Los splines en teoría de la aproximación: una revisión de tipos y técnicas
Abstract
Departamento de Matemática Aplicada
Full text
Facul ad de Ciencias
T abajo Fin de G ado
G ado en Ma emá icas
Los splines en eo ía de la ap oximación: una e isión de ipos y
écnicas.
Au o : Manuel Manzana es Ba ajón
Tu o : Luis M. Abia LLe a
ii
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
´
Indice gene al
1. Resul ados P elimina es 1
1.1. Ma ices y De e minan es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Di e encias Di ididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Ce os y Cambios de signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Sis emas de Tchebyche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Splines Polinomiales 15
2.1. P opiedadesb´asicas.............................. 15
2.2. B-splines.................................... 20
2.3. Nudos uni o memen e espaciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. B-splinespe ec os .............................. 35
2.5. P opiedades de los ce os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Teo ema de Schoenbe g-Whi ney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7. P opiedades de a iaci´on dec ecien e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3. O os ipos de splines 55
3.1. SplinesdeTensi´on .............................. 55
3.1.1. In e polaci´on c´ubica a ozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.2. τsplines................................ 57
3.1.3. In e polaci´on po splines de ensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2. P opiedad a iacional del spline c´ubico in e pola o io . . . . . . . . . . . 64
3.3. Splinesdesua izado ............................. 68
Bibliog a ´ıa 71
iii
i
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on
P e acio
La eo ´ıa de splines, desde su in oducci´on a inales de la d´ecada de los a˜nos 60 del
siglo pasado, ha enido un g an desa ollo debido a su eno me po encial en eo ´ıa de la
ap oximaci´on. Los splines son unciones polin´omicas a ozos, con dis in os ´o denes de
egula idad en los nudos que sepa an los subin e alos, cuya e aluaci´on s´olo equie e de
sumas y p oduc os, y con ep esen aciones que se almacenan muy e icien emen e en la
memo ia de un o denado .
El p esen e T abajo Fin de G ado se cen a en el es udio anal´ı ico de las p incipales
p opiedades de los espacios de splines, y ob ia el a amien o algo ´ı mico de es as un-
ciones. Concebimos es e p oyec o como una ex ensi´on de la eo ´ıa b´asica de splines que
se es udia en el G ado de Ma em´a icas en dis in as di ecciones: p ime o, conside a es-
pacios de splines de o den a bi a io y con la posibilidad de que sus sucesiones de nudos
puedan inclui nudos epe idos (has a un cie o o den). Una segunda ex ensi´on abo da
p opiedades de las unciones splines en elaci´on con sus ce os y cambios de signo, as´ı
como p opiedades e´o icas de las ma ices de colocaci´on basadas en B-splines. Un e-
sul ado que ambi´en se gene aliza es el eo ema de Schoenbe g-Whi ney que ca ac e iza
los p oblemas de in e polaci´on bien pues os. Todo el ma e ial sigue el a amien o de la
monog a ´ıa de Schumacke ([2]).
El cap´ı ulo 1 in oduce no aciones y esul ados p elimina es que se ´an de uso ecuen e
a lo la go de la Memo ia. Un en oque no edoso con espec o a lo es udiado en el G ado
de Ma em´a icas es el a amien o basado en de e minan es de las di e encias di ididas
de a gumen os epe idos. Se demues an las p opiedades b´asicas de las di e encias di i-
didas, as´ı como una gene alizaci´on del eo ema de Rolle pa a su aplicaci´on a unciones
egula es a ozos. El cap´ı ulo se cie a con la in oducci´on di e sos concep os de sis e-
mas de Tchebyche .
El cap´ı ulo 2 es la pa e p incipal de la Memo ia e in oduce los espacios de splines y el
es udio y cons ucci´on de las bases o madas po B-splines y sus p incipales p opieda-
des, que incluyen las elaciones de ecu encia que si e pa a compu a los. Se p esen a el
eo ema de Ma sden que ep esen a las po encias monomiales en ´e minos de B-splines
yB-splines no malizados. Los B-splines pe ec os apa ecen como B-splines en edes uni-
o mes y pe mi en esol e el p oblema de la ansici´on en e dos alo es cons an es a
lo la go de un in e alo a bi a io. El cap´ı ulo se cie a con la p ueba del eo ema de
Schoenbe g-Whi ney que ca ac e iza cuando el p oblema de in e polaci´on po splines
i
es ´a bien pues o, an o en el caso de abscisas de in e polaci´on dis in as dos a dos, como
en el caso oscula o io de abscisas de in e polaci´on epe idas. Una ´ul ima con ibucci´on
es el an´alisis del ca ´ac e o almen e posi i o de las ma ices de colocaci´on basadas en
las bases de B-splines. Una he amien a undamen al pa a p oba es os esul ados es el
an´alisis del n´ume o de ce os y cambios de signo m´aximo que puede ene un spline.
El cap´ı ulo 3 abo da la cons ucci´on de dos ipos di e en es de splines (c´ubicos): los
τ-splines o splines de ensi´on que mi igan la apa ici´on de pun os de in lexi´on ex a˜nos
cuando se u ilizan splines c´ubicos o dina ios en la in e polaci´on, y los splines m´ınimos
cuad ados o de egula izaci´on. Se in oduce su mo i aci´on y la cons ucci´on de los mis-
mos. Todo ello se ex ae de los ex os de Ca l de Boo ([1]) y de Klaus H¨olling ([3]).
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Cap´ı ulo 1
Resul ados P elimina es
1.1. Ma ices y De e minan es
Sea {ui}m
i=1 un conjun o de unciones de inidas en el in e alo I= [a, b], y sean
1, . . . , mpun os en I ales que 1< 2<· · · < m.
De inimos la ma iz asociada con {ui}m
i=1 y{ i}m
i=1 po
M 1, . . . , m
u1, . . . , um=
u1( 1)u2( 1)· · · um( 1)
u1( 2)u2( 2)· · · um( 2)
.
.
..
.
.....
.
.
u1( m)u2( m)· · · um( m)
Y el de e minan e iene dado po
D 1, . . . , m
u1, . . . , um=de M 1, . . . , m
u1, . . . , um
Tambi´en se ´a ´u il de ini ma ices asociadas a un conjun o de pun os 1⩽ 2⩽· · · ⩽ m
donde algunos de es os son iguales en e s´ı. Pa a desc ibi exac amen e d´onde se cumplen
las igualdades, suponemos que
1⩽ 2⩽· · · ⩽ m=a1, . . . , a1
| {z }
l1
, . . . , ad,...ad
| {z }
ld
,
1
2
donde cada aise epi e exac amen e li eces con Pd
i=1 li=m. En onces dadas unciones
su icien emen e di e enciables u1, . . . , um, de inimos
M 1, . . . , m
u1, . . . , um=
u1(a1)u2(a1)· · · um(a1)
Du1(a1)Du2(a1)· · · Dum(a1)
.
.
..
.
.....
.
.
Dl1−1u1(a1)Dl1−1u2(a1)· · · Dl1−1um(a1)
.
.
..
.
.....
.
.
u1(ad)u2(ad)· · · um(ad)
Du1(ad)Du2(ad)· · · Dum(ad)
.
.
..
.
.....
.
.
Dld−1u1(ad)Dld−1u2(ad)· · · Dld−1um(ad)
Na u almen e, deno amos al de e minan e de la ma iz an e io po
D 1, . . . , m
u1, . . . , um.
Es udiamos a con inuaci´on una ma iz especial, conocida como la ma iz de Vande mon-
de:
De inici´on 1.1.1. Sea U={1, x, . . . , xm−1}. Es e conjun o de unciones gene a el es-
pacio de polinomios de o den m( ´ease Teo ema 2.1.2.). La ma iz de Vande monde
se de ine como
V M 1, . . . , m=M 1, . . . , m
1, . . . , xm−1
y el de e minan e de Vande monde iene dado po :
V 1, . . . , m=D 1, . . . , m
1, . . . , xm−1
Siemp e que 1< 2<· · · < mse sa is ace
V 1, . . . , m=Y
1⩽i<j⩽m
( j− i).(1.1)
Mien as que pa a 1⩽ 2⩽· · · ⩽ m=a1, . . . , a1
| {z }
l1
<· · · < ad, . . . , ad
| {z }
ld
, donde lies el
n´ume o de eces que se epi e ai, se sa is ace
V 1, . . . , m=Y
1⩽i<j⩽d
(aj−ai)ljli
d
Y
i=1
li−1
Y
k=1
k! (1.2)
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1.2. Di e encias Di ididas
En es a secci´on se a a ealiza un es udio de las p opiedades de las di e encias di i-
didas que nos an a se de g an u ilidad en la cons ucci´on de los splines, en pa icula
de los B-splines. Las di e encias di ididas pueden se de inidas de a ias o mas equi-
alen es. Aqu´ı se de ini ´an como cocien es de de e minan es. La no aci´on que usa emos
pa a hace e e encia a las di e encias di ididas es la que se usa en [2].
De inici´on 1.2.1. Dados los pun os 1, . . . , +1 y una unci´on , de inimos la di e encia
di idida de o den sob e los pun os 1, . . . , +1 como
[ 1, . . . , +1] =
D 1, . . . , +1
1, . . . , x −1,
D 1, . . . , +1
1, . . . , x .(1.3)
En es a de inici´on se ha supues o que los i ienen de e minados en o den c ecien e pa a
que los de e minan es conside ados engan sen ido.
Cuando los ison dis in os dos a dos, en onces [ 1, . . . , +1] se de ine pa a cualquie
unci´on que iene alo es ini os en es os pun os. Cuando algunos de los ise epi en
(apa ecen m´as de una ez), en onces el alo del de e minan e del nume ado de (1.3)
depende de cie as de i adas de , y la co espondien e di e encia di idida solamen e
iene sen ido pa a las unciones que poseen las de i adas eque idas.
En el siguien e eo ema se p esen an algunas p opiedades b´asicas de las di e encias di-
ididas:
Teo ema 1.2.1. Si 1, . . . , +1 son dis in os dos a dos, en onces
[ 1, . . . , +1] =
+1
X
i=1
( i)
w′( i)=
+1
X
i=1
( i)
Q +1
j=1,j=i( i− j)
donde
w( ) = ( − 1)( − 2)· · · ( − +1).
M´as gene almen e, si
1, . . . , +1 =a1, . . . , a1
| {z }
l1
, . . . , ad, . . . , ad
| {z }
ld
donde aies ´a epe ido li eces, pa a odo i∈ {1, . . . , d}, y a1< a2<· · · < ad. En onces
[ 1, . . . , +1] =
d
X
i=1
li
X
j=1
αijDj−1 (ai),(1.4)
donde αili= 0, pa a j∈ {1,2, . . . , li}ei∈ {1,2, . . . , d}.
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Geom´e icamen e, codes un pun o de Rolle si la unci´on se aleja del eje a medida
que nos aden amos en el in e alo.
Teo ema 1.3.1. (Teo ema de Rolle ex endido.) Sea una unci´on absolu amen e
con inua en un in e alo (c, d), y al que no sea id´en icamen e ce o. Adem´as, cydson
pun os de Rolle po la izquie da y po la de echa, espec i amen e. En onces, D iene
al menos un cambio de signo en el in e alo (c, d). Si D es con inua en (c, d) en onces
iene al menos un ce o en es e in e alo.
Demos aci´on. Como es absolu amen e con inua, se iene (d)− (c) = Rd
cD ( )d .
Si (c) = (d), es o implica que D ( ) = 0 en casi odo pun o, o que debe cambia de
signo. Tenemos el Teo ema de Rolle conocido.
Supongamos aho a que (c)< (d). Se iene en onces que D ( ) debe se posi i o en un
subconjun o de medida posi i a de (c, d). Si (d)>0, en onces como des un pun o de
Rolle a de echa, D ( )<0 pa a alg´un ce ca de d, pues pa a cada ϵ > 0, ( )D ( )<0
pa a alg´un ∈(d−ϵ, d). Tenemos as´ı el cambio de signo en el in e alo (c, d) que se
p e end´ıa. Si en cambio, (c)<0, al se cun pun o de Rolle a izquie da, D ( )<0
pa a alg´un ce ca de c, pues pa a cada ϵ > 0, ( )D ( )>0 pa a alg´un ∈(c, c +ϵ); y
nue amen e D cambia de signo.
El caso (c)> (d) se a gumen a an´alogamen e. Y pues o que una unci´on con inua
s´olo puede cambia de signo si pasa po un ce o se concluye la a i maci´on es an e.
1.4. Sis emas de Tchebyche
En es a secci´on se an a da una se ie de concep os y esul ados ´u iles en las secciones
2.5 y 2.7 de la memo ia: P opiedades de los ce os y P opiedades de a iaci´on dec ecien e.
Se explo a la conexi´on en e las p opiedades de los de e minan es o mados a pa i de
un conjun o de unciones u1, . . . , umy el n´ume o de ce os o cambios de signo que pueden
posee las combinaciones lineales de es as unciones.
En es a memo ia se habla sucin amen e de los sis emas de Tchebyche pues no se equie-
en m´as esul ados al espec o que los que da emos. Un mayo es udio de es os puede
encon a se en la secci´on 2.5 del lib o de Schumake [2].
A lo la go de es a secci´on, I a a se un in e alo abie o, ce ado o semiabie o, es deci ,
un conexo de R.
De inici´on 1.4.1. Un conjun o U={ui}m
i=1 de unciones con inuas en Ise denomina
sis ema de Tchebyche (o T-sis ema) si
D 1, . . . , m
u1, . . . , um>0 pa a odo 1< 2<· · · < men I.
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Ejemplo 1.4.1. Un ejemplo impo an e de T-sis ema lo cons i uye la base monomial
U={1, x, . . . , xm−1}de los polinomios de g ado meno o igual que m.
Se oma como de e minan e Del de e minan e de Vande Monde
V( 1, . . . , m) = D 1, . . . , m
u1, . . . , um,
donde u1= 1, u2(x) = x, . . . , um(x) = xm−1.
El siguien e eo ema ca ac e iza los T-sis emas en ´e minos de cambios de signos:
Teo ema 1.4.1. Si U={ui}m
i=1 es un T-sis ema, en onces
ZI m
X
i=1
ciui!⩽m−1 pa a cualesquie a c1, . . . , cm eales y no odos nulos,(1.11)
donde ZIcuen a el n´ume o de ce os simples en I. Rec´ıp ocamen e, si U={ui}m
i=1 es un
conjun o de unciones con inuas en I al que se sa is ace la desigualdad an e io , (1.11),
en onces o Uo el conjun o ¯
U={u1, . . . , um−1,−um}es un T-sis ema.
Demos aci´on. En el p oblema de la in e polaci´on lag angiana eco demos que se p e-
end´ıa de e mina los coe icien es c1, . . . , cmde un sis ema lineal de mecuaciones con m
inc´ogni as (de la o ma Mc=y), ales que
m
X
i=1
ciui( ) = yj,pa a j∈ {1,2, . . . , m}.
Es e sis ema iene soluci´on ´unica pa a yp ecisamen e cuando la ma iz Mes no singu-
la , es deci , a que el de e minan e co espondien e no se anule.
Teniendo en cuen a lo an e io , puede exis i un c= (c1, . . . , cm), no nulo, al que
u=Pm
i=1 ciuise anula en mpun os 1<· · · < msi, y s´olo si, el de e minan e D
is o en la De inici´on 1.4.1. es ce o. Po lo an o, si Ues un T-sis ema, ob enemos
(1.11). Rec´ıp ocamen e, si (1.11) se sa is ace, en onces el de e minan e Dnunca puede
se ce o. Como Des una unci´on con inua en los pun os i, debe ene un signo pa a
odo 1<· · · < men I; po lo que se concluye que o Uo¯
U o man un T-sis ema.
Has a aho a hemos es ado abajando con sis emas de unciones. En algunas aplicaciones
es m´as con enien e habla de espacios.
De inici´on 1.4.2. Un espacio lineal de dimensi´on m,U, se denomina espacio de
Tchebyche (o T-espacio) siemp e que enga una base que sea un sis ema de Tcheby-
che .
Aho a in oducimos una subclase de sis emas de Tchebyche con p opiedades m´as ue -
es sob e de e minan es:
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De inici´on 1.4.3. Supongamos que U={ui}m
i=1 es al que {ui}k
i=1 es un sis ema de
Tchebyche pa a cada k∈ {1,2, . . . , m}. Decimos en onces que Ues un sis ema com-
ple o de Tchebyche (o CT-sis ema).
A con inuaci´on amos a e que exis en sis emas de Tchebyche que no son comple os:
Ejemplo 1.4.2. Sea U={sin(x),cos(x)}en I= [0, π).
Ues cla amen e un sis ema de Tchebyche en I; pe o como sin(x) no es posi i o en I,U
no es comple o. De hecho, no es posible encon a alguna base pa a U=span(U) = ⟨U⟩
que o me un sis ema comple o de Tchebyche , ya que cualquie combinaci´on lineal de
sin(x) y cos(x) siemp e iene un ce o en [0, π).
P esen amos a con inuaci´on una o ma a´un m´as ue e de los sis emas de Tchebyche :
De inici´on 1.4.4. Un conjun o de unciones {ui}m
i=1 que sa is ace la p opiedad de que
uijk
i=1 es un sis ema de Tchebyche pa a odo 1 ⩽i1< i2<· · · < ik⩽my pa a
odo 1 ⩽k⩽mse denomina un sis ema o denado y comple o de Tchebyche (o
OCT-sis ema).
El siguien e Teo ema mues a que los OCT-sis emas ienen una p opiedad de a iaci´on
dec ecien e.
Teo ema 1.4.2. (Regla de los signos de Desca es). Supongamos que U={ui}m
i=1
es un OCT-sis ema. En onces
Z m
X
i=1
ciui!⩽S−(c1, . . . , cm) pa a cualesquie a c1, . . . , cm eales y no odos nulos,
donde Zes el n´ume o de ce os simples en [a, b] y S−es el n´ume o de cambios ue es de
signo de c= (c1, . . . , cm).
Demos aci´on. Sea S−(c) = d−1. En onces amos a pode di idi los coe icien es en
dconjun os:
c1, . . . , cn2
| {z }, cn2+1, . . . , cn3
| {z }, . . . , cnd+1, . . . , cm
| {z },
donde odos los coe icien es cien cualquie a de los g upos an e io es engan el mismo
signo, y de o ma que al menos un cjen cada g upo sea dis in o de ce o. Si omamos
n1= 0 y nd+1 =m, de inimos
j=
nj+1
X
i=nj+1
|ci|ui,pa a odo j∈ {1,2, . . . , d}.
Podemos a i ma que { j}d
j=1 es un CT-sis ema. De hecho, pa a odo 1 ⩽k⩽dy odo
1<· · · < ken [a, b], enemos
D 1, . . . , k
1, . . . , k=
n2
X
i1=n1+1
· · ·
nk+1
X
ik=nk+1
|ci1|···|cik|D 1, . . . , k
ui1, . . . , uik,(1.12)
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siendo es e de e minan e posi i o, ya que Ues un OCT-sis ema, y adem´as, al menos un
cide cada g upo es no nulo. Sean
¯cj= (−1)j−1signo(p ime g upo de los coe icien es c) pa a j∈ {1,2, . . . , d}.
(1.13)
En onces cla amen e
¯u=
d
X
j=1
¯cj j≡u=
m
X
i=1
ciui.
Po lo an o ¯upuede oma los alo es
¯u=
1− 2+ 3− · · · + (−1)d+1 dsi el signo es posi i o,
− 1+ 2− 3+· · · + (−1)d dsi el signo es nega i o.
Si aho a hacemos uso del Teo ema 1.4.1 en el T-sis ema { j}d
j=1, se ob iene
Z m
X
i=1
ciui!=Z d
X
j=1
¯cj j!⩽d−1 = S−(c1, . . . , cm).
En el Cap´ı ulo 2 e emos que los espacios de unciones spline no son gene almen e T-
espacios, pe o casi. Po lo an o, amos a in oduci una o ma m´as d´ebil de T-sis ema.
De inici´on 1.4.5. Sea u1, . . . , umun conjun o de unciones aco adas de alo es eales
de inidas en un conjun o I⊂R,donde aqu´ı Ino es necesa iamen e un in e alo . Decimos
que {ui}m
i=1 o ma un sis ema D´ebil de Tchebyche (o WT-sis ema) siemp e que sean
linealmen e independien es, y
D 1, . . . , m
u1, . . . , um⩾0 pa a odo 1< 2<· · · < men I.
En con aposici´on con la de inici´on de T-sis emas, aqu´ı hemos pe mi ido delibe adamen-
e subconjun os a bi a ios Ide la ec a eal R, y no hemos eque ido unciones {ui}m
i=1
que sean con inuas.
Ejemplo 1.4.3. Si U={ui}m
i=1 es un T-sis ema en un in e alo I, en onces Ues un
WT-sis ema en alg´un subconjun o Jen I, ya que es cla o que pa a cualquie conjun o
de 1<· · · < mel de e minan e en la De inici´on 1.4.5. es es ic amen e posi i o.
El siguien e eo ema da una ca ac e izaci´on de WT-sis emas en ´e minos de cambios
de signo:
Teo ema 1.4.3. Sea U={ui}m
i=1 un conjun o linealmen e independien e de m unciones
de inidas en I. Si Ues un WT-sis ema, en onces
S−
I m
X
i=1
ciui!⩽m−1 pa a cualesquie a c1, . . . , cm eales y no odos nulos,
G ado en Ma em´
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Rec´ıp ocamen e, si se sa is ace la desigualdad an e io , en onces Uo¯
U={u1, . . . , um−1,
−um}es un WT-sis ema en I.
De inici´on 1.4.6. Si {ui}k
i=1 es un WT-sis ema en Ipa a cada 1 ⩽k⩽m, en onces de-
cimos que {ui}m
i=1 es un sis ema comple o D´ebil de Tchebyche (o CWT- sis ema)
en I.
De inici´on 1.4.7. Decimos que U={ui}m
i=1 es un sis ema o denado y comple o
D´ebil de Tchebyche (o OCWT-sis ema) en el conjun o Isi uijk
j=1 es un WT-
sis ema en Ipa a odo 1 ⩽i1< i2<· · · < ik⩽my odo 1 ⩽k⩽m.
El siguien e Teo ema mues a que los OCWT-sis emas ienen una p opiedad de a iaci´on
dec ecien e.
Teo ema 1.4.4. Supongamos que U={ui}m
i=1 es un OCWT-sis ema en I. En onces
S−
I m
X
i=1
ciui!⩽S−(c1, . . . , cm) pa a cualesquie a c1, . . . , cm eales y no odos nulos.
Demos aci´on. La demos aci´on es muy pa ecida a la del Teo ema 1.4.1. Supongamos
que S−(c) = d. En onces podemos di idi el conjun o de coe icien es como se hizo en
ele Teo ema 1.4.2.. De inimos 1, . . . , dcomo en dicho eo ema. A i mamos po an o
que V={ i}d
i=1 es un CWT-sis ema. De hecho, po (1.12) y po se Uun OCWT,
los de e minan es o mados a pa i de 1, . . . , dson siemp e no nega i os. De (1.12)
ambi´en se sigue que pa a alg´un 1<· · · < d, el de e minan e es posi i o, y po an o
las unciones 1, . . . , dson linealmen e independien es. Tomando aho a los coe icien es
{¯cj}d
j=1 como en (1.13), el Teo ema 1.4.3. aplicado al WT-sis ema Vimplica
S−
I m
X
i=1
ciui!=S−
I d
X
j=1
¯cj j!⩽d−1 = S−(c1, . . . , cm).
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
Cap´ı ulo 2
Splines Polinomiales
Los splines son cu as polin´omicas de inidas a ozos con inuamen e di e enciables
has a un o den p esc i o. Se u ilizan en aplicaciones que equie en la in e polaci´on de
da os, o un sua izado de cu as. En los p oblemas de in e polaci´on, se u iliza la in e po-
laci´on median e splines po que da luga a esul ados simila es equi iendo solamen e el
uso de polinomios de bajo g ado, e i ando as´ı las oscilaciones, indeseables, encon adas
al in e pola median e polinomios de g ado ele ado. La eo ´ıa spline ue desa ollada en
la d´ecada de 1940 po el ma em´a ico Isaac Jacob Schoenbe g.
2.1. P opiedades b´asicas
Sea [a, b] un in e alo ce ado ini o, y sea ∆ = {xi}k
i=1 con
a=x0< x1<· · · < xk< xk+1 =b
una pa ici´on del in e alo [a, b] en k+ 1 subin e alos Ii= [xi, xi+1), pa a i∈ {0,1,...,
k−1}eIk= [xk, xk+1]. Sea mun en e o posi i o y sea M= (m1, . . . , mk) un ec o de
en e os ales que 1 ≤mi≤mpa a odo i∈ {1,2, . . . , k}.
De inici´on 2.1.1. De inimos el espacio de los polinomios de o den mcon coe i-
cien es eales como
Pm=(p(x) =
m
X
i=1
cixi−1, c1, . . . , cm, x ∈R)
Po an o, un polinomio de o den nes un polinomio de g ado meno o igual que n−1.
La en aja de abaja con el o den de un polinomio es que la dimensi´on del espacio
ec o ial de los polinomios de o en mes m.
De inici´on 2.1.2. Se de ine el espacio de splines polinomiales de o den mcon
nudos x1, . . . , xkde mul iplicidades m1, . . . , mk, deno ado po S(Pm;M; ∆), como
el conjun o de polinomios de inidos a ozos, s∈ Pm, de o ma que s(x) = si(x) pa-
a x∈Ii, con i∈ {0,1, . . . , k}. Adem´as, se sa is acen las condiciones de egula idad
15
16
Djsi−1(xi) = Djsi(xi) pa a odo j∈ {0,1, . . . , m −1−mi}, y odo i∈ {1, . . . , k}.
Al ec o Mse le denomina ec o de mul iplicidades.
Si mi=mpa a alg´un i, la de inici´on an e io se in e p e a como que los polinomios
si−1ysi, de inidos en in e alos adyacen es al nudo xino es ´an elacionados en e s´ı, y
po an o puede exis i una discon inuidad de sal o. Si en cambio, mi< m, en onces se
in e p e a como que se ha o zado a que el spline sy sus p ime as m−1−mide i adas
sean con inuas en el nudo.
No emos que cada spline iene una ex ensi´on a oda la ec a eal. De hecho, si s∈
S(Pm;M; ∆), de inimos
s(x) =
s0(x) si x<a,
sk(x) si x>b,
donde s0yskson los polinomios que de inen al polinomio sen los in e alos I0eIk,
espec i amen e.
Teo ema 2.1.1. Sea K=Pk
i=1 mi. La dimensi´on del espacio S(Pm;M; ∆) es m+K.
Demos aci´on. Supongamos que s0, . . . , skson polinomios asociados en los in e alos
I1, . . . , Ik, espec i amen e. Podemos esc ibi cada uno de es os polinomios de la siguien e
o ma:
si(x) =
m
X
j=1
cij
xj−1
(j−1)!.
Pa a cada i∈ {0,1, . . . , k}, sea ci= (ci1, . . . , cim)T. En onces las condiciones de con i-
nuidad en Sse pueden esc ibi como el siguien e sis ema lineal de ecuaciones:
Ac=
A1−A1
A2−A2
......
Ak−Ak
c0
c1
.
.
.
ck
=0
donde
Ai=
1xix2
i/2· · · xm−1
i/(m−1)!
0 1 xi· · · xm−2
i/(m−2)!
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 · · · 1· · · xmi
i/(mi)!
La ma iz Aies de ama˜no (m−mi)×m, ya que la ma iz A iene ango igual al n´ume o
de ilas, Pk
i=1(m−mi). Como Aes una ans o maci´on del espacio ec o ial Rm(k+1) en
RPk
i=1(m−mi), se sigue que el espacio lineal de odos los ec o es cque sa is acen Ac= 0
es de dimensi´on
m(k+ 1) −
k
X
i=1
(m−mi) = m+
k
X
i=1
mi=m+K.
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
17
Es po an o es a la dimensi´on de S.
En la demos aci´on del eo ema, pa a calcula la dimensi´on, se ha con ado el n´ume o
de pa ´ame os en la ep esen aci´on polinomial a ozos del polinomio s, y a es o se le
es an el n´ume o de condiciones de egula idad impues as en es os ozos.
Aho a que conocemos la dimensi´on del espacio S(Pm;M; ∆) amos a cons ui una
base de es e. Pe o pa a ello, an es damos una base del espacio Pm.
Teo ema 2.1.2. Las unciones 1, x−y, . . . , (x−y)m−1 o man una base del espacio Pm.
Demos aci´on. Las unciones 1, x −y, . . . , (x−y)m−1pe enecen al espacio Pm. Po
an o, pa a p oba que es as o man una base del espacio s´olo ha ´ıa al a e que es as
son linealmen e independien es. Supongamos que p(x) = Pm
i=1 ci(x−y)i−1≡0, eamos
que ci= 0 pa a odo i.
En onces, pa a odo b, odas las de i adas en del polinomio pdeben anula se en b; es
deci ,
p(b)
Dp(b)
.
.
.
Dm−1p(b)
=
1b−y(b−y)2· · · (b−y)m−1
0 1 2(b−y)· · · (m−1)(b−y)m−2
.
.
..
.
..
.
.
0 0 0 · · · (m−1)!
c0
c1
.
.
.
cm
=0
Y como es e es un sis ema homog´eneo de mecuaciones no singula , se sigue que c1=
c2=· · · =cm= 0.
Ya que cualquie base pa a Sdebe inclui al menos una base pa a Pm. Podemos oma
las unciones 1, x −y, . . . , (x−y)m−1. Pe o enemos que comple a con Kelemen os
adicionales (la dimensi´on del espacio e a m+K). Pa a ello conside emos las unciones
(x−y)j
+= (x−y)j(x−y)0
+, j > 0,
donde
(x−y)0
+=
0 si x<y,
1 si x⩾y.
F ecuen emen e, nos e e i emos a es as unciones como unciones +.
Teo ema 2.1.3. Una base de S(Pm;M; ∆) iene dada po
pi,j(x) = (x−xi)m−j
+mik
j=1,i=0 ,(2.1)
donde x0=aym0=m.
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
18
Demos aci´on. Po la de inici´on de las unciones +, (x−xi)j
+es id´en icamen e 0 pa a
x<xi, y es un polinomio de g ado jpa a x⩾xi. Como
D (x−xi)j
+|x=xi= 0,pa a odo ∈ {0,1,...j−1},
en onces cada una de las unciones en (2.1) pe enece a S. Como hay m+K unciones,
hay que e po an o que es as son linealmen e independien es, y as´ı end emos una
base de es e espacio. Supongamos que pa a alg´un conjun o de coe icien es cij el spline
s(x) =
k
X
i=0
mi
X
j=1
cij(x−xi)m−j
+(2.2)
es id´en icamen e ce o en el in e alo [a, b]. En onces pa a x∈I0 enemos que Pm
j=1 c0j(x−
x0)m−j= 0, y po la independencia lineal de es as unciones, al se base de Pm, se ie-
ne que c01 =· · · =c0m= 0. Pe o es o implica que pa a x∈I1,s≡0, en onces
Pm1
j=1 c1j(x−x1)m−j= 0; y como es os polinomios son de nue o linealmen e indepen-
dien es, los coe icien es deben se ce o ambi´en. Es e p oceso se puede con inua si nos
mo emos en odos los in e alos Ii, de es a mane a ob enemos que odos los coe icien es
cij son nulos, lo que p ueba la independencia lineal.
Po an o, de es e eo ema se ex ae que odo spline s∈ S(Pm;M; ∆) se ep esen a de
o ma ´unica como se mues a en (2.2).
Pe o deseamos cons ui una base de S(Pm;M; ∆) que cons e de splines con sopo e
ela i amen e peque˜no, es deci , que los splines sean dis in os de ce o en un conjun o
ela i amen e peque˜no. Cla amen e, cualquie base de es e ipo debe cons ui se a pa i
de combinaciones lineales de los elemen os de la base del Teo ema 2.1.3..
El siguien e Lema a a la cues i´on de cu´ando es posible que una combinaci´on lineal
de los elemen os base se anule ue a de un in e alo ini o:
Lema 2.1.1. Sean a1< a2<· · · < ady 1 ⩽li⩽m, pa a i∈ {1,2, . . . , d}. Si
Pd
i=1 li> m, exis en {αij}d, li
i=1,j=1 no odos nulos ales que
B(x) =
d
X
i=1
li
X
j=1
αij
(x−ai)m−j
+
(m−j)!
sa is ace que
B(x) = 0 pa a x<a1y x > ad.
Po o o lado, si Pd
i=1 li⩽m, en onces no exis e es a unci´on B.
Demos aci´on. Po la na u aleza de las unciones +, es cla o que pa a cualquie αij,
B(x) = 0 pa a x<a1. Si B(x) = 0 pa a x>ad, en onces end emos que pedi
B(x) =
d
X
i=1
li
X
j=1
αij
m−j
X
k=0
xk
k!
(−ai)m−j−k
(m−j−k)! = 0,pa a odo x>ad,
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
19
donde
(x−ai)m−j=
m−j
X
k=0 m−j
kxk(−ai)m−j−k=
m−j
X
k=0
(m−j)!
k!(m−j−k)!xk(−ai)m−j−k.
Tomando
γijk =
(−ai)m−j−k
(m−j−k)! si k∈ {0, . . . , m −j},
0 si k∈ {m−j+ 1, . . . , m −1},
B(x) se puede eesc ibi como
B(x) =
d
X
i=1
li
X
j=1
αij
m−j
X
k=0
xk
k!γijk =
m−1
X
k=0
xk
k!
d
X
i=1
li
X
j=1
αijγijk = 0,
po se sumas ini as.
Pe o como las unciones po encia 1, x, . . . , xm−1son linealmen e independien es, se iene
que
d
X
i=1
li
X
j=1
αijγijk = 0,pa a odo k∈ {0,1, . . . , m −1}.(2.3)
Es e es un sis ema homog´eneo de mecuaciones pa a Pd
i=1 licoe icien es, y po an o
siemp e iene una soluci´on dis in a de ce o si Pd
i=1 li> m, al se el sis ema compa ible
inde e minado. Esc ibiendo las ecuaciones del sis ema (2.3) en o den dec ecien e, k∈
{m−1,...,0}, podemos esc ibi las en o ma ma icial como
M1. . . Md
α11
.
.
.
α1l1
.
.
.
αd1
.
.
.
αdld
= 0
de mane a que pa a odo i∈ {1,2, . . . , d},
Mi=
1 0 · · · 0
−ai1
...
1
(−a1)m−2
(m−2)!
(−a1)m−1
(m−1)!
(−a1)m−2
(m−2)! · · · (−a1)m−li
(m−li)!
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
26
donde
γm
i(x) = x−yi
yi+m−1−yi
.
A con inuaci´on eamos que los B-splines no malizados o man una pa ici´on de la unidad,
es deci :
Teo ema 2.2.7. Los B-splines o man una pa ici´on de la unidad. Es o es,
j
X
i=j+1−m
Nm
i(x) = 1 pa a odo yj⩽x<yj+1.
Demos aci´on. P ob´emoslo po inducci´on pa a m. Po N1
iqueda p obado el caso m=
1. Asumimos que el caso es co ec o pa a splines de o den m−1. Y haciendo uso de la
elaci´on de ecu encia (2.6) se p ueba pa a o den m:
j
X
i=j+1−m
Nm
i(x) =
j
X
i=j+1−m(x−yi)Bm−1
i(x)+(yi+m−x)Bm−1
i+1 (x)=
j
X
i=j+2−m
(x−yi+yi+m−1−x)Bm−1
i(x) =
j
X
i=j+2−m
Nm−1
i(x)=1.
De es e eo ema se sigue que pa a odo m⩾1,
0⩽Nm
i(x)⩽1 pa a odo x∈R.
Veamos o o esul ado ela i o a la di e enciaci´on, en es e caso de los B-splines no -
malizados. Es e mues a que la de i ada de una unci´on B-spline puede eni dada en
´e minos de un B-spline de o den in e io .
P oposici´on 2.2.1. Sea s(x) = Pn
i=1 ciNm
i(x) una unci´on spline, enemos que
D+s(x)=(m−1)
n
X
i=2
ci−ci−1
yi+m−1−yi
Nm−1
i(x).
Demos aci´on. Ten´ıamos po (2.7) que la de i ada de un B-spline de o den m iene
dada po
D+Bm
i(x) = (m−1)Bi(x)m−1−Bi+1(x)m−1
yi+m−yi
.
Y haciendo uso de la elaci´on en e Bm
i(x) y Nm
i(x), es deci ,
Nm
i(x) = (yi+m−yi)Bm
i(x).
En onces
s(x) =
n
X
i=1
ciNm
i(x) =
n
X
i=1
ci(yi+m−yi)Bm
i(x).
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
27
Si de i amos ob enemos
D+s(x) =
n
X
i=1
ci(yi+m−yi)D+Bm
i(x)=(m−1)
n
X
i=1
ciBm−1
i(x)−Bm−1
i+1 (x)=
= (m−1)
n
X
i=1
ciBm−1
i(x)−(m−1)
n
X
i=1
ciBm−1
i+1 (x)
Cambiando el ´ındice de sumaci´on en el segundo ´e mino de la igualdad an e io , i, po
j=i+ 1 enemos que
(m−1)
n
X
i=1
ciBm−1
i+1 (x) = (m−1)
n+1
X
j=2
cj−1Bm−1
j(x).
Combinando aho a las dos sumas y eniendo en cuen a que Bm−1
1yBm−1
n+1 se anulan en
(yn, yn+1), po el Teo ema 2.2.5., ob enemos
D+s(x)=(m−1)
n
X
i=2
(ci−ci−1)Bm−1
i(x)=(m−1)
n
X
i=2
ci−ci−1
yi+m−1−yi
Nm−1
i(x).
A pesa de que un B-spline cons a de segmen os polin´omicos de o den mno es ´a del odo
cla o que podamos ep esen a polinomios como combinaciones lineales de B-splines.
Es o es necesa io pa a man ene la p ecisi´on de las ap oximaciones polin´omicas. Po
ello, la siguien e ´o mula es una iden idad c ucial en la eo ´ıa de splines.
Teo ema 2.2.8. (Iden idad de Ma sden). Sea l⩽ eyl< y +1. Pa a odo y∈Rse
iene que
(y−x)m−1=
X
i=l+1−m
Φi,m(y)Nm
i(x),pa a odo yl⩽x<y +1,
donde
Φi,m(y) =
m−1
Y
k=1
(y−yi+k).
A´un m´as, pa a j∈ {1,2, . . . , m},
xj−1=
X
i=l+1−m
Θ(j)
iNm
i(x),pa a odo yl⩽x<y +1,
donde
Θ(j)
i= (−1)j−1(j−1)!
(m−1)!Dm−jΦi,m(0), i ∈ {l+ 1 −m, . . . , }.
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
28
Demos aci´on. P ocede emos po inducci´on sob e m. Pa a m= 1 las a i maciones se
ob ienen de la de inici´on de N1
i(x) y del hecho de que Φi,1(y) = Θ(1)
i= 1, pa a odo i.
Suponemos aho a que el esul ado es cie o pa a m−1 y eamos que se e i ica ambi´en
pa a m, pa a ello usamos la elaci´on de ecu encia
X
i=l+1−m
Φi,m(y)Nm
i(x) =
X
i=l+1−m
Φi,m(y)(x−yi)Bm−1
i(x)+(yi+m−x)Bm−1
i+1 (x)=
=
X
i=l+1−m
Φi,m(y)(x−yi)Bm−1
i(x) +
X
i=l+1−m
Φi,m(y)(yi+m−x)Bm−1
i+1 (x) =
=
X
i=l+1−m
Φi,m(y)(x−yi)Bm−1
i(x) +
+1
X
j=l+2−m
Φj−1,m(y)(yj+m−1−x)Bm−1
j(x).
Donde se ha eo denado la suma y se ha cambiado el ´ındice de sumaci´on en el segundo
ac o en la e ce a igualdad, j=i+ 1. Usando aho a el hecho de que los B-splines
Bm−1
l+1−m(x) y Bm−1
+1 (x) se anulan pa a odo x∈[yl, y +1), se ob iene
X
i=l+1−m
Bm−1
i(x) [(x−yi)Φi,m(y)+(yi+m−1−x)Φi−1,m(y)] .
Po la de inici´on de Φi,m enemos que
Φi,m(y) =
m−1
Y
k=1
(y−yi+k)=(y−yi+m−1)
m−2
Y
k=1
(y−yi+k)=(y−yi+m−1)Φi,m−1(y),
de igual mane a Φi−1,m(y) = (y−yi)Φi,m−1(y). Y ope ando enemos
Φi,m−1(y) [(x−yi)(y−yi+m−1)+(yi+m−1−x)(y−yi)] = Φi,m−1(y)(y−x)(yi+m−1−yi).
Jun ando odo lo an e io , haciendo uso de la de inici´on de los B-splines no malizados,
po la hip´o esis de inducci´on podemos conclui
X
i=l+1−m
Φi,m(y)Nm
i(x)=(y−x)
X
i=l+1−m
Φi,m−1(y)Nm−1
i(x) = (y−x)(y−x)m−2= (y−x)m−1.
La iden idad que nos es a comp oba , xj−1se sigue de de i a la ´o mula is a pa a
(y−x)m−1m−j eces con espec o a y, y e alu´andola en y= 0.
El p ´oximo eo ema es ablece la llamada ´o mula de ep esen aci´on de Peano pa a di e-
encias di ididas. Tambi´en da alo es pa a los momen os del B-spline Bm
i. Pe o an es de
nada, eamos un esul ado que apa ece en [[2],pag.15] que usa emos pa a la demos a-
ci´on del esul ado en cues i´on. In oducimos pa a ello la noci´on de espacio de Sobole
L
p[I]:
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
29
De inici´on 2.2.4. Sean 1 ⩽p⩽∞,Iun in e alo de Ry un en e o posi i o . Se de ine
el espacio L
p[I] como el conjun o de unciones cuya de i ada de o den −1, D −1 ,
es absolu amen e con inua en Iy donde la de i ada de o den ,D , es in eg able en I
(es deci , D ∈Lp). El espacio L
p[I] se denomina espacio de Sobole .
Los espacios de Sobole son subespacios de los espacios Lpdonde las unciones poseen
de i adas sua es.
Teo ema 2.2.9. (Desa ollo dual de Taylo ). Sea ∈Lm
1[a, b]. En onces pa a odo
a⩽y⩽b,
(y) =
m−1
X
j=0
(−1)jDj (b)(b−y)j
j!+Zb
a
(−1)m(x−y)m−1
+Dm (x)
(m−1)! dx. (2.10)
Teo ema 2.2.10. (F´o mula de ep esen aci´on de Peano). Fijamos 0 ⩽j⩽m−p,
siendo pel m´aximo de las mul iplicidades de yi, . . . , yi+m. En onces
[yi, . . . , yi+m] (x) = Zyi+m
yi
(−1)jDj
+Bm
i(x)Dm−j (x)
(m−1)! dx (2.11)
pa a odo ∈Lm−j
1[yi, yi+m]. Es m´as,
Zyi+m
yi
(−1)jDj
+Bm
i(x)xsdx =
0 si s∈ {0,1...,j−1},
s!(m−1)!
(m+s−j)! us−j(yi, . . . , yi+m) si s∈ {j, . . . , m −1}
donde us−jes la unci´on de inida en (1.9) is a en el Teo ema 1.2.2.:
ul(yi, . . . , yi+m) = X
i⩽i1⩽i2⩽···⩽il⩽i+m
yi1·yi2·. . . ·yil
En pa icula , los dos p ime os momen os de Bm
i ienen dados po
Zyi+m
yi
Bm
i(x)dx =1
m(2.12)
yZyi+m
yi
xBm
i(x)dx =yi+· · · +yi+m
m(m+ 1) .
Demos aci´on. Po el desa ollo dual de Taylo (2.10), si ∈Lm−j
1[yi, yi+m], podemos
esc ibi
(y) =
m−j−1
X
k=0
(−1)kDk (yi+m)(yi+m−y)k
k!+Zyi+m
yi
(−1)m−jDj
x(x−y)m−1
+Dm−j (x)
(m−1)! dx.
Aplicando aho a el ope ado de di e encias di ididas [yi, . . . , yi+m] a ambos lados, ob e-
nemos (2.11).
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
30
La o a igualdad se p ueba omando la unci´on (x) = xm−j−susando la ´o mula (1.8)
is a en el Teo ema 1.2.2..
An es de p oba el siguien e esul ado, necesi amos in oduci o o B-spline ¯
Bm
i. Es
id´en ico a Bm
isal o po los nudos de mul iplicidad m. Ya que la di e encia en e Bm
iy
¯
Bm
ies simplemen e que ¯
Bm
ies con inua po la izquie da mien as que Bm
ies con inua
po la de echa, y es a dis inci´on es ele an e en los nudos de mul iplicidad m.
Lema 2.2.1. Dado yi< yi+m, sea
¯
Bm
i(x) = [yi, . . . , yi+m] (y−x)m−1
+pa a odo x∈R.
En onces, ¯
Bm
i(x) = Bm
i(x) pa a odo x∈R Jm
i,
donde Jm
i={nudos de mul iplicidad mde Bm
i}.
Demos aci´on. Se iene que
(x−y)m−1
+−(−1)m(y−x)m−1
+= (x−y)m−1.
Aplicando la di e encia di idida en la igualdad an e io sob e [yi, . . . , yi+m], emos que
[yi, . . . , yi+m] (x−y)m−1
+−(−1)m[yi, . . . , yi+m] (x−y)m−1
+= 0
ya que la di e encia di idida de o den m-´esimo del polinomio (y−x)m−1es 0.
Como o a aplicaci´on de la ep esen aci´on (2.11) de di e encias di ididas, enemos el
siguien e esul ado que conec a p oduc os in e nos de B-splines con di e encias di ididas.
Teo ema 2.2.11. Sean yi< yi+meyj< yj+n. En onces
Z∞
−∞
Bm
i(x)Bn
j(x)dx =(−1)m(m−1)!(n−1)!
(m+n−1)! [yi, . . . , yi+m]x[yj, . . . , yj+n]y(y−x)m+n−1
+.
(2.13)
Los sub´ındices xeyen los s´ımbolos de di e encias di ididas indican en qu´e a iables se
ope an.
Demos aci´on. Tomemos (x) = [yj, . . . , yj+n] (y−x)m+n−1. Calculemos la de i ada
m-´esima
Dm (x) = (m+n−1)(m+n−2) · · · (n−1) [yj, . . . , yj+n] (y−x)n−1=
=(m+n−1)!
(n−1)! [yj, . . . , yj+n] (y−x)n−1
+,
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
31
si usamos la de inici´on de ¯
Bn
j(x) is a en el p eceden e enemos que
(−1)mDm (x) = (m+n−1)!
(n−1)! ¯
Bn
j(x),
o lo que es lo mismo
Dm (x)=(−1)m(m+n−1)!
(n−1)! ¯
Bn
j(x),
Sus i uyendo en la ´o mula (2.11) is a en el Teo ema 2.2.10., pa a j= 0 enemos
[yi, . . . , yi+m]x =Zyi+m
yi
Bm
i(x)Dm (x)
(m−1)! dx.
Po an o, eniendo en cuen a la exp esi´on de Dm (x) an e io
[yi, . . . , yi+m]x (x) = Zyi+m
yi
(−1)mBm
i(x)¯
Bm
j(x)(m+n−1)!
(m−1)!(n−1)! dx.
Si enemos en cuen a el alo de (x) ob enemos la ´o mula eque ida
[yi, . . . , yi+m]x[yj, . . . , yj+n]y(y−x)m+n−1(−1)m(m−1)!(n−1)
(m+n−1)! =Zyi+m
yi
Bm
i(x)¯
Bm
j(x)dx.
Usando el hecho de que ¯
Bn
j(x) y Bn
j(x) son iguales (excep o quiz´as en un pun o), ob ene-
mos la exp esi´on. Y adem´as sabemos que Bm
i(x) = 0 si x /∈(yi, yi+m), o que Bn
j(x)=0
si x /∈(yj, yj+n) (Teo ema 2.2.5.), ob enemos la ´o mula (2.13).
Nues o p ´oximo eo ema a a la cues i´on de qu´e sucede con un spline cuando aplicamos
una peque˜na pe u baci´on en la ubicaci´on de sus nudos.
Teo ema 2.2.12. Sea yi⩽· · · ⩽yi+m, y suponemos que y( )
i⩽· · · ⩽y( )
n+mes una
secuencia de pun os ales que
y( )
j→yj,pa a odo j∈ {i, . . . , i +m}cuando → ∞.
Sean Bm
iyBm
i, los B-spline de o den mcon es os conjun os de nudos, espec i amen e.
En onces, pa a odo k∈ {0,1, . . . , m −1},
Dk
+Bm
i, (x)→Dk
+Bm
i(x),pa a odo x∈R Jk
i,
donde
Jk
i={yj:yjes un nudo de Bm
ide mul iplicidad m−ko m´as}.
La con e gencia es uni o me en odo conjun o excep o en los conjun os Jk
i.
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
32
Demos aci´on. Conside a emos el caso k= 0 en p ime luga . Si yi=yi+m, po an o
Bm
i(x) = 0 pa a odo x. Dado que Bm
i, (x) = 0 ue a del in e alo hy( )
i, y( )
i+mi, que se
educe ´unicamen e al pun o yi, la a i maci´on es cie a en es e caso.
Pa a el caso yi< yi+m, se p ocede po inducci´on. Pa a m= 1 el esul ado es cie o.
Haciendo uso de la ´o mula ecu si a de los B-splines Bm
iyBm
i, , ob enemos
|Bm
i(x)−Bm
i, (x)|⩽
⩽|Bm−1
i(x)(x−yi)(y( )
i+m−y( )
i)−Bm−1
i, (x)(x−y( )
i)(yi+m−yi)|
(yi+m−yi)(y( )
i+m−y( )
i)+
+|Bm−1
i+1 (x)(yi+m−x)(y( )
i+m−y( )
i)−Bm−1
i+1, (x)(y( )
i+1 −x)(yi+m−yi)|
(yi+m−yi)(y( )
i+m−y( )
i).
Las exp esiones de la pa e de echa de la desigualdad an a ce o cuando → ∞. Po lo
que es as con e gen uni o memen e en cualquie in e alo ce ado excluyendo a J0
i.
Pa a k > 0 el esul ado se concluye del esul ado que o mula la de i ada de un B-spline
en ´e minos de B-splines o den in e io , es deci , del Teo ema 2.2.4..
2.3. Nudos uni o memen e espaciados
En es e apa ado amos a discu i B-splines con nudos igualmen e espaciados. Es
´u il en di e sas aplicaciones de splines, ya que conduce a simpli icaciones en la eo ´ıa y
p oduce modi icaciones sus anciales en el el aho o de c´ompu os.
De inici´on 2.3.1. Decimos que un conjun o de nudos ...,yi, yi+1, . . . es uni o me con
espaciamien o h si se cumple
yi+1 −yi=hpa a odo i.
Sea
Bm(x) = (−1)m∆m(x−y)m−1
+
m!y=
m
X
i=0
(−1)im
i(x−i)m−1
+
m!.(2.14)
Es e es el B-spline usual con nudos simples 0,1, . . . , m. Es e pe enece a Cm−2[−∞,∞].
El B-spline no malizado de Bm(x) es
Nm(x) = mBm(x).(2.15)
El siguien e eo ema mues a que cualquie B-spline con nudos uni o memen e espaciados
puede ob ene se de QmoNmmedian e una aslaci´on (y posible escalado):
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
33
Teo ema 2.3.1. Supongamos que yi, . . . , yi+mes ´an uni o memen e espaciados con es-
paciado h. En onces
Bm
i(x) = 1
hBmx−yi
h
y
Nm
i(x) = Nmx−yi
h.
Demos aci´on. Pa a los nudos yjuni o memen e espaciados, la di e encia di idida en
la de inici´on de Bm
i, is a en la De inici´on 2.2.2., se con ie e en el ope ado di e encia
p og esi a ( e De inici´on 1.2.2. y Teo ema 1.2.4.), po lo an o enemos
Bm
i(x) = (−1)m∆m
h(x−y)m−1
+
hmm!=
m
X
i=0
(−1)im
i(x−yi)m−1
+
hmm!=Bmx−yi
h
h.
La igualdad e e en e al no malizado se sigue del hecho Nm
i(x) = mhBm
i(x), po (2.15).
Con espec o al ama˜no del spline no malizado Nm, obse amos que
||Nm||L1[0,m]=||Nm||L∞[0,m]= 1,
y po lo an o
||Nm||Lq[0,m]⩽1 pa a odo 1 ⩽q⩽∞.
La ´o mula ecu si a is a en (2.6) se puede eesc ibi en el caso de nudos uni o memen e
espaciados:
Bm(x) = xBm−1(x)+(m−x)Bm−1(x−1)
m.(2.16)
En ´e minos del B-spline no malizado, es a iene dada po :
Nm(x) = xBm−1(x)+(m−x)Bm−1(x−1).(2.17)
De o ma simila , la ´o mula (2.7) puede eesc ibi se como
D+Nm(x) = Nm−1(x)−Nm−1(x−1).
Pa a nudos uni o memen e espaciados, eamos en qu´e se con ie e la ´o mula de ep e-
sen aci´on de Peano, (2.11), pa a di e encias di ididas:
Tomando pa a j= 0 la exp esi´on (2.11) enemos
[yi, . . . , yi+m] (x) = Zyi+m
yi
Bm
i(x)Dm (x)
(m−1)! dx.
Usamos aho a las ´o mulas is as en el Teo ema 2.3.1. y (2.15)
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
34
[yi, . . . , yi+m] (x) = Zyi+m
yi
1
h
1
m!Nmx−yi
hDm (x)dx.
Reco demos la de inici´on de di e encia p og esi a (De inici´on 1.2.2.), al que pa a h > 0
y un en e o posi i o mes a en´ıa dada de la o ma
∆m
h ( ) = m!hm[ , . . . , +mh] ,
donde aqu´ı hes el espaciamien o uni o me en e los nudos, po an o, se oma como
=yi, y los nudos yi, yi+1 ...,yi+m ienen dados po , +h, . . . , +hm, espec i amen e.
Sus i uyendo odo es o en la ´o mula an e io , ob enemos
∆m
h ( ) = Z +hm
Nmx−
hDm (x)dx.
Realizando un cambio de a iable con y=x− , llegamos a la siguien e ´o mula
∆m
h ( ) = Zhm
0
Nmy
hDm (y+ )dy.
pa a oda unci´on ∈Lm
1[ , +hm]. Si omamos aho a = 0 y h= 1 se ob iene que
∆m (0) = Zm
0
Nm(y)Dm (y)dy
pa a oda unci´on ∈Lm
1[0, m].
Pa a nues o p ´oximo eo ema necesi amos in oduci una modi icaci´on (una aslaci´on
a un nudo semien e o) del B-spline Nmde inido en (2.15) sob e una ed uni o me:
Mm(x) = Nmx+m
2,pa a odo x∈R.
Es e spline es sim´e ico con espec o al o igen con sopo e en −m
2,m
2. Pa a mpa es e
spline iene nudos simples en los en e os, mien as que pa a mimpa los nudos es ´an en
los pun os medios en e los en e os.
El siguien e eo ema mues a que Mmpuede de ini se median e un p oceso de con-
oluci´on i e ada:
Teo ema 2.3.2. Pa a 1 ⩽i⩽m−1,
Mm(x) = Mi∗Mm−i(x) = Z∞
−∞
Mi(x−y)Mm−i(y)dy. (2.18)
Adem´as,
Mm(x) = 1
2πZ∞
−∞ sin(u
2)
u
2m
eiuxdu. (2.19)
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
35
Demos aci´on. Pa a p oba (2.18) es su icien e con demos a que
Mm(x) = Mm−1∗M1(x) = M1∗Mm−1(x).
Veamos es o po inducci´on sob e m: Pa a m= 2 es e caso es simple. Suponemos que
la ´o mula an e io se cumple pa a m−1. Ve´amoslo pa a m. Sus i uyendo la expan-
si´on expl´ıci a de Mm−1(x) en ´e minos de unciones +, usando (2.14) y Teo ema 2.3.1
ob enemos
Mm−1∗M1(x) =
m−1
X
j=0
(−1)jm−1
j
(m−2)! Zx+1/2
x−1/2y+m−1
2−jm−2
+
dy =
=
m−1
X
j=0
(−1)jm−1
j
(m−1)! "x+m
2−jm−1
+−x+m−1
2−j−1m−1
+#=
=
m
X
j=0
(−1)j
(m−1)! m−1
j+m−1
j−1x+m
2−jm−1
+,
Teniendo en cuen a que m−1
−1=m−1
m= 0. Combinando los coe icien es binomiales
emos que es a suma es p ecisamen e la expansi´on de Mm(x). Pa a p oba (2.19), usamos
la ans o maci´on de Fou ie de Mm
d
Mm(u) = Z∞
−∞
Mm(x)e−iuxdx.
Pa a m= 1 enemos
d
M1(u) = sen(u
2)
u
2
.
Y como Mm=M1∗ · · · ∗ M1es la con oluci´on de mcopias de M1se sigue que
d
Mm(u) = hd
M1(u)im
Y la ´o mula (2.19) es simplemen e la in e sa de la ans o maci´on de Fou ie .
2.4. B-splines pe ec os
En es a secci´on se p esen a un B-spline especial con buenas p opiedades.
Teo ema 2.4.1. (B-spline Pe ec o). Sean
yi= cos m−i
mπ, i ∈ {0,1, . . . , m},(2.20)
y sea
B∗
m(x) = m(−1)m[y0, y1, . . . , ym] (x−y)m−1
+.
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
42
es un spline de o den mcon un nudo simple en ξ−δy un nudo de mul iplicidad m−1
en ξ. Cla amen e, (2.22) se cumple pa a x⩽ξ−δ. Pa a x⩾ξ−δ enemos
(x−ξ+δ)m−1
+
(m−1)!δm−1=
m−1
X
i=0
(x−ξ)iδ−i
(m−i−1)!i!.
Sus i uyendo es o en sδ(x), ob enemos que (2.22) se sa is ace ambi´en pa a x⩾ξ.
Pa a p oba (2.23), suponemos que c0>0. Se cumple sδ(x)⩾s(x) = pL(x) pa a
ξ−δ⩽x⩽ξ. Po o o lado, sδ(ξ) = pR(ξ), mien as que D+sδ(ξ−)→ ∞ cuando δ↓0.
Lo que implica que sδ(x)⩽pR(x) pa a ξ−δ⩽x⩽ξsiendo δsu icien emen e peque˜no.
El siguien e Lema hace uso de es e m´e odo, sepa ando nudos m´ul iples, mos ando as´ı
que pa a cualquie spline shay un spline con inuo sδcon el mismo n´ume o de nudos,
que es una pe u baci´on de s, y que iene el mismo n´ume o de ce os que s.
Lema 2.5.2. Sea s∈ S(Pm;M; ∆) con K=Pk
i=1 minudos. En onces pa a odo δ > 0
su icien emen e peque˜no, exis en ¯
∆ y ¯
Mcon K=Pk
i=1 ¯micon ¯mi< m, pa a odo
i∈1,2,...,¯
k; y un spline sδ∈ S(Pm;¯
M;¯
∆) de o ma que sysδson id´en icos
excep o en in e alos de peque˜na longi ud ce ca de nudos de mul iplicidad mde s, y
adem´as, se iene
Z¯
S
[a,b](sδ) = ZS
[a,b](s).
Demos aci´on. Podemos usa el Lema 2.5.1. pa a di idi cada nudo de mul iplicidad
mde sen un nudo simple y en un nudo de mul iplicidad m−1. Hay que ene cuidado
con los nudos que son ce os aislados de s. Si s(ξ+) = 0, debe ´ıamos di idi el nudo,
como se ha mencionado, y mo e lo a ξ−δ. Y si s(ξ−) = 0, se debe di idi un nudo y
mo e lo a ξ+δ. Obse ando es o, se iene que sysδ iene las mismas p opiedades de
cambio de signo y la misma mul iplicidad del ce o en ξ. Si sse anula en un in e alo
(xi, xj), en onces sδse anula al menos un in e alo de la o ma (xi+δ, xj−δ). Dado
que sδcambia ´a de signo exac amen e cuando lo haga s, la mul iplicidad de los ce os de
sysδ ambi´en se ´a la misma.
El eo ema p incipal sob e los ce os de splines es el siguien e:
Teo ema 2.5.3. Pa a odo s∈ S(Pm;M; ∆), s= 0,
ZS(s)⩽m+K−1.
Demos aci´on. Pa a m= 1 el eo ema se e ie e a unciones cons an es a ozos y con
k=K. En es e caso, el ´unico ipo de ce o aislado posible es un nudo. Si sse anula en un
in e alo (xp, xq), en onces el in e alo puede con a como m´aximo q−p+1. Concluimos
que cualquie spuede ene como m´aximo kce os, y queda demos ado el eo ema en
es e caso.
P ocedamos aho a po inducci´on sob e m. Supongamos que el eo ema ha quedado
p obado pa a o den m−1. Veamos aho a que es cie o pa a o den m.
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
43
Sea s∈ S (Pm;M; ∆) al que ZS(s)⩾m+K. Supongamos que sno iene nudos de
mul iplicidad m. En consecuencia, ses con inua en R), y po el Teo ema de Rolle pa a
splines (Teo ema 2.5.2.), ZDS(D+s)⩾m+K−1. Aplicando la hip´o esis induc i a se
iene que D+s= 0. De aqu´ı se deduce que sdebe se una unci´on cons an e de inida a
ozos, pe o como ses con inua, es una cons an e. Y como enemos que sse anula al
menos una ez, se concluye que s≡0. El eo ema queda p obado en es e caso.
Fal a po a a el caso en que s enga ce os de mul iplicidad m. Dado scon ZS(s)⩾
m+K, po el Lema 2.5.2., exis e un spline con inuo sδcon Knudos (ninguno de ellos
es de mul iplicidad m) y con m+Kce os. El a gumen o an e io mues a que sδ≡0.
Pe o como s(x) = sδ(x), excep o en en o nos peque˜nos ce ca del nudo de mul iplicidad
m, se sigue que s≡0.
La co a dada en el eo ema p eceden e, es la mejo posible, como se mues a en el
siguien e esul ado (su demos aci´on se e ´a en la p ´oxima secci´on):
Teo ema 2.5.4. Exis e un spline s∈ S(Pm;M; ∆) con
ZS(s) = Z1(s) = m+K−1,
donde Z1es el n´ume o de ce os simples y dis in os.
Obse aci´on 2.5.1. El l´ımi e en el n´ume o de ce os de un spline de inido en el espacio
S(Pm;M; ∆) es p ecisamen e uno menos que la dimensi´on de es e espacio. Po o o
lado, dado que siemp e con iene splines que se anulan en in e alos (po ejemplo, las
unciones +), no o ma un espacio T.
El siguien e eo ema mues a que es un espacio de Tchebyche d´ebil:
Teo ema 2.5.5. El espacio S(Pm;M; ∆) es un WT - espacio.
Demos aci´on. Pa a odo s∈ S(Pm;M; ∆), po el Teo ema 2.5.3., S−(s)⩽ZS(s)⩽
m+K−1. Como S iene dimensi´on m+K, el Teo ema 1.4.3. implica que es un WT-
espacio.
Una he amien a impo an e pa a nues o an´alisis u u o de de e minan es de B-splines
es el siguien e esul ado:
Teo ema 2.5.6. Sean y1⩽y2⩽· · · ⩽yn+m, con yi< yi+mpa a odo i∈ {1,2, . . . , n}.
Sean {Nm
i}n
i=1 B-splines no malizados. En onces, pa a odo s=Pn
i=1 ciNm
ino nulo en
ning´un subin e alo del in e alo (y1, yn+m), se iene
Z(y1,yn+m)(s)⩽n−1,
siendo Zel n´ume o de ce os aislados.
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
44
Demos aci´on. Sea Sel espacio de spline con nudos en y1, . . . , yn+m. En onces s∈ S;
y po el Teo ema 2.5.3., ZS(s)⩽n+ 2m−1. Pe o como sse anula en los in e alos
(−∞, y1) y (yn+m,∞), y ambos in e alos son ce os de mul iplicidad m(po la De inici´on
2.5.2.), se sigue que en el in e alo (y1, yn+m), el spline spuede ene como m´aximo n−1
ce os.
Obse aci´on 2.5.2. Si aplicamos el eo ema p eceden e pa a n= 1, enemos o a p ue-
ba del hecho de que el B-spline asociado con nudos yi, . . . , yi+mes no nulo en el in e alo
(yi, yi+m).
El Teo ema 2.5.6. ambi´en puede usa se pa a discu i las de i adas de un spline como
se e a con inuaci´on:
Teo ema 2.5.7. Sea Nm
iel B-spline no malizado asociado con nudos en yi, . . . , yi+m.
En onces
Z(yi,yi+m)Dj
+Nm
i⩽j, pa a odo j∈ {0,1, . . . , m −1}.
Adem´as, si Dj
+Nm
ies con inua en un in e alo ce ado [yi, yi+m], en onces Dj
+Nm
i iene
exac amen e jce os en el in e alo (yi, yi+m).
Demos aci´on. Ve´amoslo pa a j= 1 en pa icula , pues el a gumen o es o almen e
an´alogo pa a de i adas de o den supe io . Ya sabemos po la ´o mula de la de i ada de
un B-spline que D+Nm
ies una combinaci´on lineal de Nm−1
iyNm−1
i+1 . El eo ema an e io
implica que Z(yi,yi+m)(D+s)⩽1. Y po el Teo ema de Rolle pa a splines (Teo ema 2.5.2.),
como Nm
ies con inuo en [yi, yi+m], en onces D+Nm
idebe ene un ce o en el in e alo
(yi, yi+m).
2.6. Teo ema de Schoenbe g-Whi ney
Supongamos que y1⩽· · · ⩽yn+mes una secuencia de pun os ales que yi< yi+m,
pa a odo i, y supongamos que Nm
1, . . . , Nm
nson los B-splines no malizados asociados.
En es a secci´on examina emos a ias ma ices o madas a pa i de es os B-splines.
Teo ema 2.6.1. Sea 1<· · · < n. En onces la ma iz
M 1, . . . , n
Nm
1, . . . , Nm
n= (Nm
j( i))n
i,j=1
es no singula si y s´olo si
i∈σi=sop(Nm
i) = {x:Nm
i(x)= 0},pa a odo i∈ {1,2, . . . , n}.(2.24)
Se puede obse a que la condici´on (2.24) es equi alen e a deci que xi< i< xi+mpa a
odo i∈ {1,2, . . . , n}.
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
45
Demos aci´on. Teniendo en cuen a el Teo ema 2.2.5. omamos, con enien emen e, pa a
cada i∈ {1,2, . . . , n}, los sopo es
σi=
(yi, yi+m) si yi< yi+m−1,
[yi, yi+m) en o o caso.
Pa a m= 1 es cla o. Veamos en onces el caso m > 1. En p ime luga , amos a e que
si no se cumple (2.24), en onces el de e minan e Dde la ma iz Mes ce o. Di e enciemos
dos casos:
Supongamos que jes ´a demasiado a la izquie da pa a pe enece a σj, es deci ,
se iene que j⩽yj. En onces Nm
k( ) = 0 pa a odo 1 ⩽ ⩽j⩽k⩽n. En
es e caso, las p ime as j ilas de Dson cla amen e linealmen e dependien es, po
lo an o el de e minan e es nulo.
Supongamos aho a que jes ´a demasiado a la de echa pa a pe enece a σj, es
deci , se iene que yj+m⩽ j. En es e caso, po un a gumen o an´alogo se e que
los elemen os en las jp ime as columnas y en las n−j+ 1 ´ul imas ilas son ce o.
Po lo que el de e minan e debe se nue amen e ce o.
Veamos aho a el ec´ıp oco. Supongamos que (2.24) se sa is ace, pe o que Mes sin em-
ba go singula . Llega emos po an o a una con adicci´on.
Como Mes una ma iz singula , exis en c1, . . . , cn, no odos nulos, ales que
s( i) =
n
X
j=1
cjNm
j( i) = 0,pa a odo i∈ {1,2, . . . , n}.
Sea lde o ma que clsea el p ime coe icien e no nulo, y sea
= m´ın {j⩾l:s(x) = 0 en un in e alo con ex emo izquie do en yj+m}.
El hecho de que s(x) = 0 en (y +m, y +m+1) implica po la independencia lineal de los
B-splines que c +1 =· · · =c +m−1= 0. Dis inguimos de nue o dos casos:
Si l> yl, en onces ¯s=P
i=lciNm
i iene ce os en l, . . . , en (yl, y +m). Lo que
con adice el Teo ema 2.5.6.
Supongamos aho a que l=yl. Es o solamen e ocu e si yl=· · · =yl+m−1. Lo que
es con adic o io pues 0 = s( l) = clNm
l( l)= 0.
En consecuencia, la ma iz Mes no singula , lo que p ueba el eo ema.
La ma iz Mse denomina ma iz de colocaci´on.
A con inuaci´on amos a aplica es e esul ado a la in e polaci´on de Lag ange:
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
46
Reco demos que dada una unci´on de la cual se conocen sus alo es en los pun os
x1, . . . , xn, se llama in e polaci´on polin´omica al p oceso de halla un polinomio p(x)
de g ado meno o igual que n, cumpliendo
p(xi) = (xi),pa a odo i∈ {1, . . . , n}.
A es e polinomio se le llama polinomio in e polado de g ado n de la unci´on .
Con ecuencia, los splines, pa icula men e, los B-splines, se u ilizan pa a esol e p o-
blemas de in e polaci´on. Sea y= (yi)n+m
i=1 una secuencia de nudos no dec ecien e, con
yi< yi+mpa a odo i. Sabemos po lo is o en el Teo ema 2.2.6. que la sucesi´on {Nm
i}n
i=1
de B-splines de o den mes linealmen e independien e, po an o, el espacio gene ado
es n-dimensional. Dada la secuencia de nodos = ( i)n
i=1 es ic amen e c ecien e, pa-
a una unci´on dada, deseamos halla un spline s=Pn
i=1 ciNm
i al que pa a odo
j∈ {1, . . . , n}se sa is aga
s( j) =
n
X
i=1
ciNm
i( j) = ( j).(2.25)
Es e es un sis ema lineal de necuaciones con ninc´ogni as, c= (ci)n
i=1, con la ma iz de
coe icien es Nm
j( i)n
i,j=1. El sis ema se ep esen a po :
Nm
1( 1)· · · Nm
n( 1)
.
.
..
.
.
Nm
1( n)· · · Nm
n( n)
c1
.
.
.
cn
=
( 1)
.
.
.
( n)
El Teo ema de Schoenbe g-Whi ney es ablece cuando el p oblema de in e polaci´on iene
soluci´on ´unica:
Co ola io 2.6.1. (Teo ema de Schoenbe g-Whi ney). Pa a cualesquie a 1, . . . , n
dados exis e un ´unico spline de la o ma (2.25), es deci , s=Pn
i=1 ciNm
i al que
s( j) = j,pa a odo j∈ {1,2, . . . , n}.
si y s´olo si las abscisas de in e polaci´on sa is acen (2.24).
Los coe icien es de sse de e minan esol iendo el sis ema Mc= , donde Mes la ma iz
del Teo ema 2.6.1., y donde c= (c1, . . . , cn)Ty = ( 1, . . . , n)T.
Mien as que el Teo ema 2.6.1. y el Co ola io 2.6.1. exp esan s(x) en ´e minos de la
base de B-splines no malizados, es ´a cla o que se pueden aplica a una base de B-splines
a bi a ia {Bi}n
i=1, con n=m+K, pa a el espacio de splines S(Pm;M; ∆).
Teo ema 2.6.2. Sea a⩽ 1< 2<· · · < n⩽b. En onces
M 1, . . . , n
B1, . . . , Bn= (Bj( i))n
i,j=1
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
47
es no singula si y s´olo si
i∈¯σi={x:Bi(x)= 0},pa a odo i∈ {1,2, . . . , n}.(2.26)
Donde la ´unica di e encia en e los elemen os Biy los Nm
ies que Bn(b)>0, mien as
que Nm
n(b) puede se ce o si la pa ici´on ex endida que de ine las Bise oma con b=
yn+1 =· · · =yn+m.
Demos aci´on. La p ueba de que Mes no singula cuando (2.26) alla es an´aloga a la
que se hizo en el Teo ema 2.6.1.. La implicaci´on ec´ıp oca en el caso n< b se ep oduce
an´alogamen e. Po o o lado, si n=b, en onces debemos conside a b=yn+1 =· · · =
yn+m. El spline sa is ace, po an o, 0 = s( n) = cnBn( n), po lo que cn= 0. Tomando
de nue o el spline ¯s=Pn−1
i=1 ciBillegamos a con adicci´on como se io en el Teo ema
2.6.1..
Aho a podemos usa el Teo ema 2.6.1. pa a demos a el Teo ema 2.5.4. de la secci´on an-
e io sob e la exis encia de splines con un n´ume o m´aximo de ce os simples. Reco demos
lo que dec´ıa:
Teo ema 2.6.3. Exis e un spline s∈ S(Pm;M; ∆) con
ZS(s) = Z1(s) = m+K−1,
donde Z1es el n´ume o de ce os simples y dis in os.
Demos aci´on. Dados {yi}n+m
i=1 , se a a pode elegi alg´un a⩽ 1< 2<· · · < n⩽b
de modo que se sa is aga la condici´on (2.26). En onces, po la no singula idad de la
ma iz M, podemos esol e el p oblema de in e polaci´on
s( j) =
n
X
i=1
ciBi( j) = (−1)j,pa a odo i∈ {1,2, . . . , n}.
Es ´a cla o en onces que sdebe ene al menos un ce o en e dos j, lo que supone un
o al de n−1 = m+K−1 ce os. Sin emba go, dado que sno es id´en icamen e ce o,
puede ene como m´aximo m+K−1 ce os; concluyendo as´ı, que cada uno de es os ce os
debe se un ce o simple, es deci , que ZS(s) = Z1(s) = m+K−1. Si no hay nudos
de mul iplicidad m, cada uno de es os ce os es un ce o o dina io de la unci´on. Si en
cambio, hay ce os de mul iplicidad m, en onces un ce o en al nudo puede se un ce o
de sal o.
En el Teo ema 2.5.5. se p ob´o que el conjun o de B-splines {Nm
i}n
i=1 gene an un WT-
espacio en R. El siguien e eo ema p opo ciona una p ueba al e na i a a es e hecho, y
adem´as, ambi´en mues a que {Nm
i}n
i=1 es, de hecho, un WT-sis ema.
Teo ema 2.6.4. Pa a cualesquie a 1< 2<· · · < n,
D 1, . . . , n
Nm
1, . . . , Nm
n=de (Nm
j( i))n
i,j=1 ⩾0.
En onces, Des posi i o p ecisamen e cuando se sa is acen las condiciones (2.24).
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
48
Demos aci´on. En el Teo ema 2.6.1. se demos ´o que D= 0 siemp e que no se e-
i ique (2.24). S´olo queda demos a , po an o, que D > 0 pa a odo = ( 1, . . . , n)
en el conjun o T∗={ :a⩽ 1< 2<· · · < n⩽b, adem´as se sa is ace (2.24)}. Po el
Teo ema 2.6.1. sabemos que Dnunca se anula pues o que ∈T∗.
Veamos aho a que D iene el mismo signo en odo T∗. En p ime luga , a i mamos que
pa a odo 1 ⩽i⩽ny odo 1 ⩽j⩽n, el B-spline Bj( i), como unci´on de i, es
una unci´on con inua en i, pues o que pe enece al conjun o σi, de inido en el Teo ema
2.6.1.. De hecho, es ´a cla o que el in e alo (yi, yi+m) no puede con ene ning´un nudo
de mul iplicidad m, po lo que odos los B-splines son con inuos en ien es e conjun o.
Po o o lado, eniendo en cuen a que los B-splines son con inuos po la de echa, son
con inuos en los pun os i↓yi. De es o se deduce que Des una unci´on con inua en
cuando ∈T∗. Como Dnunca se anula, debe ene el mismo signo en odas pa es.
Res a po calcula el signo de D. Sean y
1< y
2<· · · < y
n+m ales que y
i→yicuando
→ ∞, pa a odo i. Sea y
i< i< y
i+1 pa a odo i∈ {1,2, . . . , n}. En onces es cla o
que D >0 ya que en es e caso la ma iz co espondien e que de ine D iene elemen os
diagonales posi i os y, adem´as , odos los ce os po encima de la diagonal. Adem´as, como
→ ∞ del Teo ema 2.2.13. se sigue que D →D.
Un eo ema an´alogo al que acabamos de p oba se hace usando el Teo ema 2.6.3., sa is-
aci´endose pa a las unciones B-splines B1, . . . , Bnen el in e alo [a, b]. En es e caso, el
de e minan e asociado con a⩽ 1< 2<· · · < n⩽bse ´a p ecisamen e posi i o cuando
se cumplan las condiciones (2.25). Lo que signi ica que las unciones de la base B-spline
{Bi}n
i=1 o man un WT-sis ema en [a, b].
Una p opiedad de la ma iz de colocaci´on es la o al posi i idad. Desc ibamos es a p o-
piedad:
Pa a una ma iz dada A= (Aij) , +1
i=1,j=1 de ama˜no ×( + 1) y dadas las secuencias
I= (i1, . . . , i ) y J= (j1, . . . , j +1), ales que
1⩽i1<· · · < ip⩽ y 1 ⩽j1<· · · < jp⩽ + 1,
de inimos un meno asociado de Acomo
Ai1, . . . , ip
j1, . . . , jp= de Aiνjµp p
ν=1,µ=1 .
Una iden idad ´u il de es os de e minan es, y que nos a a pe mi i demos a el p ´oximo
esul ado, a a se la siguien e. Es a se encuen a en el lib o de [[11],pag.8].
A2, . . . , −1, + 1
1, . . . , −1A1, . . . ,
1, . . . , =
=A2, . . . ,
1, . . . , −1A1, . . . , −1, + 1
1, . . . , −A1, . . . , −1
1, . . . , −1A2, . . . , + 1
1, . . . , .
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
49
Si en cambio, la ma iz Aes de ama˜no ( + 1) × , en onces se man iene el mismo
esul ado in e cambiando ilas po columnas.
Decimos que una ma iz Aes o almen e posi i a si, y s´olo si, odos sus de e minan es
meno es (de odos los ´o denes has a m) son no nega i os, es deci , si y s´olo si, pa a odo
1⩽p⩽ ,
Ai1, . . . , ip
j1, . . . , jp⩾0 cuando 1 ⩽i1<· · · < ip⩽ y 1 ⩽j1<· · · < jp⩽ + 1.
Si una ma iz Aes o almen e posi i a, en onces como una ans o maci´on es una a ia-
ci´on dec ecien e, se iene que
S−(Ac)⩽S−(c).
El siguien e esul ado se conoce como Teo ema de Ka lin, es e dice que la ma iz de
colocaci´on es o almen e posi i a. O a mane a al e na i a de o mula lo es la siguien e:
Teo ema 2.6.5. Pa a cualesquie a en e os 1 ⩽ 1< 2<· · · < p⩽ny cualesquie a
pun os 1< 2<· · · < p,
D 1, . . . , p
Nm
1, . . . , Nm
p⩾0
yDes es ic amen e posi i o si y s´olo si
i∈σ i,pa a odo i∈ {1,2, . . . , p},(2.27)
donde {σi}n
i=1 son los conjun os de inidos en el Teo ema 2.6.1.
Demos aci´on. El hecho de que D= 0 cuando no se sa is ace (2.27) se demues a exac-
amen e como se hizo en el Teo ema 2.6.1.. Supongamos aho a que (2.27) se e i ica,
demos emos que D > 0. Pa a ello, de inamos el n´ume o de huecos gen la secuen-
cia 1, . . . , p. Es deci , ges el ca dinal del conjun o { 1, 1+ 1, . . . , p} { 1, . . . , p},
es deci , el n´ume o de elemen os de la base que no cuen o. Pa a ilus a es o, o-
memos como 1, 2, 3, 4los en e os 1,3,4,9, espec i amen e. El n´ume o de huecos
gen es e caso se ´ıa: { 1, 1+ 1, 2, 3, 3+ 1, 3+ 2, 3+ 3, 3+ 4, 4} { 1, 2, 3, 4}
={ 1+ 1, 3+ 1, 3+ 2, 3+ 3, 3+ 4}. En consecuencia, g= 5.
Vamos a p ocede po inducci´on sob e gyp. El esul ado se cumple po el eo ema
an e io pa a g= 0 y pa a odo 1 ⩽p⩽n. Supongamos aho a, po hip´o esis de
inducci´on, que la a i maci´on ha sido es ablecida pa a de e minan es de ama˜no p−1,
y pa a de e minan es de ama˜no pcon g−1 huecos, como m´aximo. P obemos aho a el
esul ado pa a el de e minan e Dcon ghuecos. Dis ingamos es casos posibles:
Supongamos que j/∈σ j+1 pa a alg´un 1 ⩽j⩽p−1. En onces
D=D 1, . . . , j
N 1, . . . , N jD j+1, . . . , p
N j+1 , . . . , N p.
Y cada uno de es os de e minan es es posi i o po la hip´o esis de inducci´on.
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
50
Supongamos aho a que j/∈σ j−1pa a alg´un 2 ⩽j⩽p. En onces
D=D 1, . . . , j−1
N 1, . . . , N j−1D j, . . . , p
N j, . . . , N p
Nue amen e, cada uno de es os de e minan es es posi i o po la hip´o esis de in-
ducci´on.
Supongamos aho a que j∈σ j+1 , pa a alg´un j∈ {1,2, . . . , p −1}, y de o ma
que j∈σ j−1pa a alg´un j∈ {2,3, . . . , p}. Sea iuno de los ´ındices que al an en
1, . . . , p, digamos 1<· · · < l< i < l+1 <· · · < p. En onces po la iden idad
de los de e minan es an e io se iene que
D 1, . . . , l−1, l, l+1, . . . , p−1
N 2, . . . , N l, Ni, N l+1 , . . . , N p−1D 1, . . . , p
N 1, . . . , N p=
=D 1, . . . , p−1
N 2, . . . , N pD 1, . . . , l, l+1, l+2, . . . , p
N 1, . . . , N l, Ni, N l+1 , . . . , N p−1+
+D 1, . . . , p−1
N 1, . . . , N p−1D 1, . . . , l−1, l, l+1, . . . , p
N 2, . . . , N l, Ni, N l+1 , . . . , N p.
El de e minan e deseado es el segundo del lado izquie do, odos los dem´as de e -
minan es o bien son de o den p−1, o bien ienen g−1 espacios, po lo que son
posi i os as aplica les la hip´o esis induc i a. Se concluye po an o que D > 0
en es e caso ambi´en, po lo que el eo ema ha quedado p obado.
En es e eo ema se ha p obado, en pa icula , que el conjun o de B-splines {Nm
i}n
i=1
o man un OCWT-sis ema en R.
O a p opiedad in e esan e sob e la ma iz de colocaci´on es la exis encia de bandas en
o no a la diagonal de es a. Expliquemos es o:
Supongamos que la ma iz del sis ema (2.25), M, es in e ible, po an o enemos que
yi< i< yi+m, pa a odo i∈ {1,2, . . . , n}. La ma iz Mdebe ene menos de mbandas
po encima de la diagonal y menos de mbandas po debajo de es a. Pues como
Nm
i( j)= 0 si y solo si yi< j< i+m
se iene que jun ando las condiciones pa a Nm
j( j)= 0 y Nm
i( j)= 0, implica que
yi< j< yj+meyj< j< yi+m, es deci , |j−i|< k. Lo que equi ale a deci que
Nm
i( j) = 0 si y s´olo si |j−i|⩾0. Es o mues a que la ma iz M iene un ancho de
banda meno que 2m.
Podemos ex ende el Teo ema de Schoenbe g-Whi ney al caso en que la in e polaci´on
po splines es de ipo oscula o ia, es deci , en cada nodo de in e polaci´on iene cabida
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
51
ija los alo es del spline, y de sus de i adas sucesi as has a un cie o o den. Fo mali-
cemos a con inuaci´on es a si uaci´on:
Sean 1⩽ 2⩽· · · ⩽ ny n´ume os eales 1, . . . , n. Se de ine
di= m´ax {j: i=· · · = i−j},pa a odo i∈ {1,2, . . . , n}.(2.28)
Dadas unciones su icien emen e sua es {φi}n
i=1, enemos que encon a un spline s=
Pn
i=1 ciφi, que e i ique
Ddi
+s( i) = i,pa a odo i∈ {1,2, . . . , n}.
Teo ema 2.6.6. Sean Nm
1, . . . , Nm
nB-splines de o den masociados con los nudos y1⩽
· · · ⩽yn+m. Sean adem´as, 1⩽· · · ⩽ n, de o ma que pa a odo i, i< i+m. En onces
D 1, . . . , n
Nm
1, . . . , Nm
n=Ddi
+Nm
j( i)n
i,j=1 ⩾0,
y el de e minan e es es ic amen e posi i o si y s´olo si
i∈σi= (yi, yi+m)∪x:Ddi
+Ni(x)= 0,pa a odo i∈ {1, . . . , n},(2.29)
donde d1, . . . , dnse de inen en (2.28).
Demos aci´on. Teniendo en cuen a el Teo ema 2.2.5. omamos, con enien e, pa a cada
i∈ {1, . . . , n},
σi=
[yi, yi+m),si di⩾m−αi,
(yi, yi+m),en o o caso.
donde
αi= m´ax {j:yi=· · · =yi+j−1},pa a odo i∈ {1, . . . , n}.
El hecho de que el de e minan e Dsea ce o cuando no se e i ica la condici´on (2.29) se
demues a median e el mismo ipo de a gumen o u ilizado en la demos aci´on del Teo-
ema 2.6.1.. Supongamos aho a que se sa is ace la condici´on (2.29) y eamos en onces
que Des dis in o de ce o en es e caso.
Vamos a azona po educci´on al absu do. Po an o, enemos que deben exis i coe i-
cien es c1, . . . , cnno odos nulos ales que el spline s=Pn
i=1 ciNm
isa is ace
Ddi
+d( i) = 0,pa a odo i∈ {1,2, . . . , n}.
Lo que nos a a lle a a una con adicci´on. Sea lelegido de o ma que cles el p ime
coe icien e dis in o de ce o. Y sea
= m´ın {j⩾l:s(x) = 0 en un in e alo con ex emo izquie do en yj+m}.
La independencia lineal de los B-splines implica que c +1 =· · · =c +m−1= 0. Disce na-
mos dos casos dependiendo de si l> ylo l=yl, al igual que hicimos en la p ueba del
Teo ema 2.6.1.:
G ado en Ma em´
a icas Uni e sidad de Valladolid
58
spline lineal. De ah´ı iene el nomb e de spline de ensi´on; ya que en el caso de in e po-
laci´on, cuando se especi ica ( i) = si, g ´a icamen e pa ece como si la cu a a a ´es de
los da os se es echa a a medida que aumen a p.
El es udio se cen a en los splines de ensi´on de o den cua o, ya que las aplicaciones de
es os splines son p incipalmen e ap oximaciones que p ese an la o ma y una soluci´on
num´e ica del p oblema de dos pun os on e a singula . Los splines de ensi´on de o den
supe io se desc iben en algunos a ´ıculos pe o no se da ninguna aplicaci´on. Su aplicaci´on
puede p e e se en un p oblema de ap oximaci´on po unciones con de i ada supe io
posi i a, as´ı como en p oblemas de alo es on e a singula men e pe u bados de g ado
supe io . Los splines de ensi´on de g ado supe io se pueden de ini de la siguien e o ma:
De inici´on 3.1.3. Sea una pa ici´on a= 1< 2<· · · < n=bdel in e alo [a, b] y
un conjun o de pa ´ame os de ensi´on {pi}n
i=1, en onces (x) es un spline de ensi´on de
o den ksi sa is ace la ecuaci´on di e encial
(Dk−p2
iDk−2) = 0 en cada in e alo ( i, i+1).
pa a odo i∈ {1, . . . , n −1}.
En o as palab as, los splines de ensi´on de o den kson unciones cuyas es icciones
al in e alo no ac´ıo ( i, i+1), pe enecen a ⟨1, x, . . . , xk−1⟩, pa a odo pi= 0, o al es-
pacio ⟨epix, e−pix,1, x, . . . , xk−3⟩, en o o caso. Po an o, en el caso k= 4 enemos
que pa a pi>0 cada pieza del in e polan e es una combinaci´on lineal de las unciones
1, x, epx, e−px. Y pa a p= 0, ya hemos dicho que el in e polan e es una c´ubica a ozos.
Como se ha dicho an es, el en oque de Spa h ue que el pa ´ame o de ensi´on a ´ıe de
in e alo a in e alo. Se a a con in e polado es que, en el in e alo [ i, i+1], ienen la
o ma
(x) = Aiu+Bi +Ciφi(u) + Diφi( )
donde
u:= u(x) := (x− i)
i+1 − i
, := 1 −u,
yφies una unci´on en [0,1] con φi(0) = φi(1) = 0, y φ′′
i(0)2=φ′′
i(1)2.
Todos es os en oques u ilizan unciones exponenciales en luga de polinomios, lo que
ocasiona una mayo cos e compu acional. Po ello su ge un nue o m´e odo en el que
se oma los splines c´ubicos como in e polan es. El uco consis e en u iliza una spline
c´ubica con nudos adicionales colocados de modo que el in e polan e pueda hace cu as
ce adas sin que se p oduzcan oscilaciones.
3.1.3. In e polaci´on po splines de ensi´on
En es a subsecci´on se a desc ibi una o ma m´as sis em´a ica de in oduci nudos
adicionales donde sea necesa io.
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
59
Empezamos con un caso especial: Que emos in e pola los da os (0) = 0, ′(0) =
s0, (1) = 0, ′(1) = s1. Po la secci´on an e io , ob enemos que el polinomio es de la
o ma:
(x) = 0 + s0x−s0x2+ (s0+s1)x2(x−1) = s0x+ (−2s0−s1)x2+ (s0+s1)x3
Es e polinomio se ob iene usando la abla de las di e encias di ididas, se iene po an o
que [0,0,1] =−s0y [0,1,1] =s1. En es e caso adem´as, [0,0,1] =δ2y [0,1,1] =δ3.
En consecuencia, un pun o de in lexi´on en (0,1) se ´a ex a˜no si −s0s1>0, o lo que es
lo mismo, si s0s1<0.
Calculemos aho a la segunda de i ada de
′(x) = s0−2(2s0+s1)x+ 3(s0+s1)x2,
′′(x) = −2(2s0+s1) + 6(s0+s1)x.
E aluando es a en 0 y en 1 enemos
′′(0) = −2(2s0+s1) y ′′(1) = 2(s0+ 2s1).
Po an o, no iene pun os de in lexi´on ex a˜nos en (0,1) si y s´olo si (2s0+s1) (s0+ 2s1)⩽
0. Es a condici´on se puede eesc ibi como (2 (s0−s1)+3s1) ((s0−s1)+3s1)⩽0. Si
di idimos po (s0−s1)2y omamos z:= s1
s1−s0, enemos
(2 −3z)(1 −3z)⩽0.
Po an o, el in e polan e c´ubico se end ´a cuando
1
3⩽z:= s1
s1−s0
⩽2
3.
Pa a los alo es de zque no cumplen es as desigualdades, cambia emos la unci´on de
in e polaci´on. Conside emos en p ime luga el caso z > 2/3. Tomamos un spline c´ubico
φque sa is ace que φ(0) = φ′(0) = φ′′(0) = 0, φ(1) = 1, y φ′′ ⩾0 en [0,1], en luga de
la unci´on x3(base de los polinomios de o den 4). La unci´on φ iene de e minada po
φ(x) = φ(x;z) := αx3+ (1 −α)x−ζ
1−ζ3
+
(3.2)
siendo ζ=ζ(z) un nudo adicional y α=α(z) un n´ume o en [0,1]. Conside amos que
an o ζcomo αson unciones mon´o onas con inuas de z, con ζ(1−) = 1 y con α(2/3) = 1,
pa a as´ı uni se con inuamen e con la c´ubica habi ual cuando z= 2/3.
En ´e minos de la nue a base, el in e polan e se esc ibe como
(x) = Ax +B(1 −x) + Cφ(x;z) + D(1 −x)3
donde
−A=C=s0+ 2s1
3(2p−1) y−B=D=−((3p−1)s0+s1)
3(2p−1)
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60
siendo
p=φ′(1; z)
3=α+(1 −α)
1−ζ.
Calculamos la segunda de i ada de
′(x) = A−B+Cφ′(x, z)+3D(1 −x)2,
′′(x) = Cφ′′(x, z)+6D(1 −x)=6Cαx + (1 −α)(x−ζ)+
(1 −ζ)3+ 6D(1 −x) =
= 6 Cαx + (1 −α)(x−ζ)+
(1 −ζ)3+D(1 −x)
que se ob iene al de i a dos eces la unci´on φen (3.2). El signo de ′′ depende ´a del
signo de los coe icien es CyD. Po an o, no iene pun os de in lexi´on ex a˜nos en
(0,1) si y solo si
((3p−1)s0+s1) (s0+ 2s1)⩽0.
Reesc ibiendo es o como (3ps0+ (s1−s0)) ((s0−s1)+3s1)⩽0, si di idimos po (s0−
s1)2, adem´as eniendo en cuen a que z=s1
s1−s0, ob enemos
(3p−1−3pz) (1 −3z)⩽0
pues 1 −z=−s0
s1−s0, y en onces 3p(1 −z) = −3ps0
s1−s0.
Como es amos en el caso z > 2/3, se iene que 1 −3z < 0, si ue a posi i o en a ´ıamos
en con adicci´on. En consecuencia, (3p−1−3pz)⩾0, po an o, z⩽3p−1
3p. O lo que es
lo mismo,
3p⩾1
1−z.
Aho a bien, como p=α+1−α
(1−ζ), en onces si despejamos α enemos α=1−p(1−ζ)
ζ. Y
usando la aco aci´on an e io , enemos
α⩽1
ζ1−1−ζ
3(1 −z).
Eligiendo el mayo alo de α, ob enemos la ´o mula
α(z) = 1
ζ1−1−ζ
3(1 −z).
Comp obemos que α(2/3) = 1:
α(2/3) = 1
ζ1−1−ζ
3(1 −2/3)=1
ζζ= 1.
Se ob iene es e alo independien emen e del alo de ζ. Es o mues a que necesi amos
que se e i ique la desigualdad 3(1 −z)⩾1−ζpa a asegu a se de que α⩾0. Es a
T abajo Fin de G ado Manuel Manzana es Ba aj´
on
61
condici´on se cumple pa a la opci´on 1 −ζ( ) = γ(1 −z) si γ⩽3.
El caso z < 1/3 es an´alogo, aho a se abaja ´ıa con la unci´on φ(1 −x; 1 −z) que
eemplaza aho a a la unci´on (1 −x)3, y se de e mina igual que en el caso de z > 2/3.
Podemos combina de o ma con enien e es os casos en uno conside ando que la ap o-
ximaci´on es de la o ma
(x) = Ax +B(1 −x) + Cφ(x;z) + Dφ(1 −x; 1 −z)
con
φ(x;z) := αx3+ (1 −α)x−ζ
1−ζ3
+
α(z) := 1
ζ1−γ
3yζ(z) := 1 −γm´ın {1−z, 1/3},
pa a γ∈[0,3]. A medida que aumen amos γ, los alo es αyζdisminuyen pa a z ijo.
El caso m´as gene al de in e polaci´on omando los da os
(0) = 0, ′(0) = s0, (1) = 1, ′(1) = s1
se educe al caso ya es udiado es ando la ec a 0+ ( 1− 0)x. Cambia las can idades
s0ys1po s0−( 1− 0) y s1−( 1− 0), espec i amen e. A´un m´as gene almen e, si
conside amos la in e polaci´on de los da os ( j) = j, ′( j) = sj, pa a j∈ {i, i + 1}.
En onces en luga de ene s0ys1 enemos si−[ i, i+1] ysi+1 −[ i, i+1] .
Haciendo uso de es as conside aciones en la cons ucci´on de un spline c´ubico de en-
si´on pa a los da os ( i, g( i))n
i=1, eligiendo la base en cada in e alo [ i, i+1] de la o ma
an e io . Es o signi ica que el in e polan e iene la o ma
Ai+Biu+Ciφ(u;z) + Diφ(1 −u; 1 −z) en [ i, i+1],
con u(x) := (x− i)
i+1− i. Se iene que
zi:=
δi+1
(δi+1+δi),si δi+1δi⩾0, δi+1 +δi= 0,
1/2,en o o caso.
donde
δj:= [ j, j+1] −[ j−1, j] pa a odo j.
Es ablecemos que z= 1/2, si i= 1 o si i=n−1.
No emos que la elecci´on de zconcue da con el alo de zque en´ıamos an e io men-
e, z=s1
s1−s0, pues
z=δ3
δ2+δ3
=[1,1] −[0,1]
([1,1] −[0,1] + [0,1] −[0,0] )=[0,1,1]
[0,1,1] + [0,0,1] =s1
s1−s0
.
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62
La elecci´on de zian e io p oduce que el in e polan e sea discon inuo en unci´on de los
da os. Es o signi ica que un peque˜no cambio en los da os que p oduzca un cambio de
signo de alg´un δiδi+1 puede cambia el in e polan e. Po es a az´on, zise esc ibe como
zi:=
|δi+1|
|δi+1|+|δi|,si |δi+1|+|δi|>0,
1/2,en o o caso.
De es a mane a eliminamos la exis encia de posibles discon inuidades.
En unci´on de jy ′′
j, pa a j∈ {i, i + 1}, los coe icien es del in e polan e ienen de e -
minados po
Ai= i−Di, Bi=h[ i, i+1] −(Ci−Di)
Ci=h2 ′′
i+1
φ′′(1; z), Di=h2 ′′
i
φ′′(1; 1 −z)(∗∗)
con h= i+1 − i. De i ando dos eces (3.2) y e aluando en x= 1 enemos que φ′′(1; z) =
6hα+1−α
(1−ζ)2i. Po an o,
1
φ′′(1; z)=1
6
(1 −ζ)2
α(1 −ζ)2+ (1 −α).
Que emos aho a de e mina el ec o ( ′′
i)n
i=1 de o ma que el in e polan e esul an e
enga dos de i adas con inuas. Po an o, en cada nodo ise debe cumpli la igualdad
′( −
i) = ′( +
i). Desa ollemos es o:
Como (x) = Ai+Biu(x) + Ciφ(u(x); z) + Diφ(1 −u(x); 1 −z) en [ i, i+1], con u(x) =
x− i
i+1− i. En onces
′(x) = 1
i+1 − i
Bi+Ciφ′(u(x); z) + Diφ′(1 −u(x); 1 −z).(3.3)
En consecuencia,
[ i, i+1] −∆i ′′
i+1
φ′′(1; zi)− ′′
i
φ′′(1; 1 −zi)+ ∆i
′′
i
φ′′(1; 1 −zi)φ′(1; zi−1) =
= [ i, i] −∆i−1 ′′
i
φ′′(1; zi−1)− ′′
i−1
φ′′(1; 1 −zi−1)+ ∆i−1
′′
i
φ′′(1; 1 −zi−1)φ′(1; zi−1)
Donde ∆i= i+1 − iy ∆i−1= i− i−1. Ope ando con enien emen e llegamos a que
∆i−1
φ′′(1; 1 −zi−1) ′′
i−1+∆i−1
φ′(1; zi−1)−1
φ′′(1; 1 −zi−1)+ ∆i
φ′(1; 1 −zi)−1
φ′′(1; 1 −zi) ′′
i+∆i
φ′′(1; zi) ′′
i+1 =δi,
(3.4)
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on
63
pa a odo i∈ {2, . . . , n −1}.
Donde
φ′(1; z)−1
φ′′(1; z)=1
6
(1 −ζ)2
α(1 −ζ)2+ (1 −α)3α+ 31−α
1−ζ−1=1−ζ
6
(3α−1)(1 −ζ) + 3(1 −α)
α(1 −ζ)2+ (1 −α).
Si no se in odujesen nudos adicionales; omamos po an o α= 1 en onces (3.4) se
educe a
∆i−1
6 ′′
i−1+∆i−1
3+∆i
3 ′′
i+∆i
6 ′′
i+1 =δi.
Que coincide con la ecuaci´on del in e polan e c´ubico is o en (3.4).
No emos que se necesi an dos ecuaciones m´as pa a ob ene un sis ema de necuacio-
nes con ninc´ogni as ( ′′
i)n
i=1. Pa a comple a oma ´ıamos alguna de las condiciones
on e a is as en la secci´on p e ia. Conside amos en es e caso la condici´on de no nudo.
Reco damos que es a condici´on eque ´ıa que ′′′ ue a con inua en 2y en n−1. Po an o:
′′′( +
2)− ′′′( −
2) = 0
y
′′′( +
n−1)− ′′′( −
n−1)=0,
donde g(a+) ep esen a el l´ımi e po la de echa de la unci´on e aluado en ayg(a−)
ep esen a el l´ımi e po la izquie da de la unci´on e aluado en a. Es deci ,
g(a+) := l´ım
h→0+ g(a+h) y g(a−) := l´ım
h→0−g(a+h).
Po la de inici´on de (x) y ′(x) is a en (3.3) y usando los coe icien es is os en (∗∗)
enemos que ′′′(x) iene dada po
′′′(x) = Ciφ′′′(u(x); z) + Diφ′′′(1 −u(x); 1 −z) =
=h2 ′′
i+1
φ′′(1; z)φ′′′(u(x); z) + h2 ′′
i
φ′′(1; 1 −z)φ′′′(1 −u(x); 1 −z),
siendo h= i+1 − i. E aluando en x= +
2y en x= −
2llegamos a que:
( ′′
2− ′′
1)
2− 1
=1
3− 2φ′′′(0; z2)
φ′′(1; z2) ′′
3−φ′′′(1; 1 −z2)
φ′′(1; 1 −z2) ′′
2.
An´alogamen e, se hace pa a comp oba la con inuidad de ′′′ en N−1.
No emos que
φ′′(1; z)
φ′′′(1; z)= (1 −ζ)α(1 −ζ)2+ (1 −α)
α(1 −ζ)3+ (1 −α),
po lo que enemos p oblemas si z2= 0. Po es a az´on, amos a esc ibi la ecuaci´on
on e a de la o ma:
φ′′(1; 1 −z2)
φ′′′(1; 1 −z2)( 3− 2)( ′′
2− ′′
1) = φ′′(1; 1 −z2)
φ′′′(1; 1 −z2)
φ′′′(0; z2)
φ′′(1; z2) ′′
3− ′′
2( 2− 1).
An´alogamen e, con la ecuaci´on de la con inuidad de ′′′ en n−1.
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64
3.2. P opiedad a iacional del spline c´ubico in e po-
la o io
Los in e polado es splines c´ubicos minimizan el ama˜no de las oscilaciones de un-
ciones de in e polaci´on sua es.
El in e polan e spline na u al es un spline c´ubico con nudos simples en {xi}n
i=1 con
x1<· · · < xn, que sa is ace las condiciones on e a
′′(x1) = ′′(xn) = 0.
y oma alo es p esc i os en las abcisas xi, pa a odo i∈ {1, . . . , n}.
En e odas los in e polan es dos eces con inuamen e di e enciables con alo es p esc i-
os en los nudos {xi}n
i=1, minimiza la in eg al
Zxn
x1
( ′′(x))2dx,
que si e como medida de las oscilaciones de .
Veamos en p ime luga , la exis encia de un in e polado spline c´ubico con las condi-
ciones on e a na u ales. En is a de la linealidad de las condiciones de in e polaci´on y
dado que la dimensi´on del espacio spline coincide con el n´ume o de da os, es su icien e
con demos a que si
(x1) = · · · = (xn)=0,y ′′(x1) = ′′(xn) = 0
implica que se anula id´en icamen e. Pa a ello apliquemos dos eces el eo ema de Rolle
y concluimos que exis en n−2 ce os de ′′, sean es os y1, . . . , yn−2de ′′ con
xi< yi< xi+2.
Adem´as, ′′ se anula en x1=y0yxn=yn−1. Como
′′(x) =
n
X
i=1
ciN2
i(x)
con nudos ξ0< ξ1=x1<· · · < xn=ξn< ξn+1, y pues o que los pun os yisa is acen las
condiciones del Teo ema de Schoenbe g-Whi ney, ξi< yi< ξi+2, ob enemos que ′′ = 0.
Y se anula id´en icamen e haciendo uso de las condiciones.
Pa a p oba la minimalidad del spline c´ubico in e pola o io na u al, , sea gcualquie
unci´on dos eces con inuamen e di e enciable que in e pole los mismos da os, es deci ,
que se e i ique
g(xi) = (xi) pa a odo i∈ {1, . . . , n}.
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on
65
En e dad, aqu´ı los nudos uncionan como nodos de in e polaci´on.
Pa a , g ∈C2[x1, xn], enemos en onces
Zxn
x1
|g′′(x)|2dx =Zxn
x1
|(g′′(x)− ′′(x)) + ′′(x)|2dx =
=Zxn
x1
|g′′(x)− ′′(x)|2dx +Zxn
x1
| ′′(x)|2dx + 2 Zxn
x1
(g′′(x)− ′′(x)) ′′(x)dx.
Si demos amos que la ´ul ima in eg al se anula, es a iden idad implica la a i maci´on que
deseamos p oba . Como ′′ es de i able en casi odo pun o, en onces podemos calcula
es a in eg al usando el m´e odo de in eg aci´on po pa es en cada subin e alo, y se
ob iene as´ı
Zxn
x1
(g′′(x)− ′′(x)) ′′(x)dx =
n−1
X
i=1 Zxi+1
xi
(g′′(x)− ′′(x)) ′′(x)dx =
=
n−1
X
i=1 ′′(x)(g′(x)− ′(x))|xi+1
xi−Zxi+1
xi
′′′(x)(g′(x)− ′(x))dx=
=−
n−1
X
i=1
ciZxi+1
xi
(g′(x)− ′(x))dx.
Donde en la ´ul ima igualdad se ha usado el hecho de que es un spline c´ubico na u al,
es deci , las condiones ′′(x1) = ′′(xn) = 0. Adem´as, cideno a el alo de la e ce a
de i ada cons an e a ozos del spline c´ubico en (xi, xi+1). Finalmen e, se sigue que
Zxi+1
xi
(g′(x)− ′(x))dx = [g(x)− (x)]xi+1
xi= 0,
pues ygin e polan los mismos pun os.
Teniendo en cuen a lo que acabamos de e , p oba emos las siguien es p opiedades de
ipo ex emal pa a los splines c´ubicos:
Sea [a, b] un in e alo eal, y sea una pa ici´on del mismo a=x1<· · · < xn=b.
Teo ema 3.2.1. Supongamos que gin e pola los alo es yi=g(xi) en los nodos xi, pa a
odo i∈ {1, . . . , n}, adem´as, es el spline c´ubico na u al que in e pola dichos da os.
En onces, se iene que Zb
a
(g′′(x))2dx ⩾Zb
a
( ′′(x))2dx,
y la igualdad se e i ica si y s´olo si (x) = g(x), pa a odo x∈[a, b].
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66
Demos aci´on. Po lo que acabamos de e , al se el in e polan e c´ubico na u al,
enemos que
Zb
a
′′′(x)(g(x)′− ′(x))dx =
n−1
X
i=1 Zxi+1
xi
′′′(x)(g′(x)− ′(x))dx =
=
n−1
X
i=1
ciZxi+1
xi
(g′(x)− ′(x))dx =
n−1
X
i=1
ci[g′(x)− ′(x)]xi+1
xi= 0,
donde cideno a el alo de la e ce a de i ada cons an e a ozos del spline c´ubico en
(xi, xi+1). Po an o, Rb
a ′′(x)(g′′(x)− ′′(x))dx = 0, y enemos
Zb
a
((g′′(x)− ′′(x)) + ′′(x))2dx =Zb
a
(g′′(x)− ′′(x))2dx +Zb
a
( ′′(x))2dx,
Po la mono on´ıa de la in eg al, Rb
a(g′′(x)− ′′(x))2dx ⩾0, de lo que se deduce
Zb
a
(g′′(x)− ′′(x) + ′′(x))2dx =Zb
a
(g′′(x))2dx ⩾Zb
a
( ′′(x))2dx.
De la con inuidad de ′′ yg′′ se deduce que la igualdad s´olo se da si g′′ − ′′ = 0, es deci ,
si y s´olo si, g′′(x) = ′′(x), pa a odo x∈[a, b], po lo que ygdi ie en ´unicamen e en
un polinomio de g ado uno. Como coinciden en al menos dos nodos, es e polinomio se
anula en, al menos, dos pun os y, po consiguien e es id´en icamen e nulo. En de ini i a
Zb
a
(g′′(x))2dx =Zb
a
( ′′(x))2dx ⇔ (x) = g(x),pa a odo x∈[a, b],
lo que concluye la demos aci´on.
Teo ema 3.2.2. Supongamos que gin e pola los da os yi=g(xi) en los nodos xi, pa a
odo i∈ {1, . . . , n}, y adem´as se iene la siguien e condici´on sob e la de i ada en los
ex emos: ′(a) = g′(a) y ′(b) = g′(b). Sea ¯
el spline c´ubico asociado a los mismos
da os. En onces se iene que
Zb
a
(g′′(x))2dx ⩾Zb
a
(¯
′′(x))2dx,
y la igualdad se da si y s´olo si g(x) = ¯
(x) pa a odo x∈[a, b].
Demos aci´on. La demos aci´on es an´aloga a la del eo ema p eceden e, eniendo en
cuen a que la condici´on ′′(a) = ′′(b) = 0 se debe sus i ui po ′(a) = g′(a) y ′(b) =
g′(b).
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on
67
Sean aho a uun spline c´ubico cualquie a con nodos en x1, . . . , xn, donde x1=ayxn=b,
y sea huna unci´on de clase C2([a, b]). Sean g=h−uy =¯
−u, donde ¯
es el spline
c´ubico que in e pola a h.
No emos que (xi) = g(xi), pa a odo i∈ {1, . . . , n}y, adem´as, se iene ambi´en que
′(a) = g′(a) y ′(b) = g′(b). Aplicando el eo ema an e io , se ob iene que
Zb
a
(h′′(x)−u′′(x))2dx ⩾Zb
a
(h′′(x)−¯
′′(x))2dx,
cumpli´endose la igualdad si y s´olo si u(x) = ¯
(x) + α+β(x).
La desigualdad an e io se puede in e p e a como que, si medimos la dis ancia en-
e hy cualquie spline c´ubico umedian e la exp esi´on Rb
a(h′′(x)−u′′(x))2dx, en onces
es a dis ancia se minimiza cuando u(x) = ¯
(x) y pa a odas sus aslaciones median e
polinomios de g ado uno. Po an o, podemos deci que ¯
es la mejo ap oximaci´on de
hen es e sen ido.
A con inuaci´on eamos alg´un esul ado en elaci´on con el e o de in e polaci´on.
Sea [a, b] un in e alo ce ado eal y a=x1<· · · < xn=buna pa ici´on del mis-
mo. Sea
h= m´ax
1⩽j⩽N−1{xj+1 −xj}.
Y sean ∈C2([a, b]) y uel spline c´ubico na u al que in e pola a en los nodos de la
pa ici´on conside ada. En onces el e o de in e polaci´on
e(x) = (x)−u(x),pa a odo x∈[a, b],
e i ica, pa a cada in e alo [xj, xj+1], que e(xj) = e(xj+1) = 0; aplicando el eo ema
de Rolle, se iene que exis e al menos un alo cj∈[xj, xj+1] al que e′(cj) = 0. En
consecuencia,
Zx
cj
e′′( )d =e′(x)−e′(cj) = e′(x),pa a odo x∈[xj, xj+1].
Po la desigualdad de Cauchy-Schwa z, se iene que
|e′(x)|2=Zx
cj
e′′( )·1d ⩽Zx
cj
e′′( )d Zx
cj
12d ⩽Zx
cj
e′′( )d |x−cj|⩽hZx
cj
e′′( )d .
Aplicando la p opiedad ex emal que e i ica u, condici´on de spline c´ubico na u al, se
e i ica que
Zx
c
e′′( )2d ⩽Zb
a
e′′(x)2dx =Zb
a
( ′′(x)−u′′(x))2dx =Zb
a
( ′′(x))2dx −Zb
a
(u′′(x))2dx.
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