Ejemplos clásicos de la teoría de juegos

Facul ad de Ciencias Económicas y Emp esa iales T abajo de Fin de G ado G ado en Economía Ejemplos Clásicos de la Teo ía de Juegos P esen ado po : Juan Camilo He nández Blandón Valladolid, 25 de Julio de 2022 1 Resumen: El p esen e T abajo Fin de G ado busca ealiza una ap oximación a una disciplina ma emá ica an es udiada como es la Teo ía de Juegos. El nacimien o de es a se a ibuye al ma emá ico John Von Neumann y al economis a Oska Mo gens e n con la publicación de su lib o “Theo y o Games and Economic Beha iou ” en 1944. Más a de y g acias a economis as como John Nash, William Vick ey o Paul Milg om la Teo ía de Juegos alcanza ía su máxima ele ancia al gana es os es udiosos, en e o os, los P emios Nobel de Economía. Po o o lado, es e abajo e sa á exclusi amen e en los juegos no coope a i os y en conc e o se expond án los ejemplos clásicos de la Teo ía de Juegos y se halla án los Equilib ios de Nash de es os, an o en los juegos en o ma no mal, siendo el más conocido el Dilema del P isione o, como en los juegos en o ma ex ensi a, siendo uno de los ejemplos más conocidos el Duopolio de S acke lbe g. No sin an es epasa la e minología y los concep os básicos de la ma e ia, como pod ían se los ipos de es a egias (pu as o mix as), o el ipo de in o mación exis en e en el juego, a modo de in oducción. Palab as Cla e: Teo ía de Juegos, Equilib io de Nash, Juegos no Coope a i os, P emios Nóbel. Clasi icación JEL: C7, C72, C70 Summa y: This Final Deg ee P ojec seeks o make an app oxima ion o a ma hema ical discipline as s udied as Game Theo y. The bi h o his is a ibu ed o he ma hema ician John Von Neumann and he economis Oska Mo gens e n wi h he publica ion o his book "Theo y o Games and Economic Beha io " in 1944. La e and hanks o economis s such as John Nash, William Vick ey o Paul Milg om Game Theo y would each i s maximum ele ance when hese schola s won, among o he s, he Nobel P izes in Economics. 2 Fu he mo e, his essay ocuses pu ely on non-coope a i e games, add essing classical examples o Game Theo y and hei Nash Equilib ium, bo h in no mal o m, whe e he P isone 's Dilemma s ands ou , and in ex ensi e o m, whe e S acke lbe g's Duopoly is bes known. Be o e his and as an in oduc ion o he opics, he e minology and basic concep s such as he ype o s a egies (pu e o mixed), o he ype o in o ma ion ha exis s in he game, will be e iewed. Key Wo ds: Game Theo y, Nash Equilib ium, Non Coope a i e Games, Nobel P izes JEL Classi ica ion: C7, C72, C70 3 INDICE DE CONTENIDO 1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS, OBJETIVOS DEL TRABAJO Y METODOLOGÍA ........................................................................................................ 5 2 HISTORIA SOBRE LA TEORÍA DE JUEGOS .................................................... 6 2.1 John Nash, John Ha sanyi y Reinha d Sel en ......................................................... 7 2.2 William Vick ey y James Mi lees: ........................................................................... 9 2.3 Robe Aumann y Thomas Schelling ..................................................................... 10 2.4 Robe B. Wilson y Paul Milg om ........................................................................... 11 2.5 Al in Ro h y Lloyd Shapley .................................................................................... 12 3 DEFINICIÓN TEORÍA DE JUEGOS .................................................................. 13 3.1 Te minología básica .............................................................................................. 13 3.2 Ca ego ías de juegos ............................................................................................ 14 4 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UN JUEGO .......................................... 15 4.1 Juegos en o ma no mal o es a égica................................................................... 15 4.2 Juegos en o ma ex ensi a .................................................................................... 16 5 EQUILIBRIO DE NASH ..................................................................................... 19 5.1 Juegos en o ma no mal ........................................................................................ 19 5.2 Juegos en o ma ex ensi a .................................................................................... 20 6 EJEMPLOS CLÁSICOS DE TEORÍA DE JUEGOS EN FORMA NORMAL ..... 22 6.1 El dilema del p isione o ......................................................................................... 22 6.2 Ba alla de los sexos .............................................................................................. 24 6.3 Caza del cie o ..................................................................................................... 26 6.4 El halcón y la paloma ............................................................................................ 29 6.5 Pied a-papel- ije a ................................................................................................. 31 6.6 Pe iciones de Nash ............................................................................................... 33 6.7 La es a egia maximin ........................................................................................... 34 6.8 Duopolio de Cou no ............................................................................................. 35 6.9 Duopolio de Be and ............................................................................................ 37 7 EJEMPLOS CLÁSICOS JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA ........................... 39 7.1 Duopolios: S ackelbe g ......................................................................................... 39 7.2 Juego del ul imá um .............................................................................................. 41 7.3 Juego del dic ado ................................................................................................. 43 7.4 Juego del epa o .................................................................................................. 43 7.5 Juego de disuasión ............................................................................................... 45 8 CONCLUSIONES .............................................................................................. 46 4 9 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 47 INDICE DE TABLAS: Tabla 4-1:Rep esen acion del Ejemplo 1 en o ma es a égica ................................ 16 Tabla 5-1: Equilib io de Nash en el Ejemplo 1. ......................................................... 20 Tabla 5-2:Equilib io de Nash median e la Inducción hacia a ás. ............................. 21 Tabla 6-1: Dilema del p isione o ............................................................................... 22 Tabla 6-2:Equilib io de Nash en el Dilema del P isione o. ........................................ 23 Tabla 6-3:Ba alla de los sexos .................................................................................. 24 Tabla 6-4:Equilib io de Nash en la Ba alla de los sexos. .......................................... 25 Tabla 6-5:Ba alla de los sexos con es a egias mix as. ............................................ 25 Tabla 6-6:Caza del cie o ......................................................................................... 27 Tabla 6-7:Equilib io de Nash en la caza del cie o. .................................................. 27 Tabla 6-8 La caza del cie o con es a egias mix as. ............................................... 28 Tabla 6-9:El halcón y la paloma. .............................................................................. 29 Tabla 6-10:Equilib io de Nash en el halcón y la paloma. .......................................... 30 Tabla 6-11 Halcón y la paloma: Equilib io de Nash en es a egias mix as ............... 30 Tabla 6-12:Pied a-papel- ije a ................................................................................. 32 Tabla 6-13 Es a egias Maximin ............................................................................... 34 INDICE DE FIGURAS: Figu a 4-1:Rep esen ación el Ejemplo 1 en o ma ex ensi a ................................... 18 Figu a 6-1Rep esen ación del juego de las pe iciones de Nash ............................... 34 Figu a 7-1:Juego del ul imá um con n=4 .................................................................. 41 Figu a 7-2: Equilib io de Nash pa a juego del ul imá um (1) ..................................... 42 Figu a 7-3: Equilib io de Nash pa a juego del ul imá um (2) ..................................... 42 Figu a 7-4: Juego del epa o pa a n=4 .................................................................... 43 Figu a 7-5: Equilib io de Nash pa a juego del epa o (1) ......................................... 44 Figu a 7-6: Equilib io de Nash pa a juego del epa o (2) ......................................... 44 Figu a 7-7: Juego de disuasión ................................................................................ 45 Figu a 7-8: Equilib io de Nash pa a el juego de disuasión........................................ 45 5 1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS, OBJETIVOS DEL TRABAJO Y METODOLOGÍA La Teo ía de Juegos es una ama de las ma emá icas u ilizada pa a el es udio de las elaciones de con lic o y de coope ación en e los in eg an es de un juego. Los campos de aplicación son a ios, como la sociología o la biología, pe o donde más se emplea es en la economía. En el análisis de un juego la p emisa undamen al es que sus in eg an es son indi iduos acionales, es deci , op a án po aquella elección, en e las posibles, que más u ilidad les o o gue. Exis en dos ipos de juegos, los no coope a i os, en los que los in eg an es de dicho juego es án en con lic o de in e és, o los juegos coope a i os en los que los in eg an es buscan ob ene las mejo es ecompensas pa a el g upo analizando las es a egias óp imas, eniendo en cuen a que oma án acue dos inculan es. Es e abajo se basa á en los juegos no coope a i os y a los p emios que han sido o o gados en es e ámbi o, especialmen e a John Nash (1928-2015), no obs an e, cabe des aca la impo ancia de los juegos coope a i os, g acias especialmen e a Lloyd Shapley (1923-2016), a quien se le o o gó el P emio Nobel en el año 2012. El obje i o de es e abajo es ealiza un es udio básico sob e la Teo ía de Juegos, comen ando b e emen e sus inicios y los p emios impo an es que se han o o gado a in es igado es y académicos en es e campo. También expone los ejemplos clásicos de juegos que exis en y halla sus Equilib ios de Nash. Pa a da a conoce la Teo ía de Juegos, p ime o se explica á b e emen e los concep os básicos de es a eo ía, la de inición, las pa es de un juego y los ipos de juegos. Pos e io men e se ha á hincapié en su his o ia y en los in es igado es que han hecho que la Teo ía de Juegos sea an impo an e, en especial John Nash y su g an apo ación llamada “el Equilib io de Nash”, cuya impo ancia es undamen al. Se e á un análisis de los ipos de juegos, los de o ma no mal y los de o ma ex ensi a, pa a después e los ejemplos más clásicos de es os juegos y los Equilib ios de Nash en cada uno de ellos. Pa a inaliza se ex ae án unas conclusiones y se e mina á exponiendo la bibliog a ía u ilizada pa a la ealización del abajo. 6 A modo de simpli icación, en el abajo solo se a a e e i a juegos en los que pa icipan dos indi iduos, ya que es más sencilla su ep esen ación, an o de o ma ma icial ( o ma no mal), como de o ma de á bol ( o ma ex ensi a). 2 HISTORIA SOBRE LA TEORÍA DE JUEGOS Según el ex o de Teno io y Ma ín (2015), el nacimien o de la Teo ía de Juegos ac ual se a ibuye al ma emá ico John Von Neumann y al economis a Oska Mo gens e n y su lib o común “Theo y o Games and Economic Beha iou ” en 1944, siendo es a publicación cla e, ya que g acias a ella se consiguie on o maliza odas las ideas an e io es a la publicación del lib o. En él se es ablecie on los esul ados de los juegos de suma ce o. Los p ime os esc i os sob e Teo ía de Juegos da an de 1704, g acias al ma emá ico y ilóso o Go i ed Wilhelm Leibniz, quien en su ob a Nou eaux Essais su l’en endemen humain habla de la exis encia de una nue a lógica que depende de la p obabilidad. En 1713 po pa e de Waldeg a e, es ablece el concep o de es a egias mix as y su esolución de minimax, con la que más adelan e se conoce ía la denominada ac ualmen e solución “minimax''. Pos e io men e, en 1838, el economis a An oine Agus in Cou no , desa olló su modelo de dos emp esas (duopolio), el esul ado de es e modelo coincide con el que halló John Nash un siglo después en su denominado Equilib io de Nash. O os ma emá icos que es udia on la Teo ía de Juegos du an e es a época ue on Ze melo con su a ículo Übe eine Anwendung de Mengenleh e au die Theo ie des Schachpiels (1913), Bo el con su a ículo ´La héo ie du jeu e les équa ions in ég ales au noyau symé ique” (1921) o John Von Neumann con su a ículo Zu Theo ie de Gesellscha sspiele (1928), es e úl imo ealizando una demos ación del minimax y en es e mismo abajo p oponiendo la de inición de es a egia que se u iliza hoy en día. En la década de los años 50 y 60, y a aíz de la publicación en 1944 del lib o “Theo y o Games and Economic Beha iou ”, se publica on nume osos a ículos sob e la Teo ía de Juegos y sus aplicaciones a las di e sas si uaciones económicas. John 7 Nash des acó du an e es os años p esen ando su Tesis Doc o al en 1950 sob e los juegos no coope a i os y es ableciendo el pun o de equilib io o Equilib io de Nash. En ese mismo año los ma emá icos Mel in D eshe y Me il Meeks Flood desa olla on el “Dilema del P isione o”, o malizado poco después po Tucke . Du an e los años 60 se a ó de aplica la Teo ía de Juegos a dis in os ámbi os como la biología o la economía y a la esolución de p oblemas en el mundo eal y se aplicó den o de la llamada “Gue a F ía”. Finalmen e, en 1994 llegó el anhelado econocimien o pa a la Teo ía de Juegos den o de la economía cuando John Nash, John Ha sanyi y Reinha d Sel en ue on gala donados con el P emio Nobel de la Academia Sueca en Ciencias Económicas. En es e apa ado del abajo se expond án b e emen e las biog a ías y los econocimien os po los que ue on p emiados los dis in os economis as o ma emá icos en las di e en es ediciones de los P emios Nobel, elacionadas con la Teo ía de Juegos. Los P emios Nobeles de Economía no son exac amen e P emios Nobel, ya que no es o o gado po la Fundación Nóbel, sino po el Banco Cen al de Suecia, que en 1968 c eó el p emio “P emio S e iges Riksbank de Ciencias Económicas en memo ia de Al ed Nobel” y desde ese momen o el p emio ha sido o o gado po la Academia de Ciencias Sueca con las mismas condiciones que las o as ca ego ías de p emios que se lle aban en egando desde 1901 (medicina, química, ísica, li e a u a e inicia i as po la paz). 2.1 John Nash, John Ha sanyi y Reinha d Sel en El o o gado en el año 1994 po la Real Academia de las Ciencias de Suecia po “su papel pione o en el análisis de los equilib ios en la Teo ía de Juegos No Coope a i os”. John Fo bes Nash (1928-2015) Economis a y ma emá ico es adounidense. Es udió ma emá icas en el Ca negie Ins i u e o Technology y pos e io men e ealizó un Doc o ado en Economía en la Uni e sidad de P ince on. Publicó en 1949 en la e is a Annals o Ma hema ics un a ículo llamado “Non-coope a i e Games” que esumió a ias ideas de su esis 14 ○ Es a in o mación puede se pe ec a o impe ec a, dependiendo de si los jugado es se án conocedo es(pe ec a) o no(impe ec a) de lo que haya ealizado el o o an e io men e. ○ O a o ma de clasi icación puede se comple a (los jugado es conocen oda la in o mación ela i a a las consecuencias de las jugadas), o incomple a (los jugado es desconocen algo de in o mación ela i a a las consecuencias de las jugadas). ● Es a egias: conjun o de acciones que ealiza cada jugado . ● Pe il de es a egias: ec o de es a egias pe enecien e a cada jugado en el que se e lejan sus decisiones según el desa ollo del juego. ● Resul ados del juego: las dis in as o mas en las que un juego puede e mina , dependiendo de las es a egias elegidas po los jugado es. ● Pagos: al inaliza un juego, son los esul ados que ob ienen los dis in os jugado es dependiendo del desa ollo del juego. El alo de es os pagos depende á de cada jugado y de su u ilidad. 3.2 Ca ego ías de juegos ● Simé icos o asimé icos: Los juegos simé icos son aquellos en los que las ecompensas y cas igos son los mismos pa a cada jugado , un ejemplo de ello es el dilema del p isione o. Los juegos asimé icos son aquellos en los que las ecompensas son dis in as pa a cada jugado . ● Juegos de suma ce o: Son los juegos en los que el jugado ganado ob iene la misma can idad que ha pe dido el o o jugado , ejemplos de ello se ía i a la moneda y el póke . ● Simul áneos o secuenciales: Juegos en los que los jugado es ac úan a la ez o uno oma la decisión después del o o. ● Fo ma es a égica: una de las o mas en las que podemos ep esen a un juego, ambién llamada o ma no mal. En ella la in o mación ace ca de los pagos se e e lejada en una abla, en ella podemos e las es a egias de cada uno de los jugado es, así como los pagos co espondien es a cada pe il de es a egias omadas po los jugado es si el juego se ealiza de o ma simul ánea. 15 ● Fo ma ex ensi a: la o a o ma de ep esen ación de un juego, ambién conocida como o ma de á bol, el juego se desa olla de o ma secuencial, empezando po la decisión del p ime jugado y de ella depende á la decisión que ome el p óximo jugado . ● Es a egias pu as: en es e ipo de es a egia el jugado lle a a cabo una acción con o al ce eza. ● Se denomina S al conjun o de pe iles de es a egias del juego, al que S=s1xs2x…sn. También se denomina como ui (s1, s2, ...si-1, si+1, ..., sn) a la u ilidad que ecibe el jugado i cuando el es o de los jugado es ealizan el conjun o de es a egias pu as (s1, s2, ...si-1, si+1, ..., sn) Un juego ini o en o mal no mal puede se ep esen ado como: 𝐺={𝐽𝑖,(𝑆𝑖)𝑖∈𝐽,(𝑢𝑖)𝑖∈𝐽} ● Es a egias mix as: en es e caso los jugado es, apa e de las es a egias con 100% de p obabilidad, pueden elegi es a egias que no engan una ce eza o al, asignando dis in as p obabilidades a las es a egias pu as. 4 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UN JUEGO 4.1 Juegos en o ma no mal o es a égica Según el abajo de Gibbons (1993), en los juegos en o ma no mal o es a égica, cada jugado elige su es a egia de o ma simul ánea y al conjun o de es as es a egias elegidas po cada jugado le co esponde una ganancia pa a cada uno. Es e ipo de juegos se les conside a de dominio público, ya que los jugado es son conocedo es de odas las es a egias de odos los jugado es y de las ganancias que ob end ía cada uno de ellos. Pa a pode lle a a cabo la ep esen ación de un juego de o ma no mal, se an a necesi a de los siguien es elemen os siguiendo el manual de e e encia: ● El conjun o J= {1, 2, ..., n} de los jugado es ● El conjun o de es a egias de cada jugado , 𝑆𝑖 pa a cada i de J ● La unción de pagos de cada jugado : 𝑢𝑖 pa a cada i de J 16 Con es os elemen os el juego se ep esen a de la siguien e mane a: 𝐺={𝐽𝑖,(𝑆𝑖)𝑖∈𝐽,(𝑢𝑖)𝑖∈𝐽} Se u iliza á un pequeño ejemplo pa a sin e iza es os concep os con un juego de 2 jugado es y con núme o ini o de es a egias pu as. Ejemplo 1: Celia y Ma a son dos amigas que i en ce ca y ienen el p oblema de cómo ol e a casa, si andando o en au obús. A Celia le in e esa más ol e andando, mien as que a Ma a odo lo con a io. En la ep esen ación ma icial de es e ipo de juegos es común que en las ablas se ep esen a al jugado 1 en las ilas y al jugado 2 en las columnas. Tabla 4-1:Rep esen acion del Ejemplo 1 en o ma es a égica Celia (B) Andando Au obús Ma a (A) Andando 2,5 5,3 Au obús 7,3 8,1 Fuen e: elabo ación p opia Aquí se puede obse a cómo Ma a (en adelan e jugado a A) decide si ol e a casa andando o en au obús. Mien as que Celia (jugado a B) elige de igual o ma en e las mismas opciones. Po ejemplo, si A eligie a i en au obús y B andando, los pagos co espondien es se ían 7 pa a A y 3 pa a B. 4.2 Juegos en o ma ex ensi a Los juegos en o ma ex ensi a ep esen an los modelos dinámicos, aquellos en los que los jugado es oman sus decisiones después de sabe la decisión que ha omado el jugado an e io . En es e ipo de juego hay que especi ica los siguien es da os: 17 núme o de jugado es, cuán o juega cada jugado , que puede hace , la in o mación que posee cuando iene que juga y sus posibles ganancias según las dis in as posibilidades del juego. Es os juegos de ep esen ación ex ensi a son conocidos ambién como juegos en o ma de á bol po que pa a su ep esen ación se u ilizan diag amas en á bol. Basándonos en el ex o de Pé ez, Jimeno y Ce dá (2013). Un juego en o ma ex ensi a end ía ep esen ado de la siguien e o ma: 𝜞={ 𝐽,(𝑋,𝜎),(𝐴,𝞪),{𝑥𝑖}𝑖∊𝐽,{𝐻𝑖}𝑖∊𝐽,(𝐴(ℎ))ℎє𝐻,𝜌,𝑟} siendo: - J es el núme o de jugado es, J= {0,1,2, …, n}. El 0 ep esen a el aza , en caso de no exis i el aza en el juego, J= {1, 2, ..., n} - X simboliza el conjun o de nodos, cada nodo ep esen a una posible si uación del juego. Al nodo inicial, el que es la aíz del juego, se le ep esen a con 0, pa a los demás enemos la siguien e unción: - A simboliza el conjun o de odas las acciones posibles y α(x) la acción que lle a desde el nodo p edeceso σ(x) al nodo ac ual x. Se de ine de la siguien e mane a: - Xi simboliza el conjun o de nodos de decisión en los que el jugado i puede elegi la acción que a a ealiza . En los nodos pa icula es de decisión solamen e es un jugado el que ealiza la acción, po lo que: Con ello comp obamos que {𝑋𝑖}𝑖𝜖𝐽 cons i uye una pa ición, po jugado es, del conjun o de nodos de decisión. 18 -𝐻𝑖 simboliza una amilia de conjun os de in o mación y la unción: que le asigna a cada nodo x un conjun o de in o mación h(x) al que pe enece. - p simboliza la unción que asigna la p obabilidad de cada acción po cada conjun o de in o mación. Tend á que e i ica se: - simboliza la unción de pagos que iene el jugado i: Si el ejemplo 1 a a a de un juego en el que las jugado as ealiza án sus jugadas de o ma secuencial, la o ma de ep esen a lo se ía en un diag ama de á bol: Figu a 4-1:Rep esen ación el Ejemplo 1 en o ma ex ensi a Fuen e: Elabo ación p opia 19 En es e diag ama de á bol, se obse a que Ma a, jugado a A, ealiza á p ime o su jugada, mien as Celia, jugado a B espe a á su u no pa a luego oma su decisión en e las posibles. Según el desa ollo del juego se llega á a los pagos de un nodo u o o. Po ejemplo, si Ma a eligie a en p ime luga i en au obús, en su u no, la jugado a B pod á elegi en e i andando y ob ene un pago de 3 o elegi i en au obús y ob ene un pago de 1. 5 EQUILIBRIO DE NASH A aíz del análisis de equilib io se puede habla del concep o de Equilib io de Nash siendo és e una de las posibles esoluciones de un juego. “Un Equilib io de Nash es un pe il de es a egias del que ningún jugado desea ía des ia se unila e almen e, es deci , ninguno se a epien e de la decisión omada, dadas las es a egias decididas po el es o de los jugado es. Un Equilib io de Nash es á o mado po es a egias que son óp imas pa a cada jugado dadas las es a egias del es o de jugado es” (Pé ez, Jimeno y Ce dá, 2013, 90). En un Equilib io de Nash un jugado no es á log ando el mejo esul ado, sino que es e es á condicionado po las acciones del es o. Finalmen e, en un juego pueden exis i múl iples Equilib ios de Nash. Pa a comple a es a de inición se an a ealiza una se ie de pun ualizaciones omando como e e encia el manual de Pé ez, Jimeno y Ce dá (2013). En p ime luga , como es de supone con la explicación an e io , cada jugado iene que juga una espues a óp ima eniendo en cuen a lo que c ee que an a hace los demás jugado es. A aíz de es o, es as c eencias sob e las es a egias del es o de jugado es ienen que se co ec as, si no de nada se i ían. A con inuación, se pod á e la o ma de halla los Equilib ios de Nash en los juegos en o ma no mal y pos e io men e en los juegos en o ma ex ensi a. 5.1 Juegos en o ma no mal Una ez is o el concep o de Equilib io de Nash y con ayuda del Ejemplo 1, se pod á e la o ma de halla el Equilib io de Nash en juegos de ep esen ación no mal. 20 La o ma de encon a la solución es median e la co espondencia de espues a óp ima, aquella en la que el jugado en cues ión oma á su decisión en busca de la que le o o gue un pago mayo dependiendo de la es a egia que haya elegido (o haya supues o que elegi á) el es o de los jugado es. En la siguien e abla se obse a la apa ición de * y de ´, es os símbolos indican que, si el jugado 2 elige una es a egia, la es a egia óp ima pa a el jugado 1 se ía la que po e el *. Si se a a del jugado 2, dada la es a egia que segui á el jugado 1, la es a egia óp ima se ía la que po e el ´ Tabla 5-1: Equilib io de Nash en el Ejemplo 1. Celia (B) Andando Au obús Ma a (A) Andando 2,5´ 5,3 Au obús 7*,3´ 8*,1 Fuen e: elabo ación p opia Se obse a en la abla an e io que la casilla que mues a los pagos co espondien es a la es a egia (Au obús, Andando) es el Equilib io de Nash. En dicha casilla se encuen a a la ez el * y la ´ que indican que ambas jugado as elegi ían dicha es a egia como la óp ima dada una de la o a. Si el juego u ie a es a egias mix as, hab ía que hace su esolución median e ma ices que nos pe mi an halla el Equilib io de Nash en es a egias mix as. En el ejemplo 1 no es posible halla dicha solución. No obs an e, en el apa ado 6.2 se expond á la o ma de halla el Equilib io de Nash pa a es a egias mix as si iéndose del juego la ba alla de los sexos. 5.2 Juegos en o ma ex ensi a Pa a los juegos de o ma ex ensi a, el mé odo pa a encon a los Equilib ios de Nash es median e la inducción hacia a ás. En dicho p oceso, obse amos cómo se eliminan 21 los nodos del á bol que no elegi ía el jugado que enga que oma la decisión en ese momen o, ya que ob end ía un pago meno . Como en el caso an e io , el Ejemplo 1 se i á de ayuda pa a en ende es e concep o. Tabla 5-2:Equilib io de Nash median e la Inducción hacia a ás. Fuen e: elabo ación p opia Se puede obse a como la jugado a B, en sus nodos de decisión elige la opción que más pago le o o ga, po lo que esa es a egia sus i ui á al nodo de elección. En el p ime nodo elegi ía la ama cuyo pago inal es (2,5) ya que le o o ga más u ilidad que el pago de la o a ama (5,3). Misma o ma de selección pa a el o o nodo de elección de la jugado a B. Po lo que nos queda ía en el paso in e medio, un á bol cuya única elección es pa a la jugado a A, que elegi á aquella decisión que más pago le o e a, al se los jugado es acionales. Al inal, con el mé odo de inducción hacia a ás, el p ime á bol que ep esen aba el juego en o ma ex ensi a queda educido a una única ama con un pago, en es e ejemplo 1, el (7,3), que nos ep esen a el Equilib io de Nash Pe ec o en Subjuegos (ENPS). Al e e i se a ENPS indica que la o ma de esolución del juego es median e la inducción hacia a ás. Empezando desde el ul imo nodo de elección y siguiendo el camino in e so, es deci , del úl imo al penúl imo y así sucesi amen e, has a llega al p ime nodo de elección. Es e mé odo es posible si los jugado es ienen in o mación comple a del juego, ya que se án conocedo es de las posibles decisiones y los e ec os que end á lo que decidan los demás jugado es. 22 6 EJEMPLOS CLÁSICOS DE TEORÍA DE JUEGOS EN FORMA NORMAL Siguiendo el manual de e e encia de Pé ez, Jimeno y Ce dá (2013) se in en a desc ibi y analiza muy b e emen e ejemplos clásicos muy ecu en es que apa ecen en la Teo ía de Juegos. 6.1 El dilema del p isione o Se a a del juego más amoso den o de los ejemplos clásicos de Teo ía de Juegos y a la ez es el más ep esen a i o. Dos malhecho es son a es ados as come e un deli o g a e, apa e de es e han come ido o o de meno g ado. Los delincuen es son in e ogados en habi aciones sepa adas. En el caso de que ambos callen (a menudo llamado coope ación) y no dela en al o o se án condenados a un año de cá cel po el deli o de meno g a edad, si los dos con iesan (a menudo denominado no coope ación) se án enca celados po el deli o g a e, pe o se les educi á la pena a cua o años po con esa . Y, po úl imo, si uno de ellos con iesa y el o o no, el dela o queda á absuel o pe o el o o cumpli á cinco años de cá cel. Tabla 6-1: Dilema del p isione o P eso 2 Calla Con esa P eso 1 Calla -1,-1 -5,0 Con esa 0,-5 -4,-4 Fuen e: Teo ía de Juegos (2013). Equilib io de Nash: En es e juego clásico exis en 4 pe iles de soluciones posibles: (Calla , Calla ), (Con esa , Calla ), (Calla , Con esa ) y (Con esa , Con esa ). 23 Si el jugado 2 decide calla , la es a egia que más pagó le o o ga al jugado 1 se ía la opción de con esa . En el caso de que el jugado 2 decidie a con esa , pa a el jugado 1 la es a egia que le o o ga un pago mayo se á la de con esa . Si el jugado 1 decidie a calla , pa a el jugado 2 su mejo es a egia se ía con esa . Si el jugado 1 oma á la decisión de con esa , pa a el jugado 2 la mejo espues a se ía la de con esa ambién. Tabla 6-2:Equilib io de Nash en el Dilema del P isione o. P eso 2 Calla Con esa P eso 1 Calla -1,-1 -5,0´ Con esa 0*, -5 -4*, -4´ Fuen e: Teo ía de Juegos (2013) Se obse a en la abla an e io que la es a egia (Con esa , Con esa ) es el Equilib io de Nash, ya que es la es a egia donde coinciden las espues as óp imas de cada jugado dada la es a egia del o o. El dilema del p isione o e leja que pa a los jugado es, es mejo pensa en el bien común del g upo, lo que implica oma la decisión de no con esa , ya que ambos jugado es end ían una pena meno , el p oblema adica en que ambos jugado es es án mo i ados pa a pensa en su p opio bene icio, omando la opción de Con esa , pe o como es a es a egia la pod ían oma los dos jugado es, al inal si deciden ambos Con esa , se ía más pe judicial pa a el g upo, ya que ambos end ían una pena de cá cel mayo . En esumen, el dilema del p isione o nos deja en e e que hay si uaciones en las que busca el bene icio del g upo nos o o ga una mayo ecompensa que si odos in eg an es del juego pensa an solo en el bene icio p opio ya que al hace lo odos 30 Tabla 6-10:Equilib io de Nash en el halcón y la paloma. Jugado 2 Paloma Halcón Jugado 1 Paloma V/2, V/2 0, V´ Halcón V*, 0 V/2-C*, V/2-C´ Fuen e: Teo ía de Juegos (2013). Se obse a en la abla an e io , que el Equilib io de Nash de es e juego es el pe il de es a egias: (Halcón, Halcón). El juego indica que hay con ex o en los que los compe ido es pueden ob ene una ecompensa a pa es igual si deciden no compe i po una misma ecompensa, pe o en el caso con a io de que alguno de ellos decida compe i pa a ob ene oda la ecompensa, los demás jugado es pod ían op a po es a misma es a egia po lo que al inal se epa i án dicha ecompensa en e odos, pe o pagando un cos e po compe i en e ellos. Tabla 6-11 Halcón y la paloma: Equilib io de Nash en es a egias mix as Jugado 2 Paloma Halcón Jugado 1 Paloma V/2, V/2 0, V´ P Halcón V*, 0 V/2-C*, V/2-C´ 1-p Fuen e: Teo ía de Juegos (2013) q 1-q Con ayuda de los pagos y las p obabilidades de la abla an e io , se in en a á halla el Equilib io de Nash en es a egias mix as pa a es e juego median e el uso de ma ices: (1 0)(𝑉/2 0 𝑉 𝑉/2−𝐶)( 𝑝 1−𝑝)=(0 1)(𝑉/2 0 𝑉 𝑉/2−𝐶)( 𝑝 1−𝑝) 31 (𝑉/2 0)(𝑝 1−𝑝)=(𝑉 𝑉/2−𝐶)(𝑝 1−𝑝) 𝑉𝑝/2=𝑉𝑝/2+𝑉/2−𝐶+𝐶𝑝→𝑝=1−𝑉𝐶 2 1−𝑝=𝑉𝐶 2 (𝑞 1−𝑞)(𝑉/2 𝑉 0 𝑉/2−𝐶)(1 0)=(𝑞 1−𝑞)(𝑉/2 𝑉 0 𝑉/2−𝐶)(0 1) (𝑉𝑞/2 𝑉𝑞/2+𝐶𝑞+𝑉/2−𝐶)(1 0)=(𝑉𝑞/2 𝑉𝑞/2+𝐶𝑞+𝑉/2−𝐶)(0 1) 𝑉𝑞/2=𝑉𝑞/2+𝐶𝑞+𝑉/2−𝐶→𝑞=1−𝑉𝐶 2 1−𝑞=𝑉𝐶 2 El equilib io de Nash se ia: {(1−𝑉𝐶 2,𝑉𝐶 2 ),(1−𝑉𝐶 2,𝑉𝐶 2 )} Pe o es e esul ado no es posible, ya que si VC>1 la p obabilidad end ía un alo nega i o, cosa que es imposible, po lo que no exis en equilib io de Nash en es a egias mix as pa a es e juego. 6.5 Pied a-papel- ije a Dos jugado es eligen a la ez uno de los es obje os: pied a (R), papel (P) o ije a (T). Cada jugado hace un ges o que ep esen a cada uno de los obje os: pied a (puño ce ado), papel (mano abie a), ije as (dedos anula y co azón ex endidos). En el caso de que los dos jugado es elijan el mismo ges o exis e un empa e y cada uno ecibe un pago ce o. En el caso de que elijan dis in o ges o el que gana ob iene un eu o de la pe sona que pie de de acue do a es as no mas: a) Pied a gana a ije a b) Tije a gana a papel c) Papel gana a pied a 32 Tabla 6-12:Pied a-papel- ije a Siguiendo la abla an e io , las siguien es es a egias queda ían de inidas po es as p obabilidades: Pied a,Pied a: q Papel,Pied a: sq Tije a,Pied a: (1- -s)q Pied a,Papel: p Papel,Papel: sp Tije a,Papel: (1- -s)p Pied a, Tije a: (1-q-p) Papel,Tije a: s(1-q-p) Tije a,Tije a: (1- -s)(1-q-p) El Equilib io de Nash en es a egias mix a pa a cualquie jugado es (⅓, ⅓, ⅓) (1 0 0)(0 −1 1 1 0 −1 −1 1 0)(𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠)=(0 1 0)(0 −1 1 1 0 −1 −1 1 0)(𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠) =(0 0 1)(0 −1 1 1 0 −1 −1 1 0)(𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠) (0 1 − 1)( 𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠)=(−1 0 1)( 𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠)=(1 − 1 0)( 𝑟 𝑠 1−𝑟−𝑠) 𝑠−1+𝑟+𝑠=−𝑟+1−𝑟−𝑠=𝑟−𝑠 𝑠−1+𝑟+𝑠=𝑟−𝑠→3𝑠=−1→𝑠=1 3 Jugado 2 R P T Jugado 1 R 0,0 -1,1 1,-1 P 1,-1 0,0 -1,1 s T -1,1 1,-1 0,0 1- -s Fuen e: Teo ía de Juegos (2013) q p 1-q-p 33 −𝑟+1−𝑟−𝑠=𝑟−𝑠→−3𝑟=−1→𝑟=1 3 (𝑞 𝑝 1 − 𝑞− 𝑝)(0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0)(1 0 0)=(𝑞 𝑝 1 − 𝑞− 𝑝)(0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0)(0 1 0) =(𝑞 𝑝 1 − 𝑞− 𝑝)(0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0)(0 0 1) (2𝑝 −1 + 𝑞 1 − 2𝑞− 𝑝 𝑞−𝑝)(1 0 0)=(2𝑝 − 1 + 𝑞 1 − 2𝑞− 𝑝 𝑞− 𝑝)(0 1 0) =(2𝑝 −1 + 𝑞 1 − 2𝑞− 𝑝 𝑞− 𝑝)(0 0 1) 2𝑝−1+𝑞=1−2𝑞−𝑝=𝑞−𝑝 2𝑝−1+𝑞=𝑞−𝑝→𝑝=1 3 1−2𝑞−𝑝=𝑞−𝑝→𝑞=1 3 6.6 Pe iciones de Nash Se epa e un pas el en e dos jugado es de acue do con lo siguien e: los dos jugado es ienen que esc ibi al mismo iempo un núme o en e el 0 y el 1, el signi icado de es os núme os es la po ción de pas el que quie en. Si la suma de ambos núme os es meno o igual que 1, cada jugado ecibe la pa e que que ía. Si la suma de ambos núme os es mayo a 1, en onces ninguno de los jugado es ecibi á nada. Como es e juego iene in ini as posibilidades no se puede ep esen a de o ma bima icial. Los elemen os son los siguien es: 34 Figu a 6-1Rep esen ación del juego de las pe iciones de Nash Fuen e: Teo ía de Juegos (2013). En la g á ica an e io se puede e el conjun o de espues as op imas de soluciones. Po lo que el Equilib io de Nash se ia: {(𝑠1,𝑠2): 𝑠1+𝑠2=1}∪{(1,1)} 6.7 La es a egia maximin Es e ipo de es a egias son las empleadas pa a la esolución de los juegos de suma ce o, aquellos en los que los jugado es ob ienen la misma ganancia que pie den el es o, como se ha comen ado an e io men e. La es a egia maximin consis en en asegu a se un pago mínimo en un juego, es el alo de segu idad po el que se decide cada jugado . Pa a pode en ende es e concep o, la siguien e abla se á de ayuda. Tabla 6-13 Es a egias Maximin JUGADOR 2 A B C mínimos JUGADOR 1 A 9,1 1,9 2,8 1 B 6,4 5,5 4,6 4 C 7,3 8,2 3,7 3 mínimos 1 2 6 Fuen e: Jun a de Andalucía (s. .) 35 En la abla an e io se puede obse a los alo es mínimos que ob end ía cada jugado dependiendo de la es a egia que decidan segui . Si el jugado 1 decidie a elegi la es a egia A ob end á un pago mínimo de 1, si eligie a la B un pago mínimo de 4 y si eligie a la C un pago mínimo de 3. Mismo analices pa a el jugado 2, si elige A, ob iene 1, si elige B ob end á 2 y si elige C ob end ía el pago mínimo de 6 La es a egia maximin consis e en elegi el mayo de los pagos an e io , es deci , de los pagos mínimos que pod ía ob ene un jugado dependiendo la es a egia que elijan, decidi se en e la que mayo es pagos le o o gue. En el caso del jugado 1 se á la es a egia B y en el caso del jugado 2 se á la es a egia C. 6.8 Duopolio de Cou no Un educido núme o de emp esas compi e en el me cado endiendo un p oduc o homogéneo y eligiendo de o ma simul ánea ambas emp esas la can idad que an a p oduci pa a el me cado. El p ecio queda es ablecido po la can idad o al apo ada de acue do con la unción de demanda in e sa. Al equilib io llegado es e modelo se le denomina Equilib io de Cou no o de Cou no -Nash, ya que se alcanza el Equilib io de Nash median e Cou no en es e modelo. A con inuación, se encuen a el modelo de duopolio de Cou no pa a dos emp esas basándose en el manual de e e encia La unción de demanda in e sa es: Las unciones de cos es de las emp esas son: la unción de bene icios: Hay dos emp esas cuyo espacio de es a egias son 𝑆1=𝑆2=[0,𝑎 𝑏] y que suponiendo que los bene icios coincidan con las u ilidades ienen la siguien e unción de ganancias: 36 A con inuación, se obse a el cálculo del Equilib io de Nash pa a la emp esa 1: Hay que ob ene la condición de p ime o den: También, busca la condición de segundo o den, que se á la condición su icien e de máximos. Con odo lo an e io , se ob iene que la unción de espues a op ima de la emp esa 1, E1 se ía: Pa a el cálculo del equilib io de Nash de la emp esa 2, E2, se esuel e de: Realizando los mismos p ocesos que se han is o pa a E1, se ob iene pa a E2 su unción de espues a op ima: El Equilib io de Nash ha de se (𝑞1 ∗,𝑞2 ∗), po lo que 𝑞1 ∗se a espues a op ima de 𝑞2 ∗ y ice e sa. 37 Resol iendo el sis ema an e io se ob iene el conjun o de los pun os de equilib io: La can idad: Los bene icios de cada emp esa: El p ecio: El bene icio o al en equilib io 6.9 Duopolio de Be and Se p opone cua en a años después que el modelo de Cou no . Es e modelo consis e en que las emp esas compi en en p ecios, y es as se comp ome en a p oduci odo lo que los consumido es demanden a el p ecio que las emp esas decidan. Al equilib io llegado en es e modelo se le denomina Equilib io de Be and o Equilib io de Be and- Nash, ya que se alcanza un Equilib io de Nash median e Be and en es e juego. Basándonos en el manual de e e encia, se iene la siguien e in o mación´: Las hipó esis iniciales del duopolio son las siguien es: • Los consumido es solo comp an a la emp esa con p ecios más bajos, o a ambas en pa es iguales si sus p ecios son los mismos. • La unción q(p) es es ic amen e dec ecien e en p ecios en e 0 y pc y nula pa a los p ecios iguales o supe io a pc. • Las emp esas ienen la misma unción de cos es, sin cos es ijos y con los cos es ma ginales cons a es e iguales a c • Se cumple que: 0<c<pm<pc, donde pm es el p ecio óp imo de monopolio de habe solo una emp esa. 38 Con las an e io es hipó esis se conc e a la unción de demanda pa a cualquie emp esa: Las unciones de cos es: La unción de bene icios: Pa a una comp esión más ácil, se a a á de la exis encia de dos emp esas, E1 Y E2, po lo que i=1,2. Con espacio de es a egias S1=S2= [0, +∞) El Equilib io de Nash pa a el duopolio de Be and es aquel en el que las emp esas ienen sus p ecios iguales al cos e ma ginal al que: 𝑝1 ∗=𝑐,𝑝2 ∗=𝑐 Razonando median e la co espondencia de espues a op ima se comp ueba po que ese pun o es el EN. o Si p1<c, cualquie p ecio en el que p2>p1 se ía op imo, mien as que si ue an p2≤p1 ob end ía bene icios nega i os o Si p1=c, cualquie p ecio p2≥c da ía un óp imo, pe o de se p2<c ob end ía bene icios nega i os. o Si pm≥p1>c, no hay p ecio posible de la o a emp esa que o o gue bene icios. o Si p1>pm, la única espues a op ima de E2 se ía un p2=pm 39 7 EJEMPLOS CLÁSICOS JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA 7.1 Duopolios: S ackelbe g Ejemplo de juego en dos e apas, p opues o po S ackelbe g en 1934. Dos emp esas se en en an en un me cado (duopolio) p oduciendo un p oduc o homogéneo y compi iendo en las can idades. Pe o es a ez, a di e encia del duopolio de Cou no , una de ellas end á la en aja de oma la decisión de p oducción an es que la o a, emp esa líde y emp esa seguido a, la cual decidi á la can idad a p oduci as obse a el compo amien o de la emp esa líde . Función de demanda in e sa: Funciones de cos es: Bene icios: Como se ha comen ado an es, la emp esa líde oma á la decisión mien as que la o a espe a á. Po el mé odo de inducción hacia a ás, la E2, a a supone una can idad ija q1, y con ello esol e el siguien e plan eamien o: condición de p ime o den: 46 Se obse a como en un me cado monopolizado po una emp esa, en la que en el supues o de que al en a emp esas a compe i sus bene icios son 0, la mejo decisión es deja en a al es o de emp esas y op a po una pos u a de compe encia sua e que no haga e educidos aún más sus bene icios. 8 CONCLUSIONES Las p incipales conclusiones a las que se han podido llega con la ealización de es e abajo son las siguien es. En p ime luga , la Teo ía de Juegos es una de las amas de las Ma emá icas que más aplicaciones iene en el mundo eal, como puede se la Economía, la Biología o la Psicología. Po o o lado, el a e imien o po pa e del Banco Cen al de Suecia pa a c ea el p emio “P emio S e iges Riksbank de Ciencias Económicas en memo ia de Al ed Nobel” ayudó eno memen e a que la Teo ía de Juegos u ie a el econocimien o me ecido, siendo el p ime o y más amoso el ganado po John Nash, John Ha sanyi y Reinha d Sel en en 1994 po se los pione os en la ma e ia. Po o o lado, se ha epasado la e minología básica de la ma e ia y la de inición de Equilib io de Nash con el in de que esul a a más sencilla la comp ensión pos e io de los ejemplos clásicos. Finalmen e se han hallado los Equilib ios de Nash en los di e en es ejemplos clásicos de Teo ía de Juegos, an o en o ma ex ensi a como en o ma no mal, des acando en e es os úl imos el Dilema del P isione o (plan eado po Me il M. Flood y Mel in D eshe en 1950). Todos es os equilib ios hallados han se ido pa a en ende como exis en ocasiones en las que la búsqueda del bene icio indi idual cabe la posibilidad de pe judica al es o de jugado es, incluido uno mismo. 47 9 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Biog a ías y Vidas (2022): “James A. Mi lees”. Disponible en: h ps://www.biog a iasy idas.com/biog a ia/m/mi less.h m [consul a: 6/7/2022]. - Biog a ías y Vidas (2022): “John F. Nash”. Disponible en: h ps://www.biog a iasy idas.com/biog a ia/n/nash_john_ .h m#:~: ex =John% 20F.-,Nash,John%20Ha sanyi%20y%20Reinha d%20Sel en. [consul a: 15/6/2022]. - Biog a ías y Vidas (2022): “John Ha sanyi”. Disponible en: h ps://www.biog a iasy idas.com/biog a ia/h/ha sany.h m [consul a: 15/6/22]. - Biog a ías y Vidas (2022): “Reinha d Sel en”. Disponible en: h ps://www.biog a iasy idas.com/biog a ia/s/sel en.h m#:~: ex = [consul a: 15/6/2022]. - Biog a ías y Vidas (2004-2022): “William Vick ey”. 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