Grupos nilpotentes y funciones zeta

Facul ad de Ciencias T abajo Fin de G ado G ado en Ma emá icas G upos Nilpo en es y Funciones Ze a Au o : Albe o Ma ínez Díez Tu o /es: An onio Campillo 2 Índice gene al In oducción 5 1. Acciones de g upos sob e conjun os 7 1.1. Concep osp e ios ............................... 7 1.2. Accionesdeg upo ............................... 9 1.3. Aplicaciones del lema de Bu nside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Teo ema de Polya 17 2.1. Teo íadePolya................................. 17 2.2. ¿Cuán os ci cui os o mados po n in e up o es exis en? . . . . . . . . . . 21 3. Teo emas de Sylow 25 3.1. P ime Teo ema de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Segundo Teo ema de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3. Te ce Teo ema de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4. Ejemplosp ác icos ............................... 31 4. G upos Nilpo en es. 33 4.1. De inición y ejemplos de g upos nilpo en es . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. Se ies cen ales ascenden es y descenden es . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3. P opiedades g upo nilpo en e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4. Teo ema de la es uc u a de los g upos ini os abelianos . . . . . . . . . . 48 5. Funciones Ze a 51 5.1. In oducción a las unciones Ze a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2. Hipó esis de Rienmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3. Relación hipó esis de Rienmann y eo ema de los nume os p imos . . . . . 53 5.4. Función Ze a de Di ichle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.5. Función Ze a de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.6. Función Ze a de g upos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6. Apéndice 59 6.1. G upoal e nado ................................ 59 3 4ÍNDICE GENERAL In oducción En es e abajo amos a cen a nos en comp ende qué es un g upo nilpo en e y las u ilidades ma emá icas que nos o ece. Es e concep o se le a ibuye a Se gei Che niko en la década de 1930, que end a g an ele ancia a pos e io i an o en la clasi icación de g upos, eo ía de Galois y pa a los τ-g upos, que ienen g an ele ancia en la unción Ze a de g upos. Es a unción Ze a ha sido impulsada po el desa ollo de D. Segal, F. G unewald y M. du Sa oy. Pa a en ende qué es un g upo nilpo en e desa olla emos la eo ía de g upos ne- cesa ia, añadiendo los eo emas de Sylow. Buscando in o mación sob e es e ema, llegué a la eo ía de Polya. Decidí in oduci la po que es o o cla o ejemplo de la u ilidad del concep o de acción de g upo. Las u ilidad del concep o de g upo nilpo en e se a a i iendo du an e es e abajo. El eo ema de es uc u a de g upos nilpo en es ini os mues a explíci amen e las p opie- dades impo an es que ienen es os g upos, de los que se puede deci que son la clase de g upos más sencillos de comp ende después de los abelianos. En pa icula la p opiedad de que los g upos de Sylow son no males y que es p oduc o di ec o de sus subg upos de Sylow es especialmen e ele an e. El eo ema de la es uc u a de los g upos ini os abelianos que he incluido en es e abajo, lo demos a emos u ilizando es e concep o. También habla emos de la hipó esis de Rienmann, de su unción Ze a de Rienmann y de la hipó esis de Rienmann gene alizada. Noso os la a a emos un poco ue a del pun o de is a del análisis complejo y más ce cano al algeb aico, ya que cualquie desa ollo de las unciones ze a a es e ni el excede el con enido de es e abajo. Habla emos de la unción Ze a de un g upo y aquí e emos o a de las u ilidades de los g upos nilpo en es: Sabemos que si el g upo es uno de los llamados τ-g upo cumple muchas p opiedades deseables que nos acili an el abajo con su unción Ze a de g upo. U iliza emos es a noción de unción ze a más bien como cu iosidad y mo i ación pa a la selección de los con enidos de eo ía de g upos pa a el abajo. 5 6ÍNDICE GENERAL Capí ulo 1 Acciones de g upos sob e conjun os 1.1. Concep os p e ios Vamos a empeza desde lo más básico de es e abajo, hablando de la noción de g upo. De inición 1.1. Dado G un conjun o no acío y ·una ope ación bina ia de inida en G, G es un g upo si se cumple: 1. La ope ación ·es una ope ación in e na, es deci , oma dos elemen os de G y los lle a a o o elemen o ambién de G. Es deci · iene es a o ma: ·:G×G−→ G(1.1) 2. La ope ación oma la p opiedad asocia i a, es deci , dado es elemen os g,h y k en G se cumple que: (g·h)·k=g·(h·k)(1.2) 3. G iene un único elemen o llamado elemen o neu o o iden idad deno ado como e, con la siguien e p opiedad: pa a odo g en G: e·g=g·e=g(1.3) 4. Todo elemen o de g en G iene un elemen o in e so en el mismo G, que se deno a po g−1y se lee ïn e so de gçon la p opiedad de que: g·g−1=g−1·g=e(1.4) 7 8CAPÍTULO 1. ACCIONES DE GRUPOS SOBRE CONJUNTOS Obse ación 1.2. Si nos ijamos,la ope ación no iene po que se conmu a i a, es deci que g·h=h·gno se cumple en p incipio. Si se cumplie a pa a odo g y h g·h=h·glo llama iamos g upo abeliano o conmu a i o. Aunque en gene al es e abajo hable de g upos sin ninguna es icción, nos cen a- emos sob e odo en la pa e de g upos ini os, es deci , en los que el conjun o G sea ini o. Sob e odo, cuando p o undicemos sob e el concep o de p-g upo, necesi a emos esul ados que necesi an la condición de g upo ini o. Hay o o concep o que es el de g upo de gene ación ini a que no hay que con- undi con g upo ini o. De inición 1.3. Un g upo de gene ación ini a G es un g upo que iene un conjun o S ini o al que cada elemen o de G se puede esc ibi como una combinación (bajo la ope ación del g upo) de elemen os de S o de elemen os in e sos de S Todo g upo ini o G es un g upo de gene ación ini a ya que el conjun o G es ini o y se gene a a él mismo. Pe o el ecíp oco es also. Po ejemplo los núme os en e os Zes un g upo in ini o con la suma, pe o es a gene ado po {1}, ya que pa a cualquie n posi i o es suma n eces el 1. Y pa a un n nega i o es suma n eces el in e so de 1 (en el caso de la suma se llama opues o). Vamos a de ini cuando dos g upos son equi alen es, pa a ello necesi amos la siguien e de inición: De inición 1.4. Dados dos g upos (G,·) y (H,+), un homomo ismo de g upos es una aplicación ϕ:G −→ H que e i ica: ϕ(g′) = ϕ(g) + ϕ(g)pa a odo g,g’ de G Se dice que el homomo ismo man iene la es uc u a algeb aica, y si la aplicación ϕ es una biyección, se dice que exis e un isomo ismo de g upos y la única di e encia en e ellos es la no ación que hemos u ilizado pa a deno a los. Vamos a da una elación de equi alencia muy impo an e en la eo ía de g upos y que más adelan e e emos su u ilidad. De inición 1.5. Dos elemen os g y g’ de un g upo G se dice que es an conjugados si y solo si: g′=h−1·g·hpa a algun h en G. Es a elación es una elación de equi alencia, y po ello se puede hace una pa ición de G en clases. La clase de un elemen o g la deno a emos la clase de conjugación de g. 1.2. ACCIONES DE GRUPO 9 Vamos a de ini uno de los g upos más impo an es en nues a eo ía: De inición 1.6. El g upo simé ico oSnes un g upo cuyos elemen os son las biyec- ciones de n elemen os y su ope ación es la composición de unciones. Aunque sea un ema impo an e amos a da unos esul ados sob e el g upo simé ico sin p oba los, ya que no es el ema cen al del abajo pe o si los necesi amos. Obse ación 1.7. 1. Sabemos que el ca dinal las biyecciones de n elemen os es n! po lo que |Sn|=n! 2. Todo elemen o de Snse esc ibe de mane a única (sal o o den de ac o es) como un p oduc o de ciclos disjun os. 3. El g upo simé ico Snes á gene ado po n-1 asposiciones simples 4. Las clases de conjugación de Snco esponden a la es uc u a de ciclos disjun os, es deci , dos elemen os son conjugados si y solo si ienen el mismo núme o de ciclos disjun os y del mismo amaño Aunque no es es ic amen e necesa io habla de acciones de g upo pa a aba ca lo que que emos e , me gus a inclui lo en el abajo ya que es una he amien a muy ú il, muchas eces bas an e isual y o ece demos aciones muy boni as, que e emos a lo la go del abajo. Además simpli ica muchas demos aciones pos e io es. 1.2. Acciones de g upo De inición 1.8. Una acción de un g upo G, con ope ación ·sob e un conjun o X, es una aplicación ϕ:G×X−→ Xque cumple: pa a odo x∈X ϕ(e, x) = x pa a odo x∈X g, h ∈G, ϕ(g·h, x) = ϕ(g, ϕ(h, x)) En es e caso, se dice que G ac úa sob e X. Obse ación 1.9. Pa a simpli ica la no ación en ez de deno a ϕla unción, la deno- a emos median e un pun o o sin añadi nada: ϕ(g, x) = g·x=gx y se lee "g ac uando sob e x". También hay o a de inición de acción equi alen e que nos da o a mane a de e lo que es una acción de g upo: Pa a odo g en G la biyección ϕg=ϕ(g, ·) : X−→ X podemos e la como un elemen o de SX. 16 CAPÍTULO 1. ACCIONES DE GRUPOS SOBRE CONJUNTOS g () (..)(..) (...) (..) (....) Na u aleza geomé ica de S4Id 1/2 cen o 1/3 diag 1/2 a is as con a ias 1/4 cen os Ca dinal de la clase de conjugación 1 3 8 6 6 Núme o de óbi as de <g> 8 4 4 4 2 Colo eaciones in a ian es po g 3834343432 a is a), 1/4 cen os es un cua o de gi o ijando dos pun os opues os que es a en el cen o de una ca a. Po la ó mula de Bu nside |X/G|=1 |G|X g∈G|FixG(X)|(1.23) |X/G|= 1/24(1 ×38+ (3 + 8 + 6) ×34+ 6 ×32) = 333 (1.24) Capí ulo 2 Teo ema de Polya Es e capí ulo a a es a cen ado en 2 cosas: gene aliza el ejemplo de la colo ación de los é ices de un cubo con un eo ema amoso y esol e un p oblema his ó ico que esponde a la p egun a de cuan os ci cui os "dis in os"hay con 4 in e op u es. Pa a odo ello necesi a emos empeza po la eo ía 2.1. Teo ía de Polya De inición 2.1. Dado un g upo G que ac úa sob e un conjun o |D|=n, y la acción la deno amos po ρ. Po lo is o en una de las de iniciones de acciones de g upo, a cada g ∈Gle co esponde po la acción ρun α∈Sn, y sabemos que se puede exp esa de mane a única como p oduc o de ciclos disjun os. 1. Tipo de pe mu ación αse le asocia a (j1, j2, ..., jn)si αcomo p oduc o de ciclos iene jkciclos de longi ud k. Cabe des aca que como dos elemen os conjugados ienen el mismo núme o de ciclos disjun os y de la misma longi ud, iene el mismo ipo de pe mu ación. 2. Monomial de g: Mon(g)=xj1 1xj2 2...xjn ndonde x1, ..., xnson dis in as a iables. 3. Polinomio indicado de la acción ρde G sob e D: es el siguien e polinomio en Q: Pρ=P{Mon(g) : g∈G} |G|(2.1) Obse ación 2.2. Po la asociación de αa (j1, j2, ..., jn) enemos que da nos cuen a de que: 1·j1+ 2 ·j2+... +n·jn=n(2.2) 17 18 CAPÍTULO 2. TEOREMA DE POLYA Pa a comp ende es a de inición amos a e un ejemplo sencillo pa a e como se calcula el polinomio indicado de la acción. Ejemplo 2.3. G=S3y D={1,2,3}. Conc e ando más G={e,(12),(13),(23),(123),(132)}. Po lo an o, aho a solo enemos que e el monomio de cada elemen o y suma los. El elemen o e es el unico de la o ma (3,0,0) po lo que su monomial es x3 1. Los 2-ciclos, (12) (13) y (23) su ipo de ciclo es (1,1,0) po lo que su monomial es x1x2. Y los 3-ciclos (123) y (132) ienen monomial x3. Con lo que: Pρ=1 6(x3 1+ 3x1x2+ 2x3)(2.3) Sabiendo lo que es el polinomio indicado de una acción, aho a ya podemos esol e un p oblema de co olación. Llamemos D al conjun o que amos a colo ea y R a los colo es. RDes el conjun o de colo aciones, que es el conjun o de aplicaciones de D en R: RD={ :D−→ R}. También hay que conside a que un g upo G que ac úa sob e D hace indis inguibles algunas colo aciones, que hacen que sean esecialmen e iguales. Ejemplo 2.4. Pod iamos ol e al ejemplo 1.3 donde D son los é ices de un cubo, R son los es colo es elegidos, y los elemen os que e an indis inguibles e an las colo eaciones que e an iguales sal o una o ación. Ayudados del an e io ejemplo que la acción que modelizaba una colo ación e a: pa a odo g∈Sn,pa a odo ∈RD,pa a odo k∈D,g· (k) = (g−1·k).(2.4) En es a acción podemos e como hay una acción na u al π, que luego a a se ú il, de Snhacia D con la acción, siendo g ∈Snse cumple: g·d=g(d)(2.5) Veamos aho a que es una acción: P oposición 2.5. Sea G un g upo que ac úa sob e D y R un conjun o de colo es ini o. Sea RDel conjun o de colo aciones. Se iene que la aplicación G −→ S|RD|dada po g −→ ( −→ g)donde ges á de inida po g(d) = (g−1·d)es una acción de G sob e RD. Demos ación. P ime o amos a e que −→ gpe enece al g upo simé ico, es deci , que es biyec i a. Como es una unción que a de RDa él mismo ( ini o), con p oba que es inyec i a es su icien e. P obemoslo po el con a ecip oco: si = ’ en onces hab á algún d pa a el que (g−1·d)= ′(g−1·d)luego g= ′gpo lo que es inyec i a. 2.1. TEORÍA DE POLYA 19 Aho a enemos que e que ϕ:G−→ S|RD|es homomo ismo de g upos. Pa a ello enemos que e que: gg′= ( g)g′ gg′(d) = ((gg′)−1·d) = ((g′−1g−1)·d)(2.6) ( g)g′= g(g′−1·d) = (g−1·(g′−1·d)) = ((g′−1g−1)·d)(2.7) Lo que e mina la p ueba. Aho a amos a habla de lo que ealmen e es di icil de calcula en es os p oblemas. Hablando más écnicamen e, una colo ación es esencialmen e di e en e de o a si no es an en la misma ó bi a de la acción de ρ. Es deci , nues o obje i o a a se con a las ó bi as de nues a acción. In ui i amen e en el ejemplo 1.3, es á cla o que una colo ación es esencialmen e igual que o a si exis e una o ación que las asocia. El hecho de que solo que amos con a las colo aciones esencialmen e di e en es di icul a el p oblema pe o el eo ema de Polya soluciona el p oblema con una igualdad muy sencilla. Teo ema 2.6. Teo ema de Polya Se conside a una acción ρdel g upo ini o G sob e un conjun o D. Se conside an ≥1 colo es y se colo ean los pun os de D con dichos colo es. En onces el núme o de colo aciones esencialmen e di e en es posibles N( ,ρ) es á dado po : N( , ρ) = Pρ( , ..., )(2.8) Donde Pρes el polinomio indicado de ciclos de la acción ρ. Demos ación. Como hemos dicho p e iamen e N( , ρ)son las ó bi as de la acción de i- nida en la ecuación 2.4. Pa a ello amos a u iliza la ó mula de Bu nside, en la cual lo único que necesi amos sabe es |Fix(g)|pa a cada g. Pa a ello amos a u iliza la acción na u al πque se de ine en e G y D g acias a ρ. Veamos que las colo aciones ijas son aquellas que dan un colo a cada ó bi a de π. Es á cla o que si damos un colo a cada ó bi a de πla colo acion a a man ene se ija ya que cada elemen o de D a a segui eniendo el mismo colo . Supongamos que una ó bi a iene dos colo es, es á cla o que un elemen o de D a a cambia de colo po lo que no es una colo ación ija. Po lo que cada colo ación ija es a asociada a una colo ación sob e las ó bi as de π. Es a cla o que pa a una pe mu ación de k ciclos, es deci , donde hay k ó bi as, el núme o de colo aciones que hay es kya que no iene que cumpli ninguna condición. Po lo que si k es el núme o de ciclos de g, |Fix(g)|= k. Aho a bien si omamos j1, j2, ..., jn los alo es del ec o de ipo de pe mu ación de g, enemos que: 20 CAPÍTULO 2. TEOREMA DE POLYA Mρ(g) = xj1 1xj2 2...xjn n(2.9) Pe o como sabemos la suma de los ji iene que da k (núme o de ciclos de g). Po lo que si e aluamos Mρ(g)en ( , ,..., ): Mρ(g)( , , ..., ) = j1 j2... jn= j1+...+jn= k(2.10) Po lo que |Fix(g)|= k=Mρ(g)( , , ..., )Y aho a u ilizando la ó mula de Bu nside podemos e : N( , ρ) = 1 |G|X g∈G|Fix(g)|=1 |G|X g∈G Mρ(g)( , , ..., )(2.11) Y iendo la de inición de polinomio indicado de la acción: N( , ρ) = Pρ( , , ..., )(2.12) Teo ema 2.7. Teo ema Red ield-Polya Se conside a una colo ación ρde G sob e RD, donde en R hay ≥1 colo es. Dados s1, s2, ..., s ≥0 ales que la suma de los sj es n, donde n es el ca dinal de D. En onces el núme o de colo aciones esencialmen e di e en es R(s1, s2, ..., s )que u ilizan exac amen e sj eces el colo j-ésimo colo , es igual al coe icien e del monomio (ys1 1...ys )en el polinomio: Qρ(y1, ..., y ) = Pρ(y1+... +y , y2 1+... +y2 , ..., yn 1+yn )(2.13) Demos ación. Dado g en G y c una colo ación de RDen onces an o c como g·cu ilizan cada colo el mismo núme o de eces. Aho a si de inimos Ys1,...,s el subconjun o de RD o mado po la colo aciones que u ilizan sj eces el colo j, donde la suma de los sjes n. Simpli ica emos a Y la no ación aunque sepamos que depende de s1, ..., s . Po lo an o enemos un Y pa a cada suceción de sj. Y pa a cada Y enemos que con a las ó bi as (aplica la ó mula de Bu nside) a la acción G×Y−→ Yde inida po la es icción de ρ. Lo p ime o que enemos que ija nos es que Qρes un polinomio homogéneo y de g ado n. Repasando la obse ación 2.2 nos damos cuen a de que Pρes homogéneo si le damos peso i a xi. Po de inición Qρ(y1, ..., y ) = Pρ(y1+... +y , y2 1+... +y2 , ..., yn 1+yn )que a cada a iable en P ele a al o den del é mino y hace la suma de odas las a iables. Po lo que pa a que Qρsea homogéneo no enemos que a ia los pesos como en P, simplemen e 2.2. ¿CUÁNTOS CIRCUITOS FORMADOS POR N INTERRUPTORES EXISTEN?21 los pesos alen 1. Po lo an o odos los é minos monomiales son de la o ma: Rys1 1...ys Mien as se cumple que s1+... +s =n(2.14) Lo que que emos e aho a es que R=R(s1, s2, ..., s ), es deci , el núme o de ó bi as de la acción sob e Y. Pa a cada g en G con Mρ=xi1 1xi2 2...xin nlas colo aciones c de de Y que es án ijas en Fix(g) pa a la acción sob e Y, son aquellas que u ilizan el mismo colo pa a los elemen os de cada ciclo de la descomposición de ρ(g)y además u ilizan en o al sj eces el colo j pa a cada j. Si una colo ación de Fix(g) iene pin ados los elemen os de uno de sus ciclos d, de longi ud m, con el colo j,en onces el monomio ym jque apa ece en el ac o xm= ym 1+... +ym es el ep esen an e del ciclo d en: Mρ(g) = xi1 1xi2 2...xin n= (y1+... +y )i1(y2 1+... +y2 )i2...(yn 1+... +yn )in La sus i ucion de xm=ym 1+... +ym lo que ep esen a es el cambio de xmque ep esen a un ciclo de o den m, a ym 1+... +ym que son las o mas de colo ea el ciclo de o den m. Aho a u ilizando la ecuación 2.14 le damos el sen ido de que el monomio ys1 1...ys ep esen a una colo ación donde el colo 1 se u iliza s1 eces. Al ene ρ(g)descompues o en ciclos, cada elección del colo j de cada ciclo d de longi ud m lo asociamos a elegi den o de (ym 1+... +ym ) el colo j pa a mul iplica lo con los demás é minos de Qρ. Es á cla o que si elegimos el colo de cada ciclo ijamos un é mino de Qρ, pe o si ijamos un é mino de Qρ, po ejemplo ys1 1...ys , exis en odas las posibilidades de colo ea cada ciclo al que la suma de los elemen os colo eados del colo j sean sj. Es deci , si emos el polinomio como suma de é minos de la o ma 2.14 el coe icien e R es el que es amos buscando. 2.2. ¿Cuán os ci cui os o mados po n in e up o es exis- en? Es e es un p oblema his ó ico en el cual podemos e el po encial de cálculo que nos da el eo ema de Polya. Pa a esol e es a p egun a se necesi o un o denado gigan e en 1951 cuando se pudo esol e u ilizando la eo ia de Polya descubie a en 1937 (en 1927 po Red ield aunque Polya lo descub ió independien emen e). Ve emos que la eso- lución u ilizando los eo emas p e iamen e is os, es bas an e di ec a mien as que con comp oba lo con un o denado además en el 1951 es un p ocedimien o muy len o. En es e caso no es an ácil e la colo ación ya que, ¿qué signi ica que 2 in e up o es sean esencialmen e dis in os? Lo que que emos e es la " o ma"del ci cui o, es deci , en 22 CAPÍTULO 2. TEOREMA DE POLYA el caso que u ie amos 2 in e up o es es á cla o que no es lo mismo si es án en se ie o es án en pa alelo. Pe o si que end ían la misma o ma (se ian esencialmen e iguales) dos ci cui os en pa alelo ,el cual uno de ellos enga los in e up o es ce ados(no pasa la elec icidad) y el o o abie os(pasa la elec icidad). Es deci , aunque en uno al inal si que llegase la elec icidad al inal del ci cui o y en el o o no, iene sen ido deno a les como el mismo ci cui o, ya que ienen la misma " o ma". Aho a que podemos isualiza un poco lo que nos e e imos in ui i amen e, amos a e que es ma emá icamen e un in e up o , y luego analiza que es se esencialmen e iguales. Comenzamos de iniendo el conjun o D={0,1}ny a a ep esen a la ag upación de in e up o es y R={0,1} a a ep esen a si po odo el ci cui o pasa la elec icidad o no. Es deci , D ep esen a la posición de los n in e up o es (si cada in e up o deja o no deja pasa la elec icidad) y R ep esen a si al inal del ci cui o llega o no llega la elec icidad. Aho a de inimos el conjun o de los ci cui os como: RD={ | :{0,1}n−→ {0,1}} (2.15) Vamos a e in ui i amen e lo que es un ci cui o pa a n=2. Que emos e que unción se ía un ci cui o en pa alelo. Lo que cumple un ci cui o en pa alelo es que con que un in e up o es e abie o (pasa la elec icidad) la elec icidad llega al inal. Es deci , la unción que ep esen e un ci cui o en pa alelo pa a n=2 es: (0,0) = 0 (1,0) = 1 (0,1) = 1 (1,1) = 1 (2.16) Mien as que un ci cui o en se ie, necesi a iamos que los 2 in e up o es es u iesen abie - os, es deci , iene la o ma: (0,0) = 0 (1,0) = 0 (0,1) = 0 (1,1) = 1 (2.17) Que emos e que es os dos ci cui os son esencialmen e di e en es, pa a ello decimos que 1, 2son esencialmen e iguales si con un eo denamien o (i1, ..., in) de (1,...,n) se iene que 1(b1, ..., bn) = 2(bi1, ..., bin)pa a odo (b1, ..., bn)∈ {0,1}n. Es a cla o que el ci cui o que no exis e ninguna pe mu ación pa a que el ci cui o en se ie y en pa alelo sean esencialemen e iguales, po lo que son esencialmen e di e en es. Aho a podemos en ende po que con un o denado es e p oblema es muy di ícil de aba ca : |RD|que es el conjun o donde enemos que comp oba cual son esencialemen e iguales es eno me. Pa a n=4 el ca dinal es 224= 65536, un nume o absu damen e g ande pa a n=4. Vamos a esol e lo con nues a eo ía. Lo p ime o que enemos que busca es el polinomio indicado de la acción de S4sob e {0,1}4: Obse ación 2.8. Es amos en iando un elemen o g de S4hacia un elemen o de S16 ,es deci , a un elemen o que pe mu a los elemen os de {0,1}4. Po lo que nues os ji ienen 2.2. ¿CUÁNTOS CIRCUITOS FORMADOS POR N INTERRUPTORES EXISTEN?23 que suma 16. También amos a u iliza que sabemos que los conjugados ienen el mismo monomial, po lo que oma emos un ciclo conc e o y al monomio es an e lo mul iplica emos po el núme o elemen os conjugados del mismo que haya en S4. 1. La iden idad ija las 16 combinaciones (b1, b2, b3, b4) dando el monomio 16 1 2. Hay seis 2-ciclos en S4: {(12),(13),(14),(23),(24),(34)}.(12) en S16 da luga a ocho 1-ciclos que quedan ijos de la o ma (0,0,b3, b, 4) y (1,1,b3, b, 4) y a cua o 2-ciclos ijos de la o ma: ((1,0,b3, b, 4),(0,1,b3, b, 4)). Po lo que el monomio es 6 8 1 4 2. 3. Hay es p oduc os de 2-ciclos en S4: {(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. (12)(34) en S16 da luga a cua o 1-ciclos que quedan ijos de la o ma (b1, b2,b3, b, 4) y (1,1,b3, b, 4) y a seis 2-ciclos ijos de la o ma: ((b1, b2,b3, b, 4),(b2, b1,b4, b, 3)) donde b1=b2o b3=b4. Po lo que el monomio es 3 4 1 6 2. 4. Hay ocho 3-ciclos en S4: {(123),(124),(134),(132),(142),(143),(234),(243)}. (123) en S16 da luga a cua o 1-ciclos que quedan ijos de la o ma (b1, b1,b1, b, 4) y a cua o 3-ciclos ijos de la o ma: ((b1, b2,b3, b, 4),(b3, b1,b2, b, 4),(b2, b3,b1, b, 4)) . Po lo que el monomio es 8 4 1 4 3. 5. Hay seis 4-ciclos en S4: {(1234),(1342),(1243),(1324),(1423),(1432)}.(1234) en S16 da luga a dos 1-ciclos que quedan ijos de la o ma (b1,b1,b1,b1), un 2-ciclos ijos de la o ma: ((b1,b2,b1, b, 2),(b2,b1,b2, b, 1)). Y el es o es a en 4-ciclos de la o ma ((b1, b2, b3, b4),(b4, b1, b2, b3),(b3, b4, b1, b2),(b2, b3, b4, b1),) Po lo que el monomio es 6 2 1 1 2 3 4. Con odo es o llegamos a que el polinimo indicado es: 1 24( 16 1+ 6 8 1 4 2+ 3 4 1 6 2+ 8 4 1 4 3+ 6 2 1 1 2 3 4)(2.18) Lo único que enemos que hace aho a es sus i ui po |R|= 2 es deci sus i ui odas las a iables en el polinomio an e io po 2: 1 24(216 + 62824+ 32426+ 82424+ 6222123) = 3984 (2.19) Lo que nos esuel e el p oblema, hay 3984 ci cui os o mados po 4 in e up o es. 24 CAPÍTULO 2. TEOREMA DE POLYA Capí ulo 3 Teo emas de Sylow En es a sección amos a ecalca que amos abaja solo con g upos ini os, aunque se ía posible habla en é minos de g upos in ini os. Es a es icción de g upos ini os iene un sen ido y es ap o echa la de inición de p-g upo, siendo p un p imo. De inición 3.1. Un p-g upo es un g upo G en el que cada elemen o de G iene o den una po encia de p siendo p p imo. Como es un g upo ini o, podemos e la equi alencia en e: G es p-g upo y el ca dinal de G es una po encia de p. Si el ca dinal es una po encia de p, po el eo ema de Lag ange, el o den de cada elemen o di ide al ca dinal de G. Como p es p imo cada elemen o iene o den una po encia de p (p-g upo) Pa a p oba la o a implicación, p ime o e emos el Teo ema de Cauchy: Teo ema 3.2. Teo ema de Cauchy Si G es un g upo ini o de o den n y p (nume o p imo) di ide a n, en onces exis e al menos un elemen o de o den p. Demos ación. Tomemos el subg upo <γ>de Spengend ado po <γ>=(1 2 ... p). Vamos a c ea una acción de <γ>sob e el conjun o de Gpde inida po : σ·(g1, ..., gp) = (gσ(1), ..., gσ(p))(3.1) Tomemos X={(g1, ..., gp)∈Gp al que g1·... ·gp=e}(3.2) Vamos a e que X es es able sob e la acción de <γ>. Tomemos un elemen o de X y 25 32 CAPÍTULO 3. TEOREMAS DE SYLOW |G|=|Z(G)|+ n X i=k|Oxi|(3.13) Como cada ó bi a iene o den es ic amen e mayo que 1, y di ide a |G| concluimos que p di ide a cada |Oxi|, luego p di ide a |Z(G)|. Como el elemen o neu o siemp e es á en el cen o, |Z(G)|≥1. Po lo an o, |Z(G)|≥p y concluimos. Co ola io 3.15. Sea G un g upo de o den p2donde p es p imo. En onces G es abeliano Demos ación. Po el eo ema an e io sabemos que |Z(G)|=p o p2. Si |Z(G)|=p2es a ia p obado nues o co ola io. Supongamos que |Z(G)|=p. En onces Z(G) y G/Z(G) ambos end ian o den p y po lo an o se ían ambos g upos cíclicos. Elegimos un gene ado aZ(G) pa a G/Z(G), po se cíclico podemos esc ibi cualquie elemen o gZ(G) en el cocien e como amZ(G)pa a algun en e o, luego g=amxpa a algún x en el cen o de G. Podemos hace lo mismo con hZ(G) ∈G/Z(G), en onces exis e un y al que h=anypa a algún en e o n. Como x e y es an en el cen o, conmu an con odos los elemen os y enemos: gh =amxany=am+nxy =am+nyx =anyamx=hg (3.14) Como g y h son dos elemen os de G cualesquie a, inalizamos con que G es abeliano. Empecemos a clasi ica los g upos de o den 99=32·11 sal o isomo ismo. P ime o e emos que odo g upo G de o den 99 es abeliano. Po el Te ce eo ema de Sylow hay 1+3k 3-subg upos, cada uno de o den 9. Además 1+3k di ide a 11, luego solo puede habe un 3-subg upo de sylow H en G y es e es no mal. P ocedemos con el mismo a gumen o con los 11-subg upos y ob enemos que solo puede habe un 11-subg upo de sylow K en G. Po el co ola io, cualquie g upo de o den 32es abeliano, luego H es isomo o a Z3×Z3oZ9. Como K iene o den 11, debe de se isomo o a Z11. Po lo an o los únicos g upos de o den 99 son Z3×Z3×Z11 yZ9×Z11 Capí ulo 4 G upos Nilpo en es. 4.1. De inición y ejemplos de g upos nilpo en es Empeza emos dando la de inición de g upos nilpo en es y a anza emos dando g an- des esul ados sob e es e ipo an conc e o de g upos, que después nos acili a an la eo ía. De inición 4.1. Una colección ini a de subg upos no males Nide un g upo G es una se ie no mal de G si: 1 = N0⊆N1⊆... ⊆N =G(4.1) Además si enemos Ni/Ni−1⊆Z(G/Ni−1) pa a 1 ≤i≤ es una se ie cen al Po úl imo un g upo nilpo en e es un g upo que iene una se ie cen al. Aho a amos a e a ios ejemplos pa a iden i ica nos a como son y como uncionan los g upos nilpo en es: Obse ación 4.2. 1. Es ácil e que cada Nide la se ie cen al de un g upo nilpo- en e, ambién es un g upo nilpo en e. 2. Cualquie g upo abeliano G es nilpo en e ya que 1 −→ G es una se ie cen al, ya que an o como 1 y G son subg upos no males de G y G/1=G=Z(G) cumple las condiciones que eque imos. 3. Siendo H y K dos g upos, u ilizando que Z(H ×K)=Z(H) ×Z(K) se pod ía p oba que el g upo di ec o de 2 g upos nilpo en es es nilpo en e Ejemplo 4.3. Vamos a e si el g upo de los cua e niones o Q8es nilpo en e. Pa a 33 34 CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. empeza , el g upo cons a de : Q8={1,−1, i, −i, j, −j, k, −k}(4.2) Y la egla de la mul iplicación a excepción de inclui los opues os (-1, -i, -j, -k) que los omi i emos ya que si sabemos como se mul iplican 1,i,j,k ambién sabemos los o os 4. ·1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1 Como podemos e , iene o den 8=23po lo que el o den posible de los subg upos p opios es 2 o 4. Pe o iendo la abla emos que el único elemen o que iene o den 2 es el -1, los demás ienen o den 4. Sabemos que su cen o e a no i ial po se un 2-g upo y es ácil comp oba que es Z(Q8)={1,-1} Veamos que 1 −→ {1,-1} −→ Q8es una se ie cen al. Tenemos que comp oba que Q8/ {1,-1} ≤Z(Q8) / {1,-1}) y {1,-1} ≤Z(Q8). Po se abeliano sabemos que {1,-1} es no mal. Respec o a la p ime a podemos deci que |Q8/ {1,-1}|=4 y como los únicos g upos de 4 elemen os son Z4yZ2×Z2que son abelianos po lo que su cen o es el o al. Po lo que la p ime a con ención es co ec a. Sabemos que Z(Q8)={1,-1} po lo que la segunda con ención ambién es co ec a y concluimos que Q8es un g upo nilpo en e. Vemos que e a mano que un g upo cumple la condición de nilpo en e es dí icil po - que enemos que p opone una se ie cen al, además ¿cómo podemos e que un g upo no es nilpo en e? Vamos a e que podemos simpli ica la búsqueda, además de e equi a- lencias pa a comp oba la no exis encia de ninguna se ie cen al. Pa a ello necesi a emos más eo ia pa a soluciona es e p oblema. De inición 4.4. Sean g y h elemen os de un g upo G. El conmu ado de g y h, deno ado como [g, h]es: [g, h] = g−1h−1gh =g−1gh(4.3) Donde ghes g conjugado po h. Obse ación 4.5. 1. Si g y h conmu an [g,h]=e 2. Si [g,h]=e implica que g y h conmu an: g−1h−1gh =ey pasando los elemen os al 4.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE GRUPOS NILPOTENTES 35 o o lado emos que conmu an. 3. Podemos e el cen o de o a mane a: Z(G) = {g∈G|[g, h] = epa a odo h∈G}(4.4) 4. También podemos de ini un subg upo conmu ado de X1yX2: [X1, X2] =<{[x1, x2]x1∈X1, x2∈X2}>(4.5) 5. Podemos e que si G es abeliano [G,G]={e} Aho a amos a u iliza un lema pa a ampli ica nos la is a de lo que signi ica el g upo conmu ado : Lema 4.6. Si omamos G un g upo enemos las siguien es p opiedades: 1. Si H ≤G y [G, G]≤H, en onces H ⊴G y G/H es abeliano. En pa icula podemos u iliza : [G, G]⊴G y G/[G,G] es abeliano. 2. Si N ⊴G y G/N es abelinano en onces [G, G]⊴N. Demos ación. 1. Sea g ∈G y h ∈H. Tenemos la siguien e igualdad: pa a odo hpa a odo g hg=g−1hg =hh−1g−1hg =h[h, g]∈H(4.6) Las igualdades son simplemen e ope aciones y la pe enencia se debe a la hipó esis que [G,G] ≤H po lo que pa a odo hy pa a odo g[h,g] ∈H. Se concluye diciendo que hg∈H pa a odo hluego H ⊴G. Sean g1Hyg2Helemen os de G/H podemos e que: [g1H, g2H]=[g1, g2]H=H(4.7) Teniendo en cuen a en la p ime a igualdad la mul iplicación de dos elemen os en G/H y en la segunda que [G,G] ≤H. U ilizando que si el conmu ado de dos elemen os es el elemen o nulo, esos dos elemen os conmu an, como hemos omado g1Hyg2Hcualesquie a sabemos que G/H es abeliano. 2. Si gN y hN ∈G/N pa a g,h ∈G. U ilizando el hecho de que G/N es abeliano enemos que [gN,hN]=N además de [gN,hN]=[g,h]N. Lo que podemos conclui que [g,h] ∈N pa a odo h y g. Po lo que [G,G] ≤N. 36 CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. Aho a enemos la siguien e igualdad: [x, y]z=z−1(x−1y−1xy)z= (z−1xz)−1(z−1yz)−1(z−1xz)(z−1yz)=[xz, yz](4.8) Po lo que sea z ∈N, [g, h]z= [gz, hz]que pe enece a [G,G], po lo que es un g upo no mal de N y concluimos. En la p ueba emos que [g, h]z= [gz, hz]pe o el z no u ilizamos que es e en N pa a esa igualdad, es deci podemos hace que z pe enezca a G y segui ía siendo e dad. Po lo que [G,G] ⊴G, Es e lema nos dice que el subg upo conmu ado de un g upo es el subg upo no mal más pequeño que induce un cocien e abeliano. Vamos a da un ejemplo pa a e como podemos calcula [G,G] o g upo de i ado: Ejemplo 4.7. Vamos a calcula el g upo de i ado del g upo al e nado Ansob e el con- jun o S= {1,2,...,n}. Sabemos que pa a n=1,2,3 el g upo al e nado es abeliano po lo que podemos conclui que [An, An]={e}. Pa a n=4 no emos que A4con iene un único subg upo no mal no i ial (podemos u iliza los a gumen os del segundo y e ce eo emas de Sylow): K={e, (12)(34),(13)(24),(14)(23)}(4.9) Como [A4:K]=3, y sabiendo que sal o isomo ismos el único g upo de 3 elemen os es Z3 deducimos que A4/K es abeliano. Jun ando la exis encia de un único g upo no mal y po el lema que acabamos de e que [A4, A4]⊴K. Sabemos que [A4, A4] es di e en e de el elemen o unidad ya que A4no es abeliano, en onces [A4, A4]=K. E i a emos demos a el siguien e esul ado muy impo an e: El g upo al e nado pa a n ≤5 no iene ningún subg upo no mal p opio. Es a si uado en el apéndice. Conside eamos aho a el caso n ≥5. En es e caso Anes simple: no iene subg upos no males p opios. Po lo que como Anno es abeliano, se sigue que [An, An]=An Ejemplo 4.8. Calcula emos aho a el g upo de i ado del g upo simé ico Snsob e el conjun o S= {1,2,...,n}. Pa a n=1,2 Snes abeliano asi que [Sn,Sn]={e}. E i a emos demos a el siguien e esul ado muy impo an e: El g upo simé ico pa a n ≤5solo iene Ancomo subg upo no mal p opio. 4.2. SERIES CENTRALES ASCENDENTES Y DESCENDENTES 37 Aho a amos a u iliza que Anes un subg upo no mal de índice 2 en Snpo lo que Sn/Anes un g upo abeliano. Pa a n ≥5 como sabemos que Snno es abeliano y Sn/An es un g upo abeliano podemos conclui que [Sn,Sn]=An. Veamos aho a pa a n=3, seguimos sabiendo que [S3,S3]⊴A3. Vamos a e aho a que A3es á con enido en [S3,S3]. Po ejemplo: (123) = [(23),(132)] (132) = [(23),(123)] (4.10) Po lo que [S3,S3]=A3 Podemos hace lo mismo con A4pa a e que [S4,S4]=A4 4.2. Se ies cen ales ascenden es y descenden es De inición 4.9. Una se ie cen al descenden e de un g upo G es la secuencia de subg upos: G=G1⊵G2⊵... ⊵Gi⊵... (4.11) donde pa a cada n: Gn+1 = [Gn, G](4.12) Comenzando po G2= [G, G]el de i ado de G. Veamos que es á de inición iene sen ido y que es a se ie de inida cumple las condi- ciones de se ie cen al qui ando la es icción que acabe en el elemen o unidad. Pa a ello enemos que e que cada Gies no mal y que Gi−1/Gies e con enido en Z(G/Gi). Vamos a u iliza la p opiedad ya p obada [g, h]z= [gz, hz]pa a e que cada Gies no mal. Es ácil e que el g upo de i ado, es no mal ya que como G es no mal sob e G, [G, G]z= [Gz, Gz] = [G, G]que concluye que es no mal. Fijemonos aho a en la sucesion de Gi, siguen la siguien e sucesión: G[G, G] [[G, G], G] [[[G, G], G], G]... (4.13) Como ya hemos dicho G y [G,G] son no males, aho a ol iendo a u iliza la p opiedad [g, h]z= [gz, hz]po inducción podemos e que odos los Gison no males. Pa a e que Gi−1/Gies e con enido en Z(G/Gi) u iliza emos el siguien e lema que es la azón de po que hemos de inido así la se ie: Lema 4.10. Sea G un g upo y supongamos que N ⊴G y H ≤G. En onces [H,G] ≤N si y solo si HN/N ≤Z(G/N). 38 CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. Demos ación. Supongamos que [H,G] ≤N y sea sN ∈HN/N con s ∈HN, po lo que s=hn con h ∈H y n ∈N. Teniendo en cuen a que s=hnN=hN, y omando un elemen o gN de G/N, podemos e : [sN, gN] = [hnN, gN]=[hN, gN] = [h, g]N=N(4.14) Donde la úl ima ecuación es po nues a hipó esis. Po la equi alencia en e dos elemen os conmu an si y solo si su conmu ado es el elemen o unidad, podemos conclui que cualquie elemen o de HN/N es á en Z(G/N). Aho a suponemos que HN/N ≤Z(G/N), sea h ∈H h=he ∈HN po lo que hN ∈ HN/N ≤Z(G/N). Po lo que pa a odo g ∈G [hN,gN]=N ya que conmu a. Es deci [h,g]N=N y e minamos iendo que [h,g] ∈N. Sabiendo que cada Gn+1 = [Gn, G]es acil e que cumple la p ime a condición del lema, además cada Gnes á con enido en el an e io podemos conclui que GnGn−1/Gn= Gn−1/Gn, y e minamos con Gn−1/Gnes á con enido en Z(G/Gn). Po lo que nues a se ie cumple las condiciones. Aho a enemos una mane a de encon a una se ie cen al de un g upo, podemos e en el ejemplo de los cua e niones que la se ie que dimos coincide con la se ie cen- al descendien e. P obemos que pasa con los ejemplos del g upo al e nado y el g upo simé ico. Ejemplo 4.11. Calcula emos la se ie cen al descendien e del g upo al e nado: Tan o pa- a n=1,2,3 el segundo é mino ya es [An, An]={e} y como [e,An]={e} a pa i del segundo é mino odos an a se el g upo i ial. Po lo que pa a n=1,2,3 el g upo al e nado es un g upo nilpo en e, ya que su se ie cen al descendien e acaba llegando al g upo i ial. Pa a n=4 sabemos que [A4, A4]=K siendo K el g upo de Klein, que po ene 4 elemen os es abeliano, asi que los é minos son: A4⊵K⊵ ⊵ AAAA ⊵... Pa a n≥5 sabemos que [An, An]=Anpo lo que odos los é minos an a se Any la se ie cen al descendien e nunca llega al g upo i ial. Con es e ejemplo emos que hemos encon ado una mane a buena de encon a se ies cen ales pe o no hemos esuel o el p oblema de la no exis encia de una se ie cen al po lo que amos a e una equi alencia muy impo an e, pe o an es demos o a de inición. Si omamos G un g upo, podemos deno a Z0(G)={e} y Z1(G)=Z(G), ambién lo simpli ica emos a Zisi sabemos a que G nos e e imos. Aho a omando: π1:G−→ G/Z1(G)(4.15) Sabemos que es un homomo ismo po se el cen o de G no mal. De inimos 4.2. SERIES CENTRALES ASCENDENTES Y DESCENDENTES 39 Z2(G) = π−1 1(Z(G/Z1(G)) (4.16) Que son los elemen os de G al que pasados al cocien e de Z1son el cen o de G/Z1. Así Z2/Z1⊴G/Z1po se el cen o, y concluimos u ilizando el eo ema de la co espondencia podemos deci que Z2⊴G. Podemos u iliza el mismo a gumen o pa a e que Zi⊴G. Si aho a enemos πi: G−→ G/Zi(G)homomo ismo, en onces enemos que: Zi+1 =π−1 i(Z(G/Zi(G)) = (4.17) ={g∈G|gZipe ence al cen o de G/Zi}(4.18) ={g∈G|(gZi)(hZi)=(hZi)(gZi)pa a odo h∈G}(4.19) ={g∈G|[g, h]∈Zipa a odo h ∈G}(4.20) Ayudandonos del lema 2.10 enemos que [Zi+1, G]≤Zi De inición 4.12. Una se ie cen al ascenden e de un g upo G es la secuencia de subg upos: 1 = Z0◁Z1◁... ◁Zi◁... (4.21) Donde cada g upo es de inido como: Zi+1 ={x∈G|pa a odo y∈G: [x, y]∈Zi}(4.22) yZ0es {e}. Vemos que Z1es el cen o de G y que se cumple que Zi+1/Zi⊆Z(G/Zi). Es deci , si es a se ie alcanza en algún i ini o a G, end iamos una se ie cen al po lo que G se ía nilpo en e. Apa e de p oba una equi alencia con las se ies cen ales ascenden es amos a p oba un esul ado que nos ayuda a a e que odos los p-subg upos son g upos nilpo en es. Pa a ello amos a necesi a del eo ema 1.24 que dice que un p-subg upo no iene cen o i ial y de los siguien es esul ados: P oposición 4.13. Sean G y H g upos, y sean N1yN2subg upos de G. Si θ∈Hom(G,H), en onces θ([N1, N2])=[θ(N1), θ(N2)]. 40 CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. P oposición 4.14. Sean G y K g upos. Si ϕ:G−→ K es un homomo ismo, en onces ϕ(Gi(G)) = Gi(ϕ(G)) pa a cada i ∈N Demos ación. Lo demos a emos ayudandonos de inducción sob e i. Pa a i=1 emos que ϕ(G1(G)) = ϕ(G) = G1(ϕ(G)) ya que G1(K) = Kpa a odo subg upo K. U ilizando la p oposición 4.13 enemos que: ϕ(Gk+1(G)) = ϕ([Gk(G), G]) = [ϕ(Gk(G)), ϕ(G)] = (4.23) = [(Gk(ϕ(G)), ϕ(G)] = Gk+1(ϕ(G)) (4.24) P oposición 4.15. La imagen de un homomo ismo de un g upo nilpo en e G es nilpo- en e Demos ación. Sea K un g upo y ϕ∈Hom(G,K) po la p oposición 4.14 sabemos que ϕ(Gi(G)) = Gi(ϕ(G)) pa a cada i ∈N. Como G es nilpo en e, exis e un c al que Gc(G) = {e}y como ϕes homomo ismo enemos: {e}=ϕ(Gc(G)) = Gc(ϕ(G)) (4.25) Luego ϕ(G)es nilpo en e. Teo ema 4.16. Si G es un g upo ini o, las siguien es condiciones son equi alen es 1. G es nilpo en e 2. Cualquie imagen de un homomo ismo no i ial de G no iene cen o i ial 3. G apa ece como miemb o de su se ie cen al ascenden e Demos ación. 1. 1 implica 2. Po de inición de g upo nilpo en e, el p ime subg upo (sin ene en cuen a del g upo i ial) cumple que es á con enido en el cen o de G. Aho a solo hay que ija se que la imagen po un homomo ismo de un g upo nilpo en e, ambién es nilpo en e (si ϕes el homomo ismo y la se ie cen al de G es Ni, la se ie cen al de ϕ(G)es a ía compues a de ϕ(Ni)). Jun ando es os dos hechos deducimos 2. 4.2. SERIES CENTRALES ASCENDENTES Y DESCENDENTES 41 2. 2 implica 3 . Si Zi<G donde Zies un é mino de la se ie cen al ascenden e, en onces enemos que Zi+1/Zi=Z(G/Zi). Pe o po hipó esis no es i ial, po lo que Zi< Zi+1 es ic amen e. Como es amos pa iendo de que G es ini o, es a cla o que en algún momen o G apa ece á en la se ie cen al ascenden e. 3. 3 implica 1. Ya hemos comp obado que si la se ie cen al ascenden e con iene a G es una se ie cen al po lo que G se ía nilpo en e. Todos los p-subg upos son nilpo en es. Demos ación. Si enemos a G p-subg upo, H un g upo cualquie a y ϕ: G −→H . G acias al p ime eo ema undamen al de isomo ía enemos un isomo ismo de g upos en e G/ke ϕy H. Sabemos que el ke ϕ(|ke ϕ|>1 po se un homomo ismo no i ial) es un subg upo de G po lo que po se p p imo y el eo ema de Lag ange concluimos que ambién es un p-g upo. Como hay un homomo ismo con H, H ambién es un p-g upo. U ilizando que odos los p-g upos no ienen cen o i ial, hemos llegado a que cualquie imagen de un homomo ismo no i ial de un p-g upo no iene cen o i ial po lo que eniendo en cuen a la p oposición an e io los p-g upos son nilpo en es. EL siguien e eo ema unciona pa a g upos sin necesidad de educi los a los ini os aunque noso os abajemos solo con los ini os. P oposición 4.17. Dado G un g upo nilpo en e con se ie cen al: 1 = N0⊆N1⊆... ⊆N =G(4.26) y la se ie cen al ascenden e: 1 = Z0⊆Z1⊆... ⊆Zi⊆... (4.27) En onces Ni⊆Zipa a 0≤i≤ y en pa icula Z =G Demos ación. Vamos a p oba lo u ilizando inducción, pa a n=0 Z0={e}=N0. Aho a amos a p oba lo pa a i>0 suponiendo que es cie o pa a i-1 (Ni−1⊆Zi−1, pa a simpli ica Ni−1=N Zi−1=Z). Como N⊆Zexis e un homomo ismo subyec i o: θ:G/N −→ G/Z, de inido po θ(gN)=gZ pa a odo elemen o g ∈G. Es á bien de inido ya si omamos g’ un elemen o de gN di e en e de g, sabemos que cumple g′=gn. Po lo que g′Z=θ(g′N) = θ(gnN) = θ(gN) = gZ. Po se θsubyec i a y homomo ismo eamos que θen ia elemen os del cen o de 48 CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. igual a 1 pa a cada i. Po lo que giohison elemen os i iales pa a cada i. Po lo que aho a gisabemos que conmu a con cualquie elemen o ue a de Piy como en el p oduc o gh solo puede habe un elemen o de Pi(o gies el elemen o unidad y ya conmu a ia con odos los demás elemen os o gies el único elemen o de Pi) podemos conclui que giconmu a con odos los elemen os del p oduc o gh. Podemos gene a el mismo a gumen o con hiy concluimos que gh=hg. 6. 6 implica 1. P ime o amos a e que 6 implica 5 y con ello amos a p oba que 6 implica 1. 6 implica 5. Supongamos que los elemen os de o den cop imo conmu an. Sean p1, ..., pnp imos dis in os di iso es de G, y sean P1, ..., Pnlos co espondien es subg upos de Sylow asociados. Si emos aho a que los Pisubg upos de Sylow son no males u ilizando 4 implica 5 end iamos el esul ado. Sean g ∈G y h ∈Pipa a algun i. Si g ∈Pies a cla o que la conjugación es á en Pi. Pe o si g no pe enece a Pi, en onces pe enece a Pjpa a algún j =i. En onces iene o den cop imo, y po hipó esis conmu an po lo que el conjugado ambién pe enece a Pi. Po an o Pi⊴G. 6 implica 1. Como 6 implica 5 sabemos que G es el p oduc o di ec o de subg upos de Sylow. Po se subg upos de Sylow ienen o den po encia p ima y ya hemos is o que los p-g upos son nilpo en es. Luego po el eo ema 4.24 G es un g upo nilpo en e ini o. 4.4. Teo ema de la es uc u a de los g upos ini os abelianos Es e esul ado es muy impo an e po dos cosas, hemos is o una çualidad"muy impo an e de los g upos nilpo en e, y es que son "muy conmu a i o", que cumplen la 6 condición del an e io eo ema, y ambién que si sabemos que es nilpo en e podemos e de una mane a más sencilla ese g upo (u lizando los g upos de Sylow). Obse ación 4.27. Sabemos que odo g upo abeliano es nilpo en e, po lo que odo g upo abeliano es el p oduc o di ec o de sus g upos de Sylow pe o de hecho podemos sabe más sob e la es uc u a de los g upos abelianos. An es del esul ado impo an e necesi amos es a p oposición: P oposición 4.28. Si G es un p-g upo ini o abeliano y C es un subg upo de G cíclico del o den mayo posible, exis e un subg upo B de G de o ma que G=C ×B 4.4. TEOREMA DE LA ESTRUCTURA DE LOS GRUPOS FINITOS ABELIANOS49 Demos ación. Vamos a p oba po inducción sob e el núme o de elemen os de G, es deci si pa a p es cie o lo se á pa a p2, y así sucesi amen e. Es cla o que pa a n=p G es un g upo cíclico. Podemos supone que C<G po que si C=G el esul ado se ía i ial. Aho a cogemos x∈G-C de o den lo meno posible. Como x=1 el o den de xp<que el o den de x. Como x e a del meno o den posible xppe enece a C. Si <xp>=C pod íamos e que |<x>|=p|c| lo que no es posible ya que po hipó esis C es el subg upo cíclico más g ande. Si C=<c>, exis e un m al que xp=cmy sabemos que p|m ya que <xp>es un subg upo p opio de C=<c>, y si p no di idiese a m gene a ia C. Sea m=m’p. Se iene que xp= (cm′)p. Llamemos y=cm′, y pe enece a C po se una po encia de c. Como x no pe enece a C xy−1= 1 y xy−1∈ C. Pe o podemos e que eniendo en cuen a la conmu a i idad (xy−1)p=xp(yp)−1= 1 po la elección de y. U ilizando que x es el elemen o que no pe enece a C con meno o den, sabemos que el o den de x es meno al de xy−1que po lo que acabamos de e es p. Como p (qui ando 1) es el meno o den posible en un p g upo, el o den de x es p. Sea X=<x>y conside emos el homomo ismo ϕde g sob e G/X=. Sabiendo que C es máximo y que x no pe enece a c sabemos que X∪C={e}. Además ϕ(C) = ¯ C=CX/X ∼ = C, luego ¯ Ces cíclico y del mismo o den que C. Si ¯ G u ie a un subg upo cíclico <¯g > de o den mayo se end ía que: |< g > |=o den(g)≥o den(¯g) = |< Ba g > |>|¯ C|=|C|(4.49) Lo que es una con adicción. Po lo que ¯ Ces un subg upo cíclico de o den máximo. Aho a es cuando amos a u iliza la hipó esis de inducción, como ||<|G| se concluye que ¯ Ces un ac o di ec o de ¯ Ges deci , que exis e ¯ B≤¯ G al que ¯ G=¯ Cׯ Bsiendo ¯ B=B/X. Así G=CB, CX∪B=X(C∪B)=X, luego C∪B≤X∪C= 1 y G=C×B Teo ema 4.29. Teo ema de la es uc u a de los g upos ini os abelianos Si G es un g upo ini o abeliano, G es p oduc o di ec o de g upos cíclicos. Demos ación. Po inducción sob e el o den de G, es ob io que pa a n=2 se cumple. Como G es nilpo en e ya sabemos que G es p oduc o di ec o de sus g upos de Sylow. Si el o den de G es di isible po al menos dos p imos dis in os, po hipó esis de inducción cada uno de los co espondien es subg upos de Sylow se exp esa á como p oduc o di ec o de cíclicos y po an o ambien G. Aho a si G es un p-g upo pa a algún p imo p, po el eo ema an e io G=C×B, siendo C un subg upo cíclico de o den maximal. Si B=1, G es cíclico pe o sino B se exp esa á como p oduc o di ec o de cíclicos y po an o ambién G. 50 CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. Capí ulo 5 Funciones Ze a 5.1. In oducción a las unciones Ze a An es de habla de la unción Ze a de Rienmann, odo empieza con dos p egun as a p io i que no se conec an ácilmen e: ¿cuál es la dis ibución de los nume os p imos en los núme os na u ales? ¿Cual es el alo de la siguien e se ie? 1 + 1 4+1 9+1 16 +... +1 n2+... Es a úl ima p egun a se conoció como el p oblema de Basilea, y ue esuel o po Eule en el 1735 y la solución es π2 6. Pe o Leonha d Eule no se quedó solo ahí sino que de inió las siguien e unción: ζ(s) = ∞ X n=1 n−s(5.1) Además de calcula la unción pa a s=2, ambién en es a unción dió el alo a odos lo núme os pa es: ζ(2m) = 22m−1π2m|B2m| (2m)! Siendo Bmlos nume os de Be nouilli. Uno de los hechos más impo an es po lo que es á unción es an amosa es po su g an elación con los núme os p imos. Veamos una p ueba heu ís ica la iden idad del p oduc o de Eule , ya que aunque el u o la in uición de es e esul ado, pa a su p ueba necesi amos concep os del análisis complejo que quedan ue a de es e abajo in de g ado. 51 52 CAPÍTULO 5. FUNCIONES ZETA Teo ema 5.1. Iden idad del p oduc o de Eule ∞ X n=1 n−s=Y p p imos 1 1−p−s(5.2) Demos ación. Sabemos que po el Teo ema Fundamen al de la A i mé ica, pa a cada n≥1 exis e una única exp esión de la o ma: n= 2e23e35e5...pep... Teniendo en cuen a de que p es p imo, que los eisiemp e son en e os no nega i os y que excep o un núme o ini o, odos ellos son 0. Aho a ele ando a la -s, emos que: n= 2−se23−se35−se5...p−sep... (5.3) Lo que amos a busca aho a es e que se e i ica la igualdad siguien e: ∞ X n=1 n−s= (1 + 2−s+ 2−2s+...)(1 + 3−s+ 3−2s+...)(1 + 5−s+ 5−2s+...)... Vamos a e que cada é mino de la izquie da, es á una ez en el p oduc o de la de echa, y que cada é mino de la de echa es á en la izquie da. Fijando un n−s, lo podemos descompone como 5.3. Y aho a omamos de cada (1 + p−s+p−2s+...)el núme o ep, Es á cla o que el p oduc o de odos es os elemen os es igual a n−spo lo que el é mino n−ses á en la de echa, además de o ma única, ya que el Teo ema Fundamen al de la A i mé ica nos da una única descomposición. Tomando un é mino ini o de la pa e de la de echa, es ácil e que siemp e hay un n que es p oduc o de núme os p imos. Aho a u ilizamos que: 1 + p−s+p−2s+... =1 (1 −p−s) Y llegamos a que: ∞ X n=1 n−s=Y p p imos 1 1−p−s 5.2. HIPÓTESIS DE RIENMANN 53 5.2. Hipó esis de Rienmann Be nha d Rienmann empezó a es udia la unción 5.1 como Eule ζ(s) = P∞ n=1 n−s pe o aho a siendo s una a iable compleja. A p io i solo es a de inida pa a aquellos s ∈C ales que Re(s)>1 que son aquellos alo es pa a los que la se ie con e ge. Pe o a pos e io i la unción holomo a que se de ine en esa egión se puede p ologa a una unción me omo a en odo C, que iene un polo en s=1 siendo es e un polo simple. Dicha ex ensión sa is ace: ζ(s) = 2sπs−1sen(πs 2)Γ(1 −s)ζ(1 −s) Se puede e que odos los nume os pa es nega i os anulan la unción, a es os alo es los llama emos ce os i iales de la unción ζ. Lo que dice la hipó esis de Rienmann es que los ce os no i iales de la unción ζ ienen pa e eal 1/2. 5.3. Relación hipó esis de Rienmann y eo ema de los nu- me os p imos An es de habla del eo ema de los núme os p imos necesi amos habla de la unción π(x) ambién llamada unción con ado de núme os p imos, deno a la can idad de p imos que no exceden de x. El eo ema de los núme os p imos dice que π(x)∼x ln(x), que implica que el cocien e de es as unciones cuando x iende a in ini o es 1. Aunque hoy conocemos que la uncion Li(x)=Rx 2 dy ln(y)es una de las mejo es ap oxi- maciones que enemos, y lo podemos e en la siguien e g á ica: Helge on Koch demos ó en 1901 que la hipó esis de Rienmann es equi alen e al conside able e inamien o del eo ema de los núme os p imos: Exis e una cons an e C >0 al que |π(x)−Zx 2 dy ln(y)| ≤ C√xln(x) pa a odo x su icien emen e g ande. Lowel Schoen eld e inó la an e io equi alencia diciendo que C=1/8π. Es á cla o que la unción ζes a in imamen e elacionada con los núme os p imos y su dis ibución. 54 CAPÍTULO 5. FUNCIONES ZETA Figu a 5.1: p imos 5.4. Función Ze a de Di ichle La idea de Di ichle ue da le una uel a a la ecuación 5.1 y añadi le a cada é mino n−sun coe icien e anbajo unas cie as p opiedades. Es deci , es udia las unciones de a iable compleja dadas po las se ies P∞ n=1 ann−s, que hoy lle an su nomb e. En pa icula a es os anlos e como una unción, los llama Ca ác e de Di ichle de pe iodo m donde m>0 es un núme o en e o y ienen las siguien es p opiedades: χ:N−→ C 1. χ(1)=1 2. χ(n1n2) = χ(n1)χ(n2)pa a odo n1, n2∈N 3. χ(m+n) = χ(n)pa a odo n∈N 4. χ(n)=0si el máximo común di iso en e m y n es >1 En o as palab as los ca ác e es son esencialmen e la misma o ma que los homomo ismo de g upos mul iplica i os Z/(m)∗ −→ C/{0}donde Z/(m)∗es el g upo de unidades del g upo modula Z/(m)La L- unción de Di ichle de χes á de inida po : L(s, χ) = ∞ X n=1 χ(n)n−s(5.4) 5.5. FUNCIÓN ZETA DE DEDEKIND 55 Usando es as L- unciones, Di ichle p obó que si el máximo común di iso en e y N es 1, la p og esión a i mé ica , +N, +2N,... con iene in ini os núme os p imos. De hecho, en la p ueba demues a en cie o sen ido que los p imos es án dis ibuidos uni o memen e en e las clases de cong uencia de en e os cop imos a N. En conc e o de ine una medida de densidad a pa i de la unción Ze a de Rienmann. La p opiedad mul iplica i a de los ca ác e es χnos pe mi en p oba un p oduc o de Eule pa a las L- unciones de Di ichle : L(s, χ) = Y p 1 1−χ(p)p−s Nue amen e la seie que de ine L(s,χ) con e ge pa a Re(s)>1 y su suma en esa egión se p olonga analí icamen e a una unción me omo a sob e Cque sa is ace una ecuación uncional. Pa a es as L- unciones exis e su p opia e sión de hipó esis de Rienmann lla- mada Hipó esis Gene alizada de Rienmann (HGR) la cual dice que: pa a odo ca ác e de Di ichle χy odo núme o complejo s con L(s, χ)=0, si la pa e en e a de s es á comp endida en e 0 y 1, en onces la pa e en e a es 1/2. Los o os ce os, que son los i iales, son o bien los en e os nega i os pa es o bien los en e os nega i os impa es. Las se ies de Di iche con e gen es son siemp e en una egión Re(s)>αpa a algún αque se llama abcisa de con e gencia y di e ge en Re(s)<α. 5.5. Función Ze a de Dedekind Dedekind ue la p ime a pe sona que u ilizó la unción ze a pa a un obje i o alge- b aico. Pa a ex ensión K de los nume os acionales Q, que se llama cue po de núme os, la unción ze a de Dedekind en el cue po K es a de inida pa a: ζK(s) = X a ideal |OK:a|−s Donde a es un ideal de OKdis in o de 0. Siendo OKel anillo de en e os de K, que es á de inido po se el anillo de odos los núme os en e os sob e Zcon enidos en K. Un núme o algeb aico αde K es aquel pa a el que exis e un polinomio mónico con coe icien es en Zel cual posee a αcomo aíz. Es a unción es me omo a sob e Ccon un polo único que es simple en s=1. El esul ado más impo an e de las unciones ze a de Dedekind es la ó mula de núme o de clases, en la que podemos calcula el esiduo en el polo s=1 de la unción ζK(s)que depende de la siguien e in o mación: 1. ∆(K)Es el disc iminan e del cue po K. 56 CAPÍTULO 5. FUNCIONES ZETA 2. RKel egulado de K. 3. u es el o den del g upo de aices de la unidad den o del anillo de los en e os OK 4. hKes el núme o de clase de K 5. 1es el núme o de inme siones de K en Ry 2= [K:Q]− 1 Ress=1(ζK(s)) = 2 1(2π) 2hKRK up|∆(K)| Na u almen e la unción Ze a de Dedekind sa is ace una ecuación uncional y iene un p oduc o de Eule g acias a la ac o ización única de ideales de OKque ue p obada po el p opio Dedekind. La hipó esis de Rienmann se enuncia como las an e io es y se conoce como hipó esis de Rienmamnn ex endida. 5.6. Función Ze a de g upos Exis en muchas unciones Ze a más alla de las que hemos nomb ado. Pa a pode ag upa las exis en 4 p opiedades que una unción Ze a debe sa is ace : 1. (ZF1) La unción es me omo a en odo el plano complejo (holomo a menos en un pun o). 2. (ZF2) La unción iene una expansión en se ie de Di ichle . 3. (ZF3) La unción iene una expansión en p oduc o de Eule . 4. (ZF4) La unción sa is ace una ecuación uncional. Dado un g upo G, la de inición de unción Ze a de G es: ζ≤ G(s) = X H≤G|G:H|−s. Que es á de inida siemp e que el g upo enga una can idad ini a de subg upos de índice n pa a odo n. Si el g upo es de gene ación ini a eso sucede. Y el é mino que acompaña ía an−sse ía: a≤ n(G) = |{H:H≤Gy|G:H|=n}| Y pod íamos esc ibi nues a unción Ze a de g upos como una se ie de Di ichle sa is a- ciendo ZF2: ζ≤ G(s) = ∞ X n=1 a≤ n(G)n−s 5.6. FUNCIÓN ZETA DE GRUPOS 57 Si el g upo además de se de gene ación ini a, es lib e de o sión (si ningún elemen o excep o la iden idad iene o den ini o) y es un g upo nilpo en e enemos que la unción ze a de g upos asociada sa is ace la condición ZF3: ζ≤ G,p(s) = ∞ X n=0 a≤ pn(G)p−ns ζ≤ G(s) = Y p p imo ζ≤ G,p(s) Es os g upos de gene ación ini a, lib es de o sión y nilpo en es se llaman τ−g upos y ienen una g an impo ancia en la hipó esis gene alizada de Rienmann. Bajo cie as condiciones so is icadas ambién se cumple ZF4.