Catálogo de situaciones de aprendizaje para trabajar el número áureo y la sucesión de Fibonacci en Educación Secundaria

1 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID Departamento de Matemática Aplicada CATÁLOGO DE SITUACIONES DE APRENDIZAJE PARA TRABAJAR EL NÚMERO ÁUREO Y LA SUCESIÓN DE FIBONACCI EN EDUCACIÓN SECUNDARIA Trabajo Final del Máster Universitario de Profesor en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas. Especialidad de Matemáticas. Alumno: Martín Bermejo Jiménez Tutores: Víctor Gatón Bustillo Ignacio Miguel Cantero Valladolid, junio de 2023 2 3 [ÍNDICE] [1] INTRODUCCIÓN Y DECLARACIÓN DE INTENCIONES ..................................................................... 5 [1.1] Objetivos….. ......................................................................................................................................... 6 [2] MARCO LEGAL ............................................................................................................................... 7 [2.1] Estructura curricular ............................................................................................................................. 7 [2.2] Principios metodológicos .................................................................................................................... 10 [2.3] Situaciones de Aprendizaje ................................................................................................................. 11 [3] MARCO DIDÁCTICO-PEDAGÓGICO .............................................................................................. 13 [3.1] El número áureo como elemento motivador hacia el estudio de las matemáticas .............................. 13 [3.2] La investigación sobre enseñanza y aprendizaje de la geometría ....................................................... 15 [4] CONTENIDOS A TRABAJAR ........................................................................................................... 18 [4.1] Número de oro .................................................................................................................................... 18 [4.2] Sucesión de Fibonacci......................................................................................................................... 37 [4.3] Aplicaciones del Número de Oro y la Sucesión de Fibonacci ............................................................ 42 [5] CATÁLOGO DE SITUACIONES DE APRENDIZAJE .......................................................................... 53 [5.A] Búsqueda de oro en Valladolid .......................................................................................................... 54 [5.B] La vida áurea ...................................................................................................................................... 68 [5.C] Números Metálicos y la Sucesión de Fibonacci ................................................................................. 81 ANEJOS ............................................................................................................................................ 93 [ANEJO A] Materiales de apoyo Situación de Aprendizaje A ................................................................... 94 [ANEJO B] Materiales de apoyo Situación de Aprendizaje B .................................................................. 101 [ANEJO C] Materiales de apoyo Situación de Aprendizaje C .................................................................. 108 [BIBLIOGRAFÍA] ............................................................................................................................... 116 4 5 [1] Introducción y Declaración de Intenciones El presente Trabajo Fin de Máster surge con la intención de generar un breve catálogo de propuestas educativas para trabajar conceptos no incluidos en el currículo de Matemáticas, como el número de oro o la sucesión de Fibonacci, pero que se encuentran estrechamente vinculados con contenidos propios de la materia. De este modo, se da a conocer al alumnado de Educación Secundaria Obligatoria algunos aspectos amables de las matemáticas y su conexión con elementos su vida cotidiana, para así promover su interés y motivación por el estudio de las matemáticas. El TFM se incluye en el Módulo Practicum del Máster Universitario de Profesorado de Educación Secundaria de la Universidad de Valladolid. El Módulo Practicum es un módulo de desarrollo profesional que consta de dos asignaturas: por un lado, las prácticas en un centro de Enseñanza Secundaria Obligatoria (10 ECTS) y, por otro lado, el presente Trabajo Fin de Máster (6ECTS). En cuanto a la estructura del trabajo, una vez establecidos las intenciones u objetivos tanto generales y específicos del TFM, se procede a la descripción del marco legal, didáctico-pedagógico y los contenidos a trabajar que sirven de fundamentación para el desarrollo de las propuestas educativas. Por tanto, el presente documento se estructura en cuatro bloques principales: • Marco legal: En primer lugar, se contextualizan las propuestas educativas dentro de la legislación educativa vigente, tanto a nivel estatal como autonómico, atendiendo a las especificaciones que marca la Ley Orgánica 3/2020, de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOMLOE). • Marco didáctico-pedagógico: Se abordan dos estudios. El primero sobre la implementación de una unidad didáctica sobre el número de oro en el que se muestra un incremento de la motivación e interés de los estudiantes por la asignatura de Matemáticas tras su puesta en práctica. Y en el segundo se realiza una revisión de la situación actual de la investigación en didáctica de las matemáticas. • Contenidos a trabajar: Se ha realizado una recopilación de información desde una perspectiva matemática, teórica y práctica sobre el número de oro, la sucesión de Fibonacci y sus aplicaciones en la naturaleza, arte, cuerpo humano y vida cotidiana. • Catálogo de situaciones de aprendizaje: Por último, se presentan tres situaciones de aprendizaje elaboradas siguiendo la estructura general que marca el Boletín Oficial de Castilla y León, y especialmente diseñadas para llevarlas a cabo en los tres primeros cursos de la Educación Secundaria. En resumen, el propósito de este trabajo es la elaboración de un catálogo de situaciones de aprendizaje para distintos cursos de Educación Secundaria dentro de un marco legal, pedagógico y teórico en el que se pretende poner en práctica los contenidos adquiridos en el Máster Universitario de Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato durante las clases teóricas y durante el período de prácticas docentes en un centro de secundaria. 6 [1.1] Objetivos A continuación, se exponen los objetivos que se pretenden conseguir con la elaboración de este Trabajo Fin de Máster, estrechamente vinculados con la formación adquirida para ser profesor de Educación Secundaria y Bachillerato. Estos objetivos se relacionan con algunas de las competencias y objetivos de la guía docente del Trabajo Fin de Máster y con las competencias del Apartado 3 del Anexo de la Orden ECI/3858/2007, de 27 de diciembre, por la que se establecen los requisitos para la verificación de los títulos universitarios oficiales que habiliten para el ejercicio de las profesiones de Profesor de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas. Los objetivos los podemos clasificar en generales y específicos. OBJETIVOS GENERALES Los objetivos generales son los siguientes: • Conocer los contenidos teóricos y didácticos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. • Planificar, desarrollar y evaluar el proceso de enseñanza y aprendizaje mediante procesos educativos que faciliten la adquisición de las competencias específicas. • Buscar, obtener, procesar y comunicar información desde distintos medios, transformarla en conocimiento y aplicarla en procesos de enseñanza y aprendizaje de matemáticas. • Desarrollar y aplicar metodologías didácticas tanto grupales como personalizadas, adaptadas a la diversidad de los estudiantes. • Adquirir estrategias para estimular el esfuerzo del estudiante y promover la capacidad de aprender por sí mismos. • Diseñar y realizar actividades que contribuyan a hacer del centro un lugar de participación y cultura. • Conocer la normativa y organización institucional del sistema educativo y modelos de mejora de la calidad con aplicación a los centros de enseñanza. • Conocer la historia de la materia de matemáticas y adquirir la formación necesaria para poder transmitir una visión dinámica de la misma. • Adquirir las habilidades y destrezas necesarias para seguir aprendiendo de un modo autónomo. • Adquirir experiencia en la planificación, docencia y la evaluación de las materias correspondientes. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Los objetivos que se pretenden conseguir con la puesta en práctica de las situaciones de aprendizaje sobre el número de oro son los siguientes: • Estudiar, analizar y comprender la importancia del número de oro dando a conocer la presencia de dicho concepto en la realidad que rodea al estudiante. 7 • Poner en práctica metodología innovadoras activas. • Incrementar el interés y motivación del alumnado por el estudio de las matemáticas conectando el número oro con diversos contenidos incluido en el currículo de secundaria. [2] Marco Legal Para la redacción de la propuesta didáctica es necesario apoyarse en la legislación en materia de educación puesto que, desde las distintas instituciones públicas, se establecen una serie de referencias a cumplir a la hora de planificar la acción docente. El presente curso escolar 2022/2023 es un año de transición entre dos leyes de educación lo que implica una situación de incertidumbre para los docentes respecto a qué normativa aplicar. Por un lado, en los cursos pares (2º y 4º de la ESO y 2º de Bachillerato) todavía están en aplicación los currículos de la Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE), mientras que en los cursos impares (1º y 3º de la ESO y 1º de Bachillerato) ya se aplican los currículos de la nueva la Ley Orgánica de Modificación de la Ley Orgánica de Educación (LOMLOE). Teniendo en cuenta la peculiar situación del presente curso escolar, se opta en este TFM por la elaboración de situaciones de aprendizaje según las indicaciones establecidas por la LOMLOE. [2.1] Estructura curricular De acuerdo con el Decreto 39/2022, de 29 de septiembre, el currículo de la Educación Secundaria obligatoria en la Comunidad de Castilla y León se estructura, entre otros, en los siguientes elementos (Consejería de Educación, 2022): • Objetivos de etapa en Educación Secundaria Los objetivos de la Educación Secundaria obligatoria quedan establecidos en el artículo 23 de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo y en el artículo 7 del Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, y podrán ser ampliados en los boletines oficiales de cada comunidad autónoma. Según ambos artículos, la Educación Secundaria obligatoria contribuirá a desarrollar en los estudiantes capacidades que les permitan (Ministerio de Educación y Formación Profesional, 2022): a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a las demás personas, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática. b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. 8 c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres. d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con las demás personas, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos. e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Desarrollar las competencias tecnológicas básicas y avanzar en una reflexión ética sobre su funcionamiento y utilización. f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia. g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades. h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y, si la hubiere, en la lengua cooficial de la comunidad autónoma, textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura. i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada. j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de las demás personas, así como el patrimonio artístico y cultural. k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación física y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado, la empatía y el respeto hacia los seres vivos, especialmente los animales, y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora. l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación. 9 • Competencias Clave Las competencias clave están vinculadas a los objetivos de etapa de modo que se entiende que el dominio de cada una de ellas contribuye al logro de los objetivos y viceversa. Conforme a lo establecido en el artículo 11.1 del Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, las competencias clave son las siguientes: o Competencia en comunicación lingüística. o Competencia plurilingüe. o Competencia matemática y competencia en ciencia, tecnología e ingeniería. o Competencia digital. o Competencia personal, social y de aprender a aprender. o Competencia ciudadana. o Competencia emprendedora. o Competencia en conciencia y expresión culturales. • Perfil de salida del alumnado al término de la enseñanza básica El Perfil de salida se desarrolla a través de una serie de descriptores operativos que concretan y contextualizan la adquisición de cada una de las competencias clave. En el Mapa de relaciones competenciales se representa la vinculación de los descriptores operativos del Perfil de salida con las competencias específicas de cada materia y, además, permite determinar la contribución de cada materia al desarrollo competencial del alumnado. • Competencias Específicas Para cada una de las materias, las competencias específicas plasman la concreción de los descriptores operativos del Perfil de salida. • Criterios de Evaluación Los criterios de evaluación establecen, en cada materia, las referencias para valorar el aprendizaje del alumnado y el grado de adquisición de cada competencia específica. La vinculación de los descriptores operativos del Perfil de salida con los criterios de evaluación de cada competencia específica para cada curso se representa en el Mapa de relaciones criteriales. • Contenidos de materia En los contenidos se muestran los aprendizajes que se necesitan trabajar con el alumnado en cada materia con el objetivo de que adquieran las competencias específicas e integrar conocimientos, destrezas y actitudes. 16 situación actual de la investigación en didáctica de las matemáticas relativa al aprendizaje y enseñanza de la geometría. A continuación, se desarrollan las secciones de dicho capítulo que más interés tienen para este trabajo. MODELO DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE En esta sección se describen las características principales del modelo de razonamiento matemático de Van Hiele, el marco teórico más empleado actualmente para organizar la enseñanza de la geometría y cuya aplicación está dando mejores resultados. El matrimonio holandés Pierre Marie y Dina van Hiele formulan las ideas básicas de un modelo que establece cuatro niveles de razonamiento secuenciales. Estos niveles abarcan desde las formas más básicas propias de estudiantes de preescolar hasta las formas más sofisticadas de los matemáticos profesionales. Los rasgos principales de estos niveles son: • Nivel 1: Los estudiantes del nivel 1 dan un significado más físico que matemático a los elementos geométrico y perciben la posición de las figuras como una propiedad fundamental para clasificarlas. • Nivel 2: Los estudiantes reconocen los elementos y propiedades matemáticos de los que están dotadas las figuras geométricas, pero las perciben como independientes unas de otras. Además, la demostración de la veracidad de una conjetura se hace verificándola en casos particulares. En los últimos cursos de Primaria los estudiantes deberían iniciar el paso al segundo nivel • Nivel 3: Los estudiantes son capaces de realizar clasificaciones inclusivas como exclusivas de familias basadas en el análisis de éstas, sus demostraciones consisten en argumentos deductivos abstractos no formales y son capaces de comprender demostraciones formales sencillas explicadas por el docente. Al terminar la ESO los estudiantes deberían haber comenzado la transición al nivel 3. • Nivel 4: Los estudiantes son capaces de utilizar el razonamiento matemático formal y, así, elaborar y comprender demostraciones formales de autónomamente. Cada nivel tiene un lenguaje propio, por este motivo, surgen problemas de comunicación entre el profesor (nivel 4) y los alumnos. Además, el modelo de Van Hiele propone organizar las actividades de los estudiantes en cinco fases de aprendizaje que, junto con los niveles, conforman un marco de referencia para la organización de las lecciones. Estas fases son las siguientes: • Fase 1. Información: Toma de contacto con el nuevo tema y activación de conocimientos previos. • Fase 2. Orientación dirigida: Los estudiantes resuelven actividades y problemas para aprender los contenidos básicos. El profesor ayuda y dirige el trabajo. • Fase 3. Explicación: Los estudiantes expresan sus ideas y sus maneras de resolver problemas. • Fase 4. Orientación libre: Resolución de actividades y problemas que requieran la combinación de conocimientos de formas nuevas, evitando la simple aplicación de una fórmula o algoritmo. • Fase 5. Integración: Repaso global de todo lo aprendido. 17 En el año 2000, la asociación de profesores de matemáticas de EE.UU., la NTCM, ajustó los principios y estándares curriculares de la geometría ajustándolo en torno a los niveles de Van Hiele y fomentando el progreso de los estudiantes por los tres primeros niveles durante la Primaria y Secundaria: • En los cursos equivalente a 1º y 2º de la ESO, los estudiantes pueden formular argumentos deductivos sobre conjeturas y utilizar software de geometría dinámica para comprobarlas. Comunicar con claridad y precisión sus razonamientos los prepara para comprender demostraciones más formales en los cursos siguientes. • En los cursos de 3º de la ESO a 2º de Bachillerato, los estudiantes deben, progresivamente, ser capaces de usar razonamiento deductivo para establecer o rechazar conjeturas. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN MICROMUNDOS INFORMÁTICOS Los programas de geometría espacial de la actualidad son un excelente complemento en la enseñanza y aprendizaje de la geometría, pero en ningún caso, un sustituto de los materiales manipulativos tradicionales. PRUEBAS, JUSTIFICACIONES, DEMOSTRACIONES, … La demostración es uno de los pilares de apoyo de las matemáticas actuales. En el contexto de la enseñanza no universitaria, es necesario dar un significado amplio a la palabra demostración que integre diferentes tipos de justificaciones. A la hora de organizar las clases de matemáticas se debe tener en cuenta las tres siguientes facetas: • Las funciones de las demostraciones: Explicar la veracidad de los resultados, descubrir nuevos teoremas por sí mismos, convencer de una afirmación, suponen un reto intelectual, establecer relaciones deductivas y comunicarse matemáticamente. • Las concepciones usuales de los estudiantes: Para que los estudiantes comprendan la necesidad de las demostraciones deductivas. • Los tipos de demostraciones: Demostraciones empíricas (comprobación en uno o varios ejemplos) y deductivas (justificación de una conjetura mediante argumentos deductivos basados en las propiedades anteriormente verificadas). 18 [4] Contenidos a Trabajar [4.1] Número de oro A lo largo de la historia el número de oro ha despertado el interés del ser humano, quien lo ha asociado con el ideal de belleza y le ha otorgado una importancia mística. El número de oro representa una proporción entre dos cuantías y con el paso del tiempo ha recibido múltiples nombres entre los que destacan: razón media y extrema, razón áurea, media áurea, razón dorada, número de oro, proporción áurea, número de Dios y divina proporción. Aunque en la antigüedad el número áureo se representaba con las letras griegas tau (τ) o alfa (α), actualmente es más común representarlo con la letra griega phi, tanto en mayúscula (Φ) como en minúscula (𝜙𝜙 ó 𝜑𝜑) (Luque Ordóñez, 2022). [4.1.1] NÚMEROS IRRACIONALES Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos números enteros, es decir, tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos. Podemos destacar tres números irracionales debido a su gran importancia en las matemáticas: 𝜋𝜋, e y el número áureo 𝛷𝛷 . • El número 𝜋𝜋 es la relación entre la longitud de una circunferencia (L) y su diámetro (2R) en geometría euclidiana: 𝐿𝐿= 2𝜋𝜋·𝑅𝑅 ⇒ 𝜋𝜋=𝐿𝐿 2𝑅𝑅=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑙𝑙á𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙 = 3,14159 … • El número e, también conocido como número de Euler o constante de Napier, es el valor límite de la sucesión {�1 + 1 𝑛𝑛�𝑛𝑛}𝑛𝑛=1 ∞: 𝑚𝑚=lim 𝑛𝑛→∞�1 + 1 𝑙𝑙�𝑛𝑛= 2,718 … • Y, por último, el número que nos ocupa, el número de oro. El número áureo se representa con la letra Φ (phi) en honor al escultor griego Fidias y su valor numérico es: Φ=1 + √5 2≈1,618033 … La diferencia más destacada de Φ con los dos primeros números es que tanto 𝜋𝜋 como el número e son números trascendentes, lo que quiere decir que no pueden ser obtenidos como solución de una ecuación algebraica con coeficientes enteros no todos nulos. Sin embargo, el número de oro sí que lo es, es solución de la ecuación áurea (Bragado Rodríguez, 2018). 19 [4.1.2] NÚMEROS METÁLICOS Los números metálicos son un conjunto infinito de números irracionales cuadráticos positivos que reciben nombres especiales relacionados con diferentes metales. Esta familia de números fue sistematizada, estudiada y divulgada por la matemática argentina Vera de Spinadel, dándose a conocer en 1994. Los números metálicos (σ𝑝𝑝,𝑞𝑞) son las soluciones positivas de las ecuaciones de segundo grado de la forma 𝑥𝑥2−𝑝𝑝𝑥𝑥−𝑞𝑞 = 0, 𝑝𝑝,𝑞𝑞 ∈ 𝑁𝑁, y están vinculados con las sucesiones de Fibonacci generalizadas 𝐺𝐺𝑛𝑛+2 =𝑝𝑝𝐺𝐺𝑛𝑛+1 +𝑞𝑞𝐺𝐺𝑛𝑛. Figura 1. Número de oro, plata y bronce. Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Gold,_silver,_and_bronze_recta ngles.svg. Dominio público En la siguiente tabla se muestran algunos nombres y propiedades de los números metálicos: Figura 2. Números metálicos. Elaboración propia. El número de oro se enmarca dentro de esta clasificación y corresponde a la ecuación con coeficientes p=1 y q=1, de la cual es solución, como se adelantaba en el apartado anterior. Nombre del número Ecuación p q Solución positiva Valor aproximado Número de oro (σ1,1) 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−1 = 0 1 1 1 + √5 2 1,618 Número de plata (σ2,1) 𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−1 = 0 2 1 1 + √2 2,414 Número de bronce (σ3,1) 𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−1 = 0 3 1 3 + √13 2 3,303 Número de cobre (σ1,2) 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−2 = 0 1 2 2 2 Número de níquel (σ1,3) 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−3 = 0 1 3 1 + √13 2 2,303 Número de platino (σ2,2) 𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−2 = 0 2 2 1 + √3 2,732 20 [4.1.3] DEFINICIÓN Y PROPIEDADES El número áureo es un número irracional que pertenece a la familia de los números metálicos y que representa una proporción concreta entre dos cantidades. Concretamente, Φ es la solución positiva de la ecuación áurea: 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−1 = 0 , y siendo su valor: Φ=1 + √5 2≈1,618 [DEFINICIÓN] El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 (siendo 𝑎𝑎 más largo que 𝑏𝑏), de tal manera que la longitud total (la suma de los dos segmentos 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏) es al segmento mayor 𝑎𝑎 como el segmento 𝑎𝑎 es al segmento menor 𝑏𝑏. Dicho de otra manera, el total es a la parte mayor como la parte mayor es a la parte pequeña (Luque Ordóñez, 2022). El cociente entre ambas longitudes, independientemente de la dimensión de la recta inicial da lugar al número áureo, que define una proporción, la proporción áurea. Dicha proporción se expresa de la siguiente manera: 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑎𝑎 (𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚)=𝑎𝑎 𝑏𝑏 (𝑚𝑚𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚)=Φ Figura 3. Media y extrema razón. Elaboración propia. Si se desarrolla la ecuación anterior (𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑎𝑎=𝑎𝑎 𝑏𝑏), se obtiene que: 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑎𝑎= 1 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎=𝑎𝑎 𝑏𝑏 Si se denomina Φ al cociente 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ⇒ 1 + 1 Φ=Φ ⇒ Φ+ 1 = Φ2 ⇒ Φ2−Φ−1 = 0 Al aplicar la fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado del tipo 𝑎𝑎𝑥𝑥2+𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑐𝑐= 0, que es 𝑥𝑥= −𝑏𝑏±√𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑎𝑎 , obtenemos para los valores 𝑎𝑎= 1, 𝑏𝑏=−1, 𝑐𝑐=−1 , las siguientes soluciones: 21 Φ=−(−1)±�(−1)2−4∙1∙(−1) 2∙1=1 ± √5 2 Φ=1 + √5 2 ; Φ′=1−√5 2 De este modo, se obtiene en la solución positiva el número áureo que comúnmente se representa con la letra griega Φ. A la solución negativa se le suele denominar con la letra Ψ o con Φ′, la cual comparte muchas propiedades con el número áureo (Luque Ordóñez, 2022). Así pues: Φ=1 + √5 2= 1,6180339 … ; Φ′=1−√5 2=−0,6180339 … En definitiva, para que dos medidas 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 se encuentren en proporción áurea, se debe cumplir que: 𝑎𝑎 𝑏𝑏=Φ=1 + √5 2 [REPRESENTACIÓN MEDIANTE FRACCIONES CONTINUAS] El número de oro también puede ser expresado por medio de fracciones continuas: Φ= 1 + 1 Φ= 1 + 1 1 + 1 Φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 Φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 Φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 … De esta manera el número áureo es la fracción continua periódica pura con la convergencia más lenta posible. De la previa expresión recursiva, se desprende que en el cálculo de su límite se obtiene el número áureo. 𝐿𝐿=lim 𝑛𝑛→∞1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 … = 1 + 1 𝐿𝐿 ⇒ 𝐿𝐿2=𝐿𝐿+ 1 ⇒ 𝐿𝐿2−𝐿𝐿−1 = 0 ⇒ 𝐿𝐿=Φ [PROPIEDADES] PROPIEDADES INMEDIATAS Si denominamos por Φ a la solución positiva de la ecuación áurea y por Φ′ a la solución negativa de dicha ecuación se confirman las siguientes propiedades inmediatas a partir de las fórmulas de Cardano Vieta (Reyes Iglesias & Fernández Benito, 2015): 𝐼𝐼) Φ2=Φ+ 1 (al ser Φ solución se la ecuación áurea) 22 𝐼𝐼𝐼𝐼) Φ+Φ′= 1 (suma de las raices de una ecuación de segundo grado) 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼) Φ∙Φ′=−1 (producto de las raíces de la ecuaicón de segundo grado) EXPRESIÓN DE LAS POTENCIAS DE 𝛷𝛷 EN FUNCIÓN DE 𝛷𝛷 A continuación, si se realiza el producto de Φ por la igualdad I) e iteramos dicho proceso en cada una de las igualdades que obtenemos, logramos expresar las potencias de Φ del siguiente modo: Φ3=Φ2+Φ ; Al ser Φ2=Φ+ 1 ⇒Φ2+Φ=Φ+1+Φ= 2Φ+ 1. Φ4=Φ3∙Φ=(2Φ+ 1)Φ= 2Φ2+Φ= 2(Φ+ 1)+Φ= 3Φ+ 2. Φ5=Φ4·Φ= 3Φ2+ 2Φ= 5Φ3+ 3. Φ6= 8Φ+ 5 y, generalizando, obtenemos: Φ𝑛𝑛=𝑎𝑎𝑛𝑛Φ+𝑎𝑎𝑛𝑛−1 ,∀ 𝑙𝑙≥ 2, donde 𝑎𝑎𝑛𝑛 es el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…), cuya ecuación de recurrencia es 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 = 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑎𝑎𝑛𝑛−1,∀𝑙𝑙 ≥2, 𝑎𝑎1= 1, 𝑎𝑎2= 1 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DE RAZÓN 𝛷𝛷 La progresión geométrica de razón Φ, con los siguientes términos: 1, Φ, Φ2, Φ3, … , Φn, … es una sucesión de Fibonacci puesto que de la igualdad I) y de los productos sucesivos por Φ se obtiene que: Φ2=Φ+ 1; Φ3=Φ2+ Φ; Φ4=Φ3+Φ2; … ; Φn=Φn−1 +Φn−2,∀𝑙𝑙 ≥2 Por tanto, cada término de dicha progresión geométrica es la suma de los dos términos anteriores. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DE RAZÓN 1/𝛷𝛷 Si se divide entre Φ la igualdad I) y se itera este procedimiento obtenemos las siguientes relaciones: Φ= 1 + 1 Φ ; 1 = 1 Φ+1 Φ2 ; 1 Φ=1 Φ2+1 Φ3 ; … ; 1 Φ𝑛𝑛=1 Φ𝑛𝑛+1 +1 Φ𝑛𝑛+2 ; 𝑙𝑙≥0 Es decir, cada término de la progresión geométrica: 1 , 1 Φ , 1 Φ2 , 1 Φ3 , … , 1 Φ𝑛𝑛 , … es suma de los dos siguientes. OTRO MODO DE EXPRESAR LA PROPIEDAD INMEDIATA La igualdad Φ2=Φ+ 1 puede también escribirse de la siguiente forma: 23 Φ2−Φ= 1 ⇔ Φ(Φ−1)= 1; o bien Φ−1 = 1 Φ=Φ−1 Se verifica que Φ−1 =Φ−1 DIVISIÓN 𝛷𝛷𝑛𝑛−1 ENTRE 𝛷𝛷−1 El cociente de Φ𝑛𝑛−1, entre Φ−1, permite factorizar el primer polinomio del siguiente modo: Φ𝑛𝑛−1 = (Φ−1)(1 + Φ+Φ2+⋯+Φ𝑛𝑛−1), 𝑙𝑙 ≥1. Se obtiene que: Φ𝑛𝑛−1 Φ−1= 1 + Φ+⋯+Φ𝑛𝑛−1 =�Φ𝑖𝑖 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 . Teniendo en cuenta que 1 Φ−1 =Φ, resulta definitivamente: �Φ𝑖𝑖=Φ(Φ𝑛𝑛−1). 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 PROPIEDAD Se verifica que: �1 Φ𝑛𝑛=Φ. ∞ 𝑛𝑛=1 Al sumar la serie geométrica de razón 1 Φ< 1, se obtiene: �1 Φ𝑛𝑛= 1 Φ 1−1 Φ =1 Φ−1=Φ ∞ 𝑛𝑛=1 . De lo que se deduce que: �1 Φ𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=0 =1+�1 Φ𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=1 = 1 + Φ=Φ2. 24 [4.1.4] CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA A continuación, se muestra la construcción geométrica de la sección áurea. Prácticamente existen dos maneras de dibujar la proporción áurea: proporción áurea por división del segmento y proporción áurea por extensión del segmento. PROPORCIÓN ÁUREA POR DIVISIÓN DEL SEGMENTO Partiendo de un segmento inicial AB, al cual se pretende aplicarle la sección áurea con el fin de que quede dividido por un punto C en dos segmentos cuyas dimensiones guarden entre sí la proporción áurea. Para ello, primero se levanta una perpendicular al segmento AB desde el punto B que mida exactamente la mitad del segmento inicial y se une el extremo superior D del nuevo segmento con el punto A. De este modo, se obtiene un triángulo rectángulo ABD cuyos catetos se encuentran en proporción 2:1. A continuación, si se lleva la distancia del cateto menor a la hipotenusa, ésta queda dividida en dos segmentos por el punto E: uno de dimensión igual al cateto menor y el otro igual a la hipotenusa menos el cateto menor. Por último, si este segundo segmento se traslada al segmento AB inicial se obtiene el punto C que divide AB en dos segmentos que guardan entre sí proporción áurea, al igual que la mayor AC con la parte total AB (Bragado Rodríguez, 2018). Figura 4. División del segmento en proporción áurea. Elaboración propia. Si se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABD se tiene (Reyes Iglesias & Fernández Benito, 2015): �𝑎𝑎+𝑎𝑎+𝑏𝑏 2�2 =(𝑎𝑎+𝑏𝑏)2+�𝑎𝑎+𝑏𝑏 2�2 ⇔𝑎𝑎2−𝑎𝑎𝑏𝑏−𝑏𝑏2= 0 ⇔�𝑎𝑎 𝑏𝑏�2−𝑎𝑎 𝑏𝑏−1 = 0 , 𝑏𝑏 ≠0 Siendo la solución positiva el número de oro, es decir, 𝑎𝑎 𝑏𝑏=Φ. 25 PROPORCIÓN ÁUREA POR EXTENSIÓN DEL SEGMENTO Ahora se muestra la operación inversa, es decir, conseguir la medida superior de la que es sección áurea el segmento AB. Se construye el mismo triángulo rectángulo ABD que en el apartado anterior, pero en lugar de restar el cateto menor a la hipotenusa, se le suma para obtener el punto E y se traslada dicha distancia AE sobre la prolongación del segmento AB consiguiendo el punto C de modo que 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝜙𝜙. Figura 5. Proporción áurea por extensión de un segmento. Elaboración propia. [4.1.5] RECTÁNGULO ÁUREO El rectángulo cuyos lados están en proporción áurea se llama rectángulo áureo (𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛𝑙𝑙𝑚𝑚 =Φ). Una manera frecuente de construirlo geométricamente usando regla y compás se realiza partiendo de un cuadrado. Dado el cuadrado AZYD de lado 1, se traza un arco de circunferencia con centro en el punto medio del lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 � � � � (M) con radio 𝑀𝑀𝑀𝑀 � � � � � de manera que corte a la prolongación del lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 � � � � en el punto B como se muestra en la Figura 6 (Reyes Iglesias & Fernández Benito, 2015). Figura 6. Construcción rectángulo áureo. Elaboración propia. El rectángulo obtenido de lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 � � � � y 𝐴𝐴𝐴𝐴 � � � � es un rectángulo áureo y, en consecuencia, el lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 � � � � mide: 32 Figura 16. Espiral áurea en rectángulos áureos. Elaboración propia. [ESPIRAL ÁUREA BASADA EN TRIÁNGULOS SUBLIMES] Por otro lado, la espiral áurea obtenida por crecimiento de triángulos sublimes converge a su vez en un punto, de manera similar al ojo de Dios. La espiral se obtiene conectando arcos de circunferencia de 108º con centro (correspondiente al ángulo mayor de los gnómones, triángulos sublimes obtusos), con centro en los vértices consecutivos de estos triángulos semejantes y radio la longitud del lado menor. Figura 17. Espiral áurea basada en triángulos sublimes. Elaboración propia. [4.1.10] NÚMERO DE ORO EN LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS El número de oro está relacionado especialmente con el dodecaedro, al estar formado por pentágonos, y el icosaedro, poliedro dual del dodecaedro. En ambos casos, tres rectángulos áureos se solapan ortogonalmente en sus centros, los 12 vértices de estos rectángulos coinciden con los 12 vértices de un icosaedro, mientras que en el caso del dodecaedro coinciden con los centros de sus 12 caras. El punto en el que intersecan los rectángulos coincide con el centro de ambos poliedros. Como consecuencia, los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas en función de Φ, de igual manera que los 12 vértices de un icosaedro (Luque Ordóñez, 2022). 33 Figura 18. Rectángulos áureos inscritos en dodecaedro. Editado de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Dodec aedro_rectangulos_aureos.png GNU 1.2. Figura 19. Rectángulos áureos inscritos en icosaedro. Editado de Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Icosahedr on-golden-rectangles.svg Dominio público. [4.1.11] HISTORIA DEL NÚMERO ÁUREO [ANTIGÜEDAD] No se sabe exactamente cuándo se descubrió el número áureo o se empezó a utilizar por la humanidad. Seguramente se ha ido descubriendo y redescubriendo en sus múltiples formas a lo largo de la historia, lo cual explica su gran variedad de nomenclaturas (La Proporicón Áurea, s.f.). En la antigüedad, la proporción áurea no se descubrió como una expresión aritmética sino como un concepto geométrico. A lo largo de la historia el número áureo ha recibido numerosas denominaciones que ya hemos mencionado, las cuales hacen referencian a su origen geométrico (razón, proporción), a su vínculo con los cánones de belleza clásica (áureo, dorado) y a su relación que se le ha otorgado con la divinidad (divino, de Dios). Se ha estudiado la presencia de la proporción áurea en varias estelas de Asiria y Babilonia que datan entorno al año 2.000 a.C.. Sin embargo, no se cuenta con documentación histórica que certifique la utilización consciente del número áureo en la elaboración de las estelas. Por tanto, no contamos con la certeza de que la presencia de dicho número en la medición de las proporciones de dichas estelas fue intencionada o casual. [GRECIA Y ROMA] Pero en es Grecia donde comienza propiamente la historia del número áureo. En la época de Platón sus propiedades como sección implícita en el pentágono no estrellado, así como el hecho de ser un número irracional, despertaron el interés, la admiración y la veneración de los pitagóricos. Desde entonces, si no viene de antes, surge una leyenda que atribuye a la sección áurea un valor místico y un interés estético. Hay que remontarse alrededor del 300 a.C. para encontrar la primera fuente documental importante sobre la sección áurea del que se tiene constancia. Este documento es el tratado Los Elementos de Euclides, matemático 34 griego conocido como el padre de la geometría. Es en este tratado donde se define por primera vez y de manera precisa lo que posteriormente se conoció como Proporción áurea. Concretamente nos referimos a la Proposición 30 del Libro Sexto de dicho tratado, en el que Euclides definió la proporción áurea del siguiente modo: “Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.” Figura 20. Los Elementos de Euclides, portada del libro I. Rodrigo Zamorano. Obtenido de Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Los_Element os_de_Euclides_(1576)_-_Libro_I.pdf Dominio público. Figura 21. Los Elementos de Euclides, proposición 30 del libro VI. Rodrigo Zamorano. Obtenido de Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3 ALos_Elementos_de_Euclides_(1576)_- _Libro_VI.pdf&page=45 Dominio público Los Elementos se convierte en la obra en la que toda la matemática empírica comprendida en las observaciones de babilonios y egipcios logra un carácter teórico y especulativo. Euclides dedicó una veintena de proposiciones al estudio de la sección áurea construyéndola mediante dos métodos distintos, la emplea en la construcción del triángulo sublime y del pentágono regular y enuncia y demuestra diversas propiedades del número áureo y los sólidos regulares inscribibles en una esfera. A su vez Euclides dejó demostrado que este número no puede ser expresado o descrito como la razón de dos números enteros, es decir, que se trataba de un número irracional (Bonell, 1999). Durante la época romana podemos destacar la figura de Vitrubio, arquitecto, escritor e ingeniero romano que trata nuevamente la sección áurea. Vitrubio mencionada que se debía “dar proporción a todo edificio a semejanza de todo el cuerpo que está bien proporcionado con respecto a sus miembros”. [EDAD MEDIA] Fue a partir de las traducciones de los Elementos llevadas a cabo por los árabes cuando se alcanzó una amplia difusión. Durante la Edad Media se puede destacar la figura de Abu Kamil, quién empleando el número áureo realizó cálculos geométricos en pentágonos y decágonos. 35 En el siglo XII destaca la figura de Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, quien empleó los estudios realizados por Abu Kamil para resolver problemas geométricos. Leonardo de Pisa fue autor de un importante tratado, el Liber Abaci, en el que entre otros problemas teóricos y prácticos aparece una serie numérica, la sucesión de Fibonacci, en la que cada término es igual a la suma de los dos anteriores, propiedad aditiva que comparte con la serie Φ, con que se encuentra estrechamente vinculada puesto que la razón entre dos de sus términos consecutivos tiende hacia un límite que es precisamente Φ. En el siglo XIV surge el primer traductor latino y comentador de Euclides, Johannes Campanus de Novara, quien realiza sus traducciones a partir de una versión árabe. A partir de la obra de Campanus de Novara, se multiplican las ediciones de los Elementos en latín a lo largo de dicho siglo, surgiendo en el siguiente siglo ya las ediciones vulgares. [RENACIMIENTO] En el Renacimiento el número áureo pasa a denominarse divina proporción al atribuírsele una intervención divina en el libro titulado De Divina Proportione del matemático y teólogo italiano Luca Pacioli. En dicho libro Pacioli expone cinco razones por las que el número áureo debía considerarse divino: a) La unicidad del número, que lo asemeja a Dios. b) El hecho de que se encuentre definido por tres segmentos, lo cual lo asemeja a la Trinidad. c) La inconmensurabilidad del número, inconmensurable igual que Dios. d) El número es omnipresente e invariable, como Dios. e) Dios concedió ser al universo a través de la quinta esencia, representada por un dodecaedro, y el número áureo dio ser al dodecaedro. Figura 22. Portada de Divina Proportione. Luca Pacioli. Editado de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:De_divina_proport ione_title_page.png Image courtesy History of Science Collections, University of Oklahoma Libraries; copyright the Board of Regents of the University of Oklahoma. Figura 23. Grabado en madera que ilustra las proporciones del rostro humano. Luca Pacioli. Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Divina_proportion e.png Dominio público 36 Uno de los aspectos a destacar de la obra de Pacioli es el haber atribuido a la proporción aquel significado más general y filosófico que Platón recogió de los pitagóricos y divulgó en algunos de sus Diálogos. Años más tarde, Alberto Durero publicó el libro “Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas sólidas”, en el cual indica el proceso para trazar la espiral áurea o espiral de Durero, basada en la proporción áurea. [EDAD MODERNA] En el año 1595, Johannes Kepler escribe el tratado sobre astronomía titulado “El misterio cósmico”, libro sobre la concepción de un modelo platónico del Sistema Solar. En dicho tratado Kepler incorpora la siguiente frase respecto al número áureo: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno, el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de plata; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. La primera aproximación decimal del número áureo llega en el año 1597 de la mano de Michael Maestlin, obteniendo un valor de 0,6180340, que es el valor inverso de lo que hoy conocemos como número áureo (1 Φ). En el siglo XVIII, matemáticos como Abraham de Moivre, Daniel Bernoulli y Leonhard Euler hicieron uso de una fórmula que relacionaba la secuencia de Fibonacci con el número áureo, posteriormente redescubierta y publicada en 1843 por Jacques Binet, del cual recibe el nombre la fórmula. [EDAD CONTEMPORÁNEA] Prácticamente desde Kepler la proporción divina cayó en desuso hasta el siglo XIX cuando fue redescubierta y puesta en valor como principio morfológico directriz por el psicólogo alemán Adolf Zeising. Zeising afirma en su Ästhetische Forschungen (1855): “Para que un todo, dividido en partes desiguales, parezca hermoso, desde el punto de vista de la forma, debe haber entre la parte menor y la mayor, la misma razón que entre la mayor y el todo” (Zeising, 1855). A su vez Zeising comprueba mediante el uso de la estadística que el cuerpo humano queda dividido por el ombligo según la razón áurea. En el año 1876, Gustav Fechner, uno de los padres de la psicofísica y figura destacada de la estética experimental llevó a cabo un ensayo que consistió en hacer escoger a un grupo de personas el rectángulo que más les gustase de un catálogo de rectángulos con distintas esbelteces. El rectángulo que resultó ser el más escogido fue aquel cuyos lados se relacionaban entre sí como 34/21, razón muy próxima al número de oro, porque lo que quedó demostrado el efecto directo de su impresión estética (Bonell, 1999). Finalmente, en el año 1910, el matemático Mark Barr adjudicó al número áureo la letra phi (Φ,𝜙𝜙,𝜑𝜑) en honor al escultor griego Phidias, por el gran valor estético que se atribuía a sus esculturas al emplear dicha proporción en sus obras (Luque Ordóñez, 2022). 37 [4.2] Sucesión de Fibonacci [4.2.1] HISTORIA DE LA SUCESIÓN DE FIBONACCI La sucesión de Fibonacci, mucho antes de conocerse en occidente ya se encontraba descrita en la matemática de la India vinculada a la prosodia sanscrita (entonación, acento y ritmo en la poesía del idioma sánscrito), la cual fue desarrollada por el matemático indio Pingala en una fecha no determinada entre el año 700 a.C. y el 100 d.C. Años más tarde en occidente, el matemático italiano Fibonacci fue el primer europeo en describir la famosa sucesión que unos siglos después pasaría a llevar su nombre. Johannes Kepler también estudió los números de Fibonacci y el geómetra escocés Robert Simson descubrió en 1753 la estrecha relación que guardan entre sí la sucesión de Fibonacci con el número áureo que desarrollaremos en apartados más adelante. Y, por último, en el siglo XIX el matemático francés Edouard Lucas descubrió muchas de las propiedades de esta sucesión a la cual le concedió el nombre de sucesión de Fibonacci en honor a su divulgador en occidente siglos antes. [4.2.2] LEONARDO DE PISA Leonardo de Pisa (1170-1240), más conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano nacido en la ciudad de Pisa. Fibonacci fue educado en el norte de África y es allí donde recibe su primera formación matemática de maestros musulmanes que le ilustraron sobre las grandes ventajas de los sistemas matemáticos usados en esos países (Vargas Contreras, 2003). La principal obra de Leonardo de Pisa fue Liber Abaci (1202), obra en la que trata de recopilar todo el conocimiento aritmético y algebraico de la época. Fibonacci también escribió sobre problemas prácticos de matemáticas comerciales y geodésicas, problemas relacionados con el algebra y sobre matemáticas recreativas. Leonardo defiende en su Liber Abaci el empleo de los números arábigos, sistema de numeración que utilizamos hoy en día, y explica como sumar, restar, multiplicar y dividir con ellos. Figura 24. Página del Liber Abaci en la que aparece la sucesión de Fibonacci. Editado de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Liber_abbaci_m agliab_f124r.jpg Dominio público. 38 [4.2.3] EL PROBLEMA DE LOS CONEJOS En Liber Abaci, Fibonacci plantea la resolución de numerosos problemas sobre álgebra y geometría, uno de los cuales trataba sobre la cría de conejos y decía así: "En un corral, se coloca una pareja de conejos, recién nacidos, para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y suponiendo que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva pareja” Para solucionar este problema y saber la cantidad de conejos que habrá en el corral al cabo del año, Fibonacci utilizó las siguientes premisas: • Un conejo recién nacido necesita que pase un mes para llegar a su madurez reproductiva y estar preparado para procrear. • Una pareja (macho y hembra) de conejos maduros dan a luz una nueva pareja de conejos tras un mes de gestación. • Durante dicho año no muere ningún conejo. Con estas suposiciones de partida se resuelve el problema del siguiente modo: Figura 25. Problema de los conejos. Elaboración propia. Como se puede observar en la figura, la primera pareja el primer mes está recién nacida y no está preparada para procrear, por tanto, al término del primer mes continuamos teniendo la misma pareja. Al comienzo del segundo mes la pareja ya ha alcanzado la madurez reproductiva por lo que al finalizar el mes se genera una 39 nueva pareja. De las dos parejas solamente la primera tiene descendencia al final del tercer mes puesto que la segunda está recién nacida. Por tanto, al finalizar el tercer mes tenemos tres parejas de conejos. Durante el cuarto mes dos de las tres parejas tiene descendencia de manera que al finalizar el cuarto mes hay cinco parejas en el corral. En el quinto mes tres de las cinco parejas se reproducen de manera que al final del quinto mes tenemos ocho parejas de conejos. Si continuamos con este procedimiento al cabo de un año habrá 144 parejas de conejos. Estudiando los resultados anteriores podemos deducir la cantidad de parejas de conejos que habrá en un determinado tiempo del siguiente modo: • Al analizar la figura nos damos cuenta de que en el tercer mes se suma se suman las cantidades de los dos primeros meses: 1+1=2. • Al siguiente mes, el cuarto, se suma el número de parejas del segundo con el tercero, es decir: 1+2=3. • A continuación, para obtener el valor del quinto mes podemos sumar la cifra del tercero con el cuarto mes, de modo: 2+3=5. Y así sucesivamente. Por tanto, a partir del segundo mes, para saber el número de conejos que tenemos al finalizar cada mes bastaría con sumar el número de conejos que hay al finalizar los dos meses anteriores. En conclusión, determinar la cuantía de parejas de conejos a lo largo del año es relativamente fácil. Sin embargo, el valor detrás de este problema radica en la secuencia de los resultados mes a mes, en la que encontramos una relación matemática que fue la causa de la inmortalidad del problema de los conejos. [4.2.4] DEFINICIÓN DE LA SUCESIÓN DE FIBONACCI Para ahondar en la relación numérica de la que nace la grandeza del problema de los conejos tenemos que aislarla y presentarla como objeto matemático. La lista de números resultantes es (Vargas Contreras, 2003): 𝟏𝟏,𝟏𝟏,𝟐𝟐,𝟑𝟑,𝟓𝟓,𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑, … En primer lugar, podemos afirmar que dichos números forman una lista de números infinita que es ordenada, es decir, que existe un primer término, un segundo, un tercero y así sucesivamente. A este tipo de listas le damos el nombre de sucesión, y evidentemente, ésta en particular recibe el nombre de Sucesión de Fibonacci. Si denotamos a la sucesión por la letra F en general, nos referimos entonces con dicha letra y un subíndice a un término específico de ella. Así pues: 𝐹𝐹1= 1, 𝐹𝐹2= 1, 𝐹𝐹3= 2, 𝐹𝐹4= 3, 𝐹𝐹5= 5, … , 𝐹𝐹10 =55,𝐹𝐹11 =89 𝐹𝐹𝑛𝑛=𝑙𝑙−é𝑒𝑒𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙 𝑙𝑙é𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑙𝑙𝑚𝑚 𝐹𝐹𝑙𝑙𝑏𝑏𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑙𝑙 40 Como podemos ver, los subíndices indican el término de la sucesión al cual nos referimos, al orden que ocupa en la sucesión mientras que el número en sí es el valor que asociamos a ese término. Por tanto, la Sucesión de Fibonacci es una relación de recurrencia que cumple que cada término de la sucesión es la suma de los dos términos estrictamente anteriores, con valores 1 y 1 para los dos primeros términos de la sucesión: 𝐹𝐹1=𝐹𝐹2= 1 𝐹𝐹𝑛𝑛=𝐹𝐹𝑛𝑛−1 +𝐹𝐹𝑛𝑛−2 , ∀𝑙𝑙 ≥3 La infinidad de propiedades matemáticas de la Sucesión de Fibonacci ha fascinado a lo largo de la historia a estudiosos de diversas disciplinas de tal manera que existe una publicación específica titulada Fibonacci Quaterly dedicada exclusivamente a divulgar los avances de las investigaciones en torno a dicha secuencia. [4.2.5] RELACIÓN CON EL NÚMERO ÁUREO Como ya se ha mencionado en el apartado 4.2.3, la principal relación con el número áureo surge al realizar el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, ya que conforme mayores sean los términos, más se aproximará el resultado al número áureo. Para mostrar dicha relación vamos a seguir los siguientes pasos: • Realizamos los cocientes 𝐹𝐹𝑛𝑛 𝐹𝐹𝑛𝑛−1 de los términos consecutivos de la sucesión comenzando en 𝑙𝑙= 2. • Comparamos el resultado obtenido con los resultados de las divisiones anteriores. • Estimamos el comportamiento de los sucesivos cocientes cuando 𝑙𝑙 →∞. 𝐹𝐹2 𝐹𝐹1= 1 ; 𝐹𝐹3 𝐹𝐹2=2 1= 2 ; 𝐹𝐹4 𝐹𝐹3=3 2= 1,5 ; 𝐹𝐹5 𝐹𝐹4=5 3= 1, 6 � ; 𝐹𝐹6 𝐹𝐹5=8 5= 1,6 𝐹𝐹7 𝐹𝐹6=13 8= 1,625 ; 𝐹𝐹8 𝐹𝐹7=21 13 = 1,615 … ; 𝐹𝐹9 𝐹𝐹8=34 21 = 1,619 … ; 𝐹𝐹7 𝐹𝐹6=55 34 = 1,617 … Como vemos el resultado del cociente se va acercando alternativamente por encima y por debajo cada vez más al número de oro. Si realizamos el límite de los sucesivos cocientes cuando 𝑙𝑙→∞ : 𝐿𝐿=lim 𝑛𝑛→∞𝐹𝐹𝑛𝑛+1 𝐹𝐹𝑛𝑛=lim 𝑛𝑛→∞𝐹𝐹𝑛𝑛+𝐹𝐹𝑛𝑛−1 𝐹𝐹𝑛𝑛= 1 + lim 𝑛𝑛→∞𝐹𝐹𝑛𝑛−1 𝐹𝐹𝑛𝑛= 1 + 1/ ( lim 𝑛𝑛→∞ 𝐹𝐹𝑛𝑛 𝐹𝐹𝑛𝑛−1) = 1 𝐿𝐿 ⇒ 𝐿𝐿2−𝐿𝐿−1 = 0 ⇒𝐿𝐿 =Φ 41 [4.2.6] ESPIRAL DE FIBONACCI La espiral de Fibonacci es una aproximación de la espiral áurea, generada a partir de arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados cuyos lados se ajustan a los valores de la sucesión de Fibonacci, a diferencia de la espiral de Durero, la cual se construye a partir de rectángulos áureos Esta curva se genera por la yuxtaposición sucesiva de cuadrados cuyos lados son los números de la sucesión de Fibonacci. Se comienza con un cuadrado de lado 1 (𝐹𝐹1) al que se le une otro cuadrado de lado (𝐹𝐹2). Al rectángulo que obtenemos de lados 2x1 se le yuxtapone un cuadrado de lado 2 (𝐹𝐹3) para conseguir un rectángulo de lados 2x3. A continuación a dicho rectángulo se le añade otro cuadrado de lado 3 (𝐹𝐹4) dando lugar a un rectángulo de 3x5 y así sucesivamente. La espiral se forma conectando las esquinas opuestas de los cuadrados con arcos de 90º como muestra las siguientes figuras: Figura 26. Despiece de cuadrados cuyos lados coinciden con los valores de Fibonacci. Editado de Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fibonacci_Squares.svg Creative Commons. Figura 27. Espiral de Fibonacci. Editado de Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fibonacci_Spiral.svg Creative Commons Esta curva, al igual que la espiral de Durero, son aproximaciones de la llamada espiral logarítmica. La espiral logarítmica es el único tipo de espiral que mantiene su forma al ser reescalada y aumenta o disminuye su tamaño en cada cuarto de vuelta en aproximadamente 1,618…veces el anterior. Dicha cifra que corresponde al número de oro. 48 [4.3.3] EN EL ARTE [PINTURA] [SALVADOR DALÍ] Es uno de los pintores más utilizó la proporción áurea en sus obras debido a su pasión por De Divina Proportione de Luca Pacioli. Podemos destacar su cuadro La semitaza gigante volando con anexo inexplicable de 5 metros de longitud, en esta obra Dalí emplea la división de rectángulos áureos en la que se traza la espiral de Durero. Este cuadro será el primero en el que Dalí aplique la divina proporción. [VELÁZQUEZ] Se puede encontrar la presencia de la proporción áurea también en una de las obras más célebres del arte español, en Las Meninas de Velázquez. Existe la teoría de que Velázquez empleó la espiral de Durero para distribuir el espacio y los personajes de la obra. La espiral áurea entraría por la ventana y acabaría en la paleta y el pincel de Velázquez. [LEONARDO DA VINCI] Como se ha mencionado en apartados anteriores, Leonardo Da Vinci fue uno de los artistas que más hizo uso de la proporción áurea. Da Vinci empleó las proporciones del rectángulo áureo para plasmarlas en el rostro de la Gioconda. Figura 36. Semitaza gigante volando con anexo inexplicable de 5 metros de longitud. Salvador Dalí. Editado de Wikiart: https://www.wikiart.org/es/salvador -dali/giant-flying-mocca-cup-with- an-inexplicable-five-metre- appendage Uso legítimo para fines educacionales. Figura 37. Las Meninas. Diego Velázquez. Editado de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Las_M eninas_01.jpg Dominio público Figura 38. La Gioconda. Leonardo da Vinci. Editado de Wikipedia: https://commons.wikimedia.or g/wiki/File:Joconde.gif Creative Commons 2.5 49 [ESCULTURA] [EL DORÍFORO DE POLICLETO] Podemos encontrar la presencia de la sección áurea al comparar las diversas partes del cuerpo en las esculturas griegas más célebres. Un claro ejemplo lo encontramos en el Doríforo de Policleto, escultor contemporáneo de Fidias en el que, entre otras relaciones, podemos ver cómo el ombligo divide la figura en segmentos en relación áurea. Figura 39. Proporción áurea en el Doríforo de Policleto. Editado de Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Polykleit os,_Doryphoros,_440_BC,_Plaster_cast,_Hostinn %C3%A9,_188288.jpg Creative Commons 4.0 [NÚMERO ÁUREO EN ARQUITECTURA] [PIRÁMIDE DE KEOPS] Según el historiador griego Herodoto, los egipcios construyeron la Gran Pirámide de manera que la superficie de una de sus caras triangulares coincidiera con el área de un cuadrado de lado la altura de la pirámide. Si escribimos en lenguaje matemático lo dicho por Herodoto, tenemos que: 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎 =𝑏𝑏𝑎𝑎𝑒𝑒𝑚𝑚·𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑎𝑎 2=2𝑎𝑎 2=𝑎𝑎=ℎ2 Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo de la Figura 40: 𝑎𝑎2= 12+ℎ2 ⇒ 𝑎𝑎2= 1 + 𝑎𝑎 ⇒ 𝑎𝑎2−𝑎𝑎−1 = 0 ⇒ 𝑎𝑎=Φ ⇒ℎ =√Φ 50 Por tanto, podemos afirmar que el cociente entre la altura de una cara triangular y la mitad del lado de la base (apotema) es Φ. Además, el cociente entre el área lateral y el área de la base también será el número de oro al igual que el cociente entre el área total de la pirámide y el área lateral. Figura 40. Esquema Pirámide de Keops. Elaboración propia [PARTENÓN DE ATENAS] Los griegos eran grandes conocedores de la proporción áurea, la cual usaron para proporcionar muchas de sus construcciones. Podemos destacar el Partenón de Atenas en el cuál muchas de sus proporciones están vinculadas al número de oro como vemos en la Figura 41. [NOTRE DAME DE PARIS] Como se puede ver en la Figura 42, la fachada frontal de la catedral de Notre Dame de Paris se puede inscribir en un rectángulo áureo y podemos encontrar en la relación de los distintos elementos compositivos el número de oro. Figura 41. Fachada oeste del Partenón. Editado de Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fachada_oeste_del_P arten%C3%B3n,_Acr%C3%B3polis,_Atenas,_Grecia,_2019_15 .jpg Creative Commons 4.0 Figura 42. Fachada de Notre Dame de Paris. Editado de Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Notredame-de-paris-facade.jpg Creative Commons 3.0 51 [MÚSICA] La proporción áurea ha sido uno de los recursos estructurales más empleados por los compositores del siglo XX. Principalmente los compositores la empleaban para dividir las partes de una obra o establecer un punto culminante justo en la intersección de los dos segmentos. Para Debussy la sucesión de Fibonacci era de gran importancia y es rara la obra en la que no haya resonancias áureas en la forma. En el mismo siglo XX Bartók utilizó la proporción áurea no sólo para estructurar la forma de la obra, sino para establecer el devenir armónico de la música y los intervalos que conforman los acordes (Vela, 2016). En las teclas del piano podemos encontrar también relación entre la música y la sucesión de Fibonacci puesto que los primeros números de la sucesión figuran en una octava de piano. Desde cualquier nota hasta su octava hay 13 teclas, 8 teclas blancas y 5 teclas negras, en grupos de 2 y 3 como se puede ver en la siguiente figura: Figura 43. Teclas de piano. Editado de Pixabay: https://pixabay.com/es/vectors/piano-teclas-octava- m%C3%BAsica-teclado-307653/ Creative Commons Zero [4.3.4] EN LA VIDA COTIDIANA La proporción áurea se ha empleado en el diseño del DNI, tarjetas de créditos, diseño de muebles, marcos de ventanas, cajetillas de tabaco, en logos de marcas comerciales… Muchos diseñadores gráficos, a la hora de diseñar logos, tratan de seguir la proporción áurea o la sucesión de Fibonacci se puede apreciar en los logos de importantes empresas como Apple, Toyota, Twitter, Pepsi o National Geographic. [4.3.5] EN LA CIUDAD DE VALLADOLID En la ciudad de Valladolid se encuentran ejemplos en edificios de la aplicación de la proporción áurea puesto que es un recurso que resuelve la relación entre las partes y el todo de un edificio. A continuación, vamos a mencionar algunos casos de presencia de la proporción áurea, y de otras proporciones, en la arquitectura vallisoletana (Reyes Iglesias & Fernández Benito, 2018). 52 [CAPITELES DE ORDEN CORINTIO] Si se analizan las proporciones entre los segmentos verticales de los distintos volúmenes en que se divide un capitel corintio se puede encontrar la presencia del número de oro. Se encuentran capiteles corintios en la fachada de la iglesia de las Angustias, en la fachada de la Catedral, en la iglesia de la Vera Cruz y en la iglesia de San Lorenzo. [CONVENTO DE LOS AGUSTINOS FILIPINOS] El trazado en planta del edificio se proyectó en base a un rectángulo, que por sus dimensiones y fragmentación interior puede considerarse áureo. El rectángulo queda dividido en un cuadrado en cuyo interior se sitúa el claustro y en otro rectángulo áureo donde se ubicó la iglesia. Figura 44. Trazado y proporciones del convento de los Agustinos Filipinos de Valladolid. Viar Basterra L.. Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Ventura_Rodriguez_Filipinos_Valladolid_Trazado_y_ proporciones.png Creative Commons 3.0 [CASA CONSISTORIAL] Podemos encontrar un rectángulo áureo en el volumen central de la casa consistorial, actual sede del ayuntamiento de Valladolid. [IGLESIA DE SAN MIGUEL] Dentro de la iglesia de San Miguel se ubica un retablo barroco de finales del siglo XVI. Los cuerpos de dicho retablo se encuentran determinados por los trazados de varios rectángulos áureos intersecados, siendo la intersección de dichos rectángulos enfrentados otro rectángulo áureo. [CATEDRAL DE VALLADOLID] En la catedral, del arquitecto Juan de Herrera, fue preferentemente considerada la proporción sesquiáltera (3/2). Además de emplearla en rectángulos sobre la planta, dicha proporción aparecía en alzados de las fachadas y en la composición de los diferentes cuerpos de estas. 53 [5] Catálogo de Situaciones de Aprendizaje La enseñanza de las matemáticas generalmente se centra en el estudio de procesos y conceptos matemáticos, estableciendo escasas relaciones entre ellos y la realidad que nos rodea. Como concluye el estudio del apartado 3.1, dicha desconexión puede fomentar la desmotivación y apatía del alumnado hacia el estudio de la asignatura ya que no llegan a comprender el uso que se puede hacer de los contenidos impartidos en su vida cotidiana. En el presente TFM se confecciona un catálogo de situaciones de aprendizaje según las premisas establecidas en la LOMLOE y que cuentan con el estudio del número de oro y la sucesión de Fibonacci como temas centrales. La elección de los temas centrales se debe a que son conceptos matemáticos de los que se desprende múltiples aplicaciones en el arte, el cuerpo humano y la vida cotidiana. Por tanto, se facilita el estudio simultáneo de conceptos no puramente matemáticos y así se permite a los alumnos que establezcan relaciones entre las matemáticas y el mundo que les rodea. Para conseguir tal fin, se imparten los contenidos mediante metodologías activas que promuevan la participación del alumnado, el involucramiento en su propio aprendizaje y el empleo de las Tecnologías de la Información y Comunicación que los alumnos tienen a su alcance. Se desarrollan tres situaciones de aprendizaje especialmente diseñadas para ser trabajadas en los tres primeros cursos de Educación Secundaria. La selección de los cursos no es arbitraria, he escogido aquellos en los que impartí docencia durante el período de sus prácticas externas. En dicha etapa se consiguió poner en práctica borradores de algunas de las actividades incorporadas dentro de las situaciones de aprendizaje. Las situaciones de aprendizaje diseñadas son las siguientes: • Búsqueda de oro en Valladolid: Los alumnos de 2º de la ESO realizan una serie de actividades que les permitan formarse para la búsqueda del número de oro en los principales monumentos de la ciudad. Mediante el repaso de conceptos vistos durante el curso se mostrará cómo pueden ser aplicados para, trabajando en equipo, calcular las alturas de edificios partiendo de la medición de las sombras que proyectan. • La vida áurea: Los alumnos de 1º de la ESO llevan a cabo una secuencia de ejercicios y tareas que deben resolver de manera autónoma, en parejas o en equipos y así descubrir la presencia del número áureo en su cotidianidad, en famosas obras de arte y en sus propios cuerpos. • Números metálicos y la Sucesión de Fibonacci: Los alumnos de 3º de la ESO estudian el número de oro dentro de los números metálicos y su relación con la sucesión de Fibonacci. Se elabora una serie de actividades de distinto grado de complejidad estrechamente relacionadas con los contenidos propios del curso. 54 [5.A] Búsqueda de oro en Valladolid [A.1] CONTEXTUALIZACIÓN E INTENCIÓN DIDÁCTICA Se plantea a los alumnos una situación de aprendizaje para trabajar en 2º de la ESO los conceptos de proporción y número áureos. Al mismo tiempo, se trabajan los sentidos de medida y estocástico, entre otros que surgen durante la ejecución de las actividades propuestas. La actividad se presenta a los alumnos en un formato de situación de problema en el que deben demostrar la presencia de la proporción áurea en los volúmenes que componen diversos monumentos de la ciudad de Valladolid. Para ello, se propone una secuenciación de actividades con distinto grado de complejidad para hallar las dimensiones de los distintos cuerpos arquitectónicos de los monumentos mediante la medición de las sombras que éstos proyectan. Se pretende de esta manera que el número áureo sirva de hilo conductor en una serie de actividades en las que los alumnos repasan diversos contenidos vistos a lo largo del curso. Previamente al comienzo de las actividades los alumnos deben estar familiarizados con los contenidos que se pondrán en práctica en la situación de aprendizaje: teorema de Pitágoras, teorema de Tales, problemas de proporcionalidad directa y conceptos de media y mediana. [A.2] FUNDAMENTACIÓN CURRICULAR [OBJETIVOS DE ETAPA A LOS QUE SE PRETENDE CONTRIBUIR] • Transmitir al alumnado la necesidad de escuchar y respetar las opiniones de otros y a defender las suyas propias, lo que supone desarrollar actitudes de tolerancia, cooperación y solidaridad. • La resolución de tareas matemáticas, individuales o grupales, requieren esfuerzo y constancia en la búsqueda de la solución, por lo que contribuyen al desarrollo y refuerzo de hábitos de estudio. • Aportar al alumnado, a través de la necesidad de relacionar conocimientos y usar instrumentos de análisis de datos, sentido crítico para seleccionar y utilizar datos adecuados a cada situación, reconociendo aquellas interpretaciones incorrectas o manipuladas de los datos con los que trabaja y argumentando la interpretación correcta de los mismos. • Contribuir, a través de la resolución de problemas, a fomentar de la creatividad, el sentido crítico y la toma de decisiones, pilares fundamentales en el desarrollo como ciudadano. La reflexión sobre este proceso dota al alumnado de instrumentos para la adquisición de confianza y seguridad en sí mismo, con el objetivo de enfrentar retos cada vez más complejos. 55 [COMPETENCIAS ESPECÍFICAS, CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y DESCRIPTORES OPERATIVOS] Se trabajan los siguientes elementos curriculares de 2º ESO (Consejería de Educación, 2022): Competencias específicas Criterios de evaluación y descriptores operativos 1. Interpretar, modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y propios de las Matemáticas aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento, para explorar distintas maneras de proceder y obtener posibles soluciones. 1.1 Interpretar problemas matemáticos y de la vida cotidiana extrayendo los datos dados, estableciendo las relaciones entre ellos y comprendiendo las preguntas formuladas. (CCL1, CCL2, STEM1, STEM2, STEM3, STEM4) 1.2 Aplicar algunas herramientas sencillas y estrategias apropiadas que contribuyan a la resolución de problemas. (STEM1, STEM2, STEM3, STEM4, CPSAA5, CE3). 1.3 Obtener soluciones matemáticas de un problema por métodos sencillos activando los conocimientos necesarios. (STEM1, STEM2, STEM3, CE3, CCEC4) 2. Analizar las soluciones de un problema usando diferentes técnicas y herramientas, evaluando las respuestas obtenidas, para verificar su validez e idoneidad desde un punto de vista matemático y su repercusión global. 2.1 Comprobar, de forma guiada, la corrección matemática de las soluciones de un problema realizando los procesos necesarios. (STEM1, STEM2) 2.2 Comprobar, de manera guiada, la validez de las soluciones de un problema y su coherencia en el contexto planteado, conociendo el alcance y repercusión de estas desde diferentes perspectivas (de género, de sostenibilidad, de consumo responsable, etc.). (CCL2, STEM1, STEM4) 3. Formular y comprobar conjeturas sencillas o plantear problemas de forma autónoma, reco nociendo el valor del razonamiento y la argumentación para generar nuevo conocimiento. 3.1 Comprobar conjeturas sencillas de forma guiada analizando patrones y propiedades. (CCL1, STEM1, STEM2) 3.2 Plantear variantes de un problema dado de forma guiada modificando algún dato. (CCL1, STEM2) 3.3 Emplear herramientas tecnológicas adecuadas en la comprobación de problemas analizando el resultado obtenido. (STEM1, CD2). 4. Utilizar los principios del pensamiento computacional organizando datos, descomponiendo en partes, reconociendo patrones, interpretando, modificando y creando algoritmos para modelizar situaciones y resolver problemas de forma eficaz. 4.1 Organizar datos y descomponer un problema en partes más simples identificando los datos y los resultados de cada una de las partes (STEM1, STEM2). 4.2 Modelizar situaciones y resolver problemas interpretando algoritmos. (STEM1, STEM3) 5. Reconocer y utilizar conexiones entre los diferentes elementos matemáticos interconectando conceptos y procedimientos para desarrollar una visión de las matemáticas como un todo integrado. 5.1 Reconocer las relaciones entre los conocimientos y experiencias matemáticas apreciando un todo coherente. (STEM1) 5.2 Identificar conexiones entre diferentes procesos matemáticos aplicando conocimientos y experiencias previas. (STEM1) 56 6. Identificar las matemáticas implicadas en otras materias y en situaciones reales susceptibles de ser abordadas en términos matemáticos, interrelacionando conceptos y procedimientos para aplicarlos en situaciones diversas. 6.1 Identificar situaciones susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación científica y matemática: medir, comunicar y clasificar. (CCL1, STEM1, STEM2, CE3) 6.2 Identificar conexiones coherentes entre las matemáticas y otras materias resolviendo problemas contextualizados de manera guiada. (STEM2) 6.3 Conocer la aportación de las matemáticas al progreso de la humanidad y su contribución a la superación de los retos que demanda la sociedad actual. (STEM2, STEM5, CCEC1) 7. Representar, de forma individual y colectiva, conceptos, procedimientos, info rmación y resultados matemáticos usando diferentes tecnologías, para visualizar ideas y estructurar procesos matemáticos. 7.1 Representar conceptos, procedimientos, información y resultados matemáticos de modos distintos y con diferentes herramientas, visualizando ideas y estructurando procesos matemáticos. (STEM3) 7.2 Utilizar representaciones matemáticas que ayuden en la búsqueda de estrategias de resolución de una situación problematizada, usando material manipulativo si es necesario. (STEM3) 8. Comunicar de forma individual y colectiva conceptos, procedimientos y argumentos matemáticos, usando lenguaje oral, escrito o gráfico, utilizando la terminología matemática apropiada, para dar significado y coherencia a las ideas matemáticas. 8.1 Comunicar información utilizando el lenguaje matemático apropiado, utilizando diferentes medios, oralmente y por escrito, al describir y explicar razonamientos. (CCL1, CP1, STEM2, STEM4 8.2 Reconocer el lenguaje matemático presente en la vida cotidiana comunicando mensajes con contenido matemático con precisión. (CCL1, CCL3, CP1, STEM2, STEM4) 9. Desarrollar destrezas personales, identificando y gestionando emociones, poniendo en práctica estrategias de aceptación del error como parte del proceso de aprendizaje y adaptándose ante situaciones de incertidumbre, para mejorar la perseverancia en la consecución de objetivos y el disfrute en el aprendizaje de las matemáticas. 9.1 Reconocer las emociones propias, valorar el autoconcepto matemático como herramienta generando expectativas positivas ante nuevos retos matemáticos. (STEM5, CPSAA1) 9.2 Mostrar una actitud positiva y perseverante, aceptando la crítica razonada al hacer frente a las diferentes situaciones de aprendizaje planteadas. (CPSAA1, CPSAA5) 10. Desarrollar destrezas sociales reconociendo y respetando las emociones y experiencias de los demás, participando activa y reflexivamente en proyectos en equipos heterogéneos con roles asignados, para construir una identidad positiva como estudiante de matemáticas, fomentar el bienestar personal y crear relaciones saludables. 10.1 Colaborar activamente y construir relaciones con las matemáticas en equipos heterogéneos, respetando diferentes opiniones, comunicándose de manera efectiva y pensando de forma creativa. (CCL5, CP3, STEM3, CPSAA3, CC2, CC3) 10.2 Participar en las tareas que deban desarrollarse en equipo, aportando valor, favoreciendo la inclusión, la escucha activa y asumiendo el rol asignado. (CPSAA1) 57 [CONTENIDOS] Se trabajan los siguientes contenidos de 2º ESO (Consejería de Educación, 2022): A. Sentido numérico 2. Sentido de las operaciones: - Propiedades de las operaciones (suma, resta, multiplicación, división y potenciación): cálculos de manera eficiente con enteros, fracciones, decimales, tanto mentalmente como de forma manual, con calculadora u hoja de cálculo. 3. Relaciones - Selección y utilización de la representación más adecuada de una misma cantidad (decimal, fracción, representación gráfica, incluida la representación en la recta) en cada situación o problema. 4. Razonamiento proporcional - Situaciones de proporcionalidad en diferentes contextos: análisis y desarrollo de métodos para la resolución de problemas (aumentos y disminuciones porcentuales, rebajas y subidas de precios, impuestos, escalas, cambio de divisas, cálculos geométricos, repartos, velocidad y tiempo, etc.) B. Sentido de la medida 2. Estimación y relaciones - Formulación de conjeturas sobre medidas en el espacio o relaciones entre las mismas basadas en estimaciones. - Estrategias para la toma de decisión justificada del grado de precisión requerida en situaciones de medida en el espacio. 3. Medición - Longitudes, áreas y volúmenes en figuras tridimensionales: deducción, interpretación y aplicación. - La probabilidad como medida asociada a la incertidumbre de experimentos aleatorios. C. Sentido espacial 1. Figuras geométricas de tres dimensiones - Relaciones geométricas como la congruencia, la semejanza y la relación pitagórica en figuras tridimensionales: identificación y aplicación. 3. Visualización, razonamiento y modelización geométrica - Modelización geométrica: relaciones numéricas y algebraicas en la resolución de problemas. D. Sentido algebraico 2. Modelo matemático - Modelización de situaciones de la vida cotidiana usando material manipulativo y representaciones matemáticas para llegar al lenguaje algebraico. - Traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. 64 • [4.5] Puesta en común de los datos recopilados. Redacción de informe y conclusiones. La última sesión de la situación de aprendizaje se destinará a la puesta en común de la toma de datos con el objetivo que confrontar los resultados y conclusiones alcanzadas por cada uno de los equipos de trabajo. Se fomentará el debate dentro del aula y el intercambio de información. Por último y para terminar la situación de aprendizaje, se pedirá a los alumnos la recopilación de toda la información y anotaciones realizadas por los grupos a modo de portfolio en el que quede registrado todos los procedimientos y estrategias seguidas por los alumnos y las conclusiones alcanzadas. [A.5] ATENCIÓN A LAS DIFERENCIAS INDIVIDUALES Durante el desarrollo de las actividades, los contenidos se presentan a los alumnos de diferentes maneras. En ocasiones el profesor será el trasmisor del conocimiento a través de explicaciones colectivas o individuales y otras veces serán los propios alumnos los que deberán de encontrar en equipo el procedimiento idóneo para la resolución de los problemas planteados. El trabajo en equipos fomentará el aprendizaje entre compañeros mediante la ayuda y el apoyo de pares de igual o similar nivel o estatus. [A.6] PROCESO DE EVALUACIÓN La evaluación será continúa a lo largo de toda la actividad de tal manera que se permita la adaptación de ésta orientada a mejorar los aprendizajes del alumnado. Para la evaluación se hará uso de los siguientes instrumentos de evaluación: - El registro anecdótico realizado por el docente en su guía de observación durante el desarrollo de las actividades. - Informe presentado por el equipo a modo de portfolio en el que recopilan todas las decisiones razonamientos, procedimientos y estrategias seguidas por el equipo a lo largo de las distintas actividades de la situación de aprendizaje. - Fichas rellenas por los alumnos individualmente. Se evaluarán los criterios de evaluación de las competencias específicas que se desarrollan en la situación de aprendizaje. Para ello, el docente desglosará los criterios de evaluación en los indicadores de logro fijados por el propio docente, o bien, por el Departamento de Matemáticas del centro en su programación anual. Criterios de evaluación Indicadores de logro I.L.1 I.L.2 I.L.3 I.L.4 1.1 Interpretar problemas matemáticos y de la vida cotidiana extrayendo los datos dados, estableciendo las relaciones entre ellos y comprendiendo las preguntas formuladas. 1.2 Aplicar algunas herramientas sencillas y estrategias apropiadas que contribuyan a la resolución de problemas. 65 1.3 Obtener soluciones matemáticas de un problema por métodos sencillos activando los conocimientos necesarios. 2.1 Comprobar, de forma guiada, la corrección matemática de las soluciones de un problema realizando los procesos necesarios. 2.2 Comprobar, de manera guiada, la validez de las soluciones de un problema y su coherencia en el contexto planteado, conociendo el alcance y repercusión de estas desde diferentes perspectivas (de género, de sostenibilidad, de consumo responsable, etc.). 3.1 Comprobar conjeturas sencillas de forma guiada analizando patrones y propiedades. 3.2 Plantear variantes de un problema dado de forma guiada modificando algún dato. 3.3 Emplear herramientas tecnológicas adecuadas en la comprobación de problemas analizando el resultado obtenido. 4.1 Organizar datos y descomponer un problema en partes más simples identificando los datos y los resultados de cada una de las partes. 4.2 Modelizar situaciones y resolver problemas interpretando algoritmos. 5.1 Reconocer las relaciones entre los conocimientos y experiencias matemáticas apreciando un todo coherente. 5.2 Identificar conexiones entre diferentes procesos matemáticos aplicando conocimientos y experiencias previas. 6.1 Identificar situaciones susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación científica y matemática: medir, comunicar y clasificar. 6.2 Identificar conexiones coherentes entre las matemáticas y otras materias resolviendo problemas contextualizados de manera guiada. 6.3 Conocer la aportación de las matemáticas al progreso de la humanidad y su contribución a la superación de los retos que demanda la sociedad actual. 7.1 Representar conceptos, procedimientos, información y resultados matemáticos de modos distintos y con diferentes herramientas, visualizando ideas y estructurando procesos matemáticos. 7.2 Utilizar representaciones matemáticas que ayuden en la búsqueda de estrategias de resolución de una situación problematizada, usando material manipulativo si es necesario. 8.1 Comunicar información utilizando el lenguaje matemático apropiado, utilizando diferentes medios, oralmente y por escrito, al describir y explicar razonamientos. 8.2 Reconocer el lenguaje matemático presente en la vida cotidiana comunicando mensajes con contenido matemático con precisión. 9.1 Reconocer las emociones propias, valorar el autoconcepto matemático como herramienta generando expectativas positivas ante nuevos retos matemáticos. 9.2 Mostrar una actitud positiva y perseverante, aceptando la crítica razonada al hacer frente a las diferentes situaciones de aprendizaje planteadas. 66 10.1 Colaborar activamente y construir relaciones con las matemáticas en equipos heterogéneos, respetando diferentes opiniones, comunicándose de manera efectiva y pensando de forma creativa. 10.2 Participar en las tareas que deban desarrollarse en equipo, aportando valor, favoreciendo la inclusión, la escucha activa y asumiendo el rol asignado. Se dejarán los criterios de calificación de los distintos criterios de evaluación a elección del docente. [A.7] VALORACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Una vez realizada la situación de aprendizaje en el aula se realizará una evaluación de la propia situación de aprendizaje, en la que se valorará si se ha hecho una correcta definición de los elementos curriculares, se evaluará el desarrollo, el impacto y la satisfacción de los participantes. Una vez recogida la información se procederá a la interpretación de los datos y elaboración de un informe con la finalidad de prevenir posibles dificultades y mejorar el proceso educativo. [PUESTA EN PRÁCTICA EN LAS PRACTICAS EXTERNAS] Durante el periodo de prácticas, en el IES Zorrilla de Valladolid, se pudo poner en práctica parte de la presente situación de aprendizaje, concretamente las actividades de la sesión 3. El objetivo de la actividad consistía en hallar la altura del edificio de una residencia de estudiantes que proyectaba su sombra sobre el patio del Instituto Zorrilla. Figura 47. Medición de sombras. Elaboración propia. Para tal fin, se comenzó con el cálculo de la altura de un árbol y una canasta presentes en el patio del centro. Para la ejecución de la actividad se proveyó a los alumnos de un palo de fregona, cinta métrica y unas tizas con las que poder hacer anotaciones y cálculos en el suelo como se muestra en la Figura 45. 67 Figura 48. Cálculo de la altura de una canasta. Elaboración propia A continuación, se enuncian algunos puntos a destacar durante la puesta en práctica de la actividad: • El desarrollo de las actividades en un lugar distinto a un aula de instituto, así como el empleo de herramientas para la realización de las actividades (cinta métrica, palo, tizas) incrementó el interés y la motivación de los alumnos por la realización de la actividad. • Fue necesario la repetición de algún ejercicio por parte de los alumnos puesto que los resultados salían desajustados debido a que las sombras habían cambiado durante el trascurso de la actividad. Hubo que recordar a los alumnos que repitiesen la medición de la sombra del palo que empleaban como referencia. Por tanto, los alumnos no sólo tienen que saber hacer las tareas, sino que las tienen que saber hacer con cierta agilidad porque les puede tocar repetir operaciones. • No se pudo poner en práctica la sesión 4 puesto que era necesario contar con justificantes y permisos firmados por los padres de los alumnos. Si se llegase a poner en práctica serían necesarios dichos justificantes antes de la realización de la actividad. • El mes idóneo para la realización de la actividad sería el mes de junio puesto que se contaría con mayor número de horas y días de sol. Además, serviría como actividad para el repaso de contenidos vistos previamente durante el curso al mismo tiempo que se trabaja el número áureo. • En la sesión 3 se permitió el uso de tizas para realizar anotaciones en el suelo del patio, pero se procuraría en la sesión 4 el empleo de la tiza exclusivamente para realizar algunas marcas guía y así evitar dejar marcado el espacio público. • El empleo de distintas estrategias para medir las sombras facilitó el descubrimiento de datos erróneos gracias a la comparación de resultados. Por ejemplo, durante el cálculo de la altura de la residencia de estudiantes, el resultado obtenido con la medición con pies distó de las otras dos, tras una reflexión por parte de los alumnos llegaron a la conclusión de que deberían aumentar un poco la longitud de pie que tomaban de referencia puesto que al pegar talón con punta podían quedarse algunos centímetros sin medir. • Es necesario insistir en que los alumnos tomen las medidas en la misma dirección en la que se proyecta la sombra, y no en perpendicular al edificio, para evitar errores de cálculo. 68 [5.B] La vida áurea [B.1] TÍTULO Y CONTEXTUALIZACIÓN Se plantea a los alumnos una situación de aprendizaje para trabajar en 1º de la ESO los conceptos de proporción áurea y número de oro. Al mismo tiempo se trabajarán los sentidos de medida y numérico, entre otros que emergen naturalmente en la realización de las tareas propuestas. La actividad se presenta a los alumnos como una secuencia de ejercicios y tareas que deben resolver de manera autónoma, en parejas o en equipo, que sirven para familiarizar al alumno con los conceptos que se están trabajando. Estas actividades están orientadas a realizar en equipo un estudio lo más detallado posible de la presencia del número áureo en el cuerpo humano mediante el descubrimiento de éste en sus propios cuerpos, en su vida cotidiana y en obras de arte. Se pretende de esta manera que el número áureo sirva de hilo conductor en una serie de actividades en las que los alumnos repasaran diversos contenidos vistos a lo largo del curso. Previamente al comienzo de las actividades los alumnos deben estar familiarizados con los contenidos que se pondrán en práctica en la situación de aprendizaje: categorías de números, números irracionales, proporcionalidad directa, media y mediana. [B.2] FUNDAMENTACIÓN CURRICULAR [OBJETIVOS DE ETAPA A LOS QUE SE PRETENDE CONTRIBUIR] • Transmitir al alumnado la necesidad de escuchar y respetar las opiniones de otros y a defender las suyas propias, lo que supone desarrollar actitudes de tolerancia, cooperación y solidaridad. • La resolución de tareas matemáticas, individuales o grupales, requieren esfuerzo y constancia en la búsqueda de la solución, por lo que contribuyen al desarrollo y refuerzo de hábitos de estudio. • Aportar al alumnado, a través de la necesidad de relacionar conocimientos y usar instrumentos de análisis de datos, sentido crítico para seleccionar y utilizar datos adecuados a cada situación, reconociendo aquellas interpretaciones incorrectas o manipuladas de los datos con los que trabaja y argumentando la interpretación correcta de los mismos. • Contribuir, a través de la resolución de problemas, a fomentar de la creatividad, el sentido crítico y la toma de decisiones, pilares fundamentales en el desarrollo como ciudadano. La reflexión sobre este proceso dota al alumnado de instrumentos para la adquisición de confianza y seguridad en sí mismo, con el objetivo de enfrentar retos cada vez más complejos. 69 [COMPETENCIAS ESPECÍFICAS, CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y DESCRIPTORES OPERATIVOS] Se trabajan los siguientes elementos curriculares de 1º ESO (Consejería de Educación, 2022): Competencias específicas Criterios de evaluación y descriptores operativos 1. Interpretar, modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y propios de las Matemáticas aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento, para explorar distintas maneras de proceder y obtener posibles soluciones. 1.1 Interpretar problemas matemáticos y de la vida cotidiana extrayendo los datos dados, estableciendo las relaciones entre ellos y comprendiendo las preguntas formuladas. (CCL1, CCL2, STEM1, STEM2, STEM3, STEM4) 1.2 Aplicar algunas herramientas sencillas y estrategias apropiadas que contribuyan a la resolución de problemas. (STEM1, STEM2, STEM3, STEM4, CPSAA5, CE3). 1.3 Obtener soluciones matemáticas de un problema por métodos sencillos activando los conocimientos necesarios. (STEM1, STEM2, STEM3, CE3, CCEC4) 2. Analizar las soluciones de un problema usando diferentes técnicas y herramientas, evaluando las respuestas obtenidas, para verificar su validez e idoneidad desde un punto de vista matemático y su repercusión global. 2.1 Comprobar, de forma guiada, la corrección matemática de las soluciones de un problema realizando los procesos necesarios. (STEM1, STEM2) 2.2 Comprobar, de manera guiada, la validez de las soluciones de un problema y su coherencia en el contexto planteado, conociendo el alcance y repercusión de estas desde diferentes perspectivas (de género, de sostenibilidad, de consumo responsable, etc.). (CCL2, STEM1, STEM4) 3. Formular y comprobar conjeturas sencillas o plantear problemas de forma autónoma, reconociendo el valor del razonamiento y la argumentación para generar nuevo conocimiento. 3.1 Comprobar conjeturas sencillas de forma guiada analizando patrones y propiedades. (CCL1, STEM1, STEM2) 3.2 Plantear variantes de un problema dado de forma guiada modificando algún dato. (CCL1, STEM2) 3.3 Emplear herramientas tecnológicas adecuadas en la comprobación de problemas analizando el resultado obtenido. (STEM1, CD2). 4. Utilizar los principios del pensamiento computacional organizando datos, descomponiendo en partes, reconociendo patrones, i nterpretando, modificando y creando algoritmos para modelizar situaciones y resolver problemas de forma eficaz. 4.1 Organizar datos y descomponer un problema en partes más simples identificando los datos y los resultados de cada una de las partes (STEM1, STEM2). 4.2 Modelizar situaciones y resolver problemas interpretando algoritmos. (STEM1, STEM3) 5. Reconocer y utilizar conexiones entre los diferentes elementos matemáticos interconectando conceptos y procedimientos para desarrollar una visión de las matemáticas como un todo integrado. 5.1 Reconocer las relaciones entre los conocimientos y experiencias matemáticas apreciando un todo coherente. (STEM1) 5.2 Identificar conexiones entre diferentes procesos matemáticos aplicando conocimientos y experiencias previas. (STEM1) 70 6. Identificar las matemáticas implicadas en otras materias y en situaciones reales susceptibles de ser abordadas en términos matemáticos, interrelacionando conceptos y procedimientos para aplicarlos en situaciones diversas. 6.1 Identificar situaciones susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación científica y matemática: medir, comunicar y clasificar. (CCL1, STEM1, STEM2, CE3) 6.2 Identificar conexiones coherentes entre las matemáticas y otras materias resolviendo problemas contextualizados de manera guiada. (STEM2) 6.3 Conocer la aportación de las matemáticas al progreso de la humanidad y su contribución a la superación de los retos que demanda la sociedad actual. (STEM2, STEM5, CCEC1) 7. Representar, de forma individual y colectiva, conceptos, procedimientos, información y resultados matemáticos usando diferentes tecnologías, para visualizar ideas y estructurar procesos matemáticos. 7.1 Representar conceptos, procedimientos, información y resultados matemáticos de modos distintos y con diferentes herramientas, visualizando ideas y estructurando procesos matemáticos. (STEM3) 7.2 Utilizar representaciones matemáticas que ayuden en la búsqueda de estrategias de resolución de una situación problematizada, usando material manipulativo si es necesario. (STEM3) 8. Comunicar de forma individual y colectiva conceptos, procedimientos y argumentos matemáticos, usando lenguaje oral, escrito o gráfico, utilizando la terminología matemática apropiada, para dar significado y coherencia a las ideas matemáticas. 8.1 Comunicar información utilizando el lenguaje matemático apropiado, utilizando diferentes medios, oralmente y por escrito, al describir y explicar razonamientos. (CCL1, CP1, STEM2, STEM4 8.2 Reconocer el lenguaje matemático presente en la vida cotidiana comunicando mensajes con contenido matemático con precisión. (CCL1, CCL3, CP1, STEM2, STEM4) 9. Desarrollar destrezas personales, identificando y gestionando emociones, poniendo en prácti ca estrategias de aceptación del error como parte del proceso de aprendizaje y adaptándose ante situaciones de incertidumbre, para mejorar la perseverancia en la consecución de objetivos y el disfrute en el aprendizaje de las matemáticas. 9.1 Reconocer las emociones propias, valorar el autoconcepto matemático como herramienta generando expectativas positivas ante nuevos retos matemáticos. (STEM5, CPSAA1) 9.2 Mostrar una actitud positiva y perseverante, aceptando la crítica razonada al hacer frente a las diferentes situaciones de aprendizaje planteadas. (CPSAA1, CPSAA5) 10. Desarrollar destrezas sociales reconociendo y respetando las emociones y experiencias de los demás, participando activa y reflexivamente en proyectos en equipos heterogéneos con roles asignados, para construir una identidad positiva como estudiante de matemáticas, fomentar el bienestar personal y crear relaciones saludables. 10.1 Colaborar activamente y construir relaciones con las matemáticas en equipos heterogéneos, respetando diferentes opiniones, comunicándose de manera efectiva y pensando de forma creativa. (CCL5, CP3, STEM3, CPSAA3, CC2, CC3) 10.2 Participar en las tareas que deban desarrollarse en equipo, aportando valor, favoreciendo la inclusión, la escucha activa y asumiendo el rol asignado. (CPSAA1) 71 [CONTENIDOS] Se trabajan los siguientes contenidos de 1º ESO (Consejería de Educación, 2022): A. Sentido numérico 2. Cantidad: - Números naturales, enteros, fracciones, decimales y potencias de exponente natural en la expresión de cantidades en contextos de la vida cotidiana. 3. Sentido de las operaciones: - Efectos de las operaciones aritméticas con naturales, enteros, fracciones, expresiones decimales, potencias de exponente natural y raíces sencillas. 5. Razonamiento proporcional - Razones y proporciones: comprensión y representación de relaciones cuantitativas. B. Sentido de la medida 1. Magnitud - Atributos mensurables de los objetos físicos y matemáticos en el plano: investigación y relación entre los mismos. - Estrategias de elección de las unidades y operaciones adecuadas en problemas que impliquen medida en el plano. 3. Estimación y relaciones - Formulación de conjeturas sobre medidas en el plano o relaciones entre las mismas basadas en estimaciones. - Estrategias para la toma de decisión justificada del grado de precisión requerida en situaciones de medida en el plano. C. Sentido espacial 1. Figuras geométricas de dos dimensiones - Construcción de figuras geométricas planas con herramientas manipulativas y digitales (programas de geometría dinámica, realidad aumentada…). D. Sentido algebraico 6. Pensamiento computacional - Estrategias útiles en la interpretación y/o modificación de algoritmos sencillos. 72 E. Sentido socioafectivo 1. Creencias, actitudes y emociones - Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas. - Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje. 2. Trabajo en equipo y toma de decisiones - Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático. - Conductas empáticas y estrategias de gestión de conflictos. 3. Inclusión, respeto y diversidad - Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad. - La contribución de las matemáticas al desarrollo de los distintos ámbitos del conocimiento humano desde diferentes perspectivas [B.3] METODOLOGÍA [MÉTODOS] Durante la realización de las actividades en equipo y parejas conviene que el/la docente se acerque a los distintos equipos con el objetivo de asegurar que el alumnado vaya comprendiendo correctamente los ejercicios planteados. Se trata de una situación que fomenta el trabajo colaborativo y cooperativo, así como la reflexión y el debate entre los integrantes del equipo mediante un lenguaje formal referenciando a los contenidos matemáticos que entran en juego. El docente desempeñará el papel de facilitador del aprendizaje favoreciendo la autonomía del alumnado. Se fomenta la elaboración de un portfolio por parte del alumnado a modo de evidencia del proceso de aprendizaje y recurso de evaluación del aprendizaje desarrollado. El portfolio se considerará como una colección de materiales seleccionados con la intención de reflejar el rendimiento o el aprendizaje a lo largo del proceso de formación en el que se incorporará una dimensión reflexiva. Se empleará una metodología activa en la que se promueva el trabajo autónomo y el trabajo en equipo. Se usarán técnicas como la argumentación, la interacción, el diálogo, la exposición, el debate, la experimentación, la interacción o el descubrimiento. [ORGANIZACIÓN ALUMNADO Y AGRUPAMIENTOS] Durante la realización de las actividades se dividirá el aula en grupos de 4 o 5 personas. Esta organización del aula en grupos de trabajo heterogéneos promoverá el aprendizaje colaborativo y cooperativo mediante la resolución conjunta de tareas. Mediante el aprendizaje colaborativo los miembros del grupo conocerán las 73 estrategias utilizadas por sus iguales con el objetivo de poder imitarlas en situaciones similares. Por lo general será el docente quien forme los grupos, aunque en alguna sesión se permitirá que sean los propios alumnos quien se organicen en parejas o grupos. [CRONOGRAMA Y ORGANIZACIÓN DEL TIEMPO Y ESPACIOS] SESIÓN 1 Introducción a los conceptos de proporción y número áureos. SESIÓN 2 Papiroflexia: Rectángulo áureo, su crecimiento gnomónico y la espiral de Durero. Tarea: Búsqueda de la proporción áurea en casa. SESIÓN 3 El número de oro en la vida cotidiana y el arte. SESIÓN 4 El número de oro en el cuerpo humano. SESIÓN 5 Puesta en común de los datos recopilados. Redacción de informes y conclusiones. [ORGANIZACIÓN DEL ESPACIO] Sesión 1: Se llevará a cabo en el aula del grupo. Los alumnos distribuirán el mobiliario del aula para posibilitar el trabajo en parejas. Sesión 2: Se desarrollará en la misma aula. Los alumnos dispondrán los pupitres para facilitar el trabajo en grupos a su libre elección. Sesión 3: Se distribuirán en equipos heterogéneos de 4 o 5 personas dentro del aula, organizando el mobiliario en disposición de círculo para fomentar el debate. Sesión 4: Se liberará el espacio necesario para que los mismos grupos de la sesión anterior puedan realizar la actividad cómodamente, sin obstaculizar a los otros grupos. Sesión 5: Se organizará el aula en equipos para la recopilación final de toda la documentación elaborada e irán exponiendo en orden. [MATERIALES Y RECURSOS] • Pizarra convencional, utilizada para la exposición de contenidos y corrección de actividades. • Para las actividades planteadas será necesario que el aula cuente con una pizarra digital con acceso a internet o, en su defecto, un proyector conectado al ordenador del aula. • Calculadora, útil para la comparación de longitudes. • Empleo de regla y cinta métrica para las actividades en las que deban tomar medidas. • Fotocopias de las actividades para el desarrollo de la situación de aprendizaje. Folios disponibles para la sesión de papiroflexia. • Cuaderno de clase de cada alumno. 80 personas tomaban medidas y la cuarta persona dejaba registro de las mediciones. De esta manera, se pudo realizar la toma de datos rápidamente y comenzar con la ayuda de calculadoras a establecer relaciones áureas en el cuerpo. Para el registro de las mediciones resultó de ayuda entregarles impresiones del hombre de Vitruvio en las que podían dibujar encima y anotar las mediciones de cada uno de los compañeros. • El empleo de materiales manipulativos (papiroflexia, cintas de medir, fichas…) sirvió para aumentar el interés y la motivación de los alumnos por la realización de las distintas actividades. • Se realizó una sesión de puesta en común al finalizar la sesión de estudio de la proporción áurea en el cuerpo humano. Para dicha sesión se les proyectó el video “La importancia del culo de Kim Kardashian” del canal de Youtube de la divulgadora Ter, en el que se habla sobre la proporción áurea, el Modulor de Le Corbusier y la ruptura con los cánones de belleza clásicos de las nuevas celebridades. Este video de tono informal y que captó la atención de los alumnos sirvió para plantear un debate sobre la proporción áurea y los cánones de belleza tanto clásicos como contemporáneos. Se originó un debate muy activo sobre la subjetividad de la belleza y la efimeridad de los cánones de belleza. Esta actividad se podría incluir para su puesta en práctica en cursos como 3º o 4º de la ESO, en los que los alumnos ya cuentan con una mayor madurez. 81 [5.C] Números Metálicos y la Sucesión de Fibonacci [C.1] TÍTULO Y CONTEXTUALIZACIÓN Se plantea a los alumnos de 3º de la ESO una situación de aprendizaje para trabajar los conceptos de número áureo, números metálicos y la sucesión de Fibonacci. Simultáneamente se trabajarán los sentidos de numérico y algebraico, entre otros derivados de la realización de las actividades propuestas. La situación de aprendizaje se divide en una serie de actividades y tareas de progresivo grado de complejidad que se realizarán en grupo con el empleo de TICs y de distintas fichas de actividad que los alumnos deberán completar. Se pretende que el número de oro y la sucesión de Fibonacci sean el hilo conductor para trabajar contenidos propios del curso como las sucesiones, las ecuaciones de 2º grado con radicales y el trabajo en equipo. [C.2] FUNDAMENTACIÓN CURRICULAR [OBJETIVOS DE ETAPA A LOS QUE SE PRETENDE CONTRIBUIR] • Transmitir al alumnado la necesidad de escuchar y respetar las opiniones de otros y a defender las suyas propias, lo que supone desarrollar actitudes de tolerancia, cooperación y solidaridad. • La resolución de tareas matemáticas, individuales o grupales, requieren esfuerzo y constancia en la búsqueda de la solución, por lo que contribuyen al desarrollo y refuerzo de hábitos de estudio. • Aportar al alumnado, a través de la necesidad de relacionar conocimientos y usar instrumentos de análisis de datos, sentido crítico para seleccionar y utilizar datos adecuados a cada situación, reconociendo aquellas interpretaciones incorrectas o manipuladas de los datos con los que trabaja y argumentando la interpretación correcta de los mismos. • Contribuir, a través de la resolución de problemas, a fomentar de la creatividad, el sentido crítico y la toma de decisiones, pilares fundamentales en el desarrollo como ciudadano. La reflexión sobre este proceso dota al alumnado de instrumentos para la adquisición de confianza y seguridad en sí mismo, con el objetivo de enfrentar retos cada vez más complejos. [COMPETENCIAS ESPECÍFICAS, CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y DESCRIPTORES OPERATIVOS] Se trabajan los siguientes elementos curriculares de 3º ESO (Consejería de Educación, 2022): 82 Competencias específicas Criterios de evaluación y descriptores operativos 1. Interpretar, modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y propios de las Matemáticas aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento, para explorar distintas maneras de proceder y obtener posibles soluciones. 1.1 Interpretar problemas matemáticos y de la vida cotidiana extrayendo los datos dados, estableciendo las relaciones entre ellos y comprendiendo las preguntas formuladas. (CCL1, CCL2, STEM1, STEM2, STEM3, STEM4) 1.2 Aplicar algunas herramientas sencillas y estrategias apropiadas que contribuyan a la resolución de problemas. (STEM1, STEM2, STEM3, STEM4, CPSAA5, CE3). 1.3 Obtener soluciones matemáticas de un problema por métodos sencillos activando los conocimientos necesarios. (STEM1, STEM2, STEM3, CE3, CCEC4) 2. Analizar las soluciones de un problema usando diferentes técnicas y herramientas, evaluando las respuestas obtenidas, para verificar su validez e idoneidad desde un punto de vista matemático y su repercusión global. 2.1 Comprobar, de forma guiada, la corrección matemática de las soluciones de un problema realizando los procesos necesarios. (STEM1, STEM2) 2.2 Comprobar, de manera guiada, la validez de las soluciones de un problema y su coherencia en el contexto planteado, conociendo el alcance y repercusión de estas desde diferentes perspectivas (de género, de sostenibilidad, de consumo responsable, etc.). (CCL2, STEM1, STEM4) 3. Formular y comprobar conjeturas sencillas o plantear problemas de forma autónoma, reconociendo el valor del razonamiento y la argumentación para generar nuevo conocimiento. 3.1 Comprobar conjeturas sencillas de forma guiada analizando patrones y propiedades. (CCL1, STEM1, STEM2) 3.2 Plantear variantes de un problema dado de forma guiada modificando algún dato. (CCL1, STEM2) 3.3 Emplear herramientas tecnológicas adecuadas en la comprobación de problemas analizando el resultado obtenido. (STEM1, CD2). 4. Utilizar los principios del pensamiento computacional organizando datos, descomponiendo en partes, reconociendo patrones, i nterpretando, modificando y creando algoritmos para modelizar situaciones y resolver problemas de forma eficaz. 4.1 Organizar datos y descomponer un problema en partes más simples identificando los datos y los resultados de cada una de las partes (STEM1, STEM2). 4.2 Modelizar situaciones y resolver problemas interpretando algoritmos. (STEM1, STEM3) 5. Reconocer y utilizar conexiones entre los diferentes elementos matemáticos interconectando conceptos y procedimientos para desarrollar una visión de las matemáticas como un todo integrado. 5.1 Reconocer las relaciones entre los conocimientos y experiencias matemáticas apreciando un todo coherente. (STEM1) 5.2 Identificar conexiones entre diferentes procesos matemáticos aplicando conocimientos y experiencias previas. (STEM1) 6. Identificar las matemáticas implicadas en otras materias y en situaciones reales 6.1 Identificar situaciones susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las 83 susceptibles de ser abordadas en términos matemáticos, interrelacionando conceptos y procedimientos para aplicarlos en situaciones diversas. matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación científica y matemática: medir, comunicar y clasificar. (CCL1, STEM1, STEM2, CE3) 6.2 Identificar conexiones coherentes entre las matemáticas y otras materias resolviendo problemas contextualizados de manera guiada. (STEM2) 6.3 Conocer la aportación de las matemáticas al progreso de la humanidad y su contribución a la superación de los retos que demanda la sociedad actual. (STEM2, STEM5, CCEC1) 7. Representar, de forma individual y colectiva, conceptos, procedimientos, información y resultados matemáticos usando diferentes tecnologías, para visualizar ideas y estructurar procesos matemáticos. 7.1 Representar conceptos, procedimientos, información y resultados matemáticos de modos distintos y con diferentes herramientas, visualizando ideas y estructurando procesos matemáticos. (STEM3) 7.2 Utilizar representaciones matemáticas que ayuden en la búsqueda de estrategias de resolución de una situación problematizada, usando material manipulativo si es necesario. (STEM3) 8. Comunicar de forma individual y colectiva conceptos, procedimientos y argumentos matemáticos, usando lenguaje oral, escrito o gráfico, utilizando la terminología matemática apropiada, para dar significado y coherencia a las ideas matemáticas. 8.1 Comunicar información utilizando el lenguaje matemático apropiado, utilizando diferentes medios, oralmente y por escrito, al describir y explicar razonamientos. (CCL1, CP1, STEM2, STEM4 8.2 Reconocer el lenguaje matemático presente en la vida cotidiana comunicando mensajes con contenido matemático con precisión. (CCL1, CCL3, CP1, STEM2, STEM4) 9. Desarrollar destrezas personales, identificando y gestionando emociones, poniendo en prácti ca estrategias de aceptación del error como parte del proceso de aprendizaje y adaptándose ante situaciones de incertidumbre, para mejorar la perseverancia en la consecución de objetivos y el disfrute en el aprendizaje de las matemáticas. 9.1 Reconocer las emociones propias, valorar el autoconcepto matemático como herramienta generando expectativas positivas ante nuevos retos matemáticos. (STEM5, CPSAA1) 9.2 Mostrar una actitud positiva y perseverante, aceptando la crítica razonada al hacer frente a las diferentes situaciones de aprendizaje planteadas. (CPSAA1, CPSAA5) 10. Desarrollar destrezas sociales reconociendo y respetando las emociones y experiencias de los demás, participando activa y reflexivamente en proyectos en equipos heterogéneos con roles asignados, para construir una identidad positiva como estudiante de matemáticas, fomentar el bienestar personal y crear relaciones saludables. 10.1 Colaborar activamente y construir relaciones con las matemáticas en equipos heterogéneos, respetando diferentes opiniones, comunicándose de manera efectiva y pensando de forma creativa. (CCL5, CP3, STEM3, CPSAA3, CC2, CC3) 10.2 Participar en las tareas que deban desarrollarse en equipo, aportando valor, favoreciendo la inclusión, la escucha activa y asumiendo el rol asignado. (CPSAA1) 84 [CONTENIDOS] Se trabajan los siguientes contenidos de 3º ESO (Consejería de Educación, 2022): A. Sentido numérico 4. Relaciones - Patrones y regularidades numéricas. Reconocimiento, aplicación y uso de las sucesiones numéricas. B. Sentido espacial 3. Visualización, razonamiento y modelización geométrica - Relaciones geométricas en contextos matemáticos y no matemáticos (arte, ciencia, vida diaria…). C. Sentido algebraico 2. Modelo matemático - Modelización de situaciones de la vida cotidiana usando, representaciones matemáticas y el lenguaje algebraico. - Traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. 3. Variable - Variable: comprensión del concepto como incógnita en ecuaciones cuadráticas, como indeterminadas en expresión de patrones o identidades notables y como cantidades variables en fórmulas y funciones cuadráticas. 4. Igualdad y desigualdad - Ecuaciones cuadráticas: resolución mediante cálculo mental, métodos manuales o el uso de la tecnología según el grado de dificultad. 6. Pensamiento computacional - Estrategias de formulación de cuestiones susceptibles de ser analizadas mediante programas y otras herramientas. E.Sentido socioafectivo 1. Creencias, actitudes y emociones - Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas. - Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje. 2. Trabajo en equipo y toma de decisiones - Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático. 3. Inclusión, respeto y diversidad - Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad. 85 [C.3] METODOLOGÍA [MÉTODOS] Durante la realización de las actividades en equipo y parejas conviene que el/la docente se acerque a los distintos equipos con el objetivo de asegurar que el alumnado vaya comprendiendo correctamente los ejercicios planteados. Se trata de una situación que fomenta el trabajo colaborativo y cooperativo, así como la reflexión y el debate entre los integrantes del equipo mediante un lenguaje formal referenciando a los contenidos matemáticos que entran en juego. El docente desempeñará el papel de facilitador del aprendizaje favoreciendo la autonomía del alumnado. Se fomenta la elaboración de un portfolio por parte del alumnado a modo de evidencia del proceso de aprendizaje y recurso de evaluación del aprendizaje desarrollado. El portfolio se considerará como una colección de materiales seleccionados con la intención de reflejar el rendimiento o el aprendizaje a lo largo del proceso de formación en el que se incorporará una dimensión reflexiva. Se empleará una metodología activa en la que se promueva el trabajo autónomo y el trabajo en equipo. Se usarán técnicas como la argumentación, el debate, la experimentación, la interacción o el descubrimiento. Se hará uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC): la utilización de las pizarras digitales del aula y el empleo de la calculadora de Geogebra. [ORGANIZACIÓN ALUMNADO Y AGRUPAMIENTOS] Durante la realización de las actividades se dividirá el aula en grupos de diferentes números de integrantes dependiendo de las actividades. En las dos primeras sesiones se opta por agrupamientos de 3 personas mientras que en la última sesión se forman grupos de 5 o 6 integrantes. Esta organización del aula en grupos de trabajo heterogéneos promoverá el aprendizaje colaborativo y cooperativo mediante la resolución conjunta de tareas. Mediante el aprendizaje colaborativo los miembros del grupo conocerán las estrategias utilizadas por sus iguales con el objetivo de poder imitarlas en situaciones similares. [CRONOGRAMA Y ORGANIZACIÓN DEL TIEMPO Y ESPACIOS] SESIÓN 1 Introducción a los conceptos número de oro, números metálicos y sucesión de Fibonacci. Actividad de Geogebra. SESIÓN 2 El problema de los conejos. Relación de la sucesión de Fibonacci con el número áureo. SESIÓN 3 Competición: Los números metálicos. 86 [ORGANIZACIÓN DEL ESPACIO] Sesión 1 y 2: El aula se organizará de manera que los alumnos puedan trabajar cómodamente en grupos de 3 y tengan buena visibilidad de la pizarra digital. Sesión 3: Se distribuirán en grupos heterogéneos de 5 o 6 personas dentro del aula, organizando el mobiliario en formación de círculo y con la suficiente distante entre los grupos para que puedan trabajar cómodamente. [MATERIALES Y RECURSOS] • Pizarra convencional, utilizada para la exposición de contenidos y corrección de actividades. • Para las actividades planteadas será necesario que el aula cuente con una pizarra digital con acceso a internet o, en su defecto, un proyector conectado al ordenador del aula. • Calculadora. • Geogebra. • Teléfonos móviles personales de los alumnos. • Fotocopias de las actividades para el desarrollo de la situación de aprendizaje. • Cuaderno de clase de cada alumno. [C.4] PLANIFICACIÓN DE ACTIVIDADES Y TAREAS • [4.1] Introducción número de oro y sucesión de Fibonacci. Números metálicos. En la primera sesión se trabajarán los conceptos de número áureo, la sucesión de Fibonacci y la relación entre ambas. Se seguirá la siguiente secuenciación: Presentación de los conceptos: Se comenzará con una sesión de introducción al número y proporción áureos y la sucesión de Fibonacci. Para ello el profesor destinará los primeros minutos de la sesión a realizar una breve introducción sobre dichos conceptos, su importancia a lo largo de la historia en diversas disciplinas y su vinculación con el ideal de belleza y la divinidad. Esta introducción tendrá como principal objetivo el de despertar el interés y la motivación de los estudiantes. Visualización de video: Se visualizará en el soporte digital disponible en el aula un video del divulgador científico Eduardo Sáenz Cabezón titulado La sucesión de Fibonacci y la razón áurea (Sáenz Cabezón, 2023). El video tiene una duración de 6 minutos y hace una breve, pero completa descripción de la sucesión de Fibonacci, el número áureo y la relación entre ambos. Definición y cálculo del número áureo: Seguidamente se hará entrega los alumnos de la ficha C.I del Anejo C en la en la que los alumnos deberán repetir el proceso que han visto realizar a Sáenz Cabezón para, partiendo de la definición de número de oro, obtener la ecuación áurea y así conseguir el valor del número de oro. 87 Números metálicos en Geogebra: Para la siguiente actividad se dividirá al alumnado en grupos heterogéneos de 3 personas y se permitirá el uso de sus teléfonos móviles personales para acceder a la aplicación de Geogebra. Para ello, se les proporcionará a los alumnos el siguiente QR para acceder a la actividad titulada Números metálicos (Álvarez García, 2023): Figura 51. Código QR. Actividad números metálicos. Elaboración propia. La actividad se centra en los números metálicos. Comienza con una explicación de qué son y cómo se obtienen y su representación gráfica. Se dejará tiempo a los alumnos para que se muevan los tabuladores según los valores de p y q para obtener los valores de los diferentes números metálicos. Deberán rellenar una tabla con los diferentes números metálicos y responder a las preguntas que se les pide en parejas (ficha C.II del Anejo C). • [4.2] El problema de los conejos. El problema de los conejos: En esta sesión se trabajará la sucesión de Fibonacci y su relación con el número de oro en los mismos grupos fijados en la actividad anterior. Para ello, se les planteará el famoso problema de los conejos de Leonardo de Pisa (ficha C.III del Anejo C), comentado en el apartado 4.4.3 y los alumnos deberán ir rellenando los datos hasta obtener el número de parejas de conejos que se obtiene al final del año. Para guiarles el profesor les irá haciendo las preguntas de la ficha C.IV, con el objetivo de que establezcan la relación de cada término de la sucesión de Fibonacci con sus dos anteriores. Una vez los alumnos hayan descubierto cómo se genera cada término de la sucesión se entregará la ficha C.IV para que respondan a las preguntas y verbalicen lo que han aprendido. 88 Figura 52. Problema de los conejos. Elaboración propia. La sucesión de Fibonacci y el número de oro: A continuación, se les repartirá la ficha C.V del Anejo C para realizar un ejercicio en el que los alumnos descubrirán la relación entre los términos de la sucesión de Fibonacci y el número de oro. Para este fin, se les pedirá que rellenen la tabla que aparece en la ficha según las indicaciones que se les muestran. Tendrán que hacer el cociente de cada término de la sucesión de Fibonacci y el anterior y comprobar que cuanto mayores son las cifras de la sucesión, más se acerca el resultado del cociente al número áureo. Sucesión de Fibonacci generalizada y el número de plata: Por último, se les propondrá un ejercicio (ficha C.VI del Anejo C) en el que se parte de una sucesión de Fibonacci generalizada de la cual deben descubrir el mecanismo para obtener nuevos términos de la sucesión, y rellenar una tabla parecida a la del ejercicio anterior en la que el cociente de los términos consecutivos se aproxima, en esta ocasión, al número de plata (Señas Pariente, 2023). • [4.3] ¡A competir! Las ecuaciones metálicas En esta última actividad se formarán equipos heterogéneos de 5 o 6 personas formados por el docente, pudiéndose fusionar dos grupos de las actividades anteriores en uno solo. El objetivo de cada equipo será conseguir el mayor número de punto al final de la sesión en la que deberán resolver un conjunto de ecuaciones de 2º grado con radicales, las ecuaciones metálicas. Para el desarrollo de la actividad, se hará entrega de la ficha C.VII del Anejo C a cada integrante de cada equipo. 89 Figura 53. Tabla incluida en la ficha C.VII. Elaboración propia Para poder puntuar cada equipo será necesario que todos los integrantes del grupo tengan resuelta cada una de las ecuaciones correctamente. Además, deberán de especificar a qué ecuación metálica corresponde cada una de las ecuaciones dadas y marcar qué número metálico se obtiene en su raíz positiva. Para tal fin, se les proporcionará a los alumnos nuevamente el QR con el que podrán acceder a la actividad Números metálicos de la primera sesión (ficha C.II). Para facilitar el sistema de puntuación el docente puede hacer uso de la aplicación de Android “Contador de puntos” introduciendo el nombre de cada grupo y dándoles libertad a los alumnos de elegir el nombre y el color característico del equipo. Además, los alumnos deberán escribir el nombre del grupo en un post-it o folio que quedará encima de la mesa de trabajo grupal a la vista del profesor. Se establecen las siguientes normas: • Por cada ecuación metálica correctamente resuelta y fila de la tabla correctamente rellena que tengan todos los integrantes del grupo realizado en su cuaderno el equipo obtiene entre 3 y 5 puntos. • Conforme van teniendo realizados los ejercicios se pide al integrante de un grupo que salga a la pizarra a resolverlo para toda la clase, para que el ejercicio resuelto quede a la vista de toda la clase. Si el alumno realiza el ejercicio correctamente el equipo gana 2 extras. • Si se percibe que algún alumno con dificultades se ha limitado a copiar el ejercicio de los compañeros de equipo de manera mecánica sin comprenderlo se pedirá a los compañeros del equipo que se lo expliquen. Para ello se les dejará unos minutos para las explicaciones entre compañeros. Pasado ese tiempo el docente se volverá a pasar por el grupo para que el alumno en cuestión le explicase el ejercicio. Si finalmente todos lo han entendido, el equipo recibe 1 o 2 puntos extras. Esta práctica resulta muy efectiva y favorece enormemente la colaboración entre los compañeros. • Se les avisará que el profesor solamente se acercará a corregir los ejercicios en los grupos que estén todos los integrantes en silencio con la mano levantada. • En caso de mal comportamiento se puede bajar la puntuación. Al finalizar la sesión se pedirá a los alumnos que redacten un informe a modo de portfolio en el que recopilen todo el material elaborado durante las sesiones de trabajo prestando especial atención a las reflexiones y 96 [FICHA A.II] CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS REALES Clasificar los siguientes números reales en sus respectivos conjuntos: 2 3 , 𝜋𝜋 , √5 , −7 , 𝜙𝜙 , 139 , 35 2 , √2 , −13,45 , 0,5 , −2.456 Figura 55. Clasificación de números. Elaboración propia. 97 [FICHA A.III] PROBLEMAS. TEOREMA DE PITÁGORAS Y TALES. Resolver los siguientes problemas geométricos: Figura 56. Ejercicios Teorema de Pitágoras. (Rodrigo, Hernández, & Encabo, Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 6: Longitudes y áreas, 2022). Obtenido de Apuntesmareaverde: https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/2ESO/2_06_Longitudes.pdf CC BY NC SA Figura 57. Ejercicios Teorema de Tales. (Rodrigo, Hernández, & Encabo, Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 6: Longitudes y áreas, 2022). Obtenido de Apuntesmareaverde: https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/2ESO/2_06_Longitudes.pdf CC BY NC SA 98 PROBLEMAS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA. Resolver los siguientes problemas de magnitudes directamente proporcionales: Figura 58. Actividades de proporcionalidad directa (Rodrigo , Hernández, & Encabo, Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 8: Magnitudes proporcionales. Porcentajes, 2022). Obtenido de apuntesmareaverde: https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/2ESO/2_08_Proporciones.pdf CC BY NC SA 99 [FICHA A.IV] A) Rellenar la siguiente tabla con los nombres de los integrantes del equipo, las dimensiones de sus suelas de zapato y la longitud de tres pasos dados por la persona. Nombre Longitud suela Longitud 3 pasos Alumno@ 01 Alumno@ 02 Alumno@ 03 Alumno@ 04 Alumno@ 05 B) Hallar la media del equipo de las longitudes de suela y de tres pasos e indicar el integrante del equipo cuyo dado más se acerque a la media. C) Indicar la persona o personas cuyo dato representa la mediana del equipo tanto en la longitud de la suela como la de tres pasos. ¿Cuánto medirán 31 pies de la persona cuyo valor es la mediana del equipo? ¿Cuánto medirán 23 pasos de la persona cuyo valor es la mediana del equipo? D) Mediante el conteo de pasos y pies hallar las dimensiones del aula en el que nos encontramos. Comparar dicho resultado con las dimensiones medidas con cinta métrica. ¿Cuál es la proporción ente el largo y el ancho del aula? ¿Qué dimensiones debería tener el aula para tener proporción áurea? 100 [FICHA A.V] Figura 59. Selección de monumentos de Valladolid. Editado del Instituto Geográfico Nacional: http://www.ign.es/iberpix/visor Dominio público [1] Catedral de Nuestra Señora de la Asunción. [2] Archivo Municipal de Valladolid. [3] Palacio de Santa Cruz. [4] Iglesia Conventual de San Pablo. [5] Iglesia de San Benito el Real. Museo Patio Herreriano. [6] Ayuntamiento de Valladolid. Casa Consistorial. [7] Iglesia parroquial de Santa María de la Antigua. [8] Fachada de la Universidad de Valladolid. 101 [ANEJO B] Materiales de apoyo Situación de Aprendizaje B [FICHA B.I] ¿CUÁL ES EL VALOR EL NÚMERO DE ORO? A) Ayudándote de tu calculadora, calcula, con 4 decimales, el valor del número de oro: Φ=1 + √5 2 Respuesta: B) ¿A qué conjunto de números pertenece? CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS REALES Clasificar los siguientes números reales en sus respectivos conjuntos: 2 3 , 𝜋𝜋 , √5 , −7 , 𝜙𝜙 , 139 , 35 2 , √2 , −13,45 , 0,5 , −2.456 Figura 60. Clasificación números reales. Elaboración propia. 102 [FICHA B.II] RECTÁNGULOS DE ORO A) Pliega el rectángulo áureo según el siguiente dibujo: Figura 61. Secuencia de rectángulos áureos con papiroflexia. Elaboración propia B) Una vez plegado indica en la siguiente tabla las dimensiones de los distintos rectángulos que has obtenido, ¿se sigue manteniendo la proporción áurea en la sucesión de rectángulos? Rectángulo Lado mayor (A) Lado menor (B) (A/B) 103 [FICHA B.III] EN BUSCA DEL NÚMERO DE ORO EN LA VIDA COTIDIANA A) Coje una tarjeta, DNI o bono transporte y mide sus dimensiones, longitud y anchura en milímetros. Figura 62. Reservo de Documento Nacional de Identidad. Obtenido de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Spanish_ID_card_(back_side).webp Dominio público. B) Calcula la razón entre su longitud y su anchura. Longitud (L) Anchura (A) L/A C) ¿Las dimensiones de la tarjeta se encuentran en proporción áurea?, ¿Por qué? D) Elige otros tres objetos presentes en tu casa e investiga las relaciones entre sus dimensiones: Objeto Longitud (L) Anchura (A) L/A E) ¿Las dimensiones de los objetos que has medido guardan proporción áurea? En caso negativo investigar qué proporción pueden tener. 104 [FICHA B.IV] EN BUSCA DEL NÚMERO DE ORO EN EL ARTE A continuación, se muestran cuatro obras de arte con varias medidas marcadas: Figura 63. Fachada del Partenón. Editado de Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fachada_oeste_ del_Parten%C3%B3n,_Acr%C3%B3polis,_Atenas,_Greci a,_2019_15.jpg Creative Commons 4.0 Figura 64. La Gioconda. Editado de Wikipedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joconde.gif Creative Commons 2.5 Figura 65. Fachada Notre Dame. Editado de Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Notre-dame-de- paris-facade.jpg Creative Commons 3.0 Figura 66. Doríforo de Policleto. Editado de Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Polykleitos,_ Doryphoros,_440_BC,_Plaster_cast,_Hostinn%C3%A 9,_188288.jpg Creative Commons 4.0 Toma medidas en milímetro de los distintos elementos marcado en las imágenes y regístralos en la siguiente tabla. Seguidamente divide la medida mayor entre la menor y nota los valores obtenidos. ¿A qué número se aproximan los valores obtenidos? 105 [FICHA B.V] Utiliza la siguiente tabla para encontrar las relaciones áureas: Longitud mayor (A) Longitud menor (B) A/B 112 [FICHA C.IV] [PREGUNTAS DEL PROFESOR] 1. ¿Existe alguna relación entre los resultados que se obtiene mes a mes? Respuesta: 2. ¿Podéis establecer alguna relación entre cada número y el inmediatamente anterior? Respuesta: 3. ¿Existe alguna relación entre cada miembro y los dos anteriores? Respuesta: 4. ¿Qué sucede si sumamos los resultados de los dos meses anteriores? Respuesta: 5. ¿Guarda alguna relación la suma de las parejas de conejos de los dos meses anteriores con el resultado de dicho mes? Respuesta: 6. ¿Se cumple esta relación todos los meses? ¿En cuales no? Respuesta: 7. De existir tal relación, ¿se podría encontrar algún mecanismo para hallar la cantidad de conejos mes a mes de una manera rápida? Respuesta: 8. Explicad dicho mecanismo. Respuesta: 9. ¿Cuántas parejas de conejos se obtendrían al acabar el año? ¿Y al año y medio? Respuesta: 113 [FICHA C.V] Efectúa los siguientes cocientes: Nº de Fibonacci 𝑭𝑭 𝒏𝒏 𝑭𝑭𝒏𝒏−𝟏𝟏 1 1 1 1= 2 2 1= 3 3 2= 5 8 13 21 34 55 89 144 [PREGUNTAS] 1. ¿Qué puedes observar conforme van siendo mayores los valores? Respuesta: 2. ¿Cuánto mayores son los valores, el cociente tiende a un determinado valor? ¿Qué valor? Respuesta: 3. ¿Qué conclusión puedes sacar? Respuesta: 114 [FICHA C.VI] Tomemos ahora la secuencia 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99… Se trata de una sucesión de Fibonacci generalizada donde ¿puedes encontrar el mecanismo para obtener nuevos términos? Si procedemos como en la actividad anterior y realizamos las sucesivas divisiones (Señas Pariente, 2023): Número de Fibonacci 𝑭𝑭 𝒏𝒏 𝑭𝑭𝒏𝒏−𝟏𝟏 1 1 1 1= 3 2 1= 7 3 2= 17 41 99 En este caso, los cocientes se aproximan al valor 2,414…, que es el número de plata. Análogamente se podrían obtener otros números metálicos modificando las condiciones de la sucesión. Por ejemplo, si tomásemos cada término como el “triple del anterior más el anterior de éste” y tomásemos los cocientes respectivos, se obtendría el número de bronce 3,3027… 115 [FICHA C.VII] COMPETICIÓN: RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES METÁLICAS Resolver en equipos de 5 o 6 integrantes las siguientes ecuaciones metálicas y rellenar la siguiente tabla: Para ello podréis hacer uso de la información de la información de la ficha C.II. Nombre del número Ecuación p q Solución positiva Valor aproximado 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−1 = 0 𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−1 = 0 𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−1 = 0 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−2 = 0 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−3 = 0 𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−2 = 0 NORMAS • Por cada ecuación metálica correctamente resuelta y fila de la tabla correctamente rellana que tengan todos los integrantes del grupo realizado en su cuaderno el equipo obtiene entre 3 y 5 puntos. • Conforme van teniendo realizados los ejercicios se pide al integrante de un grupo que salga a la pizarra a resolverlo para toda la clase, para que el ejercicio resuelto quede a la vista de toda la clase. Si el alumno realiza el ejercicio correctamente el equipo gana dos 2 extra. • Si se percibe que algún alumno con dificultades se ha limitado a copiar el ejercicio de los compañeros de equipo de manera mecánica sin comprenderlo se pedirá a los compañeros del equipo que se lo expliquen. Para ello se les dejará unos minutos para las explicaciones entre compañeros. Pasado ese tiempo me volvía a pasar por el grupo para que el alumno en cuestión me explicase a mi el ejercicio. Si el alumno había entendido como realizarlo y lo había entendido el equipo recibía 1 o 2 puntos extra. Esta práctica resulto muy efectiva y favoreció enormemente la colaboración entre los compañeros. • Se les avisará que el profesor solamente se acercará a corregir los ejercicios en los grupos que estén todos los integrantes en silencio con la mano levantada. • Es preferible que los ejercicios estén bien hechos a que se tarde poco en hacerlos, aunque se mirará también la limpieza y el tiempo. • En caso de mal comportamiento se puede bajar la puntuación. 116 [Bibliografía] Álvarez García, J. (mayo de 2023). Números metálicos. Obtenido de Geogebra: http://geogebra.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/aritmetica/irracionales/metalicos2/acti vidad.html Barrios Calmaestra, L. (Abril de 2021). blogsaverroes.juntadeandalucia. Obtenido de https://blogsaverroes.juntadeandalucia.es/recursosdematematicas/el-pentagono-regular-y-el-numero- deoro/#:~:text=En%20cualquier%20pent%C3%A1gono%20regular%2C%20el,es%20el%20n%C3%B Amero%20de%20oro. Bonell, C. (1999). La divina Proporción. La formas geométricas. Universitat Politècnica de Catalunya. Bragado Rodríguez, J. (2018). La proporción áurea. Obtenido de juanbragado: http://www.juanbragado.es/ficheros/Mis%20trabajos%20para%20la%20web/El%20numero%20de% 20oro.pdf Consejería de Educación. (2022). DECRETO 39/2022, de 29 de septiembre, por el que se establece la ordenación y el currículo de la educación secundaria obligatoria en la Comunidad de Castilla y León. BOCYL. El Canal de Korah. (2023). La proporción áurea y la máscara que te dice si tu cara es guapa. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=5FVrmnR1LV0 Gutiérrez Rodríguez, Á. (2006). La investigación sobre enseñanza y aprendizaje de la geometría. En P. Flores, M. De la Fuente, & F. Ruiz, Geometría para el siglo XXI (págs. pp. 13-58). Badajoz, España: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. Hey Jaime. (mayo de 2023). Proporción áurea y cómo se aplica en diseño gráfico. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=gNmjsCqCfwY&t=53s Jeanneret, C.-É. (1923). Vers une architecture. París: G. Crès et Cie. La Proporicón Áurea. (s.f.). Obtenido de https://www.proporcionaurea.com/ Luque Ordóñez, J. (2022). El número áureo y la Sucesión de Fibonacci. Revista Digital de ACTA. Ministerio de Educación y Formación Profesional. (2022). Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria Obligatoria. BOE. 117 Mota Villegas, D., & Valles Pereira, R. (2020). El número áureo como elemento motivador hacia el estudio de las matemáticas. INNOVA, 157-173. Reyes Iglesias, E., & Fernández Benito, I. (2015). Pentágonos. Construcciones. Mosaicos. Geometría sagrada. Valladolid: Universidad de Valladolid. Reyes Iglesias, M., & Fernández Benito, I. (2018). Periplo por la geometría de Valladolid. Valladolid: Servicio Municipal de Educación del Ayuntameinto de Valladolid. Rodrigo , J., Hernández, R., & Encabo, J. (febrero de 2022). Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 8: Magnitudes proporcionales. Porcentajes. Obtenido de apuntesmarea verde: https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/2ESO/2_08_Proporciones.pdf Rodrigo, J., Hernández, R., & Encabo, J. (febrero de 2022). Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 6: Longitudes y áreas. Obtenido de apuntesmareaverde.org.es: https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/2ESO/2_06_Longitudes.pdf Sáenz Cabezón, E. (mayo de 2023). La sucesión de Fibonacci y la razón áurea. Obtenido de Derivando. Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=yDyMSliKsxI&t=238s Señas Pariente, M. (mayo de 2023). Los números metálicos. Obtenido de Estalmat: https://www.estalmat.org/archivos/LosNumerosMetalicos.pdf Solà-Soler, J. (2012). Phi en el cuerpo humano. Obtenido de sacred-geometry: https://www.sacredgeometry.es/?q=es/content/phi-en-el-cuerpo-humano Valderas Braojos, P. (mayo de 2023). Papiroflexia matemática: construcción del rectángulo áureo a partir de un folio. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=UG6OSkD16js Vargas Contreras, M. (2003). Sucesión de Fibonacci y el número áureo. Revista del Instituto de Matemática y Física. Vela, M. (junio de 2016). La sección áurea en la música anterior a 1900. Obtenido de unir.net: https://www.unir.net/humanidades/revista/la-seccion-aurea-en-la-musica-anterior-a- 1900/#:~:text=La%20proporci%C3%B3n%20%C3%A1urea%20fue%20uno,intersecci%C3%B3n% 20de%20los%20dos%20segmentos. Zeising, A. (1854). Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Leipzig.