Retículos vectoriales. Algunos teoremas de representación

Facul ad de Ciencias T abajo Fin de G ado G ado en Ma emá icas Re ículos ec o iales. Algunos eo emas de ep esen ación Au o : Inés Ma cos Lomo Tu o : Jesús M. Domínguez Gómez 2 T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo ´ Indice gene al In oducci´on 5 1. P elimina es 9 2. Re ´ıculos ec o iales 17 3. Rep esen aci´on de e ´ıculos ec o iales 31 4. Φ-´ Algeb as 47 3 4 T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo In oducci´on Si Xes un espacio de Tychono , es o es, comple amen e egula y Hausdo , deno a emos po C(X) la R-´algeb a de odas las unciones con inuas de Xen Rcon las ope aciones de inidas “pun o apun o”: ( +g)(x) := (x) + g(x), ( g)(x) := (x)g(x), (λ )(x) := λ (x), pa a cada x∈Xy cada λ∈R. Conside amos ambi´en en C(X) la elaci´on de o den pa cial de inida “pun o a pun o”: ≤gsi (x)≤g(x),pa a cada x∈X. Es a elaci´on de o den pa cial no solo es compa ible con el p oduc o en C(X), sino que ambi´en lo es con su es uc u a ec o ial, quedando as´ı C(X) do ado de es uc u a de e ´ıculo ec o ial. Di emos que una R-´algeb a Aes de ipo Csi exis e un espacio opol´ogico X al que Aes l-isomo a a C(X), es deci , isomo a como ´algeb a y como e ´ıculo. Deno a emos po C∗(X) la sub´algeb a de C(X) o mada po las unciones aco adas. El ´algeb a C∗(X) es cie amen e de ipo C, pues, si βX es la compac i icaci´on de S one-Cech del espacio X, en onces cada unci´on con inua y aco ada ∈C∗(X) admi e una ex ensi´on con inua βaβX, y la aplicaci´on C∗(X)−→ C(βX) 7−→ β es un l-isomo ismo. Sea aho a Yun espacio in e medio en e XyβX, es deci , X⊆Y⊆βX. Pues o que X es denso Y(po se lo en βX), la aplicaci´on de es icci´on C(Y)−→ C(X) 7−→ |X 5 6 es un l-homomo ismo inyec i o e, iden i icando C(Y) con su imagen en C(X), podemos consi- de a a C(Y) como un ´algeb a in e media en e C∗(X) y C(X), es deci , C∗(X)⊆C(Y)⊆ C(X). Aho a bien, no odas las ´algeb as in e medias en e C∗(X) y C(X) son de ipo C. Puede demos a se que si ∈C(X), pe o /∈C∗(X), en onces el ´algeb a in e media C∗(X)[ ] o mada po las exp esiones polin´omicas en con coe icien es en C∗(X) no es de ipo C. En el in en o po encon a una es uc u a algeb aica que pe mi a es udia uni icadamen e las di e en es ´algeb as de unciones con inuas, Hen iksen y Johnson [HJ] p oponen en 1961 la es uc u a de Φ-´algeb a. Es a es uc u a ha sido la m´as exi osa. Todas las ´algeb as in e medias son Φ-´algeb as (de hecho, son Φ-´algeb as uni o memen e ce adas). Plank [Pla] ob u o adem´as en 1971 el siguien e eo ema de ca ac e izaci´on (mejo ando un esul ado an e io de Hen iksen y Johnson): Una Φ-´algeb a Auni o memen e ce ada y ce ada po in e si´on es l-isomo a a C(X) pa a alg´un espacio de Lindel¨o Xsi, y solo si, cada ideal p opio uni o memen e ce ado de Aes ´a con enido en un ideal maximal eal (es deci , en un ideal maximal cuyo cue po esidual es R). Exponemos en es a memo ia la eo ´ıa elemen al de los e ´ıculos ec o iales, en ocada desde el pun o de is a de los espacios de unciones con inuas, no hemos en ado a conside a la eo ´ıa de la medida. Nues o obje i o e a llega , al menos, a in oduci la es uc u a de Φ- ´algeb a. Hemos p obado el eo ema de ep esen aci´on de Yosida pa a e ´ıculos ec o iales y algunas p opiedades b´asicas de las Φ-´algeb as, pe o no hemos llegado a es udia las Φ-´algeb as uni o memen e ce adas ni la ex ensi´on a Φ-´algeb as del eo ema de ep esen aci´on de Yosida. El abajo se di ide en cua o cap´ı ulos. El p ime de ellos lo dedica emos a los p eli- mina es, iendo unas p ime as de iniciones y p opiedades. P incipalmen e nos se i emos del lib o [BKW]. Pa a llega a de ini los e ´ıculos ec o iales, la p incipal es uc u a que amos a a a , amos a de ini la es uc u a de e ´ıculo, as´ı como las aplicaciones c ecien es y los mo - ismos de e ´ıculos. Despu´es, in oduci emos un ejemplo ca ac e ´ıs ico de e ´ıculo ec o ial: las aplicaciones con inuas. Po ´ul imo, habla emos de la opolog´ıa d´ebil apoy´andonos en el lib o [Bou]. El segundo cap´ı ulo a a ´a con de alle la es uc u a de e ´ıculo ec o ial, iendo sus p o- piedades undamen ales. Nos basa emos p incipalmen e en dos ex os: [Pul] y [EJ]. Ve emos en p ime luga algunas p opiedades b´asicas. Luego pasa emos a e los mo ismos de e ´ıculos ec o iales y los subespacios s´olidos, lo que los pe mi i ´a es udia cie os espacios cocien e como e ´ıculos ec o iales. Po ´ul imo, de ini emos los elemen os aco ados espec o a un elemen o posi i o ey cu´ando ees una unidad d´ebil o ue e, y en elaci´on con es o e emos algunas ca ac e ´ıs icas de los e ´ıculos ec o iales a quimedianos. En el e ce cap´ı ulo segui emos el ex o de [Pul]. Empeza emos de iniendo el espec o y el espec o aco ado de un e ´ıculo ec o ial. Es os espacios nos se i ´an pa a ep esen a e ´ıculos. El es o del cap´ı ulo es ´a di igido a enuncia y demos a a ios esul ados, en e los que ienen pa icula impo ancia dos eo emas de ep esen aci´on. P ime o e emos la T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 7 ep esen aci´on de Riesz, que nos pe mi e e los elemen os aco ados de un e ´ıculo ec o ial como unciones con inuas que pa en del espec o aco ado de dicho e ´ıculo ec o ial ( eo ema 48). Luego e emos una segunda ep esen aci´on que nos pe mi i ´a e los elemen os de un e ´ıculo ec o ial como cie as clases de unciones que pa en del espec o ( eo ema 58). El ´ul imo cap´ı ulo es a ´a dedicado a las Φ-´algeb as, es o es, e ´ıculos ec o iales a los que se a˜nade una es uc u a de ´algeb a conmu a i a con elemen o unidad. De nue o la e e encia p incipal se ´a [Pul], aunque oma emos alg´un ejemplo del a ´ıculo [Hui]. Empe a emos con las de iniciones y las p incipales p opiedades. En un segundo momen o pase emos a e algunos esul ados de ep esen aci´on de Φ-´algeb as. G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 8 T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Cap´ı ulo 1 P elimina es Empezamos con los p elimina es, iendo unas p ime as de iniciones y p opiedades. P in- cipalmen e nos se i emos del lib o [BKW]. Pa a llega a de ini los e ´ıculos ec o iales, la p incipal es uc u a que amos a a a , amos a de ini la es uc u a de e ´ıculo, as´ı como las aplicaciones c ecien es y los mo ismos de e ´ıculos. Despu´es, in oduci emos un ejemplo ca ac e ´ıs ico de e ´ıculo ec o ial: las aplicaciones con inuas. Po ´ul imo, habla emos de la opolog´ıa d´ebil apoy´andonos en el lib o [Bou]. Ex emos supe io es e in e io es De inici´on 1. Una elaci´on de o den pa cial en un conjun o Ees una elaci´on bina ia en Eque sa is ace las p opiedades e lexi a, an isim´e ica y ansi i a. Como es habi ual, deno a emos una elaci´on de es e ipo con el s´ımbolo ≤. De inici´on 2. Sea Eun conjun o pa cialmen e o denado y A⊆E. Si el conjun o de las co as supe io es de A iene elemen o m´ınimo, es e elemen o se denomina ex emo supe io (o sup emo) de A. El ex emo supe io de A, cuando exis a, se deno a ´a con WA, sup Ao sup x∈A x, y si Aes un conjun o ini o, A:= {x1, x2, . . . , xn}, esc ibi emos p e e en emen e x1∨x2∨· · ·∨xn. An´alogamen e pa a el ex emo in e io (o ´ın imo) de A. Si Fes un subconjun o de un conjun o pa cialmen e o denado E(siendo el o den de Fel he edado de E), se ´a a menudo necesa io u iliza una no aci´on del ipo ∨FAoF-sup Apa a di e encia el ex emo supe io de Aen Fdel calculado en E. Debemos hace no a , en elaci´on con los ex emos supe io es de A, en Fy en E espec i amen e, que la exis encia de uno no implica la del o o y que, aun cuando exis an ambos, pueden no coincidi . An´alogamen e pa a los ex emos in e io es. Re ´ıculos y sub e ´ıculos P ecisamos hace algunos obse aciones sob e las dos de iniciones habi uales (y coinciden- es) de e ´ıculo: como conjun o pa cialmen e o denado y como ´algeb a uni e sal. 9 16 T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Cap´ı ulo 2 Re ´ıculos ec o iales En es e segundo cap´ı ulo amos a a a con de alle la es uc u a de e ´ıculo ec o ial, ien- do sus p opiedades undamen ales. Nos basa emos p incipalmen e en dos ex os: [Pul] y [EJ]. Ve emos en p ime luga algunas p opiedades b´asicas. Luego pasa emos a e los mo ismos de e ´ıculos ec o iales y los subespacios s´olidos, lo que los pe mi i ´a es udia cie os espacios cocien e como e ´ıculos ec o iales. Po ´ul imo, de ini emos los elemen os aco ados espec o a un elemen o posi i o ey cu´ando ees una unidad d´ebil o ue e, y en elaci´on con es o e emos algunas ca ac e ´ıs icas de los e ´ıculos ec o iales a quimedianos. Reco demos que un espacio ec o ial o denado es un espacio ec o ial do ado de una ela- ci´on de o den pa cial compa ible con su es uc u a ec o ial. Reco demos ambi´en, que dado un espacio ec o ial o denado E, de inimos el cono posi i o de Ecomo E+:= {x∈E:x≥0}. De inici´on 21. Sea Eun espacio ec o ial o denado, y sean x, y ∈E. Al subconjun o [x, y]⊆ Ede inido po : [x, y] := {z∈E:x≤z≤y}= (x+E+)∩(y−E+) lo denomina emos in e alo ce ado de ex emos xey. Reco demos que de inimos un e ´ıculo ec o ial (o espacio de Riesz) como un espacio ec- o ial o denado que posee es uc u a de e ´ıculo. De inici´on 22. Sea Eun e ´ıculo ec o ial, x∈E. De inimos: x+:= x∨0, la pa e posi i a de x x−:= (−x)∨0, la pa e nega i a de x |x|:= x+∨x−, el alo absolu o de x Dados x, y ∈E, es inmedia o lo siguien e: |x|= 0 ⇔x= 0 17 18 x≤y⇔ −y≤ −x si adem´as x≥0, en onces |y| ≤ x⇔y∈[−x, x] Veamos algunos esul ados b´asicos: Lema 23. Sea Eun e ´ıculo ec o ial. Pa a cualesquie a x, y, z ∈Ese sa is acen las siguien es p opiedades: (i)−(x∧y)=(−x)∨(−y),−(x∨y)=(−x)∧(−y) (ii)x+ (y∨z)=(x+y)∨(x+z), x + (y∧z)=(x+y)∧(x+z) (iii)x+y=x∨y+x∧y (i ) (x−y)+=x−x∧y, (x−y)−=y−x∧y ( )x=x+−x−, x+∧x−= 0,|x|=x++x−,|x|=| − x| ( i)|x|=x∨(−x),|x+y| ≤ |x|+|y|,||x|−|y|| ≤ |x−y| ( ii) si exis e n∈N al que nx ≥0, en onces x≥0 ( iii)|λx|=|λ||x|,∀λ∈R (ix)x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z), x ∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z) Demos aci´on. (i) Ambas igualdades son inmedia as. (ii) Veamos la p ime a igualdad. Es cla o que x+y≤x+ (y∨z) y, del mismo modo, que x+z≤x+(y∨z). Jun ando ambas desigualdades enemos que (x+y)∨(x+z)≤x+(y∨z). Pa a la o a desigualdad conside amos h:= (x+y)∨(x+z). Tenemos que x+y≤h, luego y≤h−x. An´alogamen e, z≤h−x. De mane a que y∧z≤h−x, lo cual implica x+ (y∧z)≤h, y ya enemos ya igualdad buscada. La segunda igualdad se demues a de o ma an´aloga. (iii) Dado que x∧y≤x, en onces x−(x∧y)≥0. De la misma mane a, como x∧y≤y, en onces y−(x∧y)≥0. Jun ando ambas desigualdades, enemos que: x+y−(x∧y)≥x, x +y−(x∧y)≥y. Lo cual implica que, x+y−(x∧y)≥(x∨y), y ya enemos una de las desigualdades. T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 19 Pa a la o a desigualdad, sus i uyendo xpo −xeypo −y, con el mismo azonamien o ob enemos lo siguien e: (−x)+(−y)−((−x)∧(−y)) ≥((−x)∨(−y)). Aplicando inos queda: (−x)+(−y)+(x∨y)≥ −(x∧y), y eesc ibi´endolo x+y−(x∧y)≤(x∨y). Ya enemos las dos desiguialdades, luego enemos la igualdad. (i ) Veamos la p ime a igualdad: (x−y)+:= (x−y)∨0=(x−y)∨(x−x). Aplicando ii y seguidamen e i: (x−y)∨(x−x) = x+ ((−y)∨(−x)) = x−(y∧x). La segunda igualdad se p ueba de modo an´alogo: (x−y)−:= (y−x)∨0=(y−x)∨(y−y) = y+ ((−x)∨(−y)) = y−(x∧y). ( ) La p ime a igualdad la demos amos aplicando las p opiedades i yi: x+= (x−0)+=x−(x∧0) = x+ ((−x)∨0) = x+x−⇒x=x+−x−. Pa a la segunda igualdad u iliza emos la p ime a igualdad de es e apa ado y, adem´as, las p opiedades ii yi: (x+∧x−)−x−= (x+−x−)∧(x−−x−) = x∧0 = −((−x)∨0) = −x−⇒x+∧x−= 0. La e ce a igualdad la amos a demos a pa iendo de las de iniciones, la igualdad an- e io y la p opiedad iii: |x|=x+∨x−=x+∨x−+ 0 = (x+∨x−)+(x+∧x−) = x++x−. Po ´ul imo, la cua a igualdad, esul a muy sencilla de demos a g acias al esul ado G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 20 an e io : |x|=x++x−= (x∨0) + ((−x)∨0) = (−x)−+ (−x)+=| − x|. ( i) La igualdad |x|=x∨(−x) se deduce ´acilmen e de la de inici´on que hemos dado de alo absolu o. Es a es, de hecho, una o ma equi alen e de de ini lo que apa ece, po ejemplo en [EJ]. La desigualdad iangula la demos amos de la siguien e mane a: x≤x+ y≤y+)⇒x+y≤x++y+, a˜nadiendo que x++y+≥0, enemos que (x+y)+≤x++y+. Con un azonamien o an´alogo deducimos que (x+y)−≤x−+y−. Y con es as dos desigualdades y la p opiedad conlcuimos lo siguien e: |x+y|= (x+y)++(x+y)−≤(x++y+)+(x−+y−)=(x++x−)+(y++y−) = |x|+|y|. Como consecuencia, podemos deduci de o ma sencilla la desigualdad iangula in e sa. Po un lado, enemos que, |x|=|(x−y) + y| ≤ |x−y|+|y| ⇒ |x|−|y| ≤ |x−y|. De la misma mane a, |y|=|(y−x) + y| ≤ |y−x|+|x| ⇒ |y|−|x| ≤ |x−y|. Jun ando ambas desigualdades ob enemos que ||x|−|y|| ≤ |x−y|. ( ii) De ii, podemos deduci , po inducci´on, la siguien e igualdad: n(x∧0) = nx ∧(n−1)x∧(n−2)x∧ · · · ∧ x∧0. Luego, si exis e n∈N al que nx ≥0, en onces n(x∧0) = (n−1)x∧(n−2)x∧ · · · ∧ x∧0=(n−1)(x∧0). Pe o que n(x∧0) = (n−1)(x∧0) implica que x∧0 = 0, luego ya enemos que x≥0. ( iii) Podemos supone sin p´e dida de gene alidad que λ > 0 y p oba que |λx|=λ|x|. Como λx ≤λ|x|, y adem´as, −λx =λ(−x)≤λ|x|, en onces |λx| ≤ λ|x|. En pa icula , |x|= |1 λλx| ≤ 1 λ|λx|, es o es, λ|x| ≤ |λx|. Con es o queda p obada la p opiedad. T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 21 (ix) Veamos la p ime a igualdad. Deno amos k=x∧(y∨z). Como y≤(y∨z), en onces x∧y≤k. De la misma mane a, como z≤(y∨z), en onces x∧z≤k. Jun ando ambas desigualdades, enemos que (x∧y)∨(x∧z)≤k. Pa a e que kes la co a supe io ´op ima del conjun o {x∧y, x ∧z} omamos o a co a supe io h. Usando iii deducimos lo siguien e: h≥x∧y=x+y−(x∨y), y eesc ibi´endolo, h−x+ (x∨y)≥y. De la misma mane a, h≥x∧z=x+z−(x∨z)⇒h−x+ (x∨z)≥z. Jun ando ambas desigualdades y aplicando de nue o la p opiedad iii: h≥x+ (y∨z)−(x∨(y∨z)) = x∧(y∨z) = k. Y ya hemos e minado. Teo ema 24. (P opiedad de descomposici´on de Riesz). Sea Eun espacio de Riesz y x, y1, y2∈E+ ales que x≤y1+y2. En onces exis en x1, x2∈E+ ales que x=x1+x2,0≤ x1≤y1y 0 ≤x2≤y2. Demos aci´on. De inimos x1:= x∧y1yx2:= x−x1. Es cla o que 0 ≤x1≤x, luego x2=x−x1≥0, es deci , x1, x2∈E+. Del mismo modo 0 ≤x1≤y1. Adem´as, x2=x−x1=x−(x∧y1)=(x−y1)∨0≤y2∨0 = y2. Pa a e mina , es inmedia o e que x1+x2=x1+x−x1=x. Co ola io 25. Sea Eun e ´ıculo ec o ial y x, y, z ∈E. Se sa is acen las siguien es p opieda- des: (i) si x, y, z ≥0, en onces x∧(y+z)≤x∧y+x∧z (ii)n(x∨y) = nx ∨ny, n(x∧y) = nx ∧ny, ∀n∈N (iii) 2(x∨y) = x+y+|x−y| Demos aci´on. (i) Podemos e lo de o ma muy sencilla con la p opiedad de descompo- sici´on an e io . Deno amos k=x∧(y+z). Tenemos que 0 ≤k≤y+z, es deci , k∈[0, y +z]. Aho a bien, exis en k1∈[0, y], k2∈[0, z] ales que k=k1+k2. Con es o podemos conclui : k=k1+k2≤(x∧y)+(x∧z). G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 22 (ii) Si enemos z, k ≥0 ales que z∧k= 0, del eo ema 24 podemos deduci que: 0≤z∧(k+k)≤(z∧k)+(z∧k) = 0 + 0, es deci , 0 = z∧k=z∧(2k) = · · · =z∧(nk) = . . . , n ∈N. Po an o, haciendo uso de es o y de las p opiedades i y del lema 23, enemos que: 0 = (x−y)+∧(x−y)−= (x−x∧y)∧(y−x∧y)=(nx −n(x∧y)) ∧(ny −n(x∧y)). Con es o conseguimos la siguien e implicaci´on: (nx −n(x∧y)) ∧(ny −n(x∧y)) = 0 ⇒nx ∧ny −n(x∧y)=0, con lo que enemos el esul ado buscado. (iii) Se deduce como co olai o de la segunda p opiedad de es e co ola io. En e ec o, si omamos n= 2 enemos lo siguien e: 2(x∨y) = 2x∨2y= (x+x+y−y)∨(y+y+x−x), y po la segunda p opiedad del lema 23, es o es igual a x+y+ (x−y)∨(y−x) = x+y+|x−y|. De inici´on 26. Sean EyFdos e ´ıculos ec o iales. Reco demos que si enemos una aplicaci´on T:E−→ F al que T(x∨y) = T(x)∨T(y) y T(x∧y) = T(x)∧T(y), pa a cualesquie a x, y ∈E, en onces Tes un mo ismo de e ´ıculos. Di emos que T:E−→ Fes un mo ismo de e ´ıculos ec o iales si es un mo ismo de e ´ıculos y una aplicaci´on lineal. Di emos adem´as que Tes isomo ismo de e ´ıculos ec o iales si es biyec i o y su in e sa es ambi´en un mo ismo de e ´ıculos ec o iales. En ealidad, si enemos un mo ismo de e ´ıculos ec o iales, la biyec i idad es su icien e pa a ga an iza que es un isomo ismo de e ´ıculos ec o iales. Si exis e alg´un isomo ismo de e ´ıculos ec o iales en e EyF, di emos que Ey Fson l-isomo os. Veamos una sencilla p oposici´on de g an u ilidad: P oposici´on 27. Sea T:E−→ Funa aplicaci´on lineal en e e ´ıculos ec o iales. Tes un mo ismo de e ´ıculos ec o iales si y solo si T(|x|) = |T(x)|pa a odo x∈E. T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 23 Demos aci´on. Dados x, y ∈Esabemos que −(x∧y) = (−x)∨(−y), po an o, pa a que Tsea mo ismo de e ´ıculos ec o iales bas a con que T ans o me sup emos en sup emos o ´ın imos en ´ın imos. Adem´as, pues o que x∨y=x+ (0 ∨(y−x)), Tmanda sup emos en sup emos si y solo si T(x∨0) = T(x)∨0 pa a odo x∈E. Po ´ul imo, como 2(x∨0) = x+|x|, podemos conclui lo que que ´ıamos demos a . P oposici´on 28. Sean E, F e ´ıculos ec o iales y T:E−→ Funa aplicaci´on lineal y biyec i a al que T(E+)⊆F+. En onces Tes isomo ismo de e ´ıculos ec o iales si y solo si T−1cumple que T−1(F+)⊆E+. Demos aci´on. Si Tes isomo ismo de e ´ıculos ec o iales, en onces T−1 ambi´en lo es. En consecuencia si y1, y2∈Fson ales que y1≤y2, en onces T−1(y1)≤T−1(y2). En pa icula , si y1≥0, en onces T−1(y1)≥0, es deci , T−1(F+)⊆E+. Suponemos aho a que T−1(F+)⊆E+. Sean x1, x2∈E. Pues o que x1∨x2≥x1y x1∨x2≥x2, enemos espec i amen e que T(x1∨x2)≥T(x1) y T(x1∨x2)≥T(x2). Po an o, T(x1∨x2)≥T(x1)∨T(x2). Po o a pa e, usando que T(x1)∨T(x2)≥T(x1) y T−1(F+)⊆E+, enemos que T−1(T(x1)∨T(x2)) ≥T−1(x1) = x1. An´alogamen e, T−1(T(x1)∨T(x2)) ≥ T−1(x2) = x2. Po an o, enemos que T−1(T(x1)∨T(x2)) ≥x1∨x2, luego T(x1)∨T(x2)≥ T(x1∨x2). Con es o hemos e minado de p oba que T(x1)∨T(x2) = T(x1∨x2), es deci , Tes mo ismo de e ´ıculos ec o iales. Como sabemos que es biyec i o, concluimos que Tes isomo ismo de e ´ıculos ec o iales. Ejemplo 29. Sean E:= R2con el o den usual componen e a componen e y F:= R2con el o den lexicog ´a ico. Ya imos en el ejemplo 14 que E+={(x1, x2)∈R2:x1≥0, x2≥ 0, ..., xn≥0}yF+={(x1, x2)∈R2:x1>0}∪{(x1, x2)∈R2:x1= 0, x2≥0}. Es cla o que E+(F+. En consecuencia, po la p oposici´on que acabamos de e , EyFno son l-isomo os. De inici´on 30. Sea Eun e ´ıculo ec o ial. Di emos que un subconjun o Sde Ees s´olido (o absolu amen e con exo) si se sa is ace que, pa a odo elemen o sde S, el conjun o {x∈E: |x|≤|s|} es ´a con enido en S. Cuando un subespacio ec o ial de Esea s´olido y no es ´e con enido es ic amen e en ning´un subespacio s´olido y p opio de E, di emos que es un subespacio s´olido maximal de E. Los subespacios s´olidos de un e ´ıculo ec o ial son los sub e ´ıculos ec o iales con exos. Ejemplo 31. Sea E:= C([0,1]), e ´ıculo ec o ial. Sea Ael subespacio de E o mado po las uciones cons an es en [0,1]. Es inmedia o que A es sub e ´ıculo ec o ial de E, pe o no es s´olido. Po ejemplo, la unci´on sin : [0,1] −→ R es al que |sin | ≤ 1∈Ay sin emba go sin /∈A. M´as gene al, pues o que [0,1] es compac o, pa a oda unci´on ∈Epodemos encon a un alo ∈R al que | | ≤ , pe o no odas las unciones con inuas en [0,1] con cons an es. G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 24 Sea Ael subespacio de E o mado po las unciones ∈E ales que (1/2) = 0, enemos que Aes un subesapcio s´olido de E. Pues si g∈Ees al que |g|≤| |con ∈A, en onces |g(x)|≤| (x)|pa a odo x∈[0,1], en pa icula |g(1/2)|≤| (1/2)|= 0, luego g(1/2) = 0. Sea Ael subesapcio de Eque con iene a odas las unciones ∈E ales que (x)=0 pa a odo x∈[0,1/2]. En onces Aes ambi´en un subespacio s´olido de E. P oposici´on 32. Sea Eun e ´ıculo ec o ial y S1, S2subespacios s´olidos de E. Se sa is acen las siguien es p opiedades: (i) La in e secci´on de S1yS2es de nue o un subespacio s´olido de E. (ii) La suma algeb aica S1+S2es un subespacio s´olido de E. M´as a´un, si x∈(S1+S2)+, en onces exis en x1∈S+ 1yx2∈S+ 2 ales que x=x1+x2. Demos aci´on. Pa a e (I) omamos s∈S1∩S2. Como s∈S1∩S2⊆S1, enemos que el conjun o {x∈E:|x|≤|s|} es ´a con enido en S1. Del mismo modo emos que es ´a con enido en S2, y en consecuencia enemos que {x∈E:|x| ≤ |s|} ⊆ S1∩S2. Veamos aho a (II). Sea s∈S1+S2yx∈ {x∈E:|x|≤|s|}. Po de inici´on de la suma, exis en s1∈S1ys2∈S2 ales que s=s1+s2. En consecuencia, podemos esc ibi x+≤ |x| ≤ |s| ≤ |s1|+|s2|, y po an o, po el eo ema 24, sabemos que exis en a1, a2∈E+ ales que x+=a1+a2, a1≤ |s1|ya2≤ |s2|. An´alogamen e, enemos que exis en b1, b2∈E+ ales que x−=b1+b2, b1≤ |s1|yb2≤ |s2|. Adem´as, po se S1subespacio s´olido, a1, b1∈S1, y po an o a1−b1∈S1; an´alogamen e, a2−b2∈S2. En onces enemos que x=x+−x−=a1+a2−b1−b2= (a1−b1)+(a2−b2)∈S1+S2. Hemos demos ado que S1+S2es un subespacio s´olido. Po ´ul imo, si x∈(S1+S2)+, po el mismo azonamien o, enemos que exis en x1∈S+ 1yx2∈S+ 2 ales que x=x1+x2. El p ime apa ado de la p oposici´on que acabamos de e nos mues a que iene sen ido conside a el subespacio s´olido gene ado po un subconjun o de un e ´ıculo ec o ial E. Vamos a e c´omo podemos desc ibi el subespacio s´olido gene ado po un solo elemen o: P oposici´on 33. Sea Eun e ´ıculo ec o ial y x0∈E+. En onces, el meno subespacio s´olido de Eque con iene a x0, y que llamamos subespacio s´olido gene ado po x0, es el siguien e: {y∈E:|y| ≤ nx0,pa a alg´un n∈N}. T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 25 Demos aci´on. Sea S:= {y∈E:|y| ≤ nx0,pa a alg´un n∈N}. Si s∈Syx∈Ees al que |x|≤|s|, en onces exis e n∈N al que |x|≤|s| ≤ nx0, po lo que x∈S. Con es o hemos is o que Ses un subespacio s´olido; adem´as, es e iden e que x0∈S. Sea S0o o subespacio s´olido que con iene a x0, eamos que necesa iamen e S⊆S0. Si y∈S, en onces exis e n∈N al que |y| ≤ nx0, y po an o |y| n≤x0. Es o implica, pues o que S0es s´olido y x0∈S0, que |y| n∈S0, pe o como S0es subespacio ambi´en y∈S0. Y hemos e minado la demos aci´on. Veamos aho a a ios esul ados sob e el cocien e de un e ´ıculo ec o ial: en p ime luga e emos cu´ando y c´omo el mo ismo de paso al cocien e a a se mo ismo de e ´ıculos ec o iales y despu´es e emos una ca ac e izaci´on de los subespacios s´olidos del cocien e. Lema 34. Sea Fun subespacio ec o ial de un e ´ıculo ec o ial E. Los siguien es enunciados son equi alen es: (i)Fes un subespacio s´olido de E. (ii) Sea π:E−→ E/F la aplicaci´on de paso al cocien e. El conjun o π(E+) es el cono posi i o asociado a una es uc u a de e ´ıculo ec o ial sob e E/F. Demos aci´on. La implicaci´on (II)⇒(I) es inmedia a, pues o que la inmagen in e sa de un subespacio s´olido po un mo ismo de e ´ıculos ec o iales es un subespacio s´olido. Veamos la o a implicaci´on. Supongamos que Fes un subespacio s´olido de E. Es cla o que π(E+)+π(E+)⊆π(E+) y que λπ(E+)⊆π(E+), λ ∈R+. Pa a e que π(E+)∩−π(E+) = {0}, omamos un elemen o π(x) en esa in e secci´on. En onces, exis en x1, x2∈E+ ales que π(x) = π(x1) = π(−x2), de mane a que 0 ≤x1≤x1+x2, y podemos conclui que π(x) = π(x1) = 0, como que ´ıamos e . Hemos demos ado que π(E+) es un cono posi i o. P oposici´on 35. Sea Fun subespacio s´olido de un e ´ıculo ec o ial Eyπ:E−→ E/F la aplicaci´on de paso al cocien e. Conside amos el e ´ıculo ec o ial E/F con la elaci´on de o den asociada al cono posi i o π(E+). Sean π(x) y π(y) dos clases de equi alencia en E/F, son equi alen es: (i)π(x)≤π(y) (ii) Pa a odo x1∈π(x) exis e y1∈π(y) al que x1≤y1 (iii) Pa a odo x1∈π(x) y odo y1∈π(y), exis e z∈F al que y1−x1≥z. Adem´as, eniendo es o en cuen a es sencillo e que πes un mo ismo de e ´ıculos ec o iales. Demos aci´on. Veamos p ime o c´omo es la elaci´on de o den en E/F cuyo cono posi i o es π(E+). Dados dos elemen os de E/F,π(x) y π(y), end emos que π(x)≤π(y) si π(x)−π(y)∈ π(E+), es o es, si exis en x1∈π(x) e y1∈π(y) ales que x1−y1∈E+, es deci , ales que x1≤y1. Vis o es o es inmedia o que an o (II) como (III) implican (I). Po o a pa e, G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 32 es un mo ismo de e ´ıculos ec o iales de E∗en R al que ωM(e) = 1, es deci , ωM∈Spec E∗. As´ı pues, enemos una co espondencia biun´ı oca en e Spec E∗y el conjun o de los subespacios s´olidos maximales de E∗. Po o a pa e, sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. Podemos de ini una no ma sob e E∗de una o ma na u al: ||x||e:= ´ın {λ∈R+:|x| ≤ λe}, x ∈E∗. Es inmedia o comp oba que || · ||ecumple las p opiedades de una no ma. Adem´as, ||e||e= 1. Veamos que el in e io de la de inici´on es de hecho un m´ınimo, es o es, que pa a odo x∈E∗se iene que |x| ≤ ||x||ee. Fijado n∈N, po de inici´on de in e io enemos que |x| ≤ (||x||e+ 1/n)e, equi alen emen e, n(|x| − ||x||ee)≤e. Po la p opiedad a quimediana enemos lo que busc´abamos. Po o a pa e, emos que cada elemen o x∈E∗de ine una unci´on sob e Spec E∗, que deno amos ˜x, que consis e en e alua cada elemen o ω∈Spec E∗en x: ˜x: Spec E∗−→ R ω7−→ ˜x(ω) := ω(x). Hemos cons uido as´ı una amilia de aplicaciones. Aho a, conside amos en Spec E∗la opo- log´ıa d´ebil de inida po E∗, en endiendo como al la opolog´ıa d´ebil espec o a la amilia de aplicaciones ˜x. Pa a dicha opolog´ıa, po de inici´on, odas las aplicaciones de la amilia son con inuas, y po an o enemos de o ma na u al una aplicaci´on E∗−→ C(Spec E∗), llamada ep esen aci´on de Riesz de E∗. Es a aplicaci´on es un mo ismo de e ´ıculos ec o iales. Adem´as, si x∈M, subespacio s´olido maximal de E∗, en onces, ωM(x) = 0, donde ωMes ´a de inido como hemos is o m´as a iba en la co espondencia biun´ı oca en e Spec E∗y los subespacios s´olidos maximales de E∗. De es e modo emos que el n´ucleo de la ep esen aci´on de Riesz es la in e secci´on de odos los subespacios s´olidos maximales de E∗. Po ´ul imo, las unciones de E∗sepa an pun os de Spec E∗, pues si dados ωM1, ωM2∈ Spec E∗co espondien es a subespacios s´olidos maximales de E∗dis in os, M1, M2, omamos x∈M1 M2, es cla o que x(ωM1)6=x(ωM2). Po o a pa e, ambi´en enemos que Spec E∗es un subespacio opol´ogico de RE∗. Veamos aho a una p oposici´on: P oposici´on 47. Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. En onces Spec E∗do ado de la opolog´ıa d´ebil de inida po E∗es un espacio opol´ogico compac o de Hausdo y no ac´ıo. Demos aci´on. El co ola io 43 nos ga an iza que exis en en E∗subespacios s´olidos maxima- les. Po an o, g acias a la co espondencia biun´ı oca que hemos is o en e Spec E∗y los subespacios s´olidos maximales de E∗, sabemos que Spec E∗es no ac´ıo. T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 33 Pa a e que es un espacio opol´ogico compac o, amos a e que es ce ado y que las im´agenes de los elemen os de Spec E∗po odas las p oyecciones son aco adas. En e ec o, como hemos is o an e io men e, podemos conside a Spec E∗como un subespacio de RE∗, que podemos e como un p oduc o de copias de R. Si Spec E∗es ce ado y las im´agenes de los elemen os de las p oyecciones son aco adas, en onces end emos que Spec E∗es un subespacio ce ado de un p oduc o de in e alos ce ados y aco ados de R, es deci , un p oduc o de compac os. Pe o el eo ema de Tychono nos dice que el p oduc o a bi a io de compac os es compac os, luego pa a conclui bas a ´a eco da que un ce ado de un compac o es un compac o. Veamos p ime o que es ce ado. Pa a ello omamos un elemen o en la adhe encia de Spec E∗,ω0, y amos a demos a que ω0∈Spec E∗, es deci , que ω0:E∗−→ Res lineal, mo ismo de e ´ıculos y al que ω0(e) = 1. Pa a e que ω0es lineal, enemos que e que pa a cualesquie a x, y ∈E∗yλ, µ ∈R, se cumple que ω0(λx +µy) = λω0(x) + µω0(y). Podemos encon a aplicaciones de E∗en Rque e aluadas en los pun os x+y, x eycoincidan con la e aluaci´on en ω0. Po an o, dado  > 0, iene sen ido conside a un abie o no ac´ıo, Ω, de RE∗de inido de la siguien e mane a: Ω := {ω∈RE∗:|ω(λx +µy)−ω0(λx +µy)|< } ∩{ω∈RE∗:ω(x)−ω0(x)|< }∩{ω∈RE∗:|ω(y)−ω0(y)|< }. Aho a bien, si ω∈Ω∩Spec E∗6=∅, en onces: |ω0(λx +µy)−(λω0(x) + µω0(y))|= |ω0(λx +µy)−(λω0(x) + µω0(y)) −ω(λx +µy)+(λω(x) + µω(y))|, donde, ap o echando que ωes lineal, hemos sumado y es ado ω(λx +µy) = λω(x) + µω(y). Aplicando la desigualdad iangula , enemos que |ω0(λx +µy)−(λω0(x) + µω0(y))| ≤ |ω0(λx +µy)−ω(λx +µy)|+|λω0(x)−λω(x)|+|µω0(y)−µω(y)| ≤(1 + |λ|+µ|). Pues o que es o se cumple pa a cualquie  > 0, podemos conclui que ω0(λx+µy) = λω0(x)+ µω0(y), como que ´ıamos e . De o ma simila , pa a e que ω0es mo ismo de e ´ıculos, omamos el siguien e abie o no ac´ıo: Π := {ω∈RE∗:|ω(x)−ω0(x)|< /2}∩{ω∈RE∗:|ω(|x|)−ω0(|x|)|< /2}, G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 34 y omando ω∈Π∩Spec E∗6=∅, sumando y es ando ω(|x|) y aplicando la desigualdad iangula y que ωes mo ismo de e ´ıculos, enemos lo siguien e: |ω0(|x|)− |ω0(x)|| ≤ |ω0(|x|)−ω(|x|)|+||ω0(x)| − ω(|x|)| ≤ /2 + ||ω0(x)|−|ω(x)|| < . Pues o que es o se da pa a  > 0 a bi a io, es o implica que ω0(|x|) = |ω0(x)|y po an o, po la p oposici´on 27, ω0es mo ismo de e ´ıculos. Pa a e mina de e que ω0∈Spec E∗, al a e que ω0(e) = 1. Dado que la p oyecci´on πe:RE∗−→ R ω7−→ πe(ω) := ω(e). es con inua, se iene que πe(Spec E∗)⊆πe(Spec E∗) = {ω(e) : ω∈Spec E∗}={1}. Es deci , ω0(e) = 1. Con es o ya enemos que Spec E∗es ce ado. Po ´ul imo, pa a e mina la demos aci´on, eamos que las im´agenes de los elemen os de Spec E∗po odas las p oyecciones son aco adas. Dado x∈E∗, conside amos la p oyecci´on πx:RE∗−→ R ω7−→ πx(ω) := ω(x). Po la de inici´on de e ´ıculo de los elemen os aco ados de E espec o de e, exis e n∈N al que |x| ≤ ne, y po an o, pa a odo elemen o ω∈Spec E∗se iene que |ω(x)|=ω(|x|)≤ω(ne) = nω(e) = n. G acias a es a p oposici´on enemos de inida la no ma del sup emo en C(Spec E∗): || · ||∞:C(Spec E∗)−→ R 7−→ || ||∞:= sup{| (ω)|:ω∈Spec E∗}.. Es o nos pe mi e deci algo m´as sob e la ep esen aci´on de Riesz: Teo ema 48. Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. En onces E∗es isom´e ico a su imagen po la ep esen aci´on de Riesz E∗−→ C(Spec E∗). Como consecuencia, dicha aplicaci´on es inyec i a, es o es, la in e secci´on de odos los subespacios s´olidos maximales de E∗es nula. Demos aci´on. Que emos e que, pa a odos los elemen os x∈E∗, se cumple que ||x||e= ||˜x||∞. T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 35 Sea x∈E∗no nulo. Reco damos que |x| ≤ ||x||ee. Po an o, pa a odo ω∈Spec E∗se iene que |ω(x)|=ω(|x|)≤ω(||x||ee) = ||x||e, y en consecuencia, ||˜x||∞≤ ||x||e. Sea γ:= sup{β∈R:βe ≤ |x|} 6=∅. Po la p opiedad a quimediana, emos que el sup emo que acabamos de de ini es en ealidad un m´aximo, es o es, se iene que γe ≤ |x|. Si γ=||x||e, en onces |x| ≤ ||x||e≤ |x|, es deci , |x|=||x||ee, y po an o, pa a odo ω∈Spec E∗, se cumple que ω(|x|) = ω(||x||ee) = ||x||e. Con es o concluimos que ||x||e=||˜x||∞ y en es e caso hemos e minado. Suponemos aho a que exis e λ∈R al que γ < λ < ||x||e, lo cual, po las de iniciones de γ y de || · ||eimplica espec i amen e que λe 6≤ |x|y|x| 6≤ λe, o equi alen emen e, (λe − |x|)+> 0 y (λe − |x|)−>0. A gumen ando como en la demos aci´on del lema 44, ob enemos que (λe − |x|)−/∈ S(λe−|x|)+:= {z∈E∗:|z| ≤ µ(λe − |x|)+pa a alg´un µ∈R+}. Po an o, S(λe−|x|)+es un subespacio s´olido p opio de E∗y, po el lema 42, exis e un subespacio s´olido maximal en E∗, M que lo con iene. Po la co espondencia biun´ı oca en e los elemen os de Spec E∗y los subespacios s´olidos maximales de E∗, enemos que M= ke (ω), pa a alg´un ω∈Spec E∗. En onces, ω(λe − |x|) = ω((λe − |x|)+−(λe − |x|)−) = −ω((λe − |x|)−)≤0, lo cual implica, aplicando la linealidad de ωy despejando, que ω(|x|)≥λ. En consecuencia, ||˜x||∞≥λ, pa a odo λ al que γ < λ < ||x||e, po lo cual, deducimos que ||˜x||∞≥ ||x||e, y ya enemos que ||˜x||∞=||x||e. G acias a es e eo ema, podemos conside a E∗como sub e ´ıculo ec o ial de C(Spec E∗). Vamos a i p o undizando y diciendo m´as de E∗en es e sen ido. Veamos unas de iniciones: De inici´on 49. Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano y e∈E+. Se dice que una sucesi´on {xn}nen Ees e-uni o memen e de Cauchy, si pa a cada  > 0 exis e un en e o posi i o ν, al que si n, m ≥ν, en onces, |xn−xm| ≤ e. Una sucesi´on {xn}nen Ese dice que es e-uni o memen e con e gen e si exis e un x∈E que sa is aga lo siguien e: pa a odo  > 0 exis e un en e o posi i o ν al que si n≥ν, en onces |xn−x| ≤ e. Un subconjun o Dde Ese dice que es e-uni o memen e ce ado, si cada sucesi´on e- uni o memen e de Cauchy de Des e-uni o memen e con e gen e a un elemen o de D. Se dice que un subconjun o Dde Ees e-uni o memen e denso, si cada elemen o de Ees l´ımi e e-uni o me de una sucesi´on de D. En la si uaci´on de es as de iniciones, es inmedia o comp oba que si Ees e-uni o memen e ce ado, en onces se cumple que si ees unidad d´ebil, E∗es ambi´en e-uni o memen e ce ado. G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 36 Ejemplo 50. Sea Xun espacio opol´ogico. Dado ∈R+no nulo, conside amos la unci´on cons an e , es deci , , que es con inua. En C(K), es sencillo comp oba que las nociones “sucesi´on -uni o memen e de Cauchy”, “sucesi´on -uni o memen e con e gen e”, “conjun o -uni o memen e ce ado” y “conjun o -uni o memen e denso”, coinciden espec i amen e con las nociones usuales de “sucesi´on uni o memen e de Cauchy”, “sucesi´on uni o memen e con e gen e”, “conjun o uni o memen e ce ado” y “conjun o uni o memen e denso”. Si Xes compac o y de Hausdo , conside amos en C(X) la opolog´ıa de inida po la no ma del sup emo. En es e caso las nociones an e io es coinciden espec i amen e con “sucesi´on de Cauchy”, “sucesi´on con e gen e”, “conjun o ce ado” y “conjun o denso” pa a la opolog´ıa e e ida. Sea Funa sub´algeb a de C(X) que sepa a pun os de Xy que con iene a las unciones cons an es, en onces, po el eo ema de S one-Weie s ass, Fes uni o memen e denso en C(X). Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. Hemos is o que el eo ema 48 nos pe mi e conside a E∗como sub e ´ıculo ec o ial de C(Spec E∗) y hemos is o al p incipio de es e cap´ı ulo que sepa a pun os de Spec E∗. Es inmedia o, adem´as, e que E∗con iene a las unciones cons an es, en e ec o, dado ∈R, el elemen o e ∈E∗ ep esen ado como unci´on sob e Spec E∗po la ep esen aci´on de Riesz es la unci´on cons an e . Po lo an o, E∗es uni o memen e denso en C(Spec E∗). Teo ema 51. (de Ca ac e izaci´on). Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano. Ees l- isomo o a C(K) pa a alg´un espacio opol´ogico compac o Hausdo K, si y solo si, exis e una unidad ue e een Epa a la cual Ees e-uni o memen e ce ado. Demos aci´on. Supongamos que Kes un espacio opol´ogico compac o Hausdo al que C(K) es l-isomo o a E. La unci´on cons an e 1es una unidad ue e en C(K), y al y como hemos dicho en el ejemplo 50, enemos que C(K) es 1-uni o memen e ce ado. Pues o que E yC(K) son l-isomo os, enemos una de las implicaciones. Pa a el ec´ıp oco, suponemos que Ees un e ´ıculo ec o ial a quimediano en el cual exis e una unidad ue e e al que Ees e-uni o memen e ce ado, es o es, E=E∗, is o como sub e ´ıculo de C(Spec E∗), es 1-uni o memen e ce ado. Pues o que E∗es 1-uni o memen e denso en C(Spec E∗), enemos que E∗=C(Spec E∗). Es deci , hemos demos ado que la ep esen aci´on de Riesz E=E∗−→ C(Spec E∗) es un l-isomo ismo. Sabemos que E∗sepa a pun os de C(Spec E∗). Vamos a e que ambi´en S1-sepa a ce ados de C(Spec E∗), un ipo de sepa aci´on m´as ue e. Es o a a se consecuencia de que E∗es uni o memen e denso en C(Spec E∗). De inici´on 52. Sea Xun espacio opol´ogico y sea Eun subconjun o de C(X). Di emos que E S1-sepa a ce ados de Xsi pa a cada pa de ce ados disjun os no ac´ıos F, G de X, exis e h∈E, 0≤h≤1, al que h(F) = 0 y h(G) = 1. T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 37 Co ola io 53. Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. En onces E∗S1- sepa a ce ados de Spec E∗. Demos aci´on. Sean F, G ce ados disjun os y no ac´ıos de Spec E∗. Po el lema de U ysohn, exis e ∈ C(Spec E∗) al que (ω) = −1 si ω∈Fy (ω) = 2 si ω∈G. Po o a pa e, como E∗es uni o memen e denso en C(Spec E∗), exis e x∈E∗ al que ||x− ||∞≤1, es o es −1≤ω(x)− (ω)≤1 pa a odo ω∈Spec E∗. Aho a bien, si ω∈F, en onces −2≤ω(x)≤0; y si ω∈G, en onces 1 ≤ω(x)≤3. Sea y:= 0 ∨(x∧e)∈E∗. Es cla o que ˜y(ω) = ω(y) = 0 si ω∈Fy ˜y(ω) = ω(y) = 1 si ω∈G, y hemos e minado la demos aci´on. Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. Hemos is o en es e cap´ı ulo c´omo Spec E∗, do ado la opolog´ıa d´ebil de inida po E∗, es un espacio opol´ogico no ac´ıo. Su g´ıa en onces de mane a na u al, desde E∗en C(Spec E∗), la aplicaci´on que hemos llamado ep esen aci´on de Riesz: E∗−→ C(Spec E∗) x7−→ ˜x: Spec E∗−→ R ω7−→ ˜x(ω) := ω(x). . Hemos is o que es a aplicaci´on es un mo ismo inyec i o de e ´ıculos ec o iales inyec i o, que E∗es uni o memen e denso en C(Spec E∗) y que sepa a pun os y S1-sepa a ce ados de Spec E∗. A pa i de aho a pa a cada x∈E∗, deno a emos su imagen po la ep esen aci´on de Riesz de la misma mane a, es deci , iden i ica emos xcon ˜x. De o ma an´aloga, conside amos Spec Econ la opolog´ıa d´ebil de inida po E. Con una demos aci´on como la de la p oposici´on 47, emos que Spec Ees un ce ado de RE. Podemos de ini de nue o la ep esen aci´on de Riesz, es a ez de Een C(Spec E), que sigue siendo mo ismo de e ´ıculos ec o iales. Sin emba go, no amos a pode deci odo lo que en´ıamos pa a E∗. Spec Epuede se ac´ıo y la ep esen aci´on de Riesz no inyec i a. Adem´as, aun siendo inyec i a y Ee-uni o memen e ce ado, Epuede se dis in o de C(Spec E). Aunque la si uaci´on sea dis in a, pod emos da esul ados in e esan es. Vamos a e que cada e ´ıculo ec o ial a quimediano Econ unidad d´ebil ees l-isomo o a un e ´ıculo ec o ial de unciones con inuas de Spec E∗en R=R∪ {−∞,+∞}. Es e e ´ıculo e o ial se ´a un sub e ´ıculo de D(Spec E∗), que aho a de inimos: De inici´on 54. Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. Sea R:= R∪ {±∞} la ec a ampliada. Conside amos las unciones :Y−→ R, siendo Yun subconjun o de Spec E∗en el que es con inua y adem´as R( ) es denso en Spec E∗,donde R( ) := {ω∈ Y: (ω)∈R}. Tomamos aho a en el conjun o de es as unciones la siguien e elaci´on de equi alencia: 1y 2es ´an elacionadas si coinciden en un abie o denso de R( 1)∩R( 2). A es e espacio cocien e lo deno amos D(Spec E∗) y a sus elemen os los denomina emos unciones ex endidas. G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 38 Es cla o que E∗⊆ C(Spec E∗)⊆ D(Spec E∗). Vamos a e que D(Spec E∗) es e ´ıculo ec- o ial. Lo p ime o que enemos que no a es que el que dos unciones 1, 2de inidas espec i a- men e en Y1, Y2coincidan en un abie o denso de R( 1)∩R( 2) es equi alen e a que coincidan en odo R( 1)∩R( 2), pues son con inuas y con llegada en un Hausdo . La elaci´on de o den que amos a conside a es la siguien e: dadas dos clases de equi alencia [ 1],[ 2]∈ D(Spec E∗), en onces [ 1]≤[ 2] si 1≤ 2pun o a pun o en R( 1)∩R( 2). Con lo que hemos is o es inmedia o que es a elaci´on de o den es ´a bien de inida. Adem´as, enemos que 1≤ 2en R( 1)∩R( 2) es equi alen e a que 1≤ 2en un abie o denso de R( 1)∩R( 2). En onces e- nemos que [ 1]∧[ 2] = [ 1|R( 1)∩R( 2)∧ 2|R( 1)∩R( 2)]y[ 1]∨[ 2]=[ 1|R( 1)∩R( 2)∨ 2|R( 1)∩R( 2)] es ´an bien de inidos y pe enecen a D(Spec E∗), po lo que enemos que es e espacio es un e ´ıculo. Po o a pa e, la suma [ 1]+[ 2]=[ 1|R( 1)∩R( 2)+ 2|R( 1)∩R( 2)] y el p oduc o λ[ 1] = [λ 1], con λ∈Rnos dan la es uc u a de espacio ec o ial. Es sencillo e que ambas es uc u as son compa ibles, po lo que enemos que D(Spec E∗) es un e ´ıculo ec o ial. Vamos a p oba aho a unos esul ados necesa ios pa a llega a e que cada e ´ıculo ec o ial a quimediano Econ unidad d´ebil ees l-isomo o a un sub e ´ıculo de D(Spec E∗). P e iamen e, una cues i´on de no aci´on. Dados x, y, z elemen os de un e ´ıculo ec o ial, cuando x≤z, se cumple la igualdad (x∨y)∧z=x∨(y∧z), que en gene al no es cie a. En e ec o, si x≤z, en onces x∧z=x, y haciendo uso de la ´ul ima p opiedad del lema 23 enemos que (x∨y)∧z= (x∧z)∨(y∧z) = x∨(y∧z) En es e caso, u iliza emos la exp esi´on x∨y∧z. Lema 55. Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. Dados x∈E, ω ∈ Spec E∗, enemos las siguien es equi alencias: (i)ω(−e∨x∧e)≥0 si y solo si supnω(x−∧ne)=0. (ii)ω(−e∨x∧e)≤0 si y solo si supnω(x+∧ne)=0. Demos aci´on. (i) Si ω(−e∨x∧e)≥0, en onces el in e io de ω(−e∨x∧e) y 0 se ´a 0. Pe o, pues o que ωes mo ismo y e≥0 po de inici´on, sabemos que ω(−e∨x∧e)∧0 = ω(−e∨x∧e)∧ω(0) = ω((−e∨x∧e)∧0) = ω(−e∨x∧0); luego enemos que ω(−e∨x∧0) = 0. Adem´as, po la p ime a de las p opiedades del lema 23, x∧0 = −(−x∨0), pe o −x∨0 =: x−. Po lo que deducimos que ω(−e∨ −x−) = 0, y ol iendo a u iliza la misma p opiedad del lema 23, nos queda que ω(−(e∧x−)) = 0, y en consecuencia ω(e∧x−) = 0. Aho a bien, dado n∈N, po la segunda p opiedad del co ola io 25, n(x−∧e) = nx−∧ne ≥x−∧ne, donde la ´ul ima desigualdad queda jus i icada po se x−≥0. En consecuencia, 0 ≤ω(x−∧ne)≤nω(x−∧e) = 0, y po an o ω(x−∧ne) = 0. Es e azonamien o es e e sible, po lo que hemos is o la equi alencia. T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 39 (ii) An´alogamen e, ω(−e∨x∧e)≤0 implica que ω(−e∨x∧e)∨0 = 0. Pues o que ω(−e∨x∧e)∨0 = ω((−e∨x∧e)∨0) = ω(o∨x∧ −e) = ω(x+∧e), enemos que ω(x+∧e) = 0. Y desde es e pun o el azonamien o es id´en ico al del apa ado an e io . De inici´on 56. Sea :X−→ R. Llama emos coce o de al subconjun o de Xde inido como coz( ) := {ω∈X: (ω)6= 0}. Lema 57. Sea Xun conjun o y Eun sub e ´ıculo ec o ial de RXque con iene a las unciones cons an es. Se cumple que {coz(x) : x∈E}es una base de abie os pa a la opolog´ıa d´ebil de inida en Xpo E. Demos aci´on. Sabemos po la p oposici´on 19 que el conjun o {x−1(a, b) : x∈E, a, b ∈R} es una subbase pa a la opolog´ıa d´ebil de inida en Xpo E. Aho a bien, x−1(a, b) = {ω∈X:x(ω)∈(a, b)}={ω∈X:x(ω)−a > 0 y b−x(ω)>0}. Dado que Ees un sub e ´ıculo de RXque con iene a las unciones cons an es, podemos de ini (x−a),(b−x)∈Ecomo (x−a)(ω) = x(ω)−ay (b−x)(ω) = b−x(ω) espec i amen e, ω∈X. Esc ibimos que x−1(a, b) = {ω∈X: (x−a)+(ω)6= 0 y (b−x)+(ω)6= 0}={ω∈X: [(x−a)+∧(b−x)+](ω)6= 0}, pe o es e ´ul imo conjun o es coz((x−a)+∧(b−x)+). Po o a pa e, dados x1, ...xn∈E, es inmedia o que coz(x1)∩... ∩coz(xn) = coz(|x1|)∩... ∩coz(|xn|) = coz(|x1| ∧ ... ∧ |xn|). Debido a es o, enemos que coz((x−a)+∧(b−x)+) = coz((x−a)+)∩coz((b−x)+). De es a mene a emos que {coz(x) : x∈E}gene a odos los elemen os de{x−1(a, b) : x∈E, a, b ∈R}, po lo que es de hecho una base de abie os como que ´ıamos e . Sea aho a Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. Como adelan amos, que emos e que Ees l-isomo o a un sub e ´ıculo de D(Spec E∗). Po ello, buscamos una aplicaci´on de Een D(Spec E∗). Pa a cada elemen o x∈E, amos a de ini una aplicaci´on ˆx: SpecE∗−→ R, y luego conside a emos su clase de equi alencia. Si x∈E+, de inimos ˆxde la siguien e mane a: ˆx(ω) := sup n ω(x∧ne)∈[0,+∞], ω ∈SpecE∗. Es o es ´a bien de inido, pues dado que Ees a quimediano y hemos omado x∈E+, se cumple, po la p oposici´on 40 que x=Wn(x∧ne). Adem´as, si x∈(E∗)+, en onces ˆx=x, es o es, G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 40 ˆx(ω) = ω(x), pa a odo ω∈SpecE∗. Es o ocu e po que en es e caso, po de inici´on, exis e un n0na u al al que podemos aco a x≤n0e, y en consecuencia, pa a odo n≥n0, se cumple que x=x∧ne. G acias a es o, pod emos e m´as adelan e, en el eo ema 59, que Spec Ese puede conside a como un subespacio opol´ogico de Spec E∗. Si omamos un elemen o cualquie a, x∈E, de inimos ˆxcomo la di e encia: ˆx:= c x+−c x−. Pues o que x+, x−∈E+, los elemen os c x+yc x−es ´an bien de inidos. Adem´as, no s´e puede da la si uaci´on de que la suma sea +∞−∞, pues po el lema 55, c x+(ω) y c x−(ω) no pueden se no nulos ambos, pues en ese caso end ´ıamos que el alo ω(−e∨x∧e) se ´ıa es ic amen e mayo que 0 y es ic amen e meno que 0, lo cual es absu do. Y es o ocu e pa a odo ω∈SpecE∗, po lo que enemos ga an ´ıa de que ˆxes ´a bien de inida en odo caso. Veamos aho a el esul ado que en´ıamos an icipando: Teo ema 58. Sea Eun e ´ıculo ec o ial a quimediano con unidad d´ebil e. El conjun o ˆ E:= {[ˆx] : x∈E}es espacio ec o ial y sub e ´ıculo de D(Spec E∗). Adem´as, la aplicaci´on E−→ ˆ E x7−→ [ˆx], es un l-isomo ismo. Demos aci´on. Pa a e que ˆ Ees sub e ´ıculo ec o ial de D(Spec E∗), eamos en p ime luga que ˆ E⊆ D(Spec E∗). Dado x∈E, es e iden e, po c´omo la hemos de inido, que ˆxes una aplicaci´on de Spec E∗en R. Po an o, nos al a e que es con inua y que R(ˆx) = {ω∈ Spec E∗: ˆx(ω)∈R}es denso en Spec E∗. Pues o que ˆx:= c x+−c x−, bas a que p obemos es o pa a x∈E+. Sea x∈E+, pa a p oba que ˆxes con inua hay que e que las im´agenes in e sas de abie os de Rson abie os en Spec E∗. Bas a demos a , po an o, que dados a, b ∈R, los conjun os A:= ˆx−1((a, +∞]) = {ω∈Spec E∗: ˆx(ω)> a}y B:= ˆx−1([−∞, b)) = {ω∈Spec E∗: ˆx(ω)< b} son abie os. Aho a bien, po la de inici´on de ˆxpa a x∈E+, podemos esc ibi que A=SnAn, donde An:= {ω∈Spec E∗:ω(x∧ne)> a}, pa a cada n∈N. Pe o x∧ne ≤ne, es deci , x∧ne ∈(E∗)+⊆E∗. Po an o, pues o que Anes la con aimagen de un abie o po una aplicaci´on que e al´ua cada ω∈Spec E∗en un elemen o de E∗, po de inici´on de la opolog´ıa d´ebil en Spec E∗, enemos que Anes abie o en Spec E∗. En consecuencia, Aes abie o po se uni´on nume able de abie os. Po o a pa e, si p obamos que B={ω∈Spec E∗:ω(x∧be)< b},pues o que x∧be ≤be ≤ne pa a alg´un nna u al, es deci x∧be ∈E∗, en onces, po el T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 41 mismo mo i o que pa a los An, end emos que Bes abie o de Spec E∗. Aho a bien, si ω∈B, es o es, si ˆx(ω)< b, pa a cualquie nna u al enemos que b > ω(x∧ne) = ω(x∧ne)∧b=ω(x∧ne ∧be). En pa icula , es o se ´a cie o pa a n0≥b, en cuyo caso, b > ω(x∧ne ∧be) = ω(x∧be), como que ´ıamos e . Pa a e la o a con enci´on omamos ω∈Spec de mane a que ω(x∧be)< b. Si omamos λ∈R al que ω(x∧be)< λ < b ynna u al con n≥λ, en onces es cla o que λ>ω(x∧be)≥ω(x∧λe) = ω(x∧ne ∧λe) = ω(x∧ne)∧λ=ω(x∧ne). De mane a que ˆx(ω)≤λ<b, como busc´abamos. Ya hemos demos ado que ˆxes con inua. Veamos aho a que R(ˆx) es denso en Spec E∗. Como podemos e E∗como un sub e ´ıculo de C(Spec E∗) que con iene a las unciones cons an es, po el lema 57, sabemos que {coz(y) : y∈E∗}es base de la opolog´ıa que es amos conside ando en Spec E∗. Po an o, pa a e que R(ˆx) es denso en Spec E∗, bas a e que en cualquie abie o de es a base hay un elemen o de R(ˆx), o de o o modo, sea y∈(E∗)+ al que coz(y)∩R(ˆx) = ∅, que emos p oba que coz(y) = ∅, es o es, que yse anula en odos los pun os. Pues o que es amos conside ando x∈E+, podemos esc ibi : R(ˆx) = {ω∈Spec E∗: ˆx(ω)<∞} =[ n {ω∈Spec E∗: ˆx(ω)< n}. El hecho de que coz(y)∩R(ˆx) = ∅implica que si dado ω∈Spec E∗se iene que ˆx(ω)<∞, en onces y(ω) := ω(y) = 0. En consecuencia, lo que enemos que p oba es que si dado ω∈Spec E∗se iene que ˆx(ω) = ∞, en onces ω(y) = 0. Fijamos aho a un na u al n0 al que n0≥ ||y||∞. En es e caso, la amilia {ω∈Spec E∗:ω(x∧ne)> n2 0}n∈Nes un ecub imien o po abie os c ecien e del compac o K:= {ω∈Spec E∗: ˆx(ω) = ∞}, y en consecuencia exis e n∈N al que K⊆ {ω∈Spec E∗:ω(x∧ne)> n2 0}. Teniendo es o en cuen a, si ˆx(ω) = ∞, en onces ω(n0y) = n0ω(y)≤n0ω(||y||∞e) = n0||y||∞≤n2 0< ω(x∧ne). Como E∗es sub e ´ıculo de C(Spec E∗), en onces ω(n0y)< ω(x∧ne) implica que n0y < x∧ne. Pues o que x∧ne ≤x, hemos p obado que n0y < x pa a odo n0≥ ||y||∞, y pues o que pa a na u ales meno es es ob io que se cumple, enemos que ny < x pa a odo n∈N, y en consecuencia, y= 0, como que ´ıamos e . Con es o hemos e minado de demos a que dado x∈E, en onces ˆxes una aplicaci´on de Spec E∗en Rcon inua y al que R(ˆx) es denso en Spec E∗. Y en consecuencia, [ˆx]∈ D(Spec E∗), es o es, hemos p obado que ˆ E⊆ D(Spec E∗). Pa a e que ˆ Ees espacio ec o ial enemos que e que es ce ado pa a sumas y p oduc os po escala es. Lo que amos a p oba es que dados x, y ∈Eyλ∈R, en onces [ [ x+y] = [ˆx]+[ˆy] G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 48 aplicaci´on in e sa es ambi´en un mo ismo de l-´algeb as, di emos que Tes isomo ismo de l-´algeb as. En caso de que exis a alg´un isomo ismo de l-´algeb as en e AyB, di emos que A yBson l-isomo as. De inici´on 67. Sea Auna l-´algeb a e Iun ideal de A. Di emos que Ies un l-ideal si es un subconjun o s´olido de A. Llama emos l-ideal maximal a odo l-ideal p opio que no es ´e con enido es ic amen e en ning´un o o l-ideal p opio de A. Ejemplo 68. Sea Xun espacio opol´ogico, A=C(X) es una l-´algeb a. Sea Yun subconjun o de X, en onces el conjun o IY:= { ∈ C(X) : (Y)=0}es un l-ideal de C(X). Lema 69. Sea Auna l-´algeb a. Dados a, b ∈A, se cumplen las siguien es p opiedades: (i)c(a∧b)≤ca ∧cb yc(a∨b)≥ca ∨cb pa a odo c∈A+ (ii) (ab)+≤a+b++a−b−y (ab)−≤a+b−+a−b+ (iii)|ab|≤|a||b| Demos aci´on. Pues o que a∧b≤ayc∈A+, en onces c(a∧b)≤ca. An´alogamen e, c(a∧b)≤cb. En consecuencia, es inmedia o que c(a∧b)≤ca ∧cb. Con es o enemos la p ime a desigualdad de (I); la se demues a con un azonamien o simila . Veamos aho a (II): (ab)+=ab ∨0 = [(a+−a−)(b+−b−)] ∨0=(a+b+−a+b−−a−b++a−b−)∨0≤ ≤(a+b++a−b−)∨0 = a+b++a−b−, y con es o enemos la p ime a desigualdad. La o a se demues a de o ma an´aloga: (ab)−= (−ab)∨0 = (−a+b++a+b−+a−b+−a−b−)∨0≤a+b−+a−b+. Haciendo uso de (II), la e ce a p opiedad es inmedia a: |ab|= (ab)++ (ab)−≤a+b++a−b−+a+b−+a−b+= (a++a−)(b++b−) = |a||b|. De inici´on 70. Sea Auna l-´algeb a y Buna sub´algeb a de A. Si Bes un sub e ´ıculo de A, di emos que es una l-sub´algeb a. Ejemplo 71. Sea Auna l-´algeb a y e∈A+. G acias al lema 69, si ee ∈A∗(e) y 1 ∈A∗(e), en onces enemos que A∗(e) es una l-sub´algeb a de A. En pa icula , si 1 ≥0, en onces A∗(1) es una l-sub´algeb a de A. T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 49 Lema 72. Sea Auna l-´algeb a e IyJ l-ideales de A. En onces el conjun o I+J={a+b: a∈I, b ∈J}es ambi´en un l-ideal. Adem´as, si 1 ∈A+, en onces se cumple que (I+J)∩A∗(1) = I∩A∗(1) + J∩A∗(1). Demos aci´on. Ya sabemos que la suma algeb aica de dos ideales es de nue o un ideal. Adem´as, la p oposisci´on 32 nos dice que I+Jes un subespacio s´olido. Luego ya enemos p obada la p ime a pa e del lema. Veamos la segunda a i maci´on del lema. La con enci´on I∩A∗(1)+J∩A∗(1) ⊆(I+J)∩A∗(1) es inmedia a. Tomamos aho a un elemen o c∈(I+J)∩A∗(1). Como c∈I+J, podemos esc ibi c=a+bcon a∈I, b ∈J, luego c+≤ |c|=|a+b| ≤ |a|+|b|. Debido a es o, po el eo ema 24, sabemos que exis en a1∈I∩A∗(1) y b1∈J∩A∗(1) ales que c+=a1+b1, con 0 ≤a1≤ |a|y 0 ≤b1≤ |b|. An´alogamen e, enemos que c−≤ |a|+|b|, y en consecuencia exis en a2∈I∩A∗(1) y b2∈J∩A∗(1) ales que c−=a2+b2, con 0 ≤a2≤ |a|y 0 ≤b2≤ |b|. Y aho a podemos esc ibi c=c+−c−= (a1+b1)−(a2+b2) = (a1−a2)+(b1−b2)∈I∩A∗(1) + J∩A∗(1), con lo que hemos e minado la demos aci´on. De inici´on 73. Sea Auna l-´algeb a. Suponemos que se cumple la siguien e p opiedad: si a, b ∈Ason ales que a∧b= 0, en onces pa a odo elemen o c∈A+se iene que a∧bc = ac ∧b= 0. En es a si uaci´on di emos que Aes una -´algeb a. Si adem´as es a quimediana, la denomina emos Φ-´algeb a. Teo ema 74. Sea Aun -´algeb a y a, b ∈A. Se cumplen las siguien es p opiedades: (i)c(a∧b) = ca ∧cb yc(a∨b) = ca ∨cb pa a odo c∈A+ (ii)|ab|=|a||b| (iii) si a∧b= 0, en onces ab = 0; en pa icula , a+a−= 0 (i )a2=|a|2≥0; en pa icula 1 = 1 ·1≥0 ( ) si a, b ≥0, en onces 0 ≤ab −(ab ∧nb)≤1 na2bpa a odo n∈N ( i)ab = (a∧b)(a∨b); en consecuencia, si Ies un l-ideal de Aya≥0, en onces a∈Isi y solo si a∧1∈I Demos aci´on. (i) La demos aci´on es an´aloga a la ealizada pa a la segunda p opiedad del co ola io 25. G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 50 (ii) Ya hemos demos ado en el lema 69 que |ab|≤|a||b|, luego solo enemos que e una desigualdad. Si a∈A+, usando la sex a p opiedad del lema 23 y la p ime a de es e eo ema, enemos que: |ab|= (ab)∨(−ab) = a[b∨(−b)] = a|b|=|a||b|. U ilizando es o, en gene al podemos esc ibi lo siguien e: a|b|=a+|b| − a−|b|=|a+b|−|a−b| ≤ ||a+b|−|a−b|≤|a+b−a−b|=|ab|. De o ma an´aloga podemos e que −a|b| ≤ | − ab|=|ab|, luego podemos conclui que |a||b| ≤ |ab|, y hemos e minado. (iii) Como a∧b=, enemos que a, b ≥0. En consecuencia, po la p opiedad que de ine a una -´algeb a, sabemos que a∧ab = 0, y usando de nue o la p opiedad: ab ∧ab = 0. Es deci , ab = 0. Como ya imos en la quin a p opiedad del lema 23 que a+∧a−= 0, es inmedia a la segunda a i maci´on. (i ) Podemos esc ibi que a2= (a+−a−)(a+−a−) = a+a+−a+a−−a−a++a−a−= = (a+)2+ (a−)2=|a|2. ( ) Sean a, b ≥0 y n∈N. Po la cua a p opiedad del lema 23 sabemos que (ab −nb)+= ab −(ab ∧nb) y (ab −nb)−=nb −(ab ∧nb). En consecuencia, enemos que (ab −(ab ∧nb)) ∧(nb −(ab ∧nb)) = (ab −nb)+∧(ab −nb)−= 0. Aho a bien, como Aes una -´algeb a y a n≥0, podemos esc ibi que (ab −(ab ∧nb)) ∧(ab −a n(ab ∧nb)) = 0, y u ilizando la p ime a p opiedad de es e eo ema y la segunda del lema 23 ab + (−(ab ∧nb)) ∧(−a(a nb∧b)) = 0. Pe o es o po la p ime a de las p opiedades del mismo lema implica que ab −((ab ∧nb)∨a(a nb∧b)) = 0. Y con es o hemos e minado, pues enemos que ab = (ab ∧nb)∨(a(a nn∧b)≤(ab ∧nb) + T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 51 (a(a nn∧b), es o es ab −(ab ∧nb)≤a(a nb∧b)≤1 na2b, como que ´ıamos e . ( i) Po la e ce a p opiedad del lema 23 sabemos que a+b=a∧b+a∨b. Luego ab −(a∧b)(a∨b) = ab −(a∧b)(a+b−a∧b) = (a−a∧b)(b−a∧b)=(a−b)+(a−b)−. Pe o es o ´ul imo sabemos que se anula po la e ce a p opiedad de es e eo ema. Luego podemos conclui que ab = (a∧b)(a∨b). Ejemplo 75. Sea A:= R2. Vamos a conside a el o den pa cial componen e a componen e, as´ı como la suma componen e a componen e y el p oduc o po escala usuales. Sea en Ael p oduc o (a1, a2)·(b1, b2) := (a1b1+a1b2+a2b1+1 2a2b2,1 2a2b2). Tenemos que Ano es una -´algeb a: (1,0) ∧(0,1) = (0,0), pe o (1,0) ·(0,1) = (1,0). Es de no a en es e ejemplo que la unidad mul iplica i a no pe enece a A+, pues es el elemen o (−1,2). Lema 76. Sea Auna l-´algeb a. Si 1 ∈A, unidad mul iplica i a de A, es una unidad ue e, en onces Aes una -´algeb a. En pa icula , si 1 ≥0, en onces A∗(1) es una -´algeb a. Demos aci´on. Si 1 es unidad ue e en A, enemos po de inici´on que 1 ∈A+yA∗(1) = A. Sean a, b ∈A ales que a∧b= 0 y c∈A+; eamos que a∧cb = 0. Como 1 es unidad ue e, en onces exis e un n∈N al que a, b, c ≤n, y en consecuencia enemos que 0≤a∧cb ≤a∧nb ≤na ∧nb =n(a∧b)=0. Con es o hemos demos ado que lo que que ´ıamos. Po o o lado, pues o que si e∈A+es e iden e que ees una unidad ue e de A∗(e), enemos que 1 es unidad ue e de A∗(1) y po lo que acabamos de desmos a A∗(1) es una -´algeb a. Lema 77. Sea Auna Φ-´algeb a. En onces se cumple que en Ano hay elemen os nilpo en es. Demos aci´on. Ve´amoslo po educci´on al absu do: suponemos que exis e c∈A al que cp= 0 pa a alg´un psiendo Auna Φ-´algeb a. Podemos supone que pes el meno na u al pa que lo sa is ace, p= 2kcon k∈N, y en es e caso enemos, po la cua a p opiedad del eo ema 74, que cp=|c|p, luego podemos supone sin p´e dida de gene alidad que c≥0. Aho a bien, si deno amos d:= ck, podemos esc ibi (mc)2=m2d2=m2cp= 0,pa a odo m∈N, G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 52 y po la quin a p opiedad del eo ema ya mencionado 0≤md −(md ∧1) ≤(md)2= 0,pa a odo m∈N. Con es o hemos demos ado que md =md ∧1, es deci , md ≤1 pa a odo mna u al. Como Aes a quimediana, es o implica que d= 0. Pa a e mina , si p= 2, en onces c=d= 0; y si p > 2, en onces kok+ 1 es pa y meno es ic amen e que p. En cualquie caso queda demos ado lo que que ´ıamos. Co ola io 78. Sea Auna Φ-´algeb a, y a, b ∈A+. Tenemos que a≤bsi y solo si a2≤b2. Demos aci´on. Si a≤b, en onces es inmedia o que a2≤b2. Pa a e la o a implicaci´on suponemos que a2≤b2y deno amos c:= a−a∧b≥0. Si emos que c= 0 hab emos e minado, pues end emos que a=a∧b≤b. Po la ´ul ima de las p opiedades del eo ema 74, podemos esc ibi que ab = (a∧b)(a∨b) = [a(a∨b)] ∧[b(a∨b)] = (a2∨ab)∧(ab ∨b2)=(a2∧b2)∨(ab), es o es, a2∧b2≤ab y en consecuencia a2=a2∧b2=a2∧b2∧(ab) = (a∧b)2≤a2−c2, luego c2= 0. Po ´ul imo, como hemos is o en el lema an e io que en Ano hay elemen os nilpo en es, podemos conclui que c= 0. Teo ema 79. Sea Auna l-´algeb a a quimediana. Son equi alen es: (i)Aes una Φ-´algeb a (ii) 1 es una unidad d´ebil Demos aci´on. Veamos p ime o que (I)⇒(II). Sea a∈A, si a∧1 = 0, po la e ce a p opiedad del eo ema 74 sabemos que a=a1 = 0. Bas a aplica la p oposici´on 40 pa a deduci que 1 es una unidad d´ebil. Pa a la o a implicaci´on amos a e que Aes una -´algeb a y como ya sabemos que es a quimediana, se ´a una Φ-´algeb a. Sean a, b, c ∈A+con a∧b= 0. Como 1 es unidad d´ebil, end emos que a∧bc = 0 si y solo si a∧bc ∧1 = 0, y es o a su ez es equi alen e a que (a∧bc ∧1)2= 0, pues A∗(1), po se Φ-´algeb a, no iene elemen os nilpo en es. Aho a bien, como (a∧bc ∧1)2≤a(a∧bc ∧1) ∧bc(a∧bc ∧1) ∧(a∧bc ∧1),y a(a∧bc ∧1) ∧bc(a∧bc ∧1) ∧(a∧bc ∧1) = 0 si (a∧bc ∧1)b= 0, T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 53 bas a p oba que (a∧bc ∧1)b= 0. Adem´as, (a∧bc ∧1)b= 0 si y solo si [(a∧bc ∧1)b∧1]2= 0. Pe o 0≤[(a∧bc ∧1)b∧1]2≤[(a∧bc ∧1)b∧1][(a∧bc ∧1)b]≤(b∧1)(a∧1)b≤(a∧b)b)=0, donde hemos usado que (a∧1)(b∧1) ≤ay (a∧1)(b∧1) ≤b. Y con es o hemos e minado la demos aci´on. Vamos a pasa aho a a expone algunos esul ados sob e la ep esen aci´on de Φ-´algeb as. Empezamos con algunos concep os pa a los que necesi amos eco da la de iniciones 49: De inici´on 80. Sea Auna l-´algeb a. Po sucesi´on uni o memen e de Cauchy (uni o memen e con e gen e) en ende emos que 1 ≥0 y que la sucesi´on es 1-uni o memen e de Cauchy (1- uni o memen e con e gen e). An´alogamen e, cuando hablemos de que un subconjun o de Aes uni o memen e ce ado (uni o memen e denso) en ende emos que 1 ≥0 y que el subconjun o de Aes 1-uni o memen e ce ado (1-uni o memen e denso). Sea Auna Φ-´algeb a. Hemos is o que Aes un e ´ıculo ec o ial a quimediano en el cual 1 es unidad d´ebil y 1 >0. En consecuencia, podemos habla del e ´ıculo de los elemen os aco ados de A espec o a 1: A∗=A∗(1) := {a∈A:|a| ≤ npa a alg´un n∈N}, que llama emos sub´algeb a de los elemen os aco ados de A, de hecho, ambi´en se ´a Φ-´algeb a. Po o a pa e, Spec A∗:= {ω:A∗−→ Rmo ismo de e ´ıculos ec o iales al que ω(1) = 1} es un espaico opol´ogico compac o Hausdo , y Spec A:= {ω:A−→ Rmo ismo de e ´ıculos ec o iales al que ω(1) = 1} es un espacio opol´ogico compac o. Adem´as, enemos las ep esen aciones A−→ C(Spec A), A∗,→ C(Spec A∗) y A ,→ D(Spec A∗). Teo ema 81. Sea Auna -´algeb a y ω:A−→ Run mo ismo de e ´ıculos ec o iales. Si ω6= 0, en onces exis e un ´unico α∈R al que pa a cualesquie a a, b ∈Ase cumple que ω(ab) = αω(a)ω(b). Si conside amos a=b= 1, enemos que ω(1) = ω(1 ·1) = αω(1)ω(1), luego es cla o que ω(1) 6= 0 y α=1 ω(1). G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 54 Demos aci´on. Fijamos a∈Ay conside amos ωa:A−→ R b7−→ ωa(b) := ω(ab).. Si p obamos que ke ω⊆ke ωa, en onces end emos que exis e λa∈R al que ω(ab) = λaω(b) pa a odo b∈A. Pa a e que ke ω⊆ke ωa omamos b∈ke ω, lo cual implica que |b| ∈ ke ω. Como |a|,|b| ≥ 0, po la quin a p opiedad del eo ema 74 enemos que |ab| − (|ab| ∧ n|b|)≤1 na2|b|, pa a odo n∈N. Reesc ibi´endolo nos queda que |ab| ≤ (|ab| ∧ n|b|) + 1 na2|b| ≤ n|b|+1 na2|b|, pa a odo n∈N, y aplicando ω, enemos que pa a odo n∈N: |ω(ab)|=ω(|ab|)≤ω(n|b|+1 na2|b|) = nω(|b|) + 1 nω(|b|a2) = 1 nω(|b|a2), y en consecuencia ω(|ab|) = 0, luego ω(ab) = 0. Po an o, sabemos que ω(ab) = λaω(b) pa a odo b∈A, pa a alg´un λa∈R; y an´alogamen e, ω(ab) = λbω(a) pa a odo a∈A, pa a alg´un λb∈R. En onces, si dados a, b ∈A, an o ω(a) como ω(b) son no nulos, se sa is ace que ω(ab) = λaω(b) = λbω(a), y bas a oma la cons an e α:= λa ω(a)=λb ω(b). Po o a pa e, si ω(a) = 0 u ω(b) = 0, en onces ω(ab) = 0 y la igualdad a demos a es i ial. De inici´on 82. Sea Aun ´algeb a y SpecRAel conjun o de odos los mo ismos de ´algeb as de Aen R. Cuando el conjun o SpecRAes ´e do ado de la opolog´ıa d´ebil de inida po las unciones {a: SpecRA−→ R, ω 7−→ a(ω) := ω(a)}, lo llama emos espec o eal de A. Es cla o que es e espacio do ado de dicha opolog´ıa es un espacio opol´ogico comple amen e egula y Hausdo . Di emos que Aes eal-semisimple si el mo ismo na u al A−→ C(SpecRA) sea inyec i o. Si Aes eal-semisimple, en onces SpecRA6=∅. Un ideal maximal Mde Aes eal si su cue po esidual A/M es R, en cuyo caso enemos de o ma inmedia a que A−→ A/M =Res un mo ismo de ´algeb as. Adem´as, si ω∈SpecRA, en onces ke ωes un ideal maximal eal de A. Es o implica que exis e una co espondencia biun´ı oca en e los pun os de SpecRAy el conjun o de odos los ideales maximales eales de A. En pa icula , si SpecRA6=∅, en onces el n´ucleo de la ep esen aci´on A−→ C(SpecRA) es la in e secci´on de odos los ideales maximales eales de A. Co ola io 83. Sea Auna -´algeb a y Mun subconjun o de A. En onces Mes un l-ideal maximal si y solo si Mes un l-hipe plano. Demos aci´on. La p ime a implicaci´on, es o es, que si Mes un l-ideal maximal en onces es T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 55 un l-hipe plano es inmedia a. Po o a pa e, si Mes un l-hipe plano, enemos que A/M =R y que el mo ismo de paso al cocien e π:A−→ A/M es un mo ismo de e ´ıculos. Pues o que π(1) 6= 0, podemos conside a el siguien e mo ismo de l-´algeb as: ω:A−→ A/M, de inido como ω:= π π(1) . Es e mo ismo cumple que ke ω= ke π=M, luego, po la co espondencia biun´ı oca que hemos is o an e io men e, enemos qeu Mes un l-ideal maximal eal. Co ola io 84. Sea Aun Φ-´algeb a. Tenemos que odo l-ideal maximal de A∗es eal, y en consecuencia, la in e secci´on de odos los l-ideales maximales de A∗es nula. Demos aci´on. Sea M∗un l-ideal maximal de A∗. Po una pa e, pues o que M∗es un subespacio s´olido y p opio de A∗, po el lema 42 y el co ola io 45 enemos que exis e un l- hipe plano H∗en A∗de mane a que M∗⊆H∗. Y po el co ola io an e io , sabemos que H∗es un l-ideal maximal eal. Como M∗es maximal, M∗=H∗y concluimos que M∗es un l-ideal maximal eal. Po ´ul imo, la consecuencia la podemos deduci del eo ema 48. Sea Auna Φ-´algeb a. Reco demos que podemos oma la ep esen aci´on A−→ D(Spec A∗), a7−→ ˆa. Ya imos, en el eo ema 58, que b A:= {[ˆa] : a∈A}es espacio ec o ial y un sub e ´ıculo de D(Spec A∗), y que A−→ b Aes un isomo ismo de e ´ıculos ec o iales. Veamos qu´e podemos a˜nadi abajando con una Φ-´algeb a. Empezamos p esen ando un lema que nos mues a qu´e m´as enemos en es a si uaci´on. Omi imos su demos aci´on po mo i os de complejidad y de ex ensi´on de es a memo ia; se puede encon a una demos aci´on en [Pul]. Lema 85. Sea Auna Φ-´algeb a. En onces b Aes una l-´algeb a y la aplicaci´on A−→ b Aes una isomo ismo de l-´algeb as. De inici´on 86. Sea Auna l-´algeb a. Dado a∈A, deno amos S(a) := {c∈A:|c| ≤ |ab|pa a alg´un b∈A}. Es sencillo e que S(a) es el m´as peque˜no de odos los l-ideales que con ienen al elemen o a. Llama emos a S(a)l-ideal gene ado po a. Lema 87. Sea Auna Φ-´algeb a. Sea M∗un l-ideal maximal de A∗. En onces M:= {a∈A: S(a)∩A∗⊆M∗}es un l-ideal maximal de A. Demos aci´on. Veamos p ime o que Mes un l-ideal. Dados a, b ∈M, po el lema 72 sabemos que S(a)+S(b) es un subespacio s´olido, y en consecuencia enemos que S(a+b)⊆S(a)+S(b). Po el mismo lema podemos esc ibi que S(a+b)∩A∗⊆(S(a) + S(b)) ∩A∗=S(a)∩A∗+S(b)∩A∗⊆M∗, y con es o hemos is o que a+b∈M. An´alogamen e, dados m∈M,a∈A, enemos que S(am)∩A∗⊆S(m)∩A∗⊆M∗, luego am ∈M. Con es o hemos is o que Mes un ideal, po lo que pa a e que es l-ideal an solo nos al a demos a que adem´as es s´olido. Pa a ello omamos m∈M,a∈A ales que |a|≤|m|; en onces end emos que S(a)⊆S(m), y en consecuencia a∈M. Es o p ueba que es s´olido, luego ya enemos que Mes un l-ideal. G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid 56 Veamos aho a que es maximal. Pues o que S(1) = A, enemos que 1 /∈My po an o M es p opio. Como Aes una Φ-´algeb a, po el co ola io 84, si Mes l-ideal maximal, en onces es eal. Po es o, pa a e que que es maximal, po el co ola io 83, es su icien e e que es un l-hipe plano. Es deci , enemos que e que si a∈A M, en onces S(a) + M=A. Aho a bien, si a /∈M, po la de inici´on de Mse iene que S(a)∩A∗*M∗. Es o implica que S(a)∩A∗+M∗=A∗, es deci , 1 = m+b, donde m∈M,b∈S(a)∩A∗, y pues o que b∈S(a), enemos que |b| ≤ |ac|pa a alg´un c∈A. Po o a pa e, el co ola io 83 nos dice que exis e un mo ismo de l-´algeb as ω∗:A∗−→ R al que ke ω∗=M∗. Pues o que ω∗(1) = 1 y ω∗(m) = 0, pues m∈M∗, necesa iamen e enemos que ω∗(b) = 1. Sabemos po el eo ema 48 que A∗es un sub e ´ıculo ec o ial de C(Spec A∗), y po lo que hemos is o enemos que b∈ C(Spec A∗) yω∗∈coz(b), po lo que exis e un en o no ce ado Fde ω∗en Spec A∗ al que F⊆coz(b). Aho a bien, po el co ola io 53, podemos sepa a los ce ados Fy el compleme a io de coz(b), es o es, exis e d∈A∗, 0 ≤d≤1 al que d(F) = 0 y d(ω) = 1 si ω /∈coz(b). Pa a e mina , eamos que d∈M, es deci , que S(d)∩A∗⊆M∗. Sea u∈S(d)∩A∗, enemos que |u| ≤ | d| pa a alg´un ∈A. Como R(ˆ ) es un abie o denso y ω∗∈F, en onces ω∗∈R(ˆ )∩F, y po an o |ω∗(u)|≤|c d|(ω∗) = 0, po se d(F) = 0. Hemos is o que u∈ke ω∗=M∗. Y aho a, como d+|b|>0 y Spec A∗es compac o, exis e λ∈R al que 0 < λ ≤d+|b|, de mane a que 1≤1 λd+1 λ|b| ∈ M+S(a), es deci , 1 ∈M+S(a). Y hemos e minado. Lema 88. Sea Auna -´algeb a. En onces enemos que odo l-ideal p imo de Aes ´a con enido en un ´unico l-ideal maximal de A. Demos aci´on. Sea Pun l-ideal p imo de A. Conside amos el mo ismo de paso al cocien e π:A−→ A/P. Como paso p e io a la demos aci´on como al, amos a e que A/P es una l-´algeb a o almen e o denada. Sea a∈A, enemos que a+a−= 0 ∈P, y como Pes p imo, en onces a+∈Poa−∈P. En consecuencia, π(a) = π(a+)≥0 o π(a) = π(−a−)≤0. Aho a bien, si log amos p oba que odos los l-ideales de A/P o man una cadena pa a la inclusi´on, en onces end emos que en A/P hay un ´unico l-ideal maximal. Pe o sabemos los l-ideales maximales de A/P es ´an en co espondencia biun´ı oca con los l-ideales de Aque con ienen a P, luego hab emos p obado lo que que ´ıamos. Sean, po an o, I, J l-ideales de A/P. Suponemos que exis e π(a)∈I J, donde podemos supone que π(a)≥0. Es inmedia o que pa a odo elemen o b∈Jdebe ocu i que |b| ≤ π(a), pues si no se end ´ıa que da que |b| ≥ π(a), y como Jes s´olido, π(a) pe enece ´ıa a J. Po an o, hemos demos ado, como busc´abamos, que J⊆I. Teo ema 89. Sea Auna Φ-´algeb a. Exis e una co espondencia biun´ı oca en e los l-ideales maximales de Ay los l-ideales maximales de A∗. Demos aci´on. Ya sabemos, po lo que hemos is o en los co ola ios 83 y 84, que el conjun o de los l-ideales maximales de A∗se puede iden i ica con el conjun o de los pun os de Spec A∗. Deno amos aho a M(A) := {l-ideales maximales de A}, de mane a que lo que enemos T abajo de Fin de G ado In´ es Ma cos Lomo Re ´ ıculos Vec o iales 57 que hace es es ablece una co espondencia biun´ı oca en e Spec A∗yM(A). Po una pa e, g acias al lema 87 enemos la siguien e aplicaci´on: Spec A∗−→ M(A) M∗7−→ {a∈A:S(a)∩A∗⊆M∗}. Po o a pa e, pa a pode u iliza el lema 88, amos a e que si M∈ M(A), en onces M es p imo. Sean a, b ∈A ales que ab ∈Mya /∈M. En onces S(a)+ M=A, po lo que exis en c∈Aym∈M ales que a≤m+ac. Es o obliga a que b∈Mpo que b≤mb +cab ∈M. Con es o hemos is o que Mes p imo, y en consecuencia, podemos deci que M∩A∗es un l-ideal p imo de A∗, y po el lema 88 exis e un ´unico l-ideal maximal de A∗en el cual es ´a con enido M∩A∗, es deci , enemos la siguien e aplicaci´on: M(A)−→ Spec A∗ M7−→ ´unico l-ideal maximal de A∗que con iene a M∩A∗. Si emos que es as dos aplicaciones son in e sa la una de la o a hab emos e minado. Sean M∈ M(A) y M∗el ´unico l-ideal maximal de A∗que con iene a M∩A∗. Sea adem´as M1:= {a∈A:S(a)∩A∗⊆M∗}. Si ue a cie o que M6=M1, en onces end ´ıamos que M1+M=A, y po el lema 72: A∗= (M1+M)∩A∗=M1∩A∗+M∩A∗⊆M∗, y hemos llegado a un absu do. Rec´ıp ocan e, sean M∗∈Spec A∗yM:= {a∈A:S(a)∩A∗⊆ M∗}. Po la de inici´on de M, es inmedia o que M∩A∗⊆M∗, luego ya enemos que M∗es el ´unico l-ideal maximal de A∗que con iene a M∩A∗. Co ola io 90. Sea Auna Φ-´algeb a. En onces la in e secci´on de odos los l-ideales maximales de Aes nula. Demos aci´on. Sea a∈TM∈M(A)M. Pe o si a∈M, en onces |a| ∧ 1∈M∩A∗, y po la co espondencia biun´ı oca que hemos cons uido en el eo ema an e io , sabemos que M∩A∗⊆ M∗, donde M∗∈Spec A∗. Es deci , enemos que |a| ∧ 1∈ M∈M(A) (M∩A∗)⊆ M∗∈Spec A∗ M∗. Pe o el co ola io 84 nos dice que es a ´ul ima in e secci´on es nula, luego |a| ∧ 1 = 0. Po ´ul imo, como 1 es unidad d´ebil en A, po la p oposici´on 40, concluimos que a= 0. G ado en Ma em´ a icas Uni e sidad de Valladolid