lo rectifica, escribiendo correctamente la cifra. Esta escritura en espejo puede ser resultado de un problema de lateralidad ya que estos alumnos se encuentran en pleno proceso de adquisición del 52 esquema corporal o un problema de percepción de las simetrías simples de derecha– izquierda. Debido a las edades que presenta el alumnado, este tipo de errores hay que considerarlos como una fase en el aprendizaje de la escritura de los números que se superará a través de la realización tanto de ejercicios no gráficos (de percepción visual, coordinación viso-motora, orientación espacio-temporal, atención…) como de ejercicios gráficos (trazos rectos, curvos, líneas quebradas, onduladas, bucles grandes y pequeños, giros con desplazamiento hacia la derecha, etc.). Del mismo modo, se puede apreciar en el mensaje escrito por Álex que este no sigue el recorrido adecuado para trazar el número, sino que dibuja dos círculos. Mensaje elaborado por Álex 7. CONCLUSIONES DEL TRABAJO FIN DE GRADO 1. El marco de las Teoría de Situaciones Didácticas se ha mostrado eficaz para describir los resultados de la propuesta didáctica llevada a cabo en el aula de 4 años de Educación Infantil en el colegio San Agustín y también para diseñar las actividades de enseñanza que hemos desarrollado siguiendo propuestas análogas a las experimentadas por investigadoras y profesionales de Educación Infantil como Ruiz Higueras (2012), Aguilar y otras (2010) y Hernández (2013). 53 Consideramos que el estudio de las variables didácticas que hemos realizado y detallado en la fase de diseño de las actividades posibilita que futuros profesionales o investigadores las puedan replicar las situaciones experimentadas teniendo en cuenta las características de los alumnos que vayan a realizarlas. 2. Este trabajo nos ha permitido revisar el contenido matemático relacionado con las técnicas del recuento, con el significado de cardinal y de ordinal, estudiar las investigaciones sobre el aprendizaje del recuento y sobre los errores y dificultades que muestran los alumnos al aplicar los principios del recuento. 3. Hemos analizado la enseñanza habitual del recuento que se lleva a cabo en las aulas de Educación Infantil tomando como referencia tanto los documentos curriculares estatal y autonómico como la propuesta didáctica de una prestigiosa editorial de libros de texto. Coincidimos con Chamorro (2011) en que el currículo es poco orientador para el docente y de gran pobreza para los alumnos de esta etapa debido a que está muy por debajo de las capacidades de estos. Como consecuencia de esta ausencia de orientaciones didácticas por parte de las autoridades educativas, las propuestas de las editoriales de libros de texto asumen esta responsabilidad. Pero detectamos que dichas propuestas apenas trabajan el significado del número como ordinal y además, resultan inadecuadas metodológicamente hablando porque no atienden a la visión constructivista del aprendizaje debido a que se priorizan las actividades individuales del alumno frente a situaciones de comunicación tanto entre los alumnos como entre los alumnos y la profesora. 4. El análisis de las propuestas habituales de enseñanza nos ha llevado a diseñar, desarrollar y evaluar una propuesta alternativa y parcial de enseñanza del recuento en la etapa de Educación Infantil. Hemos podido comprobar que dicha propuesta de enseñanza es viable y se ha desarrollado tal y como estaba diseñada. 60 Apartado 1 (Página 25) - Recitado ascendente - 1 al 7 5 Ficha 6 Actividad Previa Apartado 3 (Página 25) - Recitado Oral - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente - 1 al 7 5 Ficha 19 Actividad Previa Apartado 1 (Página 53) - Recitado oral - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente - 1 al 7 6 Ficha 6a Actividad Previa Apartado 1 (Página 23) - Recitado oral - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente - 1 al 8 Tercer Trimestre Unidad Página Observaciones 7 Evaluación - Recitado escrito - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente - 1 al 9 7 Ficha 6 Actividad previa Apartado 1 (Página 23) - Recitado oral - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente - 1 al 8 8 Ficha 20 (Página 55) - Recitado oral (en canción) - Sucesión numérica cardinal 61 - Recitado ascendente - 1 al ∞ 8 Ficha 6 Actividad previa Apartado 1 (Página 25) - No solicita - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente - 1 al 10 8 Ficha 18 Buzón de ideas (Página 51) - Recitado oral (en canción) - Sucesión numérica cardinal - Recitado descendente - 10 al 0 9 Ficha 4 (Página 19) - Recitado escrito - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente - 1 al 10 9 Ficha 12 (Página 37) - Recitado escrito - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente - 1 al 10 9 Ficha 12 Canción (Página 37) - Recitado oral - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente - 1 al 10 9 Ampliación - Recitado oral - Sucesión numérica cardinal - Recitado ascendente 62 - 1 al 4 II. Obtención del cardinal de una colección. Primer Trimestre Unidad Página Observaciones5 1 Ficha 6 Actividad previa Apartado 4 (Página 27) - Cardinal de la colección: 1 al 3 - Recuento sobre las palmadas dadas por la profesora. 1 Ficha 6 (Página 27) - Cardinal de la colección: 1, 2 y 3 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: balones 2 Ficha 6 Actividad previa Apartado 4 (Página 25) - Cardinal de la colección: 4 y 5 - Recuento sobre objetos representados en la pizarra 3 Ficha 4a Actividad previa Apartado 4 (Página 19) - Cardinal de la colección: 1 al 6 - Recuento sobre los alumnos 3 Ficha 9 (Página 31) - Cardinal de la colección: 1, 3 y 5 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: regalos, lazos y estrellas. 3 Refuerzo - Cardinal de la colección: 2, 3 y 4 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: adornos de Navidad 5 Se indica el cardinal de la colección. Además, si el recuento se realiza sobre objetos representados gráficamente en el texto o bien otro tipo de objetos. En este último caso se especifica qué tipo de objetos (barajas, fichas, árboles del patio, sillas, mesas, alumnos,…). 63 Segundo Trimestre Unidad Página Observaciones 4 Ficha 6 Actividad previa Apartado 1 (Página 23) - Cardinal de la colección: 0 en oposición a “varios” - Recuento sobre objetos representados en la pizarra, juguetes, etc. 4 Ficha 12 Actividad previa Apartado 1 (Página 37) - Cardinal de la colección: 5 - Recuento sobre objetos de la clase como juguetes, bufandas, muñecas, vestidos… y los alumnos 4 Ficha 12 Actividad previa Apartado 2 (Página 37) - Cardinal de la colección: 2, 3… - Recuento sobre objetos de la clase 4 Ficha 12 (Página 37) - Cardinal de la colección: 5, 3, 2 y 0 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: balones, libros y paraguas 4 Ficha 15 Actividad previa Apartado 1 (Página 43) - Cardinal de la colección: 3 y 6 - Recuento sobre objetos: bloques de construcción 4 Ficha 15 (Página 43) - Cardinal de la colección: 6 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: pelotas y peluches 4 Refuerzo - Cardinal de la colección: 0, 1, 2 y 3 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: lápices 64 5 Ficha 12 (Página 39) - Cardinal de la colección: menos de 4 y más de 4 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: óvalos 5 Ficha 19 Actividad previa Apartado 1 (Página 53) - Cardinal de la colección: hasta 7 - Recuento sobre objetos: bolas de papel 5 Ficha 19 (Página 53) - Cardinal de la colección: hasta 5 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: tenedores y cucharas 6 Ficha 6a Actividad previa Apartado 3 (Página 23) - Cardinal de la colección: 8 - Recuento sobre objetos representados en la pizarra: señales de tráfico. 6 Ficha 6a (Página 23) - Cardinal de la colección: 8 - Recuento sobre oObjetos representados en la ficha: cuadrados 6 Ficha 15 Actividad previa Apartado 1 (Página 45) - Cardinal de la colección: hasta 7 - Recuento sobre objetos representados en la pizarra: señales de tráfico. 6 Ficha 15 (Página 45) - Cardinal de la colección: 5 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: árboles 6 Ficha 19 (Página 53) - Cardinal de la colección: 2, 3, 4, 5 y 7 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: pájaros y personas. 65 Tercer Trimestre Unidad Página Observaciones 7 Ficha 6 Actividad previa Apartado 3 y 4 (Página 23) - Cardinal de la colección: 9 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: hojas, flores, etc. 7 Ficha 18 (Página 51) - Cardinal de la colección: 1 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: uva 7 Ampliación - Cardinal de la colección: 9 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: las manchas de la mariquita 7 Ampliación - Cardinal de la colección: 3,4 y 5 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: signos 8 Ficha 6 (Página 25) - Cardinal de la colección: 10 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: caracoles 8 Ficha 8 (Página 29) - Cardinal de la colección: 3, 3, 4 y 5 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: triángulos, cubos, pirámides y círculos 8 Ficha 11 (Página 37) Primera parte de la actividad: - Cardinal de la colección: 8 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: pelotas Segunda parte de la actividad: 66 - Cardinal de la colección: 2, 4 y 1 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: pelotas 8 Ficha 16 Actividad previa Apartado 1 y 2 (Página 47) - Cardinal de la colección: no especifica el número - Recuento sobre los alumnos 8 Ficha 18 (Página 51) - Cardinal de la colección: 2 y 4 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: huevos 8 Refuerzo - Cardinal de la colección: 2, 4 y 6 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: perros y pájaros 8 Mapache y puntitos - Cardinal de la colección: 2, 4 y 5 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: puntitos 8 Mapache y puntitos - Cardinal de la colección: 1 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: mapache 9 Ficha 4 (Página 19) - Cardinal de la colección: 0, 1, 5, 6 7 y 10 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: sol, luna, nubes, árboles, casas y estrellas 9 Ficha 10 Actividad previa Apartado 1 (Página 33) - Cardinal de la colección: 4, 7, 8… - Recuento sobre objetos: pelotas, peluches, bandejas… 9 Ficha 14 - Cardinal de la colección: 2, 4 y 6 67 (Página 43) - Recuento sobre objetos representados en la ficha: € 9 Ficha 12 (Página 37) Primera parte de la actividad: - Cardinal de la colección: 6 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: flores Segunda parte de la actividad - Cardinal de la colección: número de flores dibujadas “X” - Recuento sobre objetos representados en la ficha: flores 9 Ficha 16 (Página 45) - Cardinal de la colección: 2 y 3 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: cubos, palas y rastrillos a tachar. 9 Evaluación - Cardinal de la colección: 1 al 6 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: puntos de dominó 9 Repaso - Cardinal de la colección: 6 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: lunas 9 Ampliación - Cardinal de la colección: 1 al 4 - Recuento sobre objetos representados en la ficha: cuadrados de una cuadrícula III. Construcción de una colección cuyo cardinal se conoce. Primer Trimestre 68 Unidad Ficha Observaciones6 1 Ficha 15 (Página 47) - Actividad previa - Apartado 3 o Cardinal de la colección: 1, 2 y 3 o Construcción de la colección con objetos que el alumnado coge del aula - Apartado 4 o Cardinal de la colección: 1, 2 y 3 o Nombres de compañeros, maestros… - Apartado 5 o Cardinal de la colección: 1, 2 y 3 o Construcción de la colección con círculos dibujados en la pizarra - Apartado 6 o Cardinal de la colección: 3 o Construcción de la colección con material continuo repartido por la maestra 1 Ficha 15 (Página 47) - Cardinal de la colección: 1, 2 y 3 - Construcción de la colección con pegatinas de sacapuntas 6 Se indica el cardinal de la colección. Además, si la construcción de la colección se realiza con objetos que el alumno construye con gráficos (rodear, colorear, dibujar,…), o bien pegando gomets u otros métodos. 69 2 Ficha 6 Actividad previa Apartado 3 (Página 25) - Cardinal de la colección: 4 y 5 - Construcción de la colección con lápices que el alumnado debe colorear. 2 Ficha 6 Actividad previa Apartado 5 (Página 25) - Cardinal de la colección: 4 y 5 - Construcción de la colección con objetos y mobiliario de una casa 2 Ficha 6 (Página 25) - Cardinal de la colección: 4 y 5 - Construcción de la colección con objetos que el alumnado debe colorear en la ficha: calcetines 2 Ficha 12 Actividad previa Apartado 4 (Página 39) - Cardinal de la colección: 4 - Construcción de la colección con material continuo. 2 Ficha 12 (Página 39) - Cardinal de la colección: 4 y 5 - Construcción de la colección con gomets que el alumnado debe pegar en la ficha 2 Refuerzo - Cardinal de la colección: 1, 2 y 3 - Construcción de la colección con gomets que el alumnado debe pegar en la ficha. 76 7 Ficha 12 Actividad en ficha y además… (Página 37) - Ordinal del elemento que se calcula :7º, 8º y 9º 7 Ficha 12 Actividad previa Apartado 1 (Página 37) - Ordinal del elemento que se calcula: del 1º al 9º VI. Configuraciones o constelaciones para subitizar el cardinal de colecciones Primer Trimestre Unidad Página Observaciones9 2 Ficha 17 (Página 49) - Número que se representa: del 1 al 5 - Obtener el cardinal para rodear aquellas fichas de dominó que tienen 4 ó 5 elementos. Tercer Trimestre Unidad Página Observaciones 7 Evaluación (fichas de dominó) - Número que se representa: del 1 al 6 - Unir las piezas de dominó que tengan el mismo número de puntos. 7 Ficha 6 - Número que se presenta: 9 9 Se indica el número que se representa, el tipo de configuración que utiliza el texto escolar y si el texto plantea alguna tarea con esa configuración 77 (Página 23) - Asociar el número de puntos a la grafía del número 9 8 Mapache - Número que se presenta: 2, 6, 4 - Hay que obtener el cardinal y realizar una resta 8 Ficha 6 (Página 25) - Número que se presenta: 10 - Asociar la cantidad de puntos a la grafía del número 10 9 Ficha 10 (Página 33) - Números que se presentan:1 al 5 - Sumar los puntos para obtener el número 9 9 Evaluación (dominó) - Números que se presentan:1 al 6 - Obtener el cardinal 78 VII. Tareas en que sea necesaria para el alumno la comunicación escrita de los números VIII. Tareas en las que el alumno debe de reproducir el trazado de las cifras imitando o siguiendo un modelo o patrón Primer Trimestre Unidad Página Observaciones10 1 Ficha 6 Actividad previa Apartado 3 (Página 27) - Números que solicitan escribir: 1, 2 y 3 - ¿Se especifica el recorrido? Sí - Los niños tienen que caminar por encima, borrarlos, pasar un coche de juguete… 1 Ficha 6 (Página 27) - Números que solicitan escribir: 1, 2 y 3 - ¿Se especifica el recorrido? Solo en la primera fila de cada uno - Se emplea lápiz y papel 1 Ficha 15 (Página 47) - Números que solicitan escribir: 1, 2 y 3 - ¿Se especifica el recorrido? Solo en la primera fila de cada uno - Se emplea lápiz y papel 1 Evaluación (Página 61) - Números que solicitan escribir: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 - ¿Se especifica el recorrido? Sí - Se emplea lápiz y papel 2 Ficha 6 (Página 25) - Números que solicitan escribir: 4 y 5 - ¿Se especifica el recorrido? Solo en algunos 10 Se indican los números que solicitan escribir el texto escolar y si se especifica el recorrido que debe seguir el alumno. Además, si se emplean materiales distintos al lápiz y al papel para su trazado. 79 - Se emplea lápiz y papel 2 Ficha 12 (Página 40) - Números que solicitan escribir: 4 y 5 - ¿Se especifica el recorrido? Solo en uno de ellos - Se emplea lápiz y papel 2 Ficha 17 (Página 49) - Números que solicitan escribir: del 1 al 5 - ¿Se especifica el recorrido? Solo de los números 1 y 5 - Se emplea lápiz y papel 2 Evaluación (Página 57) - Números que solicitan escribir: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 - ¿Se especifica el recorrido? Sí - Se emplea lápiz y papel 2 Refuerzo - Números que solicitan escribir: 1, 2, 3, 4 y 5 - ¿Se especifica el recorrido? Solo en algunos. - Se emplea lápiz y papel 3 Ficha 4 a (Página 19) - Números que solicitan escribir: 6 - ¿Se especifica el recorrido? Solo en uno de ellos - Se emplea lápiz y papel 3 Ficha 7 (Página 27) - Números que solicitan escribir: 1º, 2º y 3º - ¿Se especifica el recorrido? Sí - Se emplea lápiz y papel 3 Ficha 9 (Página 31) - Números que solicitan escribir:1, 2, 3, 4, 5 y 6 - ¿Se especifica el recorrido? solo en algunos - Se emplea lápiz y papel 80 3 Ficha 12 (Página 37) - Números que solicitan escribir: 1º, 2º y 3º - ¿Se especifica el recorrido? Solo en algunos - Se emplea lápiz y papel 3 Evaluación (Página 49) - Números que solicitan escribir: 1, 2, 3, 4 y 5 - ¿Se especifica el recorrido? Sí - Se emplea lápiz y papel 3 Refuerzo - Números que solicitan escribir: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 - ¿Se especifica el recorrido? sí - Se emplea lápiz y papel Segundo Trimestre Unidad Página Observaciones 4 Ficha 6 (Página 23) - Números que solicitan escribir: 0 - ¿Se especifica el recorrido? Solo en uno de ellos - Se emplea lápiz y papel 4 Ficha 15 (Página 43) - Números que solicitan escribir: del 0 al 6 - ¿Se especifica el recorrido? No, solo el punto de partida en el 0, 2, 4 y 6 - Se emplea lápiz y papel 4 Evaluación (Página 57) - Números que solicitan escribir: 0, 7, 8 , 9 y 10 - ¿Se especifica el recorrido? No - Se emplea lápiz y papel 5 Ficha 6 - Números que solicitan escribir: 7 81 Actividad previa Apartado 5 (Página 25) - ¿Se especifica el recorrido? No - Se emplea cartulina y ceras 5 Ficha 6 (Página 25) - Números que solicitan escribir: 7 - ¿Se especifica el recorrido? Solo en uno de ellos - Se emplea lápiz y papel 5 Ficha 12 (Página 39) - Números que solicitan escribir: 0 al 7 ó 0 y 7 - ¿Se especifica el recorrido? No - Se emplea lápiz y papel 5 Evaluación (Página 57) - Números que solicitan escribir: 0, 7, 8, 9 y 10 - ¿Se especifica el recorrido? No - Se emplea lápiz y papel 6 Ficha 6a (Página 23) - Números que solicitan escribir: 8 - ¿Se especifica el recorrido? Solo en uno de ellos - Se emplea lápiz y papel 6 Ficha 12 (Página 39) - Números que solicitan escribir: del 1º al 6º y 1,3 y 5 - ¿Se especifica el recorrido? No - Se emplea lápiz y papel 6 Evaluación (Página 57) - Números que solicitan escribir: 0, 7, 8, 9 y 10 - ¿Se especifica el recorrido? No 82 - Se emplea lápiz y papel 6 Refuerzo - Números que solicitan escribir: del 1º al 6º - ¿Se especifica el recorrido? Solo en uno de ellos - Se emplea lápiz y papel Tercer Trimestre Unidad Página Observaciones 7 Ficha 6 (Página 23) - Números que solicitan escribir: 9 - ¿Se especifica el recorrido? solo en el modelo 9 - Se emplea lápiz y papel 7 Ficha 12 (Página 37) - Números que solicitan escribir: del 2 al 8 - ¿Se especifica el recorrido? Se especifica el punto de partida pero no el recorrido - Se emplea lápiz y papel 7 Ficha 18 (Página 51) - Números que solicitan escribir: 2, 5 y 6 - ¿Se especifica el recorrido? Se especifica el punto de partida pero no el recorrido - Se emplea lápiz y papel 8 Ficha 6 (Página 25) - Números que solicitan escribir: 10 - ¿Se especifica el recorrido? Los recorridos sólo se especifican en los modelos, luego solo se especifica el punto de partida. 83 - Se emplea lápiz y papel 8 Ficha 18 (Página 51) - Números que solicitan escribir: 1, 2, 4, 5 y 6 - ¿Se especifica el recorrido? No, se repasan los números ya escritos - Se emplea lápiz y papel 8 Evaluación - Números que solicitan escribir: 2, 3, 5, 8 y 10 - ¿Se especifica el recorrido? No, se repasan los números ya escritos - Se emplea lápiz y papel 8 Refuerzo - Números que solicitan escribir: 2 y 4 - ¿Se especifica el recorrido? No, se repasan los números ya escritos - Se emplea lápiz y papel 8 Mapache puntitos - Números que solicitan escribir: 1 y 2 - ¿Se especifica el recorrido? No, se repasan los números ya escritos - Se emplea lápiz y papel 9 Ficha 4 (Página 19) - Números que solicitan escribir: 0 y 10 - ¿Se especifica el recorrido? No, se repasan los números ya escritos - Se emplea lápiz y papel 9 Ficha 10 (Página 33) - Números que solicitan escribir: 1 al 5 - ¿Se especifica el recorrido? No, se repasan los números ya escritos - Se emplea lápiz y papel 9 Ficha 12 (Página 37) - Números que solicitan escribir: 0 y 10 - ¿Se especifica el recorrido? No, se repasan los 84 números ya escritos - Se emplea lápiz y papel 9 Ficha 16 (Página45) - Números que solicitan escribir: 1 al 6 - ¿Se especifica el recorrido? No, se repasan los números ya escritos - Se emplea lápiz y papel 9 Repaso - Números que solicitan escribir: 1y 5 - ¿Se especifica el recorrido? No, se repasan los números ya escritos - Se emplea lápiz y papel IX. Orden entre números: anterior y posterior de un número, y comparación de números Primer Trimestre Unidad Página Observaciones11 2 Ficha 15 (Página 45) - Números que intervienen:1 al 3 - Tarea descontextualizada - Con objetos manipulables 3 Ficha 9 Actividad previa Apartado 6 (Página 31) - Números que intervienen: 1 al 6 - Tarea descontextualizada - Sin objetos manipulables 11 Se indican los números que intervienen en la tarea, si la tarea está contextualizada, y si los alumnos disponen de objetos que pueden manipular para resolverla. 85 3 Ficha 12 Actividad previa Apartado 2 (Página 37) - Números que intervienen: 1 al 3 - Tarea descontextualizada - Con objetos manipulables Tercer Trimestre Unidad Página Observaciones 7 Ficha 18 Actividad previa Apartado 1 (Página 51) - Números que intervienen: 4, 5 y 6 - Descontextualizada - Con objetos manipulables 8 Ficha 4 (Página 21) - Números que intervienen: 1 al 6 - Descontextualizada - No disponen de objetos manipulables 8 Ficha 16 Actividades previas (Página 47) - Números que intervienen: todos, algunos o ninguno - Contextualizado - Algunos son manipulables como los alumnos y otros no como los perros. 8 Ficha 18 Actividad posterior (Página 51) - Números que intervienen: se desconocen los números - Descontextualizado - No tiene objetos manipulables 92 8 Mapache E – T(↓) - E(I) 21(↓)- 1(I)/ 41(↓)- 3(I)/ 51(↓)- 4(I) - Hay “x” puntitos - Se quita 1 (resta) - ¿Cuántos quedan? 9 Ficha 4 (Página 19) E – T(I)(↓) – E 72(↓)(I)= 5 - 7 visitantes - Llega el tren con 5 vagones - ¿Cuántos se bajan del tren porque no caben? (resta) 9 Ficha 10 (Página 33) E – T(↑)(I) - E Ej.:3 - 6(↑)(I) - 9 - Hay 3 puntos en una parte de la ficha de dominó - ¿Cuántos tengo que dibujar en la otra parte para que en total sean 9? (resta) - Descomposición del 9 en: 5+4/3+6/7+2/4+5/1+8/0+9 9 Ficha 12 Actividad previa Apartado 1 (Página37) E(I) – T(↑)(I) - E Ej.:2(I) - 4(↑)(I) - 6 - Descomposición aditiva del 6 en 1+5/4+2… - Datos: 6 alumnos se tienen que colocar cada vez de una manera diferente respecto a la mascota de la clase. 9 Ficha 12 Actividad previa Apartado 2 E(I) – T(↑)(I) - E Ej.:7(I) - 3(↑)(I) - 10 - Descomposición del 10 en: 7+3/6+4/5+5/ - Datos: 10 alumnos se tienen que distribuir en 2 93 (Página 37) tiendas cada vez de forma distinta. 9 Ficha 12 Actividad en la ficha. Apartado 2 (Página 37) E(I) – T(↑)(I) - E Ej.:2(I) - 4(↑)(I) - 6 - Descomposición del 6 en 2+2+2/1+2+3/3+3/4+2… - Distribuir 6 flores en 2 y 3 maceteros 9 Ficha 16 (Página 45) E – T(↓) - E(I) 41(↓)- 3(I)/ 52(↓)- 3(I)/ 63(↓)- 3(I) - Hay “x” objetos - Tachamos “y” (resta) - ¿Cuántos quedan? - Descomposición del 3 en: 4-1/5-2/6-3 9 Repaso E – T(↓) - E(I) 51(↓)- 4(I)/ 62(↓)- 4(I)/ - Hay “x” objetos - Tachamos “y” (resta) - ¿Cuántos quedan? XI. Técnicas orales de suma y resta de números Segundo Trimestre Unidad Página Observaciones13 4 Ampliación - Descomposición del 6 en: 1+5 / 2+4 / 3+3 / 4+2 / 5+1 / 6+0 13 Se indican las distintas técnicas orales de suma y resta que se presentan en el texto. 94 Tercer Trimestre Unidad Página Observaciones 7 Evaluación - Suma de los puntos de cada mitad de las fichas de dominó 7 Ampliación - Suma y resta (descomposiciones del 9) Ej.: 8+1, 10-1… 8 Ficha 11 (Página37) - Descomposición del 8 en: 4+4/ 2+2+2+2/ 1+1+1+1+1+1+1+1 XII. Hechos numéricos de suma y resta que se enseñan Primer Trimestre Unidad Página Observaciones14 3 Ampliación - Hechos numéricos: 3+2 / 4+2 / 3+3 / 1+4 - Se presenta en vertical Segundo Trimestre Unidad Página Observaciones 5 Ficha 19 (Página 53) - Hechos numéricos: 2+3 / 4+0 - Se presentan en horizontal - Hechos numéricos: 3+2 / 4+2 / 2+5 / 3+4 14 Se indican los hechos numéricos que se presentan así como la manera en que se plantean en el texto: en horizontal o en vertical. 95 - Se presentan en vertical 5 Ampliación - Hechos numéricos: 1+2 / 3+3 - Se presentan en vertical y en horizontal Tercer Trimestre Unidad Página Observaciones 8 Ficha 14 (Página. 43) - Hechos numéricos: 1+3/ 2+0/ 4+2 - Se presentan en horizontal y en vertical 8 Ficha 18 (Página 51) - Hechos numéricos: 6-4/ 4-2/ 5-1 - Se presentan en horizontal y en vertical 8 Refuerzo (Página 59) - Hechos numéricos: 4-2/ 6-2 - Se presentan en horizontal y en vertical. 9 Ficha 16 (Página 45) - Hechos numéricos: 4-1/ 5-2/6-3 - Se presentan en horizontal y en vertical 1: Recuento y utilización de los dedos para recordar el ordinal 7: Azar 2: Recuento y memorización 8: Recuento 3: Recuento y realización de marcas en el papel 9. Recuento incorrecto 4: Recuento y escritura del cardinal 10: Recuento y olvido del cardinal 5: Recuento y olvido del cardinal 11: Subitación 6. Fallo en el recuento ANEXO 2. PLANTILLA DE EVALUACIÓN. JUEGO: INVITACIONES Y SOBRES ¿Utiliza el recuento para obtener el nº de tarjetas? * ¿Qué estrategia emplea? ** ¿Qué estrategia emplea ? ¿Utiliza el recuento para obtener el nº de sobres? + ¿Qué estrategia emplea? ++ ¿Qué estrategi a emplea? ¿Consigue traer el mismo nº de sobres que de invitaciones en un solo viaje? - / -- ¿Valida su acierto o su error? -- ¿Lo hace bien la segunda vez? -- ¿Qué estrategias pone en marcha? Alumnado SI * No ** 1 2 3 4 5 6 7 SI + NO ++ 8 9 10 11 SI - NO - - SI NO SI NO 1ª fase 2ª fase Cayetana 5T X X X X X X X 2 8 Marta 5T / 6T X X X X X X X 2 8 Carlota 7T X X X X X X María 8T X X X X X X Rayco 5T X X X X X X Aaron 5T X X X X X X X 2 8 Quique 6T X X X X X X Paula 7T X X X X X X 96 1: Recuento y utilización de los dedos para recordar el ordinal 7: Azar 2: Recuento y memorización 8: Recuento 3: Recuento y realización de marcas en el papel 9. Recuento incorrecto 4: Recuento y escritura del cardinal 10: Recuento y olvido del cardinal 5: Recuento y olvido del cardinal 11: Subitación 6. Fallo en el recuento ¿Utiliza el recuento para obtener el nº de tarjetas? * ¿Qué estrategia emplea? ** ¿Qué estrategia emplea ? ¿Utiliza el recuento para obtener el nº de sobres? + ¿Qué estrategia emplea? ++ ¿Qué estrategi a emplea? ¿Consigue traer el mismo nº de sobres que de invitaciones en un solo viaje? - / -- ¿Valida su acierto o su error? -- ¿Lo hace bien la segunda vez? -- ¿Qué estrategias pone en marcha? Alumnado SI * No ** 1 2 3 4 5 6 7 SI + NO ++ 8 9 10 11 SI - NO -- SI NO SI NO 1ª fase 2ª fase Álex 8T X X X X X X X 2 8 Arturo 6T X X X X X X X 2 8 Sergio 8T X X X X X X Alfonso 5T X X X X X X Sofía 7T X X X X X X Nicolás 8T X X X X X X Daniel 6T X X X X X X X 2 8 Jorge 5T X X X X X X X 2 8/11 97 1: Recuento y utilización de los dedos para recordar el ordinal 7: Azar 2: Recuento y memorización 8: Recuento 3: Recuento y realización de marcas en el papel 9. Recuento incorrecto 4: Recuento y escritura del cardinal 10: Recuento y olvido del cardinal 5: Recuento y olvido del cardinal 11: Subitación 6. Fallo en el recuento ¿Utiliza el recuento para obtener el nº de tarjetas? * ¿Qué estrategia emplea? ** ¿Qué estrategia emplea ? ¿Utiliza el recuento para obtener el nº de sobres? + ¿Qué estrategia emplea? ++ ¿Qué estrategi a emplea? ¿Consigue traer el mismo nº de sobres que de invitaciones en un solo viaje? - / -- ¿Valida su acierto o su error? -- ¿Lo hace bien la segunda vez? -- ¿Qué estrategias pone en marcha? Alumnado SI * No ** 1 2 3 4 5 6 7 SI + NO ++ 8 9 10 11 SI - NO -- SI NO SI NO 1ª fase 2ª fase Pablo 9T X X X X X X Nerea 5T X X X X X X Anchel 8T X X X X X X Lucas 8T X X X X X X Eva 7T X X X X X X Johan (ausente) Sandra (ausente) Samuel (ausente) 98 1: Dibuja el tren completo y marca el vagón 5: Azar 2: Escribe la serie numérica correspondiente a los vagones marcando el número de vagón correcto 6: Lee el número y realiza el recuento 3: Dibuja el tren, escribe numerales y marca el correcto 7: Interpreta el dibujo 4: Conteo y utiliza el número natural en su sentido ordinal ANEXO 3: PLANTILLA DE EVALUACIÓN. JUEGO DEL TREN. Rol de Emisor del mensaje Rol de Receptor del mensaje ¿Sabe escribir o dibujar el vagón donde está el clip? * / ** ¿Qué estrategia emplea? ** Fallo que comete ¿La validación del emisor antes de que el receptor compruebe si ha encontrado el clip es correcta? ¿Sabe leer cuál es el vagón dónde se encuentra el clip? + / ++ ¿Qué estrategia emplea? ++ Fallo que comete Alumnado SI * No ** 1 2 3 4 SI NO SI + NO ++ 5 6 7 Marta X X X X X Carlota X X X X X Aaron X X X X X Rayco X X X X X Quique X X Empieza a contar por detrás. X X X Paula X X X X X Eva X X X Inés X X X X X Falla en el recuento. 99 1: Dibuja el tren completo y marca el vagón 5: Azar 2: Escribe la serie numérica correspondiente a los vagones marcando el número de vagón correcto 6: Lee el número y realiza el recuento 3: Dibuja el tren, escribe numerales y marca el correcto 7: Interpreta el dibujo 4: Conteo y utiliza el número natural en su sentido ordinal Rol de Emisor del mensaje Rol de Receptor del mensaje ¿Sabe escribir o dibujar el vagón donde está el clip? * / ** ¿Qué estrategia emplea? ** Fallo que comete ¿La validación del emisor antes de que el receptor compruebe si ha encontrado el clip es correcta? ¿Sabe leer cuál es el vagón dónde se encuentra el clip? + / ++ ¿Qué estrategia emplea? ++ Fallo que comete Alumnado SI * No ** 1 2 3 4 SI NO SI + NO ++ 5 6 7 Cayetana X X Fallo en el recuento X X X Álex X X X X X Sofía X X X X X Alfonso X X X X X Nico X X X X X María X X X X X Sergio X X X X X Arturo X X X X X Fallo en el recuento Anchel X X X X X Piensa que el último vagón del dibujo es el 10º 100 1: Dibuja el tren completo y marca el vagón 5: Azar 2: Escribe la serie numérica correspondiente a los vagones marcando el número de vagón correcto 6: Lee el número y realiza el recuento 3: Dibuja el tren, escribe numerales y marca el correcto 7: Interpreta el dibujo 4: Conteo y utiliza el número natural en su sentido ordinal Rol de Emisor del mensaje Rol de Receptor del mensaje ¿Sabe escribir o dibujar el vagón donde está el clip? * / ** ¿Qué estrategia emplea? ** Fallo que comete ¿La validación del emisor antes de que el receptor compruebe si ha encontrado el clip es correcta? ¿Sabe leer cuál es el vagón dónde se encuentra el clip? + / ++ ¿Qué estrategia emplea? ++ Fallo que comete Alumnado SI * No ** 1 2 3 4 SI NO SI + NO ++ 5 6 7 Nerea X X X X X Daniel X X X X Jorge X X X X X Fallo en el recuento Sandra X X Empieza a contar desde la locomotora X X X Empieza a contar desde la locomotora Pablo X X X X X Johan X X X X X Lucas (ausente) Samuel (ausente) 101