Àlgebra : Pràctiques d'Àlgebra amb Maple

EST Al ' ALGEBRA PRACTIQUES D'ALGEBRA AMB MAPLE Albert Avinyó UNIVERSITAT POLITECNICA DE CATALUNYA Biblioteca l llllll lllll lllll lllll lllll lllll lllll lllll lllll lllll llll llll 1400209284 ·.,, r -- ""' -- Facultat de Matematiques i Estadística Universitat Politecnica de Catalunya PRACTIQUES D'ALGEBRA AMB MAPLE Curs 1994-95 Albert A vinyó Departament de Matematica Aplicada II Barcelona, setembre 1994 Títol Autor Dipósit Legal Impres per • Practiques d'.Algebra amb Maple. • Albert Avinyó • B 35809-94 • REPROBAR.NA, S.L. C/. Enten~a 7. 08015 Barcelona Presentació Maple és un sistema que permet fer tres ti pus basics d'operacions: numeriques, simbóliques i grafiques. Quan es treballa en mode interactiu, Maple llegeix l'expressió introdulda per l' usuari, l'avalua i en mostra el resultat per pantalla. També és possible introduir fitxers c reats externament, amb dades o com andes escrites en Maple, i guardar en fitxers extent> les dades, definicions, expressions, etc. creades en Maple. Aquest llibret inclou, en primer !loe, un manual fet pels professors A. Montes i V. Sacri;- tán, on es recull la informació basi ca per comen<;ar a treballar amb Maple, a continuanrí una selecció de les coman des mé s útils de les llibreries de Combinatoria i Algebra Lineill i, per finalitzar, 7 sessions practiques a re alitzar al llarg del curs. Deixant de banda la primera sessió qu e és de tipus introductori, les altres 6 són de dues classes: les sessions •l, 5 i 6 consten d'un recull d'exercicis basats en conceptes explicats a classe i que ca l resoldre amb l'ús de l 'or dinador . Mentre que les sessions 2, 3 i 7 estan dedicades a temes específrs i, en certs casos, a més dels exercicis a realitzar amb l'ordinador, contenen també apartat.> de tipus teoric. Setembre de 19~!.l Manual 1 Manual de Maple l. Entrades i sortides. Ajudes • Les entrades a Maple depenen del tipus d'instaHació. En el nostr e cas, cal fer MAPLE. • Un cop dins de Maple, apareixera el prompt.,.. , que indica que el programa esta esperar it que l'usuari introdueixi la comanda . • Cal que les comandes acabin amb un punt i coma: [J. Si l 'o blid eu, Maple c onsid er ara qt. ~ la coma nda encara no esta acabada d'introduir i esp era ra que l' acabeu a la línia següen1 • A mida que es van executant les comandes, és possible referir-nos a l'últim resultat obting ut mitjan<;ant les dobles cometes: 2J ; al resu ltat penúltim mitj an<;ant dues dob[,~3 comete s: 6 . • Per sortir de Maple cal introduir la co manda quit, que no necessita punt i coma . • P er tal d' int errompre un proces dur a nt la seva execució, cal pitjar les tecles Contro.1- Pausa. • Per obtenir ajuda sobre un tema , cal teclejar les co mandes ?terna o ?terna [subt erna:I , que tampoc no necessiten punt i coma. Tamb é podem explorar el belp de Maple pitjant la tecla Fl i movent-nos per !' estructura d 'a rbre que va apareixent. 2. Símbols i nombres. Assignació a variables • Les operacions aritmetiques basiques s'expressen amb els símbols següents: • 2 Manual Símbol Operació + suma diferencia * producte / quocient ~ o bé ** potencia factorial Atenció! Maple no interpreta expressions com ara 2x o 2 x, introduides per l'usuari, com el producte del nombre 2 perla variable x. • Les relacions aritmetiques basiques s'expressen amb els símbols següents: Símbol Relació a<b a<b a<= b a~b a>b a>b a>= b a~b a<> b af b a=b a=b • Aquestes són les relacions booleanes, amb els seus símbols en Maple: Símbol a and b a or b not a Opera.ció o relació a /\ b aVb • Les operacions basiques dins la teoría de conjunts són: Manual Símbol Operació a union b aUb a intersect b anb a minus b a\b member(x,c) diu si x E e • Es pot assignar valors a variables, mitjarn;ant el símbol J := j. Un cop s'ha fet servir un;, \"ar iable, és convenient "netejar-la" de qualsevol valor assignat, abans de tornar-la a empra·.· Per aixó cal introduir la instrucció x: =' x'. A més, a ! 'hora de formar noms de variable: o d'int roduir comandes, és bo recordar que Maple distingeix entre les lletres minúscules t ma júscules. Si el que es desitja és netejar tot el que hem introduit i deixar Maple com ioi ornes sim a comern;ar podem emprar la comanda restart . • Algunes constants forc;a útils en matematiques també tenen nomen Maple: Símbol Constant E e Pi Tí I A infinity 00 • Maple manipula les expressions algebraicament i representa els enters i els racionals d·~ forma exacta. Les aproximacions numeriques s'obtenen mitjanc;ant la funció evalf: evalf (e, n) avalua l'expressió e amb n decimals exactes. 3. Seqüencies, llistes i conjunts • Una seqüencia és, simplement, una ordenació d'objectes, separats per comes. Per exerr. ple, s:=13,2,3,5,7,3,11,13. • No sempre cal enumerar tots els elements d'una seqüencia. P er exe mple , la comand¡, s: =seq ( i~2, i = 1..10) crea la seqüencia deis quadrats deis deu primers enters. Observeu l'ús de la comanda seq, que crea la seqüencia i, sobretot, deis dos punts suspensius. • Les llistes i els conjunts es formen a partir de les seqüencies. Una llista, que s'escrit 4 Manual entr e claus quadrades, té en compte l'ordre dels objectes i admet repeticions. Per exemple, 1:=[13,2,3,5,7,3,11,13]. • Un conjunt , que s'escriu entre claus, no té en compte l'ordre deis objectes no admet repeticions. Per exemple, e:={ 2, 3, 5, 7, 11, 13}. • Per extreure l'element n-esim d'una seqüencia s, una !lista lo un conjunte, cal fer s Cn: . 1 [n) i e [n] respectivament. • Per calcular el nombre d'elements d'una seqüencia s, una !lista l o un conjunt e, cal ki· nops(s), nops(l) i nops(c) respectivament. • La comanda rnember(elem, l) permet detectar si una expressió elem és un element d'un<c !lista, conjunt o sequencia /. • Tambe hi ha una comanda per saber si una subexpressió forma part d'una expressió donada: has e f, expr ) retornara true si f conté e.rpr com subexpressió. • Els elements d'una !lista l de longitud n es poden sumar o multiplicar ambles comande; sum('/[i]', 'i' = 1..n) i product('/[i]', ' i' = 1..n) respectivament. 4. Funcions i equacions. • L'usuari pot definir la funció que desitji mitjan<;ant una comanda de la forma nom:=variable->expressió o bé nom:=(varl,var2, . . . ,varn)->expressió. Per exemple, f : =y->y-'2; • La comanda map (f, l) aplica la funció f a cada un dels elements de la !lista, conjunto sequencia l. •La comanda unapply (expr,x) converteix la expressió expr en la funció x--> expr. • Tanmateix, Maple té moltes funcions incorporades, algunes de les quals s'enumeren ; . continuació. Les funcions específicament referides a temes de Combinatoria i d'Álgebu, lineal es poden trabar als apartats corresponents. abs(x); sqrt(x); min(x1,. .. ,Xn); max(x1,. .. ,Xn); Calcula el valor absolut del nombre x. Calcula l'arrel quadrada de x. Calcula el mínim de x1, ... , Xn. Calcula el maxim de X¡' ... ' Xn. :::.p le, ¡ n es ió round(x); tru n c(x); signum(z); Arrodoneix x. Trunca x. És la funció qu e val 1 ;1 si z =f. O i val 1 si z = O. Manual • " modp(k, n); Retorna el nombre m, O:::; m < n -1 congruent amb k (m1>dn). rand(a .. b ) ; exp(x); ln(x); Retorna un nombre aleatori entre a i b. Calcula ex. Calcula el logaritme neperia de x. sin(x), cos(x), tan(x); Són les funcions trigonometriques. arcsin(x), arccos(x), ... Són les funcions trigonometriques inverses. sinh(x), cosh(x), ... Són les funcions hiperboliques. Remarquem que pera les funcions trigonometriques els valors es tan considerats en radianb. També cal dir qu e a excepció feta deis valors racionals exact es que prenen tot es aquestE:: funcions per valors particular s deis arguments , aquestes retornen un valor no avaluat a menys que n 'e xigim la seva avaluació numerica mitjanc;ant la funció evalf . • MapJe resol equac10ns de forma exacta o aproximada mitjanc;ant, entre d'altres, le. comandes següents: solve(e); Resol l'equació (en una variable) e. El parametre e també pot ser un conjunt d'equ acions. solve(e,x); Resol l'equació e en la variabl e x. e pot ser un sistema d 'e qua cions i x un conjunt de v ariabk3 . La comanda fsolve, amb modalitats analogu es, també resol e quacions, pero no pas per manipulac ió de fórmules matematiques sinó utilitzant metodes numerics. Per tant, dórn . com a resultat solucions aproximades. • Les comandes següents poden ser-vos útils: simplify (expr); expand(expr); factor(pol); Simplifica l'e xpr essió expr. Distribueix produ ctes respect e de sumes i apli ca regles de transformació trigonometriques i exponencials. Factoritza el polinomi poi a IQ en factors irr ed uibl es. 12 Llibr e ria d'Álgebra Lineal add(A, B); multiply(A, B); scalarmul (A , A) ; trace(A); det (A); inverse(A); transpose (A) ; orthog(A); adj (A); rank(A); rowdim(A); coldim(A); rowspace(A); colspace(A); gaussjord(A); basis(L); linsolve(A , b); nullspace(A); kernel(A); charpoly (A, x) ; charmat(A,x); eigenvals(A); eigenvects (A); jordan(A); norm(v,2); Suma les matrius A i B. Multiplica les matrius .4 i B. Multip li ca la matriu A per !'esca lar A. Calcula la trai;a de la matriu A. Calcula el determinant de la matriu A. Calcula la matriu inversa de A. Calcula la transposta de la matriu A. Evalua si la matriu A és ortogonal. Calcula la matriu adjunta de la transposta de A. Calcula el rang de la matriu A. Calcula la dim ensió de l'espai de files de la matriu A. Calcula la dimensió de l 'espa i de columnes de la matriu A. Calcu la una base de l'espai de files de la matriu A. Calcula una base de l'espai de columnes de la matriu A. Aplica la reducció per files a la matriu A. Calcula una base del conjunt o llista L. Resol el sistema Ax = h. Troba una base de solucions del sistema homogeni Ax = O Calcula una base del nucli de A. Calcula el polinomi característic de A . Calcula la matriu característica de A. Calcula els valors propis de la matriu A. Forma una seqüencia de llistes, cada una de les quals consta de 3 elements: un vap, la seva multiplicitat i una 11 ;ta amb tants vectors propis indep e ndents com és possible. Calcula la forma de Jordan de la matriu A. Calcula la norma euclídea del vector b. normalize(v); angle(u,v); GramSchmidt(L); leastsqrs (A, b) ; Llibreria d' Algebra Lineal 13 Normalitza el vector v. Calcula l'angle entre els vectors u i v . Aplica el metode de Gram-Schmidt a la llista o conjunt L. Retorna la solució A:r = b pel metode de mínims quadrats. és dir, el vector que minimitza norm (A* x - b, 2). 14 l. Introducció Sessió 1. Introd ucció l. Calculeu rr amb 200 decimals exactes. Quina és !'última xifra deci mal? 2. Trobeu una aproximació de e'"/! 63 /3 amb deu , vint i trenta dígits, respectivament. 3. A Maple, quina és la diferencia entre 1/3 + 1/3 i 1/3.0 + 1/3 .0? 4. Comproveu que \f2J19549 + 286 és igual a Ji13 + JU3 . Per que? 5. Doneu valors a n per esbrinar que fa la funció expand (product (x+i, i=1 . . n)) . 6. Escriviu una comanda que generi la seqüencia següent: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... , 625. 8. Trobeu les arrels del polinomi x3 - (a - l)x 2 + a2x -a3 on a és un parametre real Construi:u un a funció amb el valor de la primera arre!. Trobeu la solució per a a = 1 a = O. Doneu una solució aproximada per a a = 2. 9. Construlu una funció que valgui 1 al segment [-1 , 1], i O a la resta . Dibuixeu-la . 10. Construi:u una funció que valgui 1 - lxl si lxl < 1 i O a la resta. Dibuixeu-la. l. lntroducció 15 11. Dibuixeu , sobreposades, les funcions ln(x),x,x 2,ex a l'interval [0,3] amb un rang "adequa t". Reconeixeu quina és quina al dibuix. 12. Dibuixeu el grafic de la circunferencia de radi 2 i centre al punt (O, 4). 8 13. Construlu la fun ció f(t) = L(-l)n+l ~sin nt. Calculeu f ( fc¡) i f ( ~). Dibuixeu-h1 n n=l 14. a) Genereu una lli sta de 1000 enters entre -100 i 100. b) Esborreu totes les entrades duplicades de la llista. c) Seleccioneu de la llista de l'apartat anterior tots els nombres més grans que 50. 15. En una ciutat hi ha 3 botigues que venen 5 tipus de joguines diferents. La botiga .~ ven les joguines a 1500, 1700, 1800, 3200 i 2900 ptes. La botiga B a 1400, 1800, 2200, 290(1 i 2600 ptes. L'estrategia de la botiga Ces vendre-les al preu més competitiu de la ciuta·"· Construlu una expressió que determini el preu de venda a la botiga C. 16. Construlu una funció tal que donat un conjunt d'enters seleccioni els que el seu valor esta entre O i 10. Feu ús de la comanda rand per generar un conjunt de cent nombres 1 apliqueu la funció a aquest conjunt. 17. Sigui U el conjunt del cent primers nombres múltiples de 3 i V el conjunt deis primer ;; vint nombres natural s de la forma 2n - l. a) Genereu els conjunts U i V. b) Calculeu U n V i U u V. 18. Construlu una funció que prengui tres nombres com arguments i torni la suma de].; quadrats dels dos més grans . 19. Construlu un programa per calc ular la desviació standard d'una llista de dades . 20. Calculeu el terme cent de la successió de Fibonacci. 16 2. La clausura transit i va Sessió 2. La clausura transitiva Siguin R i S dues relacions binaries sobre un conjunt A. Es defineix la composició de P amb S com la relació donada per, So R = { (a, e) E A x A : ::3 b E A tal que (a, b) E R i ( b, e) E S} . n cops ~ Per facilitar la notació escriurem Rº = idA i Rn = Ro · · · o R si n 2'. l. De la mateixa manera es defineix la relació inversa R- 1 com, R- 1 = {(b,a) E Ax A: (a,b) E R} . Es defineixen també la clausura reflexiva Rn simetrica R, i transitiva R1 com, 00 Rr = RUR 0, R, = RUR- 1, R1 =LJRk. k=l respectivament. La interpretació de les igualtats anteriors es la següent. Per exemplc, (a,b) E R1 significa que per algun k EN , (a,b) E Rk, ésa dir , existeixen (k -1) element:; de A, c1, ... ,ck-1 tals que (a, c1) E R, (e¡ , c2) E R, .. . , (Ck - 1, b) E R. En el cas que A sigui un conjunt finit, A = { a1, ... an} , es defineix la matriu binaria MR = (m;j) E MAT(n) associada a la relació R com , 1Tijj = { l, O, si (a¡, aj) E R; altrament. La matriu MR2 associada a la relació R2 s'obté calculant MR 2 i després substituint to1:: els coeficients no nuls per l. Iterant aquest procés s 'o btenen les matrius binaries MR• pt: · a tot k E N. A més es compleix, MRr =max{JVJR,ln}, MR, =max{MR,Mk}, MR, =max{MR,MR2, ... , MR"}, on aquestes igualtats cal interpretar-les com igualtats entre els coeficients de les matrius. Així per exemple , l'element que esta a la fila i i a la columna j de MR, és igual a 1 si per algun k E {1, .. . , n} l'element que esta a la fila i i a la columna j de MR• és igual a l. E¡, cas contrari es posa O. l. La clausura transitiva 1 ·r l. Demostreu que: a) R és reflexiva si, i només si, Rº C R; b) R és simetrica si, i només si, R = R- 1; c) R és antisimetrica si, i només si, R n R- 1 e Rº; d) R és transitiva si, i només si, R2 e R. 2. Si M R = ( m;j) és la matriu asociada a una relació binaria R, pro v eu que: a) R és reflexiva si, i només si, m;; = 1, pera tot i E {l , ... , n}. b) R és simetrica si, i només si, m;j = mj;, pera tot i,j E {l, ... , n}. 3. Si R és la relació sobre A Rr,Rs i R1 . 4. Proveu que: {a, b, e} donada per R a) Si R és reflexiva, també ho són R, i R1• b) Si R és simetrica, també ho són Rr i R1. c) Si R és transitiva, també ho és Rr. {(a, b), (b , a), (b, c)}, calculett 5. Fent ús de l'exercici anterior, proveu que Rrst és la menor relació d'equivalencia qu(· conté a R. 6. Al conjunt A = { a1, ..• , a 10 } es defineix la relació R donada per (a;,aj)ERsi,inoméssi, i+2j=Ú Calculeu MR. Quants uns té aquesta matriu? És simetrica? És antisimetrica? 7. Calculeu les matrius MR,, MR, i MR, associades a la relació definida a l'exercici anterio : Calculeu també la menor relació d'equivalencia associada a aqu e sta mateixa relació. Quir :: són tots els elements de la classe d 'equivalencia de a8. 18 3. Combinatória Sessió 3. Combinatoria l. a) Calculeu el conjunt deis nombres combinatoris de la forma (2¡ 3) amb i = O, .. . , 2:J. b) Calculen la !lista deis nombres combina.toris de 1:- . forma (2:3) mnb i = O, ... , 23. 2. En un grup hi ha 5 nois i S noies. Suposant que <:ada noi es casa amb una única n o., del grup, de quantes maneres es pot fer? 3. En Pep, en Pere i en Pau han guauyat a una rifo una caixa ele llapis, una ploma, t: 1 estoig, una carpeta, un quaelern, un !libre i una pibta. De quantes maners s'ho podl .l repartir si un d'ells rep 3 objectes i els altres dos 2 object es. 4. En Pcp, en Pere i en Pau també s' han de repartir un paquet de 100 fulls blancs. r· ~ quantes maneres ho poden fer si cadascú rep com a mínim 20 fulls i com a maxim 40? 5. Volem enviar 25 postals i a l'estanc en disposen ele 4 tipus difer en ts. De quantes maner •; les podem comprar si en volem com a mínim 1 de cada tipus i com a maxim 10 ele ca« L ti pus? 6. Calculen tots els nombres de Stirling S( n, k) amb n ::::; 20. Quin és el més gran? 7. Calculeu el nombre de particions d'un conjunt de cardinal 8 en un mínim de 4 parts 8. Calculen el nombre de particions d'un conjunt de cardinal 7 en un nombre parell • ·, ~ parts . 3. Combinatoria 19 9. Un carter ha de distribuir 9 cartes dirigides a 9 persones diferents en les 9 bústie3 corresponents, pero s'ha descuidat les ulleres i distribu eix les cartes a l 'a tzar. De quantes maneres ho pot fer de forma que: a) no quedi cap carta a la bústia corresponent; b) exactament una carta estigui a la bústia corresponent; c) coma mínim dues cartes les hagi distribuit correctament. 10. A un hospital, la infermera del torn de nit s'ha trobat ambles pulseres que identifi ca vert 12 nadons tretes. Davant la impossibilitat d'identificar-los, les ha coHocat a l'atzar. a) De quantes maners ho pot fer de forma que cap nadó rebi la seva pulsera? b) I de forma que exactament 6 rebin la pulsera corr ecta? c) I de forma que nom és un rebi una pulse ra que no és la seva? 11. Calculeu , pera n = 30, el nombre de desarranjaments an d' un conjunt den element;; fent ús de les definicions següents: a) ao = 1, a = ni 1 - - + · · · + - - ( 1 (-ir) n · 1! n! ' n 2 1: b) ªº = 1, ªn = nan-1 +( - ir, n 2 l. c) ao = 1, a,,=n!-~G)ak, k=O n 2 l. d) Quina fórmula ho fa més rapid? 20 4. Matrius i sistemes d'equacions Sessió 4. Matrius i sisternes d'equacions l. Donades les matrius: 2 3.1 1 o A= -6 (°' -4 -3.5 '') 7.3 , B = (2'7 -2 .9 4.1 -6.1 34) -4 .2 2 0 .8 5.6 5.3 9.2 4 -1 , 0.9 3 -5 -2 e -5.1 2 :, ) C= lf 2.3 3.2 6 5.3 8.7 . -3 -4 -6.7 Calculeu, quan sigui possible, A+ B,BT + C,AB,B- 1 ,A- 1 ,(AC)- 1. 2. Constru'iu du es matrius 3 x 3 amb coeficients aleatoris. Feu evalm (A * B) i evalni (B * A). Que observeu? 3. Donades dues matrius del mateix tamany A, B E M AT( m, n) es defineix la matriu de Hadamard H(A , B) E M AT(m, n) com h¡i = a¡jbij· Calculeu H(A , B) on A= ( 0.341 -0.31 1 -1.071 -4.711 6.381 ) -8.751 , ( -3.471 o B = -1.001 4.561 ( 1.2 4. Calculeu el rang, el determinant i la tra<;a de la matriu \3 3.2 -6 .7 2 5. Considereu la matriu A= ( ~ -5 -4 6 - 8 4 9 16 7 2 o -3.822) - 6.384 . -4 . 5) 3;} . 4. Matrius i sistemes d'equacions 21. a) Calculeu el rang de la matriu A. b) Trobeu dues matrius invertibles P i Q tals que P AQ = ( ~ ~) , on r és el rang de la matriu A. e) Trobeu una inversa generalitzada de la matriu A. 6. Escriviu una rutina que, donada una matriu, ens calculi la seva forma normal. 7. La inversa de Moore-Penrose A+ d'una matriu A es defineix com, Constru'iu una rutina que ens calculi la inversa de Moore-Penrose d'una matriu donad!' .. Verifiqueu la rutina pera la matriu ( -85 -37 97 -55) -35 . 50 8. Es defineix la matriu de Helmert de tamany n, Hn, com a) Calculeu H2, ... , H10. ¡ fo' Ji/i-1)' -(i-1) Ji(i-1)' o, si i = 1, j qualsevol; si i ::;:: 2, j < i; si i ::;:: 2, j = 1; altrament . b) Calculen H2H~, .. . , H10H{ 0. Quina conjectura podeu formular sobre les matrius d(· Helmert? Intenteu provar-la. n e) Les matrius de Helmert són útils pel calcul de la quantitat Sn = L(x; -Xn)2 d'un;. i=l !lista de dades x = (x1, X2, .. . , Xn)· Així si Hn = ( ;¿) on a1 denota la primera fila de Hn i Kn la resta, es compleix: Sn = Sn-1 + (1 - 1/n) (xn-1 -Xn). Genereu una sequencia de 100 nombres enters entre O i 10 i calculeu 5 100 amb les duo; igualtats anteriors. Quina ho fa més rapid? 28 7. Mínims quadrats Sessió 7. Mínims quadrats l. La població de conills d'una illa ha estat comptabilitzada des de 1981 fins 1989 obtenir.. la taula següent: n 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 y(n) 3 4.5 8 17 29 45 95 149 250 on la segona fila indica el nombre de conills, en milers. Si sab em que la llei que regeix d creixement d' aquesta població és y(n) = r e• (n-i 9 so) , calculeu el valor dels parametres r i s que millor ajusten , en el sentit dels mínims quadrats, aquesta co rba als resultats donats ala taula. Dibuixeu el núvol de punts i la corba trobada. Quin és el punt més allunyat ¿., la corba trobada? 2. Després de realitzar un experiment s'han trobat les dades següents: X 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 z 8.1 7.9 7.8 7.7 7.7 7.6 7.4 7.5 El científic A creu que aquestes dades compleixen una llei del tipus z = ax + by+ e, mentl•! que el científic B creu que compleixen la relació z = ax 3 + by2 + c. Quin deis dos té raó !