Foliaciones de codimensión uno Newton no degeneradas

PROGRAMA DE DOCTORADO EN MATEMÁTICAS TESIS DOCTORAL: Foliaciones de codimensión uno Newton no degeneradas Presentada por Beatriz Molina Samper para optar al grado de Doctora por la Universidad de Valladolid Dirigida por: Felipe Cano Torres (UVa) Clementa Alonso González (UA) Secretaría Administrativa. Escuela de Doctorado. Casa del Estudiante. C/ Real de Burgos s/n. 47011-Valladolid. ESPAÑA Tfno.: + 34 983 184343; + 34 983 423908; + 34 983 186471 - Fax 983 186397 - E-mail: [email protected] Impreso 1T AUTORIZACIÓN DEL DIRECTOR/A DE TESIS (Art. 7.2 de la Normativa para la presentación y defensa de la Tesis Doctoral en la UVa) D./Dª: FELIPE CANO TORRES, con D.N.I./Pasaporte 12234226C Profesor/a del departamento de: ÁLGEBRA, ANÁLISIS MATEMÁTICO, GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Centro: FACULTAD DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Dirección a efecto de notificaciones: SECRETARÍA DEL DEPARTAMENTO e-mail: [email protected] como Director(a) de la Tesis Doctoral titulada: “FOLIACIONES DE CODIMENSIÓN UNO NEWTON NO DEGENERADAS” realizada por Dª: BEATRIZ MOLINA SAMPER alumna del Programa de Doctorado EN MATEMÁTICAS. autoriza su presentación, considerando que: SE HAN CUMPLIDO LOS REQUISITOS, UN ARTÍCULO EN UNA REVISTA DE IMPACTO, Y EN MI OPINIÓN, LA DOCTORANDO HA ADQUIRIDO EL NIVEL DE LA FORMACIÓN EXIGIBLE A UN DOCTOR EN MATEMÁTICAS POR LA UVA, ASÍ COMO HA CONTRIBUÍDO CON RESULTADOS IMPORTANTES Y ORIGINALES A LAS MATEMÁTICAS, EN EL MARCO DE LA TEORÍA DE FOLIACIONES HOLOMORFAS. Valladolid, 10 de JUNIO de 2019 El/La Director/a de la Tesis, Fdo.: FELIPE CANO TORRES SR/SRA. PRESIDENTE/A DE LA COMISIÓN DE DOCTORADO iii Secretaría Administrativa. Escuela de Doctorado. Casa del Estudiante. C/ Real de Burgos s/n. 47011-Valladolid. ESPAÑA Tfno.: + 34 983 184343; + 34 983 423908; + 34 983 186471 - Fax 983 186397 - E-mail: [email protected] Impreso 1T AUTORIZACIÓN DEL DIRECTOR/A DE TESIS (Art. 7.2 de la Normativa para la presentación y defensa de la Tesis Doctoral en la UVa) D./Dª Clementa Alonso González, con D.N.I./Pasaporte 09346811W Profesor/a del departamento de Matemáticas Centro Facultad de Ciencias, Universidad de Alicante Dirección a efecto de notificaciones Facultad de Ciencias, Universidad de Alicante 03690 San Vicent del Raspeig, Alicante e-mail [email protected] como Director(a) de la Tesis Doctoral titulada Foliaciones de codimensión uno Newton no degeneradas realizada por D./Dª Beatriz Molina Samper alumno/a del Programa de Doctorado en Matemáticas autoriza su presentación, considerando que Reúne los requisitos de originalidad, interés científico, corrección formal y conocimiento del tema necesarios para la defensa de una tesis doctoral en Matemáticas Valladolid 6 de junio de 2019 El/La Director/a de la Tesis, Fdo.: ............................... SR/SRA. PRESIDENTE/A DE LA COMISIÓN DE DOCTORADO iv Agradecimientos Todos aquellos que me conocéis sabéis que la expresión de los sentimientos más profundos no es algo que me caracterice. No obstante, tras estos cuatro años (o veintiocho en algún caso), creo que es momento y ocasión de emplear unas líneas para expresar mi más sincero agradecimiento a todos aquellos que, de un modo u otro, me habéis acompañado en esta etapa. El desarrollo de esta tesis no lo puedo catalogar como algo fácil, y desde luego un pedacito de ella es de cada uno de vosotros. En primer lugar, quiero mencionar a las instituciones de este país por la labor que realizan en la formación de jóvenes investigadores; deseo de todo corazón que algún día se nos permita devolver toda la confianza que éstas han depositado en nosotros. En particular, quiero expresar mi agradecimiento a aquellas que han financiado esta investigación: El Ministerio de Educación, Ciencia y Deporte mediante la ayuda predoctoral FPU14/025653, el Ministerio de Economía y Competitividad mediante el proyecto MTM2016-77642-C2-1-P y la Universidad de Valladolid a través de las ayudas para asistencia a cursos, congresos y jornadas relevantes para el desarrollo de tesis doctorales (convocatorias 2017 a 2019). Todo esto, junto con el soporte recibido por algunas instituciones extranjeras en lugares como México, Brasil, Rusia, Italia, Francia o Alemania, me ha permitido aprender de matemáticos muy reconocidos a nivel internacional. No puedo dejar de mencionar a los integrantes del grupo de investigación ECSING: José Manuel, Fernando, José, Jorge, Nuria, Lorena, Javier, Laura, Mark,... Vosotros me habéis acogido desde el primer momento como una más del equipo, y sois más que compañeros de trabajo, amigos. Gracias por todo lo aprendido con vosotros, pues sois unos matemáticos excelentes, pero sobre todo, gracias por vuestra calidad humana. A las que comenzasteis siendo solamente compañeras de carrera y rápidamente os convertisteis en las mejores amigas que alguien pueda tener: Pily, Rocío, Maria Pilar y Ana. Gracias por continuar ahí, por seguir viéndonos siempre que la ocasión lo permite y por no tener demasiado en cuenta mis momentos de desapego. En los cinco años que pasé en la Universidad de Alicante pude descubrir mi pasión por las matemáticas, pero sin duda lo mejor que me pudo ocurrir fue cruzarme con vosotras. Qué decir de los que habéis sido mi pequeña gran familia pucelana... Creo que no tengo palabras para expresar lo que ha sido compartir mi vida con vosotros, ni lo que os echo de menos; el mero hecho de haberos conocido es suficiente para que haber llegado hasta aquí merezca la pena. Ir de tapas, salir por cantarranas, los millones de risas y las infinitas horas de cervezas en el peni son sólo una pequeña parte de los recuerdos que construimos juntos. Azucena, gracias por los dos años que coincidimos en Valladolid, por ser una compañera de piso intachable y mejor amiga. Marina, gracias por estar ahí siempre, sin excepción, eres la definición perfecta de la palabra amistad. No me olvido del pack Oziel-Jesús (aunque ya habéis cobrado entidad propia), gracias por ser mis hermanitos pequeños, con vosotros he compartido lloros, alegrías, desesperación, frustración, satisfacción, pánico, es decir, todo aquello en lo que se puede resumir una tesis. Oso, a ti gracias simplemente por ser tú y por enseñarme que hay hilos que se pueden estirar sin romperse y cruzar océanos. Miguel, mi hermano mayor, gracias por todos los consejos que me has dado a lo largo de estos años, por ir siempre un paso por delante. Javi, gracias por contagiarnos un poco de tu locura, tan necesaria para sobrevivir en este mundo. Sergio, Mari Ángeles, Hernán, Rodrigo, Lucio, gracias también a vosotros por formar parte de esta historia. v Siempre se habla de que hay profesores que dejan huella, que ayudan a marcar el camino profesional; en mi caso ésta eres tú, Clemen. Recuerdo la pasión por las matemáticas que me contagiaste en tus clases, por primera vez conocía a alguien que las miraba con el alma y que además tenía la capacidad de transmitir la belleza que encierran. A mí, por mí misma, jamás se me hubiese pasado por la cabeza ir a vivir a la fría meseta castellana, así que gracias por meter en mi cabeza el runrún de venir a estudiar a Valladolid. Gracias también por encontrar siempre tiempo para hablar de matemáticas y por aconsejarme, tanto en el terreno profesional como en el personal. Cuando comencé el doctorado yo no era consciente de que estaba teniendo el privilegio de trabajar con uno de los mejores matemáticos de este país. Felipe, me honra que hayas sido director de esta tesis y que hayas trabajado conmigo codo con codo. Gracias por cómo te has volcado en este proyecto, por la confianza depositada en él y en mí, por tu generosidad, paciencia y dedicación, y cómo no, por no tomar en consideración mi mal genio, mis cambios de humor y mis malos momentos. Aunque más que mi director de tesis eres un amigo inestimable, contigo he podido intercambiar conversaciones e inquietudes de todos los ámbitos de la vida, y deseo profundamente seguir haciéndolo siempre. Finalment i de forma més especial a vosaltres, la meua família, gràcies per mantindre la il·lusió per aquest projecte intacta, pel vostre recolzament diari, constant i incondicional, per escoltar-me i aconsellar-me fins i tot sense saber ben bé com funciona aquest món de les matemàtiques, per acceptar-me i voler-me així tal com sóc i per cuidar de mi sempre. Tia i tio, Asunció i Vicente, gràcies per l’entusiasme amb el qual viviu aquest moment tan important per a mi. Papa i mama, Pepe i Ángela, em sent molt orgullosa de vosaltres, perquè us dec la vida, aplegar fins on he aplegat i ser qui sóc i qualsevol agraïment sempre serà escàs. Gràcies per ensenyar-me a perseguir els somnis i per recordar-me sempre que mai s’ha de deixar de somiar. Tete, Fran, gràcies per ser sempre un referent per a la vida, perquè mai oblidaré que tú em vas donar l’espentó necessari per a començar esta carrera. I a la meua nebodeta, Carmen, gràcies per vindre al món amb una força i ganes de viure increïbles, eixes que moltes vegades els adults oblidem que tenim. Encara que no ho dic molt, ja sabeu que us estime. vi Índice general English Introduction 1 Introducción 9 1. Preliminares 17 1.1. Haces de A-módulos.................................. 17 1.2. Geometría analítica compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3. Foliaciones holomorfas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4. Morfismos de explosión en Cn............................. 24 1.5. Singularidades presimples y simples en C2...................... 25 1.6. Espaciosfoliados .................................... 26 1.7. Puntos presimples y vectores residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8. Puntos Simples. Marco hiperbólico-complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.9. Foliacionesdicríticas.................................. 36 1.10. Reducción y pre-reducción de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.11. Foliaciones de tipo tórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.12. Superficies tóricas. Foliaciones en P2 C......................... 39 1.13. Ramas invariantes aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Sistemas de poliedros. Reducción combinatoria de singularidades 43 2.1. Tejidosoporte...................................... 43 2.2. Sistemasdepoliedros.................................. 45 2.3. Reducción de Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4. Caso Hironaka casi-ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5. Sistemas de poliedros especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6. Sistemas de poliedros generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.7. Ejemplos ........................................ 54 2.7.1. Sistema de poliedros asociado a una hipersuperficie . . . . . . . . . . . . . 55 2.7.2. Sistema de poliedros asociado a un espacio foliado . . . . . . . . . . . . . 58 2.7.3. Otrosejemplos................................. 60 3. Graduaciones y formas iniciales pesadas 61 3.1. Vectoresdepesos.................................... 61 3.2. Módulos ρ-graduados de r-formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3. La ρ-forma inicial de una foliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4. Producto y diferencial exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4. Foliaciones Newton no degeneradas 75 4.1. Ceros de uno-formas diferenciales pesadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2. Espacios foliados Newton no degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3. Teoremadeequivalencia................................ 79 4.4. Ejemplos ........................................ 84 vii Índice general 5. Globalización de ramas aisladas de foliaciones no degeneradas 87 5.1. Foliaciones no degeneradas en el plano proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2. Naturaleza global de las ramas invariantes aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.3. Existencia de ramas invariantes aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.4. Integrales primeras racionales y curvas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6. Existencia de superficie invariante para foliaciones torificables 95 6.1. Superficies invariantes y separatrices parciales extendidas . . . . . . . . . . . . . 95 6.2. Búsqueda de singularidades traza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3. Prolongación de ramas aisladas en foliaciones de tipo tórico . . . . . . . . . . . . 100 Conclusiones y trabajo futuro 101 Conclusions and future work 107 Anexos 113 Anexo I: Combinatorial Aspects of Classical Resolution of Singularities . . . . . . . . . 113 Anexo II: Global Invariant Branches of Non-degenerate Foliations on Toric Projective Surfaces.........................................133 Anexo III: Invariant Surfaces for Toric Type Foliations in Dimension Three . . . . . . 159 Bibliografía 175 Lista de figuras 179 viii English Introduction It was Paul Painlevé who, at the end of the 19th century, saw the need to create a geometric theory in order to understand better the problems in the study of solutions of holomorphic differential equations. This point of view began with the works of Henri Poincaré and Ivar Otto Bendixon and took its own entity as “theory of foliations” with the work of Charles Ehresmann and Georges Reeb in the 1940s. A foliation always appears as the family of solutions of some system of differential equations and to study the behavior of the foliation is to study the global behavior of the solutions of this system. From the local point of view, foliations always offer the same picture, the one of a foliated chart, with plaques that will be extended later on the leaves. Complexity appears when there are considered global situations, or singular points, also called equilibrium points in the case of vector fields. In fact the geometric complexity of the leaves around a singular point is compared to the global situation, representing the singularity a “zone of the infinity inaccessible by the dynamic system”. Singularities are nevertheless conditioned to the fact that we consider holomorphic differential equations themselves. Specifically, a foliation of codimension one is represented by the equation ω= 0, where ωis a holomorphic one-form satisfying the integrability condition of Frobenius ω∧dω = 0; the singular points are those where ωis zero In the 80’s the study of the singularities of holomorphic foliations was accelerated, starting from the foundational works of Robert Moussu, Jean-Pierre Ramis, Jean Martinet, Bernard Malgrange, Jean-François Mattei, Dominique Cerveau and others, study that has continued to the present, in some aspects in parallel to the theory of singularities of varieties. This is the framework in which this thesis is framed. One of the ways of dealing with the study of holomorphic singular foliations is to look for a model with “simpler” singularities, coinciding with the original outside its singular points; this is, to achieve a reduction of singularities by means of a finite sequence of blowing-ups, in the same spirit as the resolution of singularities of varieties. The problem of reduction of singularities for holomorphic foliations of codimension one was solved by Abraham Seidenberg in 1968, for the case of dimension two, in his well-known article [40]. In ambient dimension three there is a positive answer firstly, for the non-dicritical case in the article [11] of Felipe Cano and Dominique Cerveau in 1992 and later, in 2004, for the general three-dimensional case in the article [10] of F. Cano. However, this remains being an open problem in higher dimension, although some very substantial progress has been made in the direction of local uniformization in the preprint [13] of F. Cano and Miguel Fernández-Duque. This point of view of the reduction of singularities is the one that we adopt in this work. The main topic of my research, presented in this document in order to obtain a “PhD degree in Mathematics by the University of Valladolid”, is the study of “Newton non-degenerate codimension one foliations”. The non-degenerate singularities for hypersurfaces have been described classically by A. Kouchnirenko in [35]; let us give a quick description of them. We consider a germ of hypersurface in (Cn,0), defined locally by a reduced equation f= 0 in local coordinates z= (z1, z2, . . . , zn). We take the Taylor’s expansion of f, we consider the convex hull of the σ∈Rn ≥0such that λσ6= 0 and we add to it the first orthant Rn ≥0. In this way it is obtained the Newton polyhedron 1 Introducción Fue Paul Painlevé quien, a finales del siglo XIX, vio la necesidad de crear una teoría geométrica con el fin de comprender mejor los problemas en el estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales holomorfas. Este punto de vista se inició con los trabajos de Henri Poincaré e Ivar Otto Bendixon y tomo entidad propia como “teoría de foliaciones” a raíz de la obra de Charles Ehresmann y Georges Reeb en el entorno de 1940. Una foliación siempre aparece como la familia de soluciones de algún sistema de ecuaciones diferenciales y estudiar el comportamiento de la foliación es estudiar el comportamiento global de las soluciones de éste. Desde el punto de vista local, las foliaciones siempre ofrecen la misma figura, la de una carta foliada, con placas que después se prolongarán en las hojas. La complejidad aparece al considerar situaciones globales, o bien puntos singulares, también llamados puntos de equilibrio en el caso de campos de vectores. De hecho, la complejidad geométrica de las hojas alrededor de un punto singular se equipara a la situación global, representando la singularidad una “zona del infinito inalcanzable por el sistema dinámico”. Las singularidades están no obstante condicionadas al hecho de que consideramos ecuaciones diferenciales holomorfas ellas mismas. Concretamente, una foliación de codimensión uno está representada por la ecuación ω= 0, donde ωes una forma holomorfa con la condición de integrabilidad de Frobenius ω∧dω = 0; los puntos singulares son aquellos donde ωse anula. En los años 80 se aceleró el estudio de las singularidades de foliaciones holomorfas, a partir de los trabajos fundacionales de Robert Moussu, Jean-Pierre Ramis, Jean Martinet, Bernard Malgrange, Jean-François Mattei, Dominique Cerveau y otros, estudio que ha continuado hasta nuestros días, en algunos aspectos de modo paralelo al de la teoría de singularidades de variedades. Éste es el marco en el que se encuadra esta memoria. Una de las maneras de abordar el estudio de las foliaciones singulares holomorfas es buscar un modelo con singularidades “más sencillas”, que coincida con el original fuera de los puntos singulares de éste; esto es, conseguir una reducción de singularidades por medio de una sucesión finita de explosiones, en el mismo espíritu que la resolución de singularidades de variedades. El problema de reducción de singularidades para foliaciones holomorfas de codimensión uno fue resuelto por Abraham Seidenberg en 1968, para el caso de dimensión dos, en su conocido artículo [40]. En dimensión ambiente tres se tiene una respuesta positiva en primer lugar, en el caso no dicrítico en el artículo [11] de Felipe Cano y Dominique Cerveau de 1992 y posteriormente, en 2004, para el caso general tridimensional en el artículo [10] de F. Cano. En cambio, éste sigue siendo un problema abierto en dimensión superior, aunque se han hecho algunos avances muy significativos en la dirección de la uniformización local en el preprint [13] de F. Cano y Miguel Fernández-Duque. Este punto de vista de la reducción de singularidades es el que adoptamos en este trabajo. El objeto principal de mi investigación, presentado en esta memoria con la que opto a obtener el grado de “Doctora en Matemáticas por la Universidad de Valladolid”, es el estudio de las foliaciones holomorfas de codimensión uno “Newton no-degeneradas”. Las singularidades no degeneradas para hipersuperficies han sido descritas clásicamente por A. Kouchnirenko en [35]; vamos a dar una descripción rápida de éstas. Consideramos un germen de hipersuperficie en (Cn,0), definido localmente por una ecuación reducida f= 0 en coordenadas locales z= (z1, z2, . . . , zn). Tomamos el desarrollo de Taylor de fdado por 9 f=Pσλσzσ, consideramos la envolvente convexa de los σ∈Rn ≥0tales que λσ6= 0 y a ésta le sumamos el primer ortante Rn ≥0. Así se obtiene el poliedro de Newton de f. Consideramos su frontera compacta ∆y decimos que la singularidad es no degenerada si los coeficientes son “genéricos” en un sentido que definiremos más adelante. Esta clase de singularidades es abierta y densa en el espacio de coeficientes cuando ∆está fijo. También M. Oka hace un estudio en [36] de las singularidades no degeneradas para el caso de intersecciones completas. Tomando un punto de vista logarítmico, podemos definir un poliedro de Newton asociado a un germen de forma diferencial o campo de vectores, una vez fijemos un sistema de coordenadas. Desde una aproximación más geométrica, considerar un divisor con cruzamientos normales en el espacio ambiente, determina las coordenadas que vamos a utilizar. De este modo, podemos definir no un solo poliedro, sino un sistema de poliedros completo, cada uno de ellos asociado a uno de los estratos dados de forma natural por el divisor, como veremos en el Capítulo 2. Un espacio foliado se define como el formado por una foliación de codimensión uno Fen un espacio analítico complejo M, junto con un divisor con cruzamientos normales E⊂M. La mayoría de las definiciones, propiedades y resultados que presentamos en este trabajo conciernen al espacio foliado (M, E, F)y no sólo a la foliación F. En la teoría general establecida en el Capítulo 4, introducimos el concepto de “espacio foliado Newton no degenerado” que, por supuesto, coincide con el clásico para gérmenes de hipersuperficies, cuando consideramos gérmenes de foliaciones con integral primera holomorfa. Por otro lado, una vez que tenemos un divisor con cruzamientos normales en el espacio ambiente, podemos hablar de “explosiones combinatorias”. Éstas son explosiones centradas en la clausura de alguno de los estratos determinados por el divisor. Extendemos la definición dada por M.I.T. Camacho y F. Cano en [9] y decimos que una foliación de codimensión uno es de “tipo tórico” si obtenemos solamente “puntos simples” después de una sucesión de explosiones combinatoria, esto es, si tiene una “desingularización combinatoria”. Cuando pedimos llegar sólo hasta “puntos presimples”, decimos que la foliación es de “tipo tórico débil”. Uno de los resultados que demostramos en esta memoria es el “teorema de equivalencia” que dice que las foliaciones Newton no degeneradas son exactamente aquellas de tipo tórico débil, bajo la hipótesis de que la foliación no tiene sillas-nodo, es decir, es hiperbólico-compleja. Señalemos que la clase de foliaciones Newton no degeneradas contiene foliaciones dicríticas, esto es, después de una sucesión finita de explosiones con centros invariantes, podemos encontrar componentes del divisor excepcional genéricamente transversales. Este hecho abre de manera natural la pregunta de si tales foliaciones admiten hipersuperficie invariante. La existencia de hipersuperficie invariante es un problema general planteado por René Thom, cuya solución es afirmativa en el caso no dicrítico (resultados de C. Camacho, P. Sad, D. Cerveau, F. Cano y J.F. Mattei), y negativa en el caso general dicrítico. Por eso es interesante detectar clases de foliaciones dicríticas en las que esté asegurada la existencia de hipersuperficie invariante. Otro de los teoremas que presentamos en la memoria asegura la existencia de superficie invariante para las foliaciones de tipo tórico en dimensión tres. Para establecerlo, hemos necesitado un estudio profundo de las foliaciones Newton no degeneradas definidas en superficies proyectivas con estructura tórica. En este contexto presentamos una batería de resultados que clasifican dichas foliaciones y, en particular, ponen en evidencia la propiedad fundamental de prolongación de curvas invariantes aisladas para foliaciones Newton no degeneradas en superficies tóricas. A continuación, pasamos a exponer el contenido de los capítulos que componen esta tesis, con mención expresa de los resultados más destacados obtenidos. Capítulo 1. Preliminares En este capítulo se recuerdan e introducen definiciones básicas que conciernen a la teoría general de foliaciones holomorfas de codimensión uno. Un espacio ambiente M= (M, E)consiste en un espacio analítico complejo no singular Macompañado de un divisor con cruzamientos normales E. Los sistemas locales de coordenadas x= (x1, x2, . . . , xn), siempre los tomamos adaptados a E, esto es cumpliendo la propiedad E⊂(x1x2···xn= 0). Dada una foliación Fen M, consideraremos generadores locales con una escritura logarítmica 10 Introducción respecto al divisor, que escribiremos en coordenadas adaptadas a E= (Qj∈Axj= 0) como: ω=Xj∈Aaj dxj xj +Xj∈Bajdxj, aj∈ OM,p, Un generador holomorfo η=f1dx1+f2dx2+···+fndxnse obtiene de ωmultiplicando éste por una ecuación reducida de la parte invariante del divisor E. Con esta escritura, el lugar singular Sing(F)viene dado localmente por los ceros comunes de los coeficientes fi. Cuando a éste se le añaden los puntos donde la foliación y el divisor no tienen cruzamientos normales, los puntos de tangencia, obtenemos el lugar singular adaptado Sing(F, E). Recordemos que clásicamente, en el caso bidimensional, una singularidad es presimple si existe un campo de vectores definiendo la foliación con parte lineal no nilpotente. Cuando además la razón de los autovalores de la parte lineal no es un racional positivo, decimos que la singularidad es simple. En el caso particular en el que uno de los autovalores es cero, decimos que es una silla-nodo. El ejemplo clásico de silla-nodo es el dado por la ecuación de Euler (y−x)dx −x2dy. Estos conceptos se modifican ligeramente para hacerlos encajar en una definición adaptada al divisor que se generaliza a dimensión superior. En este contexto adaptado, los puntos presimples cumplen que el número de componentes invariantes del divisor pasando por ellos es o bien el tipo dimensional de la foliación o bien uno menos, donde recordamos que el tipo dimensional es el menor número de variables en el que se puede escribir un generador holomorfo. En el primer caso diremos que son puntos de tipo esquina y en el segundo caso puntos de tipo traza. Las explosiones admisibles son aquellas cuyos centros tienen cruzamientos normales con el divisor y son invariantes para la foliación, es decir, están contenidos o bien en una hoja o bien en el lugar singular. Una reducción de singularidades es una sucesión finita de explosiones admisibles de modo que en el espacio final todos lo puntos son simples. Cuando solamente llegamos hasta puntos presimples hablamos de pre-reducción. Prácticamente todos los resultados que proporcionamos en esta memoria, se hacen bajo la hipótesis hiperbólico-compleja. Ésta impone que no aparezcan sillas-nodo bidimensionales en la foliación, o de manera más precisa, que para cada punto p∈M, no exista ningún morfismo genéricamente transversal φ: (C2,0) →(M, p)cumpliendo que el origen sea una silla-nodo para la foliación φ−1F. Esta clase de foliaciones también se conoce en el caso de dimensión dos como “curva generalizada” (véase [8]). Por otro lado, en muchas ocasiones vamos a hacer hincapié en el hecho de estar considerando foliaciones dicríticas (como en el Capítulo 6). Una foliación Fse dice no dicrítica si para cualquier composición de una sucesión finita de explosiones admisibles se tiene que el divisor excepcional es no dicrítico (en la memoria se precisa un poco más esta definición). Por último, destacamos el concepto de rama invariante aislada en dimensión ambiente dos, sugerido por C. Camacho, A. Lins Neto y P. Sad en [8]. Éstas son las que siempre pasan por componentes no dicríticas del divisor excepcional, después de cualquier reducción de singularidades. Capítulo 2. Sistemas de poliedros. Reducción combinatoria de Singularidades. En este capítulo se explica el contenido de un artículo ya aceptado para su publicación, que se adjunta como anexo. Cambiamos los espacios ambiente por su estructura combinatoria, aquello que llamamos “tejido soporte” (en inglés “support fabric”). El concepto tiene mucho que ver con la idea en dimensión dos de grafo dual de un divisor excepcional y en dimensión cualquiera con la de complejo simplicial dual. De manera más concreta, dado un espacio ambiente (M, E)con E=∪i∈IEi, su tejido soporte asociado es un par formado por los índices Iy un conjunto de estratos H ⊂ P(I)de manera que J∈ H siempre y cuando la intersección EJ=∩j∈JEj sea no vacía. Lo que proponemos es una estructura de sistemas de poliedros característicos D 11 definida sobre tejidos soporte y que se transforma de manera natural siguiendo las reglas dadas por los morfismos de explosión. Los poliedros característicos de Hironaka representan los pasos combinatorios en casi cualquier proceso de reducción de singularidades. Esto está implícito en la formulación del “juego de los poliedros” en [33], resuelto por Spivakovsky en [41], y en otros artículos sobre poliedros característicos. Los aspectos combinatorios que conciernen a los problemas de reducción de singularidades se reflejan en los sistemas de poliedros sin perder los aspectos globales como podemos apreciar en la prueba que damos sobre el siguiente resultado, central en este capítulo: Teorema 2.2 Dado un sistema de poliedros D, hay una sucesión finita de transformados característicos D → D1→ D2→ ··· → Dk, de modo que Sing(Dk) = ∅. La dimensión de un tejido soporte viene dada por el número de elementos máximo en sus estratos. Nótese que, cuando éste viene asociado a un espacio ambiente M, su dimensión puede ser más pequeña que la del ambiente. La demostración del resultado anterior se realiza por inducción en la dimensión y distinguiremos tres tipos de sistemas de poliedros: 1. Los “Hironaka casi-ordinarios”, para los que la prueba se hace de manera directa. 2. Los “especiales”, para los que damos una versión combinatoria del contacto maximal. 3. Los “generales”, donde se usa el control de los poliedros de Spivakovsky. Cuando consideramos sistemas especiales bajo la hipótesis de inducción, definimos el contacto maximal en este contexto. Pese a que no es evidente que éste exista de forma global, probamos que sí ocurre, ya que es precisamente la hipótesis de inducción la que permite eliminar la posible “incoherencia global”. Ahora, proyectamos sobre un “tejido soporte de contacto maximal”, que juega el papel de variedad de contacto maximal (véase [3]) y de nuevo usamos la hipótesis de inducción para concluir la prueba en este caso. Para los sistemas generales definimos el “invariante de Spivakovsky” y la “proyección de Spivakovsky”, que nos permiten controlar nuestro sistema original por medio de uno especial, hasta reducirlo al caso Hironaka casi-ordinario. Finalmente, damos una serie de ejemplos de sistemas de poliedros asociados a objetos geométricos como son las hipersuperficies, las foliaciones de codimensión uno o los campos de vectores. Estos ejemplos son el punto de partida necesario para proveer un soporte combinatorio global para las hipersuperfices y foliaciones Newton no degeneradas. Capítulo 3. Graduaciones y formas iniciales pesadas. Éste es un capítulo de orden técnico, destinado a justificar el lenguaje en términos de la teoría de haces, filtraciones y graduaciones pesadas de anillos y módulos. Fijado un estrato Jde la estratificación inducida por el divisor, un vector de pesos es un elemento ρen el espacio vectorial dual (RJ)∗con todas sus entradas positivas (cuando identificamos éste con el espacio RJ). Si tenemos un poliedro de Newton definido NJasociado al estrato J, estos vectores de pesos marcan caras compacta del poliedro. Dado un abierto U⊂My una función f∈ OM(U), si tratamos de definir su forma inicial pesada o ρ-forma inicial como un elemento del anillo de polinomios en T= (Tj)j∈Jy con coeficientes en OSJ(U∩SJ), encontramos dos problemas. El primero y más relevante es que necesitamos para hacerlo un sistema de coordenadas definido en todo el abierto U. En segundo lugar vemos que, pese a que la primera dificultad esté superada, nos encontramos también con el hecho de que la definición depende de las coordenadas escogidas. Por tanto, en pos de definir el concepto de ρ-forma inicial de fde forma intrínseca y global, vamos a construir un haz intrínseco de álgebras graduadas Gρ JOM. De manera más general, se definen los haces de módulos graduados Ωr SJ(logT, R)yGρ JΩr M(logE)con base en el estrato geométrico SJ. 12 Introducción Mientras que el primero de ellos se fabrica de forma directa tomando los coeficientes en el haz OSJ, como para el caso de funciones, el segundo se construye fibra a fibra a partir de los gérmenes de r-formas diferenciales logarítmicas en My se prueba que son localmente isomorfos. Es decir, las formas iniciales pesadas las definiremos como secciones del haz Gρ JΩr M(logE), donde quedan “codificados” los cambios de coordenadas por los isomorfismos locales con el haz de módulos Ωr SJ(logT, R). De esta manera, introducimos la ρ-forma inicial LρFde una foliacion Fcomo un submódulo del haz Gρ JΩr M(logE). Las condiciones de no degeneración que se presentan en el Capítulo 4 se dan en este lenguaje, a partir de la identificación local, una vez fijadas coordenadas, con las secciones de Ωr SJ(logT, R). Capítulo 4. Foliaciones Newton no degeneradas. Usamos las construcciones de formas iniciales pesadas hechas en el capítulo anterior, para dar la definición de espacio foliado Newton no degenerado. Ésta es una definición local aunque abierta, que damos siguiendo las ideas clásicas para hipersuperficies e intersecciones completas. Nos fijamos en un punto y en el estrato de la estratificación natural dada por el divisor al que éste pertenece, digamos J. Fijamos un peso ρ∈(RJ)∗con entradas positivas y decimos que el espacio foliado (M,F)es “(ρ, J)-no degenerado en p” si la forma inicial pesada LρFpno se anula en el toro complejo (C∗)J. Como ya sabemos, los pesos marcan caras del poliedro y además cuando leemos las formas iniciales pesada a través de un sistema de coordenadas para dos pesos distintos asociados a la misma cara del poliedro, nos damos cuenta de que son esencialmente la misma. Como consecuencia, basta considerar un peso por cada cara compacta del poliedro. Cuando la condición J-no degenerado se cumple para todos los puntos p∈Mdecimos que el espacio foliado es “Newton no degenerado”. Un resultado interesante es que la restricción a una componente dicrítica de un espacio foliado Newton no degenerado también es Newton no degenerada. El objetivo principal de este capítulo es probar el siguiente teorema de equivalencia Teorema 4.1 Un espacio foliado hiperbólico-complejo es Newton no degenerado si y solamente si es de tipo tórico débil. La demostración se realiza en dos etapas. En primer lugar vemos que ser Newton no degenerado es estable por explosiones e implosiones combinatorias, sin necesidad de la hipótesis hiperbólico-compleja. Para ello, hacemos un juego combinatorio que marca qué estratos y pesos se relacionan con cuáles antes y después de explosión. Una vez se sabe esto la estabilidad es una comprobación directa que hacemos en el Lema 4.1. En segundo lugar vemos que ocurre en la “etapa final”, esto es cuando trabajamos con un poliedro desingularizado, o lo que es lo mismo cuando el estrato ya es de partida genéricamente presimple. Lo que vemos aquí, ahora sí, bajo la hipótesis hiperbólico-compleja, es que, en este caso, un espacio foliado es Newton no degenerado en un punto si y solamente si el punto es presimple. Para concluir la equivalencia es clave observar que una desingularización del sistema de poliedros asociado (que sabemos que existe por el Teorema 2.2), da lugar a una sucesión de explosiones combinatorias admisibles. Juntando esto con la estabilidad y la etapa final obtenemos la prueba del resultado. En la última sección de este capítulo observamos que el concepto de espacio foliado Newton no degenerado extiende de manera natural el concepto clásico para hipersuperfices, cuando consideramos foliaciones con integral primera holomorfa. Asimismo, no es difícil encontrar ejemplos dicríticos a partir de foliaciones con integral primera racional o multivalorada. Finalmente concluimos observando que la condición de ser Newton no degenerada para un poliedro fijado es abierta dentro del cerrado definido por la condición de integrabilidad de Frobenius y, en definitiva, estamos hablando de abiertos de Zariski no vacíos en espacios de foliaciones. Capítulo 5. Globalización de ramas aisladas de foliaciones no degeneradas. En este capítulo describimos aspectos locales-globales relativos a las curvas invariantes de foliaciones hiperbólico-complejas Newton no degeneardas definidas en superficies tóricas proyectivas. El resultado principal que presentamos es el siguiente: 13 Teorema 5.1. Las ramas invariantes aisladas de una foliación hiperbólico-compleja Newton no degenerada definida sobre una superficie tórica proyectiva se extienden a curvas algebraicas. Recordemos que a una superficie tórica no singular se le asocia de manera natural un divisor con cruzamientos normales, dado por la unión de las órbitas no densas de la acción del toro. Además, en el caso proyectivo, estas superfices se obtienen, por medio de explosiones e implosiones combinatorias, desde el plano proyectivo con la estructura tórica “estándar”. Puesto que las propiedades que consideramos son estables por estas transformaciones, es suficiente probar nuestros resultados para el caso del plano proyectivo. El polígono homogéneo de una foliación de P2 Ces una versión global del polígono de Newton y en el contexto Newton no degenerado, mostramos que éste es necesariamente un segmento o un solo vértice. El argumento clave para esta prueba es el profundo y original estudio debido a los investigadores rusos A.G. Khovanskii, A.G. Kouchnirenko y D.N. Bernstein (véase [5, 34]), donde obtienen el siguiente resultado (BKK): “El número de raíces de un sistema de polinomios de Laurent en posición general es el volumen mixto de los poliedros asociados”. El conocimiento de la forma del polígono homogéneo nos permite dar una clasificación completa de las foliaciones Newton no degeneradas en el plano proyectivo. De forma más precisa, distinguimos los siguientes casos: Caso a) Cuando el polígono homogéneo es un solo vértice, no hay ramas invariantes aisladas. Caso b) Cuando el polígono homogéneo es el segmento que une los puntos (0, d, 0) y(0,0, d): las ramas invariantes aisladas están en una familia de rectas del tipo `λ= (X2−λX1= 0). Caso c) Cuando éste es el segmento que une los puntos (d, 0,0) y(0, a, d −a): las ramas invariantes aisladas están en una familia de curvas, que son localmente cúspides, esto es, del tipo Cλ= (X˜ d−˜a 1X˜a 2−λX ˜ d 0= 0). Como consecuencia de esta descripción, obtenemos el resultado de globalización enunciado en el Teorema 5.1. En lo que se refiere a la existencia de ramas invariantes aisladas en el contexto Newton no degenerado, vemos en el Lema 5.4 que hay efectivamente al menos una para cada λen la familia anterior. En el caso b), basta hacer explosión en el punto común de todas las rectas `λ. Cada una de las lineas transformadas corta al nuevo divisor en dos puntos pλyqλ, y lo que observamos es que las “razones de los autovalores” de las singularidades de la foliación en esos puntos son opuestas una de la otra; por tanto, por lo menos uno de ellos es un punto simple y encontramos una rama invariante aislada pasando por él. En el caso c) encontramos un argumento similar después de la reducción de singularidades de la familia cuspidal Cλ. Cuando trabajamos con la propiedad más fuerte de ser de tipo tórico, tenemos además la siguiente dicotomía: La foliación tiene integral primera racional, pero no tiene ramas invariantes aisladas. La foliación tiene una cantidad finita de curvas globales invariantes no contenidas en el divisor. Además, todas ellas definen ramas invariantes aisladas en los puntos de intersección con el divisor. Asimismo, de estos resultados deducimos que siempre hay curva global invariante para una foliación de tipo tórico en una superficie tórica proyectiva. Esto no sucede en general para foliaciones hiperbólico-complejas en el plano proyectivo, como muestra en [24] el clásico ejemplo de Jouanalou dado por la forma diferencial (X2 0X1−X3 2)dX0+ (X2 1X2−X3 0)dX1+ (X2 2X0−X3 1)dX2. 14 Introducción Esta foliación no tiene curvas algebraicas invariantes, pero en cambio tiene siete singularidades y dos ramas invariantes aisladas en cada una de ellas. Cabe decir que este ejemplo no encaja dentro del contexto de espacios foliados de tipo tórico. El ejemplo de Jouanolou se usa de forma clásica para construir gérmenes de foliaciones de codimensión uno en dimensión tres sin superficie invariante. En cambio, los resultados que presentamos aquí para foliaciones de tipo tórico en superficies tóricas proyectivas, son el punto de partida para la prueba de la existencia de superficie invariante para gérmenes de foliaciones de tipo tórico en dimensión tres que abordamos en el Capítulo 6. Capítulo 6. Existencia de superficie invariante para foliaciones torificables. El problema de existencia de hipersuperficies invariantes para una foliación holomorfa de codimensión uno es “leitmotiv” en la teoría de foliaciones holomorfas singulares, viniendo de una pregunta inicial de René Thom. El resultado principal en este capítulo es una contribución a este problema, que establecemos como sigue: Teorema 6.1 Toda foliación torificable hiperbólico-compleja en (C3,0) tiene una superficie invariante. Ya hemos mencionado que las foliaciones en esta familia pueden ser dicríticas, lo que explica la relevancia del resultado. En efecto, como ya hemos comentado, la existencia de hipersuperficie invariante en cualquier dimensión ambiente tiene una respuesta positiva para foliaciones no dicríticas cualesquiera (véase [7, 11, 14]). Para probar la existencia de superficie invariante en una foliación dicrítica en (C3,0) es esencial tener “buenas propiedades” para la restricción de la foliación a las componentes dicríticas compactas después de reducción de singularidades. Más precisamente, la propiedad de prolongación que necesitamos se expresa como sigue: Definición 6.1: Una superficie foliada (S, D, G)tiene la propiedad de prolongación para ramas aisladas si para cada rama invariante aislada (Γ, p), las siguientes condiciones se siguen: 1. Hay una curva Y⊂Sextendiendo (Γ, p), esto es, tal que (Γ, p)⊂(Y, p). 2. Si Y⊂Ses la curva que extiende (Γ, p)yq∈Y∩D, cada rama (Υ, q)⊂(Y, q) es aislada. Si tenemos esta “propiedad de prolongación” en la restricción a las componentes dicríticas compactas de una reducción de singularidades, podemos extender el argumento de Cano-Cerveau en [11] para construir superficies invariantes, si partimos del hecho de que existe al menos un punto singular simple de tipo traza. En el marco de foliaciones de tipo tórico vemos que las componentes del divisor excepcional son superficies tóricas proyectivas. Por otro lado, la restricción de la foliación a una componente dicrítica compacta es de tipo tórico. Utilizando los resultados del capítulo precedente, concluimos que se da la propiedad de prolongación para la restricción a cada una de las componentes dicríticas. Ahora, sería suficiente encontrar un punto singular de tipo traza después de reducción de singularidades, en el contexto de tipo tórico. Tal punto aparece si y solamente si existe al menos una componente invariante en el divisor excepcional, como mostramos en la sección 6.2. Para la prueba de este resultado invocamos una versión refinada del Teorema de Camacho-Sad, probada por Ortiz-Rosales-Voronin en [37]. El caso restante se corresponde con foliaciones de tipo tórico que admiten una reducción de singularidades sin componentes invariantes. En esta situación, solo se permiten explosiones centradas en curvas, de forma étale sobre una inicial, y la existencia de superficie invariante se sigue de manera directa. 15 Capítulo 1 Preliminares En este capítulo introducimos los conceptos necesarios de teoría de haces y teoría de foliaciones holomorfas singulares que utilizaremos como lenguaje básico en el resto de la memoria. Destacaremos los conceptos de lugar singular adaptado, foliación hiperbólico-compleja, foliación dicrítica, puntos simples y presimples, desingularización, foliación de tipo tórico y de tipo tórico débil y finalmente el concepto de rama invariante aislada en dimensión dos. Referencias básicas para este capítulo son [12, 21, 23]. 1.1. Haces de A-módulos Una categoría es una colección Cde objetos de modo que para todo par de ellos X, Y ∈ C hay un conjunto Hom(X, Y ), cuyos elementos se llaman morfismos de Xen Yy dados tres de ellos X, Y, Z ∈ C, hay una aplicación de composición ◦:Hom(X, Y )×Hom(Y, Z)→Hom(X, Z),(f, g)7→ g◦f cumpliendo los siguientes axiomas: Dados f:X→Y,g:Y→Zyh:Z→Tse tiene la relación h◦(g◦f)=(h◦g)◦f. Para todo X∈ C, existe un morfismo identidad eX:X→Xtal que eX◦f=fpara todo f:Y→Xyf◦eX=fpara todo f:X→Y. Ejemplos de categorías son la de conjuntos, espacios topológicos, grupos, anillos conmutativos con unidad, etc. A un espacio topológico Xle podemos asociar un categoría Top(X)donde los objetos son los abiertos de Xy dados dos objetos U, V ∈Top(X), el conjunto de morfismos Hom(U, V )se reduce a un elemento si U⊂Vy al vacío en otro caso. Dada una categoría Cy un espacio topológico X, llamamos prehaz Pde base Xcon valores en Ca todo funtor contravariante de la categoría Top(X)en la categoría C. Esto es, a cada abierto U⊂Xle asociamos un objeto P(U)∈ C y se da un morfismo de restricción ρV U:P(V)→ P(U) cada vez que U⊂V, de modo que si U⊂V⊂W, entonces ρW U=ρV U◦ρW V. Dado s∈ P(V), escribiremos frecuentemente s|Upara hacer referencia a la restricción ρV U(s). Dado un punto x∈X, el conjunto de abiertos U∈Top(X)conteniendo xes un conjunto dirigido, tomando como orden parcial la inclusión de conjuntos. Esta razón, junto con la transitividad de los morfimos de restricción nos permite definir el límite inductivo Px= l´ım →x∈UP(U)∈ C. 17 1.4. Morfismos de explosión en Cn Un germen ξ∈ΘM,p se dice tangente a una foliación Fen un punto p∈Mcuando η(ξ)=0, donde ηes un generador local de Fen el punto p. Sea kla dimensión del C-espacio vectorial generado por los vectores ξ(p), con ξun germen de campo de vectores tangente a Fen p. El tipo dimensional τp(F)de Fen pestá dado por τp(F) = n−k≥1. Como consecuencia del teorema de rectificación y de la condición de integrabilidad, existen coordenadas locales (x1, x2, . . . , xn)tales que Festá localmente generada por una uno-forma η del tipo η=τ X i=1 fi(x1, x2,...xτ)dxτ, τ =τp(F).(1.1) Esto es, la foliación Fes localmente un cilindro analítico sobre una foliación de codimensión uno en un espacio de dimensión τ. Tales sistemas de coordenadas se llama minimales. Nótese que, en particular τ= 1 si y solamente si p6∈ Sing(F). Consideremos un morfismo φ:N→M, donde Nes un espacio analítico complejo conexo no singular. Distinguimos dos posibilidades: a) El morfismo φes invariante para F: El pull-back φ∗ηes idénticamente cero para un generador dado ηde Fen un punto dado p∈M. Equivalentemente, el pull-back φ∗ηes idénticamente cero para cualquier generador ηde Fen cualquier punto p∈M. b) El morfismo φes genéricamente transversal a F: El pull-back φ∗ηdefine una uno-forma holomorfa no nula en N, para cualquier generador local ηde Fen un punto dado p∈M. Definimos φ∗Fcomo la foliación en Ndada localmente por los pull-backs φ∗η, después de dividir por los factores comunes de los coeficientes. Un subconjunto analítico cerrado Y⊂Mse dice invariante para Fen p∈Ysi cada morfismo φ: (C,0) →(M, p)que factoriza a través de (Y, p)es invariante. Decimos que Yes invariante para Fcuando lo es en cada punto p∈Y. La propiedad de ser invariante en un punto es cerrada y abierta en Y. Como consecuencia, un subespacio irreducible e invariante para Fen un punto es todo él invariante. Recordemos ahora que una hipersuperficie Hde Mestá dada localmente en un punto p∈Mpor una ecuación reducida f= 0, donde f∈ OM,p. Se dice que un subespacio analítico Y⊂Mde dimensión kes una intersección completa si está dado por la intersección de n−k hipersuperficies Hi⊂M. Podemos comprobar que una intersección completa (y en particular una hipersuperficie) Yes invariante para Fen un punto p∈Ysi y solamente si existe un generador local ηde Ftal que η∧df1∧df2∧···∧dfk|Y= 0, donde fi= 0 son ecuaciones locales reducidas de Hi, para i= 1,2, . . . , n −k. Observación 1.1.Todo subespacio Y⊂Sing(F)es invariante para F, por definición. Observación 1.2.El teorema de Fobrenius implica, en particular, que hay un único germen de hipersuperficie invariante para Fpasando por cada punto no singular. 1.4. Morfismos de explosión en Cn En esta sección recordamos brevemente la definición de explosión de un punto y de un subespacio analítico conexo no singular de Cn, sin entrar en detalles como la propiedad universal de la explosión, el hecho de que son morfismos propios u otras propiedades intrínsecas. Dados dos enteros positivos k, n ∈Z>0con n≥k, consideramos coordenadas x= (x1, x2, . . . , xn)en Cn,X= [X1, X2, . . . , Xk]en Pk−1 C. 24 Capítulo 1. Preliminares Sea φ:Ck\{0} → Pk−1 Cla aplicación natural dada por a= (a1, a2, . . . , ak)7→ P(a)=[a1, a2, . . . , ak] y tomemos el conjunto Σdado por la clausura del grafo de φ, considerando la topología inducida por el producto Ck×Pk−1 C. Esto es Σ = cl(gr(φ)) = (a, P(a)) ∈Ck×Pk−1 C;a∈Ck\{0}∪Σ0,Σ0={0}×Pk−1 C. La aplicación π: Σ ×Cn−k→Ck×Cn−kdefinida por ((a,P(a)),b)7→ (a,b),a= (a1, a2, . . . , ak),b= (bk+1, bk+2, . . . , bn) se llama explosión de Cncon centro Y, donde Yes el subconjunto de Cndado por Y= (x1=x2=··· =xk= 0). Tenemos que πes sobreyectiva y además π: (Σ \Σ0)×Cn−k→(Ck\{0})×Cn−k es un isomorfismo. Llamamos divisor excepcional al subespacio Ede Σdefinido por E=π−1(0) = Σ0×Cn−k⊂Σ Cuando n=k, recuperamos exactamente la explosión del origen de Cn. Nos interesa especialmente manejar la lectura en cartas afines del morfismo de explosión π. Llamamos j-ésima carta de la explosión al par (Σj×Cn−k, φj)donde Σj= Σ ∩(Xj6= 0) y φj: Σj×Cn−k→Ck×Cn−k es la aplicación definida como sigue: ((a,P(a)),b)7→ ((a1/aj, a2/aj...,aj−1/aj,1, aj+1/aj, . . . , an/aj),b) La composición π◦φ−1 jproporciona una lectura de la explosión en la j-ésima carta y se ve así: π◦φ−1 j(x1, x2, . . . , xn)=(x1xj, x2xj, . . . , xj−1xj, xj, xj+1xj, . . . , xkxj, xk+1, . . . , xn). 1.5. Singularidades presimples y simples en C2 En esta sección recordamos brevemente las definiciones clásicas de singularidades simples y presimples en el caso bidimensional y su comportamiento por explosión. Todos los detalles se pueden encontrar en [12]. Sea Gun germen de foliación en (C2,0) generado por una uno-forma holomorfa ηdada en coordenadas por η=f1dx1+f2dx2y supongamos que el origen es una singularidad de G, esto es f1(0) = f2(0) = 0. Sea ξel germen de campo de vectores tangente a Gdado por ξ=f2∂/∂x1−f1∂/∂x2. y denotemos por Lξsu parte lineal. Decimos que el origen es una singularidad presimple para Gsi (λ, µ)6= (0,0), donde λyµson los autovalores de Lξ. Esto es λyµson los autovalores de la matriz Jacobiana Jξ=     −∂f2 ∂x1(0) −∂f2 ∂x2(0) ∂f1 ∂x1(0) ∂f1 ∂x2(0)     . El origen es una singularidad simple para Gsi además el cociente de los autovalores cumple que λ/µ /∈Q>0. Una singularidad simple para la cual λµ = 0 se llama una silla-nodo. 25 1.6. Espacios foliados Observación 1.3.En una singularidad simple que no es una silla-nodo los ratios αy1/α de los autovalores de la matriz Jacobiana se corresponden con los índices de Camacho-Sad con respecto a la ramas invariantes (véase [7]). Consideramos ahora la explosión π:f C2→C2 centrada en el origen de C2. Sea G0el transformado de Gpor πy denotemos D=π−1(0) el divisor excepcional. Si el origen es un punto regular o una singularidad presimple para G, tenemos que todo punto p0∈Des también regular o presimple para G0. Más específicamente, distinguimos los siguiente casos: 1. El origen es un punto regular. En este caso Des invariante y hay solamente un punto p0∈Sing(G0)que además es una singularidad simple para G0(marca la tangente en el punto pde la única rama invariante de Gpasando por él). 2. El origen es una singularidad simple para G. En este caso Des invariante y hay exactamente dos puntos p0 1, p0 2∈Sing(G0)que además son singularidades simples para G0. 3. El origen es una singularidad presimple para Gpero no simple. Tomemos un germen de campo de vectores ξcon parte lineal Lξno nilpotente y separemos las siguientes tres posibilidades: a) La parte lineal Lξes la identidad salvo un factor. En este caso Des dicrítico y no hay punto singulares para G0(tipo campo radial). b) La parte lineal Lξno es diagonalizable. El divisor excepcional Des invariante y hay solo un punto p0∈Sing(G0)que además es una singularidad simple para G0de tipo silla-nodo. c) La parte lineal Lξtiene dos autovalores diferentes λ, µ con cociente λ/µ ∈Q>1. En esta situación el divisor excepcional Des invariante y hay exactamente dos puntos p0, q0∈Sing(G0). Uno de ellos es una singularidad simple para G0y el otro es presimple para G0, pero todavía no es simple, con autovalores asociados λ−µ, µ. 1.6. Espacios foliados En esta sección y en las próximas vamos a considerar no solamente una foliación, sino también un divisor con cruzamientos normales que la acompaña. Vamos, por tanto, a dar definiciones relativas al par formado por estos dos objetos. Sea Mun espacio analítico complejo no singular de dimensión ny sea {Ei}i∈Iuna familia finita de hipersuperficies conexas no singulares. La unión E=∪i∈IEise denomina un divisor con cruzamientos normales de Msi para cada punto p∈Mexiste un sistema local de coordenadas x= (x1, x2, . . . , xn)tal que, localmente, se tiene: E⊂(x1x2···xn= 0).(1.2) Los sistemas de coordenadas que satisfacen esta propiedad se llaman adaptados a E. Dado un subespacio analítico irreducible Y⊂M, denotamos por eY(E)el número de componentes irreducibles de Eque contienen Y. Definimos el tejido soporte combinatorio HM,E de E⊂M (en inglés “combinatorial support fabric”) por HM,E ={J⊂I;EJ6=∅}, EJ=\ j∈J Ej(1.3) 26 Capítulo 1. Preliminares Si cada EJes conexo, decimos que Etiene cruzamientos normales fuertes. Cuando Ecumple tal propiedad, el tejido soporte combinatorio HM,E proporciona de forma natural una estratificación SM,E del espacio Mdada por SM,E ={SJ⊂M;J∈ HM,E}, SJ=EJ\[ j /∈J Ej(1.4) Esta condición de cruzamientos normales fuertes y la estratificación presentada serán de especial interés en las construcciones, definiciones y resultados de los Capítulos 3 y 4. Consideremos ahora una foliación Fen My un divisor con cruzamientos normales E⊂M. A las componentes irreducibles de Eque no son invariantes para Fse les llama frecuentemente componentes dicríticas. Así, dividimos el conjunto de índices Ien dos partes I=Iinv∪Idic, donde Iinv corresponde a las componentes invariantes e Idic a las dicríticas. Igualmente, denotamos Einv =[ i∈Iinv Ei, Edic =[ i∈Idic Ei. Observación 1.4.Para cada punto p∈M, nótense las siguientes propiedades: a) ep(Einv)≤τp(F) b) ep(Einv)≤νp(F)+1 Decimos que FyEtienen cruzamientos normales en un punto p∈Mcuando pes no singular, esto es p /∈Sing(F)y además se tiene que la unión E∪Hes, de manera local, un divisor con cruzamientos normales, donde (H, p)es el único germen de hipersuperficie invariante pasando por el punto p. El lugar singular adaptado Sing(F, E)se define por Sing(F, E) = {p∈M;FyEno tienen cruzamientos normales en el punto p}. Observación 1.5.Se tiene que Sing(F)⊂Sing(F, E), pero la igualdad no se da necesariamente: Por ejemplo, consideremos la foliación en (C2,0) dada por d(x+y2) = 0 y consideremos el divisor con cruzamientos normales E= (x= 0). Tenemos que, pese a que el origen es no singular, no es un punto de cruzamientos normales del divisor con la foliación, puesto que (x= 0) ∪(x+y2= 0) no es un divisor con cruzamientos normales, ya que (x= 0) y(x+y= 0) son curvas tangentes. Por tanto 0∈Sing(F, E)\Sing(F). Lema 1.1. El lugar singular adaptado Sing(F, E)⊂Mes un subconjunto analítico cerrado de Mde codimensión mayor o igual que dos. Demostración. Trabajamos localmente en un punto p∈M. Si ep(Edic)=0, se tiene que Sing(F, E) = Sing(F)y en este caso sabemos que es cierto. De un modo más general, consideramos un sistema local de coordenadas x= (x1, x2, . . . , xn)de manera que Edic =[ j∈Adic (xj= 0), donde Adic ⊂ {1,2, . . . , n}. Sea η=f1dx1+f2dx2+··· +fndxnun generador local de F. Consideramos los subconjuntos analíticos cerrados dados por ZJ= (xj= 0; j∈J)∩(fj= 0; j∈ {1,2, . . . , n}\J), J ⊂Adic. No es difícil de probar que Sing(F, E) = ∪JZJ, localmente en el punto p. Por tanto, si demostramos que codim(ZJ)≥2para todo J⊂Adic, hemos terminado. 27 1.6. Espacios foliados Nótese que Z∅=Sing(F)y como consecuencia codim(Z∅)≥2. Por otro lado, dado que ZJ⊂(xj= 0; j∈J), también se cumple que codim(ZJ)≥2cuando #J≥2. Supongamos ahora por reducción al absurdo, que hay un índice j∈Adic cumpliendo que codim(Z{j}) = 1. Esto significa que Z{j}= (xj= 0), por lo tanto se tiene fk=xj˜ fk,˜ fk∈ OM,p, k ∈ {1,2, . . . , n}\{j} y se concluye que (xj= 0) es invariante, lo cual da una contradicción.  Lema 1.2. Si EJ⊂Sing(F, E), entonces EJes invariante. Demostración. Tomamos un sistema local de coordenadas x= (x1, x2, . . . , xn)adaptado a E tal que EJ,dic = (x1=··· =xr= 0) ⊂Edic,EJ,inv = (xr+1 =. . . =xt= 0) ⊂Einv con EJ=EJ,dic ∪EJ,inv. Sea ηun generador de Fen punto p. Tomando las notaciones como en el lema anterior, lo que queremos ver es que n X s=r+1 fsdxs∧dx1∧dx2∧···∧dxt|EJ= 0, Nótese que fs=xi˜ fscon ˜ fs∈ OM,p para todo i=r+1, . . . , t, pues xi= 0 es una componente invariante de E. Por otro lado, con la descripción que hemos dado del lugar singular adaptado, tenemos que EJ⊂Sing(F, E)si y solo si EJ,dic ⊂(fs= 0; s∈ {r+ 1, r + 2, . . . , n}). Juntando estas dos cosas tenemos que EJ⊂(fs= 0; s∈ {t, t+1, . . . , n})como queríamos.  Para hablar de propiedades relativas al par (F, E)es útil introducir el concepto logarítmico de E-foliación. Cabe decir que éste es de orden técnico. Sea Ω1 M(logE)el haz de gérmenes de uno-formas logarítmicas a lo largo del divisor E. Una E-foliación Len Mes un OM-submódulo coherente L ⊂ Ω1 M(logE)integrable e invertible y tal que el cociente Ω1 M(logE)/Les un OM- módulo libre de torsión. Dado un punto p∈M, la E-foliación Lestá localmente generada por una uno-forma logarítmica ω∈Ω1 M,p(logE)que satisface la condición de integrabilidad de Frobenius dada por ω∧dω = 0 y que escribimos en coordenadas locales (x1, x2, . . . , xn) adaptadas a Ecomo ω=Xj∈Aaj dxj xj +Xj∈Bajdxj, aj∈ OM,p;A∪B={1,2, . . . , n},(1.5) donde E=∪j∈A(xj= 0) y los coeficientes ajno tienen factores comunes. Con esta escritura, el orden νp(L, E)de Len el punto pcon respecto a Eestá dado por νp(L, E) = νp(a1, a2, . . . , an). Definimos el lugar singular logarítmico log-Sing(L, E)de Lcon respecto a Ecomo el subconjunto analítico cerrado de Mdefinido localmente por log-Sing(L, E)=(a1=a2=··· =an= 0). Sean Fol(M, E)y Fol(M)los conjuntos de E-foliaciones y foliaciones en M, respectivamente. Nótese que Fol(M) = Fol(M, ∅)y que hay una biyección Fol(M)→Fol(M, E),F 7→ LF, donde LFes tal que LF|M\E=F|M\Ey está definida en términos de generadores locales en un punto p∈Mpor la relación η= ( Y j∈Ainv xj)ω, 28 Capítulo 1. Preliminares donde Einv =∪j∈Ainv(xj= 0) es la parte invariante del divisor Erespecto a la foliación F. A un generador local ωde LFlo llamamos también generador local de Fadaptado a E. Definimos el orden νp(F, E)de Fadaptado a Ey el lugar singular logarítmico log-Sing(F, E)de Fadaptado aEpor las igualdades: νp(F, E) = νp(LF, E),log-Sing(F, E) = log-Sing(LF, E). Nótese que se tiene la relación νp(F) = νp(F, E) + ep(Einv)−1. Observación 1.6.Una componente irreducible xj= 0 de Ees dicrítica para Fsi y solamente si existe un germen de función ˜aj∈ OM,p tal que aj=xj˜aj, en la escritura de la Ecuación 1.5. Definición 1.1. Un espacio ambiente M= (M, E)es un par que consiste en un espacio analítico complejo no singular My un divisor con cruzamientos normales E⊂M. Un espacio foliado (M,F)es el dato de un espacio ambiente junto con una foliación Fen M. Observación 1.7.Estamos interesados también en espacios ambiente donde se sustituye el espacio analítico complejo no singular Mpor un germen M= (M, K)de espacio analítico complejo no singular alrededor de un subconjunto analítico compacto K. Podemos transferir a este caso prácticamente todas las definiciones de este texto tomando representantes Mdel germen M en un abierto suficientemente pequeño alrededor del compacto K. Por ello, a lo largo de esta memoria estamos considerando también, de modo implícito, este tipo de espacios ambiente, especificando cuando sea necesario cuándo hacemos referencia solamente a ellos. Observación 1.8.En algunas situaciones requeriremos que el divisor que conforma nuestros espacios ambiente tenga la propiedad de cruzamientos normales fuertes. Como veremos más adelante, esto siempre ocurrirá en la situación combinatoria cuando partamos de (Cn,0). Observación 1.9.La terminología “espacio foliado” está inspirada en el concepto “foliated manifold” introducido por A. Belotto en [4]. Hablamos ahora brevemente de los morfismos de explosión entre espacios foliados. Consideremos M= (M, E)un espacio ambiente n-dimensional y sea Y⊂Mun subespacio analítico conexo no singular. Decimos que Ytiene cruzamientos normales con el divisor Esi, para cada punto p∈M, existe un sistema local de coordenadas x= (x1, x2, . . . , xn)adaptado aEy un subconjunto B⊂ {1,2, . . . , n}cumpliendo que Y=\ i∈B (xi= 0),localmente en p. Generalizando los morfismos de explosión, introducidos en la Sección 1.4, a espacios analíticos complejos cualesquiera, podemos considerar la explosión π:M0→Mcentrada en el subespacio Y⊂M. Ésta da un nuevo divisor con cruzamientos normales E0=π−1(E∪Y) y obtenemos así un nuevo espacio ambiente M0= (M0, E0). Cuando estamos bajo la hipótesis adicional de “cruzamientos normales fuertes”, debemos pedir al centro de explosión Yque cumpla además que la intersección Y∩EJ⊂Msea conexa para todo J∈ HM,E. De este modo se garantiza que E0es nuevamente un divisor con cruzamientos normales fuertes. Dada una foliación Fen M, decimos que el subespacio Yes un centro admisible de explosión para el espacio foliado (M,F)si además de tener cruzamientos normales, es invariante para F. Escribiremos, para sintetizar π: (M0,F0)→(M,F), donde F0es el transformado de Fpor la explosión π. En este caso,decimos también que πes una explosión admisible de espacios foliados. Si el divisor excepcional π−1(Y)es una componente dicrítica de E0, diremos que πes dicrítica. 29 1.7. Puntos presimples y vectores residuales 1.7. Puntos presimples y vectores residuales En esta sección modificamos ligeramente las definiciones de singularidad presimple y singularidad simple dadas para la dimensión dos en la Sección 1.5, tomando en cuenta no solo la foliación, sino también el divisor con cruzamientos normales. Además, extendemos el concepto a dimensión superior. Consideremos un espacio foliado (M,F), un punto p∈My un generador ωde Fadaptado aE, que recordamos que se escribe como en la Ecuación 1.5 ω=Xj∈Aajdxj/xj+Xj∈Bajdxj. Escribimos Einv =∪j∈Ainv(xj= 0) yEdic =∪j∈Adic(xj= 0), donde se tiene A=Ainv ∪Adic. Definición 1.2 (Véase [10, 19]).El punto pes presimple para (M,F)si se cumple una de las siguientes propiedades: 1. El orden adaptado νp(F, E)=0, esto es, alguno de los coeficientes de ωes una unidad. 2. Existe un par (j, k)∈A×Bpara el que se cumple ∂aj/∂xk(p)6= 0. Observación 1.10.Recordemos que dado j∈Adic se cumple que aj=xj˜aj. Como consecuencia se tiene que νp(aj)>0y también que ∂aj/∂xk(p)=0para cualquier k∈B. Definición 1.3. Decimos que un espacio foliado (M,F)está pre-desingularizado cuando todo punto p∈Mes un punto presimple. Observación 1.11.Para un espacio foliado pre-desingularizado se tiene la igualdad Sing(F, E) = Sing(F). Proposición 1.1. Si pes un punto presimple para el espacio foliado (M,F), entonces se satisface que ep(Einv)≤τp(F)≤ep(Einv)+1. Demostración. Cuando νp(F, E)=0se distinguen dos casos: Hay un índice j∈Ainv tal que ajes una unidad. Los gérmenes de campos de vectores ξs=∂/∂xs−(as/aj)xj∂/∂xj, s ∈B;ξ`=∂/∂x`−(˜a`/aj)xj∂/∂xj, ` ∈Adic, son tangentes a Fen py el tipo dimensional es τp(F) = ep(Einv), ya que no hay más campos de vectores independientes que trivialicen la foliación en dicho punto. Para todo `∈Ainv y por tanto para todo `∈A, tenemos νp(a`)>0y hay un índice k∈Btal que akes una unidad. Los gérmenes de campos de vectores ξs=∂/∂xs−(as/ak)∂/∂xk, s ∈B\{k};ξ`=∂/∂x`−(˜a`/ak)∂/∂xk, ` ∈Adic, son tangentes a Fen py el tipo dimensional es τp(F) = ep(Einv)+1. Supongamos ahora que νp(F, E)>0, pero existe un par de índices (j, k)∈A×Btal que ∂aj/∂xk(p)6= 0. Los gérmenes de campos de vectores ξs=∂/∂xs+ (αj/αs)xj∂/∂xj+ (αk/αs)∂/∂xk, s ∈B; ξ`=∂/∂x`+ (˜ βj/β`)xj∂/∂xj+ (˜ βk/β`)∂/∂xk, ` ∈Adic, donde αj=∂ak/∂xs−∂as/∂xk, βj=∂a`/∂xk−x`∂ak/∂x`, βj=x`˜ βj, αk=xj∂as/∂xj−∂aj/∂xs,yβk=x`∂aj/∂x`−xj∂a`/∂xj, βk=x`˜ βk, αs=∂aj/∂xk−xj∂ak/∂xjβ`=xj∂ak/∂xj−∂aj/∂xk, son tangentes a Fen el punto pgracias a la condición de integrabilidad. El tipo dimensional en este caso también es τp(F) = ep(Einv)+1. 30 Capítulo 1. Preliminares Observación 1.12.En un punto presimple p∈Mse tiene que ep(Edic)≤n−τp(F). Clasificamos los puntos presimples en “trazas” y “esquinas” dependiendo de si se alcanza la cota inferior o la superior en la proposición anterior. De manera más precisa: Definición 1.4. Dado un punto presimple p∈Mpara el espacio foliado (M,F), decimos que: El punto pes de tipo esquina cuando τp(F) = ep(Einv). El punto pes de tipo traza cuando τp(F) = ep(Einv)+1. Observación 1.13.En vista de la prueba de la Proposición 1.1, el punto pes presimple de tipo esquina si y solamente si νp(aj)=0para algún j∈Ainv. Denotemos τ=τp(F)el tipo dimensional de Fen p. Sabemos que existe un sistema minimal de coordenadas locales x= (x1, x2, . . . , xn)y un generador local ηde Fcon η(∂/∂xj)=0 y∂/∂xj(η(∂/∂x`)) = 0, para todo índice j > τ y todo `≤τ. Esto es, podemos escribir ηcomo en la Ecuación 1.1. Decimos que xes un sistema minimal de coordenadas adaptado a Ecuando además se tiene: Einv =e [ j=1 (xj= 0) yEdic ⊂ n [ j=τ+1 (xj= 0). El generador de Fadaptado a Edefinido por ω= (1/ e Y j=1 xj)η se puede escribir como sigue: ω=Xe j=1 aj(x1, x2, . . . , xτ)dxj xj +Xτ j=e+1 aj(x1, x2, . . . , xτ)dxj(1.6) La expresión de los campos de vectores ξsyξ`en la prueba de la Proposición 1.1 junto con el conocimiento de la existencia de un sistema minimal de coordenadas locales en un punto dado, nos permiten probar el siguiente resultado: Proposición 1.2. Existe un sistema minimal de coordenadas locales adaptado a Een un punto presimple p∈Mdado. Supongamos ahora que pes un punto presimple para (M,F), tomemos un sistema minimal de coordenadas xadaptado a Ey un generador adaptado ωcomo en la Ecuación 1.6. Recordemos que se cumple e≤τ≤e+ 1. Definimos el vector residual λω,x∈Cτcomo λω,x=     (λ1, λ2, . . . , λτ)con λi=ai(p)si τ=e (λ1, λ2, . . . , λτ−1, µ)con λi=∂ai ∂xτ (p), µ =aτ(p)si τ=e+ 1. (1.7) Observación 1.14.Puesto que pes un punto presimple, tenemos que λω,x6=0. Lema 1.3. Sea pun punto presimple para el espacio foliado (M,F). Considérense dos sistemas minimales de coordenadas locales adaptados a E x= (x1, x2, . . . , xn)yx0= (x0 1, x0 2, . . . , x0 n) tales que (xj= 0) = (x0 j= 0) para todo j∈ {1,2, . . . , e}. Dados ωyω0dos generadores de F adaptados a Ecomo en la Ecuación 1.6, existe una constante c∈C∗de modo que se satisface la igualdad λω,x=cλω0,x0. 31 1.8. Puntos Simples. Marco hiperbólico-complejo. Demostración. Sabemos que hay unidades u, uj∈ OM,p con ∂/∂xk(u) = ∂/∂xk(uj)=0para todo k > τ, que cumplen ω0=uω yx0 j=ujxj, j ∈ {1,2, . . . , e} Además, cuando τ=e+ 1, tenemos que x0 τ=αxτ+φ(x1, x2, . . . , xτ−1) + xτψ(x1, x2, . . . , xτ), donde α∈C∗yφ(p) = ψ(p)=0. Si consideramos el sistema de coordenadas fijo, esto es x=x0y cambiamos de generador, tenemos la igualdad λω0,x=cλω,x, donde c=u(p). Para verlo nótese que: En el caso de tipo equina se tiene que a0 j=uajpara todo j∈ {1,2, . . . , e}. En el caso de tipo traza se cumple a0 τ=uaτy además, se satisface la igualdad ∂a0 j/∂xτ=u∂aj/∂xτ+aj∂u/∂xτ, j ∈ {1,2, . . . , e}. Tenemos que ∂a0 j/∂xτ(p) = c∂aj/∂xτ(p), pues aj(p)=0(sino estaríamos con una singularidad de tipo esquina y por tanto, la escritura considerada no sería minimal). Supongamos ahora que tenemos un único generador ω=ω0y aquello que variamos es el sistema de coordenadas. Vamos a escribir de forma condensada los casos traza y esquina como sigue: ω=a1dx1/x1+···+aτ−1dxτ−1/xτ−1+xε τaτdxτ/xτ= =a0 1dx0 1/x0 1+···+a0 τ−1dx0 τ−1/x0 τ−1+x0ε τa0 τdx0 τ/x0 τ, donde ε=τ−e. Si x0=x, evidentemente hemos terminado. Vamos a suponer en primer lugar que existe un índice j∈ {1,2, . . . , e}para el cual uj6= 1 y además que x0 i=xipara cualquier otro índice i6=j. Se tiene que: a0 j=aj(1 + xjhj)y a0 i=ai+xihiajpara todo i∈ {1,2, . . . , τ}\{j}. donde los gérmenes de funciones hjse obtienen de la expresión duj/uj=x1h1dx1/x1+x2h2dx2/x2+···+xτhτdxτ/xτ. Como consecuencia, en este caso λω,x=λω,x0. Nos queda comprobar qué sucede en la situación de tipo traza cuando x0 i=xipara todo i∈ {1,2, . . . , e}yx0 τ6=xτ. Obtenemos las relaciones: a0 τ=caτ(1 −ψ−xτ∂ψ/∂xτ)y a0 i=ai−cxiaτ(∂φ/∂xi+xτ∂ψ/∂xi)para todo i∈ {1,2, . . . , e} donde c= 1/α. Por tanto se cumple la igualdad λω,x=cλω,x0. 1.8. Puntos Simples. Marco hiperbólico-complejo. Prácticamente todos los resultados en esta memoria se dan bajo la hipótesis hiperbólicocompleja que introducimos a continuación. En este marco vamos a dar caracterizaciones de las singularidades presimples y a introducir la definición de singularidad simple. Las siguiente definición se puede encontrar en [15]: 32 Capítulo 1. Preliminares Definición 1.5. Una foliación Fde un espacio analítico complejo Mes hiperbólico-compleja en un punto p∈M(en inglés “complex hyperbolic’) si no existe ningún morfismo genéricamente transversal φ: (C2,0) →(M, p) cumpliendo que el origen sea una silla-nodo para la foliación bidimensional φ−1F. Se dice que la foliación Fes hiperbólico-compleja si la propiedad se da en cada punto p∈M. Finalmente, un espacio foliado (M,F)es hiperbólico-complejo cuando la correspondiente foliación lo es. Para dimensión dos y en el sentido clásico (no adaptado al divisor), tenemos que 1. Una singularidad simple para una foliación es hiperbólico-compleja si y solamente si no es una silla-nodo. 2. Las singularidad presimples pero no simples que no son hiperbólico-complejas son las presentadas en el apartado 3b) de la Sección 1.5. Para el caso general, si π:M0→Mes una explosión tenemos la siguiente propiedad de estabilidad: Si la foliación Fes hiperbólico-compleja, entonces su transformado F0también es hiperbólico-complejo. Consideremos un espacio foliado (M,F)hiperbólico-complejo en un punto p∈M. Sea ω un generador local de Fadaptado a E, que recordamos se escribe como en la Ecuación 1.5 ω=X`∈Aa`dx`/x`+X`∈Ba`x`. De nuevo, escribimos A=Ainv ∪Adic, para separar las componentes invariantes de Ede las dicríticas. Proposición 1.3. Tenemos que pes presimple para (M,F)si y solamente si νp(F, E) = 0. Como consecuencia tenemos la igualdad log-Sing(F, E) = puntos no presimples para (M,F).(1.8) Demostración. Si νp(F, E)=0el punto pes presimple por definición. Vamos a suponer ahora, por reducción al absurdo, que pes un punto presimple cumpliendo que νp(F, E)>0. Existen índices (j, k)∈A×Bpara los que se cumple ∂aj/∂xk(p)6= 0. De hecho j∈Ainv, en vista de la observación 1.10. Consideramos n−1enteros positivos q`∈Z>0con `6=ktales que X`∈Aq` ∂al ∂xk (p) = X`∈Ainv q` ∂al ∂xk (p) = α6= 0. Estos enteros siempre existen, puesto que por lo menos se tiene que ∂aj/∂xk(p)6= 0. Tomamos el morfismo φ: (C2,0) →(M, p)dado por las relaciones xi=uqi, i ∈ {1,2, . . . , n}\{k}yxk=v. Sea ηel generador holomorfo de Fasociado a ω. El pull-back φ∗ηestá dado por uQ¯η, donde ¯η=X`∈Aq`¯a`+X`∈B\{k}q`uq`¯a`du +u¯akdv, con ¯ak=φ∗akyQ=Xk∈Ainv qk−1 El germen de foliación bidimensional φ−1Festá generado por ¯η. Nótese que ∂¯a`/∂v(0) = ∂a`/∂xk(p), para todo índice `∈Ay por tanto αy0son los autovalores de la parte lineal de un germen de campo de vectores tangente a φ−1F, es decir el origen es una silla-nodo, lo cual nos proporciona la contradicción deseada.  33 1.12. Superficies tóricas. Foliaciones en P2 C Las clausuras de las otras órbitas no densas son las cuatro rectas L0 0= [1,0] ×P1 C, L1 0= [0,1] ×P1 C, L0 1=P1 C×{[1,0]}, L1 1=P1 C×{[0,1]}. La órbita densa es (C∗)2=P1 C×P1 C\L0 0∪L1 0∪L0 1∪L1 1. Cuando hagamos referencia a Cn,Pn Co a las superficies de Hirzebruch Hkcomo variedades tóricas, implícitamente asumiremos las acciones y coordenadas anteriores. La unión de las órbitas no densas de la acción del toro en las variedades tóricas CnyPn Ces, de manera natural, un divisor con cruzamientos normales fuertes dado respectivamente por ECn= (x1x2···xn= 0) yEPn C= (X0X1X2···Xn= 0). En general, en una superficie tórica no singular S, la unión de las órbitas no densas de la acción del toro da lugar a un divisor con cruzamientos normales fuertes ES. Decimos que el par (S, ES) es una superficie tórica ambiente. Los puntos p∈Scon ep(ES)=2son exactamente las órbitas cerradas de la acción del toro. Como consecuencia, en la categoría de superficies tóricas, las explosiones equivariantes son exactamente las combinatorias. Observación 1.20.En vista del hecho de que una superficie tórica no singular Sproporciona de manera natural una superficie tórica ambiente (S, ES), usamos la expresión foliación Fen Spara hacer referencia también a la superficie foliada ((S, ES),F). El siguiente resultado se refiere a la geometría biracional de las superficies tóricas proyectivas. Teorema 1.3 (Véase [18]).Dadas dos superficies tóricas proyectivas SyS0, existe una superficie tórica proyectiva no singular S00 y dos sucesiones finitas de explosiones equivariantes π:S00 →S, π0:S00 →S0. Corolario 1.1. Cualquier superficie tórica proyectiva no singular Sse obtiene desde P2 Ccon una sucesión finita P2 C→Sde explosiones e implosiones equivariantes (combinatorias). Recordemos ahora brevemente como son las foliaciones sobre el plano proyectivo (véase [12]). Una foliación Gen P2 Cestá dada por una forma diferencial logarítmica homogénea W=A0dX0/X0+A1dX1/X1+A2dX2/X2, Ai∈C[X0, X1, X2], i = 0,1,2,(1.10) donde los coeficientes Aison polinomios homogéneos del mismo grado dG, sin factores comunes y tales que A0+A1+A2= 0. Decimos que Wes un generador homogéneo de G. Si W0es otro generador homogéneo de G, entonces W0=kW con k∈C∗y recíprocamente. Observación 1.21.El número dGno coincide con el llamado grado de la foliación. Por ejemplo, si el divisor EP2 Cno tiene componentes dicríticas, la foliación está dada por la forma holomorfa X0X1X2W=X1X2A0dX0+X0X2A1dX1+X0X1A2dX2, sin factores comunes en sus coeficientes. Por tanto, el grado de la foliación es igual a dG+1. De manera general, el grado es dG+1−, donde es el número de componentes dicríticas de EP2 C. Vamos a describir una foliación Gde P2 Cen términos de cartas afines. Leemos el plano proyectivo complejo P2 Cen cartas afines Ai= (Xi6= 0) ⊂P2 C, para i= 0,1,2. Identificamos cada Aicon la superficie tórica afín C2a través de las coordenadas (xi j, xi k)dadas por xi j=Xj/Xi, xi k=Xk/Xi,donde j, k 6=i Tenemos que Oies el origen de Ai, donde O0= [1,0,0],O1= [0,1,0] yO2= [0,0,1]. Denotamos por Diel divisor EAi= (xi jxi k= 0) y llamamos i-carta afín Gide Ga la restricción Gi=G|Ai. Un generador de Giadaptado al divisor Diestá dado por ωi=ai jdxi j/xi j+ai kdxi k/xi k,for{i, j, k}={0,1,2}, donde ai `=A`(X0/Xi, X1/Xi, X2/Xi)∈C[xi j, xi k], para `∈ {j, k}. 40 Capítulo 1. Preliminares 1.13. Ramas invariantes aisladas El concepto de rama invariante aislada es útil para elegir una cantidad finita y representativa de ramas invariantes en el caso de que aparezcan componentes dicríticas después de reducción de singularidades. Damos a continuación la definición precisa: Definición 1.11. Consideremos una rama invariante (Γ, p)de una superficie foliada (S,G). Decimos que (Γ, p)es aislada para (S,G)si se cumplen las siguientes propiedades: (Γ, p)6⊂ (E, p). Para todo composición σ: (S0,G0)→(S,G)de una sucesión finita de explosiones, tenemos que p0∈Sing(G0, D0), donde(Γ0, p0)es el transformado estricto de (Γ, p)por σ. Observación 1.22.Nótese que p∈Sing(G, D), tomando σel morfismo identidad. Además, es suficiente considerar explosiones centradas en los puntos infinitamente próximos de (Γ, p). •aisladas •no aisladas ← ← · · · ← Figura 1.4: Ramas invariantes aisladas y no aisladas. La propiedad de ser aislada es estable por explosiones. En el siguiente enunciado mostramos que también es estable por implosiones combinatorias. Proposición 1.5. Consideremos una explosión combinatoria π: (S0,G0)→(S,G)entre superficies foliadas. Sea (Γ0, p0)una rama invariante para G0y denotemos por (Γ, p)su imagen por π. Si (Γ0, p0)es aislada para (S0,G0)entonces (Γ, p)es también aislada para (S,G). Demostración. Supongamos que pes el centro de la explosión, pues en otro caso hemos terminado. Si (Γ0, p0)es aislada, en particular (Γ0, p0)6⊂ (D0, p0)y por tanto, también se tiene (Γ, p)6⊂ (D, p). Nos queda ver que p∈Sing(G, D)necesariamente. Para ello, supongamos por reducción al absurdo, que no es así, es decir, que pes un punto regular en el cual GyDtienen cruzamientos normales. Puesto que la explosión se ha realizado en el punto py es combinatoria, tenemos que ep(D)=2y por tanto, la única rama invariante que pasa por él está contenida en Dy esto contradice la existencia de (Γ, p). La siguiente afirmación muestra donde aparecen las ramas invariantes aisladas al final del proceso de reducción de singularidades. Lema 1.5. Sea (Γ, p)una rama invariante aislada para una superficie foliada desingularizada (S,G). Tenemos que pes una singularidad simple de tipo traza. Demostración. Por definición p∈Sing(G, D)y(Γ, p)6⊂ (D, p). En vista de la Observación 1.11, tenemos que Sing(G, D) = Sing(G). Ahora, si pes de tipo esquina, las únicas ramas invariantes a través de él están contenidas en D, por tanto pes una singularidad simple de tipo traza.  Damos ahora una descripción de las ramas invariantes aisladas en puntos presimples. 41 1.13. Ramas invariantes aisladas Lema 1.6. Consideremos una singularidad presimple p∈Sing(G)de una superfice foliada (S,G). Si el punto pes de tipo esquina no hay ramas invariantes aisladas pasando por él. Por el contrario, si pes de tipo traza hay como mucho una rama invariante aislada a través de él; cuando existe es no singular, transversal al divisor y además se cumple que cualquier otra rama invariante no singular es tangente al divisor. Demostración. Supongamos primero que pes una singularidad de tipo esquina y encontremos una contradicción con la existencia de una rama invariante aislada (Γ, p). Por la Observación 1.19, sabemos que una reducción minimal de singularidades del germen (S,G)pproduce solamente singularidades de tipo esquina. En vista del Lema 1.5 el transformado estricto de (Γ, p) pasa por una singularidad simple de tipo traza, lo cual no es posible. Asumamos ahora que pes una singularidad presimple de tipo traza y que hay una rama invariante (Γ, p)que es aislada para (S,G). Recordemos que ep(E) = ep(Einv)=1. Consideremos la explosión π: (S0,G0)→(S,G)centrada en py denotemos por (Γ0, p0)el transformado estricto de (Γ, p)por π. Sabemos que p0∈Sing(G0, D0) = Sing(G0)y puesto que (Γ0, p0)es una rama invariante aislada, obtenemos que p0no es un punto de tipo esquina, es decir, p0es una singularidad presimple de tipo traza para (S0,G0). En particular, tenemos que ep0(E0) = ep0(E0 inv)=1 y que E0=π−1(p), localmente en p0. Con estos argumentos, vemos que (Γ, p)es no singular y transversal a D. En efecto, esto es una consecuencia del hecho de que los puntos infinitamente próximos de (Γ, p)nunca están sobre el transformado estricto del divisor excepcional precedente. Veamos ahora que cualquier otra rama invariante no singular es tangente al divisor D. De manera equivalente, veamos que dada una rama invariante (Γ1, p)no singular transversal a D, tenemos que (Γ1, p) = (Γ, p). Denotemos por (Γ0 1, p0 1)el transformado estricto de (Γ1, p)por π. Es suficiente ver que p0 1=p0; en este caso la situación se repite en p0, concluimos que (Γ1, p)y(Γ, p)tienen los mismos puntos infinitamente próximos y como consecuencia, son la misma rama. Puesto que (Γ1, p)es transversal a D, tenemos que p0 1no pertenece al transformado estricto de D. Además p0 1es una singularidad para G0, puesto que tanto (Γ0 1, p0 1)como π−1(p)definen ramas invariantes de G0 en el punto p0 1. Por tanto, la única singularidad de tipo traza para (S0,G0)en π−1(p)(véase la Sección 1.5 para concluirlo) es p0 1; esto significa que p0 1=p0. Solo queda ver que (Γ, p)es la única rama invariante aislada: Cualquier rama invariante aislada debe ser no singular y transversal al divisor, por tanto es necesariamente (Γ, p). Corolario 1.2. Sea (Γ, p)una rama invariante no singular transversal a Dpasando por una singularidad simple de tipo traza. Si hay una rama invariante aislada para (S,G)pasando por el punto p, ésta es necesariamente (Γ, p). Observación 1.23.Consideremos una superficie foliada (S,G)y un punto p∈Sing(G, D). Si hay solo una cantidad finita de ramas invariantes pasando por el punto p(o de modo equivalente, la foliación Ges no dicrítica), entonces cada rama invariante (Γ, p)6⊂ (D, p)es aislada. 42 Capítulo 2 Sistemas de poliedros. Reducción combinatoria de singularidades En este capítulo hablamos de un resultado publicado en [29]. Aquí expondremos las definiciones, enunciaremos los resultados y daremos el hilo conductor de sus pruebas, dejando los detalles de éstas que se podrán consultar en el Anexo I. Este resultado consiste en una formulación combinatoria para el procedimiento de reducción de singularidades en términos de poliedros. Obtenemos una estructura combinatoria libre de restricciones en la característica del cuerpo base y que da lugar a un soporte combinatorio para la reducción de singularidades de variedades, foliaciones, campos de vectores y formas diferenciales entre otros posibles objetos. La utilización de sistemas de poliedros y su correspondiente reducción de singularidades es una herramienta clave para la demostración del “teorema de equivalencia” que se presenta en el Capítulo 4. 2.1. Tejido soporte Los tejidos soporte juegan el papel del espacio ambiente en el que se apoyan los sistemas de poliedros y expresan la estructura estratificada del espacio. Sea Iun conjunto finito no vacío y denotemos por P(I)el conjunto de subconjuntos de I. Consideramos la toplogía de Zariski en P(I)cuyos cerrados son los conjuntos K ⊂ P(I)que tienen la propiedad: Si J1∈ K yJ2⊃J1entonces J2∈ K. Un subconjunto H ⊂ P(I)es abierto si y solamente si para cada J∈ H se tiene que P(J)⊂ H. La clausura de un conjunto unipuntual {J}⊂P(I)es el conjunto {J}={J0⊂I;J0⊃J}. Definición 2.1. Un tejido soporte (en inglés support fabric) es un par T= (I, H), donde Ies un conjunto finito y Hes un abierto para la topología de Zariski en P(I). Los elementos de H se llaman estratos eIse llama el conjunto de índices. La dimensión dim(T)se define por dim(T) = m´ax{#J;J∈ H}, donde #Jdenota el número de elementos de J. Observación 2.1.Los estratos J∈ H donde se alcanza la dimensión son puntos cerrados en H. 43 2.1. Tejido soporte El primer ejemplo es el tejido soporte local LT Iasociado a Iy definido por LTI= (I, P(I)). Dado un tejido soporte T= (I, H), podemos obtener otros como sigue: La restricción T |Ua un abierto U ⊂ H. Viene dada por T |U= (I, U). Nótese que T=LTI|H. La reducción RedK(T)a un cerrado Kde H. Tenemos que Kes la intersección de un subconjunto cerrado de P(I)con H, tomamos HKel abierto más pequeño conteniendo K y definimos RedK(T) = T|HK,HK=[ J∈KP(J). La proyección TTdesde un estrato no vacío T∈ H. Consideramos el conjunto de índices IT=I\Ty el abierto HTen P(IT)dado por HT={J\T;T⊂JyJ∈ H} Definimos TT= (IT,HT). Es notable observar que dim(TT)<dim(T). Definición 2.2. Sea T= (I, H)un tejido soporte. Consideremos un nuevo conjunto de índices I0=I∪{∞}, donde ∞/∈I. Dado un estrato no vacío J∈ H tomemos H0el abierto para la topología de Zariski de P(I0)dado por H0=Hs∪H0 ∞,con Hs=H\KJyH0 ∞=[ K∈KJH0K ∞,donde H0K ∞={(K\J)∪A∪{∞};A(J}yKJ={J}∩H La explosión πJTde Tcon centro Jes el tejido soporte definido por πJT= (I0,H0). πJTπJTT Figura 2.1: Explosión del tejido soporte T. Nótese que para cada estrato K∈ KJ, hay una biyección H0K ∞→ P(J)\{J}dada por J07→ AJ0, donde AJ0es el único subconjunto de Jtal que J0= (K\J)∪AJ0∪{∞}. Observación 2.2.La dimensión del tejido soporte Tes invariante por explosiones. Hay una aplicación sobreyectiva π# J:H0→ H entre los estratos de πJ(T)yT, dada por π# J(H0K ∞) = {K}, K ∈ KJyπ# J(J0) = J0, J0∈ Hs 44 Capítulo 2. Sistemas de poliedros. Reducción combinatoria de singularidades Proposición 2.1. La aplicación π# J:H0→ H es continua. En particular, dado un abierto U ⊂ H, tenemos que πJ(T |U)=(πJT)|U0, donde U0= (π# J)−1(U). El conjunto de índices relevantes ITde un tejido soporte T= (I, H)viene dado por la igualdad IT=∪J∈HJ. Dos tejidos soporte T1= (I1,H1)yT2= (I2,H2)son equivalentes si hay una biyección φ:IT1→ IT2 tal que H2={φ(J); J∈ H1}. En este caso, decimos que φes una equivalencia entre T1yT2. Observación 2.3.El conjunto de índices relevantes después de la explosión πJ(T)está dado por IπJ(T)=IT∪{∞},si #J≥2; IT\{j}∪{∞},si J={j}. Además, si hay una equivalencia φentre dos tejidos soporte T1yT2, se tiene que para cualquier estrato J∈ H1, las explosiones πJT1yπφ(J)T2son también equivalentes. Ejemplo 2.1. Sea M= (M, E)un espacio ambiente donde el divisor E=∪i∈IEitiene la propiedad de cruzamientos normales fuertes. El tejido soporte combinatorio HM,E definido en la Ecuación 1.3 es un abierto para la topología de Zariski en P(I)y obtenemos de este modo un tejido soporte TM,E = (I, HM,E) Obsérvese que la dimensión de TM,E no es necesariamente la dimensión de M. Finalmente, dado un estrato J∈ HM,E podemos realizar la explosión combinatoria π:M0= (M0, E0)→ M = (M, E) centrada en EJ. En esta situación, tenemos que πJTM,E =TM0,E0. 2.2. Sistemas de poliedros Cuando realizamos una explosión, el nuevo espacio ambiente adquiere una naturaleza global. Los sistemas de poliedros proporcionan una forma de dar poliedros de Newton y característicos de una manera coherente en espacios ambiente globales, representados en nuestro caso por tejidos soporte. Definiciones Dado un conjunto finito totalmente ordenado J, recordamos que RJdenota el conjunto de aplicaciones σ:J→R. Si J1⊂J2, hay un proyección canónica prJ2,J1:RJ2→RJ1 σ7→ σ|J1 Para un subconjunto A⊂RJ ≥0, definimos la envolvente positivamente convexa [[A]] como [[A]] = ConvA+RJ ≥0⊂RJ ≥0, donde Conv(·)denota la envolvente convexa. Sea d∈Z>0un entero positivo. Decimos que un subconjunto ∆⊂RJ ≥0es un poliedro característico con denominador dsi existe un conjunto A⊂(1/d)ZJ ≥0tal que ∆ = [[A]]. 45 2.2. Sistemas de poliedros Definición 2.3. Un sistema de poliedros D(en inglés polyhedra system)sobre un tejido soporte T= (I, H)con denominador des un triple D= (T,{∆J}J∈H, d), donde cada ∆J⊂RJ ≥0es un poliedro característico con denominador d, de modo que para cada par de estratos J1, J2∈ H tales que J1⊂J2, se tiene la igualdad ∆J1=prJ2,J1(∆J2). Si d= 1, decimos que Des un sistema de poliedros de Newton sobre T. Cuando sea necesario, denotaremos por TDel tejido soporte de D. Definimos la dimensión de Dcomo la de TD. J0={2,3}J0={1,3} J={1,2,3} J0={1,2} prJ,J0:RJ→RJ0 −−−−→ −−−−→ −−→ Figura 2.2: Compatibilidad con las proyecciones. Observación 2.4.Obsérvese que en un sistema de poliedros o bien todos los poliedros son vacíos o ninguno de ellos lo es. A partir de ahora, siempre y cuando no se diga lo contrario, supondremos que todos los poliedros con los que trabajamos son no vacíos. Dos sistemas de poliedros D1= (T1,{∆1 J}J∈H1, d)yD2= (T2,{∆2 J}J∈H2, d)son equivalentes si hay una equivalencia φ:T1→ T2de modo que ∆2 φ(J)= ∆1 J, para todo estrato J∈ H1. También decimos que φes una equivalencia entre D1yD2. Un sistema de poliedros D= (T,{∆J}J∈H, d)tiene asociado de manera natural un sistema de poliedros de Newton N(D)definido por N(D)=(T,{d∆J}J∈H,1). Recíprocamente, dado d0∈Z>0, podemos obtener otro sistema de poliedros D/d0dado por D/d0=T,{(1/d0)∆J}J∈H , dd0. En particular, tenemos que N(D)/d =D. Veamos ejemplos básicos de sistemas de poliedros: 46 Capítulo 2. Sistemas de poliedros. Reducción combinatoria de singularidades Dado un poliedro característico ∆⊂RI ≥0con denominador d, definimos el sistema de poliedros local L(∆, d)por L(∆, d)=(LTI,{∆J}J∈P(I), d),donde ∆J=prIJ (∆). La restricción D|Ude Da un abierto U ⊂ H se define por D|U= (T |U,{∆J}J∈U, d). La reducción RedK(D)de Da un cerrado Kde Hes RedK(D) = D|HK. El ajuste (en inglés fitting)e Ddel sistema de poliedros Dse define como sigue: Para un subconjunto A⊂RI ≥0se considera el vector de ajuste wA∈RI ≥0dado por wA(j) = m´ın{σ(j); σ∈A}para cada j∈Iy escribimos e A=A−wA. Definimos e D= (T,{e ∆J}J∈H, d). Proyección de Hironaka El siguiente ejemplo juega un papel muy importante en la Sección 2.5. Sea D= (T,{∆J}J∈H, d)un sistema de poliedros y T∈ H un estrato no vacío. Consideramos el tejido soporte TT= (IT,HT)dado por la proyección de Tdesde T. Para cada estrato J∗∈ HT, sea Jel estrato de Hdefinido por J=J∗∪T. Tomamos el subconjunto MT Jde RJ dado por MT J={σ∈RJ;X j∈T σ(j)<1} y definimos la proyección de Hironaka ∇T J:MT J→RJ∗ ≥0como ∇T J(σ) = 1 1−P j∈T σ(j)σ|J\T, σ ∈MT J Escribimos ∆T J∗=∇T J(∆J∩MT J)⊂RJ∗ ≥0y consideramos el sistema de poliedros DT= (TT,{∆T J∗}J∗∈HT, d!d),(2.1) Es notable remarcar que el denominador de DTes d!den lugar de d. Nótese que ∆T J∗=∅si ∆J=∅o si se cumple que Pj∈Tσ(j)≥1, para todo σ∈∆J. Lugar Singular de un Sistema de Poliedros Dado un conjunto finito J6=∅y un poliedro característico ∆⊂RJ ≥0, definimos el exponente de contacto δ(∆) de ∆como el entero que cumple la igualdad δ(∆) = m´ın{|σ|;σ∈∆},donde |σ|=X j∈J σ(j). Si J=∅, hay un único posible poliedro ∆ = {•} ⊂ R∅ ≥0. Por convenio asumiremos δ({•}) = −1. El exponente de contacto δ(D)de un sistema de poliedros D= (T,{∆J}J∈H, d)se define por δ(D) = m´ax{δ(∆J); J∈ H}. Observación 2.5.Cuando ∆ = [[A]] con A⊂Z≥0(es un poliedro de Newton), el exponente de contacto se corresponde con la idea clásica de multiplicidad. 47 2.3. Reducción de Singularidades Definición 2.4. El lugar singular Sing(D)de un sistema de poliedros D= (T,{∆J}J∈H, d)es el subconjunto de Hdado por Sing(D) = {J∈ H;δ(∆J)≥1}⊂H. Decimos que Des singular si Sing(D)6=∅, en otro caso, decimos que es no singular oregular. Obsérvese que Sing(D)es un conjunto cerrado, ya que el exponente de contacto da lugar a una función semicontinua superior en H. Transformado de un sistema de poliedros por explosiones Sea T= (I, H)un tejido soporte y J∈ H un estrato no vacío. Consideremos la explosión πJT= (I0,H0), donde recordamos que I0=I∪{∞} yH0=Hs∪H0 ∞. Dado un estrato J0∈ H0 ∞ y su imagen K=π# J(J0), definimos la aplicación λJ0:RK→RJ0dada por λJ0(σ)(j) = σ(j), j 6=∞;λJ0(σ)(∞) = |σ|J|.(2.2) Sea {eI,i}i∈Ila base estandar de RI, esto es eI,i(i0) = δi,i0(delta de Kronecker). Dado un subconjunto J⊂Iy un índice i∈I, consideramos el vector eJ,i ∈RJdado por la igualdad eJ,i =prI,J (eI,i). Definición 2.5. Sea D= (T,{∆J}J∈H, d)un sistema de poliedros y J∈ H un estrato no vacío. El transformado total Λ0 J(D)de Dcentrado en Jes el sistema de poliedros dado por Λ0 J(D)=(πJT,{∆0 J0}J0∈H0, d),donde ∆0 J0= ∆J0para J0∈ Hsy ∆0 J0= [[λJ0(∆K)]] para J0∈ H0 ∞, K =π# J(J0). Cuando J∈Sing(D), definimos también el transformado característico ΛJ(D)de D centrado en Jcomo el sistema de poliedros ΛJ(D)=(πJT,{∆0 J0}J0∈H0, d), donde ∆0 J0= ∆0 J0−eJ0,∞para cada J0∈ H0. Nótese que la condición J∈Sing(D)es fundamental para que ΛJ(D)sea un sistema de poliedros, pues solo entonces se tiene que δ(∆0 {∞})≥1. Consideremos un sistema de poliedros de Newton N, un entero d≥1y un estrato J∈ H tal que δ(NJ)≥d. El transformado d-moderado Θd J(N)de Ncentrado en Jse define por Θd J(N) = N(ΛJ(D)), donde D=N/d. Nótese que J∈Sing(D)es esquivalente a δ(NJ)≥d. Observación 2.6.Sean D1yD2sistemas de poliedros equivalentes por una equivalencia φ. Para todo estrato J∈Sing(D1)se tiene que los transformados característicos ΛJ(D1)yΛφ(J)(D2) son también sistemas equivalentes. 2.3. Reducción de Singularidades Enunciados Decimos que un sistema de poliedros de Newton N= (T,{NJ}J∈H,1) tiene cruzamientos normales si el poliedro NJtiene un único vértice para cada estrato J∈ H. Esta propiedad es estable por explosiones y un primer objetivo de reducción de singularidades es alcanzarla. 48 Capítulo 2. Sistemas de poliedros. Reducción combinatoria de singularidades Teorema 2.1 (Reducción combinatoria a cruzamientos normales).Dado un sistema de poliedros de Newton N, hay una sucesión finita de transformados totales N → N1→ N2→ ··· → Nk, de modo que Nktiene cruzamientos normales. Pruebas de este resultado se pueden encontrar, en otros contextos, en [19] y [22]. Teorema 2.2 (Reducción combinatoria de singularidades).Dado un sistema de poliedros D, hay una sucesión finita de transformados característicos D → D1→ D2→ ··· → Dk, de modo que Sing(Dk) = ∅. Llamamos a una sucesión tal reducción de singularidades de D. Corolario 2.1. Sea Nun sistema de poliedros de Newton y d≥1un número entero. Hay una sucesión finita de transformaciones d-moderadas N → N1→ N2→ ··· → Nk, de modo que δ(Nk)< d. El Corolario 2.1 implica el Teorema 2.1, tomando d= 1. Observación 2.7.El Teorema 2.2 sería falso si hubiésemos tomado la condición δ(∆J)>1, en lugar de δ(∆J)≥1, para los centros de explosión. Por ejemplo, consideremos el sistema de poliedros de Newton local L(∆,1), donde ∆ = [[(1,1)]] ⊂R{1,2} ≥0. El único centro que se podría utilizar sería {1,2}y la situación se repetiría en cada estrato cerrado de la explosión. El objetivo de este capítulo es, por tanto, dar una prueba del Teorema 2.2. Cabe decir que este resultado se sigue de la reducción de singularidades general de Hironaka. Pese a ello, hemos querido dar una demostración completa haciendo énfasis en las ideas del contacto maximal desarrolladas por H. Hironaka, J.M. Aroca y J.L. Vicente en [3] así como el control de los poliedros sugerido por M. Spivakosvky en [41]. Proceso de inducción La prueba del Teorema 2.2 se sigue por inducción en la dimensión del sistema de poliedros considerado. De manera más precisa, consideremos el siguiente enunciado: CRS(n): Si dim(D)≤n, entonces Dtiene reducción de singularidades. El punto de partida es la siguiente proposición: Proposición 2.2. CRS(1) se cumple. Distinguimos ahora tres tipos de sistemas de poliedros singulares D: 1. Es Hironaka casi-ordinario si cada poliedro sobre un estrato singular tiene un solo vértice, esto es ∆J= [[{σJ}]] para todo J∈Sing(D). 2. Es especial si δ(D)=1. 3. Es general si δ(D)>1. 49 2.7. Ejemplos k= (k1, k2, . . . , km)∈Zm [m] = {k∈Zm;k1+ 2k2+···mkm=m}yNk=n! k1!k2!···km!. Por otro lado, nótese que ∂`v ∂v0`=`∂`−1u ∂v0`−1+v0∂`u ∂v0`,∂0u ∂v00=u, obteniendo así la igualdad a0 (σj,m)=∂mGσj ∂v0mu= 0 v0= 0 =X k∈[m] Nka(σj,|k|) m Y `=1 1 (`−1)! ∂(`−1)u ∂v0(`−1) k` . Escribamos NJ=NJ(f;p, z)yN0 J=NJ(f;p, z0). Si el punto (σj, m)∈ZJ ≥0pertenece a la frontera topológica de NJ, tenemos que a(σj,`)= 0 para todo ` < m. Por tanto obtenemos: a0 (σj,m)=N(m,0,...,0)a(σj,m)um=a(σj,m)um. Si además (σj, m)es un vértice de NJ, tenemos garantizado que a(σj,m)6= 0 y como consecuencia también a0 (σj,m)6= 0. De esta manera, todos los vértices de NJpertenecen a N0 Jy como un poliedro queda determinado por sus vértices se concluye que NJ⊂N0 J. Repitiendo el mismo argumento intercambiando los papeles de vyv0, concluimos la igualdad buscada NJ=N0 J. De este modo, tiene sentido definir NJ(f;p) = NJ(f;p, z). Lema 2.5. Sea f0∈ OM,p otro generador local (reducido) de Hen el punto p. Se tiene la igualdad NJ(f;p) = NJ(f0;p)y se define NJ(p) = NJ(f;p). Demostración. Escribimos f0=ufcon u∈ O∗ M,p. Por las propiedades de los poliedros tenemos: NJ(uf) = NJ(u) + NJ(f)yNJ(u) = RJ ≥0, donde +denota la suma de Minkowski. Como consecuencia se tiene la igualdad deseada.  Lema 2.6. Dado otro punto p0∈SJ, se cumple la igualdad NJ(p) = NJ(p0). Demostración. Tomemos en primer lugar p0∈U∩SJ. De este modo, tanto fcomo las coordenadas z= (x,y)están definidas en el punto p0. Dado que U∩SJes un conexo de SJ≃(C∗)J, tenemos que también lo es de CJy por tanto aσ,p ∈ OSJ,p es cero si y solamente si aσ,p0∈ OSJ,p0 lo es (principio de identidad). Como consecuencia las nubes de puntos en ambos casos son iguales y por tanto, también los poliedros de Newton considerados. Dado ahora un punto p0∈SJarbitrario, tenemos que existe un camino que une pcon p0, por ser el estrato SJun conexo. Esto es, existe una aplicación γ: [0,1] →SJ, γ(0) = pyγ(1) = p0. Tomemos un recubrimiento Apor abiertos de K=γ([0,1]) de manera que cada abierto sirva para dar una carta coordenada donde además se tenga definido un generador fde H. Por la compacidad de Kexiste un subrecubrimiento finito AF⊂ A. Como consecuencia, el resultado deseado es cierto, pues se tiene en cada uno de los abiertos en AFy basta iterar el proceso una cantidad finita de veces.  Tenemos de esta manera un poliedro bien definido NJ(M, H) = NJ(p)que solamente depende del par (M, H)y del estrato fijado J∈ HM,E (junto con el orden). Observación 2.13.Nótese que EJ6⊂ Hsi y solamente si el poliedro NJ(M, H)tiene un solo vértice en el origen de RJ, esto es δ(NJ(M, H)) = 0. 56 Capítulo 2. Sistemas de poliedros. Reducción combinatoria de singularidades Veamos ahora que la construcción de poliedros hecha es compatible con las proyecciones prJ2J1:RJ2→RJ1 para cada par de estratos J1, J2∈ HM,E con J1⊂J2. Proposición 2.13. Dados J1, J2∈ HM,E con J1⊂J2, se tiene que NJ1(M, H) = prJ2J1(NJ2(M, H)). Demostración. Escribamos NJ1=NJ1(M, H)yNJ2=NJ2(M, H). Veamos que σ1∈NJ1si y solamente si existe σ∈NJ2tal que prJ2J1(σ) = σ1. Para cada elemento σ∈ZJ2 ≥0, tomamos la descomposición σ= (σ1, σ2)∈ZJ1 ≥0×ZJ2\J1 ≥0. Sea f=X σ1∈ZJ1 ≥0 Aσ1uσ1, Aσ1=∂|σ1|f ∂uσju=0 =X σ2∈ZJ2\J1 ≥0 a(σ1,σ2)zσ2,u= (xj)j∈J1 z= (xj)j∈J2\J1. Es claro que Aσ1(y,z)6≡ 0siempre y cuando exista σ2∈ZJ2\J1 ≥0tal que a(σ1,σ2)(y)6≡ 0. Definición 2.9. El sistema de poliedros NM,H asociado al par (M, H), viene dado por NM,H = (TM,E,{NJ(M, H)}J∈HM,E ,1) Definición 2.10. La hipersuperficie Hse dice combinatoriamente regular para Msi para todo estrato J∈ HM,E se cumple que EJ6⊂ H. En vista de la observación 2.13, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. La hipersuperfice Hes combinatoriamente regular para M. 2. El sistema de poliedros es no singular, esto es δ(NJ(M, H)) = 0 para todo J∈ HM,E. La multiplicidad genérica νJ(H)de Ha lo largo de EJse define por νJ(H) = m´ax{i∈Z≥0;f∈(x)i},(x) = Xj∈JxjOM,p. Decimos que EJes combinatoriamente equimúltiple para Hsi νJ(H) = νK(H)para cada estrato combinatorio K∈ HM,E tal que J⊂K. Considerando el desarrollo en serie de f, nótese que νJ(H) = m´ın{|σ|;aσ(y)6≡ 0}=δ(NJ(M, H)). Consideremos ahora un estrato J∈ HM,E tal que m=δ(NJ(M, H)) es maximal; en particular, tenemos que Hes combinatoriamente equimúltiple a lo largo de EJ. Sea π: (M0, H0)→(M, H) la explosión geométrica usual centrada en EJ. El sistema de poliedros de Newton asociado al par (M0, H0)viene dado por el transformado m-moderado de NM,H . Esto es fácil de comprobar, pues el transformado total de un poliedro describe el “movimiento de los monomios” por los morfismos de explosión y el transformado m-moderado agrega la operación de dividir por la potencia del divisor excepcional adecuada. Aplicando de manera reiterada el Corolario 2.1, obtenemos una sucesión finita de explosiones centradas en estratos combinatoriamente equimúltiples (M, H)=(M0, H0)←(M1, H1)← ··· ← (Mn, Hn)=(M0, H0) de manera que H0es combinatoriamente regular para M0. Como veremos más adelante, esta construcción de sistema de poliedros es particularmente útil cuando consideramos hipersuperficies Newton no degeneradas como en [35, 36]. 57 2.7. Ejemplos 2.7.2. Sistema de poliedros asociado a un espacio foliado Esta construcción nos va a interesar especialmente, ya que será esencial en el Capítulo 4 de esta memoria para probar el “teorema de equivalencia” que allí se establece. Consideremos una foliación Fen M. Fijado un estrato combinatorio J∈ HM,E, tomemos un punto p∈SJy una carta coordenada adaptada a Edada por z= (x,y). Sea η∈Ω1 M,p(logE) un generador local de Fadaptado a Eque escribimos en coordenadas como en la Ecuación 1.5: ω=Xj∈Jaj dxj xj +Xs∈Absdys, aj, bs∈ OM,p. Tomando notaciones como en la subsección anterior, tenemos los desarrollos en serie dados por: aj=Xaσ,j(y)xσ, bs=Xbσ,s(y)xσ, σ ∈ZJ ≥0. Esto nos permite reescribir ω=Pωσxσ, donde ωσ=Pj∈Jaσ,j(y)dxi xi +Ps∈Abσ,s(y)dys. Consideramos el poliedro NJ(ω;p, z) = {σ∈ZJ ≥0;ωσ6≡ 0}=Conv[ j∈J NJ(aj;p)∪[ s∈A NJ(bs;p). Proposición 2.14. Dado p0∈SJun punto cualquiera, consideremos una carta coordenada adaptada a Een p0dada por z0= (x0,y0)y sea ω0∈ΩM,p0(logE)un generador local de F adaptado a E. Se tiene la igualdad: NJ(ω;p, z) = NJ(ω0;p0,z0). Demostración. Supongamos en primer lugar que p0=pyω0=ω. Tenemos para ωdos desarrollos en serie, dependiendo de las coordenadas utilizadas: ω=Xj∈Jaj dxj xj +Xs∈Absdys=Xj∈Ja0 j dx0 j x0 j +Xs∈Ab0 sdy0 s Escribimos NJ=Conv[ j∈J NJ(aj;p)∪[ s∈A NJ(bs;p)yN0 J=Conv[ j∈J NJ(a0 j;p)∪[ s∈A NJ(b0 s;p). En vista de la Proposición 2.12, es suficiente probar que NJ=N0 J, independientemente de las coordenadas en las que se trabaje. A partir de ahora escribiremos todo en función de z= (x,y). 1. Asumamos en primer lugar que y0=yy que existe un índice j∈Jcumpliendo que x0 j=uxj, donde u∈ O∗ M,p es una unidad con u6= 1 yx0 k=xkpara todo k∈Jj=J\{j}. Se tienen las relaciones a0 k=ak+xkhkajpara k∈Jyb0 s=bs+hsajpara s∈A, donde du u=X j∈J xjhj dxj xj +X s∈S hsdys. Por tanto, para cada σ∈ZJ ≥0, tenemos que a0 σ,k =aσ,k +xkPτ ∂|τ|hk ∂xτaστ,j, k ∈J, στ=σ−τ−σk σk(k)=1, σk(`)=0, ` 6=k. b0 σ,s =bσ,s +Pτ ∂|τ|hs ∂xτaστ,j, s ∈A, στ=σ−τ. 58 Capítulo 2. Sistemas de poliedros. Reducción combinatoria de singularidades Cuando σpertenece a la frontera topológica de NJ, concluimos en particular que a0 σ,k =aσ,k, b0 σ,s =bσ,s +aσ,j. Si además σes un vértice de NJ, sabemos también que la lista ((aσ,k)k∈J,(bσ,s)s∈A)no se anula y como consecuencia, tampoco lo hace la lista ((a0 σ,k)k∈J,(b0 σ,s)s∈A) = ((aσ,k)k∈J,(bσ,s +aσ,j)s∈A). Es decir, que σ∈N0 Jy por tanto tenemos el contenido NJ⊂N0 J. Razonando ahora en la otra dirección, concluimos la igualdad buscada. 2. Asumamos ahora que x0=x, que existe un índice s∈Acumpliendo y0 s=αys+φ+ysψ, donde φ(p) = ψ(p)=0y∂φ/∂ys≡0y que y0 r=yrpara todo r∈Ar=A\{r}. Se tienen las siguientes relaciones: b0 s=bs(α+ψ+ys∂ψ/∂ys); b0 r=br+bs(∂φ/∂yr+ys∂ψ/∂yr), r ∈Asy a0 j=aj+xjbs(∂φ/∂xj+ys∂ψ/∂xj), j ∈J. De nuevo, tomando un elemento σde la frontera topológica de NJ, tenemos que b0 σ,s =αbσ,s, a0 σ,j =aσ,j yb0 σ,r =bσ,r + (∂φ/∂ys)(p)bσ,s Cuando además σes un vértice de NJ, concluimos igual que antes que σ∈N0 Jy por tanto tenemos el contenido NJ⊂N0 J. Razonando en la otra dirección, concluimos la igualdad. El argumento para probar la independencia del generador y del punto de SJescogido es el mismo que en los Lemas 2.5 y 2.6, respectivamente.  De este modo, definimos NJ(M,F) = NJ(ω;p, z). Observación 2.14.Nótese que EJ6⊂ log-Sing(F, E)si y solamente si el poliedro NJ(M,F) tiene un solo vértice, esto es δ(NJ(M,F)) = 0. Adaptando a la situación de foliaciones la prueba en la Proposición 2.13 para la compatibilidad de las proyecciones, introducimos el siguiente concepto. Definición 2.11. El sistema de poliedros NM,Fasociado al espacio foliado (M,F)es NM,F= (TM,E,{NJ(M,F)}J∈HM,E ,1) Definición 2.12. Una foliación Fse dice combinatoriamente regular para Msi para todo estrato J∈ HM,E se cumple que EJ6⊂ log-Sing(F, E). En vista de la observación 2.14, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. La foliación Fes combinatoriamente regular para M. 2. El sistema de poliedros es no singular, esto es δ(NJ(M,F)) = 0 para todo J∈ HM,E. El orden adaptado νJ(F)de Fa lo largo de EJ(véase [10]) se define por νJ(F) = m´ax{i∈Z≥0;ω∈(x)i}.(2.3) Decimos que EJes combinatoriamente equimúltiple para Fsi νJ(F) = νK(F)para cada estrato combinatorio K∈ HM,E con J⊂K. Tomando la expresión en coordenadas de ω, nótese que νJ(F) = m´ın{νJ(aj), νJ(bs)}j∈J,s∈A= m´ın{|σ|;σ∈NJ(M,F)}=δ(NJ(M,F)). 59 2.7. Ejemplos Consideremos ahora un estrato J∈ HM,E tal que m=δ(NJ)es maximal; en particular, tenemos que Hes combinatoriamente equimúltiple a lo largo de EJ. Sea π: (M0,F0)→(M,F) la explosión geométrica usual centrada en EJ. El sistema de poliedros de Newton asociado al par (M0,F0)viene dado por el transformado m-moderado de NM,F. De nuevo, aplicando de manera reiterada el Corolario 2.1, obtenemos una sucesión finita de explosiones centradas en estratos combinatoriamente equimúltiples (M,F)=(M0,F0)←(M1,F1)← ··· ← (Mn,Fn)=(M0,F0) de manera que F0es combinatoriamente regular para M0. 2.7.3. Otros ejemplos Campos de vectores. De manera similar, obtenemos un sistema de poliedros de Newton NM,Lasociado a una foliación uno-dimensional L. Para hacerlo, escribimos los campos de vectores correspondientes en coordenadas como sigue: ξ=Xξσxσ,con ξσ=X j∈J aσ,j(y)xj ∂ ∂xj +Xbσ,s(y)∂ ∂ys .(2.4) Ideales monomiales. Sea Iun ideal monomial de OMadaptado al divisor E. Siguiendo [22], definimos Icomo el dato de una colección finita de divisores efectivos {Ds}s∈Sde la forma Ds=Xi∈Ins iEi. Sea σs:I→Z≥0la aplicación dada por σs(i) = ns i. Para cada J∈ HM,E, consideramos NJ(M,I) = [[{σs|J;s∈S}]]. De este modo asociamos al par (M,I)el sistema de poliedros NM,I= (TM,E,{NJ(M,I)}J∈HM,E ,1). Nótese que NM,Ies no singular si y solamente si Ies un ideal principal. Dado J∈ HM,E, podemos hacer la explosión geométrica usual π: (M0,I0)→(M,I)centrada en EJ. El sistema de poliedros de Newton asociado al transformado total I0de I, viene dado por el transformado total de NM,I. Ahora, aplicamos el Teorema 2.1 y, como en [22], obtenemos una sucesión finita de explosiones (M0,I0)→(M,I)tal que I0es un ideal principal. 60 Capítulo 3 Graduaciones y formas iniciales pesadas En este capítulo vamos a introducir en concepto de forma inicial pesada de una foliación, que será esencial para dar la definición de foliación Newton no degenerada que se proporciona en el Capítulo 4. Consideremos un espacio ambiente M= (M, E)donde el divisor Etiene la propiedad de cruzamientos normales fuertes y vamos a fijar un estrato J∈ HM,E del tejido soporte combinatorio asociado. Fijado un peso ρpara J, vamos a construir dos haces de módulos graduados localmente isomorfos. 3.1. Vectores de pesos Definición 3.1. Un peso para Jes un elemento ρ∈(RJ)∗tal que ρ(σ)≥0para todo σ∈RJ ≥0 y la desigualdad es estricta cuando σ6= 0. Es decir, ρes una aplicación dada de la forma (σ:J7→ R)7→ Xj∈Jρjσ(j), con ρj∈R>0para todo j∈Jy escribimos ρ= (ρj)j∈Jen la base dual de la base estándar de RJ→R. Denotamos por WJel conjunto de todos los pesos para J. Para el caso especial J=∅ denotaremos por convenio ρ= 0 al único peso posible. Fijado un peso ρ∈ WJ, para cada real no negativo v∈R≥0consideramos los semiespacios de RJdados por: Hv,+ ρ={σ∈RJ;ρ(σ)≥v}, Hv,− ρ={σ∈RJ;ρ(σ)≤v}. Escribimos Hv ρpara denotar el hiperplano definido por la intersección Hv ρ=Hv,+ ρ∩Hv,− ρ. Para el caso especial de J=∅, asumiremos H0 ρ={•} yHv ρ=∅para cualquier v > 0; los resultados en este capítulo son triviales para éste. Escribamos ∆v,+ ρ=Hv,+ ρ∩RJ ≥0,∆v,− ρ=Hv,− ρ∩RJ ≥0,∆v ρ=Hv ρ∩RJ ≥0.(3.1) Recordemos que un politopo convexo ∆⊂Rnse define como la envolvente convexa de una cantidad finita de puntos de Rn. Nótese que ∆v ρlo es, pues viene dado por ∆v ρ=Conv({σj;j∈J}), donde σj:J→Res el elemento de RJdefinido por σj(j) = v/ρjyσj(k)=0para todo k6=j. En efecto, cada σ∈RJlo podemos escribir como σ= 1/v X j∈J ρjσ(j)σj. 61 3.2. Módulos ρ-graduados de r-formas diferenciales Observación 3.1.Esto es falso si permitimos que ρj= 0 para algún j∈J. Por ejemplo, consideremos ρ:R2→R≥0, dado por (σ1, σ2)7→ σ1, tenemos que ∆v ρ={(σ1, σ2)∈R2 ≥0;σ1=v}, que es toda una semirecta del espacio afín R2. Observación 3.2.Dado v∈R>0, el conjunto ∆v,− ρ∩ZJ ≥0es finito, pues su cardinal está acotado por el volumen de un cubo de arista K > v. Como consecuencia Vv ρ={b≤v;b=ρ(σ)con σ∈ZJ ≥0} es un conjunto finito. En efecto, hay una aplicación sobreyectiva Zv ρ→ Vv ρdefinida por σ7→ ρ(σ). Definición 3.2. El conjunto Vρde valores asociados a ρes el subconjunto de R≥0dado por Vρ={b∈R;b=ρ(σ)con σ∈ZJ ≥0} ⊂ R≥0. Nótese que el valor v= 0 está asociado a cualquier peso. Lema 3.1. El conjunto de valores Vρestá bien ordenado con respecto al orden usual. Además hay un isomorfismo al conjunto de los números naturales Ncomo conjuntos ordenados, considerado este último también con el orden usual. Demostración. En primer lugar, veamos que Vρestá bien ordenado con respecto al orden usual. Para ello, tomemos un subconjunto no vacío A⊂ Vρy veamos que tiene primer elemento. Dado un elemento a∈A, tenemos que a<a0para todo a0/∈ Va ρ∩A. Por otro lado, el conjunto Va ρ∩A es finito y no vacío, puesto que contiene a, y por ello tiene elemento mínimo que llamamos a0. De esta manera, tenemos que a0≤a0para todo a0∈A. Para ver que el conjunto Vρes isomorfo a N, veamos que todo valor no nulo tiene elemento anterior y que todo valor tiene elemento posterior; en particular, no hay último elemento. Sea v∈ Vρun valor no nulo. El conjunto Vv ρ\{v}es finito y no vacío, dado que contiene v0= 0. Existe el elemento anterior v−= m´ax(Vv ρ\{v}). Consideremos un valor v∈ Vρy un punto σ∈∆v ρ. Sea ˜σ=σ+τpara algún τ∈ZJ >0 y denotemos b=ρ(˜σ) = ρ(σ) + ρ(τ). Hay un elemento más grande que vdado por v+= m´ın(Vb ρ\Vv ρ). Llamamos a v−el antecesor de vy a v+su sucesor, siendo v−yv+los definidos en la prueba del Lema 3.1. Observación 3.3.Para ρ= (1,1,...,1) tenemos que Vρ=N. 3.2. Módulos ρ-graduados de r-formas diferenciales Los conceptos que vamos a desarrollar son todos ellos relativos a un peso ρ∈SJ, que consideramos fijo a lo largo de la sección. Obsérvese que, cuando el estrato geométrico SJ consta de un solo punto SJ={p}, tenemos que OSJ=OSJ,p ≃C. Módulos Ωr SJ(logT, R).Definámoslos desde el punto de vista de los prehaces completos. Consideremos indeterminadas T= (Tj)j∈Jy para cada abierto UJ⊂SJtomamos el anillo de polinomios OSJ(UJ)[T]en las variables Tcon coeficientes en el anillo OSJ(UJ). Por el hecho de ser OSJun prehaz completo de base SJ, tenemos que OSJ[T] : UJ⊂SJ7→ OSJ(UJ)[T] 62 Capítulo 3. Graduaciones y formas iniciales pesadas es un prehaz completo de OSJ-álgebras, donde el morfismo restricción viene dado de forma natural por el morfismo restricción en OSJ. Definimos el ρ-grado ∂ρ(FTσ)de un monomio FTσ∈ OSJ(UJ)[T] por ∂ρ(FTσ) = ρ(σ)∈ Vρ. En particular, tenemos que ∂ρ(Tj) = ρjpara todo j∈J. El ρ-grado de un polinomio es el mínimo de los ρ-grados de sus monomios. Un polinomio es homogéneo si todos sus monomios tienen el mismo ρ-grado y convenimos que el polinomio 0es homogéneo de cualquier ρ-grado. Nótese que, dados dos monomios FTσ, F0Tσ0∈ OSJ(UJ)[T], se tiene que ∂ρ(FTσF0Tσ0) = ∂ρ(FF 0Tσ+σ0) = ρ(σ) + ρ(σ0), pues ρes lineal. Cuando ρ= (1,1,...,1), recuperamos la graduación habitual. Dado un valor v∈ Vρ, consideremos el OSJ(UJ)-módulo Pρ v(UJ)⊂ OSJ(UJ)[T] formado por todos los polinomios homogéneos con coeficientes en OSJ(UJ)cuyo ρ-grado es vy sea Pv⊂ OSJ[T]el prehaz completo de OSJ-módulos dado por Pρ v:UJ⊂SJ7→ Pρ v(UJ). En particular, se tiene que Pρ 0=OSJy además dados dos valores v, v0∈ Vρ, se cumple que Pρ vPρ v0⊂Pρ v+v0. Por tanto, concluimos que OSJ[T] = Lv∈VρPρ ves un prehaz completo de OSJ-álgebras graduadas. Dado un entero no negativo r∈Z≥0, denotemos por Pr=Pr(J∪c(J)) el conjunto cuyos elementos son subconjuntos de J∪c(J)con exactamente relementos. Denotemos por Nrel número de elementos de Pr, esto es Nr=n r0≤r≤n 0r > n. Dado K∈ Pr, escribimos K=KJ∪Kc(J), donde KJ⊂JyKc(J)⊂c(J). Tomemos indeterminadas R= (Rs)s∈c(J)y consideremos la suma directa Ωr SJ(logT, R) = Mv∈Vρ Ωr,ρ v,Ωr v=MK∈Pr Pρ v·¯ ΛK≃(Pρ v)Nr,donde ¯ ΛK=¯ ∧j∈KJ¯ dTj/Tj¯ ∧¯ ∧s∈Kc(J)¯ dRs. Cada Ωr,ρ ves un prehaz completo de OSJ-módulos y además, dados dos valores v, v0∈ Vρ, se tiene que Pρ vΩr,ρ v0⊂Ωr,ρ v+v0. De esta manera, se tiene el Oρ SJ[T]-módulo graduado Ωr SJ,p(logT, R)≃(OSJ[T])Nr. Módulos Gρ JΩr M(logE).Esta construcción la hacemos desde el punto de vista de los haces, es decir, construyendo primero las fibras y pegándolas después formando un espacio étalé. Fijemos un punto p∈SJy sea (x,y)un sistema local de coordenadas adaptado a E. Para cada v∈ Vρconsideramos el conjunto Zv=Hv,+ ρ∩ZJ ≥0y los OM,p-submódulos Ir vdados por Iv=I0 v=Xσ∈Zv xσOM,p ⊂ OM,p e Ir v=IvΩr M,p(logE)⊂Ωr M,p(logE). Dados dos valores v, v0∈ Vρcon v≤v0, nótese que Zv0⊂Zvy por tanto Ir v0⊂Ir v. Recuérdese que, para cualquier otro sistema local de coordenadas (x0,y0)adaptado a E, se tiene que xj=ujx0 jdonde uj∈ O∗ M,p es una unidad. Por tanto Ir vno depende de las coordenadas escogidas, puesto que x0σOM,p =xσOM,p para todo σ∈ZJ ≥0. Dado un valor v∈ Vρ, consideremos el OM,p-módulo Gr,ρ v,p =Ir v/Ir v+. La forma inicial a nivel ves la aplicación natural de paso al cociente Inr v:Ir v→Gr,ρ v,p. 63 3.2. Módulos ρ-graduados de r-formas diferenciales Definición 3.3. El ρ-valor νρ(ω)de un germen de r-forma diferencial ω∈Ωr M,p(logE)se define como el valor νρ(ω) = m´ax{v∈ Vρ;ω∈Ir v}∈Vρ∪{∞}. Nótese que dado v∈ Vρ, se tiene que Ir v={ω∈Ωr M,p(logE); νρ(ω)≥v}. Por otro lado, obsérvese que ker(Inr v) = Ir v+y como consecuencia se tiene que Inr v(ω)6= 0+Ir v+si y solamente si v=νρ(ω). Esto motiva la siguiente definición. Definición 3.4. Se llama ρ-forma inicial Lρωde un germen de r-forma diferencial logarítmica ω∈Ωr M,p(logE)a la forma inicial a nivel de su ρ-valor, esto es Lρω=Inr ν(ω), ν =νρ(ω). Observación 3.4.El (1,1,...,1)-valor es el orden habitual para un germen de función o r-forma diferencial logarítmica. Tenemos las siguientes propiedades inmediatas para el ρ-valor: 1. Dadas dos r-formas diferenciales logarítmicas ω, ω0∈Ωr M,p(logE)se cumple que νρ(ω+ω0)≥m´ın{νρ(ω), νρ(ω0)}. La desigualdad estricta se da sólo si νρ(ω) = νρ(ω0). 2. Dadas f∈ OM,p yω∈Ωr M,p(logE), se tiene que νρ(fω0) = νρ(f) + νρ(ω). Esto significa, en particular, que la aplicación νρ:OM,p → Vρque a cada germen de función f∈ OM,p le asocia su ρ-valor νρ(f), induce una valoración en el cuerpo de fracciones de OM,p. Dados dos valores v, v0∈ Vρ, se define el producto G0,ρ v,p ×Gr,ρ v0,p →Gr,ρ v+v0,p (In0 v(f),Inr v0(ω)) 7→ Inr v+v0(fω). Se cumplen las siguientes propiedades inmediatas para la ρ-forma inicial. 1. Dado un valor v∈ Vρse tiene que Inr v(ω) + Inr v(ω0) = Inr v(ω+ω0). Además, nótese que Lρω+Lρω0= 0 si y solo si ν=νρ(ω) = νρ(ω0)yνρ(ω+ω0)> ν. 2. Se tiene que Lρf·Lρω=Lρ(fω). Dado que G0 0,p =OSJ,p, se tiene que Gr,ρ v,p tiene estructura de OSJ,p-módulo con el producto arriba definido. Veamos ahora como se leen el ρ-valor y la ρ-forma inicial una vez se fijan coordenadas. Para ello, consideramos un sistema local de coordenadas z= (x,y)adaptado a E. Recordemos que OM,p ≃C{z}y una base del módulo Ωr M,p(logE)viene dada por {ΛK=∧j∈KJdxj/xj∧ ∧s∈Kc(J)dys}K∈Pr Por definición del ρ-valor se tiene que νρ(ΛK)=0para todo K∈ Pry además Gr,ρ v,p ≃(G0,ρ v,p)Nr=X K∈Pr G0,ρ v,pΛK. Dada ω∈Ωr M,p(logE), su ρ-valor viene dado por νρ(ω) = m´ın{νρ(fK); K∈ Pr}, ω =X K∈Pr fKΛK 64 Capítulo 3. Graduaciones y formas iniciales pesadas Para un germen de función holomorfa f∈ OM,p, consideremos la siguiente escritura de su desarrollo en serie de potencias: f=X v∈Vρ fv, fv=X σ∈∆v ρ fv σxσ, fv σ∈C{y},(3.2) El ρ-valor de fes νρ(f) = m´ın{v∈ Vρ;fv6= 0}. En particular νρ(xj) = ρjpara todo j∈Jy νρ(ys) = 0 para todo s∈c(J), es decir, se tiene que I0+= (x). Tomando notaciones como en la Ecuación 3.2, escribimos también ω=X K∈Pr fKΛK=X K∈PrX v∈Vρ fv KΛK=X v∈VρX K∈Pr fv KΛK=X v∈Vρ ωv.(3.3) De esta manera, se da la igualdad νρ(ω) = m´ın{v∈ Vρ;ωv6= 0}. Definición 3.5. Para cada elemento W∈Gr,ρ v,p, definimos su representante estándar ωW,z asociado al sistema local de coordenadas zcomo el único elemento del C{z}-módulo libre ⊕K∈PrC{z}ΛKque se escribe de la forma ωW,z=X K∈Pr fv KΛK, fv K=X σ∈∆v ρ fv K,σxσy cumple Lρ(ωW,z) = W. (3.4) El representante estándar de Lρωviene dado por ωνcon ν=νρ(ω), tomando las notaciones de la Ecuación 3.3. Dadas dos r-formas ω, ω0∈Ωr M,p(logE)tales que ν=νρ(ω) = νρ(ω0), notése que Lρω+Lρω0= 0 si y solamente si ων=ωLρω,z=−ωLρω0,z=−ω0ν. Esto a su vez, sucede siempre y cuando se tenga que fν K,σ =−f0ν K,σ para todo K∈ Pry para todo σ∈∆ν ρ, tomando notaciones como en la Ecuación 3.4. El siguiente enunciado muestra como se puede leer en términos de Ωr,ρ v,p el módulo Gr,ρ v,p. Proposición 3.1. Consideremos un sistema local de coordenadas z= (x,y)adaptado a E. La aplicación Ψr,ρ p,v,z:Ωr,ρ v,p →Gr,ρ v,p dada por F∈ OSJ,p 7→ F, Tj7→ Lρxj=In0 ρj(xj),¯ ΛK7→ ΛK(3.5) es un isomorfismo de OSJ,p-módulos. Demostración. En vista de las definiciones de ρ-valor y ρ-grado, tenemos que la aplicación está bien definida. Además, gracias a la descripción de la forma inicial en términos de coordenadas y sus propiedades, es claro que Ψr,ρ p,v,zes un homomorfismo de OSJ,p-módulos. Resta probar que es además biyectivo. Puesto que se tiene que Ωr,ρ v,p ≃(Pρ v,p)NryGr,ρ v,p ≃(G0,ρ v,p)Nr, es suficiente hacer la prueba para el caso r= 0. Denotemos Ψ=Ψ0,ρ p,v,z,P=Pρ v,p yG=G0,ρ v,p. 1. Veamos en primer lugar que Ψ : P→Ges sobreyectiva. Dado un elemento G∈G, sea f=fG,z=Pσ∈∆v ρfσxσsu representante estándar asociado a z. Se tiene que Lρf=X σ∈∆v ρ Lρ(fσxσ) = X σ∈∆v ρ Ψ(FσTσ), Fσ=Lρfσ=In0 ρ(fσ),(3.6) por tanto G=Lρf= Ψ(P), donde P=Pσ∈∆v ρFσTσ∈P. 65 3.4. Producto y diferencial exteriores Observación 3.7.Estos conceptos son compatibles con las construcciones. Además, el último no depende ni del generador escogido ni del punto p∈SJ. En efecto, si tomamos dos generadores, nos encontramos con que sus ρ-valores distan el ρ-valor de una unidad, esto es, cero; la independencia del punto la podemos ver con un argumento similar al hecho en el Lema 2.6. Cuando ρ= (1,1,...,1), recuperamos el orden adaptado de Fa lo largo de EJ(véase la Ecuación 2.3), esto es, tenemos la igualdad νρ(F) = νJ(F). Lema 3.4. Dada una foliación Fy dos pesos ρ, ρ0∈ WJ, son equivalentes: Los pesos están ω-asociados para un generador local ωadaptado a Een un punto p. Los pesos están ω-asociados para cualquier generador local ωadaptado a Een un punto cualquiera p. Demostración. La prueba se sigue adaptando las demostraciones hechas en la Proposición 2.12 y los Lemas 2.5 y 2.6, así como de la definición de ρ-forma inicial.  Esto motiva la siguiente definición: Definición 3.7. Dada una foliación F ⊂ Ω1 My dos pesos ρ, ρ0∈ WJ, diremos que los pesos están F-asociados si lo están para un generador local ωde Fadaptado a Een un punto p∈SJ. Para un haz inversible de ideales I ⊂ OM, podemos definir de manera análoga la ρ-forma inicial LρIy la condición relativa a dos pesos de estar I-asociados. 3.4. Producto y diferencial exteriores Vamos a presentar someramente las operaciones de producto y diferencial exteriores en los haces anteriormente construidos. Lo haremos de manera local en cada fibra. Éstas son construcciones similares a las que ya hemos realizado. Por otro lado, son definiciones que cumplen las propiedades naturales exigidas a este tipo de operaciones, lo que justifica su nombre. Fijemos a partir de ahora un punto p∈SJ. Basta definir el producto exterior para los elementos de las respectivas bases. Tomamos ¯ ΛK con K∈ Pry¯ ΛL, con L∈ Pstales que K= (KJ, Kc(J))yL= (LJ, Lc(J))y tomamos la permutación σ:K∪L→K∪Lque reordena (KJ, Kc(J), LJ, Lc(J)). Se define: ¯ ∧: Ωr SJ,p(logT, R)×Ωs SJ,p(logT, R)→Ωr+s SJ,p(logT, R) (¯ ΛK,¯ ΛL)7→ 0K∩L6=∅ (−1)sg(σ)¯ ΛK∪Len otro caso. Definimos la diferencial exterior ¯ d:OSJ,p[T]→Ω1 SJ,p(logT, R) PFσTσ7→ P j∈J (Pσ(j)FσTσ)¯ dTj Tj +P s∈c(J)(P∂Fσ ∂ys Tσ)¯ dRs. y de esta manera tenemos también ¯ d: Ωr SJ,p(logT, R)→Ωr+1 SJ,p(logT, R) PPK¯ ΛK7→ P¯ dPK¯ ∧¯ ΛK 72 Capítulo 3. Graduaciones y formas iniciales pesadas Por otro lado definimos Λ : Gρ JΩr M,p(logE)×Gρ JΩs M,p(logE)→Gρ JΩr+s M,p(logE) (P v∈Vρ Inv ρ(ωv),P v∈Vρ Inv ρ(ω0 v)) 7→ P v∈Vρ (P v0∈Vρ Inv+v0 ρ(ωv∧ω0 v0)). y D:Gρ JΩr M,p(logE)→Gρ JΩr+1 M,p(logE) P v∈Vρ Inv ρ(ωv)7→ P v∈Vρ Inv ρ(dωv). Estas construcciones son compatibles por la diferencial y el producto exterior en las gérmenes de r-formas logarítmicas sobre Mpor como se han dado. Además, son compatibles también con los isomorfismos locales Ψr,ρ p,zy las construcciones hechas para el módulo Ωr SJ(logT, R). 73 Capítulo 4 Foliaciones Newton no degeneradas A continuación presentamos el capítulo central de esta memoria. En él introducimos el concepto de espacio foliado Newton no degenerado, siguiendo las ideas clásicas para hipersuperfices e intersecciones completas de Kouchnirenko y Oka (véase [35, 36]). Además probamos, dentro del marco hiperbólico-complejo, la equivalencia con tener una predesingularización combinatoria, esto es, con ser de tipo tórico débil. Finalmente, damos una lista de ejemplos representativa para esta familia de espacios foliados. Fijamos un espacio ambiente M= (M, E)con la propiedad de cruzamientos normales fuertes para el divisor Ey recordamos que tenemos el tejido soporte combinatorio HM,E y la estratificación asociada SM,E. 4.1. Ceros de uno-formas diferenciales pesadas Fijamos, a lo largo de esta sección, un estrato combinatorio J∈ HM,E y un peso ρ∈ WJ. Sea p∈SJun punto, escribimos Ap=OSJ,p y consideramos la función ep:Ap→Cque a cada F∈Aple asocia su valor en el punto p, esto es ep(F) = F(p). Tomamos el C-módulo Ωr C[T](logT, R)dado por el producto tensorial Ωr C[T](logT, R)=Ωr SJ,p(logT, R)⊗ApC y consideramos la aplicación ˜ep: Ωr SJ,p(logT, R)→Ωr C[T](logT,R) P K∈PrPFK,σTσ¯ ΛK7→ P K∈PrPep(FK,σ)Tσ¯ ΛK. De esta manera, cada polinomio P∈Ap[T], tiene asociada una función “evaluación” fP: (SJ, p)×CJ→C (q, t)7→ f˜eq(P)(t), donde f˜eq(P)es la función polinómica definida por ˜eq(P)∈C[T]. Como consecuencia, dado un germen de r-forma diferencial Ω∈Ωr SJ,p(logT, R), tiene sentido la expresión (Ω = 0) = \ K∈Pr (FK= 0) ⊂(SJ, p)×CJ,donde Ω = X K∈Pr FK¯ ΛK 75 4.1. Ceros de uno-formas diferenciales pesadas Nos va a interesar más adelante trabajar con formas diferenciales que cumplan la condición: (Ω = 0) ∩(SJ, p)×(C∗)J=∅(ND) que tomando la evaluación en el punto pes equivalente a: (Ω|p= 0) ∩{p}×(C∗)J=∅,Ω|p= ˜ep(Ω). Nótese que CJ\(C∗)J= (QTj= 0) y por tanto la condición anterior se da siempre y cuando (Ω|p= 0) ⊂(QTj= 0). Gracias al teorema de los ceros de Hilbert, esto significa tener la siguiente relación entre ideales del anillo C[T] QTj·C[T]⊂q(FK|p)K∈Pr·C[T] que a su vez es equivalente a tener la siguiente inclusión de ideales en Ap[T]: QTj·Ap[T]⊂q(FK)K∈Pr·Ap[T](ND’) Es claro que si U∈ O∗ SJ,p es una unidad, entonces Ωcumple la condición (ND) si y solamente si UΩla cumple. Como veremos ahora, también tiene sentido definir la condición (ND) para r-formas pesadas en el haz Gρ JΩr M,p(logE), es decir, que ésta no depende de la lectura en coordenadas de las formas iniciales. Haremos la prueba detallada para el caso r= 1, que es el que nos interesa de manera especial. Más precisamente, tenemos el siguiente enunciado: Proposición 4.1. Dada una uno-forma W∈Gρ JΩ1 M,p(logE)y dos sistemas locales de coordenadas z= (x,y),z0= (x0,y0)adaptados a E, se tiene que (Ω = 0) ∩(SJ, p)×(C∗)J=∅si y sólo si (Ω0= 0) ∩(SJ, p)×(C∗)J=∅, donde W= Ψ1,ρ p,z(Ω) = Ψ1,ρ p,z0(Ω0). Demostración. Denotemos Gr=Gρ JΩr M,p(logE), para r= 0,1. Recordemos que xj=ujx0 j con ujuna unidad en OM,p y que una vez fijadas coordenadas, G1es un G0-módulo libre. Consideramos las bases β=In0dxj xj,In0(dys), β0=In0dx0 j x0 j,In0(dy0 s). Nótese que dy0 s=X j∈J xj ∂y0 s ∂xj dxj xj +X r∈A ∂y0 s ∂yr dyr, dx0 j x0 j =duj uj +dxj xj ,con duj uj =X `∈J x`hj` dx` x` +X s∈A gjsdys y por tanto se tienen las siguientes relaciones entre βyβ0: In0(dy0 s) = X r∈A In0∂y0 s ∂yrIn0(dyr), In0dx0 j x0 j=In0dxj xj+X r∈A In0(gjr)In0(dyr). 76 Capítulo 4. Foliaciones Newton no degeneradas Estas relaciones dan lugar a los isomorfismos Φ0:Ap[T]→Ap[T] Φ1: Ω1 J,p(logT, R)→Ω1 J,p(logT, R) Tj7→ In0(uj)Tj dTj Tj7→ dTj Tj +P r∈A In0(gjr)dRr dRs7→ P r∈A In0∂y0 s ∂yrdRr F∈Ap[T]7→ Φ0(F)∈Ap[T]. Escribamos Ω=Ψ1,ρ p,z(W) = X j∈J Hj dTj Tj +X s∈A FsdRs, Φ1(Ω) = Ω0= Ψ1,ρ p,z0(W) = X j∈J H0 j dTj Tj +X s∈A F0 sdRs y denotemos I= (Hj, Fs)Ap[T],I0= (H0 j, F0 s)Ap[T]. Debemos probar que QTj∈qI|pC[T]si y sólo si QTj∈qI0|pC[T]. Por simplicidad en el desarrollo de los cálculos, hacemos la prueba en dos etapas: 1. Supongamos que x0=x. Tenemos las relaciones: H0 j=Hj, j ∈JyF0=J0F,F= (Fs)s∈A,F0= (F0 s)s∈A,J0=∂y0 s ∂yrr,s∈A . La matriz J0es invertible en Ap[T], como consecuencia tenemos la igualdad I=I0y por tanto se cumple la propiedad que buscábamos. 2. Supongamos que y0=y. Tenemos las relaciones: H0 j= Φ0(Hj), j ∈JyF0 s= Φ0(Fs) + X j∈J Φ0(Hj)In0(gjs), por tanto, se da la igualdad I0= Φ0(I). Consideremos el isomorfismo ˜ Φ0:C[T]→C[T] que hace conmutativo el diagrama Ap[T] ˜ep  Φ0//Ap[T] ˜ep  C[T]˜ Φ0//C[T] En particular tenemos que ˜ Φ0(Tj) = uj(p)Tjy por tanto ˜ Φ0(QTj) = Quj(p)Tj=λQTj, con λ∈C∗. Por otro lado, tenemos que Φ0(I)|p=˜ Φ0(I|p)y como consecuencia qΦ0(I)|p=q˜ Φ0(I|p) = ˜ Φ0qI|p, pues los isomorfismos respetan el radical. De esta manera QTj∈qI|p⇔λQTj∈˜ Φ0qI|p⇔QTj∈˜ Φ0qI|p⇔QTj∈qΦ0(I)|p y concluimos la prueba.  Con todo esto, tiene sentido introducir la siguiente definición: Definición 4.1. Sea < W >=W·Gρ JΩ1 M,p(logE)un Gρ JOM,p-submódulo de Gρ JΩ1 M,p(logE). Decimos que < W > satisface la condición (ND) si existe un sistema de coordenadas z= (x,y) tal que (Ψ1,ρ p,z)−1(W)satisface la condición (ND). 77 4.2. Espacios foliados Newton no degenerados 4.2. Espacios foliados Newton no degenerados Introducimos los siguientes conceptos: Definición 4.2. Consideremos un espacio foliado (M,F): 1. Fijemos un punto p∈SJpara algún estrato combinatorio J∈ HM,E. a) Dado un peso ρ∈ WJ, se dice que (M,F)es (ρ, J)-no degenerado en psi (LρF)p satisface la condición (ND). b) Se dice que (M,F)es Newton no degenerado en psi es (ρ, J)-no degenerado en p para cualquier peso ρ∈ WJ. 2. Decimos que (M,F)es Newton no degenerado si lo es en cada punto p∈M. Se puede probar que ser Newton no degenerado en un punto p∈Mes una propiedad abierta, esto es, existe un entorno U⊂Mde ptal que (M,F)|Ues Newton no degenerado. Observación 4.1.En este momento, vamos a explicar mejor la Observación 3.7 en lo referente a poliedros de Newton. Escribamos, por comodidad en la notación NJ=NJ(M,F)yν=νρ(F). Sabemos que a cada peso ρ∈ WJse le puede asociar la familia de hiperplanos {Hv ρ}v∈R, donde recordemos que Hv ρ={σ∈RJ;ρ(σ) = v}. Además se tiene que la intersección Cρ=Hν ρ∩NJ⊂∆ν ρ es una cara compacta de la frontera topológica de NJ. Recíprocamente, fijada una cara compacta c-dimensional Cdel poliedro de Newton NJ, existe un subespacio afín de dimensión #J−c formado por hiperplanos H⊂RJtales que H∩NJ=C. Éste se identifica con un subespacio de (RJ)∗de dimensión #J−c−1y así asociamos a Cun subconjunto WJ,C ⊂ WJdel conjunto de pesos para J. Es claro además, que los subconjuntos WJ,C definen una partición de WJ. De la Ecuación 3.12 y la definición de NJse sigue de forma directa que: Dos pesos ρ, ρ0∈ WJestán F-asociados si y solamente si existe una cara compacta Cdel poliedro NJtal que ρ, ρ0∈ WJ,C. Si ρyρ0son dos pesos F-asociados, se tiene que (M,F)es (ρ, J)-no degenerado en un punto p∈SJsi y solamente si es (ρ0, J)-no degenerado en p. Por tanto para ver si un espacio foliado es Newton no degenerado en un punto p∈SJ, basta comprobar que lo es para una cantidad finita de pesos ρ, asociados cada uno a distintas caras del poliedro NJ. En particular, se pueden seleccionar pesos con entradas racionales. Observación 4.2.Consideremos un peso ρ∈ WJy coordenadas locales (x,y)adaptadas a E en un punto p∈SJ. Sea ωun generador local de Fy sea Ω = (Ψ1,ρ p,z)−1(Lρω). Consideremos ahora ω0=xσω. Se tiene que Ω0= (Ψ1,ρ p,z)−1(Lρω0) = TσΩ, y por tanto Ωcumple la condición (ND) si y sólo si Ω0la cumple. Restricción a una componente dicrítica. Consideremos un espacio ambiente (M,F), donde M= (M, E)y sea Ek⊂Edic una componente dicrítica del divisor. El espacio ambiente restricción M|Ekse define por M|Ek= (Ek, E|Ek), E|Ek=E\Ek∩Ek. De esta manera, obtenemos el espacio foliado restricción (M,F)|Ekdado por (M,F)|Ek= (M|Ek,F|Ek), donde F|Ekes la foliación que define Fsobre Ek. Veamos que 78 Capítulo 4. Foliaciones Newton no degeneradas Proposición 4.2. Si (M,F)es Newton no degenerado, entonces (M,F)|Ektambién lo es. Demostración. Hay una biyección entre el tejido soporte combinatorio HEk,E|Eky el conjunto de los estratos {J∈ HM,E;k∈J}que viene dada por ¯ J∈ HEk,E|Ek7→ ¯ J∪{k}∈HM,E. Dado un estrato combinatorio ¯ J∈ HEk,E|Ek, escribamos J=¯ J∪{k}. Consideremos los estratos geométricos asociados ¯ S¯ J∈ SEk,E|EkySJ∈ SM,E. Nótese que son iguales y fijemos un punto p∈SJ. Tomamos coordenadas (x,y)adaptadas a E en py un sea ωun generador local de Fadaptado a E. Denotemos u={xj}j∈¯ J. Tenemos que ω=X j∈J (Aj+xkaj)dxj xj +X s∈c(J) (Bs+xkbs)dys, Aj, Bs∈C{u,y} Un generador local de la foliación FEkadaptado a E|Eken el punto pviene dado por ¯ω=X j∈¯ J Aj duj uj +X s∈c(J) Bsdys. Escribamos N=NJ(M,F)y¯ N=N¯ J((M,F)|Ek)y tomemos la sección s:R¯ J→RJdada por τ7→ (τ, 0). Obsérvese que si ¯ Ces una cara compacta de ¯ N, entonces C=s(¯ C)es una cara compacta de N. Sean ¯ρ∈ W¯ Cyρ∈ WCdos pesos en ¯ S¯ JySJ, respectivamente. Se tiene que (Ψ1,ρ p,z)−1(Lρω) = Ψ1,¯ρ p,(u,y)−1(L¯ρ¯ω). Por tanto (M,F)es (ρ, J)-no degenerado en psi y solamente si (M,F)|Ekes (¯ρ, ¯ J)-no degenerado en p. Haciendo esto para toda cara compacta ¯ Cdel poliedro ¯ N, para todo estrato ¯ J∈ HEk,E|Eky para todo punto p∈Ek, y en vista de la Observación 4.1, concluimos el resultado.  4.3. Teorema de equivalencia El objetivo de esta sección es probar el siguiente resultado Teorema 4.1. Un espacio foliado hiperbólico-complejo es Newton no degenerado si y solamente si es de tipo tórico débil. Primero veamos como se relacionan pesos y estratos por explosiones combinatorias. Relación entre los pesos y estratos por explosión. Sea Tun tejido soporte y denotemos por T0=πJT= (I0,H0)su explosión centrada en un estrato J. Siguiendo las notaciones de la Definición 2.2, recordemos que podemos dividir HyH0como sigue: H=Hs∪KJ,donde KJ={J}∩H={K∈ H;J⊂K}y H0=Hs∪[ K∈KJH0K ∞,donde H0K ∞={(K\J)∪A∪{∞};A(J}. Para cada K∈ KJyA(J, definimos el subconjunto WA K⊂ WKcomo: WA K=ρ∈ WK;ρj=ρj0=r, para todo j, j0∈J\A ρ(j)> r, para todo j∈A.  79 4.3. Teorema de equivalencia Obtenemos de esta manera una partición {WA K}A(Jdel espacio de pesos WK. •A=∅ •A={i} •A={i, j} J={1,2,3}J={1,2} Figura 4.1: Representación baricéntrica de W{1,2,3}y sus particiones. Ademas, tenemos una biyección φA K:WA K→ WK0entre un elemento WA Kde la partición y el conjunto de pesos WK0, donde K0= (K\J)∪A∪{∞}. Ésta viene dada como sigue: φA K:WA K→ WK0 ρ∈ WA K7→    ρ0 j=ρj, j ∈K\J ρ0 ∞=r ρ0 j=ρj−r, j ∈A    ρj=ρ0(j), j ∈K\J ρj=ρ0 ∞, j ∈J\A ρj=ρ0 +ρ0 ∞j∈A 7→ ρ0∈RK0 >0 (4.1) Observación 4.3.Considérese σ∈ZK ≥0yσ0=λK0(σ)∈ZK0 ≥0, donde σ0(j) = σ(j)para todo j∈K0\{∞} yσ0(∞) = Pj∈Jσ(j)(véase la Ecuación 2.2). Se tiene la igualdad ρ(σ) = ρ0(σ0), donde ρ0=φK A(ρ). En efecto, ρ0(σ0) = X j∈K\J ρjσ(j)+X j∈A (ρj−r)σ(j) + rX j∈J σ(j) = =X j∈K\J ρjσ(j) + X j∈A ρjσ(j) + rX j∈J\A σ(j) = ρ(σ). En particular, se tiene que λK0(∆v ρ) = ∆v ρ0para todo v∈ Vρ. Fijemos ahora un sistema de poliedros {T ,{NJ}J∈H,1}sobre el tejido soporte T. La igualdad anterior significa que, si Ces la cara del poliedro NKasociada al peso ρ, tenemos que C0=λK0(C)es la cara del poliedro N0 K0asociada al peso ρ0, donde N0 K0denota el transformado total de NK. Estabilidad de ser Newton no degenerada. Queremos probar que la propiedad de ser Newton no degenerado para un espacio foliado es estable por explosiones e implosiones combinatorias. Esto es, tenemos el siguiente resultado: Proposición 4.3. Sea π: (M0,F0)→(M,F)una explosión combinatoria permitida entre espacios foliados. Tenemos que (M,F)es Newton no degenerado si y solo si (M0,F0)lo es. Vamos a considerar un espacio foliado (M,F)yπ: (M0,F0)→(M,F)una explosión combinatoria permitida centrada en EJ. Tomamos un estrato combinatorio K∈ HM,E tal que J⊂Ky otro K0∈ H0K ∞⊂ HM0,E0en su transformado y escribimos K0= (K\J)∪A∪{∞}. Fijamos un peso ρ∈ WA Ky consideramos su correspondiente ρ0=φA K(ρ)∈ WK0. Finalmente, marcamos también un punto p∈SK. Tenemos el siguiente resultado: 80 Capítulo 4. Foliaciones Newton no degeneradas Lema 4.1. El espacio foliado (M,F)es (ρ, K)-no degenerado en psi y solamente si (M0,F0) es (ρ0, K0)-no degenerado en todo punto q∈π−1(p)∩SK0. Demostración. Tomamos coordenadas z= (x,y)adaptadas a Een el punto py un generador ω=X σ∈ZK ≥0 ωσxσ,donde ωσ=X j∈K aσ,j(y)dxj xj +X s∈c(K) bσ,s(y)dys. Fijado un punto q∈π−1(p)∩SK0y un índice j0∈J\A, el morfismo de explosión πcentrado en EJ, viene dado en coordenadas z0= (x0,y0)adaptadas a E0y centradas en qcomo sigue: xj0=x0 ∞;xj=x0 jx0 ∞, j ∈A;xj=x0 j, j ∈K\J xj=x0 ∞(y0 r+λr), r ∈JA;ys=y0 s, s ∈c(K), donde JA=J\(A∪ {j0}). Consideremos los vectores er∈RJAdados por er(j) = δr,j, con j, r ∈JA(delta de Kronecker) y escribamos u0τpara denotar el producto Qr∈JA(y0 r+λr)τ(r), donde τ∈ZJA. Dado σ∈ZK ≥0, denotemos σ0=λK0(σ). Tenemos que: π∗xσ= (x0)˜σu0σ|JAyπ∗ωσ=X j∈K0\{∞} aσ,j(y0)dx0 j x0 j + +X j∈J aσ,j(y0)dx0 ∞ x0 ∞ +X r∈JA u0−eraσ,r(y0)dy0 r+X s∈c(K) bσ,s(y0)dy0 s. En vista de la Observación 4.2, para saber si (M0,F0)es (ρ0, K0)-no degenerado en el punto q, basta trabajar con ω0=π∗ω. Consideramos la escritura de ω0adaptada a E0, esto es: ω0=X σ0∈ZK0 ≥0 ωσ0x0σ0;ωσ0=X j∈K0 a0 σ0,j(y0)dx0 j x0 j +X s∈c(K0) b0 σ0,s(y0)dy0 s, identificando c(K0)con c(K)∪JA. Dado σ∈ZK ≥0tenemos que a0 σ0,j(y0) = aσ,j(y0)u0σ|JA, j ∈K0\{∞};a0 σ0,∞(y0) = X j∈J aσ,j(y0)u0σ|JA, b0 σ0,r(y0) = aσ,j(y0)u0σ|JA−er, r ∈JA;b0 σ0,s(y0) = bσ,s(y0)u0σ|JA, s ∈c(K). Denotemos ∆ = ∆νρ(ω) ρ,Ω = Ψ1,ρ p,z(Lρω)yΩ = Ψ1,ρ0 q,z0(Lρ0ω0). Recordemos, en vista de la observación 4.3 que νρ0(ω0) = νρ(ω) = y que ∆νρ0(ω0) ρ0=λK0(∆). De esta manera, tenemos que Ω = X j∈K Aj dTj Tj +X s∈c(K) BsdRs,Ω0=X j∈K0 A0 j dT0 j T0 j +X s∈c(K0) B0 sdRs,donde Aj=X σ∈∆ aσ,jTσ;Bs=X σ∈∆ bσ,sTσy A0 j=Pσ∈∆aσ,j(y0)u0σ|JAT0λK0(σ), j ∈K0\{∞}; A0 ∞=P σ∈∆Pj∈Jaσ,j(y0)u0σ|JAT0λK0(σ); B0 r=P σ∈∆aσ,r(y0)u0σ|JA−erT0λK0(σ), r ∈JA; B0 s=P σ∈∆bσ,s(y0)u0σ|JAT0λK0(σ), s ∈c(K). 81 5.1. Foliaciones no degeneradas en el plano proyectivo Las condiciones de no degeneración sobre la restricción al resto de lados del polígono afín se leen en los estratos que se obtienen al completar la foliación a P2 C. Esto lo vemos con más detalle a continuación. Sea ahora Guna foliación en la superficie tórica P2 Cy tomemos las notaciones como en la Sección 1.12. Tomemos un generador homogéneo Wde Gcomo en la Ecuación 1.10 dado por W=A0dX0 X0+A1dX1 X1+A2dX2 X2, con A0+A1+A2= 0 y denotemos d=dG. Definimos el polígono homogéneo ∆h(G)de Gpor ∆h(G) = Conv(∆(A0)∪∆(A1)∪∆(A2)) ⊂R3. El nombre “polígono homogéneo” se debe a que ∆h(G)⊂∆d, con ∆d= ∆d (1,1,1) (véase la Ecuación 3.1). Vamos a trabajar con las i-cartas afines Gide G. Consideremos las proyecciones Φd i: ∆d (1,1,1) →∆d (1,1) σ= (σ0, σ1, σ2)7→ (σj, σk),donde j, k 6=i. Se tiene la relación ∆(Gi) = Φd i(∆h(G)) y a cada ∆(Gi)lo llamamos la i-carta de ∆h(G). Del mismo modo, para cada lado Lde ∆h(G), definimos la i-carta Lide Lcomo Li= Φd i(L). Denotemos Niel polígono de Newton Ni=N{j,k}((Ai, Di),Gi). Sabemos que un lado Lde ∆h(G)satisface la condición L⊂ {σ∈∆d (1,1,1);σi= 0}si y sólo si L`está contenido en un lado no compacto de N`para `=j, k. En otro caso, tenemos el siguiente enunciado, que asegura que todos los lados se ven reflejados en alguna carta afín. Lema 5.1. Dado un lado Lde ∆h(G)tal que L6⊂ {σ∈∆dG (1,1,1);σi= 0}para ningún `= 0,1,2, existe una única carta afín Aital que Lies un lado compacto de Ni. El objetivo en esta sección es probar el siguiente resultado para el polígono homogéneo: Proposición 5.1. El polígono homogéneo ∆h(G)de una foliación Newton no degenerada Gen P2 Ces o bien un segmento o bien un solo punto. Dado un lado Lde ∆h(G), damos una descripción de las restricciones-soporte AjL: 1. Cuando L⊂ {σ∈∆d (1,1,1);σi=c}para algún i∈ {0,1,2}yc∈Z≥0. Detallamos el caso i= 0 y los demás se hacen de forma similar. Los AjL son polinomios homogéneos de grado dde la forma AjL =Xc 0˜ AjL, con ˜ AjL ∈C[X1, X2], para j= 0,1,2. Esto es ˜ AjL =Xσj 1 1Xσj 2 2 dj Y `=1 (X2−α`jX1), σj 1+σj 2+dj=d−c. (5.1) 2. En otro caso, salvo reordenar las variables, existe un monomio Xσtal que AjL =Xσ˜ AjL, para cada j= 0,1,2, donde ˜ AjL ∈C[U, V ]son polinomios homogéneos de grado ncon U=X˜ d 0,V=X˜ d−˜a 1X˜a 2,˜ dn =d−|σ|y0<˜a < ˜ d. Esto es, ˜ AjL = (X˜ d 0)uj(X˜ d−˜a 1X˜a 2)vj nj Y `=1 (X˜ d−˜a 1X˜a 2−α`jX˜ d 0); uj+vj+nj=n. (5.2) 88 Capítulo 5. Globalización de ramas aisladas de foliaciones no degeneradas Observación 5.2.Los casos anteriores se pueden considerar de forma unificada escribiendo U=X1, V =X2, cuando estamos en el primero de ellos. El siguiente resultado asegura que si la restricción a un lado es no degenerada en una carta, también lo será en las demás. Esto es: Lema 5.2. Sea Lun lado de ∆h(G). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Existe un índice i∈ {0,1,2}tal que (Gi, Li)es no degenerado. 2. Para cada índice i∈ {0,1,2}, tenemos que (Gi, Li)es no degenerado. Este Lema 5.2 junto con la Observación 5.1 no permite concluir que: Lema 5.3. Si Ges una foliación Newton no degenerada en P2 C, entonces cada i-carta afín Gi está en posición general, para i= 0,1,2. La carta G0está generada por la forma ω0=a0 1dx0 1/x0 1+a0 2dx0 2/x0 2. Éste último lema nos permitirá aplicar el Teorema 4.2 para concluir que MA(∆(a0 1),∆(a0 2)) = 0. Como además, la restricción a cada lado de ∆(G0)es no degenerada, podemos concluir que ∆(G0)es o bien un solo punto o un segmento y, como consecuencia, también ∆h(G). Con la escritura en las Ecuaciones 5.1 y 5.2 tenemos, salvo reordenación, tres casos para el polígono homogéneo ∆h(G)que mostramos en la siguientes figuras: Figura 5.1: Caso a) Un solo vértice. (0, d, 0) (0,0, d) Figura 5.2: Caso b) Segmento que une (0, d, 0) y(0,0, d). (d, 0,0) (0, a, d −a) Figura 5.3: Caso c) Segmento que une (d, 0,0) y(0, a, d−a). 5.2. Naturaleza global de las ramas invariantes aisladas El objetivo de esta sección es probar el siguiente resultado: Teorema 5.1. Las ramas invariantes aisladas de foliaciones hiperbólico-complejas Newton no degeneradas definidas en superficies tóricas proyectivas, se extienden a curvas globales. En el Teorema 4.1 hemos visto que ser Newton no degenerado es equivalente a ser de tipo tórico débil en el marco hiperbólico-complejo. El Teorema 5.1 se puede establecer como sigue: 89 5.2. Naturaleza global de las ramas invariantes aisladas Teorema 5.1. Las ramas invariantes aisladas de foliaciones hiperbólico-complejas de tipo tórico débil definidas en superficies tóricas proyectivas, se extienden a curvas globales. Basta probarlo para foliaciones en el plano proyectivo gracias a las siguientes propiedades: La geometría biracional de las superficies tóricas no singulares descrita en el Teorema 1.3. La estabilidad por explosiones e implosiones combinatorias de la propiedad de ser Newton no degenerado dada en el Teorema 4.3. Las propiedades de estabilidad por explosiones e implosiones combinatorias de las ramas invariantes aisladas vistas en la Proposición 1.5. Tomemos una foliación Gdel plano proyectivo P2 Cy distinguimos las tres opciones a), b) y c) para el polígono homogéneo. Escribamos D=EP2 C. a) Un generador homogéneo Wde Gestá dado por W=λ0dX0/X0+λ1dX1/X1+λ2dX2/X2, λ0+λ1+λ2= 0, λi∈C, i = 0,1,2. Si λ0= 0, entonces Sing(G, D) = Sing(G) = {O0}yO0es una singularidad presimple de tipo esquina. Si λ0λ1λ26= 0,entonces Sing(G, D) = Sing(G) = {O0, O1, O2}todas las singularidades son presimples de tipo esquina. Por tanto no hay ramas invariantes aisladas. b) Un generador homogéneo Wde Gestá dado por W=A0(X1, X2)dX0 X0+A1(X1, X2)dX1 X1+A2(X1, X2)dX2 X2,donde A0+A1+A2= 0, Ai∈C[X1, X2]son homogéneos de grado d. Se tiene que las únicas ramas invariantes aisladas son del tipo (`λ, Pλ)y(`λ, O0),donde `λ= (X2−λX1= 0) yPλ= [0,1, λ],con λ∈ΛGyΛG={λ∈C∗;A0(1, λ)=0}. Es decir, las únicas ramas invariantes aisladas están contenidas en una familia de rectas pasando por O0= [1,0,0]. Además, como estamos en el marco hiperbólico-complejo, podemos garantizar que esta familia tiene delementos. c) Un generador homogéneo Wde Gestá dado por W=A0(U, V )dX0 X0+A1(U, V )dX1 X1+A2(U, V )dX2 X2,donde A0+A1+A2= 0, Ai∈C[U, V ]son homogéneos de grado n, con U=X˜ d 0, V =X˜ d−˜a 1X˜a 2, d =˜ dn, a = ˜an yn=gcd(d, a), Se tiene que las únicas ramas invariantes aisladas son del tipo (Cλ, O1)y(Cλ, O2),donde Cλ= (X˜ d−˜a 1X˜a 2−λX ˜ d 0= 0) con λ∈ΛGyΛG={λ∈C∗; (˜aA0+˜ dA2)(1, λ)=0}. Es decir, las únicas ramas invariantes aisladas están contenidas en una familia de curvas que son localmente cúspides en los puntos O1yO2. Además, como estamos en el marco hiperbólico-complejo, podemos garantizar que esta familia tiene nelementos. 90 Capítulo 5. Globalización de ramas aisladas de foliaciones no degeneradas En ambos casos b) y c) la prueba se hace mirando al final de la pre-reducción minimal de singularidades, observando que las únicas ramas invariantes aisladas en esta etapa final son gérmenes de los transformados estrictos de las curvas `λyCλque nos interesan. Figura 5.4: Predesingularización minimal en el caso b). ... Figura 5.5: Predesingularización minimal en el caso c). 5.3. Existencia de ramas invariantes aisladas Damos resultados locales y globales sobre la existencia de ramas invariantes aisladas en los contextos de tipo tórico y tipo tórico débil, exhibiendo las diferencias que surgen al considerar la propiedad más débil o la más fuerte. Proposición 5.2. Supongamos que (S,G)es hiperbólico-compleja de tipo tórico en un punto pperteneciente al lugar singular adaptado Sing(G, D). Si pno es presimple de tipo esquina, entonces existe una rama invariante aislada (Γ, p)pasando por él. Observación 5.3.Este resultado es falso si asumimos que (S,G)es solamente de tipo tórico débil en p: por ejemplo, cuando ep(D)=1y la foliación está definida localmente por el campo de vectores radial. Sin embargo, cuando trabajamos de forma global con foliaciones de tipo tórico débil en superficies tóricas proyectivas, sí tenemos un resultado de existencia de ramas invariantes aisladas como aseguramos en la Proposición 5.3. Sea Guna foliación de tipo tórico débil hiperbólico-compleja en el plano proyectivo P2 C. Tomamos notaciones como en la Sección 5.2 y recordamos la existencia de los tres casos a), b) y c) para el polígono homogéneo ∆h(G). Supongamos que ∆h(G)no es un solo punto, es decir, que estamos en el caso b) o c), consideremos λ∈ΛGy denotamos: Y=`λ, P1=PλyP2=O0,si ∆h(G)está en el caso b). Y=Cλ, P1=O1yP2=O2,si ∆h(G)está en el caso c). Tenemos que Y∩D={P1, P2}y los puntos P1yP2no son puntos presimples de tipo esquina de Sing(G, D). Además, los gérmenes (Y, P1)e(Y, P2)son ramas irreducibles: en el caso b) rectas y en el caso c) cúspides de tipo (˜ d, ˜ d−˜a)y(˜ d, ˜a), respectivamente. Sea π: ((S0, D0),G0)→((P2 C, D),G) 91 5.4. Integrales primeras racionales y curvas invariantes una pre-reducción de singularidades combinatoria y denotemos por Y0el transformado estricto de Ypor π. Tenemos que Y0∩D0={p0 1, p0 2}, donde cada p0 i∈π−1(Pi)es una singularidad presimple de tipo traza para i= 1,2. Sea ξiun germen de campo de vectores tangente a G0en el punto p0 iy con parte lineal Lξino nilpotente. Denotando por r(Lξi) = {αi,1/αi}el ratio de sus autovalores, tenemos el siguiente resultado: Lema 5.4. Se cumple que r(Lξ1) = −r(Lξ2). En particular, se concluye que hay una singularidad simple entre p0 1yp0 2. Observación 5.4.Cuando Ges además de tipo tórico, tenemos que p0 1yp0 2son ambas singularidades simples de tipo traza y por tanto (Y, P1)e(Y, P2)son ramas invariantes aisladas. Proposición 5.3. Sea Guna foliación hiperbólico-compleja de tipo tórico débil en una superficie tórica proyectiva Sy supongamos que existe un punto p∈Sing(G, ES)que no es presimple de tipo esquina. Podemos garantizar entonces, que existe una rama invariante aislada (Γ, q) pasando por algún punto q∈Sing(G, ES). Cuando estamos en el caso de tipo tórico, podemos decir todavía más. Este enunciado será clave para la prueba del resultado de existencia de superficie invariante para foliaciones torificables en (C3,0), que presentamos en el capítulo 6 de la memoria. Proposición 5.4. Consideremos una foliación hiperbólico-compleja de tipo tórico Gen una superficie tórica proyectiva Sy una rama invariante aislada (Γ, p). Sea Yla curva algebraica proyectiva que extiende (Γ, p). Tenemos que cualquier rama (Υ, q)⊂(Y, q)con q∈Y∩ESes una rama invariante aislada. 5.4. Integrales primeras racionales y curvas invariantes En esta sección probamos la siguiente propiedad para las foliaciones hiperbólico-complejas de tipo tórico definidas en superficies tóricas proyectivas: “O bien hay una cantidad finita de curvas globales invariantes diferentes del divisor, todas ellas extendiendo ramas invariantes aisladas; o bien hay una integral primera racional, pero no hay cabida para las ramas invariantes aisladas”. Una rama invariante (Γ, p)de una superficie foliada (S,G)se dice propia para (S,G)cuando cumple que p∈Dy además (Γ, p)6⊂ (D, p). Esta propiedad es estable por explosiones e implosiones combinatorias. Cuando (S,G)es de tipo tórico débil, todas las ramas invariantes aisladas son propias, puesto que cualquier singularidad está en el divisor. Teorema 5.2. Tenemos la siguiente dicotomía para una foliación de tipo tórico Gen una superficie tórica proyectiva S: I) Existe una integral primera racional y no hay ramas invariantes aisladas. II) No existe integral primera racional y toda rama invariante propia que se extiende a una curva algebraica proyectiva es una rama invariante aislada. De nuevo, es suficiente hacer la prueba para el caso S=P2 C. En efecto, tener integral primera racional, ser un curva algebraica proyectiva, ser invariante, propia y aislada, son todo propiedades con un buen comportamiento bajo explosiones e implosiones combinatorias. Distinguimos entre los casos a), b) y c) para el polígono homogéneo ∆h(G)y tomamos la notaciones como en la Sección 5.2. a) Sabemos que no hay ramas invariantes aisladas para G. Tenemos dos opciones: 92 Capítulo 5. Globalización de ramas aisladas de foliaciones no degeneradas Los puntos O0, O1, O2son todos esquinas simples. En este caso, las componentes del divisor Xi= 0 son las únicas curvas globales invariantes y tenemos la situación II). Uno de los Oies un punto presimple pero no simples, digamos que O0. Tenemos que: λ0=p−q, λ1=q, λ2=−p, p, q ∈Z>0. por tanto d(Xp−q 0Xq 1X−p 2)es una integral primera racional y se da la situación I). b) En este caso, sabemos que hay ramas invariantes aisladas, es más, en vista de la Observación 5.4, tenemos que (`λ, O0)y(`λ, Pλ)son ambas ramas invariantes aisladas para cualquier λ∈ΛG; además, no hay más que éstas. Debemos ver por tanto que se da la situación II), esto es que cualquier curva global invariante es o bien una componente del divisor o bien una de las rectas `λ. Por reducción al absurdo suponemos que existe una curva global Ydiferente de éstas y encontramos al final de la reducción de singularidades un punto simple por el que pasan dos ramas que no están contenidas en el divisor, lo cual nos proporciona la contradicción deseada. c) En este caso, de nuevo sabemos que hay ramas invariantes aisladas y cuales son y por tanto queremos ver que la situación II) se da, probando que cualquier curva global invariante es o bien una componente del divisor o bien una de las curvas Cλcon λ∈ΛG. Escribamos CG λ=Cλy consideremos la aplicación racional ϕ:P2 C\[0,0,1] →P2 C, dada en coordenadas por Y0=X˜ d 0, Y1=X˜ d−˜a 1X˜a 2, Y2=X˜ d 2 Esta aplicación es compatible con la acción del toro y nos permite reducirnos al Caso b). 93 Capítulo 6 Existencia de superficie invariante para foliaciones torificables El resultado principal de este capítulo asegura que, en el contexto hiperbólico-complejo, toda foliación de tipo tórico en (C3,0) tiene superficie invariante. Las foliaciones en esta familia pueden ser dicríticas o no y de hecho la dificultad se concentra cuando aparecen componentes dicríticas compactas del divisor excepcional tras una reducción de singularidades combinatoria. Vemos que estas componentes están dotadas de forma natural de una estructura de superficie tórica proyectiva y, de esta manera, usamos los resultados de prolongación global del Capítulo 5 para finalmente obtener superficies invariantes. Los resultados que se exponen aquí están íntegramente contenidos en la pre-publicación [31] que se incorpora como anexo. De nuevo, expondremos las definiciones, enunciaremos los resultados y daremos el hilo conductor de sus pruebas, dejando los detalles de éstas para ser consultado en el Anexo III. 6.1. Superficies invariantes y separatrices parciales extendidas Las separatrices parciales se han introducido en el artículo [15] en vista de formalizar los argumentos para la construcción de superficies invariantes de foliaciones no dicríticas en dimensión ambiente tres dados en el artículo [11]. Extendemos el concepto al caso dicrítico y damos propiedades que aseguran la existencia de superficies invariantes que se apoyan en ellas. La propiedad de prolongación. Consideramos una superficie foliada (S,G)con S= (S, D). En dimensión dos solamente hacemos explosiones centradas en puntos y por tanto todas son admisibles automáticamente. A partir de ahora, y con intención de simplificar la exposición, cada vez que digamos “una curva Yen S” haremos referencia a “una curva analítica cerrada irreducible Yen S”. Definición 6.1. Una superficie foliada (S,G)tiene la propiedad de prolongación para ramas aisladas si para cada rama invariante aislada (Γ, p), las siguientes condiciones se siguen: 1. Hay una curva Y⊂Sextendiendo (Γ, p), esto es, tal que (Γ, p)⊂(Y, p). (Nótese que Y es única). 2. Si Y⊂Ses la curva que extiende (Γ, p)yq∈Y∩D, cada rama (Υ, q)⊂(Y, q)es aislada. 95 6.1. Superficies invariantes y separatrices parciales extendidas Observación 6.1.La segunda condición implica que Y∩D⊂Sing(G, D). Lema 6.1. Una superficie foliada desingularizada (S,G)tiene la propiedad de prolongación para ramas aisladas si y solamente si para cada singularidad de tipo traza p∈Sing(G), las siguientes condiciones se dan para la única rama invariante (Γ, p)6⊂ (D, p)que pasa por ella: 1. Hay una curva Y⊂Sque extiende (Γ, p). 2. Si Y⊂Ses la curva que extiende (Γ, p), entonces Y∩Ddic =∅. El Teorema 5.1 junto con la Proposición 5.4 nos permiten concluir el siguiente enunciado: Proposición 6.1. La propiedad de prolongación para ramas aisladas se cumple para cualquier foliación de tipo tórico sobre una superficie ambiente tórica proyectiva no singular. Observación 6.2.La foliación dada por el clásico ejemplo de Jouanolou W= (X2 0X1−X3 2)dX0+ (X2 1X2−X3 0)dX1+ (X2 2X0−X3 1)dX2,(véase [24]), no cumple la propiedad de prolongación para ramas aisladas. Nótese que, esta foliación de P2 C no es de tipo tórico, pues tiene siete singularidades (no simples), por tanto no se puede elegir un divisor con cruzamientos normales tal que la desingularización sea combinatoria. Figura 6.1: Ejemplo de Jouanolou en (C3,0). Separatrices parciales extendidas. Sea (M,F)un espacio foliado desingularizado en dimensión tres, donde M= (M, E)yMes un germen de espacio analítico complejo alrededor de un subconjunto analítico compacto. En vista de la Observación 1.16, el conjunto de singularidades simples de tipo traza TF,E es un subespacio analítico cerrado de M, esto es, es la unión de curvas no singulares Y⊂Sing(F)cumpliendo que eY(E) = eY(Einv)=1. Una componente conexa Cde TF,E se llama separatriz parcial de (M,F). Dado un punto q∈ C, existe un abierto U⊂Mque contiene qy una superficie irreducible Sqen U, tal que el germen de Sqen cada q0∈ C∩Ues la única superficie invariante que pasa por q0y es diferente de E. Además se tiene que Sq∩Einv =TF,E,localmente en U. Cuando la separatriz parcial Cno interseca al divisor dicrítico Edic, la superficie Sqse extiende a una superficie cerrada irreducible SC⊂Minvariante para F. De hecho, este “argumento de Cano-Cerveau” llega más lejos y asegura que esta superficie cerrada SC⊂Mtambién existe cuando Cno corta componentes dicríticas compactas del divisor E. Como consecuencia, y como se hará notar más adelante, la dificultad del problema se concentra en el caso en que aparecen componentes dicríticas compactas. 96 Capítulo 6. Existencia de superficie invariante para foliaciones torificables Figura 6.2: Componente dicrítica compacta en la cual no se cierra SC. Estamos interesados en conectar separatrices parciales de (M,F)a través de curvas invariantes contenidas en las componentes dicríticas de E. Para ello, consideremos el conjunto Σ =        a) Zcurva Z⊂Edic b) eZ(E)=1 tales que c) invariantes para F d) Z∩Sing(F)6=∅        Obsérvese que Σes un conjunto finito; en efecto, hay sólo una cantidad finita de componentes dicríticas Ek⊂Edic. Además Sing(F)∩Ekes finito y por cada punto p∈Sing(F)∩Ekhay como mucho una rama invariante contenida en Ekque no lo está en Einv. Denotemos UF,E el subespacio analítico cerrado de Mdado por UF,E =TF,E ∪(∪Z∈ΣZ). Nótese que cada q∈ UF,E es un punto simple de tipo traza y en particular eq(E)≤2. Definición 6.2. Una separatriz parcial extendida es una componente conexa de UF,E. El siguiente resultado se sigue de la estructura del lugar singular descrita en la Sección 1.7: Lema 6.2. Consideremos una separatriz parcial extendida E ⊂ UF,E. Para cada punto q∈ E, existe un entorno abierto Uq⊂Mde qy una superficie irreducible Sqdefinida en Uq, tal que E ∩Uq⊂Sq. Además, el germen de Sqen cada punto q0∈ E ∩ Uqes la única superficie invariante pasando por q0que no está contenida en E. Definición 6.3. Una separatriz parcial extendida E ⊂ UF,E es completa cuando (Sq, q)∩E= (E, q),para cada q∈ E, donde Sqes el único germen de superficie invariante para Fpasando por qno contenido en E. Corolario 6.1. Si E ⊂ UF,E es una separatriz parcial extendida completa, existe una única superficie cerrada irreducible SE⊂Minvariante para F, tal que SE∩E=E. Dado que (M,F)es un espacio foliado desingularizado, la restricción (M,F)|Eka una componente dicrítica Ekde Etambién está desingularizada y además tenemos que (E|Ek)inv =Einv|Eky(E|Ek)dic =Edic|Ek. Concluimos esta parte con el siguiente resultado: 97 Tomando estas ideas, es posible controlar en ciertos casos el clásico invariantes de Zariski de curvas planas cuspidales cuando están integradas como curvas invariantes llegando a la última componente dicrítica de una foliación de tipo tórico (este problema está siendo desarrollado ahora mismo por O. Gómez). Por otro lado, los trabajos de N. Corral dan un teorema de descomposición clásico para la curva polar genérica de una foliación sin sillas-nodo. En esta dirección, pretendemos en primer lugar describir completamente la curva polar genérica de foliaciones de tipo tórico bidimensionales y en segundo lugar explicar como se distibuyen las variedades polares en dimensión superior. Alternativa local de Brunella en el contexto Newton no degenerado. M. Brunella preguntó si para una foliación de codimensión uno en P3 C, una de las siguientes propiedades tenía lugar: a) Hay una superficie invariante global. b) Hay una foliación uno-dimensional por curvas algebraicas en P3 Cque es tangente a la de codimensión uno dada. Ésta es la así llamada “alternativa de Brunella”, que se conoce en algunos casos (véase [17]). Desde el punto de vista local, una versión de esta pregunta es la siguiente: “Dado un germen de foliación de codimensión uno en (C3,0) sin superficie invariante, cada hoja contiene una rama analítica en el origen”. La alternativa local de Brunella se satisface para la calse de foliaciones hiperbólico-complejas relativamente aisladas (RICH), como se muestra en [16], pero es un problema abierto para el caso general dicrítico. En esta dirección se puede tratar con la alternativa local de Brunella para la clase de foliaciones hiperbólico-complejas Newton no degeneradas. La diferencia entres se de tipo tórico y ser Newton no degenerado es relativamente pequeña y se concentra en la diferencia entre singularidades presimples y simples de una foliación, esto es, es una cuestión de resonancias aritméticas. Ya conocemos la existencia de superficie invariante para el caso de tipo tórico, lo que proporciona una respuesta positiva trivial a la alternativa para este caso. En cambio, esto no se extiende necesariamente a la situación Newton no degenerada. Esperamos que las propiedades combinatorias de las foliaciones Newton no degeneradas nos permites seguir las lineas en la prueba de los casos RICH. De manera más precisa, queremos probar que cada “bloque separador nodal” interseca por lo menos una componente dicrítica compacta de la reducción de singularidades. Preparación de Hironaka para sistemas de poliedros de foliaciones. El problema de reducción de singularidades para foliaciones de codimensión uno está resuelto en dimensión ambiente menor o iguales que tres (véase [10, 40]). En dimensión ambiente superior la existencia de desingularización solo se conoce para el caso hiperbólico-complejo no dicrítico, eso es para las “hipersuperficies generalizadas”, como hemos mencionado anteriormente. Incluso el caso hiperbólico-complejo dicrítico está ampliamente abierto, así como la situación más general. El objetivo en esta dirección de investigación es el desarrollo de herramientas útiles en el estudio del problema de reducción de singularidades para el foliaciones de codimensión uno generales. El alto impacto del poliedro característico de Hironaka y las variedades de contacto maximal en algunas de las pruebas de reducción de singularidades de variedades sobre cuerpos base de característica cero, es la razón por la que pensamos que es posible contribuir a este problema. En efecto, el algoritmo usual intenta concentrar un “comportamiento combinatorio máximo” por una elección adecuada de coordenadas. Como consecuencia, una primera etapa sería desarrollar un procedimiento de preparación general con el fin de obtener coordenadas que nos proporcionen el “mejor sistema de poliedros”. Después de desingularizar este sistema de poliedros, obtenemos un objeto “combinatoriamente regularr”. Ahora, debemos considerar 104 Conclusiones y trabajo futuro un nuevo sistema de coordenadas y volver a comenzar el procedimiento. Esto sugiere una forma global de tomar en cuenta paquetes de Puiseux como en los problemas de uniformización local. La teoría del contacto maximal proporciona una hipersuperficie de contacto maximal donde las singularidades malas se sitúan, y esta propiedad es estable bajo explosiones sucesivas. Para las foliaciones de codimensión uno no hay una teoría de contacto maximal con ese buen comportamiento. En primer lugar, no está claro qué es el análogo a la función de Hilbert-Samuel. En segundo lugar, cuando consideramos ciertos tipos de foliaciones, encontramos comportamientos mixtos: por un lado hay un “contacto maximal parcial”; por otro lado, encontramos situaciones controladas por resonancias y, en algún aspecto, por sistemas de poliedros. Estas ideas aparecen el la prueba tridimensional dada por F. Cano en [10], pero no han sido desarrolladas para la dimensión superior. Foliaciones de tipo tórico con sillas-nodo. Las foliaciones de tipo tórico son, por definición, aquellas que tiene una desingularización combinatoria, sin importar para esta definición si aparecen sillas nodo o no. Sin embargo, para obtener el “Teorema de equivalencia” del Capítulo 4 (4.1), hemos trabajado todo el tiempo en el contexot hiperbólico-complejo, es decir, bajo la hipótesis de que no aparecen sillas-nodo. Esta hipótesis es también bastante simplificadora en la prueba del “Teorema de Camacho-Sad refinado”. En este aspecto, proponemos extender la mayoría de resultados obtenidos bajo la hipótesis de ser hiperbólico-complejo, al caso más general. Por ejemplo, en dimensión dos, hay un artículo notable de C. Camacho y R. Rosas en [6], donde ellos generalizan los resultados en [37] para el caso en el que aparecen sillas-nodo. 105 Conclusions and future work The problems or research lines that we present here are a natural continuation of the work that I have done during my doctoral period which is presented in this document. That is, I propose to continue the study of codimension one foliations and vector fields through combinatorial properties in their reduction of singularities. Distribution of Invariant Hypersurfaces and Leaves. Following R. Thom, the existence of invariant hypersurfaces for a codimension one foliation is very useful to understand the dynamics of the leaves. Moreover, when the space of leaves is naturally separated in regions, it would be desirable to have at least one invariant hypersurface at each one. In the bidimensional case, we can detect regions in the space of leaves, separated by dicritical components and nodal corners, once we have performed a suitable reduction of singularities. We recall that a nodal singularity is a germ of foliation given by d(y/xλ)=0, where λis a non-rational positive real number; here, the real hypersurface |y|=|x|λgives a local separation of the space of leaves. This property has been pointed out by J.F. Mattei and D. Marín [26, 27] in their study of the topology of the space of leaves. The existence of invariant branches at each of the regions obtained in this way, has been proved by L. Ortiz-Bobadilla, E. Rosales and S. Voronin in [37]. This result is interpreted as a “refined version of Camacho-Sad Theorem”. In higher dimension and in the non-dicritical complex hyperbolic case, there is a manuscript by F. Cano, J.F. Mattei and M. Ravara-Vago where they detect the natural regions in the space of leaves as the complementary in the exceptional divisor of the “nodal blocks”, where these are the high-dimensional equivalent to the nodal corners. In addition, they prove the existence of invariant hypersurface at each one of these regions. In dimension three there are examples of foliations without invariant surface; this is due to the presence of dicritical components after reduction of singularities. However, in the complex hyperbolic toric type case, we already know about the existence of invariant surfaces. As we have previously pointed out, this result has been obtained thanks to the particular structure of the foliation restricted to the dicritical components. We can expect that the combinatorial behavior in these components will allow us to construct “natural separators” of the space of leaves. Once we have reached this objective, we propose to investigate the existence of invariant surfaces supported by each of the regions determined by these separators. Reduction of Singularities and Invariant Surfaces. In a classical paper of C. Camacho, A. Lins-Neto and P. Sad (see [8]) they prove that a germ of foliation in dimension two without saddle-nodes has the same reduction of singularities than its set of invariant branches. This works even in the dicritical case, but the result is more clear and accurate in the non-dicritical situation, where they prove that the algebraic multiplicity of the foliation (plus one) and the Milnor number are the same ones as for the union of the invariant branches. The coincidence of the reduction of singularities is a little bit more general, as it is shown by J. F. Mattei and E. Salem in [28] in their study of foliations of the “second type”. Sometimes the term “generalized curve” is used to refer to germs of bidimensional foliations without saddle-nodes. Due to Jouanolou example, in higher dimension it does not make sense to ask if a codimension one foliation is desingularized following the reduction of singularities of its invariant 107 hypersurfaces, even if there are no saddle-nodes (complex hyperbolic case). When the foliation is non-dicritical and without saddle-nodes, it is known that every reduction of singularities of the invariant hypersurfaces automatically induces a reduction of singularities of the foliation (see [20]). This justify the terminology “generalized hypersurface” to denote non-dicritical complex hyperbolic foliations. Our work about toric type foliations make us to suspect that there are two types of situations: foliations with infinitely many invariant surfaces and those having only a finite number determined by the “extended partial separatrices”. The former ones recall closely the case of dicritical foliations in dimension two; for instance, the “open book” foliations. The second situation may also correspond to a dicritical foliation, but we think that in this case the invariant surfaces structure the foliation, in the sense that their desingularization will imply a desingularization of the foliation as in the case of generalized hypersurfaces. In this research line, we want to enlighten these facts. Toric Type Foliations on Projective Toric Varieties. In our second manuscript, we prove the “global prolongation property for isolated invariant branches” for toric type foliations on projective toric surfaces. Let us recall that an invariant branch of a foliation on a surface is called isolated if all its infinitely near points are singularities (in an adapted sense) of the transformed foliation; that is, under any reduction of singularities of the foliation, the strict transform of the branch meets an invariant component. The generalization to dimension three of the idea of isolated invariant branch, valid for toric type foliations, may be a germ surface supported by an extended partial separatrix. In the toric type context the two dimensional “global prolongation property for isolated invariant branches” could be generalized to dimension three by the following statement: “Every extended partial separatrix supports a global invariant surface.” We would like to prove it for toric type foliations on the toric variety P3 C, endowed with the divisor given by the four coordinate planes, as well as on ambient spaces obtained by combinatorial (equivariant) blowing-ups of this one. In a second step, also for projective toric varieties such that the union of non-dense orbits of the torus action is a normal crossings divisor. Anyway, it would be interesting to have a good definition of “isolated invariant surface” in more general ambient spaces. Thom’s Question in Higher Dimension in the Dicritical Toric Context. We wonder if every toric type codimension one foliation on (Cn,0) has an invariant hypersurface, for n≥4. We have two ways to face this question: a) To explore the possibility of an extension of Cano-Mattei argument in [14]. This argument is based in doing a three-dimensional section with a “cohomologically small hole”, in the existence of three-dimensional reduction of singularities and in the concept of generic equidesingularization. The difficulty of this approach will be the use of a suitable threedimensional section, respecting the toric type properties. b) For the case n= 4, it will be possible to apply the global extension property of the dimension three to the compact dicritical components of a combinatorial reduction of singularities (see the previous problem) in the same way that we have done for the case of dimension three. Newton Non-degenerate Vector Fields. The one-dimensional foliations are locally given by a vector field. Writing the vector field in a logarithmic way, we can describe the class of Newton non-degenerate one-dimensional foliations in terms of the Newton polyhedra system. In the same way as for the case of codimension one foliations, this class should correspond to foliations having a combinatorial reduction of singularities. These vector fields can be managed 108 Conclusions and future work better than the general ones and we can ask about properties as the topological equivalence, the distribution of the attraction basins, the comparison with the main part (given by the frontier of the Newton polyhedron). Several of these properties have been explored by C. Alonso, M.I.T. Camacho and F. Cano over the real numbers for other classes of vector fields in [1, 2]. It is interesting to point out the role of the arithmetic resonances in elementary singularities. We think that the non-resonance property is opposite to the existence of local rational first integrals. So, we will take this assumption in our study. On the other hand, there are works by S. Pinheiro and H. Reis [39] that suggest the presence of “dicritical” parts when we have enough first integrals; these properties are being also studied by J. Ribon, F. Cano, R. Rosas, M. Ravara-Vago and others. In this spirit, we would like to describe completely integrable Newton non-degenerate vector fields. Dicritical Divisorial Valuations. The dicritical components for a codimension one foliation are generically transversal irreducible components of the exceptional divisor after a finite sequence of blowing-ups with invariant centers. Taking the language of Algebraic Geometry, we can say that the dicritical components are some divisorial valuations of the field of rational functions. When we consider the case of a foliation with a rational first integral, we can interpret these dicritical valuations as the spectrum of indeterminacy points. It is a general question to describe properties of this dicritical spectrum. We wish to do it mainly in the case of toric type and/or Newton non-degenerate foliations. More precisely, we would like to give an idea about the following questions: In dimension two the dual graph of the minimal reduction of singularities (to presimple points) is a chain. Some of the divisors can not be dicritical in view of the Newton polygon. We think that we can use this property in order to completely describe the distribution of the dicritical valuations for a rational fraction in dimension two. We know by works of S.S. Abhyankar and I. Luengo that this knowledge is of importance in the problem of the Jacobian Conjecture. In higher dimension we would also like to describe the potential dicritical components in terms of the Newton polyhedron. In particular, we are interested into describe how we can obtain an elimination of indeterminacies with minimal properties. The question about the existence of only finitely many dicritical components has a positive answer in the toric type foliations since, by definition, we dispose of a reduction of singularities. In dimension greater than three, no reduction of singularities is known for general codimension one foliations. Anyway, it should be possible to show the finiteness property by indirect arguments that could use combinatorial situations. In particular, the local uniformization approach of F. Cano and M. Fernández-Duque in [13] uses combinatorial blocks very close to the idea of toric type objects. Polar Varieties of Toric Type Foliations and Analytic Classification Problems. We know that the equisingularity type of the generic polar of a plane curve is an analytic characteristic of the curve and not merely a topological feature. Polar curves and varieties are naturally defined as the tangency locus of a pair of foliations. Taking these ideas, it is possible to control in certain cases the classical Zariski’s invariant of cuspidal plane curves when they are integrated as invariant curves arriving to the last dicritical component of a foliation of toric type (this problem is now being developed by O. Gómez). On the other hand, the works of N. Corral give a classical decomposition theorem for the generic polar curve of a foliation without saddle-nodes. In this line, we intend firstly to completely describe the generic polar curves of two-dimensional toric type foliations, and secondly to explain how are distributed the polar varieties in higher dimension. 109 Local Brunella’s Alternative in the Newton Non-degenerate Context. M. Brunella asked if given a codimension one foliation on P3 C, one of the following properties was held: a) There is a global invariant surface. b) There is a line foliation on P3 Cby algebraic curves that is tangent to the given one. This is the so-called “Brunella’s alternative”, that is known in some cases (see [17]). From the local point of view, a version of this question is the following: “Given a germ of codimension one foliation on (C3,0) without invariant surface, each leaf contains an analytic branch at the origin”. Local Brunella’s alternative holds for the class of Relatively Isolated Complex Hyperbolic (RICH) foliations as it is shown in [16], but it is an unsolved problem in the general dicritical case. Our objective in this line of work is to deal with local Brunella’s alternative for the class of Newton non-degenerate complex hyperbolic foliations. The difference between toric type and Newton non-degenerate is relatively small and concentrates on the difference between presimple and simple singularities of a foliation, that is, a question of arithmetic resonances. We already know the existence of invariant surface for the toric type case, which provides a positive trivial answer for this case, but does not necessarily extend to the non-degenerate Newton situation. We hope that the combinatorial properties of Newton non-degenerate foliations will allow us to follow the lines in the proof of RICH cases. More precisely, we want to prove that each “nodal separating block” intersects at least one compact dicritical component of the reduction of singularities. Hironaka’s Preparation for Polyhedra Systems of Foliations. The problem of reduction of singularities for codimension one foliations is solved in ambient dimension lower or equal than three (see [10, 40]). In higher ambient dimension the existence of desingularization is known for non-dicritical complex hyperbolic foliations, these are the “generalized hypersurfaces” that we have mentioned before. Even in the case of complex hyperbolic but dicritical foliations the problem is wide open, as well as in the general case. The objective in this line of research is the development of useful tools in the study of the problem of reduction of singularities for general codimension one foliations. If we are slightly optimistic, we of course intend to solve it. The high impact of the characteristic Hironaka polyhedron and the maximal contact varieties, in some of the proofs for the reduction of singularities of varieties over characteristic zero fields, is the reason why we think that it is possible to give a contribution to this problem. Indeed, the usual algorithms try to concentrate a “maximum combinatorial behaviour” by a suitable choice of coordinates. Hence, a first step is to develop a general preparation procedure in order to obtain coordinates giving to us the “best polyhedra system”. After desingularizing this polyhedra system, we obtain a “combinatorially regular” object. Now, we should consider new coordinate systems and restart the procedure. This suggest a global way of taking account Puiseux’s packages as in the local uniformization problems. Maximal contact theory provides a maximal contact hypersurface, where the bad singularities are placed and this property is stable under further blowing-ups. In the case of codimension one foliations, there is not a theory of maximal contact with such a good behaviour. First of all, it is not clear what is the analogue of the Hilbert-Samuel function. Secondly, when we consider certain types of foliations, we find a mixed behaviour: on the one hand there is a “partial maximal contact”; on the other hand, we find situations controlled by resonances and, in some sense, by polyhedra systems. These ideas appear in the three-dimensional proof due to F. Cano in [10], but they have not been developed for higher dimension. Toric Type foliations with saddle-nodes. Toric type foliations are, by definition, those having a combinatorial desingularization, it does not matter if they appear or not saddle-nodes. However, in order to obtain the “equivalence result” with Newton non-degenerate foliations, 110 Conclusions and future work we have worked all the time in the complex hyperbolic context, that is, under the assumption that there are not saddle-nodes. This hypothesis is also quite simplifier in the statement of the “Refined Camacho-Sad’s Theorem”. In this line of research, we propose to extend most of the results obtained under the complex hyperbolicity assumption, to the general case. For instance, in dimension two, there is a notable paper of C. Camacho and R. Rosas in [6], where they generalize the results in [37] in the case where saddle-nodes appear. 111 Anexos Anexo I: Combinatorial Aspects of Classical Resolution of Singularities. Aceptado para su publicación en la Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (RACSAM). Serie A. Matemáticas. Springer. ISSN 1578-7303 (versión impresa). ISSN 1579-1505 (versión electrónica). Primera aparición on-line: 09 de Octubre de 2018. https://doi.org/10.1007/s13398-018-0583-z. 113 B. Molina-Samper The characteristic transform ΛJ(D)is a polyhedra system again, because the center of the blow-up is singular and then δ(Δ0 {∞})≥1. Let N=(F;{NJ}J∈H,1)be a Newton polyhedra system and take an integer number d≥1. Consider the polyhedra system D=N/dand a singular stratum J∈Sing(D).The d-moderated transform Θd J(N)of Ncentered in J is defined by Θd J(N)=N(ΛJ(D)). Note that J∈Sing(D)if and only if δ(NJ)≥d. Remark 4 If there is an equivalence φbetween two polyhedra systems D1and D2, then for all J∈Sing(D1), the characteristic transforms ΛJ(D1)and Λφ(J)(D2)are also equivalent. 4 Reduction of singularities 4.1 Statements We say that a Newton polyhedra system N=(F;{NJ}J∈H,1)has normal crossings if the polyhedron NJhas a single vertex for each J∈H. The property of having normal crossings is stable under blow-ups. A first objective of reduction of singularities is to get this property. Theorem 1 (Combinatorial Reduction to Normal Crossings) Given a Newton polyhedra system N, there is a finite sequence of total transforms N→N1→N2→···→Nk such that Nkhas normal crossings. We can find proofs of this result in another contexts in [10]and[11]. Anyway, we provide a complete proof next. Theorem 2 (Combinatorial Reduction of Singularities) Given a polyhedra system D,there is a finite sequence of characteristic transforms D→D1→D2→···→Dk such that Sing(Dk)=∅. We call such a sequence a reduction of singularities of D. Remark 5 Theorem 2would be false if we had taken the condition δ(ΔJ)>1, instead of δ(ΔJ)≥1, for the centers of blow-up. For instance, consider the local polyhedra system L(Δ, 1)where Δ=[[(1,1)]] ⊂ R{1,2} ≥0. The only possible center would be {1,2}and the situation is repeated in each closed strata of the characteristic transform. Corollary 2 Let Nbe a Newton polyhedra system and d a positive integer number. There is a finite sequence of d-moderated transforms N→N1→N2→···→Nk such that δ(Nk)<d. Taking d=1, the reader can see that Corollary 2implies Theorem 1. The objective now is to provide a proof of Theorem 2. Although this result follows from general Hironaka’s reduction of singularities, we give a complete combinatorial proof here, emphasizing the ideas of maximal contact developed by Hironaka, Aroca and Vicente in [1] as well as the polyhedra control suggested by Spivakosvky in [20]. 123 120 Combinatorial aspects of classical resolution… 4.2 Induction procedure The proof of Theorem 2runs essentially by induction on the dimension dim(FD)of D.More precisely, let us consider the following statement. CRS(n): If dim(FD)≤n,thenDhas a reduction of singularities. The starting step of the induction is given by Proposition 2 CRS(1)holds. Proof Choose the invariant I(D)given by I(D)=J∈Hδ(ΔJ).WehaveI(D)≥−1and after a single characteristic transform drops exactly a unit. Thus, in a certain point of the process, we can no more perform a transform. We are done, since then the singular locus is empty.  We distinguish three types of singular polyhedra systems D: 1. We say that Dis Hironaka quasi-ordinary if each polyhedron over a singular stratum has a single vertex, that is, ΔJ= [[{σJ}]] for all J∈Sing(D). 2. We say that Dis special if δ(D)=1. 3. We say that Dis general if δ(D)>1. The study of Hironaka quasi-ordinary systems does not require the induction hypothesis as we see in Sect. 6. We consider special systems under the induction hypothesis CRS(n−1). In this case we reduce the problem to lower dimension projecting over a maximal contact support fabric. The existence of maximal contact goes as follows: 1. We solve the local problem by considering directrix stratum properties. 2. We eliminate the possible “global incoherence” by invoking the induction hypothesis. Details are given in Sect. 7. Finally, for general systems, we define Spivakovsky’s invariant, that “measures” how far is the system from the quasi-ordinary case. We control the behaviour of this invariant by means of a special system. Details are given in Sect. 8. 5 Examples Along this section, we take a pair (M,E),whereMis a complex analytic variety and E is a strong normal crossings divisor. We also consider the support fabric FM,E=(I,H) associated to (M,E),asinExample1. Remark that there is a stratification of Mwith strata SJgiven by SJ=EJ\ i/∈J Ei, where EJ=j∈JEj=∅, for each J∈H. The followings are examples of polyhedra systems that motivate our definitions. 123 121 B. Molina-Samper 5.1 Hypersurfaces Let H⊂Mbe a closed hypersurface of (M,OM)given by an invertible coherent ideal sheaf I⊂OMand let us suppose that Ei⊂ Hfor all i∈I. We say that His combinatorially regular for (M,E)if we have the property EJ⊂ H,forallJ∈H. We can attach a polyhedra system NM,E;Hto Has follows. Given J∈H,weconsidera point p∈SJand a generator Fof Ip. Let us write Fin local adapted coordinates at pas F=aσ(y)xσ;with σ∈ZJ ≥0. where the coefficients aσ(y)are germs of functions in pdefined in an open set of SJ.We define NJby NJ={σ∈ZJ ≥0;aσ(y)≡ 0}. The polyhedron NJis independent of p, the generator Fand the chosen local adapted coordinates. The independence of the local adapted coordinates and of the generator is straightforward. Once fixed a local coordinate system, we can move to points pclose to pin the same stratum and we obtain the same polyhedron in the translated coordinates. Finally, thanks to the connectedness of the stratum, we can join two points by a compact path and repeat finitely many times the above procedure. This construction is compatible with the projections pJ2J1:RJ2→RJ1, then we obtain the Newton polyhedra system NM,E;H. The following statements are equivalent: 1. The hypersurface His combinatorially regular for (M,E). 2. The Newton polyhedra system is non-singular, that is δ(NJ)=0forallJ∈H. Let νJ(H)be the generic multiplicity of Halong EJ.NotethatνJ(H)=δ(NJ).Wesay that His combinatorially equimultiple along EJif νJ(H)=νK(H)for every K∈Hsuch that EK⊂EJ. Now, let us consider J∈Hsuch that m=δ(NJ)is maximal. In particular, we have His combinatorially equimultiple along EJ. We can perform the usual blow-up π:(M,E)→(M,E)centered in EJ. The Newton polyhedra system attached to the strict transform Hof His given by the m-moderated transform of NM,E;H. Then, applying repeatedly Corollary 2we obtain a finite sequence of blow-ups centered in combinatorially equimultiple strata. (M,E;H)=(M0,E0;H0)←(M1,E1;H1)←···←(Mn,En;Hn)=(M,E;H) so that His combinatorially regular for (M,E). The polyhedra system of this example is particularly useful when we consider Newton non-degenerate functions as in [14,17]. 5.2 Codimension one singular foliations Let us consider now a singular foliation Lof codimension one over M. We know that L is given by an integrable and invertible coherent OM-submodule of Ω1 M[E],whereΩ1 M[E] denotes the sheaf of meromorphic one-forms having at most simple poles along E(see [3,4]). Given a point p∈SJ⊂M,thestalkLpis generated by a meromorphic differential one-form ω∈Ω1 M[E], satisfying the Frobenius integrability condition ω∧dω=0. Let us write ωin local adapted coordinates at pas 123 122 Combinatorial aspects of classical resolution… ω= σ∈ZJ ≥0 ωσxσ,with ωσ= i∈J aσ,i(y)dxi xi +bσ,s(y)dys where the coefficients aσ(y),bσ(y)are germs of functions at p, without common factor, defined in an open set of SJ.WehavethatEJis contained in the adapted singular locus Sing(L,E)of Lwhen ω0≡0. On the other hand, we say that Lis combinatorially regular for (M,E)if EJ⊂ Sing(L,E)for every J∈H. We attach a polyhedra system NM,E;Lto Las follows. Given J∈H, take a point p∈SJ and a generator ωof Lpas before. We define NJby NJ={σ∈ZJ ≥0;ωσ≡ 0}. The polyhedra NJonly depend on Land SJ, moreover, they are compatible with the projections pJ2J1. We obtain in this way the Newton polyhedra system NM,E;L. The following statements are equivalent: 1. The foliation Lis combinatorially regular for (M,E). 2. The Newton polyhedra system is non-singular, that is δ(NJ)=0forallJ∈H. Let νJ(L)be the adapted order of Lalong EJ(see [3]). Note that νJ(L)=min νxxσaσ,i(y),ν xxσbσ,s(y)i,s =min {|σ|; σ∈NJ}=δ(NJ). As before, we say that Lis combinatorially equimultiple along EJif νJ(L)=νK(L)for every K∈Hsuch that EK⊂EJ. Considering J∈Hsuch that m=δ(NJ)is maximal, we perform the usual blow-up π:(M,E)→(M,E)centered in EJand the Newton polyhedra system attached to the strict transform Lof Lisgivenbythem-moderated transform Θm(NM,E;L). As in the preceding example, we obtain a finite sequence of blowups centered in combinatorially equimultiple strata (M,E;L)→(M,E;L)such that L is combinatorially regular for (M,E). Remark 6 Polyhedra systems are a bridge to show that codimension one singular holomorphic foliations with combinatorial desingularization are characterized as the ones satisfying Newton non-degeneracy conditions.Theseconditionsaresimilarto the ones of Kouchnirenko and Oka, in the case of functions and complete intersections. In addition, any desingularization of the polyhedra system associated to a Newton non-degenerate foliation gives rise to a desingularization of the foliation (in the usual geometrical sense). We can obtain an examplesimilartotheprecedingoneinthecaseofone-dimensionalsingular foliations (see [2,15,18]) that are locally generated by vector fields of the form χ=χσxσ,with χσ= i∈J aσ,i(y)xi ∂ ∂xi +bσ,s(y)∂ ∂ys . 5.3 Monomial ideals Let Ibe a monomial ideal of OMadapted to E. Following [11], we define Ito be the data of a finite collection of effective divisors {Ds}s∈Sof the form Ds= i∈I ns iEi. 123 123 B. Molina-Samper We attach a Newton polyhedra system NM,E;Ito Ias follows. Let σs:I→Z≥0be the map given by σs(i)=ns i. For each J∈H,wedefineNJby NJ= [[{σs|J;s∈S}]]. Note that NM,E;Iis non-singular if and only if Iis a principal ideal. Given J∈H,we can perform the usual blow-up π:(M,E)→(M,E)centered in EJ. The Newton polyhedra system attached to the total transform Iof Iis given by the total transform of NM,E;I. Now, we apply Theorem 1and, as in [11], we obtain a finite sequence of blow-ups (M,E;I)→(M,E;I)such that Iis a principal ideal. 6 Hironaka quasi-ordinary polyhedra systems In this section we prove Theorem 2for Hironaka quasi-ordinary polyhedra systems. Given a Hironaka quasi-ordinary system D=(F;{ΔJ}J∈H,d)and a singular stratum J, the transform ΛJ(D)=(πJ(F);{Δ J}J∈H,d)is also Hironaka quasi-ordinary. Indeed, for every J∈H ∞and K=π# J(J),wehaveΔJ= [[{σJ}]], with σJ=λJ(σK)−eJ,∞. Lemma 1 The set Aof decreasing sequences of natural numbers is well-ordered for the lexicographical order. Proof Given a decreasing sequence ϕ1≥ϕ2≥ ··· ≥ ϕk≥ ··· in A,wetakek0=0and ki=min{j≥ki−1;ϕj(i)=ϕj(i), j≥j}<∞, for each i≥1. Let us consider the decreasing sequence ϕ:N→Ngiven by ϕ(n)=ϕkn(n). There is a positive number l∈N such that ϕ(n)=ϕ(l),foralln≥l. As a consequence we have ϕj=ϕkl,forall j≥kl. Proposition 3 Every Hironaka quasi-ordinary polyhedra system has reduction of singularities. Proof Choose a bijective map sD:{1,2,...,#H}→Hsuch that δ(ΔsD(j))≥δ(ΔsD(j+1));j≥1. Take the decreasing sequence ϕ:N→Ngiven by ϕ(j)=dδ(ΔsD(j))if j≤#Hand ϕ(j)=0ifj>#H. We choose ϕas lexicographical invariant. Let us see that after an appropriate single blow-up the invariant ϕdrops and then we are done by Lemma 1.We select as center a singular stratum Jwith the minimum number of elements. Given J∈H ∞ and K=π# J(J),wehave δ(Δ J)=|σJ|=|λJ(σK)|−1=|σK|+|σAJ|−1<δ(Δ K) and then we obtain ϕ<ϕ. 7 Special polyhedra systems In this section we prove Theorem 2for the case of special polyhedra systems. More precisely we prove CRS(n) for special polyhedra systems under the induction hypothesis CRS(n−1). 123 124 Combinatorial aspects of classical resolution… 7.1 Stability of special systems A special polyhedra system is either non-singular or special under blow-up. Precisely, we have Proposition 4 Let Dbe a special polyhedra system. Given a singular stratum J, we have δ(ΛJ(D)) ≤1. Proof Let us denote D=(F;{ΔJ}J∈H,d)and ΛJ(D)=(πJ(F);{Δ J}J∈H,d).Take J∈H ∞and K=π# J(J).Wehavetoseethatδ(Δ J)≤δ(ΔK)=1. Given σ∈ΔKwith |σ|=1, we have δ(Δ J)≤|λJ(σ ) −eJ,∞|=|σ|−1+|σ|AJ|≤1.  Remark 7 Let us consider a Newton polyhedra system Nandanintegerd≥1. A stratum J∈His d-equimultiple if the polyhedra system Red{J}∩H(N/d)is special. Proposition 4 means in this context that the multiplicity is stable under d-moderated transforms when we perform blow-ups centered in d-equimultiple strata. 7.2 Directrix strata of polyhedra Given a characteristic polyhedron Δ⊂RI ≥0, with δ(Δ) =1, the directrix stratum T (Δ) of Δ,isdefinedby T(Δ) ={j∈I;∃σ∈Δ, |σ|=1,σ(j)= 0}⊂I. See [20]. In this section we present stability results concerning the behaviour of the directrix stratum of a polyhedron in a “horizontal” and a “vertical” way. Let us consider a special polyhedra system D=(F;{ΔJ}J∈H,d). Proposition 5 We have T (ΔJ2)⊂T(ΔJ1)⊂J1, for every J1,J2∈Sing(D)with J1⊂J2. Proof Given σ∈ΔJ2such that |σ|=1, the restriction σ|J1∈ΔJ1also satisfies |σ|J1|=1 because δ(ΔJ1)=1. Then σ(j)=0forallj∈J2\J1. Thus, we have both T(ΔJ2)⊂J1 and T(ΔJ2)⊂T(ΔJ1). Remark 8 In the situation of Proposition 5,wecanhaveT(ΔJ2)= T(ΔJ1). For instance, let us consider Δ=[[(0,0,1), (1,1,0)]] ⊂ R{1,2,3} ≥0. In this case, we obtain {3}=T(Δ) = T(Δ{2,3})={2,3}. Consider a singular stratum J∈Sing(D)and let us perform the characteristic transform D=ΛJ(D)=(πJ(F);{Δ J}J∈H,d)of Dcentered in J. By Proposition 4, we know that Dis either non-singular or a special system. Proposition 6 Consider a singular stratum J=(K\J)∪AJ∪{∞} ∈ H ∞where K=π# J(J).WehaveT(ΔK)⊂AJ⊂J. Moreover, T (ΔK)⊂T(Δ J)⊂J. Proof Given σ∈ΔKwith |σ|=1, we have δ(Δ J)≤|λJ(σ ) −eJ,∞|=|σ|AJ|≤1. As a consequence |σ|AJ|=1 or equivalently T(ΔK)⊂AJ.Now,givenj∈T(ΔK)we have j∈AJ.As|σ|=1andσ(j)=σ(j)= 0, then j∈T(Δ J). Remark 9 In the problem of reduction of singularities in zero characteristic, there is a feature that is similar to the property T(ΔK)⊂AJ. It is a classical property that Hironaka’s strict tangent space, in zero characteristic, points out the possible new bad points after blow-ups. Corollary 3 Given J∈H ∞and K =π# J(J),ifT(ΔK)=JthenJ /∈Sing(D). Proof If J∈Sing(D)by Proposition 6,wehaveT(ΔK)⊂AJ,butAJJ. 123 125 B. Molina-Samper 7.3 Reduction of singularities via maximal contact In this section we obtain reduction of singularities for special polyhedra systems under the assumption that there is maximal contact with a given stratum. Let us consider a special polyhedra system D=(F;{ΔJ}J∈H,d)and a stratum T∈H. We say that Thas maximal contact with Dif T⊂T(ΔJ),forallJ∈Sing(D). We say also that FTis a maximal contact support fabric of D. Remark 10 Let T∈Hbe a stratum that has maximal contact with D. Recall that Hironaka’s projection of Dover Tis given by DT=(FT;{ΔT J∗}J∗∈HT,d!d). Since we are assuming that the polyhedra of Dare non-empty, we have ΔT J∗=∅for all J∈HTif and only if T∈Sing(D). Note that in this case ΛT(D)is non-singular as a consequence of Corollary 3. Remark 11 For every local polyhedra system D=L(Δ, d), each non-empty stratum T⊂T(Δ) =T(ΔI)has maximal contact with D. That happens because of the horizontal stability of the directrix stratum stated in Proposition 5. Indeed, for every singular stratum J∈Sing(D),wehaveJ⊂Iand hence T(ΔI)⊂T(ΔJ). Lemma 2 Let us consider the transform ΛJ(D)where J ∈Sing(D). If T has maximal contact with D, then T also has maximal contact with ΛJ(D). Proof Recall that πJ(F)=(I,H=H s∪H ∞). Note that T⊂Jwith T= Jand then T∈H s. The maximal contact of Twith ΛJ(D)is assured by the property of vertical stability for the directrix stratum given in Proposition 6. Proposition 7 Let T /∈Sing(D)be a stratum that has maximal contact with Dand let us consider Hironaka’s projection DTof Dfrom T . If there is a reduction of singularities for DT,thenDalso has a reduction of singularities. Recall that DT=(FT;{ΔT J∗}J∗∈HT,d!d)has been introduced in Eq. (1). We prove of the proposition in three steps. Step 1: There is a one-to-one correspondence between Sing(D)and Sing(DT).Letus denote by HTthe set HT={J∈H;T⊂J}.NotethatHTis an open set of H.In fact, is the smallest one containing {T}∩H. There is a bijection Ψ:HT→HTgiven by Ψ(J)=J\T. Note that Sing(D)⊂HT. We claim that Ψ(Sing(D)) =Sing(DT).Given J∈Sing(D),wehavetoprovethat|σ∗|≥1forallσ∗∈ΔT J\T. Given such a σ∗,thereis σ∈ΔJ∩MT J, satisfying σ∗=σ|J\T 1−|σ|T|. Note that |σ|T|<1, since σ∈MT J. Recalling that T⊂J,wehave |σ∗|=|σ|J\T|+|σ|T|−|σ|T| 1−|σ|T|=|σ|−|σ|T| 1−|σ|T|.(2) Then |σ∗|≥1since|σ|≥1. As a consequence J\T∈Sing(DT). Conversely, if we take J∗∈Sing(DT),wehavetoprovethat|σ|≥1, for all σ∈ΔJ,whereJ=J∗∪T.Given such a σ, we have two possibilities. If |σ|T|≥1 we are done. Otherwise |σ|T|<1andthen σ∈MT J. In this case, there is σ∗∈ΔT J∗given by σ∗=σ|J\T/(1−|σ|T|).ByEq.(2), we have (1−|σ|T|)|σ∗|=|σ|−|σ|T|. Moreover 1 −|σ|T|≤|σ|−|σ|T|since |σ∗|≥1. As a consequence |σ|≥1andthenJ∈Sing(D). 123 126 Combinatorial aspects of classical resolution… Step 2: Commutativity of Hironaka’s projections with the blow-up transforms.Weare going to show that (ΛJ(D))T=ΛJ\T(DT). We verify this commutativity first for the support fabrics and second for each polyhedron. (a) Commutativity for the support fabrics. Let us see that πJ(F)T=πJ\T(FT). Denote πJ(F)T=(I)T,(H)T,π J\T(FT)=(IT),(HT). The index sets are equal, since (I)T=(I∪{∞})\T=(I\T)∪{∞}=(IT). Let us see that (H s)T=(HT) s. Note that K⊃J⇔K\T⊃J\Tfor every K∈H, because T⊂J. Then, for each J∗,wehave J∗ ∈(H s)T⇔J∗ ∪T∈H s,J∗ ∩T=∅⇔J∗ ∈(HT) s. Take K∈Hwith K⊃J.Letusseethat(HK ∞)T=(HT)K\T ∞. For each J∗,wehave J∗ ∈(HK ∞)T⇒J=J∗ ∪T∈HK ∞⇒T⊂AJJ⇒ ⇒AJ\TJ\T⇒J∗ ∈(HT)K\T ∞. J∗ ∈(HT)K\T ∞⇒AJ∗ J\T⇒A=AJ∗ ∪TJ⇒ ⇒J∗ ∪T∈HK ∞⇒J∗ ∈(HT)K\T ∞. (b) Commutativity for the polyhedra. It is enough to prove that the following diagram commutes MT K∩RK ≥0 fJ ∇T K RJ ≥0∩MT J ∇T J RK\TfJ\TRJ\T ≥0 where J∈H ∞,K=π# J(J),T⊂J,T⊂Kand fJ(σ) =λJ(σ ) −eJ,∞.Note that fJis well-defined because fJ(σ )|T=σ|Tfor all σ∈RK ≥0. Given σ∈MT K∩RK ≥0, we denote σ=fJ(σ), σ T=∇ T K(σ), (σ T)=fJ\T(σ T), (σ )T=∇ T J(σ). We conclude that (σ T)=(σ )Tfrom the following equalities: (σ)T |J\(T∪{∞})=σ|J\(T∪{∞}) 1−|σ|T|=(σ T) |J\(T∪{∞}; (σ)T(∞)=|σ|J|−1 1−|σ|T|=|σ|J\T|+|σ|T|−1 1−|σ|T|=|σ|J\T| 1−|σ|T|−1=(σ T)(∞). Hence, Dhas reduction of singularities. This ends the proof of Proposition 7. 7.4 Connected components decomposition of desingularization The problem of reduction of singularities can be solved by considering one by one each connected component of the singular locus. 123 127 B. Molina-Samper Proposition 8 Let Dbe a polyhedra system and Sing(D)=Cαthe decomposition in connected components of the singular locus. Assume that there is reduction of singularities for each RedCα(D). Then there is reduction of singularities for D. In order to simplify notation, we denote Dα=RedCα(D)and Fαthe support fabric of Dα.Let us consider a connected component Cα. By hypothesis, Dαhas a reduction of singularities Dα→D1 α→···→Dk α. This sequence induces a sequence of characteristic transforms D→D1→···→Dk, obtained performing blow-ups in the same centers. Let Fkbe the support fabric of Dk.The polyhedra system Dksatisfies the following properties: 1. For each β= α, there is an equivalence between Dβand RedCβ(Dk)givenbyId I,where I=IFβ=IFk β, with Fk β=RedCβ(Fk). 2. The decomposition of the singular locus Sing(Dk)in connected components is given by Sing(Dk)=β=αCβ. Proof of Proposition 8is concluded applying the same argument finitely many times. 7.5 Existence of maximal contact Definition 3 Let Dbe a special polyhedra system and let Sing(D)=Cαbe the decomposition of the singular locus in connected components. We say that Dis consistent if for each connected component Cα,thereisastratumTαthat has maximal contact with RedCα(D).By convention, non-singular polyhedra systems are consistent. Proposition 9 Under the induction hypothesis CRS(n −1), every n-dimensional consistent polyhedra system has reduction of singularities. Proof Let Dbe a n-dimensional consistent polyhedra system. Let us consider the decomposition of the singular locus in connected components Sing(D)=Cα. In order to simplify notation, we write Dα=RedCα(D). For each Cα,wehaveastratumTαthat has maximal contact with Dα.IfTα∈Sing(D), by Remark 10,Dαhas reduction of singularities. Otherwise, since Hironaka’s projection DTα αhas dimension lower than n, there is reduction of singularities for DTα αand by Proposition 7we obtain reduction of singularities for Dα.By Proposition 8we conclude the proof.  Remark 12 There exist non-consistent polyhedra systems. For instance, consider the support fabric F=(I,H)with I={1,2,3,4}, H=P(I)\{1,4},{1,2,4},{1,3,4},I. Take over it the polyhedra system D=(F;{ΔJ}J∈H,d),givenby Δ{1,2,3}=(0,0,1), (1/2,1,0),Δ {2,3,4}=(1,0,0), (0,1,1/2) and all their projections. We have Sing(D)={2,3},{1,2,3},{2,3,4}is connected. We have that T(Δ{1,2,3})={3}and T(Δ{2,3,4})={2}, then there is no stratum Twith maximal contact. 123 128 Combinatorial aspects of classical resolution… The following statement says that every non-consistent special system of dimension ncan be transformed in a finite number of steps in a consistent one. More precisely Proposition 10 Under the induction hypothesis CRS(n −1), for every n-dimensional special polyhedra system D, there is a finite sequence of characteristic transforms D→Dsuch that Dis consistent. Proof The main idea in this proof is to reduce the problem to the case of polyhedra systems obtained by blow-up of local systems.The existence of maximal contact in those systems is assured by Remark 11 and by the stability results in Lemma 2. Let us consider the set Kof closed strata in Hand the open set U=H\K. Recall that K is a finite, totally disconnected closed set. We have dim(D|U)<n, since the dimension is reached only at closed points. Then D|Uhas a reduction of singularities D|U→D1 |U→···→Dk |U. This sequence gives rise to a sequence of characteristic transforms D→D1→···→Dk(3) obtained performing blow-ups in the same centers. Let us prove that Dkis consistent. Write Dk |U=(Fk |U,{Δk J}J∈Hk |U,d)and Dk=(Fk,{Δk J}J∈Hk,d). By Corollary 1, we know that Fk |U=Fk|Ukwhere Uk=(π# k)−1(U)and π# k:Hk→Hisgivenbythe sequence of Eq. (3). We have Sing(Dk)∩Uk=∅since Dk |Uis non-singular. Moreover, we have Hk=Uk∪(π# k)−1(K). As a consequence, the singular locus Sing(Dk)is contained in (π# k)−1(K),thatwewriteas π# k−1(K)= J∈KKJ,where KJ=π# k−1(J). Since Kis totally disconnected, we have KJ1∩KJ2=∅for every J1,J2∈Kwith J1= J2. We conclude that, given a connected component Cof Sing(Dk), there is a unique stratum J∈Ksuch that C⊂KJ. On the other hand, we have T(ΔJ)⊂T(Δk J)for every J∈C, because of the vertical stability property of the directrix stratum stated in Proposition 6. Then the non-empty stratum T(ΔJ)has maximal contact with RedC(Dk). Corollary 4 Under the induction hypothesis CRS(n−1), there is a reduction of singularities for every n-dimensional special polyhedra system. 8 General polyhedra systems In this section we consider the case of n-dimensional general polyhedra systems. In order to prove it, we assume the hypothesis CRSsp(n): n-dimensional special polyhedra systems have reduction of singularities. Note that CRS(n−1) implies CRSsp(n). The main idea is to transform a given general polyhedra system into a Hironaka quasi-ordinary one, using the hypothesis CRSsp(n)and many of the ideas in Spivakovsky’s work [20]. Then we are done in view of Proposition 3. 123 129 In order to describe Newton non-degenerate foliations on the projective plane, we use in an essential way the following property: “The number of roots of a Laurent polynomial system in general position is the mixed volume of the associated polyhedra”. This result was proved by D.N. Bernstein, A.G. Khovanskii and A.G. Kouchnirenko in [1, 7]. Applying it, we show that the homogeneous polygon ∆h(F)of a Newton non-degenerate foliation Fis a single vertex or a segment. In this way, we describe a set of projective algebraic curves such that any isolated invariant branch at a given point is the germ of one of these curves at the point. More precisely, we have the following three cases for the homogeneous polygon ∆h(F): Case a) It is a single point: there are no isolated invariant branches. Case b) It is the segment joining the points (0, d, 0) and (0,0, d): the isolated invariant branches are in a finite family of lines `λ= (X2−λX1= 0). Case c) It is the segment joining the points (d, 0,0) and (0, a, d −a): the isolated invariant branches are in a finite family of curves Cλ= (X˜ d−˜a 1X˜a 2−λX ˜ d 0= 0). In this way, we obtain the proof of Theorem 5. Concerning the existence of isolated invariant branches in the weak toric type case, we see in Lemma 12 that we effectively find at least one for each λin the above families. In case b), we just blow-up the common point of all the lines `λ. Each of the transformed lines cuts the new divisor at two points pλand qλand we prove that the “eigenvalues ratios” of the singularities of the foliation at these points are opposite each to the other, hence one of them is a simple point and we find an isolated invariant branch through it. In case c), we find a similar property after reduction of singularities of the cuspidal family Cλ= (X˜ d−˜a 1X˜a 2−λX ˜ d 0= 0). When we have the strongest property that the foliation is of toric type, we obtain the following result: Theorem 6: We have the next dichotomy for a toric type foliation on a projective toric surface: I) There is rational first integral and there are no isolated invariant branches. II) There is no rational first integral and every proper invariant branch extending to a projective algebraic curve is an isolated invariant branch. An invariant branch is proper when it is based at a point of the divisor but is not contained in it. From the results of this paper, we know that there is always global invariant curve for a toric type foliation on a projective toric surface. This does not hold for general complex hyperbolic foliations on the projective plane. Indeed, Jouanolou’s classical example (see [6]) given by the differential form (X2 0X1−X3 2)dX0+ (X2 1X2−X3 0)dX1+ (X2 2X0−X3 1)dX2 has no algebraic invariant curves, but it has seven singularities and two isolated invariant branches at each. Jouanolou’s example is classically used to construct germs of codimension one foliations in dimension three without invariant surface. In a forthcoming paper, we apply these results to prove the existence of invariant surface for germs of toric type codimension one foliations in dimension three. 2 Generalities on Foliated Surfaces We introduce basic definitions and results concerning the theory of holomorphic singular foliations in dimension two. All these contents can be essentially found at [4]. 136 2.1 Foliated surfaces Anonsingular complex analytic surface M, is a C-ringed space M= (|M|,OM)in local C- algebras of functions, covered by open subsets isomorphic to open subsets of (C2,OC2). Denote by Ω1 Mthe sheaf of germs of holomorphic one-forms on M. A codimension one holomorphic singular foliation Fon M(for short, a foliation on M) is an invertible subsheaf F ⊂ Ω1 M, locally generated at each point p∈ |M|by a holomorphic one-form ω∈Ω1 M,p, that we write in local coordinates as ω=f1dx1+f2dx2, where f1, f2∈ OM,p have no common factors. The singular locus Sing(F)is the closed analytic subset of Mlocally defined by f1=f2= 0. It is a set of isolated points. Anormal crossings divisor Eof Mis the union of a finite family {Ei}i∈Iof connected closed nonsingular holomorphic curves such that, for each point p∈ |M|we have E⊂(x1x2= 0), where (x1, x2)is a local coordinate system. Note that the Eiare the irreducible components of E. We denote by ep(E)the number of irreducible components of Ethrough p∈ |M|, we have that ep(E)∈ {0,1,2}. We say that Eis a strong normal crossings divisor if either Ei∩Ejis empty or it is a single point, for every i, j. Given a point p∈ |M|, a curve branch (Γ, p)is defined by an equation f= 0, where f∈ OM,p is irreducible. We say that (Γ, p)is an invariant branch of Fif ω∧df =fα, where αis a germ of holomorphic 2-form and ωis a generator of Fat p. We know that there is an only invariant branch (Γ, p)through p, when p6∈ Sing(F). Consider an irreducible curve Yof Mand a point p∈Y. If (Γ, p)⊂(Y, p)is an invariant branch, then every branch (Υ, q)⊂(Y, q)is also invariant, for each q∈Y. In this case, we say that Yis an invariant curve of F. The non-invariant irreducible components of Eare also called dicritical components. We write the index set as I=Iinv ∪Idic, where Iinv corresponds to the invariant components and Idic corresponds to the dicritical ones. We also denote Einv =∪i∈IinvEi;Edic =∪i∈IdicEi. We say that Fand Ehave normal crossings at p /∈Sing(F)if E∪Γis a local normal crossings divisor, where (Γ, p)is the only invariant branch of Fthrough p. The adapted singular locus Sing(F, E)is defined by Sing(F, E) = Sing(F)∪{p /∈Sing(F); Fand Ehave no normal crossings at p}. We have that Sing(F, E)is a set of isolated points and Sing(F, E)⊃Sing(F). Remark 1.If |M|is a compact set or a germ around a compact set, then Sing(F, E)is finite. We say that a coordinate system (x1, x2)at p∈ |M|is adapted to Eif ep(E) = 0,E= (x1= 0) or E= (x1x2= 0). Let Ω1 M(logE)be the sheaf of germs of logarithmic one-forms along E. A codimension one singular E-foliation Lon M(for short, an E-foliation on M) is an invertible subsheaf L ⊂ Ω1 M(logE), locally generated at each point p∈ |M|by a logarithmic one-form η∈Ω1 M,p(logE), that we write in adapted local coordinates as η=e X i=1 ai dxi xi +2 X i=e+1 aidxi;e=ep(E), where the coefficients aihave no common factors. We define the adapted multiplicity νp(F, E) to be the minimum νp(a1, a2)of the orders νp(a1)and νp(a2)at pof the coefficients. Denote by Fol(M, E)the set of E-foliations on Mand by Fol(M)the set of foliations. Observe that Fol(M, ∅) = Fol(M). There is a bijection between Fol(M)and Fol(M, E)given by F 7→ LF, determined by the relation ω=xε1 1···xεe eη, where the exponents εiare defined by εi=1if xi= 0 is invariant. 0if xi= 0 is dicritical. A local generator ηof LFis also called a local generator of Fadapted to E. 137 Definition 1. An ambient surface is a pair M= (M, E), where Mis a nonsingular complex analytic surface Mand Eis a strong normal crossings divisor. A foliated surface (M,F)is the data of an ambient surface and a foliation Fon M. Given an open subset U⊂ |M|such that E∩Uhas only finitely many irreducible components, the restriction M|Uis a well-defined ambient surface. In this case, the restriction (M,F)|Uis also a foliated surface. Given a point p∈ |M|, we define the germ (M,F)pof (M,F)at pin the natural way. 2.2 Presimple and simple points under blowing-ups Let us consider a foliated surface (M,F)and a point p∈ |M|. A germ ξof holomorphic vector field is tangent to Fif ω(ξ) = 0, where ωis a local generator of F(the sheaf of tangent germs of vector fields also defines the foliation). Notice that ξ(p) = 0 when p∈Sing(F)and, in this case, we have a well-defined linear part Lξ. Definition 2. We say that pis a presimple point for (M,F)if p /∈Sing(F, E)or we have that p∈Sing(F),ep(E)≥1,ep(Edic) = 0 and there is a germ ξof vector field tangent to Fsuch that Lξis non-nilpotent. We say that pis simple if it is presimple and the eigenvalues of Lξ have not positive rational ratio, when p∈Sing(F). A saddle-node is a simple singularity where the linear part of every tangent germ of vector field has a zero eigenvalue. We distinguish two types of presimple points: trace and corner type points. More precisely: 1. If p /∈Sing(F), we say that it is of trace type if ep(Einv)=0and that it is of corner type if ep(Einv)=1. 2. If p∈Sing(F), we say that it is of trace type if ep(E)=1and that it is of corner type if ep(E)=2. Remark 2.Given a presimple singularity, there are no dicritical components through it. If pis a simple nonsingular point, we have that ep(Edic)∈ {0,1}. Hence, a point pwith ep(Edic) = 2 cannot be a presimple point. Definition 3. A foliated surface (M,F)is desingularized (respectively, pre-desingularized) if it has only simple points (respectively, presimple points). Remark 3.If (M,F)is pre-desingularized, then Sing(F, E) = Sing(F). Consider the blowing-up π:M0→Mcentered at a point p∈ |M|. We obtain a new foliated surface (M0,F0), where M0= (M0, E0), with E0=π−1(E∪{p})and F0is the transform of F by π. We write for short π: (M0,F0)→(M,F). We summarize now the main properties of the behaviour of simple and presimple points under blowing-up (for more details, see [4].) Let us assume that the center pof πis a presimple point for (M,F). We have that all q∈Dare presimple points for (M0,F0), where D=π−1(p) is the exceptional divisor. More specifically: 1. If p /∈Sing(F), then Dis invariant and there is only one point p0∈Sing(F0)∩D. Moreover p0is a simple singularity (it represents the tangent at pof the only invariant branch of F at p). 2. If pis a simple singularity for (M,F), then Dis invariant and there are exactly two points p0 1, p0 2∈Sing(F0)∩D. Moreover p0 1and p0 2are simple singularities for (M0,F0). We have also that p0 1, p0 2are corners if pis a corner and that there is a corner and a trace between {p0 1, p0 2}if pis a trace. 3. If pis a presimple but not simple singularity for (M,F), we take a germ of vector field ξ with Lξnon-nilpotent. We have three possibilities: 138 (a) The linear part Lξis the identity up to a factor. In this case Dis dicritical and Sing(F0)∩D=∅. (b) The linear part Lξis not diagonalizable. The exceptional divisor Dis invariant and there is only one point p0in Sing(F0)∩D. Moreover p0is a saddle-node corner type singularity. This situation only holds if pis of trace type. (c) The linear part Lξhas two different eigenvalues λ, µ with λ/µ ∈Q>1. In this situation Dis invariant and there are exactly two points p0, q0∈Sing(F0)∩D. One of them is a simple singularity and the other one is presimple with eigenvalues equal to λ−µ, µ. Moreover, if pis of corner type, then p0, q0are both corners; if pis of trace type, we obtain a corner and a trace between {p0, q0}. 2.3 Reduction of singularities We say that a morphism π: (M0,F0)→(M,F)is a reduction (respectively, a pre-reduction) of singularities of (M,F)if πis a finite composition π=π1◦π2◦···◦πN, where each πi: (Mi,Fi)→(Mi−1,Fi−1), is a blowing-up centered at pi−1∈ |Mi−1|, for i= 1,2, . . . , N and (M0,F0) = (MN,FN)is a desingularized (respectively, pre-desingularized) foliated surface. The reduction of singularities πis called minimal if, for any other reduction of singularities ¯π: (M00,F00)→(M,F), there is a unique factorization ¯π=π◦f, where f: (M00,F00)→(M0,F0) is the composition of a finite sequence of blowing-ups (up to isomorphism). Note that πis minimal if and only if all the centers piare non-simple points. In the same way, we define and characterize minimal pre-reduction of singularities. Remark 4.Following the above definitions, there is no reduction of singularities for foliated surfaces with infinitely many non-simple points. The following result is consequence of Seidenberg’s Theorem [10] and the statements in [4]. Theorem 1. Let (M,F)a foliated surface. We have that: 1. There is a reduction of singularities of (M,F)if and only if the set of non-simple points is finite. In this case, there is a minimal reduction of singularities. 2. There is a pre-reduction of singularities of (M,F)if and only if the set of non-presimple points is finite. In this case, there is a minimal pre-reduction of singularities. Remark 5.Assume that (M,F)has reduction of singularities and let πand σbe, respectively, the minimal reduction and pre-reduction of singularities. If π: (M0,F0)→(M,F), σ : (M∗,F∗)→(M,F), then there is a unique factorization π=σ◦f, where f: (M0,F0)→(M∗,F∗)is the composition of a finite sequence of blowing-ups centered at presimple but non-simple points. We are interested in foliated surfaces without saddle-nodes after reduction of singularities. In other contexts they correspond to the so-called “generalized curves” (see [3]). A foliated surface (M,F)is complex hyperbolic (for short, CH) if there is a reduction of singularities π: (M0,F0)→(M,F)without saddle-nodes in (M0,F0). Note the following properties: 1. If (M,F)is CH, for any reduction of singularities ¯π: (M00,F00)→(M,F)there are no saddle-nodes in (M00,F00). 139 2. Being CH depends just on the foliation F. That is, if ((M, E),F)is CH, then any other ((M, D),F)is also CH. In particular, it makes sense to say that a point p∈ |M|is CH for Fwhen the germ Fpis CH, independently of the chosen divisor. 3. A simple singularity is CH if and only if it is not a saddle-node. The presimple but not simple singularities that are not CH are those presented in 3b) of Subsection 2.2. Lemma 1. A point pof a CH-foliated surface (M,F)is presimple if and only if νp(F, E)=0. Proof. If e=ep(E) = 0, then pis presimple if and only if pis nonsingular, and we are done. If e= 1, take a local generator η=a1dx1/x1+a2dx2of Fadapted to E. We distinguish two cases: 1a) Dicritical case, that is E= (x1= 0) is dicritical. This is equivalent to say that a1=x1˜a1, in particular, we have νp(a1)>0. A local generator of Fis given by ω= ˜a1dx1+a2dx2. In this case, the point pis presimple if and only if it is nonsingular and F, E have normal crossings at p. That happens if and only if νp(a2)=0. 1b) Invariant case. A local generator of Fis given by ω=a1dx1+x1a2dx2. The point pis nonsingular with normal crossings if and only if νp(a1)=0. The point pis a presimple singularity if and only if pis a saddle-node (not allowed, because we are in the CH- situation) or νp(a2)=0. If e= 2, consider a local generator η=a1dx1/x1+a2dx2/x2of Fadapted to E, where E= (x1x2= 0) locally at p. There are three possibilities: 2a) ep(Edic)=2. We know that pis not presimple. On the other hand, we have that xi divides aifor i= 1,2, hence νp(a1, a2)>0. 2b) ep(Edic) = 1. Suppose that (x1= 0) is invariant and that (x2= 0) is dicritical. We have that a2=x2˜a2and that ω=a1dx1+x1˜a2dx2is a local generator of F. The point p is presimple if and only if it is a nonsingular point and F, E have normal crossings at p. This happens if and only if νp(a1)=0. We end by noting that νp(a1) = 0 if and only if νp(a1, a2)=0, since νp(a2)>0. 2c) ep(Edic)=0. We have that ω=x2a1dx1+x1a2dx2is a local generator of Fand hence p is a singular point. The linear part of a germ of vector field tangent to Fis diagonal with eigenvalues λi=ai(0), for i= 1,2. As a consequence, the point pis presimple if and only if νp(a1, a2)=0. 2.4 Combinatorial blowing-ups The concept of toric type foliated surface has been introduced in [2]. Let (M,F)be a foliated surface and let us consider the blowing-up π: (M0,F0)→(M,F) centered at a point p∈ |M|. We say that πis a combinatorial blowing-up if ep(E)=2. The composition of a finite sequence of blowing-ups is combinatorial if each blowing-up is combinatorial. Definition 4. A foliated surface (M,F)is of toric type if it admits a combinatorial reduction of singularities. Analogously, we say that (M,F)is of weak toric type if it has a combinatorial pre-reduction of singularities. The foliated surface (M,F)is called of toric type at a point p∈ |M|if the germ (M,F)p is of toric type. Analogously, it is called of weak toric type at pif the germ (M,F)pis of weak toric type. Remark 6.Given a point pwith ep(E)≤1, we have that (M,F)is of toric type (respectively of weak toric type) at pif and only if pis a simple (respectively presimple) point for (M,F). 140 Recall that the divisor Ehas finitely many irreducible components. Thus, there are only finitely many points with ep(E)=2. As a consequence, the foliated surface (M,F)is of toric type if and only if the property holds at every point p∈ |M|. We have the same comment for the weak toric type property. Remark 7.If pis a corner type presimple singularity of (M,F), we have that (M,F)is of toric type at p, in view of the behaviour of presimple singularities described in Subsection 2.2. Even more, all the singularities appearing after the minimal reduction of singularities of the germ (M,F)pare corner type simple points. 2.5 Isolated invariant branches The concept of isolated invariant branch is useful for choosing finitely many representative invariant branches, in case dicritical components arise after reduction of singularities. We give the precise definition below. Definition 5. Consider an invariant branch (Γ, p)of a foliated surface (M,F). We say that (Γ, p)is isolated for (M,F)if the following properties hold: •(Γ, p)6⊂ (E, p). •For every composition π: (M0,F0)→(M,F)of a finite sequence of blowing-ups, we have that p0∈Sing(F0, E0), where (Γ0, p0)is the strict transform of (Γ, p)by π. Remark 8.Note that p∈Sing(F, E), just by taking πthe identity. Besides, it is enough to consider blowing-ups centered at the infinitely near points of (Γ, p). The property of being isolated is stable under blowing-ups. In the following statement we show that it is also stable by combinatorial blowing-downs. Proposition 1. Let us consider a combinatorial blowing-up π: (M0,F0)→(M,F)between foliated surfaces. If (Γ0, p0)is an isolated invariant branch for (M0,F0), we have that (Γ, p)is an isolated invariant branch for (M,F), where (Γ, p)is the image of (Γ0, p0)by π. Proof. Suppose that pis the center of the blowing-up, otherwise we are done. If (Γ0, p0)is isolated, in particular (Γ0, p0)6⊂ (E0, p0)and then also (Γ, p)6⊂ (E, p). If p∈Sing(F, E), we are done. Assume that p /∈Sing(F, E). Since pis a regular point, we get that (Γ, p)is the only invariant branch through p. Moreover, we have that ep(E) = 2 and that F, E have normal crossings at p. Then (Γ, p)is contained in Eand this is a contradiction.  The following assertions give a description of the isolated invariant branches at presimple points. Lemma 2. Consider a foliated surface (M,F)and π: (M0,F0)→(M,F)a reduction of singularities. Let (Γ, p)be an isolated branch of (M,F)and let (Γ0, p0)be the strict transform of (Γ, p)by π. We have that p0is a trace type simple singularity. Proof. By definition, we know that p0∈Sing(F0, E0)and (Γ0, p0)6⊂ (E0, p0). Moreover, we have Sing(F0, E0) = Sing(F0), because (M0,F0)is desingularized. If p0is of corner type, the only invariant branches through it are contained in E0. Then p0is a trace type simple singularity.  Lemma 3. Let p∈Sing(F)be a presimple singularity of a foliated surface (M,F). If pis of corner type, there are no isolated invariant branches through it. If pis of trace type, there is at most one isolated invariant branch through it; when it exists, it is nonsingular, transversal to the divisor and any other nonsingular invariant branch is tangent to the divisor. 141 Proof. Assume first that pis of corner type and let us find a contradiction with the existence of an isolated invariant branch (Γ, p). By Remark 7, we know that the minimal reduction of singularities of the germ (M,F)pproduces only singularities that are of corner type. In view of Lemma 2, the strict transform of (Γ, p)passes through a trace type simple singularity and this is not possible. Assume now that pis a trace type presimple singularity. Recall that ep(E) = ep(Einv)=1. Suppose that there is an isolated branch (Γ, p). Consider the blowing-up π: (M0,F0)→(M,F) centered at p. Let (Γ0, p0)be the strict transform of (Γ, p). We know that p0∈Sing(F0, E0) = Sing(F0). Since (Γ0, p0)is an isolated invariant branch, we obtain that p0is not a corner type point, hence it is a trace type presimple singularity of (M0,F0). In particular, we have that ep0(E0) = ep0(E0 inv)=1. Note also that E0=π−1(p), locally at p0. The above arguments show that (Γ, p)is nonsingular and transversal to E. Indeed, this is a direct consequence of the fact that the infinitely near points of (Γ, p)are never over the strict transform of the precedent exceptional divisor. Let us prove that any other nonsingular invariant branch is tangent to E. Equivalently, if (Γ1, p)is a nonsingular invariant branch transversal to E, let us show that (Γ1, p) = (Γ, p). Denote by (Γ0 1, p0 1)to the strict transform of (Γ1, p)by π. It is enough to prove that p0 1=p0; in this case, the situation repeats at p0, we conclude that (Γ1, p)and (Γ, p)have the same infinitely near points and thus they coincide. Since (Γ1, p)is transversal to E, we have that p0 1does not belong to the strict transform of E. Moreover, p0 1∈Sing(F0), because both (Γ0 1, p0 1)and π−1(p) define invariant branches of F0at p0 1. Then, the only trace type singularity of (M0,F0)in π−1(p)is p0 1; this means that p0 1=p0. It remains to show that (Γ, p)is the only isolated invariant branch. We know that any isolated invariant branch must be nonsingular and transversal to E, then it is necessarily (Γ, p).  Corollary 1. Let (Γ, p)be a smooth invariant branch transversal to Ethrough a trace type presimple singularity. If there is an isolated branch for (M,F)through p, it is necessarily (Γ, p). Remark 9.If pis a trace type non saddle-node simple singularity, there is exactly one isolated invariant branch through p. When it is a saddle-node, it is possible to have a formal nonconvergent invariant branch, that is also isolated (in the formal sense). Remark 10.Consider a foliated surface (M,F)and a point p∈Sing(F, E). If there are only finitely many invariant branches through p(equivalently, there are no dicritical components created after reduction of singularities over p), then each invariant branch (Γ, p)6⊂ (E, p)is isolated. 3 Pairs of Laurent Polynomials in General Position Here we recall a result about the number of solution of a Laurent polynomials system looking at the mixed area of the convex polytopes associated to it (see [1, 8]). In Section 5, we apply this result to our study of Newton non-degenerate foliations in projective toric ambient surfaces. Aconvex polytope ∆⊂R2is the convex hull of a finite set of points of R2. We denote the area of ∆by Ar(∆) ∈R≥0. The mixed area MA(∆1,∆2)of two convex polytopes ∆1,∆2⊂R2 is given by MA(∆1,∆2) = Ar(∆1+ ∆2)−Ar(∆1)−Ar(∆2), where ∆1+ ∆2denotes the Minkowski sum. Remark 11.The mixed area of two convex polytopes is zero if and only if either one of them is a single point or they are parallel segments. The ring of Laurent polynomials C[u1, u2, u−1 1, u−1 2]gives the regular functions of the complex torus (C∗)2= (C\{0})2. The convex polytope ∆(f)of a Laurent polynomial fis defined by ∆(f) = convex hull{(i, j)∈Z2;fij 6= 0}, f =X(i,j)fijui 1uj 2. 142 The support-restriction fCof fto a subset C⊂Z2is fC=P(i,j)∈Cfijui 1uj 2. We call weight vectors to the elements of the set W={(p, q)∈Z×Z>0;pZ+qZ= Z}∪{(1,0)}. Note that, there is a bijection W → Q∪{∞}, given by (p, q)7→ −p/q (assuming −1/0 = ∞). We say that a Laurent polynomial F6= 0 is quasi-homogeneous with weight vector (p, q)if there is an r∈Zsuch that F(tpu1, tqu2) = trF(u1, u2). The integer ris called the quasi-homogeneous degree of F. In this case, there is a decomposition F=cuτ1 1uτ2 2YN j=1(up 2−αjuq 1); (τ1, τ2)∈Z2, c, αj∈C∗, j = 1,2, . . . N. Conversely, such a decomposition provides a quasi-homogeneous Laurent polynomial. Moreover, we can see that Fis quasi-homogeneous with weight vector (p, q)and degree rif and only if ∆(F)is a segment contained in the line of equation pi+qj =r. In particular, a single monomial is quasi-homogeneous for any weight vector. The following definitions can be found in [1, 8]. Definition 6. A pair (F1, F2)of quasi-homogeneous Laurent polynomials with weight vector (p, q)is non-degenerate if α1j6=α2kfor every j, k, where Fi=ciuτi1 1uτi2 2YNi j=1(up 2−αijuq 1), i = 1,2. Otherwise, we say that (F1, F2)is degenerate. Definition 7. A pair of arbitrary Laurent polynomials (f1, f2)is in general position, if the pairs (f1L, f2L)are non-degenerate for every side Lof ∆(f1, f2) = convex hull(∆(f1)∪∆(f2)). Remark 12.Consider two Laurent polynomials F(u1, u2), G(u1, u2)and three monomials ua= ua1 1ua2 2,ub=ub1 1ub2 2,uc=uc1 1uc2 2, where a, b, c ∈Z2and a1b2−a2b1∈ {−1,1}. We have the following properties: 1. The Laurent polynomial Fis quasi-homogeneous if and only if ucFis quasi-homogeneous. Moreover, both have the same weight vector. 2. The Laurent polynomial F(u1, u2)is quasi-homogeneous with weight vector (p, q)if and only F(ua, ub)is quasi-homogeneous with weight vector (up to sign) (pb2−qa2, qa1−pb1). 3. The pair (F(u1, u2), G(u1, u2)) is non-degenerate if and only if the pair (ucF(ua, ub), ucG(ua, ub)) is non-degenerate. Remark 13.If the pair (F1, F2)is non-degenerate and both F1, F2have the same quasihomogeneous degree, then (F1+F2, F2)is also non-degenerate. Remark 14.Note that (f1L, f2L)is degenerate if f1L= 0 or f2L= 0. Theorem 2. (See [1, 8]) Let (f1, f1)be a pair of Laurent polynomials in general position. The number of solutions in (C∗)2of the system f1=f2= 0 is equal to the mixed area MA(∆(f1),∆(f2)). 4 Weak Toric Type Foliated Surfaces In this section we give an algebraic characterization in terms of “weighted initial forms” of the weak toric type complex hyperbolic foliated surfaces. More precisely, we introduce the concept of Newton non-degenerate foliated surface, following the classical ideas for curves and functions (see [9]) and we proof that they are exactly the weak toric type foliated surfaces in the CH-context. 143 4.1 Newton non-degenerate foliated surfaces The Newton polygon N(f;x1, x2)of a formal power series f=Pfijxi 1xj 2∈C[[x1, x2]] is defined by N(f;x1, x2) = convex hull(Supp(f) + R2 ≥0), where Supp(f) = {(i, j)∈Z2;fij 6= 0}. The topological boundary of N(f;x1, x2)is a union of two non-compact sides and finitely many compact sides (consisting of more than one point) with negative rational slopes. The endpoints of the sides are called vertices. Let us consider an ambient surface M= (M, E)and a point p∈ |M|with ep(E)=2. Take a logarithmic one-form η∈Ω1 M,p(logE), that we write in adapted local coordinates (x1, x2)as η=a1dx1/x1+a2dx2/x2;a1, a2∈ OM,p =C{x1, x2} ⊂ C[[x1, x2]]. The Newton polygon Np(η;x1, x2)is the convex hull of N(a1;x1, x2)∪N(a2;x1, x2). Remark 15.In order to get uniqueness in the definition of the Newton polygon of a foliated surface, we consider total orderings ≺in the set of irreducible components of the divisor. Now, we consider a foliated surface (M,F), a total ordering ≺in the set of irreducible components of Eand a point p∈ |M|with ep(E)=2. Lemma 4. Take local coordinates (x1, x2),(x0 1, x0 2)adapted to E, such that (x2= 0) ≺(x1= 0) and (x0 2= 0) ≺(x0 1= 0). We have that N=Np(η;x1, x2) = Np(η0;x0 1, x0 2), where η=a1dx1/x1+a2dx2/x2,η0=a0 1dx0 1/x0 1+a0 2dx0 2/x0 2are local generators of Fadapted to E. Moreover, given a compact side Lof N, it holds that (a1L, a2L)is non-degenerate if and only if (a0 1L, a0 2L)is non-degenerate. Proof. Just note that there are units u, u1, u2∈ OM,p, such that η0=uη and x0 i=uixi, for i= 1,2. In view of Lemma 4 we define the Newton polygon N≺ p(M,F)by N≺ p(M,F) = Np(η;x1, x2). Remark 16.The point pis presimple if and only if N≺ p(M,F) = R2 ≥0. The foliated surface (M,F)is non-degenerate at pwith respect to the order ≺and a compact side Lof N≺ p(M,F)if the pair (a1L, a2L)is non-degenerate. For short, we say that (F, L)is non-degenerate. Remark 17.Consider two different orderings ≺,≺0in the set of irreducible components of E. Denote by E1and E2the irreducible components of Ethrough p, such that E2≺E1. We have two possibilities at pdepending on the order ≺0between E1and E2: •E2≺0E1. We have N≺0 p(M,F) = N≺ p(M,F). •E1≺0E2. We have N≺0 p(M,F) = σ(N≺ p(M,F)), where σis the symmetry (u, v)7→ (v, u). Moreover, given a compact side Lof N≺ p(M,F), we have that (F, L)is nondegenerate, with respect to ≺, if and only if (F, σ(L)) is non-degenerate, with respect to ≺0. Definition 8. A foliated surface (M,F)is Newton non-degenerate at p∈ |M|if the point p is presimple, or ep(E)=2and (F, L)is non-degenerate for each compact side Lof N≺ p(M,F) (this definition does not depend on the chosen ordering ≺, in view of Remark 17). We say that (M,F)is Newton non-degenerate if the property holds at each point. 144 4.2 Non-degenerate foliations and combinatorial blowing-ups We present here several results about the stability of being Newton non-degenerate under combinatorial blowing-ups and blowing-downs. Let us consider a CH-foliated surface (M,F), a total ordering ≺in the set of irreducible components of Eand a point p∈ |M|with ep(E)=2. Denote by E1,E2the irreducible components of Ethrough p, such that E2≺E1. Let (x1, x2)be a local coordinate system such that Ei= (xi= 0), for i= 1,2. Consider a local generator η=a1dx1/x1+a2dx2/x2of Fadapted to Eat p. Denote by d≥0the adapted order, that is d=νp(F, E) = νp(a1, a2). We write ai=Ai+ ˜ai∈C{x1, x2}, νp(˜ai)> d, i = 1,2, where the Aiare homogeneous polynomials of degree d. Note that (A1, A2)6= (0,0). Let us perform the blowing-up π: (M0,F0)→(M,F)centered at p. Note that πis a combinatorial blowing-up, since ep(E)=2. We consider the ordering ≺0in the set of irreducible components of E0obtained by adding the exceptional divisor D=π−1(p)with the property E0 2≺0D≺0E0 1, where E0 idenote the strict transforms of Ei, for i= 1,2. Denote {q0}=D∩E0 2,{q∞}=D∩E0 1and T=D\{q0, q∞}. Remark 18.We can consider affine coordinates (x0 1, x0 2)on the chart of the blowing-up with origin in q0, given by x1=x0 1, x2=x0 1x0 2. In this chart E0 2= (x0 2= 0) and D= (x0 1= 0). Analogously, we can consider affine coordinates (x00 1, x00 2)on the chart of the blowing-up with origin in q∞, given by x1=x00 1x00 2, x2=x00 2. Here D= (x00 2= 0) and E0 1= (x00 1= 0). These choices of coordinates are compatible with the ordering ≺0in the set of irreducible components of E0. Remark 19.The following properties are well known (see [4]): 1. Assume that the blowing-up πis dicritical. That is, the exceptional divisor Dis dicritical, what happens if and only if A1+A2= 0. In this case T ∩Sing(F0, E0)is given by A1= 0 and all the points in this set are non-presimple points. 2. Suppose that the blowing-up πis non-dicritical. In this case Sing(F0, E0)∩D=Sing(F0)∩ Dand T ∩Sing(F0)is given by the tangent cone A1+A2= 0. Lemma 5. If holds that T ∩Sing(F0, E0)6=∅if and only if N≺ p(M,F)has a compact side of slope −1. Proof. It follows by Remark 19, looking separately the dicritical and non-dicritical cases.  Lemma 6. If πis non-dicritical, then the non-presimple points q∈ T are given by A1+A2= A2= 0. Proof. Consider coordinates (x0 1, x0 2)like in Remark 18. A generator η0of F0adapted to E0is given by η0=(A1+A2)(1, x0 2) + x0 1(˜a1+ ˜a2)(x0 1, x0 1x0 2) (x0 1)d+1 dx0 1 x0 1+A2(1, x0 2) + x0 1˜a2(x0 1, x0 1x0 2) (x0 1)d+1 dx0 2 x0 2, The non-presimple points q∈ T are given by x0 1= 0,x0 2=λ∈C∗, with (A1+A2)(1, λ) = A2(1, λ)=0, in view of Lemma 1.  Corollary 2. The pair (A1, A2)is non-degenerate if and only if each point q∈ T is presimple. 145