Repositorio Institucional de Documentos

2014 66 Ana María Rabal Almazor Gonio-espectrofotómetro para medidas de BRDF de patrones de reflectancia y objetos gonioaparentes Departamento Director/es Física Aplicada Campos Acosta, Joaquín Pons Aglio, Alicia Director/es Tesis Doctoral Autor Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Departamento Director/es Ana María Rabal Almazor GONIO-ESPECTROFOTÓMETRO PARA MEDIDAS DE BRDF DE PATRONES DE REFLECTANCIA Y OBJETOS GONIO-APARENTES Director/es Física Aplicada Campos Acosta, Joaquín Pons Aglio, Alicia Tesis Doctoral Autor 2014 Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Departamento Director/es Director/es Tesis Doctoral Autor Repositorio de la Universidad de Zaragoza – Zaguan http://zaguan.unizar.es UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Facultad de Ciencias Gonio-espectrofot´ometro para medidas de BRDF de patrones de reflectancia y objetos gonio-aparentes Ana Mar´ıa Rabal Almazor Zaragoza, Febrero de 2014 UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Gonio-espectrofot´ometro para medidas de BRDF de patrones de reflectancia y objetos gonio-aparentes Memoria presentada a la Universidad de Zaragoza por Ana Mar´ıa Rabal Almazor para optar al grado de Doctor por la Universidad de Zaragoza, dirigida por los Doctores: Joaqu´ın Campos Acosta Alicia Pons Aglio Zaragoza, Febrero de 2014 A mis padres, a Inma y Angel, Luis y Sonia, Mari, Tono, Sara y a la peque˜nita de la familia, Jara ´ Indice de figuras 1.1. Denominaci´on de las geometr´ıas seg´un la extensi´on del ´angulo s´olidodelhazincidente.......................... 16 1.2. Denominaci´on de las geometr´ıas seg´un la extensi´on del ´angulo s´olidodelhazreflejado.......................... 17 1.3. Descomposici´on habitual de la BRDF . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Fotograf´ıa del gonioespectrofot´ometro GEFE . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Sistema de irradiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Transmitancia de los filtros de densidad neutra en uso . . . . . . . 25 2.4. Sistema de posicionamiento: brazo robot . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5. Tama˜no de las ventosas en uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6. Eyector de vac´ıo en l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7. Sistema de sujeci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8. Definici´on de las variables geom´etricas del sistema y representaci´on visual del SCS y del GCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9. Sistema de coordenadas de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.10. Definici´on del origen de los sistemas de referencia . . . . . . . . . 31 2.11. Alineamiento de la superficie del brazo robot . . . . . . . . . . . . 32 2.12. Alineamiento del eje fijo de irradiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.13.Muestraalineada ........................... 34 2.14. Distribuci´on angular de la radiancia del haz incidente . . . . . . . 37 2.15. Uniformidad de la zona irradiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.16.Polarizaci´on.............................. 39 2.17. Se˜nal de radiaci´on par´asita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.18.Oclusi´on................................ 41 2.19. Configuraci´on para la evaluaci´on de la linealidad . . . . . . . . . . 42 2.20. Factor de linealidad versus Lt.................... 43 2.21. Incertidumbre relativa de la repetitividad versus radiancia . . . . 45 2.22. Caracterizaci´on del ´angulo s´olido de observaci´on . . . . . . . . . . 47 v 2.23. Definici´on de la configuraci´on geom´etrica para calcular la irradianciaincidente.............................. 48 2.24. Dependencia de ω? icon la longitud de onda . . . . . . . . . . . . . 49 4.1. Definici´on del plano de incidencia y de un semiplano de observaci´on fuera del plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2. Estructura de las componentes de la BRDF en el Espectrimagen Bidireccional (BSI).......................... 61 4.3. Patr´on colorim´etrico cer´amico rosa oscuro con acabado en brillo . 62 4.4. BSI de la medici´on completa de la BRDF para el patr´on colorim´etrico cer´amico rosa oscuro con acabado en brillo . . . . . . . 62 4.5. Primer desglose de la BSI. Ejemplo manteniendo φi= -120◦para todas las combinaciones posibles de ∆φ,θi,θs........... 63 4.6. Segundo desglose de la BSI. Ejemplo manteniendo φi= -120◦y ∆φ= 0◦para todas las combinaciones posibles de θi,θs...... 64 4.7. Tercer desglose de la BSI. Ejemplo manteniendo φi= -120◦, ∆φ= 0◦yθi= 0◦para todas las combinaciones restantes de θs..... 64 4.8. Fotograf´ıa del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado mate 65 4.9. Dependencia espectral de la BRDF, fr, del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado mate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.10. Reflectancia 0◦:d del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabadomate ................................ 66 4.11. Dependencia angular de los datos de la BRDF, fr, del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado mate en el plano de incidencia 68 4.12. Dependencia angular de los datos de la BRDF, fr, del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado mate en dos semiplanos sim´etricos fuera del plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.13. Fotograf´ıa del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado en brillo.................................. 72 4.14. Autoespectros de la medida de BRDF del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado en brillo . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.15. Contribuciones relativas de las cuatro primeras componentes a la varianza espectral en el plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . 74 4.16. Contribuciones relativas de las cuatro primeras componentes a la varianza espectral en un plano fuera del plano de incidencia . . . 75 5.1. Fotograf´ıas de los cuatro patrones de reflectancia difusa m´as habituales ................................ 79 vi 5.2. Esquema de medida de la BRDF para los patrones de reflectancia difusa ................................. 80 5.3. Variaci´on relativa del promedio espectral de la BRDF respecto a la geometr´ıa de referencia para el Spectralon en funci´on del ´angulo polardeobservaci´on ......................... 83 5.4. Variaci´on relativa del promedio espectral de la BRDF respecto a la geometr´ıa de referencia para el blanco ruso mate en funci´on del ´angulo polar de observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.5. Variaci´on relativa del promedio espectral de la BRDF respecto a la geometr´ıa de referencia para el blanco cer´amico mate en funci´on del ´angulo polar de observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.6. Variaci´on relativa del promedio espectral de la BRDF respecto a la geometr´ıa de referencia para la pastilla de sulfato de bario en funci´on del ´angulo polar de observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.7. Autoespectros significativos para el Spectralon . . . . . . . . . . . 88 5.8. Autoespectros significativos para el blanco ruso mate . . . . . . . 89 5.9. Autoespectros significativos para el blanco cer´amico mate . . . . . 89 5.10. Autoespectros significativos para la pastilla de sulfato de bario . . 90 5.11. Distribuci´on espectral de los coeficientes de ponderaci´on de los autoespectros del Spectralon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.12. Distribuci´on espectral de los coeficientes de ponderaci´on de los autoespectros del blanco ruso mate . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.13. Distribuci´on espectral de los coeficientes de ponderaci´on de los autoespectros del blanco cer´amico mate . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.14. Distribuci´on espectral de los coeficientes de ponderaci´on de los autoespectros de la pastilla de sulfato de bario . . . . . . . . . . . 94 5.15. Distribuci´on espectral del coeficiente de reciprocidad Υ para las configuraciones geom´etricas 0◦:45◦/ 45◦:0◦, correspondiente al Spectralon ................................. 99 5.16. Distribuci´on espectral del coeficiente de reciprocidad Υ para las configuraciones geom´etricas 0◦:45◦/ 45◦:0◦, correspondiente al blancorusomate.............................. 99 5.17. Distribuci´on espectral del coeficiente de reciprocidad Υ para las configuraciones geom´etricas 0◦:45◦/ 45◦:0◦, correspondiente al blancocer´amicomate ........................... 100 vii 5.18. Distribuci´on espectral del coeficiente de reciprocidad Υ para las configuraciones geom´etricas 0◦:45◦/ 45◦:0◦, correspondiente a la pastilla de sulfato de bario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.19. Variaci´on del coeficiente de reciprocidad con el ´angulo polar de observaci´on para el Spectralon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.20. Variaci´on del coeficiente de reciprocidad con el ´angulo polar de observaci´on para el blanco ruso mate . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.21. Variaci´on del coeficiente de reciprocidad con el ´angulo polar de observaci´on para el blanco cer´amico mate . . . . . . . . . . . . . . 104 5.22. Variaci´on del coeficiente de reciprocidad con el ´angulo polar de observaci´on para la pastilla de sulfato de bario . . . . . . . . . . . 105 5.23. Esquema de la configuraci´on geom´etrica de medida en retrorreflexi´on con incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.24. Variaci´on del promedio espectral relativo de la BRDF en torno a la direcci´on de retrorreflexi´on en incidencia normal para el Spectralon 110 5.25. Variaci´on del promedio espectral relativo de la BRDF en torno a la direcci´on de retrorreflexi´on en incidencia normal para el blanco rusomate ............................... 110 5.26. Variaci´on del promedio espectral relativo de la BRDF en torno a la direcci´on de retrorreflexi´on en incidencia normal para el blanco cer´amicomate............................. 111 5.27. Variaci´on del promedio espectral relativo de la BRDF en torno a la direcci´on de retrorreflexi´on en incidencia normal para la pastilla desulfatodebario .......................... 111 5.28. Variaci´on de BRDF tras la deconvoluci´on de los datos experimentales del Spectralon seg´un el modelo CBS (l´ınea discontinua) y seg´un la funci´on exponencial (l´ınea continua) . . . . . . . . . . . . 113 5.29. Variaci´on de BRDF tras la deconvoluci´on de los datos experimentales del blanco ruso mate seg´un el modelo CBS (l´ınea discontinua) y seg´un la funci´on exponencial (l´ınea continua) . . . . . . . . . . . 113 5.30. Variaci´on de BRDF tras la deconvoluci´on de los datos experimentales del blanco cer´amico mate seg´un el modelo CBS (l´ınea discontinua) y seg´un la funci´on exponencial (l´ınea continua) . . . . . . . 114 5.31. Variaci´on de BRDF tras la deconvoluci´on de los datos experimentales de la pastilla de sulfato de bario seg´un el modelo CBS (l´ınea discontinua) y seg´un la funci´on exponencial (l´ınea continua) . . . 114 viii 5.32. Factor de reflectancia 0◦:45◦en funci´on de la longitud de onda de la muestra de Spectralon estudiada. Las barras de error indican la incertidumbre relativa asociada a la medida . . . . . . . . . . . . 119 5.33. Factor de reflectancia 0◦:45◦en funci´on de la longitud de onda de la muestra de blanco ruso mate estudiada. Las barras de error indican la incertidumbre relativa asociada a la medida . . . . . . . 121 5.34. Factor de reflectancia 0◦:45◦en funci´on de la longitud de onda de la muestra de blanco cer´amico mate estudiada. Las barras de error indican la incertidumbre relativa asociada a la medida . . . . . . . 123 5.35. Factor de reflectancia 0◦:45◦en funci´on de la longitud de onda de la muestra de sulfato de bario estudiada. Las barras de error indican la incertidumbre relativa asociada a la medida . . . . . . . . . . . 125 5.36. Patr´on de referencia calibrado en el NIST . . . . . . . . . . . . . 127 5.37. Factor de reflectancia 45◦:0◦en funci´on de la longitud de onda del patr´on................................. 128 5.38. ´ Indice de compatibilidad entre la calibraci´on del laboratorio y la del NIST del patr´on de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.39. Espectro de la l´ampara de xen´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.40. Reflectancia 0◦:di junto con su incertidumbre de medida para la muestra de Spectralon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.41. Reflectancia 0◦:di junto con su incertidumbre de medida para la muestra de blanco cer´amico mate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.1. Aspecto de la muestra Colorstream®T20-02 WNT Arctic Fire en dos orientaciones diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2. Aspecto de la muestra Colorstream®T20-04 WNT Lapis Sunlight en dos orientaciones diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3. Representaci´on del promedio espectral de fr(θi, φi;θs, φs) de la muestra Arctic Fire versus θsen el plano de incidencia (0◦:180◦) para distintos ´angulos polares de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.4. Representaci´on del promedio espectral de fr(θi, φi;θs, φs) de la muestra Arctic Fire versus θsen dos semiplanos fuera del plano de incidencia (30◦:150◦) para distintos ´angulos polares de incidencia . . 147 6.5. Representaci´on del promedio espectral de fr(θi, φi;θs, φs) de la muestra Lapis Sunlight versus θsen el plano de incidencia (0◦:180◦) para distintos ´angulos polares de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . 148 ix 6.6. Representaci´on del promedio espectral de fr(θi, φi;θs, φs) de la muestra Lapis Sunlight versus θsen dos semiplanos fuera del plano de incidencia (30◦:150◦) para distintos ´angulos polares de incidencia . 149 6.7. Representaci´on de las cuatro componentes Hj(λ) que contienen el 99,4 % de la varianza relativa total del Arctic Fire . . . . . . . . 150 6.8. Representaci´on de las cuatro componentes Hj(λ) que contienen el 99,9 % de la varianza relativa total del Lapis Sunlight . . . . . . . 151 6.9. Pesos c1,c2,c3yc4correspondientes a H1,H2,H3yH4, respectivamente, en el plano de incidencia, para la muestra Arctic Fire . . 152 6.10. Pesos c1,c2,c3yc4correspondientes a H1,H2,H3yH4, respectivamente, fuera del plano de incidencia, para la muestra Arctic Fire .................................. 153 6.11. Pesos c1,c2,c3yc4correspondientes a H1,H2,H3yH4, respectivamente, en el plano de incidencia, para la muestra Lapis Sunlight 154 6.12. Pesos c1,c2,c3yc4correspondientes a H1,H2,H3yH4, respectivamente, fuera del plano de incidencia, para la muestra Lapis Sunlight ................................ 155 6.13. Pesos del factor de radiancia HD, CHD,j, de la muestra Arctic Fire 158 6.14. Pesos del factor de radiancia HD, CHD,j, de la muestra Lapis Sunlight158 x ´ Indice de tablas 2.1. Caracter´ısticas destacables de la l´ampara de xen´on . . . . . . . . 23 2.2. Especificaciones del espectrorradi´ometro CS-2000 A . . . . . . . . 28 2.3. Calibraci´on espectral del espectrorradi´ometro . . . . . . . . . . . 46 3.1. Incertidumbres asociadas a la medida de la BRDF . . . . . . . . . 58 5.1. Definici´on de los par´ametros para caracterizar la variaci´on relativa de la BRDF espectral de los materiales respecto al PRD . . . . . 86 5.2. Valores para cada material de los par´ametros que caracterizan la variaci´on relativa de la BRDF espectral respecto al PRD . . . . . 87 5.3. Bondad del ajuste para el modelo CBS . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4. Bondad del ajuste para la funci´on exponencial . . . . . . . . . . . 116 5.5. Par´ametros de ajuste e incertidumbres t´ıpicas para el modelo CBS 117 5.6. Par´ametros de ajuste y sus incertidumbres t´ıpicas para la funci´on exponencial .............................. 117 5.7. FWHM y ∆ρpara la funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . 118 5.8. Valores espectrales del factor de reflectancia R(0◦,0◦:45◦,180◦) del Spectralon............................... 120 5.9. Valores espectrales del factor de reflectancia R(0◦,0◦:45◦,180◦) del blancorusomate ........................... 122 5.10. Valores espectrales del factor de reflectancia R(0◦,0◦:45◦,180◦) del blanco cer´amico mate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.11. Valores espectrales del factor de reflectancia R(0◦,0◦:45◦,180◦) de la pastilla de sulfato de bario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.12. Valores del factor de reflectancia 45◦:0◦del patr´on de referencia obtenidos en el laboratorio y certificados por el NIST, as´ı como el ´ındice de compatibilidad de los mismos . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.13. Reflectancia 0◦:di junto con su incertidumbre de la muestra de Spectralon............................... 136 xi 5.14. Reflectancia 0◦:di junto con su incertidumbre de la muestra blanca cer´amicamate............................. 138 xii Lista de s´ımbolos S´ımbolo Magnitud Unidades dLElemento diferencial de radiancia Wm−2sr−1 dEElemento diferencial de irradiancia Wm−2 θi´ Angulo polar incidente ◦ φi´ Angulo acimutal incidente ◦ θs´ Angulo polar observaci´on ◦ φs´ Angulo acimutal observaci´on ◦ λLongitud de onda nm LRadiancia Wm−2sr−1 EIrradiancia Wm−2 ρReflectancia – ωi´ Angulo s´olido incidente sr ωs´ Angulo s´olido observado sr ΩiProyecci´on del ´angulo s´olido incidente sr ΩsProyecci´on del ´angulo s´olido observado sr RFactor de reflectancia – fr,sp Componente especular de la BRDF – fr,dd Componente direccional difusa de la BRDF – fr,ud Componente uniforme difusa de la BRDF – φADesplazamiento del espectrorradi´ometro ◦ αXRotaci´on respeto al eje X (GCS) ◦ αYRotaci´on respeto al eje Y (GCS) ◦ αZRotaci´on respeto al eje Z (GCS) ◦ L0Radiancia en el plano de la muestra Wm−2sr−1 EiIrradiancia incidente Wm−2 1 S´ımbolo Magnitud Unidades csComponente perpendicular del ´ındice de polarizaci´on – cpComponente paralela del ´ındice de polarizaci´on – τBS Radiancia relativa debida a la oclusi´on del divisor de – haz Lin Factor de linealidad – LrRadiancia reflejada Wm−2sr−1 LtRadiancia transmitida Wm−2sr−1 Lrt Radiancia total Wm−2sr−1 LnRadiancia arbitraria Wm−2sr−1 Lref Radiancia de referencia Wm−2sr−1 nRelaci´on entre la respuesta del espectrorradi´ometro – y un valor de referencia LMRadiancia medida Wm−2sr−1 Lmax Valor de radiancia m´aximo Wm−2sr−1 Lmin Valor de radiancia m´ınimo Wm−2sr−1 mCoeficiente para determinar el valor de Lref – LeRadiancia esperada Wm−2sr−1 σrIncertidumbre relativa de la repetitividad – MExitancia Wm−2 lFunci´on de distribuci´on de radiancia del haz sr−1 incidente ω? iFactor geom´etrico de distribuci´on de energ´ıa sr de los rayos en el haz incidente frBRDF sr−1 dLrElemento diferencial de radiancia reflejada Wm−2sr−1 dEiElemento diferencial de irradiancia incidente Wm−2 g0Factor de correcci´on geom´etrico para la medida de – la radiancia incidente gFactor de correcci´on geom´etrico para la medida de – la radiancia en cualquier geometr´ıa hFactor de correcci´on debido a la p´erdida de – homogeneidad de la irradiaci´on sobre la muestra τ0Transmitancia del filtro para L0– τr,j Transmitancia del filtro jpara Lr– ur(fr) Incertidumbre relativa de la BRDF – ur(LM) Incertidumbre relativa asociada a la componente – de la medida del espectrorradi´ometro 2 Introducci´on En los ´ultimos a˜nos, diferentes organizaciones internacionales de estandarizaci´on, como la Comisi´on Internacional de Iluminaci´on (CIE) han estado trabajando sobre la problem´atica de la medida de la apariencia de los objetos, cuesti´on de extremada importancia en nuestra sociedad por las implicaciones de todo tipo que se derivan de ella. El concepto de apariencia est´a relacionado con los atributos perceptivos de color, brillo, translucidez y textura de los objetos, por lo que la medida de la apariencia tiene que estar relacionada con la de esas otras magnitudes y sus posibles interrelaciones. En el caso del color de objetos, su medida se basa en la de la reflectancia o la transmitancia y en la correspondiente escala (observadores patrones), siendo una ciencia que a priori est´a bien establecida y para la que existe instrumentaci´on disponible comercialmente. Sin embargo, existen todav´ıa problemas de diversa ´ındole pendientes de resoluci´on. Por una parte, los materiales modernos de estructura superficial compleja (gonioaparentes) producen percepciones de color muy diferentes en distintos ´angulos de incidencia y de observaci´on. Ello quiere decir que ya no basta con la especificaci´on del color para una geometr´ıa determinada, como se hace hasta ahora, sino que hay que medir su reflectancia o transmitancia en varios ´angulos de incidencia y observaci´on e intentar predecir la dependencia de las coordenadas de color en funci´on de la geometr´ıa, lo que se podr´ıa denominar como goniocolorimetr´ıa y que est´a desarroll´andose en la actualidad con los esfuerzos de diversos grupos de investigaci´on en el mundo, entre los que est´a el grupo en el que se ha desarrollado esta tesis. Por otra parte, en las medidas de reflectancia total que se realizan hasta ahora, si se mide un mismo patr´on blanco de reflectancia en distintos instrumentos con esfera integradora, a´un aplicando los factores de correcci´on correspondientes, se obtienen valores de reflectancia ligeramente diferentes que no son achacables a errores experimentales de medida, sino que podr´ıan deberse a la falta de “lam9 bertianidad”del patr´on. La soluci´on a los problemas anteriores se encuentra en la medida de la Funci´on de Distribuci´on Bidireccional de Difusi´on (BSDF, Bidireccional Scattering Distribution Function) usando un gonioespectrofot´ometro. La funci´on de distribuci´on de “scattering”bidireccional se define como el cociente entre la radiancia de un objeto en cada direcci´on del espacio y la irradiancia que recibe. Indica por tanto, c´omo un objeto distribuye espacialmente la luz que refleja o transmite, por lo que es la caracter´ıstica b´asica a determinar para establecer la apariencia f´ısica de los objetos: color, brillo, textura y translucidez. Este tipo de medida presenta a´un problemas importantes desde el punto de vista metrol´ogico como es la realizaci´on de patrones de medida para su calibraci´on o el establecimiento de una ecuaci´on de medida que considere todas las fuentes de incertidumbre y que permita, en consecuencia, trazar este tipo de medida al sistema internacional de unidades. El conocimiento de la BSDF de los materiales es tambi´en muy importante en otras ´areas cient´ıficas y tecnol´ogicas, puesto que la distribuci´on espacial de la luz tras interaccionar con un objeto bien por reflexi´on, bien por transmisi´on, se puede relacionar con la estructura del mismo. Algunos ejemplos de ´areas tecnol´ogicas en las que estas medidas son importantes son: visi´on artificial, desarrollo de nuevos materiales (gonioaparentes, materiales fot´onicos, pigmentos de interferencia), reproducci´on de objetos en pantallas, etc. En consecuencia la medida de la BSDF es una herramienta de an´alisis muy ´util para investigar estructuras superficiales (rugosidad, por ejemplo) o de l´amina delgada sobre una superficie si se mide la distribuci´on reflejada, o para ver estructuras en el volumen de objetos que no absorban totalmente la radiaci´on, si se mide la distribuci´on transmitida. Asimismo, medidas de BSDF con baja incertidumbre sirven para establecer modelos de interacci´on entre la radiaci´on y los objetos y/o refinar los modelos existentes. En los ´ultimos a˜nos, entidades de calado internacional como el National Institute for Standards and Technology (NIST) de los Estados Unidos, el National Physical Laboratory (NPL) del Reino Unido, el Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) de Alemania o el Laboratoire National de Essais (LNE) de Francia han construido nuevos goni´ometros para la medida de la BSDF, lo que indica la importancia que se otorga a este tema de investigaci´on por parte de estas entidades de reconocido prestigio en este campo. Adem´as esto pone de manifiesto que el tipo de medidas goniom´etricas que hay que realizar no se puede llevar a cabo completamente con instrumentos comerciales existentes, pues es necesario medir la BSDF en todo el espacio, al tiempo que considerar variaciones locales sobre la superficie del objeto de esta funci´on y tener en cuenta los posibles efectos 10 de fluorescencia de dicho objeto. Es necesario, en consecuencia, poder iluminar el objeto de forma espectral, en cualquier direcci´on de incidencia, y analizar la radiaci´on reflejada y/o transmitida en todas las direcciones del espacio, teniendo la capacidad de realizar un an´alisis espectral de la radiaci´on reflejada y siendo capaz de distinguir la zona superficial de la que proviene. El Laboratorio de Fotometr´ıa, Radiometr´ıa y Fibras ´ Opticas del Instituto de ´ Optica “Daza de Vald´es”del CSIC es el Laboratorio de Referencia a nivel regional, nacional e internacional para las magnitudes relacionadas con la medida de radiaci´on ´optica, y Laboratorio Asociado al Centro Espa˜nol de Metrolog´ıa (CEM). Es adem´as miembro de pleno derecho del Comit´e Consultivo para la Fotometr´ıa y la Radiometr´ıa del Comit´e Internacional de Pesas y Medidas, CIPM, y firmante del Acuerdo de reconocimiento Mutuo de Laboratorios Nacionales, ratificado por los pa´ıses miembros de la Convenci´on del Metro. En consecuencia, la misi´on fundamental de este laboratorio es la de desarrollar, mantener y difundir los patrones para medida de radiaci´on ´optica. Por ello en esta tesis nos hemos fijado como objetivo el dise˜no y construcci´on de un gonioespectrofot´ometro para la medida de la BSDF (BRDF en el caso de materiales opacos) de materiales. El sistema desarrollado, que hemos denominado GEFE (acr´onimo para “GonioEspectroFot´ometro Espa˜nol”), permite realizar medidas absolutas, de baja incertidumbre, de la funci´on de distribuci´on bidireccional de reflectancia (BRDF) tanto dentro como fuera del plano de incidencia. El dise˜no es muy vers´atil tanto en el sistema de iluminaci´on como en el de detecci´on pues presenta caracter´ısticas que, hasta donde nuestro conocimiento abarca, son ´unicas hasta la fecha. El sistema de iluminaci´on es fijo y, en principio, no presenta ninguna restricci´on respecto al tipo de fuente a utilizar: banda ancha o monocrom´atica, coherente o no coherente; no existiendo tampoco restricciones respecto al rango espectral. Este hecho unido a la capacidad de an´alisis espectral incorporado tambi´en en la detecci´on, permite estudiar los efectos que las diferentes fuentes de radiaci´on pueden tener sobre todo tipo de superficies, en particular las estructuradas. Como se decidi´o que el sistema de iluminaci´on fuera fijo, se precisa que la muestra pueda orientarse en las distintas direcciones del espacio con respecto a la direcci´on de iluminaci´on. De ah´ı la necesidad de utilizaci´on de un brazo robotizado de seis ejes, que permite realizar las medidas en todos los ´angulos de incidencia, garantizando en todo momento la constancia espacial de la proyecci´on del ´area de medida. 11 Una de las claves para el dise˜no de GEFE ha sido poder caracterizar las regiones pr´oximas a la incidencia normal y a ´angulos rasantes, por lo que la minimizaci´on de ´angulos muertos ha sido un objetivo prioritario en nuestro dise˜no. Despu´es de valorar diferentes posibilidades, se opt´o por incorporar un sistema perisc´opico, cuyo elemento inferior es semirreflejante. Esta soluci´on permite realizar medidas de la radiaci´on reflejada en incidencia normal y hacer que la oclusi´on de la muestra no sea total en ninguna direcci´on de observaci´on. Finalizado el dise˜no y construcci´on, se ha procedido a la caracterizaci´on radiom´etrica de todo el instrumento, con el objetivo de determinar la ecuaci´on y la incertidumbre de medida del instrumento. Al ser un instrumento ´unico por alguna de sus caracter´ısticas, ha sido necesario desarrollar rutinas y procedimientos de caracterizaci´on espec´ıficos para determinar sus propiedades radiom´etricas. Los datos espectrales de la funci´on de distribuci´on bidireccional de reflectancia (BRDF) llevan toda la informaci´on necesaria para describir, por ejemplo, el color de una superficie. Sin embargo, su dependencia simult´anea con la longitud de onda y las direcciones de iluminaci´on y observaci´on la convierten en una funci´on de la que es dif´ıcil obtener conclusiones inmediatas. Por ello hemos propuesto formas de representaci´on que permitan obtener informaci´on inmediata sobre el color u otros atributos. Adem´as se ha aplicado a la BRDF la t´ecnica de An´alisis de Componentes Principales (PCA) para expresar esta funci´on de una manera m´as intuitiva y manejable. Se ha demostrado que, separando la parte espectral de la parte geom´etrica, se puede encontrar un n´umero peque˜no de espectros cuya combinaci´on lineal reproduce la BRDF sin p´erdida de informaci´on. Los resultados obtenidos han demostrado tener una enorme riqueza informativa, esencial para obtener modelos f´ısicos, y un alto potencial inter´es industrial. Por ´ultimo, el instrumento se ha usado para la realizaci´on de patrones de factor de reflectancia 0◦:45◦y reflectancia hemisf´erica y en la caracterizaci´on de materiales gonioaparentes. Estos materiales tienen la caracter´ıstica de cambiar considerablemente de tono de color en funci´on de las condiciones geom´etricas de irradiaci´on/observaci´on, por lo que tienen un gran inter´es en la industria, sobre todo en automoci´on, ofreciendo asimismo muchas posibilidades para su aplicaci´on en seguridad. 12 Cap´ıtulo 1 Contexto y conceptos fundamentales Contenido 1.1. Definici´on de BSDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Modelote´orico............................ 17 1.3. Instrumentos de medici´on. Estado del arte . . . . . . . . . . . 19 En el mundo moderno, la armonizaci´on de la apariencia de objetos de naturaleza diferente que se encuentran juntos en la misma escena es cada vez m´as importante, lo mismo que lo es la reproducci´on fidedigna de los mismos en distintos medios. Muestra de ello son las diversas iniciativas que est´an surgiendo alrededor de estudios de apariencia (congresos, redes tem´aticas, publicaciones cient´ıficas, etc). La apariencia visual de un objeto depende de la distribuci´on espectral del iluminante y, por supuesto, de las propiedades espectrales y de difusi´on del propio objeto. Las propiedades de difusi´on vienen determinadas por los ´ındices de refracci´on complejos de los materiales que componen el objeto, los cuales determinan el coeficiente de absorci´on del material y las curvas de transmisi´on y reflexi´on. Por lo que, es la disposici´on de estos materiales en el objeto la que define propiedades como la reflectancia, la transmitancia, la absortancia o la rugosidad del objeto. Estas caracter´ısticas, a su vez, est´an relacionadas con los atributos perceptibles del color, el brillo (reflexi´on), la translucidez (transmisi´on y difusi´on) y la textura (rugosidad), que son las principales categor´ıas en las que se pueden dividir las propiedades de difusi´on de los objetos [1]; aunque no est´a claro c´omo interrelacionan entre ellos para producir una percepci´on determinada de apariencia. 13 1.1. Definici´on de BSDF Para poder establecer esta relaci´on es necesario entender primero el modo en que un objeto difunde la radiaci´on ´optica que incide sobre ´el y la relaci´on entre esa distribuci´on y los atributos perceptibles, relaci´on que est´a bastante bien establecida en alguno de ellos, como el color, pero no tan bien para otros como la textura o la translucidez o incluso el propio brillo, cuya escala perceptiva est´a siendo replanteada. En resumen, el estudio de la apariencia parte del conocimiento de la funci´on bidireccional de la distribuci´on de difusi´on (bidirectional scattering distribution function, BSDF) que, hoy por hoy, ha de ser medida, puesto que los modelos simples existentes no dan cuenta de lo que se observa en muchos objetos. Es importante encontrar procedimientos para caracterizar la BSDF, no s´olo por su ´ıntima relaci´on con la apariencia visual de los objetos, sino tambi´en debido a que el conocimiento de esta funci´on hace posible mejorar la calidad de los sistemas ´opticos formados por superficies transmisoras (por ejemplo, lentes) o reflectantes (por ejemplo, espejos). A pesar de los esfuerzos realizados para modelar la BSDF de materiales [2] a partir de sus ´ındices de refracci´on y de la disposici´on microsc´opica de sus elementos, es necesario desarrollar instrumentos que realizan medidas directas, pues los modelos todav´ıa son incompletos. 1.1. Definici´on de BSDF La funci´on bidireccional de la distribuci´on de difusi´on (BSDF) expresa c´omo un objeto determinado difunde la energ´ıa radiante en cada direcci´on del espacio; esto es, la cantidad de radiancia por unidad de irradiancia que se refleja en cada direcci´on como una funci´on de la direcci´on de incidencia [3]. Se define como [4]: BSDF(θi, φi;θs, φs) = dL(θi, φi;θs, φs) dE(θi, φi)(1.1) donde dLes el elemento diferencial de radiancia y dEes el elemento diferencial de irradiancia. Sin embargo, las condiciones de no idealidad impiden medir estos elementos infinitesimales. Aunque por cuestiones pr´acticas, suponiendo estrechos ´angulos s´olidos y peque˜nas superficies, una forma sencilla de expresar la BSDF es: BSDF(θi, φi;θs, φs;λ) = L(θi, φi;θs, φs;λ) E(θi, φi;λ)(1.2) siendo (θi,φi) y (θs,φs) las coordenadas esf´ericas del haz incidente y esparcido, respectivamente, respecto al sistema de referencia del objeto, Lla radiancia del objeto en esa direcci´on y Ela irradiancia sobre el objeto. 14 La BSDF es suma de dos t´erminos: uno relativo a la transmitancia (funci´on bidireccional de la distribuci´on de transmitancia, BTDF, siglas en ingl´es) y otro que tiene en cuenta las propiedades de reflectancia (funci´on bidireccional de la distribuci´on de reflectancia, BRDF, siglas en ingl´es, [4]). En el caso de objetos opacos, la BSDF se reduce a BRDF, y as´ı nos referiremos de ahora en adelante. A partir de la BRDF es posible calcular la reflectancia y el factor de reflectancia para cualquier geometr´ıa; es decir, con cualquier ´angulo s´olido de observaci´on cuando el objeto es irradiado desde cualquier ´angulo s´olido. Mediante la ecuaci´on: ρ(ωi;ωs) = (1/Ωs)·ZωiZωs BRDF(θi, φi;θs, φs)·dΩs·dΩi(1.3) se obtendr´a la reflectancia en una situaci´on general, en la que se incide y refleja con ´angulos s´olidos no nulos, esta configuraci´on se denomina bic´onica. El tratamiento dado al factor de reflectancia es similar, la expresi´on general para ´angulos s´olidos no nulos de irradiaci´on y observaci´on (situaci´on bic´onica) es: R(ωi;ωs) = π Ωi ·Ωs·ZωiZωs BRDF(θi, φi;θs, φs)·dΩs·dΩi(1.4) Configuraciones particulares son (v´ease figs. 1.1 y 1.2): Incidencia y reflexi´on en una sola direcci´on, situaci´on bidireccional. Incidencia en una direcci´on y reflexi´on con un ´angulo s´olido no nulo, situaci´on direccional/c´onica. Incidencia en una direcci´on y reflexi´on en todas las direcciones del espacio, situaci´on direccional/hemisf´erica. Incidencia con un ´angulo s´olido no nulo y reflexi´on en una direcci´on, situaci´on c´onica/direccional. Incidencia con un ´angulo s´olido no nulo y reflexi´on en todas las direcciones del espacio, situaci´on c´onica/hemisf´erica. Incidencia desde todas las direcciones del espacio y reflexi´on en una ´unica direcci´on, situaci´on hemisf´erica/direccional. Incidencia desde todas las direcciones del espacio y reflexi´on con un ´angulo s´olido no nulo, situaci´on hemisf´erica/c´onica. Incidencia desde todas las direcciones del espacio y reflexi´on en todas las direcciones del espacio, situaci´on bihemisf´erica. 15 1.1. Definici´on de BSDF (a) Direccional (b) C´onica (c) Hemisf´erica Figura 1.1: Denominaci´on de las geometr´ıas seg´un la extensi´on del ´angulo s´olido del haz incidente. 16 (a) Direccional (b) C´onica (c) Hemisf´erica Figura 1.2: Denominaci´on de las geometr´ıas seg´un la extensi´on del ´angulo s´olido del haz reflejado. 1.2. Modelo te´orico Las propiedades de reflectancia de un objeto est´an totalmente caracterizadas en cada uno de los puntos de su superficie mediante la BRDF. De esta manera, determinar la BRDF de un objeto requiere un minucioso muestreo a diferentes configuraciones geom´etricas, entendido como el conjunto (θi,φi;θs,φs). Adem´as, este muestreo se hace m´as complejo si las propiedades reflectantes del objeto son tales que las simplificaciones de simetr´ıa e isotrop´ıa no son aplicables. En 17 1.2. Modelo te´orico este sentido, ser´ıa muy ´util contar con modelos anal´ıticos basados en la ´optica f´ısica [2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]. Desafortunadamente, hay que tener en cuenta la gran diversidad de tipos de superficies; por lo que, la b´usqueda de un modelo ´unico es una tarea dura. No obstante, s´ı es posible dar una serie de directrices y m´etodos que pueden ser aplicados a cada uno de los objetos. En este contexto, cuando se buscan modelos basados en geometr´ıas o en la difusi´on, una aproximaci´on es asumir que la BRDF est´a formada por tres componentes independientes (v´ease fig. 1.3): Componente especular (fr,sp): se puede calcular bas´andose en las ecuaciones de Fresnel. Esto se observa cuando la rugosidad de la superficie es peque˜na en comparaci´on con la longitud de onda. Todos los haces que vienen de una direcci´on determinada se reflejan en la misma direcci´on especular, cuando interact´uan con la superficie. Componente direccional difusa (fr,dd): representa el campo esparcido hacia la semiesfera pero con un cierto car´acter direccional. Esto se produce cuando los haces que vienen de una direcci´on determinada cambian la direcci´on a otra diferente pero de forma correlacionada, al interactuar con la superficie. Componente uniforme difusa (fr,ud): representa el campo esparcido uniformemente sobre toda la semiesfera. En este caso, los haces que vienen de una direcci´on determinada cambian su direcci´on a otra distinta que no est´a correlacionada, cuando interact´uan con la superficie. Figura 1.3: Descomposici´on habitual de la BRDF. 18 400 450 500 550 600 650 700 750 800 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 Longitud de onda (nm) Transmitancia (%) (a) Transmitancia del filtro de DN4 (Transmitancia nominal 0,01 %) 400 450 500 550 600 650 700 750 800 0.9 0.925 0.95 0.975 1 1.025 1.05 Longitud de onda (nm) Transmitancia (%) (b) Transmitancia del filtro de DN2 (Transmitancia nominal 1 %) 400 450 500 550 600 650 700 750 800 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Longitud de onda (nm) Transmitancia (%) (c) Transmitancia del filtro de DN1 (Transmitancia nominal 10 %) Figura 2.3: Transmitancia de los filtros de densidad neutra en uso. 25 2.1. Descripci´on del instrumento Anterior a la rueda de filtros, se posiciona una ventana de s´ılice fundida de grado UV sin recubrimiento (S) que dirige un 10 % del haz incidente hacia un fotodiodo (Mon), cuya funci´on es monitorizar la intensidad de la l´ampara. A continuaci´on del sistema K¨ohler se sit´ua un espejo a 45◦(M), seguido de un divisor de haz 50:50 de s´ılice fundida de grado UV (BS), tambi´en a 45◦. Esta configuraci´on perisc´opica permite realizar medidas de retrorreflexi´on, colocando simplemente el espectrorradi´ometro (SR) tras el divisor de haz. 2.1.2. Sistema de posicionamiento de la muestra Como la direcci´on de incidencia es fija, se necesita poder orientar la muestra en todas las direcciones del espacio. La soluci´on que se ha adoptado es el uso de un brazo robot de seis ejes (fig. 2.4). Este brazo robot permite orientar la muestra con rapidez y en la direcci´on deseada. Los seis ejes de los que dispone, proporcionan seis grados de libertad para situar el sistema de referencia a lo largo de las tres dimensiones del espacio (traslaci´on) y para realizar rotaciones alrededor de cada eje del sistema de referencia. En particular, permite elegir un sistema de referencia que se relaciona f´acilmente con el ´angulo de incidencia. Adem´as, tiene una resoluci´on angular menor que 0,0002◦por eje, seg´un las especificaciones del fabricante. Figura 2.4: Sistema de posicionamiento: brazo robot. Se puede derivar de las especificaciones del brazo robot que la incertidumbre angular de estas rotaciones es menor que 0,005◦. Como se mostrar´a en la secci´on 2.2, es necesario realizar una transformaci´on entre el sistema de referencia fijo y el ligado a la muestra. El objeto se sujeta en el brazo robot mediante una ventosa que puede ser de diferentes tama˜nos (fig. 2.5). Asistida por un eyector de vac´ıo en l´ınea (fig. 2.6), se adapta a diversas superficies (dependiendo del tama˜no y peso del objeto). La 26 uni´on de estos elementos se representa en la figura 2.7. Figura 2.5: Tama˜no de las ventosas en uso. Figura 2.6: Eyector de vac´ıo en l´ınea. Ventosa Adaptador Brazo robot Eyector de vacío Figura 2.7: Sistema de sujeci´on. 27 2.1. Descripci´on del instrumento 2.1.3. Sistema de detecci´on El sistema de detecci´on est´a constituido por un espectrorradi´ometro CS-2000 A (Konica-Minolta) basado en un detector CCD. Tiene una respuesta espectral en el rango visible (380 nm - 780 nm) y un campo de visi´on (FOV) variable (0,1◦, 0,2◦y 1◦). Estas y otras caracter´ısticas destacadas se muestran en la tabla 2.2. El espectrorradi´ometro est´a montado sobre una plataforma que se desplaza a lo largo de un anillo dentado de 1,03 m de di´ametro describiendo una circunferencia. El movimiento a lo largo del anillo se realiza por medio de un motor de pasos con un codificador de ´angulos, incorporado para el control de la posici´on. Tabla 2.2: Especificaciones del espectrorradi´ometro CS-2000 A. Propiedad Valor Campo de visi´on 0,1◦– 0,2◦– 1◦ Rango espectral 380 nm – 780 nm Resoluci´on 0,9 nm/pixel Ancho de banda 4 nm M´ınima distancia de medida 350 mm Precisi´on espectral ±0,3 nm M´ınimo tiempo de integraci´on 0,005 s Tiempo de medida 1 s – 243 s Temperatura de operaci´on 5 ◦C – 35 ◦C Rango de humedad relativa m´aximo 80 % (sin condensaci´on) Tama˜no (ancho ×alto ×largo) 158 mm ×262 mm ×392 mm Peso 6,2 kg Utilizando los l´aseres de alineamiento, se pudo establecer que la incertidumbre del posicionamiento es ±0,1◦y se asume que la variaci´on de la posici´on es despreciable. En una segunda fase, se introducir´a una c´amara con capacidad de an´alisis espacial en el sistema de detecci´on, de manera que se pueda determinar la BSSRDF (Bidirectional Scattering-Surface Reflectance Distribution Function) de la superficie del objeto en estudio. 28 2.2. Sistemas geom´etricos de referencia Como se menciona en la secci´on 2.1.2, el sistema de posicionamiento se basa en un brazo robot de seis ejes que permite ubicar y orientar la muestra respecto del haz incidente en las direcciones del espacio que se requiera en cada momento; de ah´ı, que sea necesario definir dos sistemas de referencia (fig. 2.8): uno fijo y global (GCS, Global Coordenate System) XYZ, y otro din´amico y local, ligado a la muestra (SCS, Sample Coordenate System) xyz (fig. 2.9). Ambos comparten el origen de coordenadas, localizado en el eje de rotaci´on del espectrorradi´ometro en torno a la muestra. Este punto tambi´en corresponde al centro de la superficie del objeto. Figura 2.8: Definici´on de las variables geom´etricas del sistema y representaci´on visual del SCS, xyz, y del GCS, XYZ. El eje Z del GCS (denominado Eje Principal, PA) se define por la direcci´on de incidencia del haz, mientras que el eje X coincide con el eje de rotaci´on del anillo dentado, el cual pasa por su centro. El plano YZ es paralelo al anillo dentado. El eje z del SCS es normal a la superficie de la muestra, y los ejes x e y est´an contenidos en un plano que es tangente a la superficie de la muestra. El eje x est´a definido respecto al origen de rotaci´on del brazo robot en torno a z, y se denota como Eje Acimutal Origen (OAA), pues es la referencia para las geometr´ıas de incidencia y observaci´on. Las direcciones de incidencia y observaci´on se definen usando las coordenadas esf´ericas del SCS, ´angulos polar, θ, y acimutal, φ, utilizando los sub´ındices i y s para indicar incidencia y observaci´on, respectivamente (fig. 2.9). 29 2.2. Sistemas geom´etricos de referencia Z X Y  i  s  i    s Irradiación Observación Figura 2.9: Sistema de coordenadas de la muestra. El sistema experimental consta de siete grados de libertad: seis dados por el brazo robot y un s´eptimo relativo al movimiento angular del espectrorradi´ometro sobre el anillo dentado, φA(v´ease fig. 2.8). El origen de φAest´a en la direcci´on de incidencia. Tres grados de libertad del brazo robot se utilizan, exclusivamente, para posicionar la muestra en el origen de coordenadas, mientras que los otros tres permiten las tres rotaciones respecto a los ejes de GCS y se designan αX,αY yαZ. Como la BRDF est´a definida por una funci´on de las coordenadas esf´ericas de incidencia y observaci´on (θi,φi,θsyφs) (fig. 2.9), estas coordenadas se deben convertir en los grados de libertad de nuestro sistema (αX,αY,αZyφA) mediante una transformaci´on geom´etrica. La derivaci´on de tal transformaci´on est´a descrita ampliamente y en detalle en la literatura [15, 16]: φA= arc cos(cos θicos θs+ cos φicos φssin θisin θs+ sin φisin φssin θisin θi) (2.1) αX= arctan cos θs−cos θicos φA cos θisin φA(2.2) αY= arcsin −sin θisin θssin (φs−φi) sin φA(2.3) αZ= arctan sin θicos θssin φi−sin θscos θisin φs sin θscos θicos φs−sin θicos θscos φi(2.4) 30 2.3. Procedimiento de medida Una vez descrito el gonioespectrofot´ometro y teniendo claro cu´ales son los par´ametros con los que se trabajar´a, hay que desarrollar un procedimiento para la realizaci´on de la medici´on, ya sea para caracterizar el instrumento o para el estudio de materiales. Este proceso consta de tres fases: la primera, y m´as importante, es el alineamiento del sistema general, GCS, la segunda es el alineamiento del objeto a estudio, SCS, y la tercera es el procedimiento que se lleva a cabo para la medida propiamente dicha. 2.3.1. Alineamiento del sistema El alineamiento es parte fundamental en el desarrollo del instrumento. El posicionamiento incorrecto del punto de referencia de la superficie de la muestra en el centro de giro del sistema de detecci´on, da lugar a errores sistem´aticos en la medida de la BRDF. Para evitar estos errores se ha dise˜nado un subsistema, a partir del cual quedan definidos tanto el GCS como el SCS. El eje de visi´on del espectrorradi´ometro es el elemento que va a determinar la altura a la que se encuentra el origen de ambos sistemas de coordenadas. El plano de observaci´on del espectrorradi´ometro define el plano YZ del GCS. Se fijan cuatro posiciones en el anillo dentado que determinan dos di´ametros del mismo, donde se ubican cuatro v´astagos de alineamiento. Su altura queda definida por la altura del campo de visi´on del espectrorradi´ometro y se mantiene fija para este alineamiento inicial y los posteriores. Con dos de estos v´astagos queda definido el origen de φA(fig. 2.10) como la distancia angular media entre ambos. LA1 LA2 LA: Láser de Alineamiento VA: Vástago de Alineamiento  A = 180º  A = 0º VA1 VA2 VA4 VA3 Figura 2.10: Definici´on del origen de los sistemas de referencia. 31 2.3. Procedimiento de medida Dos l´aseres de alineamiento se propagan a lo largo de estos dos di´ametros, de forma que el punto en el que se cruzan pasa por el eje del anillo y, en consecuencia, es el centro de giro del sistema de detecci´on, a su vez, es el origen del GCS. Los haces de los l´aseres tienen un di´ametro de un mil´ımetro aproximadamente, por lo que la posici´on del origen de coordenadas se determina con una incertidumbre despreciable. Dicha posici´on se busca para la superficie del brazo robot que sujeta la muestra, de forma manual, de manera que su localizaci´on sea una postura c´omoda y de no estr´es para realizar los movimientos asociados a las configuraciones deseadas en cada situaci´on. Una vez encontrado el punto, es necesario un espejo de alineamiento para comprobar que el plano XY es perpendicular al eje Z. Esto se consigue viendo que la direcci´on de reflexi´on de un haz l´aser de alineamiento es coincidente con la direcci´on de incidencia del otro haz l´aser y viceversa (fig. 2.11). Este sistema de referencia es fijo e inamovible. LA: Láser de Alineamiento VA: Vástago de Alineamiento LA1 LA2  A = 180º  A = 0º VA1 VA2 VA4 VA3 Brazo robot Espejo Figura 2.11: Alineamiento de la superficie del brazo robot. Se define la direcci´on fija de incidencia como la coincidente con el eje Z. Fijado el origen de φA, primero se alinea el anillo dentado con el banco ´optico. Es necesaria la presencia de un espejo de alineamiento en el brazo robot para definir la direcci´on de incidencia del sistema y facilitar la tarea de alineamiento de los elementos ´opticos. Una vez alineada la superficie del espejo (v´ease secci´on 2.3.2), se rota el brazo robot 45◦respecto al eje X, de manera que uno de los l´aseres de alineamiento reproduce dicha direcci´on, tal y como se muestra en la figura 2.12. Otro espejo de alineamiento sujeto, de manera vertical, en el pie del banco ´optico verifica que el haz l´aser incidente y el reflejado est´an superpuestos y, por tanto, queda perfectamente alineado el banco ´optico. 32 LA Brazo robot Lámpara Xe Banco óptico LA: Láser de Alineamiento VA: Vástago de Alineamiento VA1 VA3 VA2 VA4 Espejo Figura 2.12: Alineamiento del eje fijo de irradiaci´on. Seguidamente, se coloca el sistema perisc´opico y la l´ampara de xen´on (en el extremo opuesto del banco ´optico). Se alinea el sistema de irradiaci´on con el eje Z, manipulando las direcciones de las normales del divisor de haz (parte inferior) y del espejo (parte superior) del sistema perisc´opico. El primer elemento que encuentra el haz l´aser es el divisor de haz, se comprueba que incide en el centro, de lo contrario, se regula la altura y se modifica su posici´on transversal. Tras ´el, se localiza el espejo, al igual que para el divisor de haz, se verifica que est´a centrado, si no lo est´a, hay que rectificar su posici´on. La altura del espejo se define respecto al centro de la l´ampara de xen´on, concretamente, centrado entre el c´atodo y el ´anodo del bulbo. Esto se comprueba mirando por la parte posterior de la carcasa de la l´ampara. Una vez definido el eje ´optico, se coloca el resto de elementos del sistema ´optico como se ha descrito en la secci´on 2.1.1. Todos los elementos est´an centrados respecto al eje Z y son perpendiculares a ´el, excepto la ventana, que dirige una parte de la se˜nal al fotodiodo y el propio fotodiodo. 2.3.2. Alineamiento del objeto Para alinear la muestra, se parte de la posici´on del origen de coordenadas del GCS (v´ease fig. 2.11). Se colocan los accesorios intermedios entre el brazo robot y el objeto a caracterizar (v´ease fig. 2.7). Todos estos elementos desplazan el origen de coordenadas una distancia a tener en cuenta pues los grosores de las diferentes piezas no se pueden considerar despreciables en la determinaci´on del SCS. 33 2.3. Procedimiento de medida Para empezar, se debe regresar al origen de coordenadas. Al igual que en la b´usqueda del origen del GCS, hay que encontrar el lugar de corte de los dos haces l´aser de alineamiento; en este caso, con una simple traslaci´on del sistema completo en la direcci´on Z (v´ease fig. 2.8) o z ser´a suficiente porque, para el alineamiento inicial, estos ejes son coincidentes. Localizado el origen, el siguiente paso es cerciorarse de la perpendicularidad del plano xy con respecto al eje z. Del mismo modo que para el brazo robot (secci´on 2.3.1) y manteniendo los haces l´aser, se comprueba que ambos haces son coincidentes con los reflejos. Generalmente esto no sucede, por consiguiente hay que realizar peque˜nas rotaciones individuales en torno a los ejes x e y hasta cumplir con la condici´on. Para muestras con acabado en mate, la reflexi´on de los l´aseres se esparce; por tanto, ser´a necesario el espejo de alineamiento para finalizar el proceso. La diferencia entre las coordenadas del GCS y del SCS hay que plasmarla en el programa del brazo robot (programaci´on m´aquina, VAL3, espec´ıfico del dispositivo), para que cuando ejecute los movimientos correspondientes a la medida, sepa donde est´a el origen del SCS (fig. 2.13). Ventosa Brazo robot Zona irradiada Origen Espejo de alineamiento Adaptador Figura 2.13: Muestra alineada. 34 entre 3◦y 4◦comienza la regi´on en la que la apertura del espectrorradi´ometro se encuentra tras la montura del divisor de haz, mientras que para ´angulos mayores que 8◦, el espectrorradi´ometro ya ha salido de esa regi´on. Se observa que la respuesta relativa no baja del 25 %, incluso en la regi´on donde la oclusi´on es mayor. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 A ( o ) BS Tras divisor de haz Tras montura divisor de haz Fuera divisor de haz Figura 2.18: Oclusi´on: radiancia relativa, τBS, medida entorno a la direcci´on de incidencia. 2.4.3. Espectrorradi´ometro 2.4.3.1. Linealidad No es necesario realizar una calibraci´on absoluta del espectrorradi´ometro, ya que expresamos la BRDF como el cociente entre dos medidas de radiancia. Sin embargo, s´ı es necesario caracterizar la linealidad del sistema, la cual se mide mediante un procedimiento de adici´on de est´ımulos. Para ello, se emplean los haces reflejado y transmitido por el divisor de haz. Se coloca un espejo normal a cada haz, detr´as de un obturador y a la misma distancia, para igualar los caminos ´opticos. Para medir su linealidad, el espectrorradi´ometro se sit´ua tras el divisor de haz, mientras que los dos obturadores se abren y cierran alternativamente, como se describe en la figura 2.19. El factor de linealidad, Lin, se calcula como sigue: Lin =Lrt Lr+Lt (2.5) 41 2.4. Caracterizaci´on radiom´etrica  , SI Obturador1 Y Obturador2 Abiertos  , SI Obturador1 U Obturador2 Abierto BS Obturador1 Obturador2 Espejo1 Espejo2 d d Haz incidente,  Haz reflejado,  Haz transmitido,  Espectrorradiómetro 2  2  2  4  Figura 2.19: Configuraci´on para la evaluaci´on de la linealidad del espectrorradi´ometro mediante adici´on de est´ımulos. donde Lres la radiancia medida cuando el obturador 2 est´a cerrado, Ltes la radiancia medida cuando el obturador 1 est´a cerrado, mientras que Lrt es la radiancia medida cuando ambos obturadores est´an abiertos. Todas las medidas se realizaron con un tiempo de integraci´on AUTO (autom´atico), como recomienda el manual del equipo. En todo caso, se sustrajo la se˜nal con los obturadores cerrados a las medidas de radiancia. Se obtienen varios niveles de radiancia usando filtros de densidad neutra. El factor de linealidad, Lin, se calcula cada nan´ometro entre 380 nm y 780 nm. Para dar una idea de los valores obtenidos, en la figura 2.20 se representa el factor de linealidad, Lin, en funci´on de lo que se observa cuando uno de los obturadores est´a cerrado, en este caso, la se˜nal que se utiliza es Lt. N´otese que el eje abscisas, se˜nal Lt, est´a en escala logar´ıtmica para una mejor visualizaci´on de los datos. Para no enmascarar la gr´afica, se muestra el rango espectral entre 400 nm y 700 nm cada 20 nm. 42 10−610−510−410−310−210−1100 1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 1.012 1.014 1.016 1.018 Lt (Wm−2sr−1) Factor de linealidad 400 nm 420 nm 440 nm 460 nm 480 nm 500 nm 520 nm 540 nm 560 nm 580 nm 600 nm 620 nm 640 nm 660 nm 680 nm 700 nm Figura 2.20: Factor de linealidad versus Lt. Si bien el resultado mostrado corresponde a unas pocas longitudes de onda, el factor de linealidad se caracteriza para cada una de ellas entre 380 nm y 780 nm (espectro visible) y, de igual modo, se realizan las correcciones correspondientes. El factor de linealidad para el conjunto de longitudes de onda est´a en torno a 1,009 en todo el rango de radiancia estudiado; por tanto, la correcci´on de linealidad se puede considerar constante. Este resultado significa que la no linealidad es predecible y corregible teniendo en cuenta el siguiente desarrollo matem´atico. Se define a(λ) como el cociente de se˜nales: a(λ) = Lr(λ) Lt(λ)(2.6) De las ecuaciones (2.5) y (2.6) se puede deducir que: Lrt =LtLin(1 + a) (2.7) donde se ha suprimido la dependencia espectral por facilidad de escritura. Esta expresi´on se puede generalizar, con el fin de poder relacionar un valor cualquiera de radiancia, Ln, con un valor de radiancia de referencia, Lref : Ln=Lref(1 + a)nLinn(2.8) 43 2.4. Caracterizaci´on radiom´etrica siendo nel n´umero de veces que la respuesta del espectrorradi´ometro (LM) se dobla/divide respecto a la se˜nal de referencia (Lref), aproximadamente: n=log(LM Lref ) log(1 + a)(2.9) y donde Lref se define como un nivel intermedio entre el valor m´aximo y m´ınimo (Lmax yLmin, respectivamente) de las lecturas del espectrorradi´ometro en cada medida de la BRDF: Lref = 2m/2Lmin (2.10) donde mse define como: m=log(Lmax Lmin ) log 2(2.11) Por otra parte, en el caso ideal de linealidad (Lin = 1), la radiancia esperada Lese comporta como: Le=Lref(1 + a)n(2.12) Viendo la relaci´on existente entre las ecuaciones (2.8) y (2.12), se puede derivar la correcci´on para una adquisici´on no lineal Lncomo sigue: Le=Ln Linn(2.13) 2.4.3.2. Repetitividad y resoluci´on espectral La repetitividad es la propiedad de un instrumento que determina c´omo de constante es su respuesta en id´enticas condiciones de medida. Se caracteriza dicha cualidad para el espectrorradi´ometro con varios niveles de radiancia y realizando veinte repeticiones en cada nivel. En la figura 2.21 se muestran los resultados de la incertidumbre relativa de la repetitividad, σr, en funci´on del nivel de radiancia. Para no enmara˜nar la figura, se presentan los datos obtenidos en el rango espectral entre 400 nm y 700 nm cada 20 nm. La incertidumbre relativa es ligeramente peor a niveles altos de radiancia que a bajos y est´a por debajo del 0,35 %, a excepci´on de la longitud de onda de 400 nm. Por consiguiente, se puede concluir que el espectrorradi´ometro es repetitivo. 44 10−510−410−310−210−1100 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10−3 Radiancia (Wm−2sr−1) r 400 nm 420 nm 440 nm 460 nm 480 nm 500 nm 520 nm 540 nm 560 nm 580 nm 600 nm 620 nm 640 nm 660 nm 680 nm 700 nm Figura 2.21: Incertidumbre relativa de la repetitividad en funci´on del nivel de radiancia. Adem´as, la incertidumbre relativa de la repetitividad depende del nivel de radiancia dado por el espectrorradi´ometro, LM, de la siguiente forma: σr= [(0,4±0,3)LM+ (0,2±0,03)] % (2.14) donde LMest´a expresada en Wm−2sr−1. Finalmente, se comprueba la calibraci´on espectral del espectrorradi´ometro utilizando dos l´amparas espectrales: una de mercurio y otra de kript´on. Se realizaron tres mediciones para cada una de las l´amparas y se determinaron los picos de cada una de ellas por medio de la interpolaci´on “cubic spline”. La interpolaci´on “spline” es una forma de interpolar donde el interpolador es un tipo especial de polinomio a trozos llamado spline. Es aconsejable la utilizaci´on de la interpolaci´on spline frente a la interpolaci´on polin´omica porque el error de interpolaci´on puede hacerse peque˜no incluso cuando se utilizan polinomios de bajo grado para la spline. Adem´as, la interpolaci´on “cubic spline” se caracteriza por ser continua en la primera y segunda derivada, por lo que da una funci´on de interpolaci´on suave. En la siguiente tabla (tab. 2.3) se presenta la calibraci´on en longitud de onda. En la primera columna aparecen los nombres de las dos l´amparas utilizadas, Hg (mercurio) y Kr (kript´on), en la segunda columna se encuentran los valores 45 2.4. Caracterizaci´on radiom´etrica promedio de las longitudes de onda de los picos (λmeas), en la tercera columna est´an las longitudes de onda de emisi´on de las l´amparas utilizadas (λemission) y en la cuarta columna se muestra la diferencia entre ellas (λemission-λmeas). Se observa una desviaci´on en torno al 0,2 %. Tabla 2.3: Calibraci´on espectral del espectrorradi´ometro L´ampara λmeas λemission λemission −λmeas Hg 406 404,66 -1,34 437 435,84 -1,16 547 546,07 -0,93 578 579,07 1,07 Kr 759,33 760,15 0,82 768,33 769,45 1,12 Adem´as, tras el an´alisis de la anchura de los picos, se establece que la resoluci´on espectral es de 4 nm y tiene un poder de resoluci´on ∆λ/λ ≃5×10−3. 2.4.3.3. ´ Angulo s´olido de observaci´on El ´angulo s´olido de observaci´on viene dado por el ´area de la pupila de entrada del objetivo y por su distancia a la muestra, 40 cm aproximadamente. Para su caracterizaci´on se procede como en la secci´on 2.4.1, la ´unica diferencia es que, en este caso, no se coloca la apertura delante del objetivo. Lo que realmente se caracteriza as´ı es la convoluci´on entre el ´angulo s´olido de incidencia y el de observaci´on. Sin embargo, esta convoluci´on est´a claramente dominada por el ´angulo s´olido de observaci´on pues el haz incidente est´a pr´acticamente colimado como se ha mostrado en la secci´on 2.4.1. En la figura 2.22 se presenta el resultado de esta medida, normalizada a la radiancia central (θi= 45◦yφi= 180◦). Se utiliza un ´angulo polar de incidencia de 45◦, el campo de visi´on de observaci´on de 1◦y un paso angular de 1◦. El resultado muestra que la resoluci´on angular de la medida de la BRDF no puede ser mayor que 2,5◦. Para mejorar esta resoluci´on angular, una soluci´on ser´ıa limitar la pupila del objetivo colocando una apertura delante. Sin embargo, esto reducir´ıa el flujo radiante incidente, aumentando el tiempo de adquisici´on. 46 s(o) s (o) 176 178 180 182 184 40 42 44 46 48 50 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 2.22: Caracterizaci´on del ´angulo s´olido de observaci´on en dos direcciones perpendiculares. Se utiliza un ´angulo polar de incidencia de 45◦, un campo de visi´on de observaci´on de 1◦y un paso angular de 1◦. 2.4.4. Determinaci´on de la irradiancia sobre la muestra Se quiere medir la irradiancia haciendo uso del espectrorradi´ometro del sistema. De esta manera, la BRDF obtenida es la relaci´on entre dos medidas hechas con el mismo aparato, evitando tener que realizar una calibraci´on del espectrorradi´ometro y la medida no se referencia a un patr´on. La irradiancia sobre el plano de la muestra, Ei(θi), coincide con la exitancia de ese plano en ausencia de muestra. Esta magnitud se puede determinar utilizando la ecuaci´on radiom´etrica que relaciona la exitancia, M, con la radiancia: M=ZL(θ, φ)dΩ (2.15) donde se integra sobre el ´angulo s´olido incidente proyectado (Ωi=ωicos θ, siendo ωiel ´angulo s´olido incidente) y el coseno puede salir de la integral ya que el haz incidente se considera colimado (θ=θi). L(θ, φ) es la radiancia del haz incidente en cada direcci´on. Se puede expresar como el producto de la radiancia del rayo central (L0, que se puede determinar en ausencia de muestra por medio del espectrorradi´ometro situado a φA= 180◦y es s´olo una radiancia calculada suponiendo que la apertura del espectrorradi´ometro est´a totalmente llena, que no 47 2.4. Caracterizaci´on radiom´etrica es el caso) y una funci´on que se denomina l(θ, φ). Esta funci´on es, precisamente, la que se deriv´o anteriormente, en la secci´on 2.4.3 (v´ease fig. 2.22), que ya contiene la informaci´on sobre la distribuci´on del haz incidente. Por consiguiente, esta medida se utilizar´a para calcular Ei(θi) a trav´es de la siguiente integral: Ei(θi) = L0cos θiZ Z l(θ, φ) sin θdθdφ(2.16) que puede expresarse de un modo m´as compacto como sigue: Ei(θi) = L0cos θiω? i(2.17) donde ω? i=RRl(θ, φ) sin θdθdφ. Se ha utilizado esta notaci´on debido a su similitud con la utilizada generalmente en la literatura, donde se suele representar el ´angulo s´olido incidente como ωi. En la integral de la ecuaci´on (2.16), el sin θdθdφrepresenta el elemento diferencial del ´angulo s´olido y las coordenadas esf´ericas se refieren a θsyφsrespecto al sistema de referencia local de la muestra. Por consiguiente, a fin de calcular ω? i, se puede reescribir la integral de la ecuaci´on (2.16) como: ω? i= Mθ X k=1 Mφ X j=1 l(θsm,k, φsm,j) sin θsm,kdθsmdφsm (2.18) donde MθyMφrepresentan el n´umero de las distintas coordenadas esf´ericas (θsm yφsm, respectivamente) que se utilizan para el muestreo de la distribuci´on de radiancia (fig. 2.23). Figura 2.23: Definici´on de la configuraci´on geom´etrica para calcular la irradiancia incidente con un espejo a 45◦. 48 En la figura 2.24 se representa el resultado de ω? i, evaluado de la forma que se explica en p´arrafos anteriores. Su valor espectral promedio es 0,005 sr y su desviaci´on t´ıpica es igual a 0,00013 sr, lo cual revela una cierta dependencia de la longitud de onda. Esto se debe, fundamentalmente, a la distribuci´on espectral de la fuente, que tiene bandas estrechas muy concretas en las zonas donde las fluctuaciones son mayores. Esta dependencia se origina en el hecho de que Ei(0◦) yL0no necesariamente tienen la misma distribuci´on espectral [recu´erdese que ω? ies el cociente entre Ei(0◦) y L0(suma de radiancias en una direcci´on dada dividida de la radiancia en la direcci´on central)]. Aunque, de ahora en adelante se referir´a de este modo, se debe hacer notar que, en este caso, ω? ino s´olo incluye el ´angulo s´olido, sino tambi´en esta dependencia con la longitud de onda. 400 450 500 550 600 650 700 750 800 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6x 10−3 Longitud de Onda (nm) i * Figura 2.24: Dependencia de ω? icon la longitud de onda. 49 2.4. Caracterizaci´on radiom´etrica 50 3.2.8. Incertidumbre debida al ´angulo de incidencia, θi El ´angulo de incidencia est´a presente en la medida como una funci´on coseno. Por eso, la componente de la incertidumbre t´ıpica relativa debida al ´angulo de incidencia viene dado por la expresi´on tan(θi)×u(θi), donde u(θi) es la incertidumbre t´ıpica del ´angulo de incidencia. Esta incertidumbre viene dada por el posicionamiento del brazo robot y es muy peque˜na, menos de 10−3radianes, de acuerdo a las especificaciones del fabricante. La tabla 3.1 recoge los valores de todas las incertidumbres que entran en juego para la medida de la BRDF. Estas incertidumbres est´an calculadas para un factor de cobertura k= 1; lo que significa que la incertidumbre expandida asociada corresponde a una probabilidad de cobertura de, aproximadamente, un 68,27 %. Adem´as, se distinguen dos tipos de incertidumbre: Tipo A y Tipo B. La evaluaci´on Tipo A de la incertidumbre t´ıpica es el m´etodo de evaluar la incertidumbre mediante el an´alisis estad´ıstico de una serie de observaciones. En este caso, la incertidumbre t´ıpica es la desviaci´on t´ıpica experimental de la medida que se deriva de un procedimiento promediado o de un an´alisis de regresi´on. La evaluaci´on Tipo B de la incertidumbre t´ıpica es el m´etodo de evaluar la incertidumbre mediante un procedimiento distinto al an´alisis estad´ıstico de una serie de observaciones. En este caso, la estimaci´on de la incertidumbre t´ıpica se basa en otros conocimientos cient´ıficos. Los valores que caen dentro de esta categor´ıa pueden derivarse de: Datos obtenidos de mediciones anteriores. Experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos m´as importantes. Especificaciones de los fabricantes. Datos obtenidos de calibraciones y de otros certificados. Incertidumbres asignadas a los datos de referencia obtenidos de manuales. 57 3.2. Estimaci´on de la incertidumbre Tabla 3.1: Incertidumbres asociadas a la medida de la BRDF. Fuente de incertidumbre Incertidumbre (k= 1) ( %) Tipo A Tipo B Repetitividad del espectrorradi´ometro <0,3a Linealidad del espectrorradi´ometro 0,05 × | n|b Deriva temporal 0,04 Incertidumbre en la posici´on 0,16c cuando se mide L0(g0) Incertidumbre en la posici´on Muestrad cuando se mide L(g) Uniformidad de la irradiancia <0,4c,e Filtros de densidad neutra ≤0,48f (τr,j yτ0) Transmitancia del divisor de haz (τBS) 0,2 ω? i0,06 cos θi≤10−3×tan θi aEs menor cuando se aumenta el n´umero de repeticiones. bnes, aproximadamente, el n´umero de veces que la respuesta del espectrorradi´ometro (LM) se duplica/divide relativa a la referencia (Lref ): 2n=LM/Lref (nmax ∼ 13). cPara un campo de visi´on = 1◦. dDependiente de la muestra y las condiciones (especular o difusa). eEste 0,4 % se obtiene en condiciones muy desfavorables de θi= 85◦. fLa incertidumbre es 0,25 %, 0,35 % y 0,48 % para los filtros de transmitancia de 10 %, 1 % y 0,01 %, respectivamente. Por tanto, teniendo en cuenta todas las componentes de incertidumbre como se muestra en la tabla 3.1 y sum´andolas en cuadratura, ya que en principio se pueden considerar no correlacionadas, se pude concluir que la incertidumbre t´ıpica de la medida de una muestra espectralmente neutra con una reflectancia del 50 %, es menor del 0,5 %. 58 Cap´ıtulo 4 Procesado de datos Contenido 4.1. Visualizaci´on: espectrimagen bidireccional . . . . . . . . . . . 60 4.2. Representaci´on cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.1. Representaci´on cartesiana espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.2. Representaci´on cartesiana angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3. T´ecnica de an´alisis multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Establecer criterios en el tratamiento de datos tras una medici´on de la BRDF, fr, no es un problema trivial debido a la enorme cantidad de datos a procesar. T´engase en cuenta que en la medici´on de la BRDF intervienen cinco par´ametros (cuatro geom´etricos y la longitud de onda), por lo que el conjunto de datos puede superar el millar si se realiza un muestreo relativamente denso. Antes de tratar los registros obtenidos en la adquisici´on de la BRDF, es apropiado visualizarlos para entender el comportamiento del objeto y, a su vez, detectar posibles errores. Una organizaci´on adecuada de los datos permite interpretar f´acilmente la BRDF medida para obtener informaci´on b´asica como puede ser la isotrop´ıa de la muestra respecto a la orientaci´on de la irradiaci´on, simetr´ıa de la radiaci´on respecto al plano de incidencia, detectar las configuraciones geom´etricas con mayor intensidad, etc. Por ello en este cap´ıtulo se propone una forma de visualizar el resultado de la BRDF que permita obtener esa informaci´on. A priori, existen dos posibilidades: un an´alisis de la dependencia espectral y otro an´alisis de la dependencia angular. Ambos aportan informaci´on complementaria al usuario. El estudio de la dependencia espectral de un objeto consiste en tomar una determinada configuraci´on geom´etrica de irradiaci´on/observaci´on y analizar el 59 4.1. Visualizaci´on: espectrimagen bidireccional comportamiento de la luz reflejada respecto de la incidente. Gr´aficamente, la BRDF se sit´ua en el eje de ordenadas y las longitudes de onda, λ, en el eje de abscisas. Como se ver´a en un ejemplo m´as adelante, se aprecia la diferencia entre las regiones especular y difusa; esta distinci´on es m´as clara cuanto m´as brillante sea el objeto bajo investigaci´on. Por otra parte, el estudio de la dependencia angular muestra el cambio producido cuando se utilizan diferentes configuraciones geom´etricas. Este cambio puede depender de la longitud de onda, por tanto habr´ıa que hacer representaciones en 3 dimensiones o elegir un valor de longitud de onda o un promedio en un intervalo dado. Las representaciones anteriores dan informaci´on parcial, por consiguiente se presentan los datos de la BRDF a partir de una t´ecnica de an´alisis multivariante, An´alisis de Componentes Principales (PCA), la cual reduce de manera considerable los datos a tratar sin p´erdida de informaci´on. Con el PCA es posible representar de forma sencilla y simult´anea la naturaleza espectral y angular de la BRDF. 4.1. Visualizaci´on: espectrimagen bidireccional  = 0º  = 180º Haz especular Semiplano de incidencia  s Semiplano de incidencia Haz incidente Semiplano de observación N  s  s Figura 4.1: Definici´on del plano de incidencia y de un semiplano de observaci´on fuera del plano de incidencia. En este apartado se propone un nuevo m´etodo de visualizaci´on de las componentes de la BRDF que proporciona informaci´on sobre la muestra en un primer 60 vistazo. El m´etodo de visualizaci´on de la BRDF que se presenta lo hemos denominado Espectrimagen Bidireccional (BSI, siglas en ingl´es). Consiste en disponer los valores espectrales a lo largo de un eje horizontal utilizando un c´odigo de color para indicar el valor de la BRDF y situar las componentes correspondientes a las distintas geometr´ıas una encima de la otra. En la figura 4.1 se representa un esquema con la notaci´on habitual de los ´angulos que intervienen en la medida de la BRDF. Para llevar a cabo la ordenaci´on es m´as conveniente usar como variable ∆φ= φs−φien lugar de φs, pues ∆φrepresenta el ´angulo de observaci´on de la radiaci´on respecto al semiplano de la irradiaci´on, φi(v´ease fig. 4.1), con lo que se tendr´a informaci´on sobre el comportamiento de la BRDF conforme la direcci´on de observaci´on se separa del plano de incidencia. La ordenaci´on de estas configuraciones geom´etricas empieza agrupando todas las que tienen el mismo ´angulo acimutal de incidencia, φi. Dentro de cada una de estas categor´ıas se agrupan las componentes que est´an en un plano de observaci´on separado del de incidencia por el mismo ´angulo, ∆φ, form´andose categor´ıas que corresponden con distintos planos. En cada plano, se agrupan las que corresponden al mismo ´angulo polar de incidencia, θi, formando una categor´ıa que incluye las componentes que s´olo se diferencian en el ´angulo polar de observaci´on, θs. En la figura 4.2 se esquematiza esta estructura. Longitud de onda,  Componentes de la BRDF BSI = (  i ,   ,  i ,  s ) (0º,   ,  i ,  s ) (180º,   ,  i ,  s ) (30º,   ,  i ,  s ) . . . (0º, 0º,  i ,  s ) (0º, 180º,  i ,  s ) (0º, 30º,  i ,  s ) . . . (0º, 0º, 0º,  s ) (0º, 0º, 70º,  s ) (0º, 0º, 10º,  s ) . . . (0º, 0º, 0º, 0º) (0º, 0º, 0º, 70º) (0º, 0º, 0º, 10º) . . . Figura 4.2: Estructura de las componentes de la BRDF en el Espectrimagen Bidireccional (BSI) para una medida completa. 61 4.1. Visualizaci´on: espectrimagen bidireccional Para ilustrar un ejemplo de BSI, se utiliza un patr´on colorim´etrico cer´amico rosa oscuro con acabado en brillo (Ceramic Colour Standard - Series II), cuyas dimensiones son 10 cm ×10 cm (fig. 4.3) cuya BRDF se ha medido en el laboratorio con GEFE utilizando 900 configuraciones geom´etricas que se corresponden con todas las combinaciones posibles de asignar a θiy a θslos valores de 0◦, 20◦, 40◦, 60◦y 70◦y a φiyφslos valores de -120◦, -60◦, 0◦, 60◦, 120◦y 180◦. La figura 4.4 muestra la medida completa, donde se observa la periodicidad con las configuraciones geom´etricas. En primer lugar, se observa el mismo patr´on repetido seis veces, una por cada valor de φi. Figura 4.3: Patr´on colorim´etrico cer´amico rosa oscuro con acabado en brillo (CCS - Series II). Figura 4.4: BSI de la medici´on completa de la BRDF para el patr´on colorim´etrico cer´amico rosa oscuro con acabado en brillo. 62 El desglose de la BSI se muestra en las figuras 4.5, 4.6 y 4.7 conforme se va fijando cada coordenada esf´erica como se ha descrito anteriormente. Este patr´on repetido es lo esperado para un objeto cuya reflectancia no depende del ´angulo acimutal de incidencia que podr´ıamos llamar is´otropo respecto a la irradiaci´on. El grado de semejanza de los seis patrones se relaciona con el grado de isotrop´ıa. En muestras is´otropas como ´esta, es posible reducir las medidas a un ´unico valor del ´angulo acimutal (φi), o disminuir el ruido haciendo un promedio de los valores para este ´angulo acimutal. Figura 4.5: Primer desglose de la BSI. Ejemplo manteniendo φi= -120◦para todas las combinaciones posibles de ∆φ,θi,θs. Cada uno de los patrones que exhibe la imagen del BSI de la medida completa (fig. 4.4) se divide a su vez en tantas categor´ıas como n´umero de semiplanos de observaci´on se hayan medido (fig. 4.5). En este caso, como ejemplo, se ha tomado la segregaci´on para φi=−120◦pero recu´erdese que al ser un objeto is´otropo, el comportamiento es el mismo para cualquier otro valor de φi. ∆φ= 0◦representa la observaci´on en el mismo semiplano de la direcci´on de incidencia (direcci´on de retrorreflexi´on). En el semiplano ∆φ= 180◦deben aparecer las reflexiones m´as direccionales pues es el semiplano donde se encuentra la direcci´on especular. Cuando coinciden los resultados en los semiplanos (∆φ) y (2π- ∆φ), se puede decir que la reflexi´on es sim´etrica respecto al plano de incidencia. Cuando el resultado es id´entico en todos los semiplanos, la muestra es un difusor homog´eneo. Asimismo, cada una de las categor´ıas presentes en φi=−120◦(fig. 4.5) vuelve a ser dividida en otras cinco categor´ıas (fig. 4.6), una por cada ´angulo polar de incidencia θi. En este caso, se ha tomado como ejemplo la segregaci´on para ∆φ= 63 4.1. Visualizaci´on: espectrimagen bidireccional 0◦. Y, finalmente, cada una de ellas se descompone en otras cinco (fig. 4.7), una por cada ´angulo polar de observaci´on θs. Aqu´ı, se ha tomado la descomposici´on para θi= 0◦. Como se ha comentado, esta visualizaci´on permite saber con una simple observaci´on si el material es is´otropo y homog´eneo respecto a la reflexi´on, adem´as de tener una idea de su variaci´on espectral para cada geometr´ıa. Figura 4.6: Segundo desglose de la BSI. Ejemplo manteniendo φi= -120◦y ∆φ= 0◦ para todas las combinaciones posibles de θi,θs. Figura 4.7: Tercer desglose de la BSI. Ejemplo manteniendo φi= -120◦, ∆φ= 0◦y θi= 0◦para todas las combinaciones restantes de θs. 64 4.2. Representaci´on cartesiana Como se explica en el inicio de este cap´ıtulo, los datos registrados se pueden representar usando ejes cartesianos de dos maneras diferentes que suministran informaci´on complementaria. Un tipo de representaci´on es la espectral en la que las componentes de la BRDF se dibujan en funci´on de la longitud de onda. La otra representaci´on cartesiana es la angular en la que las componentes se dibujan en funci´on de alg´un ´angulo de incidencia u observaci´on con las diferentes configuraciones geom´etricas. Para explicar estas representaciones, se utiliza la medida de la BRDF de un patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado mate (Ceram Research, serie GA98), cuyas dimensiones son 5 cm ×5 cm (fig. 4.8). Los ´angulos polares de incidencia (θi) y observaci´on (θs) se toman iguales a 0◦, 20◦, 40◦, 60◦y 70◦, y los ´angulos acimutales de incidencia (φi) y observaci´on (φs) iguales a -120◦, -60◦, 0◦, 60◦, 120◦y 180◦, con lo que se obtiene un total de 900 configuraciones geom´etricas. Figura 4.8: Fotograf´ıa del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado mate (Ceram Research, serie GA98). 4.2.1. Representaci´on cartesiana espectral La representaci´on espectral de las componentes de la BRDF del patr´on colorim´etrico se pueden observar en la figura 4.9. Por ser un material mate se deber´ıa ver un ´unico grupo de l´ıneas espectrales. En cambio, lo que se observa es un conjunto masivo de l´ıneas espectrales en la parte inferior de la gr´afica y tres agrupaciones superiores con diferentes valores de BRDF y menor cantidad de l´ıneas espectrales. Esto significa que el material mate no es un difusor homog´eneo sino que tiene cierta direccionalidad en las configuraciones rasantes. Es de notar la gran similitud entre todas las distribuciones espectrales. Adem´as, en el grupo 65 4.2. Representaci´on cartesiana 400 450 500 550 600 650 700 750 800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 Longitud de onda (nm) f r (sr−1) Figura 4.9: Dependencia espectral de la BRDF, fr, del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado mate para las configuraciones geom´etricas medidas. masivo se distingue un comportamiento an´omalo de ciertas l´ıneas espectrales para las longitudes de onda m´as largas en las configuraciones de retrorreflexi´on. Como se aprecia en la figura 4.9, la mayor modulaci´on espectral de la radiancia (responsable de la cromaticidad) est´a en las componentes de menor valor de BRDF que se parece a la que se conoce para la reflectancia 0◦:d de este patr´on colorim´etrico (fig. 4.10), donde se distingue un m´aximo absoluto para la longitud de onda de 515 nm y otro relativo en torno a 750 nm. 400 450 500 550 600 650 700 750 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Longitud de onda (nm) Reflectancia 0:d Figura 4.10: Reflectancia 0◦:d del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado mate medida en el laboratorio (componente especular incluida). 66 las distintas configuraciones geom´etricas, y una matriz covariante de 448×448 elementos. Los autoespectros significativos resultantes se muestran en la figura 4.14. Estos son los espectros asociados a los cuatro autovalores mayores (en orden descendente) que son, por consiguiente, los m´as importantes a la hora de calcular la varianza total de los datos. La uni´on de sus contribuciones suma el 99,61 % de la varianza y los autovalores son: 0,9864, 0,0066, 0,0018 y 0,0013 para estos cuatro autoespectros. El autovalor para el siguiente autoespectro es 0,0003, que ya no se considera. 400 500 600 700 800 −30 −20 −10 0 10 20 PC1 400 500 600 700 800 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 PC2 400 500 600 700 800 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Longitud de onda (nm) PC3 400 500 600 700 800 −0.5 −0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 Longitud de onda (nm) PC4 Figura 4.14: Autoespectros de la medida de BRDF del patr´on colorim´etrico cer´amico verde con acabado en brillo. Los autoespectros representados en las gr´aficas est´an todos orientados de una manera natural para facilitar su interpretaci´on pero los autoespectros obtenidos tras PCA est´an, a veces, invertidos (multiplicados por -1). Con el fin de determinar la orientaci´on real de un determinado autoespectro Aj, la forma m´as sencilla es localizar el espectro idonde este autoespectro tiene una contribuci´on sustancial a la varianza total. Despu´es, uno s´olo necesita mirar el signo de ei,j. Si el signo es negativo, el autoespectro Ajtiene que invertirse en la representaci´on pero no en los c´alculos posteriores. La contribuci´on de un autoespectro a la varianza de un espectro determinado se calcula como se explica en el p´arrafo que sigue a la ecuaci´on (4.7). En las figuras 4.15 y 4.16 se presentan las contribuciones relativas de las cuatro primeras componentes principales a la varianza espectral tanto dentro como fuera del plano 73 4.3. T´ecnica de an´alisis multivariable de incidencia, respectivamente. Es una representaci´on cartesiana angular de las contribuciones relativas de las componentes en funci´on del ´angulo polar de observaci´on para cuatro ´angulos polares de incidencia diferentes en el plano de incidencia (v´ease fig. 4.15) y para dos ´angulos polares de incidencia diferentes en dos semiplanos fuera del plano de incidencia (v´ease fig. 4.16). Cabe se˜nalar que, en cada configuraci´on, las contribuciones relativas a las cuatro componentes deben sumar pr´acticamente uno. Si en alg´un caso, esto no fuera as´ı, se estar´ıa dejando fuera una componente no despreciable y se tendr´ıa que a˜nadir el autoespectro correspondiente. Como se defini´o en la secci´on 4.2.2, cuando se representa el plano de incidencia, los ´angulos polares de observaci´on negativos, θs<0, se refieren al semiplano ∆φ= 0◦y cuando los ´angulos polares de observaci´on son positivos, θs>0, se est´a hablando del semiplano ∆φ= 180◦(fig. 4.15). Por otra parte, en este ejemplo, cuando se representan dos semiplanos fuera del plano de incidencia, los ´angulos polares de observaci´on negativos se refieren al semiplano ∆φ= 30◦mientras que los ´angulos polares de observaci´on positivos hablan del semiplano ∆φ= 150◦ (fig. 4.16). −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Contrbución de las componentes principales i = 10o −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 i = 20o −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Ángulo polar de observación, s (o) i = 30o −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Ángulo polar de observación, s (o) i = 40o PC1 PC2 PC3 PC4 Figura 4.15: Contribuciones relativas de las cuatro primeras componentes a la varianza espectral en el plano de incidencia para ´angulos polares de incidencia, θi, iguales a 10◦, 20◦, 30◦y 40◦. Las representaciones asociadas al PCA permiten observar si hay o no simetr´ıa e isotrop´ıa en la reflexi´on que se da en la muestra. En el caso de este ejemplo, se 74 observa una tendencia no sim´etrica fuera del plano de incidencia (v´ease fig. 4.16). Dependiendo del tipo de material con el que se est´a trabajando, este esquema de interpretaci´on tambi´en permite visualizar la existencia de la componente especular y la retrorreflexi´on para cada ´angulo polar de incidencia en el plano de incidencia (v´ease fig. 4.15) y su comportamiento fuera de ´el. En este caso, las componentes principales no muestran ninguna alteraci´on descatable fuera del plano de incidencia, esto es debido a que el material tiene un acabado en brillo y su mayor contribuci´on se produce en las configuraciones geom´etricas especulares (v´ease fig. 4.16). −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Ángulo polar de observación, s (o) Contribución de las componente princpales i = 10o −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Ángulo polar de observación, s (o) i = 70o PC1 PC2 PC3 PC4 Figura 4.16: Contribuciones relativas de las cuatro primeras componentes a la varianza espectral en un plano fuera del plano de incidencia para ´angulos polares de incidencia, θi, iguales a 10◦y 70◦. Considerando las figuras 4.15 y 4.16 se puede hacer un an´alisis sobre el significado f´ısico de cada autoespectro teniendo en cuenta la naturaleza de la reflexi´on que se da en la muestra: especular o difusa o ambas. El autoespectro PC1 siempre contribuye en situaciones de reflexi´on especular (fig. 4.15) y nunca contribuye de manera notable en otro tipo de configuraci´on (fig. 4.16). El autoespectro PC2 predomina sobre el resto de componentes, excepto para el caso de la reflexi´on especular; representa la componente difusa de la BRDF. El autoespectro PC3 tambi´en contribuye a la componente difusa de la BRDF. La raz´on por la que el PCA presenta a los autoespectros PC2 y PC3 como dos componentes separadas, aunque su contribuci´on a la reflexi´on se de la misma naturaleza, es porque, en condiciones de reflexi´on especular a ´angulos de incidencia peque˜nos, la contribuci´on del autoespectro PC3 a la varianza es, claramente, m´as relevante que la contribuci´on del autoespectro PC2. Por tanto, a juzgar por el comportamien75 4.3. T´ecnica de an´alisis multivariable to bastante diferente en condiciones de reflexi´on especular, se puede decir que las distribuciones espectrales asociadas a los autoespectros PC2 y PC3 se originan a partir de distintos fen´omenos f´ısicos. El autoespectro PC4, a pesar de que contribuye m´as que el autoespectro PC1 bajo condiciones de observaci´on no especulares, tiene una contribuci´on mucho menor que la de los otros dos autoespectros (PC2 y PC3). Es, bajo condiciones especulares con θi= 10◦yθi= 20◦, donde esta componente es realmente significativa (fig. 4.15). Quiz´as, esto se podr´ıa explicar por la presencia en el material de una segunda interfaz generadora de una l´amina o pel´ıcula, donde ´angulos de incidencia peque˜nos podr´ıan ser reflejados y transmitidos, y donde ´angulos mayores quedan atrapados debido a la reflexi´on total. Tras este an´alisis, es posible usar la informaci´on resultante del PCA para identificar las componentes no correlacionadas de la BRDF en las interacciones a diferentes capas de la superficie. Se podr´ıa proponer un modelo de capas a partir de la informaci´on dada por el PCA, como punto de partida, para la interpolaci´on con los modelos f´ısicos. N´otese que las variables no correlacionadas no son siempre independientes. 76 Cap´ıtulo 5 Realizaci´on de patrones de medida de reflectancia Contenido 5.1. Caracterizaci´on angular y espectral . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.1.1. Procedimiento de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.1.2. Resultados .............................. 82 5.1.3. Discusi´on ............................... 95 5.2. Principio de reciprocidad de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . 98 5.2.1. Discusi´on ............................... 106 5.3. Retrorreflexi´on de patrones en incidencia normal . . . . . . . 107 5.3.1. Procedimiento de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.2. Resultados .............................. 109 5.3.3. Discusi´on ............................... 112 5.4. Realizaci´on de patrones de medida . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4.1. Patr´on de factor de reflectancia 0◦:45◦............... 118 5.4.2. Patr´on de reflectancia 0◦:di ..................... 133 La realizaci´on de patrones de medida de reflectancia y factor de reflectancia/radiancia se basa en materiales difusores blancos pues tienen una distribuci´on espectral relativamente uniforme. Idealmente, estos patrones deber´ıan reproducir al difusor perfecto o lambertiano (Perfectly Reflecting Diffuser, PRD) pero, en realidad, s´olo se aproximan a este concepto, ya que ninguno refleja toda 77 5.1. Caracterizaci´on angular y espectral la radiaci´on incidente ni es totalmente lambertiano; es decir, su radiaci´on no es constante para todo ´angulo de observaci´on. Cualquier material utilizado como patr´on de reflectancia difusa debe cumplir una serie de condiciones ´opticas. Entre ellas se destacan la alta reflectancia por razones pr´acticas, alta opacidad para evitar la influencia de la radiaci´on de fondo y las p´erdidas de borde, uniformidad para que el valor de la reflectancia a lo largo de la superficie del patr´on sea constante, ausencia de luminiscencia excepto en aquellas situaciones donde se quiera estudiar su influencia en ciertas regiones espectrales, condiciones goniofotom´etricas: en muchos casos es necesaria una superficie con acabado mate (pr´oxima a un difusor lambertiano); sin embargo, para otras aplicaciones, una superficie con acabado en brillo puede ser preferible [31]. Adem´as, estos materiales no deber´ıan verse afectados por la temperatura (termocromismo), la irradiaci´on (fotocromismo) o por otras condiciones atmosf´ericas, tales como la humedad, los aerosoles, etc. Por otra parte, tienen que ser estables; esto es, ser capaces de mantener la mayor´ıa de las propiedades mencionadas durante el mayor periodo de tiempo posible. Esta caracter´ıstica se requiere en la mayor´ıa de las aplicaciones para garantizar la consistencia de las medidas. En general, todas estas condiciones no se cumplen simult´aneamente ni totalmente y la aplicaci´on para la que se utilice el patr´on determinar´a cu´ales de estas propiedades se requieren o cu´ales son prioritarias. En este cap´ıtulo se realiza un estudio de cuatro materiales usados para patrones de reflectancia comerciales y disponibles en el laboratorio. Estos materiales blancos son: Spectralon, vidrio de ´opalo (opal glass) conocido como blanco ruso mate, blanco cer´amico mate y una pastilla de polvo prensado de sulfato de bario, preparada en nuestras instalaciones antes de realizar la medici´on. Estos materiales son de gran inter´es ya que se utilizan com´unmente como patrones para transferir la reflectancia difusa o el factor de reflectancia/radiancia [32, 33, 34, 35]. No se consideran las tejas cer´amicas blancas de acabado en brillo, pues aunque se usan en laboratorios industriales, son menos interesantes para patrones de alto nivel metrol´ogico. 5.1. Caracterizaci´on angular y espectral Es importante evaluar cu´anto se alejan los patrones de reflectancia difusa del difusor perfecto ya que diferentes errores sistem´aticos pueden estar relacionados con esta desviaci´on [36]. Por tanto, cuanto mejor se caracterice esta diferencia, 78 (a) Spectralon (b) Blanco ruso mate (c) Teja blanca cer´amica mate (d) Pastilla de sulfato de bario (BaSO4) Figura 5.1: Fotograf´ıas de los cuatro patrones de reflectancia difusa m´as habituales. menor ser´a la incertidumbre de las medidas que hacen uso de estos patrones de referencia o, por lo menos, se podr´an explicar mejor. En la bibliograf´ıa se pueden encontrar varios estudios sobre la distribuci´on de la reflectancia espectral de los patrones de reflectancia difusa m´as t´ıpicos para intervalos espectrales espec´ıficos en el UV cercano, visible e infrarrojo cercano y geometr´ıas de irradiaci´on/observaci´on como por ejemplo 0◦:d, 45◦:0◦y viceversa [32, 34, 37, 38, 39, 40, 41, 42]. Sin embargo, ninguno ha abordado la caracterizaci´on completa dentro del rango visible. En la actualidad, el desarrollo de gonioespectrofot´ometros m´as complejos [15, 16, 17, 18, 19] permite obtener datos espectrales para casi cualquier geometr´ıa de medida; por tanto, se puede hacer una comparaci´on m´as completa entre los patrones de reflectancia difusa reales y el difusor perfecto (PRD). La mejor manera de hacerlo es medir su BRDF espectral [4] porque, por definici´on, un PRD tiene una BRDF constante e igual a 1/π sr−1. 79 5.1. Caracterizaci´on angular y espectral 5.1.1. Procedimiento de medida La medida de la BRDF (descrita en la secci´on 2.3) se lleva a cabo mediante el gonioespectrofot´ometro GEFE (descrito en la secci´on 2.1). El haz de irradiaci´on de la muestra est´a casi colimado y su divergencia queda determinada por el di´ametro de la apertura P2 (2 cm) y su distancia a la muestra (113 cm) (v´ease fig. 2.2). Aproximadamente, se toma el mismo ´angulo s´olido de observaci´on, colocando una apertura de 7 mm de di´ametro frente al espectrorradi´ometro (v´ease fig. 5.2). Se polariza la luz incidente situando un polarizador lineal delante de la apertura (fig. 5.2); de manera que, el plano de polarizaci´on de la luz transmitida es paralelo al eje de transmisi´on del polarizador (orientaci´on paralela al plano del anillo del instrumento). Es importante especificar el estado de polarizaci´on, puesto que existe una dependencia de la BRDF espectral con la polarizaci´on, mayor cuanto m´as dominantes son las reflexiones sobre la superficie (´angulos de incidencia rasantes y direcciones especulares). La incertidumbre de la variable a estudiar (BRDF espectral relativa) est´a limitada por la repetibilidad del espectrorradi´ometro (0,6 %, k= 2) (v´ease secci´on 3.2). Figura 5.2: Esquema de medida de la BRDF para los patrones de reflectancia difusa (vista lateral). Para determinar la BRDF espectral de estos patrones de reflectancia, se realiza una medida en 512 configuraciones angulares diferentes que corresponden a las combinaciones de los ´angulos polares de incidencia (θi) y observaci´on (θs) entre 0◦y 75◦, cada 5◦, el ´angulo acimutal incidente (φi) se mantiene fijo en 0◦pues se asume isotrop´ıa respecto a la direcci´on de incidencia y el ´angulo acimutal de observaci´on (φs) toma los valores de 0◦y 180◦; esto es, los dos semiplanos que componen el plano de incidencia (v´ease fig. 4.1). 80 La BRDF espectral, fr(θi, φi;θs, φs;λ), se normaliza con respecto al espectro obtenido en la configuraci´on geom´etrica (θi= 0◦,θs= 45◦,φi= 0◦,φs= 180◦) denominada, a partir de ahora, geometr´ıa de referencia. ´ Esta es una de las geometr´ıas recomendadas por la CIE para especificar el factor de reflectancia de materiales. fr,rel(θi, φi;θs, φs;λ) = fr(θi, φi;θs, φs;λ) fr(0◦,0◦; 45◦,180◦;λ)(5.1) Como consecuencia de esta normalizaci´on, los errores sistem´aticos de la medida se reducen considerablemente cuando se eval´ua la variaci´on de la distribuci´on espectral entre los espectros a diferentes geometr´ıas. Para un difusor perfecto, la fr,rel(θi, φi;θs, φs;λ) deber´ıa ser la unidad en cualquier configuraci´on geom´etrica y longitud de onda. En el caso de que la distribuci´on espectral fuera invariante a lo largo de las geometr´ıas, fr,rel(θi, φi;θs, φs;λ) ser´ıa independiente de la longitud de onda. Como se mostrar´a m´as adelante, esto no es precisamente lo que sucede con estos patrones de reflectancia difusa (aunque son los materiales m´as pr´oximos a un difusor perfecto), por lo que un objetivo es caracterizar esa dependencia con la longitud de onda. Para tal fin, se estudia la variaci´on espectral de la fr,rel(θi, φi;θs, φs;λ) en funci´on de las configuraciones geom´etricas con el an´alisis de componentes principales (PCA). Si se expresa la BRDF de manera que la variaci´on espectral aparezca separada de la variaci´on geom´etrica, se simplifica la concepci´on de un modelo y la representaci´on de los datos: fr,rel(θi, φi;θs, φs;λ) = hfr,rel(θi, φi;θs, φs;λ)iλ× ×[1 + ΣM j=1cj(θi, φi;θs, φs)Hj(λ)] (5.2) Esta expresi´on corresponde a la multiplicaci´on de dos factores: el promedio espectral de fr,rel (hfr,rel(θi, φi;θs, φs;λ)iλ), ´unicamente con dependencia angular, y la suma de M+1 sumandos o componentes (dentro de los corchetes), siendo el primero la unidad. Cada sumando se factoriza en dos: uno que contiene la informaci´on espectral, Hj(λ) (con promedio espectral nulo y con una desviaci´on t´ıpica de valor la unidad), y otro factor que contiene la informaci´on geom´etrica, cj(θi, φi;θs, φs), considerado como el peso de cada distribuci´on espectral a diferente configuraci´on geom´etrica y, de acuerdo con el formalismo propuesto, como la variaci´on relativa de la distribuci´on espectral de la geometr´ıa de referencia. Escribiendo la BRDF de esta manera, los c´alculos necesarios para obtener la reflectancia espectral o el factor de reflectancia/radiancia espectral se simplifican porque no es necesario integrar sus distribuciones espectrales sino s´olo sus pesos. 81 5.1. Caracterizaci´on angular y espectral Los datos adquiridos de la BRDF espectral se pueden estructurar como en la ecuaci´on (5.2) mediante la aplicaci´on de la t´ecnica multivariante del PCA (v´ease secci´on 4.3). Esta herramienta permite expresar los espectros de la BRDF en cualquier configuraci´on geom´etrica como una combinaci´on lineal de unos pocos espectros (Aj(λ), autoespectros) que se relacionan con Hj(λ) y los autovectores ej(θi, φi;θs, φs) con los pesos cj(θi, φi;θs, φs). El principal inconveniente de este tipo de an´alisis es que los autoespectros no tienen significado f´ısico porque se obtienen de un an´alisis puramente estad´ıstico de un conjunto de distribuciones espectrales constituyentes de la BRDF espectral de la muestra; por tanto, no se pueden relacionar directamente con los par´ametros f´ısicos del objeto que rigen los fen´omenos de reflexi´on de la luz en ´el. Los autoespectros y autovectores se calculan como se describe en la secci´on 4.3; de manera que, para obtener Hj(λ) con una desviaci´on t´ıpica de valor la unidad, la relaci´on entre Aj(λ) y Hj(λ) debe ser la siguiente: Hj(λ) = Aj(λ) σ[Aj(λ)] (5.3) donde σ[Aj(λ)] es la desviaci´on t´ıpica de Aj(λ). Adem´as, la relaci´on entre el autovector ej(θi, φi;θs, φs) y el peso cj(θi, φi;θs, φs) se puede escribir como: cj(θi, φi;θs, φs) = ej(θi, φi;θs, φs)σ[Aj(λ)] (5.4) 5.1.2. Resultados Tratados los registros espectrales siguiendo el procedimiento experimental descrito, los resultados de la BRDF espectral para los cuatro patrones de reflectancia difusa quedan completamente caracterizados por tres factores: la variaci´on relativa del promedio espectral de la BRDF respecto a la geometr´ıa de referencia, ∆rfr, los dos autoespectros que m´as contribuyen a la variaci´on de la distribuci´on espectral, H1(λ) y H2(λ), y los dos coeficientes de ponderaci´on, c1yc2, correspondientes a la variaci´on relativa de la distribuci´on espectral debida a las componentes n.◦1 [H1(λ)] y n.◦2 [H2(λ)], respectivamente. En las figuras 5.3 (Spectralon), 5.4 (blanco ruso mate), 5.5 (blanco cer´amico mate) y 5.6 (pastilla de sulfato de bario) se presenta en funci´on del ´angulo polar de observaci´on, θs, cuando se mantiene fijo el ´angulo polar de incidencia, θi, la variaci´on relativa del promedio espectral de la BRDF respecto a la geometr´ıa de 82 400 450 500 550 600 650 700 750 −2 −1 0 1 2 Longitud de onda (nm) Valor relativo del autoespectro H2 H1 Figura 5.8: Autoespectros significativos para el blanco ruso mate. 400 450 500 550 600 650 700 750 −2 −1 0 1 2 3 Longitud de onda (nm) Valor relativo del autoespectro H2 H1 Figura 5.9: Autoespectros significativos para el blanco cer´amico mate. 89 5.1. Caracterizaci´on angular y espectral 400 450 500 550 600 650 700 750 −2 −1 0 1 2 Longitud de onda (nm) Valor relativo del autoespectro H2 H1 Figura 5.10: Autoespectros significativos para la pastilla de sulfato de bario. La distribuci´on espectral var´ıa dependiendo de la configuraci´on geom´etrica de medida. Los autoespectros H1(λ) y H2(λ) (figs. 5.7, 5.8, 5.9 y 5.10) obtenidos mediante el PCA, modifican el promedio sobre las geometr´ıas de la BRDF espectral como una combinaci´on lineal ponderada que depende de ellas, ecuaci´on (5.2). Puesto que H1(λ) y H2(λ) se normalizan con sus desviaciones t´ıpicas, los coeficientes de ponderaci´on c1yc2representan la variaci´on espectral relativa con respecto a la configuraci´on geom´etrica de referencia y la diferencia entre los pesos m´aximo y m´ınimo a una direcci´on de irradiaci´on/observaci´on espec´ıfica representa la variaci´on espectral relativa total en esa direcci´on. Igualmente, se define un par´ametro para describir la direcci´on de incidencia a la que se obtiene la m´axima variaci´on espectral, θsp,i,n, y otro para ese valor de variaci´on m´axima, δsp,i,n, donde el sub´ındice nindica la componente 1 ´o 2 (v´ease tabla 5.1). Finalmente, se definen dos ´ultimos par´ametros para describir la direcci´on de observaci´on a la que se obtiene la m´axima variaci´on espectral de la BRDF de cada material respecto al PRD, θsp,s,n, y dicha variaci´on m´axima, δsp,s,n, donde el sub´ındice nindica la componente 1 ´o 2 (v´ease tabla 5.1). Por ´ultimo, se visualizan las distribuciones espectrales de los dos coeficientes de ponderaci´on c1yc2de los autoespectros H1(λ) y H2(λ) en las figuras 5.11 (Spectralon), 5.12 (blanco ruso mate), 5.13 (blanco cer´amico mate) y 5.14 (pastilla de sulfato de bario). 90 −60 −40 −20 0 20 40 60 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 s (o) Valor de c1 i = 0o i = 75o i = 40o i = 35o i pares i impares (a) Primer coeficiente de ponderaci´on, c1 −60 −40 −20 0 20 40 60 0 1 2 3 4 5x 10−3 s (o) Valor de c2 i = 0o i = 75o i = 40o i = 0o i = 75o i = 40o i = 35o i pares i impares (b) Segundo coeficiente de ponderaci´on, c2 Figura 5.11: Distribuci´on espectral de los coeficientes de ponderaci´on de los autoespectros del Spectralon. 91 5.1. Caracterizaci´on angular y espectral −60 −40 −20 0 20 40 60 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 s (o) Valor de c1 i = 0o i = 75o i = 40o i = 35o i pares i impares (a) Primer coeficiente de ponderaci´on, c1 −60 −40 −20 0 20 40 60 −5 0 5 10 15x 10−3 s (o) Valor de c2 i = 0o i = 75o i = 40o i = 35o i pares i impares (b) Segundo coeficiente de ponderaci´on, c2 Figura 5.12: Distribuci´on espectral de los coeficientes de ponderaci´on de los autoespectros del blanco ruso mate. 92 −60 −40 −20 0 20 40 60 0 0.01 0.02 0.03 0.04 s (o) Valor de c1 i = 0o i = 75o i = 40o i = 35o i pares i impares (a) Primer coeficiente de ponderaci´on, c1 −60 −40 −20 0 20 40 60 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 s (o) Valor de c2 i = 0o i = 75o i = 40o i = 35o i pares i impares (b) Segundo coeficiente de ponderaci´on, c2 Figura 5.13: Distribuci´on espectral de los coeficientes de ponderaci´on de los autoespectros del blanco cer´amico mate. 93 5.1. Caracterizaci´on angular y espectral −60 −40 −20 0 20 40 60 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 s (o) Valor de c1 i = 0o i = 75o i = 40o i = 35o i pares i impares (a) Primer coeficiente de ponderaci´on, c1 −60 −40 −20 0 20 40 60 −2 0 2 4 6 8x 10−3 s (o) Valor de c2 i = 0o i = 75o i = 40o i = 35o i pares i impares (b) Segundo coeficiente de ponderaci´on, c2 Figura 5.14: Distribuci´on espectral de los coeficientes de ponderaci´on de los autoespectros de la pastilla de sulfato de bario. 94 En estas gr´aficas se dan los coeficientes de ponderaci´on correspondientes a los distintos ´angulos polares de incidencia (θientre 0◦y 75◦) cada 5◦. Se identifica el correspondiente a θi= 0◦(color rojo) y el de θi= 75◦(color azul), ´angulos polares de incidencia extremos. En color verde se representa los valores de los coeficientes de ponderaci´on correspondientes al resto de ´angulos θi, diferenciados con una l´ınea continua para los ´angulos pares y una discontinua para los impares. Adem´as, en color morado se identifican los valores de los dos ´angulos polares de incidencia intermedios, θi= 35◦yθi= 40◦. Se puede apreciar que estos valores var´ıan mon´otonamente. Al igual que para la representaci´on de ∆rfr, los valores de θs<0◦pertenecen al semiplano que contiene la direcci´on de incidencia y los valores θs>0◦corresponden al semiplano que contiene la direcci´on especular. Tampoco se representa la configuraci´on geom´etrica especular. 5.1.3. Discusi´on Para realizar un an´alisis de los resultados obtenidos para la variaci´on de la BRDF respecto a la del PRD, de forma clara, se hace una distinci´on entre las variaciones con respecto al comportamiento lambertiano y las relativas a los cambios espectrales. Como se ha expuesto en la secci´on anterior, estos patrones no son lambertianos ya que sus BRDFs no tienen un valor constante. Esta conclusi´on ya se ha demostrado por otros autores pero el estudio sistem´atico hecho aqu´ı, revela que se pueden observar diferentes comportamientos, como por ejemplo, la curvatura de la BRDF para un ´angulo de irradiaci´on dado en funci´on del ´angulo de observaci´on. 5.1.3.1. Comportamiento lambertiano Las figuras 5.3 (Spectralon), 5.4 (blanco ruso mate), 5.5 (blanco cer´amico mate) y 5.6 (pastilla de sulfato de bario) muestran que los cuatro patrones de reflectancia difusa no son difusores perfectos pues para ello la BRDF deber´ıa ser una funci´on constante; esto es, ∆rfr= 0 para todas las configuraciones geom´etricas medidas. No obstante, s´ı que se observa un comportamiento pr´oximo al ideal. Como se ha indicado en el apartado anterior, estas gr´aficas muestran un cambio de curvatura de la BRDF en funci´on de θsque tiene un punto de inflexi´on, definido por el ´angulo θnu. Este ´angulo no se ha determinado con precisi´on pero se sabe que est´a pr´oximo a 50◦en el caso del Spectralon y del blanco cer´amico mate, y cercano a 55◦en el caso del blanco ruso mate y de la pastilla de sulfato 95 5.1. Caracterizaci´on angular y espectral de bario (v´ease tabla 5.2). Cabe destacar que son valores pr´oximos a la geometr´ıa de referencia, recomendada por la CIE para la medida del factor de reflectancia (45◦), pero no es la misma. Para los patrones blancos estudiados, el mayor cambio de la BRDF en ´angulos peque˜nos de incidencia est´a entre un 15 % y un 20 % (v´ease δil en tabla 5.2), lo que hace no significativa la diferencia entre ellos. Sin embargo, la variaci´on relativa δih para grandes ´angulos de incidencia es muy diferente entre los patrones blancos (v´ease tabla 5.2). El patr´on blanco cer´amico mate presenta el mayor aumento con casi un 300 %, seguido del blanco ruso mate (alrededor del 150 %), la pastilla de sulfato de bario (con un 86 %) y, finalmente, el Spectralon (63 %). El mayor cambio de la BRDF para ´angulos de observaci´on peque˜nos y grandes, δsl yδsh respectivamente, se produce en direcciones similares a las obtenidas para δil yδih, respectivamente, como consecuencia del principio de reciprocidad de Helmholtz (v´ease tabla 5.2). Por otra parte, la diferencia m´ınima del promedio espectral de la BRDF se ha identificado con los par´ametros θi,ret yθs,ret que definen la direcci´on en la cual se encuentra el m´ınimo y δret que da la variaci´on del promedio espectral de la BRDF en el m´ınimo con respecto al valor de referencia. Se pueden distinguir dos casos diferentes para estos cuatro patrones de reflectancia difusa: El valor m´ınimo de la desviaci´on se encuentra en un ´angulo de observaci´on intermedio, como es el caso del Spectralon y la pastilla de sulfato de bario, cuyo θs,ret es 45◦y 35◦, respectivamente. El posterior aumento relativo de la desviaci´on desde el ´angulo θs,ret a 75◦, representado por el par´ametro δret, es del 3,4 % para el Spectralon y del 6,4 % para la pastilla de sulfato de bario. Los valores m´ınimos de la desviaci´on se obtienen, en ambos casos, para el mayor ´angulo de incidencia estudiado (θi,ret = 75◦). El valor m´ınimo de la desviaci´on se encuentra para el mayor ´angulo de observaci´on estudiado (θs,ret = 75◦). Este es el caso del blanco ruso mate y del blanco cer´amico mate. 5.1.3.2. Comportamiento espectral La distribuci´on espectral de todos los materiales estudiados var´ıa dependiendo de la configuraci´on geom´etrica de medida. Usando los par´ametros θsp,i,n(la direcci´on de incidencia con la m´axima variaci´on espectral) y δsp,i,n(la variaci´on m´axima) (v´ease tabla 5.1), se pueden distinguir dos casos diferentes: 96 La contribuci´on de H2(λ) es despreciable respecto a la contribuci´on de H1(λ), como es el caso del Spectralon y la pastilla de sulfato de bario. En ambos, la mayor variaci´on espectral se produce para el mayor ´angulo incidente θiestudiado (θsp,i,1= 75◦), alcanzando los valores de 2,1 % y 4,6 %, respectivamente. La contribuci´on de H2(λ) es comparable con la contribuci´on de H1(λ). En algunas configuraciones geom´etricas espec´ıficas, H1(λ) contribuye m´as que H2(λ) y viceversa. Este es el caso del blanco ruso mate y del blanco cer´amico mate. En ambos, la contribuci´on de H1(λ) es mayor cuando θsp,i,1= 55◦, alcanzando valores de la desviaci´on del 4 % y del 4,8 %, respectivamente. Mientras que la variaci´on espectral relativa correspondiente a H2(λ) es mayor cuando θsp,i,2= 75◦, alcanzando valores de la desviaci´on del 1,5 % y del 3,8 %, respectivamente. Los coeficientes de ponderaci´on de estos autoespectros, para cada configuraci´on geom´etrica, se muestran en las figuras 5.11 (Spectralon), 5.12 (blanco ruso mate), 5.13 (blanco cer´amico mate) y 5.14 (pastilla de sulfato de bario) para cada material, respectivamente. Al contrario que para la direcci´on de incidencia, en la direcci´on de observaci´on no se pueden distinguir dos casos, ya que la contribuci´on de H2(λ) siempre es comparable con la contribuci´on de H1(λ) en los cuatro patrones de reflectancia difusa. Al igual que en la descripci´on anterior, existen configuraciones geom´etricas en las que H1(λ) contribuye m´as que H2(λ) y viceversa. La mayor contribuci´on de H1(λ) se produce cuando θsp,s,1= 55◦para el blanco ruso mate y el blanco cer´amico mate, con valores de la desviaci´on del 2,9 % y del 4,1 %, respectivamente. Adem´as, esta condici´on tambi´en se cumple cuando θsp,s,1= 75◦en el Spectralon y en la pastilla de sulfato de bario, alcanzando valores de la desviaci´on del 1,2 % y del 3 %, respectivamente. Por el contrario, H2(λ) es mayor cuando θsp,s,2= 35◦para la pastilla de sulfato de bario, con un valor de la desviaci´on del 0,7 %; cuando θsp,s,2 = 45◦para el Spectralon, alcanzando un valor de la desviaci´on del 0,4 % y cuando θsp,s,2= 75◦para el blanco ruso mate y el blanco cer´amico mate, alcanzando valores de la desviaci´on del 1,6 % y del 3,6 %, respectivamente. El patr´on de reflectancia blanco cer´amico mate muestra la mayor variaci´on espectral (5 %) pero s´olo est´a ligeramente por encima de la variaci´on espectral de la pastilla de sulfato de bario. La menor variaci´on espectral se encuentra en el Spectralon (2 %). En cualquier caso, la variaci´on espectral aumenta conforme aumenta el ´angulo de incidencia. 97 5.2. Principio de reciprocidad de Helmholtz 5.2. Principio de reciprocidad de Helmholtz Los primeros indicios sobre reciprocidad para la luz se mencionan en un libro de texto publicado en 1867 por Helmholtz [43]. Tras ´el, a lo largo de los a˜nos, se pone de manifiesto que el principio de reciprocidad de Helmholtz se cumple para todo material [44, 45, 46, 47]. De hecho, la literatura parece indicar que las demostraciones sobre la violaci´on del principio [48, 49] se obtuvieron en condiciones en las que los errores experimentales no deber´ıan despreciarse [45]. El principio de reciprocidad de Helmholtz dice que la BRDF, fr, es invariante cuando se intercambian las direcciones de incidencia y observaci´on: fr(θi, φi;θs, φs;λ) = fr(θ0 i, φ0 i;θ0 s, φ0 s;λ) (5.6) siendo θ0 i=θs,φ0 i=φs,θ0 s=θiyφ0 s=φi. Al caracterizar los patrones blancos, se han realizado medidas de la BRDF que nos permiten contrastar este principio de reciprocidad. Para ello, con las configuraciones geom´etricas medidas (v´ease secci´on 5.1) para los cuatro patrones de reflectancia difusa y asumiendo simetr´ıa respecto a la direcci´on acimutal de incidencia, se calcula el coeficiente: Υ = 1 √2· fr(θi, φi;θs, φs;λ) fr(θ0 i, φ0 i;θ0 s, φ0 s;λ)−1 (5.7) donde √2, en el denominador, se utiliza para no tener en cuenta dos veces la desviaci´on con respecto al valor medio de las dos configuraciones rec´ıprocas. Υ es un ´ındice de la variaci´on relativa de la BRDF que valdr´ıa 0 si se cumple el principio de reciprocidad. Si se acepta dicho principio, el valor de Υ puede servir como ´ındice para detectar errores experimentales. Las figuras 5.15 (Spectralon), 5.16 (blanco ruso mate), 5.17 (blanco cer´amico mate) y 5.18 (pastilla de sulfato de bario) muestran los resultados obtenidos para el coeficiente Υ, en las configuraciones geom´etricas 0◦:45◦y 45◦:0◦en funci´on de la longitud de onda en todo el espectro visible. Para una mejor visualizaci´on se muestran los valores espectrales en intervalos de 5 nm, aunque se ha calculado cada nan´ometro. 98 −50 0 50 −5 0 5 10 x 10−3 Coeficiente de reciprocidad  i = 0o −50 0 50 −5 0 5 10 15 20 x 10−3 i = 10o −50 0 50 0 0.01 0.02 0.03 i = 20o s (o) Coeficiente de reciprocidad  −50 0 50 0 0.01 0.02 0.03 i = 30o s (o) −50 0 50 0 0.01 0.02 0.03 Coeficiente de reciprocidad  i = 40o −50 0 50 0 0.01 0.02 0.03 i = 50o −50 0 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 s (o) i = 60o Coeficiente de reciprocidad  −50 0 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 s (o) i = 70o Figura 5.22: Variaci´on del coeficiente de reciprocidad con el ´angulo polar de observaci´on para la pastilla de sulfato de bario. 105 5.2. Principio de reciprocidad de Helmholtz Una visi´on extensa de la variaci´on del coeficiente de reciprocidad, Υ, se expone en las figuras anteriores, para los cuatro patrones de reflectancia difusa. Cada una de las gr´aficas, dentro de las figuras, representa dicha variaci´on en funci´on del ´angulo polar de observaci´on θs, fijado el ´angulo polar incidente θi. Las barras de error representan la desviaci´on t´ıpica de la distribuci´on espectral. Tambi´en, se observan dos puntos singulares, estos corresponden al cociente por s´ı mismo, por tanto, y como consecuencia de la definici´on del coeficiente de reciprocidad Υ, ecuaci´on (5.7), son iguales a 0. Recu´erdese que los ´angulos polares de observaci´on negativos (θs<0) se sit´uan en el semiplano de la direcci´on de incidencia mientras que los ´angulos polares de observaci´on positivos (θs>0) se localizan en el semiplano de la direcci´on especular. Se observa un comportamiento sim´etrico para los patrones Spectralon (v´ease fig. 5.19), blanco ruso mate (v´ease fig. 5.20) y blanco cer´amico mate (v´ease fig. 5.21), mientras que la pastilla de sulfato de bario (v´ease fig. 5.22) no presenta de manera tan clara esa simetr´ıa pero, al mismo tiempo, tiene la respuesta m´as lambertiana, con una variaci´on del coeficiente de reciprocidad por debajo del 0,5 %. Al igual que para el estudio de la configuraci´on 0◦:45◦/ 45◦:0◦, los patrones Spectralon y blanco ruso mate son los m´as pr´oximos tanto en su comportamiento como en la variaci´on m´axima del coeficiente Υ, en torno al 1,5 %. Sin embargo, para la mayor parte de las geometr´ıas estudiadas, esta variaci´on est´a por debajo del 1 %. Por su parte, el blanco cer´amico mate tiene el peor comportamiento pues su desviaci´on supera el 3 %, aunque este valor se reduce considerablemente si se observa entre -50◦y 50◦. El resto de las configuraciones, con θitomando los valores de 10◦, 20◦, 30◦, 40◦, 50◦, 60◦y 70◦, tienen un comportamiento sim´etrico en general, y conforme aumenta el ´angulo polar de incidencia, aumenta la variaci´on del coeficiente de reciprocidad, a excepci´on del patr´on blanco cer´amico mate que reduce su m´aximo. Cabe destacar el patr´on fabricado de sulfato de bario pues a ´angulos rasantes, con θiigual a 60◦y 70◦, aumenta su desviaci´on notablemente. 5.2.1. Discusi´on En la configuraci´on 0◦:45◦/ 45◦:0◦, en el espectro visible (380 nm - 780 nm), se observa que el error de reciprocidad es menor que 1 % para los materiales difusores blancos a excepci´on del blanco cer´amico mate, pero todos los valores est´an dentro de la incertidumbre asociada a la medida. Adem´as, todos ellos muestran una desviaci´on uniforme en el rango espectral estudiado. Cabe destacar la pastilla de sulfato de bario, que aun siendo fabricada de forma manual, tiene 106 el mejor comportamiento y la menor desviaci´on del coeficiente de reciprocidad, considerada despreciable. Por otra parte, se representa el promedio espectral del coeficiente de reciprocidad Υ en funci´on del ´angulo polar de observaci´on θspara los ´angulos polares de incidencia θimedidos. 5.3. Retrorreflexi´on de patrones en incidencia normal La medida de la reflectancia hemisf´erica (0◦:di / 0◦:de o 8◦:di / 8◦:de) de materiales se hace, normalmente, utilizando m´etodos de comparaci´on [50]. El material bajo estudio se irradia en incidencia normal o muy pr´oxima a ella y la radiaci´on reflejada se recoge por medio de una esfera integradora cuya pared interior est´a uniformemente iluminada. Un detector produce una se˜nal proporcional a la potencia reflejada y la reflectancia hemisf´erica est´a dada por la relaci´on entre la se˜nal del detector producida por el material y la se˜nal del detector producida por un patr´on blanco irradiado como el material en estudio, multiplicado por la reflectancia del patr´on. En la pr´actica, la potencia reflejada no se recoge completamente por la esfera ya que la radiaci´on que incide en la muestra o el patr´on entra en la esfera por un orificio frente a ellos. La fracci´on de potencia reflejada no recogida depender´a del ´angulo s´olido subtendido por el orificio de entrada y de la distribuci´on angular de la potencia reflejada (lambertianidad). Por tanto, es importante estudiar esta distribuci´on angular en las direcciones pr´oximas a la de incidencia (en lo sucesivo, al conjunto de estas direcciones la denominaremos direcci´on de retrorreflexi´on) para poder corregir los patrones de acuerdo con el ´angulo s´olido de observaci´on espec´ıfico de cada instrumento y evitar errores en la medida, como podr´ıan ser los mostrados en la literatura [36]. La retrorreflectancia real no se puede medir con la mayor´ıa de los gonioespectrofot´ometros desarrollados en los ´ultimos a˜nos [1, 15, 16, 17, 18, 19]; por eso, generalmente, se hace una extrapolaci´on de los valores de reflectancia en esa regi´on. Sin embargo, esta soluci´on tiene un inconveniente importante puesto que se produce un aumento de la reflectancia alrededor de la direcci´on de retrorreflexi´on que no es posible extrapolar a menos que se conozca bien su distribuci´on angular. Este aumento est´a bien documentado en la literatura [51, 52] y se conoce con varios nombres: efecto oposici´on, surge, heiligenshein o efecto Minnaert. De acuerdo con la teor´ıa de retrodifusi´on coherente de la luz (en lo sucesivo, CBS) [51], este fen´omeno se produce por la interferencia constructiva de ondas parciales en un 107 5.3. Retrorreflexi´on de patrones en incidencia normal ´angulo s´olido centrado en la direcci´on de retrorreflexi´on cuando se produce una reflexi´on m´ultiple en el material. El aumento de reflectancia tiene una distribuci´on con forma triangular cuyo valor m´aximo puede incluso duplicar la reflectancia cuando la reflexi´on m´ultiple domina a la simple. Esta teor´ıa predice anchuras a medio pico por debajo de 1◦, lo que indica un ´angulo muy estrecho. Este rasgo caracter´ıstico de los materiales utilizados como patrones de reflectancia difusa no est´a tabulado, luego es necesario medirlo. Por todo esto, se ha estudiado exhaustivamente la BRDF en torno a esta direcci´on de retrorreflexi´on para los cuatro materiales difusores blancos habituales. 5.3.1. Procedimiento de medida Una configuraci´on particular de retrorreflexi´on es la medida de la retrorreflectancia en incidencia normal respecto a la superficie de la muestra (θi= 0◦), que es la geometr´ıa relevante de irradiaci´on para las medidas hemisf´ericas. Las adquisiciones de la radiancia de las muestras se llevan a cabo con el espectrorradi´ometro; cada 0,2◦se escanea θs(´angulo polar de observaci´on) desde 0◦hasta 8◦. El ´angulo acimutal se mantiene constante para todas las medidas ya que son materiales is´otropos (fig. 5.23). s = 8º s = 0º SR BS S Haz incidente Haz reflejado Figura 5.23: Esquema de la configuraci´on geom´etrica de medida en retrorreflexi´on con incidencia normal. BS: divisor de haz; SR: espectrorradi´ometro; S: Muestra. Se selecciona un campo de observaci´on de 0,1◦en el espectrorradi´ometro. El ´angulo mitad del ´angulo s´olido de irradiaci´on es de 0,51◦; de ah´ı que se coloque 108 una apertura de 7 mm de di´ametro frente al objetivo del espectrorradi´ometro con el fin de reducir el ´angulo mitad del ´angulo s´olido de observaci´on hasta 0,52◦. La convoluci´on de la apertura con la medida se deconvoluciona en el procesado de datos utilizando el algoritmo de Lucy-Richardson [53]. El efecto debido al ´angulo s´olido de irradiaci´on no nulo es despreciable ya que los materiales a caracterizar son difusores casi perfectos en esta zona. En el gonioespectrofot´ometro GEFE, la retrorreflexi´on (v´ease fig. 5.23) se mide a trav´es de un divisor de haz que produce algo de luz difusa y tiene una zona de oclusi´on para el haz reflejado. Ambos se corrigen cuidadosamente siguiendo el proceso explicado en el cap´ıtulo 2. El efecto de desplazamiento del divisor de haz tambi´en se evita mediante el desplazamiento vertical de la muestra cuando el espectrorradi´ometro se encuentra detr´as del divisor de haz. 5.3.2. Resultados A fin de comparar los datos de los cuatro patrones de reflectancia difusa, se calcula el promedio espectral de la BRDF como se ha hecho en los apartados anteriores. Dado que todos los materiales son blancos, este promedio espectral es significativo para el material y menos “ruidoso”que los valores espectrales. Los resultados obtenidos se normalizan al valor de la BRDF promediada espectralmente en θs= 8◦, donde el efecto oposici´on es despreciable de acuerdo a la teor´ıa. El cambio del valor de la BRDF se calcula como: ∆fr(θs) = fr(θs) fr(8o)−1 (5.8) y se representa en las figuras 5.24 (Spectralon), 5.25 (blanco ruso mate), 5.26 (blanco cer´amico mate) y 5.27 (pastilla de sulfato de bario) como una funci´on del ´angulo de observaci´on θs. Las barras de error muestran la desviaci´on t´ıpica de tres medidas independientes de la BRDF. Sus valores var´ıan entre el 0,3 % y el 0,9 %. La incertidumbre de medida de la BRDF con este gonioespectrofot´ometro es del 0,6 % con k= 2 (v´ease cap´ıtulo 3). 109 5.3. Retrorreflexi´on de patrones en incidencia normal 012345678 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 s (o) fr Figura 5.24: Variaci´on del promedio espectral relativo de la BRDF en torno a la direcci´on de retrorreflexi´on en incidencia normal para el Spectralon. 012345678 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 s (o) fr Figura 5.25: Variaci´on del promedio espectral relativo de la BRDF en torno a la direcci´on de retrorreflexi´on en incidencia normal para el blanco ruso mate. 110 012345678 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 s (o) fr Figura 5.26: Variaci´on del promedio espectral relativo de la BRDF en torno a la direcci´on de retrorreflexi´on en incidencia normal para el blanco cer´amico mate. 012345678 0 0.05 0.1 0.15 0.2 s (o) fr Figura 5.27: Variaci´on del promedio espectral relativo de la BRDF en torno a la direcci´on de retrorreflexi´on en incidencia normal para la pastilla de sulfato de bario. 111 5.3. Retrorreflexi´on de patrones en incidencia normal Los datos para los valores de θsentre 2,3◦y 5,5◦no se muestran en las figuras porque son muy ruidosos debido a la oclusi´on de la montura del divisor de haz. Se observa una distribuci´on aproximadamente triangular alrededor de θs= 0◦ para los cuatro patrones de reflectancia difusa. Seg´un lo predicho por la teor´ıa CBS, todas las distribuciones tienen una anchura a medio pico por debajo de 1◦. El m´aximo aumento observado es para la pastilla de sulfato de bario, con un incremento del 22 %, mientras que el Spectralon, el blanco ruso mate y el blanco cer´amico mate tienen un aumento similar, entre el 4,8 % y el 7,0 %. Se ha observado una dependencia muy peque˜na con la longitud de onda (entre 380 nm y 780 nm) en las medidas (menor del 2 % en los cuatro patrones) y es una tendencia predecible. Por eso, esta dependencia no se muestra y tampoco se considera en el an´alisis de los datos. 5.3.3. Discusi´on Para analizar mejor el efecto de retrorreflexi´on, los datos experimentales se deconvolucionan usando el algoritmo de Lucy-Richardson [53] para minimizar el efecto de la apertura del instrumento en la medida. La variaci´on relativa del promedio espectral de la BRDF (∆fr), tras la deconvoluci´on de la apertura, se muestra para cada uno de los patrones de reflectancia difusa en las figuras 5.28 (Spectralon), 5.29 (blanco ruso mate), 5.30 (blanco cer´amico mate) y 5.31 (pastilla de sulfato de bario). Para ´angulos θsmayores que 1,4◦el algoritmo de deconvoluci´on no produce ning´un cambio, por lo que se representan los mismos datos para esos ´angulos que en las figuras anteriores. 112 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 s (o) fr Figura 5.28: Variaci´on de BRDF tras la deconvoluci´on de los datos experimentales del Spectralon seg´un el modelo CBS (l´ınea discontinua) y seg´un la funci´on exponencial (l´ınea continua). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 s (o) fr Figura 5.29: Variaci´on de BRDF tras la deconvoluci´on de los datos experimentales del blanco ruso mate seg´un el modelo CBS (l´ınea discontinua) y seg´un la funci´on exponencial (l´ınea continua). 113 5.3. Retrorreflexi´on de patrones en incidencia normal 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 s (o) fr Figura 5.30: Variaci´on de BRDF tras la deconvoluci´on de los datos experimentales del blanco cer´amico mate seg´un el modelo CBS (l´ınea discontinua) y seg´un la funci´on exponencial (l´ınea continua). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 s (o) fr Figura 5.31: Variaci´on de BRDF tras la deconvoluci´on de los datos experimentales de la pastilla de sulfato de bario seg´un el modelo CBS (l´ınea discontinua) y seg´un la funci´on exponencial (l´ınea continua). 114 400 450 500 550 600 650 700 750 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 Longitud de onda (nm) R (0o,0o;45o,180o) Figura 5.33: Factor de reflectancia 0◦:45◦en funci´on de la longitud de onda de la muestra de blanco ruso mate estudiada. Las barras de error indican la incertidumbre relativa asociada a la medida. 121 5.4. Realizaci´on de patrones de medida Tabla 5.9: Valores espectrales del factor de reflectancia R(0◦,0◦:45◦,180◦) del blanco ruso mate. Longitud de onda (nm) Factor de reflectancia Incertidumbre relativa 380 0,899 0,013 390 0,8943 0,0088 400 0,9064 0,0067 410 0,9159 0,0077 420 0,9220 0,0056 430 0,9216 0,0059 440 0,9213 0,0063 450 0,9243 0,0074 460 0,9174 0,0053 470 0,9230 0,0054 480 0,9250 0,0055 490 0,9327 0,0053 500 0,9315 0,0048 510 0,9360 0,0049 520 0,9345 0,0046 530 0,9394 0,0049 540 0,9387 0,0056 550 0,9395 0,0051 560 0,9383 0,0048 570 0,9425 0,0047 580 0,9435 0,0048 590 0,9445 0,0045 600 0,9364 0,0046 610 0,9379 0,0051 620 0,9398 0,0046 630 0,9387 0,0046 640 0,9378 0,0046 650 0,9355 0,0046 660 0,9349 0,0048 670 0,9377 0,0047 680 0,9363 0,0049 690 0,9285 0,0048 700 0,9319 0,0050 710 0,9285 0,0057 720 0,9354 0,0056 730 0,9294 0,0055 740 0,9248 0,0063 750 0,9186 0,0062 760 0,9247 0,0078 770 0,9312 0,0085 780 0,928 0,015 122 400 450 500 550 600 650 700 750 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 Longitud de onda (nm) R (0o,0o;45o,180o) Figura 5.34: Factor de reflectancia 0◦:45◦en funci´on de la longitud de onda de la muestra de blanco cer´amico mate estudiada. Las barras de error indican la incertidumbre relativa asociada a la medida. 123 5.4. Realizaci´on de patrones de medida Tabla 5.10: Valores espectrales del factor de reflectancia R(0◦,0◦:45◦,180◦) del blanco cer´amico mate. Longitud de onda (nm) Factor de reflectancia Incertidumbre relativa 380 0,723 0,013 390 0,7564 0,0087 400 0,7906 0,0067 410 0,8152 0,0076 420 0,8320 0,0055 430 0,8339 0,0059 440 0,8366 0,0063 450 0,8448 0,0074 460 0,8390 0,0054 470 0,8460 0,0054 480 0,8546 0,0055 490 0,8586 0,0053 500 0,8629 0,0048 510 0,8661 0,0050 520 0,8674 0,0047 530 0,8692 0,0049 540 0,8717 0,0056 550 0,8742 0,0052 560 0,8720 0,0048 570 0,8747 0,0047 580 0,8758 0,0048 590 0,8777 0,0046 600 0,8757 0,0047 610 0,8783 0,0052 620 0,8775 0,0046 630 0,8782 0,0046 640 0,8776 0,0046 650 0,8743 0,0047 660 0,8755 0,0048 670 0,8768 0,0048 680 0,8777 0,0050 690 0,8702 0,0048 700 0,8756 0,0050 710 0,8724 0,0058 720 0,8762 0,0057 730 0,8717 0,0055 740 0,8676 0,0064 750 0,8672 0,0062 760 0,8711 0,0078 770 0,8689 0,0085 780 0,866 0,015 124 400 450 500 550 600 650 700 750 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 Longitud de onda (nm) R (0o,0o;45o,180o) Figura 5.35: Factor de reflectancia 0◦:45◦en funci´on de la longitud de onda de la muestra de sulfato de bario estudiada. Las barras de error indican la incertidumbre relativa asociada a la medida. 125 5.4. Realizaci´on de patrones de medida Tabla 5.11: Valores espectrales del factor de reflectancia R(0◦,0◦:45◦,180◦) de la pastilla de sulfato de bario. Longitud de onda (nm) Factor de reflectancia Incertidumbre relativa 380 0,984 0,013 390 0,9679 0,0088 400 0,9669 0,0068 410 0,9720 0,0077 420 0,9713 0,0056 430 0,9682 0,0060 440 0,9632 0,0063 450 0,9653 0,0074 460 0,9580 0,0054 470 0,9589 0,0055 480 0,9615 0,0056 490 0,9656 0,0054 500 0,9659 0,0049 510 0,9709 0,0050 520 0,9677 0,0047 530 0,9720 0,0050 540 0,9702 0,0056 550 0,9701 0,0052 560 0,9668 0,0049 570 0,9731 0,0048 580 0,9741 0,0049 590 0,9732 0,0046 600 0,9688 0,0047 610 0,9693 0,0052 620 0,9692 0,0047 630 0,9717 0,0047 640 0,9674 0,0047 650 0,9651 0,0047 660 0,9643 0,0048 670 0,9664 0,0048 680 0,9693 0,0050 690 0,9566 0,0049 700 0,9599 0,0050 710 0,9589 0,0058 720 0,9625 0,0057 730 0,9571 0,0055 740 0,9541 0,0064 750 0,9541 0,0063 760 0,9558 0,0078 770 0,9575 0,0085 780 0,945 0,015 126 5.4.1.1. Comparaci´on de la calibraci´on de factor de reflectancia Para contrastar el m´etodo de calibraci´on desarrollado, se ha medido un patr´on de referencia externa calibrado en el National Institute of Standards and Tecnology (NIST) (Multi-Angle White Reflectance Standard, Standard Reference Material®2017). El material del patr´on es vidrio de ´opalo blanco (opal glass) con acabado en brillo (fig. 5.36) con un di´ametro de 44 mm. Figura 5.36: Patr´on de referencia calibrado en el NIST. Se realiza una medici´on de la BRDF, fr, de este patr´on para la condici´on 45◦:0◦en todo el rango visible y se calcula su factor de reflectancia, R, como se ha indicado en el apartado anterior: R(45,0; 0,0/180) = π fr(45,0; 0,0/180) (5.13) En la figura 5.37 se muestra el resultado obtenido para el factor de reflectancia en funci´on de la longitud de onda. Las barras de error representan la incertidumbre relativa asociada a la medida. Como se puede observar, el valor m´as probable a 380 nm est´a por encima de 1. Esto es una anomal´ıa que se debe posiblemente a un error experimental en la calibraci´on que se est´a investigando. En esta zona las medidas son m´as ruidosas. No obstante, la barra de incertidumbre est´a por debajo de 1. 127 5.4. Realizaci´on de patrones de medida 400 450 500 550 600 650 700 750 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 Longitud de onda (nm) R (45o,0o;0o,0o) Figura 5.37: Factor de reflectancia 45◦:0◦en funci´on de la longitud de onda del patr´on (Multi-Angle White Reflectance Standard, Standard Reference Material®2017). Las barras de error indican la incertidumbre relativa. Para establecer la bondad de la calibraci´on realizada, se define el criterio de error normalizado o ´ındice de compatibilidad (C). Este criterio de aceptaci´on es uno de los m´as comunes dentro de las comparaciones entre laboratorios. Para calcular el error normalizado, se utiliza la siguiente expresi´on: C=|Xlab −Xref| pU2 lab +U2 ref (5.14) En este caso, Xlab es el valor medido con el gonioespectrofot´ometro, Xref es el valor de referencia (certificado), Ulab es la incertidumbre expandida del resultado medido con el gonioespectrofot´ometro y Uref es la incertidumbre expandida del valor de referencia. Se dice que los resultados son compatibles si: C≤1 (5.15) En la tabla 5.12 se muestran los valores del factor de reflectancia 45◦:0◦ obtenidos en el laboratorio y los del certificado de calibraci´on junto con sus incertidumbres expandidas y el ´ındice de compatibilidad correspondiente. 128 Tabla 5.12: Valores del factor de reflectancia 45◦:0◦del patr´on de referencia obtenidos en el laboratorio y certificados por el NIST, as´ı como el ´ındice de compatibilidad de los mismos. Gonioespectrofot´ometro, GEFE Valores certificados Longitud de Factor de Incertidumbre Factor de Incertidumbre ´ Indice de onda (nm) reflectancia expandida reflectancia expandida compatibilidad 380 1,007 0,012 0,9560 0,0064 3,7 390 0,9684 0,0066 0,9640 0,0064 0,48 400 0,9631 0,0063 0,9700 0,0061 0,79 410 0,9723 0,0062 0,9740 0,0061 0,20 420 0,9761 0,0062 0,9750 0,0061 0,13 430 0,9751 0,0061 0,9770 0,0061 0,22 440 0,9804 0,0062 0,9770 0,0061 0,39 450 0,9866 0,0061 0,9790 0,0061 0,88 460 0,9797 0,0061 0,9820 0,0061 0,27 470 0,9776 0,0061 0,9840 0,0061 0,74 480 0,9870 0,0061 0,9840 0,0061 0,35 490 0,9870 0,0061 0,9850 0,0061 0,23 500 0,9819 0,0061 0,9860 0,0061 0,48 510 0,9808 0,0061 0,9860 0,0061 0,60 520 0,9844 0,0061 0,9860 0,0061 0,18 129 5.4. Realizaci´on de patrones de medida Tabla 5.12 – (Continuaci´on) Factores de reflectancia, incertidumbres e ´ındice de compatibilidad Gonioespectrofot´ometro, GEFE Valores certificados Longitud de Factor de Incertidumbre Factor de Incertidumbre ´ Indice de onda (nm) reflectancia expandida reflectancia expandida compatibilidad 530 0,9862 0,0061 0,9860 0,0061 0,022 540 0,9884 0,0061 0,9860 0,0061 0,28 550 0,9863 0,0061 0,9850 0,0061 0,15 560 0,9858 0,0061 0,9840 0,0061 0,20 570 0,9859 0,0061 0,9830 0,0061 0,34 580 0,9874 0,0061 0,9820 0,0061 0,62 590 0,9850 0,0061 0,9810 0,0061 0,46 600 0,9828 0,0061 0,9810 0,0061 0,21 610 0,9866 0,0061 0,9800 0,0061 0,76 620 0,9880 0,0061 0,9800 0,0061 0,93 630 0,9874 0,0061 0,9800 0,0061 0,85 640 0,9880 0,0061 0,9810 0,0061 0,81 650 0,9842 0,0061 0,9810 0,0061 0,37 660 0,9860 0,0061 0,9820 0,0061 0,47 670 0,9851 0,0061 0,9820 0,0061 0,36 680 0,9888 0,0061 0,9830 0,0061 0,67 130