Estadística Matemàtica 2

EST EM2 ....____ RA D'ESTADf STICA , ESTADISTICA ' MATEMATICA 2 Guadalupe Gómez Melis • UNIVERSITAT POLIITCNICA DE CATALUNYA "- Biblioteca 11 1111 1 lllll lllll lllll lllll lllll lllll lllll lllll ll/1111111111 1400185293 FACULTAT DE MATEMA TIQl it:5 I ESTADISTICA DIPLOMATURA D'ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA 2 Professora responsable: Guadalupe Gómez Melis PROGRAMA l. Distribucions associades a la distribució Normal 1.1 La distribució mostral d'un estadístic. 1.2 La distribució x2. 1.3 Distribució conjunta de la mitjana mostral i de la varian~a mostral. 1.4 La distribució t. Aplicació a un problema de regressió. 1.5 La distribució t descentrada. 1.6 La distribució F. 2. Estimació 2. l El metode deis moments. El concepte de consistencia. 2.2 El metode de la maxima versemblan~a. Invariancia i consistencia. 2.3 El concepte de suficiencia. Teorema de factorització. 2.4 Famílies exponencials. 2.5 Estimadors U.M.V. U. Teorema de Rao-Blackwell. Teorema de Lehmann-Scheffé. 2.6 La informació de Fisher, el concepte d'eficiencia i la cota de Cramer-Rao. 2. 7 Propietats asimptotiques deis estimadors de maxima versemblan~a. 3. Proves d'hipOtesis 3.1 Introducció. Conceptes basics en la teoría de les proves d'hipotesis. 3.2 Proves d'hipotesis optimes. El lema de Neyman-Pearson. 3.3 Proves d'hipotesis U.M.P.La prova de la raó de versemblan~a. 3.4 Selecció de la millor prova d'hipotesis. Proves sense biaix. 3.5 Prova de la raó de versemblan~a generalitzada. La prova de la t de Student. 3.6 La prova de la F. 3. 7 Comparació de dues mostres independents. La prova de la t per dues mostres. 4. Proves per a la validesa d'un model 4.1 La prova de la raó de versemblan~a per a distribucions multinomials. 4.2 La prova de x2. Model de Poisson pe! decaiment radioactiu. 4.3 Prova de Kolmogorov-Smirnov. 4.4 Papers i grafics de probabilitat. Feb 94 Lupe Gómez Programa 1 5. Metodes no parametrics 5.1 La prova deis signes 5.2 La prova deis rangs signats de Wilcoxon. 5.3 La prova deis rangs de Wilcoxon, Mann i Whitney. 6. Introducció a la teoría de la decisió i a !'inferencia Bayesiana. 6.1 Lleis de Bayes i Minimax. 6.2 Analisi per a trobar una llei de Bayes. 6.3 Estimadors admissibles. 6.4 Inferencia Bayesiana per a una distribuc ió normal. 6 .5 Inferencia Bayesiana per a una distribució binomial. BIBLIOGRAFIA • e.Cuadras "Problemas de Probabilidades y Estadística. Volum 2". Promociones y Publicaciones Universitarias, 1990. • M.H. DeGroot "Probability and Statistics". Addison-Wesley, 1989. • Hoel, Port i Stone "Introduction to Statistical Theory" Houghton Mifllin Co ., 1971. • R.V. Hogg i A.T. Craig "Introduction to Mathematical Statistics". Macmillan Publishing Co., Inc, 1978. • lvchenko, Medvedev, Chistyakov "Problems in Mathemati cal Statistics". MIR Publishers, 1991. • Kalbfleisch, J.G." Probability and Statistical lnference. Volum 2" Springer-Verlag, 1985. • Lee, P.M. "Bayesian Statistics: An lntroduction". Edward Arnold, 1989. • D. Peña "Estadística. Modelos y métodos l. Fundamentos". Alianza Universidad Textos, 1989. • J .A. Rice "Mathematical Statistics and Data Analysis". Wadsworth e Brooks/Cole, 1988. Feb 94 Lupe Gómez Programa 2 l. l. l. La 1. 2. 1. 3. 1. 4 1. 5 La Ce--~ 1. 6 La ~- EXER CICIS· 1.1 Si gui ,-¡; -la - ;_ 1.2 Demostre_ ~-"' 1.3 1.4 1.6 basa nt-, ·os ~ Suposeu -~.:.~ · estirndar C, a) per a ca.:.=.;: b) pera :a.::=. c) per a =::.=. - 17 Suposeu c.-~ _ ;::; F ;. D efi= Feb 94 Pub licaciones Unit nJbli shing Co., Inc, ::l!Shers, 1991. ~ 198 5. e Text os , 1989. -e 19 88. Programa 2 l. DISTRIBUCIONS ASSOCIADES A LA DISTRIBUCIÓ NORMAL 1.1. La distribució mostral d'un estadístic. 1.2. La distribució x2• 1.3. Distribució conjunta de la mitjama mostral i de la variancia mostral. 1.4 La distribució t. Aplicació a un problema de regressió. 1.5 La distribució t descentrada. 1.6 La distribució F. EXERCICIS: 1.1 Sigui X la mitjana d'una mostra de 16 v.a. independents i normals (0,1). Determineu c tal que Prob(I x I< e) = o.5 1.2 Demostreu que si la v.a. Tes distribueix comuna t amb n g.11, aleshores T2 segueix una Fi,n· 1.3 Demostreu que si la v.a. X es distribueix comuna Fn,m aleshores x- 1 segueix una Fm,n· 1.4 Demostreu que si les v .a. X i Y són independents i exponencials amb A = 1, aleshores f segueix una llei F. Identifiqueu els graus de llibertat. 1.5 Useu la distribució chi quadrat per a calcular 52 Prob(a < u2 < b) , basant-vos en una mostra de grandaria 18. Calculeu per a a = 0.51 i b = 1.62. 1.6 Suposeu que hem de prendre una mostrad 'una distribució normal amb mitjana µ desconeguda i desviació estandar 2. Calculeu la grandaria de la mostra necessaria per tal que a) Eµ(I Xn -µ 1 2) '.Ó O 1 per a cada possible valor de µ. b) Eµ( I Xn -µ 1) '.Ó 0.1 per a cada possible valor de µ. e) Probµ(I Xn -µ l'.Ó 0.1)?: 0.95 per a cada possible valor de µ. 1.7 Suposeu que l es v.a. X1, ... , Xn són independents i que a cada una d'elles li correspón una distribució F;. Definim Y= -2¿1ogF;(X;) i =l Feb 94 Lupe Gómez Tema l. 1 --------------------- Demostreu que Y segueix una distribució x2 amb 2n g.11. 1.8 Suposeu que les v.a. X1, X2, X3 són i.i.d., cada una d'elles N(O,l). Definim les següents v.a. Y1 = 0.8X1 + 0.6X2 Y2 = /2(0.3X 1 -0.4X2 -0.5X3) Y3 = /2(0 3X1 -0.4X2 + 0.5X3) Trobeu la llei conjunta de Y1, Y2, Y3. 1.9 Si les v .a. X 1 i X 2 són independents i N (µ, a2 ), próveu que les v .a. X 1 +X 2 i X 1 -X 2 són independents. 1.10 Siguin X1 i X2 v.a. independents i N(O,a 2 ). Calculeu 1.11 Suposem que X 1,. . , X0 formen una mostra aleatoria d'una distribució normal de mitjana µ i variimcia a2. Trobeu la distribució de n(Xn - µ) 2 1.12 Suposem que X1, .. . ,X 6 formen una mostra aleatoria d'una distribució normal estandar. Sigui Determineu un valor c tal que la v.a cY segueixi una distribució x2. 1.13 Suposem que X1, ... , X 16 formen una mostra aleatoria d'una distribució normal de mitjana µ i variancia a2. Calculeu les següents probabilitats: a) 2 n Prob[~ :::; ~ L(X; -µ) 2 :::; 2a 2] i=l b) 1.14 Suposem que X1, ... , X 17 formen una mostra aleatoria d'una distribució normal de mitjana µ i variancia a2, ambdues desconegudes. Siguin Xn i 52 la mitjana i la variancia mostrals. Trobeu el valor de k tal que Prob(Xn > µ + kS) = 0.95 1.15 Suposem que una v.a. X segueix una distribució F amb 1 i 8 graus de llibertat. Useu la taula de la distribució t per a determinar el valor de e tal que Prob(X > e) = 0.3. 1.16 Suposem que una v.a. X segueix una distribució F amb mi n graus de llibertat (n > 2). Demostreu que E(X) = 0 ~ 2 . Indicació: Trobeu el valor de E(t) , a on Z ~X~· 1.17 Suposem que una v.a. X segueix una distribució F amb mi m graus de llibertat. Calculen la mediana de X. 1.18 Siguin U¡ i U2 dues variables aleatories independents distribuldes segons lleis gamma de parametres ( a1, /3) i ( a2, /3), respectivament. Demostreu: a) La variable aleatoria U= u,~u, segueix una llei beta de parametres (a 1, a2 ). b) U és independent de U¡+ U2. 1.19 Suposem que una v.a. X segueix una distribució F amb mi n graus de llibertat. Demostreu que la v.a. Y = m~~n segueix una distribució Beta amb parametres a = m/2 i f3 = n/2. Feb 94 Lupe Gómez Tema l. 2 2. EST L\L\.CI C 2 .1 e==--- 2.5 u- -- - 2 .6 La --- 2.1 P:-~ _ EXER CICE 2.1 2.2 a) T b) T, d) Tr c. : _ Feb 94 ~Y . a . ~n independents. ~::i.:1a µ i variitncia ;::.a: Si gui . _,¡:?..Daµ i variancia a µ i variancia .-::. el valor de k tal la taula de la > 2). Demostreu a..rnleu la mediana =a de parametres -:re u que la v.a. Tema l. 2 2. ESTIMACIÓ 2.1 El metode deis moments. El concepte de consistencia. 2.2 El metode de la mii.xima versemblan~a . Invariimcia i consistencia. 2.3 El concepte de suficiencia. Teorema de factorització. 2.4 Famílies exponencials. 2.5 Estimadors U.M.V.U. Teorema de Rao-Blackwell. Teorema de Lehmann-Scheffé. 2.6 La informació de Fisher, el concepte d'eficiencia i la cota de Cramer-Rao. 2.7 Propietats asimptotiques deis estimadors de mii.xima versemblan~a. EXERCICIS: 2.1 Suposeu que X segueix una distribució geometrica de parametre p. Prenem una mostra de grandaria n 2.2 2.3 d'aquesta distribució. a) Trobeu !'estimador de p pe! metode deis moments. b) Trobeu !'estimador de p pe! meto de de la maxima versemblan~a . c) Calculeu la variancia asimptotica de !'estimador de maxima versemblan~a. Suposeu que X segueix una distribució de Rayleigh ( cas particular de la Weibull) de parametre ()_ Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. a) Trobeu ['estimador de () pel métode deis moments . b) Trobeu ['estimador de() pel metode de la maxima versemblan~a. c) Calculeu la variancia asimptotica de !'estimador de mii.xima versemblan~a. Suposeu que X segueix una distribució uniforme [ O, 8]. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. a) Trobeu !'estimador de () pel metode deis moments, així com la seva mitjana i variancia . b) Trobeu !'estimador de() pe! metode de la maxima versemblan~a. c) Trobeu la funció de densitat de !'estimador de maxima versemblan~a, i calculeu la seva mitjana i la seva variancia. Compareu la variancia, el biaix i !'error quadratic mitja amb l'obtingut pe! metode deis moments. d) Trobeu una modificació de ['estimador de mii.xima versemblan~a que el faci no esbiaixat. 2.4 Suposeu que X segueix una distribució exponencial de mitjana T . Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. a) Trobeu !'estimador de T pel metode deis moments . Anomeneu-lo T¡. b) Trobeu !'estimador de T pel metode de la maxima versemblan~a . Anomeneu -lo f-2 . c) Calculeu la seva variancia. És 1- 2 eficient? d) Calculeu la distribució asimptotica de 1- 2. e) Doneu la forma d'un interval de confiarn;a exacta per a T. 2.5 Suposeu que X segueix una distribució exponencial amb taxa de falla.\. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. Feb 94 Lupe Gómez Tema 2. 3 a) Trobeu !'estimador de A pe! metode deis moments. Anomen eu-lo ~1 · b) Trobeu !'estimador de A pe! metode de la maxima versemblan,a. Anomeneu-lo ~ 2 . c) Demostreu que ~ 2 és no esbiaixat i calculeu la seva variancia. d) Trobeu la tita de Cramer-Rao i compareu-la ambla variancia trabada a c). e) Doneu la forma d 'un interval de confi an,a aproximat per a A. f) Doneu la forma d'un interval de confian,a per a A. 2.6 Suposeu que X segueix una distribució lognormal de parametres µ i u2. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. a) Trobeu els estimadors de µ i u2 pe! metode deis moments. b) Trobeu els estimadors de µ i u2 pel metode de la mii.xima versemblan,a. c) Calculeu la matriu de variances asimptotiques deis estimadors de maxima versemblan,a trobats a l'apartat b). 2.7 Suposeu que X segueix una distribució de Weibull pa rame tres a i b. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució. a) Trobeu els estimadors de a i b pel metode de la mii.xima versemblan,a. b) Calculeu la matriu de variances asimptotiques deis estimadors de maxima versemblan'a trobats a l'apartat a). 2.8 Si les frequencies genetiques estan en equilibri, els genotipus AA, Aa i aa acorren amb probabilitats (1 - 0) 2, 20(1 - O) i 02. Plato i al.(1964) publicaren les seguents dades sobre el tipus d'haptoglobina en una mostra de 190 persones. ti pus frequencia Hpl-1 10 Hpl-2 68 Hp2-2 112 Trobeu !'estimador de mii.xima versemblan,a de O i la seva variancia asimptotica. Doneu un interval de confian,a aproximat al 99% per a e. 2.9 L'estimador de maxima versemblan,a no és únic. Suposeu que X segueix una distribució uniforme [ B, O+ l]. Prenem una mostra de grandaria n d 'aquesta distribució. Demostreu que !'estimador de O obtingut pel metode de la mii.xima versemblan,a no queda unívocament especificat. 2.10 L'estimador de maxima versemblan,a no sempre existeix Considerem una v.a. X que pot provenir d'una distribució N(O, 1) amb probabilitat 0.5 i d'una distribució N(µ, u2 ), amb µ i u2 desconeguts, amb probabilitat 0.5 . Demostreu que no existeix !'est im ador de mii.xima versemblan,a. 2.11 Sigui X1, ... , Xn una mostra d'una població amb distribució subjacent governada per un parametre O. Estant interessats en l'estimació d'una funció q(B) es propasa un estimador T(X ¡, ... , Xn)· Demostreu que per n gran, i sota les hipot esis que siguin necessaries per la correcta aplicació del Teorema del Límit Central, E{IT(X1 , ... , Xn) - q(O)I} = ..)2j;jR(B , T) a on R(O, T) = E{(T(X1, ... , Xn) -q(0))2 }. 2.12 Sigui X una v.a. normal de mitjana O i de variancia l. Definim Ta ,b(X) = aX + b per a i b nombres reals qualsevols. a) Calculeu !'error quadratic mig, R(B, Ta,b), de Ta,b· b) Co mpareu R(B, To s,o) amb R(O, T1,0 ). Quina conclusió treieu? Feb 94 Lupe Gómez Tema 2. 4 e) E xisteL\'.: a! 5 - ~- d) Pr oveu que X 2 2.13 Conside eu e. Sigui Y la a mi tjan,a nt a) Feu sen estima doL b) Com pa reu !a :... - calcul eu !'efe~ 2.14 Sigui x1 •• x_ Suposant ql.!e ;. = 2.15 Sigui X1 ,. que la dism _ 2. 16 Sigui X1 ,. un estadíst ic ~ :. 2.17 Useu el teore112 =-~: 2.18 Useu el L=re.m3 :.= • 2 .19 Demo streu q = .a _, 2.20 Siguin T1 i T: :'.::>!! un es tim ado: :::.- -- - Demostreu qtce ::;: 2 .21 Sigui X una ,. a -- a) Calculeu ! a b) Calculeu la 2. 22 Sigui x1, .... x~ ___.. mostreu que .. \·.., ~ ~ 2.23 Sigui X1 ,. _,_._ a) Cerqueu -.z. ;,,- b) Calculeu .':: -:- c) Calculeu : ~ _ - 2.24 Sup osem que'= - u (u> O) des=:.=-=--- a) Trobeu = ;::,- - b) Calculeu .a ;.. • Feb 94 ~lo 5.2. ::. ....::a most ra de grandaria -- ""'-"Sem bla nc;a trabats a a mostra de grandaria .-ersembl anc;a trobats a :: 0 :0.-ren am b probabilitats "1 ;i ?us d'haptoglobina en ::.aca. Do neu un interval de n :.e grandaria n d' aquesta = versemblanc;a no queda :::bahilitat 0.5 i d'una dis- ,-e :;.o exi ste ix !'estimador de =:-=arl a per un parametre O. :=-- X:.- .. , X n)· Demostreu -- ...,.;. del Teorema del Límit = ::X + b per a i b nombres Tema 2. 4 c) Existeix algun estimador de la forma aX + b que sigui millor que X per O? d) Praveu que X és l'únic estimador no esbiaxat de O de la forma aX + b. 2.13 Considereu el següent metode per a estimar el parametre ,\ d'una distribució de Poisson. Observem que Po = Prob(X = O) = e-• Sigui Y la v .a. que representa el número de zeros d 'una mostra de grandaria n. Podem estimar .\ mitjanc;ant ,\= -lag(!::_) n a) Feu servir el metode delta per a obtenir expressions aproximades per a la variancia i el biaix d'aquest estimador. b) Compareu la variancia d'aquest estimador ambla variancia de !'estimador de maxima versemblanc;a, i calculeu !'eficiencia relativa pera diferents valors de.\. Indicació: Y~ Bin(n,po). 2.14 Sigui Xi, ... , Xn una mostra d'una distribució normal amb mitjana desconeguda O i variancia u2. Suposant que O f= O, determineu la distribució asimptotica de X~. 2.15 Sigui Xi, ... , Xn una mostra d'una distribució de Poisson de mitjana .\, i sigui T = E7=i X¡. Demostreu que la distribució de Xi , ... , Xn donat Tés independent de .\, i concluiu que T és suficient per a .\. Demostreu que X1 no és suficient. 2.16 Sigui Xi, .. . , Xn una mostra d'una distribució geometrica, i sigui T = ¿:7= 1 X;. Demostreu que T és un estadístic suficient. 2.17 Useu el teorema de factorització pera trabar un estadístic suficient pera la distribució exponencial. 2.18 Useu el teorema de factorització per a trabar un estadístic suficient per a la distribució de Rayleigh. 2 .19 Demostreu que la distribució gamma pertany a la família exponencial. 2.20 Siguin Ti i T2 dos estadístics suficients pera O, i suposeu que T2 = g(Ti) per alguna funció g. Sigui U un estimador no esbiaixat de O, i sigui Demostreu que Var(Vi):::; Var(Vi). Vi =E(U 1 T1) Vi =E(Vi 1 T2) 2. 21 Sigui X una v.a. normal de mitjana O i amb desviació estandar u (u> O) desconeguda. a) Calculeu la informació de Fisher I(u) continguda en X. b) Calculeu la informació de Fisher I(u 2) continguda en X. 2.22 Sigui Xi, ... , Xn una mostra aleatoria d'una distribució de Poisson de parametre ,\ desconegut. Demostreu que Xn és el U.M.V.U. de.\. 2.23 Sigui Xi, ... , Xn una mostra aleatoria d'una distribució que té per funció de densitat: f(x;O)=Ox 0-1, O<x<l, 0>0. a) Cerqueu un estadístic suficient T(X 1, ... ,Xn)· b) Calculeu E(T) i Var(T). Indicació: Feu servir el fet de pertanyer a la família exponencial. c) Calculeu I(O) i demostreu que Tés el U.M.V.U. de 1/0. 2.24 Suposem que fem una única observació X d'una distribució normal de mitjana O i amb desviació estandar u (u> O) desconeguda. a) Trobeu un estimador no esbiaixat per a u. b) Calculeu la variancia d'aquest estimador. Feb 94 Lupe Gómez Tema 2. 5 e) Demostreu que aquesta variancia és superior a 1/ I(<1) per cada valor O"> O. 2. 25 igui .\ 1, ... , Xn una mostra aleatoria d'una distribució de Bernoul!i de parametre p desconegut. Dem treu que Xn és un estimador eficient de p. Feb 94 Lupe Gómez Tema 2. 6 3. 3.2 Pr o'"' 3.3 Prono' 3.4 3.5 3.7 Compa.: EXERCICIS: 3.1 Suposeu que ,:; ;::.. realitzar la =' ;::. _ Ha: p = O. HA :p # 0.2. 3.2 Suposeu que s- .::,_ ~ d'items defeaa a) e) 3.3 Suposeu que es;::.:~ que voleu r Ha: 8 S 3 HA : 8 2'. 4 Doneu un es 3 i :d Feb 94 ~ r~ J :!. ~-~ ~· b asa.ria ~ ~ ésa d1 .r 1 - ~ · ::cme trica , -~ ::=: any 1970. ::=..:::"'-:-rmeme nt? Tema 4. 12 4.4 Consideren una prova d'ajustament per a una distribució multinomial amb dues classes. Denotem el número d'observacions a cada classe per X1 i X2 i les probabilitats de cada classe per p1 i p2. L'estadístic x2 de Pearson ve donat per Demostreu que i que sota H o : P1 = p~, Q ~ XI. 2 Q = L (X; -np;)2 i=l np;. (X1 -np1)2 Q = np¡(l - P1) 4.5 Al 1965, un diari va publicar una historia sobre un estudiant que afirmava que havia llen\at una moneda 17950 vegades i que havia ohtingut 9207 cares i 8743 creus. a) Representa aquest resultat una discrepancia important sobre la hipotesi H0 : p = 0.5? b) Un estadístic es va posar en contacte amb el! i li va preguntar que com havia fet l'experiment. L'estudiant per estalviar-se temps havia fet grups de 5 monedes i havia registrat els següents resultats: número cares freqüencia o 100 1 524 2 1080 3 1126 4 655 5 105 Són aquestes dades consistents amb l 'hipotesi que les monedes eren equilibrades? c) Són aquestes dades consistents amb l'hipotesi que les 5 monedes tenien la mateixa probabilitat de cares encara que aquesta no fos necessariament 0.5? 4.6 En una mostra aleatoria de 1800 valors d'una distribució uniforme a l'interval (O, 1), es va trabar que 391 valors estaven entre O i 0.2; 490 valors entre 0.2 i 0.5; 580 valors entre 0.5 i O 8; i 339 valors entre 0.8 i l. Contrasten l'hipotesi nulla H0: La mostra prové d'una U(O, 1), mitjan\ant una prava d'ajustament de x2 amb probabilitat d'un error de tipus 1 igual a 0.01. 4.7 La distribució de les al\ades deis homes d'una gran ciutat se suposa que es distribueix normalment amb mitjana 173 cm. i desviació estandar 2.54 cm. Vam agafar una mostra de 500 homes d'aquesta ciutat i vam obtenir la següent distribució: 18 homes mesura ven menys de 168 cm.; 177 homes mesura ven entre 168 cm i 171cm.;198 homes mesuraven entre 171 cm i 174 cm.; 102 homes mesuraven entre 174 cm i 178 cm.; 5 homes mesuraven més de 178 cm. a) Penseu que aquesta mostra és representativa dels homes que viuen en aquesta ciutat en el que fa referencia a l'al,ada?. b) Abans d'haver agrupat en intervals aquestes al,ades es va trabar que la mitjana d'aquests 500 homes era Xn = 171. 7 cm i la varian\a mostral n'.'.. 1 S2 = 2.54cm 2. Tornen a contestar la pregunta de l'apartat a) fent servir ara la nova informació. Feb 94 Lupe Gómez Tema 4. 13 4.8 La següent taula dóna 50 valors. Feu servir la prova de Kolmogorov-Smirnov per a contrastar que: a) Les 50 dades són una mostra d'una distribució normal de mitjana 26 i de varian,a 4. b) Les 50 dades són una mostra d'una distribució normal de mitjana 24 i de varian,a 4. 25.088 26 615 25.468 27.453 23.845 25.996 26.516 28.240 25.980 30.432 26.560 25.844 26.964 23.382 25.282 24.432 23.593 24.644 26.849 26.801 26.303 23.016 27.378 25 351 23.601 24.317 29.778 29.585 22.147 28.352 29.263 27.924 21.579 25.320 28.129 28.478 23.896 26.020 23.750 24.904 24.078 27.228 27.433 23.341 28.923 24.466 25.153 25.893 26.796 24.743 Mostra 1, Dades exercici 4.8 4.9 Se seleccionen 25 observacions (Mostra 1) a l' atzar de la població 1 amb distribució desconeguda F. També seleccionem 20 observacions (Mostra 2) de la població 2 amb funció de distribució desconeguda G. Feu servir la prova de Kolmogorov-Smirnov per a contrastar que: a) Les dues poblacions tenen la mateixa distribució. b) Si X denota la v.a. que representa la població 1 i Y la v.a. que representa la població 2, feu la prova d'hipotesi que les funcions de distribució de X+ 2 i de Y són identiques. e) Ambla mateixa notació que a l' apartat b) feu la prova d'hipotesi que les funcions de distribució de X i de 3Y són identiques. 061 0.29 0.06 0.59 -1.73 -0.74 0.51 -0.56 -0.39 1.64 0.05 -0.06 0.64 -0.82 0.31 1.77 1.09 -1.28 2.36 1.31 1.05 -0.32 -0.40 1.06 -2.47 Mostra 1, Exercici 4.9 2.20 1.66 1.38 0.20 0.36 0.00 0.96 1.56 0.44 1.50 -0.30 o 66 2.31 3.29 -O 27 -O 37 o 38 o 70 0.52 -071 Mostra 2, Exercici 4.9 Feb 94 Lupe Gómez Tema 4. 14 4.10 4.11 a) F a! ;e. .:: d'=a '2 "" b) Ca!: -- .&..• c) Feu _::.a e - d) Feu -~ ~~ e) Es con s 1::'.'=.~ co ns is teu ~ , 6 .2 , 9.0 :" - -~ Weibull ¡:= , . a) un ;ia;:~ - b) el r:::1;s.::.~ amb¿::» ., Feb 94 ~"' ;:;s;;ibució de Te ma 4. 14 4. 10 Les duracions en hores de 37 components han sigut les següents: 10 15 20 22 32 40 42 46 48 51 60 71 76 87 93 105 112 116 127 131 172 195 207 219 238 260 300 342 382 435 460 490 520 600 630 670 770 a) Feu servir un paper de probabilitat semilogarítmic per a veure si aquestes duracions són una mostra d'una llei exponencial de parametre (). Calculen amb l 'ajuda del grafic el valor del param etre (). b) Calculeu ara el valor del parametre () mitjanc;ant el meto de de la maxima versemblanc;a. e) Feu una prova x2 prenent com a valor de () el trobat a l ' apartat b). d) Feu la prava de la raó de versemblanc;a generalitzada per a decidir si la mostra prové d'una llei exponencial. e) Discutiu les diferencies entre c) id) i raoneu quina de les dues proves és més adequada. 4.11 Es consideren els cicles de funcionament de 15 relés electrics observats fins a fallar, on el criteri de falla consisteix en superar un determinat nivel! de resistencia al contacte. Els temps de falla observats són: 6.2, 9.0, 10.2, 12.l, 12 .6, 14.4, 14.7, 16.1, 18 . 6, 20.5, 20.6, 23.0, 26 .7, 27 .6 34.4. Ajusten un model de Weibull per aquestes dades mitjanc;ant a) un paper de probabi li tat b) el metode de la maxima versemblanc;a (i l'ajut del paquet estadístic que preferiu). Calculeu en ambdós casos els parametres a i {3. Feb 94 Lupe Gómez Tema 4. 15 5. METODES NO PARAMETRICS 5.1 La prava dels signes 5.2 La prava dels rangs signats de Wilcoxon 5.3 La prava de Wilcoxon-Mann-Whitney EXERCICIS: 5.1 Un estudies realitza amb l'objectiu de comparar coixinets fets de dos tipus (tipus I i tipus JI). Es proven 10 coi.xinets de cada tipus. La següent taula dóna els temps fins que fallen (les unitats són milions de cicles): tipus I tipus II 3 03 3.19 5.53 4.26 5. 60 4.47 9 30 4 53 9 92 4.67 12.51 4.69 12.95 12.78 15.21 6.79 16.04 9.37 16.84 12.75 Es tracta de plantejar la hipotesi que no hi ha diferencia entre els dos tipus de coixinets i mirar si la podem rebutjar fent servir: a) La teoria basada en la suposició que la vida de ls coixinets segueix una distribució normal, b) Una prava noparamétrica. Quin deis dos metodes és millar? 5.2 Trobeu la distribució nulla exacte de l'estadístic dels rangs signats de Wilcoxon quan n=4. 5.3 Es pretén comparar un metode microbiologic (Metode A) i un altre hidroxilamin (Metode B) per analitzar les dosis d'ampicilina. En una serie d'experiments parells de tabletes s'analitzen pels dos metodes. En la següent taula ( dades de Lin, Sutton i Qurashi' 79) donem els percentatges de quantitat d'ampicilina trabada fent servir els dos metodes. Analitzeu les dades per a determinar si hi ha una diferencia sistematica entr e els dos metodes. Feb 94 Lupe Góm ez Tema 5. 16 Métod;, ·' · 97.2 105. 99 .5 10 0. 0 93. 8 79.2 72 .0 720 69.5 20 -5 95.2 90.8 96.2 96.2 91.0 -: - ! 5.4 Vol em co:::::;;;_;.;: a la sang La :_ taul es de r:o~ :!. que l'a ltr-e :'~ els result a.;.;; 0. 35 1.12 0. 16 1.20 0.58 0.04 1. 64 0.49 r 1. 50 l. 73 Dad es dro¡;a _.;. 1.78 1.81 0. 86 125 06 1. 63 Dad es droga :3 : Feb 94 E.s proven milion s de ---=-~ ! mirar si la - - = ~ per anal- ~d..5 dos meto des. -- ··» ::l' ampic ilina Tema 5. 16 Metode A Metode B 97.2 97.2 105.8 97.8 99.5 96.2 100.0 101.8 93 8 88.0 79 2 740. 720 75.0 720 67 5 69 5 65.8 20-5 21.2 95 2 94.8 90.8 95.8 96 2 98.0 96.2 99.0 91.0 100.2 5.4 Volem comparar l'efectivitat de dues drogues A i B que serveixen pera recluir la concentració de glucosa a la sang. La droga A s'administra a 25 pacients i la droga B a 15 pacients. Les dades es donen en les taules de més ava l!. Creieu que les dues drogues són igual d'efectives o pel contrari una és més efectiva que l'altre. Respongueu a aquesta pregunta fent servir tots els tipus de preves que coneixeu i contrasteu els resul tats. 0.35 1.12 1.54 0.13 0.77 o 16 1.20 0.40 1.38 0.39 0.58 0.04 0.44 0.75 0.71 1.64 0.49 0.90 0.83 0.28 1.50 1.73 1.15 0.72 0.91 Dades droga A, Exercici 5.4 178 1.25 1.01 1.82 1.95 1.81 0.68 1.48 1.59 0.89 o 86 1.63 1.26 1.07 1.31 Dades droga B, Exercici 5.4 Feb 94 Lupe Gómez Tema 5. 17 6. ESTIMACIÓ BAYESIANA 6.1 Distribucions a priori i a posteriori 6.2 Distribucions a priori conjugades 6.3 Estimadors de Bayes EXERCICIS 6.1 Suposem que la proporció (}de components defectuoses d'un gran lot éso bé 0.1 o bé 0.2, i la funció de probabilitat a priori de(} és ,P(O.l) = 0.7 i ,P(0.2) = 0.3. Es seleccionen 8 components del lota l'atzar i es troben 2 defectuoses. Determineu la funció de probabilitat a posteriori de B. 6.2 Suposem que la proporció (} de com ponent s defectuoses d'un gran lot és desconeguda; i la distribució a priori de(} és uniforme en l'interval (O, 1). Es seleccionen 8 components del lota l'atzar i es troben 3 defectuoses. Determineu la llei a posteriori de e. 6.3 Suposem que tenim una observació X d 'u na distribució uniforme a l'interval (O -0.5, e+ 0.5); suposem que el valor de e és desconegut i que la llei a priori de e és !'uniforme en l'interval (10, 20). a) Si el valor obse rvat de X és x = 12, quina és la distribució a posteriori de O?. b) Si ara seleccionem sis observacions i observem x¡ = 11.0, x2 = 11.5, X3 = 11.7, x4 11.4, X¡ = 10.9, quina és la distribuciÓ a posteriori de(}?. 11.1,xs 6.4 Suposem que la proporció e de components defectuoses d'un gran lot és desconeguda, i la distribució a priori de (} és beta( a = 2, f3 = 200). Es seleccionen 100 components del lot a l'atzar i es troben 3 defectuoses. a) Determineu la llei a posteriori de e. b) Suposem que després d'observar 3 peces defectuoses la distribució a posteriori és una b eta de mitjan a .0392 i de variancia 3.658 >< 10- 4. Determineu la llei a priori de e. 6.5 Sigui (} el nombre mig de defectes per cada 100 peus d'una cinta magnetica. Se suposa que el valor de e és desconegut i que la distribució a priori de e és una gamma de parametres a = 2 i f3 = 10. Després d'inspeccionar una ci nta de 1200 peus es traben 4 defectes. Det er min eu la llei a posteriori de O. 6 .6 Les a l ~ades deis individus d'una certa població segueixen una distribució normal amb mitjana desconeguda (} i amb desviació estandar 5cm. Se suposa que la distribució a priori de e és una normal de mitjana 170 cm i de desviació e standar 2.5cm. a) La mitjana de 10 persones seleccionades a l'atzar és de 174 cm. Determineu la llei a posteriori de B. b) Calculeu I ' int erva l d 'a mplada 2 .5 cm que cotingui el valor de e amb la maxima probabilitat a priori i doneu aquesta probabilitat. c) Calculen l' int erval d'amplada 2.5 cm que cotingui el valor de e amb la maxima probabilitat a posteriori i doneu aques ta probabilitat. Feb 94 Lupe Góme z Tema 6 18 6.8 Sup osem a pr ion ::e=~ componer:: - . !'error q~a.::r • 6.9 Les al~="" scon e d3. i mit j ana ~ - : - 174 cm a) Det e:~ _ b) D ete. 6.10 D enotoem ?== = que aques~ tf A ((} ) 1 '- -" = En una m • • a) D e1e.- - b) D eter- - de pe.r¿_ ,_ c) Demo,-:, - - pe - éc;o = ha =- Feb 94 ~1ribuc i ó a => ;roben 3 suposem '. l. ), X5 ~ distribució .: , es tro ben 3 :.s.3 de mit jana e;~~ el valor de .: = 10. Després C.e 11. ~ =tJ ana de- ..... J'!''.'":3 no rmal de ~ ~~te r io ri de ---- -- :..=~i.at a. prio ri -.:;. ;;:obabi litat a Tema 6 18 6.7 El temps (en minuts) que es triga en atendra un client en una botiga segueix una llei exponencial de parametre O desconegut. la distribució a priori de O és una g amma amb mitjana 0.2 i desviació estandar igual a l. Si el temps que s'ha trigat en atendre a 20 clients ha sigut de 3.8 minuts, quina és la dis tribu ció a posteriori de O.? 6.8 Suposem que la proporció O de compo nents defectuoses d'un gran lot és desconeguda, i la distribució a priori de O és beta( a = 5, ¡3 = 10). Es seleccionen 20 co mponents del lot a l'atzar i es trob en l sola component defectuosa. Determineu ['es timador de Bayes de O si fem servir com a funció de perdua l'error quadratic. 6.9 Les al~ades dels individus d 'una certa població segueixen una distribució normal amb mitjana desconeguda O i amb desviació estandar 5 cm . Se suposa que la distribució a priori de O és un a normal de mitjana 170 cm i de desviació estandar 2.5 cm. La mitjana de 10 persones seleccionades a l'atzar és de 174 cm. a) Determineu !' estimador de Bayes de O si fem servir com a funció de perdua !'error quadratic. b) Determinen !'estimador de Bayes de O si fem servir coro a funció de perdua !'error absolut. 6.10 Denotem per O la proporció de votants d'una gran ciutat que estan d'acord amb una certa llei. Suposem que aquest valor O és desconegut i que dos estadístics A i B assignen a O les següents densita ts a priori 1/JA(O) i 1/JB(O) , respectivament: .P A(O) = 20 per O< O< 1 1/JB(8) = 48 3 per O< 8 < l. En una mostra de 1000 votants hi han 710 en favor de la llei. a) Determ ineu la llei a posteriori de O que cada estadístic assigna a O. b) Determineu ! 'estimador de Bayes de 8 que cada estadístic calcularia si fessim servir com a funció de perdua !'e rror quadratic. c) Demostreu que de spr és de coneixer les opinions de 1000 votants els e stimadors de Bayes proposats pels dos e stadístics no poden diferir en més de 0.002 a mb ind ependencia del nombr e de votants que hagu essin votat en favor de la llei . Feb 94 Lup e Gómez Te ma 6. 19 ESTADISTICA MATEMATICA 11 EXAMEN 1 22 d'abril de 1992 PROBLEM 1 Suposeu que prenem una mostra aleatoria d'una distribució exponencial de mitjana () desconeguda. Calculeu la grandaria de mostra necessaria per tal que PROBLEM 2 Suposem que (X, Y) és un punt que s'ha d'escollir del pla real i que X i Y indiquen dues variables aleatories independents amb distribució normal estandar. Quin ha d'ésser el radi del cercle C (centrat a !'origen) per tal que el punt (X, Y) sigui dins de C amb probabilitat 0.99? PROBLEM 3 Suposem que Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6 són variables aleatories independents amb distribució normal estandar. Determineu una constant le tal que la variable aleatoria segueixi una distribució t de Student. PROBLEM 4 La distribució de Pareto s'utilitza en ciencies economiques com a model per a una funció de densitat amb una cua que decreix a poc a poc: Suposem que el valor z0 és conegut. a) Calculeu l'esperan~a d'una v.a. X que segueix una distribució de Pareto. Disposem d'una mostra X1, ... , Xn d'una llei de Pareto. b) Trobeu !'estimador ÍÍ 1 de() pe! metode deis moments . e) Trobeu !'estimador ÍÍ2 de() pe! metode de la maxima versemblan~a. d) Quina llei asimptotica segueix ÍÍ 2.? Precisseu en particular la seva varian~a. PROBLEM 5 Disposem d'una mostra X1, ... , Xn d'una llei que té per funció de densitat () f(z; O) = (l + z)O+l, O< () < oo O~ z < oo. Doneu un estadístic suficient per a O. Raoneu la resposta . Feb 94 Lupe Gómez Exam 20 PART 1 PART 2 a ) E n~o __ 1 tle~- b) u¡: a o:::=- .. cor:;_ : r~ Sigui X :. X neguda . Deserffc -';'- mitjan ~ant el Studen t. PART3 a) Sigw _-: _ F ron~~ ~ 1 pr oceC= exp Jiq _ __ - b) Cn 35 6.4 3 ·2 :¡ 384.4 297 .4 ~ ~ Uti li tzeu N(µo, <r o). Feb 94 neg uda. .:.:es ,·ariables e (c e nt r at ·-aó de de nsitat d."un a mostra E xam 20 PART 1 PART2 ESTADISTICA MATEMATICA II EXAMEN 2 25 de maig de 1992 a) Enuncieu i demostreu, en el cas discret, el Lema de Neyma nn -Pearson. Utilitzeu una notació clara i definiu tot els conceptes qu e utilitzeu. b) Suposeu que una observació X s'ha d'agafar d'una distribució 1mb funció de densita t: f(x ; 8) = { ~(l -8)x +e per O-:; x-:; 1 altrament, a on el valor del parametre e és desconegut (O -:; 8 -:; 2). Suposem que volem resoldre el següent contrast: Ho: 8 =2, H1 · 8 =0 . Nota: Els tres apar tats que ara segueixen es poden resoldre independentment . bl) Determineu el procediment 81 tal que a(81) + 2(3(81) és un mínim, i calculeu aquest valor mínim . b2) Suposeu que el valor de a ha sigut donat (O< a < 1). Determin eu el proce dim ent 82 tal que (3(8 2) és un mínim, i calculeu aquest valor mínim. b3) Suposem ara que volem resoldre el següent cont rast: H0: e ~l, H1 : 8 <l. Determineu la funció de potencia del procediment 83 que rebutja l'hipotesi nulla si X > 0.9. Quina és la talla d'aquest procedi ment.? Sigui X 1, ... , Xn una mostra d 'una població normal de mitj a na µ desconeguda i de varian<;a u2 desconeguda . Desenvolupeu la prova de la t de Student per a co ntrastar Ho : µ~µo, H1: µ<µo. mitjan<;ant el procediment de la raó de versemblan<;a. Discutiu quines són les pro piet a ts de la prova t de Student . PART 3 a) Sigui X1, . . . , Xn una mostra d'una població que es distribueix segons una funció de distribució F continua i desco neguda . Sigui F* una funció de distribu ció donada. Disc utiu els difere nts procediments que ens permeten saber si les dades qu eden ben ajustades per F*. En cada c as ex pliqueu sota quines condicions utilitzarieu un pro ce dim e nt o un altre. b) Un grup de 23 rates que s'ha uti lit zat a mb finalitat expe rim e nt al té un pes mitja de µ0 = 370.6gr i una desviació es tandar <To = 29. lgr. Les dades són les següents: 356.4 362.5 394.7 356.0 387.6 305.1 385.1 383.2 346.6 314.2 394.8 370.7 370.8 434.2 365.2 377.l 365.9 384.4 297.4 404.3 41 2.0 349.l 344 5 Utilitzeu la prova de Kolmogorov-Smirnov per a decidir si la distribu ció deis pes d'aqu e st es r at es és N(µo,<To). Feb 94 Lupe Gómez Exam 21 PART4 a) Els temps de falla en hores d'una component d'un avió són les següents: 0.88 1.33 1.32 0.22 1.54 1.00 2.50 0.50 3.00 1.76 al) Creieu que el model de Weibull és apropiat? Raoneu la resposta. a2) En cas afirmatiu, estimeu el valor deis parametres a i /3. a3) Quina proporció de components funcionen correctament més d'una hora? a4) Quin és el percentil del 10%? b) Les següents dades descriuen el nivell de colesterol a la sang de dos grups d'homes. El pri1 · ·r grup esta format per 11 homes entre 20 i 30 anys i el segon grup esta format per 11 homes entre 40 i 50 anys. Les dades són les següents: x ( 20-30 anys) y ( 40-50 anys) 135 294 222 311 251 286 260 264 269 277 235 336 386 208 252 346 352 239 173 172 156 254 Podeu concloure que el nivell de colesterol és significativament més alt en els homes més grans? Utilitzeu la prova que us sembli més apropiada i raoneu el perque de la vostra elecció. Feb 94 Lupe Gómez Exam 22 PROBLEM 1 La se ·~:.1 · per Berkson ::- --~ aquestes dade:;; Les da.des se:. ~ n obsen-:;.: o 5~ -- - 1 4436 2 1 00 3 5 3-l 4 1 11 5+ 21 PROBLEM 2 Disposem '.! ~ a) Calcule-_. o. b) Tr obe·, - c) Quina :. el Teo:=... I d) Tr oheu. _ e) f) PROBLEM 3 a) Enun o:_ 1 b) Si gw X. a) Tr obe b) C tili:::~ PROBLEM 4 Sigui X: X coneguda i s1 5 desconeg uda 3 . ~ Des eaY oL;::_ ... Especifiqueu , ""'-::;.• expres s10ns ~e: 3. ;. Feb 94 - _ ~?' de ,·ida. -:-nos en una s: ; esta dístic f"==rlcame nt la ·.¡,: L"" :aules de la :a.::.:;:1c Exa m 28 PROBLEMA 1 (3 punts) ESTADISTICA MATEMATICA 11 1 de setembre de 1993 Disposem d'una mostra de grandaria n d'una població Weibull amb parametre f3 = 0.25 i a > O desconegut. (a) Calculen l'estimador de a , 6" 1, pel metode deis moments. (b) Calculen !'estimador de a, 6" 2, pe! metode de la maxima versemblan~a. (c) Calculen la v ariancia asimptotica de 6' 2. PROBLEMA 2 (3 punts) La v.a. X segueix una distribu ció exponencial amb mitjana () = 1 o B = 0.5. Volem cont rast ar amb una mostra de mida 1 les hipotesis Ho : () = 1 contra H1 : () = 0.5. (a) Calculen les probabilitats deis errors de tipus l i de tipus Il quan la regió de rebuig és Ro= {x ~ 1}. (b) Calculen les probabilitats deis errors de ti pus I i la funció de potencia quan la regió de rebuig és R, = {X ::; o 07}. c) Quina de l es dues proves definides pe rles regions de rebuig deis apartats 1 i 2 tria rieu? ( d) Trobeu el valor de x per tal que la suma deis errors sigui mínima quan la regió de rebuig és R.={x::;x} . PROBLEMA 3 (3 punts) Denotem per r la proporció de nens d'un casal d' es tiu qu e estan d'acord amb anar d'excursió. Suposem que aquest valor r és desconegut i qu e els dos monitors A i B assignen a r les següents densita ts a priori tPA(r) i tPB(r), respec tiva ment : tPA(r) = 3r 2 per O< r < 1 tPB(r) = 4r 3 per O< r <l. En aquest s'han apuntat 100 nens i d'aquests 60 volen a nar d'ex cursió. En una mostra de 1000 votants hi han 710 en favor de la llei. a) Determinen la llei a posteriori de r que cada moni t or assigna a r . b) Det erminen !'estimador de Bayes de r que cada monitor calcul aria si fessim servir com a funció de perdua ! 'e rro r quadratic. c) Demostr eu que després de coneixer les preferencies deis 100 nens els es timadors de Bayes proposats pels dos e stadístics no p oden diferir en més de 0. 01 amb independencia del nombre de nens que prefereixin anar d'excursió. QÜESTIÓ (1 punt) Metod e de la maxim a v e rs emblan~a . Prop i etats deis e stimadors de maxima v e r se mblan~a. Feb 94 Lupe Gómez Exam 29