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El teorema espectral de operadores normales acotados Iuliana Alexandra Loiszli Trabajo de fin del grado de Matemáticas Universidad de Zaragoza Prólogo El teorema espectral es de gran importancia en la teoría de operadores acotados sobre espacios de Hilbert. El propósito de este trabajo es proporcionar una descripción espectral completa de la estructura de los operadores normales. Mucha de la información sobre un operador lineal Tse obtiene estudiando el operador T−λI, en donde Ies el operador identidad y λes un número complejo. Por otra parte, a veces, el inverso de un operador es más importante que el propio operador. En particular, la teoría espectral estudia el operador inverso (T−λI)−1,cuando éste existe. En el caso finito dimensional, se tiene que dada una aplicación lineal T:Cn→Cn, su comportamiento viene determinado por los valores {Te1,...,Ten},siendo {e1,...,en}una base de Cn.En este caso la matriz A= (aij)i,j=1,...,ndefinida por Tei= n ∑ j=1 ajiej,i=1,...n(1) representa la aplicación T.Si λes tal que (T−λI)−1no existe, entonces λrecibe el nombre de valor propio de T.Estos valores propios son precisamente las raíces de la ecuación característica det(A−λI) = 0 (donde el operador Tse identifica con su matriz asociada A). Se llama vector propio correspondiente al valor propio λa todo vector no nulo x∈Cnque cumple que Tx =λx. El teorema tiene raíces en Álgebra Lineal, donde se establece que si Hes un espacio de Hilbert sobre Cde dimensión n,un operador lineal T:H→Hes diagonalizable si y sólo si existe una base del espacio H,formada por los vectores propios de T,de manera que la matriz de representación de Trespecto a la dicha base sea diagonal. Los elementos diagonales λ1,...λnson los valores propios correspondientes. Además, entonces el espacio Hse puede poner H=ker(T−λ1I)⊕ker(T−λ2I)⊕···⊕ker(T−λnI).(2) La suma anterior es la suma directa ortogonal. Esta descomposición permite dar una descripción de T en sus elementos básicos. Cada x∈Hse puede escribir de manera única como x= n ∑ k=1 xk,con xk∈ker(T−λkI),1≤k≤n, con lo cual Tx = n ∑ k=1 λkxk. Siendo Pkla proyección ortogonal de Hsobre ker(T−λkI),1≤k≤n,entonces resulta la descomposición espectral de T: T= n ∑ k=1 λkPk.(3) En particular, la anterior descripción es aplicable a cualquier operador Tnormal, pues está demostrado que una matriz normal es diagonalizable. III IV Capítulo 0. Prólogo La descomposición anterior del espacio Hen términos del operador T,y la representación del mismo Ten sus elementos básicos, dada en (2), son de utilidad teórica y practica. Es por tanto de mucho interés extender (1) y (2) para operadores normales en espacios de dimensión infinita. En este caso existe la dificultad de que en general un operador normal puede no tener valores propios. Sin embargo es posible generalizar (1) y (2) con una adecuada interpretación de la representación anterior. En vez de utilizar proyecciones ortogonales sobre los subespacios ker(T−λI)se emplearán medidas espectrales; y en lugar de la suma se utilizará la integral. A continuación se da una breve descripción de esta generalización. Se considera un operador autoadjunto T,ya que sus valores propios son números reales y por lo tanto se pueden ordenar de una manera natural: λ1<λ2<··· <λn.Se usan las proyecciones Pkde la fórmula (3) para definir otras nuevas: Eλ0=0, Eλ1=P1, Eλ2=P1+P2, ... Eλn=P1+P2+···+Pn. Por lo tanto, (3) se puede reescribir de la siguiente manera: T=λ1(Eλ1−Eλ0)+λ2(Eλ2−Eλ1)+···+λn(Eλn−Eλn−1) = n ∑ k=1 λk(Eλk−Eλk−1). Denotando Eλk−Eλk−1por ∆Eλkse tiene que T= n ∑ k=1 λk∆Eλk, lo cual sugiere una representación integral de la forma T=ZλdEλ. Siguiendo esta idea, la descomposición espectral del operador Tpuede extenderse también en el contexto de los espacios de dimensión infinita. Un resultado semejante se obtendrá para operadores normales. El contenido de este trabajo se divide en tres partes: En el primer capítulo (Álgebras de Banach) el objetivo es dar definiciones, propiedades y teoremas clásicos de la teoría de Gelfand de las álgebras de Banach conmutativas que son necesarios para la teoría espectral que se presenta después. El segundo capítulo está dedicado a la teoría espectral de operadores normales acotados que mediante el cálculo funcional relacionado con la teoría de las C∗-álgebras presentada en el primer capítulo, nos llevará a varios enfoques del teorema espectral. Se discutirán algunas propiedades de los operadores normales acotados, incluyendo la representación espectral de los mismos. El último capítulo, empieza con algunas propiedades de los operadores normales que son consecuencias inmediatas del teorema espectral. Después se presentan algunas aplicaciones para operadores normales compactos, como por ejemplo, la alternativa de Fredholm para la resolución de ecuaciones. El teorema espectral de operadores acotados Summary The spectral theorem is of great importance in the theory of bounded operators on a infinite dimensional complex Hilbert space. The purpose of this paper is to provide a complete description of the structure of normal operators, which is very useful in applications. The content of this paper is divided into three parts: In the first chapter the spectral theory for Banach algebras is outlined, including the GelfandNaimark theorem for commutative C∗-algebras. The second chapter deals with continous functional calculus, which is relevant in the theory of C∗-algebras presented in first chapter. Resolutions of the identity or spectral measures are introduced; and finally the spectral theorem for bounded normal operators on a Hilbert space is given. Some important applicactions are showed in the third chapter. CONTENTS 1. Banach Algebras 1.1 Preliminaries 1.2 Gelfand representation 2. Spectral theory of bounded normal operators 2.1 Continuous functional calculus for normal operators 2.2 Spectral measure 2.3 The Spectral Theorem 3. Applications 3.1 Basis properties 3.2 Eigenvalues of normal operators 3.3 Applications to equations with compact normal operators 3.4 Fredholm integral equations 1. Banach Algebras 1.1. Preliminaries ABanach algebra is a Banach space Aover the complex field Cwhich posesses an associative, distributive multiplication, satisfying the following properties for all x,y∈A,α∈C: α(xy) = (αx)y=x(αy)ykxyk≤kxkkyk. V VI Capítulo 0. Summary If Acontains a unit element esuch that xe =ex =x,then it is asumed that kek=1.It is said that Ais commutative if xy =yx,∀x,y∈A. There are two classes of Banach algebra which are important to mention. One is the algebra C(K) of all complex continuous functions on a nonempty compact Hausdorff space K,with pointwise addition and multiplication, and the supremum norm. The other is the space B(X)of all bounded linear operators on X,with the usual operator norm and multiplication defined as composition. The latter is not commutative. An element x∈Ais said to be invertible if there exists an element y∈Asuch that xy =yx =e, where eis the unit element of A.In this case, the unique element yis called the inverse of xand is denoted by x−1.Let A−1be the set of all invertible elements of A; it is clear that A−1is a group. Theorem. If A is a Banach algebra and x ∈A with kxk<1,then a) e−x∈A−1, b) k(e−x)−1−e−xk ≤ kxk2 1−kxk. Note that this theorem implies that A−1is an open subset of A. Let Abe a Banach algebra. The spectrum of x∈Ais defined as the set σ(x) = {λ∈C:x−λeis not invertible }. The complement of σ(x)is called the resolvent set of xand the spectral radius of xis the number ρ(x) = sup{|λ|:λ∈σ(x)}. Theorem. If A is a Banach algebra and x ∈A,then σ(x)is a nonempty compact subset of C. Note that, ρ(x)≤ kxkfor all x∈A.In fact, ρ(x) = l´ ım n→∞(kxnk)1/n=´ ınf n≥1(kxnk)1/n. The following theorem will be important in Gelfand theory. Theorem (Gelfand-Mazur). If A is a Banach algebra such that ∀x∈A,x6=0,∃x−1∈A,then A is isometrically isomorphic to the algebra of complex numbers. 1.2. Gelfand representation First let introduce some definitions. If Ais a complex algebra, then a character of Ais a linear functional ϕon A,which is not identically 0 and ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y),∀x,y∈A. Let ΦAbe the set of all characters of A.Obviously each character of a Banach algebra with unit e satisfies ϕ(e) = 1. El teorema espectral de operadores acotados VII If Aa commutative complex algebra with a unit, then a subset Jof Ais called an ideal if xy ∈J whenever x∈A,y∈J.An ideal is proper if J6=A,and a proper ideal is maximal if is not contained in another proper ideal of A. Note that every proper ideal Jof Ais contained in a maximal ideal of A.If Jis an ideal then its closure Jis also an ideal. Therefore every maximal ideal of Ais closed. Let Abe a commutative Banach algebra. From the above definitions one has: a) x∈A−1⇔x/∈J,for all J proper ideal of A. b) x∈Ais invertible ⇔ϕ(x)6=0,∀ϕ∈ΦA. c) σ(x) = {ϕ(x):ϕ∈ΦA},∀x∈A. d) If ϕ∈ΦA,then ker(ϕ)is a maximal ideal. If Mis a maximal ideal of A,then A/Mis a Banach algebra with multiplication defined by (x+M)(y+M) = xy+M; and the quotient map ϕM:A→A/Mgiven by ϕM(x) = x+Mis a homomorphism. The unit element of A/Mis e+Mand kϕM(e)k=1,with ethe unit of A. The quotient map ϕM,defined as before is a character of A, which proves that for any ϕM(x)6=0 exists its inverse in A/M. By the Gelfand-Mazur theorem, there is an isometrically isomorphism hof A/Mto C. Put ϕ=h◦ϕM.Then ϕis a character of A(ϕ∈ΦA), with ϕ(e) = 1 and M=ker(ϕ).This assertion means that every maximal ideal of Ais the kernel of some ϕ∈ΦA. The spectrum of A,SpecA,is defined as the set of maximal ideals of A. Now using property d), it is possible to identify all maximal ideales of Awith the set of characters of A,SpecA ≡ΦA. Let Abe a commutative Banach algebra. For each x∈A,the Gelfand transform of x is the function b x:SpecA →C defined by b x(ϕ) = ϕ(x),ϕ∈SpecA. Let b Abe the set of all b x,for x∈A.The Gelfand topology of SpecA is the smallest topology that makes every b xcontinuous. Then b A⊂C(SpecA). The term Gelfand transformation is applied to the homomorphism of Ainto SpecA given by G:A→b A⊆C(SpecA) x→b x:SpecA →C An involution on an algebra Ais an application ∗:A→A,satisfying the following properties for all x,y∈A,λ∈C: i) (x+y)∗=x∗+y∗, ii) (λx)∗=λx∗, Autor: Iuliana Alexandra Loiszli VIII Capítulo 0. Summary iii) (xy)∗=y∗x∗, iv) x∗∗ =x. If x∗=x,xis said to be hermitian, or self-adjoint. And x∈Ais said to be normal if xx∗=x∗x. A Banach algebra Awith an involution that satisfies kxx∗k=kxk2for all x∈Ais called a C∗-algebra. The fundamental result of the theory of C∗-algebras and the key to the proof of the spectral theorem that will be given in the next chapter is as follows: Theorem (Gelfand-Naimark). If A is a commutative C∗-algebra with a unit and ∆:=SpecA is its spectrum of maximal ideals, then the Gelfand transform G :A→C(∆)is an isometric isomorphism of A such that (x∗) b=b x,∀x∈A, or, equivalently, ϕ(x∗) = ϕ(x)for all ϕ∈∆and x ∈A. Therefore, x is hermitian ⇔b x is real. 2. Spectral theory of bounded normal operators 2.1. Continuous functional calculus for normal operators In order to fix the notation that will be used, it is convenient to recall the definition of a Hilbert space, denoted by Hwith h·,·i the scalar product. The scalar product leads to a norm k · k,which is defined as kxk=phx,xi.Every Hilbert space is also a Banach space. Throughout this paper, will stand for B(H)the Banach algebra of bounded linear operators Ton a Hilbert space Hwith the norm kTk=sup{kTxk:x∈H,kxk ≤ 1}. If T∈B(H),then there exists a unique operator T∗∈B(H)for which hTx,yi=hx,T∗yi ∀x,y∈H. T∗is called the adjoint of T. An operator T∈B(H)is said to be normal if TT∗=T∗T,and is hermitian or self-adjoint if T=T∗. Then: a) T is normal if and only if kTxk=kT∗xk,∀x∈H. b) If T is normal and Tx =λxfor some x∈Hand λ∈C,then T∗x=λx. c) If T is normal, then exists λ∈σ(T)such that |λ|=kTk. Theorem (Continuous functional calculus). Let T ∈B(H)be a normal operator. There exists a unique *-homomorphism ΦT:C(σ(T)) →B(H) such that ΦT(u) = I y ΦT(v) = T,with u(λ) = 1,v(λ) = λfor all λ∈σ(T).Furthermore, ΦTis an isometry and its range is the closed subalgebra generated by I,T and T∗,with I the identity on H. With the notation of the previous theorem, will denote f(T) = ΦT(f)for all f∈C(σ(T)). El teorema espectral de operadores acotados IX 2.2. Spectral measure As observe in the section 2.1, B(H),is a C∗-algebra, and the theory developed on C∗-algebras may be applied to it to obtain representation theorems of normal operators. Let Xbe a compact Hausdorff space and B(X)be a σ-algebra of Borel subset of X.Suppose H is a Hilbert space. Then a resolution of the identity or spectral measure is a mapping E:B(X)→B(H) such that i) E(/0) = 0,E(X) = I. ii) Each E(ω)is a self-adjoint projection, i.e. E(ω)2=E(ω) = E(ω)∗,∀ω∈B(X). iii) If ω0,ω00 ∈B(X),then E(ω0∩ω00) = E(ω0)E(ω00). iv) If ω0,ω00 ∈B(X)with ω0∩ω00 =/0,thenE(ω0∪ω00) = E(ω0)+E(ω00). v) For every x,y∈H,the function Ex,y:B(X)→Cdefined by Ex,y(ω) = hE(ω)x,yi is a regular complex measure on B(X). Once established the continuous functional calculus for a normal operator T,for fixed x,y∈H one defines a linear functional Λx,y:C(σ(T)) →C by Λx,y(f) = hΦT(f)x,yi; and the Riesz theorem provides a Borel measure µx,yrepresenting this functional, hE(ω)x,yi=µx,y(ω). This assertion is the key to the proof of the next theorem: Theorem. Let A be a closed subalgebra of B(H)which contains the identity operator I, and SpecA the maximal ideal space of A. a) There exists a unique spectral measure E on the Borel subsets of ∆that satisfies T=Z∆b TdE for every T ∈A,where the integral is interpreted as hTx,yi=Z∆b TdEx,y,x,y∈H. In other words, it can be defined Φ:B(∆)→B(H)such that hΦ(f)x,yi=Z∆ fdEx,y for every bounded Borel function f on ∆. b) If S ∈B(H),then ST =TS for all T ∈B(H)if and only if SE(ω) = E(ω)S,∀ω⊂∆. Autor: Iuliana Alexandra Loiszli 2Capítulo 1. Álgebras de Banach Definición 1.1.2. Sea A álgebra de Banach con unidad e ∈A.Se dice que un elemento x ∈A es inversible si existe un elemento y ∈A tal que yx =xy =e. En este caso, el inverso y de x es único y se denota por x−1. El conjunto de los elementos inversibles de A se denota como A−1. Claramente, A−1es un grupo. Proposición 1.1.3. Sea A álgebra de Banach y x ∈A con kxk<1.Entonces a) e−x∈A−1, b) k(e−x)−1−e−xk ≤ kxk2 1−kxk. Demostración. Sea la sucesión sn=e+x+x2+··· +xn. Se cumple que ksn+1−snk=kxn+1k≤kxkn+1 y como kxk<1 se tiene que ksn+1−snk → 0. Sea ahora m,n∈Ncon m≥n.Se tiene que ksm−snk=kxn+1+···+xmk≤kxkn+1+···+kxkm = ∞ ∑ k=n kxkk− ∞ ∑ k=m+1 kxkk−−−−→ n,m→∞0 pues kxk<1 y por lo tanto la sucesión es de Cauchy. Por ser Acompleto se deduce que existe s ∈Atal que sn→s. Además, como xn→0 y sn(e−x) = e−xn+1= (e−x)sn, se deduce, haciendo n→∞,que s(e−x) = e= (e−x)s; es decir, ses el inverso de e−x. Para el segundo apartado se utiliza lo anterior y así se tiene que ks−e−xk=ke+x+x2+···−e−xk=kx2+x3+···k ≤ ∞ ∑ n=2 kxkn. La hipótesis kxk<1 implica que la última serie es convergente con suma ∞ ∑ n=2 kxkn=kxk2 1−kxk. Teorema 1.1.4. Si A es un álgebra de Banach entonces El grupo A−1de los elementos inversibles de A, es un subconjunto abierto de A. La aplicación x ∈A−17→ x−1∈A−1es un homeomorfismo. Demostración. Para demostrar la primera afirmación se prueba que: dado x∈A−1,h∈Acon khk<1 2kx−1k−1 se tiene que x+h∈A−1. El teorema espectral de operadores acotados 1.1. Definición y primeras propiedades 3 En efecto, nótese que x+h=xe+x−1hykx−1hk<1 2,con lo cual, por la proposición anterior se tiene que e+x−1h∈A−1y por lo tanto x+h∈A−1. Además, por el apartado b)de la misma proposición, se cumple que ke+x−1h−1−e+x−1hk ≤ kx−1hk2 1−kx−1hk. Multiplicando ahora por kx−1ky sabiendo que kx−1hk<1 2,se obtiene ke+x−1h−1x−1−ex−1+x−1hx−1k ≤ 2kx−1hk2kx−1k. Es decir, k(x+h)−1−x−1+x−1hx−1k ≤ 2kx−1k3khk2.(1.1) Para que la aplicación x7→ x−1sea un homeomorfismo tiene que ser biyectiva y continua con la inversa continua. De la formula (1.1) se deduce la continuidad de la aplicación, pues dados x,x+h∈A−1con kx+h−xk=khk<1 2kx−1k−1 se cumple que k(x+h)−1−x−1k ≤ 2kx−1k3khk2+kx−1k2khk. Finalmente, ya que la aplicación coincide con su propia inversa se concluye que es un homeomorfismo de A−1en A−1. Definición 1.1.5. Dada A álgebra de Banach y x ∈A,se define como espectro de x al conjunto σ(x) = {λ∈C:x−λe no inversible en A} El complementario de σ(x)se llama conjunto resolvente de x, es decir, el conjunto {λ∈C:∃(x−λe)−1∈A}. Al número ρ(x) = sup{|λ|:λ∈σ(x)} se le llama radio espectral de x. Teorema 1.1.6. Si A es álgebra de Banach con unidad y x ∈A,entonces el espectro de x es un compacto no vacío del plano complejo. Demostración. Sea |λ|>kxk,lo que implica |λ−1|kxk<1 y así por la proposición anterior se tiene que e−λ−1x∈A−1,es decir λe−x∈A−1. Luego λ/∈σ(x),lo que implica que σ(x)⊆B(0,kxk)y asi σ(x)es acotado. Para probar que σ(x)es cerrado se define la función g:C→A λ7→ λe−x. Evidentemente ges continua y por tanto el conjunto resolvente, C\σ(x) = g−1(A−1),es un abierto ya que lo es A−1,por el Teorema 1.1.4. Por consiguiente σ(x)es cerrado y, al ser también acotado es compacto. Autor: Iuliana Alexandra Loiszli 4Capítulo 1. Álgebras de Banach Se considera ahora la función f:C\σ(x)→A−1definida por la fórmula f(λ) = (λe−x)−1. Procediendo igual que en la demostración de la Proposición 1.1.3, con sn=e+x λ+x2 λ2+···+xn λny|λ−1|kxk<1. Se obtiene al hacer tender na∞,que el inveso de e−λ−1x,es s= ∞ ∑ n=0 λ−nxn. Es decir, (λe−x)−1=λ−1s,con lo cual f(λ) = (λe−x)−1=∑∞ n=0λ−(n+1)xn(1.2) =1 λe+1 λ2x+···+1 λn+1xn+··· =1 λ·1 1−λ−1x, cuando |λ|>kxk.En particular, fes holomorfa (o analítica) con valores en A. Por tanto si ϕes un funcional lineal continuo definido sobre A, se tiene que ϕ(f(λ)) = ∞ ∑ n=0 λ−(n+1)ϕ(xn) es holomorfa sobre el conjunto resolvente de x, que se anula en el infinito. Si σ(x)fuera vacío, entonces ϕ(f(λ)) sería entera y acotada (por anularse en ∞). Por el teorema de Liouville, ϕ◦fsería identicamente nula y luego por Hahn-Banach f(λ) = (λe−x)−1también sería cero, lo cual es imposible. Entonces σ(x)no es vacío, quedando así demostrado el teorema. Corolario 1.1.7. Sea A un álgebra de Banach con unidad y x ∈A, entonces ρ(x)≤ kxk,∀x. De hecho ρ(x) = l´ ım n→∞(kxnk)1/n=´ ınf n≥1(kxnk)1/n. Demostración. Se ha visto en la demostración anterior que σ(x)⊆B(0,kxk).Por lo tanto, si λ∈σ(x) se tiene que |λ| ≤ kxk, es decir ρ(x)≤ kxk,∀x.(1.3) También en el curso de la demostración anterior se ha establecido que, si |λ|>kxkentonces ϕ(f(λ)) = ∞ ∑ n=0 λ−(n+1)ϕ(xn) es analítica en la bola de centro 0 y radio r>kxky que se anula en el infinito, con la función fdada por la fórmula (1.2). Por la relación (1.3), se puede reemplazar la condición r>kxkpor r>ρ(x). Luego {λ−(n+1)xn}∞ n=0es acotada para todo |λ|>ρ(x).Sea entonces M(λ)>0 tal que kλ−(n+1)xnk<M(λ)con |λ|>ρ(x). Se obtiene kxnk≤|λ|n+1M(λ). Por lo tanto l´ ımsup n→∞ kxnk1/n≤ |λ|,|λ|>ρ(x). El teorema espectral de operadores acotados 1.2. Representación de Gelfand 5 Luego l´ ımsup n→∞ kxnk1/n≤ρ(x).(1.4) Por otro lado, se tiene que λne−xn= (λe−x)(λn−1e+···+xn−1), Si λ∈σ(x)implica que λne−xnno es inversible, con lo cual λn∈σ(xn).Utilizando de nuevo la relación (1.3) se tiene que |λn| ≤ kxnkpara todo n∈N,de donde se deduce que ρ(x)≤´ ınf n≥1kxnk1/n. Finalmente, reescribiendo la última relación y la (1.4), en la desigualdad l´ ımsup n→∞ kxnk1/n≤ρ(x)≤´ ınf n≥1kxnk1/n≤l´ ıminf n→∞kxnk1/n, se tiene igualdad, pues siempre se cumple que l´ ıminfn→∞kxnk1/n≤l´ ımsupn→∞kxnk1/n. El teorema previo y el que viene a continuación son los resultados que generan la representación de Gelfand. Teorema 1.1.8 (Gelfand-Mazur).Si A es álgebra de Banach tal que ∀x∈A,x6=0,∃x−1∈A, entonces A es isométricamente isomorfa al álgebra de los números complejos. Demostración. Sea x∈A. Por el Teorema 1.1.6, se tiene que el espectro de xes no vacío y así ∃λ∈σ(x)tal que @(x−λe)−1en A. Luego, como x−λe∈Ade la hipótesis se deduce que necesariamente x−λe=0, es decir x=λe. Así la aplicación que asocia a cada x∈Asu correspondiente λ∈Ces un isomorfismo que cumple |λ|=kλek=kxk,∀x∈A. 1.2. Representación de Gelfand La teoría de Gelfand sobre álgebras de Banach conmutativas depende de tres conceptos fundamentales: homomorfismos complejos, ideales maximales y espectros. Definición 1.2.1. Sea A álgebra compleja. Un funcional lineal complejo ϕde A se llama homomorfismo complejo de A si para cada x ∈Ayy∈A se cumple ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y). Se llama carácter de A a cualquier homorfismo complejo no idénticamente nulo. Evidentemente, todo carácter de un álgebra de Banach Acumple ϕ(e) = 1,con eelemento unidad, pues dado y∈Atal que ϕ(y)6=0 se tiene que ϕ(y) = ϕ(ye) = ϕ(y)ϕ(e). Se denota por ΦAal conjunto de caracteres de A. Definición 1.2.2. Sea A álgebra conmutativa con unidad. Un subespacio vectorial J de A se dice ideal si xy ∈J siempre que x ∈A,y∈J.Un ideal J de A se dice propio si J 6=A y es maximal si es propio y no está contenido en otro ideal de A. Autor: Iuliana Alexandra Loiszli 6Capítulo 1. Álgebras de Banach Observación. Todo ideal propio Jde Aestá contenido en algún ideal maximal de A.Si Jes un ideal entonces J(la clausura topológica de J) es un ideal de A. Nótese que si x∈Atal que ke−xk<1 entonces x∈A−1,pues si ke−xk<1,implica por la relación (1.3), que 1 es elemento del conjunto resolvente de e−xy por la Proposición 1.1.3, x=e−(e−x)∈A−1. Por lo tanto, si Jes un ideal propio de A,también lo es J,ya que si J=Aentonces existe x∈J con ke−xk<1,es decir xx−1=e∈Jy así J=A. En particular, si Mes ideal maximal de Aentonces Mes un ideal propio de A, pero por ser M maximal, necesariamente M=M,luego todo ideal maximal es cerrado. De estas definiciones se deducen las siguientes propiedades: Propiedades 1.2.3. Sea A álgebra de Banach conmutativa con unidad y ΦAel conjunto de caracteres de A. a) x ∈A−1⇔x/∈J,para todo J ideal propio de A. b) x ∈A es inversible ⇔ϕ(x)6=0,∀ϕ∈ΦA. c) σ(x) = {ϕ(x):ϕ∈ΦA},∀x∈A. d) Si ϕ∈ΦA,entonces ker(ϕ)es ideal maximal. Demostración. El segundo apartado es consecuencia del hecho de que dado ϕ,carácter de A,y x∈A−1se cumple 1=ϕ(e) = ϕ(xx−1) = ϕ(x)ϕ(x−1). Por tanto ϕ(x)6=0 y entonces si λ∈σ(x)implica que x−λees no inversible y por lo anterior se tiene que ϕ(x)es nulo, es decir ϕ(x) = λ.Esto prueba el tercer apartado. Para probar la propiedad d), consideramos ϕ∈ΦA.Por b) se deduce que si x∈ϕ−1(0)se tiene que xes inversible y luego por a),ϕ−1(0)es un ideal propio de A.Hay que probar que ϕ−1(0)es maximal. Suponiendo que no lo sea, se tiene que ϕ−1(0)⊆M,Mideal maximal de A.Si existe x∈Mtal que ϕ(x)6=0,entonces de nuevo por el apartado b)se tiene que existe x−1∈A,con lo cual x−1x=e∈M y así M=A. Si Mes un ideal maximal de Ase tiene que Mes cerrado y así A/M,cuyos elementos son de la forma x+Mcon x∈A,es un espacio de Banach respecto a la norma kx+Mk=´ ınf y∈Mkx+yk.(1.5) Sea x∈Ay la aplicación cociente ϕM:A→A/Mdada por ϕM(x) = x+M. Si x,y∈Ason tales que ϕM(x) = ϕM(x0)yϕM(y) = ϕM(y0),es decir x−x0∈Myy−y0∈Mentonces x0y0−xy = (x0−x)y0+x(y0−y)∈M. Por lo tanto ϕM(x0y0) = ϕM(xy).Así se define el producto en A/Mcomo (x+M)(y+M) = xy+M o equivalentemente ϕM(x)ϕM(y) = ϕM(xy).Luego ϕMes un homomorfismo y es continuo, pues kϕM(x)k≤kxk,∀x∈Apor definición de la norma (1.5). El teorema espectral de operadores acotados 1.2. Representación de Gelfand 7 La misma fórmula, (1.5), implica que para x∈Ase cumple que kx+yk≤kϕM(x)k para algún y∈M.Nótese que para x,x0∈Ayy,y0∈Mse tiene (x+y)(x0+y0) = xx0+M, con lo cual kϕM(xx0)k≤k(x+y)(x0+y0)k≤kx+ykkx0+y0k. Es decir, kϕM(x)ϕM(x0)k≤kϕM(x)kkϕM(x0)k siendo entonces A/Mun álgebra de Banach. Si ees el elemento unidad de A,se cumple que ϕM(e)6=0,y la última relación implica que kϕM(e)k ≥ 1=kek.Por otro lado, por la continuidad de ϕM(x)se tiene que kϕM(e)k ≤ kek=1.En consecuencia e+Mes la identidad en A/Mcon kϕM(e)k=1. Teorema 1.2.4. Si A es un álgebra de Banach conmutativa con unidad y M un ideal maximal de A entonces A/M es isométricamento isomorfo a C. Demostración. La aplicación cociente definida como antes, ϕM:A→A/Mresulta que es un carácter de A, lo cual prueba que para cualquier ϕM(x)6=0 existe su inverso en A/M.Por el teorema de Gelfand-Mazur, A/Mes isométricamente isomorfo a C. Definición 1.2.5. Al conjunto de los ideales maximales de A, que se denota por SpecA,se le llama espectro de A. Teorema 1.2.6. Sea A álgebra de Banach conmutativa con unidad y ΦAel conjunto de caracteres de A. Entonces, a) Todo ideal maximal de A es el núcleo de algún ϕ∈ΦA. b) kϕk=1para todo ϕ∈ΦA. Demostración. a) Sea Mun ideal maximal de A.Así Mes cerrado y A/Mes un álgebra de Banach. Por el Teorema 1.2.4, A/Mes isomorfo a C.Sea ϕMla aplicación cociente ϕM:A→A/M∼ =C. Claramente, ϕMes un carácter y M=ker(ϕM). Ahora poniendo ϕ=h◦ϕM,se tiene que ϕ∈ΦA,con ϕ(e) = 1 y que M=ker(ϕ). b) Debido a que ϕ(e) = 1 se tiene que kϕk ≥ 1.Ahora, por definición kϕk=sup kxk<1 |ϕ(x)|, y por tanto si kϕk>1,existe x∈Atal que kxk<1 y ϕ(x) = 1.Por la Proposición 1.1.3, e−xes inversible en A.Luego, ϕ(e) = ϕ(1−x)(1−x)−1= (ϕ(e)−ϕ(x))ϕ(1−x)−1=0, lo cual es contradicción con ϕ(e) = 1.Así kϕk=1. Autor: Iuliana Alexandra Loiszli 8Capítulo 1. Álgebras de Banach En conclusión, este teorema y el apartado d) de la Propiedad 1.2.3, afirman que: M es un ideal maximal en A si y sólo si M es el núcleo de ϕpara algún ϕ∈ΦA. Esto significa que todos ideales maximales de Ase pueden identificar con los caracteres de A, SpecA ≡ΦA. Este último hecho y el que kϕk=1,permiten identificar a SpecA con un subconjunto de la esfera unitaria ΩAdel dual A0de A.Se define la topología de Gelfand en SpecA como la topología débil inducida por la del dual A0de A,σ(A0,A).Nótese que la topología débil en Ainducida por el dual A0, es la mínima topología que hace continuos a los elementos de ΦA. Por tanto SpecA es un compacto, ya que ΩAes un compacto, por el teorema de Alaoglu-Bourbaki (véase [B, p.193]). Definición 1.2.7. Sea A un álgebra de Banach conmutativa con SpecA su espectro de ideales maximales. Se define la transformada de Gelfand de x ∈A como la función b x:SpecA →C definida por b x(ϕ) = ϕ(x) para todo x ∈A y ϕ∈SpecA. Sea b A el conjunto de todas las funciones b x,para x ∈A.Con la topología de Gelfand en SpecA inducida por b A,se tiene que b x es continua. La transformación de Gelfand es el homomorfismo de A en el álgebra de las funciones continuas sobre SpecA dado por G:A→b A⊆C(SpecA) x→b x:SpecA →C Observación. La transformada de Gelfand satisface la relación kb xk∞=ρ(x)≤ kxk,∀x∈A,(1.6) que es consecuencia del Corolario 1.1.7 y de la Propiedad 1.2.3, c), pues kb xk∞=sup ϕ∈SpecA |b x(ϕ)|=sup ϕ∈SpecA |ϕ(x)|=ρ(x)≤ kxk. En la siguiente definición se introduce una versión abstracta de la conjugación compleja. Entre las álgebras de Banach, las que poseen involución son muy importantes en teoría de operadores, ya que los operadores en espacios de Hilbert tienen adjunto, y éste juega un papel importante en la descomposión espectral. Definición 1.2.8. Una involución oconjugación en un álgebra A es una aplicación ∗:A→A que ∀x,y∈A y λ∈C,verifica: i) (x+y)∗=x∗+y∗, ii) (λx)∗=λx∗, iii) (xy)∗=y∗x∗, iv) x∗∗ =x. El teorema espectral de operadores acotados 1.2. Representación de Gelfand 9 Si se cumple que x∗=x entonces se dice que x es hermitiano oautoadjunto. Se dice que x ∈A es normal si xx∗=x∗x. Toda álgebra de Banach dotada de una involución que satisface kxx∗k=kxk2para cada x ∈A,se llama C∗-álgebra y si tiene unidad e se debe cumplir que e∗=e. Definición 1.2.9. Si A es un álgebra con una involución, decimos que un subconjunto S ⊂A es normal cuando i) xy =yx,∀x,y∈A ii) x∗∈A,∀x∈A. Ejemplos Ccon la norma dada por el valor absoluto y con involución: z∗=zpara z∈C,es una C∗-álgebra conmutativa con unidad. De nuevo, el espacio C(K)definido al inicio de la sección, con la involución f∗(x) = f(x)para f∈C(K)yx∈K. Si Aes una C∗-álgebra, toda subálgebra con involución y cerrada en Aes una C∗-álgebra. El resultado básico fundamental de la teoría de C∗-álgebras es el siguiente: Teorema 1.2.10 (Gelfand-Naimark).Si A es una C∗-álgebra conmutativa con unidad y ∆:=SpecA es su espectro de ideales maximales, entonces la transformación de Gelfand G :A→C(∆)es un isomorfismo isométrico tal que (x∗) b=b x,∀x∈A, o equivalentemente ϕ(x∗) = ϕ(x)para cada ϕ∈∆y x ∈A. Por tanto, x es hermitiano ⇔b x es real. Nótese que en particular el teorema muestra que la transformada de Gelfand convierte la involución en conjugación compleja. Demostración. Sea u∈Atal que u=u∗yϕ∈∆.Se quiere ver ϕ(u)es real. Para esto se considera z=u+ite con t∈Ryeel elemento unidad de A. Si ϕ(u) = α+iβcon αyβreales, entonces ϕ(z) = α+i(β+t)yzz∗=u2+t2e, pues zz∗= (u+ite)(u∗−ite) = uu∗−itu+itu∗+t2e. Así α2+(β+t)2=|ϕ(z)|2≤ kzk2=kzz∗k≤kuk2+t2, es decir, α2+β2+2βt≤ kuk2∀t∈R, lo que implica que necesariamente β=0. Si x∈A,entonces x=u+iv con u=u∗,v=v∗; a saber, u=x+x∗ 2yv=x−x∗ 2i Autor: Iuliana Alexandra Loiszli 10 Capítulo 1. Álgebras de Banach nótese que x∗=u−iv.Por tanto, como ϕ(u),ϕ(v)son números reales, ϕ(x∗) = ϕ(u)−iϕ(v) = ϕ(u)+iϕ(v) = ϕ(x). Considerando ahora y=xx∗con x∈Ase tiene que y=y∗.Como Aes C∗-álgebra implica que ky2k=kyk2.Por inducción se obtiene que kymk=kykm,∀m=2n,n∈N. Entonces, por la fórmula (1.6) y Corolario 1.1.7, se tiene que kb yk∞=ρ(y) = l´ ım n→∞ky2nk2−n =l´ ım n→∞kyk2n2−n =kyk. Pero b y= (xx∗) b= (x∗) bb x=b xb x=|b x|2, es decir, se cumple la igualdad en normas kb xk2 ∞=kb yk∞=kyk=kxx∗k=kxk2,∀x∈A, lo cual significa que la transformación de Gelfand es isométrica. Luego, por ser Acompleto y Guna isometría resulta que b Aes cerrado en C(∆.)En particular, la fórmula del enunciado muestra que si b x∈b Aentonces el conjugado complejo b xde b xtambién está en b A. El teorema de Stone-Weierstrass afirma que dada Auna subálgeba cerrada de C(K),Kun espacio compacto que contiene la unidad e,separa puntos de K(es decir, si x,y∈Kcon x6=y,∃f∈Atal que f(x)6=f(y)) y que si f∈Atambién f∈A, se tiene que Aes denso en C(K). Nótese que b Acumple las hipótesis del mismo y por lo tanto b Aes denso en C(∆),luego b Adebe coincidir con C(∆). Un caso particular del teorema anterior es el siguiente corolario: Corolario 1.2.11. Si A es una C∗-álgebra conmutativa con unidad generada por un elemento x ∈A; es decir, tal que los polinomios en x y x∗son densos en A, entonces ψ:C(σ(x)) →A dado por (ψf) b=f◦b x es un isomorfismo isométrico tal que ψf= (ψf)∗ para todo f ∈C(σ(x)).Además, si f(λ) = λentonces ψf=x. Demostración. Sea ∆=SpecA el espectro de Ayϕ∈∆.Se tiene que b x:∆→Ces una aplicación continua tal que b x(ϕ) = ϕ(x),donde b xes la transformada de Gelfand en ∆.Por la Propiedad 1.2.3, c) se tiene que ϕ(x)∈σ(x).A continuación se prueba que la aplicación ϕ∈∆7→ ϕ(x)∈σ(x) es un homeomorfismo entre compactos. Sea ϕ1,ϕ2∈∆de manera que b x(ϕ1) = b x(ϕ2), es decir, ϕ1(x) = ϕ2(x). El teorema de Gelfand-Naimark implica que ϕ1(x∗) = ϕ2(x∗).Sea Pun polinomio en dos variables. Ya que ϕ1yϕ2son homomorfismos, resulta que ϕ1(P(x,x∗)) = ϕ2(P(x,x∗)). El teorema espectral de operadores acotados 1.2. Representación de Gelfand 11 Por hipótesis, los elementos de la forma P(x,x∗)son densos en A.Se puede concluir que ϕ1(y) = ϕ2(y) para y∈A.Así ϕ1=ϕ2,con lo cual b xes inyectiva. Más aún, b xes continua con ∆compacto y por tanto b xes un homeomorfismo de ∆en σ(x). Luego existe un isomorfismo isométrico de C(σ(x)) en C(∆)tal que f7→ f◦b xque conserva la conjugación compleja. Y de nuevo por el teorema anterior, como (ψf) = G−1(f◦b x),se tiene la conclusión. Si f(λ) = λentonces f◦b x=b xy así ψf=x. A continuación se completará esta sección con un lema que también será util en la teoría del cálculo funcional continuo que se verá en el siguiente capítulo. Observación. Si el álgebra Aes una subálgebra de un álgebra B,puede ocurrir que algún elemento x∈Ano es inversible en A,pero es inversible en B.Por tanto el espectro depende del álgebra. De la definición del espectro se sigue que σB(x)⊆σA(x), y en general no hay coincidencia de estos dos conjuntos. En el caso de C∗-álgebras se tiene el siguiente teorema: Teorema 1.2.12. Si B es una C∗-álgebra con x un elemento normal de B y A una subálgebra con involución y cerrada de B que contiene la unidad e y x∗∈A,∀x∈A,entonces σA(x) = σB(x),∀x∈A. Demostración. Véase [Z, Theorem 24.6]. El teorema anterior permite evitar ambigüedades en la elección del espectro. Autor: Iuliana Alexandra Loiszli 18 Capítulo 2. Teoría espectral de operadores normales acotados Por el teorema de representación de Riesz, tiene que existir una medida de Borel (compleja) µx,y sobre σ(T).A partir de estas medidas se construirá la medida espectral asociada a Tmediante la relación hE(ω)x,yi=µx,y(ω), como se presenta en el siguiente teorema. Teorema 2.2.2. Sea A una subálgebra normal con unidad cerrada de B(H) y SpecA el espacio de ideales maximales de A, denotado por ∆. a) Entonces existe una única medida espectral E sobre los conjuntos de Borel de ∆tal que T=Z∆b TdE(2.1) para todo T ∈A,donde la integral se interpreta como hTx,yi=Z∆b TdEx,y,x,y∈H. Dicho de otra forma, se puede definir Φ:B(∆)→B(H)tal que hΦ(f)x,yi=Z∆ fdEx,y para toda f de Borel acotada sobre ∆. b) Si S ∈B(H),entonces ST =TS para todo T ∈B(H)si y sólo si SE(ω) = E(ω)S para todo ω⊂∆. Demostración. Por la sección anterior, B(H)es una C∗-álgebra y así es claro que Aes una C∗-álgebra conmutativa. En consecuencia, el teorema de Gelfand-Naimark afirma que la aplicación T7→ b Tes un isomorfismo isométrico de Asobre C(∆). - Existencia de E: Fijados x,y∈H,la aplicación Λx,y:C(∆)→Cdefinida por Λx,y(b T) = hTx,yi es un funcional lineal y acotado tal que kΛx,yk ≤ kxkkyk,pues kb Tk=kTk.El teorema de Riesz implica que ∀x,y∈Hexiste una medida regular compleja µx,ysobre ∆tal que hTx,yi=Z∆b Tdµx,y,∀T∈A. Dicha medida cumple que µx,y=µy,x,pues Z∆b Tdµy,x=hTy,xi=hy,T∗xi=hT∗x,yi =Z∆(T∗) bdµx,y=Z∆b Tdµx,y=Z∆b Tdµx,y. Además se tiene que kµx,yk=kΛx,yk ≤ kxkkyk.Esto implica que, para toda fde Borel fija acotada en ∆, (x,y)7→ Z∆ fdµx,y es una forma sesquilineal acotada sobre H. Ahora ampliando el cálculo funcional continuo, para cada fde Borel acotada sobre ∆se puede definir un operador Φ(f)∈B(H)tal que hΦ(f)x,yi=Z∆ fdµx,y,∀x,y∈H. El teorema espectral de operadores acotados 2.2. Medida espectral 19 Este operador Φextiende a la inversa de la transformada de Gelfand, debido a que Φ(b T) = T. En particular, para freal se cumple que hΦ(f)x,yi=Z∆ fdµx,y =Z∆ fdµx,y=Z∆ fdµy,x=hΦ(f)y,xi, y por la definición del adjunto, resulta que Φ(f)es hermitiano. También se verifica que el operador Φes multiplicativo Φ(fg) = Φ(f)Φ(g), para todo fygde Borel acotados. En efecto, se sabe que esto se cumple para f,g∈C(∆),por tanto Z∆ fgdµx,y=hΦ(f)Φ(g)x,yi=Z∆ fdµΦ(g)x,y, lo que implica que gdµx,y=dµΦ(g)x,y para cada x,y∈Hyg∈C(∆).En consecuencia las integrales son ciertas si fes de Borel acotada. Sea z=Φ(f)∗y.Así Z∆ fgdµx,y=Z∆ fdµΦ(g)x,y =hΦ(f)Φ(g)x,yi =hΦ(g)x,zi=Z∆ gdµx,z. De nuevo se tiene que fdµx,y=dµx,z. Por tanto hΦ(fg)x,yi=Z∆ fgdµx,y=Z∆ gdµx,z=hΦ(f)Φ(g)x,yi para cada f,gde Borel acotadas. Así queda visto que Φes multiplicativo sobre las funciones de Borel acotadas en ∆. Para cada ωde Borel en ∆se define entonces E(ω):=Φ(f), con fla función característica de ω,denotada χω.Para que Esea la medida espectral buscada deberá cumplir las condiciones de la Definición 2.2.1. Sea E(ω) = Φ(f)yE(ω0) = Φ(g),entonces debido a que Φ(f)es multiplicativo, se tiene que E(ω∩ω0) = Φ(χω∩ω0) = Φ(χωχω0) =Φ(χω)Φ(χω0) = E(ω)E(ω0). Ahora si ω=ω0implica que E(ω)es una proyección y es autoadjunta, pues si fes real, Φ(f) es hermitiano. Como χ/0 =0 está claro que E(/0) = Φ(0) = 0.y como Φextiende a la transformada de Gelfand se obtiene que E(∆) = Φ(χ∆) = Φ(1) = I. Falta probar que Ees contablemente aditiva en la topología débil de operadores, es decir hE(ω)x,yi= ∞ ∑ k=1 hE(ωk)x,yi Autor: Iuliana Alexandra Loiszli 20 Capítulo 2. Teoría espectral de operadores normales acotados donde ωes la únion de los ωk∈B(σ(T)),k=1,... . Esto es consecuencia de la igualdad hE(ω)x,yi=hΦ(χω)x,yi =Z∆ χωdµx,y= ∞ ∑ k=1Z∆ χωkdµx,y, ya que µx,yes una medida y por tanto contablemente aditiva. En definitiva, se tiene que hE(ω)x,yi=µx,y(ω), y por tanto Ees la medida espectral buscada. - Unicidad de E: La unicidad de la medida espectral construida anteriormente es inmediata, debido al teorema de representación de Riesz que implica la unicidad de la medida µx,y,para cada x,y∈H.No obstante, la definición, hE(ω)x,yi=Ex,y(ω),determina unívocamente la proyección E(ω),para cada ω.Por lo tanto si existirían dos medidas espectrales E,E0,para todo ω∈B(σ(T)) se tendría que hE(ω)x,yi=hE0(ω)x,yi,para todo x,y∈H,lo cual implica E(ω) = E0(ω). Para probar el apartado b) se considera S∈B(H),x,y∈Hy tambíen T∈H.Aplicando la definición del operador adjunto se tiene hSTx,yi=hTx,S∗yi=Z∆b TdEx,S∗y y hTSx,yi=Z∆b TdESx,y. Cuando ST =TS para todo T∈B(H),las dos medidas son iguales dEx,S∗y=dESx,y.Pero por la definición de la medida espectral resulta que Ex,S∗y(ω) = hE(ω)x,S∗yi=hSE(ω)x,yi para todo ω⊂∆.Análogamente, ESx,y(ω) = hE(ω)Sx,yi, y por lo tanto SE(ω) = E(ω)S.El recíproco es cierto utilizando el mismo razonamiento. 2.3. Teorema espectral En el Teorema 2.2.2 se ha demostrado que toda álgebra normal en un espacio de Hilbert induce una medida espectral Esobre los conjuntos de Borel de su espectro y, recíprocamente, que a partir de Ese recuperan los operadores Tdel álgebra mediante una integral del tipo (2.1). Como consecuencia se puede establecer el teorema espectral para operadores normales y acotados: Teorema 2.3.1 (Teorema espectral para un operador normal acotado).Sea T ∈B(H)un operador normal. Entonces existe una única medida espectral E sobre los borelianos de σ(T)tal que: T=Zσ(T) λdE(λ). Además, todo E(ω)conmuta con cualquier operador S ∈B(H)que conmute con T ∈B(H). La medida espectral Eque da este teorema describe la descomposición espectral de T. El teorema espectral de operadores acotados 2.3. Teorema espectral 21 Demostración. Evidentemente, la demostración del teorema se apoya en el Teorema 2.2.2 particularizando a un solo operador. Debido al cálculo funcional continuo existe un *-homomorfismo Φ:C(σ(T)) →B(H) tal que Φ(f) = f(T).Más aún, el rango de Φes la subálgebra cerrada Ade B(H)engendrada por I,Ty T∗.Además, por el Corolario 1.2.10 se sabe que SpecA es homeomorfo a σ(T)vía el homeomorfismo b T:SpecA →σ(T). Así se tiene que b T(λ) = λpara todo λ∈σ(T). Aplicando el Teorema 2.2.2 para la subálgebra A,existe una única medida espectral Edefinida sobre los borelianos de σ(T),cumpliendo que Φ(f) = Zσ(T) f(λ)dE(λ). Finalmente, por la fórmula (2.1) se tiene f(T) = Zσ(T) f(λ)dE(λ), para toda fde Borel acotada, y en particular, reescribiendo la descomposición del operador identidad se tiene I=Zσ(T) dE(λ). Si ST =TS con Snormal, entonces también ST∗=T∗S(véase [R, p.300]) y por consiguiente S conmuta con todo elemento de A.Ahora por el apartado b) del Teorema 2.2.2 se tiene que SE(ω) = E(ω)Spara todo ω⊂∆. En resumen, usando las mismas notaciones que anteriormente y parte del contenido del Teorema 2.2.2 y del teorema espectral se puede ampliar el cálculo funcional continuo construyendo el cálculo funcional extendido para un operador normal acotado: Corolario 2.3.2. Dado un operador normal T ∈B(H),existe un único *-homomorfismo Φdefinido sobre las funciones de Borel acotadas sobre σ(T)en B(H)con Φ(f) = Zσ(T) fdE, tal que: i) Φ(u) = I,Φ(v) = T donde u(λ) = 1,v(λ) = λpara cada λ∈σ(T). ii) Además, Φverfica entonces kΦ(f)k≤kfk=sup{| f(λ)|:λ∈σ(T)}, siendo válida la igualdad si f es continua. iii) Si ST =TS con S ∈B(H),se tiene que SΦ(f) = Φ(f)S para cada función f de Borel acotada. Habitualmente se usa la notación f(T) = Φ(f). Otra formulación de interés, que puede relacionarse directamente con la diagonalización de una matriz normal, es la siguiente: Autor: Iuliana Alexandra Loiszli 22 Capítulo 2. Teoría espectral de operadores normales acotados Teorema 2.3.3 (Teorema de representación espectral de un operador normal acotado).Si T ∈B(H)es normal, existe un espacio de medida (X,M,µ)con µmedida positiva regular, una función ϕ∈L∞(µ) y un isomorfismo isométrico U :L2(µ)→H tales que el diagrama L2(µ)U//H T  L2(µ) Mϕ OO H U−1 oo es conmutativo ( U−1TU =Mϕ). Mϕ:L2(µ)→L2(µ)es el operador multiplicación definido por ϕ. En esta formulación se pierde la unicidad: el espacio (X,M,µ)y la función ϕno están determinados unívocamente por T. Idea de la demostración. Anteriormente en el ejemplo de medida espectral se ha probado que en el espacio L2(µ)para cada ω∈B(X)se puede construir la aplicación E:B(X)→B(H)con H=L2(X,µ)definido por la fórmula E(ω)f=χωfcon χωla función característica de ω.Ees así una medida espectral para (X,B(X),H). A partir de este ejemplo y ahora aplicando el teorema espectral se tiene que si Tes un operador normal, existe Ela descomposición espectral de T, T=Zσ(T) λdE(λ). Un paso critico de la medida espectral E(ω)asociado a Ta la medida µes el siguiente: si x∈Hse tiene que µ(ω) = hE(ω)x,xi es una medida finita y ωun conjunto de Borel. Si se escribe Uχω=E(ω)x,entonces Upuede ser extendido a un isomorfismo del espacio L2(µ).Para este isomorfismo Use tiene U−1E(ω)U f =χωf. Por lo tanto el operador multiplicativo definido por Mϕ(f) = ϕf,f∈L2(µ)yϕ∈L∞(µ) se identifica con la descomposición espectral de T,pues si ϕes la función característica χω,se tiene Mϕf=χωf. El teorema espectral de operadores acotados Capítulo 3 Aplicaciones del teorema espectral 3.1. Primeros resultados Definición 3.1.1. Sea H un espacio de Hilbert, un operador T ∈B(H)yσ(T)su espectro. Un número λ∈Cse dice que es un valor propio de T si ker(T−λI)6=0. El conjunto de los valores propios de T se llama espectro puntual de T y se denota σp(T).Observar que σp(T)⊂σ(T). Si λ∈σp(T)y T(x) = λx con x 6=0,entonces x se llama vector propio de T correspondiente al valor propio λ. Al subespacio ker(T−λI)se le llama subespacio propio oautoespacio correspondiente al valor propio λ. Observación. Sea T∈B(H)normal. Si λ,µ∈σp(T)yλ6=µentonces los vectores propios correspondientes a los valores propios son ortogonales. Es decir, ker(T−λI)⊥ker(T−µI). Proposición 3.1.2. Sea un operador T ∈B(H)normal. Entonces kTk=sup{|hTx,xi| :x∈H,kxk ≤ 1}. Demostración. Es evidente que sup{|hTx,xi| :x∈H,kxk ≤ 1}≤kTk, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Por otra parte, sea ε>0.Hay que probar que |hTx0,x0i| >kTk−ε para algún x0∈Hcon kx0k=1.Por el teorema de Gelfand-Naimark se tiene que kb Tk∞=kTky por la Proposición 2.1.3, c), existe λ0∈σ(T)tal que |λ0|=kTk.Sea el conjunto ω={λ∈σ(T):|λ−λ0|<ε}. Si Ees la descomposición espectral de Tcon E(ω)6=0,entonces existe x0∈Hcon kx0k=1 y E(ω)x0=x0. Se define f(λ) = λ−λ0si λ∈ω 0 si λ/∈ω Entonces, f(T) = (T−λoI)E(ω)yf(T)x0=Tx0−λ0x0. 23 24 Capítulo 3. Aplicaciones del teorema espectral Luego, |hTx0,x0i|−|λ0|≤ |hTx0,x0i−λ0|=|hTx0,x0i−λ0hx0,x0i| ≤ k f(T)k<ε, pues |f(λ)|<ε,∀λ∈σ(T).Finalmente, como |λ0|=kTkse tiene la desigualdad buscada. Proposición 3.1.3. Un operador normal T ∈B(H)es autoadjunto si y sólo si σ(T)⊂R. Demostración. Sea Ala subálgebra normal de B(H)generada por T.Entonces, por el Teorema 2.3.1, b T(λ) = λsobre σ(T).Así, (T∗) b(λ) = b T(λ) = λ, para todo λ∈σ(T).Luego, T=T∗si y sólo si λ=λ. Teorema 3.1.4. Sea T ∈B(H).Entonces, hTx,xi ≥ 0∀x∈H si y sólo si T =T∗yσ(T)⊂[0,∞). Demostración. Si hTx,xi ≥ 0,entonces hTx,xies real y hx,T∗xi=hTx,xi=hx,Txi,∀x∈H. Por tanto, T=T∗y por la Proposición 3.1.3 se tiene que σ(T)⊂R.Con la misma hipótesis y para λ>0,se cumple λkxk2=λhx,xi ≤ h(T+λI)x,xi ≤ k(T+λI)xkkxk, es decir, k(T+λI)xk ≥ λkxk. Entonces, T+λIes inversible en B(H)y así −λ/∈σ(T).Esto prueba que σ(T)⊂[0,∞). Por otro lado, sea Tautoadjunto y σ(T)⊂[0,∞).Aplicando el teorema espectral se tiene que hTx,xi=Zσ(T) λdEx,x(λ),x∈H. Como ya se ha visto en la sección 2.2, Ex,xes una medida positiva. Además, λ≥0,y por tanto hTx,xi ≥ 0,∀x∈H. Para el siguiente teorema es necesario definir qué se entiende por un operador positivo. Definición 3.1.5. Sea un operador T ∈B(H).Se dice que T es positivo óno negativo, y se escribe T≥0,si hTx,xi ≥ 0,∀x∈H. Teorema 3.1.6. Sea T ∈B(H)es un operador positivo. Entonces existe un único operador positivo S∈B(H)tal que S2=T.Se dice que S es la raíz cuadrada positiva de T. Además, si T es inversible, también lo es S. Demostración. Sea Auna subálgebra normal con unidad cerrada en B(H)que contiene a T,y∆el espacio de ideales maximales de A.Entonces, por el teorema de Gelfand-Naimark (1.1.8) se tiene que b A=C(∆). Por hipótesis Tes positivo, lo que implica que T es autoadjunto y σ(T)⊂[0,∞)(Teorema 3.1.4). Por otro lado, se tiene que b T(λ) = λ,en σ(T),es decir b T(∆) = σ(T).Por lo tanto, b T≥0.Luego, b T≥0 es equivalente con T≥0. Ya que toda función continua positiva tiene una única raíz cuadrada continua, se tiene que existe un único S∈Atal que S2=Tyb S≥0. El teorema espectral de operadores acotados 3.2. Valores propios de operadores normales 25 Falta probar que efectivamente Ses único en B(H).Se considera A0la más pequeña de estos álgebras A.Entonces existe S0∈A0tal que S2 0=TyS0≥0.Sea ahora S∈B(H)la raíz cuadrada positiva de TyAla menor subálgebra con unidad cerrada de B(H)que contiene a S,entonces T∈A, pues T=S2.Luego, como A0⊂A,se tiene que S0∈A,y por lo tanto S=S0. Por último, si Tes inversible, S2=Timplica que (T−1S)S=I.De hecho, ST =TS =S3,con lo cual S=T−1ST.Entonces, S(T−1S) = T−1STT−1S=I, es decir S−1=T−1S. 3.2. Valores propios de operadores normales Si Tes normal, sus valores propios guardan una relación sencilla con su descomposición espectral. Esta relación se deducirá de la siguiente aplicación al cálculo funcional extendido: Lema 3.2.1. Sea T ∈B(H)un operador normal y E su descomposición espectral. Si f ∈C(σ(T)), entonces ker(f(T)) = Im(E(f−1(0))). Demostración. Considerando ω0=f−1(0), se define g(λ) = 1 si λ∈ω0 0 si λ/∈ω0 Entonces, si λ∈ω0,se sabe que f(λ) = 0,y por lo tanto f(λ)g(λ) = 0.Por otro lado, si λ/∈ω0,se tiene que g(λ) = 0.Luego, fg =0,es decir que f(T)g(T) = 0.Como ges la función característica de ω0,por el cálculo funcional extendido (Corolario 2.3.2) se tiene que E(ω0) = Φ(g) = g(T),y por lo tanto Im(E(ω0)) ⊂ker(f(T)).(3.1) Por otro lado, si consideramos ωel complementario de ω0relativo a σ(T),entonces ωes la unión de los conjuntos disjuntos de Borel ωncon n=1,2,...,cada uno de los cuales está a distancia positiva del conjunto compacto ω0.Para cada n=1,2,...,se define fn(λ) = 1/f(λ)sobre ωnyfn(λ) = 0 en el resto de σ(T).Por construcción, fn∈B(σ(T)) y además fn(T)f(T) = E(ωn)n=1,2,... . Si x∈ker(f(T)),es decir f(T)x=0,entonces E(ωn)x=0,y por la propiedad de aditividad contable de la medida espectral se tiene que E(ω)x=0.Pero como E(ω) + E(ω0) = Iy por lo anterior E(ω0)x=x,se cumple que ker(f(T)) ⊆Im(E(ω0)).(3.2) Por lo tanto, las relaciones (3.1)y(3.2) implican la igualdad del enunciado. Proposición 3.2.2. Sea T ∈B(H)un operador normal y E su descomposición espectral. Para cada λ∈σ(T)se tiene i) ker(T−λI) = Im(E({λ})). ii) λes valor propio de T si y sólo si E({λ})6=0. Demostración. Considerando λ∈σ(T)y aplicando el lema previo a f(λ0) = λ0−λ,se tiene f−1(0) = {λ}y por lo tanto f(T) = T−λI.Con esto queda probada la igualdad del apartado i). El segundo apartado es trivial usando el i) y sabiendo que por definición λ∈σp(T)implica que ker(T−λI)6=0. Autor: Iuliana Alexandra Loiszli 26 Capítulo 3. Aplicaciones del teorema espectral Corolario 3.2.3. Sea T ∈B(H)un operador normal. Cada punto aislado de σ(T)es un valor propio. Demostración. Sea T∈B(H)con Esu decomposición espectral. Si λ∈σ(T)es un punto aislado existe un entorno Ude λtal que U∩σ(T) = {λ}.Luego {λ}es un subconjunto abierto de σ(T), con lo cual E({λ})6=0.Por la Proposición 3.1.2, esto significa que ker(T−λI)6=0,o sea, λes un valor propio de T. Corolario 3.2.4. Sea T ∈B(H)un operador normal y f ∈C(σ(T)).Para cada x ∈H, Tx =λx⇒f(T)x=f(λ)x. Demostración. Se aplica el Lema 3.2.1 a la función gdefinida por la fórmula g(ζ) = f(ζ)−f(λ)y se tiene en cuenta la Proposición 3.2.2. Proposición 3.2.5. Sea T ∈B(H)un operador normal y E su descomposición espectral. Entonces, si el espectro de T es un conjunto contable, cada x ∈H tiene una única descomposición de manera x= ∞ ∑ i=1 xi donde Txi=λixi.Además, xi⊥xj,cuando i 6=j. Demostración. Sea σ(T) = {λ1,λ2,...}yEi=E({λi})para cada i=1,2,3,... . En los puntos de acumulación λide σ(T),Eipuede ser 0 ó no. Pero, en cualquier caso por la Proposición 3.2.2 los recorridos de Eison ortogonales dos a dos, pues ker(T−λiI)⊥ker(T−λjI),si i6=j. Como Ees contablemente aditiva, se tiene que para x∈H ∞ ∑ i=1 Eix=E(σ(T))x=x. La serie converge en norma. Entonces, si xi∈Im(Ei),es decir xi=Eix,se tiene la descomposición de xdel enunciado y se cumple xi⊥xj,cuando i6=j.La unicidad es consecuencia de la ortogonalidad de los vectores propio. De nuevo por la misma Proposición 3.2.2 se tiene que Txi=λixi. A continuación se describe el espectro de los operadores normales compactos en espacios de Hilbert. Pero antes es necesario definir el concepto de operador compacto y especificar algunas propiedades del mismo. Se prescindirá de las demostraciones, ya que escapan del objetivo de este trabajo, y además, se pueden encontrar en cualquier libro de Análisis Funcional (véase por ejemplo [R, p.98]). Definición 3.2.6. Un operador lineal T :X→Y con X, Y espacios de Banach, se llama compacto si T(BX(0,1)) es un conjunto compacto en Y, donde BX(0,1)es la bola unidad en X. Propiedades 3.2.7. Sea H un espacio de Hilbert y un operador T ∈B(H). i) Si dimIm(T)es finito entonces T es compacto. ii) Si T es compacto y λ6=0entonces ker(T−λI)es de dimensión finita. iii) Si T es compacto y λ6=0con λ∈σ(T)entonces λes valor propio de T y de T∗. iv) T es compacto si y sólo si existe Tn∈B(H)con rango finito tal que kT−Tnk −−−→ n→∞0. Teorema 3.2.8. Un operador T ∈B(H)normal es compacto si y sólo si todos los puntos de σ(T), salvo quizás el 0, son aislados y sus correspondientes autoespacios son finito-dimensionales. El teorema espectral de operadores acotados 3.2. Valores propios de operadores normales 27 Demostración. Debido a las propiedades de los operadores compactos, la implicación directa es inmediata. Para demostrar la implicación inversa, nótese que σ(T)es contable por la condición de que el único punto de acumulación posible es el 0. Sean λilos puntos no nulos de σ(T)tal que |λ1|≥|λ2| ≥ ··· .Se define fn(λ) = λsi λ=λiyi≤n, yfn(λ) = 0 en los demás puntos de σ(T).Usando la misma notación que en la Proposición 3.2.5, Ei=E({λi}),se tiene que fn(T) = λ1E1+···+λnEn. Por la Proposición 3.2.2, dimIm(Ei) = dimker(T−λiI)y este último es finito-dimensional (por hipótesis). Por lo tanto fn(T)es un operador compacto. Nótese que |λ−fn(λ)| ≤ |λn|,para todo λ∈σ(T).Esto implica que kT−fn(T)k≤|λn| −→ 0,cuando n→∞. Luego por la Propiedad 3.2.7 iv) ,Tpuede ser aproximado uniformemente por operadores de rango finito, con lo cual Tes compacto. Con esta hipótesis de contabilidad del espectro, es inmediato llegar a una representación del operador Tque puede considerarse como una buena generalización a cualquier dimensión de la diagonalización en dimensión finita: si (eα)α∈A,es una base ortonormal del espacio separable Hformada por vectores propios de TyTeα=λαeαcon α∈A,de la igualdad x=∑ α∈A hx,eαieα,x∈H se sigue por continuidad que Tx =∑ α∈A λαhx,eαieαx∈H. Análogamente, por el Corolario 3.2.4 se tiene f(T)x=∑ α∈A f(λα)hx,eαieαx∈H. Mediante esta representación se comprueba el siguiente resultado: Proposición 3.2.9 (Desarrollo de Hilbert-Schmidt).Si T ∈B(H)es un operador normal y compacto, existe un sistema ortonormal contable (en)de vectores propios de T, de modo que cada x ∈H puede representarse de manera única en la forma x=∑ n cnen+z, donde T(z) = 0y cn=hx,eni. Además, si Ten=λnenpara cada n, dado x ∈H se verifica Tx =∑ n λncnen. Demostración. Aplicando el Teorema 3.2.8 se sabe que σ(T)es contable. Así, existe una base ortonormal (eα)α∈Ade Hformada por los vectores propios de T.Separando los índices correspondientes a los valores propios nulos y no nulos, sean B={α∈A:Teα=λαeα,λα6=0} C={α∈A:Teα=0} Autor: Iuliana Alexandra Loiszli