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Universidad de Zaragoza Facultad de Ciencias - Dept. F´ısica Te´orica TFG: curso 2013/14 EL FORMALISMO GEOM´ ETRICO DE LA MEC ´ ANICA CU ´ ANTICA Y SUS APLICACIONES Reconstrucci´on del formalismo de Ehrenfest Diego Medrano Jim´ enez Supervisado por J. Clemente-Gallardo Grado F´ısica RESUMEN El Formalismo Geom´etrico de la Mec´anica Cu´antica resulta una herramienta muy poderosa que, desde los a˜nos setenta, persigue describir tanto sistemas cu´anticos como sistemas cl´asicos bajo un mismo marco matem´atico. En la primera parte del trabajo veremos c´omo, echando mano de la geometr´ıa diferecial, traduce las estructuras tensoriales propias de los sistemas cl´asicos hamiltonianos en elementos con los que describir el espacio de Hilbert de un sistema cu´antico, su espacio de observables, la din´amica dada por la ecuaci´on de Schr¨odinger y la informaci´on espectral de cada uno de sus operadores. De esta forma, conseguida la traducci´on, se hace evidente la potencialidad del formalismo en aplicaciones como el tratamiento de sistemas mixtos cl´asico-cu´anticos. En la segunda parte del trabajo y mediante la ayuda de este formalismo geom´etrico conseguiremos una adaptaci´on del modelo de Ehrenfest, que es el que se encarga de esta disciplina, para conseguir una descripci´on hamiltoniana tanto de la parte cl´asica como de la parte cu´antica del sistema mixto y tratar ambas como si fueran “cl´asicas”. Mediante este cambio, nos ser´a posible entonces ampliar el modelo para recuperar efectos que antes no contemplaba, como es el de la evoluci´on de la pureza, ingrediente necesario para describir cualquier tipo de decoherencia en el sistema. Finalmente y con la intenci´on de comprobar la validez de esta ampliaci´on, estudiaremos la evoluci´on de la pureza de diferentes sistemas, en concreto la influencia de la temperatura sobre la pureza de sistemas moleculares, y su parecido con la fenomenolog´ıa observada. La importancia del Formalismo Geom´etrico de la Mec´anica Cu´antica en la reconstrucci´on del modelo de Ehrenfest habr´a quedado entonces probada. Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” ´ Indice 1. FORMULACI ´ ON GEOM´ ETRICA DE LA MEC ´ ANICA CU ´ ANTICA 3 1.1. Introducci´on................................... 3 1.2. Formulaci´on geom´etrica de la Mec´anica Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Espacio de estados S.......................... 4 1.2.2. Espacio de observables O........................ 6 1.2.3. Din´amica ................................ 8 1.2.4. Espacio complejo proyectivo P..................... 11 1.2.5. La informaci´on espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. EL FORMALISMO DE EHRENFEST 15 2.1. ElmodelodeEhrenfest............................. 15 2.2. Descripci´on de la din´amica de Ehrenfest como un sistema hamiltoniano . . 16 2.2.1. Espacio de estados S.......................... 17 2.2.2. Espacio de observables O........................ 17 2.2.3. Estructura de Poisson {·,·} ...................... 18 2.2.4. Din´amica ................................ 19 2.3. Un poquito de Mec´anica Estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1. Densidad de probabilidad y valores promedio . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2. Distribuciones marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Evoluci´on de la pureza en sistemas mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1. Concepto de pureza en un sistema cu´antico . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2. Matrizdensidad............................. 24 2.4.3. Conservaci´on de la pureza en sistemas de Ehrenfest no estad´ısticos . 25 2.4.4. P´erdida de pureza en sistemas mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.5. Aplicaci´on: influencia de la temperatura en la pureza de sistemas moleculares ............................... 30 3. CONCLUSI ´ ON 39 1 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” 2 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” 1. FORMULACI ´ ON GEOM´ ETRICA DE LA MEC ´ ANICA CU ´ ANTICA 1.1. Introducci´on Las herramientas matem´aticas de que disponemos a la hora de describir sistemas en Mec´anica Cl´asica y en Mec´anica Cu´antica son completamente diferentes. Mientras que la primera suele recurrir a objetos de la Geometr´ıa Diferencial, la segunda suele estar m´as orientada al ´ Algebra y al An´alisis Funcional, haciendo que la conexi´on entre ambos formalismos no sea para nada inmediata. De esta forma, en un empe˜no por tratar de manera similar ambos tipos de sistemas, se lleva desarrollando desde finales de los a˜nos setenta1el llamado Formalismo Geom´etrico de la Mec´anica Cu´antica. Lo que pretende es buscar una descripci´on alternativa de la Mec´anica Cu´antica, bas´andose en las estructuras geom´etricas de la Mec´anica Cl´asica no relativista. Las propiedades que aparecen y la potencialidad del nuevo formalismo permiten destacar algunas aplicaciones importantes como por ejemplo la -Caracterizaci´on geom´etrica del entrelazamiento en campos como Computaci´on Cu´antica y Control Cu´antico. Aunque la aplicaci´on sobre la que nos centraremos (y de la que trata la segunda parte del trabajo) es la -Descripci´on de sistemas mixtos cl´asico-cu´anticos (Formalismo de Ehrenfest) dentro de los campos de Din´amica Molecular y Mec´anica Estad´ıstica. 1.2. Formulaci´on geom´etrica de la Mec´anica Cu´antica Veamos en primer lugar cu´ales son los ingredientes del marco cl´asico2de los que buscaremos su an´alogo en el cu´antico: Los estados f´ısicos del sistema est´an representados por el espacio de fases S, el cu´al es una variedad real diferenciable que contiene las posiciones y momentos de cada uno de ellos. Adem´as, sobre este espacio existen una serie de estructuras (los fibrados tangente y cotangente, una estructura simpl´ectica, un corchete de Poisson. . . ) que permiten definir la din´amica y naturaleza del sistema. El espacio de observables Oo magnitudes f´ısicas del sistema son un conjunto de funcionales que act´uan sobre los elementos del espacio de fases. 1Autores como Kibble [5], Ashtekar and Schilling [4] o Brody [6] entre otros. 2Todos los objetos del formalismo geom´etrico se construyen por comparaci´on con la Mec´anica Cl´asica no Relativista Hamiltoniana. Ver ap´endice A para un desarrollo m´as completo de la descripci´on geom´etrica hamiltoniana. 3 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” As´ı el proceso de medida puede darse mediante el “pairing” O×S → R, que asocia un valor real para una magnitud determinada a un estado dado. La din´amica viene definida a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales, conocidas como ecuaciones de Hamilton, que desde el punto de vista geom´etrico corresponde con las curvas integrales de un campo vectorial hamiltoniano3. Por simplicidad, la construcci´on la haremos s´olo sobre la imagen de Schr¨odinger y para estados puros, aunque la de Heisenberg y los estados mixtos admitan tambi´en una geometrizaci´on. 1.2.1. Espacio de estados S El espacio de estados de un sistema cu´antico se identifica con el espacio de Hilbert H. Si tenemos una base de dimensi´on n4,{|ek⟩}, el estado |ψ⟩podr´a escribirse como |ψ⟩= n ∑ k=1 ψk|ek⟩ H ∼ Cn De esta forma, la variedad real diferenciable MQque buscamos la podemos construir a partir de estas coordenadas y su realificaci´on ψk→ψR k+iψI k. {ψ1, . . . ψn} ∈ H ∼ Cn7→ {ψR 1, . . . , ψR n, ψI 1, . . . , ψI n} ≡ {ΨR,ΨI} ∈ HR∼R2n Por comparaci´on con el espacio de fases, a estas coordenadas se les suele denotar como ψR k≡qkyψI k≡pkaunque no sean posiciones ni momentos. Como el espacio de Hilbert Hes un espacio vectorial, se puede hacer la asociaci´on TH ∼ H×H, en el sentido de que cada espacio tangente TϕHen el punto ϕse identifique con el propio H. El resto de estructuras algebraicas de Hdeber´an traducirse en campos tensoriales sobre MQ. La estructura compleja por ejemplo, se describe como el tensor Jque act´ua de la siguiente manera: J:MQ→MQJ(ΨR,ΨI) = (−ΨI,ΨR) Es imediato comprobar que J2=−I, por lo que se trata del an´alogo a la unidad imaginaria idel espacio de Hilbert5. 3Campo vectorial asociado al hamiltoniano del sistema y que puede escribirse como XH={H, ·}. 4Nos centraremos en sistemas de dimensi´on finita, en cuanto a que los de dimensi´on infinita plantean problemas a la hora de definir la variedad diferenciable correspondiente. 5V´ease referencia [1]: cap´ıtulo 8. 4 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” As´ı, y siendo una de las propiedades m´as importantes del espacio de Hilbert, la estructura lineal en MQqueda codificada mediante el campo vectorial: ∆ : MQ→TMQψ→(ψ, ψ) A este campo se le llama campo de dilataciones, y lo veremos m´as adelante cuando definamos el espacio complejo proyectivo Pcorrespondiente a MQ. Sea Xψ:MQ→TMQϕ→(ϕ, ψ) el campo vectorial constante que asocia a todos los puntos ϕ∈MQel mismo estado ψ∈TMQ. La estructura herm´ıtica del espacio de Hilbert Hqueda tambi´en traducida por un tensor herm´ıtico htal que: ⟨ψ1|ψ2⟩=h(Xψ1, Xψ2) (ϕ)∀ϕ Puesto que en las coordenadas realificadas, el producto herm´ıtico ⟨ψ1|ψ2⟩con ψ1, ψ2∈ Hes ⟨(ΨR 1,ΨI 1)|(ΨR 2,ΨI 2)⟩=(⟨ΨR 1,ΨR 2⟩+⟨ΨI 1,ΨI 2⟩)+i(⟨ΨR 1,ΨI 2⟩−⟨ΨI 1,ΨR 2⟩)6 con (ΨR 1, ψI 1),(ΨR 2,ΨI 2)∈R2n, entonces se puede escribir: h(Xψ1, Xψ2) = g(Xψ1, Xψ2) + iω (Xψ1, Xψ2) donde evidentemente gse trata de un tensor sim´etrico y ωes un tensor antisim´etrico, ambos 2 veces covariantes. El tensor sim´etrico ges una forma bilineal no degenerada que adem´as es definida positiva. Por ello, podemos decir que el par (MQ, g) define una estructura Riemanniana. Igualmente, el tensor antisim´etrico ωes una forma bilineal no degenerada y que adem´as es exacta, lo que permite definir el par (MQ, ω) como una variedad simpl´ectica exacta7. De forma muy descriptiva, la estructura riemanniana ser´ıa la que nos permite medir distancias entre los elementos de nuestro espacio, y la estructura simpl´ectica, la que permite medir ´areas orientadas entre vectores del espacio. En su conjunto, la terna (g, ω, J) permite definir una estructura de K¨ahler y es ´esta la que convierte a su vez (MQ,(g, ω, J)) en una variedad K¨ahler. La relaci´on entre ellas se puede deducir f´acilmente de las propiedades del producto herm´ıtico: ⟨ψ1|iψ2⟩=i⟨ψ1|ψ2⟩ ⟨iψ1|ψ2⟩=−i⟨ψ1|ψ2⟩ 6⟨·,·⟩ denota el producto escalar eucl´ıdeo. 7Ver ap´endice B: B.20. 5 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” Para el resto de estructuras, tambi´en es posible la proyecci´on. Recordar que las funciones definidas en el espacio de observables son fA(ψ) = 1 2⟨ψ|Aψ⟩ Para que correspondan con magnitudes f´ısicas reales, es necesario que sean invariantes a lo largo de cada una de las “hojas” de MQ. Es as´ı como se definen las funciones eA(ψ)21: eA(ψ) = ⟨ψ|Aψ⟩ ⟨ψ|ψ⟩⇒∆(deA) = Γ(deA) = 0 Ahora s´ı, estas funciones est´an en correspondencia 1 −1 con las del espacio proyectivo P. Cabe destacar que dejan de ser cuadr´aticas, aunque es perfectamente normal en cuanto a que Pha perdido su estructura lineal pasando a ser simplemente una variedad diferencial. Para las estructuras riemanniana Gy de Poisson Ω22, esta proyecci´on a trav´es de π∗:T(2,0)MQ→T(2,0)P23 se hace sin embargo imposible, ya que son derivaciones de grado -2, y no se mantienen constantes a lo largo las “hojas” (L∆G=−2G, L∆Ω = −2Ω). Es as´ı como se deben reescalar con un factor de grado 2, por ejemplo a trav´es de la norma del estado ψ: {eA, eB}+P:= GP(deA, deB) = ⟨ψ|ψ⟩{eA, eB}+ {eA, eB}P:= ΩP(deA, deB) = ⟨ψ|ψ⟩{eA, eB} Cabe destacar aqu´ı tambi´en que la estructura simpl´ectica en Pdeja de ser exacta, lo que imposiblita definir una campo globalmente hamiltoniano que nos describa la din´amica del sistema. Es por esto y por la p´erdida de la estructura lineal por lo que se utiliza preferiblemente MQ,FR(MQ), Gy Ω como herramientas de c´alculo. Sin embargo, desde que ∆(deA) = Γ(deA) = 0 ∀eA∈ FR(MQ), suponer que definimos los tensores GPy ΩPcomo: GP=⟨ψ|ψ⟩G−Γ⊗Γ−∆⊗∆ ΩP=⟨ψ|ψ⟩Ω−Γ⊗∆−∆⊗Γ Se puede comprobar24 que la acci´on de GPsobre el conjunto de funciones proyectables corresponde a GP(deA, deb) = e[A,B]+−eA·eB lo que implica que si A=B, entonces 21Correspondientes al valor medio del operador A. 22No probamos con gyωya que la proyecci´on a trav´es de π∗:T(0,2)P → T(0,2)MQlleva el sentido contrario. 23Ver ap´endice B: B.10-B.11. 24V´ease [7]:pp.65,66. 12 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” GP(deA, deA) = eA2−e2 A Es as´ı como el espacio proyectivo nos ha permitido descubrir una de las muchas propiedades del formalismo geom´etrico: que GPest´a directamente relacionado con las relaciones de indeterminaci´on. Por ´ultimo, para la din´amica, se debe considerar el campo vectorial XeH= ΩP(deH,·). 1.2.5. La informaci´on espectral La forma de recuperar la informaci´on espectral de los observables Asobre el espacio de Hilbert es a trav´es de las funciones valor esperado asociadas eA(ψ). A7→ eA(ψ) = ⟨ψ|Aψ⟩ ⟨ψ|ψ⟩ De esta forma: Los autovectores son los puntos cr´ıticos de eA(ψ): deA(ψa) = 0 ⇔ψaautovector deA Los autovalores se recuperan al evaluar la funci´on eA(ψa). Los posibles resultados de una medida se convierten as´ı en los posibles valores extremos de las funciones eA. Hasta aqu´ı se han presentado los principales ingredientes del formalismo geom´etrico de la Mec´anica Cu´antica. Para la imagen de Heisenberg, donde b´asicamente el espacio de estados Slo forman las funciones F(MQ), habr´ıa que hacer un nuevo traslado de estructuras25. En conclusi´on, acabamos de encontrar una manera de describir sistemas cu´anticos como simples sistemas hamiltonianos, con una estructura similar a la del marco cl´asico. Las ventajas y facilidades obtenidas con el nuevo formalismo son varias, entre otras, la que se presentar´a a continuaci´on: Tratamiento de sistemas mixtos cl´asico-cu´anticos: modelo de Ehrenfest. 25V´ease referencia [8] para una descripci´on m´as completa. 13 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” 14 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” 2. EL FORMALISMO DE EHRENFEST En el mundo cu´antico, la principal herramienta que nos pemite describir el comportamiento de cualquier sistema as´ı como sus propiedades es la ecuaci´on de Schr¨odinger26. Sin embargo, utilizarla de manera directa se hace en la mayor´ıa de las situaciones imposible, siendo necesario recurrir a aproximaciones o simplificaciones del sistema. Fij´emonos por ejemplo en el ´atomo de hidr´ogeno. La resoluci´on de su funci´on de onda mediante la ecuaci´on de Schr¨odinger para un potencial central es exacta. No obstante, para obtener su estructura fina, se nos hace necesario recurrir a la teor´ıa perturbativa y a una serie de aproximaciones. De la misma forma, el ´atomo de helio y el resto de ´atomos multielectr´onicos tampoco pueden resolverse anal´ıticamente mediante la ecuaci´on de Schr¨odinger. As´ı, una de las aproximaciones m´as utilizadas para reducir el problema es llevar parte del sistema cu´antico de estudio27 a su l´ımite cl´asico. Es lo que se conoce como Mixed quantum-classical dynamical models MQCD. En un sistema cu´antico molecular, ser´ıa por ejemplo considerar los n´ucleos ´atomicos y los electrones m´as internos como part´ıculas cl´asicas y dejar la capa de electrones m´as externa como un subsistema cu´antico, dando lugar a un sistema completo mixto. El modelo de Ehrenfest es de esta forma el formalismo por excelencia de los sistemas mixtos cl´asico-cu´anticos. Es m´as, muchos de los modelos utilizados para din´amica molecular derivan directamente del de Ehrenfest (i.e. modelo de Born-Oppenheimer)28. 2.1. El modelo de Ehrenfest Veamos por ejemplo el sistema cu´antico molecular mencionado anteriormente, formado por n´ucleos y electrones internos (N), y electrones externos (e). El hamiltoniano (sobre el espacio de funciones de onda HN⊗He) del sistema cu´antico completo se podr´ıa escribir de la forma: ˆ H:= −~2∑J 1 2MJ∇2 J−~2∑j 1 2∇2 j+1 4πϵ0(∑J<K ZJZK | RJ− RK|−∑j<k 1 |rj−rk|−∑J,j ZJ | RJ−rj|) =: −~2∑J 1 2MJ∇2 J−~2∑j 1 2∇2 j+Vn−e(r,  R) =: −~2∑J 1 2MJ∇2 J+He(r,  R) donde MJyZJson la masa y la carga del n´ucleo Jen unidades de los del electr´on y donde se ha definido un potencial de interacci´on VN−e(r,  R) y un hamiltoniano electr´onico He(r,  R). Para comenzar la aproximaci´on, en primer lugar se debe separar la funci´on de ondas del sistema completo en otras dos acopladas Ψ = ΨN⊗Ψe29; y a continuaci´on llevar la nuclear 26Evidentemente en lo que a estados puros se refiere. 27La que tenga una evoluci´on en sus grados de libertad mucho m´as lenta. 28V´ease referencia [10]. 29Conocido como Time-dependent self-consistent model. 15 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” a su l´ımite cl´asico30, lo que conlleva adem´as a la p´erdida del posible entrelazamiento entre las dos. Tendremos as´ı un sistema descrito por las posiciones  RJde los n´ucleos y por la funci´on de ondas |ψ⟩ ∈ H de la nube electr´onica. Las ecuaciones de Ehrenfest surgen directamente31: MJ¨  RJ=−⟨ψ|∇JHe(r,  R)|ψ⟩ i~d dt|ψ⟩=He(r,  R)|ψ⟩ O si se le quiere dar una descripci´on m´as “hamiltoniana”, se puede definir la funci´on H( R,  P) = ∑ J  P2 J 2MJ +⟨ψ|He(r,  R)|ψ⟩ que deja el sistema como ˙  RJ= PJ MJ ˙  PJ=−⟨ψ|∇JHe(r,  R)|ψ⟩ i~d dt|ψ⟩=He(r,  R)|ψ⟩ Notar que la linealidad de la parte cu´antica desaparece. Este ser´ıa el primer paso a la hora de crear un modelo MQCD. Sin embargo, aunque aparentemente estas ecuaciones tomen la forma de las ecuaciones de Hamilton32, todav´ıa no se puede hablar de sistema hamiltoniano pues faltan los ingredientes principales, a saber: Variedad diferencial que haga las veces de espacio de fases S. Estructura simpl´ectica que nos defina un corchete de Poisson {·,·} sobre S. Una funci´on fH∈C∞(S) que haga las veces de funci´on hamiltoniana. Dar una estructura hamiltoniana a la ecuaci´on de Schr¨odinger electr´onica. Enfrentaremos ese problema en la secci´on siguiente. 2.2. Descripci´on de la din´amica de Ehrenfest como un sistema hamiltoniano Gracias al Formalismo geom´etrico de la Mec´anica Cu´antica, hemos conseguido dar una descripci´on an´aloga tanto a sistemas cl´asicos33 como cu´anticos. De esta forma, la posibilidad de juntar ambos y describir un sistema mixto se hace inmediata. 30Conocido tambi´en como Short-wave asymptotics method. 31Para un desarrollo completo de esta aproximaci´on ver la referencia [11]. 32Como parece que ocurre con las dos primeras ecuaciones, que describen la din´amica de la parte cl´asica. 33Ver ap´endice A. 16 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” 2.2.1. Espacio de estados S El subsistema cl´asico se puede describir mediante una variedad diferenciable MC asociada al espacio de fases. Es evidente que la dimensi´on de MCser´a un n´umero par y depender´a del n´umero de “part´ıculas” cl´asicas presentes. Adem´as dispone de una estructura simpl´ectica que permite definir un corchete de Poisson en el espacio de funciones sobre MC. Si el subsistema tuviera NCpart´ıculas en un espacio tridimensional, vendr´ıa identificado por: ( R1, . . . ,  RNC, P1,...,  PNC)∈MC⇒dim(MC) = 3NC+ 3NC Para el subsistema cu´antico, y siguiendo en la l´ınea del trabajo, se puede considerar la realificaci´on del espacio de Hilbert correspondiente MQ. Igualmente, hay definida una estructura simpl´ectica y una 2-forma Ω sobre el espacio de funciones F(MQ). As´ı, si por ejemplo se tienen Nelectrones, cada uno de ellos sobre un espacio de Hilbert de dimensi´on M, tendremos que la dimensi´on del espacio de Hilbert Hdel subsistema ser´a NQ=(M N)y vendr´a identificado por: (q1, . . . , qNQ, p1, . . . , pNQ)∈MQ⇒dim(MQ) = NQ+NQ Como consecuencia, se puede definir el espacio de estados Sdel sistema total como el producto cartesiano de ambas variedades: S:= MC×MQ Cabe destacar que mediante esta definici´on ambos subsistemas se tratan de manera separada y resulta imposible describir ning´un tipo de entrelazamiento. No obstante, en la aproximaci´on del modelo de Ehrenfest ya se hab´ıa perdido esta informaci´on, por lo que no supone ning´un problema. A pesar de ello, en el siguiente apartado, veremos una posible forma de recuperarla a partir de herramientas estad´ısticas. 2.2.2. Espacio de observables O Por simple extensi´on de los casos cl´asico y cu´antico, los observables del sistema mixto son funciones definidas sobre el espacio de estados S=MC×MQ. Recordemos que para un sistema cu´antico, como las funciones que ten´ıan significado f´ısico eran fA(ψ) = 1 2⟨ψ|Aψ⟩Aoperador herm´ıtico ∈ FR(MQ), para el sistema mixto se podr´ıa pensar en {f∈C∞(MC×MQ)|f=⟨ψ(q, p), A( R,  P)ψ(q, p)⟩} 17 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” con Aun operador lineal del espacio de Hilbert del sistema, dependiente de las coordenadas cl´asicas. Sin embargo, este conjunto no es cerrado34 con respecto al corchete de Poisson que definiremos en el siguiente apartado; y adem´as, tampoco se preserva debido a la no linealidad de la din´amica de Ehrenfest35. Es necesario agrandarlo. Recurriendo as´ı a otra de las propiedades de un sistema cu´antico, se puede definir el espacio de observables Odel sistema mixto como O:= {f∈C∞(MC×MQ)|ΓQf:= (I⊗Γ)f= 0} debido a la invariancia del conjunto F(MQ) bajo un cambio de fase global. Notar que este conjunto es m´as grande y engloba al anterior, por lo que no se pierde ning´un operador, y adem´as soluciona los problemas mencionados. Notar tambi´en que tendr´a elementos adicionales, sin ning´un significado f´ısico y que s´olo sirven para la definici´on del conjunto como un ´algebra de Poisson36. A continuaci´on se muestran algunas de las sub´algebras presentes: Funciones cl´asicas: s´olo dependen de las coordenadas cl´asicas. OC:= {f∈ O|∃fC∈C∞(MC)∋f( R,  P, q, p) = fC( R,  P)} Funciones cu´anticas “generalizadas”: s´olo dependen de los grados de libertad cu´anticos y adem´as son invariantes bajo cambios de fase global. OQ:= {f∈ O|∃fQ∈C∞(MQ)∋f( R,  P, q, p) = fQ(q, p)∧Γ(fQ) = 0} Se puede considerar el subconjunto m´as peque˜no OS Q, correspondiente a las funciones fQdefinidas sobre F(MQ), que es el que verdaderamente representa a los observables. Combinaci´on lineal: son combinaciones lineales de las anteriores. OC+Q:= {f∈ O|∃(fC∈C∞(MC)∧fQ∈C∞(MQ)) ∋f( R,  P, q, p) = fC( R,  P)+fQ(q, p)} 2.2.3. Estructura de Poisson {·,·} En vista de que ya hay definidas dos estructuras simpl´ecticas sobre cada uno de los subsistemas (llam´emoslas ωCyωQ), de forma natural se define ω=ωC+~ωQ como la estructura simpl´ectica del sistema total37. De esta manera, el corchete de Poisson correspondiente tendr´a la forma 34No permite definir el ´algebra de Poisson correspondiente. 35El operador evoluci´on no pertenece al conjunto. 36Ver ap´endice B: B.17-B.19. 37Es antisim´etrica y cumple tanto las identidades tanto de Jacobi como de Leibniz. 18 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” {·,·} ={·,·}C+~−1{·,·}Q que definir´a una estructura de Poisson sobre C∞(MC×MQ). Bajo este corchete de Poisson, tal y como se ha indicado antes, los conjuntos OC,OQ, OS QyOC+Q, as´ı como el propio O, son cerrados; es m´as, cada uno de ellos define una sub-´algebra de Poisson del propio O. Adem´as, la condici´on que nos define el espacio de observables O,f∈ O ⇔ ΓQ(f) = 0, es entonces equivalente a decir que f∈ O ⇔ {fI, f}= 0, donde fI= (qk)2+p2 k: {fI, f}= 0 ⇔ {fI, f}Q= 0 ⇔∂fI ∂qk ∂f ∂pk−∂fI ∂pk ∂f ∂qk= 0 ⇔2(qk∂f ∂pk−pk ∂f ∂qk)= 0 ⇔ ⇔Γf= 0 ⇔ΓQf= 0 lo que nos permite demostrar por ejemplo, que Osea efectivamente cerrado para el ´algebra de Poisson definido: {fI,{f, g}} =38 −{g, {fI, f}}−{f, {g, fI}} = 0 ⇔ {f, g} ∈ O ∀f, g ∈ O 2.2.4. Din´amica Ya tenemos las siguientes estructuras: Espacio de estados MC×MQ. Espacio de observables O. Estructura simpl´ectica ωy correspondiente corchete de Poisson {·,·}. Para terminar de describir el sistema completo como un sistema hamiltoniano, nos queda la definici´on de una funci´on fH∈C∞(MC×MQ) que llamaremos funci´on hamiltoniana: fH( R,  P, q, p) := ∑ J  P2 J 2MJ +⟨ψ(q, p)|He( R)ψ(q, p)⟩ donde Hees la expresi´on ya vista del hamiltoniano electr´onico, MJlas masas de los n´ucleos como componentes del subsistema cl´asico, y ψ(q, p) la funci´on de ondas de la nube electr´onica como subsistema cu´antico. La din´amica vendr´a por lo tanto dada por ˙  R={fH, R}=∂fH ∂ P=M−1 P 38Por la identidad de Jacobi. 19 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” ˙  P={fH, P}=−∂fH ∂ R=−grad(⟨ψ(q, p)|He( R)ψ(q, p)⟩) ˙qk={fH, qk}=~−1∂fH ∂pk k= 1, . . . , NQ ˙pk={fH, pk}=−~−1∂fH ∂qkk= 1, . . . , NQ que se corresponde con la din´amica de Ehrenfest vista al comienzo del cap´ıtulo. En general la evoluci´on de cualquier operador fvendr´a dada por ˙ f={fH, f}. Como consecuencia, una magnitud ser´a una constante del movimiento si conmuta con la funci´on hamiltoniana. ˙ f= 0 ⇔ {fH, f}= 0 Es evidente tambi´en que la din´amica preserva el espacio de observables O. fH, f ∈ O ⇒ {fH, f} ∈ O Como consecuencia, hemos conseguido describir la din´amica de Ehrenfest como un sistema hamiltoniano sobre una variedad de Poisson. La situaci´on ser´a similar a la de un sistema standard cl´asico; y precisamente gracias a ello, nos ser´a posible definir el sistema estad´ıstico de a continuaci´on. 2.3. Un poquito de Mec´anica Estad´ıstica El modelo de Ehrenfest, junto con el desarrollo del formalismo geom´etrico de la mec´anica cu´antica, resulta una herramienta muy c´omoda y sencilla para describir sistemas mixtos. Sin embargo hay que recordar que no deja de ser una aproximaci´on, por lo que su poder predictivo es limitado. Existen as´ı fen´omenos que escapan a su alcance y que son de vital importancia en cualquier modelo que pretenda ser realista, como por ejemplo el de decoherencia. En general, cualquier propiedad del sistema que est´e relacionada con el entrelazamiento se pierde debido a la separaci´on que hemos hecho entre los subsistemas39. De esta forma, se pueden implementar al formalismo herramientas adicionales que permitan recuperar parte de esta informaci´on perdida. Me estoy refiriendo a elementos de la Mec´anica Estad´ıstica. Los objetos que definiremos tienen su origen sobre la mec´anica estad´ıstica “cl´asica”, y de ah´ı la importancia de haber definido nuestro sistema mixto como un sistema hamiltoniano. Para nuestro trabajo, ya que el fen´omeno de decoherencia es suficientemente complejo como para necesitar una ampliaci´on importante del modelo, trataremos de recuperar lo referente a la evoluci´on de la pureza de un sistema. Se trata de algo mucho m´as 39Deja de haber un producto tensorial H=HN⊗ Hepara convertirse en un producto cartesiano S=MC×MQ. 20 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” sencillo de estudiar pero que est´a fuertemente unido. As´ı, mientras que la din´amica de Ehrenfest hasta ahora descrita preserva siempre la pureza de la parte cu´antica, la ampliaci´on nos permitir´a ver (en concordancia con lo esperado) que esto no tiene por qu´e ser as´ı. Cabe destacar que los resultados obtenidos no tendr´an una fiabilidad absoluta, pero se acercar´an bastante m´as a la fenomenolog´ıa observada. 2.3.1. Densidad de probabilidad y valores promedio El primer ingrediente necesario para construir una teor´ıa estad´ıstica es definir una densidad de probabilidad. Esta funci´on es la que nos permitir´a calcular probabilidades, valores medios de operadores y en general mucha otra informaci´on sobre cada uno de los estados de nuestro sistema. De esta forma, puesto que nuestro espacio de estados es S=MC×MQ, lo l´ogico ser´ıa definirla como FQC ∈C∞(MC×MQ); m´as concretamente, como FQC ∈ O. Por otro lado, se necesita tambi´en un elemento infinitesimal de volumen definido sobre el espacio de estados Sy que denotaremos como dµQC =dµCdµQ. En esta ´ultima expresi´on, dµCydµQcorresponden a los elementos infinitesimales de volumen sobre MC yMQrespectivamente. As´ı entre otras cosas, siendo Aun observable de nuestro sistema completo y eA= fA ⟨ψ|ψ⟩∈ O su funci´on asociada40, podremos definir su valor promedio como ⟨A⟩:= ∫MC×MQ dµQCFQC(ξ, ψ)eA(ξ, ψ) donde por simplificar la notaci´on hemos llamado ξ= ( R1, . . . ,  RNC, P1, . . . ,  PNC)∈MC a las coordenadas del subsistema cl´asico y ψ= (q1, . . . , qNQ, p1, . . . , pNQ)∈MQa las del cu´antico. Si queremos considerar din´amica y queremos que esta definici´on nos sirva para cualquier tiempo t, es evidente que el elemento de volumen dµQC ha de ser invariante ante cualquier evoluci´on del sistema. Sin embargo, precisamente por haber convertido la din´amica del sistema en hamiltoniana, el teorema de Liouville41 nos asegura que cualquier elemento de volumen definido sobre el espacio de fases conservar´a su volumen a lo largo del flujo. De esta forma, el elemento construido como dµQC := dµCdµQ=ωNC CωNQ Q= (ωC∧NCveces . . . ∧ωC)(ωQ∧NQveces . . . ∧ωQ)ser´a invariante y estar´a bien definido42. Precisamente, este punto es una de las justificaciones del uso del formalismo geom´etrico de la mec´anica cu´antica. Con respecto a la densidad de probabilidad, puesto que tenemos dos subsistemas, se podr´ıa pensar en que FQC fuera factorizable como producto de una distribuci´on cl´asica 40fA(ξ, ψ) ha de ser una funci´on cuadr´atica en ψpara poder hacer la definici´on. 41V´ease referencia [3]: pp.187,188. 42Ver ap´endice B: B.21. 21 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” La funci´on asociada a la matriz densidad fρ(η, t) tendr´a la forma fρ(η, t) = 1 N N ∑ k=1 ∫MQ dµQδ(ψ−Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t))⟨η|ψ⟩⟨ψ|η⟩ ⟨ψ|ψ⟩ =1 N N ∑ k=1 |⟨η|Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)⟩|2 ∥Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)∥2 y por tanto, la pureza a un tiempo tser´a: ⟨ρ(t)⟩=∫MQ dµQ(1 N N ∑ k=1 δ(ψ−Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)))(1 N N ∑ k=1 |⟨ψ|Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)⟩|2 ⟨ψ|ψ⟩∥Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)∥2) =1 N2 N ∑ j,k=1 |⟨Φ∗ ψ(ξj 0, ψ0;t)|Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)⟩|2 ∥Φ∗ ψ(ξj 0, ψ0;t)∥2∥Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)∥2 Como vemos, aunque inicialmente la pureza era igual a 1, con el tiempo parece evolucionar46. La evoluci´on estad´ıstica de Ehrenfest no conserva la pureza en sistemas hamiltonianos mixtos cl´asico-cu´anticos. Para visualizar esto numericamente, pongamos un sistema por ejemplo compuesto por una part´ıcula cl´asica en un espacio unidimensional47 (bien podr´ıa ser un n´ucleo at´omico) acoplada a un sistema cu´antico con 2 posibles estados (su ´ultima capa electr´onica en estado fundamental o excitado). Vendr´a descrito por las coordenadas: (ξ, ψ) = (R, P, q1, q2, p1, p2) Sea fH(ξ, ψ) su funci´on hamiltoniana de la forma: fH(R, P, q1, q2, p1, p2) = P2+1 2⟨ψ|He(R)|ψ⟩=P2+1 2⟨ψ|σz+ϵcos(R)σx|ψ⟩48 donde σzyσxson las matrices de Pauli que permiten la construcci´on del hamiltoniano electr´onico Hesobre C2, que tambi´en debe ser herm´ıtico. σz=(1 0 0−1)σx=(0 1 1 0) He(R) = (1ϵcos R ϵcos R−1) 46Se pueden calcular las derivadas temporales de ⟨ρ(t)⟩y probar que efectivamente la pureza disminuye con el tiempo. Para un desarrollo completo, v´ease referencia [13]. 47Por simplificar los c´alculos. 48Es el tipo de funci´on que se suele utilizar en estos casos de estudio. 28 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” Notar que hemos incluido un par´ametro ϵque es el que nos va a permitir controlar el grado de acoplo entre los subsistemas. Cuando ϵ= 0, ambos estar´an desacoplados (ya que He=He(R)) y conforme ϵsea mayor, el acoplo ser´a m´as fuerte. Pongamos, tal y como se ha visto, una distribuci´on inicial equiprobable (por ejemplo con N= 20) para la parte cl´asica y un estado puro para la parte cu´antica: Para la part´ıcula cl´asica se han elegido (de forma completamente aleatoria) las siguientes 20 condiciones iniciales: (ξ1 0, ξ2 0, . . . , ξ20 0) = (R1 0= 0, P1 0= 0, R2 0= 2, P2 0= 0,2, R3 0= 4, P3 0= 0,4, . . .) Los resultados que se podr´ıan obtener con otras condiciones iniciales ser´ıan an´alogos. Para la parte cu´antica se ha tomado ψ0= (1,0,0,0). La evoluci´on del sistema nos dar´a 20 trayectorias (Φ∗ ξ(ξk 0, ψ0;t),Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)) equiprobables que se pueden determinar resolviendo las ecuaciones de Ehrenfest (vistas en el apartado (2.2.4)) para la funci´on hamiltoniana fH(R, P, q1, q2, p1, p2) anterior. Con todo esto, la evoluci´on de la pureza seg´un la expresi´on obtenida ser´a: 0 10 20 30 40 50 Tiempo 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Pureza Figura 1. Evoluci´on de la pureza para acoplos ϵ= 0,1 (l´ınea roja), ϵ= 1 (l´ınea naranja) y ϵ= 10 (l´ınea azul). En la gr´afica se presenta la evoluci´on de la pureza del sistema para tres acoplos diferentes49:ϵ= 0,1, ϵ = 1 y ϵ= 10. Como era de esperar, cuando el acoplo entre ambos subsistemas es muy peque˜no (ϵ= 0,1∼0), la pureza de la parte cu´antica pr´acticamente se mantiene; mientras que conforme aumenta (ϵ= 1, ϵ = 10), mayor es la influencia de la incertidumbre de las condiciones iniciales cl´asicas sobre el decrecimiento de la pureza. 49La elecci´on se ha hecho con la intenci´on de cubrir un rango amplio con diferentes ´ordenes de magnitud. 29 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” Cabe destacar tambi´en que el acoplo simplemente tiene su efecto sobre la velocidad de decrecimiento de la pureza, dejando su valor asint´otico en todos los casos invariante. Como la evoluci´on del sistema depende fuertemente de las condiciones iniciales, llegada la situaci´on de equilibrio se tiene que las Ntrayectorias se reparten entre los NQniveles del subsistema cu´antico. Por ello no es de extra˜nar que la pureza en el equilibrio no dependa de ϵ, sino simplemente del n´umero de trayectorias y de la dimensi´on del espacio de Hilbert correspondiente50. 2.4.5. Aplicaci´on: influencia de la temperatura en la pureza de sistemas moleculares Habiendo recuperado as´ı la evoluci´on de la pureza en un sistema hamiltoniano mixto cl´asico-cu´antico, ha llegado la hora de comprobar si los resultados de verdad reproducen, al menos cualitativamente, el comportamiento observado en la naturaleza. Suponer que tenemos un ´atomo como el del ejemplo num´erico anterior51 y en un espacio unidimensional52. El hecho de que se encuentre a una temperatura Tse puede traducir en que tendr´a un estado de vibraci´on y una velocidad adicional determinados. De esta manera, tanto su posici´on Rcomo su momento Ptendr´an una peque˜na incertidumbre, provocando la p´erdida de pureza en la parte cu´antica a lo largo de su evoluci´on en el tiempo. Como hip´otesis, cabr´ıa formular entonces: A mayor temperatura, m´as r´apida ser´a la p´erdida de pureza de nuestro ´atomo. La presencia de una temperatura para el subsistema cu´antico puede conseguirse considerando el subsistema cl´asico como un reservorio t´ermico. Si el acoplo con el reservorio es suficientemente d´ebil53, entonces podremos considerar una temperatura de equilibrio T constante. De esta forma, una posible manera de introducir la temperatura en la din´amica del sistema es eligiendo la densidad de probabilidad del subsistema cl´asico de acuerdo a una distribuci´on t´ermica del tipo FC∝exp (−ER kBT) donde ERcorresponder´ıa a la energ´ıa interna del reservorio54. En nuestro formalismo, esta dependencia con la temperatura nos lleva a pensar en una distribuci´on de probabilidad inicial (t= 0) para nuestro sistema de la forma FQC(ξ, ψ, t = 0) = 1 σ√2πexp (−(ξ−ξ0)2 2σ2)δ(ψ−ψ0) 50Para comprobar esta dependencia ver referencia [13]. 51Un solo ´atomo que se puede encontrar en estado fundamental o excitado. 52Para simplificar el planteamiento del problema. 53Lo es. De hecho este ha sido el punto clave para realizar la aproximaci´on de Ehrenfest y separar el sistema completo en dos subsistemas. 54V´ease la referencia [14]: pp.171-173 para una mejor justificaci´on de este proceso. 30 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” donde el par´ametro σhar´ıa los papeles de temperatura. El hecho de utilizar la desviaci´on de la gaussiana σcomo nuestra temperatura es evidente: una mayor anchura en la distribuci´on significa una mayor temperatura. Sin embargo, para poder hacer los c´alculos a partir de un n´umero finito de trayectorias de manera an´aloga a como se ha hecho hasta ahora, nos es necesario discretizarla. Tendremos as´ı: FQC(ξ, ψ, t = 0) = A N ∑ k=1 [exp (−(ξ−¯ ξ0)2 2σ2)δ(ξ−ξk 0)]δ(ψ−ψ0) donde hay un total de Ncondiciones iniciales ξk 0(que distribuiremos equiespaciadamente con mayor o menor separaci´on entre ellas en funci´on de σ), “pesadas” con la distribuci´on t´ermica correspondiente, y siendo ¯ ξ0su valor medio. La constante Apuede determinarse a partir de la condici´on de normalizaci´on impuesta sobre FQC. ∫MC×MQ dµQCFQC(ξ, ψ, t = 0) = 1 A N ∑ k=1 ∫MC×MQ dµQC exp (−(ξ−¯ ξ0)2 2σ2)δ(ξ−ξk 0)δ(ψ−ψ0) = 1 A N ∑ k=1 exp (−(ξk 0−¯ ξ0)2 2σ2)= 1 A=(N ∑ k=1 exp (−(ξk 0−¯ ξ0)2 2σ2))−1 De tal forma que la distribuci´on inicial ser´a FQC(ξ, ψ, t = 0) = (N ∑ j=1 e−(ξj 0−¯ ξ0)2 2σ2)−1N ∑ k=1 [e−(ξ−¯ ξ0)2 2σ2δ(ξ−ξk 0)]δ(ψ−ψ0) Pasado un tiempo, cada una de las condiciones iniciales evolucionar´a con una trayectoria. As´ı la densidad de probabilidad a tiempo ttendr´a la forma FQC(ξ, ψ, t) = (N ∑ j=1 e−(ξj 0−¯ ξ0)2 2σ2)−1N ∑ k=1 [e−(ξk 0−¯ ξ0)2 2σ2δ(ξ−Φ∗ ξ(ξk 0, ψ0;t))δ(ψ−Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t))] donde hay que notar que cada una de las trayectorias queda “pesada” con su probabilidad inicial (que es lo m´as natural desde el momento en que hemos supuesto la temperatura 31 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” del reservorio constante55). A partir de aqu´ı, para calcular la evoluci´on de la pureza del sistema a lo largo del tiempo, se puede proceder de foma similar al caso equiprobable. La distribuci´on marginal FQ(ψ, t) tomar´a la forma FQ(ψ, t) = (N ∑ j=1 e−(ξj 0−¯ ξ0)2 2σ2)−1N ∑ k=1 [e−(ξk 0−¯ ξ0)2 2σ2δ(ψ−Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t))] La funci´on asociada a la matriz densidad fρ(η, t) ser´a fρ(η, t) = (N ∑ j=1 e−(ξj 0−¯ ξ0)2 2σ2)−1N ∑ k=1 [e−(ξk 0−¯ ξ0)2 2σ2∫MQ dµQδ(ψ−Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t))⟨η|ψ⟩⟨ψ|η⟩ ⟨ψ|ψ⟩] =(N ∑ j=1 e−(ξj 0−¯ ξ0)2 2σ2)−1N ∑ k=1 [e−(ξk 0−¯ ξ0)2 2σ2|⟨η|Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)⟩|2 ∥Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)∥2] y como consecuencia, la pureza a un tiempo tresultar´a como ⟨ρ(t)⟩=∫MQ dµQFQ(ψ, t)eρ(ψ, t) =(N ∑ j=1 e−(ξj 0−¯ ξ0)2 2σ2)−2N ∑ k,l=1 [e−(ξk 0−¯ ξ0)2 2σ2e−(ξl 0−¯ ξ0)2 2σ2|⟨Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)|Φ∗ ψ(ξl 0, ψ0;t)⟩|2 ∥Φ∗ ψ(ξk 0, ψ0;t)∥2∥Φ∗ ψ(ξl 0, ψ0;t)∥2] Hay que destacar que, al igual que en el caso equiprobable, la pureza evoluciona de acuerdo a las trayectorias del sistema (que es donde se encuentra la dependencia temporal). Sin embargo aqu´ı tenemos un par´ametro m´as, σque es el que representa la temperatura del sistema. Utilicemos de esta forma, para nuestra representaci´on, una funci´on hamiltoniana similar a la vista fH(R, P, q1, q2, p1, p2) = P2+1 2⟨ψ|He(R)|ψ⟩=P2+1 2⟨ψ|σz+ϵcos(R)σx|ψ⟩ y un total de N= 21 condiciones iniciales para nuestro sistema cl´asico. 55Para una segunda aproximaci´on, en la que se incorporaran efectos de correlaci´on entre reservorio y subsistema cu´antico, habr´ıa que hacer depender la densidad de probabilidad FQ(ψ, t) de las posiciones de los n´ucleos en cada instante de tiempo, redefiniendo de la misma forma la normalizaci´on a cada paso de integraci´on. 32 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” Ξ0-3Σ Ξ0-2Σ Ξ0Σ Ξ0+ Σ Ξ0+2Σ Ξ0+3Σ Ξ 0.15 FCHΞ,t=0L Figura 2. Densidad de probabilidad inicial para el subsistema cl´asico a una temperatura T=σ. A partir de un valor concreto de ¯ ξ0= (R, P ), que ser´an la posici´on y momento te´orico de nuestro ´atomo a la temperatura dada, se han tomado 10 condiciones m´as a cada lado de la gaussiana, de manera equiespaciada, y hasta un valor de 3σ. Para la parte cu´antica se sigue tomando ψ0= (1,0,0,0). La evoluci´on de la pureza a lo largo del tiempo, y teniendo en cuenta al par´ametro σ como la temperatura del sistema, ser´a Figura 3. Evoluci´on de la pureza de nuestro sistema molecular a lo largo del tiempo en funci´on de la temperatura. Acoplo d´ebil ϵ= 0,1. 33 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” Figura 4. Evoluci´on de la pureza de nuestro sistema molecular a lo largo del tiempo en funci´on de la temperatura. Acoplo medio ϵ= 1. Figura 5. Evoluci´on de la pureza de nuestro sistema molecular a lo largo del tiempo en funci´on de la temperatura. Acoplo fuerte ϵ= 10. De la misma forma que para la distribuci´on equiprobable, se muestra la pureza para un acoplo d´ebil ϵ= 0,1, un acoplo medio ϵ= 1 y un acoplo fuerte ϵ= 10. Tal y como cab´ıa esperar, para ϵ= 0,1 el sistema pr´acticamente no pierde su pureza, haci´endolo muy lentamente. Para un acoplo un poco mayor ϵ= 1 ya resulta evidente esta p´erdida; mientras que para un acoplo fuerte ϵ= 10, el sistema alcanza la pureza de equilibrio casi al instante. 34 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” No obstante, el hecho que cabe destacar de estas representaciones es la dependencia con la temperatura. Nuestra hip´otesis de trabajo dec´ıa que a una mayor temperatura, cabr´ıa esperar una p´erdida m´as r´apida de la pureza. Y efectivamente, en cualquiera de los acoplos se puede observar que, cuanto mayor es el par´ametro σ, m´as r´apidamente decae la pureza del sistema. A modo de comprobaci´on, ahora que ya hemos cogido la idea intuitiva de c´omo abordar el problema, podr´ıamos complicarlo un poco m´as considerando un ´atomo similar al estudiado pero en un espacio bidimensional56. Los c´alculos de la matriz densidad y de la pureza son exactamente los mismos. Sin embargo, habr´a ligeros cambios tanto en la funci´on hamiltoniana fH(Rx, Ry, Px, Py, q1, q2, p1, p2) = |P|2+1 2⟨ψ|σz+ϵcos(|R|)σx|ψ⟩ como en las condiciones iniciales del subsistema cl´asico57: Ξ0 x-3Σ Ξ0 x-2Σ Ξ0 xΣ Ξ0 x+ Σ Ξ0 x+2Σ Ξ0 x+3Σ Ξx Ξy Figura 6. Densidad de probabilidad inicial para el subsistema cl´asico bidimensional a una temperatura T=σ. Planta. 56Pasar´ıamos directamente al caso tridimensional, pero los tiempos de computaci´on son extremadamente largos. 57Ahora con N= 26. 35 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” FCHΞ,t=0L Ξ0-3Σ Ξ0-2Σ Ξ0Σ Ξ0 Ξ0+ Σ Ξ0+2Σ Ξ0+3Σ 0.12 Figura 7. Densidad de probabilidad inicial para el subsistema cl´asico bidimensional a una temperatura T=σ. Perspectiva. De esta forma, los resultados son: Figura 8. Evoluci´on de la pureza de nuestro sistema molecular a lo largo del tiempo en funci´on de la temperatura. Acoplo d´ebil ϵ= 0,1. 36 Trabajo de Fin de Grado 2013/14 “GQM in ED” Figura 9. Evoluci´on de la pureza de nuestro sistema molecular a lo largo del tiempo en funci´on de la temperatura. Acoplo medio ϵ= 1. Figura 10. Evoluci´on de la pureza de nuestro sistema molecular a lo largo del tiempo en funci´on de la temperatura. Acoplo fuerte ϵ= 10. Dado que reflejan exactamente la misma informaci´on que en el caso unidimensional, podr´ıamos dar por validada nuestra hip´otesis: A mayor temperatura, m´as r´apida es la p´erdida de pureza de sistemas moleculares. Conviene recordar que los resultados en cualquier caso son fiables solamente de un modo cualitativo y que por lo tanto, no permiten ir mucho m´as all´a. En cualquier ca37