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0 Facultad de Educación Universidad de Zaragoza Grado en Magisterio en Educación Primaria Trabajo Fin de Grado UTILIZACIÓ DE GEOGEBRA E LA ESEÑAZA Y APREDIZAJE DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLAAS E EL 1er CURSO DE EDUCACIÓ PRIMARIA Autor: ENRIQUE LUNA CALVO Director: ALBERTO ARNAL BAILERA Septiembre de 2014 0 Trabajo de Fin de Grado Página CAPITULO 0 2 CAPITULO 1 1.1. Análisis del currículo de la Comunidad de Aragón 4 1.2. La enseñanza-aprendizaje de la Geometría. Habilidades, niveles de razonamiento y organización por fases de conocimiento. 5 1.3. Uso de software informático para la enseñanza de la Geometría 9 1.4. La visualización del individuo 10 1.5. GeoGebra vs. Papel y lápiz. Demostraciones geométricas 11 1.6. Prototipos y las representaciones estereotipadas 12 CAPITULO 2 2.1. Contextualización, diseño de la experimentación y dificultades previas 14 2.2. Actividades utilizadas en la experimentación. 16 2.3. Temporalización de la experimentación y descripción de las sesiones. 22 2.3.1. Descripción de las sesiones. 23 2.3.2. Evaluación y algunas conclusiones sobre las actividades propuestas. 26 CAPITULO 3 3.1. Secuencia Didáctica completa. 28 3.2. Tabla-resumen sobre las actividades de la Secuencia Didáctica. 41 3.3. Metodología y distribución temporal de la Secuencia Didáctica. 46 0 CAPITULO 4 4.1. Conclusiones referentes al Capitulo 1. 47 4.2. Conclusiones referentes al Capitulo 2. 48 4.3. Conclusiones referentes al Capitulo 3 51 REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS 54 AEXO1 AEXO2 AEXO3 AEXO4 AEXO5 AEXO6 AEXO7 1 RESUME En este Trabajo de Fin de Grado (TFG) exponemos la realización de una experimentación llevada a cabo con veinticinco alumnos de 1 er curso de Educación Primaria en el centro escolar Doctor Azúa situado en la ciudad de Zaragoza. Durante la experimentación se exploran varias metodologías para abordar la Geometría plana. Se propone la utilización de un software de geometría dinámica (en concreto GeoGebra) frente a la metodología tradicional de papel y lápiz. Tras la realización de esta experimentación y obtenidas diferentes conclusiones se diseña una secuencia didáctica ampliada con actividades nuevas y mejoras de las iniciales. Palabras clave: Educación Primaria, Geometría plana, datos de Aula, GeoGebra, representaciones estereotipadas. ABSTRACT This Grade Final Project explains an experiment performed with twenty five first year primary school students in the Doctor Azúa School located in Zaragoza. During experiment several methodologies are explored the issue of Plane Geometry. It is proposed to use Dynamic Geometry Software (specifically GeoGebra) versus the traditional paper and pencil methodology. After performing this experiment and obtained different conclusions, we propose a didactic sequence extended with improvements and new activities. Key words: Primary School, Plane Geometry, Classroom data, GeoGebra, Stereotypical representations. 2 CAPITULO 0 Este TFG (Trabajo Fin de Grado) está relacionado con la utilización de software de geometría dinámica, en concreto el programa GeoGebra o GeoGebraPrim, en el centro escolar y con alumnos de 6-7 años (1 er curso de Educación Primaria), para desarrollar contenidos relacionados con los polígonos o formas geométricas planas más elementales. Es preciso mencionar que GeoGebra y GeoGebraPrim son idénticos, salvo que en el caso del segundo aparece con menor número de herramientas geométricas, y puede ser más apropiado para niños de tan corta edad, aunque en GeoGebra también existe la posibilidad de suprimir dichas herramientas, con lo cual podemos hablar de ambos programas como uno solo. El trabajo en sí mismo, tiene varias partes: Tras un análisis de la literatura sobre este tópico, realizamos una aplicación práctica que consta de varias fases: La primera, trata de un estudio comparativo entre varias metodologías para abordar el tema de Geometría plana. Analizaremos varias actividades llevadas a cabo con alumnos del colegio público Doctor Azúa. Dichas metodologías son las siguientes:  Una es la metodología tradicional del uso de libro de texto, papel y lápiz.  Otra es la metodología que proponemos como novedad, el uso del programa GeoGebra tanto para la enseñanza por parte del docente, como para el aprendizaje por el alumno. La segunda, a partir del análisis anterior propondremos una secuencia didáctica con actividades que llevaríamos a cabo en un periodo de tiempo mayor al disponible en dicho centro escolar con alumnos del mismo nivel, para conseguir abordar los contenidos expuestos de forma más adecuada. A partir de lo anterior elaboraremos unas conclusiones, siendo conscientes de que la puesta en práctica de la secuencia ampliada nos llevará a conclusiones más elaboradas y precisas. A continuación exponemos los objetivos particularizados para este TFG: Objetivo 1. Realizar una aproximación a la situación de la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación Primaria con la ayuda de GeoGebra mediante una revisión de la bibliografía de investigación educativa referida a dicho tópico. 3 Este objetivo consiste en revisar y analizar diferentes artículos relacionados con la enseñanza-aprendizaje de la Geometría, principalmente en cuanto a ejemplos de estudios y las metodologías utilizadas para llevar a cabo la Geometría en el aula de Educación Primaria. Posteriormente, clasificar la información que nos interese por temas relacionados entre sí, y organizar dicha recopilación en un capitulo del TFG (en concreto el capitulo 1). Objetivo 2. Explorar las actividades que la red oferta y que puedan ser apropiadas para su aprovechamiento en los distintos ciclos de Educación Primaria y/o diseñar actividades propias que complementen lo que la red ofrece. Este objetivo hace referencia a la búsqueda de diferentes actividades ya creadas por distintos autores y expuestas por ellos en la red, para analizarlas y adecuarlas al nivel de los alumnos con los que se desarrolla la experimentación. Asimismo, diseñar actividades propias también adecuadas al nivel y edad de dichos alumnos. Objetivo 3. Diseño, experimentación y evaluación de unas sesiones con GeoGebra en el aula de Educación Primaria para contextualizar en la práctica lo conocido a través de la teoría. El objetivo presente esta encaminado al diseño de una experimentación de acuerdo con las posibilidades y limitaciones presentes en el centro de prácticas, en cuanto al número de sesiones y alumnos disponibles, y materiales para utilizar alumnos y profesor. Incluiremos metodología y distintas actividades, además de incorporar una evaluación de la experimentación y de las habilidades adquiridas por los alumnos durante dichas sesiones. (Los objetivos 2 y 3 aparecen desarrollados en el capitulo 2 del TFG). Objetivo 4. Extensión de las sesiones con GeoGebra hasta constituir una secuencia didáctica completa. Este objetivo consiste en construir una secuencia didáctica completa, que incorpore a las actividades ya propuestas en la experimentación realizada, nuevas actividades para desarrollar una experimentación más completa en un tiempo de realización más amplio, y poder obtener conclusiones más elaboradas y certeras. (El objetivo 4 aparece desarrollado en el capitulo 3 del TFG). Finalmente, en el capitulo 4 explicamos las conclusiones referidas a cada capitulo del TFG y de la experimentación realizada; y en los Anexos, aparecen varias imágenes de actividades realizadas por los alumnos durante las sesiones de la experimentación. 4 CAPITULO 1 En este capitulo realizamos una aproximación a la situación de la enseñanzaaprendizaje de la Geometría en Educación Primaria. Para ello, analizamos la situación de la Geometría en cuanto al currículo de la comunidad aragonesa, y según diferentes autores y estudios llevados a cabo con distintos alumnos, reflejados en diferentes artículos. 1.1. Análisis del currículo de la Comunidad de Aragón A continuación aparecen reflejados los objetivos, contenidos y criterios de evaluación del área de Matemáticas propios del currículo de la Comunidad de Aragón, que es necesario analizar para obtener conclusiones sobre las posibilidades con niños de este nivel concreto. Además incluimos los objetivos específicos a desarrollar al mismo tiempo que realizamos nuestro estudio, redactados por nosotros a partir del objetivo de área y en función de lo que pretendemos abordar en nuestra investigación. Objetivo general de área: 7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción. Objetivos específicos: - Conocer los conceptos de punto, segmento, polígono y no polígono. - Reconocer e identificar formas geométricas elementales: triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo y rombo, en distintas situaciones. - Diferenciar entre cuadrilátero y tipos de este. - Observar y crear formas geométricas planas variadas y no estereotipadas. - Crear dibujos creativos haciendo uso de formas geométricas, puntos y segmentos. - Utilizar varios métodos para crear formas geométricas. Bloques de contenidos generales de área: La geometría en concreto cuenta con un bloque de contenido propio dentro del área de Matemáticas. 1 er CICLO Bloque 3. Geometría 5  Figuras planas: reconocimiento en objetos familiares de triángulo, cuadrado, rectángulo y círculo. Elementos básicos: dominio interior, dominio exterior, frontera, lado, vértice y circunferencia.  Aproximación intuitiva al concepto de espacio, plano, recta y punto.  Utilización de programas informáticos para construir figuras.  Utilización de criterios elementales para comparar y clasificar figuras y cuerpos geométricos.  Interés y curiosidad por la identificación de las formas y sus elementos característicos. Criterio de evaluación de ciclo: 6. Reconocer en el entorno inmediato formas y cuerpos geométricos (triángulos, cuadrados, rectángulos, círculos, cubos, prismas, cilindros, esferas). Con ello, podemos decir que el currículo aragonés recoge la Geometría en un solo bloque de contenidos dentro del área de Matemáticas. Principalmente, en cuanto a Geometría plana, se le da una gran importancia a la identificación y reconocimiento por el alumno en diferentes entornos. Además, también se observa que se hace referencia a la utilización de programas informáticos para construir figuras. De ahí que nuestro trabajo se va a fundamentar básicamente en la identificación y reconocimiento de figuras geométricas planas haciendo un gran uso del programa informático GeoGebra, elegido por sus herramientas disponibles, posibilidades que ofrece y además disponibilidad gratuita. 1.2. La enseñanza-aprendizaje de la Geometría. Habilidades, niveles de razonamiento y organización por fases de conocimiento. Según Alsina (2008), en muchos países no se ha encontrado la metodología adecuada para llevar a cabo la Geometría. Desde infantil, es un tema al que se le da una gran importancia, y la va perdiendo conforme avanza el nivel de los cursos. A su vez, Galindo (1996) expone que en general, los alumnos tienen poco dominio de los conceptos geométricos, tienden a memorizar problemas planteados, y esto provoca dificultades a la hora de resolverlos en contextos distintos. Por otro lado, los profesores desplazan a un segundo plano la Geometría, debido a la falta de tiempo y a su inclusión en otros temas. Además de falta de material didáctico, deficiente preparación docente, y falta de currículo coherente para abordar la Geometría, si se 6 quiere utilizar un software específico, es necesario mencionar un inconveniente, como es la falta de un número de ordenadores adecuado para todos los alumnos. El fin último de la Geometría es facilitar el conocimiento del espacio, la creatividad y potenciar los procesos de matematización. Por ello, de acuerdo con Alsina (2008) los maestros tienen que mejorar y modificar sus técnicas de enseñanza, para lo cual puede ser necesaria la utilización de las nuevas tecnologías, es decir, deben modernizar la enseñanza de la Geometría, potenciando en los alumnos la resolución de problemas y adquisición de unas habilidades que puedan aplicarse en otros contextos reales de la vida cotidiana. La Geometría posee una característica interdisciplinar, ya que pone en práctica gran variedad de recursos matemáticos, y al mismo tiempo facilita el desarrollo de diferentes habilidades para conseguir los objetivos del área de Matemáticas. Dichas habilidades aparecen en el trabajo de Galindo (1996) sobre la Tabla de habilidades básicas en Geometría elaborada por Hoffer (1990), y son las siguientes: 1. Habilidad visual. Hace referencia a la capacidad del estudiante para captar información mediante observación de objetos reales o representaciones de estos. 2. Habilidad verbal. Capacidad para emplear un uso adecuado del lenguaje geométrico. 3. Habilidad para dibujar. Capacidad para interpretar las ideas mediante dibujos y/o esquemas. 4. Habilidad lógica. Capacidad para crear argumentos según las reglas de la lógica formal, y además reconocer si un argumento es válido o no. 5. Habilidad de modelación. Capacidad de describir y explicar fenómenos cotidianos a través de modelos. En el caso de esta última habilidad, Gutiérrez (2006) y Alsina (2008) citan los pasos para abordar las situaciones problema y con ello crear modelos matemáticos según las etapas de modelización de H. O. Pollack (1997). Estos pasos resumidos son: utilizar situaciones del mundo real o cotidiano para conseguir unos resultados; después identificar estos resultados con términos matemáticos para crear los modelos matemáticos; y una vez obtenidos unos modelos, volver al comienzo para verificar si los resultados conseguidos son válidos o no, y si por consiguiente no lo son, repetir el proceso. 13 Debemos distinguir prototipo (imagen mental formada a través de distintas representaciones gráficas), y estereotipo (dibujo o representación gráfica reiteradamente utilizada en nuestra cultura). La posición de la figura es irrelevante desde el punto de vista geométrico, aunque el alumno puede asimilarlo en su esquema mental como relevante, como explican en su trabajo Scaglia y Moriena (2005). Por ello, no es recomendable que el alumno tenga presente muchas veces la figura estereotipada, y sí utilizar figuras geométricas en distintas posiciones. Según Gutiérrez (2006), dar relevancia a la posición de una figura geométrica es un error en muchas ocasiones observable en alumnos del Nivel 1 del modelo de razonamiento de van Hiele (1986). Como ocurre en el ejemplo de la Figura 1; el alumno cree que la Figura 1a es un cuadrado y la 1b un rombo, siendo también un cuadrado pero en una posición girada. En definitiva, como señalan Scaglia y Moriena (2005) en su trabajo, los prototipos a los que conducen las representaciones gráficas estereotipadas son básicos para el aprendizaje de conceptos geométricos por los alumnos, pero al mismo tiempo su uso exclusivo crea ciertas dificultades al identificar figuras geométricas. Por tanto, debemos dar la posibilidad de crear nuevos prototipos, y no utilizar exclusivamente representaciones gráficas estereotipadas; siendo para ello una buena herramienta el software geométrico dinámico (SGD). 14 CAPITULO 2 En este capitulo del TFG vamos a exponer la organización y desarrollo de la experimentación, actividades propuestas a los alumnos e imágenes de ellas, decisiones y finalmente resultados obtenidos a partir de las actividades propuestas a los alumnos en dicho centro escolar, evaluando el aprendizaje de los propios alumnos y la propia investigación. A partir de esto, en el siguiente capitulo del TFG propondremos una secuencia didáctica para abordar el programa de manera global en el 1 er ciclo. 2.1. Contextualización, diseño de la experimentación y dificultades previas Como ya hemos dicho, la experimentación la hemos llevado a cabo con alumnos de 1 er curso de Educación Primaria del centro escolar Doctor Azúa, en concreto con 25 alumnos. Debido a que nuestra situación es de profesores de prácticas, hemos tenido que ponernos de acuerdo con el profesor-tutor y otros profesionales docentes para disponer de los recursos necesarios para desarrollar dicha experimentación. Por todo ello, tuvimos que hacer frente a distintas dificultades y tener en cuenta los siguientes asuntos a modo de preparación previa: 1. Principalmente, el número de alumnos que dispondríamos para desarrollarla. 2. El número de sesiones disponibles y duración de estas sesiones. 3. El momento en el que llevarla a cabo, en función de la Unidad Didáctica y/o programación de la tutora del grupo de alumnos. 4. Por otro lado, disponibilidad del aula de informática, y el número de ordenadores. 5. La situación en la que se encontraban dichos ordenadores (“congelados” con una contraseña del centro escolar). 6. La necesidad de instalar la aplicación Java, previamente al programa GeoGebra. 7. Finalmente, la colaboración de la profesora-tutora y principalmente el encargado del aula de informática, para ayudarnos a “descongelar” los ordenadores y poder instalar la aplicación Java y el programa GeoGebra. Tras abordar dichos asuntos previos de organización del contexto de la investigación, concluimos que: - Contamos con veinticinco alumnos para realizar la investigación. Pese a que se pretendía realizar con un grupo pequeño de alumnos, la tutora no nos lo permitió y se decidió hacerlo con todos los miembros de la clase. 15 - Organizamos la investigación y preparación de las actividades en función de lo que la profesora había explicado ya sobre Geometría en una sesión anterior. Dicha sesión fue utilizada por la tutora a modo de introducción de conceptos geométricos, como: los polígonos, los no polígonos, círculos, triángulos y cuadriláteros, y tipos de cuadriláteros, en concreto cuadrado, rectángulo y rombo. Dichos conceptos los abordó mediante una metodología muy tradicional, haciendo uso únicamente del libro de texto, utilizando meras explicaciones con simplemente los escasos ejemplos e proponía el libro y muy estereotipados. Las actividades que los alumnos debían realizar eran meras identificaciones de figuras estereotipadas, pocos ejemplos (uno o dos de cada figura geométrica), y simplemente de identificación mediante colores por su nombre y según el número de lados, sin ni siquiera tener que realizar identificaciones en otros contextos o imágenes con sentido real o cotidiano. - Posteriormente a dicha sesión realizada por la tutora y tras sus explicaciones sobre las figuras geométricas planas y los polígonos, llevamos a cabo las sesiones propiamente de experimentación. Esta sesión previa fue utilizada para aprovechar mejor el escaso tiempo disponible, y de esta forma los conceptos básicos ya serían conocidos por los alumnos, aunque no estuvieran asimilados completamente. - La tutora, únicamente nos dejó disponer de dos sesiones, cada una de una hora escasa, por lo que decidimos dividirlas según las partes de la investigación: 1. Una sesión de una hora, para mostrarles a los alumnos como funciona GeoGebra, y para realizar varias actividades propias de dicha experimentación. 2. La otra sesión (también de una hora aproximada), para resolver otras actividades mediante el método tradicional de papel y lápiz. - También es necesario mencionar, que en cada una de las sesiones se hizo un pequeño repaso sobre figuras geométricas, punto, segmento y el concepto de polígono o no polígono. En la primera sesión utilizando GeoGebra, y en la segunda usando la pizarra tradicional para dicho repaso. - Por otro lado, nos tuvimos que asegurar de que la sala de informática estaba disponible hablando con el encargado del aula de informática y otros docentes. Y también el número de ordenadores, que en concreto eran trece, por lo que, para llevar acabo la experimentación colocamos a los alumnos por parejas. 16 - El encargado nos ofreció su ayuda para “descongelar” los ordenadores. Posteriormente, instalamos la aplicación Java y el programa GeoGebra. Todo este proceso previo al desarrollo de la experimentación con los alumnos, nos ocupó un tiempo de unas dos horas y media. - Con la mitad del grupo, previamente a las dos sesiones programadas para la experimentación, utilizamos media hora aproximada (mientras el resto de alumnos estaba en la clase de Religión), para mostrarles algunos botones o herramientas dentro del programa mencionado. Posteriormente, durante la primera sesión de la investigación dividimos a los alumnos que habían tenido la aproximación a GeoGebra previamente, y los colocamos cada uno con un alumno que había asistido a Religión, formando así las trece parejas correspondientes. 2.2. Actividades utilizadas en la experimentación Tras la explicación de cómo hemos organizado a los alumnos y las sesiones, la forma de ajustarnos a los recursos disponibles, y la adecuación a los requerimientos de la tutora y del propio contexto, pasaremos a mostrar y comentar la elección de las actividades, para la experimentación, teniendo en cuenta el escaso tiempo disponible. Primero, para evitarles problemas a los alumnos decidimos ocultar la ventana algebraica, así como los ejes de coordenadas, dejando el fondo de la ventana gráfica con la correspondiente hoja cuadriculada; además quitamos algunos botones o herramientas de la parte superior de GeoGebra, personalizando la barra de herramientas. La pantalla que verían los alumnos y el propio profesor quedaría de la siguiente forma: Figura 2 De tal forma que únicamente aparecerán las siguientes herramientas: puntos, segmentos, circunferencia, botón para desplazar vista gráfica, escribir texto, botón de elegir-mover, y finalmente, polígono rígido. Únicamente dejamos la herramienta para crear polígonos rígidos para trabajar el desplazamiento, cambio de posición y giro de 17 figuras geométricas sin cambiar sus propiedades, como podría ocurrir con la herramienta “Polígono normal”, la cual no tenemos en cuenta en esta investigación. La sesión comenzó con una explicación de las anteriores herramientas y con ejemplos de cada una. Cada vez que se explicaba una herramienta mediante el proyector, que veían todos alumnos, les dejábamos un tiempo para que ellos mismos probaran a utilizarla durante un minuto. Comenzamos dibujando puntos y mostrándoles la herramienta para deshacer y rehacer. Luego, segmentos, intentándoles explicar su significado como concepto geométrico (Tramo de recta delimitado por dos puntos en sus extremos). Después, circunferencias y la idea de que círculo no es un polígono. Finalmente, polígonos gráficamente y como concepto geométrico de línea poligonal cerrada junto con su interior según el Libro de Educación Primaria (1 er curso, Ed. Santillana-Proyecto los caminos del saber). Destacamos variados ejemplos de los polígonos según el número de lados; e incidiendo en los triángulos y cuadriláteros, y dentro de estos últimos los cuadrados, rectángulos y rombos, que aparecen en las imágenes Figura 3 y Figura 6. Además, incidiendo en la herramienta de mover y girar los polígonos para ver distintos ejemplos y en diferentes posiciones, evitando simples representaciones gráficas estereotipadas. Las siguientes dos actividades (Act1 y Act2) fueron preparadas para comenzar la investigación, pero al final no se llevaron a cabo porque la tutora no consideró conveniente introducir la clasificación de triángulos según el número de lados que tiene, pero con más tiempo disponible, pensamos que habría sido adecuado, pese a que en el currículo aragonés tampoco se especifica dicho contenido en primer ciclo de Primaria (Tampoco se especifica este contenido en 1 er curso de Primaria, en el caso de la reforma del currículo aragonés, Orden de 16 de Junio de 2014). En el caso de la Act1, se utilizaría por el profesor simplemente para explicar los tipos de triángulos según el número de lados, y mediante una clasificación exclusiva, en la que no se mencionaría por ejemplo que un triángulo equilátero es al mismo tiempo isósceles, ya que tiene dos lados iguales. Por otro lado, con la Act2 se pretende que los alumnos utilicen segmentos para unir el texto con los gráficos. 18 Durante dicha explicación (con el uso de Act1), utilizaríamos la herramienta de girar y mover para que los alumnos no se queden únicamente con un ejemplo de cada tipo de triángulo. Figura 3: Act1 En la actividad Act2 es un objetivo esencial la eliminación o reducción de estereotipos modificando la posición de los triángulos. Además, los alumnos utilizan segmentos para unir el texto con los gráficos. Figura 4: Act2 Por tanto, y en lugar de las dos anteriores actividades, les proponemos crear un polígono de tres lados, y que lo cambien de posición moviendo y girando dicha figura. Se utilizará tanto como enseñanza como aprendizaje. Aparece en la Figura 5. (Act1-2bis). Figura 5: Act1-2bis 19 En el caso de la anterior y las dos siguientes actividades sí que las utilizamos en nuestra investigación, así como el resto que mostraremos a continuación. La Act3 la usaremos para explicar tres tipos de cuadriláteros (enseñanza): cuadrado, rectángulo y rombo. Mediante la herramienta de girar, utilizaremos más ejemplos y en distintas posiciones para evitar estereotipos. Figura 6: Act3 La Act4, la usaremos para que la realicen los propios alumnos uniendo mediante segmentos los textos con los gráficos (aprendizaje). También, colocamos las figuras geométricas planas en distintas posiciones. Los alumnos deben reconocer dichas figuras y unirlas con el nombre correspondiente, y haciendo uso de un segmento. Figura 7: Act4 Las actividades siguientes (Act5 y Act6), tienen como principal objetivo reconocer las figuras geométricas planas que hay en la ventana gráfica, y relacionarlas mentalmente con el modelo que aparece en el margen superior-derecho. Además en el caso de la Act5, mover y girar cada figura para hacerlas encajar unas con otras formando el modelo anteriormente mencionado. Y en el caso de la Act6, únicamente mover y encajar las figuras, ya que éstas aparecen ya giradas adecuadamente. 20 Figura 8: Act5 Figura 9: Act6 Antes de ponerse con la tarea, se aconseja a los alumnos comenzar por las piezas de mayor tamaño, y también mirar los colores de cada figura. Decidimos proponer a la mitad de parejas la Act5, y a la otra mitad la Act6, para comprobar también qué les causaba mayores dificultades, si mover las figuras para encajarlas según el modelo y reconocer dichas figuras, o girarlas antes de moverlas y llevar a cabo el mismo proceso. Algunos ejemplos de estas actividades realizadas por los propios alumnos aparecen en el Anexo1. Como hemos observado durante la experimentación, el uso de programas de software geométrico dinámico potencia en los alumnos la autonomía y en muchos casos estos sienten interés por probar herramientas, buscar y representar gráficamente dibujos creativos utilizando polígonos, puntos, segmentos y circunferencias; por lo tanto, aprovechamos su afán por aprender y experimentar y les propusimos la siguiente actividad (Act7) que aparece en la Figura 10. Consiste en un dibujo creado a partir de figuras geométricas planas básicas como son: cuadrados, triángulos y rectángulos. Figura 10: Act7 Les colocamos dicho dibujo proyectado a gran tamaño en la pared. Y lo que los alumnos debían hacer era utilizar herramientas de GeoGebra para hacer sus propias representaciones lo más idénticas posibles al modelo y por parejas. Volvimos a incidir en el uso de la herramienta “Polígono rígido” para que la crearan dichos alumnos. Tras crear el modelo similar al dado, se pide a los alumnos que nombren oralmente las figuras geométricas que aparecen en la Figura 10. En el Anexo2 aparecen ejemplos realizados por los alumnos. 21 Tras la creación de este dibujo, varias parejas de alumnos que terminaron antes de tiempo, se les propuso realizar un dibujo libre utilizando las figuras geométricas y las herramientas de dicho programa informático. Lo que llamaremos Act8. En el Anexo3 aparecen ejemplos de representaciones gráficas libres de los alumnos, utilizando estas formas geométricas básicas. El dibujo anterior (semejante a una representación geométrica de un “perro”), también fue utilizado como actividad realizada mediante papel y lápiz. Pero en lugar de crearlo, los alumnos debían colorear los polígonos de dicho dibujo, de tal forma que los triángulos aparecieran de un color, los cuadrados de otro, y los rectángulos de otro. En este caso la llamaremos Act9. En el Anexo4 aparecen algunos ejemplos realizados por nuestros alumnos. El objetivo de estas actividades es primero crear un dibujo mediante formas geométricas y GeoGebra; y posteriormente mediante papel y lápiz, identificar en el dibujo las formas geométricas básicas que venimos mencionando. Las últimas actividades utilizadas para nuestra investigación son las siguientes, que llamaremos Act10: 1. Dibuja, utilizando la regla y el lápiz, un triángulo de cada tipo: equilátero, isósceles y escaleno. 2. Dibuja un cuadrado, un rectángulo y un rombo. Ambas tareas se proponen a los alumnos, para resolverse mediante la metodología tradicional de papel, lápiz y regla o mano alzada (en función de si disponen de regla o no). Simplemente se les pide que dibujen formas geométricas básicas, como son las que hemos mencionado anteriormente: triángulos, cuadrados, rectángulos y además rombos. Por último, en el caso de la primera actividad, la tutora nos propuso eliminar los tipos de triángulos, por lo que al final se les pidió únicamente dibujar varios triángulos distintos y/o en distintas posiciones. En el Anexo5 aparecen ejemplos realizados por nuestros alumnos. Por último, la actividad del “Tamgram” (Act5 o Act6) la proponemos para realizar pero en este caso en papel. Es decir, se les entrega a los alumnos un folio con el tamgram completado con formas geométricas distinguidas por distintos colores, y estos deben recortar todas figuras, y una vez están recortadas todas, deben montar dicho tamgram. Cuando lo tienen montado deben pegar todas piezas en una cartulina de forma 22 adecuada. (La llamaremos Act11). En el Anexo6 aparece un ejemplo realizado por uno de nuestros alumnos. Finalmente, decir que algunas de estas actividades dan lugar a otras nuevas y mejoradas o modificadas creadas con el objetivo de llevarlas a cabo en la secuencia didáctica completa, que aparece en el Capitulo 3 de este TFG. 2.3. Temporalización de la experimentación y descripción de las sesiones En la siguiente tabla resumimos el número de sesiones de la experimentación llevada a cabo, ambos métodos que hemos utilizado para trabajar la geometría en este caso, los materiales para cada uno, y el contenido y actividades de cada sesión. Sesiones Método Materiales Contenido Actividad /es Sesión 0 Instalación de Java y GeoGebra. Trece ordenadores “descongelados” e Internet. Ordenador conectado al proyector. Preparación del material informático disponible para llevar a cabo la experimentación con los alumnos en las sesiones posteriores. - Alumno Un ordenador por cada pareja de alumnos. Ordenador Aplicación Java y Programa GeoGebra instalados. 1ª sesión Informático, mediante el programa GeoGebra. Profesor Ordenador con aplicación Java y programa GeoGebra instalados, y un proyector conectado a él. Pantalla para el proyector. Recordatorio y explicación de las figuras geométricas planas básicas. Como son: Triángulos y cuadriláteros. Diferenciación de los tipos de cuadriláteros: cuadrado, rectángulo y rombo. Diferenciación de los polígonos y no polígonos. Explicación y creación de ejemplos sobre: puntos, segmentos, y polígonos. Realización, por parte de los alumnos, de las actividades propuestas mediante GeoGebra. (Act1 y Act2) Act1-2bis, Act3, Act4, Act5, Act6, Act7 y Act8 29  Actividad 1b: es una pequeña mejora de la Act2. Igual que en la anterior actividad, se han añadido las distancias de cada lado de los polígonos que aparecen en la ventana gráfica de GeoGebra. Para evitar estereotipos, los triángulos aparecen en diferentes posiciones. Y también, se ha fijado el texto, para evitar ser modificado. Esta actividad será realizada por el alumno, y deberá unir y relacionar las afirmaciones con los gráficos que corresponda. Para ello utilizarán la herramienta “Segmento”, de tal forma que se introduce otro concepto geométrico como es el de segmento (tramo de recta delimitado por dos puntos). Figura 12: Actividad 1b  Actividad 1c: está basada en la Act1-2bis. Los alumnos deberán crear un polígono de tres lados que mantenga las propiedades al ser movido y/o girado, mediante la herramienta “Polígono rígido”. Como hemos dicho, después el alumno deberá cambiarlo de posición y además añadimos que con la herramienta “Distancia”, deberá medir cada uno de sus lados, manifestando que tipo de triángulo han creado y por qué. Dicha explicación puede ir detallada en la propia ventana gráfica, utilizando la herramienta “Texto”. Figura 13: Actividad 1c  Actividad 1d: consiste en la creación por los alumnos de varios triángulos de distintos tipos (estableciendo el tipo), utilizando papel y lápiz, y de dos maneras: la primera, a mano alzada; y la segunda, utilizando la regla (De esta forma también se abordan dos técnicas de dibujo distintas, apreciando las ventajas e inconvenientes de 30 cada una). El fondo del papel aparecerá cuadriculado para ayudar a los alumnos teniendo alguna referencia para trazar segmentos. Posteriormente, deberán medir con la regla cada uno de los lados de cada triángulo. Finalmente, se les puede proponer que sumen los centímetros de todos lados, introduciendo a modo de ampliación el concepto de perímetro.  Actividad 2a: de la misma forma que con los triángulos, es el caso de los cuadriláteros; utilizaremos la Act3 de la experimentación a modo de explicación de la principal característica de estos (que todos tienen cuatro lados), y tres tipos de cuadriláteros, como son: cuadrado, rectángulo y rombo. También, podríamos añadir la idea de cuadrilátero irregular mostrando varios ejemplos. En el caso del texto, permanecerá fijado, al contrario que las figuras geométricas, que serán cambiadas de posición moviendo o girándolas; de esta forma también evitaremos estereotipos, objetivo perseguido entre otros durante toda la secuencia didáctica. En el caso del rombo, en lugar de incidir en la idea de dos ángulos agudos y otros dos obtusos y la existencia de las diagonales, lo explicaríamos para alumnos de este nivel como un cuadrado “chafado”, ya que pensamos que es demasiado pronto para abordar estos temas. Figura 14: Actividad 2a  Actividad 2b: Esta actividad está basada en la Act4. Se ha añadido una mejora, únicamente, hemos mantenido fijado el texto que aparece en la ventana gráfica, pero no en el caso de las figuras geométricas. También, podríamos añadir más figuras y en distintas posiciones cada una. Las figuras están creadas mediante la herramienta “Polígono rígido”, dándole a los alumnos la posibilidad de mover y/o girar las figuras de tal forma que posibilite 31 su identificación adecuada. Por ejemplo, el caso del cuadrado girado, será interesante ver el número de alumnos que piensan que es un cuadrado (correcto), y los que piensan que es un rombo (error). Para resolver dicha tarea, los alumnos, primero deberán mover o girar algunas figuras para identificarlas con el tipo adecuado de cuadrilátero; y después, utilizando la herramienta “Segmento” deberá unir y relacionar cada figura con la el tipo adecuado. De esta forma vuelven a utilizar la herramienta “segmento”, al igual que en la Actividad1b. Figura 15: Actividad 2b  Actividad 2c: Los alumnos deberán crear varios polígonos de cuatro lados (cuadriláteros) que mantengan las propiedades al ser movidos y/o girados, mediante la herramienta “Polígono rígido”. Después, el alumno deberá cambiarlos de posición y además añadimos que con la herramienta “Distancia”, deberá medir cada uno de sus lados, pudiendo realizar después relaciones de semejanza o diferencia (Se utilizarán únicamente cifras sin decimales). En la ventana gráfica, utilizando la herramienta “Texto”, se añadirán unas preguntas orientativas como: ¿Cuántos lados iguales tiene el cuadrado (que miden lo mismo)? ¿Y el rectángulo? ¿Y el cuadrilátero irregular? Dichas preguntas aparecerán fijadas en la pantalla, con hueco para que el alumno conteste utilizando la misma herramienta (“Texto”). Una vez respondidas las preguntas, se les propondrá crear cuadrados, rectángulos y cuadriláteros irregulares de distintas dimensiones. El objetivo que se persigue es que vayan adquiriendo algunas propiedades de estos cuadriláteros en concreto, como: el cuadrado tiene cuatro lados iguales, el rectángulo iguales dos a dos, y un cuadrilátero irregular tiene todos sus lados desiguales. 32 Figura 16: Actividad 2c  Actividad 2d: consiste en la creación por los alumnos de varios cuadriláteros de distintos tipos (estableciendo el tipo), utilizando papel y lápiz, y de dos maneras: la primera, a mano alzada; y la segunda, utilizando la regla. De nuevo igual que en la Actividad 1d, el fondo del papel aparecerá cuadriculado para ayudar a los alumnos teniendo alguna referencia para trazar segmentos. Posteriormente, deberán medir con la regla cada uno de los lados de cada figura. Finalmente, se les puede proponer a los alumnos que sumen los centímetros de todos lados, a modo de ampliación del concepto de perímetro.  Actividad 3: consiste en una actividad meramente de identificación y nombramiento. Cabe destacar que la posición de las figuras geométricas de este puzzle tiene sentido matemático, ya que en sí mismo tiene una forma abstracta, pero lo que se busca es evitar los estereotipos y la identificación por los alumnos. Los polígonos se han creado a partir de la herramienta “Polígono rígido” y en el caso de los cuadrados y triángulos equiláteros mediante la herramienta “Polígono regular” con 3 y 4 vértices respectivamente. Finalmente, se les ha asignado la propiedad de “objetos fijos”, ya que se pretende que los alumnos identifiquen qué polígonos son sin posibilidad de moverlos. Hay que destacar que al comienzo de la actividad el profesor les dará la indicación de empezar contando los lados, y comenzar primero identificando los de menor número de lados, para finalmente terminar diciendo el tipo y subtipo de polígono que es cada uno. 33 Figura 17: Actividad 3 Para escribir en el interior de cada polígono el tipo del que se trata y seguidamente el subtipo, los alumnos deberán utilizar la herramienta de GeoGebra “Texto”. A continuación aparece la solución correcta de la actividad 3. Figura 18: Solución A3  Actividad 4a: con esta actividad se busca que los alumnos comprueben que existen otros tipos de polígonos a parte de los ya vistos en las tareas anteriores, y que tienen distintas apariencias, como: la igualdad de todos sus lados, la desigualdad de los mismos, la variación del número de lados, etc. En la ventana gráfica aparece un ejemplo a modo de lo que los alumnos deben hacer en esta actividad. Además, el texto que aparece fijo consiste en los enunciados de dicha actividad. Aparecen ocho polígonos de distintos tipos, entre ellos un triángulo y dos cuadriláteros ya conocidos por ellos gracias a las actividades previas. El resto son polígonos regulares e irregulares, con distinto número de lados. Estos polígonos pueden ser cambiados de posición sin modificar sus propiedades, ya que han sido creados mediante la herramienta “Polígono rígido”, y una vez creados se han ocultado los puntos que aparecen en los vértices. 34 Se pretende que los alumnos señales estos vértices mediante la herramienta “Punto”. Además, utilizando la herramienta “Texto”, deberán escribir en el interior de cada polígono el número de lados que tiene. Finalmente, con la herramienta “Distancia”, deberán medir los lados de cada figura, estableciendo después relaciones de semejanza o no, por ejemplo, si tienen los lados iguales o si los tienen diferentes. Figura 19: Actividad 4a  Actividad 4b: la misma actividad que la 4a se puede llevar a cabo con papel y lápiz. Igualmente los alumnos marcarán los vértices delimitando los lados. Después, contarán el número de lados y lo escribirán en el interior de cada polígono. Y finalmente, utilizando la regla medirán los centímetros que tiene cada lado.  Actividad 5: consiste en una actividad lúdica de uno contra uno o dos contra dos en función del tablero. Dicho tablero ha sido creado a partir mediante puntos (exteriores y de intersección entre segmentos) y segmentos. Consiste en cuadrados superpuestos formando a su vez un cuadrado mayor y completo o casi completo en función del jugador al que se le quiera dar cierta ventaja para que el juego tenga fin. Cada jugador deberá crear su ficha mediante la herramienta “Punto” y con su color correspondiente distinto al otro jugador. Colocará su ficha según aparece en las imágenes que aparecen a continuación, y en función del tablero que se utilice. La ficha únicamente podrá moverse por los vértices de los cuadraditos, y en cada turno solamente de un vértice a otro. El objetivo del juego consiste en caer en la misma posición (en el mismo vértice) que el jugador contrario y después que este; para ello, los alumnos deberán desarrollar su capacidad de deducción, para arrinconar en el tablero al jugador contrario, y que este no le arrincone a él. En cada movimiento, el jugador debe 35 señalar el vértice (punto) donde se encuentra, y nombrar de qué figura geométrica forma parte, señalando con un color dicha figura, y con otro color los movimientos que puede hacer en el siguiente turno. El tablero ha sido creado por el propio profesor manteniendo fijos los puntos de los vértices y segmentos que forman los cuadraditos, para que al colocar la ficha en cada vértice no se mueva el tablero. En la creación del tablero se ha buscado alguna variación para hacer que la partida tenga fin o se potencie la deducción por parte los alumnos, como por ejemplo en la imagen 5.2 se utilizan dos fichas por jugador, pero en cada turno solo se puede mover una, y hasta uno de los vértices más cercanos. La mejor idea sería intentar arrinconar en una esquina del tablero al jugador contrario con las dos fichas a la vez, moviendo primero una y en el turno siguiente la otra. En la imagen 5.1 se ha eliminado una esquina de tal forma que se le da ventaja a la ficha roja, ya que nunca puede ser arrinconada en esa esquina al contrario que la azul que comienza ya arrinconada. El jugador de la ficha roja debería arrinconar al de la ficha azul en cualquiera de las otras tres esquinas dejando al contrario sin posibilidad de maniobra. Finalmente, en la imagen 5.3 se han eliminado ambas esquinas igualando las posibilidades de los jugadores, siendo las únicas posibilidades arrinconar al jugador contrario en las esquinas laterales para conseguir ganar. Imagen 5.1 Imagen 5.2 Imagen 5.3 Figura 20: Actividad 5 36 El objetivo principal de esta actividad es la deducción por parte de los alumnos, que deberán ir desarrollando para cada movimiento de su ficha y de la del contrario, para atacar al contrario, y al mismo tiempo defenderse y no caer en una casilla que el jugador contrario pueda caer en el siguiente turno. Deberá crear hipótesis mentales al mismo tiempo que realiza una actividad principalmente lúdica. /ota: Sería buena idea que todos alumnos probaran los tres tableros, y que cambiaran de posición inicial con el oponente.  Actividad 6a: consiste en identificar las figuras geométricas y determinar su posición con respecto a otras. Las figuras aparecen fijadas en la ventana gráfica para evitar su modificación. El alumno se limitará a completar los huecos que aparecen en el texto. Únicamente deberán decir si unas figuras son interiores o exteriores respecto a otras. Figura 21: Actividad 6a  Actividad 6b: esta actividad consiste en eliminar la fijación de las figuras en la ventana gráfica por el propio profesor, cambiar de posición las figuras geométricas (moviendo y girando las figuras), e ir preguntando a los alumnos su posición actual.  Actividad 7a: esta actividad consiste en una imagen creada a partir de figuras geométricas. Durante la experimentación se utilizó dicha imagen como modelo proyectado en la propia pared (Act7), donde todos alumnos podían observarla y al mismo tiempo debían hacer sus propias representaciones utilizando GeoGebra. Muchos alumnos tuvieron algunas dificultades, no sabían por donde comenzar, y muchas formas geométricas las creaban bastante irregulares. Por tanto a modo de mejora, planteamos dicho modelo de imagen en la ventana gráfica de cada alumno, y les dejamos que construya cada uno su propia copia. 37 Cuando terminan le preguntamos a cada uno como la ha creado, por donde a comenzado y su método de construcción. Una vez terminan, les proponemos otro método de construcción. Utilizando la herramienta “Polígono rígido”, y la imagen fijada de fondo, se pueden crear los polígonos encima de la imagen, creando así una copia lo más real posible. Posteriormente, se deberá mover cada figura a un lado, e ir construyendo la imagen completa. Figura 22: Actividad 7a  Actividad 7b: consiste en crear de nuevo el modelo anterior, pero mediante papel y lápiz. Utilizaremos un folio con el modelo y les daremos un folio en blanco. Los alumnos deberán colocar el folio en blanco sobre el modelo y fijado con un clip. Colocándose cada uno por turnos en la ventana, deberán calcar el modelo en su folio en blanco. Posteriormente, uniremos esta nueva actividad con la Act9 de la experimentación realizada, de tal forma que una vez hayan creado su propio modelo semejante, tendrán que colorear cada figura de un color correspondiente, siendo triángulos de un color, cuadrados de otro, y rectángulos de otro.  Actividad 8a: consiste en crear, el propio alumno, su propio modelo de imagen (Act8 de la experimentación), y a modo de mejora de dicha actividad, posteriormente explicar cómo lo ha construido y qué figuras geométricas y herramientas del programa GeoGebra ha utilizado para ello.  Actividad 8b: al igual que la anterior, podemos proponer la misma actividad, pero en este caso utilizar el método tradicional de papel y lápiz, además de la regla para crear los propios modelos.  Actividad 9a consiste en identificar figuras geométricas planas en imágenes o fotos de distintos contextos determinados, inventados o incluso reales y cotidianos. 38 Colocaremos la foto o imagen de fondo fijada en la ventana gráfica de GeoGebra, y los alumnos deberán identificar los objetos y demás cosas que aparecen en la imagen, como figuras geométricas, señalando el tipo y utilizando la herramienta “Polígono rígido”. A cada tipo de polígono se le establecerá un color determinado (triángulos un color, cuadrados otro, etc.). Se trata de una actividad similar a la Actividad 7. Las imágenes o fotos podrán ser reales (como una simple foto del interior de su casa una calle, o una ciudad observada desde avión o satélite), o creadas como las siguientes: Figura 23: Actividad 9a  Actividad 9b: se entregará a los alumnos una cartulina y folios. Los alumnos deberán crear, con regla o mano alzada, figuras geométricas distintas en esos folios. Posteriormente, las recortarán con tijeras, y las pegarán en dicha cartulina, pero de tal forma que tengan cierto sentido, es decir, que formen un dibujo del estilo de las imágenes anteriores. Antes de pegar dichas figuras, el profesor comprobará que todas estén correctamente.  Actividad 10: consiste en una mejora tras la realización de las actividades Act5 y Act6 durante la experimentación con los alumnos y haciendo uso del programa GeoGebra. En una de ellas las figuras aparecían completamente cambiadas de posición y el alumno debía moverlas y girarlas, para posteriormente encajarlas y 45 Figura 26 La actividad 3 es una tarea de identificación de figuras geométricas por el alumno. Aparecen triángulos y cuadriláteros de distintas clases. Para potenciar la visualización de los alumnos, se propone la Actividad 4. Debemos difundir entre el alumnado la idea de que existen más polígonos además de los ya vistos. Con las actividades de la experimentación, los alumnos podían no tener completamente claro que existen otras clases de polígonos, con distinto número de lados e irregularidad de sus lados. La Actividad 5 es una tarea de deducción además de muy lúdica, y que utiliza de forma constructiva la continua competitividad que existe entre alumnos de esta edad. Al mismo tiempo los alumnos deben utilizar la Geometría para identificar las formas del tablero, los vértices y los segmentos que forman los lados de los polígonos, todo ello para determinar su posición, la del adversario y los movimientos posibles que permite su posición en dicho tablero. La actividad 6, además de potenciar en los alumnos la identificación de las figuras, es totalmente distinta a lo visto hasta ahora, ya que se pretende que los alumnos no sólo se fijen en los lados de cada polígono, sino que identifiquen su interior también como parte de dicho polígono. Se trata de una actividad surgida de la definición que se da de polígono a los alumnos (Línea poligonal cerrada junto con su interior). Las Actividades 7, 8 y 9, están de nuevo basadas en la identificación y creación de figuras geométricas, pero en este caso en un contexto determinado. En el caso de la Actividad 10, se trata de distintos apartados relacionados todos con el Tamgram. Consiste en proponer a los alumnos la misma actividad pero organizada de distinto modo, en función del color o no de las figuras según el modelo establecido, y en función también de la posición girada o no de dichas figuras. Además, combinar distintas posibilidades, para comprobar cual puede asimilarse mejor al nivel de estos alumnos. Es una actividad de especial interés sobre las otras para llevarla a cabo en práctica. Finalmente, la Actividad 11 está relacionada con la anterior, pero para llevarla a cabo en papel. 46 3.3. Metodología y distribución temporal de la Secuencia Didáctica Tras la puesta en práctica de la experimentación proponemos un cambio en la metodología de algunas actividades, manteniéndola en otras. Esto es, proponer al alumno que primero trabaje, y posteriormente institucionalizar los conceptos matemáticos. De esta forma los alumnos podrían obtener conclusiones propias y después verificar si son ciertas, en lugar de verificar la veracidad o no de la explicación del profesor. Destacamos las actividades 1, 2, 3 y 4 como apropiadas para llevar a cabo dicha metodología de dejar un tiempo a los alumnos que observen cada actividad e intenten resolverla, para posteriormente exponer los conceptos el propio profesor. El resto de actividades son principalmente para asentar los conceptos ya expuestos en las primeras y que los alumnos adquieran cierta autonomía, por lo que mantenemos la misma metodología de la experimentación. En cuanto a la distribución temporal, cabe mencionar que seguiríamos el orden determinado por el número de la actividad, intercambiando actividades (según los apartados de estas) en las que se precise de GeoGebra o por el contrario de papel y lápiz. Proponemos cinco sesiones de una hora cada una (Pudiendo variar unos minutos la extensión de las mismas): 1. Durante la primera sesión llevaríamos a cabo únicamente la Actividad 1, con todos sus apartados. Hace referencia a los triángulos y sus tipos según sus lados. 2. Actividad 2, con todos sus apartados. Referente a los cuadriláteros y sus tipos más conocidos: cuadrado, rectángulo, rombo, y cuadrilátero irregular. 3. Actividades 3, 4 y 5. Hace referencia a puntos, segmentos, triángulos y cuadriláteros, además de polígonos de más lados. 4. Actividades 6, 7, 8 y 9. Hace referencia a la posición de figuras geométricas respecto de otras, la creación de dibujos mediante estas (con o sin modelo predeterminado) y su identificación en otros dibujos ya creados. 5. Finalmente, Actividades 10 y 11. Mediante la utilización del Tamgram, y haciendo referencia a la posición de las figuras, y el color (con necesidad de un modelo). 47 CAPÍTULO 4 En este último capitulo del TFG exponemos diferentes conclusiones organizadas en epígrafes correspondientes a cada uno de los capítulos 1, 2 y 3, desarrollados en este trabajo. El Capítulo 1 corresponde a la aproximación literaria sobre Geometría plana y el trabajo de distintos autores con software geométrico dinámico (SGD) en la Educación y principalmente en la Educación Primaria. El Capitulo 2, corresponde al desarrollo de la experimentación con alumnos del centro escolar Doctor Azúa, situado en Zaragoza. Y finalmente, el Capitulo 3, corresponde a la secuencia didáctica ampliada, con actividades nuevas y mejoradas según la experimentación. 4.1. Conclusiones referentes al Capitulo 1 Teniendo en cuenta autores mencionados en el Capitulo 1, los profesores debemos modernizar la enseñanza de la Geometría, de tal forma que se favorezca a los alumnos a desarrollar unas habilidades que puedan aplicarse en otros contextos reales, y para ello puede ser necesaria la utilización de las nuevas tecnologías, como se refleja también en el currículo de Aragón, el cual incorpora entre sus contenidos la utilización de programas informáticos, y destaca como principal objetivo para conseguir por los alumnos de 1º de Primaria, la identificación y reconocimiento de figuras geométricas en diferentes contextos. La Tabla de las habilidades básicas en Geometría elaborada por Hoffer (1990) nos ha servido de ayuda a la hora de identificar las habilidades que pueden tener los alumnos de este curso de Primaria. Debemos tener en cuenta que estos alumnos poseen una habilidad visual considerable, y para potenciarla y desarrollar otras habilidades como la verbal, tenemos que crear actividades adecuadas para nuestra experimentación. Para modernizar la enseñanza-aprendizaje de la Geometría, como hemos dicho puede ser beneficioso el uso de programas informáticos. Por ello, nos hemos basado en parte en el proyecto GeoGebraPrim realizado en 2007 en Luxemburgo para elaborar nuestra propia experimentación, que también consiste en comparar varios métodos a los que se hace referencia a lo largo de todo el TFG, como son: metodología de papel y lápiz frente al uso del software para abordar la Geometría. En este proyecto no se obtuvieron muchas conclusiones, pero es de los pocos proyectos con alumnos de Primaria en los que se utilizan programas informáticos (en nuestro caso GeoGebra). Por 48 ello, nosotros pretendíamos realizar un proyecto similar y con su puesta en práctica obtener mejores conclusiones. Somos conscientes de que la mayoría de proyectos relacionados con el uso de programas informáticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje están realizados con alumnos de secundaria. Buena parte de la bibliografía corresponde con este nivel y nosotros hemos intentado adaptarlo a Educación Primaria. De gran ayuda han sido los niveles de van Hiele para saber qué posibilidades pueden tener los alumnos del primer ciclo de Primaria, destacando la percepción global de las figuras geométricas y atendiendo casi únicamente a las propiedades visuales frente a las matemáticas. En nuestra experimentación, también hemos tenido en cuenta las cinco fases de van Hiele para organizar las sesiones de nuestra experimentación y posteriormente para la creación de la secuencia didáctica completa. En nuestro trabajo hacemos hincapié en la imagen del concepto como componente del aprendizaje de los conceptos geométricos y en la visualización de los alumnos, ya que la información visual (mediante imágenes) se debe aprender también mediante distintas actividades con diversas figuras, dibujos, imágenes y ejemplos para que el alumno los asocie con el concepto geométrico y vaya asimilándolos mediante su experiencia y aplicándolos a contextos reales. Para finalizar, las representaciones estereotipadas de las figuras geométricas se dan en muchos libros de texto, y la enseñanza tradicional no promueve suficientemente su superación. En nuestro trabajo tenemos especial interés por evitar estereotipos mediante actividades que contienen muchos y variados ejemplos de figuras geométricas en distintas posiciones (Uno de los objetivos específicos en nuestra experimentación es evitar estereotipos – Ver página 4 del TFG). 4.2. Conclusiones referentes al Capitulo 2 Este epígrafe contiene los puntos fuertes y débiles observados durante el proceso de enseñanza y aprendizaje de la experimentación llevada a cabo. Hacemos referencia a todo lo que ha podido favorecer este proceso, así como lo que ha podido causar más dificultades. En cuanto al proceso de organización y preparación de la experimentación se mencionan varias dificultades. A la hora de preparar la sesión con GeoGebra, es necesaria la utilización de bastante tiempo para instalar dicho programa informático en todos los ordenadores, y además la instalación de la aplicación Java, imprescindible 49 para que GeoGebra funcione. Mientras en el caso de la sesión en el aula ordinaria mediante el método papel-lápiz, no requiere este proceso. Por ello, en cuanto a preparación tecnológica de las sesiones, podemos decir que utilizar SGD requiere más tiempo que llevar a cabo una metodología tradicional de papel-lápiz, lo que hace que por consiguiente no se use tan a menudo este método informático para la enseñanzaaprendizaje de la Geometría plana, además de otros motivos mencionados en el capitulo 1. Otro punto a tener en cuenta es que ambos métodos de enseñanza precisan de unos conocimientos matemáticos o habilidades previas tanto del profesor como del alumno, antes de desarrollar las actividades con GeoGebra o con regla, lápiz y papel. En el caso del profesor, debe conocer el funcionamiento de las herramientas que ofrece GeoGebra, con la posibilidad de crear su propia barra de herramientas en función del nivel del alumnado (mostrando u ocultándolas). Con los alumnos de 1 er curso, hemos utilizado básicamente el punto, segmento, circunferencia, texto, y sobre todo polígono rígido; la herramienta “polígono rígido” ofrece muchas posibilidades para crear polígonos de toda clase, cambiarlos de posición desplazándolos y girándolos sin que cambien sus propiedades, y de esta forma evitar estereotipos (que aparecen tanto en los libros de texto). Por otro lado, en el caso del método papel-lápiz, el profesor debe explicar cómo se utiliza la regla, y su doble uso para crear líneas rectas y para medir segmentos. Al contrario que los SGD, el método papel-lápiz no ofrece tantas posibilidades a este nivel. Puede ser que el desconocimiento del uso de la regla frene el aprendizaje del alumno. De cara al aprendizaje de los alumnos y en cuanto a las actividades planteadas en la experimentación con GeoGebra, para las actividades de creación de polígonos, dicho programa ha dado mejores resultados que el papel. Con dicho programa las figuras geométricas son creadas por los alumnos con sus lados más regulares que con regla o mano alzada; además, podemos comprobar con mayor exactitud si se ha comprendido o no las propiedades de la figura creada por el alumno si esta no aparece de forma irregular debido a motivos extramatemáticos como puede ser unas habilidades motrices finas poco desarrolladas en los primeros cursos de Primaria. Durante la experimentación hemos intentado que los alumnos utilizaran todas las herramientas planteadas, y en el caso de GeoGebra, como observábamos que los alumnos tenían tanto interés y algunos mostraban cierto grado de autonomía probando su funcionamiento, decidimos proponerles alguna actividad (como la Act8) en la que 50 debían utilizar las herramientas de forma libre, y alguno de ellos hizo distintas figuras con el fin de crear algo real o cotidiano que había percibido según su experiencia, como es el caso de algunos que dibujaron caras, dándole forma a cada elemento de la cara, y animales o paisajes. Por otro lado, los alumnos han tenido grandes dificultades para crear los lados de los polígonos con la regla, ya que era la primera vez que la usaban y además algunos no tenían la motricidad fina desarrollada lo suficiente como para utilizar la regla y otros instrumentos adecuadamente, por lo que creaban figuras con sus lados muy irregulares. Pensamos que también se debe a que el fondo del folio era blanco, y si hubiera sido cuadriculado habría orientado mejor a los alumnos por donde debían trazar las líneas; lo que hemos propuesto en la secuencia ampliada como mejora de las actividades realizadas con lápiz, papel y regla o mano alzada. Tras realizar la experimentación observamos que ambos métodos (Papel-lápiz y GeoGebra) se deben combinar, y usar de forma complementaria al libro de texto propio del curso del alumnado. El libro de texto por sí solo no satisface el aprendizaje de los alumnos, ya que aparecen pocos ejemplos, muchos estereotipos, y además ni propone actividades que se resuelvan mediante sistemas informáticos, ni se mencionan técnicas como la mano alzada o manejo de la regla en los apartados de Geometría visualizados en él. También, podemos decir que utilizar GeoGebra enriquece la visualización del alumnado, ya que es posible ofrecerles un gran abanico de ejemplos de cada tipo de figuras geométricas en un breve periodo de tiempo, dándoles la posibilidad de mover o girar sus propias figuras creadas, trabajando de un modo interactivo. Además, potencia su autonomía de aprendizaje, despertando una gran motivación e interés por saber para qué sirve cada herramienta del programa, y en ocasiones investigar por ellos mismos. Finalmente, en cuanto a los criterios de evaluación propuestos, pueden ser los adecuados ya que se tienen en cuenta la creación de figuras geométricas, así como su identificación, diferenciación, y por último manejo de las herramientas básicas de GeoGebra, todo ello basándonos en el currículo aragonés y en lo que queremos conseguir más concretamente como es comparar varias metodologías ya mencionadas. 51 4.3. Conclusiones referentes al Capitulo 3 En este último epígrafe de conclusiones explicamos cómo la secuencia didáctica ampliada responde a las conclusiones de la experimentación llevada a cabo anteriormente. Para obtener conclusiones más precisas sería interesante proponer esta secuencia en la práctica con alumnos, para ver cómo responden, qué habilidades emplean para cada actividad planteada, si los resultados que obtenemos son los esperados, y además para llevar a cabo una evaluación no sólo de los alumnos sino de la secuencia ampliada, para comprobar sus puntos fuertes, y lo que se debería mejorar o adaptar al nivel del alumnado. En la experimentación, utilizamos una metodología en la que introducimos primero los conceptos geométricos y explicamos la función de cada herramienta en el caso de la sesión con GeoGebra, y después proponemos unas actividades para que el alumnado trabaje de modo orientado permitiéndoles cierta autonomía en determinados momentos (Por ejemplo en el caso de la Actividad 8, en la que los alumnos deben crear sus propios modelos, o 9b en la que deben crear una imagen con cierto sentido real). Por otro lado, en la secuencia ampliada introducimos la posibilidad de cambiar la metodología llevada a cabo durante la experimentación, es decir, primero dejar al alumno trabajar las actividades, y posteriormente institucionalizar los conceptos geométricos. La experimentación se divide en dos sesiones, una para utilizar GeoGebra, y la otra para usar papel y lápiz. Por contrario, en la secuencia ampliada, las actividades aparecen ordenadas y con apartados según la relación que guardan unas con otras. En la mayoría de los casos, en cada actividad aparecen apartados para utilizar GeoGebra, y otros para resolver mediante papel, lápiz y regla o mano alzada. A diferencia de la experimentación, se plantean actividades para utilizar regla y otras a mano alzada. Tras haber realizado ya una tabla sobre los contenidos matemáticos y metodología abordada en cada una de las actividades y apartados de estas, propuestas en la secuencia ampliada (Ver Capitulo 3), nos limitamos ahora a hacer un breve recorrido por estas actividades destacando los motivos de su inclusión en dicha Secuencia. Decidimos llevar una progresión de dificultad comenzando proponiendo los polígonos de menor número de lados para posteriormente ir añadiendo los de mayor número. Por ello comenzamos con los triángulos (Actividad 1), que son los polígonos de menor número de lados, para posteriormente seguir con los cuadriláteros más conocidos 52 (Actividad 2). Después, proponemos a los alumnos la identificación y nombramiento de tanto triángulos como cuadriláteros en un mismo contexto (Actividad 3). Y finalmente, mostramos a los alumnos otros polígonos con mayor número de lados que los visto anteriormente, incluyendo los ya vistos; además de incluir polígonos regulares e irregulares (Actividad 4). En la Secuencia incluimos actividades de creación de imágenes en base a un modelo mostrado (Actividad 7), o sin modelo (Actividad 8) fomentando la autonomía del alumno. También, actividades de identificación de figuras geométricas en un contexto determinado, ya sea un dibujo o fotografía de cualquier elemento cotidiano con el que el alumno interactúe a diario. Los alumnos deben mostrar soltura a la hora de crear e identificar figuras geométricas en imágenes o situaciones reales, en un contexto determinado. Por otro lado, hemos estudiado las posibilidades que puede dar un “Tamgram”, ya que variando la posición de las figuras geométricas (mediante traslaciones y/o giros) se puede facilitar o dificultar la composición (aumentar o disminuir el nivel de la actividad). También podemos variar la exigencia de la tarea, cambiando el color de las figuras de acuerdo o no con el modelo ofrecido. Todo ello ha sido observado a partir de la experimentación y se propone comprobarlo en la puesta en práctica de la secuencia ampliada. Aunque pensamos que colorear las figuras podría producir una asignación de los colores de estas con las del modelo, más que una propia identificación de las figuras por los alumnos, que es lo que se busca con la actividad. Es decir, el coloreado podría hacer que se perdiera su contenido matemático de identificación de figuras y fuera una actividad solamente plástica. Después de realizar la actividad relacionada con el Tamgram por los alumnos durante la experimentación, diseñamos la Actividad 10 de la Secuencia Didáctica atendiendo a dos variables: los movimientos geométricos necesarios de las figuras, y su color. Con ello hemos creado la siguiente tabla que relaciona ambas variables, y determina cada apartado de la Actividad 10. Giros y Traslaciones Movimientos geométricos Color Todas Figuras Giradas Algunas figuras Giradas Traslaciones Sin ayuda de color 10a 10c 10b Con ayuda de color 10d 10f 10e 53 Todas actividades guardan relación entre sí, y a diferencia de la experimentación donde primero utilizábamos GeoGebra en una sesión y papel y lápiz en la segunda, en el caso de llevar la secuencia didáctica ampliada a la práctica, seguiríamos un orden basado en los conocimientos matemáticos y no en las herramientas, en el cual mezclaríamos ambos métodos para compararlos y además para comentar la motivación e interés de los propios alumnos, clave para el correcto desarrollo de la nueva experimentación con esta secuencia. 54 REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS Alsina, C. (2008). Geometría y realidad. Sigma: revista de matemáticas= matematika aldizkaria, (33), 165-179. Bagazgoitia, A. (2003). Geometría con Cabri. Revista Sigma 22. Kreis, Y., y Dording, C. (2009). GeoGebraPrim–GeoGebra for Primary School. 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