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RAPPORT DE PROJET Influence des défauts géométriques sur le comportement des assemblages multimatériaux ÁLVARO BAUTISTA GÓMEZ 18/06/2013 ENCADRANTS: BOIS Christophe, Maître de conférences et professeur de l’IUT LECOMTE Julie, Doctorante à l’I2M PERRY Nicolas, Professeur d’ENSAM ANNEE : 2013 Nº du PJE : BO-C13009 CENTRE DE RATTACHEMENT PE : Arts et Métiers Paris Tech Bordeaux. AUTEURS : Álvaro Bautista Gómez. TITRE : Influence des défauts géométriques sur le comportement des assemblages multimatériaux. ENCADREMENT DU PE : Christophe Bois, Julie Lecomte ; I2M Bordeaux ENTREPRISE PARTENAIRE : - NOMBRE DE PAGES : 74 NOMBRE DE REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES : 11 RESUME : L’objectif de ce projet est d’évaluer l’impact de différents défauts géométriques sur le comportement mécanique des assemblages multi-matériau. Ce travail s’appuie sur des modèles analytiques et numériques qui seront confrontés à des essais sur de assemblages modèles présentant des défauts calibrés. Une étude sur l’influence du jeu dans les assemblages et sur la prise de contact est développé pour améliorer les résultats obtenus pendant la première partie du travail. MOTS CLES : Assemblage boulonné, assemblage hybride, transfert de charge, composite, matage. PARTIE A REMPLIR PAR LE PROFESSEUR RESPONSABLE DU PROJET ACCESIBILITE DE CE RAPPORT (entourer la mention choisie) : Classe 0 = accès libre Clase 1 = Confidentiel jusqu’au ______________ Classe 2 = Hautement confidentiel Date : Nom du signataire : Signature Remerciements Mon stage de fin d’études a été réalisé au sein du laboratoire de l’IUT appartenant à l’institut de Mécanique et d’Ingénierie de Bordeaux l’I2M. Tout d’abord je souhaiterais exprimer ma gratitude aux personnes ayant m’aidé pendant les six moins de travail. Je voulais témoigner toute ma gratitude à : - Christophe BOIS, Maître de Conférences de l’Université de Bordeaux I : Je remercie l’opportunité qu’il m’a donné de pouvoir travailler et développer mon stage dans ce laboratoire. Merci pour les conseils, les explications, les remarques constructives, les connaissances et la motivation transmise pendant le six moins de stage. - Julie Lecomte, doctorant à l’IUT : Je remercie pour sa proximité, ses conseils et corrections, pour l’aide prêté pendant les six mois et sa capacité à motiver. Merci pour transmettre toujours de l’énergie et la bonne humeur, comme tu dis : « Avoir la patate » et « avoir la banane ». À cause de la barrière de la langue que j’ai trouvé pendant le stage, je voudrais aussi remercier la patience et les efforts de Julie et Christophe à l’heure de m’expliquer les choses, de corriger mes rapports et de me comprendre. Je remercie également l’ensemble des personnes du laboratoire de l’IUT pour leur gentillesse et les moments d’échange : les stagiaires, les thésards, les techniciens et tout le personnel qui travaille à l’IUT. Je tiens aussi à remercier ma famille qui m’a supporté de l’Espagne. Ils m’ont offert ses conseils, ses avis, et ils m’ont encouragé en tout moment. Merci papa, maman, Gonzalo et Jaime. Quisiera dedicar este proyecto a la memoria de mi reciente fallecido abuelo D. Manuel Bautista Romero, Ingeniero Industrial Mecánico, por haber sido un motor interno, un ejemplo a seguir y una motivación constante durante toda mi carrera. Porque durante muchos momentos de flaqueza, falta de fuerza de voluntad o cansancio un pensamiento en él bastaba para sacar esa energía extra de mi. Por ser uno de los que motivó en mi este gusto por la ingeniería, por haber compartido con él innumerables buenos momentos, por sus consejos, por su curiosidad y preocupación constante acerca de mis estudios, por su pasión por la mecánica y porque me hubiera encantado haberlo compartido con él, le dedico mi proyecto de fin de carrera. SOMMAIRE 1INTRODUCTION Page 1 2LES ASSEMBLAGES Page 2 3LE STAGE 3.1INTÉRÊT DE L’ÉTUDE Page 4 3.2CONTEXTE DE L’ÉTUDE Page 4 3.3ÉTAT DE L’ART Page 5 3.4DÉFINITION ET MISSION DU STAGE Page 8 4INFLUENCE DES DÉFAUTS DE POSITIONNEMENT Page 11 4.1LE MODÈLE ANALYTIQUE Page 12 4.2LE MODÈLE NUMÉRIQUE Page 13 4.3LE MODÈLE EXPÉRIMENTAL Page 20 4.4OBTENTION ET TRAITEMENT DES RÉSULTATS Page 21 4.5ANALYSE DES RÉSULTATS Page 22 5ÉTUDE DU JEU : MODÈLE DE RÉPARTITION NON UNIFORME Page 27 5.1INTRODUCTION Page 27 5.2MODÈLE DE RÉPARTITION NON UNIFORME Page 27 5.3-DESCRIPTION DES MODÈLES Page 29 5.4RÉSULTATS Page 30 5.5PRÉSENTATION DES RÉSULTATS ET CONCLUSIONS Page 34 6ÉTUDE DE L’INFLUENCE DES DÉFAUTS GÉOMÉTRIQUES SUR LES ASSEMBLAGES MULTIMATÉRIAU 6.1INTRODUCTION Page 40 6.2TYPES DE DÉFAUTS Page 40 6.3MODÉLISATION Page 41 6.4ANALYSE DES RÉSULTATS Page 42 6.5CONCLUSION Page 44 7CONCLUSION DU STAGE Page 45 8ANNEXES 7.1ANNEXE 1 Page 46 7.2ANNEXE 2 Page 48 9BIBLIOGRAPHIE Page 52 1 1INTRODUCTION La construction de n’importe quel type de système aéronautique est possible grâce à l’assemblage de différentes parties. Elle représente l’intégration des technologies et des méthodologies les plus avancées et les plus exigeantes. Dans ce contexte, les fixations dans un système aéronautique jouent un rôle très important puisque la certification de tous les composants, des processus et des conceptions dans l’aéronautique impose des exigences techniques très élevées et des tolérances très serrées. Cela représente une élévation des coûts considérable. De plus, la réalisation des liaisons et des assemblages des pièces demeure un problème technologique du point de vue de la mise en œuvre et de la tenue mécanique en service. Pour avoir quelques ordres de grandeur, dans un avion on peut trouver autour de 3.000.000 de « fixations » comme dans l’A380, dont environ 75% de rivets et 25% de boulons. Cela représente autour de 50% du coût total de conception et de fabrication. De plus, la nécessité imposée par la certification d’atteindre des tolérances et des mesures très précises augmente considérablement les coûts. On peut voir alors, l’importance de l’étude des assemblages dans l’aéronautique. Etant donné que les fixations multiplient les zones de concentration de contraintes dans la structure, la conception de l’assemblage peut avoir une grande influence sur l’intégrité structurelle et la tenue mécanique. Beaucoup de paramètres influent sur le comportement de l’assemblage et sur la distribution des charges dans la structure. On peut dissocier les paramètres de conception et d’industrialisation. Les paramètres de conception sont les paramètres géométriques et les tolérances qu’on choisit au moment de la conception afin d’obtenir des propriétés particulières de l’assemblage, notamment un certain mode de rupture. On peut définir par exemple les diamètres des alésages, les épaisseurs des substrats ou encore l’espacement entre les trous. Le choix des outillages et de la gamme de montage sont, eux, des exemples de paramètres d’industrialisation. Le bon comportement mécanique, statique et en fatigue des assemblages est fondamental pour la sécurité et pour éviter l’endommagement de la structure. 8 On a constaté qu’un certain nombre d’études sur les assemblages ont été réalisées : études expérimentales, analytiques, et par éléments finis. Les travaux montrent que la complexité de l’analyse des assemblages composites ou multi-matériaux provient du grand nombre de paramètres qui influent sur les transferts de charges et par conséquent le comportement mécanique et les modes de rupture. On peut conclure qu’aucune étude scientifique n’a été publiée sur l’influence des défauts de position, d’orientation, de forme des alésages qui reçoivent les fixations. Pourtant, les bureaux d’étude exigent des tolérances assez faibles sur ces défauts ce qui engendre des gammes de fabrication complexes (montage de positionnement complexe, contre perçage, comblage de jeu, reprise d’usinage en cours d’assemblage, appairage …). Les tolérances exigées ne sont pas issues d’analyses fines mais le plus souvent d’une simple transposition de règles métier issues de l’assemblage des pièces métalliques. 3.4DÉFINITION ET MISSION DU STAGE Après avoir défini le contexte du stage et présenté l’état de l’art, je vais expliquer ma mission et mes objectifs pendant les 22 semaines du stage. Le thème du sujet est l’influence des défauts géométriques sur le comportement des assemblages multi-matériaux. Tout d’abord nous allons détailler les caractéristiques de notre assemblage : type d’assemblage, matériaux, défauts, etc. - Type d’assemblage : on va étudier un assemblage double recouvrement, c’est-à-dire, une plaque intérieure entourée par deux autres. Même si la configuration la plus utilisé dans l’aéronautique est le simple recouvrement, principalement parce que c’est la plus légère et facile à mettre en œuvre, l’analyse de ce type d’assemblage est le plus difficile parce qu’il y a une excentricité de la force par rapport au plan médian qui produit une rotation et une flexion plus importante du boulon et des déplacements hors plan. L’assemblage double recouvrement est aussi utilisé et permet une analyse « plus simple » grâce au plan de symétrie. Il est donc logique de commencer par ce type d’assemblage. AA A-A Figure 3.4.1. Assemblage simple recouvrement Figure 3.4.2. Assemblage double recouvrement 9 - Matériaux : On va étudier un assemblage hybride, c’est-à-dire multi-matériaux. Le matériau composite est constitué de fibres de carbone et d’une matrice d’époxyde. Les plaques extérieures sont réalisées en alliage d’aluminium. Ces deux types de matériaux sont très utilisés dans l’aéronautique. - Eléments de fixation : Les assemblages comporteront un ou deux boulons. On n’utilisera pas de rondelle dans notre cas car les écrous comportent une rondelle intégrée. Les boulons sont en titane. - Défauts à étudier : Il y a une grande gamme de défaut à étudier dans un assemblage de ce type. Tout d’abord, on étudiera l’influence de deux types de défauts : le jeu entre le boulon et le trou et un décalage entre les trous de la plaque composite et de la plaque métallique (défaut de positionnement). Ensuite, on étudiera les défauts d’orientation (perpendicularité de l’axe de l’alésage par rapport au plan de contact), les défauts de forme (alésage en tonneau, en diabolo, en banane, de section elliptique …). La plage de défaut dépassera volontairement les tolérances imposées classiquement dans l’aéronautique pour regarder si ce dépassement de tolérance est critique pour l’assemblage. Une fois que les caractéristiques de l’assemblage ont été définies, je vais détailler les trois parties du stage et les objectifs associés. 1Étude des défauts de position et du jeu : Dans la première partie du stage, l’objectif était de faire une étude du défaut de position et du jeu dans les assemblages boulonnés métal-composite pour les comparer ensuite avec des résultats d’essais et ceux d’un modèle analytique. On peut faire une décomposition en deux tâches à réaliser :  L’analyse par éléments finis des défauts de position et du jeu dans l’assemblage. Le logiciel choisi pour faire les calculs est ABAQUS. Les défauts seront toujours introduits dans la plaque composite. L’objectif est d’obtenir des résultats cohérents et d’analyser le comportement de l’assemblage en fonction de ces défauts.  La deuxième tâche sera de comparer les résultats obtenus dans la simulation par éléments finis avec ceux d’un modèle analytique (programmé sur Matlab) et ceux des essais expérimentaux. Si les résultats sont cohérents, on pourra valider l’étude. Sinon, des modifications seront nécessaires. L’objectif est de valider le modèle analytique car celui-ci est capable de prédire le comportement des assemblages multi-boulons avec jeu et défaut de position avec un temps de calcul très faible. 2Modèle analytique du contact fixation substrat : À cause de certains écarts trouvés durant l’analyse des résultats entre le modèle éléments finis et le modèle analytique, nous avons ajouté une deuxième partie à l’étude. En effet, la prise en compte du jeu et de la prise de contact dans le modèle analytique s’est avéree incorrecte. Nous avons donc fait une étude spécifique sur ce point. On a développé un modèle pour modéliser analytiquement le jeu et la prise de contact boulon trou que nous avons validé à nouveau grâce à un modèle numérique sur Abaqus. L’objectif est d’obtenir le jeu dit 10 « effectif » que l’on pourra introduire dans le modèle analytique quel que soit le niveau de jeu sans faire de calcul éléments finis. 3Étude numérique des défauts de forme et d’orientation : Dans la troisième partie du stage, l’objectif est de faire une étude purement numérique des défauts de forme et d’orientation de perçage. Dans les images suivantes on peut voir les différents types de défauts de forme et d’orientation à analyser. Démarche suivi pour arriver à atteindre les objectifs : 1Recherche bibliographique de l’état de l’art pour bien comprendre la problématique. 2Familiarisation avec le lieu et l’équipe de travail. 3Familiarisation avec le logiciel ABAQUS : premiers designs, utilisation des outils d’ABAQUS, maillage, analyses simples, extraction et traitement automatisé des résultats, etc. 4Maîtrise du logiciel : introduction de la géométrie, des défauts, des conditions limites et de contact, du chargement, etc. 5Compréhension et interprétation des résultats obtenus : apprendre à interpréter les résultats après l’analyse pour savoir si un maillage plus fin est nécessaire, si une redéfinition de la géométrie est nécessaire ou si au contraire, les résultats peuvent être comparer aux résultats expérimentaux et analytiques. 6Comparaison des résultats : analyser la concordance des résultats entre les deux modèles et valider l’approche. 7Introduction des défauts géométriques : création et vérification du modèle, lancement des calculs avec différents configurations, interprétation et analyse des résultats. Étude du jeu : recherche bibliographique sur l’influence du jeu dans les assemblages, modélisation mathématique du jeu et du comportement du contact trou-boulon, modélisation numérique, lancement des simulations, analyse et traitement des résultats, rédaction des conclusions et perspectives. Figure 3.4.3. Défauts géométriques 11 4INFLUENCE DES DÉFAUTS DE POSITIONNEMENT L’objectif de la première partie du stage est de valider un modèle analytique grâce à la comparaison de résultats des modèles analytique, numérique et expérimental. Ce modèle va prédire le comportement de l’assemblage quand on introduit un défaut de positionnement et un niveau de jeu donné. Dans le cadre de sa thèse, Julie Lecomte doit créer un modèle numérique sur ABAQUS, un modèle analytique sur MATLAB et un modèle expérimental pour pouvoir étudier le comportement des assemblages multi-matériaux quand un défaut géométrique est présent. Pour pouvoir étudier les assemblages il est nécessaire de construire une éprouvette qui simule le comportement de la structure. La même configuration (double recouvrement avec 2 boulons) sera utilisée pour les essais expérimentaux, pour la modélisation numérique par éléments finis, et pour la modélisation analytique. La figure 4.1 montre un exemple d’éprouvette utilisée. Dans l’image à gauche on peut voir les plaques métalliques, la plaque de composite et un des 2 boulons inséré dans les plaques. En haut de l’image on peut voir un talon rajouté à la plaque de composite pour éviter la dégradation que peuvent provoquer les mors pendant l’essai. Il est intéressant de remarquer la présence de deux jauges de déformation qui permettront d’analyser les résultats des essais. Sur la figure 4.2, le second boulon n’est pas encore monté car à cause du défaut il faut tirer sur l’éprouvette avant de l’insérer. on peut voir le défaut de positionnement introduit dans cette éprouvette. Figure 4.2. Défaut de positionnement Figure 4.1. Exemple d'éprouvette 12 4.1LE MODÈLE ANALYTIQUE Le modèle analytique proposé et développé par J. Lecomte [8] est un modèle unidimensionnel qui permet d’obtenir l’évolution de la distribution de charges entre les boulons par rapport à la charge total appliquée ainsi que l’état de precharge qui se produit après montage des boulons en raison du défaut. De plus, ce modèle introduit une loi de comportement qui représente la dégradation du matériau composite par matage. Figure 4.1.1. DimensionS de l’assemblage métal-composite double recouvrement avec défaut La figure 4.1.1 montre la géométrie de l’assemblage double recouvrement qui est composé d’une plaque composite et de deux plaques d’aluminium. Dans l’image on peut voir le désalignement d’un des trous de la plaque composite à cause de l’introduction du défaut de positionnement δp. Cette géométrie est modélisée comment un système de ressorts représentant la déformation des substrats et des boulons sous l’effet du montage et de la charge F appliquée. La modélisation ne prend en compte que la moitié de l’ensemble puisque l’on a une symétrie. L’image 4.1.2 présente le système de ressorts ainsi obtenu. Figure 4.1.2. Schéma de principe du modèle analytique Le modèle analytique repose sur certaines hypothèses. Les efforts de frottement entre les substrats sont négligés puisque le serrage n’est pas modélisé. Le comportement de chaque boulon est représenté sur la figure 4.1.2.. Le jeu est intégré dans le comportement du boulon mais la prise de contact est instantanée. La dégradation par matage est représentée par une loi bilinéaire identifiée sur un essai en configuration double recouvrement avec un seul boulon. Les équations qui modélisent le système sont rassemblées dans l’Annexe 1. 13 4.2LE MODÈLE NUMÉRIQUE Étant donné que les logiciels actuels offrent la possibilité de modéliser les différentes pièces de l’assemblage en intégrant les contacts avec frottement, le modèle numérique est en mesure de valider le modèle analytique. Le modèle créé sur Abaqus est un modèle 3-D qui permet de représenter les contraintes, les déplacements et donc le niveau de charge de chaque boulon. Il y a certaines différences par rapport au modèle analytique. Sur Abaqus, il faut introduire une valeur de serrage minime pour supprimer des mouvements de corps rigide et pour que le calcul converge correctement. Si le serrage est très élevé, des efforts de frottement non négligeables apparaissent. Une autre différence entre les modèles est que le modèle analytique inclut une loi de dégradation du matériau composite alors qu’aucune dégradation n’est prise en compte pour l’instant dans le modèle Abaqus (loi de comportement élastique). Pour bien comprendre la modélisation réalisée on va présenter chaque partie et on va expliquer pas à pas les différents paramètres définis. De plus, une explication du maillage réalisé sera donnée. BOULON : Dans l’éprouvette de l’étude on va utiliser deux boulons en titane (matériau très utilisé dans l’aéronautique dans les assemblages structuraux). La géométrie de chaque boulon est présentée dans l’image 4.2.1. On peut voir la forme et les dimensions. La longueur de la tige est un peu plus petite que l’épaisseur totale de l’assemblage. Cela permet d’intégrer le serrage du boulon dans l’étape du calcul. Une explication plus détaillée de ce point sera donnée plus tard. Pour introduire le jeu entre les pièces, le diamètre du boulon est plus petit que le diamètre du trou. Le boulon est modélisé avec un comportement élasto-plastique. Figure 4.2.1. Esquisse du boulon Dans le tableau 4.2.1 on peut voir les propriétés mécaniques du titane utilisé pour le boulon. 14 Conductivité 1 Expansion 8.5*10-6 Elasticité Module de Young (Pa) 106000000000 Poisson 0.33 Plasticité Yield Stress (Pa) 830000000 900000000 Plastic Strain 0 0.1 Tableau 4.2.1. PLAQUE MÉTALLIQUE Deux plaques métalliques en aluminium seront utilisées autour de la plaque composite. On utilise deux plaques pour garantir la symétrie de l’assemblage (l’intérêt de la symétrie a été déjà expliqué). Dans l’image 4.2.2 est affichée la géométrie et les dimensions d’une plaque d’aluminium Figure 4.2.2. Esquisse de la plaque d’aluminium Dans le tableau 4.2.2., on montre les propriétés mécaniques de la plaque d’aluminium. Elasticité Module de Young (Pa) 68000000000 Poisson 0.33 Tableau 4.2.2. 15 Après avoir défini la géométrie et le matériau on a fait des partitions autour des trous. Les partitions permettent de définir des zones dans la pièce auxquelles on peut appliquer des paramètres et des matériaux différents. Dans notre cas, les partitions sont intéressantes pour pouvoir définir un maillage plus fin autour des trous où il aura des concentrations de contraintes. L’image 4.2.3 montre les partitions dans la plaque. PLAQUE COMPOSITE La dernière partie de l’assemblage est la plaque composite. Cette plaque est fabriquée en matériau composite formé par une matrice époxy et par des fibres de carbone. Les dimensions et la géométrie sont présentées dans l’image 4.2.4. Toutes les dimensions sont les mêmes que dans la plaque métallique sauf la distance entre les trous. Cette distance sert à introduire le défaut de positionnement. Dans le cas présenté, on peut voir une différence de 50 µm entre les deux plaques. Les trous dans la plaque composite sont plus proches que dans la plaque métallique. De plus, on peut remarquer que le diamètre des trous est 20 µm plus grand que le diamètre des boulons pour introduire le jeu entre les deux pièces. Finalement, l’épaisseur de la plaque dessinée est la moitié de l’épaisseur réelle puisque l’on va appliquer une condition de symétrie pour réduire le temps de calcul. Figure 4.2.4. Esquisse de la plaque composite Dans le tableau 4.2.3 sont présentées les propriétés mécaniques du matériau composite dans un repère où la direction des fibres est la direction 1. Figure 4.2.3. Plaque d'aluminium 3-D 16 E1 (Pa) 130300000000 E2 (Pa) 7600000000 E3 (Pa) 7600000000 G12 (Pa) 4750000000 G13 (Pa) 4750000000 G23 (Pa) 2650000000 NU12 0.33 NU13 0.33 NU23 0.43 - Tableau 4.2.3. De la même manière qu’on a fait les partitions dans la plaque métallique autour des trous pour définir un maillage plus fin, on partitionne la plaque composite. Pour définir la stratification de la plaque matériau composite sur ABAQUS, on n’utilise pas le module « composites ». On fait 7 partitions longitudinales et perpendiculaires à l’épaisseur pour couper la plaque en 8 « plis UD». Ensuite, on assigne une orientation (repère) à chaque pli et les propriétés du matériau composite sont associées à chaque nouveau repère. Dans l’image 4.2.5 on peut voir les partitions. Figure 4.2.5. Plaque composite 3-D MAILLAGE La définition du maillage est un des aspects les plus importants pour bien modéliser le comportement de l’assemblage et aussi pour obtenir une bonne convergence. Pour obtenir un maillage optimal il est nécessaire de choisir le type d’éléments et leur répartition. On a utilisé des éléments tridimensionnels-solides dans toutes les parties de l’assemblage. Les éléments 3D sont définis dans l’espace global X, Y, Z. Ils sont utilisés quand la géométrie et/ou la charge appliquée est très complexe. Sur ABAQUS, les éléments solides peuvent être utilisés pour des analyses linéaires ou pour des analyses plus complexes qu’impliquent du contact, de la plasticité et toute autre forme de comportement non-linéaire. Étant donné qu’il y a une grande variété de types d’éléments disponibles, il est important de sélectionner l’élément correct pour chaque application particulaire. Il faut considérer différents aspects pour bien choisir l’élément. Pour mailler l’assemblage, les formes des éléments choisis sont : tétraèdre, prisme triangulaire et hexaèdre. Sur ABAQUS, les éléments triangulaires et tétraédriques sont très versatiles et sont très utilisés pour les géométries complexes. Ils sont moins sensibles à la forme initiale. Par contre, les éléments hexaédriques ont un taux de convergence meilleur que les triangles et les tétraèdres. Les éléments triangulaires et tétraédriques quadratiques donnent en théorie des résultats précis dans les problèmes où il n’y a pas de contact. Par contre, ces éléments ne sont pas appropriés quand il y a un contact entre des surfaces gérées par une loi sans interpénétration (« hard contact »). Dans ce cas-là, on peut avoir des problèmes de convergence. 17 Pour corriger ce problème on peut utiliser les éléments triangulaires et tétraédriques modifiés. Si on a un contact type « hard contact » présent dans le modèle, la meilleure option est d’utiliser un élément tétraédrique modifié comme le C3D10M. L’inconvénient est que ce type d’élément est un peu plus coûteux en termes de temps de calcul. Dans le tableau 4.2.4, on donne pour chaque partie de l’assemblage, la forme et le type d’élément, et le nom de l’élément Abaqus correspondant. PARTIE FORME NOM DE L’ÉLÉMENT Tête du boulon Prisme triangulaire C3D15 Tige du boulon Tétraèdre C3D10M Trous plaque composite Hexaèdre C3D20R Reste plaque composite Prisme triangulaire C3D15 Plaque métallique Prisme triangulaire C3D15 Tableau 4.2.4 LE CALCUL Avant de lancer le calcul il faut définir certaines propriétés d’interaction entre les parties de l’assemblage, les conditions limites et les différentes étapes du calcul. Les boulons sont placés par une coaxialité de leur axe avec ceux des alésages aluminium. Dans notre cas, si le jeu est faible, le défaut de position engendre une interférence entre le deuxième boulon et l’alésage composite. Figure 4.2.6. Éléments 3-D sur Abaqus 24 ce rapport. Grâce à cette représentation on peut voir parfaitement le comportement de l’assemblage. Les différentes étapes sont : Tout d’abord, sans avoir encore appliqué la charge, on peut voir un niveau de précharge dans chaque boulon généré par l’annulation du défaut de positionnement et l’insertion du deuxième boulon. Les valeurs de précharge sont égales et opposées. C’est-à-dire, le boulon 1 (en rouge) se charge en traction et le boulon 2 (en bleu) en compression. Lorsqu’on commence à appliquer la charge en traction (étape 1), on observe que le boulon 2, qui est chargé en compression, commence à se décharger. En même temps, le boulon 1 se charge. Cette étape continue jusqu’au moment où le boulon 2 se trouve complètement déchargé. A partir de ce moment-là, le boulon 1 supporte toute la charge. Ensuite, commence l’étape du rattrapage du jeu (étape 2). Pendant cette période, il n’y a pas de contact entre le boulon 2 et le trou 2. Le boulon 1 prend toute la charge. Une fois le jeu rattrapé, chaque boulon continuera progressivement d’être chargé (étape 3) Dans l’étape 4 la dégradation du matériau débute sur le boulon 1. On observe une pente plus grande pour le boulon 2 jusqu’à ce que le boulon 2 arrive à son tour à l’effort de matage. Finalement, dans l’étape 5 on voit un nouveau changement de pente dans les boulons. La pente du boulon 2 diminue, et par contre celle du boulon 1 augmente. À partir de l’étape 3, il y a une différence entre les deux modèles puisque le modèle analytique prend en compte la dégradation du matériau composite par matage. Pour vérifier l’adéquation entre les modèles, on a enlevé l’endommagement du matériau composite sur le modèle analytique. La ligne pointillée sur la figure 4.5.2 montre le résultat obtenu. Les résultats du modèle analytique sans endommagement correspondent à ceux du modèle numérique. On peut alors affirmer que le modèle analytique représente correctement les transferts de charge entre les boulons en présence de jeu et d’un défaut de localisation. 2Comparaison essais – modèle numérique : L’objectif est de valider le modèle numérique et par conséquence le modèle analytique. Pour vérifier les modèles, on compare les déformations obtenues sur Abaqus avec celles obtenus dans l’essai expérimental. On a deux méthodes pour obtenir les déplacements de l’essai. Les jauges, qui vont donner les déformations dans la plaque d’aluminium et la corrélation des images, grâce à laquelle on va comparer et valider les résultats. Sur la figure 4.5.3 on peut voir la position des 2 jauges et leur numérotation. Dans l’essai réalisé, on distingue 6 étapes. Pendant l’étape 1 on applique la force nécessaire pour déformer le substrat et pouvoir introduire le deuxième boulon. L’étape 2 correspond à l’insertion du deuxième boulon. Jauge 1 Jauge 2 Figure 4.5.3. Positionnement des jauges sur l’éprouvette 25 Pendant l’étape 3 on décharge l’éprouvette. Pendant les étapes 4 et 5 on recharge l’éprouvette jusqu’à 20.000 N et ensuite on la décharge à nouveau. L’étape 6 correspond à l’application de la charge à traction jusqu’à la rupture de l’éprouvette. Tout d’abord on observe qu’après avoir déchargé l’éprouvette (étape 3), on obtient une déformation positive sur la jauge 1. Normalement on devrait obtenir un déplacement négatif puisque le défaut introduit provoque un effort de compression sur cet endroit. La corrélation d’images nous montre une légère flexion des plaques pendant le montage du deuxième boulon. Cette flexion explique la valeur positive de déformation dans l’étape 3. Si on enlève ce phénomène de flexion, on obtient la courbe de la Figure 4.5.4. On observe une différence entre les deux courbes à partir du moment où se produit le matage puisque celui-ci n’est pas pris en compte dans le modèle numérique. L’objectif à terme est d’introduire le matage sur le modèle numérique afin de comparer les résultats jusqu’à rupture. Figure 4.5.4. Comparaison du modèle numérique et de l’essai expérimental Conclusion : Grâce à la comparaison des résultats entre les divers modèles on peut affirmer que le modèle analytique représente correctement le comportement physique de l’assemblage en présence de différentes valeurs de jeu et de défaut. Ce modèle permet d’obtenir le comportement de l’assemblage et l’influence des défauts géométriques sur l’assemblage en quelques minutes alors que le modèle numérique nécessiterait des semaines de calcul. Les figures 4.5.6 et 4.5.7 montrent un exemple de l’utilisation potentielle qu’on peut faire de ce modèle. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 104 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 F (N) Déformation (%) Résultats expérimentaux corrigés Modèle numérique (sans matage) 26 Figure 4.5.6. Définition de la déformation maximal admissible du trou C0 Figure 4.5.7 Evolution de la force maximale admissible en fonction du défaut de positionnement Dans la figure 4.5.6 on définit un paramètre C0 qui représente la déformation maximale permanente acceptable du trou. Cette valeur donne la force maximale Fc0 que peut supporter chaque boulon et qui donne une force appliquée à l’assemblage Fmax. La figure 4.5.7 représente l’influence du défaut de position en fonction du ratio Fmax /2Fc0 . Grâce à ce graphique on peut obtenir la valeur maximale admissible du défaut de positionnement à partir d’un critère de perte de performance acceptable. Une des difficultés trouvée dans l’utilisation du modèle analytique est l’identification du jeu effectif ; c’est-à-dire du jeu qu’il faut introduire dans le modèle analytique pour tenir compte de la phase de prise de contact. On a vu précédemment que le jeu effectif pouvait être estimé précisément avec le modèle numérique. Cependant, pour obtenir rapidement (sans simulation) ce jeu effectif en fonction du jeu géométrique et des autres paramètres du modèle (diamètre du boulon, épaisseur des substrats …), nous avons opté pour le développement d’un modèle analytique de prise de contact. Ce développement fait l’objet de la partie suivante. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x 104 Déplacement (mm) F1 (N) Jeu c0 Fc0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 p (mm) Fmax/(2Fc0) 1-   pmax 27 5ETUDE DU JEU: MODÈLE DE RÉPARTITION NON UNIFORME 5.1INTRODUCTION L’étude précédente a montré que la prise de contact entre le boulon et le trou nécessitait de corriger la valeur du jeu dans le modèle analytique. Par conséquent, on a décidé de développer un modèle analytique représentant cette prise de contact. L’objectif de l’étude est de trouver la relation existant entre le jeu géométrique qu’on introduit dans notre assemblage et le jeu effectif qui représente à la fois le jeu géométrique mais également le déplacement engendré par la prise de contact. Pour réaliser cette étude on s’est appuyé sur une théorie de modélisation analytique des contacts qui prend en compte une répartition de pression non uniforme. 5.2MODÈLE DE RÉPARTITION NON UNIFORME La modélisation analytique des contacts entre surfaces n’est pas évidente. Il y a une grande quantité de paramètres qui influent sur le contact : le forme des surfaces en contact, la rigidité des matériaux, la température, la rugosité, le frottement, etc. Les différents modèles présentés dans la littérature se distinguent selon que l’on considère un contact étroit ou qu’ on considère un contact en grande surface (surface complémentaire). On parle de contact étroit quand les surfaces nominales se touchent en un point ou sur un segment. Ce n’est qu’une fois déformée que la surface de contact, qui reste de petite taille, augmente. On parle de contact en grande surface lorsque la taille de la surface nominale apparente de contact est du même ordre de grandeur que la taille des pièces en contact. Dans notre cas, on étudie le contact entre un alésage et un boulon qui ont des diamètres identiques au jeu près. On peut assimiler le contact à un contact en grande surface avec une répartition non uniforme. Ce modèle prend en compte la déformabilité des pièces dans la zone de contact et suppose les pièces indéformables loin des surfaces de contact. La pression générée dans l’interface est liée à l’écrasement local provoqué par la déformation des surfaces en contact. Cet écrasement est supposé égale à l’interpénétration des pièces (considérées indéformables) engendrée par leur mouvement relatif (Figure 5.2.1). La relation pression de contact écrasement s’exprime par : Où P est la pression, k est la raideur du contact qui s’exprime en Pa/ma, δ est l’écrasement et a est un coefficient de non-linéarité élastique. On montre expérimentalement que a = 1 pour les matériaux métalliques et a > 1 pour les matériaux plastiques. 28 On applique ce modèle de répartition non uniforme à un contact cylindrique avec jeu soumis à un effort radial. La figure 5.2.1 défini les notations adoptées et le calcul de l’écrasement. Figure 5.2.1. Schéma du modèle du principe du modèle de répartition non uniforme Dans la figure 5.2.1 on peut voir le jeu géométrique radial j et l’écrasement de la surface de contact δ. On définit le paramètre e comme la somme du jeu radial et de l’écrasement maximal. On définit également  0 l’angle de contact entre les deux surfaces. A partir de ces paramètres, on peut obtenir facilement les efforts et le champ de pression sur la surface de contact en fonction du déplacement appliqué. Le développement des calculs du modèle se trouve dans l’annexe 2. La figure 5.2.2 montre un exemple. Grâce à cette représentation on obtient la différence entre le jeu effectif et le jeu géométrique. La seule donnée manquante dans ce modèle analytique de prise de contact est la raideur du contact k. La mesure expérimentale de k est très délicate car il faut avoir accès à une mesure locale des déplacements relatifs. Nous avons donc opté pour l’utilisation d’un modèle numérique. La raideur du contact k sera identifiée uniquement à partir de la zone linéaire. Le modèle numérique permettra donc également de valider la réponse du modèle analytique pendant la prise de contact. La démarche de l’étude suivie est : Figure 5.2.2. Différence entre le jeu effectif et le jeu géométrique 29 1Programmation du modèle analytique sur Matlab. 2Création du modèle numérique sur Abaqus et vérification avec un seul substrat. 3Calculs avec le modèle d’assemblage complet. 4Comparaison des résultats, validation et conclusions. 5.3DESCRIPTION DES MODÈLES Modèle numérique : Le modèle numérique développé sur Abaqus est basé sur le modèle développé pour l’étude précédente sur les assemblages hybrides double recouvrement. Par conséquent, le type des éléments et de maillage, les propriétés de contact, les matériaux et les conditions aux limites sont identiques (voir section 4.2). Par contre, étant donné que l’on ne s’intéresse qu’au contact alésage boulon, on va travailler sur un assemblage avec un seul boulon. Tout d’abord, pour vérifier le bon fonctionnement du modèle analytique et identifier séparément la raideur du contact k pour chaque couple de matériau, on a fait des essais en prenant séparément la plaque d’aluminium et la plaque composite. On a modélisé une plaque et un boulon monté au milieu de la plaque. La figure 5.3.1 montre cette configuration. Figure 5.3.1. Plaques utilisées pour la validation du modèle Les conditions aux limites appliquées dans cette configuration sont représentées sur la figure 5.3.2. On a introduit un plan de symétrie et on a bloqué la moitié de la surface du boulon où il n’y a pas de contact. La longueur du boulon est suffisamment courte pour éviter la flexion mais suffisamment longue pour ne pas interférer avec la surface de contact. Figure 5.3.2 Conditions aux limites. 30 On obtient une bonne corrélation entre le modèle analytique et le modèle numérique, ce qui a permis de lancer les simulations sur les éprouvettes hybrides double recouvrement mono-boulon comme représenté sur la figure 5.3.3. Modèle analytique : A partir des équations développées dans l’annexe 2, on a créé un programme sur Matlab qui calcule le comportement du contact et donne la relation entre la charge appliquée F et le déplacement imposé e. Les donnés d’entrée du programme sont : la valeur du jeu géométrique radial jgeom, la raideur du contact k, le niveau de charge. On peut trouver le programme Matlab dans l’annexe 2. 5.4RÉSULTATS L’identification de k nécessite la mesure de e à partir des simulations éléments finis ce qui n’est pas évident. Pour cela il faut revenir à la définition du paramètre e. Le paramètre e représente l’écrasement maximal dans la zone de contact plus le jeu géométrique introduit. C’est également la différence entre la position initiale de l’axe du boulon et sa position après chargement. Il faut veiller à ne pas intégrer dans le calcul de e les déplacements loin de la zone de contact. Figure 5.4.1 Schéma du contact et représentation des paramètres influents. Figure 5.3.3. Eprouvette3-D double recouvrement 31 Traçons un chemin constitué de points des 2 plaques et du boulon comme représenté sur la Figure 5.4.2. Grâce au chemin on peut représenter, pour chaque valeur de charge, les valeurs des déplacements U1 dans la direction de chargement. Figure 5.4.3 Représentation des déplacements le long de la plaque et de la raideur du contact. La figure 5.4.3 montre un exemple des graphiques obtenus avec cette méthode. On distingue trois étapes clairement différenciées. La première étape (A-B) montre le déplacement dans la zone courante de la plaque composite. Ensuite, la partie courbée (B-C) correspond aux déplacements localisés sur la plaque composite dans la zone de contact. La troisième partie (CD) correspond aux déplacements par compression dans le boulon. La partie (D-E) est quant à elle imputable à la flexion et au cisaillement du boulon. Ensuite on retrouve les mêmes parties 0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 -1,67E-16 0,08 0,16 U1 Position sur la plaque Déplacements le long de la plaque t0,500 A D C B E G H F e composite e aluminium B' G' Figure 5.4.2. Chemin choisi le long de la plaque pour représenter les déplacements U1 32 pour la plaque aluminium. Grâce à ce graphique on peut représenter de manière très précise la raideur du contact et comprendre les phénomènes physiques présents dans le contact. Sur cette représentation on peut parfaitement définir et calculer les valeurs de e associées aux contacts composite-boulon et aluminium-boulon. Si on fait la différence de déplacement entre le point D et l’intersection de la droite (AB) avec la position de l’axe du trou (point B’), on obtient la valeur ecomposite correspondant au contact boulon – composite : Si on fait la même opération avec la plaque d’aluminium, on obtient ealuminium correspondante au contact aluminium – boulon : On peut également définir eboulon qui correspond à la déformation de cisaillement et de flexion du boulon. Si on fait l’addition des trois valeurs on trouve la valeur etotal qui donne le déplacement total lié à l’assemblage bolonné. Avec le modèle numérique, on peut déterminer ces paramètres pour chaque niveau de charge. Un exemple est montré sur la figure 5.4.4. Figure 5.4.4. Représentation de e par rapport à la charge appliquée pour la plaque composite monorecouvrement. Jeu géométrique 10 µm Dans la courbe représentée sur la figure 5.4.4 on peut différencier trois étapes. La première étape correspond au rattrapage du jeu géométrique. Dans une deuxième étape on peut observer la prise de contact dans laquelle la surface de contact (angle  0) augmente. Finalement on a la partie linéaire de la courbe dans laquelle la surface de contact tend vers le demi-cylindre. 33 Obtention de la raideur de contact La pente de la partie linéaire, noté K’ est directement reliée à k selon l’équation : Où R est le rayon du trou, L est l’épaisseur du recouvrement,  0 est l’angle maximal de contact et  est l’angle de contact. Sur la figure 5.4.5 est représentée l’évolution de la pente en fonction de e pour déterminer le moment à partir duquel la pente est constante et ainsi identifier correctement K’. Figure 5.4.5. Evolution de la pente pour la plaque d’aluminium en fonction de e Le tableau 5.4.1 montre les valeurs obtenues pour k à partir des simulations sans jeu. Configuration Valeur de k Aluminium seul 1.2012x1013 Composite seul 7.7099x1012 Aluminium en configuration « assemblage » 1.0919x1013 Composite en configuration « assemblage » 7.6883x1012 Tableau 5.4.1 Il y a un léger écart entre la configuration avec un seul substrat et la configuration « assemblage ». Cet écart est causé par la différence entre les conditions aux limites imposés et le frottement entre les plaques. Obtention du jeu effectif L’objectif est de trouver l’intersection de la partie linéaire de la courbe avec l’axe des abscisses. A partir des simulations éléments finis, on est capable de calculer le jeu effectif pour différents jeux géométriques dans un assemblage même si les temps de calcul sont très élevés. Dans le tableau 5.4.2 sont résumés les temps de calcul pour certaines simulations réalisées. 0 50000000 100000000 150000000 200000000 250000000 300000000 350000000 0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 Pente e Évolution de la pente Pente 40 6ETUDE DE L’INFLUENCE DES DÉFAUTS GÉOMÉTRIQUES SUR LES ASSEMBLAGES MULTI-MATÉRIAUX 6.1INTRODUCTION Pendant la troisième partie de mon stage j’ai fait une étude sur l’influence des défauts géométriques sur les assemblages multi-matériaux. Cette étude servira de base pour une thèse qui débutera prochainement au Laboratoire I2M. L’objectif de cette étude à long terme est d’analyser l’influence des défauts géométriques sur les assemblages composites et métal composite en considérant principalement les défauts produits pendant le perçage des alésages de fixation. Le but à court terme, est de vérifier qu’on peut modéliser ce type de défaut sur Abaqus, que les simulations fonctionnent correctement et que les résultats obtenus sont cohérents. Ensuite, il s’agira d’utiliser les outils d’analyse des transferts de charges développés dans une autre thèse pour quantifier l’effet des défauts sur le comportement des assemblages. Dans cette étude, le défaut est toujours introduit sur la plaque composite. 6.2TYPES DE DÉFAUTS Pendant le perçage des plaques certains défauts peuvent se produire. La précision exigée dans le domaine aéronautique est très élevée et les tolérances sont très serrées ce qui engendre des coûts et des durées de production importants. En effet, la maîtrise des défauts de perçage nécessite de contrôler finement l’usure des outils et des outillages, des réglages associés, etc. La présence de certains défauts sur un assemblage peut engendrer une perte de performance de ce dernier. Très peu de travaux se sont intéressés à la relation entre défaut géométrique et performance mécanique des assemblages composites. Par conséquent une étude sur l’influence de ces types des défauts est nécessaire. L’objectif est de déterminer le niveau maximal de défaut acceptable qui permet le bon fonctionnement de l’assemblage. Dans l’industrie on peut trouver différents défauts de perçage. Quelques exemples sont : le défaut de perpendicularité entre l’axe du trou et la face d’appui, le défaut de forme du perçage, etc. La figure 6.2.1 montre les défauts que l’on a considérés dans cette étude : défaut de perpendicularité, forme en ellipse, en diabolo et en tonneau. Ces défauts ont été choisis relativement arbitrairement pour mettre en place la méthodologie d’analyse. Une analyse des défauts potentiellement présents et critiques dans l’industrie sera réalisée lors de la thèse qui débutera à l’automne prochain. 41 Figure 6.2.1. Défauts de perpendicularité, forme en diabolo, en tonneau et en ellipse. 6.3MODÉLISATION Pour analyser les défauts géométriques on a développé un modèle numérique 3-D sur Abaqus. L’assemblage considéré est pratiquement identique à celui utilisé pour étudier l’influence des défauts de positionnement sur les assemblages multi-matériaux. On considère les mêmes matériaux (comportement élastique), le même maillage, les mêmes conditions et propriétés de contact et conditions aux limites. L’explication détaillée se trouve dans le point 4.2. Les seules différences existantes sont la géométrie et les étapes de calcul. Les épaisseurs et largeurs des substrats sont identiques mais l’assemblage comporte un seul boulon puisque les défauts étudiés sont relatifs à un seul alésage. Par ailleurs cela permet de diminuer le temps de calcul. Le calcul présente deux étapes. La première étape sert à introduire le serrage du boulon et la deuxième à appliquer l’effort de traction. La figure 6.3.1 montre un exemple du modèle 3-D. Tous les calculs lancés présentent un niveau de jeu de 20 µm et le défaut se trouve dans la plaque composite. On peut voir les configurations testées dans le tableau 6.3.1. Diabolo Tonneau Ellipse Perpendicularité (inclinaison) Défaut 1 µm Défaut 1 µm Défaut de x µm sur l’axe horizontal 1º Défaut 5 µm Défaut 5 µm Défaut de x µm sur l’axe vertical - Défaut 10 µm Défaut 10 µm - - Tableau 6.3.1. Les essais réalisés avec un défaut de 1 µm servent de référence (défaut négligeable). La figure 6.3.2 montre comment les défauts ont été introduits. Figure 6.3.1. Modélisation 3-D de l’éprouvette 42 Figure 6.3.2 Esquisse de la modélisation des défauts Dans les configurations diabolo et tonneau, on fixe les points supérieurs et inférieurs de l’arc et on ajoute le défaut en faisant varier la courbure de l’arc. On voit que le niveau de défaut qu’on peut introduire dans la configuration diabolo est limité par le jeu. Cela est la raison pour laquelle la valeur maximale introduite est de 10 µm. L’introduction du défaut en forme d’ellipse n’est pas évidente puisqu’on peut introduire l’excentricité sur n’importe quel axe et qu’a priori le comportement ne sera pas le même. Dans cette étude on considère une ellipse avec l’axe situé parallèlement à la direction d’application de la force (défaut sur l’axe horizontal) et une autre configuration avec l’axe situé de manière perpendiculaire à la direction d’application de la force. Enfin, l’introduction du défaut d’inclinaison rend le modèle non-symétrique. Par conséquent le temps de calcul est très élevé et nécessite de refaire le modèle. 6.4ANALYSE DES RÉSULTATS Le modèle numérique développé sur Abaqus donne les champs de déplacements, de déformations et de contraintes, ainsi que le champ de pression au niveau des contacts. Les résultats bruts ne sont pas très explicites et ne permettent pas d’obtenir des conclusions. Il faut traiter spécifiquement ces résultats. On a proposé deux méthodes d’analyse. La première est un peu lourde et peu visuelle. Mais elle permet d’obtenir quelques conclusions. Elle est basée sur l’évolution des valeurs de 43 contraintes et de déplacements à travers l’épaisseur du trou. La seconde méthode est basée sur une analyse proposée et développée dans le cadre de la thèse d’Erwan Le Goff [11]. Dans ce document on va détailler uniquement les résultats obtenus sur les défauts de forme en « diabolo » et en « tonneau ». Méthode 1 : Cette méthode consiste à extraire, pour certains points, les valeurs de S11 et U1 (selon la direction d’application de la force) en fonction de la charge appliquée. Sur la figure 6.4.1 s’affichent les points sélectionnés et la nomenclature utilisée. Ces points correspondent aux plis à 0 degrés (points 2 et 3) et à 90 degrés (points 1 et 4). Ainsi, on peut représenter l’évolution de S11 et de U1 en fonction de la force F appliquée sur l’éprouvette. L’anisotropie du matériau composite rend l’analyse des contraintes délicate. Les valeurs extraites étant définies dans le repère du pli (1 = sens fibre), Les valeurs correspondant aux plis à 90 degrés et celles correspondant aux plis à 0 degrés ne peuvent être comparées. La figure 6.4.2 montre les résultats des points 1 et 4 (pli à 90 degrés) obtenus pour les 3 niveaux de défaut de forme en « tonneau ». Figure 6.4.2. Evolution de S11 par rapport à la charge totale appliquée pour les points 1 et 4 pour les configurations tonneau 1 µm, 5 µm et 10 µm. Sur ce graphique on peut différencier deux zones. La première, jusqu’à 1000 N correspond au rattrapage du jeu. Ensuite on voit un changement de pente. Cela se produit une fois que le jeu a été rattrapé. On voit que la valeur de S11 est toujours plus grande pour le point 4 que pour le 1 et que plus grand est le défaut, plus le point 4 est chargé par rapport au point 1 à cause de la courbure introduite. Pour la configuration 10 µm, on observe qu’au début la valeur de S11 pour le point 1 est nulle et qu’une fois que le point 4 est suffisamment déformé, le point 4 commence à se charger. Notons également que même sans défaut, les plis extérieurs sont davantage sollicités en raison de la légère flexion du boulon. -5E+08 -4E+08 -3E+08 -2E+08 -1E+08 0 -1000 4000 9000 14000 19000 24000 S11 (Pa) F (N) n1/01 n1/10 n4/01 n4/05 n4/10 n1/05 Figure 6.4.1. Points choisis pour analyser les résultats 44 La figure 6.4.3 montre les résultats des points 1 et 4 obtenus pour les 3 niveaux de défaut de forme en « diabolo ». Figure 6.4.3. Evolution de S11 par rapport à la charge totale appliquée pour les points 1 et 4 pour les configurations diabolo 1 µm, 5µm et 10µm. Sur ce graphique on observe aussi deux pentes différentes. Au début, le point 1 est plus chargé que le point 4 à cause du défaut introduit, mais quand le niveau de charge augmente, le boulon fléchit et le point 4 devient plus chargé que le point 1. Cette méthode est lourde parce que pour chaque essai il faut extraire les contraintes en chaque point et pour chaque incrément de calcul. En plus, les résultats ne sont pas faciles à interpréter en raison de la stratification. Cela est la raison pour laquelle on a proposé une seconde méthode. Méthode 2 : La méthode développée pendant la thèse d’Erwan Le Goff[7] permet de comparer les transferts de charge au niveau du contact boulon alésage. Elle repose sur la définition d’un paramètre local adimensionné de transfert de charge :     ( ) cos sin xx xy td td nx FF              En intégrant ce paramètre sur l’épaisseur du stratifié, on peut tracer le transfert de charge autour du trou (en fonction de  ) de manière adimensionnelle. Pour des raisons de temps, cette méthode n’a pas pu être exploitée pendant ce stage, mais elle pourra être mise en œuvre à partir des simulations effectuées lors du stage. 6.5CONCLUSION Finalement on peut affirmer que le modèle numérique développé est capable de représenter certains défauts géométriques sans qu’il y ait de problème de maillage ou de convergence. Par contre, l’exploitation complète et méthodique des résultats n’ayant pas encore été réalisée pour l’instant, on ne peut pas conclure sur l’influence des défauts géométriques. -5E+08 -4E+08 -3E+08 -2E+08 -1E+08 0 -1000 4000 9000 14000 19000 24000 S11 (Pa) F (N) n1/01 n1/10 n4/01 n4/05 n4/10 n1/05 45 7CONCLUSION DU STAGE Pendant les six mois de stage de fin d’études j’ai eu une première approche du monde de la recherche. J’ai développé mon travail sur l’étude les assemblages hybrides dans l’aéronautique et spécialement sur l’influence des défauts dans des assemblages. J’ai eu l’opportunité de valider un modèle développé par une thèse et en plus de proposer un petit modèle sur la prise de contact et l’influence du jeu sur les assemblages. Les résultats obtenus sont positifs et laissent une porte ouverte et un chemin à suivre pour une étude future. Pendant cette période, j’ai appris l’importance d’avoir une méthode de travail et aussi de la rigueur nécessaire afin d’obtenir et d’analyser les résultats. En plus, personnellement je n’écarte pas la possibilité de dédier une période de ma vie à la recherche. 46 ANNEXE 1 Le modèle analytique utilisé pour étudier l’influence des défauts sur les assemblages multimatériaux a été développé par Julie Lecomte, doctorante de l’I2M. Son modèle sert à comprendre et à expliquer les phénomènes physiques impliqués dans les assemblages soumis à une charge à traction. La thèse essaie de répondre aux besoins de l’entreprise ASTF qui veut augmenter ses connaissances sur le comportement des matériaux composites dans les assemblages. Pendant mon stage j’ai travaillé avec Julie pour l’aider à valider le modèle et à obtenir des conclusions. Une grande partie de mon travail est basée sur son étude. On peut trouver le détail du modèle analytique et les équations dans la référence [8]. Le contenu de cette annexe est entièrement repris de cet article. La modélisation s’appuie sur le modèle 1-D proposé par Paroissien et al. [9-10]. Elle divise le substrat en n + 1 portions pour n boulon et considère chaque portion comme un ressort. FIG. 1 - Schéma de principe du modèle analytique Puisque l’assemblage comporte un plan de symétrie, on ne modélise que la moitié de l’ensemble. Les efforts entrant en jeu dans l’assemblage sont représentés FIG. . La charge i F transmise par le boulon i est caractérisée par le taux de transfert de charge i  défini comme suit :           12      i i i i i i i i F F k p u d u d (1) Où i k est la raideur du boulon i,     1 ii ud et     2 ii ud sont les déplacements des portions i des deux substrats, et i p  le défaut de positionnement au niveau du boulon i. Dans chaque portion i du substrat 1, l’équilibre mécanique donne :     1 0 i dN x dx  , avec   1, 1in , (2) Où     1 i Nx est la moitié de l’effort de traction dans le substrat 1 dans la portion i. L’équilibre de l’assemblage donne l’équation suivante :         122 ii F N x N x , avec   1, 1in , (3) Bolt2 Bolt1 Substrate1 Substrate2 F/2 F/2 x 1 d 2 d L p  47 Où     2 i Nx est l’effort de traction dans le substrat 2, ce qui donne :         21 2 ii F N x N x . (4) On complète les équations par l’équilibre des substrats en i xd donné par :     11 11i i i N N F   , avec   2, 1in (5) Puisque l’on considère que les portions des substrats se comportent comme des ressorts, on écrit :     11 11 ii du E S N dx  , avec 11 S wh (6) Où 1 E est le module d’Young du substrat 1. En intégrant l’équation (6), on obtient la fonction de déplacement de la portion i du substrat 1 en fonction de x :           1 11 0 11 i i i i N u x x d u ES    (7) Où   1 0 i u est une constante. De la même manière, on trouve :           1 22 0 22 2 i i i i FN u x x d u ES     , avec 22 S wh et   1, 1in , (8) Où 2 E est le module d’Young du substrat 2 et   2 0 i u est une constante. La continuité des déplacements donne :         11 1i i i i u d u d  , avec   1,in (9) En reportant (9) dans (7), on obtient :         1 11 00 1 11 11 0 i i i i i N u u d d ES       , avec   1,in (10) La combinaison des équations (4) et (1) donne :           1 1 1 2 00 1 1 1 1 1i i i i i i N N k p u u           , avec   2, 1in (11) De la même façon que pour obtenir l’équation (10), les équations (8) et (9) donnent :         1 22 00 1 11 22 0 2 i i i i i FN u u d d ES        , avec   2, 1in (12) Les conditions aux limites sont les suivantes :   2 0 10u (13)   1 10N (14) et   1 12 nF N (15) Pour un assemblage à deux boulons, on obtient un système de 6 équations à 6 inconnues, les inconnues étant les efforts dans les substrats et leurs déplacements dans la longueur de recouvrement pour un effort donné. 48 ANNEXE 2 Le modèle analytique développé pour l’étude de l’influence du jeu sur le contact dans les assemblages et pour la prédiction du comportement physique de l’assemblage, s’appuie sur un modèle de répartition de pression non uniforme autour du contact. A partir de ce modèle et en développant les équations sur Matlab, on a créé un modèle qui permet de caractériser les contacts avec jeu. En plus il permet d’obtenir la raideur du contact et du boulon. Finalement il est validé par un modèle éléments finis 3-D sur Abaqus. On peut caractériser le contact trou – boulon comme un contact superficiel avec une répartition de pression non uniforme puisque les surfaces en contact sont cylindriques. Ce modèle de pression s’appuie sur le principe que la pression autour du contact est liée à l’écrasement provoqué par la déformation des surfaces de contact. De plus il considère que les pièces en contact sont indéformables loin des surfaces de contact Cela donne l’équation (1). (1) Où P est la pression du contact, K est la raideur du contact, δ est l’écrasement provoqué par la déformation des surfaces et a est un coefficient expérimental qui prend la valeur a = 1 pour les matériaux métalliques et a > 1 pour les matériaux plastiques. L’équation (1) est la base à partir de laquelle on développe le modèle analytique. Détermination du champ pression pour le cas « contact cylindrique avec jeu » : On veut déterminer la relation existante entre le paramètre e et l’angle de contact θ. Le jeu radial introduit est appelé j. On définit e à partir de l’équation [2]. [2] La fermeture du triangle C1C2M donne : [3] e [4] 49 [5] La combinaison de [4] et [5] donne : e [6] Avec: [7] et [8] En projetant sur et ; e [9] -e [10] Au vu de l’équation [10] ou du schéma, l’angle reste petit car est largement supérieur à , donc on peut prendre les approximations suivantes : Les équations [9] et [10] deviennent : e [9’] -e [10’] Avec la condition δ = 0 pour θ = θ0 on obtient : Pour obtenir le champ de pression, il faut relier l’écrasement aux actions mécaniques globales appliquées sur le contact.