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UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE F´ ISICA TE´ ORICA TRABAJO DE FINAL GRADO SISTEMAS DIN ´ AMICOS HAMILTONIANOS EN MEC´ ANICA CU ´ ANTICA: EL EFECTO ZEN ´ ON. Pablo Sala de Torres-Solanot Supervisado por: Jos´e Fernando Cari˜nena Marzo ´ Indice general Resumen ................................................. 1 1. La formulaci´on geom´etrica de la Mec´anica Cu´antica 3 1.1. Basematem´atica.......................................... 3 1.2. Losobservables........................................... 6 1.3. El espacio complejo proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Ladin´amica............................................. 9 1.5. Lainformaci´onespectral...................................... 11 2. Efecto Zen´on Cu´antico. QZE 13 2.1. Casounidimensional ........................................ 14 2.2. Los subespacios de Zen´on cu´anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. Formas alternativas para la evoluci´on de Zen´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1. Medidasqueproyectan................................... 15 2.3.2. Unitarykicks........................................ 18 2.3.3. Acoplocontinuofuerte................................... 21 2.4. Conclusi´on ............................................. 24 2.5. Validaci´onexperimental ...................................... 25 A. Algunos conceptos de geometr´ıa diferencial 27 B. Conceptos f´ısicos 33 B.1.ElefectoZen´oninverso....................................... 33 I II ´ INDICE GENERAL Resumen Las aproximaciones usuales a la mec´anica cu´antica y cl´asica son bastante diferentes. Por un lado tenemos una estructura lineal que se nos presenta en un espacio de Hilbert H, estructura que es considerada realmente importante para la formulaci´on posterior; y por otro lado nos encontramos con las ecuaciones de Hamilton, que nos definen trayectorias en un espacio de fases. Sin embargo desde los a˜nos 70, ha surgido una formulaci´on alternativa de la mec´anica cu´antica an´aloga a la perspectiva geom´etrica de la mec´anica cl´asica no relativista. Para un estudio de esta rama completo e introductorio se recomienda la lectura de los art´ıculos [1],[2] y [3]. Una vez se haya introducido esta formulaci´on, se pasar´a al estudio del efecto Zenon cu´antico (QZE), primeramente abordado por Von Neumann [4] y unos veinte a˜nos m´as tarde, desarrollado te´oricamente por B. Misra y G. Sudarshan [5], los cuales acu˜naron el nombre con el que hoy se le conoce, QZE. Destacar que pese a que acad´emicamente se hab´ıa hecho uso de los sistemas inestables para probar dicho efecto, la primera validaci´on experimental fue hecha por Itano et al. [6], bas´andose en el experimento propuesto por Cook[7]. Para este apartado nos centraremos en el art´ıculo de P. Facchi y S. Pascazio [8]. Adem´as se aplicar´a la formulaci´on geom´etrica aprendida al estudio del efecto Zen´on cu´antico, de forma an´aloga a como se desarrolla en [9]. Cabe resaltar que entre las aplicaciones pr´acticas existentes hasta la fecha de este efecto est´an la preservaci´on de la polarizaci´on de spin en gases y el control de la decoherencia en computaci´on cu´antica. Para el lector que no est´e familiarizado con los t´erminos geom´etricos que aqu´ı se utilizan, se puede encontrar en el ap´endice A, una descripci´on resumida de dichos conceptos. En el siguiente ap´endice se anexa una breve descripci´on del efecto Zen´on inverso (IZE). Adem´as en el desarrollo de este trabajo se tomar´an unidades naturales o de Planck (~= 1). 1 2´ INDICE GENERAL Cap´ıtulo 1 La formulaci´on geom´etrica de la Mec´anica Cu´antica Para poder reformular la teor´ıa cu´antica desde un punto de vista geom´etrico es imprescindible identificar los ingredientes principales que engloba el marco cu´antico, de forma que podamos reformular la estructura matem´atica que lo sostiene. Entre estos ingredientes encontramos: un espacio de estados al cual denotaremos S, que corresponde al conjunto de rayos de un espacio de Hilbert complejo separable en la formulaci´on usual de la Mec´anica Cu´antica, y que representan los estados puros del sistema, y un espacio de observables O, que corresponde al conjunto de las magnitudes f´ısicas del sistema, y que en la formulaci´on habitual es el conjunto de operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert considerado. Debemos considerar adem´as el proceso de medida y la evoluci´on de los estados del sistema f´ısico. El proceso de medida viene representado por una asignaci´on num´erica al par definido por el estado f´ısico y el observable O × S → R, mientr´as que para describir la evoluci´on del sistema debemos introducir una ecuaci´on diferencial, correspondiente a la ecuaci´on de Schr¨odinger en la formulaci´on tradicional, cuyas soluciones definen la evoluci´on temporal de los estados del sistema f´ısico. Toda la teor´ıa desarrollada a continuaci´on, ser´a para el caso particular de un espacio de Hilbert de dimensi´on finita N, es decir un sistema de Nniveles, con el objetivo de poder prescindir de dificultades topol´ogicas que hacen referencia a propiedades de continuidad de los operadores que aparecen, as´ı como a sus posibles dominios de definici´on. 1.1. Base matem´atica En primer lugar, para poder aplicar el formalismo geom´etrico, debemos introducir una variedad diferenciable 1donde trabajar. Para ello observemos que la realificaci´on del espacio de Hilbert Hde dimensi´on compleja Npuede dotarse de una estructura de variedad real diferenciable HR:= MQde dimensi´on real 2N, que admite una carta global, por ejemplo la obtenida al elegir una base del mencionado espacio de Hilbert. Al elegir una tal base cada elemento de Hposee unas coordenadas {|zki} y podemos separar cada una de sus coordenadas en su parte real y parte imaginaria de la forma: |ψi=X k ψk|ekide forma que ψk→ψR k+i ψI k(1.1) Entonces, ({ψ1, ψ2, ..., ψN})∈ H 7→ ψR 1, ψR 2, ..., ψR N, ψI 1, ψI 2, ..., ψI N≡(ΨR,ΨI)∈MQ(1.2) En consecuencia esta variedad real diferenciable MQes equivalente a R2N 1Ver en ap´endice A DFN A.1 y siguientes. 3 4 1.1. BASE MATEM´ ATICA Adem´as, el hecho de que el espacio de Hilbert sea complejo se traduce en la existencia de un tensor Jde tipo (1,1) en la variedad MQtal que J2=−I, que recibe el nombre de estructura compleja2. La variedad que hemos obtenido as´ı es del tipo particular que se conoce como variedad K¨ahler [10]. Por ahora hemos traducido el espacio de estados dados en unas ciertas coordenadas que por analog´ıa con el caso de mec´anica cl´asica, denotaremos ψR i≡qiyψI i≡pi(1.3) En efecto, veamos que MQest´a dotada de una estructura simpl´ectica y que las mencionadas coordenadas son efectivamente coordenadas de Darboux3para tal forma simpl´ectica. La propiedad de que el producto interno sea tal que hψ|φisea conjugado de hφ|ψise traduce en que el espacio lineal de Hilbert HR est´a dotado de una forma bilineal antisim´etrica no degenerada mediante ω(|φi,|ψi) = Im hφ|ψiy por tanto MQest´a dotado de una estructura simpl´ectica. Recordando que hφ|ψi= n X k=1 (φR k−i φI k)(ψR k+i ψI k), vemos que ω(|φi,|ψi) = Im hφ|ψi= n X k=1 (φR kψI k−ψR kφI k), lo que nos muestra que qk= Re φk,pk= Im φkson coordenadas de Darboux. Podemos traducir las estructuras algebr´aicas disponibles en Hen objetos tensoriales sobre la variedad MQ. Por otro lado, al igual que en el caso cl´asico, las trayectorias del sistema f´ısico vendr´an determinadas por las curvas integrales de un campo vectorial4responsable de la din´amica. Es por ello que para esta ‘traducci´on’ debemos considerar los fibrado tangente y cotangente, teniendo en cuenta que puesto que H es un espacio vectorial podemos identificar para cada |φi∈Hel espacio tangente T|φiHcon el propio H, de forma que a cada |ψi ∈ H le corresponde la aplicaci´on que asocia a cada funci´on fdiferenciable en un entorno del punto |φi, el valor real d dtf(|φi+t|ψi)t=0 . Adem´as, con esta identificaci´on los campos vectoriales en Hvendr´an dados por aplicaciones X:H → H. Mencionamos a continuaci´on algunos ejemplos interesantes, como son los campos vectoriales constantes y los campos vectoriales lineales: ·Con cada elemento |ψi∈Hle podemos asociar un campo vectorial constante X|ψi:MQ→TMQ|φi 7→ (|φi,|ψi) (1.4) Observemos que lo que hemos hecho, es trasladar |ψi∈Hal espacio tangente en cada punto, es decir, en este lenguaje los estados |ψi∈Hson los vectores pertenecientes al espacio tangente en el punto |φi. Adem´as, elegida una base de Hlas componentes de |ψi∈Htienen una parte real y una imaginaria pura de forma que el campo queda descrito por: X|ψi(|φi)=(|φi,ΨR,ΨI) (1.5) 2Aunque inicialmente este cambio de notaci´on i→Jparezca trivial, este peque˜no cambio en el punto de vista permitir´a introducir la formulaci´on simpl´ectica de la mec´anica cu´antica. 3Ver en ap´endice A el teorema A.0.1. 4Ver en ap´endice A DFN A.3. CAP´ ITULO 1. LA FORMULACI´ ON GEOM´ ETRICA DE LA MEC´ ANICA CU´ ANTICA 5 ·Recordemos que si Ves un espacio lineal real, con la identificaci´on del espacio tangente a Ven cada punto con el propio V, cada aplicaci´on lineal A:V→Vdefine un campo vectorial XA mediante XA(v)=(v, Av). En la carta definida por la elecci´on de una base de V, cuyas coordenadas denotaremos xi, dichos campos vectoriales XAvendr´an dados en tales coordenadas por XA= aijxj∂ ∂xi, de forma que las ecuaciones que determinan sus curvas integrales son ecuaciones diferenciaes lineales. En el caso particular de un espacio de Hilbert Hel campo vectorial XAdefinido por la aplicaci´on lineal A:H → H, con la identificaci´on TH ≈ H×H, est´a dado por XA:|ψi 7→ (|ψi, A |ψi)∈ H×H. Las curvas integrales de estos campos vectoriales son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales ˙ |ψi=A|ψi.Veremos que el caso de inter´es en Mec´anica Cu´antica es cuando Aes un operador (anti-)autoadjunto. ·El caso particular en que A=Ies especialmente importante ya que el campo vectorial lineal correspondiente, ∆ = XI, codifica la estructura lineal disponible en MQ. Juega un papel bastante similar al conocido como campo de Liouville [11], o campo de dilataciones, ya que en este caso no s´olo se dilata a lo largo de la fibra si no tambi´en del espacio base. M´as en concreto, ∆ : MQ→TMQ|ψi 7→ (|ψi,|ψi) (1.6) se escribe en coordenadas {qk, pk}asociadas a la elecci´on de una base mediante: ∆ = qk ∂ ∂qk +pk ∂ ∂pk (1.7) Ya indicamos que la subvariedad MQtambi´en est´a dotada de otra estructura relevante, que es consecuencia de la estructura Herm´ıtica en H. Para el desarrollo matem´atico completo de este apartado se recomienda leer el Cap´ıtulo 3 de [11]. La estructura Herm´ıtica queda codificada por el tensor Herm´ıtico h. Para obtenerlo usamos que si |ψ1i,|ψ2i∈Hentonces hψ1|ψ2i=h(X|ψ1i, X|ψ2i)(|φi)∀|φi(1.8) Llegados a este punto se puede ver siguiendo el desarrollo matem´atico encontrado en [10], que en coordenadas zk=qk+ipk, el tensor Herm´ıtico queda definido por h=X k d¯ zk⊗dzk=X k (dqk−i dpk)⊗(dqk+i dpk) (1.9) y que sobre la variedad real MQ, que est´a dotada de una estructura compleja, se puede expresar como h(X|ψ1i, X|ψ2i) = Re hψ1|ψ2i+iIm hψ1|ψ2i=g(X|ψ1i, X|ψ2i) + i ω(X|ψ1i, X|ψ2i) (1.10) donde ges un tensor sim´etrico y ωun tensor antisim´etrico que define la mencionada estructura simpl´ectica, y adem´as puesto que el producto interno es sesquilineal, hψ1|i ψ2i=ihψ1|ψ2i hi ψ1|ψ2i=−ihψ1|ψ2i(1.11) implica que, ω(X, Y ) = g(JX, Y )g(JX, JY ) = g(X, Y )ω(JX, JY ) = ω(X, Y ) (1.12) ·Por ´ultimo, la estructura compleja de Hes traducida mediante el tensor de tipo (1,1) J:TMQ→TMQtal que J∂ ∂qk=∂ ∂pk J∂ ∂pk=−∂ ∂qk (1.13) cumpliendo que J2=−I(1.14) 6 1.2. LOS OBSERVABLES Cabe destacar que por tanto que en la descomposici´on (1.9) el tensor sim´etrico ges definido positivo y no degenerado y por tanto define una estructura Riemanniana en la variedad real, (MQ, g), mientr´as que el tensor antisim´etrico ωes tambi´en no degenerado y es cerrado (dω = 0), por lo que dicho tensor es una forma simpl´ectica. Esto implica que (MQ, ω) es una variedad simpl´ectica. M´as a´un, (MQ,(g, ω, J)) es una variedad K¨ahler y la forma covariante de estos tensores viene dada por: J=∂pk⊗dqk−∂qk⊗dpkg=dqk⊗dqk+dpk⊗dpkω=dqk∧dpk(1.15) como se puede ver sin m´as que hacer uso de la relaci´on (1.9). Como ωes no degenerada define un tensor de Poisson (su forma contragradiente) Ω = N X k=1 ∂ ∂qk∧∂ ∂pk (1.16) como tambi´en es posible considerar un tensor dos veces contravariante sim´etrico que corresponde a g, G= N X k=1 ∂ ∂qk⊗∂ ∂qk +∂ ∂pk⊗∂ ∂pk (1.17) Ambos tensores est´an relacionados por G=J·Ω. Como veremos estos tensores permiten definir un corchete de Poisson y un corchete Riemann-Jordan sobre funciones suaves. En resumen, la traducci´on obtenida ha sido: H −→ HR:= MQ h·,·i h=g+i ω i J (CN,h·,·i) (MQ,(g, ω, J)) Es interesante destacar, que han aparecido dos estructuras adicionales al caso de la mec´anica cl´asica: la estructura compleja y la estructura Riemanniana compatible con la estructura simpl´ectica dada por la igualdad (1.12). Ser´a esta segunda la que nos permitir´a traducir las incertidumbres en la medida. 1.2. Los observables Una vez introducida la base matem´atica sobre la que se trabaja y el espacio de estados considerado, se ha de dar significado a los operadores en el formalismo geom´etrico. En la imagen de Schr¨odinger, los operadores que representan las magnitudes f´ısicas son los operadores lineales autoadjuntos, los cuales act´uan sobre los estados. La forma m´as sencilla de traducir esto es asociar a cada observable una funci´on real dada por O → F(MQ)H→fH(ψ) = 1 2hψ|Hψicon ψ∈ H (1.18) donde F(MQ) es el conjunto de todas las funciones cuadr´aticas sobre MQyFR(MQ) el subconjunto de funciones reales. Adem´as se deben codificar las diferentes estructuras algebr´aicas existentes en O. Consi- Cap´ıtulo 2 Efecto Zen´on Cu´antico. QZE En el siglo 5 a.C, en Elea, naci´o Zen´on, una figura importante de la escuela Ele´atica de filosof´ıa fundada por Parm´enides. Ellos cre´ıan que los sentidos eran enga˜nosos y que tanto el movimiento como el cambio eran meras ilusiones. Zen´on introdujo estas ense˜nanzas mediante un conjunto de argumentos que resultaban en aspectos parad´ojicos de la noci´on de una realidad en continuo cambio y m´as concretamente chocaban con la posibilidad de movimiento representado en la paradoja de la flecha. De dicha paradoja se concluye, que la flecha nunca llegar´a a su destino. Para una introducci´on m´as completa ver [8]. En mec´anica cu´antica este efecto de la no posibilidad de movimiento fue planteado por primera vez por Alan Turing en 1954 [13] y acu˜nado por Misra y Sudarshan como Quantum Zeno Effect (QZE) en [5]. Es de esta publicaci´on de donde partiremos para desarrollar la teor´ıa del efecto Zen´on cu´antico. El primer ejemplo de sistema cu´antico considerado es el de un sistema cu´antico inestable. El espacio de estados de este sistema cu´antico se divide en los estados en los cuales la part´ıcula no ha deca´ıdo y en aquellos estados en los que s´ı. Mediante una observaci´on del estado sin decaer lo que hacemos es colapsar la funci´on de ondas al estado sin decaer (visi´on a la von Neumann). La probabilidad de que el estado decaiga, despu´es de este colapso crece cuadr´aticamente con el tiempo para tiempos suficientemente cortos. Si lo que se hace es realizar infinitas observaciones en intervalos muy cortos de tiempo de forma que no dejemos evolucionar al sistema, estaremos confinando el estado de la part´ıcula al estado sin decaer, de manera que podremos evitar su decaimiento. De forma que un estado que sea continuamente observado nunca decaer´a. La dificultad de observar este efecto en decaimientos de part´ıculas reside en que el intervalo temporal en el cual la probabilidad crece cuadr´aticamente, y por tanto el tope de nuestro intervalo de medida, es muy peque˜no comparado con el tiempo requerido para hacer la medida, debido a que usamos una instrumentaci´on con limitaciones f´ısicas. No obstante tambi´en se puede aplicar el QZE a la inhibici´on de transiciones inducidas mediante medidas frecuentes, efecto que es observado, por ejemplo, en el montaje experimental propuesto por Itano et. al [6], donde existe una transici´on Rabi y un tercer nivel que permite conocer el estado del sistema. En dicho experimento se observa c´omo disminuye la probabilidad de transici´on entre los dos niveles conforme aumenta el n´umero de medidas sobre el sistema. Se entiende tambi´en el uso del QZE en el control de la decoherencia en sistemas cu´anticos, la cual es una consecuencia del acoplo inevitable de cualquier sistema cu´antico con su entorno que da lugar a p´erdida de informaci´on del sistema y por tanto a una din´amica del sistema no unitaria. Nota: para el desarrollo dado a continuaci´on se usar´a el acr´onimo QZE para referirse al efecto Zen´on cu´antico as´ı como los nombres ingleses de algunos fen´omenos. 13 14 2.1. CASO UNIDIMENSIONAL 2.1. Caso unidimensional Comenzaremos desarrollando la teor´ıa en un caso sencillo unidimensional y m´as adelante se desarrollar´an otras formulaciones m´as generales. Consideremos un sistema cu´antico cuya evoluci´on viene determinada por el Hamiltoniano Hindependiente del tiempo. Si el estado puro del sistema en t= 0 es |ψ0i ∈ H con hψ0|ψ0i= 1, la amplitud de probabilidad de que este estado sobreviva es: p(t) = |hψ0|ψti|2=ψ0e−iHtψ0 2≈hψ0|ψ0i−i t hψ0|Hψ0i− 1 2t2ψ0H2ψ0 2 = 1−t2/τ2 Z+... (2.1) donde 1/τ2 Z≡(∆Hψ0)2, siendo ∆Hψ0la incertidumbre en la medida de la energ´ıa. Para obtener este resultado en el lenguaje geom´etrico se hace uso de la traducci´on de operadores a funciones proyectables definidias sobre MQ. Haciendo uso de la linealidad de O → F(MQ) y desarrollando hasta segundo orden en funci´on del tiempo se obtiene, p(t) = eU(t) 2=eid−i Ht−1 2H2t2+O(t3) 2= eid −i eHt−1 2eH2t2 2 = (eid)2−(eH)2−e2 Ht2= 1 −GP(deH, deH)t2= 1 −(∆Hψ0)2t2 (2.2) Hasta este momento no ha aparecido una evoluci´on del sistema distinta a la libre, sino que s´olo se ha obtenido la probabilidad de permanencia cuando ha pasado un per´ıodo breve de tiempo. Hagamos ahora Nmedidas a intervalos de tiempo τ=t/N, de forma que se compruebe si el sistema est´a todav´ıa en el estado inicial |ψ0i. Si cada vez que se realiza una medida se obtiene que el sistema se encuentra en su estado inicial |ψ0i, entonces la funci´on de ondas colapsar´a a dicho estado y la evoluci´on volver´a a partir otra vez desde |ψ0ihasta realizar la siguiente medida como se muestra en la figura 2.1. Figura 2.1: Evoluci´on lineal de la fase y cuadr´atica de la p´erdida de probabilidad [8] La probabilidad de supervivencia tras las Nmedidas ser´a1 p(N)(t) = p(τ)N=p(t/N)NN grande →1−(t/(NτZ))2N(2.3) ahora tomando l´ımite, l´ım N→∞ 1−(t/(NτZ))2N= l´ım N→∞ 1 + 1 −((NτZ)/t)2N = l´ım N→∞ exp(−t2/(Nτ2 Z)) = 1 (2.4) 1Recordar que las indeterminaciones del tipo 1∞son potencias del n´umero e: l´ım n→∞ (1 + 1/n)n=e. CAP´ ITULO 2. EFECTO ZEN´ ON CU´ ANTICO. QZE 15 Por tanto se deduce que si un sistema es continuamente observado (N→ ∞ manteniendo τconstante o de forma equivalente ⇒τ→0 mantiendo Nconstante), la evoluci´on libre del sistema es “interrumpida” y el sistema se congela en su estado inicial. 2.2. Los subespacios de Zen´on cu´anticos En la secci´on anterior se ha supuesto que mediante una medida era determinada de forma un´ıvoca si el sistema se encontraba en un estado concreto. Sin embargo, cuando se mide existe una cierta incertidumbre en la medida, dada por ejemplo por la resoluci´on del aparato, de forma que no es posible determinar si el sistema se encuentra en un estado concreto, si no m´as bien si se encuentra en un cierto subespacio m-dimensional dado por un proyector P m-dimensional. Se dice entonces que se trata de una medida incompleta. Sea la evoluci´on del sistema cu´antico en el espacio de Hilbert Hgobernada por un operador unitario U(t). La medida determinar´a si el sistema est´a en un cierto subespacio s-dimensional HP, determinado por el operador de proyecci´on Pque describe la medida sobre el sistema de forma que PH=HP. Cada uno de estos subespacios s-dimensionales, los cuales probaremos que son invariantes en la evoluci´on, son los que se conocen como subespacios de Zen´on. En este caso como consecuencia directa del teorema de Misra y Sudarshan (ver [5] y [8]), se deduce que si un sistema, vease una part´ıcula, es continuamente observada para saber si ha sobrevivido en un cierto estado HP, jam´as har´a una transici´on a (HP)⊥. Es aqu´ı donde reside la formulaci´on original de la paradoja de Zen´on. 2.3. Formas alternativas para la evoluci´on de Zen´on Generalmente se sol´ıa vincular el QZE a la repetici´on de medidas “proyectivas”, a la von Neumann [4], sobre el sistema cu´antico. Sin embargo, se ha observado que esta forma de entender el QZE es demasiado limitada, ya que dichas medidas proyectivas pueden ser reemplazadas por otros sistemas cu´anticos que interaccionen fuertemente con el sistema cu´antico de inter´es, ya que despu´es de todo uno esquematiza la medici´on como una proyecci´on sobre el sistema, resumiendo de esta forma el hecho f´ısico que ocurre en el proceso de la medida: un aparato externo o un campo cu´antico que interacciona con el mismo. En definitiva se deduce que las caracter´ısticas f´ısicas que dan lugar al QZE no quedan determinadas por el “colapso” de la funci´on de ondas sino m´as bien como consecuencia de la din´amica dada por una perturbaci´on suficientemente intensa. A continuaci´on se expondr´an tres formulaciones distintas del QZE mediante el formalismo geom´etrico, trabajando en la variedad real diferenciable MQen vez de en el espacio proyectivo Pdirectamente. Se har´a uso de la propiedad multiplicativa ?descrita en (1.19), del conjunto de las funciones F(MQ), as´ı como de sus propiedades. Adem´as para las distintas formulaciones se deducir´a la funci´on Hamiltoniana que determina la din´amica del sistema, la cual ser´a denotada funci´on Hamiltoniana de Zen´on fHZ. 2.3.1. Medidas que proyectan Esta es la realizaci´on a priori m´as intuitiva que se aproxima a la din´amica tipo Zen´on. Se considera que las medidas adem´as de incompletas ser´an no selectivas, es decir el aparato de medida no selecciona la medida que va a salir, sino que destruye las correlaciones entre distintos estados proyectando sobre los subespacios de Zen´on correspondientes. 16 2.3. FORMAS ALTERNATIVAS PARA LA EVOLUCI´ ON DE ZEN´ ON Sea un sistema cu´antico cuya evoluci´on venga descrita por la funci´on evoluci´on fU(t)con U(t) = exp(−i Ht) de forma que2 fρ(t)= AdU(t)(fρ0) := fU(t)? fρ0? fU†(t)(2.5) donde fρ(t)es la funci´on que describe el estado del sistema en el tiempo tsiendo ρ(t) el operador densidad. Sean un conjunto de proyectores ortogonales de forma que PnH=Hnson los subespacios de Zen´on correspondientes de forma que, H=M nHn(2.6) Entonces, existen un conjunto de funciones fPnasociadas a dichos proyectores tales que, {fPn|n∈N}, fPn? fPm=δmnfPn,X n fPn= 1 (2.7) Una medida no selectiva puede ser descrita por AdP(fρ) := X n fPn? fρ? fPn(2.8) Adem´as daremos la evoluci´on del sistema tras Nmedidas en un cierto tiempo ten funci´on del superoperador ˆ V(N) t=PU(t/N)PU(t/N). . . P U(t/N)=[PU(t/N)]N(2.9) de forma que su traducci´on al formalismo geom´etrico es Adˆ V(N) t = (AdP?AdU(t/N))(AdP?AdU(t/N))···(AdP?AdU(t/N)) = (AdP?AdU(t/N))?N (2.10) Si por ´ultimo preparamos el sistema en el estado inicial ρ0dado por fρ0= AdP(fρ0) (2.11) la evoluci´on ser´a de la forma fρ(t)= Adˆ V(N) t (fρ0) = X n1,··· ,nN fV(N) n1···nN(t)? fρ0? fV(N)† n1···nN(t)(2.12) donde fV(N) n1···nN(t)=fPnN? fU(t/N)? fPnN−1···fPn2? fU(t/N)? fPn1(2.13) Si ahora se toma el l´ımite cuando Ntiende a infinito, es decir cuando se realizan mediciones de forma muy frecuente, se obtiene que la evoluci´on en el subespacio n-´esimo de Zen´on viene gobernada por fU(n) Z(t)= l´ım N→∞ fV(N) n···n(t)= l´ım N→∞ fPn? fU(t/N)? fPn?N ,(2.14) con la condici´on adicional de que l´ım t→0+fU(n) Z(t)=fPn,∀n∈N.(2.15) 2Se har´a uso de esta notaci´on de aqu´ı en adelante, de forma que si Aes un operador y guna funci´on sobre la variedad diferenciable, entonces AdA(g) := fA? g ? fA−1. En el caso de U(t) recordar que se trata de un operador unitario. CAP´ ITULO 2. EFECTO ZEN´ ON CU´ ANTICO. QZE 17 Para deducir (2.14) se ha hecho uso de que en el l´ımite de medidas muy frecuentes, el intervalo temporal en el cual evoluciona el sistema entre medida y medida es pr´acticamente nulo. Ello implica que l´ım N→∞ fU(t/N)=fU(0) = 1 . De esta manera, y teniendo en cuenta (2.7) obtenemos l´ım N→∞ fV(N) n···n0···(t)= 0 para n 6=n0(2.16) Es decir la din´amica queda restringida dentro de cada uno de los subespacios de Zen´on, siendo la din´amica para cada subespacio independiente de los dem´as. Esto es debido a que el responsable de las transiciones entre los diferentes subespacios invariantes Hnes fU(t/N). Por tanto, el estado final despu´es de haber dejado evolucionar al sistema durante un tiempo tes fρ(t)=X n AdU(n) Z(t)(fρ0) (2.17) Adem´as se demuestra que la probabilidad de permanencia del sistema en un cierto subespacio Hnse conserva y que es imposible una “fuga” de probabilidad entre dos subespacios de Zen´on distintos. Es por esto que se comentaba anteriormente el posible uso de este efecto para el control de la decoherencia en sistemas cu´anticos . Para demostrar la conservaci´on de la probabilidad (es decir, la unitariedad en cada subespacio Hn) se hace uso de la invariancia, demostrada anteriormente, de los diferentes subespacios de Zen´on bajo la acci´on del operador de evoluci´on de Zen´on: UZ(t)Pn=PnUZ(t) =⇒ {fUZ, fPn}= 0 ∀t . (2.18) Para demostrar que dicha probabilidad se conserva conviene usar el formalismo en la imagen de Heisenberg, de forma que dejemos que los proyectores sobre los diferentes subespacios de Zen´on evolucionen de acuerdo con la ley de evoluci´on dada en dicha imagen. Por otro lado pn(t) es la probabilidad de encontrar el estado del sistema en en subespacio de Zen´on n-´esimo a un tiempo t:3. pn(t) = fPn(t)=fU† Z(t)? fPn(0) ? fUZ(t)=1 2nfU† Z(t), fPn(0) ? fUZ(t)o++i 2nfUZ(t), fPn(0) ? fU† Z(t)o =1 2fU† Z(t),1 2fPn(0), fUZ(t)++i 2fPn(0), fUZ(t)+ +i 2fU† Z(t),1 2fPn(0), fUZ(t)++i 2fPn(0), fUZ(t) =1 4nfU† Z(t),fPn(0), fUZ(t)+o++i 4nfU† Z(t),fPn(0), fUZ(t)+o. (2.19) Para este ´ultimo punto se hace uso de las igualdades (1.20) y (1.21) de forma que: nfU† Z(t),fPn(0), fUZ(t)+o=nnfU† Z(t), fPn(0)o, fUZ(t)o++nfPn(0),nfU† Z(t), fUZ(t)oo+= 0 nfU† Z(t),fPn(0), fUZ(t)+o+=nfU† Z(t),fUZ(t), fPn(0)+o+= =nfU† Z(t), fUZ(t)o+, fPn(0)+−~2nfUZ(t),nfPn(0), fU† Z(t)oo= =2, fPn(0)+= 4fPn(0) (2.20) y se obtiene de esta forma que, pn(t) = 1 44fPn(0) =pn(0) (2.21) 3Se aplicar´an las relaciones dadas en (1.19) 18 2.3. FORMAS ALTERNATIVAS PARA LA EVOLUCI´ ON DE ZEN´ ON En el art´ıculo de P. Facchi y S. Pascazio (ver [8]) explican el fen´omeno usando el ejemplo del caparaz´on de una tortuga como se muestra en la figura 2.2: el espacio de Hilbert total Hse divide en subespacios invariantes Hnen los cuales fρ(t)evoluciona de forma independiente en cada sector. Cada uno de estos subespacios invariantes ser´ıan las escamas, de forma que no existe movimiento posible entre las diferentes escamas y sin embargo todos se mueven con la tortuga al mismo tiempo. Figura 2.2: Subespacios de Zen´on. El espacio de Hilbert del sistema se divide en sectores, de forma que conforme el n´umero de medidas o el acoplamiento aumentan la din´amica queda tanto m´as restringida en dichos subespacios. Imagen sacada de [8] Por ´ultimo, como estamos trabajando con sistemas de dimensi´on finita y por tanto con Hamiltonianos acotados (ver secci´on 5 de [8]), se obtiene que la evoluci´on dentro de cada subespacio invariante Hnviene dada de forma expl´ıcita usando (2.14) por fU(n) Z(t)=fPn? fexp(−i PnHPnt)(2.22) de forma que la evoluci´on del sistema completo vendr´a gobernada por mirar si posible deducci´on AdUZ(t)(fρ) = X n fPn?exp?(−i fHZt)? fρ0?exp?(i fHZt)? fPn(2.23) donde fHZ=X n fPn? fH? fPn(2.24) es el Hamiltoniano global de Zen´on. 2.3.2. Unitary kicks En este caso es ´util recordar el hecho de que para obtener QZE no es necesario realizar medidas proyectivas sino, m´as bien, partir de una evoluci´on unitaria como se explica en [14] gobernada por alg´un aparato de medida con el cual el sistema de inter´es tiene un fuerte acoplo. Primero se har´a uso de este tipo de evoluci´on mediante un conjunto de transformaciones instant´aneas unitarias y frecuentes para m´as adelante pasar al l´ımite de acoplo continuo. La idea subyacente de esta alternativa es la siguiente: supongamos que un sistema cu´antico evoluciona libremente durante un cierto intervalo de tiempo τ; en ese momento el sistema recibe una “patada” (kick) CAP´ ITULO 2. EFECTO ZEN´ ON CU´ ANTICO. QZE 19 instant´anea tal que se conserva la unitariedad, y adem´as dicho proceso se repite Nveces. A partir de este punto se puede demostrar que la evoluci´on ser´a de tipo Zen´on, de forma que divide el espacio total en subespacios de Zen´on determinados por los proyectores de la transformaci´on unitaria Ukick. En el lenguaje geom´etrico, la funci´on evoluci´on vendr´a dada pasado un tiempo ty tras la realizaci´on de Nmedidas equiespaciadas por fUN(t)=fUkick ? fU(t/N)?fUkick ? fU(t/N)···fUkick ? fU(t/N)=fUkick ? fU(t/N)?N ,(2.25) donde dicha funci´on no es real ya que los operadores no son Herm´ıticos. Es por ello que nuestro conjunto de funciones FR(MQ) se ve extendido a F(MQ). El desarrollo presentado a continuaci´on ser´a una traducci´on al formalismo geom´etrico del art´ıculo [15]. En el l´ımite de Ngrande, la contribuci´on dominante de fUN(t)es fUN kick(t), por lo cual se considera la secuencia de operadores unitarios fVN(t)=f(U† kick(t))N? fUN(t)=hf∗ Ukick(t)i?N ? fUN(t),(2.26) de forma que el l´ımite converja y donde fVN(0) = 1 para todo N. A continuaci´on se calcula la ecuaci´on diferencial que cumple la funci´on fVN(t)sin m´as que derivar respecto al tiempo la ecuaci´on anterior, donde se ha tenido en cuenta que las funciones fUkick yfU(t/N)no tienen por qu´e conmutar4 id dtfVN(t)=i f(U† kick(t))N?d dtfUN(t) =f(U† kick(t))N? N−1 X k=0 (fUkick ? fU(t/N))?k ?fUkick ? i d dtfU(t/N)?fUkick ? fU(t/N)?N−k−1(2.27) Como se ha tomado un Hamiltoniano independiente del tiempo, el operador evoluci´on ser´a de la forma U(t/N) = exp(−iHt/N). Puesto que nos interesa el l´ımite para Ngrandes se puede desarrollar la exponencial en serie de Taylor y quedarnos a primer orden (U(t/N)≈id −i Ht/N) de forma que d dtfU(t/N)≈−i NfH(2.28) as´ı, id dtfVN(t)=1 Nf(U† kick(t))N? N−1 X k=0 fUkick ? fU(t/N)?k ? fUkick ? fH? fU† kick ?fU(t/N)†? fU† kick ?k ?(fUkick ? fU(t/N))?N =fHN(t)? fVN(t) (2.29) id dtfVN(t)=fHN(t)? fVN(t) de manera que en el l´ımite N→ ∞, la evoluci´on viene dada por la funci´on, fU(t)= l´ım N→∞ fVN(t)(2.30) que satisface, id dtfU(t)=fHZ? fU(t)fU(0) = 1(2.31) con la funci´on de Zen´on, fHZ= l´ım N→∞ fHN(t).(2.32) 4Notar que si Aes un operador, no necesariamente herm´ıtico, entonces fA†=f∗ Ay por otro lado que debido a (1.19), fAN= [fA]?N . 20 2.3. FORMAS ALTERNATIVAS PARA LA EVOLUCI´ ON DE ZEN´ ON Por tanto fU(t)=fexp(−i HZt)= exp?(−i fHZt). A partir de aqu´ı uno puede mostrar que despreciando la contribuci´on dada por fU(t/N)en fHN(t)cuando N→ ∞ se obtiene que, fHZ=X n fPn? fH? fPn(2.33) donde Pnson los proyectores sobre el espacio de Hilbert Hdel operador unitario Ukick. Destacar por tanto que fHZ, se obtiene como la proyecci´on de fHen el centralizador de fUkick , es decir que: {fHZ, fUkick }= 0 (2.34) Un ejemplo A continuaci´on se ejemplifica la evoluci´on dada por la alternativa bang-bang o de transformaciones unitarias. En este ejemplo se tiene un sistema de tres niveles acoplados dos a dos mostrado en la figura 2.3, donde entre los dos primeros estados se da una oscilaci´on de Rabi5de frecuencia Ω1, mientras que un tercer estado los observa, pudi´endose interpretar esta ´ultima interacci´on como la p´erdida de coherencia del subsistema formado por los dos primeros estados. Figura 2.3: Sistema de tres niveles bajo la aplicaci´on de unitary kicks que acopla uno de sus niveles a un sistema externo M. Se representa de forma expl´ıcita el subespacio de Zen´on H1. [8] Al proteger el subespacio H1determinado por los estados |aiy|bide la decoherencia, mediante el acoplo con un instrumento externo |Mique aplica pulsos (de luz por ejemplo) al sistema, se observa como dicho subespacio es liberado de la decoherencia. El sistema en cuesti´on viene determinado por: ha|= (1,0,0,0) hb|= (0,1,0,0) hc|= (0,0,1,0) hM|= (0,0,0,1) Hsist = Ω1(|aihb|+|biha|)+Ω2(|bihc|+|cihb|) con Ω1y Ω2∈R y en el formalismo geom´etrico en coordenadas {qk, pk}toma la forma, fHsist = Ω1(q1q2+p1p2)+Ω2(q2q3+p2p3) Por otro lado la transformaci´on unitaria, Ukick =id4+id2⊗e−i θσ1 5El modelo Rabi aparece en la modelizaci´on de transiciones entre dos niveles cu´anticos |giy|eicon una diferencia de energ´ıa ~ω0. CAP´ ITULO 2. EFECTO ZEN´ ON CU´ ANTICO. QZE 21 o fUkick =1 2q2 1+q2 2+p2 1+p2 2+ cos(θ)(q2 3+q2 4+p2 3+p2 4)−2isin(θ)(q3q4+p3p4) En la gr´afica 2.4(b) se observa tanto la evoluci´on libre, en la cual no aplicamos pulsos, como la evoluci´on de tipo bang-bang. En la gr´afica 2.4(a) se observa que a menores intervalos temporales entre la aplicaci´on de dos transformaciones unitarias consecutivas, la probabilidad de encontrar el estado en el subespacio H1 aumenta. Adem´as la dependencia con el par´ametro λno es relevante y s´olo var´ıa la frecuencia de oscilaci´on de la onda observada. (a) (b) Figura 2.4: Evoluci´on bang-bang para un sistema de tres niveles en funci´on de: (a) el intervalo temporal entre kicks. Se observa como a menores intervalos temporales la probabilidad de permanencia en el subespacio H1 aumenta. En la imagen (b) se compara la evoluci´on libre del sistema (l´ınea continua) con la evoluci´on bangbang para dos intervalos temporales distintos: τ= 0,01 y 0,003. Poblaci´on hace referencia a la probabilidad de permanencia en un cierto subespacio. Se ha usado como par´ametro θ=π/3. 2.3.3. Acoplo continuo fuerte Hasta ahora las dos alternativas planteadas para conseguir una evoluci´on de tipo Zen´on han sido proyecciones tipo von Neumann y Unitary kicks, es decir procesos en los que se supone que la transformaci´on (bien sea la proyecci´on o la transformaci´on unitaria tipo kick) toma lugar de forma instant´anea, es decir en una escala de tiempos mucho menores que las otras escalas de tiempo que caracterizan la evoluci´on del sistema. Por otro lado, las escalas cortas de tiempo pueden ser asociadas con acoplos fuertes. Es por ello que en definitiva, se puede pensar que las propiedades b´asicas del QZE se pueden obtener mediante un acoplo continuo y fuerte con un sistema externo, el cual realiza una especie de medidas de forma uniforme en el tiempo. Supongamos una funci´on Hamiltoniana gen´erica de la forma: fHK=fH+KfHmed(t),(2.35) donde fHrepresenta la funci´on Hamiltoniana del sistema cu´antico y fHmed(t)es un t´ermino de interacci´on que representa al sistema de medida con una constante de acoplo K. A continuaci´on, de modo an´alogo al desarrollo presentado en [16], se demostrar´a que en el l´ımite K→ ∞, la funci´on evoluci´on6 fU(t)= l´ım K→∞ fUK(t)(2.36) 6Recordar que para introducir la funci´on sobre la variedad real diferenciable MQde un operador no unitario es necesario hacer una complexificaci´on del espacio donde se trabaja ya que dicha funci´on no pertenece al conjunto de funciones FR(M) 22 2.3. FORMAS ALTERNATIVAS PARA LA EVOLUCI´ ON DE ZEN´ ON donde por UK(t) se hace referencia al operador evoluci´on del sistema completo, ser´a diagonal con respecto afHmed , lo cual en t´erminos de operadores significa, U(t)Pn=U(t)Pncon Hmed(t)Pn=ηnPn(2.37) donde Pnson los proyectores asociados a Hmed(t) y ηnes el autovalor correspondiente al subespacio HPn, el cual permanece invariante.7 En el lenguaje geom´etrico ello implica que obtendremos un sistema de ecuaciones diferenciales desacopladas entre las coordenadas que representan los distintos subespacios, por tanto fU(t), fPn= 0 .(2.38) Para demostrarlo se hace uso de la imagen de interacci´on en el formalismo geom´etrico y del teorema adiab´atico en mec´anica cu´antica (consultar p´agina 740 de [17]). Sup´ongase el caso de un sistema cu´antico determinado por HK(t) = H(t) + KHmed(t) (2.39) de forma que aplicando la transformaci´on unitaria U† 0, se describe el sistema en la imagen de interacci´on. De este modo, la evoluci´on viene dada por UI K(t), que cumple la ecuaci´on diferencial, i~∂tUI K(t) = HI int(t)UI K(t).(2.40) Sea fUI K(t)la funci´on asociada al operador evoluci´on en la imagen de interacci´on de forma que fUI K(t)=ψI(0)UI K(t)ψI(0).(2.41) Derivando, i~∂tfUI K(t)=i~ψI(0)∂tUI K(t)ψI(0)=ψI(0)KHmed(t)UI K(t)ψI(0)(2.42) es decir, i~∂tfUI K(t)=KfHmed(t)? fUI K(t).(2.43) Esta ecuaci´on tiene la misma forma que la evoluci´on adiab´atica con la condici´on equivalente K→ ∞. Suponiendo que fHmed(t)var´ıe lentamente en el tiempo de forma que se cumpla el teorema adiab´atico se obtiene que, l´ım K→∞ fUI K(t)? fPI n(0) =fPI n(t)?l´ım K→∞ fUI K(t)(2.44) es decir, la evoluci´on lleva estados de HPI n(0) aHPI n(t): ψI 0∈ HPI n(0) −→ ψI(t)∈ HPI n(t).(2.45) Falta ver que dicha propiedad se mantiene en la imagen de Schr¨odinger, para lo cual se aplica la transformaci´on inversa y de nuevo se hace uso de (1.19), fU(t)? fPn(0) =fU0UI(t)U† 0? fU0PI n(0)U† 0=fU0? fUI(t)? fPI n(0) ? fU† 0=fU0? fPI n(t)? fUI K(t)? fU† 0=fPn(t)? fU(t) (2.46) y por tanto, |ψ0i ∈ HPn(0) −→ |ψ(t)i ∈ HPn(t).(2.47) De nuevo, de modo an´alogo al caso de Unitary kicks se encuentra que, pn(t) = pn(0) .(2.48) 7ver en ap´endice A DFN A.15. AP´ ENDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETR´ IA DIFERENCIAL 29 DFN A.6. El conjunto T∗M=[ p∈M T∗ pM se denomina fibrado cotangente de la variedad M. Asociado a este espacio podemos definir la proyecci´on (natural) πM:T∗M→M definida como sigue πM(p, ωp) = p, ωp∈T∗ pM Por ejemplo cuando un sistema mec´anica admite una variedad diferenciable Qcomo espacio de configuraci´on, la descripci´on del sistema en el espacio de fases hace uso del fibrado cotangente, en donde el campo vectorial Hamiltoniano XHen T∗Qadmite una expresi´on coordenada, XH|(q,p)=ai(q, p)∂ ∂qi|(q,p)+bi(q, p)∂ ∂pi|(q,p) Describamos a continuaci´on lo que denominamos diferencial y codiferencial de una aplicaci´on F:M→ N, siendo MyNvariedad diferenciales. Sea F:M→Nuna aplicaci´on diferenciable de MaN. Para cada punto p∈M, la diferencial de F en p∈M, denotada como F∗p, definida mediante F∗p(Xp)f=Xp(f◦F), ∀f∈ C∞(F(p)) es un morfismo de espacios vectoriales, F∗p:TpM→TF(p)N. Por tanto Finduce una apliaci´on F∗que transporta vectores tangentes Xpdel conjunto de curvas que pasan por p, a vectores tangentes XF(p)de curvas que pasan por F(p)∀p∈M. Figura A.2: La aplicaci´on F:M→Ninduce la aplicaci´on diferencial F∗:TpM→TF(p)N.c(t) representa una curva sobra Myguna funci´on definida sobre N. Imagen sacada de [10] Del mismo modo una aplicaci´on F:M→Ninduce una aplicaci´on F∗:T∗ F(p)N→T∗ pM, de modo que para cada 1-forma diferencial ωdefinida sobre Npodemos definir una 1-forma diferencial en M, que se denotar´a F∗(ω) y se dice imagen rec´ıproca (pullback) de ω, mediante [(F∗(ω)X] (p) = [(F∗(ω)]pXp=ωF(p)[F∗p(Xp)] ,∀X∈ X(M) Una vez definido el espacio tangente TpMy su dual T∗ pMpodemos construir el ´algebra tensorial TpM correspondiente a TpM, siendo los elementos de un subespacio de TpMde la forma v1⊗. . . vr⊗. . . vr+s donde vi∈TpMcon i= 1, . . . , r yvi∈T∗ pMpara los s´ındices restantes. Dicho elementos reciben el nombre de tensores en pde tipo (r, s). Por ´ultimo definamos las formas diferenciales. Una 1-forma diferencial es una variedad diferenciable M 30 DFN A.7. Si Xes un campo vectorial sobre una variedad M, se dice que una curva diferenciable γ:I→ M, es una curva integral del campo Xsi dγ dt |t=t0=Xγ(t0)(A.2) Si tomamos una carta (U, ϕ) de Men p∈γ(I) podemos expresar la curva en coordenadas de forma que c:I→Rmcon c=ϕ·γ. La curva cas´ı definida es una curva integral del campo ϕ∗(X) de forma que dci dt =Fi(c1(t),˙,cm(t)) (A.3) donde Fison las componentes del campo ϕ∗(X) en Rmrespecto de la base can´onica en Rm. DFN A.8. Sea Muna variedad diferenciable. Se llama forma simpl´ectica en Ma una 2-forma cerrada (dω = 0) no degenerada (rango m´aximo) ω. El par (M, ω) recibe el nombre de variedad simpl´ectica. En particular, cuando ωes exacta ( ω=dΘ) se dice que (M, ω) es una variedad simpl´ectica exacta. Un ejemplo sencillo de variedad simpl´ectica es la esfera S2con la 2-forma diferencial dada por ω=sinθdφ ∧dθ (A.4) donde ωviene a representar el elemento de ´area inducido sobre la esfera unidad. El estudio de las variedades simpl´ecticas est´a basado en el teorema siguiente, el cual caracteriza localmente dichas variedades. Teorema A.0.1. (Teorema de Darboux) Si ωes una forma simpl´ectica en una variedad diferenciable M, para cada punto x∈Mhay una carta local coordenada en torno a xen la cual las coordenadas de ωson constantes. Corolario. Si (M, ω) es una variedad simpl´ectica de dimensi´on finita 2n, entonces, alrededor de cada punto x∈M, hay una carta coordenada (U, ϕ), en donde la aplicaci´on ϕest´a dada por ϕ(x) = (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn), tal que ωse escribe como: ωU= n X i=1 dqi∧dpi A tales coordenadas (qi, pi) se les denomina coordenadas can´onicas o de Darboux. DFN A.9. Sea Muna variedad m-dimensional y TpMel espacio tangente en p∈M. Una distribuci´on k-dimensional sobre Mes una elecci´on de un subespacio lineal k-dimensional Dp⊂TpMpara cada punto p∈M. Dicha distribuci´on denotada como D, viene dada por D=a p∈M Dp⊂TM Diremos que dicha distribuci´on es integrable si Dp=TpMpara todo p∈M. DFN A.10. Si X∈ X(M), se denota por iXoi(X) a la aplicaci´on iX:V(M)→V(M) (conjunto de formas antisim´etricas sobre M) tal que i)iXVr(M)⊂Vr−1(M) si r≥1 mientras que iXV0(M) = 0. ii) Si ω∈Vr(M), entonces iXω(X1, . . . , Xr−1) = ω(X, X1, . . . , Xr−1). AP´ ENDICE A. ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETR´ IA DIFERENCIAL 31 DFN A.11. Sea Muna variedad diferenciable, Xun campo vectorial y Φtel flujo de dicho campo. Si p∈M, entonces recordar que Xpes el vector tangente al flujo en el punto p, es decir Xp=d dt Φt(p)|t=0. De esta forma como (Xf) (p) = Xpfse puede ver que (Xf)(p) = d dt [f(Φt(p))] |t=0 (A.5) La generalizaci´on para campos vectoriales covariantes es: Para cada campo vectorial X∈ X(M) y cada campo r-covariante ωse define la derivada de Lie de ω seg´un el campo vectorial Xcomo el campo r-covariante, (LXω) (p) = l´ım t→0 1 t[(Φ∗ tf)(p)−f(p)] (A.6) Adem´as a continuaci´on se presentan algunas propiedades ´utiles de la derivada de Lie. i) Si f∈C∞(M) y ωes un campo rveces covariante, para cada campo vectorial X∈ X(M), LX(fω) = (Xf)ω+fLXω ii) Si TySson dos tensores sobre la variedad M, entonces LX(T⊗S)=(LXT)⊗S+T⊗(LXS) iii) Para cada f∈C∞(M) y cada X∈ X(M), LXdf =d(Xf) = d(LXf) iv) Se puede demostrar que si XeYson dos campos vectoriales diferenciables definidos sobre M, entonces LXY= [X, Y ] Como ejemplo vamos a calcular LXGsiendo G=gij(q)dqi⊗dqj LXG= (Xgij(q))dqi⊗dqj+gij(q)d(Xqi)⊗dqj+gij(q)dqi⊗d(Xqj) DFN A.12. Se llama sistema din´amico Hamiltoniano a una terna (M, ω, H) donde (M, ω) es una variedad simpl´ectica y Huna funci´on C∞(M). El campo vectorial del sistema din´amico viene dado por XH= ˆω−1(dH), o de forma equivalente por la soluci´on de iXHω=dH. De hecho el campo vectorial XHcorrespondiente a Hse escribe en coordenadas can´onicas como XH=∂H ∂pi ∂ ∂qi−∂H ∂qi ∂ ∂pi (A.7) dado que dH =∂H ∂qidqi+∂H ∂pi dpi(A.8) De aqu´ı se deduce que efectivamente las curvas integrales del campo vectorial XHson determinadas en coordenadas can´onicas por ecuaciones como las de Hamilton. DFN A.13. Sea (M, g) una variedad Riemanniana y X∈(M) un campo vectorial sobre dicha variedad. Si al practicar un desplazamiento X infinitesimal, se genera una isometr´ıa (se preserva la m´etrica), el campo Xse dice campo de Killing. Se puede ver que entonces LXg= 0. 32 DFN A.14. Se dice que un campo vectorial X∈ X(M) es localmente Hamiltoniano respecto de la estructura simpl´ectica ωsi iXωes una 1-forma cerrada. En caso de que iXωsea exacta se dice que es Hamiltoniano. El conjunto de los campos localmente Hamiltonianos, as´ı como el subconjunto Hamiltoniano, son espacios vectoriales reales. Adem´as existe un teorema que demuestra, haciendo uso de la identidad de homotop´ıa y de que ωes una forma simpl´ectica (por tanto cerrada) que un campo es localmente Hamiltoniano si y s´olo si LXω= 0, lo cual implica que bajo la acci´on del flujo de dicho campo ωno var´ıa. DFN A.15. Sea Vun subespacio vectorial tal que Pnes el proyector que proyecta sobre V. Si Ves invariante bajo Aentonces PAP =AP Adem´as si no s´olo Ves invariante bajo Asino que tambi´en V⊥lo es, entonces (1 −P)A(1 −P) = A(1 −P) lo cual implica que, AP =PA DFN A.16. Si Φ : G×M→Mes una acci´on del grupo de Lie Gen la variedad diferenciable M, se llama ´orbita del punto m∈Mal subconjunto Φm(G). DFN A.17. Sea Muna variedad compleja con estructura compleja Jy una m´etrica Riemanniana g. La 2-forma alterna, y por tanto antisim´etrica ω(X, Y ) := g(JX, Y ) es la llamada forma de K¨ahler asociada. Adem´as remarcar que visto TM junto con Jcomo un espacio complejo tangente sobre M, y huna m´etrica Herm´ıtica en TM. Entonces g=Re hes una m´etrica Riemaniana compatible en M, es decir, g(JX, JY ) = g(X, Y )∀X Y ∈Meω=Im hes la forma K¨ahler asociada: g(JX, Y ) = Re h(JX, Y ) = Re h(i X, Y ) = Re(−ih(X, Y )) = Im h(X, Y ) = ω(X, Y ) Vice versa, si ges una m´etrica Riemaniana compatible en Myωes la forma K¨ahler, entonces h=g+i ω es una forma Herm´ıtica en TM. Adem´as las propiedades del producto Herm´ıtico dado por h, implican que ges un producto interno definido positivo y que ωes una forma simpl´ectica, ambos no degenerados. En resumen, el triplete (J, g, ω) equipa a MQcon la estructura de un espacio de K¨ahler. Ap´endice B Conceptos f´ısicos B.1. El efecto Zen´on inverso De la misma forma que se puede impedir el decaimiento de una part´ıcula de un estado excitado a otro de menor energ´ıa mediante la aplicaci´on de medidas sucesivas, tambi´en es posible acelerar el decaimiento aplicando este mismo efecto. En el caso de sistemas inestables se hace uso de la tasa de decaimiento γ, la cual se calcula mediante la regla de Fermi usando para ello, el Hamiltoniano del sistema. En el caso de que un sistema externo, como puede ser un sistema de medida, interaccione con el sistema inestable, la tasa de decaimiento ser´a distinta a la anterior, γeff(K) donde Krepresenta la intensidad del acoplo. Mediante el uso de ambas tasas se puede ver que se dar´a QZE si γeff(K)< γ, es decir decae m´as lento que el sistema por si mismo. Por el otro lado, el sistema exhibir´a IZE si γeff(K)> γ. A continuaci´on se describen los aspectos que controlar´an la din´amica en una transici´on de este tipo. Partiendo de la expresi´on deducida para el caso unidimensional (2.4) esta puede ser descrita de la siguiente manera: p(N)(t) = p(τ)N= exp(Nlog p(τ)) = exp(−γeff(τ)t) (B.1) donde se ha usado que t=Nτ y se ha introducido una tasa de decaimiento efectiva, γeff(τ)≡ −1 τlogp(τ) (B.2) Observar que para tiempos suficientemente cortos la tasa de decaimiento efectiva es una funci´on de τ, γeff ≡ −1 τlogp(τ)≈ −1 τ(−τ2 τ2 Z ) = τ τ2 Z (B.3) Adem´as para el caso en que el lapso temporal τsea grande se dar´a que γeff(τ)→γ(B.4) donde γes la tasa de decaimiento caracter´ıstica del sistema estudiado. Considerar ahora un sistema inestable cuya tasa de decaimiento sea γ. Si existe un tiempo τ∗tal que 33 34 B.1. EL EFECTO ZEN´ ON INVERSO γeff(τ∗) = γ(B.5) entonces mediante la realizaci´on de medidas en intervalos de tiempo τ∗el sistema decaer´a de acuerdo con su escala de tiempos caracter´ıstica, su vida media, como si no se estuviesen realizando medidas. Sin embargo, en caso de que dicho intervalo sea menor que τ∗, lo que se obtiene es un QZE. Lo que en este caso destaca es que si existe tal τ∗, intersecci´on de p(τ) y e−γt al realizar medidas con un τ2> τ∗, uno obtiene un efecto Zen´on inverso (IZE). En la figura B.1 se presenta una comparativa de ambos fen´omenos donde se representa la amplitud de probabilidad cuando se realizan medidas en intervalos de tiempo τ1y τ2(l´ıneas discontinuas) y una interpolaci´on mediante la funci´on exponencial asociada (l´ıneas continuas). Se observa que en el primer caso aparece QZE y en el segundo IZE. Figura B.1: IZE frente a QZE [8] Bibliograf´ıa [1] T. W. B. Kibble. Geometrization of quantum mechanics.Communications in Mathematical Physics, 65(2):189–201, 1979. [2] A. Ashtekar and T. A. Schilling. Geometrical formulation of quantum mechanics. In On Einsteins Path, pages 23–65. Springer, 1999. [3] J. Clemente-Gallardo. The Geometrical Formulation of Quantum Mechanics.Rev. 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