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Departamento de F´ ısica Te´ orica Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza Entrop´ıas de R´enyi en cadenas de spines Filiberto Ares Asensio Trabajo de Fin de M´aster dirigido por Fernando Falceto Blecua y Jos´e V. Garc´ ıa Esteve M´ aster en F´ ısica y Tecnolog´ ıas F´ ısicas Curso 2013-2014 ´ Indice 1 Introducci´on 1 1.1 Operadordensidad ............................... 2 1.2 Entrop´ıadeR´enyi................................ 3 1.3 Entrop´ıa de R´enyi y teor´ıa de campos conforme . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Cadenas de fermiones y de spines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Cadenas homog´eneas de fermiones 7 2.1 Entrop´ıa y matriz de correlaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Cadenas locales: entrop´ıa y matrices de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 L´ımite β→ ∞ ............................. 12 2.2.2 Ejemplo: Tight Binding Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Escaleras de fermiones 19 3.1 Ejemplo: escalera de dos railes q=2 ..................... 21 4 Cadenas de spines: modelo XY 25 4.1 Diagonalizaci´on del Hamiltoniano XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Matrices de correlaciones t´ermicas del modelo XY . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Relaci´on entre las entrop´ıas de los modelos XY e Ising . . . . . . . . . . . 28 5 Conclusiones 31 ´ Indice 1. Introducci´on En una contestaci´on [1] al conocido art´ıculo de Einstein, Podolski y Rosen (EPR) [2], Schr¨odinger acu˜na el t´ermino entrelazamiento para referirse a aquellas correlaciones de naturaleza exclusivamente cu´antica que pueden darse entre sistemas f´ısicos. Estas correlaciones hab´ıan sido empleadas por EPR para tratar de argumentar que la Mec´anica Cu´antica da una descripci´on incompleta de la realidad f´ısica y la necesidad de una teor´ıa que superara sus caracter´ısticas intr´ınsecamente indeterministas, dando pie a las llamadas teor´ıas de variables ocultas. En su respuesta a EPR, Schr¨odinger se˜nala que el entrelazamiento no es una m´as de las propiedades de la Mec´anica Cu´antica sino su rasgo fundamental pues carece de an´alogo cl´asico. En este sentido, Schr¨odinger reconoce en el entrelazamiento el reflejo de que el conocimiento completo del estado de un sistema cu´antico no implica el total conocimiento del estado de las partes que lo forman, a diferencia de lo que sucede en los sistemas cl´asicos. M´as adelante, Bell [3] encuentra que en las teor´ıas de variables ocultas locales existen ligaduras sobre las correlaciones de los observables (desigualdades de Bell), que son violadas por los estados entrelazados. La preparaci´on de estados entrelazados en el laboratorio y la comprobaci´on experimental de la existencia de estas ligaduras inclinar´ıa la balanza a favor de la teor´ıa cu´antica convencional frente a las variables ocultas locales. Es el grupo de Aspect [4] quien da la primera prueba experimental convincente de la violaci´on de las mencionadas desigualdades. Experimentos posteriores han vuelto a confirmar la existencia de estados entrelazados y la validez de las predicciones de la Mec´anica Cu´antica. En las ´ultimas d´ecadas, el inter´es por comprender el entrelazamiento no ha dejado de aumentar. Por un lado, parece ser uno de los ingredientes necesarios a la hora de desarrollar ordenadores cu´anticos y, en general, para la realizaci´on de tareas cl´asicamente imposibles. Este tipo de investigaciones han originado un nuevo campo de trabajo denominado informaci´on cu´antica. Por otro, resulta clave en distintos ´ambitos y en la comprensi´on de algunos fen´omenos f´ısicos: decoherencia [5], sistemas en no equilibrio [6], transiciones de fase [7, 8], superconductividad [9], f´ısica de agujeros negros [10], teor´ıas de campos [11, 12], principio hologr´afico [13]... En la actualidad, uno de los aspectos que m´as inter´es suscita es la forma de cuantificar el grado de entrelazamiento entre sistemas. Se han propuesto diferentes medidas, cada una adecuada a determinandas circunstancias [14]. En el caso de un sistema en un estado puro y dividido en dos partes, una de las magnitudes m´as apropiadas para medir las correlaciones cu´anticas entre ambas es la entrop´ıa de R´enyi del estado reducido de una de ellas. Las cadenas unidimensionales de fermiones y de spines resultan ser sistemas muy atractivos donde analizar esta medida. Por un lado, porque uno de los soportes m´as prometedores para abordar la construcci´on de un ordenador cu´antico escalable es el de iones atrapados [15]. Actualmente ya se ha conseguido mantener alineados y entrelazados m´as de una docena de iones (usualmente de elementos alcalinot´erreos o de metales de transici´on como Zn+, Hg+, Cd+o Yb+). Los modelos matem´aticos que describen estas alineaciones de iones, cada uno representando un qubit, son las cadenas de fermiones o de spines. Por otra parte, porque existen distintos m´etodos anal´ıticos sencillos y algoritmos num´ericos eficientes para obtener la entrop´ıa de R´enyi en estos modelos. Num´ericamente, la complejidad de calcularla aumenta exponencialmente con el tama˜no del subsistema considerado. No obstante, si el estado de la cadena cumple la propiedad de descomposici´on de Wick es posible reducirla a una dependencia polinomial, siendo suficientes las correlaciones para 1 21.1. Operador densidad obtenerla [8, 16]. En ciertos caso, si el Hamiltoniano es adem´as invariante bajo translaciones, la matriz de correlaciones de un intervalo de la cadena es Toeplitz. Este hecho permite llegar a una expansi´on de la entrop´ıa en funci´on de su longitud para cualquiera de los autoestados de la energ´ıa [17, 18]. Desgraciadamente, las correlaciones de varios intervalos disjuntos no forman una matriz de Toeplitz. Sin embargo, puede conjeturarse una generalizaci´on de la expresi´on de la entrop´ıa de R´enyi para ese caso que verificamos num´ericamente en [19]. Existen m´as aproximaciones a esta cuesti´on. Por ejemplo, si el Hamiltoniano es local (contiene ´unicamente interacciones de corto alcance) y cr´ıtico (el conjunto de sus autoestados forma un continuo), pueden aprovecharse t´ecnicas de la teor´ıa de campos conformes para hallar su expresi´on en el estado fundamental [11, 20]. ´ Estas pueden extenderse al caso de varios intervalos [21] y a ciertos estados excitados [22]. En esta memoria aplicaremos estos m´etodos para evaluar la entrop´ıa de R´enyi de un intervalo en distintas cadenas de fermiones y spines que se encuentran a una cierta temperatura. En este caso, su estado ya no es puro sino una mezcla estad´ıstica por lo que a las correlaciones cu´anticas hay que a˜nadir las de origen t´ermico. En [23] se analiza este mismo problema desde otro punto de vista. En los p´arrafos anteriores hemos ido introduciendo ciertos t´erminos t´ecnicos que es necesario definir de forma precisa. Por ello, esta primera secci´on la dedicamos a introducir los conceptos generales de Mec´anica Cu´antica necesarios para trabajar con la entrop´ıa de R´enyi. Tambi´en veremos los resultados gen´ericos que la invariancia conforme permite obtener e introduciremos de manera general las cadenas de fermiones y de spines, as´ı como la estrecha relaci´on que existe entre ambas. A continuaci´on, calcularemos constructivamente la entrop´ıa de R´enyi en distintas cadenas; es decir, los resultados que obtengamos en el primer modelo, cadena de fermiones homog´enea y local (secci´on 2), nos permitir´an calcular esta magnitud en escaleras de fermiones (secci´on 3) y en el modelo de Ising cu´antico (secci´on 4) . 1.1 Operador densidad En general, el estado de un sistema cu´antico puede ser puro o mezcla. El primer caso corresponde a un vector normalizado |ψidel espacio de estados Hdel sistema. El segundo consiste en una colectividad estad´ıstica de estados puros {|ψii}Q i=1 de manera que si {λi}Q i=1 es el conjunto de probabilidades de encontrarse en cada uno de ellos, el operador densidad ρ= Q X i=1 λi|ψiihψi| caracteriza dicho estado. Este operador tambi´en permite dar cuenta del estado puro |ψi, para el cual la expresi´on anterior se reduce a ρ=|ψihψ|. El operador densidad se caracteriza por ser herm´ıtico (ρ†=ρ), de traza unidad (Tr ρ= 1) y semidefinido positivo (sus autovalores son no negativos). Si corresponde a un estado puro es un proyector; es decir, ρ2=ρy entonces Tr ρ2= 1. Por el contrario, para un estado mezcla ρ26=ρque, unido al hecho de que es semidefinido positivo, implica Tr ρ2<1. Esta propiedad permite discernir la pureza de ρ. 1. Introducci´on 3 Si Oes un observable de nuestro sistema, su valor esperado hOise obtiene a partir de ρ a trav´es de hOi= Tr(ρO). Cuando ρ=|ψihψ|, la expresi´on anterior puede reexpresarse como hOi=hψ|O|ψi. En esta memoria divideremos los sistemas considerados en dos subsistemas XeYde manera que el espacio de estados total Hpuede escribirse como el producto tensorial H=HX⊗ HYsiendo HXyHYlos espacios de estados de XeYrespectivamente. El estado de Xest´a dado por la matriz densidad reducida ρX= TrYρ, donde TrYes la traza parcial al subsistema Y, que implica sumar a los estados correspondientes a Y. Es decir, si {|Xji} e{|Yji} son bases de HXyHYrespectivamente, los elementos de matriz de ρXson (ρX)nm =X j (hXn|⊗hYj|)ρ(|Xmi⊗|Yji). De manera an´aloga, el estado de Yqueda caracterizado por ρY= TrXρ. 1.2 Entrop´ıa de R´enyi Se denomina entrop´ıa de R´enyi de la matriz densidad reducida a Sα(X) = 1 1−αlog Tr ρα X, donde α > 1. Por definici´on, Sα(X)≥0. Adem´as, si des la dimension de HXentonces el m´aximo valor que puede alcanzar Sα(X) es log d. En el l´ımite α→1 obtenemos la entrop´ıa de von Neumann, S1(X) = −Tr(ρXlog ρX). Para un estado puro, esta magnitud cuantifica el grado de entrelazamiento existente entre XeY. Decimos que ambas partes se encuentran entrelazadas si el estado total |ψidel sistema no puede factorizarse en el producto tensorial del estado de cada subsistema; es decir, |ψi 6=|Xi⊗|Yi, de manera que ρXyρYson estados mezcla y, por tanto, Sα(X) = Sα(Y)>0. En caso contrario, el sistema es separable, ρXyρYson estado puros (ρX=|XihX|,ρY=|YihY|), por lo que Sα(X) = Sα(Y) = 0. Para un estado mezcla, la noci´on de entrelazamiento es menos clara y es necesario un criterio m´as general de separabilidad (como concepto opuesto a entrelazamiento). En este caso, la entrop´ıa de R´enyi de la matriz densidad reducida no es ´unica, Sα(X)6=Sα(Y). Como hemos dicho al inicio, aqu´ı estamos interesados en analizar el comportamiento de Sα(X) cuando el sistema se encuentra a una cierta temperatura 1/β(en unidades de la inversa de la constante de Boltzmann). Su estado es entonces una mezcla estad´ıstica 41.3. Entrop´ıa de R´enyi y teor´ıa de campos conforme de los autoestados {|ϕii} de su Hamiltoniano Hcada uno con una probabilidad {e−βEi} (colectividad can´onica o estado de Gibbs) siendo Eila energ´ıa de |ϕii. Por tanto, ρ=Pie−βEi|ϕiihϕi| Pie−βEi, es decir, ρ=Z−1e−βH,(1.1) donde Z= Tr e−βH es la funci´on de partici´on. Ahora Sα(X) cuantifica tanto las correlaciones cu´anticas como t´ermicas existentes entre XeY. 1.3 Entrop´ıa de R´enyi y teor´ıa de campos conforme La funci´on de partici´on de un sistema estad´ıstico unidimensional es equivalente al propagador de una teor´ıa de campos definida sobre un espacio-tiempo bidimensional (una dimensi´on espacial+una dimensi´on temporal). En particular, a un sistema cuyo Hamiltoniano Hes local y cr´ıtico le corresponde una teor´ıa de campos invariante bajo transformaciones conformes; es decir, aquellas que preservan ´angulos pero no distancias y entre las que se incluyen translaciones, rotaciones y reescalados. Aprovechando la simetr´ıa conforme de la teor´ıa de campos subyacente es posible determinar la entrop´ıa de R´enyi de un subsistema. En particular, si Xes un intervalo de longitud Ly se toma el l´ımite termodin´amico del sistema, Holzhey, Larsen y Wilczek [20] y Calabrese y Cardy [11] obtienen que en el estado fundamental (temperatura cero) SGS α(X) = α+ 1 α c 6log L+Cα,(1.2) donde ces la denominada carga central, un par´ametro que da el n´umero de part´ıculas sin masa de la correspondiente teor´ıa de campos conforme. A partir de este resultado y utilizando tambi´en la simetr´ıa conforme, puede encontrarse una expresi´on para Sα(X) a una temperatura finita 1/β. La clave a la hora de emplear estas t´ecnicas es observar que existe una clara analog´ıa entre el estado t´ermico ρ=Z−1e−βH y el operador evoluci´on temporal U(t) = e−itH si efectuamos el cambio it 7→ τ(rotaci´on de Wick) con τ∈[0, β]. El operador U(t) da el propagador de la teor´ıa: la amplitud de probabilidad de que el sistema evolucione de un cierto estado a otro, transcurrido un intervalo tde tiempo. En el formalismo de la integral de camino, dicha amplitud de probabilidad puede escribirse como la suma sobre todas las posibles configuraciones del sistema que llevan de un estado a otro. En teor´ıa de campos, dicha suma est´a definida sobre el plano formado por el espacio-tiempo (minkowskiano). En base a la analog´ıa entre el operador evoluci´on temporal y el estado de Gibbs, los elementos de matriz de este ´ultimo pueden tambi´en escribirse como una integral de caminos definida sobre una banda del espacio-tiempo (eucl´ıdeo) de anchura β. De esta forma, ρXse obtiene al unir los extremos de dicha banda (que corresponden con τ= 0 y τ=β) salvo aquellos puntos del espacio que pertenecen a X, obteniendo el cilindro de radio β/(2π) de la figura 1.1. A temperatura nula, β→ ∞, dicho cilindro es un plano. En [11], Calabrese y Cardy determinan c´omo cambia la entrop´ıa (1.2) al efectuar una transformaci´on conforme sobre los puntos del plano. En particular, la aplicaci´on exp(2πz/β) lleva los puntos zdel plano a 1. Introducci´on 5 un cilindro de radio β/(2π), que corresponde a un sistema a temperatura 1/β. Al efectuar dicha transformaci´on sobre (1.2) se obtiene [11, 24], Sα(X) = α+ 1 α c 6log β πsinh πL β+C0 α.(1.3) Cuando Lβrecuperamos la expresi´on (1.2). Por el contrario, cuando Lβtenemos que Sα(X) = α+ 1 α c 6 πL β+α+ 1 α c 6log β 2π+C0 α.(1.4) 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 000000111111 τ x 0 XX ρX= TrYρ ρ=Z−1e−βH β Figura 1.1: Los elementos de matriz de ρ=Z−1e−βH est´an definidos sobre una banda de anchura βdel espacio-tiempo eucl´ıdeo (x, τ) de la teor´ıa de campos subyacente. La zona rayada verticalmente corresponde a los puntos del intervalo Xelegido. Los elementos de ρXse obtienen al unir los bordes de la banda salvo aquellos puntos que pertenecen a X. 1.4 Cadenas de fermiones y de spines En esta memoria vamos a trabajar con cadenas de fermiones y de spines. Ambos son sistemas cu´anticos constituidos por una red unidimensional de Npuntos o sites cuyo espacio de estados es C2, de manera que el total Hes H=C2⊗···⊗C2=C2N. Dividiremos estos sistemas en dos partes X, formada por Lsites contiguos, e Y, que contiene N−Lsites, y analizaremos su entrop´ıa de R´enyi Sα(X) para Lgrande a una cierta temperatura 1/β; es decir, cuando ρ=Z−1e−βH, donde Hes el Hamiltoniano, que caracteriza las interacciones entre los distintos sites. De acuerdo a esta divisi´on, Hpuede escribirse como H=HX⊗HY, donde HX=C2⊗···⊗C2=C2L,HY=C2N−L. Diremos que el sistema es una cadena de fermiones si sobre cada site ndefinimos los operadores fermi´onicos de creaci´on y aniquilaci´on an,a† nque satisfacen las reglas can´onicas de anticonmutaci´on {a† n, am}=δnm,{an, am}={a† n, a† m}= 0, n, m = 1, . . . , N, (1.5) 12 2.2. Cadenas locales: entrop´ıa y matrices de Toeplitz Como en este caso la dimensi´on del espacio de estados de Xes 2L, el m´aximo valor que puede tomar Sα(X) es justamente Llog 2. Cuando β→0, la expresi´on general para Sα(X) que se obtiene mediante la teor´ıa conforme (1.3) diverge. La raz´on es que el espacio de estados de una teor´ıa de campos conforme es de dimensi´on infinita. Por tanto, esta t´ecnica no es la apropiada para tratar con sistemas fermi´onicos o de spines a alta temperatura, donde el comportamiento de la entrop´ıa depende de la dimensi´on del espacio de estados. 2.2.1 L´ımite β→ ∞ A diferencia de lo que sucede a alta temperatura, en el l´ımite opuesto β→ ∞ el comportamiento de Sα(X) depende de si la relaci´on de dispersi´on Λ(θ) cambia o no de signo. Cuando la cadena no es cr´ıtica y β→ ∞, Sα(X)≈α α−1e−βm 1−e(1−α)βm αL, α > 1, donde mes el valor m´ınimo que toma Λ(θ) que corresponde con el gap entre la energ´ıa del estado fundamental y el primer excitado y es inversamente proporcional a la longitud de correlaci´on del sistema. Cuando α→1, S1(X)≈(1 + βm)e−βmL. Por tanto, para una cadena no cr´ıtica la entrop´ıa de un intervalo decae exponencialmente a cero a baja temperatura. De hecho, en el estado fundamental, |GSi=|0i, se anula de manera exacta [18]. En una cadena cr´ıtica, como hemos dicho, existen una o m´as parejas de modos cr´ıticos o de Fermi en los que la relaci´on de dispersi´on Λ(θ) cambia de signo. Supongamos que tenemos νmodos cr´ıticos θi,i= 1, . . . , ν, en los que Λ(θi) = 0. Al igual que sucede en el estado fundamental, este hecho modifica radicalmente el comportamiento de Sα(X) cuando β→ ∞ ya que existen modos θ∈(θi−δi, θi+δi) para los cuales Aα(β) no decae exponencialemente a cero con β. β→ ∞ 1 β1 β2 β1< β2 θiθ fα[1,tanh(βΛ(θ)/2)] θi−δiθiθi+δi +1 -1 β→ ∞ tanh(βΛ(θ)/2) ≈ pendiente≈Λ0(θi) Figura 2.3: A la izquierda, representamos la aproximaci´on a baja temperatura, β→ ∞, de la funci´on fα[1,tanh(βΛ(θ)/2)] en el entorno de un modo cr´ıtico θi. A la derecha, aproximaci´on considerada en los c´alculos para la funci´on tanh(βΛ(θ)/2) en las proximidades de θicuando β→ ∞. 2. Cadenas homog´eneas de fermiones 13 Como se desprende de la figura 2.3 (izquierda), la anchura de cada entorno es inversamente proporcional a β|Λ0(θi)|, donde Λ0(θi) denota la derivada de la relaci´on de dispersi´on en θi; es decir, la velocidad de Fermi de θi. Por lo tanto, δi= 2π/(β|Λ0(θi)|). Para valores de θsuficientemente alejados de los modos cr´ıticos tenemos una situci´on id´entica a la del caso no cr´ıtico. De acuerdo con estas ideas, dividamos la integral del t´ermino lineal (2.11) en νpiezas, Aα(β) = 1 2π ν X i=1 Zθi+δi θi−δi fα[1,tanh(βΛ(θ)/2)] dθ +··· , donde los puntos suspensivos denotan el resto de partes cuyo integrando decae exponencialmente a cero a baja temperatura. Si efectuamos el cambio de variable ξ= tanh(βΛ/2) y consideramos la aproximaci´on de la figura 2.3 derecha para la funci´on tanh(βΛ(θ)/2) en cada cambio de signo de Λ(θ) cuando β→ ∞, tenemos Aα(β)≈ ν X i=1 1 πβ|Λ0(θi)|Z1 −1 fα(1, ξ) (1 −ξ2)dξ +··· .(2.13) La integral de la expresi´on (2.13) puede ser resuelta anal´ıticamente mediante el cambio de variable ξ= (t−1)/(t+ 1), 1 1−αZ1 −1 log 1 + ξ 2α +1−ξ 2αdξ 1−ξ2=π2 12 α+ 1 α.(2.14) En definitiva, si Λ(θ) posee νcambios de signo en θi,i= 1,...ν, entonces Aα(β)≈α+ 1 α π 12β ν X i=1 1 |Λ0(θi)|+··· , β → ∞, donde los puntos suspensivos denotan t´erminos que decaen exponencialmente a cero. El problema a la hora de tratar con el t´ermino independiente de L,Cα(β), se encuentra en determinar la serie P∞ k=1 ksks−k,donde, recordemos, skrepresenta el k-´esimo modo de Fourier de la funci´on log[λ+ tanh(βΛ(θ)/2)]. 14 2.2. Cadenas locales: entrop´ıa y matrices de Toeplitz θi−δiθi θi+δiθi+1 θi+1 θi+1 log(λ+ 1) log(λ−1) β→ ∞,log[λ+ tanh(βΛ(θ)/2)] ≈ −δi+1 +δi+1 θi−δi θi θi+δi θi+1 θi+1 θi+1 2δi+1 log λ+1 λ−1 −2δilog λ+1 λ−1 β→ ∞,d dθlog[λ+ tanh(βΛ(θ)/2)] ≈ −δi+1 +δi+1 Figura 2.4: A la izquierda, representamos la aproximaci´on de la funci´on log[λ+ tanh(βΛ(θ)/2)] que consideramos a la hora de obtener Cα(β) a bajas temperaturas, β→ ∞. Aqu´ı hemos dibujado ´unicamente dos modos cr´ıticos θiyθi+1 consecutivos tales que Λ0(θi)<0 y Λ0(θi+1)>0. A la derecha, representamos la derivada en θde la aproximaci´on de la izquierda que empleamos para calcular en primera aproximaci´on los modos de Fourier iksk. Observemos que ikskes el modo k-´esimo de d dθ log[λ+ tanh(βΛ(θ)/2)]. En el l´ımite β→ ∞, la funci´on log[λ+ tanh(βΛ(θ)/2)] puede tomarse constante en θsalvo en los entornos de cada cero de Λ(θ), para los cuales, en primera aproximaci´on la consideraremos lineal, tal y como refleja la figura 2.4 izquierda. De esta forma, su primera derivada es nula salvo para los modos θ∈(θi−δi, θi+δi), en los cuales es constante. Calculando ikskcon dicha aproximaci´on y qued´andonos al sumar la serie con los t´erminos dominantes cuando β→ ∞ se llega a ∞ X k=1 ksks−k≈1 4π2log λ+ 1 λ−12ν X i=1 log 2π β|Λ0(θi)|+··· ;β→ ∞. Llevando este resultado a la expresi´on de Cα(β), (2.12), Cα(β) = 1 8π3i ν X i=1 log 2π β|Λ0(θi)|Iα, donde Iα= lim ε→0+IC fα(1 + ε, λ)d dλ log λ+ 1 λ−12 dλ. Existen distintas formas de proceder con esta integral. La m´as adecuada es efectuar una integraci´on por partes puesto que eliminamos directamente las divergencias que de otro modo aparecen. Si a continuaci´on integramos a lo largo del contorno Cllegamos a una integral id´entica a (2.14). De esta manera, Cα(β) = α+ 1 12α ν X i=1 log β|Λ0(θi)| 2π+··· , β → ∞. Agrupando los resultados anteriores, tenemos que en una cadena fermi´onica local cuya relaci´on de dispersi´on posee νcambios de signo en los modos θi,i= 1, . . . , ν, la entrop´ıa de R´enyi de un intervalo a baja temperatura, β→ ∞, es en primera aproximaci´on 2. Cadenas homog´eneas de fermiones 15 Sα(X)≈α+ 1 α π 12β ν X i=1 1 |Λ0(θi)|L+α+ 1 12α ν X i=1 log β|Λ0(θi)| 2π+··· , que escala en Lyβde manera similar a la prevista por la expresi´on conforme (1.4) cuando βL. De hecho, salvo por la constante C0 α, nuestro resultado se reduce a (1.4) cuando las velocidades de Fermi |Λ0(θi)|valen la unidad. La carga central ces igual al n´umero de parejas de cambios de signo de Λ(θ), de forma que cada uno de ellos puede identificarse con una de las part´ıculas sin masa de la teor´ıa de campos conforme subyacente. A diferencia del caso no cr´ıtico, aqu´ı Sα(X) no tiende de manera continua a su expresi´on para el estado fundamental de Hferm local y cr´ıtico, |GSi=QΛk<0b† k|0i. En efecto, de acuerdo con [18], para este estado SGS α(X) = α+ 1 α ν 12 log L+νΥα+X 1≤i6=j≤ν log[2 −2 cos(θi−θj)] 6,(2.15) donde Υα=1 2πi Z1 −1 dfα(1, λ) dλ log Γ(1/2−iω(λ)) Γ(1/2 + iω(λ))dλ, ω(λ) = 1 2πlog  λ+ 1 λ−1, es un t´ermino universal, que no var´ıa bajo peque˜nas modificaciones de los acoplos, y Γ es la funci´on Gamma de Euler. 2.2.2 Ejemplo: Tight Binding Model Un caso particular de Hamiltoniano local de la forma (2.1) es el del Tight Binding Model, HTBM = N X n=1 J0a† nan+J1a† n(an−1+an+1),(2.16) suponiendo los acoplos J0yJ1reales y J1<0. Su relaci´on de dispersi´on es ΛTBM(θ) = J0+ 2J1cos(θ). Si |J0|>2|J1|, no tiene ning´un cero. Por el contrario si |J0|<2|J1|hay dos valores de θ θ1= arccos −J0 2J1yθ2=−θ1, para los cuales cambia de signo; es decir, ν= 2. De acuerdo con los resultados de la secci´on anterior, en el l´ımite a baja temperatura β→ ∞ la entrop´ıa de von Neumann de un intervalo Les STBM 1(X)≈[1 + β(J0−2J1)]e−β(J0−2J1)L, si |J0|>2|J1|, ya que aqu´ı m=J0−2J1, y STBM 1(X)≈π 3βp(2J1)2−J2 0 | {z } ATBM 1 L+1 3log βp(2J1)2−J2 0 2π! | {z } CTBM 1 ,si |J0|<2|J1|.(2.17) 16 2.2. Cadenas locales: entrop´ıa y matrices de Toeplitz Observemos que, salvo por el t´ermino constante aditivo C0 1, este resultado es el que se obtiene de la simetr´ıa conforme cuando Lβ(1.4) con carga central c= 1. Podemos determinar la constante C0 1para este modelo mediante un estudio num´erico de S1(X). Para ello, como el estado t´ermico satisface la descomposici´on de Wick, basta con obtener la matriz de correlaciones C(2.5) para cada tama˜no Lde intervalo y temperatura 1/β, diagonalizarla y aplicar la expresi´on (2.7). Para hallar el espectro de autovalores, hemos empleado la rutina correspondiente a matrices complejas herm´ıticas incluida en GNU Scientific Library [29] escrita para el lenguaje C. Si tomamos J1=−1/2 el Hamiltoniano (2.16) ser´a cr´ıtico cuando |J0|<1. En primer lugar, consideremos J0= 0, fijemos el valor de la temperatura 1/β y evaluemos S1(X) modificando la longitud del intervalo entre L= 500 y L= 4500 sites en una cadena con un total de N= 10000 sites. Los puntos de la figura 2.5 representan los resultado num´ericos para distintos valores de β. La tabla 2.1 recoge los coeficientes del ajuste a una funci´on lineal aL +cde cada serie de puntos num´ericos con βfijo. Tambi´en contiene los valores num´ericos de las aproximaciones de ATBM 1yCTBM 1cuando β→ ∞. La ´ultima columna representa la diferencia entre cyCTBM 1, que es un valor pr´acticamente id´entico al que obtenemos para el t´ermino independiente de la entrop´ıa de von Neumann de un intervalo en el estado fundamental de (2.16) cuando J0= 0 y J1=−1/2, |GSi=Q|k|<N/4b† k|0i, SGS 1(X) = 1/3 log L+ 0.726067... (2.18) con Υ1= 0.247509.... 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 S1(X) L β=50 β=200 β=500 β=1000 1 Figura 2.5: entrop´ıa de von Neumann, S1(X), de un intervalo Xde un TBM (2.16) con J0= 0 y J1=−1/2 en funci´on de su longitud Lpara distintas temperaturas 1/β. Los puntos representan los valores obtenidos num´ericamente mientras que las rectas corresponden a la expresi´on anal´ıtica (2.17) para cada valor de β m´as la constante aditiva C0TBM 1= 0.726067.... 2. Cadenas homog´eneas de fermiones 17 Ajuste Anal´ıtico β→ ∞ β a (×10−3)c ATBM 1(×10−3)CTBM 1C0TBM 1=c−CTBM 1 50 20.9631 1.41691 20.9440 0.69138 0.72553 200 5.23624 1.87951 5.23599 1.15348 0.72603 500 2.09445 2.18497 2.09440 1.45891 0.72606 1000 1.04877 2.41110 1.04720 1.68996 0.72115 Tabla 2.1: aycson los coeficientes del ajuste a la funci´on lineal aL +cde los valores num´ericos de S1(X) que obtenemos a una temperatura fija 1/β variando la longitud Lde un intervalo de un TBM (2.16) con J0= 0 y J1=−1/2. Las columnas ATBM 1yCTBM 1contienen los correspondientes valores num´ericos de estos coeficientes para β→ ∞ dados por (2.17). Obs´ervese que la resta c−CTBM 1es un n´umero cercano al t´ermino constante de la entrop´ıa del intervalo en el estado fundamental (2.18). En la figura 2.5 las l´ıneas continuas representa la aproximacion (2.17) m´as la correcci´on aditiva C0TBM 1= 0.726067.... En vista de estos resultados, conjeturamos que C0TBM 1es el t´ermino independiente de la entrop´ıa de un intervalo en el estado fundamental (2.15) del Hamiltoniano (2.16) cr´ıtico, |GSi=QΛk<0b† k|0i, C0TBM 1= 0.4950179... +1 6log[2 −2 cos(2θ1)].(2.19) Para comprobar esta hip´otesis, estudiamos num´ericamente S1(X) para distintos valores de J0<1 con J1=−1/2, variando Lentre 500 y 4500 sites y fijando la temperatura en β= 200. En la tabla 2.2 recogemos los coeficientes aycdel ajuste de los valores num´ericos de S1(X) que obtenemos para cada J0, compar´andolos con los correspondientes coeficientes ATBM 1yCTBM 1+C0TBM 1. Ajuste Anal´ıtico β→ ∞ J0a(×10−3)c ATBM 1(×10−3)CTBM 1+C0TBM 1 0.1 5.26263 1.87615 5.26237 1.87620 0.3 5.48920 1.84805 5.48881 1.84811 0.5 6.04687 1.78356 6.04600 1.78365 0.7 7.33500 1.65487 7.33185 1.65510 0.9 12.0641 0.247412 12.0122 1.32597 Tabla 2.2: aycson los par´ametros que obtenemos al ajustar a una dependencia lineal aL +clos valores num´ericos que obtenemos para S1(X) al variar el tama˜no Ldel intervalo Xde un TBM a β= 200 para cada acoplo J0, con J1=−1/2. Las columnas ATBM 1yCTBM 1+C0TBM 1recogen los valores que da la expresi´on (2.17) para los dos primeros y (2.19) en el caso de C0TBM 1. Como se desprende de la tabla 2.2, los resultados num´ericos corroboran la conjetura propuesta salvo para J0= 0.9. A medida que aumentamos este acoplo y nos aproximamos al valor para el cual el Hamiltoniano deja de ser cr´ıtico (esto es, J0= 1), los ceros de ΛTBM(θ) se van acercando. Hemos comprobado numericamente que la expresi´on (2.19) para el t´ermino independiente de Lde la entrop´ıa del estado fundamental no es v´alida cuando θ1y−θ1est´an suficientemente cerca, como sucede en el caso J0= 0.9. 18 2.2. Cadenas locales: entrop´ıa y matrices de Toeplitz 3. Escaleras de fermiones Los resultados que hemos obtenido para la entrop´ıa de un intervalo de una cadena homog´enea y local de fermiones a una cierta temperatura van a servirnos para obtener la entrop´ıa de partes de sistemas m´as complicados. En esta secci´on consideraremos una escalera de fermiones en forma de prisma con qaristas o railes cuyas interacciones est´an descritas por el Hamiltoniano Hladder = N X n=1 q−1 X p=0 N/(2q) X l=0 Jp,la† nan+pN/q+l+h.c. (3.1) Supondremos que los acoplos Jp,l decaen r´apidamente en l. Un ejemplo de este tipo de escaleras con q= 3 y Jp,l = 0 para l≥2 se muestra en la figura 3.1 izquierda. 00 00 00 11 11 11 00 00 11 11 a c b b ac 0 -π π θ Λs(θ) s=2 s=0 s=1 1 Figura 3.1: A la izquierda, representaci´on de una escalera de fermiones (3.1) de tres railes, q= 3. Los extremos de cada rail con la misma letra est´an unidos, formando un anillo retorcido. Por simplicidad, ´unicamente hemos dibujado (con l´ıneas m´as finas) las interacciones a segundos vecinos de la cara inferior del prisma. Los sites oscuros corresponden al fragmento Xelegido. A la derecha, representamos las bandas de la relaci´on de dispersi´on de una posible escalera de fermiones (3.1) con tres railes, q= 3. Este Hamiltoniano tambi´en puede interpretarse como una cadena unidimensional (2.1) con acoplos no locales. Por tanto, es diagonalizable introduciendo los operadores bk(2.2) y sus autoestados son los determinantes de Slater |ΨKi. En este caso, la relaci´on de dispersi´on del sistema, Λk=X p,l Jp,le2πik(pN/q+l)/N +h.c., puede descomponerse en qbandas o ramas. En efecto, si tomamos k=sen mod qtenemos que Λk= q−1 X p=0 e2πisp/q N/(2q) X l=0 Jp,le2πikl/N +h.c., y, en el l´ımite termodin´amico 2πk/N →θ, Λs(θ) = q−1 X p=0 e2πisp/q ∞ X l=0 Jp,leiθl +h.c. Por tanto, hay una relaci´on de dispersi´on independiente Λs(θ) para cada valor de s= 0, . . . , q −1. Cada banda es una funci´on peri´odica, continua y suave que puede tener un 19 20 n´umero par νsde cambios de signo. En la figura 3.1 derecha mostramos un caso gen´erico para q= 3. En las escaleras resulta natural elegir como subsistema Xun fragmento de longitud Lde la misma; esto es, qintervalos de tama˜no Lsituados cada uno de ellos en uno de los railes y perfectamente enfrentados entre si. Desde el punto de vista de una cadena unidimensional no local, esto equivale a tomar qintervalos disjuntos de longitud Lseparados entre si por una distancia N/q −L. Por tanto, X= q−1 [ p=0 Xp, donde Xp={1 + pN/q, ··· , L +pN/q}es el intervalo de sites contiguos de longitud L situado en el rail p-´esimo. Nuestro objetivo es calcular la entrop´ıa de R´enyi de Xen el l´ımite termodin´amico de una escalera que se encuentra a una cierta temperatura 1/β. En principio podemos proceder como en el caso de una cadena local, introduciendo la matriz VX, de dimensi´on qL, que se obtiene de restringir Vnm =−1 NX k tanh βΛk 2eiθk(n−m) a los ´ındices que pertenecen a X. Sin embargo, esta matriz ya no es Toeplitz. Es una matriz por bloques en la que cada bloque es Toeplitz (situaci´on B de la figura 2.1). Por tanto, no podemos aplicar directamente el teorema de Fisher-Hartwig como hicimos para un intervalo de la cadena local. No obstante, teniendo en mente la separaci´on en ramas de la relaci´on de dispersi´on, descompongamos Vde la siguiente forma V=1 q q−1 X s=0 Vs, donde (Vs)nm =−q NX k=s(modq) tanh βΛk 2eiθk(n−m). Observemos que tenemos la propiedad de simetr´ıa (Vs)n+pN/q,m+p0N/q =e2πis(p−p0)/q(Vs)n,m.(3.2) Aprovech´andola, podemos escribir la matriz Vsretringida a X,Vs,X , como Vs,X =Vs,X0⊗Ts=   Vs,X0e2πis/qVs,X0. . . e−2πis/qVs,X0Vs,X0. . . . . .. . ....  , donde Vs,X0es la restricci´on de Vsal intervalo X0={1, . . . , L}yTsson matrices con elementos (Ts)pp0=e2πis(p−p0)/q, p, p0= 0, . . . , q −1. 3. Escaleras de fermiones 21 De esta forma tenemos que VX=1 q q−1 X s=0 Vs,X0⊗Ts. Las matrices Tsconmutan entre si por lo que existe una transformaci´on que las diagonaliza simult´aneamente (UTsU−1)pp0=qδs,pδs,p0 donde Ues la matriz unitaria de elementos Upp0=1 √qe2πipp0/q. Entonces, (I⊗U)VX(I⊗U−1) =       V0,X00··· 0 0V1,X0··· 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 ··· Vq−1,X0       . Las matrices Vs,X0s´ı que son matrices de Toeplitz tales que, en el l´ımite termodin´amico, (Vs)nm =−1 2πZπ −π tanh βΛs(θ) 2eiθ(n−m)dθ. El espectro de una matriz suma directa de matrices es la uni´on de los espectros de cada matriz de la suma directa. Por tanto, Sα(X) = q−1 X s=0 Sα,s(X0),(3.3) donde Sα,s(X0) = 1 1−αTr log I+Vs,X0 2α +I−Vs,X0 2α, que puede calcularse a partir de los resultados de la cadena local. El estado fundamental de la escalera, QΛs,k<0b† k|0i, tambi´en satisface la simetr´ıa (3.2). En ese caso, cada SGS α,s (X0) est´a dado por la expresi´on (2.15) aplicada a la banda Λs(θ). 3.1 Ejemplo: escalera de dos railes q= 2 El caso m´as sencillo de escalera de fermiones es la de dos railes, q= 2, descrita por el Hamiltoniano Hladder = N X n=1 (J0a† nan+J1a† nan+1 +JN/2a† nan+N/2) + h.c. (3.4) Consideremos que los acoplos toman valores reales. En este caso la relaci´on de dispersi´on, Λk= 2J0+ 2J1cos 2πk N+ 2(−1)kJN/2, 28 4.3. Relaci´on entre las entrop´ıas de los modelos XY e Ising y, por tanto, Sα(ρXY) = 1 1−αX k log 1 2+√ηkα +1 2−√ηkα. Cuando α→1, encontramos la expresi´on para la entrop´ıa de von Neumann, S1(ρXY) = −X k1 2+√ηklog 1 2+√ηk+1 2−√ηklog 1 2−√ηk. As´ı, la entrop´ıa de R´enyi de Xpuede obtenerse a partir de la restricci´on de Gsiempre que dicho subsistema est´e constituido por spines contiguos Sα(X) = 1 1−αTr log I 2+qGXG† Xα +I 2−qGXG† Xα, y S1(X) = −Tr 1 2+qGXG† Xlog I 2+qGXG† X +I 2−qGXG† Xlog I 2−qGXG† X. En este caso, la matriz interesante a la hora de obtener la entrop´ıa es GG†que es Toeplitz cuando consideramos toda la cadena. Sin embargo, para un subsistema X,GXG† Xya no lo es, aun siendo Xun ´unico intervalo de spines. Por lo tanto, no podemos aplicar el teorema de Fisher-Hartwig. Sin embargo, la introducci´on de estas matrices no ha sido en vano puesto que presentan interesantes simetr´ıas bajo ciertas condiciones que permiten establecer relaciones entre las entrop´ıas de R´enyi de los distintos modelos de spines que acabamos de presentar. 4.3 Relaci´on entre las entrop´ıas de los modelos XY e Ising En [31], Igloi y Juhasz demuestran que la entrop´ıa en el estado fundamental de un modelo XY de Nspines con campo magn´etico hXY = 0 es igual a la suma de las entrop´ıas de dos modelos de Ising (γ= 1), llam´emoslos I1 e I2, de N/2 spines cada uno y cuyos campos hI1 yhI2 est´an relacionados con la constante de anisotrop´ıa γXY del modelo XY, hI1 = 21−γXY 1 + γXY ,yhI2 = 21 + γXY 1−γXY .(4.14) Esta propiedad puede generalizarse a cualquier configuraci´on excitada del modelo XY en la que si un modo kest´a ocupado tambi´en lo est´an los modos −kyk+N/2. Aqu´ı extenderemos esta relaci´on al estado t´ermico. Partamos de un modelo XY de tama˜no total Nsites a temperatura 1/βXY. Llamemos qk(n−m) = −tanh βXYΛXY k 2e−i[θk(n−m)−2ξk] Si tomamos su campo magn´etico nulo, hXY = 0, tenemos que 2ξk+N/2= 2ξk+πy ΛXY k+N/2= ΛXY k. Entonces qk+N/2(n−m) = −e−iπ(n−m)qk(n−m), 4. Cadenas de spines: modelo XY 29 y, por lo tanto, qk+N/2(n−m) = −qk(n−m),si n−mpar, qk+N/2(n−m) = qk(n−m),si n−mimpar. De esta manera, si n= 2p(pares) y m= 2q(pares) ´o n= 2p−1 (impares) y m= 2q−1 (impares) G2p,2q=G2p−1,2q−1= 0. Sin embargo, para n= 2p(pares) y m= 2q−1 (impares) G2p,2q−1=−1 2N/2 N/4−1 X k=−N/4 tanh βXYΛXY k 2e−i[2θk(p−q)+θk−2ξk], mientras que si n= 2p−1 (impares) y m= 2q(pares) G2p−1,2q=−1 2N/2 N/4−1 X k=−N/4 tanh βXYΛXY k 2e−i[2θk(p−q)−θk−2ξk]. Identificando θI1 k=θI2 k= 2θk=2πk N/2,2ξI1 k=θk−2ξk,y 2ξI2 k=−θk−2ξk, se obtienen las relaciones (4.14) cuando γI1 =γI2 = 1. Introduci´endolas en la relaci´on de dispersi´on del modelo XY inicial (con hXY = 0) y tras un poco de ´algebra puede verse que ΛXY k=ΛI1 k 1 + hI1/2=ΛI2 k 1 + hI2/2 para I1 e I2 respectivamente. Por lo tanto, G(I1) p,q =G2p,2q−1=−1 2N/2 N/4−1 X k=−N/4 tanh βI1ΛI1 k 2e−i[θI1 k(p−q)−2ξI1] son los elementos de la matriz de correlaciones G(I1)de un modelo de Ising de tama˜no total N/2 y campo magn´etico hI1 a temperatura βI1 =βXY 1 + hI1/2. Por su parte, G(I2) p,q =G2p−1,2q=−1 2N/2 N/4−1 X k=−N/4 tanh βI2ΛI2 k 2e−i[θI2 k(p−q)−2ξI2] son los elementos de la matriz G(I2)de un modelo de Ising de tama˜no total N/2, campo magn´etico hI2, a temperatura βI2 =βXY 1 + hI2/2. 30 4.3. Relaci´on entre las entrop´ıas de los modelos XY e Ising Si escribimos Gen la base en la que separamos los sites pares de los impares G=0G(I2) G(I1)0, tenemos que GG†=G(I1)G(I1)†0 0G(I2)G(I2)†. Por lo tanto, la matrix GG†, de un intervalo L, de este modelo XY sin campo magn´etico se puede descomponer como la suma directa de las matrices GG†, de dos intervalos L/2, de I1e I2. En consecuencia, el espectro de autovalores de la primera ser´a la uni´on de los espectros de las dos segundas. Transladando este resultado a la entrop´ıa, SXY α(L, βXY) = SI1 α(L/2, βI1) + SI2 α(L/2, βI2). Cuando γXY = 0 (es decir, cuando el modelo XY se reduce al XX), ambos modelos de Ising son iguales (hI1 =hI2 = 2, I1≡I2≡I), y se encuentran a la misma temperatura βI=βXX/2 por lo que SXX α(L, βXX) = 2SI α(L/2, βI).(4.15) De acuerdo con Jordan-Wigner, el equivalente fermi´onico del modelo de spines XX es el TBM. Si nuestro subsistema es un intervalo de spines contiguos, los resultados para la entrop´ıa de un modelo fermi´onico pueden trasladarse directamente al de spines. En consecuencia, utilizando (4.15), podemos obtener tambi´en la entrop´ıa de un intervalo de un modelo de Ising cu´antico a una cierta temperatura. 5. Conclusiones El objetivo principal de esta memoria ha sido el estudio de la entrop´ıa de R´enyi Sα(X) de un intervalo Xde diferentes cadenas de fermiones y spines en el estado t´ermico o de Gibbs, ρ=Z−1e−βH. En primer lugar hemos considerado cadenas de fermiones homog´eneas y locales, demostrando que Sα(X) puede obtenerse a partir de las correlaciones de X. Este hecho resulta muy ´util a la hora de estudiarla. Num´ericamente reduce la complejidad de computarla, que crece exponencialmente con el tama˜no Lde X, a una dependencia polinomial con L. Anal´ıticamente permite escribirla en t´erminos del determinante de una matriz que en este caso es Toeplitz. Para este tipo de matrices, el teorema de FisherHartwig da una expansi´on de su determinante y, en nuestro caso, un desarrollo de Sα(X) en t´erminos de Len el l´ımite termodin´amico de la cadena. A partir de este resultado, hemos encontrado algunas propiedades muy interesantes: •En el estado de Gibbs Sα(X) es, al igual que la entrop´ıa termodin´amica, extensiva siempre que βL. Por contra, en el estado fundamental, la entrop´ıa de Xcrece con el log Lsi la relaci´on de dispersi´on es cr´ıtica, mientras que se anula de manera exacta si no lo es. •Hemos visto que el coeficiente Aα(β) del t´ermino que escala con Lcorresponde, para von Neumann, a la densidad de entrop´ıa termodin´amica de un gas de fermiones. Adem´as, en la entrop´ıa de R´enyi de toda la cadena no tenemos el coeficiente Cα(β) independiente de L. As´ı hemos interpretado que Aα(β) es debido a las correlaciones t´ermicas mientras que Cα(β) da cuenta de la dependencia con βdel entrelazamiento entre XeY. Adem´as, Aα(β)Lsigue una ley de volumen mientras que Cα(β) cumple la ley del ´area, caracter´ıstica de las correlaciones cu´anticas. •A alta temperatura, tenemos correlaciones de naturaleza exclusivamente t´ermica puesto que el ´unico t´ermino que no se anula es Aα(β), que en dicho l´ımite depende de la dimensi´on del espacio de estados de X. •A baja temperatura, Sα(X) depende del n´umero de cambios de signo de la relaci´on de dispersi´on (modos de Fermi) y de su derivada en ellos (velocidades de Fermi). En este sentido, al igual que sucede en el estado fundamental, Sα(X) detecta a baja temperatura si el sistema es cr´ıtico o no. •En el estado fundamental, el factor del t´ermino que escala con log Les universal puesto que es invariante bajo peque˜nos cambios en el valor de los acoplos del Hamiltoniano, mientras que el t´ermino independiente de Lcontiene una parte no universal. A bajas temperaturas, los coeficientes Aα(β) y Cα(β) de la expansi´on de Sα(X) son no universales pues dependen directamente de los acoplos a trav´es de las velocidades de Fermi. •El desarrollo a bajas temperaturas que hemos encontrado a partir de la expansi´on de Fisher-Hartwig es similar a la expresi´on conforme de Sα(X) cuando βL(1.4), salvo por una constante aditiva C0 αindependiente de Lyβ. Las t´ecnicas conformes dan cuenta de la existencia de este t´ermino pero no de la forma que tiene. Aqu´ı hemos conjeturado que es igual al t´ermino independiente de la entrop´ıa de un intervalo en el estado fundamental. Por tanto, es debido a la correlaciones cu´anticas entre X y el resto del sistema. Hemos verificado esta hip´otesis en el Tight Binding Model. Podemos explicar este resultado mediante la invariancia conforme. La entrop´ıa (1.3) 31 32 para un sistema de tama˜no infinito a una cierta temperatura se relaciona con la de un sistema de tama˜no finito en el estado fundamental (temperatura cero) mediante una rotaci´on de Wick: esencialemente cambiar la direcci´on de compactificaci´on, de la temporal a la espacial, en el cilindro de la figura 1.1. Esta rotaci´on no modifica el t´ermino independiente del tama˜no del intervalo. Tambi´en hemos visto que este resultado sirve para obtener la entrop´ıa de R´enyi de un fragmento de una escalera local de fermiones. La clave est´a en darse cuenta que la relaci´on de dispersi´on de una escalera se descompone en tantas bandas como railes tiene. Cada banda puede interpretarse como la relaci´on de dispersi´on de una cadena local. De esta forma, la entrop´ıa de un fragmento de tama˜no Lde la escalera es la suma de las entrop´ıas de un intervalo de longitud Lde una cadena local dada por cada banda. Tambi´en hemos extendido al estado t´ermico la relaci´on entre la entrop´ıa de R´enyi de un intervalo de un modelo de spines XY sin campo magn´etico y las de dos modelos de Ising cu´anticos. En particular, hemos visto que esta relaci´on permite obtener la entrop´ıa de R´enyi de un intervalo de un Ising cu´antico a partir de la de un modelo XX sin campo magn´etico cuyo equivalente fermi´onico es, de acuerdo con la transformaci´on de Jordan-Wigner, el Tight Binding Model. Bibliograf´ıa [1] E. Schr¨odinger, Discussion of Probability Relations Between Separated Systems, Proc. Camb. Philos. Soc., 31, 555563 (1935); 32, 446451 (1935) [2] A. Einstein, B. Podolski, N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev. 47 777 (1935) [3] J. S. Bell, On the Einstein Podolski Rosen paradox, Physics, 1, 195-200 (1964) [4] A. Aspect, P. Grangier, G. Roger, Experimental tests of realistic local theories via Bell’s theorem, Phys. Rev. Lett. 47, 7, 460-463 (1981) [5] W. Zurek, Decoherence and the transition from quantum to classical, arXiv:quantph/0306072, puesta al d´ıa de Physics Today, 44, 36-44 (1991) [6] F. Galve, L. A. Pach´on, D. Zueco, Bringing entanglement to the high temperature limit, Phys. Rev. Lett. 105, 180501 (2010), arXiv:1002.1923 [quant-ph] [7] A. Osterloh, L. Amico, G. Falci, R. Fazio, Scaling of entanglement close to a quantum phase transition, Nature 416, 608-610 (2002) [8] G. Vidal, J.I. Latorre, E. Rico, A. Kitaev, Entanglement in quantum critical phenomena, Phys. Rev. Lett. 90, 22: 227902-227906 (2003); arXiv:quant-ph/0211074v1 [9] V. Vedral, High temperature macroscopic entanglement, New J. Phys. 6, 102 (2004) arXiv: quant-ph/0405102 [10] S. N. Solodukhin Entanglement entropy of black holes, Living Rev. Relativity 14, (2011), 8. arXiv:hep-th/1104.3712 [11] P. Calabrese, J. Cardy, Entanglement entropy and Quantum Field Theory, J. Stat. Mech. 0406:P06002 (2004); arXiv:hep-th/0405152v3 [12] H. Casini, M. Huerta, Entanglement entropy in free quantum field theory, J.Phys. A: Math. Theor. 42, 504007 (2009); arXiv:hep-th/0905.2562 [13] T. Nishioka, S. Ryu, T. Takayanagi, Holographic Entanglement Entropy: An Overview, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 504008 (2009); arXiv:0905.0932 [14] M. B. Plenio, S. Virmani, An introduction to entenglement measures, Quantum Information & Computation, 7, 1-51 (2007) arXiv: quant-ph/0504163v3 [15] C. Monroe, J. Kim, Scaling the Ion Trap Quantum Processor, Science 339 (2013) 1164. [16] I. Peschel, Calculation of reduced density matrices from correlation functions, J. Phys. A: Math. Gen., L205 (2003) arXiv: cond-mat/0212631v1 [17] B. Q. Jin, V. E. Korepin, Quantum spin chains, Toeplitz determinants and the Fisher-Hartwig conjecture, J. Stat. Phys. 116, 79 (2004), arXiv:quantph/0304108v4 33 34 Bibliograf´ıa [18] F. Ares, J. G. Esteve, F. Falceto, E. S´anchez-Burillo, Excited states entanglement in homogeneous fermionic chains, J. Phys A: Math. Theor. 47 245301 (2014). arXiv: 1401.5922[quant-phys] [19] F. Ares, J. G. Esteve, F. Falceto, Entanglement of several blocks in fermionic chains, arXiv: 1406.1668[quant-phys] [20] C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek, Geometric and renormalized entropy in conformal field theory, Nucl. Phys. B 424, 443-467 (1994) arXiv: hep-th/9403108v1 [21] P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni, Entanglement entropy of two disjoint intervals in conformal field theory, J. Stat. Mech. P11001 (2009), arXiv: 0905.2069v2[hep-th] [22] F. C. Alcaraz, M. Ib´a˜nez Berganza, G. Sierra, Entanglement of low-energy excitations in CFT, Phys. Rev. Lett. 106, 101601 (2011) arXiv:1101.2881v2[condmat.stat-mech] [23] H. Bernigau, M. J. Kastoryano, J. Eisert, Area laws for thermal free fermions, arXiv:1301.5646 [quant-ph] [24] V. E. Korepin, Universality of entropy scaling in one dimensional gapless models, Phys. Rev. Lett. 92, 096402 (2004) arXiv: cond-mat/0311056v4 [25] P. Jordan, E. P. Wigner, About the Pauli exclusion principle, Zeitschrift fur Physik, 47,631–651 (1928) [26] M. E. Fisher, R. E. Hartwig, Toeplitz determinants, some applications, theorems and conjectures, Adv. Chem. Phys. 15, 333-353 (1968) [27] E. L. Basor, A localization theorem for Toeplitz determinants, Indiana Math. J. 28, 975-983 (1979) [28] L. E. Reichl, A modern course in Statistical Physics, University of Texas Press, 1988, ISBN 0-292-75080-3 pbk [29] M. Galassi et al, GNU Scientific Library Reference Manual, (3rd Ed.), ISBN 0954612078. http://www.gnu.org/software/gsl [30] E. Lieb, T. Schulz, D. Mattis, Two soluble models of an antiferromagnetic chain. Annals of Physics, 16, 407-466 (1961) [31] F. Igl´oi, R. Juh´asz, Exact relationship between the entanglement entropies of XY and quantum Ising chains Europhys. Lett. 81, 57003 (2008) arXiv:0709.3927 [condmat.stat-mech]