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NUEVAS VARIABLES CANÓNICAS PARA LA INTEGRACIÓN ANALÍTICA DEL PROBLEMA PRINCIPAL-ECUATORIAL DEL SATÉLITE ARTIFICIAL Máster en Modelización Matemática, Estadística y Computación Trabajo de Fin de Máster Sergio Borrallo Tirado 1 Nuevas variables canónicas para la integración analítica del problema principal-ecuatorial del satélite artificial Introducción 03-06 1) Formulación del problema principal-ecuatorial 07-18 a) Movimiento kepleriano b) Variables de estado: vector de estado c) Elementos orbitales d) Variables polares-nodales e) Variables de Delaunay f) Movimiento orbital g) Problema principal ecuatorial del satélite artificial 2) Nuevas variables tipo “Delaunay” para la integración del problema 19-30 a) Obtención de la función generatriz b) Significado de los nuevos momentos c) Obtención de las nuevas variables 2 d) Obtención de las funciones   y  e) Significado de las nuevas variables f) Expresiones explicitas de la transformación g) Integración del problema principal-ecuatorial en las nuevas variables 3) Obtención de la distancia  en función del tiempo . Ecuación de Kepler Generalizada 31-44 a) Expresión de la relación entre  y  como un oscilador armónico perturbado b) Aplicación del método Krylov-Bogoliuvov-Mitropolsky c) Relación de  con  y  d) Ecuación de Kepler Generalizada Conclusiones 45-46 Apéndices 47-54 e) Elementos de dinámica hamiltoniana y ecuación de Hamilton-Jacobi f) Método de Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky Bibliografía 55-56 3 Introducción La tecnología espacial es responsable de una buena parte de los avances tecnológicos actuales. Desde el año 1957, cuando se lanzó al espacio el primer satélite artificial, se han realizado una gran variedad de misiones espaciales con objetivos muy diferentes. Una de las partes fundamentales de cada proyecto es el análisis de misión, que consiste en la determinación previa de la órbita que seguirá el satélite para cumplir las especificaciones de la misión (Werz & Larson, 2010). El poder imponer el cumplimiento de determinadas condiciones para una órbita ha permitido alcanzar con éxito muchos de los objetivos de las misiones realizadas hasta hoy. De entre toda la variedad de órbitas de satélites artificiales terrestres las más conocidas, por su utilidad para las comunicaciones, son las llamadas órbitas geoestacionarias. Las primeras ideas sobre las órbitas geoestacionarias fueron publicadas por Herman Potočnik en 1928 en su trabajo “El problema del viaje espacial - El motor cohete”. Años después, en 1945, Arthur C. Clarke hace mención a las ventajas que puede tener el uso de esta órbita para las comunicaciones, pues con solo tres satélites es suficiente para establecer comunicación con cualquier punto del planeta, exceptuando regiones cerca de los polos. En el año 1963 es lanzado, y puesto en órbita, el Syncom-2, que es el primer satélite de comunicaciones en órbita geoestacionaria. Esto confirmó las ideas de Arthur C. Clarke y constituye un avance fundamental en distintas disciplinas o áreas de conocimiento como son: las telecomunicaciones, climatología, oceanografía, geodesia, militar, entre muchas otras más. Las órbitas geoestacionarias pertenecen a un conjunto más amplio, que llamaremos órbitas geosíncronas , caracterizadas por su sincronía con la rotación de la Tierra, de manera que el periodo orbital del satélite, que es función del semieje mayor de la elipse orbital, coincide con el periodo de rotación terrestre, esto es, un día sidéreo (23h 56m 4.09s). Para que ésto sea así, el semieje (o el radio si son circulares) debe medir 42164 km. Si además de la sincronización de periodos hacemos que la inclinación de la órbita sobre el ecuador terrestre sea nula, esto es, que el satélite esté siempre en el ecuador, conseguimos que el satélite sea visible desde la Tierra como un punto fijo en el ecuador, de ahí que a estas órbitas se las llame órbitas geoestacionarias , y que una simple antena fija permita una recepción y transmisión de datos de forma continua. Una detallada descripción de las características dinámicas de estas órbitas puede verse en Soop (1994). El objetivo de esta memoria es construir una teoría analítica, basada en un conjunto especial de variables canónicas, para describir y analizar el movimiento de los satélites geoestacionarios o próximos a geoestacionarios. 4 La primera aproximación al movimiento orbital nos la dan las ecuaciones del movimiento kepleriano, que no son sino las ecuaciones derivadas de las leyes de Newton cuando existen fuerzas de atracción gravitacional entre masas puntuales. La integración de estas ecuaciones conduce a un movimiento que puede describirse a partir de las conocidas leyes de Kepler . Las leyes de Kepler nos aseguran órbitas planas y cónicas y en ocasiones, cuando la cónica es una elipse, periódicas. Sin embargo, la realidad nos da órbitas muy próximas a las descritas por las leyes de Kepler pero no exactamente iguales, lo que se debe a la aparición de otras fuerzas, gravitacionales o no, que actúan sobre el sistema modificándolo. Entre las fuerzas más importantes que perturban la órbita de un satélite artificial tenemos: que la Tierra no es un punto sino un cuerpo no esférico; el rozamiento producido por la atmósfera cuando el satélite está dentro de ella; la fuerza gravitacional producida por el Sol y la Luna, la fuerza de radiación solar, etc. (Abad, 2012; Danby, 1988; Kovalevsky, 1967). El problema principal del satélite artificial consiste en el estudio de su movimiento orbital considerando un modelo kepleriano perturbado por el achatamiento de la Tierra (o de cualquier otro planeta). El achatamiento de un planeta constituye la principal perturbación sobre la órbita kepleriana de un satélite artificial; cualquier otra perturbación tiene una magnitud mucho menor que ésta. Las perturbaciones separan el satélite de su posición prevista, lo que obliga a encender los motores del satélite, cada cierto tiempo, para situarlo de nuevo en esa posición. Naturalmente ese gasto de combustible determina el coste y duración de la misión espacial, por lo que un buen conocimiento previo de la órbita que seguirá el satélite incide en su coste final. Por ello resulta de gran utilidad la obtención de un modelo analítico del movimiento del satélite considerando el mayor número posible de perturbaciones que permita integrar el modelo. A pesar de la simplicidad de un sistema dinámico kepleriano, la dinámica del movimiento orbital se complica notablemente cuando añadimos cualquier tipo de perturbación. Tanto si añadimos un tercer cuerpo al sistema orbital como si consideramos la perturbación producida por el achatamiento obtenemos sistemas dinámicos “no integrables” que nos conducen a la necesidad de aplicar métodos numéricos o desarrollos asintóticos para el análisis de los sistemas. La única posibilidad de obtener sistemas integrables consiste en restringir alguna de las características del movimiento, por ejemplo, si en el problema principal nos limitamos a orbitas ecuatoriales, el problema, que llamaremos problema principal-ecuatorial , se convierte en integrable. Por su integrabilidad consideraremos el problema principal-ecuatorial del satélite para trazar la órbita preliminar del satélite en sustitución de su órbita kepleriana. Aunque existen diversas soluciones analíticas a este problema (Jezewski 1983 y Martinusi & Gurfil 2013), ninguna de ellas permite su posterior utilización para el estudio del efecto 5 de otras perturbaciones de menor magnitud, como el efecto gravitacional de la luna o la radiación solar, etc. En este trabajo se propone un nuevo enfoque en la solución de este problema, basado en la aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi para la obtención de un nuevo conjunto de variables canónicas, similares a las obtenidas por Delaunay para el movimiento de la Luna (Delaunay 1860), donde, al añadir la perturbación del problema principal-ecuatorial como un término ∗/, se introducen expresiones dependientes de funciones e integrales elípticas que serán obtenidas a partir de las relaciones que aparecen en Byrd & Friedman (1971). Las variables de Delaunay, cuyo significado está íntimamente relacionadas con los elementos orbitales, han jugado un papel fundamental en la obtención de las teorías analíticas del movimiento orbital. La primera de estas variables es la anomalía media,  que no es sino una función lineal del tiempo que varía de 0 a 2 π en cada periodo, por lo que su uso equivale a usar explícitamente la variable tiempo en las expresiones de la teoría. Una de las características del problema kepleriano es que resulta imposible la obtención de expresiones analíticas cerradas (que no usen desarrollo en serie de potencias) para ninguno de los parámetros dinámicos que describen el problema, en particular la distancia  entre el satélite y el planeta. Para resolver esto se usa, en lugar de la anomalía media, otra variable angular, llamada anomalía excéntrica, , cuya relación con la anomalía media viene dada a partir de la llamada ecuación de Kepler, sin, donde  es la excentricidad. Esta relación resulta de enorme importancia en el tratamiento del movimiento orbital. En nuestro caso, aparecerá el mismo problema, esto es, no podremos expresar explícitamente ningún parámetro a partir de la primera de las variables obtenidas, por lo que deberemos desarrollar un procedimiento para encontrar la expresión equivalente a la ecuación de Kepler, que nosotros llamaremos ecuación de Kepler generalizada y que jugará, en este problema, un papel similar al de la ecuación de Kepler en el movimiento kepleriano. La ecuación de Kepler generalizada se obtendrá de manera indirecta reformulando el problema principal-ecuatorial como un oscilador armónico perturbado que se resolverá aplicando el método de Krylov-BogoliuvovMitropolsky (explicado en el apéndice B y que, a partir de ahora, será llamado por brevedad método KBM) La presente memoria se presenta en tres capítulos que presentan respectivamente: la formulación del problema principal-ecuatorial del satélite; la obtención de unas variables similares a las de Delaunay adecuadas a este problema (junto con la integración del mismo); y la obtención de la ecuación de Kepler generalizada. Finalmente, después de las conclusiones, se presentan varios apéndices con las herramientas básicas usadas a lo largo de la memoria, y la bibliografía utilizada. 6 7 1. Formulación del problema principal-ecuatorial. Movimiento kepleriano El problema kepleriano consiste en el estudio del movimiento de una partícula P, que llamaremos orbitador 1 , relativo a otra partícula O, que llamaremos cuerpo central 2 . Las ecuaciones del movimiento kepleriano están representadas por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:  , donde , es la fuerza kepleriana, siendo      el vector de posición de  respecto de , ‖‖ la distancia y  ! la constante gravitatoria resultado del producto de la constante de gravitación universal  por la suma de las masas de ambos cuerpos. El sistema diferencial anterior, de orden dos, puede ponerse como un sistema de ecuaciones de orden uno en la forma "#,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.% #" , donde # es el vector velocidad. El problema kepleriano puede ser también expresado en forma hamiltoniana. Para ello supondremos un sistema dinámico cuyo hamiltoniano, que llamaremos hamiltoniano kepleriano , tendrá la forma ',#( )12#∙#  ‖‖, donde  representa las coordenadas y # los momentos y hemos llamado energía cinética del movimiento relativo al primer sumando y energía potencial del movimiento relativo al segundo. 1 Entre los distintos tipos de orbitadores encontramos, entre otros, planetas, asteroides, cometas, satélites naturales y artificiales, etc. 2 Estrellas como el Sol, planetas, etc. 14 o expresado como un sistema de orden uno "#,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.d #"  b. Cuando el vector perturbación vale cero, b0, el movimiento coincide con el movimiento kepleriano, mientras que cuando se verifique la condición ‖b‖≪f g h , esto es, cuando la aceleración que produce la perturbación sea mucho menor que la kepleriana, la solución de (1.4) o (1.5) será llamada movimiento kepleriano perturbado o, simplemente, movimiento orbital . En este caso el comportamiento del movimiento orbital es muy próximo al del movimiento kepleriano, sirviendo éste como primera aproximación para comprender y estudiar el movimiento de los cuerpos en el espacio. De hecho, la forma práctica para visualizar este movimiento orbital supone considerar que la órbita es instantáneamente kepleriana, esto es que en cada instante se puede describir como una partícula describiendo una cónica (órbita osculatriz) cuyos elementos van variando lentamente con el tiempo. Si existe una función )i que verifique b-)i$, podemos definir el hamiltoniano ', del movimiento orbital ',#' )i12#∙#  ‖‖ )i$, como suma del hamiltoniano kepleriano ' y la función )i, que llamaremos potencial perturbador. Las ecuaciones de Hamilton aplicadas a este hamiltoniano coinciden con las ecuaciones (1.5) del movimiento orbital, por lo que ambos sistemas son equivalentes y llamaremos a ',# hamiltoniano del movimiento orbital. Problema principal ecuatorial del satélite artificial Las ecuaciones diferenciales del modelo kepleriano están basadas en la ley de gravitación universal de Newton que formula la fuerza de atracción entre dos masas puntuales. En un caso más general dicha fuerza de atracción puede extenderse a sólidos homogéneos de forma esférica. Sin embargo en el caso del satélite artificial los dos cuerpos involucrados son el satélite y la Tierra (o planeta). La pequeña masa y dimensiones del satélite comparada con la de la Tierra permite considerar éste como 15 un punto, sin embargo la forma de la Tierra no es esférica, de hecho, ni siquiera es un sólido, sino un fluido con movimientos internos de masas y una densidad no constante, a pesar de lo cual consideraremos como aproximación suficiente una Tierra o planeta sólido de densidad constante. En lo que sigue formularemos el modelo de potencial gravitatorio producido por un sólido homogéneo sobre una masa puntual. El potencial creado por el sólido en j vendrá dado por la integral extendida a toda la masa del solido )kl ∆ n$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.o Si ,p representan los vectores de posición respectivos de j y , referidos a un sistema con centro en el centro de masas del sólido, y  el ángulo entre dichos vectores, tendremos Δ2r;;is2;2 ;i22|;|u;iuvwx|;|212;y ;2. Donde en la última expresión hemos llamado ;uz { u |z|, yvwx. Finalmente, puesto que |;|, podemos poner 1Δ1∙1 √12;y ;2$.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.} El término 1/√12;y ;2 suele sustituirse por su desarrollo en serie de potencias 1 √12;y ;2~•y;• •€6 ~•vwx;• •€6 , Tal y como se ve en la figura de la izquierda, cada punto P de un sólido, de masa l, ejerce sobre un orbitador S una fuerza de atracción cuyo potencial viene dado por la expresión ∙•‚ ∆ siendo ∆ la distancia entre P y S, y  la constante de gravitación universal. Además tomaremos como unidad de masa la de S y llamaremos l al elemento diferencial de masa del punto  . 16 cuyos coeficientes son los polinomios de Legrende, definidos por la expresión •1 2•L!l• l•$21•, que en particular para, el orden dos, se puede poner como 212321.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.… Para calcular la integral (1.6) a lo largo de toda la masa del solido formularemos el problema en un sistema de coordenadas planetográficas 6 donde llamaremos ,†, respectivamente a la longitud y latitud planetográfica del satélite y Λ,Φ a las de un punto P del planeta y de igual modo vamos a llamar ;‰ Š y ;i ‹ a las direcciones de los vectores de posición, en coordenadas cartesianas, del planeta y del satélite respectivamente. El coseno del ángulo  entre estos dos vectores vendrá dado por el producto escalar de ambos, lo que lleva a la expresión vwx;‰ Š∙;i ‹xL†$xLΦ vwx†$vwxΦcosΛ. La relación anterior, llevada a los polinomios de Legrende, permite obtener la siguiente propiedad •vwx•xL†•xLΦ 2~LŒ! L Œ! • •Ž1 ••xL†••xLΦvwxŒΛ.$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.• donde •• representan los polinomios asociados de Legendre (Abad, 2012) definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Legendre. Por otro lado, la expresión (1.6) del potencial del sólido, haciendo uso de (1.7), se podrá poner como )kl Δ nk1∙1 √12;y ;2l n$$ k1∙~•vwx;• •€6 l n~k•‘’••vwx n •€6 , 6 La longitud planetográfica se mide en el ecuador del planeta desde un meridiano principal definido y aceptado internacionalmente. La latitud planetográfica se mide en el arco que une el ecuador con la posición del punto en cuestión. 17 de donde, usando la relación (1.9) llegamos a )“  “ ~•i ’•”•••xL†$$$$ •€2 ~••xL†r0••$vwxŒ j••$xLŒs • •Ž1 –,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.%7 siendo i el radio ecuatorial del planeta, M la masa del mismo y donde ••,0••,j••$, llamadas coeficientes armónicos 7 , son constantes para cada sólido que corresponden a las expresiones de las integrales después de separar los términos que dependen únicamente de la posición del orbitador. Si conocemos la distribución de masas del sólido estas constantes pueden ser calculadas por integración, sin embargo, en el caso de los planetas y la Tierra dichas constantes únicamente pueden ser medidas en forma indirecta a partir de un detallado análisis de las órbitas de los satélites artificiales. Los términos •• son llamados armónicos zonales , mientras que 0••,j••$$son los armónicos teserales . Si el sólido tiene simetría de revolución, los términos dependientes de la longitud  desaparecen, y nos quedamos únicamente con los términos zonales ••. En particular el término •2 corresponde al achatamiento planetario, esto es a la diferencia entre los radios ecuatorial y polar. Por lo que respecta a su magnitud el armónico •2$es en general mucho más grande que el resto de los armónicos, en el caso de la Tierra éste tiene una magnitud de 10—, mientras que el resto de armónicos es del orden de 10—5. Esto significa que la expresión (1.10) puede separarse en tres sumandos. El primer sumando corresponde al término )“ , que representa el potencial del planeta si fuese un punto o un sólido homogéneo, esto es el potencial kepleriano. El segundo sumando )i“ •i ’2•2$2xL†, corresponde a la acción del achatamiento terrestre o lo que es igual a considerar el planeta como un elipsoide homogéneo de revolución. Finalmente, el tercer sumando corresponde a la parte de la expresión (1.10) excluyendo los sumandos ) y )i. 7 Eligiendo el centro de masas del sólido como origen del sistema de referencia los términos •1,011,j11 0, por lo cual el sumatorio (1.9) comienza en el índice n = 2 y no en n=1. 18 Como se ha dicho en el apartado anterior la primera aproximación al movimiento orbital del satélite artificial se obtiene utilizando el modelo kepleriano, lo que equivale a considerar )). Si queremos una mejor aproximación a la órbita real debemos añadir a éste el potencial debido al achatamiento terrestre, esto es, considerar el potencial )) )i$ •i ’2•2$2xL†,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.%% siendo “. Al modelo obtenido sustituyendo el potencial kepleriano por (1.11) se le denomina problema principal del satélite . En nuestro caso, como se ha dicho en la introducción, no consideraremos este modelo, sino una aproximación al mismo, que llamaremos problema principalecuatorial que consiste en suponer que el satélite se encuentra en una órbita que no abandona el plano ecuatorial, por lo que en todo momento †0,$o lo que es igual, xL†0. De esta forma se tendrá, de acuerdo con (1.9), que 2xL†$1/2, y por tanto el potencial para el problema principal ecuatorial se expresará, a partir de (1.11) como )) )i˜$ ∗ ,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.%R donde$$“ y ∗“i2•2/2. Una vez conocido el potencial podemos obtener fácilmente la expresión del Hamiltoniano de este problema que, de acuerdo con (1.3), puede expresarse en variables polares-nodales como '12[V2 Θ2 2\ ∗ $.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.%> Si tenemos en cuenta que el factor •2 es del orden de la milésima podemos concluir que ∗≪, y por tanto poner ∗$™ š, donde ™ es un pequeño parámetro y š es del mismo orden que . De este modo, podemos expresar (1.13) en la forma '12[V2 Θ2 2\ ™ š $,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%.%c esto es, como un desarrollo en serie de potencias de un pequeño parámetro ™,$cuyo orden cero corresponde con el hamiltoniano kepleriano y el orden uno, š/, representa la perturbación del problema principal ecuatorial. 19 2. Nuevas variables tipo “Delaunay” para la integración del problema Para encontrar unas nuevas variables canónicas adecuadas para el problema principalecuatorial partiremos del hamiltoniano del mismo expresado en variables polaresnodales, que como hemos visto en el apartado anterior puede expresarse como ',T,›,V,Θ,X12[V2 Θ2 2\ ∗ $,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.% donde, como vemos, no aparecen explícitamente ni la variable › ni el momento X. La no aparición de › (ángulo del nodo) y X (proyección del momento angular sobre el eje OZ) permite dejar fijos estos elementos en la transformación canónica que buscamos, de manera que trataremos de encontrar una transformación ,T,›,V,Θ,X$$$$$$$↔$$$$$$$,•,›,Λ,Γ,X, que transforme únicamente las variables ,T en ,•, y los momentos en V,Θ en Λ,Γ. El procedimiento que seguiremos para obtener esta transformación es similar al usado en Abad (2012) para la obtención de las variables de Delaunay con la diferencia de que allí se parte del Hamiltoniano del problema kepleriano y aquí se parte del hamiltoniano (2.1) cuyo término adicional, ∗/, complica las expresiones de las nuevas variables al aparecer integrales elípticas en las expresiones. En Abad (1985) se aplica un proceso similar para el estudio del movimiento de una estrella en un sistema triple. Este procedimiento está basado en la búsqueda de una función generatriz j,T,Λ,Γ, dependiente de las variables viejas y los nuevos momentos, que cumpla la ecuación de Hamilton-Jacobi, en la forma que se muestra en el apéndice A. Las expresiones (A.4) del apéndice indican que la transformación canónica se obtendrá a partir de las relaciones VŸj Ÿ$,$$$$$$$$$$$ΘŸj ŸT,$$$$$$$$$$Ÿj ŸΛ$,$$$$$$$$$$$•Ÿj ŸΓ$,$$$$$$$$$$$$$$$$$R.R mientras que la función generatriz, de acuerdo con (A.5), debe verificar 12 ¡Ÿj Ÿ¢2 1 2¡Ÿj ŸT¢2£ ∗ Λ$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.> donde como se ve se ha elegido la energía del sistema como el primer momento Λ. 20 Obtención de la función generatriz Para encontrar una función generatriz que verifique (2.3) ensayaremos una función j,T,Λ,Γj1,Λ,Γ j2T,Λ,Γ, que sea separable en otras dos, cada una de las cuales depende únicamente de una de las variables antiguas. De esta forma podremos poner Ÿj ŸŸj1 Ÿ$$$$$$$$$$$$$;$$$$$$$$$$$$Ÿj ŸTŸj2 ŸT$, por lo cual, la ecuación (2.3) toma la forma: 12 ¡Ÿj1 Ÿ¢2 1 2¡Ÿj2 ŸT¢2£ ∗ Λ$,$ que , reorganizando términos, se transforma en: ¡Ÿj2 ŸT¢222Λ2¡Ÿj1 Ÿ¢2 22∗ $, donde el término de la izquierda solo depende de los nuevos momentos y de T, mientras que el de la derecha solo depende de los momentos y de . Así pues esto obliga a que ambos términos sean independientes de las variables  y T, por lo que cualquier función de Λ y Γ verificará la igualdad. Por ello elegimos el momento Γ2 como el valor de la igualdad, de forma que se tendrá ¡Ÿj2 ŸT¢222Λ2¡Ÿj1 Ÿ¢2 22∗ Γ2$.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.c Igualando el primer y el tercer término de la igualdad (2.4) se tiene que ¡Ÿj2 ŸT¢2Γ2$$$$$→$$$$$Ÿj2 ŸT¥Γ$$$$$→$$$$$j2T¥ΓT, donde hemos elegido un límite inferior T0 para la integración. Aunque cualquiera de las dos soluciones es válida elegiremos, para simplificar, la expresión con signo positivo, así se tendrá j2T,Λ,ΓΓT$. De igual modo usando el primer y segundo término de (2.4) observamos que 22Λ2¡Ÿj1 Ÿ¢2 22∗ Γ2$, 21 que reordenando queda: Ÿj1 ŸP2Λ 2 Γ2 22∗ $$→$j1kP2Λ 2 Γ2 22∗ l g g ¦ ,$ donde el límite inferior de integración 6 será elegido como la mínima distancia entre el orbitador y el origen de coordenadas, o lo que es igual, la distancia en el periastro. Hemos hallado, por tanto, unas expresiones para j1 y j2, por lo que ahora podemos expresar la función generatriz j$de la transformación como j,T,Λ,ΓΓT kP2Λ 2 Γ2 22∗ l g g ¦ .$$$$$$$$$$$R.d De aquí en adelante, con objeto de simplificar las expresiones, llamaremos §P2Λ 2 Γ2 22∗ $,$$ y de ahí podremos poner j,T,Λ,ΓΓT k§$l g g ¦ .$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.o Significado de los nuevos momentos Una vez obtenida la función generatriz, usaremos las expresiones dadas en (2.2) para obtener las relaciones que definen las nuevas variables canónicas. Las dos primeras expresiones (2.2) nos conducen a las expresiones VŸj Ÿ§$$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.} ΘŸj ŸTΓ$.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.… De (2.8) se deduce que el segundo momento de las nuevas variables coincide, al igual que para las variables de Delaunay, con el segundo momento de las variables polaresnodales, esto es, con la norma del momento angular. De esta forma hemos dado significado a los nuevos momentos:  Λ representa la energía del sistema, como se estableció en la página 20. 22  Γ es la norma del momento angular →$ΓΘG$. Obtención de las nuevas variables Las dos últimas relaciones (2.2) se podrán poner como Ÿj ŸΛkl §$ g g ¦ $,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.• •Ÿj ŸΓTkΓl 2§ g g ¦ $.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.%7 En primer lugar, realizaremos el cambio de variables 1/B, que conduce a las expresiones klB B2M2Λ 2BΓ2B22∗B ¨ ¨ ¦ $$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.%% •TkΓdz M2Λ 2BΓ2B22∗B ¨ ¨ ¦ $$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.%R donde B61 g ¦ . Las expresiones anteriores, una vez integradas y después de deshacer el cambio de variables, se podrán poner como: , •T$.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$R.%> Obtención de las funciones  r  y fr. La expresión de las funciones (2.11) y (2.12) se obtendrá mediante la integración de expresiones en las que aparece la raíz cuadrado de un polinomio de grado tres. Este tipo de expresiones conduce a integrales elípticas que pueden obtenerse haciendo uso de las relaciones que aparecen en el libro Byrd & Friedman (1971). 23 Las expresiones de estas integrales se obtienen factorizando los polinomios y aplicando un determinado cambio de variables en función del valor relativo del extremo de integración con respecto a las raíces H,-$y v del polinomio. Así, tendremos los siguientes casos:  Caso 1 = H®-¯<®v,  Caso 2 = H®-®<¯v,  Caso 3 = H¯<®-®v,  Caso 4 = H®<¯-®v. En lo que sigue se hará uso de las siguientes integrales elípticas:  Integral elíptica incompleta de primera especie $$$$$$$°,±klT √1²2sen2T ³ 6$.  Integral elíptica completa de segunda especie ´°,±kM1²2xL2T$lT ³ 6$.  Integral elíptica incompleta de tercera especie ∏°,¶R,±klT 1y2sen2T√1²2sen2T ³ 6$. Así como de las funciones elípticas de Jacobi xL$·,²,vL$·,² y lL$·,², definidas a partir de las siguientes relaciones xL$·,²xL$¸H·,²¹$. vL·,²vwx$¸H·,²¹$. $$$$$$$$$$$$$$$$$$$lL·,²M1²2sen2¸H·,²¹$. donde ºH$·,² es la inversa de la integral elíptica de primera especie, es decir, H·,²$$$$$$$↔$$$$$$$·»,² Una detallada descripción de las propiedades de estas funciones puede verse también en Byrd & Friedman (1971). 30 Integración del problema principal ecuatorial en las nuevas variables Finalmente abordaremos el problema de la integración del modelo principalecuatorial del satélite para el que la función hamiltoniana, expresada en las nuevas variables será ',•,›,Λ,Γ,XΛ$$, por lo que las ecuaciones de Hamilton podrán ponerse como "Ÿ' ŸΛ1$$$$$$$$$$;$$$$$$$$$$Λ"Ÿ' Ÿλ0,$ "Ÿ' ŸΓ0$$$$$$$$$$;$$$$$$$$$$Γ"Ÿ' Ÿγ0,$ U"Ÿ' ŸN0$$$$$$$$$$;$$$$$$$$$$X"Ÿ' Ÿν0, que integradas nos darán ($$$$;$$$$$••6$$$$;$$$$UU6,$ ΛΛ6$$$$$$$$$;$$$$$ΓΓ6$$$$;$$$$XX6,$$$$ Donde •6,U6,Λ6,Γ6,X6 representa el valor constante de las variables en el instante inicial T. 31 3. Obtención de la distancia  en función del tiempo  . Ecuación de Kepler Generalizada. Expresión de la relación entre$r y t como un oscilador armónico perturbado Como se ha dicho en el apartado anterior, para completar la definición de las variables del tipo “Delaunay” en el problema principal-ecuatorial, y la integración del movimiento orbital en estas variables, es necesario obtener la relación $(. Para ello volveremos de nuevo a la expresión (1.14) del hamiltoniano del problema a12[V2 Θ2 2\ ™ š $. Si aplicamos a dicho hamiltoniano las ecuaciones de Hamilton correspondientes a las variables ,V se obtendrá 9 l lŸa ŸVV$, lV lŸa Ÿ3™š 3 Θ2  2$, de donde podemos poner l2 l2lV lΘ2  2 3™š 3$.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$>.% A continuación introduciremos el siguiente cambio de variables ·1 Ý$$$$$$$$;$$$$$$$2l lΘ$$$$$$$$;$$$$$$$$Þl· l$$$$$$$$;$$$$$$$$Ý Θ2 que permite obtener las siguientes relaciones l· l1 2l l→l l2l· l2l· llx lΘl· l$$,$ l2 l2lΘ ll· lΘd dt¡l· l¢Θd2· l2lx lΘ¡Θ 2¢l2· l2Θ2·Ý2l2· l2 9 El resto de variables tienen derivada nula por lo que son todas constantes. 32 que llevadas a (3.1) nos dan para el término de la izquierda la expresión l2 l2Θ2·Ý2l2· l2, mientras que para el término de la derecha de (3.1) se tendrá Θ2 · 2 ™3š 3Θ2·Ý··Ý2 ™¸3š·Ý3¹$.$ Igualando y dividiendo por Θ2·Ý2 se tiene l2· l2·Ý · Θ2 ™¸3š·Ý2¹$, Como Ý·/Θ2 podremos poner l2· l2 ·™¸3š·22·Ý Ý2¹$, y finalmente llegamos a la expresión l2· l2 ·™²6 ²1· ²2·2$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$>.R donde ²63šÝ2$$;$$²16šÝ$$;$$²23š. La expresión anterior corresponde a la ecuación de un oscilador armónico perturbado, del tipo dado en (A.6), con una frecuencia I1, y donde el tiempo es la anomalía verdadera . Para integrar dicha ecuación aplicaremos el método KBM del apéndice B. Aplicación del método KBM El método KBM consiste en ensayar una solución ·à$vwx ~™• L!·•à, •€1 ~™• L!·•à,$, •€6 $$$$$$$$$$$$$>.> donde cada uno de los ·•à, es una función 2E-periodica de . De forma que tanto à como  varían de acuerdo con la relación diferencial: là l~™• L!á•à •€1 ~™• L!á•à •€6 ,$$$$$$á60,$$$$$$$$$$$$$$$$$$>.c 33 l l1 ~™• L!â•à •€1 ~™• L!â•à •€6 ,$$$$$$â61.$$$$$$$$$$$$$>.d Observemos que la segunda relación nos indica que  ™$à, esto es, representa una pequeña perturbación de la anomalía verdadera. En primer lugar calcularemos los valores »6,• que conforman la ecuación que aparece indicada en el apéndice B (A.13): »·,Þ;™~™• L!»6,•$, •€6 donde Þ•Ã •Ö , término que no aparece en nuestra expresión. Para hacerlo sustituimos en (3.2) los valores de · por el desarrollo en serie (3.3), donde si nos quedamos en el orden dos 10 tendremos ··6 ™·1 ™2 2·2$. Por lo tanto l2· l2 ·»·,Þ,™ ™ã²6 ²1[·6 ™·1 ™2 2·2\ ²2[·6 ™·1 ™2 2·2\2ä. Si nos quedamos con los términos de ™• tal que Lå2, tendremos finalmente »·,Þ,™™²6 ²1·6 ²2·62 ™2·1²1 2·6·1²2$. Así que, emparejando términos obtenemos que »61²6 ²1·6 ²2·62$$$$$$$$$$$$;$$$$$$$$$$»62·1²1 2·6·1²2$.$$$$$$$$$$>.o Tal y como viene explicado en el apéndice B, vamos a suponer que cada uno de los valores de ·• puede ser expresado mediante una expansión de serie de Fourier de una función 2E-periodica. Para ello comencemos calculando los términos æ•,$mediante la aplicación de la fórmula (A.13) en la que necesitaremos conocer tanto el valor de »6,• (valores hallados en (3.6)) como el del I• correspondiente. Para hallar el valor de cada uno de los I• haremos uso de la formula (A.11) que necesita de los valores de á•—1,â•—1 y ·•—1, es decir, exactamente un orden inferior 10 De aquí en adelante se obtendrá una teoría de orden 2. Para teorías de orden mayor la complejidad de las expresiones que aparecen se hace muy grande y es necesario usar procesadores simbólicos para su obtención. 34 (por lo que son valores previamente hallados). Aplicando este proceso iterativo podemos calcular los valores de ·• hasta el orden que queramos. Ahora vamos a establecer los valores iniciales. Tal y como aparece en (A.8) y (A.9) tenemos que ·6à$vwx, á60 y â61. De igual modo, se tiene que I60, por lo que finalmente obtenemos que æ6»6,6I60. Continuamos del mismo modo, ahora para hallar los términos L1. Aplicando las mismas fórmulas que en el párrafo anterior, obtenemos que: I10 æ1»6,1I1²6 ²1·6 ²2·62²6 ²1à$vwx ²2à2cos2, Si como se dice en el apéndice B, llamamos v• y x• a los coeficientes respectivos de los términos en vwxŒ y xLŒ del desarrollo en serie de Fourier de la función  podremos poner finalmente, para$$æ1 v6æ1²6 ²2à2 2$$$$$$$$;$$$$$$$$v1æ1²1à$$$$$$$$;$$$$$$$$v2æ1²2à2 2$.$ Con los datos anteriores, y haciendo uso de las expresiones (A.15) y (A.16), tendremos que $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$á10,$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$â1²1 2,$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$v6·1²6 ²2à2/2,$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$v1·10,$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$v2·1²2à2 6, mientras que el resto de los coeficientes v•·1,x•·1$del desarrollo en serie de Fourier de$$·1 son iguales a a cero. Finalmente la expresión de $·1$se podrá poner como ·1[²6 ²2à2 2²2à2 6vwx2\$, Siguiendo exactamente el mismo proceso calculamos ahora los términos de un orden superior. Comenzamos con el valor de »6,2: »6,2·1²1 2·6·1²2 35 Sustituyendo el valor de ·1, previamente hallado, queda que »6,2[²1²6 ²1²2à2 2\ à²2$2²6 ²2à2vwx²1²2à2cos2cos2 2²22à$vwx$vwx2$. Tal y como se explica en el apéndice B, obtenemos el valor de I2 por medio de la relación (A.11) I22I116 I161 I611, donde, de acuerdo con (A.12) se tiene I116$²12àvwx 4$$$$$$$;$$$$$$$$$$I161I611²1²2à2 3vwx2, por lo que al final podemos poner I2²1à 63²1vwx 8²2àvwx2. Así que ya estamos en condiciones de hallar el valor de æ2»6,2I2 que resulta ser æ2[²1²6 ²1²2à2 2\ à²2[2²6 ²12 2²25²2à2 6\vwx 7²1²2à2$vwx2 ²22àvwx3$. Continuando el proceso como en el orden anterior obtendremos $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$á20$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$â2²2[56²2à22²6²12 2²2\$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$v1·20$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$v2·27 18²1²2à2$$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$v·2²22à$, lo que permite expresar el valor de ·2 en la forma ·2²1²6 ²1²2à27 18²1²2à2vwx2 ²2àvwx3$. 36 A partir de ·6,$·1 y ·2, obtenemos la expresión aproximada al orden dos de ·, que será ·àvwx ™[²6 ²2à2 2²2à2 6vwx2\ ™2 2[²1²6 ²1²2à27 18²1²2à2vwx2 ²2àvwx3\$. De igual modo también nos interesa hallar la expresión de Þ. Para ello aplicamos la formula (A.10) Þ•~L! F!Œ![á럷• Ÿà â럷• Ÿ\ ëì•Ž• $, a partir de la condición inicial Þ6àxL. Para el orden uno se tendrá: Þ11! 1!0!¡á1Ÿ·6 Ÿà â1Ÿ·6 Ÿ¢ 1! 0!1!¡á6Ÿ·1 Ÿà â6Ÿ·1 Ÿ¢$, por lo que Þ1²1àxL ²2à2xL2$. Para el orden dos tendremos: Þ22! 2!0!¡á2Ÿ·6 Ÿà â2Ÿ·6 Ÿ¢ 2! 1!1!¡á1Ÿ·1 Ÿà â1Ÿ·1 Ÿ¢ 2! 0!2!¡á6Ÿ·2 Ÿà â6Ÿ·2 Ÿ¢$, y finalmente Þ2²2à[2²6 ²12 2²256²2à2\xL 4²1²2à2xL2²2à$xL3$. Por lo tanto la expresión de Þ , hasta el orden dos, será ÞàxL ™²1à$xL ²2à2$xL2 ™2 2 ²2à[2²6 ²12 2²256²2à2\$xL 4²1²2à2$xL2 ²2à$xL3£$. 37 Finalmente si tenemos en cuenta la expresión (3.4) y los valores obtenidos para á1 y á2, se tendrá que la derivada de à respecto de  vale cero por lo que à resulta ser una constante. Por otro lado, puesto que las funciones â1 y â2 solo dependen de à, y ésta es constante, las funciones â1 y â2 son también constantes, por lo que llevadas a (3.5) obtendremos l l[1 ™â1 ™2 2â2\$Lí$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$>.o siendo Lí una constante. Integrando ésta se tendrá finalmente Lí$$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$>.} de ahí, que la variable  que no es sino la anomalía verdadera  multiplicada por una constante próxima a la unidad será llamada anomalía media generalizada . Relación de r con ψ y f Si ahora tenemos en cuenta la relación entre  y · indicada en la página 32, ·1g Ý$, podremos expresar  en función de  1·Ýà$vwxÝ ™[²6 ²2à2 2²2à2 6$vwx2\ ™2 2[²1²6 ²1²2à27 18²1²2à2vwx2 ²2àvwx3\$, por otro lado, si introducimos las siguientes igualdades A1Ý$$$$$$$$$$$;$$$$$$$$$$$àÝ$$$$$$$$$$$$;$$$$$$$$$$$H A 12$, donde A,,H son respectivamente el semi-lado recto, la excentricidad y el semieje mayor, podremos poner 11 vwx A ™[²6 ²2à2 2²2à2 6vwx2\ ™2 2²1²6 ²1²2à27²1²2à2vwx2 ²2àvwx3$. 38 Para obtener r haremos uso de las expresiones ~™• L!v•1 ∑™• L!H••€6 •€6 $, donde los coeficientes de la serie pueden obtenerse de forma iterativa en la forma v61 H6,$$$$$v•1 H6~•LF’Hëv•—ë • ëŽ1 $, Aplicando dicha relación a 1/, tendremos $$$$$$$$$$$$$$$$$$$v61 H6$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$$v1 A 1 vwx~•1F’Hëvë—1 1 ëŽ1  A2 1 vwx2[²6 ²2à2 2²2à2 6vwx2\$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$v2 A 1 vwx~•LF’Hëv2—ë 2 ëŽ1  A2 1 vwx2ãA 1 vwx[²6 ²2à2 2²2à2 6vwx2\2 2[²1²6 ²1²2à2 27²1²2à2vwx2 ²2à2vwx3\ä$. Con lo que podremos expresar el valor de  en la forma  A 1 cos ™ A2 1 cos2[²6 ²2à2 2²2à2 6vwx2\£ ™2 2”A2 1 cos2ãA 1 $vwx$[²6 ²2à2 2 ²2à2 6vwx2\2 2[²1²6 ²1²2à2 27 18²1²2à2cos2 ²2à2cos3\ä–$. 39 Ecuación de Kepler generalizada En el apartado anterior se ha obtenido la relación , por lo que para obtener la relación , es necesario encontrar la relación . Reuniendo las expresiones l l$Lí$$$$$$$$$$$$;$$$$$$$$$$$$2l lΘ$, podemos encontrar la relación diferencial entre el tiempo y la anomalía verdadera generalizada , LíΘl2l$$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$>.… cuya integración permitirá obtener la relación que nos falta para determinar la función . En primer lugar calculamos el valor de 2, que llevado a (3.8) transforma esta relación en la siguiente: LíΘl A2∙l 1 cos2 ™ 2A 1 cos²²4cos2£l ™2 2 4A 1 cos²3²5cos2 ²ðcos3 A3 1 $vwx3²ñ ²òcos2 2²²16cos22£l$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$>.• $$$ donde $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$²²6 ²2à2 2$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$²3²1²6 ²1²2à2 2$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$²4²2à2 6$, $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$²57 18²1²2à2$, 46 47 Apéndices A continuación vamos a realizar una presentación teórica de las herramientas matemáticas que se han utilizado durante la realización del trabajo. Se presentan únicamente los resultados fundamentales sin demostración. Apéndice A : Elementos de dinámica hamiltoniana y ecuación de Hamilton-Jacobi. Supondremos un sistema dinámico formado por N puntos ë, F1,…,X, de masas ë y cuya posición viene expresada, en un sistema inercial, por los vectores ë. La dinámica de este sistema de puntos viene descrita por el conjunto de ecuaciones resultante de la aplicación de la ecuación fundamental de Newton a cada una de las partículas: ëlp l, F1,…,X,$$$$$$xFLlw$pëë".$$$$$$$$$$$$$$$$.% Los puntos ë no se mueven libremente sino que pueden estar sujetos a una serie de relaciones funcionales entre los vectores de posición, llamadas ligaduras , del tipo: %,R,…,;0. En general un sistema de N puntos viene representado por 3N coordenadas. Cada ligadura permite expresar una cualquiera de estas coordenadas en función del resto, lo que reduce en una unidad el número de coordenadas independientes. Por ello, si el sistema tiene k ligaduras, entonces podrán introducirse L3X² coordenadas independientes, ó1,…,ó•, de forma que podremos expresar las posiciones de las partículas como: ë,, F1,…,X.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.R Este conjunto de coordenadas independientes se llama coordenadas generalizadas , y el espacio n-dimensional de coordenadas libres se llama espacio de configuración . Las derivadas de las coordenadas generalizadas "ó1",…,ó•" son las velocidades generalizadas . El número n de coordenadas libres del sistema se llama número de grado de libertad . 48 Se llama energía cinética de un sistema dinámico a la función (~12ë"R  ëŽ6 . Para expresar la energía cinética en función de las coordenadas generalizadas tendremos en cuenta la relación .R, cuya derivada será "ëŸë Ÿl l Ÿ Ÿ†ë,",, Por tanto vemos que la energía cinética de un sistema dinámico puede depender tanto de las coordenadas, como de las velocidades generalizadas, es decir, ((,",. Por otro lado, sea  el conjunto de fuerzas que actúa sobre el sistema y supongamos que existe 13 un escalar ), cuyo gradiente respecto de las coordenadas generalizadas coincide con –, esto es -)¡Ÿ) Ÿó1,…,Ÿ) Ÿó•¢. Esta función )), que no depende de las velocidades generalizadas, será llamada energía potencial de un sistema dinámico . Con todo lo anterior, se llama función lagrangiana de un sistema dinámico a la expresión ,",(,", )$. Puede demostrarse fácilmente que las ecuaciones del movimiento de un sistema dinámico se pueden expresar, en términos de la función lagrangiana, en la forma l l¡Ÿ Ÿ"¢Ÿ Ÿl lr-"s-0.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.> Estas ecuaciones son las llamadas ecuaciones de Lagrange . Se definen los momentos generalizados , pA1,…,A•, a partir de las igualdades pŸ Ÿ". Estas funciones nos permiten expresar las velocidades generalizadas " en la forma "",p,. 13 En este caso la fuerza se dice conservativa. 49 Al espacio 2n dimensional ,p se le llama espacio fásico. Llamaremos función hamiltoniana o hamiltoniano ' a la transformación de Legrende de la función lagrangiana considerada como función de ", esto es ',p,p∙",p,,",p,,. Las ecuaciones de Newton (A.1) y el sistema de ecuaciones de Lagrange (A.3) son equivalentes a las ecuaciones: "Ÿ' Ÿp-p'$$$$$$$$$$$;$$$$$$$$$$$p"Ÿ' Ÿ-', que son las llamadas ecuaciones de Hamilton del sistema. Así como las ecuaciones de Newton y de Lagrange representan sistemas de ecuaciones diferenciales de orden dos, las ecuaciones de Hamilton constituyen un sistema de orden uno. Se puede utilizar una notación más compacta llamando ,p∈•9• al vector de coordenadas y momentos por lo que el Hamiltoniano se expresará como ',',p,. Con todo lo anterior, la evolución dinámica del sistema viene dada por las ecuaciones de Hamilton, que ahora se pueden expresar como "-z', Donde  es la matriz antisimétrica ¡0•• •0•¢$$, Que verifica —1Õ, y donde 0•,• representan, respectivamente, las matrices nula y unidad de orden n. La formulación hamiltoniana constituye una de las herramientas más potentes para el estudio de los sistemas dinámicos. Las propiedades geométricas del espacio fásico nos dan idea del comportamiento global del sistema, por lo que una buena elección de este espacio fásico nos simplifica su estudio. En lo que sigue se estudiarán las transformaciones canónicas que, por sus propiedades, se adaptan perfectamente a este propósito. 50 Sea la transformación del espacio fásico :2•→2•:,p→Â,, definida por las expresiones Â<,, que supondremos de clase 01 y tal que lΓ?0 en el dominio , que se considere, siendo Γ la matriz jacobiana ΓÂ-Â[Ÿ<ë Ÿ;•\    Ÿ<1 Ÿ;1⋯Ÿ<1 Ÿ;2• ⋯ ⋯ ⋯ Ÿ<2• Ÿ;1⋯Ÿ<2• Ÿ;2•    $$. Una transformación  que satisface las condiciones anteriores se dice transformación canónica , si y solo si, existe una constante  tal que se satisface la relación ΓΓ. La constante  es llamada multiplicador de la transformación . Cuando 1, la transformación se llama transformación completamente canónica . El conjunto de transformaciones canónicas tiene una estructura de grupo respecto a la composición de transformaciones. El elemento neutro de este grupo es la transformación identidad, mientras que la inversa de una transformación canónica de matriz jacobiana Γ y multiplicador  es otra transformación canónica de matriz jacobiana Γ—1 y multiplicador 1f. En lo que sigue, y por simplificar, consideraremos únicamente transformaciones canónicas ÂÂ que no dependan del tiempo  puesto que en este caso, que es el considerado en el ejemplo de la memoria, las propiedades se simplifican notablemente. La propiedad más importante de las transformaciones canónicas nos dice que si aplicamos una transformación ÂÂ a un sistema dinámico autónomo de hamiltoniano ' entonces las ecuaciones diferenciales del sistema mantienen la forma hamiltoniana, esto es, se pueden expresar como Â"-ÂÂ, siendo Â'rÂs el hamiltoniano transformado. Aunque existen diversos métodos para obtener transformaciones canónicas, nos fijaremos aquí únicamente en las transformaciones de contacto. Para ello, supongamos que se busca una transformación de ,p→,. 51 Puede demostrarse que dada una función cualquiera j,, llamada función generatriz, la transformación definida por las ecuaciones A-j,$$$$$$$$$$-j,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.c es una transformación completamente canónica. Aunque j puede ser cualquier función, no todas nos definen una transformación canónica que sea útil para el estudio de nuestro sistema dinámico. Por ello haremos uso de la propiedad que nos dice que si j, satisface la ecuación de HamiltonJacobi 'r,-js^,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.d donde ^ es la energía del sistema, entonces las nuevas variables y momentos , son constantes del sistema dinámico de hamiltoniano '. La búsqueda de una transformación canónica se convierte en la búsqueda de una función S que verifique la ecuación de Hamilton-Jacobi; o lo que es igual, la búsqueda de una integral primera de una ecuación en derivadas parciales. Apéndice B : Método de Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky. Krylov y Bogoliubov (1947) desarrollaron un método analítico de resolución del problema de un oscilador armónico perturbado que fue ampliado y justificado por Bogoliubov y Mitropolsky (1961). Calvo (1971) aplica por primera vez dicho método al problema principal del satélite artificial, mientras que Caballero (1971) lo usa para tratar un modelo en el que se incluyen los armónicos zonales •2, • y •3. El método propuesto por Krylov, Bogoliubov y Mitropolski se usa para obtener aproximaciones asintóticas para cualquier ecuación no linear de segundo orden que tenga la siguiente forma: l2· l2 I2·»·,Þ;™,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.o donde Þ•Ã •Ô y ™ es un parámetro pequeño. Además, » debe poder ser expresada como una serie de potencias de ™ cuyo orden cero es nulo, esto es »·,Þ;™™·,Þ;™~™• L!»•,6·,Þ,$$$$$$$$»6,6·,Þ0$. •€6 $$$$$$$.} 52 Cuando ™0, la ecuación diferencial corresponde a un oscilador armónico cuya solución se puede escribir como ·à$vwx con una amplitud constante à y un ángulo de rotación de fase uniforme I$ 6. El método KBM supone que la solución de la ecuación diferencial bajo estudio (A.7) puede ser expresada como un desarrollo asintótico de la siguiente forma: ·àvwx ~™• L!·•à, •€1 ~™• L!·•à, •€6 ,$$$$$$·àvwx$,$$$$$$$$.… donde cada uno de los ·•à, es una función 2E-periodica de . De igual manera, supondremos que tanto à como  varían de acuerdo con la relación diferencial: là l~™• L!á•à •€1 ~™• L!á•à •€6 ,$$$$$$$$$$$$$$$á60,$$$$$$$$$$$$$$$$.• l lI ~™• L!â•à •€1 ~™• L!â•à •€6 ,$$$$$$â6I. Para la realización de los cálculos presentados en este apéndice haremos uso de la generalización de la fórmula de Cauchy ý~™ë F!Hë• ë€6   •Ž1 ~™ë F!Ï ~ F! Œ1!Œ2!…Œ! • Ä ì• h ì⋯ì• H• Ä 1H• h 2…H• Ð. ë€6 Diferenciando (A.8) con respecto al tiempo, obtenemos Þl· lý~™• L!Ÿ·• Ÿà$ •€6 là l ý~™• L!Ÿ·• Ÿ$ •€6 l l,$ donde si sustituimos los valores de •! •Ô y •í •Ô dados en (A.9), obtenemos Þ~™• L!Þ•à, •€6 ,$$$$$$Þ•à,~L! F!Œ![á럷• Ÿà â럷• Ÿ\ ëì•Ž• $$$$$$$.%7$ $$$$$Þ6I$à$xFL$.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 53 Si diferenciamos de nuevo Þ con respecto del tiempo se tendrá l2· l2 I2·~™• L!”I2·• •€6 ~L! F!Œ!²![áëlá• làŸ· Ÿà áëlâ• làŸ· Ÿ áëá•Ÿ2· Ÿà2 ëì•ìŽ• âëâ•Ÿ2· Ÿ2 2áëâ•∂2· ŸàŸ\–. Considerando los valores de ·6,á6,â6 y particularizando en la expresión anterior todos los términos de F,Œ o ² iguales a L, encontramos los siguientes términos no nulos: $$$$$FL, Œ0, ²0→$$2áëâ•Ÿ2· ŸàŸ2á•â6Ÿ2·6 ŸàŸ2Iá•xFL, $$$$$FL, Œ0, ²0→$$âëâ•Ÿ2· Ÿ2â•â6Ÿ2·6 Ÿ2Iâ•àvwx, $$$$$F0, ŒL, ²0→$$âëâ•Ÿ2· Ÿ2â6â•Ÿ2·6 Ÿ2Iâ•àvwx, $$$$$F0, Œ0, ²L→$$âëâ•Ÿ2· Ÿ2â6â6Ÿ2·• Ÿ2I2Ÿ2·• Ÿ2, Por lo tanto podremos escribir l2· l2 I2·~™• L![I2Ÿ2·• Ÿ2 I2·•2Iá•xFL2Iâ•àvwx I•\ •€6 , donde I•~L! F!Œ!²!$ ëì•ìŽ• ë,•,#•Ië•$,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.%% siendo Ië•[áëlá• làŸ· Ÿà áëlâ• làŸ· Ÿ áëá•Ÿ2· Ÿà2 âëâ•Ÿ2· Ÿà2 2áëâ•Ÿ2· ŸàŸ\.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.%R 54 Todo lo hallado previamente representa la parte izquierda de la ecuación (A.6) en función de à$<$. La parte derecha de la misma ecuacion se puede obtener expandiendo como series de potencia de ™ la función »·,Þ;™ en la siguiente forma: »·,Þ;™~™• L!»•,6ý~™• L!·• •€6 ,~™• L!Þ• •€6 ,~™• L!»6,• •€6 , •€6 $$$$$$.%> donde »6,•»6,•·6,·1,…,·•—1,Þ6,Þ1,…,Þ•—1) Igualando orden a orden ambas expresiones previas para cada L¯1 nos queda I2[Ÿ2·• Ÿ2 ·•\2Iá6xFL 2Iâ•àvwx æ•,$$$æ•»6,•I•$,$$$.%c donde æ• solo depende de ái,âi,·i,AåL1. Llamando v• y x• a los coeficientes respectivos de los términos en vwxŒ y xFLŒ del desarrollo en serie de Fourier de la función  podremos poner finalmente ·•v6·• ~v•·•vwxŒ •€1 x•·•xFLŒ, æ•v6æ• ~v•æ•vwxŒ •€1 x•æ•xFLŒ. Con esta notación, se sustituimos ·•,æ• de la expresión (A.14) por su expansión de Fourier e identificamos término a término, obtenemos á•x1æ• 2I ,$$$$$$â•v1æ• 2Ià,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$.%d así como los coeficientes de la expansión de ·• de la forma $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$v6·•v6æ• I2, v•·•v•æ• I21Œ2, x•·•x•æ• I21Œ2, Œ¯2,$$$.%o Los coeficientes v1·•,x1·• quedan, por definición, indeterminados, y pueden ser elegidos iguales a cero. Con todo lo anterior, al ser un proceso iterativo, podemos ir hallando orden a orden los diferentes coeficientes de la expansión de Fourier y podemos hallar el valor tanto de · como de Þ hasta el orden que deseemos. 55 6. Bibliografía  Abad, A. (1985) Problema Estelar Triple Jerarquizado: Integración en unas nuevas variables. Actas X Jornadas Hispano-lusas de Matemáticas. Pag: 115-121.  Abad, A. (2012). Astrodinámica. Editor Bubok Publishing S.L. España.  Byrd, Paul F. Friedman, Morris D. (1971). Handbook of Elliptic Integrals for engineers and scientists. Second Edition. Springer-Verlag New York Heidelberg.  Bogoliubov, N. N. and Mitropolsky, Y. A (1961). Asymptotic Method in the Theory of Nonlinear Oscillations. Gordon and Breach, New York.  Caballero, J. A. (1975). Movimiento de un satélite artificial bajo la acción gravitatoria terrestre. Teoría de segundo orden en variables de Hill. Ph.D. Thesis, University of Zaragoza.  Calvo, M. (1971). Aplicación del método de promedios al estudio del movimiento de satélites artificiales. Ph.D. Thesis, University of Zaragoza.  Danby, J. M. A. (1988). Fundamentals of Celestial Mechanics. Willmann-Bell, Virginia.