Impulsive transfers between lissajous libration point orbits
Abstract
A complete methodology for the transfer between two Lissajous orbits around the same collinear equilibrium point is developed making use of the geometry of the phase space around these points. The result of the study gives both strategies to change the amplitudes of the Lissajous orbit and simple procedures to avoid the exclusion zone in an optimal way. The presentation is centered on the linear problem which provides good initial guesses for orbits of small amplitude, likethe requirements for the mission FIRST/Planck of the European Space Agency (ESA), where part of the results of this paper were used for the mission design.
Full text
!"# $%$&% ' () ) & *+ , - (.(/ +0 '-() 1 !"&23 4) !"#$% & # '&#( + - 0 0 5 6 0 7 7 0 8 9)
&) - - ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ! &)) / ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) % &))& - - - ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) % &)& /7 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 2 &)&) / 7 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) $ &)&)& - - 7 - ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) $ &)3 : - ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) $ 3) 5 ) *- ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) & 3)) ( 7 7 - ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 3))& ( ; 5 6 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 1 3)& 7 - ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) & ! " # ")$) - 9 7 ; 5 6 <- 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) &" ")$)& - 9 7 ; 5 6 <- 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) &1 ")$)3 0 - - ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) &# $ " % &' (
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Æ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
$)% $)! $)" $)& $ $)& $)" $)! $)% )1 $)1 $$)1 )1 Æ , H ) "*% * 7 - ; 7 = 7 - - - - 7 - 7 - - - 7 - & ) I- - - 0 < - ) I 0 - 7 - J3 $"$"&332%"""#! $ 7 - (K-L B5 - "$3) I - - 7 7 - -< - - >8 - 8) *- 7 - 8 0- - 7 - - 0 ) *- 8 - - 0 - 7 - - 8 - - - - ) - 7 7 - 7 $ $ - 7 $ $) *- : ; 7 - 7 7 ?&3@ M & N J O M L& N J O M J O <- O J L L ½ L ¾ L - 7 - 7 - ) J L L J L L L ) < =< - - +*' - > ;0 ) *- 7 - - P 8 0- < ) *- - 0 5 5 5 )*- < =< 5 5 - J $ 7 ; <- - , ) ,< ?&$@ < - ; 7 0 - - -< - - < 7 - ;0 - 0 ; ) *- 7 5 - 0 - ; ; ?&3@ 3 L3 & & J$ J & L&L LL& & J$ J3 / - ;0 - 7 - - 7 <- 0 J L L J J & <- - 5 - < 5 J L 7 5 J 7 5 J 7 5 )
- < 7 - 7 7 - 9 ; M & N L & J $ M L& N L J $ M L J $ 3 <- <- - ?2@ - H J L 7 5 5 J L L 7 5 Q 7 - 3 -9 0 - - =< E F - =< E7 F <- : ) *- 0 0 - - 0 8 <-- - A - 7 - +*' ; - 0 - 0 0 <- 8 J L L L J R L R J L " <- 0 R H J & L 2 % & J J & & J &L 2 % & R J LL& & ( - 7 < - 7< 0< 6 N N N - > 7 N N J R R R R N J 1 - < - > 7 " 7 N N N H J ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ N N ! J N # <- J R J L R ) , = - 7 - - - J L L L J L R L J L % <- - J J J J )
I - - J J $ < 0 - - <- 7 : ) *- - 5 6 0 - 9 -0 0 0 - 8 7 ) *- > - 0 0 7 7 - 5 6 0) , - J $ J$ > 0 7) 0 0 7 - < 7< - 5 6 0 > 0 - - " < ) 7 - <- J$ J$ 0 <0=< ) *- - > 0 7) 7 - 7 < < 0 7< - - < ; - J$) ! - ; R N L N J R - 7 - 7 < - 8 7 7 - 7 0 N N 7 <-- ) 5 < - < 6 7 - J $ 7 5 6 0) 7 <<= - 7 7 D N DN 0 7 - 7 - ; - R DN L DN J$ - - - J $ - - ¾ ½ - D N DN J ½ ¾ <- Ê ) *- 8 < 0 ;7 D N DN J L R R Ê 2 < - 9 7 - ) - 0< - 7 - - - 0 7 > D 7 0 < < 5 6 0 7 : 9 > 0 < 0) ( - <- - - 7 ) , ")$)3 <<<-- - < 0 0 <-- 0 - 0 7 - 7 ) *- < -< 0 - 9 7 - 5 6 0 0< - - <) 5 - < 7 D N DN ) *- )) - 0 < - 7 ´ µ > ´ µ 0 ´ µ J ´ µ L ´ µ J L N LDN N LDN L L N LDN N LDN <- N - 0 N 7 N ) *- - 6 0 7 7 - )
7 0 0 <-- - 8 7 - ´ µ ´ µ 7 N N < 0 ´ µ J ´ µ L D N L D N & D N L& N D N & D N L& N D N I - - 8 - - 7 D N DN ) 5 < - - <- - 5 6 0) - 7 <- J ´ µ L J R ´ µ L N J ´ µ L N J R ´ µ L $ 0 - 8 7 <- J ) ( 6 0 7 - <- N J N J R ´ µ J L ¾ ) - 7 - - ¾ L ¾ J ½ ½ J 7 0 < 0 ´ µ J DN R L DN <-- - > - - <- D N DN - 5 6 0) I--<- ; - - ) 5 < - - 7 7 7 5 6 0 - <- : - 7 -) *- - - - 0 7 7 - > 5 6 0 7 - <- 0) *- < ´ µ = J$) *- < <-- ; 7 - - 0 - 8 ") *- - < < - - > 0 <- ) , - <- - D N DN - 7 - 7 2) *- 7 - > <- ´ µ J L & L R R L R L ´ µ <- ´ µ J ¾ L - 0 ) - > - 7 - R ) *- J ¾ ¾ ¾ ¾ ) *- > - 7 J ´ µ L - 8 7 - > ´ µ 0 ´ µ J & L ´ µ *- - 7 - 7 - - 0 - ; ; & ´ µ ´ µ J L ´ µ ´ µ ) - > 7 <- J ´ µ L ´ µ ´ µ L & , - 8 < 0 - 7 ´ µ ´ µ - 7 0 )
´ µ ´ µ - 7 0 <- - 8 - ; ) <- L Æ L Æ <- Æ J ´ µ ´ µ ) / - ´ µ < - < 0 0 - < - <- - ) ( -< - - D 8 - - 0 ) < 2 - - 7 ) ( -<- - 0 <- -) - 0 - ) )) # * # 5 - ´ µ J ´ µ )5 = 7 - 7 < - 7 - <- > L J L L J L 0 - & 3 - <- - L - ; <- - 5 6 0 - L J$) - - 7 8 7 - D J J ´ µ ´ µ 0 ) )) " * 7 < 8 <- - 7 ´ µ J ´ µ L ´ µ ´ µ J ´ µ L ´ µ <-- < - < 6)' - 7 - ´ µ ´ µ < 0 : - 0 7 - - 0 : -) 5 - < 7 D N DN ) - ; ! - > ´ µ ´ µ 7 N N <- N J N LDN 7 N )) - 6 7 - ) I 0 ´ µ J ´ µ DN DN ´ µ J ´ µ L DN DN - - D N DN - 2 - > 7 - 7 0 ´ µ J ´ µ ´ µ J ´ µ L " <- 7 - <- - 5 6 0 - ´ µ 0 : - - 7 0 &) * # # # 7 - - - - <- - ) *- < 0 7 7 - 7 - - 8 9) 5 - < 7 - 5 6 0 J ´ µ L J R ´ µ L <- - 7 - J ´ µ L J R ´ µ L <- ´ µ J ´ µ - < 0 6 0 - 0) I< = <- ) ´ µ ´ µ ´ µ ´ µ ´ µ ´ µ ´ µ ´ µ
- & - 0 J& L J& 1 < " - 7 - ´ µ J ´ µ J < - < 7 - ´ µ J & L ´ µ J L& L 7 - <- ´ µ J & L ´ µ J & L ! - 8 <- - ´ µ J ´ µ J < - - 0 < - - J & ; J & L & # 5 - 7 ) # < - 7 - 7 - D 7 D N - - - > ´ µ J ´ µ DN ´ µ J ´ µ L DN % 7 0 <-- 1 < - 7< 8 7 - ´ µ J ´ µ L ´ µ J ´ µ L & N D N L D N ' % - - 6 0 7 - N J ´ µ L ´ µ J D N & DN ´ µ L L ´ µ 2 I - ; % 2 ; " 7 - ) - 7 7 < 0DN - 7 < 9) *- - 7 - 7 7< <- <- 7 - ) I 9 - ) *- 7 7 - ; D & < DN J ´ µ L ´ µ ´ µ L &$ - - 7< ) 7 ´ µ ´ µ - 7 0 ) ´ µ ´ µ - 7 0 7 - 8 - ; ) <- L ! L ! <- ! J ´ µ ´ µ )
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -150 -100 -50 0 50 100 150 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -150 -100 -50 0 50 100 150 -150 -100 -50 0 50 100 150 -150 -100 -50 0 50 100 150 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -150 -100 -50 0 50 100 150 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -150 -100 -50 0 50 100 150 -150 -100 -50 0 50 100 150 -150 -100 -50 0 50 100 150 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 , #H & 2 7 :8>555 7 95555 * 7 :65555 "7:;555 2 :? 6 ;
-150 -100 -50 0 50 100 150 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -150 -100 -50 0 50 100 150 -150 -100 -50 0 50 100 150 -150 -100 -50 0 50 100 150 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -150 -100 -50 0 50 100 150 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -150 -100 -50 0 50 100 150 -150 -100 -50 0 50 100 150 -150 -100 -50 0 50 100 150 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -60 -40 -20 0 20 40 60 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -60 -40 -20 0 20 40 60 -60 -40 -20 0 20 40 60 -60 -40 -20 0 20 40 60 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 , %H & 2 7 :65555 7 95555 * 7 @5555 "7:;555 2 :? 6 ;
0.9 0.95 1 1.05 1.1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 cost z/ cost xy R/A (%) Costs ratio around L1 0.9 0.95 1 1.05 1.1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 cost z/ cost xy R/A (%) Costs ratio around L2 , 2H " '( '( +. U WJ % . *I J & . , * % % & & ##)&1 %$)31 32)1# 3%)$!3 )#3# )2# !%)#&# #&)2#& #3)21 ##)&$ 33)#%1 3&)211 )2%1 &)1# !#)$12 #)$## #$)!! #3)2" &2)2 &%)#%" &)&33 &)32! !1)%" !%)2#% !#)3& #$)!1 &1)"31 &1)&21 &)"% &)!3! !3)$% !!)!%$ !3)2& !#)3 &&)&2 &&)3&& &)#&2 &)%#! !$)%3% !")2 !$)1$ !3)2& 2)!$% 2)#"! &)2## 3)1 1%)3#2 !)1# 1#)$$ !$)"1 #)&%& #)"%! 3)&&1 3)311 11)#" 1%)!!! 13)"! 1!)22 1)&3% 1)"%$ 3)"#3 3)121 1&)23& 11)!"# "2)2$ 13)"1 3)"&1 3)!%" 3)#&& 3)%3" "2)21% 1&)"!# "!)3$ "2)%2 )#2# &)$! 3)2#$ ")$#" "!)%3 "2)3! "&)!1 "!)&% $)3&# $)1%! ")&% ")33 "3)1!$ "1)!!1 32)$$ "&)!" %)22 2)&3% ")"!! ")113 "$)1" "&)$! 31)3$ 3%)2! #)#!2 #)222 ")#" ")#23 3!)!&" 3%)33# 3)1" 31)&1 !)!"! !)%1! ")2!& 1)$3& 3&)2%& 3")1$& &#)%$ 3)13 1)! 1)#2% 1)&$ 1)&#& &2)&3% 3$)1!2 &")$1 &#)#1 ")!1" ")%! 1)"1% 1)1& &1)"$3 &!)1"# &$)&$ &")$$ 3)#!! 3)2$3 1)#$! 1)#1 &)"2 &&)"1$ !)" &$)1 &)2" 3)$1& 1)211 1)22 #)1& %)&%# &)!$ !)"$ &)#3 &)&1% !)&$& !)&3 3)"#2 ")$#& %)%$ &)11 )"1% )1# !)"1 !)"#$ 2)"$1 2)%! 1)$$ %)## $)#2 $)%&" !)!22 !)#$ 1)3$ 1)133 &)%$ ")23 $)#$ $)## !)2"# !)2"2 &)3!3 )&33 *0 &H # 3&,& <A7 ,& 1<7 !
+. U WJ % . *I J & . , * % % & & "%)13 1&)% &)!%% &)2!! 3)##% 3)%%2 "#)232 1$)"&% "")% "%)1& )$22 )3#! ")$3$ ")3& "")#3& "#)$$2 ")$ "")%$ 2)!!" 2)23 ")&%& ")3#1 ")3%$ "3)""2 3#)3$ ")$1 %)31% %)!$2 ")13" ")!% 3#)%2" 32)#1% 33)1$ 3#)&% #)!" #)32" ")#%! ")%! 3")&%! 31)2"# &2)!1 33)"1 !)$!# !)&#" 1)$3# 1)$" 3$)1!! 3&)$&# &1)%$ &2)!" 1)$1! 1)&!$ 1)&%2 1)3"# &!)#"# &%)$& &&)$$ &1)#1 ")&& ")&#! 1)1" 1)12 &&)%"& &3)2$1 %)$& &)2$ 3)&1! 3)3%$ 1)#23 1)%3" %)%!& 2)## ")1 %)$$ &)"1& &)11 !)$"1 !)$## ")%& 1)1$" $)&$ ")$ )#$" )##! !)&2# !)3&$ $)#33 )&&" !)3$ $)1 )$$2 )$13 !)1"2 !)1!3 !)!$ !)2$ &)%$ !)&! $)3!& $)3#2 !)%$ !)%$! &)"!1 &)1## *0 3H # 3&,& # 6 15 20 25 30 35 40 45 50 100 150 200 250 300 Average cost/year in m/s Amplitude (x 1000) km, square Lissajous 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 50 100 150 200 250 Average cost/year in m/s Amplitude (x 1000) km, square Lissajous , $H 3&,& $ ) 7 95555 " 7 :;555
10 20 30 40 50 60 70 100 150 200 250 300 days Amplitude (x 1000) km xy-maneuvers z-maneuvers 10 20 30 40 50 60 70 0 50 100 150 200 250 xy-maneuvers z-maneuvers , H 3&,& 2 7 95555 " 7 :;555 7 - - 7 - - 0 - 7 - ) ( 7 7 8 < - < 0 - 7 - - - < ) I - - - 0 ; 5 6) ,- 7 J ' - 0< 0 < X ' &! <- X ?$ 22 $"@ 8 ) 7 7 8 ' - < 9) *- 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 L1,Ay=200.000km,Az=100.000 km,xy-maneuvers -100 -50 0 50 100 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 L1, Ay=200.000km,Az=100.000km, xy-maneuvers , &H &%% 2 3&,& 2 ! 75 8 7 655555 1 2 6 - ; ) *- 7 - <- 7 - - 0 - - - - <- - ) 7 < - - < 7 - 0 - Æ - 0 - - < <- 7 - < - . - <- < 0 7 - 5 6 0 ;)
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aneuver times before collision at 6.3 (years) next collision time maneuver cost (x10 m/s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 6.3 Suitable maneuver times for the mission (years) next collision time maneuver cost (x10 m/s) best maneuver times , 3H 2 " < ) :5 ( 7 - - 0 ) , 0 A - = A< 7 6 5 <- >8 ?$@ ?#@) - - - 0 - H & 3) 3 8H - 7 - 7 - 5 6 0 7< <- = 7) & ) *- 0 = - 0 0 - 8 9 - <= - 5 6 0 - - ) , - 7 - 6 - 9 < - F=F > 7) *- - - - 7 - <-- - 5 6 - F VF 7 )) D JD )
<- -- <-- - - 7 7) - - 7 - - -6 0 -) A< 7 - >8 - 0 ) = A< - < - =< 7 - D 0 - < 7 9 - D 8 < ) 0 - - - )*- < - 9 - T6 <-- -7 - 0 < < - 7 - 6 - )*- <- - 6 7 - > " 6 0 7 - 8 9) *- 7 - < - 5 6 ;5 6) A< 7 - <0= 7 - - ; 7 7 - [ 8 " - - 0 ) - - - - 7 = - 7 - " 3 . <- 0 # 2 . <- 8 %% 0 - 0 5 0 5 ) I - - 6 < - T - - - 0 - 9 7 - 8 9) - <- - 7 - 5/I 0 & 3 < - <- - 0 - !$U 5/I - 7 - 7 - - 8) *- <- - - <- - 0 7 - ) I- - 8 9 - &.3 7 - 5 6 0 Æ 6 - 8 9 - ) C- - A< = 0 - = 0 7 7 <- <- 8 - 7 - 0 - - 0 7 - 5/I ) & 3< 8 7 - - - ½ J$ 3#3" ¾ J$ 3!"%$ <- - - - 7 =) - <&$ & - ; 8 7 - - 7 ½ J$ "$&3 ¾ J$ 321&3 ( 7 <- 7 ; 5 6 ; 5 6 J J 8 7 - 0 < ½ J$ ##&1# ¾ J$ #!$$3 - < 7 < ) *- 3 - <- - 6 - - - S J L SJ L - 7 & - <- - 6 - - T J T J ) ( - : < <-- 0 ( < - 0 7 - 7 - 7 ) *- ) J ) ) L ) <- ) - 7 7 ) 0 ) - 0 7 - 7 7 ; 5 6 - - 7 - 0 0 7 - 7 - ) - 7 0 - 0 7 < > 0 ( - - ) ) ) - - 7 ( < 0 * ( J $$ ) ) ) /0 - 8 7 - - - 7 - 7 0< S J L SJ L TJ TJ ) ( - 0 7 * ( - 8 ½ * ( J&2 &3!"& U 8 ¾ * ( J&2 &3&!! U
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Y (x 1000) km X (x 1000) km A=157.000km, L1, z-strategy -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Y (x 1000) km X (x 1000) km A=157.000km, L1, cycle to cycle z-strategy -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Z (x1000) km X (x1000) km A=157.000 km, L1, z-strategy -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Z (x 1000) km X (x 1000) km A=157.000km, L1, cycle to cycle z-strategy -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Z (x 1000) km Y (x 1000) km A=157.000 km, L1, z-strategy -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Z (x 1000) km Y (x 1000) km A=157.000km, L1, cycle to cycle z-strategy 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 A=157.000km, L1, z-strategy A B B O 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 A=157.000km, L1, cycle to cycle z-strategy D O A B C , "H & %B &%% 7 :8>555 7 95555 4 3 2 ' ( + * . .2 &%% ) 1 ) " 3&,& 2 & < * 4 !
*- 0 - - 7 0 - 8 9 -) *- - 0 - - 0 - < - 8 9 7 - - -0 - = - 6 6 <-- - 7 - - 7 <-- 5/I --) ( <- - 5 6 0 - <- 7 : - < - - ) 5 9 - 0 - 7< ) !)-) . ' + , #/ # << & 2 7 - = 7 7 - - 7 - <--< 7 - 7 - 9 7 - > 5 6) - - 0 7 - S T <- - 7 - <- - - ) % 25. 3 13 0 % of improvement using a combined maneuver for a 100% enlargement of a 120,000km Lissajous around L1 0123456 0 1 2 3 4 5 6 % 25. 3 13 0 Detail of a 100% enlargement of a 120,000km Lissajous around L1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 % 29. 2 15 0 % of improvement using a combined maneuver for a 100% enlargement of a 70,000km Lissajous around L2 0123456 0 1 2 3 4 5 6 % 29. 2 15 0 Detail of a 100% enlargement of a 70,000km Lissajous around L2 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 , 1H ' ( '- . ( " ) C :65555 6;5555 4 >5555 :;5555 4 ) 2 22 8 > 1 -< <-- - : - <- 8 0 7 $$U 7 &$$$$ = ; 5 6 5 )I- 9 - 8 9 <--< - - <- - =- 7 < ) *- 0 - 7 7 - 7 5 < -
> <- < 7 7 #$$$$ = "$$$$ = ; 5 6 7 $$U ) C - - - - 0 < - -9 <-- - 7 - ) 8 7 - > 7 - 7 - > !) /- < - <- - 8 9 - 0 9) *- 8 U 7 3$U <-- > ) 0 5 10 15 20 25 30 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 % of improvement Radial distance to the optimal point in the EPP 0 5 10 15 20 25 30 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 % of improvement Radial distance to the optimal point in the EPP 0 5 10 15 20 25 30 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 % of improvement Radial distance to the optimal point in the EPP Psi=Pi/2 Phi=3Pi/2+beta , !H %) 2 22 - 1 . :65555 6;5555 !)-) 0 . ' + , #/ # *- 7 - 7 - 5 6 0 6 ) & 2 7 - 0 ) *- 7 7 - : -) 7 - - : - S T 7 <-- 0 0 - - 7 T S &# <-- 8 - - 6 - 6 7 <- <- - 0 - ; ) *- 7 ; > < < -9 <- < > - 0 : - <- 7 - 7 ) *- < < - 5 6 9 - - - - - < < > #) - > < 0 - - < 7 <- - 8 9) *- 7 - 0 7 - < < - - 8 9 -) *- 8 ++ > - 8 7 7 7 : - 0 - ; &#) - &"" S T J $$ 8 T S > % 0 - 5 5 ) < 0 7 - 9 - <-- - - 8 9) ( - < 0 8 0 -< > 2) A< - - 0 : - 7 0 0 ) 0 - 7 - : - <- 0 - 8 9)