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Sincronizaci´on cu´antica, redes complejas y propuestas experimentales Ignacio Hermoso de Mendoza Naval 23 de junio de 2014 2 ´ Indice general 1. Sincronizaci´on: el modelo de Kuramoto cu´antico 9 1.1. La sincronizaci´on y el modelo de Kuramoto . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. El modelo de Kuramoto cu´antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Modelizaci´on experimental con uniones Josephson . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Otras topolog´ıas 17 2.1. Redes ...................................... 17 2.2. Sincronizaci´on en redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1. Redes Scale-Free y Erd¨os-Renyi: umbral cr´ıtico . . . . . . . . . . . 20 2.2.2. Redes estrella: Sincronizaci´on explosiva . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Sincronizaci´on cu´antica en redes 23 3.1. Kuramoto cu´antico en redes Scale-free y Erd¨os-R´enyi . . . . . . . . . . . . 24 3.2. Kuramoto cu´antico en redes estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1. Efecto de la cuanticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2. Efecto de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Conclusiones 31 3 4´ INDICE GENERAL Introducci´on El siguiente proyecto de fin de m´aster ha sido realizado bajo la direcci´on de los doctores Jes´us G´omez-Garde˜nes y David Zueco. Motivaci´on El fen´omeno de la sincronizaci´on es quiz´a el concepto de emergencia de comportamiento colectivo m´as interdisciplinario en la literatura sobre sistemas complejos, pues poco a poco ha sido adoptado por muchas ramas de las ciencias no solo naturales, sino tambi´en sociales. Grupos de mariposas, c´elulas y hasta personas tienden a sincronizarse cuando est´an lo suficientemente acoplados, produciendo estados macrosc´opicos din´amicamente coherentes. En todas estas situaciones, sin relaci´on aparente y de distinta naturaleza, existe una tendencia natural a que las unidades de dichos sistemas se comporten de forma homog´enea. Debido a esto, el estudio de reglas microsc´opicas que conducen a los sistemas hacia la sincron´ıa ha centrado la atenci´on de muchos trabajos te´oricos y experimentales durante d´ecadas [12, 13, 14]. La formulaci´on matem´atica de los primeros modelos acerca de fen´omenos de sincronizaci´on datan de los a˜nos 70, cuando tras algunos trabajos preliminares de Peskin y Winfree [16], Kuramoto [15] formaliz´o su famoso modelo. El modelo de Kuramoto incorpora los elementos din´amicos m´ınimos y abre el camino a comprender una gran variedad de fen´omenos f´ısicos relacionados con el surgimiento de sincronizaci´on. En particular, el modelo de Kuramoto relaciona fen´omenos como auto-organizaci´on, emergencia, orden temporal y transiciones de fase, revel´andose como el marco de trabajo m´as paradigm´atico para estudiar la sincronizaci´on, como nos revela la ingente cantidad de literatura dedicada a su estudio a lo largo de las ´ultimas d´ecadas [16, 17, 18]. Pese a la gran cantidad de literatura acerca del modelo de Kuramoto y sus variantes, su estudio siempre ha estado restringido al dominio cl´asico. A primera vista, dada la naturaleza (escala) usual de los sistemas en los que t´ıpicamente se observa la sincronizaci´on, parece superfluo pensar en una teor´ıa cu´antica para el modelo de Kuramoto. Sin embargo, no hay duda acerca de la importancia fundamental de estudiar las fluctuaciones cu´anticas en torno a la emergencia de estados sincronizados [26, 27, 28, 29]. 5 6´ INDICE GENERAL Figura 1: La frontera entre los dominios cl´asico y cu´antico, figura ilustrativa tomada de un art´ıculo de Zurek [2] M´as a´un, el modelo de Kuramoto ha sido implementado en circuitos y en estructuras micro y nanomec´anicas [30, 31], sistemas que de los que ya se ha estudiado el dominio cu´antico [33, 34]. A nivel cu´antico, la sincronizaci´on, entendida como la emergencia de comportamiento coherente a partir de una situaci´on incoherente en ausencia de campos externos, es un reminiscente de fen´omenos tales como la condensaci´on de Bose-Einstein y ha sido observada en condensados interactivos de cuasipart´ıculas [32, 35]. En este sentido, aunque la din´amica cu´antica normalmente encuentra espacio en cuanto trata con sistemas microsc´opicos y ordenados, la modelizaci´on de sistemas intr´ınsecamente cu´anticos bajo condiciones ruidosas solo ha sido tanteada recientemente en el contexto biof´ısico [21, 22] para explicar la emergencia de comportamiento cooperativo de unidades biol´ogicas cuya din´amica opera en el r´egimen cu´antico. Por tanto, motivados por su importancia fundamental y aplicada, hemos desarrollado recientemente una versi´on cu´antica del modelo de Kuramoto [1]. Nuestro modelo novel se apoya en la cuantizaci´on de sistemas abiertos en el marco del formalismo de la integral de camino de Feynman [23]. Esta versi´on cu´antica del modelo de Kuramoto incorpora un grado de cuanticidad como par´ametro, tal que que en el l´ımite cl´asico uno recupera el modelo cl´asico de Kuramoto. En dicho trabajo analizamos sus propiedades cr´ıticas derivando el punto cr´ıtico para el que aparece la sincronizaci´on y discutimos como las fluctuaciones cu´anticas afectan a esta transici´on de sincronizaci´on. Como aproximaci´on semicl´asica, el modelo de Kuramoto cu´antico desarrollado tiene ´ INDICE GENERAL 7 en cuenta las primeras fluctuaciones cu´anticas y sus resultados representan el primer paso hacia el estudio de la sincronizaci´on en sistemas extendidos al dominio cu´antico. La consecuencia m´as importante de este primer trabajo fue que la cuanticidad retrasa la aparici´on del estado sincronizado. La explicaci´on de este efecto subyace en el hecho de que en el dominio cu´antico las fases no solo tienen frecuencias naturales diferentes, sino que adem´as las fluctuaciones en torno a las trayectorias cl´asicas son diferentes dependiendo de esos ritmos internos. Si bien obtuvimos un efecto y una explicaci´on para este, nuestro estudio del modelo de Kuramoto cu´antico qued´o restringido a un tipo de red de osciladores extremadamente sencillo: un sistema de osciladores donde todos interaccionan con todos. Por una parte, este un sistema dif´ıcil de encontrar en la naturaleza, donde las redes de interacciones suelen ser m´as complejas. Por otra parte, estas otras topolog´ıas poseen una gran riqueza [8, 9, 10, 11] y resulta de gran inter´es conocer como se ver´an afectados estos efectos por su inmersi´on en el dominio cu´antico. Resumen El objetivo de este trabajo es la aplicaci´on de nuestro modelo de Kuramoto cu´antico en otras topolog´ıas de red. Adem´as de presentar un comportamiento no trivial, algunas redes pueden implementarse con gran facilidad en el laboratorio, lo que nos abre la puerta a la realizaci´on experimental de nuestro modelo en estas redes. Dividiremos este proyecto de la siguiente forma: 1. Una introducci´on al modelo de Kuramoto y una s´ıntesis de su an´alogo cu´antico, sus ecuaciones y los resultados obtenidos en el trabajo anterior [1] debidamente interpretados, para poder comprender correctamente los nuevos resultados. Tambi´en presentamos c´omo se puede implementar experimentalmente el modelo descrito. 2. Una descripci´on de las topolog´ıas en las que vamos a aplicar el modelo cu´antico: La red homog´enea de Erd¨os-R´enyi, la red heterog´enea de Barabasi-Albert y la red estrella. Tambi´en resumiremos los resultados m´as relevantes de la muy estudiada [8, 9, 10, 11] aplicaci´on del modelo de Kuramoto cl´asico a estas redes. 3. Aplicaremos el algoritmo num´erico de Kuramoto cu´antico, debidamente adaptado, a las redes descritas anteriormente. Buscaremos diferencias con el resultado para la red completa usada en el modelo original y resultados no triviales. 8´ INDICE GENERAL Cap´ıtulo 1 Sincronizaci´on: el modelo de Kuramoto cu´antico 1.1. La sincronizaci´on y el modelo de Kuramoto Como punto de partida hemos de tomar la ecuaci´on original de Kuramoto. Este modelo considera un conjunto de N osciladores en el que asumimos que la escala de tiempo caracter´ıstica para sus amplitudes es mucho m´as veloz que para las fases, por lo que el oscilador ise mueve en un ciclo l´ımite. Su estado din´amico es descrito entonces por una variable angular θi∈(0,2π] cuya evoluci´on temporal dada por: ˙ θi=ωi+ N X j=1 Jij sin(θj−θi) (1.1) En esta ecuaci´on, ωidenota la frecuencia natural del oscilador iyJij son los elementos de una matriz b Jque denota el acoplamiento entre los distintos osciladores. En el modelo de uso m´as general, todos los osciladores se acoplan con la misma fuerza J/N de forma que la matriz b Jes producto de la fuerza de acoplamiento o acoplo Jnormalizada con el n´umero de sumandos Ny la matriz de adyacencia b A, matriz de 0’s y 1’s que denota cu´ales osciladores interaccionan entre s´ı (veremos este concepto en el siguiente cap´ıtulo), de tal forma que b J=J Nb A. En el l´ımite desacoplado (J= 0) cada elemento ioscila en el ciclo l´ımite con su frecuencia natural. Kuramoto demostr´o que incrementando el acoplamiento Jel sistema experimenta una transici´on hacia la sincronizaci´on completa, un estado din´amico en el cual θi(t) = θj(t)∀i, j y∀t. Esta transici´on aparece cuando la fuerza de acoplamiento supera un valor cr´ıtico JCcuyo valor depende de las caracter´ısticas de la red (de las que hablaremos en el siguiente cap´ıtulo) y del sistema, como la distribuci´on de frecuencias 9 16 CAP´ ITULO 1. SINCRONIZACI ´ ON: EL MODELO DE KURAMOTO CU ´ ANTICO Cap´ıtulo 2 Otras topolog´ıas 2.1. Redes La abstracci´on matem´atica de una red es un grafo ς(N, M) que comprende un conjunto de N nodos (o v´ertices) conectados por un conjunto de M enlaces (o ejes), siendo kiel grado o conectividad (n´umero de enlaces) del nodo i. Este grafo es representado mediante la matriz de adyacencia b A, con elementos aij = 1 representando la existencia de un enlace dirigido de jaiyaij = 0 si no existe enlace. En el caso m´as general de una red ponderada, se caracteriza mediante una matriz c Wcuyos elementos wij representan la fuerza (o peso) del enlace de jai. Un caso muy com´un es una red donde todos los enlaces son rec´ıprocos, de forma que la matriz b Aes sim´etrica (as´ı son las redes con las que vamos a trabajar). La investigaci´on de las propiedades estad´ısticas de muchas redes complejas revela que, pese a representar sistemas muy diferentes, es posible categorizarlas de varias formas. La m´as representativa de estas propiedades es la distribuci´on de grado P(k), que indica la probabilidad de que un nodo tenga un grado k. La diferenciaci´on entre redes homog´eneas y heterog´eneas en grado est´a asociada en general a la cola de la distribuci´on P(k). Si en una red la distribuci´on decae exponencialmente con el grado nos estamos refiriendo a una red homog´enea, siendo el ejemplo m´as representativo el grafo aleatorio de Erd¨os-R´enyi (ER), construido asociando una probabilidad pde que cada enlace posible exista. ´ Este entra dentro de una categor´ıa de redes llamada Small World (SW), caracterizadas por la capacidad de alcanzar cualquier punto de la red en pocos pasos desde cualquier otro, que se construyen partiendo de un anillo de nodos conectados a sus vecinos hasta cierto orden (determinado por el grado medio hki) y asignando una probabilidad qde liberar y reasociar un enlace. En el l´ımite q→1, tenemos la red ER. Por contra, cuando la cola de la distribuci´on es ancha decimos que la red es hete17 18 CAP´ ITULO 2. OTRAS TOPOLOG´ IAS Figura 2.1: Distribuciones de grado o conectividad para las redes (a) Erd¨os-R´enyi y (b) Barab´asi-Albert. Ambas redes tienen la misma conectividad media hki= 4 y la misma cantidad de nodos N= 1000. rog´enea. En particular, las redes Scale Free (libres de escala, SF) son un tipo de redes cuya distribuci´on de grado es potencial, P(k)∼k−η, siendo el modelo de Barab´asi-Albert (BA) el m´as paradigm´atico en este tipo de grafos, que cumple η= 3. Esta red se construye mediante un mecanismo en donde a˜nadimos nodos que se enlazan preferencialmente con los ya existentes seg´un la cantidad de enlaces que ya tengan (la cantidad de enlaces de cada nuevo nodo determina hki, sin alterar η). Esto puede dar lugar a la existencia de hubs, nodos con una conectividad mucho m´as elevada que la conectividad media. Dos de la redes con las que vamos a trabajar van a ser las redes ER y BA. En concreto, usaremos dos redes de N= 1000 nodos y un mismo grado o conectividad media hki= 4, que han de tener para poder establecer una comparaci´on entre ´estas. Una representaci´on de la distribuci´on de grado para estas dos redes puede verse en la figura 2.1. Otra de las redes con las que trabajaremos es la llamada red estrella. Esta red consiste en un nodo central i=Nque conecta con todos los dem´as, mientras que estos ´ultimos (nodos perif´ericos i= 1, ..., N −1) s´olo conectan con el nodo central, lo que naturalmente fija las conectividades como kN=N−1 par el nodo central y ki= 1 (i= 1, ..., N −1) para los perif´ericos. Esta red estrella resulta atractiva por su simplicidad para el an´alisis Figura 2.2: Red estrella: un nodo central (azul) conectado con todos los knodos perif´ericos (rojos) que solo conectan con el central. 2.2. SINCRONIZACI ´ ON EN REDES 19 te´orico y num´erico. Adem´as, representa en primera aproximaci´on a las redes heterog´eneas (como las redes SF) presentando muchos de los efectos (como la sincronizaci´on explosiva de la que hablaremos en la siguiente secci´on) caracter´ısticos en las redes libres de escala. M´as a´un, el an´alisis de esta red estrella, por ser aparentemente sencilla de implementar en un experimento, puede dar indicios de c´omo observar los efectos cu´anticos sobre la sincronizaci´on en el laboratorio. Podemos ver una ilustraci´on de este tipo de red en la figura 2.2. Concretamente, nosotros utilizaremos una red estrella de N= 31 nodos. 2.2. Sincronizaci´on en redes El modelo de Kuramoto se implementa en redes complejas [19] mediante la definici´on de la matriz de adyacencia b Aen la ecuaci´on 1.1, donde b J=J Nb A. En el modelo original el t´ermino de acoplamiento es una magnitud intensiva debido a que la dependencia en la magnitud del sistema se cancela al normalizarse con 1 N. Este prescripci´on resulta esencial para el an´alisis del sistema en el l´ımite termodin´amico N→ ∞ para la red completa, donde los osciladores enlazan todos con todos. Sin embargo, esta elecci´on para las ecuaciones del modelo de Kuramoto en otros tipos de redes las hace dependientes de N. Por tanto, en el l´ımite termodin´amico, el t´ermino de acoplamiento tiende a cero excepto en aquellos nodos cuyo grado escale con N. Hay que notar que la existencia de estos nodos solo es posible en redes con una distribuci´on de grado potencial, pero aun as´ı esto ocurre con una probabilidad muy peque˜na que va con k−η, siendo η > 2 [8]. En estos casos las soluciones independientes de Nse recuperan, pero con ligeras diferencias en el umbral de la sincronizaci´on de redes completas y de redes Scale Free. Una segunda posible elecci´on consiste en tomar Jij =J kiaij, de forma que tenemos una interacci´on ponderada que hace que el acoplamiento sea intensivo. Esta forma se ha usado para resolver la paradoja de la heterogeneidad, consistente en que la heterogeneidad en la distribuci´on de grado, que a menudo reduce la distancia media entre nodos, puede suprimir la sincronizaci´on en redes de osciladores sim´etricamente acoplados con una fuerza de acoplo uniforme. Este resultado afecta a la estabilidad del estado plenamente sincronizado, pero no a la dependencia que el par´ametro de orden tiene en la fuerza de acoplo. Adem´as, la inclusi´on de pesos en la interacci´on altera fuertemente la din´amica original de Kuramoto en redes complejas, pues puede imponer una din´amica homog´enea que enmascara la aut´entica heterogeneidad topol´ogica de la red. Por ello, para comparar apropiadamente redes de distinta heterogeneidad, se toma simplemente Jij =Jaij. Esto nos deja la ecuaci´on original de Kuramoto de la forma: ˙ θi=ωi+J N X j=1 aij sin(θj−θi).(2.1) 20 CAP´ ITULO 2. OTRAS TOPOLOG´ IAS Esta es la elecci´on m´as com´un al tratar con redes complejas, incluso si no nos centramos en el estudio de la heterogeneidad. Por ello es la forma que tomaremos para b J. 2.2.1. Redes Scale-Free y Erd¨os-Renyi: umbral cr´ıtico Los primeros trabajos de aplicaci´on del modelo de Kuramoto en redes se hicieron sobre redes SW [20, 36, 37] y BA [38, 39]. En [37] los autores construyeron distribuciones de frecuencias Gaussianas con varianza unidad en una red SW. Encontraron que la sincronizaci´on aparec´ıa con Jfinito incluso para valores casi nulos de la probabilidad de reenlazado q. En particular, haciendo q= 1, recuperaban la red ER y dejando aumentar en esta la conectividad media se iba aproximando a los resultados del l´ımite de Kuramoto (hki=N−1, la red completa). En [38] se consideraba el mismo problema para las redes BA. Las frecuencias naturales eran distribuidas uniformemente en un intervalo (−1/2,1/2) y se encontraba que la din´amica global del sistema resultaba ser cualitat´ıvamente la misma que para el modelo original de Kuramoto. La existencia de un punto cr´ıtico para el modelo de Kuramoto en redes SF fue una sorpresa. Este es uno de los pocos casos en que un proceso din´amico muestra comportamiento cr´ıtico cuando la topolog´ıa es descrita por una distribuci´on de conectividad potencial con un exponente η= 3. Aunque al principio lo aparentaba, las simulaciones demostraron que no se trataba de un efecto por tama˜no finito. Para conocer cu´al es el efecto de la heterogeneidad escogemos las dos redes representativas de los casos l´ımite de homogeneidad y de heterogeneidad, que son las redes ER y BA, respectivamente. Para compararlas apropiadamente han de tener como ya coment´abamos la misma conectividad media, adem´as de la misma distribuci´on de frecuencias, el mismo tama˜no y las simulamos con los mismos par´ametros externos, por lo tanto a la misma Figura 2.3: (a)Curvas de sincronizaci´on para las redes Erd¨os-Renyi y Barab´asi-Albert, con la misma distribuci´on g(ω) y a la misma temperatura β= 5. (b) Distribuci´on de Cauchy-Lorentz g(ω). 2.2. SINCRONIZACI ´ ON EN REDES 21 temperatura. Podemos ver una comparaci´on de las curvas de sincronizaci´on en la figura 2.3, usando una distribuci´on de frecuencias de Cauchy-Lorentz, de media cero y varianza unidad (la misma que usamos en la red completa). Ambas redes presentan una transici´on de segundo orden hacia un estado sincronizado, el efecto de la heterogeneidad adelanta el comienzo de la transici´on a un acoplo menor. 2.2.2. Redes estrella: Sincronizaci´on explosiva La implementaci´on del modelo de Kuramoto en las redes estrella da lugar a un interesante efecto basado en una correlaci´on frecuencia-conectividad [9, 10]. Cuando las frecuencias de los osciladores son proporcionales a sus conectividades ωi∼ki, aparece una transici´on de fase de primer orden en la sincronizaci´on, que llamamos sincronizaci´on explosiva. Este fen´omeno (cambio en el orden de la transici´on a la sincronizaci´on) se debe al hecho de que en redes heterog´eneas (con frecuencias arbitrariamente distribuidas en los nodos) los nodos m´as conectados (hubs) gu´ıan la sincronizaci´on del sistema siendo los primeros en ajustarse a la frecuencia media (la frecuencia de sincronizaci´on). Al imponer una correlaci´on positiva entre la frecuencia y el n´umero de conexiones de un nodo, estamos asignando una frecuencia muy distinta de la frecuencia media a los hubs, y por tanto entorpeciendo su labor como mediadores de la sincronizaci´on. Como resultado obtenemos un retraso considerable en el punto cr´ıtico y, como subproducto, una transici´on abrupta (de primer orden). Adem´as, esta transici´on de primer orden en el par´ametro de sincronizaci´on rpresenta una hist´eresis que se ensancha al aumentar N, es decir, al aumentar el n´umero de nodos perif´ericos en la estrella [9]. Este ciclo de hist´eresis, como se muestra en la figura 2.4, describe la siguiente fenomenolog´ıa. Partiendo de un estado coherente, el sistema caer´a a un Figura 2.4: Diagrama de sincronizaci´on r(J) para una red estrella de N= 31 nodos. En la figura se muestra el ciclo de hist´eresis en la red con β= 5: El sistema tiene un acoplo umbral para sincronizarse (l´ınea roja) mayor que el acoplo umbral para desincronizarse (l´ınea azul). 22 CAP´ ITULO 2. OTRAS TOPOLOG´ IAS estado incoherente para un acoplo J < Jc1, donde llamamos a Jc1umbral inferior. Cuando el sistema se encuentra en un estado incoherente, se sincroniza para valores del acoplo J > Jc2, siendo Jc2el umbral superior. Dado que entre estos valores las dos soluciones coherente e incoherente son estables, nos referimos a este intervalo como zona biestable o de hist´eresis. Recientemente, se ha observado que el fen´omeno de sincronizaci´on explosiva es robusto a la introducci´on de desorden en las frecuencias (ωi=ki±) revelando incluso que el desorden aumenta la regi´on biestable, es decir, la anchura del ciclo de hist´eresis [8]. Podemos ver un ejemplo de la hist´eresis en la figura 2.4. Esta es una simulaci´on hecha con un oscilador central y treinta perif´ericos, asignando a cada oscilador su grado como frecuencia, es decir ωi= 1 (i= 1, ..., N −1) y ωN= 30. Utilizamos una temperatura correspondiente a β= 5. Si partimos del estado incoherente y aumentamos el acoplo J, obtenemos una curva diferente que si partimos del estado coherente y disminuimos el acoplo. Cap´ıtulo 3 Sincronizaci´on cu´antica en redes Introducidos los conceptos del modelo de Kuramoto cu´antico y la sincronizaci´on en redes complejas, podemos cruzar ambos conceptos entre s´ı. Esto lo hacemos de forma num´erica, implementando las ecuaciones del modelo de Kuramoto cu´antico (1.9) en las topolog´ıas de nuestras redes. Ya fueron realizadas simulaciones num´ericas en el anterior estudio del modelo en la red completa [1], por lo que basta adaptar el programa usado anteriormente. Aunque parece sencillo, hay que tener en cuenta algunas dificultades. Como describimos en el cap´ıtulo anterior, para conservar la heterogeneidad de la red necesit´abamos usar las ecuaciones de Kuramoto (2.1) sin normalizar. Esto supone que para nodos con una alta conectividad en relaci´on con el grado medio de la red, los que llam´abamos hubs, la ecuaci´on tiene muchos sumandos y al no normalizarse dar´a valores num´ericamente grandes. El problema radica en el factor (1.10), que afecta a todos los t´erminos de la ecuaci´on 1.9: en los hubs este factor exponencial puede llegar a dispararse a valores muy grandes, que si bien son v´alidos nos obligan a usar una din´amica temporal con un paso temporal dt muy peque˜no. Este problema podr´ıa solucionarse mediante un m´etodo de Runge-Kutta adaptativo, sin embargo el algoritmo que se usa no es adaptable a uno de estos m´etodos. El motivo es que la presencia de (1.10) en el t´ermino del ruido estoc´astico en (1.9) supone que el ruido depende del estado del sistema, por lo que no es ruido aditivo sino multiplicativo. Esto supone la necesidad de usar un algoritmo de ruido multiplicativo [3] que no podemos abandonar para usar un algoritmo de Runge-Kutta adaptativo. Debido a esto la soluci´on pasa por a˜nadir un algoritmo propio consistente en medir las velocidades obtenidas de las ecuaciones din´amicas y aceptar o repetir el paso, cambiando el paso temporal seg´un sea necesario. Esto limita en la pr´actica algunos de los par´ametros que podemos usar, pues seg´un que combinaci´on de par´ametros usemos los tiempos de simulaci´on pueden dispararse de forma excesiva. La ecuaci´on (1.9) es el equivalente adimensional al que implementamos en la simula23 24 CAP´ ITULO 3. SINCRONIZACI ´ ON CU ´ ANTICA EN REDES ci´on. Esta adimensionalizaci´on hace desaparecer los par´ametros myγque aparecen en la ecuaci´on, por lo que no hay necesidad de preocuparse por sus valores. Los ´unicos valores que cambiaremos en las simulaciones ser´an: La cuanticidad λ, que mide la inmersi´on del sistema en el dominio cu´antico. La temperatura, a trav´es de β=1 kBT. El acoplo J, que cambiamos poco a poco durante una simulaci´on sin reiniciar el estado del sistema. Los dem´as posibles par´ametros, como el tipo y tama˜no de las redes y la distribuci´on de frecuencias g(ω) las mantenemos fijas dentro de cada una de las siguientes secciones. 3.1. Kuramoto cu´antico en redes Scale-free y Erd¨osR´enyi Las primeras redes en las que implementamos el modelo de Kuramoto cu´antico son las redes ER y BA, con ´animo de buscar alguna influencia que la heterogeneidad puede tener sobre el efecto cu´antico. Como ya hemos dicho, en la red completa este efecto consist´ıa en un desplazamiento hacia la decoherencia del sistema cl´asico. Para comparar ambas redes, usamos en ambas la misma distribuci´on de frecuencias g(ω) de Cauchy-Lorentz con media cero y varianza unidad que utiliz´abamos en el ejemplo del caso cl´asico en la figura 2.3b. Ambas redes contienen N= 1000 osciladores y las Figura 3.1: Curvas de sincronizaci´on cl´asica (rojo) y cu´antica (azul) en las dos redes (a) Erd¨os-R´enyi y (b) Barabasi-Albert. Todas las curvas tienen β= 1 y las curvas cu´anticas λ= 0,05. 3.2. KURAMOTO CU ´ ANTICO EN REDES ESTRELLA 25 mismas distribuciones de grado P(k) que ten´ıamos en 2.1. Para comprobar el efecto del par´ametro cu´antico comparamos el resultado obtenido con λ= 0,05 con el anterior que obten´ıamos en el caso cl´asico, cuando λ= 0. El resultado puede verse en la figura 3.1. El resultado es el mismo que obten´ıamos en la red completa, la cuanticidad retrasa la sincronizaci´on de una forma similar. Dado que en el caso cl´asico la sincronizaci´on en ambas redes era similar a la de la red completa, esto no es una gran sorpresa. 3.2. Kuramoto cu´antico en redes estrella Simulamos ahora una red estrella de 31 osciladores (1 oscilador central y 30 perif´ericos) con una distribuci´on de frecuencias correlacionada con la distribuci´on de grado: ωi= 1 y ωj= 30. Es decir, la misma distribuci´on que us´abamos en el caso cl´asico. El motivo de usar una red de peque˜no tama˜no es que disminuye el efecto que tiene el hub sobre la velocidad del sistema, un efecto puramente num´erico. Adem´as, no se detect´o un comportamiento diferente al cambiar el tama˜no del sistema, m´as all´a del incremento considerable de los tiempos de simulaci´on a causa del hub. De esta forma podemos permitirnos barrer un espectro m´as amplio de par´ametros, d´andonos un mejor entendimiento de lo que sucede en las redes heterog´eneas. Veamos ahora los efectos encontrados al implementar las ecuaciones cu´anticas en el sistema. Figura 3.2: Desplazamiento con la cuanticidad de la curva de sincronizaci´on r(Jobtenida al aumentar J partiendo de un estado incoherente, para β= 5. 32 CAP´ ITULO 4. CONCLUSIONES ducir la topolog´ıa de la red estrella no es trivial y todav´ıa no nos ha sido posible dise˜nar uno, pero es una de nuestras prioridades para la continuaci´on de este trabajo. Asimismo, exploraremos (una vez observado en la red estrella) la existencia de este r´egimen t´unel en redes heterog´eneas, dado que la topolog´ıa estrella supone una aproximaci´on a primer orden de la heterogeneidad en grado presente en redes libres de escala. Por supuesto, otra posible l´ınea de ampliaci´on ser´ıa estudiar m´as topolog´ıas aparte de las ya tratadas en este trabajo. Lo que en un principio era un resultado modesto para nuestro modelo cu´antico, un peque˜no desplazamiento hacia la desincronizaci´on, ha demostrado tener un gran potencial. La aplicaci´on del modelo a otras redes podr´ıa darnos nuevos efectos de inter´es. Hemos de mencionar otra v´ıa de ampliaci´on con la que empezamos a trabajar pero no lleg´o lo bastante lejos como para poder incluirse en este proyecto. Se trata de una ampliaci´on de otro modelo de sincronizaci´on, el modelo de van der Pol, que se ha llevado ya al dominio cu´antico [40]. La idea consist´ıa en a˜nadir nuevos t´erminos al modelo cl´asico y cuantizarlo de forma an´aloga, implementarlo en simulaciones num´ericas y relacionar los resultados con el modelo de Kuramoto, el cual es un caso l´ımite del modelo de van der Pol. En definitiva, hemos obtenido un prometedor resultado para el estudio de la influencia de la topolog´ıa de interacciones en nuestro modelo de Kuramoto cu´antico, habi´endonos apenas adentrado en la riqueza que la heterogeneidad a˜nade al modelo usual (todos-contodos). Este resultado nos anima a seguir profundizando en el modelo por esta y otras v´ıas como las ya se˜naladas arriba. Bibliograf´ıa [1] I. H. de Mendoza, L. A. Pach´on, J. G´omez-Garde˜nes y D. Zueco, The Quantum Kuramoto Model. arXiv:1309.3972. [2] W. H. Zurek Decoherence and the Transitionfrom Quantumto Classical. Los Alamos Science 22 (2002). [3] C. R. Doerin, K. V. Sargsyan y P. Smereka, A numerical method for some stochastic differential equations with multiplicative noise. Physics Letters A 334, 149-155 (2005). [4] J. T. Ariaratnam y S. H. Strogatz, Phase diagram for the Winfree model of coupled oscillators. Physical Review Letters 86, 4278 (2001). [5] K. Wiesenfeld, P. Colet y S. H. Strogatz, Frequency locking in Josephson arrays: Connection with the Kuramoto model. Physical Review E 57, 1563 (1998). [6] B. C. Daniels, S. T. M. Dissanayake y B. R. Trees, Synchronization of coupled rotators: Josephson junction ladders and the locally coupled Kuramoto model. Physical Review E 67, 026216 (2003). [7] B. R. Trees, V. Saranathan y D. Stroud, Synchronization in disordered Josephson junction arrays: Small-world connections and the Kuramoto model. Physical Review E71, 016215 (2005). [8] S. Skardal y A. Arenas, Disorder induces explosive synchronization. arXiv:1404.0883v3 [9] J. G´omez-Garde˜nes, S. G´omez, A. Arenas y Y. Moreno, Explosive Synchronization Transitions in Scale-Free Networks. Physical Review Letters 106, 128701 (2011) [10] B. C. Coutinho, A. V. Goltsev, S. N. Dorogovtsev y J. F. F. Mendes, Kuramoto model with frequency-degree correlations on complex networks. arXiv:1211.5690v2 [11] A. Arenas, A. D´ıaz-Guilera, J. Kurths, Y. Moreno y C. Zhou, Synchronization in complex networks. arXiv:0805.2976v3 [12] A. Pikovsky, M. Rosenblum, y J. Kurths, Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press (2001). 33 34 BIBLIOGRAF´ IA [13] S. C. Manrubia, A. S. Mikhailov y D. H. Zanette, Emergence of Dynamical Order World Scientific, (2004). [14] S. Boccaletti. The Synchronized Dynamics of Complex Systems. Elsevier, (2008). [15] Y. Kuramoto y H. Arakai, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics. Lecture Notes in Physics 39, 420 (1975). [16] S. H. Strogatz, From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators. Physica D 143, 1–20 (2000). [17] S. Nadis, Complex systems: All together now. Nature 421, 780 (2003). [18] L. L. Bonilla, C. J. P. Vicente y F. Ritort, The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena. Reviews of Modern Physics 77, 137 (2005). [19] A. Arenas, A. D´ıaz-Guilera, J. Kurths, Y. Moreno y C. Zhou, Synchronization in complex networks. Physical Review Letters 469, 93 (2008). [20] D. J. Watts y S. H. Strogatz, Collective dynamics of ’small-world’ networks. Nature 393, 440–442 (1998). [21] G. S. Engel, T. R. Calhoun, E. L. Read, T. K. Ahn, T. Mancal, Y. Ch. Cheng, R. E. Blankenship y G. R. Fleming, Evidence for wavelike energy transfer through quantum coherence in photosynthetic systems. Nature 446, 782 (2007). [22] H. J. Briegel y S. Popescu, Entanglement and intra-molecular cooling in biological systems? - A quantum thermodynamic perspective. Cornell University Library, arXiv:0806.4552 (2008). [23] A. O. Caldeira y A. J. Leggett, Quantum tunnelling in a dissipative system. Annals of Physics 149, 374 (1983). [24] L. Machura, M. Kostur, P. Talkner, J. Luczka, y P. H¨anggi, Quantum diffusion in biased washboard potentials: Strong friction limit. Physical Review E 73 031105 (2006). [25] H. Sakaguchi Cooperative Phenomena in Coupled Oscillator Systems under External Fields. Progress of Theoretical Physics 79 39 (1988). [26] A. Mari, A, Farace, N. Didier, V. Giovannetti y R. Fazio, Measures of quantum synchronization in continuous variable systems. arXiv:1304.5925. [27] O. V. Zhirov y D. L. Shepelyansky, Synchronization and bistability of qubit coupled to a driven dissipative oscillator. Physical Review Letters 100, 014101 (2008). [28] Y. Liu, P. Piechon y J. N. Fuchs, Quantum loss of synchronization in the dynamics of two spins. arXiv:1303.5564. [29] G. L. Giorgi, F. Galve, G. Manzano, P. Colet y R. Zambrini, Quantum correlations and mutual synchronization. Physical Review A 85, 052101 (2012). BIBLIOGRAF´ IA 35 [30] M. H. Matheny, M. Grau, L. G. Villanueva, R. B. Karabalin, M.C. Cross y M.L. Roukes, Synchronization of two anharmonic nanomechanical oscillators. arXiv:1305.0815. [31] K. L. Turner, S. A. Miller, P. G. Hartwell, N. C. MacDonald, S. H. Strogatz y S. Adams, Five parametric resonances in a microelectromechanical system. Nature 396, 149–152 (1998). [32] A. Baas, K. G. Lagoudakis, M. Richard, R. Andr´e, S. L. Dang y B. Deveaud-Pl´edran, Synchronized and Desynchronized Phases of Exciton-Polariton Condensates in the Presence of Disorder. Physical Review Letters 100, 170401 (2008). [33] M. D. LaHaye, O. Buu, B. Camarota y K.C. Schwab, Approaching the Quantum Limit of a Nanomechanical Resonator. Science 304, 74–77 (2004). [34] A.D. O’Connell, M. Hofheinz, M. Ansmann, R.C. Bialczak, M. Lenander, E. Lucero, M. Neeley, D. Sank, H. Wang, M. Weides, J. Wenner, J.M. Martinis y A.N. Cleland, Quantum ground state and single-phonon control of a mechanical resonator. Nature 464, 697–703 (2010). [35] P. Cristofolini, A. Dreismann, G. Christmann, G. Franchetti, N. G. Berloff, P. Tsotsis, Z. Hatzopoulos, P. G. Savvidis, J. J. Baumberg, Optical Superfluid Phase Transitions and Trapping of Polariton Condensates. Physical Review Letters 110, 186403 (2013). [36] D. J. Watts, Small Worlds: The Dynamics of Networks between Order and Randomness. Princeton University Press, 1999. [37] H. Hong, M. Y. Choi y B. J. Kim, Synchronization on small-world networks. Phys. Rev. E 65, 026139 (2002). [38] Y. Moreno y A. F. Pacheco, Synchronization of Kuramoto oscillators in scale-free networks. Europhys. Lett. 68, 603-–609 (2004). [39] Y. Moreno, M. V´azquez-Prada, A. F. Pacheco, Fitness for synchronization of network motifs. Physica A 343, 279-–287 (2004). [40] T. E. Lee y H. R. Sadeghpour, Quantum Synchronization of Quantum van der Pol Oscillators with Trapped Ions. Physical Review Letters 111, 234101 (2013).